Descargado 16 veces
![93
POLINOMIOS
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
1 Escribe SÍ o NO , según corresponda en cada casillero:
2 Calcula: I) El grado relativo respecto a la variable x en cada polinomio.
II) El grado absoluto de cada polinomio.
3 Calcula el grado de las expresiones algebraicas siguientes.
4 Calcula el valor de “n” en las siguientes expresiones:
Expresión algebraica ¿Es un polinomio? ¿Es un polinomio?Expresión algebraica
Polinomio G.R.(x) G.R.(x)G.A. G.A.Polinomio
15x8
– 9x6
+ x+ 1 8 8 2m + 3 2m + 3
2x4
y3
+ 3x3
y2
– 2y6
4 7 3 3
4xm–9
+ 5xm–1
+ x2m+3
8xab –3x2
a + 3x3
b – 2
Expresión algebraica Grado GradoExpresión algebraica
d) x2 . y3 . z6
y2 . z3 . x
a) (x4
– 2)(x6
– 3)(x + 6) 11
b) (x + 2)(x2
+ 4)(x – 3) 4
c) [(x3
+ 2)(x4
– 1)]6
42
5
b) Si el grado de (3yn
+ 4yn+1
–7)7
es 42.a) Si el grado de (xn
+ 1)(xn
–1) es 4.
3 2
2
x 5x 3
x
+ −
– 5 x –8x2
– 1 SÍ
–x4
+ 2x3
– 2x + 6 SÍ
x2/3
- 6x4/3
- 3
3x–4
– 2x–3
– 2
2x – 1
5x3
– 4x2
– 3x–1
+2 NO
NO
NO
NO
⇒ 2n = 4
n = 2
⇒ 7(n + 1) = 42
n+ 1 = 6
n = 5](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-5-2048.jpg)
![110
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
11 Reduce:
3x2
y + 5xy2
+ 7x2
y + 5x3
+ 20xy2
+ 3xy2
+ 7x2
y.
12 Si al sumar mx2
+ nx2
resulta px2
, calcula:
E =
m + n + p
p
7 Reduce:
3x2
- (x2
- [1 - (2x - 3)])- x2
8 Halla el coeficiente de:
P(x) - Q(x), si:
P(x) = 15x4
- 7x3
+ 13 - x
Q(x) = 13 + 15x4
- 8x3
- x
9 Suma los siguientes monomios:
M(x,y) = ax2
y3
z5
N(x,y) = bx2
y3
z4
, indica su coeficiente.
10 Si al polinomio:
P(x) = 3x2
y3
+ 5x8
y4
se le resta (2x8
y4
- 5)
obtenemos:
⇒ 2x2
– x2
+[1 – 2x + 3]
x2
– 2x + 4
⇒ 15x4
– 7x3
– x + 13
–15x4
+ 8x3
+ x – 13
x3
Piden: Coef. = 1
⇒ ax2
y3
z5
+ bx2
y3
z4
(az5
+ bz4
) x2
y3
Piden: Coef. = az5
+ bz4
⇒ 3x2
y3
+ 5x8
y4
–2x8
y4
+ 5
3x2
y3
+ 3x8
y4
+ 5
17x2
y + 28xy2
+ 5x3
Si: mx2
+ nx2
= px2
x2
(m + n) = px2
m +n = p
⇒ E =
m + n + p
p
=
p + p
p
E =
2p
p
E = 2](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-22-2048.jpg)
![111
POLINOMIOS
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
1 Calcula la suma de los polinomios:
P(x) = 1 - x + x2
Q(x) = 2x2
+ x - 1
S(x) = 2 + 2x - x2
3 Reduce:
-[1 - (2x2
+ [3 - (2x - 1)] - 2)]
2 Dado los polinomios:
P(x) = 3x2
+ 5x3
+ x + 17
R(x) = -4x2
+ x + 5x3
+ 17
Calcula: P(x) - R(x).
4 ¿Cuánto le falta a: 18x5
- 3x2
+ 7x4
- 3x3
+ 1?
Para ser igual a: 12x2
+ 8x4
+ 20x5
+ 2
5 Si al sumar axy2
+ bxy2
resulta: mxy2
.
Calcula: 2m
a + b
6 Simplifica:
-5ab - [4b - (2ab - a)] - [5a - (4ab - b) + 5b]
⇒ x2
– x + 1
2x2
+ x – 1
x2
+ 2x + 2
4x2
+ 2x + 2
–[1 – 2x2
– [3 – 2x + 1] + 2]
–[3 – 2x2
– 4 + 2x]
2x2
- 2x + 1
–5ab – 4ab + 2ab – a – 5a + 4ab – b – 5b
–3ab – 6a – 6bSi axy2
+ bxy2
= mxy2
xy2
(a + b) = mxy2
a + b = m
⇒
2m
a + b
=
2m
m
= 2
⇒ 20x5
+ 8x4
+ 12x2
+ 2
– 18x5
– 7x4
+ 3x3
+ 3x2
– 1
2x5
+ x4
+ 3x3
+ 15x2
+ 1
⇒ 5x3
+ 3x2
+ x + 17
–5x3
+ 4x2
– x – 17
7x2](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-23-2048.jpg)
![118
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
Razonamiento y Demostración
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1. D
2. B
3. A
4. B
5. B
6. D
7. E
8. B
9. C
10. D
11. C
12. B
13. B
14. B
15. D
Clave de
Respuestas
1 Reduce: (x + 2)[(x + 2)2
- 4x + (x - 2)2
] - 16
A) x3
B) 8 C) 16
D) 2x3
E) x3
+8
2 Reduce: (x + 3)3
– 9(x + 1)(x + 2) – 9
A) x2
B) x3
C) x
D) x – 1 E) 2x3
3 Simplifica: T =
a3
+ b3
(a+b)2
- 3ab
– a
A) b B) a C) ab
D) 1 E) a+b
4 Si x2
+ y2
= 36 ∧ xy = 18 el valor de (x + y)2
2
es:
A) 48 B) 36 C) 27
D) 24 E) 26
5 Si a + b = 5 ∧ ab = 2, calcula el valor de: “ a - b”
A) 17 B) 17 C) 13
D) 13 E) 10
6 Calcula el valor de: R = ( 3 + 5 – 3 – 5 )
2
A) 1 B) 2 C) 3 5
D) 2 5 E) 4
7 Calcula el valor de:
M = ( x + y + x – y )
2
; para: x = 3 ; y = 5
A) 15 B) 16 C) 26
D) 14 E) 10
8 Simplifica: E = 1 + (x4
– 1
2x2 )
2
A) x 2x 1
2x
4 2
2
+ − B) x 1
2x
4
2
+ C)
x 1
2
2
+
D)
x
2
1
2x
2+ E) x 1
2
2
−
9 Resuelve:
E = (x – 1)(x + 2) + (x – 3)(x + 6) – 2(x + 1)2
A) –20 B) –18 C) –22
D) –21 E) –19
10 Con la condición: a + b + c = 0, calcula el equiva-
lente de: M = (a2
– b2
)
2
c2
– 4ab
A) a2
+ b2
B) bc C) ab
D) c2
E) ac
11 Si: x
1
x
3+ = , calcula el valor de: " x
1
x
"−
A) 7 B) 9 C) ± 5
D) ± 3 E) ±2
12 Si a – b = 3 ∧ ab = 2, halla el valor de: “a4
+ b4
”
A) 160 B) 161 C) 162
D) 163 E) N.A.
13 Simplifica: A =
(x + y)
4
– (x – y)
4
2x2
+ 2y2
A) xy B) 4xy C) x2
D) y2
E) x – y
14 Resuelve:
F = (a – b)3
+ (a + b)3
+ 3(a – b)2
(a + b) + 3(a + b)2
(a – b)
A) 8b3
B) 8a3
C) 4b3
D) 4a3
E) Cero
15 Si: a(x + b) + b(x + a) = 26 + x; halla el valor de
R =
1
a
+
1
b
.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/13 E) 1/26](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-30-2048.jpg)
![119
POLINOMIOS
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4
Comunicación Matemática
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1. C
2. B
3. D
4. D
5. C
6. C
7. B
8. C
9. A
10. C
11. B
12. C
13. E
14. B
Clave de
Respuestas
1 Calcula: (x + 1)3
+ (x - 1)3
- 6x
A) 2x B) 2x2
C) 2x3
D) 6x E) x3
2 Reduce:
A = (1 + 3 + 6 + 2 )(1 + 6 - 3 - 2 )
A) 1 B) 2 C) 6
D) 3 E) 3
3 Calcula: A = (3 2 +2)2
+ (3 2 - 2)2
A) 40 B) 41 C) 43
D) 44 E) 46
4 Calcula:
M = [(a2
+ 3) - a] [(a2
+ 3) + a]
A) a4
+ a2
+ 9 B) a4
+ a2
- 9 C) a4
- 2a2
+9
D) a4
+ 5a2
+ 9 E) 2a4
+ a2
+ 9
5 Si: x +
1
x
= 4, calcula el valor de: M = x3
+
1
x3
A) 26 B) 25 C) 52
D) 68 E) 54
6 Si x3
– y3
= m ∧ x – y = n, halla el valor de “xy”.
A) m n
3n
3
− B)
m n
3
3
−
C) m n
3n
3
−
D)
m n
n
2 3
−
E)
m n
3n
3
+
7 Simplifica: R = (x + a)(x - a)(x2
+ a2
)(x4
+ a4
) + a8
A) x4
B) x8
C) x6
D) x16
E) Cero
8 Si a – b = b – c = 3, calcula el valor de:
T =
(a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (a – c)
2
18
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
9 Resuelve:
(x2
+ 5x + 5)2
– (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4).
A) 1 B) 2 C) 3
D) x – 1 E) x + 1
10 Calcula el valor de: E = ( 5+ 24 – 5– 24)
2
A) 49 B) 6 C) 8
D) 18 E) N.A.
11 Si a b 5+ = y ab = 3, entonces: (a – b)2
; es:
A) 5 B) –7 C) –9
D) 12 E) 10
12 Dada la expresión: (a + 2b)2
+ (a – 2b)2
= 8ab.
Calcula el valor de : M =
2ab – b2
a2
A) 1 B) 2 C) 3/4
D) 2/4 E) 1/4
13 Si
a
b
+
b
a
= 62, entonces el valor de:
P = (a + b
ab
)
1/3
es:
A) 3 B)
ab
2
C)
a+b
2
D) ab E) 2
14 Si se cumple que:
(x + 1)5
+ x + 2= (x2
+ Mx + 3)(x3
+ 2x2
+ x + 1),
calcula el valor de “M”.
A) 2 B) 3 C) -3 D) 4 E) 5](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-31-2048.jpg)
![121
POLINOMIOS
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Pag. 118
1 (x + 2)[(x + 2)2
- 4x + (x - 2)2
] - 16
(x + 2)[x2
+ 4x + 4 - 4x + x2
- 4x + 4] - 16
(x + 2)[2x2
- 4x + 8] - 16
2(x + 2)[x2
- 2x + 4] - 16
2(x3
- 2x2
+ 4x + 2x2
- 4x + 8) - 16
2(x3
+ 8) - 16
2x3
+ 16 - 16 = 2x3
Rpta. D
2 (x + 3)3
– 9(x + 1)(x + 2) – 9
x3
+ 9x2
+ 27x + 27 - 9(x2
+ 3x + 2) - 9
x3
+ 9x2
+ 27x + 27 - 9x2
- 27x - 18 - 9 = x3
Rpta. B
3 T =
a3
+ b3
(a+b)2
- 3ab
– a
=
a3
+ b3
- a((a + b)2
- 3ab)
a2
+ 2ab +b2
- 3ab
=
a3
+ b3
- a(a2
+ 2ab +b2
- 3ab)
(a2
- ab + b2
)
=
a3
+ b3
- a(a2
- ab + b2
)
a2
- ab + b2
=
b3
- a2
b - ab2
a2
- ab + b2
=
b3
+ a2
b - ab2
a2
- ab + b2
=
b(a2
- ab + b2
)
a2
- ab + b2
= b
Rpta. A
4 x2
+ y2
= 36 ∧ xy = 18
Piden: (x + y)2
2
x2
+ 2xy + y2
2
= 36 + 2(18)
2
= 72
2
= 36 Rpta. B
5 a + b = 5 ∧ ab = 2
a2
+ b2
= 21
Piden a – b
(a - b)2
= a2
+ b2
- 2ab
(a - b)2
= 21 - 2(2)
(a - b)2
= 17
a - b = 17 Rpta: B
6 R = ( 3 + 5 – 3 – 5 )
2
= ( 3 + 5
2
)– ( (3 + 5)(3 – 5))+( 3 + 5 )
2
= 3 + 5 - 2 9 - 5 + 3 - 5
= 6 - 2 4
= 6 - 4
= 2 Rpta: B
7 M = ( x + y + x – y )
2
= ( x + y
2
)+ 2 (x + y)(x – y) + ( x – y
2
)
= x + y + 2 x2
– y +x – y
= 2x + 2 x2
– y
Piden para x = 3 ^ y = 5
M = 2(3) + 2 9 – 5
M = 6 + 2 4
M = 10 Rpta. E
8 E = 1 + (x4
– 1
2x2 )
2
E = 1 +
x8
– 2x4
+ 1
4x4
E =
4x4
+ x8
– 2x4
+ 1
4x4
E =
x8
+ 2x4
+ 1
4x4](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-33-2048.jpg)
![123
POLINOMIOS
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4
1 (x + 1)3
+ (x - 1)3
- 6x
= x3
+ 3x3
+ 3x + 1 + x3
- 3x2
+ 3x – 1 – 6x
= 2x3
+ 6x - 6x
= 2x3
Rpta: C
2 A = (1 + 3 + 6 + 2 )(1 + 6 - 3 - 2 )
A = ((1 + 6 )+ ( 2 + 3 ))((1 + 6 ) - ( 3 + 2 ))
A = (1 + 6 )2
- ( 2 + 3 )2
A = (1 + 2 6 + 6)- (2 + 2 6 + 3)
A = 7 + 2 6 - 5 - 2 6
A = 2 Rpta: B
3 A = (3 2 +2)2
+ (3 2 - 2)2
A = (18 + 12 2 +4) + (18 –12 2 - 4)
A = 36 + 8
A = 44 Rpta: D
4 M = [(a2
+ 3) - a] [(a2
+ 3) + a]
M = (a2
+ 3)2
- a2
M = a4
+ 6a2
+ 9 - a2
M = a4
+ 5a2
+ 9 Rpta: D
5 Si: x +
1
x
= 4
⇒ (x +
1
x )
3
= 64
x3
+
1
x3 + 3x(1
x )(x +
1
x )= 64
x3
+
1
x3 +3(4) = 64
x3
+
1
x3 = 52 Rpta: C
6 x3
– y3
= m ∧ x – y = n
(x – y)3
= n3
x3
– y3
– 3xy(x – y) = n3
m – 3xyn = n3
m – n3
= 3xyn
xy =
m – n3
3n
Rpta: C
7 R = (x + a)(x - a)(x2
+ a2
)(x4
+ a4
) + a8
R = (x2
- a2
)(x2
+ a2
)(x4
+ a4
) + a8
R = (x4
- a4
)(x4
+ a4
) + a8
R = x8
Rpta: B
8 Si a – b = b – c = 3
T =
(a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (a – c)
2
18
T =
3
2
+ 3
2
+ 6
2
18
T =
54
18
T = 3 Rpta: C
9 (x2
+ 5x + 5)2
– (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
= (x2
+ 5x + 5)2
– (x2
+ 3x + 2)(x2
+ 7x + 12)
= x4
+ 10x3
+ 35x2
+ 50x + 25 - (x4
+10x3
+ 35x2
+50x +24)
= 1 Rpta: A
10 E = ( 5+ 24 – 5– 24)
2
= 5 24 – 2 (5+ 24) (5– 24) + 5 – 24
= 10 – 2 25– 24
= 10 – 2 (1)
= 8 Rpta: C
Comunicación Matemática pag 119](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-35-2048.jpg)
![125
POLINOMIOS
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4
4 Si
a
b
+
b
a
= 4
a2
+ b2
= 4ab
a2
- 2ab + b2
=2ab
(a - b)2
= 2ab
(a -b)4
= 4a2
b2
R =
(a-b)4
+ 4a2
b2
16a2
b2
R =
4a2
b2
+ 4a2
b2
16a2
b2
R =
1
2
Rpta: D
5 Si a2
+ b2
= 2b(a + b)
⇒ a2
+ b2
= 2ab + 2b2
a2
– 2ab + b2
= 2b2
(a – b)2
= 2b2
a – b = 2 b
a = b( 2 + 1)
a
b
= 2 +1 ^
b
a
= 2 -1
Piden: (a
b
+
b
a
+ 2)(a
b
+
b
a
– 2)
⇒ ( 2 + 1 + 2 – 1 + 2)( 2 + 1 + 2 – 1 – 2)
= (2 2 + 2)(2 2 – 2)
= (2 2 )2
– 22
= 8 – 4 = 4
Rpta: B
6 R = (x+1)(x+2)(x – 4)(x – 5) + 9 + 3x + 7
R = (x2
+3x+2)(x2
–9x+20)+ 9 +3x+7
R = x4
–6x3
–5x2
+42x+40+9+3x+7
R = x4
–6x3
–9x2
–14x4
+42x+49+3x+7
R = (x2
- 3x)2
- 14(x2
- 3x) + 72
+ 3x + 7
R = ((x2
- 3x) 7)2
+ 3x + 7
R = x2
- 3x - 7 + 3x + 7
R = x2
Rpta: B
7 E = (a+1)2
(a2
+2a–1) – (a–1)2
(a2
–2a–1)3
E= (a2
+2a+1) (a2
+2a–1) – (a2
– 2a +1)(a2
– 2a – 1)3
E = (a2
+ 2a)2
– 1 – ((a2
- 2a)2
– 1)3
E = (a2
+ 2a)2
– 1 – (a2
– 2a)2
+ 13
E = (a2
+ 2a)2
– (a2
– 2a)23
E = (2a2
)(4a)3
E = 8a33
E = 2a Rpta: E
8 Si P = (a+b+c+d)(a – c+b – d)
P = [(a+b)+(c+d)][(a – c)+(b – d)]
P = (a + b)2
– (c + d)2
Q = (a – b+c+d)(a – b – d – c)
Q = [(a – b)+(c+d)][(a – b) – (d + c)]
Q = (a – b)2
– (c + d)2
Piden: K =
P - Q
4
=
(a + b)2
– (c + d)2
– (a – b)2
– (c + d)2
4
=
(a + b)2
– (a – b)2
4
K=
4ab
4
= ab Rpta: B
9 Si a + b + c + d = 0
⇒ a + b = – c
a + c = – b
b + c = – a
Piden: R =
(a + b)2
+ (b + c)2
+ (c + a)2
a2
+ b2
+ c2
R =
(–c)2
+ (–a)2
+ (–b)2
a2
+ b2
+ c2
R =
c2
+ a2
+ b2
a2
+ b2
+ c2
R = 1 Rpta: B
10 E = (a + b + c + d)3
– (b + c + d)3
– 3a(b + c + d)(a + b + c + d)
Si: b + c + d = x
E = (a + x)3
– x3
- 3a(x)(a + x)
= a3
+ 3a2
x + 3ax2
+ x3
– x3
– 3a2
x – 3ax2
= a3
Rpta: C](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-37-2048.jpg)
![126
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
11
S = (a + b + x)2
+ (a + b – x)2
+(x + a – b)2
+ (x – a + b)2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
[(a + b) + x]2
+ [(a + b) – x]2
+[x + (a – b)]2
+ [x – (a - b)]2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
S = 2[(a + b) + x2
]+2[x2
+ (a – b)2
] + 4x2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
S = 2[2(a2
+ b2
)]+ 4x2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
S = 4(a2
+ b2
) + 4x2
– 4(a2
+ b2
+ x2
)
S =4(a2
+ b2
+ x2
) – 4(a2
+ b2
+ x2
)
S = 0 Rpta: D
12 Q = (x + 3)(x + 2)(x + 5)(x + 4) – (x2
+ 7x + 11)2
Q = (x + 3)(x + 4)(x + 2)(x + 5) – (x2
+ 7x + 11)2
Q = (x2
+ 7x + 12) (x2
+ 7x + 10) – (x2
+ 7x + 11)2
⇒ Q = (n + 12)(n + 10) - (n + 11)2
Q = n2
+ 22n + 120 - n2
- 22n - 121
Q = – 1 Rpta: C
13 Si 3
x
1
y
12
x 3y
+ =
+
3y + x
xy
=
12
x + 3y
(3y + x)2
= 12xy
9y2
+ 6xy + x2
= 12xy
9y2
- 6xy + x2
= 0
(3y - x)2
= 0
⇒ 3y = x
Piden:
3y + 6y
3y
+
x
y
M =
9y
3y
+ 3
M = 3 + 3
M = 6 Rpta: B
14 E = (x – 2)(x + 3)(x – 4)(x + 1) – x2
(x – 1)2
+ 14x(x – 1) – 24
E = (x – 2)(x + 1)(x + 3)(x – 4) – (x2
– x)2
+ 14x(x2
– x) – 24
E = (x2
– x – 2)(x2
– x – 12) – (x2
– x) + 14(x2
– x) – 24
Si: x2
– x = m ⇒ E = (m - 2)(m - 12) - m2
+ 14m - 24
⇒ m2
– 14m + 24 – m2
+ 14m – 24
E = 0 Rpta: A
15 M = (x + y + z - w)2
+ (x + y – z + w)2
– (x – y + z + w)2
– (x – y – z – w)2
⇒ M = [(x + y)+(z - w)]2
+ [(x + y) – (z – w)]2
– [(x–y)+(z+w)]2
+ [(x – y) – (z + w)]2
M = [2(x + y)2
+ 2(z- w)2
] - [2(x – y)2
+ 2(z+ w)2
]
M = 2(x + y)2
- 2(x - y)2
+2(z – w)2
- 2 (z + w)2
M = 2 [4xy] - 2[4zw]
M = 8xy - 8zw
M = 8(xy - zw)
Si: xy - zw = 9
M = 8(9)
M = 72 Rpta: E
16 E = (x2
+ 8x + 11)2
– (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7)
E = (x2
+ 8x + 11)2
– (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5)
E = (x2
+ 8x + 11)2
– (x2
+ 8x + 7)(x2
+ 8x + 15)
Si: x2
+ 8x = m
⇒ E =(m+ 11)2
– (m + 7)(m + 15)
E = m2
+ 22m + 121 – m2
– 22m + 105
E = 16 Rpta: D
17 M = 1 + 80(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
32
M = 1 + (3
4
- 1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
32
M = 1 + (3
8
- 1)(3
8
+ 1)(3
16
+ 1)
32
M = 1 + (3
16
- 1)(3
16
+ 1)
32
M = 1 + 3
32
– 1
32
M = 3
3232
M = 3 Rpta: B
18 E = x4
+ 1 – (x+1)
3
(x–1)
3
(x2
–1)
5
(x2
+1)
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – [(x+1)(x–1)]
3
(x2
–1)
5
(x2
+1)
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – (x2
-1)
3
(x2
–1)
5
(x2
+1)
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – (x2
-1)
8
(x2
+1)
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – [(x2
–1)(x2
+1)]
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – (x4
–1)
8
(x4
–1)
210
E = x4
+ 1 – (x4
–1)
1010
E = x4
+ 1 – x4
+ 1
E = 2 Rpta: C](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-38-2048.jpg)
![129
POLINOMIOS
Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4
Resolución de Problemas
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
1 Si: a2
+ b2
+ c2
= 8
Simplifica:
E = (a + b – c)2
+ (a – b + c)2
+ c2
A) 4 B) 8 C) 16
D) 32 E) 64
2 Reduce:
P =
(x + y)3
– (x + y)(x2
– xy + y2
)
3(x + y)
A) xy B) x+y C) x3
– y3
D) 1 E) x/y
3 Reduce:
M = (x + 1)(x2
+ x + 1)(x – 1)(x2
– x + 1) + 1
A) x3
B) x4
C) x6
D) x9
E) x10
4 Si se cumple: a3
+ b3
= 1
Calcula el valor de:
(a6
– b6
) – (a9
+ b9
)
A) (a+b)3
B) ab C) a3
b3
D) ab E) – (a+b)3
Rpta: C
Rpta: C
Rpta: C
Rpta: A
E = a2
+ b2
+ c2
+ 2ab - 2ac - 2bc + a2
+ b2
+
c2
- 2ab + 2ac - 2bc + 4bc
E = 2(a2
+ b2
+ c2
) - 4bc + 4bc
E = 2(8)
E = 16
P =
(x + y)[(x + y)2
– (x2
– xy + y2
)]
3(x + y)
P =
(x + y)2
– (x2
– xy + y2
)
3
P =
(x + y)2
– (x2
– xy + y2
)
3
P =
x2
+ 2xy +y2
– x2
+ xy - y2
)
3
P =
3xy
3
P = xy
M = (x +1)(x–1)(x2
+x+1)(x2
–x+1)+1
M = (x2
- 1)[(x2
+ 1)2
– x2
]+ 1
M = (x2
- 1)(x4
+ x2
+ 1) + 1
M = x6
+ x4
+ x2
- x4
- x2
- 1 + 1
M = x6
Piden: (a6
– b6
) – (a9
+ b9
)
⇒ (a6
+ b6
) – (a3
+ b3
)(a6
- a3
b3
+ b6
)
a6
+ b6
– (1)(a6
- a3
b3
+ b6
)
a6
+ b6
– a6
+ a3
b3
– b6
a3
b3](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-41-2048.jpg)
![132
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
1 Calcula el cociente y el residuo de la división:
a) (25x3
– 10x2
+ 12x – 9) ÷ (5x – 3)
3 Utiliza la regla de Ruffini, halla el resto y el co-
ciente.
(y4
+6y2
– 3y3
– 8y – 20) ÷ (y – 3)
2 Calcula el cociente y el residuo de la división:
a) (8x4
– 30x2
– 13x + 8) entre (1 – 5x + 2x2
)
4 Aplica el método de Horner, halla el cociente y
residuo.
(7x3
– 20x2
– 25x + 15) ÷ (x2
– 5x + 1)
5 Utiliza el teorema del resto, halla el residuo de
las siguientes divisiones.
a) (3x5
– 4x4
+ 2x – 10) ÷ (x – 2)
b) (2x3
– 5x2
– 2x – 3) ÷ (x – 3)
6 ¿Qué valor deberá tener “a” para que el polino-
mio: (x8
+ ay8
)y – ( 2 x3
)9
sea divisible por (x + y)?
25x3
– 10x2
+ 12x – 9
5x2
+ 12x
15x – 9
–25x3
+ 15x2
–5x3
+ 3x
–15x + 9
– –
5x - 3
5x2
+ x + 3
Q(x) = 5x2
+ x + 3
Q(x) = x3
+ 6x2
+ 10
Q(x) = 4x + 15
Q(x) = 4x2
+ 10x + 8
R(x) = 0
R(x) = −10
y = 3
R(x) = 43x
R(x) = 17x
8x4
+ 30x2
– 13x + 8
20x3
– 34x2
– 13x
16x2
– 23x + 8
–(8x4
– 20x³ + 4x2
)
–(20x3
– 50x2
+10x)
–(16x2
– 40x + 8)
17x
2x2
- 5x + 1
4x2
+ 10x + 8
1 -3 6 -8 -20
1 0 6 10 -10
3 0 18 303
7 -20 -25 15
7 15 43 0
35 -75
1
-1 75 -15
R(x) = 3(2)5
- 4(2)4
- 2(2) -10
R(x) = 96 - 64 - 4 - 10
R(x) = 18
R(x) = 2(3)3
- 5(3)2
- 2(3) - 3
R(x) = 54 - 45 - 6 - 3
R(x) = 0
x = − y
⇒ R(x) = 0
[(−y)8
+ ay8
]y − 23
(−y)9
= 0
y9
+ ay9
+ 8y9
= 0
y9
(1 + a + 8) = 0
9 + a = 0
a = -9](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-44-2048.jpg)
![136
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
Razonamiento y demostración
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
APLICO MIS
APRENDIZAJES
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
1 Divide: (4x 3x 2)3
+ − entre (2x 3x 2)2
− + y dar
como respuesta la suma del cociente y el residuo.
A) 8x – 8 B) 10x + 3 C) 2x + 3
D) 10x – 5 E) 10x – 8
2 Señala el cociente de la división:
(2x x 3 7x) : (2x+3)4 3
− − +
A) x 2x 3x 13 2
− + − B) x x 3x 33 2
+ − +
C) x x x 53 2
− + − D) x 2x x 13 2
+ + +
E) x 3x 3x 33 2
+ − +
3 ¿Cuánto vale “k” si la división: 3x x 3x k
3x 2x 1
3 2
2
− − +
+ −es exacta?
A) 1 B) 2 C) –2 D) 3 E) –1
4 Resuelve la división: (6x 2y xy):(y 2x)2 2
− − + ,
señala el cociente.
A) 3y – 2x B) 3x – 2y C) 3x + 2y
D) 3y + 2x E) 2x – 3y
5 Calcula la división:[(x 2) 1:(x 1)3
− + − ], señalando
el cociente:
A) x 7x 52
+ − B) x 7x 52
− + C) x 5x 72
+ +
D) x 5x 9
2
− + E) x 5x 72
− +
6 Calcula (a + b) en: P(x) 6x 11x 2x ax b5 4 2
= + − + + ,
sabiendo que es divisible por (3x x 3)2
+ − .
A) –7 B) –9 C) –11
D) –8 E) –10
7 Identifica el residuo de dividir: 12x 5x 6x 73 2
+ − +
entre (x 1)− .
A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 0
8 ¿Para qué valor de “n” el polinomio:
P(x) 2x 5x nx 64 3
= − + + será divisible por (x+1)?
A) 10 B) 14 C) 15 D) 9 E) 13
9 ¿Cuántos términos admite el desarrollo del cociente
notable: x a
x a
25n 25n 25
n n 1
−
−
+
+
.
A) 30 B) 28 C) 32 D) 25 E) 20
10 Calcula el valor de “m”, si la siguiente expresión es
un cociente notable:
xm+54
+ y357
x4
+ y17
A) 30 B) 40 C) 45 D) 48 E) 50
11 x x x 112 8 4
+ + + es el cociente de:
A)
x 1
x 1
16
2
−
+
B)
x 1
x 1
16
−
−
C)
x 1
x 1
16
4
−
−
D)
x 1
x 1
12
4
−
−
E)
x 1
x 1
16
2
−
−
12 ¿Cuántos términos admite el desarrollo del cociente
notable:
a y
a y
10n 8 9n
n n 1
+
−
−
+
?
A) 15 B) 14 C) 132 D) 12 E) 11
13 El grado absoluto del término de lugar 6 del
siguiente cociente notable: x y
x y
3n 9 3n
3 2
+
+
+
es:
A) 9 B) 10 C) 18 D) 19 E) 21
14 Si xm-96
y14
es el octavo término de desarrollo del
cociente notable: xm
– y24
xp
– yq
, calcula: m + p + q.
A) 164 B) 142 C) 158 D) 185 E) 153
15 Calcula número de términos fraccionarios del
desarrollo. x45
– x-30
x3
– x-2
A) 15 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
1. D
2. A
3. A
4. B
5. E
6. A
7. B
8. E
9. D
10. A
11. C
12. D
13. D
14. C
15. E
Clave de
Respuestas](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-48-2048.jpg)
![ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Rpta. x = 80 Rpta. a y b
Rpta. x = 14
3 Del gráfico, calcula "x".
(OB: bisectriz)
O
(2x+5)°
(9 – 3x)°
A
B
C
Rpta. –240°
4 De acuerdo al gráfico, calcula el valor de "a".
Rpta. 2 Rpta. 400°
5 A partir del gráfico, calcula a
m
b
n
+ . 6 Dos ángulos coterminales son entre sí como 1
es a 10. Halla la medida del mayor de ellos, si
el menor se encuentra comprendido entre 30°
y 60°.
1 De la figura mostrada, determina el valor de "x".
O
120° (20 – x)°
2 Conrespectoalosánguloscoterminales,indique
las afirmaciones correctas.
a. Tienen el mismo lado inicial y final.
b. Sus medidas se diferencian en un número entero
de vueltas.
c. Deben tener el mismo sentido de giro.
d. No son ángulos trigonométricos.
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
"Recuerda tienes que ser persistente, no tienes
que detenerte hasta lograr tu cometido."
120° + [–(20 – x)°] = 180°
120 – 20 + x = 180
x = 80
(2 x + 5)° = –(9 – 3x)°
2x + 5 = –9 + 3x
x = 14
120° + (–a) = 360°
–a = 240°
a = –240°
a. V
b. V
c. F
d. F ∴ a y b
(ax + b + 60)° – (mx + n – 30)° = 90°
(a – m) x + (b – n) = 0
• a – m = 0 → a = m
• b – n = 0 → b = n
∴ a b
+ = 1 + 1 = 2
m n
• b – a = 360° n
9 a = 360° n
a = 40° n
• 30°< a < 60°
n = 1 → a = 40°
• b = 10 (40°)
b = 400°
• a 1
= → b = 10 a
b 10
93Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 5](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-94-2048.jpg)
![529Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 13
ESTADÍSTICA
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CLASE
R = Dmayor - D menor
R= 15 - 7
R = 8
x = 9
y = 4 Piden: 9 + 4 = 13
R = 20 - 8
R = 12 ⇒ W =
12
4
∴W = 3
a = 9 ; b = 15 ; c = 8
Piden: 9 - 15 + 8 = 2
i) f2
= 6 ; f4
= 3 ; f9
= 2
ii) Tienen mayor frecuencia el dato 8.
x =
15 + 20
2
⇒ x = 17,5 ; y =
25 + 30
2
⇒ y = 27,5
z = 100 - (20 + 35 + 19) ⇒ z = 26
1 Considere los datos siguientes:
7 12 14 8 9 15
10 8 11 12 8 8
14 13 10 8 9 12
7 10 8 12 13 11
14 15 12 9 7 9
i) Ordénalos en forma creciente
ii) Calcula el rango de los datos
3 Dada la tabla de frecuencia de datos agrupados,
determine x ; y ; z.
Intervalos Marca de clase Frecuencias
[10 ; 15〉 12,5 20
[15 ; 20〉 x 35
[20 ; 25〉 22,5 z
[25 ; 30] y 19
Total 100
5 Con los datos mostrados se ha construido la
tabla, determine "x + y".
2 De acuerdo a los datos del ejercicio anterior:
i) Calcula la frecuencia de los datos 8; 10 y
15
ii) De todos los datos, ¿cuál tiene más fre-
cuencia?
4 La tabla muestra el número de hijos de 50
familias. Determine a - b + c.
6 Las notas obtenidas por 25 estudiantes en una
prueba de matemática son las siguientes.
Rpta. x = 17,5 ; y = 27,5 ; z = 26 Rpta. 2
Rpta. Rango = 8
Rpta. I) f2
= 6; f4
= 3; f9
= 2
II) El dato 8
Rpta. 13 Rpta. w = 3
f1
5 3
6 2
7 8
8 y
9 3
Total 20
5 7 6 7
9 8 7 9
7 x 5 8
8 8 7 7
7 5 6 7
N° de hijos Conteo N° de familias (fi)
0 a
1 8
2 10
3 b
4 c
Total 50
10 12 8 11 18
17 9 10 20 20
19 13 13 14 8
15 11 16 9 10
12 8 11 10 17
Si se utilizarán cuatro intervalos iguales, ¿cuál
será el ancho de clase (w)?](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-108-2048.jpg)
![530 MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
Rpta. 5 personas Rpta. I = 33 % ; II = 70%
Rpta. x = 32% ; y = 22% Rpta. a = 11 ; b = 0,20 ; c = 42
Rpta. R = 14 ; w = 2 Rpta. I) 8 ; II) 16%
7 Completa la tabla y determina los porcentajes
x e y.
9 La siguiente tabla muestra las puntuaciones en
un set de aptitud vocacional sometido a 30
personas.
Intervalo de puntaje ƒi
Fi
hi
[53 - 63〉 3 3 0,10
[63 - 73〉 3 6 0,10
[73 - 83〉 5 11 0,17
[83 - 93〉 10 21 0,33
[93 - 103〉 7 28 0,23
[103 - 113〉 2 30 0,07
¿Cuántas personas obtuvieron de 73 a 82 puntos?
11 Las notas de 50 alumnos fueron las siguientes:
Si consideramos siete intervalos iguales.
8 Completa la tabla y determinar a, b y c.
10 Con respecto a la tabla del problema anterior.
I) ¿Qué porcentaje de personas obtuvieron
notas de 83 a 92 puntos?
II) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron
notas de 53 a 92 puntos?
12 Con los datos del ejercicio anterior construye
la tabla de distribución de frecuencias y deter-
mine:
I) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 14 o 15 de
nota?
II) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron
de 18 a 20 de nota?
Intervalos fi hi hi x 100 %
[10 ; 20〉 8 0,08 8 %
[20 ; 30〉 20 0,2 20 %
[30 ; 40〉 18 0,18 18 %
[40 ; 50〉 32 0,32 x
[50 ; 60] 22 0,22 y
Total 100 100 %
Intervalos fi hi F
[6 ; 10〉 8 0,16 8
[10 ; 14〉 10 b 18
[14 ; 18〉 13 0,26 31
[18 ; 22〉 a 0,22 c
[22 ; 26] 8 0,16 50
Total 50
6 20 15 12 8
12 19 20 13 8
18 16 7 8 9
13 10 10 7 9
20 18 12 14 16
10 7 14 13 9
6 10 12 15 18
12 14 15 9 12
13 14 16 17 19
16 7 10 10 15
Determine:
i) El rango (R) de los
datos.
ii) El ancho de clase (w)
x = 32%
y =22%
•
a
50
= 0,22 ⇒ a = 11
•
10
50
= b ⇒ b = 0,20
c = 31 + a
c = 31 + 11
⇒ c = 42
Rpta: 5 personas
i) R = 20 - 6 ⇒ R = 14
ii) W =
14
7
⇒ = w=2
I) [14; 15] : 8 alumnos
II) [18; 20] : 8 alumnos ⇒ hi =
8
50
= 0,16
∴ hi x 100 = (0,16)(100%) = 16%
I) hi × 100% = (0,33)(100%) = 33%
II) hi × 100% = (0,70)(100%) = 70%](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-109-2048.jpg)
![531Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 13
ESTADÍSTICA
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
ACTIVIDADES PARA LA CASA Nº 86
1 Considerando los datos siguientes:
5 7 8 6 10 11
11 9 12 15 7 17
6 10 5 14 16 7
11 13 16 11 14 13
7 10 7 8 5 9
I) Ordenalos en forma creciente.
II) Calcula el rango de los datos (R).
3 Con los datos mostrados se ha construido la
tabla de frecuencias. Determine: x - y
5 La siguiente tabla muestra la distribución del
ingreso familiar que corresponde a 80 familias.
Intervalos de ingreso S/. ƒi
Fi
hi
[160 - 170〉 x 0,15
[170 - 180〉 48 60 0,6
[180 - 190〉 0,125
[190 - 200〉 y 0,075
[200 - 210〉
Determine x - y.
2 En la tabla determine: y - (x + z)
4 Complete la tabla y determine a, b y c.
6 Con los datos del ejercicio anterior, determine
el número de familias que ganan menos de 200
nuevos soles.
Intervalos Marca de clase Frecuencias
[2 ; 4〉 3 5
[4 ; 6〉 5 7
[6 ; 8〉 x 3
[8 ; 10〉 9 8
[10 ; 12] y z
Total 25
f1
10 3
20 1
30 y
40 2
50 2
60 1
70 2
Total 15
10 30 50
70 10 70
50 40 60
30 20 x
10 40 30
Intervalo ƒi
hi
F
[10 ; 30〉 8 0,08 8
[30 ; 50〉 a b
[50 ; 70〉 23 0,23
[70 - 90〉 16 0,16
[90 - 110〉 29 0,29 c
[110 - 130〉 13 0,13 100
Total 100
Rpta. 6
Rpta. 26
Rpta. R = 12
Rpta. 76
Rpta. a = 11; b = 0,11; c = 87
Rpta. 2
R = 17 - 5
R = 12
• x = 30
• y = 4
Piden: 30 - 4 = 26
• x = 60 - 48 ⇒ x = 12
• y = (0,075)(80) ⇒ y = 6
Piden: 12 - 6 = 6
Hi = 0,15 + 0,6 + 0,125 + 0,075
Hi = 0,95
⇒ (Hi)(80) = (0,95)(80) = 76
a = 100 - (8 + 23 + 16 + 29 +13) ⇒ a = 11
b =
11
100
= 0,11
c = 100 - 13 = 87
• x =
6 + 8
2
⇒ x = 7
• y =
10 + 12
2
⇒ y = 11
• z = 25 - (5 + 7 + 3 + 8)
⇒ z = 2
Piden: 11 - (7 + 2) = 2](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-110-2048.jpg)
![534 MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
ACTIVIDADES
PARA LA CASA
Rpta. x = 700 ; Me = 720
x =
300(15) + 500(20) + 700(25) + 900(30)+ 1100(10)
100
x =
70 000
100
⇒ x = 700
Me = 600 +[50 - 35
25 ]200
Me = 600 + 120 ⇒ Me = 720
Rpta. 40 Rpta. 59
Rpta. 56
Rpta. x = 54,20 ; Me = 54,67 ; Mo = 56,25
1 El siguiente histograma muestra las notas
obtenidas por los alumnos de una sección en
el curso de Biología.
16
14
12
10
8
6
4
2
6 8 10 12 14 16 18 Notas
N° de alumnos
Halla el número total de alumnos que rindieron
la prueba.
3 En base a la siguiente tabla de distribución
de frecuencias para variables agrupadas en
intervalos de clase, calcula la frecuencia
absoluta acumulada de cuarta clase.
5 En base a la tabla, calcula la media y la mediana
de los datos.
2 Cuál será la nota de un alumno en laboratorio,
si su promedio ponderado fue 10,6, además se
sabe que:
4 En el siguiente histograma se muestra la
distribución de frecuencias de un conjunto de
personas y sus pesos. Calcula el peso promedio.
6 La tabla muestra las ventas en miles de soles
durante 50 días. Determine la venta promedio,
la mediana y la moda.
Curso n° Créditos Nota
Laboratorio 3 x
Física 4 9,7
Química 4 8,9
Matemática 5 10,4
Pesos en kg n° de personas Fi
[40 - 60〉 10 10
[60 - 80〉 20 30
[80 - 100〉 6 36
[100 - 120〉 4 40
xi
fi
F
[200 ; 400〉 300 15 15
[400 ; 600〉 500 20 35
[600 ; 800〉 700 25 60
[800 ; 1 000〉 900 30 90
[1 000 ; 1 200〉 1 100 10 100
Ventas xi
fi
F
[30 - 40〉 35 8 8
[40 - 50〉 45 10 18
[50 - 60〉 55 15 33
[60 - 70〉 65 12 45
[70 - 80〉 75 5 50
# de personas
20
15
10
5
40 50 60 70 80 Peso en Kg
Rpta. 14,4
4
8
12
16
10
6
# Total = (4 + 8 + 12 + 16 +10 + 6)
# Total = 56
Nota Ponderado =
3x + 4(9,7) + 4(8,9) + 5(10,4)
3 + 4 + 4 + 5
10,6 =
3x + 38,8 + 35,6 + 52
16
3x = 169,6 - 126, 4
∴ x = 14,4
Fi de cuarta clase = 40
10
15
20
5
x =
45(10)+ 55(15) + 65(20) + 75(5)
50
x =
2 950
50
∴ x = 59
x =
35(8) + 45(10) + 55(15) + 65(12) + 75(5)
50
x = 54,20
Me = 50 +[25 - 18
15 ]10 ⇒ Me = 54,67
Mo = 50 +[ 5
5 + 3 ]10 ⇒ Mo = 56,25
fMe
fMe
; fMo](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-113-2048.jpg)
![535Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 13
ESTADÍSTICA
Razonamiento y Demostración
APLICO MIS
APRENDIZAJES
1 La tabla muestra la preferencia de los alumnos
del 5to grado de secundaria de las carreras
profesionales que estudiarán:
PROFE N° de alumnos
Medicina 12
Contabilidad 08
Economía 10
Derecho 20
Con estos resultados, calcula el porcentaje de
alumnos que estudiarán contabilidad.
A) 8% B) 4% C) 16% D) 20% E) 12%
2 De la tabla del problema anterior, determine el
número de alumnos que estudiarán medicina o
economía.
A) 8 B) 12 C) 10 D) 22 E) 2
3 Con los datos del problema uno, ¿qué porcentaje
de alumnos no estudiará derecho?
A) 20% B) 80% C) 60% D) 40% E) 50%
4 Del gráfico muestra la estatura de un grupo de
estudiantes.
Estatura ƒi hi hi %
[1,65 ; 1,69] 6 0,075
[1,70 ; 1,74]
[1,75 ; 1,79] 0,375
[1,80 ; 1,84]
[1,85 ; 1,89] 10 %
[1,90 ; 1,94]
De la tabla, calcule el número de estudiantes en
estudio.
A) 80 B) 75 C) 70 D) 65 E) 60
5 De la tabla del problema nº 04. Halle el número
de alumnos cuyas edades oscilan entre 1,85 m y
1,89 m.
A) 6 B) 8 C) 10 D) 4 E) 12
6 Del problema nº 04, determina la frecuencia de la
clase [1,75 - 1,79].
A) 20 B) 25 C) 30 D) 10 E) 12
7 La tabla presenta la preferencia de 50 alumnos
sobre la universidad en la que seguiran sus estudios
superiores.
Universidad ƒi Fi
UPC 20 20
CATÓLICA 15 35
AGRARIA 8 a
UNMSM b c
Calcule a + b + c.
A) 50 B) 100 C) 80 D) 120 E) 90
8 De la tabla del problema nº 7, ¿qué porcentaje de
alumnos estudiarán en la CATÓLICA?
A) 15% B) 18% C) 20% D) 25% E) 30%
9 De la tabla del problema nº 7, halle la cantidad de
alumnos que no desean estudiar en la AGRARIA.
A) 20 B) 15 C) 35 D) 42 E) 7
10 Del histograma de frecuencias relativas.
¿Cuántas observaciones
hay en el rango (c ; f), si
la población es de 400?
A) 218 B) 225 C) 244 D) 275 E) 280
11 La tabla muestra la distribución del ingreso semanal
familiar de 80 familias.
Universidad ƒi Fi
Hi
[160 - 170〉
[170 - 180〉 48 60
[180 - 190〉 0,125
[190 - 200〉 0,075
[200 - 210〉
Determine el número de familias que ganan 200
soles a más.
A) 14 B) 10 C) 26 D) 4 E) 30
a b c d e f
8x
4x
2x
x](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-114-2048.jpg)
![540 MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
Razonamiento y Demostración pág. 423
1 Se tiene:
Total de alumnos : 50
# Alumnos de contabilidad: 8
⇒ % en contabilidad:
8
50
× 100%
= 16% Rpta: C
2 Los alumnos de medicina: 12
Los alumnos de economía: 10
⇒ Los alumnos que estudiaran medicina o
economía son: 12 + 10 = 22 Rpta: D
3 Se tiene:
# alumnos en derecho: 20
⇒ % en Derecho:
20
50
× 100%
= 40%
Piden: Alumnos que no estudiarán derecho: 100% - 40%
= 60%
Rpta: C
4 Completando la tabla:Estatura ƒi hi hi %
[1,65 ; 1,69] 6 0,075 7,5%
[1,70 ; 1,74]
[1,75 ; 1,79] 30 0,375 37,5%
[1,80 ; 1,84]
[1,85 ; 1,89] 8 0,1 10 %
[1,90 ; 1,94]
Total 80
Piden: # alumnos =
6
0,075
= 80
Rpta: A
5 De la tabla:
# alumnos entre 1,85m y 1,89m:
⇒ 80 x (0,1) = 8
Rpta: B
6 De la tabla:
Piden fi
de [1,75 - 1,79]
⇒ 80 x (0,375) = 30 Rpta: C
7 De la tabla se tiene.
• a = 35 + 8 ⇒ a = 43
• b = 50 - 43 ⇒ b = 7
• c = 43 + 7 ⇒ c = 50
Piden: a + b + c
⇒ a + b + c = 43 + 7 + 50 = 100
Rpta: B
8 Piden:
% Alumnos que estudiarán en la Católica.
⇒
15
50
× 100% = 30% Rpta: E
9 Piden:
Alumnos que no desean estudiar en la Agraria:
⇒ 50 - 8 = 42 Rpta: D
10 Del Histograma se tiene:
Población total: (8x + 4x + 2x + x + x) = 400
16x = 400
⇒ x = 25
Piden: Observaciones en el rango (c; f):
(8x + 2x + x) = 11x = 11(25)
⇒ 275 Rpta: D
11 Completando la tabla tenemos:
Universidad ƒi Fi
Hi
[160 - 170〉 12 12 0,15
[170 - 180〉 48 60 0,6
[180 - 190〉 10 70 0,125
[190 - 200〉 6 76 0,075
[200 - 210〉 4 80 0,05
De la tabla:
⇒ # de familias que ganan 200 soles a más son: 4
Rpta: D
12 De la tabla:
Piden: # de familias que ganan menos de S/.180 : 60
Rpta: B
13 De la tabla:
Piden % de familias que ganan S/.180 o más.](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-119-2048.jpg)
![541Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 13
ESTADÍSTICA
⇒ % de S/.180 a menos:
(0,15) x 100% + (0,6)x100% = 15% + 60% = 75%
∴ % de familias que ganan S/.180 o más:
100% - 75% = 25%
Rpta: E
14 De la tabla:
familias que tienen menos
de 5 hijos:34
x1
f1
2 10
3 8
4 16
5 10
6 6
% de familias con menos de 5 hijos:
34
50
x 100%
= 68% Rpta: A
15 De la tabla:
x =
20 + 21 + 22 + 26 + 28
5
x =
117
5
∴ x = 23,4 Rpta: A
16 Ordenando las edades:
20; 21; 22; 26; 28
Mediana
Mo = 22 (6 alumnos tienen dicha edad)
Piden: P =
Mo + Me
2
P =
22 + 22
2
= 22 Rpta: B
17 Completando la tabla:
Edades 6 8 10 12
ƒi 4 9 13 15
Fi
4 13 26 41
Lugar que ocupa la Me:
41
2
= 20,5
∴ La mediana es 10 Rpta: C
18 Del cuadro anterior:
x =
6(4) + 8(9) + 10(13) + 12(15)
4 + 9 + 13 + 15
=
406
41
= 9,90
Mo = 12 ⇒ Piden: Mo - x = 12 - 9,90 = 2,1
Rpta: A
19 Del polígono de frecuencias se tiene:
Intervalos ƒi Fi
Mi
Marcas X
Frecuencia
[6; 10〉 6 6 8 48
[10; 14〉 10 16 12 120
[14; 18〉 12 28 16 192
[18; 22〉 4 32 20 80
[22; 26〉 15 47 24 360
[26;30〉 3 50 28 84
Piden: Me
a) Lugar que ocupa la mediana:
50
2
= 25
∴La clase mediana es [14; 18〉
⇒ Li = 14
fMe
= 12
b) c = 4 (ancho de la clase mediana)
En la formula:
Me = 14 + [25 - 16
12 ]x 4
Me = 14 + [ 9
12 ]x 4
∴Me = 17 Rpta: D
20 i) calculamos: x =
∑Mi × fi
n
6
i = 1
⇒ x =
884
50
∴ x = 17,68
ii) Piden: Me + x
⇒ 17 + 17,68 = 34,68 Rpta: E](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-120-2048.jpg)
![543Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 13
ESTADÍSTICA
Resolución de Problemas pág. 426
1 Piden: Rango = 70 - 40 ⇒ R = 30
Rpta: D
2 Piden: # intervalos de clase: 5
Rpta. E
3 Piden: Li(2) + Li(4):
⇒ 46 + 58 = 104 Rpta. A
4 Piden:
(# Jovenes que pesan menos de 52 kg) = 17
Rpta: B
5 Piden:
(% de jovenes que pesan de 58 Kg a 63 kg)
=
3
30
x 100% = 10%
Rpta: C
6 Sea:
H = # de trabajadores hombres
M = # de trabajadores mujeres.
El porcentaje pedido es:
H
H + M
x 100%
De los datos:
210H + 150M
H + M
= 200
De donde:
H
M
=
5
1
=
H
H + M
x 100% =
5
5 + 1
x 100%
⇒ 83,33%
Rpta: D
7 De la tabla:
Peso en kg N° de personas
[40 - 60〉 10
[60 - 80〉 20
[80 - 100〉 6
[100 - 120〉 4
El número de personas que pesan por lo menos de
80 Kg es: 6 + 4 = 10
⇒
10
40
x 100% = 25% Rpta: A
8 Piden:
Máximo peso de la mitad de personas:
⇒ (40
2
= 20)⇒ Me = 60 + ( 20 - 10
20 )20
Me = 70
Rpta: C
9 Piden:
Peso que más se repitió:
Mo = 60 + [ (20 - 10)
(20 - 10) + 14 ]20
Mo = 60 + ( 10
24 ).20
Mo = 60 + 8,3
Mo = 68,3 Rpta: D
10 Se tienen los datos:
04; 04; 06; 07; 07; 08; 08; 08; 12; 12; 13; 13;15
Piden:
x =
4 + 4 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 12 + 12 + 13 + 13 + 15
13
⇒ x =
117
13
= 9
• Me = 8 ; Mo = 8
∴ x + Me + Mo = 9 + 8 + 8 = 25 Rpta: D
11 Ordenando los datos:
04; 06; 06; 09; 10; 11; 12; 12; 13; 15
• Me =
10 + 11
2
= 10,5 x =
98
10
= 9,8
# alumnos aprobados ≥ 9,8
⇒ (10; 11; 12; 12; 13; 15) : 6 alumnos
Rpta: D
I) De los datos tenmos la siguiente tabla:
Intervalos ƒi hi hi hi x 100%
[40, 46〉 7 7
[46, 52〉 10 17
[52, 58〉 5 22
[58, 64〉 3 25 0,1 10%
[64, 70] 5 30](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-122-2048.jpg)
![544 MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
12 Dados los datos:
Intervalos ƒi Fi
[2; 6〉 3 3
[6; 10〉 6 9
[10; 14〉 8 17
[14; 18〉 3 20
# de clases = 4 Rpta: B
13 Piden: Máx. Nota del 50%
• (20
2
= 10) lugar que ocupa la mediana.
⇒ Me = 10 + [ 10 - 9
8 ]4
Me = 10 + 0,5
∴ Me = 10,5
Rpta: B
14 Piden: Nota que mas se repitió:
• Mayor frecuencia: 8 ⇒ [10, 14〉
(Li = 10; fMo
= 8)
⇒ Mo = 10 + ( (8 - 6)
(8 - 6)+(8 - 3 ) )4
Mo = 10 + ( 2
2 + 5 )4
Mo = 10 + 1,14
∴ Mo = 11,14 Rpta: A
15 Piden: Mo - Me:
⇒ (11,14 - 10,5) = 0,64 Rpta: A
16 De los datos:
17, 16; 15; 17; 18, 12; 14; 13; 18 ; 20
Piden:
x =
160
10
= 16 Rpta: D
17 De los datos:
20; 15; 16; 20; 17; 18; 19; a ; 16; 16
x = 18
⇒ x =
20+15+16+20+17+18+19+a+16+16
10
18 =
157 + a
10
180 = 157 + a ∴ a = 23
Rpta. E
18 De los datos:
17; 20, 13; 12; 14; m; 15; 12; 19; 12
Si: Me = 14
Ordenando:
12; 12; 12; 13; 14 ; m ; 15; 17; 19; 20
Me (m)
Para que 14 se mediana: m ≥ 14
⇒ Me =
14 + m
2
14 =
14 + m
2
⇒ m = 14 Rpta. E
19 Se tiene los datos:
15; 14; 16; 17; 17; 16; 15; 16; 17; 18; 15;
17; 16; 15; 16
Mo = 16 Rpta. C
20 Se tiene los datos:
15; 17 ; 16; 17 ; 17 ; 16; 15; 16; 17 ; 18; 15; 17 ;
16; 15; 16; 17 ; 16; 17
Mo = 17 Rpta. A
21 De los datos obtenemos la siguiente tabla:
Intervalos ƒi Fi hi x 100%
[36; 43〉 8 8 20%
[43; 50〉 11 19 27,5%
[50; 57〉 8 27 20%
[57; 63〉 8 35 20%
[63; 70〉 5 40 12,5%
n = 40
Piden fi
de la segunda clase
fi
= 11 Rpta. C
22 Piden:
# alumnos que pesan entre 43 y 57 kg
∴ 11 + 8 = 19 Rpta: A
23 Piden:
% alumnos que pesan menos de 50 kg.
∴ 20% + 27,5% = 47,5% Rpta: E](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-123-2048.jpg)
![545Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 13
ESTADÍSTICA
24 Piden:
fi
(tercera clase) + fi
(quinta clase)
⇒ 8 + 5 = 13 Rpta. B
25 Piden: Máx. Peso de la mitad de personas.
i) ( 40
2
= 20) lugar que ocupa la mediana.
ii) 20 está en la clase [50; 57〉
iii) Me = 50 + [ 20 - 19
8 ]7
Me = 50 + 0,875
∴ Me = 50,875
Rpta: A
26 Piden: Peso que más se repitio:
i) Mayor frecuencia: 11 ⇒ [43, 50〉
(Li = 43 ; fMo
= 11)
ii) Mo = 43 + ( (11 - 8)
(11 - 8)+(11 - 8) )7
Mo = 43 + ( 3
6 )7
Mo = 43 + 3, 5
∴ Me = 46,5
Rpta: D
27 Piden:
(% de alumnos que pesan de 43 kg a más)
= 27,5% + 20% + 20% + 12,5%
= 80% Rpta: B
28 Piden: Me - Mo
⇒ (50,875 - 46,5) = 4,375 kg Rpta: C
29 Completando:
Intervalos xi ƒi Fi hi hi x 100%
[40; 50〉 45 150 150 0,20 20%
[50; 60〉 55 300 450 0,40 40%
... ... ... ... ... ...
n = 750
i) Lugar que ocupa la Mediana:
750
2
= 375
∴ La clase mediana es [50; 60〉
(Li
= 50)
ii) Me = 50 + ( 375 - 150
300 )10
Me = 50 + (225
300 )10
Me = 50 + 7,5
∴ Me = 57,5
Rpta. E
30 Se tiene:
Intervalos ƒi Fi hi 100%
[1; 2〉 25 25 25%
[2; 3〉 35 70 35%
... .... ... ...
n=100
i) lugar que ocupa la mediana :
100
2
= 50
∴ La clase mediana es [2; 3〉
(Li = 2)
ii) Me = 2 + [ 50 - 25
35 ]1
Me = 2 + [ 25
35 ]
Me = 2 + 0,7
∴ Me = 2,7
Rpta. A](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-124-2048.jpg)
![546 MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
Razonamiento y Demostración
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
1 Con los siguientes datos sobre el peso en kg de
15 personas:
48 44 56 42 46 48 50 52 60
50 66 42 50 52 50
a) Calcule la mediana
b) Calcule la moda
c) Determine el promedio de las edades
d) Halle el rango (R)
e) ¿Qué porcentaje representa la frecuencia
de la clase modal?
3 De la siguiente tabla de distribución de
frecuencias.
x 2 4 6 10
fi
6 14 16 10
Fi 6 20 36 46
Calcule la suma entre la mediana y la moda.
2 De la tabla de frecuencias:
Edades f1 Ex fi
20 5 100
22 4 88
24 6 144
26 3 78
28 2 56
Determine el promedio aritmética entre la
mediana y la media.
4 El cuadro muestra la estatura de un grupo de
estudiantes.
ƒi hi hi 10%
[1,65 ; 1,69] 6 0,15 15%
[1,70 ; 1,74]
[1,75 ; 1,79] 10 0,25 25%
[1,80 ; 1,84]
[1,85 ; 1,89] 2 0,05 5 %
[1,90 ; 1,94]
De la tabla:
a) Calcule el número total de estudiantes.
b) Determine la frecuencia de la clase
[1,75 - 1,79]
c) Halle el número de alumnos cuyas
estaturas oscilan entre 1,75 m y 1,79 m.
Me = 50
Mo = 50
x =
756
15
⇒ x = 50,4
R = 66 - 42 ⇒ R = 24
• Me = 4
• Mo = 6
Piden: S = Me + Mo
∴ S = 4 + 6 = 10
hi
=
fi
n
⇒ 0,15 =
6
n
∴ n = 40
fi
= (hi)(n) ⇒ fi
= (0,25)(40) ∴ fi
= 10
10 alumnos
⇒
4
15
x 100% = 26,7%
• Me = 24
• x =
100 + 88 + 144 + 78 + 56
20
x =
466
20
⇒ x = 23,3
Piden: P =
24 + 23,3
2
=
47,3
2
= 23,65](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-125-2048.jpg)
![548 MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche
Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES
Resolución de Problemas
Serliderespromoverlasbuenasrelaciones
entrelosdemas”
PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES
1 Se han tomado el peso (en kg) a 20 personas
obteniéndose:
31 12 27 25 31 27 15
29 16 21 12 27 34 27
22 36 22 13 22 19
Agrupe los intervalos de ancho común e igual
a 4 y elabora una tabla de distribución de
frecuencias.
Peso (kg) f1
Fi hi %
[12; 16〉 4 4 0,2 20%
[16; 20〉 2 6 0,1 10%
[20; 24〉 4 10 0,2 20%
[24; 28〉 5 15 0,25 25%
[28; 32〉 3 18 0,15 15%
[32; 36] 2 20 0,1 10%
a) ¿Cuántas personas pesan menos de 28 kg?
b) ¿Cuál es el porcentaje de personas que
pesan de 24 kg a más?
3 La tabla siguiente muestra al número de
consumidores, por edad de los consumidores.
EDAD
(en años)
N° de
consumidores
Fi
[15 - 20〉 7 7
[20 - 25〉 11 18
[25 - 30〉 18 36
[30 - 35〉 12 48
[35 - 40〉 8 56
[40 - 45] 4 60
Total 60
Determine el promedio aritmético entre la
mediana y la moda.
2 Del problema anterior:
a) ¿Cuál fué el peso que más se repitió?
b) Calcule el máximo peso de la mitad de las
personas.
4 Dado la tabla incompleta sobre la nota de 25
alumnos. Complete la tabla con un ancho de
clase común e igual a 2.
Notas Xi fi Fi Xi . fi
[ 2 ; 4〉 3 5 5 15
[ 4 ; 6〉 5 4 9 20
[ 6 ; 8〉 7 2 11 14
[ 8 ; 10〉 9 8 19 72
[ 10 ; 12〉 11 2 21 22
[ 12 ; 14] 13 4 25 52
Si la nota aprobatoria es 10. Calcula el
porcentaje de alumnos desaprobados.
• 15 personas
• El peso que más se repitió es de 27
Kg.
• Lugar que ocupa:
20
2
= 10
⇒ Fi
= 10
∴El máximo peso de la mitad de personas
es 22 Kg.
⇒ Fi
= 19
Piden: % desaprobados =
19
25
× 100%
% desaprobados = 76%
• 50%
• Me:
n
2
=
60
2
= 30
Me = 25 + [30 - 18
36 ]x 5
⇒
∴ Me = 26,67
Mo: (Mayor frecuencia = 18)
Mo = 25 + [ 9
9 + 6 ]x 5 ⇒ Mo = 28
Piden: P =
Me + Mo
2 P =
26,67 + 28
2
⇒ P = 27, 335
→ fMe](https://image.slidesharecdn.com/covimatic2020-200702011313/75/Covimatic-2020-127-2048.jpg)
Subido porCESAR ACEVEDO VARGAS
Covimatic 2020
El documento presenta ejercicios de álgebra sobre polinomios. Incluye preguntas para calcular grados de expresiones algebraicas, identificar coeficientes y términos independientes de polinomios, ordenar polinomios y resolver identidades polinómicas. El documento proporciona actividades para que los estudiantes practiquen conceptos básicos sobre polinomios.
Más contenido relacionado
Covimatic 2020
- 2. 90 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche En una carretera de Lima Manolito iba en un transporte público en donde viajó un tiempo de 2 horas y desconocía la velo- cidad en la que viajaba. ¿Qué monomio obtiene Manolito en km recorridos a una velocidad de x km/h durante el tiempo que viajó? . Halla la expresión algebraica que da el número de cuadraditos del rectángulo. De lunes a jueves camino x Km. diarios y de viernes a domingo, 6 Km. cada día. Halla la expresión algebraica que da los Km. que camino en z semanas DISTANCIA CUADRADITOS CAMINO Actividad G.R. El ...o de Descartes permite calcular el resto sin necesidad de efectuar la operación de la división . El método de ...es un caso particular del método de Horner y se emplea en la división de un polinomio P(x) entre divisores de las formas (x a) o (ax b). Los polinomios ...son aquellos cuyos términos monomios tie- nen igual grado. Dos polinomios reducidos son ...cuan- do los coeficientes que afectan a sus tér- minos semejantes son iguales. Al polinomio de tres términos se denomina ... 2 2 a+b a –ab+b Al operar: se obtiene una ... Dados los polinomios: P(x): Q(x): De ellos se puede apreciar que tienen el mismo ... Se llama polinomio ...a aquel poli- nomio que tiene los exponentes de su letra ordenatriz en forma consecutiva desde la mayor hasta cero o viceversa. Si el valor de M es ... Si el monomio: 2 2 2a-3 -3a x es de tercer grado, el valor de ` a es ... x +1 + x +2 x +Mx +3 x +2x + x +1 5 2 3 2 3 2 8x – 5x +7 4 2 2x – 3x + x +7
- 3. 91 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CLASE 1 Escribe SÍ o NO , según corresponda en cada casillero: 2 Calcula: I) El grado relativo respecto a la variable x en cada polinomio. II) El grado absoluto de cada polinomio. Expresión algebraica ¿Es un polinomio? ¿Es un polinomio?Expresión algebraica NO NO NO NO SÍ SÍ SÍ SÍ SÍ SÍ SÍ SÍ SÍ SÍ 4 5 3 x x x + – x2 – 9 3 x4 – 4x3 + 3x2 (9+m)x5 +(a+n)x4 –(a–n)x2 x5 x2 + x4 x-1 + x2 - -1 x-1 + 8 x2 – 6xy – y2 8y–3 – 7y–2 + y–1 ax3 y2 –bx2 + cxy + d 1 2 x5 – 27 5 x4 + 8 9 x3 – x 8 4 2 x x x + – 6x – 1 6 12 x – 3 9 x + 10 x –3x4 – 1 0,004x5 y3 – 0,3x3 y+ 4 3 xy x8/2 - 10x9/3 + 5x4/2 - 11 2 3 4x – 2x 5x – 6+ Polinomio G.R.(x) G.R.(x)G.A. G.A.Polinomio 4x5 – 3x7 + 2x2 – 8 7 2a 4 p + q 2a + 4 m - 1 3m + 1 a - 2 9 3 + a 7 2a + 3 5 p+q+3 2a + 5 2m - 1 3m + 3 2a 12 a + 6 7x2 y3 + 11x3 y2 – 2x4 y+3 5 xa · ya+1 – 2xa + 4 y3 · x2(a+2) · y 2,3xm+2 y3 – 6x2m y + 5x3m+1 y2 6xyz – 2x9 y2 z + xy3 – 3 3 4 xa y2 – 0,6xa–1 y + 3x2a y3 pxq yp – 2pxp · yq + 3xp+q · y3 2 5 xa–5 yz3 + 4xa–3 y3 za + xa–2 3xm–2 y – 2xm–3 y2 + mxm–1 ym ax3+a y – 2xa–2 y4 + 2xa+1 · y5 5 4 6 3 2 2 x x 8x 2x x + + + – 1 3
- 4. 92 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 3 Identifica el grado de las expresiones algebraicas siguientes. 4 Calcula el valor de “n” en las siguientes expresiones: a) Si el grado de (yn +y2n +3)(yn +2) es 18. ⇒ 3n = 18 n =6 ⇒ 2(n + 1) = 20 n + 1 = 10 n = 9 ⇒ n(n + 1) = 72 n² + n – 72= 0 n = 8 ⇒ 5n = 25 n =5 Expresión algebraica Grado GradoExpresión algebraica e) ( )( )( ) 32 3 2 x 3 x 3 x 1 + − + f) 3 4 2 2 5 x 5x 1 x 4x 1 x 3x 1 x 3 + + − − − − − g) 3 6 10 2 3 x · y · z x · y· z d) 3 3 2 x 3x 3x 1+ + + h) 4 4 3 2 x 4x 6x 4x 1+ + + + a) (x2n + 2)(x3n – 3)(xn + 1)(x4n – 1) 10n 36 c) (2x5n – 3x3n + 1)2 10n 13 b) (x3 – 2x4 – 2)4 12 2 1 1 b) Si el grado de (z3n + zn – 5)(z2n – zn + 5) es 25. c) Si el grado de (x2 – 3x4 + 1)n+1 es 20. d) Si el grado de (zn + 1)n+1 es 72.
- 5. 93 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CASA 1 Escribe SÍ o NO , según corresponda en cada casillero: 2 Calcula: I) El grado relativo respecto a la variable x en cada polinomio. II) El grado absoluto de cada polinomio. 3 Calcula el grado de las expresiones algebraicas siguientes. 4 Calcula el valor de “n” en las siguientes expresiones: Expresión algebraica ¿Es un polinomio? ¿Es un polinomio?Expresión algebraica Polinomio G.R.(x) G.R.(x)G.A. G.A.Polinomio 15x8 – 9x6 + x+ 1 8 8 2m + 3 2m + 3 2x4 y3 + 3x3 y2 – 2y6 4 7 3 3 4xm–9 + 5xm–1 + x2m+3 8xab –3x2 a + 3x3 b – 2 Expresión algebraica Grado GradoExpresión algebraica d) x2 . y3 . z6 y2 . z3 . x a) (x4 – 2)(x6 – 3)(x + 6) 11 b) (x + 2)(x2 + 4)(x – 3) 4 c) [(x3 + 2)(x4 – 1)]6 42 5 b) Si el grado de (3yn + 4yn+1 –7)7 es 42.a) Si el grado de (xn + 1)(xn –1) es 4. 3 2 2 x 5x 3 x + − – 5 x –8x2 – 1 SÍ –x4 + 2x3 – 2x + 6 SÍ x2/3 - 6x4/3 - 3 3x–4 – 2x–3 – 2 2x – 1 5x3 – 4x2 – 3x–1 +2 NO NO NO NO ⇒ 2n = 4 n = 2 ⇒ 7(n + 1) = 42 n+ 1 = 6 n = 5
- 6. 94 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche ACTIVIDADES PARA LA CLASE 1 Calcula el grado de: ( ) ( ) 2 3 6 8 6 93M x; y 6x · x · y · x · y= 3 El grado absoluto de 10x3n - 7 · (y · z)n-2 es igual a 4. ¿Cuánto vale el grado relativo a “x”? 2 Identifica el coeficiente del siguiente monomio: ( ) ( )2 5a 23Q y 2 a 2 · y − = + , si es de grado 6. 4 Calcula a + b, si el polinomio mostrado es de grado 10 respecto a “w” y de cuarto grado con respecto a “z”. ( ) 4 b 1 a 3 2b 2 a 2 b 31 S w; z 6w z 3w z w · z 3 − + − − − = + + 5 En el polinomio: ( ) a 1 a 7 a 1 a 3 a 2 a 12P x;y x · y x y x y 2a + + + − − − = + + + Se sabe que el cociente entre G.R.(x) y el G.R.(y) es 2. Calcula el grado del polinomio (G.A.) y el término independiente. 6 Calcula “m” en el polinomio: P(x) = (2mx - 3m)2 + ( ) 2 m 5 mx 14x+ ; si la suma de coeficientes de P(x) excede en 2 al término independiente. Rpta. 72 Rpta. 10 Rpta. 18 y 10 Rpta. 2 Rpta. 2 Rpta. 30 ⇒ = (6x³ ∙ x³ · y4 ∙ x² ∙ y³)² = 36 x16 y14 GA : 16 + 14 GA = 30 ⇒ 3n – 7 + (n – 2) + (n – 2) = 4 5n - 11= 4 n = 3 Piden: GRX = 3n - 7 = 3(3) - 7 = 2 ⇒ GRW = 10 ; GRZ =4 a + 3 = 10 ; 2b - 2 = 4 a = 7 b = 3 Piden: a + b = 7 + 3 = 10 Si P(1) = P(0) + 2 ⇒ (–m)2 + 5m2 + 14 = (–3m)2 + 2 6m2 + 14 = 9m2 + 2 12 = 3m2 m = 2 ⇒ 5a – 2 3 = 6 5a - 2 = 18 a = 4 Piden: Coef. = 2(a + 2)2 = 2(6)2 = 72 Si GRX GRY = 2 Piden: GA = 2a + 8 ⇒ a + 7 a + 1 = 2 = 2(5) + 8 = 18 a = 5 TI = 2a = 2(5)=10
- 7. 95 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 7 Ordena, respecto a la variable “x”, los siguientes polinomios: 8 Calcula la suma de coeficientes y el término independiente en cada caso. 9 Calcula los valores de “p” , “q” y “r” si se cumple las siguientes identidades: 10 Dados los siguientes polinomios idénticamente nulos. Calcula los valores de “p” , “q” y “r”. En forma decreciente En forma creciente a) 4 6 4 3 11xy 3x y x 4x+ − + b) 3 3 4 x m 2xm x 9− + + − c) 3 4 5 x x 4 0,5x− + − a) 5 2 4 3 2 4 0,4x y 0,7x y x 2 3x y+ − + − b) 3 2 6 51 x w 2xw 13 x 2 − + − c) 2 3 2x 4 x x+ − + Polinomio Polinomio Polinomio Polinomio Polinomio Polinomio S(1) P(1) Q(1) S(0) P(0) Q(0) P(1) Q(1) R(1) P(0) Q(0) R(0) P(x) = x4 - 5x3 + 2x + 7 5 0 2 11 4 7 7 – 1 3 6x – 9 7 1 6 3x6 y – x4 + 4x3 + 11xy4 2 – 3x2 y4 – x3 + 0,4x5 y2 + 0,7x4 y x4 – x3 m + 2xm3 – 9 13 + 2xw6 + x3 w2 - 1 2 x5 – x4 + 5 x3 – 0,5x + 4 4 – x + 2x2 + x3 S(y) = 2 3 y4 - 4 3 y2 + y - 1 3 a) 4(2x + 5) ≡ p(x + 4) + q(2x + 4) 8x + 20 = px + 4p +2qx + 4q 8x + 20 = x(p + 2q) + 4(p + q) ⇒ p + 2q = 8 ^ 4(p + q) = 20 p =2 ^ q = 3 a) ( ) ( ) ( )2 2 S x 3 2x 4 5x 2px 1 q x 6r= + + − − + − b) px2 + qx + r ≡ 2(x + 4)(x – 2) b) ( ) 3 3 T x 3px 12x 8 9x 2q 6r= − + − + + x 5 2 Q(y)=2y 3y 9 6x+ − + 6 4 2 R(x)=12x 7x 2x 1− − + m m 3 m 5 P(x) 2x 4x 2x 7− − = + − + m 5 Q(x) 0,5x 0,8x 0,3x 6= + − + ⇒ px2 + qx + r = 2x2 + 4x – 16 p = 2 ; q = 4 ; r = –16 = x3 (3p -q) + x(6r - 12) + (8 + 2q) ⇒ 3p - 9 = 0 ; 6r - 12 = 0 ; 8 + 2q = 0 p = 3 r = 2 q = –4 = 6x + 12 + 5x2 - 2px -(1 +q)x2 - 6r = x2 (5 - 1 - q) + x(6 - 2p) + (12 - 6r) ⇒ 4 - q =0 ; 6 - 2p = 0 ; 12 - 6r = 0 q =4 ; p = 3 ; r = 2
- 8. 96 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche En forma decreciente En forma creciente a) 4 2 5 3 3x 7x x 2 6x x+ − + − + b) 4 3 2 6 9xy 2x y 5x y 8− + − c) 4 2 6xy 3 x y+ − a) 8 6 3 3x 2x 4x 9− + − b) 7 5 5 2 3 11x y x 9x y 2x y− + + c) 2 2 4x x 2x 2− + + Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CASA 1 Calcula el grado de: P(x;y) = (2x2 . x4 . y6 . x3 . y123 ) 2 4 Calcula el valor de “p”, “q” y “r” si se cumple las siguientes identidades: a) 2(y + 5) ≡ p(y + 3) - q(y + 1) b) px + r ≡ 2(x + 6) + 3x - 1 2 El grado absoluto de: 5x2n+3 . (y . z)n+5 es igual a 21. ¿Cuánto vale el grado relativo a “x”? 5 Dado los siguientes polinomios identicamente nulos. Calcula los valores de “p”, “q” y “r”. a) ( ) 3 2 3 2 R x qx rx 6 7x 4x p= − + − + − b) ( ) ( )2 2 P x p 3 x 5x q 8 rx= + − + − + 3 Ordena, respecto a la variable x los siguientes polinomios: ⇒ = (2x² ∙ x² · y³ ∙ x ∙ y4 )² = 4 x10 y14 GA : 10 + 14 GA = 24 GA = 21 ⇒ 2n + 3 + 2n + 10 =21 4n + 13 = 21 n = 2 Piden: GAx = 2n + 3 = 2(2) + 3 = 7 –x5 + 3x4 – 6x3 + 7x2 + x +2 –9 + 4x3 – 2x6 + 3x8 –2x4 y3 + 5x2 y6 + 9xy – 8 –x + 2x3 y + 9x5 y2 + 11x7 y5 –x4 y2 + 6xy + 3 2y + 10 = y(p – q) + (3p – q) ⇒ p – q = 2 ; 3p – q = 10 p = 4 q =2 x3 (q – 7) + x2 (4 – r) + (6 – p) ⇒ q – 7 = 0 ; 4 - r =0 ; 6 - p = 0 q = 7 r = 4 p = 6 (p + 3)2 x2 + x(r – 5) + ( q – 8) ⇒ (p + 3)2 = 0 ; r – 5 = 0 ; q – 8 =0 p = -3 r= 5 q = 8 px + r = 2x + 12 + 3x - 1 px + r = 5x + 11 ⇒ p = 5 ; r =11 2 – x + 6x2
- 9. 97 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Razonamiento y Demostración APLICO MIS APRENDIZAJES 1 Identifica “m” si el siguiente monomio es de segundo grado: -53 3 xm-4 . A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2 2 Calcula “a” si el término 0,58x3a y2 , es de grado 11. A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 3 Identifica “m” si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10. P(x) = 5 + 8xm+4 - 6xm+3 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 4 Calcula el grado de: M(x,y) = 5a2 . x164 . y155 A) 2 B) 3 C) 3 D) 7 E) 9 5 Calcula “p” en: 5xp-2 y2p-1 z3p-12 de modo que su grado sea: G = 5p - 6 A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 11 6 ¿Cuántos términos tiene el siguiente polinomio? P(x) x x x . . . + x x x 12n 1 2n 2 2n 3 3 2 = + + + + + +− − − A) 2n B) 2n+1 C) 3n D) 2n-1 E) n 7 Si el polinomio: P(x) = (a - 4)x5 + 3x4 + ax5 - bx4 es idénticamente nulo, señala (a + b). A) 4 B) 5 C) 15 D) 20 E) 25 8 Si se cumple la siguiente identidad: 2x 27 m(x 3) n(x 4)+ ≡ + − − , calcula los valores de “m” y “n”. A) 4 y 2 B) 5 y 3 C) 6 y 4 D) 5 y -3 E) 4 y 1 9 Calcula el valor de “m” si el polinomio: P(x;y) 2x y 3x y x y 2m 5 4n 2m 4 3 4 9 = + + − − es homogé- neo. A) 5 B) 13 C) 7 D) 8 E) 11 10 Calcula “m” y “n”, para que el polinomio: P(x,y) x y x y x y2(m n) m 4 3m n 1 2n 1 n 5 2m 3n = − ++ + + + + + + sea homogéneo. A) 5 y 2 B) 6 y 3 C) 4 y 1 D) 7 y 3 E) 6 y 2 11 Del siguiente polinomio se conocen: G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 8. P(x;y) = 2xm+1 + 6xm yn - 8yn+2 ¿Cuál es el grado de P(x;y)? A) 10 B) 12 C) 19 D) 14 E) 11 12 Calcula “mn”, si el polinomio: P(x;y) = 4xm+1 yn-2 + 6xm+2 yn-2 - xm+3 yn-2 es tal que: G.R.(y) = 8 ; G.A. = 20. A) 9 B) 19 C) 80 D) 81 E) 90 13 Si el polinomio: M(x) x 5x 2xm 10 m n 5 p n 6 = + +− − + − + es completo y ordenado en forma descendente, calcula el valor de: “m + n + p”. A) 38 B) 28 C) 26 D) 25 E) 36 14 Calcula la suma de coeficientes del polinomio: P(x;y) ax y bx y x yn5 7 2n2 3 2n2 17 25 a b = + ++ + + , sabiendo que es homogéneo. A) 50 B) 42 C) 51 D) a+b E) 48 15 Dada la equivalencia: ax(x 1) b(x 1) cx(x 1) x2 2 + + − + − = ; calcula: “abc” A) 1 B) 1/4 C) -1/2 D) 0 E) -1/4 16 Dado el siguiente polinomio idénticamente nulo. Q(x) b(x x) 2ax 3cx c a 12 2 = + − − + − + , calcula el valor de: “ac - b” A) 0 B) -1 C) -2 D) 1 E) 2 17 Los términos:T x y1 a b 2ab2 2 = + , T x y2 3a b a b2 2 2 2 = tienen igual grado, siendo a ≠ b . Calcula el grado de: T x . y3 1/a 1/b = A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. A 7. B 8. B 9. C 10. A 11. B 12. E 13. A 14. C 15. D 16. A 17. C Clave de Respuestas
- 10. 98 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche Comunicación Matemática APLICO MIS APRENDIZAJES 1 Calcula: “mn”, si se sabe que el siguiente monomio es de noveno grado respecto a “y”, y de sexto grado respecto a “x”: - 1 4 2 xm+1 yn+7 . A) 10 B) 3 C) 14 D) 8 E) 21 2 Calcula el coeficiente del siguiente monomio, sa- biendo que es de octavo grado. M(x,y) = 15a2 xa+1 y2 A) 375 B) 175 C) 215 D) 225 E) 255 3 Calcula el coeficiente del siguiente monomio: P(x) = 2nn . xnkk , si es de grado tres. A) 2 B) k C) 9 D) 27 E) 54 4 ¿En cuánto excede el grado relativo de “x” al grado relativo de “y” en: (2x2 y3 + 5x6 y2 )(3x4 y - 4x5 y4 )? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5 El grado absoluto de: 2x3n-1 y2n-9 es igual a 15 ¿Cuánto vale el grado relativo a “y”? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6 Si: P(x,y) = 5 xm – 3 4 xm yn-1 -y16-n es un polinomio homogéneo, hallar el valor de: “m+n” A) 8 B) 10 C) 7 D) 16 E) 6 7 Calcula la suma de coeficientes del polinomio: Q(x,y) = nxn+5 + 3xn ym + mxm+3 , si es homogéneo. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 8 Si: 2x2 + 5x - 1 ≡ (Ax + B)(x-1)+C(x2 +x+1), calcula el valor de: “A + B - C”. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9 Calcula A y B en la equivalencia mostrada: A(2x-1) + B(x+1) = 6x + 3, y proporcionar: “A . B” A) 6 B) 4 C) 12 D) 8 E) 10 10 Determina “n” de modo que el monomio: M(x) = xn-1. xn x5n-46 3 sea de primer grado. A) 1 B) 5 C) 8 D) 6 E) 4 11 Determina “P” en el polinomio homogéneo mos- trado: Q(x;y) = xn2 + 4 - 2x3n y2 + 3xp y4 A) 1 ó 2 B) 2 ó 3 C) 3 ó 5 D) 1 ó 4 E) 3 ó 4 12 Determina el valor de: (a+b)b -a , si el siguiente po- linomio: R(x,y)= xa+b + 3xb y2a-3 - xa y3b-10 + 5y3b-7 es homogéneo. A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 13 Si: P(x,y) = xm 2 -4 + xy2n-2 - 3xn y2 es un polinomio homogéneo, calcula: P(1;-1) A) 1 B) 0 C) -1 D) 4 E) -3 14 Indica si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. Un polinomio completo siempre es ordenado. II. Un polinomio completo de grado “n” posee (n+1) términos. III. Un polinomio puede tener grado negativo. IV. El grado de toda constante siempre es cero. A) VVVV B) FVVV C) VFVF D) FFVV E) FVFV 15 Calcula “abc” de los polinomios idénticos: P(x)=ax2 + bx +c , Q(x)= 3(x - 2)(x +1) A) -27 B) 27 C) 54 D) -54 E) 36 16 Calcula: “a + b + c”, si el polinomio: P(x,y,z) x . y y . z z . xa 9 b b 9 7 c 10 2aa b c = + +− + + posee grado de homogeneidad 20. A) 9 B) 11 C) 7 D) 10 E) 8 1. A 2. A 3. E 4. D 5. A 6. D 7. B 8. A 9. B 10. B 11. D 12. E 13. C 14. E 15. C 16. C Clave de Respuestas
- 11. 99 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 APLICO MIS APRENDIZAJES Resolución de Problemas 1 Calcula los valores de “m”y “n” en P(x,y) = xm+5 yn-1 ; sabiendo que el grado relativo a “y” es 7 y el grado absoluto es 20. Dar como respuesta: 2m + 3n. A) 24 B) 48 C) 82 D) 64 E) 40 2 Calcula el coeficiente del monomio: M(x) = 2n . xn-2. x3n7 xn+14 3 , si es de segundo grado. A) 2 B) 6 C) 10 D) 14 E) 18 3 Identifica el coeficiente del monomio: P(x,y,z) = 3mp . y .3 ym xn . zp , si su grado rela- tivo a “x” es 2, grado relativo a “y” es 1 y su grado absoluto es 5. A) 3 B) 19 C) 36 D) 54 E) 18 4 En el monomio: P(x,y) 5(a b)x ya b = − + el grado absoluto es 6 y el grado relativo a “x” es el coeficiente del monomio. Calcula el valor de “b”. A) 2 B) 3 C) 4 D) -2 E) -3 5 Calcula el valor de “x + y” en el monomio: 3 x y y+1 3 1-y2/3 .a b M .a b + = , si se sabe que: G.A. (a,b) = 5 ; además: x = 3y – 1 A) 26 B) 22 C) 11 D) 8 E) 14 6 Calcula: (n – m)2 para que el binomio: Q(x,y) x y x y3m 2n 5 m n 4 3m 2n 1 m n 2 = ++ − − + + − − + sea de grado absoluto 28 y de grado relativo a “y” igual a 2. A) 6 B) 7 C) 2 D) 4 E) 3 7 Sabiendo que el polinomio: P(x,y) x y 3x y x y3m n 1 m n 2 3m n m n 1 3m n 1 m n 1 = + ++ − + + + + − + + + + es de grado absoluto 36 y la diferencia entre el grado relativo de “x” y el menor exponente de “y” es 12. Calcula el valor de “m”. A) 5 B) 7 C) 9 D) 8 E) 4 8 Calcula el valor de “m” para que el monomio: 4m 3 3m 3 4 m .a a a − sea de 6to grado. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 11 9 Sea el polinomio: P(x,y) 3a x y z 2 3b x y z 3a x yz2 5 4 3 4 6 2 5 4 7 6 = + − ; halla el producto de su grado absoluto con el grado relativo a “x”. A) 126 B) 98 C) 45 D) 36 E) 63 10 Dado el polinomio: Q(x,y,z) 5x y z x y z 7x y za 2 b 5 6 a 3 b 4 a 1 b 6 3 = + +− + − − + de grado absoluto 17 y grado relativo a “x” es 6. Calcula el valor de: “a – b”. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 11 Calcula el valor de (m+4n) con la condición de que el polinomio: P(x,y) 2x y 3x y x y2m n 4 m n 2 2m n 3 m n 1 2m n 2 m n = − ++ − + + + − + + + − + sea de grado absoluto 28 y que la diferencia de sus grados relativos a “x” e “y” sea igual a 6. A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 14 12 Calcula el valor de “a” en el siguiente polinomio completo y ordenado en forma ascendente. Q(x) x 3x x xa b b c c d d 1 = + − ++ + + + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) -1 13 Si el polinomio: P(x) x x x xb 1 a c a b c d = + + +− + + + es completo y ordenado ascendente, calcula el valor de: “a + b + c + d” A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 5 14 En cuánto excede el grado del siguiente polinomio homogéneo a la suma de coeficientes. P(x,y) ax by x x y ya 12 a 3 13 bb a bb a = + + + − A) 8 B) 12 C) 10 D) 6 E) 5 15 Si: . . . . + 3xa yb + 5xa-1 y4 + 7x3 yc + ... son términos consecutivos de un polinomio homogéneo y orde- nado en forma decreciente respecto a “x”, el valor de: “a + b + c” es: A) 10 B) 12 C) 13 D) 15 E) 17 1. E 2. D 3. D 4. A 5. C 6. D 7. A 8. C 9. E 10. E 11. B 12. E 13. E 14. A 15. C Clave de Respuestas
- 12. 100 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 7 RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN PAG. 97 Grado (Px ) = 2 Px = -53 3 xm-4 ⇒ m - 4 = 2 m = 6 Rpta.A Se cumple: 2x + 27 = m(x + 3) - n(x - 4) 2x + 27 = mx + 3m - nx + 4n 2x + 27 = mx - nx + 3m + 4n 2x + 27 = x(m - n) + 3m + 4n ⇒ m – n = 2 ^ 3m + 4n = 27 m = 5 n = 3 Rpta.B Grado (P(x,y) ) = 11 P(x,y) = 0,58x3a y2 ⇒ 3a + 2 =11 a = 3 Rpta.C (P(x,y) ) = P(x;y) 2x y 3x y x y 2m 5 4n 2m 4 3 4 9 = + + − − Es homógeneo. G: 13 ⇒ 2m - 4 + 3 = 13 2m = 14 m = 7 Rpta: C Grado (PX ) = 10 PX = 5 + 8xm+4 - 6xm+3 ⇒ m + 4 =10 m = 6 Rpta.B Si P(x,y) x y x y x y2(m n) m 4 3m n 1 2n 1 n 5 2m 3n = − ++ + + + + + + ⇒ 2(m + n) + m + 4 =3m + n + 1 + 2n + 1 3m + 2n + 4 = 3m + 3n + 2 n = 2 Reemplazando: 3m + n + 1 + 2n + 1 = n+ 5 + 2m + 3n 3m + 3n + 2 = 2m + 4n + 5 3m + 8 = 2m+ 13 m = 5 Piden m y n = 5 y 2 Rpta.A P(x,y,z) = 5xp-2 y2p-1 z3p-12 Grado: 5p - 6 ⇒ p - 2 + 2p - 1 + 3p - 12 = 5p - 6 6p - 15 = 5p - 6 p = 9 Rpta.B P(x;y) = 4xm+1 yn-2 + 6xm+2 yn-2 - xm+3 yn-2 Si G.R.(y) = 8 ; G.A. = 20 ⇒ n – 2 = 8 ; m + 3 + n – 2 = 20 n = 10 m + 11 = 20 m = 9 Piden m . n = 9 . 10 = 90 Rpta.E P(x) x x x . . . + x x x 12n 1 2n 2 2n 3 3 2 = + + + + + +− − − #Términos: 2n - 1 + 1 = 2n Rpta.A P(x) = (a - 4)x5 + 3x4 + ax5 - bx4 es nulo ⇒ a - 4 +a = 0 3 - b = 0 a =2 b = 3 Piden: a + b = 2 + 3 = 5 Rpta.B M(x,y) = 5a2 . x164 . y155 =5a2 . x4 . y3 Grado: 4 + 3 = 7 Rpta.D P(x;y) = 2xm+1 + 6xm yn - 8yn+2 Si G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 8 ⇒ n + 2 = 8 m + 1 = 7 n = 6 m = 6 Piden Grado (P(x;y)) = 6 + 6 = 12 Rpta.B
- 13. 101 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 COMUNICACIÓN MATEMÁTICA PÁG. 98 13 14 15 16 17 M(x) x 5x 2xm 10 m n 5 p n 6 = + +− − + − + Es completo y ordenado. ⇒ m – 10 = 2 ; m - n + 5 = 1 ; p - n + 6 = 0 m = 12 n = 16 p = 10 Piden m + n + p =12 + 16 + 10 = 38 Rpta: A P(x,y) =axn5+7 y2n2+3 + bx2n2+17 y25 + xa yb Es homogéneo ⇒ n5 + 7 + 2n2 + 3 = 2n2 + 17 + 25 n5 + 10 = 42 n5 = 32 n = 2 a + b = 2n2 + 17 + 25 a + b = 2(4) + 42 a + b = 50 Piden ∑ Coef. = a + b + 1 = 50 + 1 = 51 Rpta. C ax(x 1) b(x 1) cx(x 1) x2 2 + + − + − = ax2 + ax + bx2 - b + cx2 - cx = x2 x2 (a + b + c) + x(a - c) = x2 + b ⇒ a + b +c = 1 ; a - c = 0 ; b = 0 a + c = 1 a - c = 0 a = 1 2 a = c c = 1 2 Piden: abc = ( 1 2 ) (0) ( 1 2 ) = 0 Rpta. D T x y1 a b 2ab2 2 = + , T x y2 3a b a b2 2 2 2 = GT1 = GT2 ⇒ a2 + b2 + 2ab = 3a2 b2 + a2 b2 (a + b)2 = 4a2 b2 a + b = 2ab a + b ab = 2 Piden: GT3 : T3 = x1/a . y 1/b GT3 = 1 a + 1 b GT3 = a + b ab GT3 = 2 Rpta. C Qx = b(x2 + x) – 2ax2 – 3cx + c – a + 1 = bx2 + bx – 2ax2 – 3cx + c – a + 1 = x2 (b - 2a) + x(b - 3c) + (c - a +1) ⇒ b - 2a = 0 ; b - 3c = 0 ; c – a + 1 =0 b = 2a b = 3c c + 1 = a Reemplazando. 2a = 3c. 2a = 3(a - 1) a = 3 b = 6 c = 2 Piden "ac – b" = 6 – 6 = 0 Rpta: A 1 P(x,y): - 1 4 2 xm+1 yn+7 Gx = 6 , Gy =9 ⇒ m + 1 = 6 ; n + 7 = 9 m = 5 n = 2 Piden mn = 5 . 2 = 10 Rpta. A 2 M(x,y) = 15a2 xa+1 y2 G = 8 ⇒ a + 1 + 2 = 8 a = 5 Piden Coef. = 15a2 = 15 · 25 = 375 Rpta. A 3 P(x) = 2nn . xnkk P(x) = 2nn . xn ; Gx =3 ⇒ n = 3 Piden Coef: 2nn = 2 . 33 = 54 Rpta. E 4 P(x,y) = (2x2 y3 + 5x6 y2 )(3x4 y - 4x5 y4 ) = 6x6 y4 + 15x10 y3 - 8x7 y7 - 20x11 y6 Gx = 11 , Gy =7 Piden: Gx - Gy = 11 - 7 = 4 Rpta. D
- 14. 102 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 5 M(x,y) = 2x3n-1 y2n-9 GA = 15 ⇒ 3n - 1 + 2n - 9 = 15 5n - 10 = 15 n = 5 Piden Gy = 2n - 9 = 2(5) - 9 = 1 Rpta. A 6 P(x,y) = 5 xm – 3 4 xm yn–1 –y16–n es homogéneo ⇒ m = m + n – 1 ; m = 16 – n n = 1 m = 16 – 1 m = 15 Piden. m + n = 15 + 1 = 16 Rpta.D 7 Q(x,y) = nxn+5 + 3xn ym + mxm+3 si es homogéneo. ⇒ n + 5 = n + m ; n + 5 = m + 3 m = 5 n + 5 = 8 n = 3 Piden ∑ Coef. = 3 + 3 + 5 = 11 Rpta. B 8 2x2 + 5x – 1 ≡ (Ax + B)(x–1)+C(x2 +x+1) 2x2 + 5x − 1 = Ax2 –Ax+Bx–B+Cx2 +Cx+C 2x2 + 5x − 1 = x2 (A + C) + x(B + C – A) + (C – B) ⇒ A + C = 2 ; B+C – A = 5 ; C – B = – 1 2C – A = 4 C + 1 = B Reemplazando: A = 2 - C ⇒ 2C – (2 – C) = 4 2C – 2 + C = 4 C = 2 ; A = 0 Piden: A + B – C = 0 + 3 – 2 = 1 Rpta. A 9 A(2x–1) + B(x+1) = 6x + 3 2Ax – A + Bx + B = 6x + 3 x(2A + B) + (B - A) = 6x + 3 ⇒ 2A + B = 6 ; B - A = 3 B = 3 + A Reemplazamos: 2A + B = 6 2A +3 +A = 6 3A = 3 ⇒ A = 1 ; B = 4 Piden A.B = 1·4 = 4 Rpta. B 10 M(x) = xn-1. xn x5n-46 3 es de G = 1 = x n–1 3 . x n 6 x 5n–4 18 = x 9n–6 18 x 5n–4 18 ⇒ 9n - 6 18 – 5n - 4 18 = 1 4n - 2 = 18 n = 5 Rpta. B 11 Q(x;y) = xn2 + 4 - 2x3n y2 + 3xp y4 es homogéneo ⇒n2 + 4 = 3n + 2 n2 - 3n + 2 = 0 (n - 2)(n - 1) = 0 n = 2 ∨ n = 1 Para n = 2 ⇒ p + 4 = 8 p = 4 Para n = 1 ⇒ p + 4 = 5 p = 1 Piden P: 1 ó 4 Rpta. D 12 R(x,y)= xa+b + 3xb y2a–3 – xa y3b–10 + 5y3b–7 es homogéneo. ⇒ a + b = b + 2a – 3 ; a + b = 3b – 7 a = 2a – 3 3 + b = 3b – 7 a = 3 b = 5 Piden: (a + b)b–a = (3 + 5)5–3 = 64 Rpta. E 13 P(x,y) = xm 2 –4 + xy2n–2 – 3xn y2 es homogéneo ⇒2n - 2 + 1 = n + 2 n = 3 m2 - 4 = n + 2 m2 - 4 = 5 m = 3 Piden: P(1,-1) = 19-4 + 1(–1)4 – 3(1)3 (–1)2 = 1 + 1 – 3 = –1 Rpta. C 14 I. Un polinomio completo siempre es ordenado. (F) II. Un polinomio completo de grado “n” posee (n+1) términos. (V) III. Un polinomio puede tener grado negativo. (F)
- 15. 103 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 IV. El grado de toda constante siempre es cero. (V) Rpta. E 15 P(x)=ax2 + bx +c , Q(x)= 3(x–2)(x+1) ax2 + bx +c = 3x2 –3x – 6 a = 3 b = –3 c = –6 Piden abc = (3)(–3)(–6) = 54 Rpta. C 16 P(x,y,z) x . y y . z z . xa 9 b b 9 7 c 10 2aa b c = + +− + + bb + 9 + 7 = 20 cc + 10 + 2a = 20 bb = 4 cc = 4 b = 2 c = 2 aa - 9 + b = 20 a = 3 Piden a + b + c = 7 Rpta: C RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pag. 99 1 P(x,y) = xm+5 yn-1 Si :Gy = 7 ; GA = 20 n – 1 = 7 , m + 5 + n – 1 = 20 n = 8 m = 8 Piden 2m + 3n = 2(8) + 3(8) = 40 Rpta. E 2 M(x) = 2n . xn-2. x3n7 xn+14 3 ; GA = 2 M(x)= 2n x n–2 3 . x 3n 21 x n+1 12 M(x)= 2n. x 10n-14 21 x n+1 12 ⇒ 10n-14 21 – n+1 12 = 2 33n – 63 = 168 33n = 231 n = 7 Piden Coef. = 2n = 14 Rpta. B 3 P(x,y,z) = 3mp . y .3 ym xm . zp Si Gx = 2 ; Gy = 1 ; GA = 5 ⇒P(x,y,z) = 3mp. x n 2 . y 3+m 12 . zp n 2 = 2 ⇒ n = 4 3+m 12 = 1 ⇒ m = 9 2 + 1 + p = 5 p = 2 Piden Coef. = 3mp = 3(9)(2) = 54 Rpta. D 4 P(x,y) 5(a b)x ya b = − + GA = 6 ⇒ a + b+ 1 = 6 a + b = 5 Si: Gx = 5 ⇒ 5(a - b) = 5 a - b =1 a = 3 ^ b = 2 Piden "b" = 2 Rpta. A 5 3 x y y+1 3 1-y2/3 .a b M .a b + = M = a x+y 3 . b y+1 3 a 2 3 . b 1-y 3 ; GA = 5 Si: x = 3y – 1 ⇒(x+y 3 – 2 3 )+ (y+1 3 – 1-y 3 ) = 5 x + y – 2 3 + y + 1 – 1 + y 3 = 5 x + 3y – 2 = 15 3y – 1 + 3y = 17 y = 3 ⇒ x = 3(3) – 1 Piden x+ y = 11 x = 8 Rpta. C 6 Q(x,y) x y x y3m 2n 5 m n 4 3m 2n 1 m n 2 = ++ − − + + − − + Si GA = 28 ; Gy = 2 ⇒ m – n + 4 = 2 m = n – 2 3m + 2n - 1 + m - n + 2 = 28 4m + n = 27
- 16. 104 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 4n - 8 + n = 27 5n = 35 n = 7 m = 5 Piden (n - m)2 ; = (7 - 5)2 = 4 Rpta. D 7 P(x,y) x y 3x y x y3m n 1 m n 2 3m n m n 1 3m n 1 m n 1 = + ++ − + + + + − + + + + GA = 36 ; Gx - (m + n - 1) = 12 GA = 4m + 2n + 2 4m + 2n + 2 = 12 2m + n = 5 Reemplazamos: 3m + n + 1 – (m +n – 1) = 12 2m + 2 = 12 m = 5 2(5) + n = 5 10 + n = 5 n = -5 Piden m = 5 Rpta. A 8 P(a) = 4m 3 3m 3 4 m .a a a − ; GA = 6 P(a) = a m-3 3 . a 3m 12 b m 12 ⇒ 7m – 12 12 – m 12 = 6 6m – 12 = 72 m = 14 Rpta. C 9 P(x,y) 3a x y z 2 3b x y z 3a x yz2 5 4 3 4 6 2 5 4 7 6 = + − ⇒ GA = 9 : Gx = 7 Piden: (GA)(Gx) = 9 . 7 = 63 Rpta. E 10 Q(x,y,z) 5x y z x y z 7x y za 2 b 5 6 a 3 b 4 a 1 b 6 3 = + +− + − − + GA = 17 a – 1 = 6 ⇒ a = 7 GA = 17 a – 2 + b + 5 + 6 = 17 7 – 2 + b + 5 + 6 = 17 b = 1 Piden a – b = 7 – 1 = 6 Rpta. E 11 P(x,y) 2x y 3x y x y2m n 4 m n 2 2m n 3 m n 1 2m n 2 m n = − ++ − + + + − + + + − + GA = 28 ; Gx – Gy = 6 ⇒2m + n - 2 - (m + n + 2) = 6 m - 4 = 6 m = 10 GA = 28 ⇒2m + n - 2 + m + n = 28 3m + 2n = 30 30 + 2n = 30 n = 0 Piden: m + 4n = 10 + 4(0) = 10 Rpta. B 12 Q(x) x 3x x xa b b c c d d 1 = + − ++ + + + Es completo y ordenado ⇒ d + 1 = 3 ⇒ d = 2 c + d = 2 c + 2 =2 ⇒ c = 0 b + c = 1 ⇒ b = 1 b + 0 = 1 a + b = 0 ⇒ a = -1 a + 1 = 0 Pide: a = - 1 Rpta. E 13 P(x) x x x xb 1 a c a b c d = + + +− + + + es completo y ordenado ⇒b - 1 = 0 ⇒ b = 1 a + b = 2 ⇒ a = 1 a + 1 = 2 a + c = 1 ⇒ c = 0 1 + c = 1 c + d = 3 ⇒ d = 3 o + d = 3 Piden: a + b + c + d 1 + 1 + 0 + 3 = 5 Rpta. E 14 P(x,y) ax by x x y ya 12 a 3 13 bb a bb a = + + + − GA = 16 ⇒ ab = 16 ^ ba = 16 a = 4 b = 2 Piden: a + b + 2 = 4 + 2 + 2 = 8 Rpta. A
- 17. 105 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 15 Si: . . . . + 3xa yb + 5xa-1 y4 + 7x3 yc + ... es homogéneo y ordenado ⇒ (a - 1) - 1 = 3 a = 5 a + b = a - 1 + 4 b = 3 3 + c = 8 c = 5 Piden: a + b +c = 5 + 3 + 5 = 13 Rpta. C
- 18. 106 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche Razonamiento y Demostración Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Calcula “m” si el siguiente monomio es de segundo grado: -4 5 xm-5 . A) 3 B) 4 C) 7 D) 8 E) 9 3 Si se cumple la siguiente identidad: 7x + 13 = m(x-1) + n(x + 4) calcula los valores de “m” y “n”. A) 2 y 3 B) 3 y 4 C) 4 y 5 D) 1 y 5 E) -3 y 4 4 Calcula el valor de “a” si el polinomio: Q(x,y) = 3x2a+2 y2a + x2a-1 ya+5 es homogéneo. A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 2 Calcula “n”. Si el término 24x2n y3 es de grado 13. A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Mx = -4 5 xm-5 GX = 2 ⇒ m - 5 = 2 m = 7 Rpta. C Rpta. B Rpta. C Rpta. A Mx = 24x2n y3 G(X,y) = 13 ⇒2n + 3 = 13 n = 5 7x + 13 = m(x – 1) + n(x + 4) 7x + 13 = mx – m + nx + 4n 7x + 13 = x(m + n) + 4n – m ⇒ m + n = 7 ; 4n - m = 13 n = 4 m = 3 Piden m y n = 3 y 4 2a + 2 + 2a = 2a – 1 +a + 5 4a + 2 = 3a + 4 a = 2
- 19. 107 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Comunicación Matemática Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Calcula el coeficiente del siguiente monomio, sabiendo que es de grado 5. P(x,y) = 12b2 xb+1 y2 A) 24 B) 32 C) 48 D) 52 E) 60 2 En cuánto excede el grado relativo de “x” al grado relativo de “y” en: (3xy2 + 2x2 y3 )(x4 y2 - 5x3 y) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3 Calcula la suma de coeficientes del polinomio: P(x,y) = nxn+2 ym+1 +2nx2n ym-4 si es homogéneo. A) 7 B) 14 C) 21 D) 28 E) 30 4 Indica si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). I. Un polinomio completo de grado “2n” posee (2n + 1) términos. II. El grado de un polinomio siempre es positivo. III. Si P(x) = 0, entonces P(x) es un polinomio idénticamente nulo. IV: Si P(0) = -5, entonces el término independiente es 0. A) VFVF B) VVFF C) VVVV D) FFFF E) VVVF Rpta. C Rpta. C Rpta. B Rpta. A P(x,y) = 12b2 xb+1 y2 ; GA =5 ⇒ b + 1 + 2 = 5 b = 2 Piden: 12b2 = 12(2)2 = 48 P(x,y) = (3xy2 + 2x2 y3 )(x4 y2 - 5x3 y) P(x,y) = 3x5 y4 + 2x6 y5 - 15x4 y3 - 10x5 y4 ) GX = 6 ; GY = 5 Piden: Gx - Gy = 6 - 5 = 1 n + 2 + m + 1 = 2n + m - 4 n = 7 Piden: ∑Coef = n + 2n = 3n = 3(7) = 21 I. VERDADERO II. VERDADERO III. FALSO IV. FALSO
- 20. 108 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche Resolución de Problemas Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 En el monomio: P(x,y) = 4(m + n) xm+5 y2n-3 el grado absoluto es 28 y el coeficiente es 72. Calcula “m - n”. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 2 Si el grado de “A” es 18 y el mayor exponente de “y” es 5 calcula el valor de: m + 2n. A =xm+6 yn-2 – xm+2 yn-1 A) 20 B) 16 C) 9 D) 7 E) 4 3 Calcula: P(1), en el polinomio completo respecto a “x”. P(x) = 5x2n - nx3 + (n+1)x2 + xn-1 - 3n Es completo A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4 Calcula el valor de “m” en el siguiente polinomio completo y ordenado en forma ascendente. P(x) = -2xm-3 + xm/2 - 3xm-1 + xm Es completo y ordenado A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 GA = 28 ; Coef. = 72 ⇒ 4(m + n) = 72 ; m + 5 + 2n – 3 =28 m + n = 18 m + 2n = 26 m = 10 ^ n = 8 Piden "m – n" = 10 – 8 = 2 ⇒ n – 1 = 5 ; m+ 6 + n – 2 = 18 n = 6 m + 10 = 18 m = 8 Piden: m + 2n = 8 + 2(6) = 20 Rpta. A Rpta. A Rpta. D Rpta. A ⇒ n - 1 = 1 n = 2 ∴P(x) = 5x4 – 2x3 + 3x2 + x – 6 Piden: P1 = 5(1) - 2(1) + 3(1) + 1 - 6 = 1 ⇒ m – 3 =1 m = 4
- 21. 109 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CLASE 1 Dados los polinomios: C = 4x4 + 7x2 + 3x3 – 2+ 5x D = –2x3 – 5x4 + x2 – 3 E = 9x4 – 2x2 – x – 1 Calcula: (C + D + E) 3 ¿Cuánto le falta a: 3x2 + 8x3 – 6x + 3 para ser igual a 4x2 + 10x3 – 3x – 4? 2 Dados los polinomios: M = 5x2 + 3x5 – 4x3 – 6 J = x + 4x5 + 3x2 – 4 N = 2x2 + 3x – 2 – x5 Calcula: (N + J)– M 4 Si: 10x5 + 8x4 + 4x2 – 5x – 3 = B + 5x5 + 6x4 – x2 + 2x – 4 Calcula el polinomio “B”. 5 ¿Qué polinomo hay que agregarle a 3x7 + 7x4 – x – 10 para obtener 3x7 + 6x4 – x – 12? 6 El polinomio que se debe restar de 8x3 + 6x2 – 4x – 11; para obtener 7x3 + 6x2 – 5x + 4;es: Rpta. 5x5 + 2x4 + 5x2 – 7x + 1 Rpta. 4x3 + 4x Rpta. x3 + x – 15Rpta. –x4 – 2 Rpta. 2x3 + x2 + 3x – 7 Rpta. 8x4 + x3 + 6x2 + 4x - 6 ⇒ 4x4 + 3x3 + 7x2 + 5x – 2 –5x4 – 2x3 + x2 – 3 9x4 – 2x2 – x – 1 8 x4 + x3 + 6x2 + 4x – 6 ⇒ 4x2 + 10x3 – 3x – 4 –3x7 – 8x3 + 6x – 3 2x3 + x2 + 3x – 7 ⇒ 10x5 + 8x4 + 4x2 – 5x – 3 –5x5 – 6x4 + x2 – 2x + 4 5x5 + 2x4 + 5x2 - 7x + 1 ⇒ 8x3 + 6x2 – 4x – 11 –7x3 – 6x2 + 5x – 4 x3 + x – 15 ⇒ 3x7 + 6x4 – x – 12 –3x3 – 7x4 + x + 10 –x4 – 2 ⇒ 3x5 + 5x2 + 4x – 6 –3x5 – 5x2 + 4x3 + 6 4x3 + 4x
- 22. 110 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 11 Reduce: 3x2 y + 5xy2 + 7x2 y + 5x3 + 20xy2 + 3xy2 + 7x2 y. 12 Si al sumar mx2 + nx2 resulta px2 , calcula: E = m + n + p p 7 Reduce: 3x2 - (x2 - [1 - (2x - 3)])- x2 8 Halla el coeficiente de: P(x) - Q(x), si: P(x) = 15x4 - 7x3 + 13 - x Q(x) = 13 + 15x4 - 8x3 - x 9 Suma los siguientes monomios: M(x,y) = ax2 y3 z5 N(x,y) = bx2 y3 z4 , indica su coeficiente. 10 Si al polinomio: P(x) = 3x2 y3 + 5x8 y4 se le resta (2x8 y4 - 5) obtenemos: ⇒ 2x2 – x2 +[1 – 2x + 3] x2 – 2x + 4 ⇒ 15x4 – 7x3 – x + 13 –15x4 + 8x3 + x – 13 x3 Piden: Coef. = 1 ⇒ ax2 y3 z5 + bx2 y3 z4 (az5 + bz4 ) x2 y3 Piden: Coef. = az5 + bz4 ⇒ 3x2 y3 + 5x8 y4 –2x8 y4 + 5 3x2 y3 + 3x8 y4 + 5 17x2 y + 28xy2 + 5x3 Si: mx2 + nx2 = px2 x2 (m + n) = px2 m +n = p ⇒ E = m + n + p p = p + p p E = 2p p E = 2
- 23. 111 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CASA 1 Calcula la suma de los polinomios: P(x) = 1 - x + x2 Q(x) = 2x2 + x - 1 S(x) = 2 + 2x - x2 3 Reduce: -[1 - (2x2 + [3 - (2x - 1)] - 2)] 2 Dado los polinomios: P(x) = 3x2 + 5x3 + x + 17 R(x) = -4x2 + x + 5x3 + 17 Calcula: P(x) - R(x). 4 ¿Cuánto le falta a: 18x5 - 3x2 + 7x4 - 3x3 + 1? Para ser igual a: 12x2 + 8x4 + 20x5 + 2 5 Si al sumar axy2 + bxy2 resulta: mxy2 . Calcula: 2m a + b 6 Simplifica: -5ab - [4b - (2ab - a)] - [5a - (4ab - b) + 5b] ⇒ x2 – x + 1 2x2 + x – 1 x2 + 2x + 2 4x2 + 2x + 2 –[1 – 2x2 – [3 – 2x + 1] + 2] –[3 – 2x2 – 4 + 2x] 2x2 - 2x + 1 –5ab – 4ab + 2ab – a – 5a + 4ab – b – 5b –3ab – 6a – 6bSi axy2 + bxy2 = mxy2 xy2 (a + b) = mxy2 a + b = m ⇒ 2m a + b = 2m m = 2 ⇒ 20x5 + 8x4 + 12x2 + 2 – 18x5 – 7x4 + 3x3 + 3x2 – 1 2x5 + x4 + 3x3 + 15x2 + 1 ⇒ 5x3 + 3x2 + x + 17 –5x3 + 4x2 – x – 17 7x2
- 24. 112 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 1 Calcula la operación de los polinomios: a) (7x + y)(2x + 5y) b) (3x3 + 2x2 - 3)(x - 2) 3 Calcula: a) (0,8x + 0,2y)(5x2 - 10) b) (0,6x2 y - 0,4x3 y2 )(0,5x5 y + 5xy2 ) 2 Calcula la multiplicación de los Polinomios: a) (2x3 y2 - 3x2 y4 + xy)(x - 2) b) (4x2 + 3x + 2)(x3 - 2x2 - 1) 5 Completa la tabla escribiendo el producto. 6 Colocar el grado del polinomio y el término independiente (si esta presente) que en cada uno de los casos siguientes. a) (-6x3 - 2x4 + 4x5 + x - 2)(-x2 + 5x5 + 6x3 - 3, grado: , término independiente: . b) (12x5 + 7x4 - 2x2 + 3x - 13)(5x6 - 3x9 + x + 8), grado: , término independiente: . 4 Calcula: a) (x3a-1 + 2xa-3 - 3xa )(x3 - 6x) b) (5x3a-2 - 2x2a-1 )(x4-a + 6x2 ) ACTIVIDADES PARA LA CLASE 2 2b 3b+ 2 3 b 4b 1− + 3 2 10b b 2− − 2 2b b 3− + 3 2 4b 6b 3b 2+ + − 5 3 8b b 4b− + 2 5b 11b 2+ + x 14x2 + 35xy + 2xy + 5y2 14x2 + 37xy + 5y2 2x4 y2 – 4x3 y2 – 3x3 y4 – 6x2 y4 + x2 y – 2xy 3x4 – 6x3 + 2x3 – 4x2 – 3x + 6 3x4 – 4x3 – 4x2 – 3x + 6 4x3 – 8x + x2 y – 2y x3a+2 – 6x3a + 2xa – 12xa-2 – 3xa+3 + 18xa+1 5x2a+2 + 30x3a – 2xa+3 – 12x2a+1 10 14 6 – 104 0,3x7 y2 + 3x3 y3 – 0,2x8 y3 – 2x4 y4 4x5 - 8x4 - 4x2 + 3x4 - 6x3 + 3x + 2x3 - 4x2 - 2 4x5 - 5x4 - 4x3 - 8x2 + 3x - 2
- 25. 113 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 7 Multiplica: a) 2a (3ax + 9ay - 5a4 z) b) 9m2 n(4m + 3n - 5m3 n) 9 Halla el área de la siguiente figura: x + 2 x2 - 2x + 4 11 Halla el volumen del siguiente sólido: x+1 x+1 x + 1 8 Al multiplicar: P(x) = 5x3 y4 Q(x) = y5 - 3x4 y + 5xy Se obtiene como suma de coeficientes. 10 Calcula el área de la siguiente figura: x + 2 3x2 + 5x + 1 12 Efectúa: (xy - 2y2 )(3x - y) – xy (3x - y) 6a2 x + 18a2 y - 10a5 z ⇒ (5x3 y4 )(y5 - 3x4 y + 5xy) =5x3 y9 - 15x7 y5 + 25x4 y7 Piden: ∑coef. = 5 - 15 + 25 = 15 36m3 n + 27m2 n2 - 45m5 n2 A = (x2 - 2x + 4)(x + 2) 2 A = x3 + 8 2 A = (3x2 + 5x + 1)(x + 2) A = 3x3 + 11x2 + 11x + 2 V = (x + 1)(x + 1)(x + 1) V = (x + 1)3 V = x3 + 3x + 3x2 + 1 (3x2 y – xy2 – 6xy2 + 2y3 ) – (3x2 y – xy2 ) 3x2 y - 7xy2 + 2y3 - 3x2 y + xy2 2y3 - 6xy2
- 26. 114 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CASA 1 Al multiplicar: A(x) = 14 x3 B(x) = 2 x12 C(x) = 28 x Se obtiene como coeficientes: 3 Efectúa los polinomios: a) (6x + 3)(7x - 2) b) (2x2 + 1)(3x - 4) c) (2x2 - 3x + 2)(x + 4) 2 Halla el volumen de la siguiente figura: 3xy x3 - 1 x2 + 5 4 Calcula: a) (2 3 ax8 - 5 3 a3 x)(3x2 - 9ax) b) (0,2x2 + xy)(0,3x + 0,5y) 5 Calcula el producto de: (2b2 + b - 4) (10b3 - b2 - 2) 6 Colocar el grado de polinomio y el término in- dependiente (si esta presente) que resulten en cada uno de los casos siguientes: a) (7x5 + 8x4 + 3x3 + 2) (9x6 - 3x + 10), grado: , término indepen- diente: . b) (-3x2 + x4 - 2x3 - 1) (-7x6 + 10 - x4 ), grado: , término indepen- diente: . ⇒ A(x) B(x) C(x) = 14x3 · 2 x12 · 28 x = 282 · x16 = 28x16 Piden: Coef. = 28 V = (x2 + 5) (3xy) (x3 – 1) V = (3x3 y + 15xy) (x3 – 1) V = 3x6 y – 3x3 y + 45x4 y – 15xy 42x2 - 12x + 21x - 6 42x2 + 9x - 6 0,6x3 + 0,1x2 y + 0,3x2 y + 0,5xy2 0,6x3 + 0,4x2 y + 0,5xy2 2x3 + 8x2 – 3x2 – 12x + 2x + 8 2x3 + 5x2 – 10x + 8 20b5 – 2b4 – 4b2 + 10b4 – b3 – 2b – 40b3 + 4b2 + 8 20b5 + 8b4 – 41b3 – 2b + 8 6x3 - 8x2 + 3x - 4 2ax10 - 6a2 x9 - 5a3 x3 + 15a4 x2 11 20 10 -10
- 27. 115 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CLASE 1 Aplica productos notables y calcula el resultado de: 2 Halla el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto: 3 Calcula el producto de los binomios siguiente: b) (2x2 + y)2 c) ( ) 2 = x2 - 16x + 64 b) x2 - 2 3 + 3 = ( ) 2 a) (2x + 3)2 a) ( ) 2 = 9x2 + 12x + 4 c) 2 4 1 3x 2 + = d) ( ) 2 = 16y 2 - 40y + 25 e) 4x2 - 12x + 9 = ( ) 2 j) x2 - 4 5 + 20 = ( ) 2 d) (0,5 + x)2 f) 25 4 x2 + 5x + 1 = ( ) 2 f) (3 – 2x)2 i) 4x2 + x + 1 16 = ( ) 2 i) (x6 – 3y3 )2 h) (y5 – 2x3 )2 g) 2 2 y 3 − = h) ( ) 2 = x2 + 2x + 1 e) (x – 2)2 g) ( ) 2 = x2 + 24x + 144 a) (4 + y)(y – 4) b) (x2 – 2)(x2 + 2) d) + 6 61 1 x – x 2 2 r) ( )( )+ =2 2 6x 0,2 6x – 0,2 e) + 3 31 1 0,2x – 0,2x 2 2 c) (7 + x)(x – 7) 4x2 + 12x + 9 (3x + 2)2 = (x + 12)2 = (x + 1)2 = (x – 8)2 = x4 – 4 y2 – 16 x2 – 49 6x4 – 0,04 0,04x6 – 1 4 x12 – 1 4 (4y – 5)2 = = (x – 3 )2 = ( 5 2 x + 1)2 = (2x + 1 4 )2 = (x – 2 5 )2 = (2x – 3)2 0,25 + x + x2 = y2 - 4 3 y + 4 9 x2 - 4x + 4 y10 - 4x3 y5 + 4x6 x12 – 6x6 y3 + 9y6 9 - 12x + 4x2 4x4 + 4x2 y + y2 9x8 + 3x4 + 1 4
- 28. 116 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 13 Reduce las expresiones siguientes: a) (x + 10)(x – 2) – (x + 5)(x – 4) b) (x + 6)(x – 2) – (x + 4)(x + 3) 12 Aplica las identidades de Legendre para hallar el resultado de: a) (2m2 + p)2 - (2m2 - p)2 b) ( 7 - 3 y5 )2 + ( 7 + 3 y5 )2 c) (x2 - y4 )2 - (x2 + y4 )2 11 Efectúa los siguientes trinomios al cubo, apli- cando productos notables: a) (x + 2y + 1)3 b) (x2 + 3y2 + 2)3 10 Escribe el producto de los binomios siguientes: a) (5x3 + 1)(25x6 – 5x3 + 1) b) (2a - 3b)(4a2 + 6ab + 9b2 ) 9 Utiliza productos notables para hallar el resul- tado de: a) (10y – 4x + 2)2 b) (x2 + y3 – 6)3 = x6 + y9 - 216 + 3x4 y3 8 Completa los espacios punteados según corres- ponda. a) (x3 + 5) ........................ = x6 + 10x3 + 25 b) 4x8 - 4 3x4 + 3 = (.............. )2 c) (..................)(3x + 8) = 6x4 + 16x3 d) (3x - 4)8 ( ............... )4 = (3x - 4)12 7 Escribe directamente el producto de los binomios siguientes: a) (x - 3)(x - 4) b) (x + 4)(x + 6) c) (3x - 1)(-x + 5) d) (2x + 3)(x - 2) 6 Aplicando la fórmula del binomio de Newton, halla el resultado de: a) (0,5 + x)6 b) (x - 3)8 5 Aplica productos notables para hallar el resultado de: a) (0,2 + x)3 b) (x + 6)3 c) (3 - x 2 ) 3 4 En los siguientes ejercicios, halla lo dos factores cuyo producto resulte lo que corresponde en cada caso. a) ( )( ) = x6 - 4/9 b) ( )( ) = x6 y4 - 1 c) ( )( ) = x4 - 9 d) ( )( ) = x10 - 25/9 =(x2 + 2 3 )(x3 – 2 3 ) =(x5 + 5 3 )(x5 – 5 3 ) = 27 – 27 2 x + 9 4 x2 – x3 8 = (x3 y2 + 1)(x3 y2 – 1) = (x2 + 3)(x2 – 3) = 0,008 + 0,6x2 + 0,12 + x3 = (0,5)6 + 6(0,5)5 ·x + ... + x6 = 125x9 + 1 = x3 + 8y3 + 1 + 6x2 y + 3x2 + 12y2 x + 12y2 + 3x + 6y + 12xy = x2 + 8x - 20 - x2 - x + 20 = 7x = x2 + 4x - 12 – x2 – 7x – 12 = – 3x – 24 = x6 + 27y6 + 8 + 9x4 y2 + 6x4 + 27y4 x2 + 54y4 + 12x2 + 36y2 + 36x2 y2 = 8pm2 = 14 + 6y10 = – 4x2 y4 = 8a3 + 27b3 = x2 - 7x + 12 = x2 + 10x + 24 = –3x2 + 16x – 5 = 2x2 - x - 6 100y2 + 16x2 + 4 – 80xy + 40y – 16x – 18x4 + 3x2 y6 + 18y6 + 108x2 + 108y3 – 36x2 y3 (x3 + 5) 2x3 3x - 4 2x4 – 3 = x8 - 8(x)7 · 3 + ... + 38 = x3 + 18x2 + 108x + 216
- 29. 117 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 ACTIVIDADES PARA LA CASA 1 Aplica productos notables y halle el resultado de: 3 Halla el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto: a) ( )2 = x2 - 10x + 25 b) ( )2 = x2 - 26x + 169 c) 2 2 1 ( ) x x 4 = − + 5 Escribe el producto de los binomios siguientes. a) (x + 2)(x – 2) b) (3y + 5)(3y – 5) c) ( )( )3 x 2 2 3x+ − = 7 En los siguientes ejercicios, halla los dos factores cuyo producto resulte lo que corresponde en cada caso. a) ( )( ) = x12 - 144 b) ( )( ) = 49 - 4x2 c) ( )( ) = 4y2 - x8 2 Aplica productos notables, halle el resultado de: 4 Aplica la fórmula del binomio de Newton, halle el resultado de: a) ( )4 x 2+ = b) 10 1 x y − = 6 Aplica productos notables para hallar el resulatdo de: a) (x2 + 3x + 2)2 b) (7x + 2x2 + 1)2 8 Aplica las identidades de Legendre para hallar el resultado de: a) (4x + 5)2 +(4x – 5)2 b) ( 3 x + 12y)2 - ( 3 x - 12y)2 a) ( )3 x 3+ = b) 3 1 x 2 + = c) ( ) 3 3 y 2− = a) (x + 3)2 b) (x + 7)2 c) 2 1 2x 4 + = (x – 5)2 = x2 – 4 = (x6 + 12)(x6 – 12) = 32x2 + 50 = 4 36xy = 24xy = (7 + 2x)(7 – 2x) = (2y + x4 )(2y - x4 ) = 9y2 – 25 x4 + 9x2 + 4 + 6x3 + 4x2 +12x 49x2 + 4x4 + 1 + 28x3 + 14x + 4x24 - 3x3 = x2 + 6x + 9 = x3 + 9x2 + 27x + 27 = x4 – 4(x3 )(2) + ... + 16 = y - 6 y2 + 12 y - 8 = x2 + 14x + 49 = 4x2 + x + 1 16 = x3 + 3 2 x2 + 3 4 x + 1 8 = x10 – 10(x9 )( 1 y )... + 1 y10(x – 13)2 (x – 1 2 )2
- 30. 118 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche Razonamiento y Demostración APLICO MIS APRENDIZAJES 1. D 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. E 8. B 9. C 10. D 11. C 12. B 13. B 14. B 15. D Clave de Respuestas 1 Reduce: (x + 2)[(x + 2)2 - 4x + (x - 2)2 ] - 16 A) x3 B) 8 C) 16 D) 2x3 E) x3 +8 2 Reduce: (x + 3)3 – 9(x + 1)(x + 2) – 9 A) x2 B) x3 C) x D) x – 1 E) 2x3 3 Simplifica: T = a3 + b3 (a+b)2 - 3ab – a A) b B) a C) ab D) 1 E) a+b 4 Si x2 + y2 = 36 ∧ xy = 18 el valor de (x + y)2 2 es: A) 48 B) 36 C) 27 D) 24 E) 26 5 Si a + b = 5 ∧ ab = 2, calcula el valor de: “ a - b” A) 17 B) 17 C) 13 D) 13 E) 10 6 Calcula el valor de: R = ( 3 + 5 – 3 – 5 ) 2 A) 1 B) 2 C) 3 5 D) 2 5 E) 4 7 Calcula el valor de: M = ( x + y + x – y ) 2 ; para: x = 3 ; y = 5 A) 15 B) 16 C) 26 D) 14 E) 10 8 Simplifica: E = 1 + (x4 – 1 2x2 ) 2 A) x 2x 1 2x 4 2 2 + − B) x 1 2x 4 2 + C) x 1 2 2 + D) x 2 1 2x 2+ E) x 1 2 2 − 9 Resuelve: E = (x – 1)(x + 2) + (x – 3)(x + 6) – 2(x + 1)2 A) –20 B) –18 C) –22 D) –21 E) –19 10 Con la condición: a + b + c = 0, calcula el equiva- lente de: M = (a2 – b2 ) 2 c2 – 4ab A) a2 + b2 B) bc C) ab D) c2 E) ac 11 Si: x 1 x 3+ = , calcula el valor de: " x 1 x "− A) 7 B) 9 C) ± 5 D) ± 3 E) ±2 12 Si a – b = 3 ∧ ab = 2, halla el valor de: “a4 + b4 ” A) 160 B) 161 C) 162 D) 163 E) N.A. 13 Simplifica: A = (x + y) 4 – (x – y) 4 2x2 + 2y2 A) xy B) 4xy C) x2 D) y2 E) x – y 14 Resuelve: F = (a – b)3 + (a + b)3 + 3(a – b)2 (a + b) + 3(a + b)2 (a – b) A) 8b3 B) 8a3 C) 4b3 D) 4a3 E) Cero 15 Si: a(x + b) + b(x + a) = 26 + x; halla el valor de R = 1 a + 1 b . A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/13 E) 1/26
- 31. 119 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Comunicación Matemática APLICO MIS APRENDIZAJES 1. C 2. B 3. D 4. D 5. C 6. C 7. B 8. C 9. A 10. C 11. B 12. C 13. E 14. B Clave de Respuestas 1 Calcula: (x + 1)3 + (x - 1)3 - 6x A) 2x B) 2x2 C) 2x3 D) 6x E) x3 2 Reduce: A = (1 + 3 + 6 + 2 )(1 + 6 - 3 - 2 ) A) 1 B) 2 C) 6 D) 3 E) 3 3 Calcula: A = (3 2 +2)2 + (3 2 - 2)2 A) 40 B) 41 C) 43 D) 44 E) 46 4 Calcula: M = [(a2 + 3) - a] [(a2 + 3) + a] A) a4 + a2 + 9 B) a4 + a2 - 9 C) a4 - 2a2 +9 D) a4 + 5a2 + 9 E) 2a4 + a2 + 9 5 Si: x + 1 x = 4, calcula el valor de: M = x3 + 1 x3 A) 26 B) 25 C) 52 D) 68 E) 54 6 Si x3 – y3 = m ∧ x – y = n, halla el valor de “xy”. A) m n 3n 3 − B) m n 3 3 − C) m n 3n 3 − D) m n n 2 3 − E) m n 3n 3 + 7 Simplifica: R = (x + a)(x - a)(x2 + a2 )(x4 + a4 ) + a8 A) x4 B) x8 C) x6 D) x16 E) Cero 8 Si a – b = b – c = 3, calcula el valor de: T = (a – b) 2 + (b – c) 2 + (a – c) 2 18 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9 Resuelve: (x2 + 5x + 5)2 – (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4). A) 1 B) 2 C) 3 D) x – 1 E) x + 1 10 Calcula el valor de: E = ( 5+ 24 – 5– 24) 2 A) 49 B) 6 C) 8 D) 18 E) N.A. 11 Si a b 5+ = y ab = 3, entonces: (a – b)2 ; es: A) 5 B) –7 C) –9 D) 12 E) 10 12 Dada la expresión: (a + 2b)2 + (a – 2b)2 = 8ab. Calcula el valor de : M = 2ab – b2 a2 A) 1 B) 2 C) 3/4 D) 2/4 E) 1/4 13 Si a b + b a = 62, entonces el valor de: P = (a + b ab ) 1/3 es: A) 3 B) ab 2 C) a+b 2 D) ab E) 2 14 Si se cumple que: (x + 1)5 + x + 2= (x2 + Mx + 3)(x3 + 2x2 + x + 1), calcula el valor de “M”. A) 2 B) 3 C) -3 D) 4 E) 5
- 32. 120 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche Resolución de Problemas APLICO MIS APRENDIZAJES 1. D 2. C 3. E 4. D 5. B 6. B 7. E 8. B 9. B 10. C 11. D 12. C 13. B 14. A 15. E 16. D 17. B 18. C Clave de Respuestas 1 Calcula el equivalente de: E = (x2 + 1 x2 )– 4(x + 1 x )+ 6 A) (x+1)2 x B) (x–1)2 x3 C) x x – 1 D) (x–1)2 x E) (x – 2)2 x 2 Si a b + b a = 2, calcula el valor de: K = 2a+5b 9a – 2b + 3b+a b+a A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 3 Resuelve: E = (a + 3b + c)2 + (a + 2b + c)2 – 2(a + b + c)(a + 4b + c) A) 3a2 B) 4b2 C) 2c2 D) 6abc E) 5b2 4 Si a b + b a = 4, calcula el valor de: R = (a-b)4 + 4a2 b2 16a2 b2 A) 1 B) 2 C) 4 D) 1/2 E) 1/4 5 Si a2 + b2 = 2b(a + b); a y b ≠ 0 calcula el valor de: (a b + b a + 2)(a b + b a – 2) A) 2 B) 4 C) 1 D) 0 E) 9 6 Reduce:R= (x+1)(x+2)(x – 4)(x – 5) + 9 + 3x + 7 A) x B) x2 C) x2 – 3x D) –x E) x2 – 3x + 7 7 Reduce: E = (a+1)2 (a2 +2a–1) – (a–1)2 (a2 –2a–1)3 A) 0 B) a+1 C) a – 1 D) 3a E) 2a 8 Si P = (a+b+c+d)(a – c+b – d) Q = (a – b+c+d)(a – b – d – c) Calcula el valor de K = P - Q 4 A) 1 B) ab C) cd D) a2 +b2 E) abcd 9 Si a + b + c + d = 0, calcula el valor de: R = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 a2 + b2 + c2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 10 Simplifica: E = (a + b + c + d)3 – (b + c + d)3 – 3a(b + c + d)(a + b + c + d) A) b3 B) a2 C) a3 D) c3 E) d3 11 Simplifica: S = (a + b +x)2 + (a + b – x)2 +(x + a – b)2 + (x – a + b)2 – 4(a2 + b2 + x2 ) A) 1 B) a C) b D) 0 E) 8ab 12 Resuelve: Q = (x + 3)(x + 2)(x + 5)(x + 4) – (x2 + 7x + 11)2 A) 1 B) 2 C) –1 D) –2 E) x2 13 Si se cumple que: 3 x 1 y 12 x 3y + = + , calcula el valor de: M x 6y x x y = + + A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 8 14 Simplifica: E = (x – 2)(x + 3)(x – 4)(x + 1) – x2 (x – 1)2 + 14x(x – 1) – 24 A) Cero B) 1 C) –1 D) 2 E) –2 15 Calcula el valor numérico de: M = (x + y + z + w)2 + (x + y – z + w)2 – (x – y + z + w)2 – (x – y – z – w)2 ; para: xy – zw = 9 A) 18 B) 54 C) 27 D) 36 E) 72 16 Reduce: E = (x2 + 8x + 11)2 – (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 20 17 Calculaelvalorde:M= 1 + 80(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 + 1) 32 A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 9 18 Simplifica: E = x4 + 1 – (x+1) 3 (x–1) 3 (x2 –1) 5 (x2 +1) 8 (x4 –1) 210 A) 4 B) x C) 2 D) x4 E) 0
- 33. 121 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Pag. 118 1 (x + 2)[(x + 2)2 - 4x + (x - 2)2 ] - 16 (x + 2)[x2 + 4x + 4 - 4x + x2 - 4x + 4] - 16 (x + 2)[2x2 - 4x + 8] - 16 2(x + 2)[x2 - 2x + 4] - 16 2(x3 - 2x2 + 4x + 2x2 - 4x + 8) - 16 2(x3 + 8) - 16 2x3 + 16 - 16 = 2x3 Rpta. D 2 (x + 3)3 – 9(x + 1)(x + 2) – 9 x3 + 9x2 + 27x + 27 - 9(x2 + 3x + 2) - 9 x3 + 9x2 + 27x + 27 - 9x2 - 27x - 18 - 9 = x3 Rpta. B 3 T = a3 + b3 (a+b)2 - 3ab – a = a3 + b3 - a((a + b)2 - 3ab) a2 + 2ab +b2 - 3ab = a3 + b3 - a(a2 + 2ab +b2 - 3ab) (a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 - a(a2 - ab + b2 ) a2 - ab + b2 = b3 - a2 b - ab2 a2 - ab + b2 = b3 + a2 b - ab2 a2 - ab + b2 = b(a2 - ab + b2 ) a2 - ab + b2 = b Rpta. A 4 x2 + y2 = 36 ∧ xy = 18 Piden: (x + y)2 2 x2 + 2xy + y2 2 = 36 + 2(18) 2 = 72 2 = 36 Rpta. B 5 a + b = 5 ∧ ab = 2 a2 + b2 = 21 Piden a – b (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab (a - b)2 = 21 - 2(2) (a - b)2 = 17 a - b = 17 Rpta: B 6 R = ( 3 + 5 – 3 – 5 ) 2 = ( 3 + 5 2 )– ( (3 + 5)(3 – 5))+( 3 + 5 ) 2 = 3 + 5 - 2 9 - 5 + 3 - 5 = 6 - 2 4 = 6 - 4 = 2 Rpta: B 7 M = ( x + y + x – y ) 2 = ( x + y 2 )+ 2 (x + y)(x – y) + ( x – y 2 ) = x + y + 2 x2 – y +x – y = 2x + 2 x2 – y Piden para x = 3 ^ y = 5 M = 2(3) + 2 9 – 5 M = 6 + 2 4 M = 10 Rpta. E 8 E = 1 + (x4 – 1 2x2 ) 2 E = 1 + x8 – 2x4 + 1 4x4 E = 4x4 + x8 – 2x4 + 1 4x4 E = x8 + 2x4 + 1 4x4
- 34. 122 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche E = ( x4 + 1 2x2 ) 2 E = x4 + 1 2x2 Rpta. B 9 E = (x – 1)(x + 2) + (x – 3)(x + 6) – 2(x + 1)2 = x2 + x – 2 + x2 + 3x – 18 – 2(x2 + 2x + 1) = 2x2 + 4x – 20 – 2x2 – 4x – 2 = –22 Rpta. C 10 Si a + b + c = 0 M = (a2 – b2 ) 2 c2 – 4ab = ((a + b)(a – b)) 2 (–a – b)2 – 4ab = (a + b) 2 (a – b) 2 a2 + 2ab + b2 – 4ab = (a + b) 2 (a – b) 2 (a – b)2 = (a + b)2 = (–c)2 = c2 Rpta. D 11 Si: x 1 x 3+ = (x - 1 x ) 2 = 9 x2 + 1 x2 + 2 = 9 x2 - 1 x2 = 7 Piden: x - 1 x ⇒ (x - 1 x ) 2 = x2 + 1 x2 - 2 (x - 1 x ) 2 = 7 - 2 (x - 1 x ) 2 = 5 x - 1 x = ± 5 Rpta: C 12 Si a – b = 3 ∧ ab = 2 (a - b)2 = 9 a2 + b2 = 13 Piden: (a2 + b2 )2 = 169 a4 + b4 + 2(ab)2 = 169 a4 + b4 + 2(2)2 = 169 a4 + b4 = 161 Rpta: B 13 A = (x + y) 4 – (x – y) 4 2x2 + 2y2 = (x2 + 2xy + y2 ) 2 – (x2 – 2xy + y2 ) 2 2x2 + 2y2 = (x2 +2xy+y2 +x2 –2xy+y2 )(x2 +2xy+y2 – x2 +2xy-y2 ) 2x2 + 2y2 = (2x2 + 2y2 )(4xy) 2x2 + 2y2 = 4xy Rpta: B 14 F = (a – b)3 + (a + b)3 + 3(a – b)2 (a + b) + 3(a + b)2 (a – b) = (a – b)3 + (a + b)3 + 3(a – b)(a + b) + (a – b + a + b) = (a – b)3 + (a + b)3 + 3(a – b)(a + b) (2a) =a3 –3a2 b+3ab2 –b2 +a3 +3a2 b+3ab2 +b3 +6a(a2 –b2 ) = 2a3 + 6ab2 + 6a3 - 6ab2 = 8a3 Rpta: B 15 Si: a(x + b) + b(x + a) = 26 + x ax + ab + bx + ab = 26 + x x(a + b) + 2ab = 26 + x ⇒ a + b = 1 ^ ab= 13 Piden: R = 1 a + 1 b R = a + b ab R = 1 13 Rpta: D
- 35. 123 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 1 (x + 1)3 + (x - 1)3 - 6x = x3 + 3x3 + 3x + 1 + x3 - 3x2 + 3x – 1 – 6x = 2x3 + 6x - 6x = 2x3 Rpta: C 2 A = (1 + 3 + 6 + 2 )(1 + 6 - 3 - 2 ) A = ((1 + 6 )+ ( 2 + 3 ))((1 + 6 ) - ( 3 + 2 )) A = (1 + 6 )2 - ( 2 + 3 )2 A = (1 + 2 6 + 6)- (2 + 2 6 + 3) A = 7 + 2 6 - 5 - 2 6 A = 2 Rpta: B 3 A = (3 2 +2)2 + (3 2 - 2)2 A = (18 + 12 2 +4) + (18 –12 2 - 4) A = 36 + 8 A = 44 Rpta: D 4 M = [(a2 + 3) - a] [(a2 + 3) + a] M = (a2 + 3)2 - a2 M = a4 + 6a2 + 9 - a2 M = a4 + 5a2 + 9 Rpta: D 5 Si: x + 1 x = 4 ⇒ (x + 1 x ) 3 = 64 x3 + 1 x3 + 3x(1 x )(x + 1 x )= 64 x3 + 1 x3 +3(4) = 64 x3 + 1 x3 = 52 Rpta: C 6 x3 – y3 = m ∧ x – y = n (x – y)3 = n3 x3 – y3 – 3xy(x – y) = n3 m – 3xyn = n3 m – n3 = 3xyn xy = m – n3 3n Rpta: C 7 R = (x + a)(x - a)(x2 + a2 )(x4 + a4 ) + a8 R = (x2 - a2 )(x2 + a2 )(x4 + a4 ) + a8 R = (x4 - a4 )(x4 + a4 ) + a8 R = x8 Rpta: B 8 Si a – b = b – c = 3 T = (a – b) 2 + (b – c) 2 + (a – c) 2 18 T = 3 2 + 3 2 + 6 2 18 T = 54 18 T = 3 Rpta: C 9 (x2 + 5x + 5)2 – (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = (x2 + 5x + 5)2 – (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 25 - (x4 +10x3 + 35x2 +50x +24) = 1 Rpta: A 10 E = ( 5+ 24 – 5– 24) 2 = 5 24 – 2 (5+ 24) (5– 24) + 5 – 24 = 10 – 2 25– 24 = 10 – 2 (1) = 8 Rpta: C Comunicación Matemática pag 119
- 36. 124 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 11 Si a b 5+ = ^ ab = 3 (a + b)2 = 5 a2 + b2 + 2ab = 5 a2 + b2 = –1 Piden (a - b)2 = a2 + b2 – 2ab = – 1 – 2(3) = – 7 Rpta: B 12 Si: (a + 2b)2 + (a – 2b)2 = 8ab. a2 + 4ab + 4b2 + a2 - 4ab + 4b2 = 8ab 2a2 + 8b2 = 8ab a2 + 4b2 = 4ab a2 - 4ab + 4b2 = 0 (a - 2b)2 = 0 a = 2b Piden:M = 2ab – b2 a2 M = 2(2b)b – b2 (2b)2 = 3b2 4b2 M = 3 4 Rpta: C 13 Si A = a b + b a = 62 ⇒ a2 + b2 ab = 62 a2 + b2 = 62ab a2 + 2ab + b2 = 64ab (a + b)2 = 64ab a + b = 8 ab Piden: P = (a + b ab ) 1/3 = (8 ab ab ) 1/3 = (8)1/3 = 2 Rpta: E 14 (x + 1)5 + x + 2 =(x2 + Mx + 3)(x3 + 2x2 + x + 1) Para x = 1 (1+1)5 + 1 + 2 = (12 + M(1)+ 3)(13 + 2(1)2 + 1 + 1) 35 = (M +4)(5) 7 = M + 4 M = 3 Rpta: B 1 E = (x2 + 1 x2 )– 4(x + 1 x )+ 6 Si: x + 1 x = a ⇒ (x + 1 x ) 2 = a2 = x2 + 2 + 1 x2 = a2 = x2 + 1 x2 = a2 - 2 ⇒ E = (a2 – 2) – 4a + 6 E = a2 – 4a + 4 E = (a – 2)2 E = a – 2 ⇒= x + 1 x – 2 = x2 + 1 – 2x x = (x - 1)2 x Rpta: D 2 Si a b + b a = 2 ⇒ a2 + b2 = 2ab a2 - 2ab + b2 = 0 (a - b)2 = 0 a = b Piden: K = 2a+5a 9a – 2b + 3b+a b+a = 2a + 5a 9a – 2a + 3a + a a + a = 7a 7a + 4a 2a = 1 + 2 = 3 Rpta: C 3 E = (a + 3b + c)2 + (a + 2b + c)2 – 2(a + b + c)(a + 4b + c) ⇒ a + b + c = x (x + 2b)2 + (x + b)2 – 2(x)(x + 3b) = x2 + 4bx + 4b2 + x2 + 2bx + x2 – 2x2 – 6xb = 4b2 + b2 = 5b2 Rpta: E Resolución de problemas pag 120
- 37. 125 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 4 Si a b + b a = 4 a2 + b2 = 4ab a2 - 2ab + b2 =2ab (a - b)2 = 2ab (a -b)4 = 4a2 b2 R = (a-b)4 + 4a2 b2 16a2 b2 R = 4a2 b2 + 4a2 b2 16a2 b2 R = 1 2 Rpta: D 5 Si a2 + b2 = 2b(a + b) ⇒ a2 + b2 = 2ab + 2b2 a2 – 2ab + b2 = 2b2 (a – b)2 = 2b2 a – b = 2 b a = b( 2 + 1) a b = 2 +1 ^ b a = 2 -1 Piden: (a b + b a + 2)(a b + b a – 2) ⇒ ( 2 + 1 + 2 – 1 + 2)( 2 + 1 + 2 – 1 – 2) = (2 2 + 2)(2 2 – 2) = (2 2 )2 – 22 = 8 – 4 = 4 Rpta: B 6 R = (x+1)(x+2)(x – 4)(x – 5) + 9 + 3x + 7 R = (x2 +3x+2)(x2 –9x+20)+ 9 +3x+7 R = x4 –6x3 –5x2 +42x+40+9+3x+7 R = x4 –6x3 –9x2 –14x4 +42x+49+3x+7 R = (x2 - 3x)2 - 14(x2 - 3x) + 72 + 3x + 7 R = ((x2 - 3x) 7)2 + 3x + 7 R = x2 - 3x - 7 + 3x + 7 R = x2 Rpta: B 7 E = (a+1)2 (a2 +2a–1) – (a–1)2 (a2 –2a–1)3 E= (a2 +2a+1) (a2 +2a–1) – (a2 – 2a +1)(a2 – 2a – 1)3 E = (a2 + 2a)2 – 1 – ((a2 - 2a)2 – 1)3 E = (a2 + 2a)2 – 1 – (a2 – 2a)2 + 13 E = (a2 + 2a)2 – (a2 – 2a)23 E = (2a2 )(4a)3 E = 8a33 E = 2a Rpta: E 8 Si P = (a+b+c+d)(a – c+b – d) P = [(a+b)+(c+d)][(a – c)+(b – d)] P = (a + b)2 – (c + d)2 Q = (a – b+c+d)(a – b – d – c) Q = [(a – b)+(c+d)][(a – b) – (d + c)] Q = (a – b)2 – (c + d)2 Piden: K = P - Q 4 = (a + b)2 – (c + d)2 – (a – b)2 – (c + d)2 4 = (a + b)2 – (a – b)2 4 K= 4ab 4 = ab Rpta: B 9 Si a + b + c + d = 0 ⇒ a + b = – c a + c = – b b + c = – a Piden: R = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 a2 + b2 + c2 R = (–c)2 + (–a)2 + (–b)2 a2 + b2 + c2 R = c2 + a2 + b2 a2 + b2 + c2 R = 1 Rpta: B 10 E = (a + b + c + d)3 – (b + c + d)3 – 3a(b + c + d)(a + b + c + d) Si: b + c + d = x E = (a + x)3 – x3 - 3a(x)(a + x) = a3 + 3a2 x + 3ax2 + x3 – x3 – 3a2 x – 3ax2 = a3 Rpta: C
- 38. 126 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 11 S = (a + b + x)2 + (a + b – x)2 +(x + a – b)2 + (x – a + b)2 – 4(a2 + b2 + x2 ) [(a + b) + x]2 + [(a + b) – x]2 +[x + (a – b)]2 + [x – (a - b)]2 – 4(a2 + b2 + x2 ) S = 2[(a + b) + x2 ]+2[x2 + (a – b)2 ] + 4x2 – 4(a2 + b2 + x2 ) S = 2[2(a2 + b2 )]+ 4x2 – 4(a2 + b2 + x2 ) S = 4(a2 + b2 ) + 4x2 – 4(a2 + b2 + x2 ) S =4(a2 + b2 + x2 ) – 4(a2 + b2 + x2 ) S = 0 Rpta: D 12 Q = (x + 3)(x + 2)(x + 5)(x + 4) – (x2 + 7x + 11)2 Q = (x + 3)(x + 4)(x + 2)(x + 5) – (x2 + 7x + 11)2 Q = (x2 + 7x + 12) (x2 + 7x + 10) – (x2 + 7x + 11)2 ⇒ Q = (n + 12)(n + 10) - (n + 11)2 Q = n2 + 22n + 120 - n2 - 22n - 121 Q = – 1 Rpta: C 13 Si 3 x 1 y 12 x 3y + = + 3y + x xy = 12 x + 3y (3y + x)2 = 12xy 9y2 + 6xy + x2 = 12xy 9y2 - 6xy + x2 = 0 (3y - x)2 = 0 ⇒ 3y = x Piden: 3y + 6y 3y + x y M = 9y 3y + 3 M = 3 + 3 M = 6 Rpta: B 14 E = (x – 2)(x + 3)(x – 4)(x + 1) – x2 (x – 1)2 + 14x(x – 1) – 24 E = (x – 2)(x + 1)(x + 3)(x – 4) – (x2 – x)2 + 14x(x2 – x) – 24 E = (x2 – x – 2)(x2 – x – 12) – (x2 – x) + 14(x2 – x) – 24 Si: x2 – x = m ⇒ E = (m - 2)(m - 12) - m2 + 14m - 24 ⇒ m2 – 14m + 24 – m2 + 14m – 24 E = 0 Rpta: A 15 M = (x + y + z - w)2 + (x + y – z + w)2 – (x – y + z + w)2 – (x – y – z – w)2 ⇒ M = [(x + y)+(z - w)]2 + [(x + y) – (z – w)]2 – [(x–y)+(z+w)]2 + [(x – y) – (z + w)]2 M = [2(x + y)2 + 2(z- w)2 ] - [2(x – y)2 + 2(z+ w)2 ] M = 2(x + y)2 - 2(x - y)2 +2(z – w)2 - 2 (z + w)2 M = 2 [4xy] - 2[4zw] M = 8xy - 8zw M = 8(xy - zw) Si: xy - zw = 9 M = 8(9) M = 72 Rpta: E 16 E = (x2 + 8x + 11)2 – (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) E = (x2 + 8x + 11)2 – (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) E = (x2 + 8x + 11)2 – (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) Si: x2 + 8x = m ⇒ E =(m+ 11)2 – (m + 7)(m + 15) E = m2 + 22m + 121 – m2 – 22m + 105 E = 16 Rpta: D 17 M = 1 + 80(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 + 1) 32 M = 1 + (3 4 - 1)(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 + 1) 32 M = 1 + (3 8 - 1)(3 8 + 1)(3 16 + 1) 32 M = 1 + (3 16 - 1)(3 16 + 1) 32 M = 1 + 3 32 – 1 32 M = 3 3232 M = 3 Rpta: B 18 E = x4 + 1 – (x+1) 3 (x–1) 3 (x2 –1) 5 (x2 +1) 8 (x4 –1) 210 E = x4 + 1 – [(x+1)(x–1)] 3 (x2 –1) 5 (x2 +1) 8 (x4 –1) 210 E = x4 + 1 – (x2 -1) 3 (x2 –1) 5 (x2 +1) 8 (x4 –1) 210 E = x4 + 1 – (x2 -1) 8 (x2 +1) 8 (x4 –1) 210 E = x4 + 1 – [(x2 –1)(x2 +1)] 8 (x4 –1) 210 E = x4 + 1 – (x4 –1) 8 (x4 –1) 210 E = x4 + 1 – (x4 –1) 1010 E = x4 + 1 – x4 + 1 E = 2 Rpta: C
- 39. 127 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Razonamiento y demostración Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Reduce: (x – 2)2 + 4(x – 1) A) 2x B) x2 C) x2 –1 D) x2 – 4x E) x2 –1 3 Si: a – b = 6 y ab = 7 Calcula el valor de: a3 – b3 A) 342 B) 432 C) 64 D) 50 E) 48 4 Simplifica: M = (a + b)3 – b3 – 3ab(a + b) A) 0 B) b3 C) a3 + b3 D) ab E) a3 2 Si: x + y = 7 ∧ xy = 10 calcula el valor de: x3 + y3 A) 343 B) 210 C) 180 D) 140 E) 133 x2 – 4x + 4 + 4x – 4 = x2 Piden: (x + y)3 = 73 x3 + y3 + 3xy(x + y) = 343 x3 + y3 + 3(10)(7) = 343 x3 +y3 =133 Rpta: B Rpta: E Piden: (a – b)3 = 63 a3 – b3 – 3ab(a – b) = 216 a3 – b3 – 126 = 216 a3 – b3 =342 M = a3 + b3 + 3ab(a + b) - b3 - 3ab(a + b) M = a3 Rpta: A Rpta: E
- 40. 128 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche Comunicación Matemática Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Si: x + 1 x = 8, calcula el valor de: A = x2 + 1 x2 A) 64 B) 62 C) 32 D) 24 E) 16 2 Si: x2 + x = 2 Calcula el valor de: M = (x – 1)(x + 2) A) 7 B) 2 C) 1 D) 0 E) –1 3 Si: x + y = 5 ; xy = 2 ; x > y. Calcula el valor de: y – x A) –21 B) 3 C) 17 D) – 17 E) 21 4 Calcula el valor de: E = ( 103 – 23 )( 1003 + 203 + 43 ) A) 1 B) 2 C) 8 D) 10 E) 11 ⇒ Si: (x + 1 x )2 = (8)2 x2 + 2 + 1 x2 = 64 Piden: x2 + 1 x2 = 62 M = X2 + X - 2 M = 2 – 2 M = 0 Rpta: B Rpta: D ⇒ (x + y)2 = 52 x2 +2xy + y2 = 25 x2 + 2(2) + y2 = 25 x2 + y2 = 21 Piden: (y - x)2 = y2 - 2yx + x2 (y - x)2 = x2 + y2 - 2xy (y - x)2 = 21 - 2(2) y - x = 17 Rpta: C Rpta: C E = 10003 + 2003 + 403 – 2003 – 403 – 83 E = 10 – 2 E = 8
- 41. 129 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Resolución de Problemas Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Si: a2 + b2 + c2 = 8 Simplifica: E = (a + b – c)2 + (a – b + c)2 + c2 A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 2 Reduce: P = (x + y)3 – (x + y)(x2 – xy + y2 ) 3(x + y) A) xy B) x+y C) x3 – y3 D) 1 E) x/y 3 Reduce: M = (x + 1)(x2 + x + 1)(x – 1)(x2 – x + 1) + 1 A) x3 B) x4 C) x6 D) x9 E) x10 4 Si se cumple: a3 + b3 = 1 Calcula el valor de: (a6 – b6 ) – (a9 + b9 ) A) (a+b)3 B) ab C) a3 b3 D) ab E) – (a+b)3 Rpta: C Rpta: C Rpta: C Rpta: A E = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc + a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc + 4bc E = 2(a2 + b2 + c2 ) - 4bc + 4bc E = 2(8) E = 16 P = (x + y)[(x + y)2 – (x2 – xy + y2 )] 3(x + y) P = (x + y)2 – (x2 – xy + y2 ) 3 P = (x + y)2 – (x2 – xy + y2 ) 3 P = x2 + 2xy +y2 – x2 + xy - y2 ) 3 P = 3xy 3 P = xy M = (x +1)(x–1)(x2 +x+1)(x2 –x+1)+1 M = (x2 - 1)[(x2 + 1)2 – x2 ]+ 1 M = (x2 - 1)(x4 + x2 + 1) + 1 M = x6 + x4 + x2 - x4 - x2 - 1 + 1 M = x6 Piden: (a6 – b6 ) – (a9 + b9 ) ⇒ (a6 + b6 ) – (a3 + b3 )(a6 - a3 b3 + b6 ) a6 + b6 – (1)(a6 - a3 b3 + b6 ) a6 + b6 – a6 + a3 b3 – b6 a3 b3
- 42. 130 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 1 Cada una de las siguientes divisiones son exactas, calcula el polinomio cociente de cada una: 2 Calcula el cociente y residuo en cada división: 3 En cada caso calcula el cociente y residuo: ACTIVIDADES PARA LA CLASE a) 4 3 23 1 2 x 2x x x 20 4 3 3 − + − − entre 2 4 x x 8 3 − − b) 15 2 10 9 x3 + + x2 - x entre 23 1 2 3 4 x x 5 − + a) (42x2n+2 –2x2n+4 +x2n+3 +24x2n+5 )÷(7xn+1 +6xn+2 ) a) (28x4 – 5x3 + 22x2 – 7x +10) : (4x2 – 3x + 2) Q(x) = 7x2 + 4x + 5 Q(x) = 2x2 + 5x + 7 b) (4x4 – 5x2 – 20x + 21) : (2x2 – 5x + 3) b) (10xa + 12xa+2 – 25xa -1 – 7xa+1 ) ÷ (4x2 – 5x) 28x4 – 5x3 + 22x2 – 7x + 10 16x3 + 8x2 – 7x 20x2 – 15x + 10 –(28x4 – 21x3 + 14x2 ) –(16x3 – 12x2 + 8x) –(20x2 +15x + 10) – – 0 4x2 – 3x + 2 7x2 + 4x + 5 4x4 – 5x2 – 20x + 21 10x3 – 11x2 – 20x 14x2 – 35x + 21 –(4x4 – 10x3 + 6x2 ) –(10x3 – 25x2 + 15x) –(14x2 – 35x + 21) – – 0 2x2 – 5x + 3 2x2 + 5x + 7 Q(x) = 4xn+3 – 5xn+2 + 6n+1 Q(x) = 3x9 +2xa-1 +5xa-2 Q(x) = 3 4 x2 – x + 5 R(x) = 0 R(x) = 0 R(x) = –2x + 20 3 4 x4 – 2x3 + 1 3 x2 – 2 3 x – 20 –x3 + 19 3 x2 – 2 3 x 5x2 – 26 3 x – 20 – 3 4 x4 + x3 + 6x2 +x3 – 4 3 x2 – 8x –5x2 + 20 3 x + 40 –2x + 20 x2 – 4 3 x – 8 3 4 x2 – x + 5 15 2 x3 + x2 – x + 10 9 5x2 – 8 3 x + 10 9 0 – 15 2 x3 + 4x2 – 5 3 x –5x2 + 8 3 x – 10 9 3 2 x2 – 4 5 x + 1 3 5x + 10 3 24x2n+5 – 2x2n+4 + x2n+3 + 42x2n+2 –30x2n+4 + x2n+3 –24x2n+5 –28x2n+4 36x2n+3 + 42x2n+2 – 0 7xn+1 + 6xn+2 4xn+3 – 5xn+2 + 6n+1 +30x2n+4 + 35x2n+3 –36x2n+3 – 42x2n+2 12xa+2 – 7xa+1 + 10xa – 25xa -1 8xa+1 + 10xa 20xa – 25xa+1 –12xa+2 + 15xa+1 –8xa+1 + 10xa –20xa +25xa+1 – 0 4x2 – 5x 3x9 +2xa-1 +5xa-2
- 43. 131 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 4 Uitiliza la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto en cada caso: 5 Aplica el método de Horner, halla el cociente y residuo de cada división: a) (6x5 – 3x4 +7x3 +x2 – 10x+3) ÷ (2x+1) b) (x5 - 6x4 + 13x + 26x2 + 20)÷(x - 4) a) (4x4 – 6x2 + 5x3 + 11x + 16) ÷ (x2 - 2x + 3) b) (5y5 + 17y4 – 21y – 46 + 50y2 ) ÷ (4y2 – 2y + y3 – 3) 6 Utiliza el teorema del resto, halla el residuo de las siguientes divisiones. a) (x8 – 4x7 + 2x3 – 3) ÷ (x + 1) ; x = -1 b) (x6 – x3 b3 + xb5 ) ÷ (x + b) ; x = -b 7 Determina el valor de “n” para que el polinomio: x6 – 5x3 – 4x2 +n sea divisible por (x – 2) 8 Calcula el valor de “z” para que el polinomio: – x3 – 5x2 + x + z sea divisible por (x + 4). 9 ¿Cuál es el valor de “k” para que el polinomio: (x + 3y)7 + (2x)3 y4 + 7ky7 sea divisible por (x + 2y)? x = – 1 2 x = – 4 1 –6 0 26 13 20 1 –2 –8 –6 –11 –24 4 –8 -32 –24 -444 ⇒ Q(x) = 6x4 – 6x3 + 10x2 - 4x –8 ⇒ Q(x) = x4 – 2x3 – 8x2 - 6x – 11 ⇒ Q(x) = 4x2 + 13x + 8 ⇒ Q(x) = 5x2 – 3x +22 ⇒ R(x) = 0 ⇒ R(x) = 0 ⇒ R(x) = 0 R(x) = 7 R(x) = – 24 R(x) = – 13x – 8 R(x) = –29x2 + 14x + 20 R(x) =(–1)8 – 4(–1)7 + 2(–1)3 – 3 x = 2 x = – 4 x = – 2y (2)6 – 5(2)3 – 4(2)2 + n = 0 64 – 40 – 16 + n = 0 n = –8 – (– 4)3 – 5(– 4)2 + (– 4) + z= 0 64 – 80 – 4 + z = 0 z = 20 (–2y + 3y)7 + (2 (–2y))3 y4 + 7ky7 = 0 y7 – 64y7 + 7ky7 = 0 – 63y7 + 7ky7 = 0 k = –9 R(x) =(–b)6 – (–b)3 b3 + (–b)b5 R(x) =b6 + b6 – b6 R(x) =b6 R(x) =–2 + 4 – 2 – 3 = –3 4 5 -6 11 16 4 13 8 -13 -8 8 122 1 -3 26 -39 16 -24 6 –3 +7 +1 –10 +3 6 –6 10 -4 –8 7 –3 3 -5 2 4 – 1 2 12 -6 -9 5 17 0 50 -21 46 5 -3 22 -29 14 20 -20 10 15-4 1 3 -88 44 66 2
- 44. 132 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche ACTIVIDADES PARA LA CASA 1 Calcula el cociente y el residuo de la división: a) (25x3 – 10x2 + 12x – 9) ÷ (5x – 3) 3 Utiliza la regla de Ruffini, halla el resto y el co- ciente. (y4 +6y2 – 3y3 – 8y – 20) ÷ (y – 3) 2 Calcula el cociente y el residuo de la división: a) (8x4 – 30x2 – 13x + 8) entre (1 – 5x + 2x2 ) 4 Aplica el método de Horner, halla el cociente y residuo. (7x3 – 20x2 – 25x + 15) ÷ (x2 – 5x + 1) 5 Utiliza el teorema del resto, halla el residuo de las siguientes divisiones. a) (3x5 – 4x4 + 2x – 10) ÷ (x – 2) b) (2x3 – 5x2 – 2x – 3) ÷ (x – 3) 6 ¿Qué valor deberá tener “a” para que el polino- mio: (x8 + ay8 )y – ( 2 x3 )9 sea divisible por (x + y)? 25x3 – 10x2 + 12x – 9 5x2 + 12x 15x – 9 –25x3 + 15x2 –5x3 + 3x –15x + 9 – – 5x - 3 5x2 + x + 3 Q(x) = 5x2 + x + 3 Q(x) = x3 + 6x2 + 10 Q(x) = 4x + 15 Q(x) = 4x2 + 10x + 8 R(x) = 0 R(x) = −10 y = 3 R(x) = 43x R(x) = 17x 8x4 + 30x2 – 13x + 8 20x3 – 34x2 – 13x 16x2 – 23x + 8 –(8x4 – 20x³ + 4x2 ) –(20x3 – 50x2 +10x) –(16x2 – 40x + 8) 17x 2x2 - 5x + 1 4x2 + 10x + 8 1 -3 6 -8 -20 1 0 6 10 -10 3 0 18 303 7 -20 -25 15 7 15 43 0 35 -75 1 -1 75 -15 R(x) = 3(2)5 - 4(2)4 - 2(2) -10 R(x) = 96 - 64 - 4 - 10 R(x) = 18 R(x) = 2(3)3 - 5(3)2 - 2(3) - 3 R(x) = 54 - 45 - 6 - 3 R(x) = 0 x = − y ⇒ R(x) = 0 [(−y)8 + ay8 ]y − 23 (−y)9 = 0 y9 + ay9 + 8y9 = 0 y9 (1 + a + 8) = 0 9 + a = 0 a = -9
- 45. 133 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 ACTIVIDADES PARA LA CLASE 1 Utiliza la regla de los cocientes notables, calcula el cociente de: 2 Aplica la regla de los cocientes notables, halla el cociente de: a) z2 - 9 z + 3 = z − 3 b) 2 16x 1 4x 1 − − = 4x + 1 c) 2 81y 9 9y 3 − + = 9y − 3 d) 2 144 25x 12 5x − − = 12 + 5x e) 2 169y 36 13y 6 − − = 13y + 6 f) ( )2 6 3 2a 3 4x 2a 3 2x − − − + = (2a − 3) − 2x3 g) 8 6 4 3 0,16a 0,09b 0,4a 0,3b − − = 0,4a4 + 0,3b3 h) 1,44x6m – 1,69y10m 1,2x3m + 1,2y5m = 1,2x3m − 1,3y5m a) 6 2 8 x 2 x + + ⇒ 23 + (x2 ) 3 2 + x2 = 22 − x2 (2) + (x2 )2 = 4 − 2x2 + x4 b) 9 3 x 125 x 5 + + ⇒ (33 )3 + 53 x3 + 5 = (x3 ) 2 − 5(x3 ) + 52 = x6 − 5x3 + 25 c) 9 3 3 8p 27q 2p 3q + + ⇒ (2p3 ) 3 + (3q)3 2p3 + 3q = (2p3 ) 2 − (2p3 )(3q) + (3q)2 = 4p6 − 6p3 q + 9q2 d) 0,125x18 + 0,064y9 0,5x6 + 0,4y3 ⇒ (0,5x6 )3 + (0,4y3 )3 0,5x6 + 0,4y3 = (0,5x6 ) 2 − (0,4y3 )(0,5x6 ) + (0,4y3 ) 2 = 0,25x12 − 0,2x6 y3 + 0,16y6 e) − − 6 9 2 3 0,008y 0,001x 0,2y 0,1x ⇒ (0,2y2 ) 3 − (0,1x3 ) 3 0,2y2 − 0,1x3 = (0,2y2 ) 2 + (0,2y2 )(0,1x3 ) + (0,1x3 ) 2 = 0,04y4 + 0,02x3 y2 + 0,01x6 f) ( )3 12 4 2x a 8x 2x a 2x + − + − ⇒ (2x+a)3 − (2x4 ) 3 (2x + a) − 2x4 = (2x + a)2 + (2x + a)(2x4 ) + (2x4 ) 2
- 46. 134 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 7 ¿Cuántos y términos posee el cociente notable: 2m 16 4 m x – y x – y # Términos: m2 4 = 16 m m3 = 64 m = 4 8 Simplifica la expresión: E = + + + 5 5 4 4 x y x – y – x x y x y E=(x4 −xy3 +x2 y2 −x3 y+y4 )−x(x3 −xy2 +x2 y−y3 ) E = x4 - xy3 + x2 y2 - x3 y + y4 - x4 + x2 y2 - x3 y + xy3 E = 2x2 y2 - 2x3 y + y4 3 Halla el quinto término de: − − 6 x 729 x 3 . Y señale también cuántos términos tiene el desarrollo del cociente notable: ⇒ x6 − 33 x − 3 ; n = 6 T5 = x6 - 5 (35 - 1 ) T5 = 81x # Términos : 6 4 Halla el sexto término de: x 128 x 2 7 − − . Señale también el número de términos que tiene el cociente notable: x7 − 27 x − 2 ; n = 7 T6 = x7- 6 (36 - 1 ) T6 = 32x # Términos : 7 5 Calcula el valor de “a” en: 2a 2 7a 1 2a 4 a 2 x y x y + − − + − − para que sea un cociente notable. ⇒ 2a + 2 2a − 4 ; 7a − 1 a + 2 2a2 + 6a + 4 = 14a2 − 30a + 4 36a = 12a2 a = 3 6 Calcula el cuarto término del desarrollo de: + + 3 3 x 1 x 1 3 + + 3 3 x 1 x 1 ; n = 3 T4 = (x 1 3 ) 3 -4 T4 = x -3 Rpta. x -3 Rpta. 2x2 y2 – 2x3 y + y4 Rpta. 32x Rpta. 3 Rpta. 4 Rpta. 81x
- 47. 135 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 ACTIVIDADES PARA LA CASA 1 Utiliza la regla de los cocientes notables, calcula el cociente de: 2 Aplica la regla de los cocientes notables, halla el cociente de: 3 Desarrolla: 3 x x 32 x 2 + + ⇒ x 5 + 25 x + 2 = x 4 − 2 x 3 + 22 x 2 − 23 x + 24 = x2 − 2x x + 4x − 8 x + 16 4 Indicaeldesarrollode: 2 x –1 x –1 ⇒ x 4 − 1 4 x − 1 = x 3 + 1( x 2 ) + 12 ( x ) + 13 = x x + x + x + 1 c) 2 100a 49 10a 7 − − = 10a + 7 d) 2 169y 36 13y 6 − − = 13y + 6 c) 27 21 9 7 z w z w − − ⇒ (z9 ) 3 − (w7 ) 3 z9 − w7 = (z9 )2 + (z9 )(w7 ) + (w7 ) 2 = z18 + z9 w7 + w14 d) 125x6m + 64y12m 5x2m - 4y4m ⇒ (5x2m ) 3 + (4y4m ) 3 5x2m − 4y4m = (5x2m )2 - (5x2m )(4y4m ) + (4y4m ) 2 = 25x4m - 20x2m y4m + 16y8m a) 2 y 64 y 8 − + = y + 8 b) 2 x 25 x 5 − − = x +5 a) 3 y 64 y 4 + + = y2 − 4y + 16 b) 12 4 1000a 1 10a 1 − − ⇒ (10a4 ) 3 - 13 10a4 - 1 = (10a4 ) 3 + (10a4 )(1) + 12 = 100a8 + 10a4 + 1 Rpta. x2 - 2x x + 4x - 8 x + 16 Rpta. x x + x + x + 1
- 48. 136 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche Razonamiento y demostración Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” APLICO MIS APRENDIZAJES "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta lograr tu cometido." 1 Divide: (4x 3x 2)3 + − entre (2x 3x 2)2 − + y dar como respuesta la suma del cociente y el residuo. A) 8x – 8 B) 10x + 3 C) 2x + 3 D) 10x – 5 E) 10x – 8 2 Señala el cociente de la división: (2x x 3 7x) : (2x+3)4 3 − − + A) x 2x 3x 13 2 − + − B) x x 3x 33 2 + − + C) x x x 53 2 − + − D) x 2x x 13 2 + + + E) x 3x 3x 33 2 + − + 3 ¿Cuánto vale “k” si la división: 3x x 3x k 3x 2x 1 3 2 2 − − + + −es exacta? A) 1 B) 2 C) –2 D) 3 E) –1 4 Resuelve la división: (6x 2y xy):(y 2x)2 2 − − + , señala el cociente. A) 3y – 2x B) 3x – 2y C) 3x + 2y D) 3y + 2x E) 2x – 3y 5 Calcula la división:[(x 2) 1:(x 1)3 − + − ], señalando el cociente: A) x 7x 52 + − B) x 7x 52 − + C) x 5x 72 + + D) x 5x 9 2 − + E) x 5x 72 − + 6 Calcula (a + b) en: P(x) 6x 11x 2x ax b5 4 2 = + − + + , sabiendo que es divisible por (3x x 3)2 + − . A) –7 B) –9 C) –11 D) –8 E) –10 7 Identifica el residuo de dividir: 12x 5x 6x 73 2 + − + entre (x 1)− . A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 0 8 ¿Para qué valor de “n” el polinomio: P(x) 2x 5x nx 64 3 = − + + será divisible por (x+1)? A) 10 B) 14 C) 15 D) 9 E) 13 9 ¿Cuántos términos admite el desarrollo del cociente notable: x a x a 25n 25n 25 n n 1 − − + + . A) 30 B) 28 C) 32 D) 25 E) 20 10 Calcula el valor de “m”, si la siguiente expresión es un cociente notable: xm+54 + y357 x4 + y17 A) 30 B) 40 C) 45 D) 48 E) 50 11 x x x 112 8 4 + + + es el cociente de: A) x 1 x 1 16 2 − + B) x 1 x 1 16 − − C) x 1 x 1 16 4 − − D) x 1 x 1 12 4 − − E) x 1 x 1 16 2 − − 12 ¿Cuántos términos admite el desarrollo del cociente notable: a y a y 10n 8 9n n n 1 + − − + ? A) 15 B) 14 C) 132 D) 12 E) 11 13 El grado absoluto del término de lugar 6 del siguiente cociente notable: x y x y 3n 9 3n 3 2 + + + es: A) 9 B) 10 C) 18 D) 19 E) 21 14 Si xm-96 y14 es el octavo término de desarrollo del cociente notable: xm – y24 xp – yq , calcula: m + p + q. A) 164 B) 142 C) 158 D) 185 E) 153 15 Calcula número de términos fraccionarios del desarrollo. x45 – x-30 x3 – x-2 A) 15 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 1. D 2. A 3. A 4. B 5. E 6. A 7. B 8. E 9. D 10. A 11. C 12. D 13. D 14. C 15. E Clave de Respuestas
- 49. 137 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Comunicación Matemática APLICO MIS APRENDIZAJES 1 Calcula el residuo de dividir P/Q, siendo: P x 2x 2 y Q= 2x x 23 2 2 = − + − + A) x - 2 B) − − 7 4 (x 2) C) 7 2 (x 2)+ D) − − 7 2 (x 2) E) 2 - x 2 ¿Por cuánto se multiplica a: (5x x 1)2 − + para obtener (25x 4x 1) ?3 + + A) 5x – 1 B) 5x + 1 C) 5x – 2 D) 5x + 2 E) 5x – 3 3 Calcula el menor coeficiente del cociente obteni- do al dividir: (32x 1) entre (2x+1)5 − . A) 1 B) –4 C) –16 D) –8 E) 2 4 Calcula el resto en: (3x 7x 1) : (x+1)3 2 − − . A) –11 B) –9 C) –8 D) –7 E) –6 5 Dada la división: 14 2x 6x (x x ) (1 x) 7 14 7 + + + − + . ¿Qué proposición será verdadera?. I. El resto no es 22. II. El máximo grado del resto es 6. III. El cociente es de grado mayor que 7. A) I B) II C) III D) II y III E) Ninguna es verdadera 6 Calcula el resto de: (9x2 - 6x + 2)8 - 38 x8 + 1 3x - 2 A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 E) –2 7 Determina la suma de cifras del residuo obtenido en la división: (2x 3) 4x 1 : (2x 1)5 2 + − + + A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 8 Indica el valor de verdad en cada caso: I. Si (x3 + 9x + 2)÷(x – 1), entonces: R(x) = 12 II. Si (x3 + 10x + 3)÷(x2 – 1), entonces: R(x) = 11x. III. Si (x2 +7x +31) ÷(x2 +x +90), entonces:R(x) = 6x – 59. En cada proposición: R(x) es el residuo. A) VFV B) VVF C) VFF D) FVV E) FFF 9 Calcula el número de términos del desarrollo de: − − 15 3 x 32 x 2 A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 7 10 Indica el valor de verdad. I. x y x y 3 3 − + , es un cociente notable exacto II. x y x y 31 31 − + , es un cociente notable no exacto III. x y x y 5 n + + , es un cociente notable si n = 5 A) VVV B) FVV C) VVF D) FFV E) FFF 11 Halla el séptimo término del cociente notable: x y x y 33 363 3 33 − − . A) x y12 198 B) -x y12 191 C) x y10 33 D) -x y12 98 E) x y15 39 12 Determina el grado del término central del desa- rrollo de: x y x y 11 22 2 − − A) 11 B) 15 C) 14 D) 12 E) 10 1. B 2. B 3. D 4. A 5. E 6. B 7. B 8. A 9. B 10. B 11. A 12. B Clave de Respuestas
- 50. 138 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche Resolución de Problemas APLICO MIS APRENDIZAJES 1 Calcula: “m” y “n” en: P(x) 2x 3x nx m3 2 = + − + , sabiendo que es divisible por: (2x x 1)2 − − ; señalar: (m + n). A) 1 B) 2 C) –3 D) 4 E) –5 2 Sea P(x) x 5x 3x 23 2 = + − + , halla el resto de dividir P(x) entre (x x 1)2 − + y proporcionar el valor numérico de dicho resto, para x = 2. A) 0 B) 2 C) –2 D) 4 E) –4 3 Halla “a” y “b” en P(x) = 4x 2x ax b5 3 − + + , sabiendo que es divisible por: Q(x) 2x 2x 13 2 = − + Indicar: “ab”. A) 2 B) 6 C) –2 D) –6 E) 4 4 Halla “a”, sabiendo que el cociente de la división: (12x 27x ax 8) : (2x+3)4 2 − + + es divisible por (x - 1). A) 5 B) 7 C) 6 D) –5 E) –7 5 Calcula el resto en: x 5x 9 x 5 351 350 − + − . A) 10 B) 9 C) 0 D) 1 E) 5350 6 El polinomio: P(x,y)= (x + y)4n - 8n (x4n + y4n ) es divisible por (x – y). Halla el valor de “n”. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 Luego de dividir: 8x 2x 5x 9x 7 2x x 3 4 3 2 2 + − + − + − , indi- car el residuo obtenido. A) 2x + 5 B) 5x + 2 C) 2x + 3 D) 3x – 12 E) 2x – 5 8 Halla el residuo al dividir: (x 3x 6) : (x 1)200 3 2 + + − . A) 3x+13 B) 3x+11 C) 3x + 9 D) 3x+7 E) 3x+5 9 Calcula “k” en: P(x) (x a) x kan n n = + − − , sabiendo que es divisible por (x + 2a). Asumir “n” impar. A) 2n B) 2n+1 C)2n –1 D) 2n – 2 E) 2n + 2 10 Calcula el resto de dividir: x (2x) x 8x x 16x 6 x 2 40 20 13 10 6 2 − + − + − − − . A) 1 B) 2 C) 8 D) –2 E) –6 11 Si la división: bx bx 91x 19a x 5x 1 4 3 2 − + − − + es exacta, calcula el valor de: (ab + 3). A) 2 B) 1 C) –1 D) 3 E) –2 12 Si la división: 8x ax bx 7 2x 1 3 2 − + − − es exacta, y ade- más el cociente no tiene término lineal, calcula b/a. A) 1 7 B) 2 C) 3 D) 1 2 E) 7 2 13 Si al dividir: bx ax ab x 2 3 + + + se obtuvo por cocien- te: bx 6x 92 + − , el resto es: A) -9 B) 9 C) 18 D) 0 E) 12 14 Halla el residuo de la división: (x + 3b)7 - (x7 - 11b7 ) x + 2b . A) -116b7 B) -119b7 C)118b7 D) 140b7 E) 150b7 15 Señalar el quinto término del desarrollo del co- ciente notable: x a x a p p 40 2 3 − + + . A) x70 a12 B) x60 a12 C) x48 a12 D) x80 a12 E) x54 a12 16 Halla el décimo término del desarrollo del co-
- 51. 139 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 ciente notable: xp – y4p - 60 x3 + y9 A) x27 y90 B) x30 y81 C) -x30 y81 D) -x81 y30 E) x28 y82 17 ¿Cuántos términos tiene el desarrollo del cocien- te notable: a4m+12 – x4m-3 am-8 – xm-9 A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 18 Halla el valor numérico del término del lugar 29, para x = –1, del desarrollo del cociente: (x + 3)36 – x36 2x + 3 A) 28 B) 256 C) 128 D) 64 E) 32 19 ¿Cuántos términos racionales tiene el cociente notable siguiente: x17,5 – y8,75 x – y4 A) 9 B) 12 C) 15 D) 36 E) 21 20 Si el cociente: x6n+1 – y5n x2n-3 + yn es exacto, halla el valor de “n” (n ∈ IN) A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 21 Si el cociente, xn – y675 x3 + yn es notable, halla el grado absoluto del término central de su desarrollo. A) 633 B) 336 C) 308 D) 624 E) 663 22 ¿Cuántos términos posee el cociente notable originado por: xa+8 + ya2 -91 x2 + y A) 10 B) 11 C) 12 D) 9 E) 8 23 ¿Qué lugar ocupa el término de grado 69 en el desarrollo del cociente notable x y x y 60 90 2 3 − − ? A) 10° B) 11° C) 12° D) 13° E) 14° 24 Dado el siguiente cociente notable: x y x y 6n 40 n-4 4 − − ; indique el octavo término de su desarrollo. A) x y14 16 B) x y28 12 C) x y12 28 D) x y12 15 E) x y2 3 25 Halla el coeficiente del cuarto término del desa- rrollo de: 32x 243y 2x 3y 5 5 + + A) -108 B) -27 C) -54 D) -81 E) -12 26 Calcula el cuarto término del desarrollo. (1 x )18 – x12 (1 x )3 – x2 A) x2 B) 1 C) 1 x D) -1 E) x4 27 Si: A = x3 . (x5 )a – (y5 )a . (y10 )3 xa-1 – ya+2 es un cociente notable, halla el valor de “a”. A) 2 B) 5 C) 6 D) 3 E) 7 1. A 2. A 3. A 4. C 5. B 6. A 7. A 8. D 9. C 10. E 11. A 12. E 13. B 14. D 15. A 16. C 17. D 18. C 19. A 20. B 21. B 22. D 23. C 24. C 25. C 26. B 27. D Clave de Respuestas
- 52. 140 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 1 4x3 + 0x2 + 3x − 2 6x2 − x − 2 8x − 8 −4x3 + 6x2 − 4x −6x2 + 9x − 6 2x2 − 3x + 2 2x + 3 ⇒ Q(x) = 2x + 3 R(x) = 8x - 8 Piden Q(x) + R(x) = 2x + 3 + 8x - 8 Q(x) + R(x) = 10x - 5 Rpta: D 2 2x4 − x3 + 0x2 + 7x − 3 −4x3 + 0x2 6x2 + 7x −2x4 − 3x3 +4x3 + 6x2 −6x2 − 9x −2x − 3 +2x + 3 0 2x + 3 x3 − 2x2 + 3x − 1 Piden: Q(x) = x3 - 2x2 + 3x - 1 Rpta: A 3 3x3 − x2 − 3x + k −3x3 − 2x + k k − 1 −3x3 − 2x2 + x +3x2 + 2x − 1 3x2 + 2x − 1 x − 1 ⇒ k - 1 = 0 k = 1 Rpta: A 4 6x2 − xy − 2y2 -4xy - 2y2 0 −6x2 − 3xy +4xy + 2y2 2x + y 3x − 2y Piden Q(x) = 3x − 2y Rpta: B 5 D(x) = (x - 2)3 + 1 D(x) = x3 - 6x2 + 12x - 8 + 1 D(x) = x3 - 6x2 + 12x - 7 ⇒ x3 − 6x2 + 12x − 7 5x2 + 12x 7x − 7 −x3 + x2 +5x2 − 5x −7x + 7 0 x − 1 x2 − 5x + 7 Piden: Q(x) = x2 − 5x + 7 Rpta: E 6 6x5 + 11x4 + 0x3 − 2x2 + ax + b 9x4 + 6x3 − 2x2 3x3 + 7x2 + ax 6x2 + (a + 3)x + b (a + 1)x + (b + 6) −6x5 − 2x4 + 6x3 −9x4 − 3x3 + 9x2 −3x3 − x2 + 3x −6x2 − 2x + 6 3x2 + x − 3 2x3 + 3x2 + x + 2 ⇒ (a + 1)x + (b + 6) = 0 a + 1 = 0 ∧ b + 6 = 0 a = −1 ∧ b = − 6 Piden a + b = −1 − 6 = −7 Rpta: A 7 12x3 + 5x − 6x2 +7 x − 1 Teorema del resto: ⇒ x − 1 = 0 x = 1 ⇒ R(x) = 12(1)3 + 5(1) − 6(1)2 + 7 R(x) = 12 + 5 − 6 + 7 R(x) = 18 Rpta: B 8 Px es divisible por (x + 1) ⇒ R(x) = 0 Teorema del resto: ⇒ x + 1 = 0 x = −1 ⇒ P(−1) = 0 2(−1)4 − 5(−1)3 + n(−1) + 6 = 0 2 + 5 − n + 6 = 0 n = 13 Rpta: E Razonamiento y demostración pág. 136 9 x25n − a25n + 25 xn − an+1 = (xn )25 − (an+1 )25 (xn ) − (an+1 ) # Términos = 25 Rpta: D 10 xm+54 + y357 x4 + y17 es cociente notable. ⇒ m + 54 4 = 357 17 m + 54 = 4 . 21 m = 30 Rpta: A
- 53. 141 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 15 Q = x45 – x-30 x3 – x-2 = (x3 ) 15 – (x-2 ) 15 (x3) – (x-2 ) Tk = (x3 ) 15-k . (x-2 ) k-1 GA(Tk ) = 3(15 - k) + (k - 1)(-2) = 47 - 5k Para Tk sea fraccionario. GA(Tk ) = 47 - 5k < 0 ⇒ k> 9,4 Pero: k ≤ 15 ⇒ 9,4 > k ≤ 15 k = {10, 11, 12, 13, 14, 15} = 6 términos Rpta: E 11 x x x 112 8 4 + + + = (x4 ) 3 + (x4 ) 2 + x4 + 1 ⇒ Q = (x4 ) 4 - 1 x4 - 1 = x16 - 1 x4 - 1 Rpta: C 12 a y a y 10n 8 9n n n 1 + − − + es cociente notable ⇒ 10n + 8 n = 9n n − 1 (10n + 8)(n − 1) = 9n2 10n2 − 10n + 8n − 8 = 9n2 (n − 4)(n +2 ) = 0 n = 4 ⇒ a48 − y36 a4 − y3 = (a4 ) 12 − (y3 ) 12 a4 − y3 # Términos: 12 Rpta: D 13 x y x y 3n 9 3n 3 2 + + + es cociente notable ⇒ 3n +9 3 = 3n 2 6n + 18 = 9n n = 6 ⇒ x27 + y18 x3 + y2 = (x3 ) 9 + (y2 ) 9 x3 + y2 ⇒ T6 = (−1)6+1 . (x3 )9-6 . (y2 )6-1 T6 = −x9 y10 Grado(T6 ) = 9 + 10 = 19 Rpta: D 14 Del cociente notable: n = m p = 24 q ; T8 = (xp )n-k . (yq )k-1 Si k = 8 ∧ n = 24 q ⇒ T8 = xp(24 q - 8) . y7q = xm-96 . y14 7q = 14 ⇒ q = 2 P( 24 q - 8) = m - 96 4p = m - 96 Si: m p = 24 2 ⇒ m = 12p ⇒ 4p = 12p - 96 p = 12 m = 144 Piden: m + p + q = 144 + 12 + 2 m + p + q = 158 Comunicación Matemática pág. 137 1 x3 – 2x2 + 0x + 2 – 3 2 x2 – x + 2 – 7 4 x + 7 2 -x3 – 1 2 x2 – x + 3 2 x2 – 3 4 x + 3 2 2x2 – x + 2 1 2 x – 3 4 ⇒ Rx = – 7 4 x + 7 2 = – 7 4 (x - 2) Rpta: B 2 25x3 + 0x2 + 4x + 1 5x2 − x + 1 −25x3 + 5x2 − 5x − (5x2 − x + 1) 0 5x2 − x + 1 5x + 1 ⇒ Qx = 5x + 1 Rpta: B 3 32x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - 1 -16x4 + 0x3 8x3 + 0x2 −4x2 + 0x 2x − 1 −2 -32x5 - 16x4 +16x4 + 8x3 −8x3 − 4x2 +4x2 + 2x −2x − 1 2x + 1 16x4 - 8x3 + 4x2 - 2x + 1 ⇒ Qx = 16x4 - 8x3 + 4x2 - 2x + 1 Piden: Menor coef. = -8 Rpta: D
- 54. 142 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche ⇒ R(x) = x . x2 + 10x + 3 R(x) = x+ 10x + 3 R(x) = 11x + 3 II. FALSO III. Si x2 + 7x + 31 6x - 59 -x2 - x - 90 x2 + x + 90 1 R(x) = 6x - 59 III. VERDADERO Rpta: A 9 x15 – 32 x3 – 2 = (x3 )15 – (2)5 x3 – 2 ⇒ # Términos: 5 10 I. Teorema del resto: x = -y R(x) = (-y)3 - y3 = -2y3 I. FALSO II. Teorema del resto : x = -y R(x) = (-y)31 - y31 = -2y31 II. VERDADERO III. Teorema del resto: x = -y R(x) = (-y)5 + y5 = 0 III. VERDADERO Rpta: B 11 x y x y 33 363 3 33 − − = (x3 ) 11 - (y33 ) 11 x3 - y33 ⇒ Tk = (x)n-k . (y)k-1 T7 = (x3 ) 11-7 - (y33 ) 7-1 T7 = x12 - y198 Rpta: A 12 x y x y 11 22 2 − − = x11 - (y2 ) 11 x - y2 ⇒ Tk = (x)n-k . (y)k-1 k → central n - k = k - 1 ⇒ k =n + 1 2 ⇒ Tcentral = x n + 1 2 . (y2 ) n + 1 2 = x 11 - 1 2 . (y2 ) 11 - 1 2 = x5 . y10 Piden: Grado (Tcentral) = 5 + 10 = 15 Rpta: B 4 Teorema del resto: x + 1 = 0 x = -1 ⇒ P(-1) = 3(-1)3 - 7(-1)2 - 1 P(-1) = -3 - 7 - 1 P(-1) = -11 Rpta: A 5 14 + 2x7 + 6x14 (x - x7 ) - (1 + x) = 6x14 + 2x7 +14 x7 - 1 6x14 + 2x7 + 14 8x7 + 14 -6x14 + 6x7 -8x7 + 8 22 x7 - 1 6x7 + 8 ⇒ Qx = 6x7 + 8 Rx = 22 I. Falso II. Falso III. Falso Rpta: E 6 Teorema del resto: 3x - 2 ⇒ x = 2 3 ⇒ P (2 3 )= (9(2 3 ) 2 - 6(2 3 ) + 2)8 - 38 (2 3 ) 8 + 1 = (4 - 4 + 2)8 - 28 + 1 = 28 - 28 + 1 P (2 3 )= 1 Rpta: B 7 Teorema del resto: 2x + 1 ⇒ x = - 1 2 ⇒ P (- 1 2 )= (2 (- 1 2 )+ 3)5 - 4 (- 1 2 ) 2 + 1 = 25 - 1 + 1 = 32 Rx = 32 Piden ∑ cifras (Rx)= 3 + 2 = 5 Rpta: B 8 I. Si (x3 + 9x + 2)÷(x – 1) Teorema del resto: x = 1 ⇒ P(-1) = (1)3 + 9(1) + 2 R(x) = 12 I. VERDADERO II. Si (x3 + 10x + 3)÷(x2 – 1) Teorema del resto: x2 = 1
- 55. 143 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Resolución de Problemas pág.138 1 2x3 + 3x2 – nx + m 4x2 + x(1 – n) + m (3–n)x +(m+2) –(2x3 – x2 – x) –(4x2 – 2x – 2) 2x2 – x – 1 x + 2 Si es divisible: ⇒ 3 - n = 0 ; m + 2= 0 n = 3 ; m = -2 Piden: m + n = - 2 + 3 = 1 Rpta: A 2 x3 + 5x2 – 3x + 2 6x2 – 4x + 2 2x – 4 ≡ R(X) –(x3 – x2 + x) –(6x2 – 6x + 6) x2 – x + 1 x + 6 ⇒ R(x) = 2x - 4 Piden R(2)= 2(2) - 4 = 0 Rpta: A 3 4x5 - 0x4 - 2x3 + 0x2 + ax + b 4x4 - 2x3 - 2x2 + ax 2x3 - 2x2 + x(a - 2) + b 4x5 - 4x4 + 0x3 + 2x2 -(4x4 - 4x3 + 0x2 + 2x) -(2x3 - 2x2 + 0x + 1) (a - 2)x + (b - 1) 2x3 - 2x2 + 0x + 1 2x2 + 2x + 1 ⇒ R(x) = (a - 2)x + (b - 1) = 0 a - 2 = 0 ^ b - 1 = 0 a = 2 ^ b = 1 Piden: ab = (2)(1) = 2 Rpta: A 4 12x4 + 0x3 - 27x2 + ax + 8 -18x3 - 27x2 ax + 8 -(12x4 + 18x3 -(-18x3 - 27x2 ) -(ax + 3a 2 ) 8 - 3a 2 2x + 3 6x3 - 9x2 + a 2 Si Q(x) es divisible por. (x - 1) ⇒ Teorema del resto: x - 1 = 0 ⇒ x = 1 Q(1) = 6(1)3 - 9(1)2 + 9 2 = 0 = 6 - 9 + 9 2 = 0 ⇒ a = 6 Rpta: C 5 x351 - 5x350 + 9 x - 5 Aplicando el teorema del resto: x - 5 = 0 ⇒ x = 5 Para x = 5 ⇒ (5)351 - 5(5)350 + 9 5351 - 5351 + 9 9 = residuo Rpta: B 6 P(x,y)= (x + y)4n - 8n (x4n + y4n ) es divisible por (x – y). Aplicando el teorema del resto: x – y = 0 ⇒ x = y ⇒ (x + x)4n – 8n (x4n + x4n ) = 0 (2x)4n – 8n (2x4n ) = 0 x4n (24n – 23n+1 ) =0 ⇒ 24n - 23n +1 = 0 24n = 23n+1 n = 1 Rpta: A 7 ≡ R(X) 8x4 + 2x3 – 5x2 + 9x – 7 –2x3 + 7x2 + 9x 8x2 + 6x – 7 –(8x4 + 4x3 – 12x2 ) –(–2x3 – x2 + 3x) –(8x2 + 4x – 12) 2x + 5 2x2 + x – 3 4x2 – x + 4 Piden residuo: R(x) = 2x + 5 Rpta: A 8 x200 + 3x3 + 6 x2 - 1 Aplicando el teorema del resto: x2 - 1 = 0 ⇒ x2 = 1 R(x) = x200 + 3x3 + 6 = (x2 )100 + 3x(x2 ) + 6 = 1100 + 3x(1) + 6 = 1 + 3x + 6 R(x) = 3x + 7 Rpta: D
- 56. 144 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 9 P(x) (x a) x kan n n = + − − Es divisible por (x + 2a) aplicando el teorema del resto: x + 2a = 0 ⇒ x = -2a P(-2a) = 0 ⇒ (-2a + a)n - (-2a)n - k.an = 0 (-a)n + 2n .an - k.an = 0 -an + 2n .an - k.an = 0 (2n - 1 - k)an = 0 2n - 1 - k = 0 k = 2n - 1 Rpta: C 10 x (2x) x 8x x 16x 6 x 2 40 20 13 10 6 2 − + − + − − − . Aplicando el teorema del resto: x - 2 = 0 ⇒ x = 2 Residuo = 240 - (2.2)20 + 213 - 8(2)10 + 26 - 16(2)2 - 6 = 240 - 240 + 213 - 213 + 26 - 26 - 6 Residuo = -6 Rpta: E 11 bx bx 91x 19a x 5x 1 4 3 2 − + − − + es exacta Aplicando el teorema del resto: x2 - 5x + 1 = 0 ⇒ x2 = 5x - 1 Dividiendo(x2 = 5x - 1) = 0 bx4 - bx3 + 91x - 19a = 0 b(x2 )2 - b(x2 )x + 91x - 19a = 0 b(5x - 1)2 - bx(5x -1) + 91x - 19a = 0 b(25x2 - 10x + 1) - 5bx2 + bx + 91x - 19a = 0 20bx2 + (91 - 9b)x + b - 19a = 0 (91 + 91b)x - 19b - 19a = 0 ⇒ 91 + 91b = 0 -19b - 19a = 0{ ⇒ 91(b + 1) = 0 -19(a + b) = 0{ ⇒ b + 1 = 0 a + b = 0{ ⇒ a = 1 b = -1{ Piden: ab + 3 = (1)(-1) + 3 = 2 Rpta: A 12 8x ax bx 7 2x 1 3 2 − + − − ; es exacta Dividiendo: 8x3 - ax2 + bx - 7 (4 - a)x2 + bx (b - a 2 + 2)x - 7 (b - a 2 + 2)x + 1 2 (b - a 2 + 2) -(8x3 - 4x2 ) -(4 - a)x2 + 1 2 (4 -a)x ( b 2 - a 2 - 6) 2x - 1 4x2 +1 2 (4 - a)x + 1 2 (b - a 2 + 2) Término lineal: Q(x) = 0 ⇒ 1 2 (4 - a) = 0 a = 4 División exacta: ⇒ R(x) = 0 ⇒ b 2 - a 4 - 6 = 0 b 2 - 4 4 - 6 = 0 ⇒ b = 14 Piden: b a = 14 4 = 7 2 Rpta: E 13 bx ax ab x 2 3 + + + Dividendo por Ruffini: b 0 a ab -2 -2b 4b -2a -8b b -2b a + 4b ab - 2a - 8b ⇒ Q(x) = bx2 - 2bx + (a + 4b)...(θ) R(x) = ab - 2a - 8b ... (β){ Dato: Q(x) = bx2 + 6x - 9...(γ) Comparando (θ) ^ (γ) Q(x) = bx2 - 2bx + (a + 4b) = bx2 + 6x - 9 ⇒ -2b = 6 ^ a + 4(-3) = - 9 b = -3 ^ a = 3 Piden: R(x) = ab - 2a - 8b R(x) = 3(-3) - 2(3) - 8(-3) R(x) = -9 - 6 + 24 = 9 R(x) = 9 Rpta: B
- 57. 145 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 14 Residuo (x + 3b)7 - (x7 - 11b7 ) x + 2b Aplicando el teorema del resto: ⇒ x + 2b = 0 ⇒ x = -2b R(x) = (x + 3b)7 - (x7 - 11b)7 R(x) = (-2b + 3b)7 - (-2b) - 11(-2b) R(x) = b7 + 128b7 + 11b7 R(x) = 140b7 Rpta: D 15 Por ser cociente notable: p 2 = p + 40 3 ⇒ p = 80 Q = x80 - a120 x2 + a3 = (x2 )40 - (a3 )40 x2 + a3 T5 = (-1)5+1 . (x2 )40-5 . (a3 )5-1 T5 = x70 .a12 Rpta: A 16 Por ser cociente notable p 3 = 4p - 60 9 3p = 4p - 60 p = 60 ⇒ x60 - y180 x3 + y9 = (x3 )20 - (a9 )20 x3 + a9 T10 = (-1)10-1 . (x3 )80-10 . (y9 )10-1 T10 = -x30 .y81 Rpta: C 17 4m+12 m-8 = 4m-3 m-9 (4m + 12)(m - 9) = (4m - 3)(m - 8) 4m2 - 24m - 108 = 4m2 - 35m + 24 11m = 132 ⇒ m = 12 ⇒ a60 - x45 a4 - x3 = (a4 )15 - (x3 )15 a4 - x3 # términos = 15 Rpta: D 18 Q = (x + 3)36 – x36 (x + 3) + (x) ⇒ T29 = (-1)29+1 . (x + 3)36 -29 (x)29-1 T29 = (x + 3)7 (x)28 Para x = -1 T29 (-1) = (-1 + 3)7 .(-1)28 = 27 = 128 Rpta: C 19 Tk = x 35-k 2 . y k-1 4 Los términos son racionales cuando: 35 - k 2 y k - 1 4 son enteros (k ≤ 35) 35 - k = 2° ^ k - 1 = 4° ⇒ k = 4° + 1 k = 0 + 1 = 1 k = 4 + 1 = 5 k = 8 + 1 = 9 k = 12 + 1 = 13 k = 16 + 1 = 17 k = 20 + 1 = 21 k = 24 + 1 = 25 k = 28 + 1 = 29 k = 32 + 1 = 33 Estos valores de "K" cumplen: 35 - k = 2° ∴hay 9 términos. Rpta: A 20 Por ser cociente notable: 6n + 1 2n - 3 = 5n n 6n + 1 = 10n - 15 ⇒ n = 4 Rpta: B 21 Por ser cociente notable: n 3 = 675 n ⇒ n2 = 52 . 34 n = 45 ⇒ Q = x45 + y675 x3 + y45 = (x3 )15 + (y45 )15 x3 + y45 Tcentral = -(x3 ) 15-1 2 . (y45 ) 15-1 2 Tcentral = x21 . y315 G.A(Tcentral ) = 21 + 315 = 336 Rpta: B
- 58. 146 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche 22 a + 8 2 y a2 - 91 1 a + 8 = 2a2 - 182 2a2 - a - 190 = 0 2a +19 a -10 (2a + 19)(a - 10) = 0 ⇒ a = 10 n = a + 8 2 = 10 + 8 2 = 9 # términos = 9 Rpta: D 23 (x2 )30 - (y3 )30 x2 - y3 Tk = (x2 )30 - k - (y3 )k-1 G.R(Tk) = ⇒ 2(30 - k) + 3(k -1)= 69 60 - 2k + 3r - 3 = 69 k = 12 Rpta: C 24 Por ser cociente notable: 6n n - 4 = 40 4 6n = 10n - 40 n = 10 ⇒ x6(10) - y40 x10-4 - y4 = x6(10) - (y4 )10 x6 - y4 TB = (x6 )10-8 (y4 )8-1 = x12 y28 Rpta: C 25 (2x)5 + (3y)5 2x + 3y T4 = -(2x)5-4 (3y)4-1 = -2x . 33 y3 = -54xy3 ∴Coeficiente: -54 Rpta: C 26 ((1 x )3 )6 – (x2 )6 (1 x )3 – x2 ; n = 6 ⇒ T4 = ((1 x )3 )6-4 . (x2 )4-1 T4 = 1 x6 . x6 T4 = 1 Rpta: B 27 A = x3 . (x5 )a – (y5 )a . (y10 )3 xa-1 – ya+2 A = x3+5a – y5a + 30 xa-1 – ya+2 ⇒ 3 + 5a a - 1 = 5a + 30 a + 2 (3 + 5a)(a + 2) = (5a + 30)(a - 1) 5a2 + 13a + 6 = 5a2 + 25a - 30 a = 3 Rpta: D
- 59. 147 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Razonamiento y Demostración Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Resuelve la división: 4x4 + 13x3 + 28x2 + 25x + 12 4x2 + 5x + 6 Indica su cociente: 4x4 + 13x3 + 28x2 + 25x + 12 8x3 + 22x2 + 25x 12x2 + 13x + 12 − (4x4 + 5x3 + 6x2 ) −(8x3 + 10x2 + 12x) − (12x2 + 15x + 18) −2x − 6 4x2 +5x+6 x2 + 2x + 3 Rpta: B A) x2 - 2x - 3 B) x2 + 2x + 3 C) x2 - 1 D) x2 + 2x E) x2 + x - 3 2 Identifica el resto de: x31 – 2x21 + 4x13 + 9 x + 1 Para hallara el resto: x + 1 = 0 x = − 1 ⇒ x31 − 2x21 + 4x13 + 9 (−1)31 − 2(−1)21 + 4(−1)13 + 9 −1 + 2 − 4 + 9 6 Rpta: C A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 10 3 Calcula el valor de “a” si la siguiente expresión es un cociente notable: x201 + y3n+128 x3 + yn ⇒ 201 3 = 3n + 128 n 201n = 9n + 384 192n = 384 n = 2 Rpta: C A) – 10 B) – 2 C) 2 D) 4 E) 10 4 ¿Cuántos términos tiene el siguiente cociente notable: x4n+8 + y4n x4 + y2 ⇒ 4n + 8 4 = 4n 2 n + 2 = 2n n = 2 # Términos: 4(2) 2 = 4 Rpta: D A) 32 B) 16 C) 8 D) 4 E) 2
- 60. 148 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche Comunicación Matemática Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Calcula el valor de “m” si la siguiente expresión es un cociente notable: xm+66 + y351 x2 + y9 ⇒ m + 66 2 = 351 9 m + 66 = 2(39) m + 66 = 78 m = 12 Rpta: E A) 25 B) 22 C) 18 D) 16 E) 12 2 ¿Cuántos términos admite el desarrollo del co- ciente notable? x30n + y30n+30 xn + yn+1 ⇒ 30n n = 30 # Términos : 30 Rpta: E A) 72 B) 65 C) 62 D) 60 E) 30 3 Dado la división: 5x3 + 7x2 + x – 1 x + 1 Son verdaderas: I. Es una división exacta. II. El resto es -1. III. El cociente es 5x2 + 2x - 1. ⇒ I. (V) III. (V) II. (F) ∴ I y III Rpta: D A) I B) I y II C) II y III D) I y III E) todas 4 Colocar verdadero (v) o falso (F). I. Para hallar el resto se iguala el divisor a cero. II. El método de Ruffini se utiliza el divisor de primer grado. III. En el método de Horner el divisor de primer grado unicamente. I. (V) II. (V) III. (F) Rpta: D A) VFV B) FFV C) VVV D) VVF E) FFF 5x3 + 7x2 + x − 1 2x2 + x −x − 1 − (5x3 + 5x2 ) − (2x2 + 2x) − (−x − 1) 0 x + 1 5x2 + 2x − 1
- 61. 149 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Resolución de Problemas Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Si la división es exacta: 6x5 + x4 – 11x2 + mx + n 2x2 + 3x – 1 Calcula “m + n”. 6x5 + x4 + 0x3 − 11x2 + mx + n –8x4 +3x3 −11x2 –(6x5 + 9x4 − 3x3 ) 15x3 − 15x2 2x2 + 3x − 1 3x3 − 4x2 –(–8x4 – 12x3 + 4x2 ) A) 5 B) 37 C) –21 D) –12 E) –20 2 Calcula el término independiente del cociente de dividir: P = 2x4 - 7x3 + 10x2 - 4x - 3 2x2 - x + 3 2x4 − 7x3 + 10x2 − 4x − 3 6x3 + 7x2 − 4x 10x2 − 13x − 3 –(2x2 − x3 + 3x2 ) –(6x3 − 3x2 + 9x) –(10x2 − 5x + 15) −8x−18 2x2 − x + 3 x2 + 3x + 5 Q(x) = x2 + 3x + 5 ⇒ T. I = 5 Rpta: E A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 5 3 Halla el décimo término del desarrollo del co- ciente notable: x 60 - y180 x 3 - y 9 ⇒ (x3 )20 - (y9 )20 x 3 - y 9 T10 = (x3 )20 -10 . (y9 )10-1 T10 = (x3 ) 10 . (y9 ) 9 T10 = x30 . y 81 Rpta: D A) x28 y82 B) – x81 y3 C) x27 y90 D) x30 y81 E) – x30 y81 4 ¿Cuántos términos posee el cociente notable orignado por: x m+8 + y m2 - 91 x 2 + y # Términos: m + 8 2 = m2 − 91 1 m + 8 = 2m2 − 182 2m2 − m − 190 = 0 2m + 19 m −10 ⇒ (2m + 19) (m − 10) = 0 2m + 19 = 0 ∨ m − 10 = 0 m = − 19 2 m = 10 Rpta: C A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
- 62. 150 Tercer grado desecundariaLIBRO DE ACTIVIDADES MATEMATICA 3 | Manuel Coveñas Naquiche COEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: ASPECTOS A EVALUAR: 1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo. 2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo. 3. Cumplió con lo elaborado. 4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones. 5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo. Nombre del evaluador: ……………………….............................................. Equipo: ………………................................................................................. En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario. Compañeros Aspectos a evaluar Comentarios 1 2 3 4 5 1. 2. 3. 4. 5. 6. auTOEVALUACIÓN Nombre del ALUMNO:…………………………........................................... Equipo:………………….............................................................................. INSTRUCCIONES: Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación. REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO: ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... N° Aspectos a evaluar SI NO 1. ¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad? 2. ¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo? 3. ¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo? 4. ¿Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros? 5. ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?
- 63. 151 POLINOMIOS Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 4 Responde de manera personal las siguientes preguntas: 1. ¿Qué dificultades he tenido para comprender el tema? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. ¿Cómo he superado estas dificultades? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 3. ¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 4. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus compañeros? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... HETEROEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el recuadro realizando un comentario sobre tu participación. N° Aspectos a evaluar SI NO 1. ¿Mostró interés en el desarrollo de la actividad? 2. ¿Participó de manera activa en las diferentes tareas propuestas por el equipo? 3. ¿Realizó aportaciones que ayudaron al buen desempeño del equipo? 4. ¿Es tolerante ante las ideas de sus compañeros? 5. ¿Cumplió puntualmente con lo acordado por el equipo? REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO: ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... METACOGNICIÓN
- 64.
- 65. Tienes 5 minutospara encontrar, 5 términos relativos a la Geometría Analítica. H O L A P L S A T C E R I O C R M A A C T R O E D E E R V I V R O T O E M E E M P A R A E T N E C R O A N L D G L L R O B U C R T Z R O R O D E E L U E E I N S T E I N N M D O B N I I L L P M E W C T O N H O E Y E I U D A W O O T E P I A S C U N A I L L M N G C V T H B L S E T R A C S E D E N E R R E A U V A A C A D L C U L A N D R O U R P I S O G O A L E S O D A N E B A Z T E A R M A S S A C O T R E M E P L O I O Halla el área de la región pentagonal cuyos vértices son: A (2;-4), B (5;1), C (2;7); D (-2;5), E (-5;-2) El ángulo de... es el ángu- lo que forma la recta con el eje x, medido en el sentido antihorario y con- siderando al eje x como lado inicial. Halla el cuadrado de la suma de las cordenadas del punto medio del seg- mento MN, siendo: M (-2;7) y N (12;9) Calcula 25 veces la suma de las coordenadas del baricentro de un trián- gulo cuyos vértices son: B (0;1) , C (7;6) y D (20;5) 1 2 3 4 1 0 2 5 0 L : x y L : x ky − + = − − = Halla 18 k. Calcula el quíntuple de la distancia del punto. p (2;3) a la recta “L” de ecuación 4x-3y-6=0 Halla el valor numérico del menor ángulo que for- man en su intersección las rectas: 1 2 3 3 -2 L : y x L : y x + = − =
- 66. 329Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CLASE Ser persistente trabajar con rigor en todo aquello que te propones. GEOMETRÍA ANALÍTICA 1 ¿Cuál es el mayor lado de un triángulo ABC, si las coordenadas de sus vértices son A(–4; –3), B(–1; 11), C(8; 2)? 3 Calcula la longitud de AM. 2 Los vertices del cuadrilátero ABCD son: A(–8; –2), B(–6; 4), C(4; 8), D(14;2). Halla la distancia entre los puntos medios de las diagonales. 4 Halla F = 6(a + b). 5 Calcula el área de un triángulo cuyos vértices tiene como coordenadas A(3; -2)m, B(-2 ;6)m y C(-5; -1)m. 6 Encuentra el área coloreada, si los puntos A y B trisecan al segmento OC. Rpta. 29, 5 m2 Rpta. Área=9 Rpta. F = 80 Rpta. 6Rpta. El lado AB Rpta. AM = 5 13 u A B C L y x i) ii) iii) ∴ El mayor lado es AB i) M(-2;3) ii) N(4;3) iii) ∴ MN = 6 i) 122 = 9 . OC OC = 16 ii) M(6;8) iii) ∴ i) ii) iii) ∴ A = 29,5m2 ∴ ARS = 9u2 B(-6;4) C(4;8) D(14;2) A(-8;-2) M N
- 67. 330 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria 11 Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 6 m es (2; 3)m. Si la abscisa del otro extremo es 8m. Determina su ordenada. (dos soluciones). 12 Calcula los puntos de trisección de un segmento cuyos extremos son: A(-4; 2)m y B(8; 8)m. 7 Los vértices de un cuadrilátero son: A(4; 4)m, B(10; 6)m; C(8; 0)m y D(0; 0)m Se toma el punto medio F de la diagonal DB. Calcula el área de la región FBC, 8 En un plano cartesiano se ubican los puntos A(–2; 3) y B(6; 7). Encuentra las coordenadas de un punto P, ubicado en AB, si se cumple que 3AP = 2PB. 9 Halla el área de la región triangular cuyos vértices son: M(–5; –4), N(–3;7) y L(6; –2). 10 Halla el área de la región del polígono cuyos vér- tices son A(–5; –8), B(6; –4), C(3; 7) y D(–2; 4). Rpta. ; 5 6 5 23 a kRpta. 12 m2 Rpta. y1=-9 m; y2=15 m Rpta. (0; 4)m ; (4; 6)m Rpta. 58,5 u2 Rpta. 92 u2 ii) ∴ A = 58,5 u2 i) F (5;3) i) ii) Coordenadas de “P” x = 6/5 iii) ∴ P (6/5 ; 23/5) ∴ A = 58,5 u2 ∴ A = 92 u2 ∴ 180 = 36 + (3 - y)2 y1 = 15 ∧ y2 = -9 i) ii)
- 68. 331Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CASA Ve lo mejor de cada situación y cada problema es una oportunidad para salir adelante. Rpta. GEOMETRÍA ANALÍTICA 1 Calcula el perímetro de un triángulo cuyos vér- tices son: A(4; -2)m, B(4; 4)m y C(-4; 4)m. 3 Dado los puntos A(2; 1)m y B(4; -2). Halla las coordenadas de un punto C, tal que 4AB = BC. 2 Los vértices de un cuadrilátero tienen por coordenadas A(-2; 2)m, B(4; 6)m; C(8; 2)m y D(2; -5)m. Calcula la longitud del vértice D al punto medio del lado BC. 4 Los puntos extremos de un segmento son A(-2; -4)m. y B(5; 3)m. Halla la razón: AP: PB en que el punto P(2; 0)m divide al segmento. 5 Calcula el área de un triángulo cuyos vértices tienen como coordenadas A(2; 4)m, B(-4; -2)m y C(3; -6)m. 6 Los vértices de un triángulo son A(-4; -1) , B)1; -4) y C(8; 7)m. Calcula la longitud de la menor mediana del triángulo. Rpta. 4/3 Rpta. 33 m2 Rpta. c(12; -14) m Rpta. 24m Rpta. i) AB2 = (4-4)2 + (4+2)2 ⇒ AB = 6 ii) BC2 = (-4-4)2 + (4-4)2 ⇒ BC = 8 iii) AC2 = (-4-4)2 + (4+2)2 ⇒ AC = 10 ∴ Perímetro = 24cm i) Punto medio de BC ii) i) ii) ® x = 12 iii) ® y = -14 iv) C = (12;-14)m i) 2 + 2r = -2 + 5r 4 = 3r ∴ r = 4/3 ∴ A = 33m2 ∴ C(x;y)
- 69. 332 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CLASE Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria 1 Determina la pendiente y el ángulo de incli- nación de una recta que pasa por los puntos (-6; 5)m y (2; -1)m. 3 En la figura mostrada calcular la longitud AB. 2 Una recta pasa por los puntos A(-2; 2)m , P(x; 6) m y B(8; 10)m Calcular la longitud del segmento AP 4 Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos (5; 3) y (–3; –4). 5 Los vértices de un cuadrilátero ABCD tienen por coordenadas A(–2; 6) , B(4; 4), C(6; –6) , D(2; –8). Indica el producto de las pendientes de las diagonales. 6 Los vértices de un triángulo ABC tienen por coordenadas A(5; –4) , B(–1; 3), C(–3; –2). Halla la pendiente de la mediana BM. Rpta. Rpta.Rpta. Rpta. Rpta. Rpta.·m mAC BD = – 9 i) ii) ∴ q = 143° i) mAP = mPB ® x = 3 ii) ∴ i) m = tg 45° ® m = 1 ii) iii) ∴ i) ii) iii) ∴ i) Coordenadas de “M” M(1;-3) ii) ∴
- 70. 333Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 GEOMETRÍA ANALÍTICA 11 Dados los puntos A(–2; 3) y B(6; 5) la pendiente de la recta L que pasa por el punto medio de AB es –2/3. Halla la ecuación de la recta L. 12 Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (0; –7) y por el baricentro de un triángulo cuyos vértices son los puntos A(–5; 2), B(7; 4), C(4; –3). 7 Una recta pasa por los puntos A(–4; –5), B(8; 9), C(3; –k). Halla el valor de k. 8 Una recta de pendiente 2 pasa por el punto (4; 6). La abscisa de otro punto 8. Determinala ordenada del segundo punto. 9 Una recta cuya pendiente es -3/2 pasa por el punto A(2; -6). Determinar la ecuación de la recta. 10 Calcula el valor de “b” en una recta cuya pen- diente es 0,75 y pasa por los puntos A(2b; 5b), B(–1; 3). Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. i) mAB = mBC ∴ i) m = -3/2 ∧ A(2;-6) y - y1 = m(x - x1) ∴ Ecuación: 3x + 2y + 6 = 0 i) Calculemos laas coordenadas del punto medio de AB(M) ii) m=-2/3 ∧ M(2;4) ∴ Ecuación: 2x + 3y - 16 = 0 i) ∴ ∴ y = 14 ii) Calculamos las coordenadas del Baricentro “G” ⇒ G(2 ; 1) iii) iv) La ecuación de “L”; m = 4 ∧ (0;-7) y - (-7) = 4(x - 0) ∴ 4x - y - 7x = 0 G L
- 71. 334 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria 1 Determinar la pendiente de una recta que pasa por los puntos P1(-8; 4)m y P2(6; -4) 3 Determina la ecuación de una recta que pasa por los puntos A(-2; 4) y B(6; -8). 2 Demostrar que los puntos A(1; -1), B(3;2) y C(7; 8) se encuentran en una recta. 4 Halla la ecuación de la recta cuya pendiente es -2/3 y corta al eje “y” en el punto (0; 8). 5 Los vértices de un triángulo son: A(4; 6), B(-2; -8) y C(-6 ; 4). Determina la ecuación de la recta que pasa por la mediana AM. 6 Tres de los vértices de un paralelogramo son A(-1; 4); B(1; -1) y C(6;1). Halla las coordenadas del cuarto vértice. Rpta. Rpta. Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CASA Ve lo mejor de cada situación y cada problema es una oportunidad para salir adelante. Rpta. Rpta. Rpta. ∴ i) ii) y - y1 = m (x - x1) ∴ La ecuación es: 3x + 2y - 2 = 0 i) m = -2/3 ∧ P(0;8) ∴ La ecuación es: 2x + 3y - 24 = 0 i) Si: “A”; “B” y “C” se encuentran en una recta, debe cumplirse: mAB = mBC ∴ Pertenecen a una misma recta i) Coordenadas de “M” M(-4 ; -2) ii) iii) Ecuación: y - 6 = 1(x - 4) ∴ x - y + 2 = 0 i) Siendo ABCD un paraellogramo, debe cum- plirse que: » mAD = mBC ∧ mAB = mCD 2x - 5y = -22 ...Œ 5x + 2y = 32 ... » De y x = 4 ∧ y = 6 ∴ D(4;6)
- 72. 335Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CLASE "Demostrando responsabilidad desarrollo los siguientes ejercicios ." GEOMETRÍA ANALÍTICA 1 La ecuación de una recta es: 3x – 2y + 12 = 0. Calcula la pendiente y el área del triángulo que se forma al intersectar con las coordenadas. 3 Los vértices de un triángulo son A(–7; –3), B(2; 9) y C(4; –1), determina la ecuación de la recta mediatriz de la mediana AM. 2 Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB, siendo A(–7; –5) y B(1; 9). 4 La ecuación de una recta es L : 3x – 4y + 5 = 0. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (–6; 2) y es perpendicular a la recta L. 5 Se tiene las siguientes rectas: L1 : 3x – 5y + 15 = 0 L2 : 4x + y – 16 = 0 Determineunodelosángulosformadosporlasrectas. 6 Halla el menor ángulo que forman al intersecarse las rectas: L1 : y+x = 3 L2 : y – 3x = –2 75° Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. i) 3x - 2y + 12 = 0 ® m = 3/2 ii) iii) ∴ A = 12u2 i) Coordenadas de “M” M(-3;2) ii) L mL = -4/7 iii) ∴ 4x + 7y - 2 = 0 i) Coordenadas del punto medio “M” de : M(3;4) ii) Coordenadas del punto medio “Q” de : iii) “L” es la recta mediatriz a ® iv) La ecuación de “L” considerando: ∴ 20x + 14y + 33 = 0 i) L: 3x - 4y + 50 = 0 ® ii) Sea: mL1 = -4/3 iii) Ecuación de ”L1”, teniendo: mL1 = -4/3 ∧ (-6;2) ∴ 4x + 3y + 18 = 0 Luego: ⇒ ⇒ i) De L1: tg a = -1 ® a = 135° ii) De L2: ® q = 60° iii) b + a = 180° + q b = 105° ∴ El menor ángulo: 75° B(2;9) M(3;4) C(4;-1) A(-7;-3) Q L
- 73. 336 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria 11 Halla la distancia entre las rectas para- lelas: L1 : 5x + 12y – 29 = 0 L2 : 5x + 12y + 10 = 0 12 Encuentra la distancia del punto (–3; 1) a la recta que pasa por los puntos (2; –5) y (4; 3). 7 Las rectas : L1 : (k – 2)x + 2y + 3 = 0 L2 : (2k – 1) x – 3y +7 = 0 son paralelas, halla “k”. 8 Las rectas: L1 : 7x + 2y – 9 = 0 L2 : (3a + 2) x – 5y + 11 = 0 son perpendiculares, calcula “a”. 9 Calcula la distancia del punto P(4;5)m a la recta “L” cuya ecuación es: 8x – 6y + 20 = 0. 10 Calcular la distancia del punto Q(-6;4)m a la recta cuya pendiente es -2 y pasa por el punto M(4; 2)m. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. i) ii) iii) Como: L1 // L2 ® mL1 = mL2 ∴ k = 8/7 ∴ d = 2,2 m Como: L1 // L2 ∴ d(L1;L2) = 3u i) Como: L1 L2 ⇒ ∴ i) Ecuación de la recta: m=-2 ∧ M(4;2) y - 2 = -2(x - 4) ® 2x + y - 10 = 0 ii) Distancia de: Q(-6 ; 4) a la recta: 2x + y - 10 = 0 ∴ d = 8,05 m i) Hallamos la pendiente de: (2;-5) ∧ (4;3) ii) Ecuación: y - 3 = 4(x - 4) 4x - y - 13 = 0 iii) Distancia de: (-3;1) a: 4x - y - 13 = 0 ∴
- 74. 337Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CASA Ve lo mejor de cada situación y cada problema es una oportunidad para salir adelante. GEOMETRÍA ANALÍTICA 1 Laecuacióndeunarectaes:4x-8y–2=0.Calcula la pendiente y la coordenada que intercepta al eje “Y”. 3 Los vértices de un triángulos son: A(-4; -2), B(10; 6) y C(-6; 4). Determina la ecuación de la recta que pasa por la mediana AM. 2 La ecuación de una recta es: L: 8x – 5y – 16 = 0 Halla la ecuación de una recta perpendicular a la primera y que pasa por el punto (2; 0) 4 Se tiene las siguientes rectas: L1 : 8x – 8y + 12 = 0 L2: 6x + 8y – 20 = 0 Determine el ángulo agudo formado por las rectas. 5 Determinaladistanciadelpunto(3;-4)malasiguiente recta. L: 3x + 4 y – 30 =0. 6 Calcula la distancia entre las rectas paralelas. L1 : 6x + 3y – 18 = 0 L2 : 18x + 9y + 18 = 0 Rpta. Rpta. Rpta.Rpta. Rpta. Rpta. i) Pendiente: ii) Calculamos las coordenadas del intercepto con el eje “y” x = 0 ® 4(0) - 8y - 2 = 0 ∴ i) L: 8x - 5y - 16 = 0 ii) Sea: “L2” la recta que pasa por (2;0) ⇒ Luego: ∴ L1: 5x + 8y - 10 = 0 i) Calculando las coordenadas del punto medio “M” de BC: ii) Pendiente de AM iii) Ecuación: ∴ 7x - 6y + 16 = 0 i) De L1: tg a = 1 ® a = 45° ii) De L2: ® q = 143° iii) b + q = 180° + a ∴ b = 82° ∴ d = 7,4 m i) L2 : 6x + 3y + 6 = 0 ii) ∴
- 75. 338 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria 1 Calcula la distancia entre los puntos A (–3 ; –1) y B(5 ; 5). A) 6 u B) 8 u C) 10 u D) 12 u E) 14 u 2 Halla las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son A (–3 , 4) y B (5 ; 8). A) (1 ; 6) B) (1 ; 5) C) (2 ; 5) D) (2; 6) E) (3; 6) 3 Del gráfico, indica las coordenadas del punto “C”. A) (6 ; 6) B) (5; 5) C) (5 ; 6) D) (4 ; 6) E) (4; 8) 4 Encuentra el perímetro de un triángulo cuyos vér- tices son A(–1; 2), B (3; 5) y C (2 ; –2). A) 5 1 2+_ i u B) 5 2 2+_ iu C)5 3 2+_ i u D) 5 4 2+_ i u E) 5 5 2+_ i u 5 Dados los puntos A(1 ; 2) y B (11; 7). Halla las coordenadas de un punto “P” tal que AP PB 2 3 = ; siendo los puntos A, P y B colineales. A) (6 ; 5) B) (4 ; 3) C) (4 ; 5) D) (5 ; 3) E) (5 ; 4) 6 Calcula el área de la región de un triángulo cuyos vértices son A(– 4 ; 2), B(4 ; 0) y C (5 ; 3). A) 15 u2 B) 14 u2 C) 13 u2 D) 12 u2 E) 10 u2 7 Indica las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son A (–4 ; –2), B (1 ; 7) y C(6 ; 4). A) (–1 ; 4) B) (–1 ; 3) C) (0 ; 3) D) (1 ; 2) E) (1 ; 3) 8 Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(–1; 3) y B (3 ; 7). A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 9 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1 ; 2) y tiene pendiente m = 2. A) y = x + 1 B) y = 2x C) y = x + 2 D) y = x – 1 E) y = 2x + 1 10 Calcula la ecuación de la recta “L” mostrada en la figura. A) 3x + 2y – 6 = 0 B) 3x – 2y + 6 = 0 C) 3x + 2y + 6 = 0 D) 2x + 3y – 6 = 0 E) 2x – 3y + 6 = 0 11 Demuestra que los segmentos AB y CD no son paralelos. A(-3;1) , B(3;8) , C(-2; -2) y D(6; 2). 12 Demuestra que la recta L: 2x + 5y – 20 = 0 es una recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento AB. Siendo: A(-4;2) y B(6;6). 13 Demuestra que los puntos A(-4;-1), B(1;3) y C(11;11) son colineales. 14 Demuestra que las rectas son paralelas siendo: L1 5x + 2y – 10 = 0 L2: 15x + 6y + 8 = 0 15 Demuestra que los puntos A(-2; 8)m , B(-3; 2)m y C(3; 1)m , son los vértices de un triángulo isósceles. 16 Determina la ecuación de la recta equidistante de las rectas paralelas.: L1 4x + 3y - 24 = 0 L2: 4x + 3y - 6 = 0 A) 4x + 3y – 1 = 0 B) 4x + 3y –15 = 0 C) 2x + 5y – 8 = 0 D) 4x + 5y – 10 = 0 E) 4x – 3y – 15 = 0 1. C 6. C 16. B 2. A 7. E 3. D 8. C 4. B 9. B 5. E 10. A Clave de Respuestas Razonamiento y demostración Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” APLICO MIS APRENDIZAJES
- 76. 339Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 GEOMETRÍA ANALÍTICA 1 Con relación a los siguientes puntos. A(-4; 4)m ; B(2, -0)m y C(7; -2)m . Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: ( ) Los puntos A, B y C son colineales ( ) B es el punto medio entre A y C ( ) AB > BC A) FVV B) VFF C) FVF D) FFV E) FFF 2 Con relación a la siguiente figura, indique verda- dero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: ( ) La pendiente de la recta L1 es + 1 ( ) La pendiente de la recta L2 es – ( ) El punto P(4;3) equidista de las dos rectas A) VVV B) VVF C) FVF D) VFF E) FVV 3 Con relación al triángulo A (4;6)m B)1; -2)m y C(-6; 5)m Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: ( ) AC = CB ( ) CB > AB ( ) El triángulo ABC es escaleno A) FVV B) FFV C) FVF D) VVF E) VVV 4 Con relación a los siguientes puntos A(-1; -5)m, B) (2; 1)m C(10; 3)m y D(7; -3)m. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: ( ) AB es paralelo CD ( ) La pendiente de BC es igual a la pendiente de AD ( ) ABCD es un paralelogramo A) FFF B) VVV C) VVF D) FVV E) FFV 5 Una recta pasa por los puntos A (-5; 0)m y B(-1;3)m. Indique verdadero (v) o falso (f) en las siguientes propo- siciones: ( ) La pendiente de la recta es – ¾ ( ) El punto P (2;5) pertenece a la recta ( ) La ecuación de la recta es: 3x – 4y – 15 = 0 A) FFF B) VVV C) VVF D) FVF E) FFV 6 Con relación a dos rectas secantes AB y CD. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposi- ciones: ( ) La ecuación de la recta AB es: 4x – 3y – 8 = 0 ( ) La pendiente de la recta CD es: -2/3 ( ) La coordenada del punto P es A) FFV B) VFF C) VVF D) VVV E) FVF 7 Con relación a las siguientes rectas I. L1: 4x – 2y – 10 = 0 II. L2 : 4x – 2y + 20 = 0 III. L3 : 4x + 2y – 15 = 0 Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: ( ) L1 es perpendicular a L3 ( ) L2 es paralelo a L1 ( ) La recta L2 pasa por la coordenada (0;10). A) FVV B) VVV C) FFV D) VFV E) VVF 8 Con relación a la siguiente recta: L : 8x – 4y + 40 = 0 Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: ( ) La pendiente es 2 ( ) La recta pasa por el punto P(-5;0) ( ) La distancia del origen de coordenadas a la recta es A) VVV B) VVF C) VFF D) FVF E) FFV Comunicación Matemática Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” APLICO MIS APRENDIZAJES Clave de Respuestas 1. D 2. B 3. A 4. B 5. E 6. D 7. A 8. B
- 77. 340 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Resolución de Problemas Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” APLICO MIS APRENDIZAJES Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria 1 Los vértices de un triángulo son A(–2 ; –1),B (–3 ; 5) y C(7 ; –1). Encuentra la lon- gitud de la mediana relativa al lado BC. A) 4 u B) 5 u C) 6 u D) 7 u E) 8 u 2 Calcula el perímetro de un paralelogramo cuyos vértices son A(0; 0), B (–3 ; 4), C (5; 10) y D(8 ; 6). A) 20 u B) 24 u C) 25 u D) 28 u E) 30 u 3 A partir del gráfico, halla “a + b”. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4 Indica el área de la región del polígono cuyos vér- tices son A(2 ; 5), B (–4 ; 2), C (–4 ; 0), D (0; –3), E (4 ; –3) y F(6 ; 1). A) 82 u2 B) 69 u2 C) 61 u2 D) 53 u2 E) 46 u2 5 Los puntos A(–2 ; 6) y B (2; 2) determinan una recta. Calcula las coordenadas del punto en el cual la recta corta al eje de abscisas. A) (8 ; 0) B) (6 ; 0) C) (4 ; 0) D) (3 ; 0) E) (2 ; 0) 6 Encuentra el valor de “a” para que las rectas: L1 : ax + 6y + 1 = 0 ; L2 : 3x + 2ay – 7 = 0 sean paralelas. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3 ; 1) y es perpendicular a la recta de ecuación 2x – 3y + 1 = 0. A) 3x + 2y – 11 = 0 B) 3x + 2y – 9 = 0 C) 3x + 2y – 7 = 0 D) 3x + 2y – 5 = 0 E) 3x + 2y – 3 = 0 8 Halla la ecuación de una recta que pasa por la intersección de las rectas L1: y = 3x + 6 ; L2: x – 2y + 2 = 0 y tiene pendiente m = –1. A) x + y – 1 = 0 B) x + y = 0 C) x + y + 1 = 0 D) x + y + 2 = 0 E) x – y = 0 9 Los vértices de un triángulo son A (1; 1), B (0; 4) y C (6 ; 0). Halla la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al lado BC. A) 3x + 2y + 1 = 0 B) 3x – 2y – 1 = 0 C) 3x + 2y – 1 = 0 D) 3x – 2y + 1 = 0 E) 3x – 2y = 0 10 Halla la distancia del punto P(6 ; 5) a la recta de ecuación 3x + 4y + 2 = 0. A) 10 u B) 9 u C) 8 u D) 7 u E) 6 u 11 Una recta pasa por los puntos A(0; –3) y B(2; 0), los puntos P(–2; a) y Q(b; 3) pertenecen a la recta. Halla b – a. A) 8 B) 10 C) 12 D) -6 E) 2 12 Calcula la ecuación de la recta L2. A) x + 2y – 5 = 0 B) 2x + 3y – 21 = 0 C) 3x + 2y – 42 = 0 D) 5x – 2y + 12 = 0 E) 3x + 3y – 21 = 0 13 El ángulo de inclinación de una recta mide α, la recta pasa por el punto (7; 3), además cos α = 8/17. Halla la ecuación de la recta. A) 15x – 8y – 81 = 0 B) 12x – 8y – 71 = 0 C) 15x – 12y – 81 = 0 D) 8x + 2y – 4 = 0 E) 4x – 5y – 10 = 0 B 1. B 6. C 11. B 2. E 7. A 12. C 3. A 8. D 13. A 4. D 9. B 5. C 10. C Clave de Respuestas
- 78. 341Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 Prepárate a la UniversidadPrepárate a la Universidad 1. A 6. D 11. C 2. D 7. A 12. D 3. E 8. B 13. C 4. B 9. A 5. C 10. C Clave de Respuestas GEOMETRÍA ANALÍTICA 9 A partir del gráfico, halla la ecuación de la recta “L”. A) 6x – 7y = 0 B) 5x – 4y = 0 C) 4x – 3y = 0 D) 3x – 2y = 0 E) 2x – 3y = 0 10 Dados los puntos A(1 ; 2) y B(9; 8). Halla las coor- denadas de un punto de máxima ordenada, tal que subtienda sobre AB un ángulo recto. A) (0 ; 5) B) (2 ; 9) C) (5 ; 10) D) (4 ; 10) E) (5 ; 12) 11 La recta x + a2y – a = 0 con a > 0 al intersecar a los ejes coordenados determina un triángulo. Halla el área de la región del triángulo; en u2. A) 1 B) 1,5 C) 0,5 D) 0,25 E) 2 12 Indica la ecuación de la recta L, si OA = 10 y cos θ = –3/5. A) 3x + 5y – 20 = 0 B) 2x – 2y – 10 = 0 C) 3x + 2y – 10 = 0 D) 3x – 4y + 50 = 0 E) 5x – 2y – 30 = 0 1 En un triángulo ABC se tiene que A(–2 ; 2) y B(3 ; 5) además su baricentro es G(2 ; 3). Halla las coordenadas de “C”. A) (5 ; 2) B) (1 ; 3) C) (4 ; 2) D) (5 ; 3) E) (3 ; 2) 2 La distancia entre los puntos A(–1 ; n) y B (5n + 1; 7) es igual a 13 u. Halla el valor de “n” si “A” pertenece al segundo cuadrante. A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 3 El lado de un rombo ABCD mide 5 u10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos A(4 ; 9) y C(–2 ; 1). Calcula el área del rombo. A) 50 u2 B) 75 u2 C) 100 u2 D) 125 u2 E) 150 u2 4 Halla la distancia entre las rectas paralelas L1: 5x + 12y – 11 = 0 ; L2: 5x + 12y + 15 = 0 A) 1u B) 2u C) 3u D) 4u E) 5u 5 El área de un triángulo ABC es S = 28 u2, dos de sus vértices son los puntos A(2 ; –2) y B(–2; 4). El tercer vértice “C” se encuentra en el primer cuadrante y sobre la recta L: x – y = 0. Halla las coordenadas del punto “C”. A) (8 ; 8) B) (7 ; 7) C) (6 ; 6) D) (5 ; 5) E) (4 ; 4) 6 Del gráfico, halla la distancia entre los puntos A y B. A) 2 B) 2 2 C) 3 2 D) 4 2 E) 5 2 7 Halla el área de la región del triángulo formado por la recta x + 2y – 8 = 0, y los ejes cartesianos. A) 16u2 B) 20 u2 C) 24 u2 D) 28 u2 E) 32 u2 8 Dados los puntos A(1 ; 9) y B(7 ; 3). Halla las coordenadas de un punto “P” ubicado en la recta L: x + 2y + 8 = 0, que equidiste de A y B. A) (– 3; 5) B) (–4 ; –2) C) (–2 ; –3) D) (2 ; –5) E) (0 ; –4) 13 La recta L : ax - by + 6 = 0 pasa por el punto ; b 2 1 1+d n y su ángulo de inclinación mide α. Calcula a + b, si seca = 3 13 . A) -30 B) -15 C) -25 E) -18
- 79. 342 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria 1 d(A;B) = 10u Rpta. C 2 M = (1;6) Rpta. A 3 C = 2B - A C = 2(0;4) - (-4;2) C = (4;6) Rpta. D 4 Longitud de los lados: Perímetro = AB + BC + AC Perímetro = Rpta. B 5 ∴ P = (5 ; 4) Rpta. E 6 = 13 u2 Rpta. C Solucionario: Razonamiento y demostración 7 G = (1 ; 3) Rpta. E 8 ∴ m =1 Rpta. C 9 m = 2 ; (xo ; yo) = (1 ; 2) y - yo = m ( x - xo) y - 2 = 2 (x - 1) y = 2x Rpta. B 10 Ecuación: ; a = 2 ; b = 3 3x + 2y - 6 = 0 Rpta. A 11 mAB ≠ mCD Demostrado 12 i) M(1;4) ∈ “L”: 2x + 5y - 20 = 0 2(1) + 5(4) - 20 = 0 13 A(-4;-1) ; B(1;3) ; C(11;11) » Si los puntos son colineales, debe cumplir que: AB + BC = AC » » » AB + BC = AC Demostrado
- 80. 343Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 GEOMETRÍA ANALÍTICA Solucionario: Comunicación matemática 14 Demuestra que: L1 // L2 » Si: L1 // L2 ⇒ mL1 = mL2 » » Luego: mL1 = mL2 ∴ L1 // L2 Demostrado 15 » Como: AB = BC ∴ ABC es isósceles demostrado 16 L1: 4x + 3y - 24 = 0 L2: 4x + 3y - 6 = 0 Sea L3 la recta que equidista a L1 ∧ L2 y paralela a ellas. ∴ L3: 4x + 3y - 15 = 0 Rpta. B 1 A(-4;4)m ; B(2;0)m ; C(7;-2)m (F) Los puntos A, B y C son colineales. (F) B es el punto medio de A y C (V) AD > BC ∴ FFV Rpta. D 2 (V) La pendiente de la recta L1 es 1 (V) La pendiente de la recta L2 es -1/3 (F) El punto P(4;3) equidista de las dos rectas ∴ VVF Rpta. B 3 (F) AC = CB (V) CB > AB (F) El es escaleno ∴ FVV Rpta. A 4 (V) AB es paralelo a CD (V) La pendiente de BC es igual a la pendiente de AD (V) ABCD es un paralelogramo ∴ VVV Rpta. B 5 (F) La pendiente de la recta es -3/4 (F) El punto P(2;5) pertenece a la recta (V) La ecuación de la recta es: 3x - 4y - 15 = 0 ∴ FFV Rpta. E 6 (V) La ecuación de la recta AB es: 4x - 3y - 8 = 0 (V) La pendiente de la recta CD es -2/3 (V) La coordenada del punto P es ∴ VVV Rpta. D 7 I. L1: 4x - 2y - 10 = 0 II. L2: 4x - 2y + 20 = 0 III. L3: 4x + 2y - 15 = 0 (F) (V) (V) La recta “L2” pasa por la coordenada (0;10) ∴ FVV Rpta. A 8 (V) La pendiente es 2 (V) La recta pasa por el punto P(-5;0) (F) La distancia del origen de coordenadas a la recta es ∴ VVF Rpta. B
- 81. 344 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria Solucionario: Razonamiento y demostración 1 AM = 5u Rpta. B 2 ∴ 2p = 10 + 20 2p = 30 u Rpta. E 3 P = (0;4) = (0 ; 4) b = 4 a = 1 ∴ a + b = 5 Rpta. A 4 SP = 53u2 Rpta. D 5 Ecuación de recta: » m = -1 » y - yo = m(x - xo) ; (xo ; yo) = (2 ; 2) y - 2 = -1(x - 2) y = -x + 4 Para: y = 0 0 = -x + 4 x = 4 ∴ El punto es (4 ; 0) Rpta. C 6 L1: ax + 6y + 1 = 0 L2: 3x + 2ay - 7 = 0 L1 // L2: a = 3 Rpta. C 7 L1: 2x - 3y +1 = 0 ⇒ ⇒ m . m1 = -1 ∧ (xo ; yo) = (3 ; 1) L: L: 3x + 2y - 11 = 0 Rpta. A 8 ⇒ L1 L2 = P(-2 ; 0) L: y = m(x - xo) + yo ; m = -1 ; (xo ; yo) = (-2 ; 0) y = -1 ( x + 2) L: x + y + 2 = 0 Rpta. D 9 » » L BC ⇒ m . mBC = -1 5x = -10 x = -2 ∧ y = 0
- 82. 345Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 GEOMETRÍA ANALÍTICA » A ∈ L: y - yo = m(x - xo) 2y - 2 = 3x - 3 L: 3x - 2y - 1 = 0 Rpta. B 10 d(P;L) = 8u Rpta. C 11 A(0;-3) ∧ B(2;0) » » ... Œ » P(-2;a) en Œ » Q(b;3) en Œ ∴ b - a = 10 Rpta. B 12 » Luego: » Luego: » » Ecuación de “L2” ∧ P(12 ; 3) ∴ L2: 3x + 2y - 42 = 0 Rpta. C 13 » Ecuación de “L” ∧ (7 ; 3) ∴ L: 15x - 8y - 81 = 0 Rpta. A ® Solucionario: Preparate a la universidad 1 C = 36 - A - B C = 3(2;3) - (-2;2) - (3;5) C(5;2) Rpta. A 2 d(A;B) = 13 26n2 + 6n + 53 = 169 13n2 + 3n - 58 = 0 ; n > 0 n = 2 Rpta. D 3 » AC = 10 » En el AEB M(x;y)
- 83. 346 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria EB = 15 ∴ SABCD = 150 u2 Rpta. E 4 d(L1;L2) = 2u Rpta. B 5 C ∈ L: y = x C = (x;x) ; x > 0 SABC = 28u2 |2 - 5x| = 28 2 - 5x = -28 x = 6 ∴ C = (x ; x) C = (6 ; 6) Rpta. C 6 AC = d(L1;L2) ⇒ L1 // L2 Rpta. D 7 ∴ SAOB = 16u2 Rpta. A 8 P(x;y) ∈ L: d(A;P) = d(8 ; P) 18 x = -72 x = -4 y = -2 ∴ P = (-4 ; -2) Rpta. B 9 C = (7;6) L: L: 6x - 7y = 0 Rpta. A L: x + 2y - 8 = 0
- 84. 347Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 GEOMETRÍA ANALÍTICA 10 AP2 + BP2 = AB2 (x-1)2 + (y-2)2 + (x-9)2 + (y-8)2 = 102 x2 - 10x + y2 - 10y = -25 (x - 5)2 + (y - 5)2 = 25 » x - 5 = 0 x = 5 » y = 10 ∴ P = (5 ; 10) Rpta. C 11 x + a2y - a = 0 ; a > 0 x = 0 ® 0 + a2 y - a = 0 y = 0 ® x + a2(0) - a = 0 x = a Rpta. C 12 cos q = mL1 = tg q ® mL1 . mL = -1 ® » Ecuación de "L" ∧ (-6;8) ∴ 0,5 ® ® ∴ L: 3x - 4y + 50 = 0 Rpta. D 13 De la ecuación: ....... Œ L: ax - by + 6 = 0 ∧ 2a - b = -5 ............. Reemplazando Œ en 2(2k) - 3k = -5 ® k = -5 Luego: a = 2(-5) = -10 b = 3(-5) = -15 ∴ a + b = -25 Rpta. C q
- 85. 348 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Razonamiento y demostración Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria 1 Demostrar que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo rectángulo A(-2;-2) m, B(3;1) m y C(-3;11) m 3 Demuestre que el punto G m es el baricentro del triángulo A(-4; -2)m , B(4; 4)m y C(-4; 10)m 4 Demuestre que las siguientes coordenadas son los vértices de un paralelogramo, A (-2 ; 1)m , B(1 ; 5)m , C(10 ; 7)m y D) (7; 3)m. 2 Calcula la pendiente de la recta L en la figura, siendo OC = OD y CM = MD i) Se ABC es triángulo rectángulo debe cumplirse que: ... Œ ii) iii) iv) En Œ Demostrado i) LAB: x - 2y - 12 = 0 ii) Coordenadas de C; D y M C(0;-6) ; D(-6 ; 0) ; M(-3;-3) iii) ∴ L: x + 7y + 24 = 0 i) Piden que ii) Las coordenadas del Baricentro: Demostrado i) Se debe cumplir que: mAB = mCD ∧ AB = CD » » » » ∴ En el cuadrilátero ABCD es un paralelo- gramo
- 86. 349Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 GEOMETRÍA ANALÍTICA Comunicación Matemática Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Se dan las siguientes coordenadas A(-5; -3)m y B(2; 1)m. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: ( ) La pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es 4/7. ( ) La recta pasa por el origen de las coorde- nadas ( ) El punto medio equidistante de A y B es M(-2; 1)m. ( ) La recta L: 3x - 2y - 5 = 0 es perpendicular a AB 2 Con relación a las siguientes rectas. L1 : 3x – 3y + 10 = 0 L2: 2x – 2y – 8 = 0 L3 : 5x + 5y – 20 = 0 Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: ( ) Las rectas L1 y L2 son paralelas ( ) Las rectas L1 y L3 son perpendiculares ( ) El punto P(4 ; 2) pertenece a la recta L1 3 Los vértices de un triángulo son las siguientes coordenadas A(-4 ; 4)m. B(-6; 8)m y C(10 ; 0)m. Indique verdadero (v) o falso (f) en las siguientes proposiciones. ( ) El lado mayor mide 2 m ( ) El punto medio del lado AB es ( – 5 ; 6)m. ( ) La pendiente del lado AC es -2/7 ( ) El área del triángulo es: 24m2 4 Con relación a la siguiente recta. L: 8x – 2y – 20 = 0 Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: I. La pendiente de la recta es m = 4 (V) II. El punto P(0; - 10) pertenece a la recta (V) III. La recta pasa a del origen de las coor- denadas. (F) V V V F F F F V V V F » » » » » » MAB (-5 ; 6) » » A = 24 m2 » mL = 4 » x = 8(0) - 2y - 20 = 0 y = -10 ⇒ (0;-10) » » mL1 = 1 ; mL2 = 1 ; mL3 = -1 »
- 87. 350 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Resolución de Problemas Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES B(5;-3) Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria 3 Determina la ecuación de la recta cuya pendien- te es -4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + y – 8 = 0 y 3x – 2y + 9 = 0 4 La ecuación de los lados de un triángulo son 5x – 7y + 27 = 0, 9x – 2y – 15 = 0 y 4x + 5y + 11 = 0 Halla los vértices del triángulo. 1 Tres vértices de un paralelogramo ABCD tienen por coordenadas A(3; –5) , B(5; –3), C(–1; 3). Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos medios de los lados AD y BC. 2 Halla el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos (0; 1) y ; 3 4 0a k. i) ii) tg q = m ∴ q = 127° i) 2x + y = 8 (Por 2) 3x - 2y = -9 4x + 2y = 16 3x - 2y = -9 7x = 7 x = 1 ∧ y = 6 ii) Ecuación de “L”, si: m = -4 ∧ (1;6) y - 6 = -4 (x - 1) 4x + y - 10 = 0 i) 5x - 7y = -27 9x - 2y = 15 ii) 9x - 2y = 15 4x + 5y = -11 iii) 5x - 7y = -27 4x + 5y = -11 ® (3;6) ® (1;-3) ® (-4;1) ∴ Las coordenadas de los vértices son: (3;6) ; (1;-3) ; (-4;1)
- 88. 351Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 16 GEOMETRÍA ANALÍTICA Nombre del ALUMNO:…………………………........................................... Equipo:………………….............................................................................. INSTRUCCIONES: Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación. REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO: ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... N° Aspectos a evaluar SI NO 1. ¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad? 2. ¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo? 3. ¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo? 4. ¿Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros? 5. ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo? coEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: ASPECTOS A EVALUAR: 1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo. 2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo. 3. Cumplió con lo elaborado. 4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones. 5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo. Nombre del evaluador: ……………………….............................................. Equipo: ………………................................................................................. En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario. Compañeros Aspectos a evaluar Comentarios 1 2 3 4 5 1. 2. 3. 4. 5. 6. AUTOEVALUACIÓN
- 89. 352 MATEMATICA 4| Manuel Coveñas Naquiche Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria Responde de manera personal las siguientes preguntas: 1. ¿Qué dificultades he tenido para comprender el tema de números racionales? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. ¿Cómo he superado estas dificultades? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 3. ¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... HETEROEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el recuadro realizando un comentario sobre tu participación. N° Aspectos a evaluar SI NO 1. ¿Mostró interés en el desarrollo de la actividad? 2. ¿Participó de manera activa en las diferentes tareas propuestas por el equipo? 3. ¿Realizó aportaciones que ayudaron al buen desempeño del equipo? 4. ¿Es tolerante ante las ideas de sus compañeros? 5. ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo? REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO: ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... METACOGNICIÓN
- 90.
- 91. Libro de Actividades- Quinto grado de secundaria Manolito te reta VÉRTICES TRIGONOGRAMA 1 HORIZONTALES 1. Matemático de la antigüedad que dió inicio al estudio de la trigonometría. 2. A los ángulos coterminales se le llama también ángulos ...................... 3. Los ángulos que tienen giro horario son ................. 4. Se miden en grados. 5. Los ángulos coterminales se diferencian en un número entero de .............................. 6. Ángulos que tienen el mismo lado inicial y final. 7. Matemático que dio a la trigonométrica la jerarquía de rama de las matemáticas. 8. Primera letra del alfabeto griego. 9. Cuna del matemático que dio origen a la tri- gonometría. 1 4 5 2 6 7 8 9 3 90 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
- 92. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO 1 Dela figura mostrada, halla “x”. 2 Del gráfico mostrado, calcula los valores de “x”. Rpta. x = 9 Rpta. x = {–5; 6} 3 De la figura mostrada, indica qué relación cum- plen los ángulos a, b, q. Rpta. x = –130° 5 Indica si los ángulos dados son o no coterminales. A) 50° y 410° D) 780° y 1200° G) 3830° y 950° B) 160° y 880° E) 1810° y 370° H) 700° y 2880° C) 400° y 1480° F) 1364° y 564° I) 1950° y 3850° 6 Averigua si los ángulos indicados son o no coterminales. A) –150° y -510° D) –790° y 650° G) 1210° y –2040° B) –80° y 640° E) –220° y 150° H) –490° y –1930° C) –340° y –1420° F) –1500° y –3300° I) –2110° y –580° Rpta. a + q – b = –720° 4 A partir del gráfico mostrado, calcula el valor de “x”. y+x 2 – 34˚ y – x 2 +46˚ Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CLASE "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta lograr tu cometido." (4x – 6)° – (3-7x)° = 90° 11x – 9 = 90 x = 9 a + q + (– b) = –2 vueltas a + q – b = –720° (3x2 –5x + 2)° – (2– x – x2)° = 120° x2 – x – 30 = 0 (x + 5) (x – 6) = 0 x = {–5 ; 6} + 46°y – x ( )2 – 34°y + x ( )2 = –210°– –x + 80° = 210° x = -130° SI SI SI NO NO SI SI SI NO SI SI NO SI SI SI NO NO NO 91Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 5
- 93. Libro de Actividades- Quinto grado de secundaria 7 Señala si los ángulos indicados son o no coterminales. A) 40°, 400° y 760° D) –1230°, –510° y 2470° B) 2580°, 1140° y 420° E) –3275°, –1835° y –35° C) –359°, 721° y 2521° F) 180°, 900° y –360° Rpta. x = 120° Rpta. y = –800° 9 Dos ángulos coterminales son entre sí como 1 es a 10. Halla el mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido entre 190° y 230°. 10 La suma de dos ángulos coterminales es igual a 540°. Halla la medida del menor de ellos, si el mayor está comprendido entre 500° y 800°. Rpta. 2000° Rpta. –90° 8 Calcula los valores de “x” e “y” de acuerdo a los gráficos dados. a) b) SI NO SI SI SI NO x – (–600°) = 720° x + 600° = 720° x = 120° y – (–80°) = –720° y + 80° = –720° y = –800° • a + b = 540° ............ (1) • b – a = 360° n ............ (2) • (1) + (2) : 2b = 540° + 360° n b = 270° + 180° n ; 500° < b < 800° n = 2 → b = 630° • en (1): a + 630° = 540° a = –90° a 1 = b = 10 a • b – a = 360° n • 9a = 360° n a = 40° n ; n ∈ Z • 190° < a < 230° n = 5 → a = 40° (5) = 200° ∴ b = 10(200°) = 2000° → b 10 92 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
- 94. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Rpta. x= 80 Rpta. a y b Rpta. x = 14 3 Del gráfico, calcula "x". (OB: bisectriz) O (2x+5)° (9 – 3x)° A B C Rpta. –240° 4 De acuerdo al gráfico, calcula el valor de "a". Rpta. 2 Rpta. 400° 5 A partir del gráfico, calcula a m b n + . 6 Dos ángulos coterminales son entre sí como 1 es a 10. Halla la medida del mayor de ellos, si el menor se encuentra comprendido entre 30° y 60°. 1 De la figura mostrada, determina el valor de "x". O 120° (20 – x)° 2 Conrespectoalosánguloscoterminales,indique las afirmaciones correctas. a. Tienen el mismo lado inicial y final. b. Sus medidas se diferencian en un número entero de vueltas. c. Deben tener el mismo sentido de giro. d. No son ángulos trigonométricos. Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CASA "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta lograr tu cometido." 120° + [–(20 – x)°] = 180° 120 – 20 + x = 180 x = 80 (2 x + 5)° = –(9 – 3x)° 2x + 5 = –9 + 3x x = 14 120° + (–a) = 360° –a = 240° a = –240° a. V b. V c. F d. F ∴ a y b (ax + b + 60)° – (mx + n – 30)° = 90° (a – m) x + (b – n) = 0 • a – m = 0 → a = m • b – n = 0 → b = n ∴ a b + = 1 + 1 = 2 m n • b – a = 360° n 9 a = 360° n a = 40° n • 30°< a < 60° n = 1 → a = 40° • b = 10 (40°) b = 400° • a 1 = → b = 10 a b 10 93Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 5
- 95. Libro de Actividades- Quinto grado de secundaria 7 De la figura, calcula "x": Rpta. -40 8 Halla una relación entre a; b y q Rpta. q - a - b = 300° 9 Dos ángulos coterminales son entre sí como 1 es a 10. Halla el mayor de ellos si el menor es un ángulo agudo menor de 50°. 10 A partir de la gráfica, obtenga una relación entre a y b. Rpta. 400° Rpta. a - b = 180° 11 Según el gráfico, obtenga: E= 12 Del gráfico, halla "x". Rpta. 1 Rpta. - 150° –x° + 50° = 90° –x° = 40° x = –40 • a – (–2 a) = 90° 3a = 90° a = 30° • a – x = 180° 30° – x = 180° x = –150° • b – a = 360° n 9 a = 360° n a = 40° n • 0°< a < 50° n = 1 → a = 40° • b = 10(40°) = 400° • a 1 = → b = 10 a b 10 q – b + 60° – a = 360° q – a – b = 300° a + (– b) = 180° a – b = 180° a – b = q – g a – g = q + b ∴ E = 1 a + g q + b = 1 94 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
- 96. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Razonamiento ydemostración 1 Con respecto a los ángulos trigonométricos señale las afirmaciones correctas. a. Pueden ser positivas o negativos. b. El ángulo es negativo si su giro es antihorario. c. Su magnitud no tiene límites. A) a y b B) b y c C) a y c D) todas E) ninguna 2 De los siguientes gráficos: 0 a b 0 a b (I) (II) 0 a (III) b Identifique aquellos que muestran ángulos cotermi- nales. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III 3 En cuál de los siguientes gráficos la medida de "b" es la mayor. A) I B) II C) III D) I y III E) I y III 4 Del gráfico, halla la medida de "a". –300° a A) –60° B) –30° C) 100° D) 80° E) 60° 5 Identifique el ángulo que no es coterminal con 840°. A) 1560° B) –240° C) 1200° D) –600° E) 1960° 6 De los siguientes ángulos, indica cuáles son coter- minales a = –3106° ; b = 854° y q = 5186° A) a y b B) b y q C) a y q D) Todos E) Ninguno 7 En la figura, calcula el valor que toma “x”. A) 8° B) 10° C) 15° D) 20° E) 25° 8 ¿Cuántos ángulos comprendidos entre 1000° y 1500° son coterminales con 40°? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Ninguno 9 A partir de la figura, halla una relación entre a y b Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” APLICO MIS APRENDIZAJES "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta lograr tu cometido." Clave de Respuestas 1. C 2. D 3. C 4. E 5. E 6. A 7. B 8. B 9. C A) a + b = 360° B) a - b = 360° C) b - a = 360° D) a + b = 180° E) b - a = 180° 95Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 5
- 97. Libro de Actividades- Quinto grado de secundaria Comunicación matemática 1 A partir del gráfico, halla la medida de "x". a -a0 x A) –135° B) –45° C) –120° D) 45° E) 135° 2 Del gráfico, halla la relación que cumplen los ángulos a, b y q. A) q – a + b = 720° B) a – b + q = 720° C) b – a – q = –720° D) q – a – b = 360° E) q + a + b = 360° 3 En la figura, expresa “q” en términos de “a”. A) q=360°– a B) q=720° – a C) q=–360° – a D) q=a – 720° E) q=a – 1080° 4 A partir del gráfico, halla el suplemento de “x”. A) a° + b° B) a° – b° C) b° – a° D) 2a° – b° E) 2b° + a° 5 De acuerdo al gráfico, determina el valor de "a". -a O 2a A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° 6 Del gráfico, calcula la medida de "x". O 250° –210° x A) 90° B) 100° C) 110° D) 120° E) 130° 7 Señala si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). V F –180° y 180° son ángulos coterminales. 0° es coterminal con cualquier ángulo. Los ángulos coterminales con 90° tienen la forma 90° + 360°n; n∈. A) VVV B) VFV C) VFF D) VVF E) FVV Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” APLICO MIS APRENDIZAJES "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta lograr tu cometido." Clave de Respuestas 1. A 2. A 3. C 4. B 5. C 6. B 7. C o 96 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
- 98. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Resolución deproblemas 1 Del gráfico, halla “x”. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 2 De la figura, hallar “x” en términos de a, b y q. A) 2a – 2b + q B) a + 2b – q C) b – 2a + q D) q + 2b – 2a E) b – 2a + 2q 3 A partir del gráfico, halla: m a n b p c + + A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3 4 Dos ángulos coterminales son entre sí como 1 es a 5. Halla la medida del mayor de ellos, si el menor está comprendido entre 150° y 200°. A) 180° B) 360° C) 540° D) 720° E) 900° 5 Dos ángulos coterminales son entre sí como 19 es a 3. Halla la medida del mayor de ellos, si el menor ángulo toma su mínimo valor positivo. A) 427°30’ B) 547°30’ C) 657°30’ D) 855° E) 927°30’ 6 La suma de dos ángulos coterminales es 600°. Halla la medida del menor de ellos, si el mayor está com- prendido entre 400° y 600°. A) 80° B) 100° C) 120° D) 140° E) 160° 7 Sean a = (7x2 + 1)° y b = (1 – 3x2)° ángulos coter- minales, tal que x Î +. Halla el mínimo valor que puede tomar “a”. A) 1009° B) 757° C) 505° D) 253° E) 107° 8 Se tienen 3 ángulos coterminales tal que el menor de ellos es un ángulo agudo. Halla la medida del mayor si se sabe que dichos ángulos son proporcionales a los números 1; 7 y 13. A) 780° B) 845° C) 910° D) 936° E) 1040° 9 En la figura se cumple que: 3q + 2x = 18°. Halla E = q + x. A) –9° B) 0° C) 9° D) 18° E) 36° Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” APLICO MIS APRENDIZAJES "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta lograr tu cometido." Clave de Respuestas 1. C 2. D 3. E 4. E 5. A 6. C 7. D 8. A 9. B 97Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 5
- 99. Libro de Actividades- Quinto grado de secundaria Razonamiento y demostración 1 a) Correcto b) Incorrecto c) Correcto (C) 2 I. Son coterminales II. Son coterminales III. No son coterminales (D) 3 I. b es negativo II. b es negativo III. b es positivo (C) 4 a – (–300°) = 360° a = 60° (E) 5 1560° – 840° = 720° (Si) –240° – 840° = –1080° (Si) 1200° – 840° = 360° (Si) –600° – 840° = –1440° (Si) 1960° – 840° = 1120 (No) (E) 6 a – b = –3960° (si) b – q = –4332° (No) a – q = –8292° (No) (A) 7 11 x + 50° – (–560°) = 720° 11x = 110° x = 10° (B) 8 b = 40° + 360°n ; n ∈ Z n = 3 → b = 1120° n = 4 → b = 1480° ∴ ∃ 2 ángulos (B) 9 b – a = 360° (C) Comucicación Matemática 1 • a – (– a) = 90° a = 45° • a – x = 180° 45° – 180° = x ∴ x = –135° (A) 2 q – a + b = 720° (A) 3 a + 360° = –q q = –360° – a (C) 4 • • b – a = 360° n ; n ∈ Z 4a = 360° n a = 90° n • 150° < a < 200° n = 2 → a = 180° → b = 900° (E) 4 x + a – b = 180° x = 180° – (a – b) ∴ Suplem. (x) = a – b (B) 5 2a – (–a) = 90° 3a = 90° a = 30° (C) 6 x = 100° (B) 7 • –180° – 180° = –360° ∴ son coterminales (V) • 0° y cualquier otro ángulo deben diferenciarse en un número entero de vueltas (F) • a = 90° + 360° n ; n ∈ Z a y 90° son coterminales (F) (C) Resolución de problemas 1 (17x – 19)° – (11 – 13x)° = 180° 30x – 30 = 180 x = 7 (C) 2 x – q = 2 (–a + b) x = q + 2b – 2a (D) 3 (ax2 + bx + c + 120°) – (mx2 + nx + p –150°) = 270° (a – m) x2 + (b–n)x + (c – p) = 0 a = m b = n c = p (E) 250° 100° 110° –210° x a m b n c p+ + = 3 b a 1 5= + → b = 5a 98 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
- 100. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO 5 • • b – a = 360° a – a = 360° n a = • a : mínimo positivo n = 1 → a = 67° 30' n = b = 427° 30' (A) 6 • b – a = 360° n b + a = 600° 2b = 360° n + 600° b = 180°n + 300° • 400° < b < 600° n = 1 : b = 180° + 300° = 480° ∴ a = 120° (C) 7 (7x2 + 1)° – (1 – 3x2) = 360° n 10x2 = 360°n ; n ∈ Z x2 = 36°n n = 1 → x2 = 36 (mínimo) • a = (7.36 + 1)° a = 253° (E) 135° 2 n → a = 67° 30' n (67° 30') 19 3 19 3 b a 19 3 19 3= → b = a (+) 8 • 0° < a < 90° • a = a 7 a – a = 360°n b = 7 a a = 60°n q = 13 a n = 1 → a = 60° ∴ q = 13(60°) q = 780° (A) 9 • 2q – 3x = 90° (gráfico) 3q + 2x = 18° (dato) • Resolviendo: 4q – 6x = 180° 9q + 6x = 54 13q = 234° q = 18° ∧ x = –18° ∴ E = 0° (B) 99Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 5
- 101. Libro de Actividades- Quinto grado de secundaria 1 Del gráfico, determine el valor de "a". 120˚ α 2 A partir de la gráfica, formule una relación entre a y b. α β 3 De los siguientes ángulos: {-430°; 1370°; 1730°; 1810°} ¿Cuáles son coterminales con 650°? 4 ¿La medida de cuál de los siguientes ángulos es la mayor?. Fundamente su respuesta. α θ β Razonamiento y demostración Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 120° + (– a)° = 720° – a = 600° a = –600° • –430° : Si • 1370° : Si • 1730° : Si • 1810° : No ∴ son coterminales con 650°: {–430° ; 1370 ; 1730°} a : antihorario (+) b : horario (–) q : horario (–) ∴ a tiene mayor medida a + (– b) = 720° a – b = 720° 100 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
- 102. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Comunicación matemática 1 Del gráfico mostrado, calcular el valor de "x" siendo OB . 2 A partir del gráfico, determinar la relación que cumplen los ángulos a; b y q. 3 Según el gráfico mostrado, ¿qué afirmaciones son correctas?. Fundamente su respuesta α β a. a es (–) y b es (+). b. a y b son coterminales c. b – a = 720° 4 De acuerdo al gráfico, determina el valor de "a" a O a –2a Comunicación matemática Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 0 (x–30)° (x+20)° C B A a q b x + 20 = –(x – 30) 2x = 10 x = 5 a. a : horario (–) b : antihorario (+) b. Tienen el mismo lado inicial y final c. b + (–a) = 720° b – a = 720° ∴ todas son correctas a + (–b) + q = 360° a – b + q = 360° a – (–2a) + a = 180° 4a = 180° a = 45° (V) (V) (V) 101Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 5
- 103. Libro de Actividades- Quinto grado de secundaria 1 Del gráfico, calcula "x". 2 Dos ángulos coterminales son entre sí como 1 es a 25. Halla la medida del mayor de ellos, si el menor está comprendido entre 80° y 100°. 3 A partir del gráfico, calcula el valor de "x". 4 Se tienen 3 ángulos coterminales tal que el menor de ellos es un ángulo agudo. Hallar la medida del mayor si se sabe que dichos ángulos son proporcionales a los números 1; 10 y 19. Resolución de problemas Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES –2x 4x 0 (ax+b)° (bx+a)° 4x – (– 2x) = 90° 6x = 90° x = 15° ax + b = – (bx + a) ax + b = – bx – a ax + bx = – a – b x(a + b) = –(a + b) x = –1 Sean: a < b < q Además: b = 10a ; q = 19a Luego: b – a = 360° n 9a = 360° n a = 40°n n = 1 → a = 40° ∴ q = 19 (40°) q = 760° • b – a = 360°n ; n ∈ Z 25a – a = 360° n a = 15° n • 80° < a < 100° n = 6 → a = 90° • b = 25 (90°) b = 2250° a b 1 25= → b = 25a• 102 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
- 104. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Nombre delALUMNO:…………………………........................................... Equipo:………………….............................................................................. INSTRUCCIONES: Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación. REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO: ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... N° Aspectos a evaluar SI NO 1. ¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad? 2. ¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo? 3. ¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo? 4. ¿Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros? 5. ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo? aUTOEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: ASPECTOS A EVALUAR: 1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo. 2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo. 3. Cumplió con lo acordado. 4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones. 5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo. Nombre del evaluador: ……………………….............................................. Equipo: ………………................................................................................. En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario. Compañeros Aspectos a evaluar Comentarios 1 2 3 4 5 1. 2. 3. 4. 5. 6. COEVALUACIÓN 103Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 5
- 105. Libro de Actividades- Quinto grado de secundaria Responde de manera personal las siguientes preguntas: 1. ¿Qué dificultad he tenido para comprender el tema? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. ¿Cómo he superado estas dificultades? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 3. ¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 4. ¿Cómo me sentí durante el desarrollo de la clase?. ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... HETEROEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el recuadro realizando un comentario sobre tu participación. N° Aspectos a evaluar SI NO 1. ¿Mostró interés en el desarrollo de la actividad? 2. ¿Participó de manera activa en las diferentes tareas propuestas por el equipo? 3. ¿Realizó aportaciones que ayudaron al buen desempeño del equipo? 4. ¿Es tolerante ante las ideas de sus compañeros? 5. ¿Cumplió puntualmente con lo acordado por el equipo? REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO: ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... METACOGNICIÓN 104 MATEMATICA 5 | Manuel Coveñas Naquiche
- 107. 528 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES Alvaro le plantea la siguiente propuesta a Sebastian: Álvaro: "Voy a arrojar tres monedas al are. Si todas caen cara, te daré diez centavos. Si todas caen cruz, te daré diez centavos. Pero si caen de alguna otra manera, tú me das cinco centavos a mí." Sebastián: "Déjame pensarlo un minuto. Al menos dos monedas tendrán que caer igual porque si hay dos diferentes, la tercera tendrá que ser igual o diferente de las otras dos. Y si hay dos iguales, entonces la tercera tendrá que ser igual o diferente de las otras dos. Las probabilidades están parejas con respecto a que la tercera moneda sea igual o diferente. A A Z A A Z Z Z Z A A Z A Z A Z A A Z Z Z A A Z Por lo tanto, hay las mismas probabilidades de que las monedas muestren el mismo lado, como que no. Pero Álvaro está apostando diez centavos contra cinco que no serán todas iguales, de modo que las probabilidades están a mi favor. ¡Bien, Ávaro, acepto la apuesta!" Actividad La ...de un conjunto de datos numéricos, ordenados en forma creciente o decre- ciente, es el dato que se encuentra en el centro de la ordena- ción o la media arit- mética de los datos centrales. Todo intervalo tiene un punto medio que recibe el nombre de ...y se obtiene calculando el promedio entre los lími- tes inferior y superior de cada intervalo. Las variables... son aquellas que se pueden contar o medir .Estas variables pueden ser discretas o continuas. La ...es un subconjun- to de una determinada población. La ...es un conjunto de cosas, personas o situaciones que tienen alguna carac- terística común. Para calcular el ...restamos el dato mayor con el menor. Los vértices del ...de fre- cuencias corresponden a los puntos medios de los lados superiores de los rec- tángulos del histograma. A la ...también se le denomina ancho de clase. La ...de un c o n j u n t o de datos es aquel que t i e n e l a m a y o r frecuencia. Las variables cualita- tivas ...,son aquellas que sí consideran un orden en sus catego- rías de clasificación. Un ...es una representación gráfica de una distribución de frecuencias. La ...estadística es una característica común que presen- t a n t o d o s l o s elementos de la población. El ...o amplitud de cada uno de los intervalos está dado por: Rw = m Con la fórmula: se calcula la ... f .x f i i i=1 n i i=1 n ∑ ∑
- 108. 529Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CLASE R = Dmayor - D menor R= 15 - 7 R = 8 x = 9 y = 4 Piden: 9 + 4 = 13 R = 20 - 8 R = 12 ⇒ W = 12 4 ∴W = 3 a = 9 ; b = 15 ; c = 8 Piden: 9 - 15 + 8 = 2 i) f2 = 6 ; f4 = 3 ; f9 = 2 ii) Tienen mayor frecuencia el dato 8. x = 15 + 20 2 ⇒ x = 17,5 ; y = 25 + 30 2 ⇒ y = 27,5 z = 100 - (20 + 35 + 19) ⇒ z = 26 1 Considere los datos siguientes: 7 12 14 8 9 15 10 8 11 12 8 8 14 13 10 8 9 12 7 10 8 12 13 11 14 15 12 9 7 9 i) Ordénalos en forma creciente ii) Calcula el rango de los datos 3 Dada la tabla de frecuencia de datos agrupados, determine x ; y ; z. Intervalos Marca de clase Frecuencias [10 ; 15〉 12,5 20 [15 ; 20〉 x 35 [20 ; 25〉 22,5 z [25 ; 30] y 19 Total 100 5 Con los datos mostrados se ha construido la tabla, determine "x + y". 2 De acuerdo a los datos del ejercicio anterior: i) Calcula la frecuencia de los datos 8; 10 y 15 ii) De todos los datos, ¿cuál tiene más fre- cuencia? 4 La tabla muestra el número de hijos de 50 familias. Determine a - b + c. 6 Las notas obtenidas por 25 estudiantes en una prueba de matemática son las siguientes. Rpta. x = 17,5 ; y = 27,5 ; z = 26 Rpta. 2 Rpta. Rango = 8 Rpta. I) f2 = 6; f4 = 3; f9 = 2 II) El dato 8 Rpta. 13 Rpta. w = 3 f1 5 3 6 2 7 8 8 y 9 3 Total 20 5 7 6 7 9 8 7 9 7 x 5 8 8 8 7 7 7 5 6 7 N° de hijos Conteo N° de familias (fi) 0 a 1 8 2 10 3 b 4 c Total 50 10 12 8 11 18 17 9 10 20 20 19 13 13 14 8 15 11 16 9 10 12 8 11 10 17 Si se utilizarán cuatro intervalos iguales, ¿cuál será el ancho de clase (w)?
- 109. 530 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES Rpta. 5 personas Rpta. I = 33 % ; II = 70% Rpta. x = 32% ; y = 22% Rpta. a = 11 ; b = 0,20 ; c = 42 Rpta. R = 14 ; w = 2 Rpta. I) 8 ; II) 16% 7 Completa la tabla y determina los porcentajes x e y. 9 La siguiente tabla muestra las puntuaciones en un set de aptitud vocacional sometido a 30 personas. Intervalo de puntaje ƒi Fi hi [53 - 63〉 3 3 0,10 [63 - 73〉 3 6 0,10 [73 - 83〉 5 11 0,17 [83 - 93〉 10 21 0,33 [93 - 103〉 7 28 0,23 [103 - 113〉 2 30 0,07 ¿Cuántas personas obtuvieron de 73 a 82 puntos? 11 Las notas de 50 alumnos fueron las siguientes: Si consideramos siete intervalos iguales. 8 Completa la tabla y determinar a, b y c. 10 Con respecto a la tabla del problema anterior. I) ¿Qué porcentaje de personas obtuvieron notas de 83 a 92 puntos? II) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron notas de 53 a 92 puntos? 12 Con los datos del ejercicio anterior construye la tabla de distribución de frecuencias y deter- mine: I) ¿Cuántos alumnos obtuvieron 14 o 15 de nota? II) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron de 18 a 20 de nota? Intervalos fi hi hi x 100 % [10 ; 20〉 8 0,08 8 % [20 ; 30〉 20 0,2 20 % [30 ; 40〉 18 0,18 18 % [40 ; 50〉 32 0,32 x [50 ; 60] 22 0,22 y Total 100 100 % Intervalos fi hi F [6 ; 10〉 8 0,16 8 [10 ; 14〉 10 b 18 [14 ; 18〉 13 0,26 31 [18 ; 22〉 a 0,22 c [22 ; 26] 8 0,16 50 Total 50 6 20 15 12 8 12 19 20 13 8 18 16 7 8 9 13 10 10 7 9 20 18 12 14 16 10 7 14 13 9 6 10 12 15 18 12 14 15 9 12 13 14 16 17 19 16 7 10 10 15 Determine: i) El rango (R) de los datos. ii) El ancho de clase (w) x = 32% y =22% • a 50 = 0,22 ⇒ a = 11 • 10 50 = b ⇒ b = 0,20 c = 31 + a c = 31 + 11 ⇒ c = 42 Rpta: 5 personas i) R = 20 - 6 ⇒ R = 14 ii) W = 14 7 ⇒ = w=2 I) [14; 15] : 8 alumnos II) [18; 20] : 8 alumnos ⇒ hi = 8 50 = 0,16 ∴ hi x 100 = (0,16)(100%) = 16% I) hi × 100% = (0,33)(100%) = 33% II) hi × 100% = (0,70)(100%) = 70%
- 110. 531Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CASA ACTIVIDADES PARA LA CASA Nº 86 1 Considerando los datos siguientes: 5 7 8 6 10 11 11 9 12 15 7 17 6 10 5 14 16 7 11 13 16 11 14 13 7 10 7 8 5 9 I) Ordenalos en forma creciente. II) Calcula el rango de los datos (R). 3 Con los datos mostrados se ha construido la tabla de frecuencias. Determine: x - y 5 La siguiente tabla muestra la distribución del ingreso familiar que corresponde a 80 familias. Intervalos de ingreso S/. ƒi Fi hi [160 - 170〉 x 0,15 [170 - 180〉 48 60 0,6 [180 - 190〉 0,125 [190 - 200〉 y 0,075 [200 - 210〉 Determine x - y. 2 En la tabla determine: y - (x + z) 4 Complete la tabla y determine a, b y c. 6 Con los datos del ejercicio anterior, determine el número de familias que ganan menos de 200 nuevos soles. Intervalos Marca de clase Frecuencias [2 ; 4〉 3 5 [4 ; 6〉 5 7 [6 ; 8〉 x 3 [8 ; 10〉 9 8 [10 ; 12] y z Total 25 f1 10 3 20 1 30 y 40 2 50 2 60 1 70 2 Total 15 10 30 50 70 10 70 50 40 60 30 20 x 10 40 30 Intervalo ƒi hi F [10 ; 30〉 8 0,08 8 [30 ; 50〉 a b [50 ; 70〉 23 0,23 [70 - 90〉 16 0,16 [90 - 110〉 29 0,29 c [110 - 130〉 13 0,13 100 Total 100 Rpta. 6 Rpta. 26 Rpta. R = 12 Rpta. 76 Rpta. a = 11; b = 0,11; c = 87 Rpta. 2 R = 17 - 5 R = 12 • x = 30 • y = 4 Piden: 30 - 4 = 26 • x = 60 - 48 ⇒ x = 12 • y = (0,075)(80) ⇒ y = 6 Piden: 12 - 6 = 6 Hi = 0,15 + 0,6 + 0,125 + 0,075 Hi = 0,95 ⇒ (Hi)(80) = (0,95)(80) = 76 a = 100 - (8 + 23 + 16 + 29 +13) ⇒ a = 11 b = 11 100 = 0,11 c = 100 - 13 = 87 • x = 6 + 8 2 ⇒ x = 7 • y = 10 + 12 2 ⇒ y = 11 • z = 25 - (5 + 7 + 3 + 8) ⇒ z = 2 Piden: 11 - (7 + 2) = 2
- 111. 532 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES ACTIVIDADES PARA LA CLASE 6 Se convocaron a 80 escolares para integrar la preselección de voleybol de su colegio. Sus estaturas, clasificadas, se presentan en la siguiente tabla: Estaturas(en cm) N° de escolares [1,56 - 1,60〉 28 [1,60 - 1,64〉 22 [1,64 - 1,68〉 15 [1,68 - 1,72〉 8 [1,72 - 1,76〉 7 Total 80 a) Calcule la estatura promedio. b) ¿Cuál es la estatura que más se presenta entre los escolares? Rpta. x = 50 ; y = 60 Rpta. I = 8,2 ; II = 24,05 Rpta. 14 1 La gráfica señala la cantidad de pacientes atendidos en los primeros meses del año. 3000 2500 2000 1500 1000 Enero Febrero M arzo Abril M ayo Junio Meses Pacientes I) ¿En qué mes se atendieron más pacientes? II) ¿Cuál es la cantidad de pacientes que más se repite? 3 Determine x e y, si la tabla se utiliza para ela- borar el histograma mostrado. 5 Halla la media, la mediana y la moda de los siguientes conjuntos numéricos: a) 3; 5; 2; 6; 5; 9; 5; 2; 8; 6 b) 51; 6; 48; 7; 50; 3; 49; 5; 48; 9 c) 7; 4; 10; 9; 15; 12; 7; 9; 7 d) 8; 11; 4; 3; 2; 5; 10; 6; 4; 1; 10; 8; 12; 6; 5; 7; 6 2 Un alumno obtuvo las siguientes notas parciales en matemática: 16; 12; 10; 15 y una quinta nota que no recuerda. Si su promedio fue 13,4; calcula la nota que falta. 4 Determine la mediana de los siguientes datos: I) 3; 4,5 ; 6 ; 8,2 ; 9 ; 12 ; 14 II) 12; 15,3; 17; 21; 23; 25,1; 26,5; 28; 28; 30 f1 [5 - 10〉 30 [10 - 15〉 x [15 - 20〉 20 [20 - 25〉 40 [25 - 30〉 30 [30 - 35〉 y [35 - 40〉 40 60 50 40 30 20 10 5 10 15 20 25 30 35 40 N° de alumnos Rpta: Marzo Rpta: 2 000 x = 50 ; y = 60 • P = 16 + 12 + 10 + 15 + x 5 13,4 = 53 + x 5 67 = 53 + x ⇒ x = 14 x y I) Me = 8,2 II) Me = 23 + 25,1 2 ⇒ Me = 24,05 a) x = 5,1 ; Me = 5 ; Mo = 5 b) x = 27,6 ; Me = 28,5 ; Mo = 48 c) x = 8,8 ; Me = 9 ; Mo = 7 d) x = 6,375 ; Me = 6 ; Mo = 6
- 112. 533Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA 7 El promedio de las edades de 3 personas es mayor en una unidad al promedio de las dos primeras personas. Si la tercera persona tiene 40 años. ¿Cuál es el promedio de las 3 edades? 9 Un profesor de educación física, durante una semana, ordena a sus alumnos practicar lanzamiento al cesto, 20 lanzamientos por cada jugador, y con los resultados forma la tabla siguiente: 11 En la oficina de estadística de un hospital se observa la siguiente tabla: 8 La gráfica muestra la temperatura en una ciudad entre las 00 horas y las 12 horas de un determinado día. Determine la temperatura a las 8:30 horas. 10 El gráfico muestra la cantidad de artículos producidossegúnlacantidaddehorastrabajadas. I) Determine x. II) Cuando se han trabajado 16 horas, ¿cuántos artículos se producen? 12 Se encuestó a 40 familias, de 5 integrantes cada una, sobre su consumo de carne de res, por semana, y los resultados se muestran en la siguiente tabla: Rpta. x = 8 ; y = 16 000 Rpta. 38 Rpta. a = 9,52 ; b = 15,5 ; c = 15,5 Rpta. a = 52,88 ; b = 53,44 ; c = 57,08 Rpta. a = 2,25; b = 2,17 a) Cuál fue el promedio de los número de consulta externas diarias? b) ¿Cuál fue el máximo número de consultas externas en la primera mitad de los días? c) ¿Cuál fue el número de consultas externas que más se repitió? a) ¿Cuál es el número de aciertos, promedio? b) ¿Cuál es el máximo nú- mero de aciertos de la mitad de los alumnos? c) ¿Cuál es el mínimo nú- mero de aciertos de la otra mitad de los alum- nos? N° de consultas externas diarias N° de días [35 - 40〉 4 [40 - 45〉 7 [45 - 50〉 10 [50 - 55〉 8 [55 - 60〉 13 [60 - 65〉 6 [65 - 70〉 5 Total 53 N° de aciertos N° de alumnos [0 ; 4〉 12 [4 ; 8〉 8 [8 ; 12〉 16 [12 ; 16〉 8 [16 ; 20〉 6 Total 50 Consumo de carne de res (en kg) N° de familias [1,0 - 1,5〉 8 [1,5 - 2,0〉 10 [2,0 - 2,5〉 6 [2,5 - 3,0〉 9 [3,0 - 3,5〉 4 [3,5 - 4,0〉 3 Total 40 a) ¿Cuál es el consumo promedio de carne de res, de las familias? b) ¿Cuál es el consumo máximo de carne de res del 50% de las familias? 16° 14° 12° 10° 3 5 7 9 11 Horas (h) T(°C) y 8 x 45° 16 Horas Cantidad de artículos (en miles) Rpta. T = 12°C • De 6 a 9 horas la temperatura se mantuvo 12° C ∴ T = 12° C I) x = 8 II) y = 16 • x = x1 + x2 + 40 3 ⇒ x = 2( x - 1) + 40 3 3 x = 2 x + 38 ∴ x = 38 Se sabe: x - 1 = x1 + x2 2 8 8 (16, 16) (8, 8)
- 113. 534 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” ACTIVIDADES PARA LA CASA Rpta. x = 700 ; Me = 720 x = 300(15) + 500(20) + 700(25) + 900(30)+ 1100(10) 100 x = 70 000 100 ⇒ x = 700 Me = 600 +[50 - 35 25 ]200 Me = 600 + 120 ⇒ Me = 720 Rpta. 40 Rpta. 59 Rpta. 56 Rpta. x = 54,20 ; Me = 54,67 ; Mo = 56,25 1 El siguiente histograma muestra las notas obtenidas por los alumnos de una sección en el curso de Biología. 16 14 12 10 8 6 4 2 6 8 10 12 14 16 18 Notas N° de alumnos Halla el número total de alumnos que rindieron la prueba. 3 En base a la siguiente tabla de distribución de frecuencias para variables agrupadas en intervalos de clase, calcula la frecuencia absoluta acumulada de cuarta clase. 5 En base a la tabla, calcula la media y la mediana de los datos. 2 Cuál será la nota de un alumno en laboratorio, si su promedio ponderado fue 10,6, además se sabe que: 4 En el siguiente histograma se muestra la distribución de frecuencias de un conjunto de personas y sus pesos. Calcula el peso promedio. 6 La tabla muestra las ventas en miles de soles durante 50 días. Determine la venta promedio, la mediana y la moda. Curso n° Créditos Nota Laboratorio 3 x Física 4 9,7 Química 4 8,9 Matemática 5 10,4 Pesos en kg n° de personas Fi [40 - 60〉 10 10 [60 - 80〉 20 30 [80 - 100〉 6 36 [100 - 120〉 4 40 xi fi F [200 ; 400〉 300 15 15 [400 ; 600〉 500 20 35 [600 ; 800〉 700 25 60 [800 ; 1 000〉 900 30 90 [1 000 ; 1 200〉 1 100 10 100 Ventas xi fi F [30 - 40〉 35 8 8 [40 - 50〉 45 10 18 [50 - 60〉 55 15 33 [60 - 70〉 65 12 45 [70 - 80〉 75 5 50 # de personas 20 15 10 5 40 50 60 70 80 Peso en Kg Rpta. 14,4 4 8 12 16 10 6 # Total = (4 + 8 + 12 + 16 +10 + 6) # Total = 56 Nota Ponderado = 3x + 4(9,7) + 4(8,9) + 5(10,4) 3 + 4 + 4 + 5 10,6 = 3x + 38,8 + 35,6 + 52 16 3x = 169,6 - 126, 4 ∴ x = 14,4 Fi de cuarta clase = 40 10 15 20 5 x = 45(10)+ 55(15) + 65(20) + 75(5) 50 x = 2 950 50 ∴ x = 59 x = 35(8) + 45(10) + 55(15) + 65(12) + 75(5) 50 x = 54,20 Me = 50 +[25 - 18 15 ]10 ⇒ Me = 54,67 Mo = 50 +[ 5 5 + 3 ]10 ⇒ Mo = 56,25 fMe fMe ; fMo
- 114. 535Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA Razonamiento y Demostración APLICO MIS APRENDIZAJES 1 La tabla muestra la preferencia de los alumnos del 5to grado de secundaria de las carreras profesionales que estudiarán: PROFE N° de alumnos Medicina 12 Contabilidad 08 Economía 10 Derecho 20 Con estos resultados, calcula el porcentaje de alumnos que estudiarán contabilidad. A) 8% B) 4% C) 16% D) 20% E) 12% 2 De la tabla del problema anterior, determine el número de alumnos que estudiarán medicina o economía. A) 8 B) 12 C) 10 D) 22 E) 2 3 Con los datos del problema uno, ¿qué porcentaje de alumnos no estudiará derecho? A) 20% B) 80% C) 60% D) 40% E) 50% 4 Del gráfico muestra la estatura de un grupo de estudiantes. Estatura ƒi hi hi % [1,65 ; 1,69] 6 0,075 [1,70 ; 1,74] [1,75 ; 1,79] 0,375 [1,80 ; 1,84] [1,85 ; 1,89] 10 % [1,90 ; 1,94] De la tabla, calcule el número de estudiantes en estudio. A) 80 B) 75 C) 70 D) 65 E) 60 5 De la tabla del problema nº 04. Halle el número de alumnos cuyas edades oscilan entre 1,85 m y 1,89 m. A) 6 B) 8 C) 10 D) 4 E) 12 6 Del problema nº 04, determina la frecuencia de la clase [1,75 - 1,79]. A) 20 B) 25 C) 30 D) 10 E) 12 7 La tabla presenta la preferencia de 50 alumnos sobre la universidad en la que seguiran sus estudios superiores. Universidad ƒi Fi UPC 20 20 CATÓLICA 15 35 AGRARIA 8 a UNMSM b c Calcule a + b + c. A) 50 B) 100 C) 80 D) 120 E) 90 8 De la tabla del problema nº 7, ¿qué porcentaje de alumnos estudiarán en la CATÓLICA? A) 15% B) 18% C) 20% D) 25% E) 30% 9 De la tabla del problema nº 7, halle la cantidad de alumnos que no desean estudiar en la AGRARIA. A) 20 B) 15 C) 35 D) 42 E) 7 10 Del histograma de frecuencias relativas. ¿Cuántas observaciones hay en el rango (c ; f), si la población es de 400? A) 218 B) 225 C) 244 D) 275 E) 280 11 La tabla muestra la distribución del ingreso semanal familiar de 80 familias. Universidad ƒi Fi Hi [160 - 170〉 [170 - 180〉 48 60 [180 - 190〉 0,125 [190 - 200〉 0,075 [200 - 210〉 Determine el número de familias que ganan 200 soles a más. A) 14 B) 10 C) 26 D) 4 E) 30 a b c d e f 8x 4x 2x x
- 115. 536 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES 12 De la tabla del problema n°11, calcule el número de familias que ganan menos de S/80. A) 12 B) 60 C) 48 D) 56 E) 43 13 De la tabla del problema n° 11, halle el porcentaje de familias que ganan S/180 o más. A) 15% B) 75% C) 20% D) 60% E) 25% 14 En base a la siguiente tabla de distribución de frecuencias: xi = n° de hijos por familia f i = n° de familias x1 f1 2 10 3 8 4 16 5 10 6 6 Calcula el porcentaje de familias que tienen menos de 5 hijos. A) 68% B) 16% C) 32% D) 10% E) 20% 15 Dada la distribución de frecuencias de cierto número de alumnos. Edades n° de Alumnos 20 21 22 26 28 5 4 6 3 2 Determine el promedio aritmético. A) 23,4 B) 23,5 C) 24,3 D) 21,6 E) 24 16 De la tabla del problema anterior, calcule el promedio entre la moda y la mediana. A) 21,5 B) 22 C) 22,5 D) 22,6 E) 21,3 17 La tabla muestra las edades de cierto número de personas. Edades 6 8 10 12 ƒi 4 9 13 15 Fi 4 13 26 41 Determine la mediana. A) 9,8 B) 8,6 C) 10 D) 8 E) 7,6 18 Del problema anterior, calcula la diferencia entre la moda y el promedio aritmético. A) 2,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5 19 Del polígono de frecuencia. 6 10 14 18 22 26 30 6 10 12 15 4 3 Calcule la mediana. A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 20 Con los datos del problema anterior, calcula la suma de la media y la mediana. A) 15,68 B) 29,64 C) 29,86 D) 30,42 E) 34,68 1. C 2. D 3. C 4. A 5. B 6. C 7. B 8. E 9.D 10. D 11. D 12. B 13. E 14. A 15. A 16. B 17. C 18. A 19. D 20. E Clave de Respuestas
- 116. 537Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA Comunicación Matemática APLICO MIS APRENDIZAJES 1 Relaciona la columna de la izquierda con la columna de la derecha. I. Estado Civil ( ) Variable discreta II. Nivel Educativo ( ) Variable continua III. N° de habitantes ( ) Variable nominal IV. Estatura ( ) Variable ordinal A) I; II; III; IV B) II; III; I; IV C) III; IV; I; II D) II; IV; III; I E) II; IV; I; III 2 Se obtuvo las siguientes notas en el curso de Matemática: 10; 09; 12; 15; 9, 12; 14; 10; 18. ¿Cuál es la frecuencia correspondiente a la nota 9? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0 3 Calcular el rango de los siguientes datos: 35 81 72 36 54 32 62 49 83 59 43 57 32 77 39 A) 51 B) 42 C) 40 D) 55 E) 64 4 Las edades de 20 alumnos del salón de clase de un colegio se presenta en el cuadro. 13 11 15 17 16 12 16 12 11 14 15 13 17 11 13 12 16 11 15 16 Calcula la suma de la edad menor con la edad mayor. A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 30 5 De la tabla de distribución de frecuencias de las edades de 15 alumnos. Edades ƒi Hi 10 11 12 13 14 3 2 4 1 5 3 5 9 10 15 ¿Cuántos alumnos son menores de 12 años? A) 3 B) 5 C) 2 D) 9 E) 4 6 De la tabla del problema anterior, ¿cuántos alumnos tienen más de 11 años? A) 1 B) 5 C) 6 D) 4 E) 10 7 Se realiza un estudio sobre la frecuencia de una bebida gasificada a 30 alumnos de un colegio. Determina que clase de variable es materia de estudio. A) Ordinal B) Nominal C) Continua D) Discreta E) Cuantitativa 8 Analiza cada expresión y relaciona la columna de la izquierda con la columna de la derecha. I. Carreras profesionales que estudiarán los alumnos del 5° de secundaria. II. Alumnos del Colegio Mariano Melgar. III. Alumnos del departamento de Lima. ( ) Muestra ( ) Población ( ) Variable A) II; I; III B) I; III; II C) III; II; I D) III; I; II E) II; III; I 9 Dado el siguiente histograma: 8 9 10 11 Edad N° de alumnos 13 15 16 12 14 ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? A) 56 B) 70 C) 31 D) 44 E) 43 10 Del gráfico del problema anterior, ¿cuántos alumnos son menores de 10 años? A) 15 B) 16 C) 14 D) 27 E) 31 1. C 2. B 3. A 4. D 5. B 6. E 7. A 8. E 9. A 10. EClave de Respuestas
- 117. 538 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES Resolución de Problemas APLICO MIS APRENDIZAJES 1 Calcule el rango de la variable. A) 24 B) 28 C) 26 D) 30 E) 32 2 Determine el número de intervalos de clase. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3 Calcule la suma del límite inferior de la segunda y cuarta clase. A) 104 B) 110 C) 108 D) 98 E) 122 4 ¿Cuántos jóvenes pesan menos de 52 kg? A) 10 B) 17 C) 14 D) 12 E) 13 5 ¿Qué porcentaje de jóvenes pesan de 58 kg a 63 kg? A) 9,3 % B) 9,6 % C) 10 % D) 10,3 % E) 12 % 6 El sueldo mensual pagado a los trabajadores de una compañía es 200 dólares. Los sueldos promedios mensuales pagados a hombres y mujeres de la compañía son 210 y 150 dólares, respectivamente. Hallar el porcentaje de trabajadores hombres. A) 49 % B) 66,67 % C) 33, 33 % D) 83,33 % E) 60 % 7 Peso en kg N° de personas [40 - 60〉 10 [60 - 80〉 20 [80 - 100〉 6 [100 - 120〉 4 En base a la tabla de distribución de frecuencias, calcula el porcentaje de personas que pesan por lo menos 80 Kg. A) 25 % B) 33,3 % C) 30 % D) 40 % E) 20 % 8 Del problema anterior, ¿cuál es el máximo peso en kg de la mitad de personas? A) 60 B) 68 C) 70 D) 75 E) 82 9 De la tabla del problema n° 7, ¿cuál fue el peso que más se repitió? A) 65,3 kg B) 66,6 kg C) 67 kg D) 68,3 kg E) 65 kg 10 Dado los siguientes datos: 06; 08; 13; 04, 12, 12; 08; 07; 04; 13; 15; 07 y 08. Calcula la suma de la media, moda y mediana. A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26 11 En un examen las notas fueron: 04; 06; 09;12; 11; 13; 06; 15; 12 y 10. Un alumno aprueba si su nota es mayor o igual que la media o la mediana. ¿Cuántos alumnos aprobaron? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 12 Se analiza las notas de 20 alumnos en el curso de Estadística: 03; 04; 08; 02; 07; 11; 10; 12; 16; 15; 07; 11; 13; 10; 06; 09; 09; 10; 13; 14. Después de realizar la tabla de frecuencias de datos agrupados en intervalos de ancho común igual a 4, calcula el número de clases. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 13 Del problema anterior, ¿cuál es la máxima nota del 50 % de alumnos? A) 10,25 B) 10,50 C) 11,20 D) 11,50 E) 12 14 Del problema N° 12, ¿cuál es la nota que más se repitió? A) 11,14 B) 11,38 C) 12,50 D) 10,50 E) 11 15 Del problema N° 12, calcula la diferencia entre la moda y la mediana. A) 0,64 B) 0,98 C) 1,05 D) 1,14 E) 1,25 16 ¿Cuál es la media de: 17, 16; 15; 17; 18, 12; 14; 13; 18 y 20? A) 10 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18 Los datos representan el peso en kg de 30 personas: 48 46 44 56 70 42 46 46 68 48 42 50 40 52 54 60 64 50 52 66 68 42 62 50 62 52 50 50 44 44 Elabore una tabla de frecuencias con datos agrupados en intervalos de ancho común e igual a 6.
- 118. 539Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA 1. D 2. E 3. A 4. B 5. C 6. D 7. A 8. C 9. D 10. D 11. D 12. B 13. B 14. A 15. A 16. D 17. E 18. E 19. C 20. A 21. C 22. A 23. E 24. B 25. A 26. D 27. B 28. C 29. E 30. A Clave de Respuestas 23 ¿Qué porcentaje de alumnos pesan menos de 50 kg? A) 46,6% B) 48,3% C) 47% D) 48% E) 47,5% 24 Calcula la suma de frecuencias de la tercera y quinta clase. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 25 ¿Cuál es el máximo peso de la mitad de personas? A) 50,875 kg B) 50,25 kg C)51,375kg D) 48,125 kg E) 46,7 kg 26 ¿Cuál es el peso que más se repitió? A) 45 kg B) 45, 4 kg C) 45, 8 kg D) 46, 5 kg E) 46, 7 kg 27 ¿Qué porcentaje de alumnos pesan de 43 kg a más? A) 73 % B) 80 % C) 76 % D) 82 % E) 78 % 28 Calcula la diferencia entre la mediana y la moda. A) 5,125 kg B) 5,75 kg C) 4,375 kg D) 4,250 kg E) 4,575 kg 29 Se conocen los datos de los pesos de 750 personas, distribuidos con ancho de clase común e igual a 10. Sabiendo además que: x1 = 45; f1 = 150; h2 = 0,40. Calcula la mediana. A) 55,8 B) 56,4 C) 56,8 D) 57,2 E) 57,5 30 Al estudiar el consumo de leche se verificó que en cierta región 25% de las familias consumen entre 1 y 2 litros; 35% consume entre 3 y 5 litros. Para la variable en estudio. Calcula el valor de la mediana. A) 2,7 B) 2,8 C) 2,3 D) 2,4 E) 2,9 17 Sea la media de: 20; 15; 16; 20; 17; 18; 19; a; 16 y 16 igual a 18. ¿Cuál es el valor de a? A) 20 B) 24 C) 25 D) 26 E) 23 18 La Mediana de: 17; 20, 13; 12; 14; m; 15; 12; 19; 12 es 14; calcula el valor de “m”. A) 11 B) 12 C) 15 D) 13 E) 14 19 En una fiesta se le pregunta las edades a 15 personas y se obtuvo lo siguiente: 15; 14; 16; 17; 17, 16; 15; 16; 17; 18; 15; 17; 16; 15; 16. De dichos datos obtenidos, ¿cuál es la moda? A) 14 B) 15 C) 16 D) 15,5 E) 17 20 En una fiesta se le preguntan las edades a 18 personas y se obtuvo lo siguiente: 15; 17; 16; 17, 17; 16, 15; 16; 17; 18; 15; 17; 16; 15; 16; 17; 16; 17. De dichos datos obtenidos, ¿cuál es la moda? A) 17 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18 21 ¿Cuál es la frecuencia absoluta de la segunda clase? A) 9 B) 10 C) 11 D) 13 E) 14 22 ¿Cuántos alumnos pesan entre 43 y 57 kg? A) 19 B) 21 C) 18 D) 13 E) 23 Con los siguientes datos, responde las preguntas desde la N° 21 hasta la N° 28. Se recopilaron datos sobre el peso (kg) de 40 alumnos, los resultados fueron: 42 46 54 61 37 46 65 58 70 54 42 36 54 48 65 58 37 38 65 54 61 58 36 46 54 58 61 48 54 42 48 54 46 48 58 48 54 48 70 48 Agrupe los datos e intervalos de ancho común igual a 7, elabore una tabla de frecuencias.
- 119. 540 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES Razonamiento y Demostración pág. 423 1 Se tiene: Total de alumnos : 50 # Alumnos de contabilidad: 8 ⇒ % en contabilidad: 8 50 × 100% = 16% Rpta: C 2 Los alumnos de medicina: 12 Los alumnos de economía: 10 ⇒ Los alumnos que estudiaran medicina o economía son: 12 + 10 = 22 Rpta: D 3 Se tiene: # alumnos en derecho: 20 ⇒ % en Derecho: 20 50 × 100% = 40% Piden: Alumnos que no estudiarán derecho: 100% - 40% = 60% Rpta: C 4 Completando la tabla:Estatura ƒi hi hi % [1,65 ; 1,69] 6 0,075 7,5% [1,70 ; 1,74] [1,75 ; 1,79] 30 0,375 37,5% [1,80 ; 1,84] [1,85 ; 1,89] 8 0,1 10 % [1,90 ; 1,94] Total 80 Piden: # alumnos = 6 0,075 = 80 Rpta: A 5 De la tabla: # alumnos entre 1,85m y 1,89m: ⇒ 80 x (0,1) = 8 Rpta: B 6 De la tabla: Piden fi de [1,75 - 1,79] ⇒ 80 x (0,375) = 30 Rpta: C 7 De la tabla se tiene. • a = 35 + 8 ⇒ a = 43 • b = 50 - 43 ⇒ b = 7 • c = 43 + 7 ⇒ c = 50 Piden: a + b + c ⇒ a + b + c = 43 + 7 + 50 = 100 Rpta: B 8 Piden: % Alumnos que estudiarán en la Católica. ⇒ 15 50 × 100% = 30% Rpta: E 9 Piden: Alumnos que no desean estudiar en la Agraria: ⇒ 50 - 8 = 42 Rpta: D 10 Del Histograma se tiene: Población total: (8x + 4x + 2x + x + x) = 400 16x = 400 ⇒ x = 25 Piden: Observaciones en el rango (c; f): (8x + 2x + x) = 11x = 11(25) ⇒ 275 Rpta: D 11 Completando la tabla tenemos: Universidad ƒi Fi Hi [160 - 170〉 12 12 0,15 [170 - 180〉 48 60 0,6 [180 - 190〉 10 70 0,125 [190 - 200〉 6 76 0,075 [200 - 210〉 4 80 0,05 De la tabla: ⇒ # de familias que ganan 200 soles a más son: 4 Rpta: D 12 De la tabla: Piden: # de familias que ganan menos de S/.180 : 60 Rpta: B 13 De la tabla: Piden % de familias que ganan S/.180 o más.
- 120. 541Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA ⇒ % de S/.180 a menos: (0,15) x 100% + (0,6)x100% = 15% + 60% = 75% ∴ % de familias que ganan S/.180 o más: 100% - 75% = 25% Rpta: E 14 De la tabla: familias que tienen menos de 5 hijos:34 x1 f1 2 10 3 8 4 16 5 10 6 6 % de familias con menos de 5 hijos: 34 50 x 100% = 68% Rpta: A 15 De la tabla: x = 20 + 21 + 22 + 26 + 28 5 x = 117 5 ∴ x = 23,4 Rpta: A 16 Ordenando las edades: 20; 21; 22; 26; 28 Mediana Mo = 22 (6 alumnos tienen dicha edad) Piden: P = Mo + Me 2 P = 22 + 22 2 = 22 Rpta: B 17 Completando la tabla: Edades 6 8 10 12 ƒi 4 9 13 15 Fi 4 13 26 41 Lugar que ocupa la Me: 41 2 = 20,5 ∴ La mediana es 10 Rpta: C 18 Del cuadro anterior: x = 6(4) + 8(9) + 10(13) + 12(15) 4 + 9 + 13 + 15 = 406 41 = 9,90 Mo = 12 ⇒ Piden: Mo - x = 12 - 9,90 = 2,1 Rpta: A 19 Del polígono de frecuencias se tiene: Intervalos ƒi Fi Mi Marcas X Frecuencia [6; 10〉 6 6 8 48 [10; 14〉 10 16 12 120 [14; 18〉 12 28 16 192 [18; 22〉 4 32 20 80 [22; 26〉 15 47 24 360 [26;30〉 3 50 28 84 Piden: Me a) Lugar que ocupa la mediana: 50 2 = 25 ∴La clase mediana es [14; 18〉 ⇒ Li = 14 fMe = 12 b) c = 4 (ancho de la clase mediana) En la formula: Me = 14 + [25 - 16 12 ]x 4 Me = 14 + [ 9 12 ]x 4 ∴Me = 17 Rpta: D 20 i) calculamos: x = ∑Mi × fi n 6 i = 1 ⇒ x = 884 50 ∴ x = 17,68 ii) Piden: Me + x ⇒ 17 + 17,68 = 34,68 Rpta: E
- 121. 542 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES Comunicación Matemática pág.425 1 Se tiene: I. Estado Civil (III) Variable discreta II. Nivel Educativo (IV) Variablecontinua III. N° de habitantes ( I ) Variable nominal IV. Estatura (II) Variable ordinal ∴ III; IV; I; II Rpta. C 2 Se tienen las notas: 10; 09; 12; 15; 9; 12; 14; 10; 18 ⇒ La nota 9 tiene una frecuencia de 2. Rpta: B 3 De los datos: 35 81 72 36 54 32 62 49 83 59 43 57 32 77 39 Dato mayor = 83 Dato menor = 32 Piden: Rango = 83 - 32 ⇒ R = 51 Rpta: A 4 De los datos: 13 11 15 17 16 12 16 12 11 14 15 13 17 11 13 12 16 11 15 16 Edad mayor = 17 Edad menor = 11 Piden: EM + Em = 17 + 11 = 28 Rpta: D 5 De la tabla: Edades ƒi Hi 10 11 12 13 14 3 2 4 1 5 3 5 9 10 15 # alumnos menores de 12 años Rpta: B 6 De la tabla: # alumnos que tienen más de 11 años: 15 - 5 = 10 Rpta: E 7 Tenemos: Frecuencia de una bebida gasificada: (CUALITATIVA ORDINAL) Rpta: A 8 Se tiene: Analiza cada expresión y relaciona la columna de la izquierda con la columna de la derecha. I. Carreras profesionales que estudiarán los alumnos del 5° de secundaria. II. Alumnos del Colegio Mariano Melgar. III. Alumnos del departamento de Lima. (II) Muestra (III) Población ( I ) Variable ∴ II; III; I Rpta: E 9 Tenemos: 8 9 10 11 Edad N° de alumnos 13 13 15 15 16 16 12 12 14 Piden: Total de alumnos: (15 + 16 + 13 + 12) = 56 Rpta: A 10 Del gráfico: Piden: Alumno menores de 10 años = 15 + 16 = 31 Rpta: E
- 122. 543Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA Resolución de Problemas pág. 426 1 Piden: Rango = 70 - 40 ⇒ R = 30 Rpta: D 2 Piden: # intervalos de clase: 5 Rpta. E 3 Piden: Li(2) + Li(4): ⇒ 46 + 58 = 104 Rpta. A 4 Piden: (# Jovenes que pesan menos de 52 kg) = 17 Rpta: B 5 Piden: (% de jovenes que pesan de 58 Kg a 63 kg) = 3 30 x 100% = 10% Rpta: C 6 Sea: H = # de trabajadores hombres M = # de trabajadores mujeres. El porcentaje pedido es: H H + M x 100% De los datos: 210H + 150M H + M = 200 De donde: H M = 5 1 = H H + M x 100% = 5 5 + 1 x 100% ⇒ 83,33% Rpta: D 7 De la tabla: Peso en kg N° de personas [40 - 60〉 10 [60 - 80〉 20 [80 - 100〉 6 [100 - 120〉 4 El número de personas que pesan por lo menos de 80 Kg es: 6 + 4 = 10 ⇒ 10 40 x 100% = 25% Rpta: A 8 Piden: Máximo peso de la mitad de personas: ⇒ (40 2 = 20)⇒ Me = 60 + ( 20 - 10 20 )20 Me = 70 Rpta: C 9 Piden: Peso que más se repitió: Mo = 60 + [ (20 - 10) (20 - 10) + 14 ]20 Mo = 60 + ( 10 24 ).20 Mo = 60 + 8,3 Mo = 68,3 Rpta: D 10 Se tienen los datos: 04; 04; 06; 07; 07; 08; 08; 08; 12; 12; 13; 13;15 Piden: x = 4 + 4 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 12 + 12 + 13 + 13 + 15 13 ⇒ x = 117 13 = 9 • Me = 8 ; Mo = 8 ∴ x + Me + Mo = 9 + 8 + 8 = 25 Rpta: D 11 Ordenando los datos: 04; 06; 06; 09; 10; 11; 12; 12; 13; 15 • Me = 10 + 11 2 = 10,5 x = 98 10 = 9,8 # alumnos aprobados ≥ 9,8 ⇒ (10; 11; 12; 12; 13; 15) : 6 alumnos Rpta: D I) De los datos tenmos la siguiente tabla: Intervalos ƒi hi hi hi x 100% [40, 46〉 7 7 [46, 52〉 10 17 [52, 58〉 5 22 [58, 64〉 3 25 0,1 10% [64, 70] 5 30
- 123. 544 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES 12 Dados los datos: Intervalos ƒi Fi [2; 6〉 3 3 [6; 10〉 6 9 [10; 14〉 8 17 [14; 18〉 3 20 # de clases = 4 Rpta: B 13 Piden: Máx. Nota del 50% • (20 2 = 10) lugar que ocupa la mediana. ⇒ Me = 10 + [ 10 - 9 8 ]4 Me = 10 + 0,5 ∴ Me = 10,5 Rpta: B 14 Piden: Nota que mas se repitió: • Mayor frecuencia: 8 ⇒ [10, 14〉 (Li = 10; fMo = 8) ⇒ Mo = 10 + ( (8 - 6) (8 - 6)+(8 - 3 ) )4 Mo = 10 + ( 2 2 + 5 )4 Mo = 10 + 1,14 ∴ Mo = 11,14 Rpta: A 15 Piden: Mo - Me: ⇒ (11,14 - 10,5) = 0,64 Rpta: A 16 De los datos: 17, 16; 15; 17; 18, 12; 14; 13; 18 ; 20 Piden: x = 160 10 = 16 Rpta: D 17 De los datos: 20; 15; 16; 20; 17; 18; 19; a ; 16; 16 x = 18 ⇒ x = 20+15+16+20+17+18+19+a+16+16 10 18 = 157 + a 10 180 = 157 + a ∴ a = 23 Rpta. E 18 De los datos: 17; 20, 13; 12; 14; m; 15; 12; 19; 12 Si: Me = 14 Ordenando: 12; 12; 12; 13; 14 ; m ; 15; 17; 19; 20 Me (m) Para que 14 se mediana: m ≥ 14 ⇒ Me = 14 + m 2 14 = 14 + m 2 ⇒ m = 14 Rpta. E 19 Se tiene los datos: 15; 14; 16; 17; 17; 16; 15; 16; 17; 18; 15; 17; 16; 15; 16 Mo = 16 Rpta. C 20 Se tiene los datos: 15; 17 ; 16; 17 ; 17 ; 16; 15; 16; 17 ; 18; 15; 17 ; 16; 15; 16; 17 ; 16; 17 Mo = 17 Rpta. A 21 De los datos obtenemos la siguiente tabla: Intervalos ƒi Fi hi x 100% [36; 43〉 8 8 20% [43; 50〉 11 19 27,5% [50; 57〉 8 27 20% [57; 63〉 8 35 20% [63; 70〉 5 40 12,5% n = 40 Piden fi de la segunda clase fi = 11 Rpta. C 22 Piden: # alumnos que pesan entre 43 y 57 kg ∴ 11 + 8 = 19 Rpta: A 23 Piden: % alumnos que pesan menos de 50 kg. ∴ 20% + 27,5% = 47,5% Rpta: E
- 124. 545Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA 24 Piden: fi (tercera clase) + fi (quinta clase) ⇒ 8 + 5 = 13 Rpta. B 25 Piden: Máx. Peso de la mitad de personas. i) ( 40 2 = 20) lugar que ocupa la mediana. ii) 20 está en la clase [50; 57〉 iii) Me = 50 + [ 20 - 19 8 ]7 Me = 50 + 0,875 ∴ Me = 50,875 Rpta: A 26 Piden: Peso que más se repitio: i) Mayor frecuencia: 11 ⇒ [43, 50〉 (Li = 43 ; fMo = 11) ii) Mo = 43 + ( (11 - 8) (11 - 8)+(11 - 8) )7 Mo = 43 + ( 3 6 )7 Mo = 43 + 3, 5 ∴ Me = 46,5 Rpta: D 27 Piden: (% de alumnos que pesan de 43 kg a más) = 27,5% + 20% + 20% + 12,5% = 80% Rpta: B 28 Piden: Me - Mo ⇒ (50,875 - 46,5) = 4,375 kg Rpta: C 29 Completando: Intervalos xi ƒi Fi hi hi x 100% [40; 50〉 45 150 150 0,20 20% [50; 60〉 55 300 450 0,40 40% ... ... ... ... ... ... n = 750 i) Lugar que ocupa la Mediana: 750 2 = 375 ∴ La clase mediana es [50; 60〉 (Li = 50) ii) Me = 50 + ( 375 - 150 300 )10 Me = 50 + (225 300 )10 Me = 50 + 7,5 ∴ Me = 57,5 Rpta. E 30 Se tiene: Intervalos ƒi Fi hi 100% [1; 2〉 25 25 25% [2; 3〉 35 70 35% ... .... ... ... n=100 i) lugar que ocupa la mediana : 100 2 = 50 ∴ La clase mediana es [2; 3〉 (Li = 2) ii) Me = 2 + [ 50 - 25 35 ]1 Me = 2 + [ 25 35 ] Me = 2 + 0,7 ∴ Me = 2,7 Rpta. A
- 125. 546 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES Razonamiento y Demostración Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Con los siguientes datos sobre el peso en kg de 15 personas: 48 44 56 42 46 48 50 52 60 50 66 42 50 52 50 a) Calcule la mediana b) Calcule la moda c) Determine el promedio de las edades d) Halle el rango (R) e) ¿Qué porcentaje representa la frecuencia de la clase modal? 3 De la siguiente tabla de distribución de frecuencias. x 2 4 6 10 fi 6 14 16 10 Fi 6 20 36 46 Calcule la suma entre la mediana y la moda. 2 De la tabla de frecuencias: Edades f1 Ex fi 20 5 100 22 4 88 24 6 144 26 3 78 28 2 56 Determine el promedio aritmética entre la mediana y la media. 4 El cuadro muestra la estatura de un grupo de estudiantes. ƒi hi hi 10% [1,65 ; 1,69] 6 0,15 15% [1,70 ; 1,74] [1,75 ; 1,79] 10 0,25 25% [1,80 ; 1,84] [1,85 ; 1,89] 2 0,05 5 % [1,90 ; 1,94] De la tabla: a) Calcule el número total de estudiantes. b) Determine la frecuencia de la clase [1,75 - 1,79] c) Halle el número de alumnos cuyas estaturas oscilan entre 1,75 m y 1,79 m. Me = 50 Mo = 50 x = 756 15 ⇒ x = 50,4 R = 66 - 42 ⇒ R = 24 • Me = 4 • Mo = 6 Piden: S = Me + Mo ∴ S = 4 + 6 = 10 hi = fi n ⇒ 0,15 = 6 n ∴ n = 40 fi = (hi)(n) ⇒ fi = (0,25)(40) ∴ fi = 10 10 alumnos ⇒ 4 15 x 100% = 26,7% • Me = 24 • x = 100 + 88 + 144 + 78 + 56 20 x = 466 20 ⇒ x = 23,3 Piden: P = 24 + 23,3 2 = 47,3 2 = 23,65
- 126. 547Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA Comunicación Matemática Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Sean los conjuntos: A: Distribución de frecuencias B: Representación gráfica de distribuciones C: Medidas de tendencia central Las expresiones siguientes son elementos de un de los conjuntos anteriores: 1. Histograma 2. La moda 3. Frecuencia relativa 4. La media aritmética 5. Frecuencia absoluta 6. Ojiva 7. Frecuencia absoluta acumulada 8. La mediana 9. Polígono de frecuencias 10. Frecuencia relativa acumulada Analiza cada una e identifica al conjunto que pertenece (A; B o C), luego escribe cada número dentro de las llaves del cual forman parte. A = { ...............................................................} B = { ...............................................................} C = { ...............................................................} 3 La tabla muestra el gusto por una de las asignaturas de 20 alumnos del 3ro de secundaria de un colegio. Asignatura f1 Fi hi % Comunicación 7 7 0,35 35% C.T.A 4 11 0,20 20% Matemática 6 17 0,30 30% Historia del Perú 3 20 0,15 15% De la tabla: a) ¿A cuántos alumnos no les gusta matemática? ................................................................. b) ¿A cuántos alumnos les agrada los cursos de letras? ..................................................... c) ¿Qué porcentaje de alumnos le gusta matemáticas y Comunicación. .................. d) ¿Qué porcentaje de alumnos no gustan del curso de Historia del Perú? ....................... 2 Se tienen las notas de 20 alumnos del curso de Estadística: 13 11 15 17 16 12 16 12 11 14 15 13 17 11 13 12 16 11 15 16 Ordena los datos y complete la tabla. Notas f1 11 4 12 3 13 3 14 1 15 3 16 4 17 2 De la tabla: a) ¿Cuál es la nota que más repite? ............................... b) ¿Cuál es la nota promedio? ................................... c) Calcula el número de alumnos que obtu- vieron notas menores que 14. .............................................................. d) Determine cuántos alumnos obtuvieron notas mayores o iguales a 15. .............................................................. 4 La tabla de distribución de frecuencias muestra los años de servicios de los trabajadores de una empresa: Año de Servicio N° de Personas f1 Fi [0 - 5〉 25 a = 25 [5 - 10〉 15 b = 40 [10 - 15〉 35 c = 75 [15 - 20〉 5 80 De la tabla: a) El número de personas encuestadas. ......... b) La frecuencia acumulada correspondiente al rango [10 -15〉 .......................... c) a + b + c = .................. d) La frecuencia relativa correspondiente al rango [15 -20〉 ............................ 3; 5; 7; 10 11 y 16 (4 + 3 + 3) = 10 alumnos (3 + 4 + 2) = 9 alumnos 14 14 alumnos 10 alumnos 65% 80 75 25 + 40 + 75 = 135 5 85% 1; 6; 9 2; 4; 8
- 127. 548 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES Resolución de Problemas Serliderespromoverlasbuenasrelaciones entrelosdemas” PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES 1 Se han tomado el peso (en kg) a 20 personas obteniéndose: 31 12 27 25 31 27 15 29 16 21 12 27 34 27 22 36 22 13 22 19 Agrupe los intervalos de ancho común e igual a 4 y elabora una tabla de distribución de frecuencias. Peso (kg) f1 Fi hi % [12; 16〉 4 4 0,2 20% [16; 20〉 2 6 0,1 10% [20; 24〉 4 10 0,2 20% [24; 28〉 5 15 0,25 25% [28; 32〉 3 18 0,15 15% [32; 36] 2 20 0,1 10% a) ¿Cuántas personas pesan menos de 28 kg? b) ¿Cuál es el porcentaje de personas que pesan de 24 kg a más? 3 La tabla siguiente muestra al número de consumidores, por edad de los consumidores. EDAD (en años) N° de consumidores Fi [15 - 20〉 7 7 [20 - 25〉 11 18 [25 - 30〉 18 36 [30 - 35〉 12 48 [35 - 40〉 8 56 [40 - 45] 4 60 Total 60 Determine el promedio aritmético entre la mediana y la moda. 2 Del problema anterior: a) ¿Cuál fué el peso que más se repitió? b) Calcule el máximo peso de la mitad de las personas. 4 Dado la tabla incompleta sobre la nota de 25 alumnos. Complete la tabla con un ancho de clase común e igual a 2. Notas Xi fi Fi Xi . fi [ 2 ; 4〉 3 5 5 15 [ 4 ; 6〉 5 4 9 20 [ 6 ; 8〉 7 2 11 14 [ 8 ; 10〉 9 8 19 72 [ 10 ; 12〉 11 2 21 22 [ 12 ; 14] 13 4 25 52 Si la nota aprobatoria es 10. Calcula el porcentaje de alumnos desaprobados. • 15 personas • El peso que más se repitió es de 27 Kg. • Lugar que ocupa: 20 2 = 10 ⇒ Fi = 10 ∴El máximo peso de la mitad de personas es 22 Kg. ⇒ Fi = 19 Piden: % desaprobados = 19 25 × 100% % desaprobados = 76% • 50% • Me: n 2 = 60 2 = 30 Me = 25 + [30 - 18 36 ]x 5 ⇒ ∴ Me = 26,67 Mo: (Mayor frecuencia = 18) Mo = 25 + [ 9 9 + 6 ]x 5 ⇒ Mo = 28 Piden: P = Me + Mo 2 P = 26,67 + 28 2 ⇒ P = 27, 335 → fMe
- 128. 549Manuel Coveñas Naquiche| UNIDAD 13 ESTADÍSTICA COEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: ASPECTOS A EVALUAR: 1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo. 2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo. 3. Cumplió con lo elaborado. 4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones. 5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo. Nombre del evaluador: ……………………….............................................. Equipo: ………………................................................................................. En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario. Compañeros Aspectos a evaluar Comentarios 1 2 3 4 5 1. 2. 3. 4. 5. 6. auTOEVALUACIÓN Nombre del ALUMNO:…………………………........................................... Equipo:………………….............................................................................. INSTRUCCIONES: Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación. REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO: ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... N° Aspectos a evaluar SI NO 1. ¿Organizo de manera rápida datos obtenidos en tablas de frecuencia? 2. ¿Interpreto de manera correcta tablas y gráficos estadísticos? 3. ¿Calculo sin dificultad porcentajes sobre determinados datos obtenidos? 4. ¿Me fue fácil calcular la mediana y la moda para tablas con datos agrupados? 5. ¿Apoyé a mis compañeros que presentaban dificultades?
- 129. 550 MATEMATICA 3| Manuel Coveñas Naquiche Tercer grado de secundariaLIBRO DE ACTIVIDADES Responde: 1. ¿Qué aprendizajes y conocimientos de esta unidad te sirvieron para tu práctica calificada? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. ¿En qué situaciones de tu vida cotidiana puedes aplicar lo que aprendiste en esta unidad? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... HETEROEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el recuadro realizando un comentario sobre tu participación. N° Aspectos a evaluar SI NO 1. ¿Sabe elaborar tablas de frecuencia para datos agrupados? 2. ¿Interpreta los datos obtenidos en una tabla de frecuencia? 3. ¿Representa de manera gráfica sin dificultad datos estadísticos? 4. ¿Calcula con precisión medidas de tendencia central para datos agrupados? 5. ¿Muestra perseverancia en la obtención de sus resultados? REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO: ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... METACOGNICIÓN ITEM OPCIÓN Las tablas de frecuencia para la interpretación de los resultados de la Estadística consideras Poco Necesario Necesario Muy Necesario Para representar gráficamente datos estadísticos y calcular medidas de tendencia central la organización de datos recolectados las considero Innecesario Necesario Muy Necesario La aplicación de la estadística en nuestra vida cotidiana es una herramienta Poco Importante Importante Muy Importante Mi participación durante el desarollo de la clase lo considero Pasiva Activa Muy activa