Cálculo matricial de estructuras método directo de la rigidez

1.
CÁLCULO MATRICIAL DEESTRUCTURAS EL MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ ( LECCIÓN )

2.
CONCEPTOS E HIPÓTESISBÁSICAS COMPORTAMIENTO LINEAL: COMPORTAMIENTO LINEAL: DE LA ESTRUCTURA Y MATERIALES DE LA ESTRUCTURA Y MATERIALES MOVIMIENTOS PEQUEÑOS MOVIMIENTOS PEQUEÑOS COMPARADOS CON LAS DIMENSIONES DE LA COMPARADOS CON LAS DIMENSIONES DE LA ESTRUCTURA ESTRUCTURA SE DESPRECIAN LOS FENÓMENOS QUE AFECTAN Y VARÍAN LA RIGIDEZ. SE DESPRECIAN LOS FENÓMENOS QUE AFECTAN Y VARÍAN LA RIGIDEZ. MMAATTEERRIIAALLEESS H HOOMMOOGGÉÉNNEEOOSS E E I SISÓÓTTRROOPPOOSS

3.
RELACIONES FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO ESTRUCTURAL 1ª RF. LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO. ( F=0, M=0). Dentro de la estructura, en cualquier elemento, sección, nudo, barra, conjunto, y con las cargas exteriores. 2ª RF. LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE MOVIMIENTOS. Entre los elementos de la estructura y con las condiciones de contorno; así, por ejemplo; en uniones rígidas tendremos los ángulos y movimientos solidarios; en uniones articuladas tan solo los movimientos serán solidarios. 3ª RF. LA LEY DE COMPORTAMIENTO. Que relaciona las tensiones con las deformaciones (leyes de Hooke, ecuaciones de Lamé,...).

4.
MÉTODO DE LARIGIDEZ MÉTODO DE EQUILIBRIO ) i, i i = vector desplazamientos y giros de nudos. )i, i = vectores esfuerzos y deformación de barras. Fi = vector cargas externas. Ri = vector de ligaduras liberadas (internas y externas). Compatibilidad. i = f 1( i) i Ri i )i = f 3( i) (Ri,F i) = f 5( i) Comportamiento. Fi $ $ Equilibrio. )i = f 2(i) (Ri,F i) = f 4()i) f5( i) = (R i,F i) = (F i,valor conocido ) i, R i i )i

5.
COEFICIENTES DE RIGIDEZY DE FLEXIBILIDAD M P P = K · M = K · [1] P K 1 K = ---- = ---- · P = a · P [2] [3] M K 1 K = ---- = ---- · M = a · M [4] Si en [1] o [3] hacemos el alargamiento o giro, respectivamente, unidad: = 1 P = K = 1 M = K RIGIDEZ RIGIDEZ Fuerza o par, que aparece ante un alargamiento o giro unitario Fuerza o par, que aparece ante un alargamiento o giro unitario Si en [2] o [4] hacemos la fuerza o momento, respectivamente, unidad: P = 1 = a M = 1 = a FLEXIBILIDAD FLEXIBILIDAD Alargamiento o giro producido por una fuerza o par unidad Alargamiento o giro producido por una fuerza o par unidad

6.
COEFICIENTES DE RIGIDEZY DE FLEXIBILIDAD 1 F = K · u K = matriz de rigidez. u = A · F A = matriz de flexibilidad. El coeficiente de rigidez, krs, que relaciona las coordenadas “r” y “s”, es la fuerza que aparece en la coordenada “r” al dar un movimiento exclusivo y unitario en la coordenada “s”, manteniendo nulos todos los demás (us=1; uj=0 para j g s). El coeficiente de flexibilidad, ars, que relaciona las coordenadas“r” y “s”, es el movimiento que aparece en la coordenada “r” debido a una fuerza exclusiva y unitaria en la coordenada “s”, manteniendo nulos todos los demás (Fs=1; Fj=0 para j g s). Fr = krs 1 # u1 + krs 2 # u2 + krs 3 # u3 + ... + krs i # ui, Matricialmente. F1 k11 k12 k13 k14 k15 k16 u1 F2 k21 k22 k23 k24 k25 k26 u2 F3 = k31 k23 k33 k34 k35 k36 · u3 F4 k41 k42 k43 k44 k45 k46 u4 F5 k51 k52 k53 k54 k55 k56 u5 F6 k61 k62 k63 k64 k65 k66 u6 [ F ] = [ K ] · [

7.
] 2 3 4 5 6 1 2

8.
SISTEMAS DE COORDENADAS;DISCRETIZACIÓN Sistema de referencia Es un sistema cartesiano que permite la definición geométrica de la estructura (coordenadas de los nudos, longitudes de los elementos, etc). L 2 3 G L DISCRETIZACIÓN L L 1 4 N 5 Proceso de disociar la estructura en elementos (unidos en los nodos) Sistema local En cada barra o elemento de la estructura definiremos un sistema local, al que referiremos los movimientos y fuerzas de cada barra. Sistema global Puesto que en el proceso de discretización de la estructura se ha supuesto ésta formada por un conjunto de elementos y nodos, será preciso definir un sistema único, global, que permita referir a él de forma única y para toda la estructura los movimientos y fuerzas de los nodos. Sistema nodal A veces, para facilitar ciertas condiciones de contorno (caso de un patín,) será conveniente definir un sistema nodal de coordenadas, distinto del global, operando conjuntamente con ambos.

9.
RIGIDECES DE BARRASELEMENTALES 1].- BARRA DE CELOSÍA, ESTRUCTURAS PLANAS (CERCHAS) LEY DE HOOCKE: 1 2 L, A u u2 = 0 1 = 1 u1 = 0 u2 = 1 L F A E

10.
L =

14.
F =

18.
L = 1) A E L K A E A E L L k 11 = k 21 = A E A E L L k 12 = k 22 = Generalizando para ambos nudos. F1 F1= = k 11 # u1 + k 12 # u2 F2 = k 21 # u1 + k 22 # u2 En forma matricial. F1 A#E/L - A#E/L u1 [ F ] = [ K ] · [ ] u2 = # - A #E/L A#E/F2 L

19.
2].- BARRA ENVOLADIZO u1 = 1 v = 0 = 0 E·A L v 2=1 u = 0 = 0 N = k 13 N = k = 0 12 N = k = 0 11 =

23.
3 6·E·I L2 12·E·I L3 V = k 22 V = k =

27.
21 = 0V = k 23 =

32.
M = kM = k 32 =

37.
31 = 0 4·E·I L M = k 33 =

41.
6·E·I L2 u1 N EA/L 0 0 3 V = 0 12EI/L3 -6EI/L² # v 2 M 0 -6EI/L² 4EI/L = 1 u = 0 v = 0 Matricialmente:

42.
3].- BARRA DEESTRUCTURA PLANA Movimiento unitario vertical en nodo Å : 1 =1) 6EI 6EI ( μ 2 = μ 4 = k = k 21 41 μ2+ μ4 12EI V1 = = = k L 11 12EI = k L 31 3 Giro unitario en nodo Å : 2EI μ 2 = k 22 = ; μ = ß · M 4 = = k 2 μ + μ 6EI L² = = k 4 V1 12 V 3 = - V 1 = = = k 32 = = L² V 3 = -V1 = 4EI L L 42 2 L² L3 L 6EI L² 2 3 4 1 2 1 [ K ] 6EI L2 12EI L3 6EI L2 = 6EI L2 4EI L 6EI L2 2EI L

50.
12EI L3 6EI L2 12EI L3 6EI L2

55.
6EI L2 2EI L 6EI L2 4EI L 12EI L3

112.
μ4 = k41 μ2 = k21 V1 = k11 V3 = k31 = 1 2 = 3 = 4 = 0 Fig. 1 μ4 = k42 μ2 = k22 V1 = k12 V3 = k32 1 = 1 1= 3 = 4 = 0 Fig. 2 1 Finalmente: (INEXTENSIBLE)

113.
4 ].- BARRADE ESTRUCTURA PLANA (EXTENSIBLE) 2 3 4 5 6 1 1 2 COMBINACIÓN DE LOS CASOS 1 Y 3.- N1 EA

115.
L 0 0EA

118.
L 0 0u1 V2 0 12EI

120.
L3 6EI

122.
L2 0 12EI

125.
L 3 6EI

127.
L2 v2 M30 6EI

129.
L2 4EI

131.
L 0 6EI

134.
L2 2EI

136.
L 3 N4 = EA

139.
L 0 0EA

141.
L 0 0· u4 V5 0 12EI

142.
L3 6EI

143.
L2 0 12EI

145.
L3 6EI L2v5

148.
M6 0 6EI

150.
L2 2EI

152.
L 0 6EI

155.
L2 4EI

157.
L 6

161.
Condensando las particiones: F1 K11 K12 u1 F2 K21 K22 u2

162.
CARACTERÍSTICAS DE LAMATRIZ RIGIDEZ • Un elemento kij, representa, la fuerza que aparece en la coordenada i cuando se comunica un movimiento unidad en la coordenada j, manteniendo nulos todos los demás. • La columna j (k1j,k2j,...knj), se genera, analizando las fuerzas que van apareciendo en todas las coordenadas (1,2,...n) al comunicar un movimiento unidad en la coordenada j, manteniendo nulos todos los demás. • La fila i (ki1,ki2,...kin), se genera, analizando las fuerzas que aparecen en la coordenada i, al comunicar un movimiento unidad, sucesivamente, a las n coordenadas, manteniendo en cada caso nulos todos los demás. • Los elementos de la diagonal principal no pueden ser negativos pues representan las fuerzas que aparecen en una coordenada al dar justamente movimiento unidad en ella misma. • La matriz de rigidez es simétrica debido al principio de reciprocidad(kij=kji).

163.
5 ].- ELEMENTODE EMPARRILLADO 12EI

165.
L3 6EI 12EI 6EI V1 u1 M2 T3 0 0 GIp

167.
L 6EI

169.
L

171.
L2 2 4EI

173.
L 0 0

174.
2 3 V4 0 0

175.
GIp

177.
L

179.
L3 6EI

181.
L

183.
L2 2 4EI

185.
L 0 0

186.
= · u4 M5 0 0

187.
GIp

189.
12EI

191.
L3 6EI

193.
L 6EI

195.
L2 2 4EI

197.
L 0 0 12EI

199.
L3 6EI

201.
L 6EI

203.
L2 2 4EI

205.
L T6 6 L 0 0

207.
GIp

209.
L 0 0

211.
5 3 2 1 4 6 5 y x z uy Fy U = x ; F = Mx z Tz E · A G · I p L L

212.
6 ].- ELEMENTODE PÓRTICO TRIDIMENSIONAL y z x 11 10 12 11 10 12 4 3 4 6 2 5 2 6 8 8 7 7 9 5 1 3 9 1 EA L 0 12EIz L3 0 0 12EIy 0 0 0 GIp L 0 0 6EIy L2 0 4EIy L 0 6EIz L2 0 0 0 4EIz EA 0 0 0 EA L 0 12EIz L3 0 0 0 6EIz L2 0 12EIz L3 0 0 12EIy L3 0 6EIy L2 0 0 0 12EIy L3 0 0 0 GIp L 0 0 0 0 0 GIp L 0 0 6EIy L2 0 2EIy 0 6EIy 0 4EIy 6EIz L2 0 0 0 2EIz L 0 6EIz L2 0 0 0 4EIz L L3 L L 0 0 2 L 0 0 L2 L 0 2 SIMETRÍA

213.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS z z´ P = Px + Py = P´x + P´y y 2 x P x´ P´x Px Py P´y m l 1 1 m l2 x x´ y´ y y´ P'x = Px · cos + Py · sen P'y = - Px · sen + Py · cos P'x cos sen Px = P'y - sen cos Py Si designamos por ux', uy' los vectores unitarios que definen la posición de los ejes x'-y' respecto a los x-y: Los cosenos directores l1, l2, m1, m2, por columnas, de los nuevos vectores respecto de los antiguos, serán: = = LT , matriz de rotación. 1 2 1 = cos (x'x) m l 2 = cos (y'x) m 2 Por lo tanto, podemos escribir para los vectores (y lo mismo para los movimientos): P' = LT · P ´ = LT · L · P' = L · LT · P L · ' = L · LT · P = L · P’ = L · ’ [11] Puede comprobarse que LT · L = I = matriz unidad; o sea, LT = L-1 ; con lo que resulta, premultiplicando las [11]: [12] ux´ = i · cos + j · sen uy´ = - i · sen + j · cos l1 m1 cos ux'= sen uy' = -sen cos l2 m2 l l 1 2 = L , matriz de transformación. m m ux' uy' l l 1 m 1 2 m 2 Siendo: 1 = cos (x'y) = cos (y'y) l

214.
ALGUNOS CASOS DETRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Elemento plano empotrado: Los ángulos y momentos flectores no cambian con los nuevos ejes. y z z´ x x´ y´ O cos - sen sen cos 0 0 0 0 1 L= cos sen - sen cos 0 0 0 0 1 LT= Parra el caso de la barra completa: 5 4 4´ 5´ 66´ j 2 i 1´ 1 2´ 33’ P' P'i LT Pi 0 LT 0 P'j Pj P' = P' = LT · P ´ = LT ·

215.
Parra el casode un elemento tridimensional: y z´ x´ (x´x) x y´ z (z´x) (y´x) l1 = cos(x'x) m1 = cos(x'y) n1 = cos(x'z) l2 = cos(y'x) m2 = cos(y'y) n2 = cos(y'z) l3 = cos(z'x) m3 = cos(z'y) n3 = cos(z'z) l1 l2 l3 m1 m2 m3 n1 n2 n3 L= l1 m1 n1 l2 m2 n2 l3 m3 n3 LT= Aquí las relaciones entre vectores de fuerzas, de momentos, de desplazamientos y giros son, en un nodo: P’x Pz P’ = P’y = LT · Py P’z Pz M’x Mz M’ = M’y = LT · My M’z Mz ’x z ’ = ’y = LT · y ’z z ’x z ’ = ’y = LT · y ’z z Y si consideramos el elemento tridimensional, establecemos (nudos i y j, i j): 0 P'i LT 0 0 Pi M'i 0 [P'] = 0 0 Mi P'j 0 0 LT 0 Pj M'j 0 0 0 LT T Mj (12x1) (12x12) (12x1) LT = ·

216.
Para un elementocualquiera de los antes considerados: ; pero también: P' = k' · ' (en locales) P' = LT · P ´ = LT · Sustituyendo: P' = k' · ' Premultiplicando por L: LT · P = k' · ' = k' · LT · L · LT · P = ( L · k’ · LT ) · P = ( L · k’ · LT ) · RELACIÓN FUNDAMENTAL Donde: P, vector de cargas en globales. , vector desplazamientos en globales. Matriz ( L · k' · LT ), en globales. [13] [14] K = ( L · k’ · LT ) Nos permite pasar cada matriz en coordenadas locales a matriz en coordenadas globales por operaciones con la matriz de transformación, L, y su transpuesta, LT.

217.
EL ELEMENTO YLA ESTRUCTURA; DISCRETIZACIÓN Estructura a discretizar La elección usual de la discretización (a) obedece a que las matrices de los elementos son iguales en coordenadas locales para todos y a que es la forma intuitiva de descomponer en lo que consideramos como elementos-vigas. (a) (b) (c) 1 2 3 4 1 2 3 1 2 Pi = kii · i + kij · j Pj = kji · i + kjj · j P = k · = Pi kii kij i = · Pj kji kjj j jy iy j P i Pix P P jx i j $ RECORDATORIO Representa las fuerzas que aparecen en el nodo i al aplicar movimientos unidad en el nodo j kij

218.
ENSAMBLAJE DE LAMATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 3 (d) (f) (c) 2 P a 1 (b) 5 4 6 (a) (e) P 5 P P P 2 3 4 3 2 (b) (a) 5 1 2 2 2 2 b 2 c P P (c) (g) + k a · 22 2 a = P 2 a = k a · 21 1 a Barra 1,2 (a): P1 a k11 a k12 a a 1 P2 a k21 a k22 a a 2 = · + k b · b · = P b 23 3 2 b = k 22 2 b Barra 2,3 (b): P 2 b k 22 b k 23 b a b 2 P 3 kb kb b = · b k32 a k33 a a 3 + k c · = P c 25 5 2 c = k c · 22 2 c Barra 2,5 (c): P 2 c k 22 c k 25 c c 2 P 5 c k 52 c k 55 c c 5 = · Sumando y teniendo en cuenta las relaciones de compatibilidad: a c b + + = P2 P + ( k + k b + k ) ·+ k c 2 2 22 = k a · 21 a 1 22 22 b · 23 3 b + k c · 25 5 a P P c 2 2 k22 $

219.
CONCLUSIONES a c b + + = P2 P + ( k + k b + k ) ·+ k c 2 22 2 = k a · 21 a 1 22 22 b · 23 3 b + k c · 25 5 a P P c 2 2 k22 $ P2 K22 Vectores de movimientos en coordenadas globales asociados a los nudos 1, 2, 3, 5, que físicamente están ligados con el propio nudo 2. $ $ $ Elemento de la matriz de rigidez que relaciona fuerzas en el nudo 2 con 2; es decir, es la fuerza que aparece en 2 con un movimiento unidad en 2, permaneciendo nulos todos los demás; y es la suma de las submatrices asociadas a ese nudo 2 de los distintos elementos que en él concurren ( Ka, Kb, K22 22 22 c ); a K22 se la suele denominar rigidez directa del nudo 2. a,K23 K21 b,K25 c Fuerzas que aparecen en el nudo 2 con movimientos unitarios respectivos en 1,3,5, (ligados físicamente al 2) manteniendo nulos todos los demás; cada una relaciona las fuerzas en los nudos 1,3,5, con los respectivos movimientos 1, 3, 5. 1, 2, 3, 5 Vector de fuerzas en coordenadas globales asociado al nudo 2. $

220.
3 (d) (f) (b) (c) 2 (a) 1 3 P P 5 (e) P 5 4 6 P c P P 2 4 b Un elemento de la matriz de rigidez de la estructura se compone: 3 2 (b) (a) 5 1 2 P a 2 2 2 2 (c) (g) GENERALIZACIÓN: Si se trata de un elemento de la diagonal ( knn ) de tantos sumandos como barras concurran en el nudo asociado a la fila (o columna). Los elementos que no pertenezcan a la diagonal principal se compondrán de un solo sumando, si existe unión física real entre los nodos asociados a la fila y columna de que se trate; y serán idénticamente nulos si no existe unión física. a).- b).- La ecuación matricial es la imagen “fotografía”de la estructura R1 K11 a K12 a 0 0 0 0 1 P2 K21 a K22 b +K22 22 a +K22 cc K23 b 0 K25 25 cc 0 2 P3 = 0 K32 b + K f d + K b K34 f 0 3 P4 0 0 K43 K g 44 f K45 e 0 4 P5 0 K5522 cc K54 f +K e K55 55 cc +K55 d +K55 e 5 R6 0 0 0 0 K66 K f 66 6 · K 33 33 33 K 44 44 e + K35 d K53 d K46 f K64 f

221.
APLICACIÓN DE LASCONDICIONES DE CONTORNO: CÁLCULO DE LAS REACCIONES Y ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS Cada grado de fijación de la estructura, supone, un movimiento nulo, si R son las restricciones y L los grados de libertad, tendremos: F L K LL K LR L F R KRL K RR R = · = 0 (L ecuaciones, L incógnitas) (R ecuaciones, R incógnitas) En la práctica no es necesario cambiar el orden de filas matriciales para resolver..., basta suprimir las filas con movimientos nulos y las columnas correspondientes, de igual numeración. F L = K LL · L [19]

222.
1 · FL= L LL K [20] FR = K RL · L Cálculo de los esfuerzos en los elementos. P' = LT · P = LT · k · = LT · (L · k' · LT ) · = k' · LT · = k' · ' ¨§§ª§§© ¨§§ª§§© ¨ª© (1) (2) (3) [21]

223.
Resumen del Método.Sistematización práctica. 1.- Analizar bien la estructura. Predimensionar. Fijar modo físico de trabajo (articulado, empotrado, torsión, plana o espacial, etc.) 2.- Ordenar nudos y barras, fijar coordenadas locales y globales. 3.- Paso de locales a globales las cargas aplicadas en los nudos, previo cálculo de las matrices de transformación y su traspuesta de cada barra. Vector de cargas. 4.- Paso de locales a globales de cada matriz de rigidez de las barras, previo calculo en locales de las mismas. 5.- Ecuación matricial global. 6.- Separar acciones con restricciones (filas y columnas). 7.- Resolución del sistema, calculando los movimientos incógnita en globales. Paso de movimientos a locales. 8.- Cálculo de esfuerzos en cada barra en locales y comprobación de la solución estudiada. P´ = K´ · ´ 9.- Cálculo de reacciones, bien a través de los esfuerzos calculados en barras o bien en la forma. Pnudos = L · P´nudos k´ kbarras = L · k´ barras · LT barras P = K · . = K -1 · P ´ = L T · FR = KRL · L

224.
ACCIONES EXTERIORES SOBRELOS ELEMENTOS La solución se obtiene aplicando superposición, en la siguiente forma: Separamos las cargas aplicadas en nudos de las aplicadas en barras. = = Q2 (a) Q2 Fuerzas de empotramiento (c) + + Q2 (b) Fuerzas equivalentes Q2 (b) (d) F 1 F 1 Suponemos todos los nudos empotrados y calculamos las fuerzas de empotramiento para las cargas aplicadas en las barras, considerando el estado (b) como la superposición de dos. En (c) aplicamos en los nudos las fuerzas necesarias para mantenerlos fijos, esto es, las que aparecerían en los empotramientos si estuvieran empotradas todas las barras. Puesto que el sistema (d) sí provoca movimientos en la estructura, a él aplicaremos el cálculo matricial y, al final, tendremos en cuenta las fuerzas del estado (c), que quedan como aparcadas hasta entonces. esfuerzos P'ti kii kij i totales en === = P'emp. + LT · · globales: P'tj kji kjj j b Resueltos los movimientos, para calcular los esfuerzos en las barras hemos de considerar las acciones de empotramiento, que dejamos antes.

225.
Resumen del Método.Sistematización práctica. 1.- Analizar bien la estructura. Predimensionar. Fijar modo físico de trabajo (articulado, empotrado, torsión, plana o espacial, etc.) 2.- Ordenar nudos y barras, fijar coordenadas locales y globales. 3.- Calcular cargas y reacciones en nudos extremos de cada barra. Pasar cargas a nudos y anotar para su utilización posterior las reacciones hiperestáticas. Vector de cargas. 4.- Paso de locales a globales de los vectores de carga, previo calculo de las matrices de transformación y su traspuesta de cada barra. 5.- Paso de locales a globales de cada matriz de rigidez de las barras, previo calculo en locales de las mismas. 6.- Ecuación matricial global. 7.- Separar acciones con restricciones (filas y columnas). 8.- Resolución del sistema, calculando los movimientos incógnita en globales. Paso de movimientos a locales. 9.- Cálculo de esfuerzos en cada barra en locales y comprobación de la solución estudiada. P´ = K´ · ´ + P´hiperestáticas 10.- Cálculo de reacciones, bien a través de los esfuerzos calculados en barras o bien en la forma. P´nudos = - P´hiperestáticas. Pnudos = L · P´nudos k´ kbarras = L · k´ barras · LT barras P = K · . = K -1 · P ´ = L T · FR = KRL · L

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