Desigualdades e inecuaciones

Integrantes:
Francy Romero Sanabria
Nelson Fabián Lozano
Ceres Apulo – Uniminito
2010

Relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los números. La figura 1
muestra los símbolos utilizados para denotar una desigualdad. Por ejemplo, la
desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0
expresa el hecho de que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o
igual que cero.
≠ No es igual
< Menor que
> Mayor que
≦ Menor o igual que
≧ Mayor o igual que
Una desigualdad que tiene variable
se llama inecuación. Por ejemplo:
x + 3 < 7
(La punta del signo < siempre
señala el menor)
Ej. 3 < 4, 4 > 3
Ejemplos de desigualdades:
3 < 7
-2 > -5
x ≤ 2
x-3 ≥ y

Propiedades de las DESIGUALDADES:
a) Suma de desigualdades de igual sentido: Si se suman dos desigualdades de igual
sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido:
8 > 3 ; 5> -1 ; Suma: 8+5 > 3-1
b) Suma de un mismo número a ambos lados de una desigualdad: Una desigualdad
no cambia de sentido si se suma o resta un mismo número a ambos lados de la
desigualdad.
8 > 3 / +7 ; 8+7 > 3+7
c) Multiplicación por un mismo número a ambos lados de la desigualdad: Una
desigualdad no cambia de sentido si se multiplica a ambos lados de ella por un
mismo número positivo. En cambio, cambia de sentido, si se multiplica a ambos
lados por un número negativo.
8 > 6 / (+2) → 16 > 12
8 > 6 / (-2 )→ -16 < -12
Ejercicio Resuelto con la Propiedad B:
2x + 3 > -5
2x + 3 – 3 > -5 -3
2x > -8
X > -8 / 2
X > -4

Toda Una inecuación es en la desigualdad Que intervienen incógnitas o
Valores Desconocidos.
En Las desigualdades en sí emplean Símbolos Que es importante leer y
saber interpretar correctamente.
Ejemplos: Ejemplos de Tipos de Inecuaciones:
Signo Se Lee
•x< -3 X Siempre es
MENOR que - 3
•x≤ 5 es x MENOR O
IGUAL Que 5
•x> 7 Siempre es x
Mayor Que 7
•x≥ -2 es x MAYOR o
IGUAL que - 2
INECUACIÓN TIPO
2x-3 > x-5
1º grado; 1 incóg.
x-3 ≥ y
1º grado; 2 incóg
x2-5x ≤ 4
xy-3 > 0

Resolver una inecuación
El método es similar al que usamos para resolver ecuaciones lineales con una incógnita,
pero con una diferencia importante. Recordemos que en una inecuación podemos:
—sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la inecuación;
—multiplicar o dividir ambos miembros de la inecuación por un mismo número distinto
de cero, pero si este número es negativo, debemos invertir el signo de desigualdad.
Ejemplos
Ejemplo 1: queremos resolver la inecuación 2x + 3 > 5. Simplificamos:
2x > 5 – 3
2x > 2
x > 1: la resolución termina en este último paso.
Podemos observar que esta inecuación tiene infinitas soluciones, que son todos los
números mayores que 1.
Ejemplo 2: queremos resolver la inecuación .
Si resolvemos:
: observa que hemos invertido el signo de desigualdad.
Las soluciones de la inecuación son todos los números menores o iguales que -4.

Cómo operar en las inecuaciones
Tenemos que saber cómo ―transformar‖ una inecuación mediante operaciones elementales.
Sean a, b, c y d cuatro números reales cualesquiera.
—Al sumar o restar un número a ambos lados de una inecuación no se modifica el signo de la
inecuación. Si , entonces .
—Al multiplicar o dividir una inecuación por un número positivo, no se modifica el signo de la
inecuación. Si y k > 0, entonces .
—Al multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo, cambia el signo de la
inecuación. Si y k < 0, entonces .
—Si se suman los miembros homólogos de dos inecuaciones del mismo tipo, se obtiene otra
inecuación del mismo tipo. Si y , entonces .
—Si los números de dos inecuaciones son positivos, al multiplicar los miembros homólogos de
ambas se obtiene una tercera inecuación del mismo tipo. Si y , entonces
.

Procedimiento para resolución de una inecuación INECUACIONES DE
PRIMER GRADO
1) Suprimimos signos de colección.
2)
Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes
en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la
inecuación.
3) Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.
4) Despejamos la incógnita.
Luego
3x - 9 < 6
Su Conjunto Solución { x < 5 } Como Intervalo(∞, 5]
∞ 0 5
Regla General de la Aplicación de los Intervalos en las
Inecuaciones:
En principio tenemos la siguiente regla general:
- Si el signo de la desigualdad es > ó <el intervalo
solución es ABIERTO.
- Si el signo de la desigualdad es≥ ó≤ el intervalo
solución es CERRADO

Intervalos
Sean A y B números reales tales que A es menor que . Se llama intervalo
abierto de extremos A y B, al conjunto cuyos elementos son los números reales que
cumplen la condición de que:

Operaciones con intervalos
Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a
continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas
operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán
intervalos.

Aplicación de las Inecuaciones

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