Distancia, punto medio y cónicas.pptx

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  DISTANCIA, PUNTO MEDIO Y CÓNICAS OMARPEREIRA 27025001 SECCIÓN: DL0412
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  Distancia entre dospuntos en el plano Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa. Y viene dada por la ecuación: 𝑑(𝐴, 𝐵) = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1 2 ) Ejemplo: Dados los puntos 𝐴 = 0,4 y 𝐵 = −4,0 hallar las distancia de A a B. 𝑑 𝐴, 𝐵 = (−4 − 0)2+(0 − 4)2 𝑑 𝐴, 𝐵 = 16 + 16 𝑑 𝐴, 𝐵 = 32 𝑑 𝐴, 𝐵 = 5.65
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  En matemáticas, esel punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos. 𝑀 = 𝑥𝑎 + 𝑥𝑏 2 , 𝑦𝑎 + 𝑦𝑏 2 Punto medio o punto equidistante: Ejemplo: Dados los puntos 𝐴 = (−4,2) y 𝐵 = (0, −2), hallar el punto medio entre A y B. 𝑀 = −4 + 0 2 , 2 − 2 2 = −4 2 , 0 2 = −2,0 𝒙𝒂 𝒙𝒃 𝒚𝒂 𝒚𝒃 𝒙𝒎 𝒚𝒎 𝑴
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  Secciones cónicas Se denominasección cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. Circulo es la sección producida por un plano perpendicular al eje. Elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. Parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. Hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.
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  Circunferencia Se define comoel lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo 𝑪 = 𝒂, 𝒃 que llamamos centro. Por lo tanto, cada punto se expresa de la síguete forma 𝑷 = 𝒙, 𝒚 . así que la circunferencia viene dada por la ecuación. (𝒙 − 𝒂)𝟐 +(𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 llamada ecuación ordinaria. A su ves cuando el centro se encuentra en el origen la ecuación toma la forma. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 llamada ecuación canónica. En la siguiente figura se ve graficada la circunferencia de ecuación: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
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  Parábola Dados un puntoF (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz. El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola. El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice 𝒗 = (𝒂, 𝒃) y la distancia del vértice al foco y del vertice a la directriz es igual a “c” . Es así que la ecuación de la parábola con eje focal paralelo a “y” es 𝒙 − 𝒂 𝟐 = 𝟒𝒄(𝒚 − 𝒃) y con eje focal paralelo a “x” es 𝒚 − 𝒃 𝟐 = 𝟒𝒄(𝒙 − 𝒂) Si el vértice se encuentra en el origen la ecuación toma la forma 𝒙𝟐 = 𝟒𝒄𝒚 y 𝒚𝟐 = 𝟒𝒄𝒚 respectivamente. En la siguiente figura se ve graficada una parábola de ecuación 𝑥2 = 4𝑦
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  Elipse Es el lugargeométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Elementos de la elipse Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: a, a', b y b'. Focos: Son los puntos fijos F y F'. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje mayor: Es el segmento 𝑎𝑎′ de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. Eje menor: Es el segmento 𝑏𝑏′ de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. Y a su vez la ecuación de la elipse es: 𝑥 − 𝑥0 2 𝑎2 + 𝑦 − 𝑦0 2 𝑏2 = 1 En la siguiente figura se ve graficada una elipse cuya ecuación es: 𝒙−𝟏 𝟐 𝟖𝟏 + 𝒚−𝟏 𝟐 𝟏𝟔 = 𝟏
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  Hipérbola Es el lugargeométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante en valor absoluto. Elementos de la hipérbola 1)Focos: son los puntos fijos F Y F'. 2)Eje focal: principal o real: es la recta que pasa por los focos. 3)Eje imaginario: es la recta perpendicular al eje focal. 4)Centro: es el punto de intersección de los ejes. 5)Vértices: los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. 6)Eje mayor: es el segmento 𝐴𝐴′de longitud 2a. 7)Eje menor: es el segmento 𝐵𝐵′de longitud 2b. Los puntos b y b' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. 8)Asíntotas: son las rectas de ecuaciones:𝑦 = − 𝑏 𝑎 𝑥 y 𝑦 = 𝑏 𝑎 𝑥 9)Relación entre los semiejes: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Así que las ecuaciones de la hipérbola son: 𝑥2 𝑎 − 𝑦2 𝑏 = 1centrada en el origen con eje real horizontal. 𝑦2 𝑏 − 𝑥2 𝑎 = 1 centrada en el origen con eje real vertical. 𝑥−ℎ 2 𝑎 − 𝑥−𝑘 2 𝑏 = 1 no centrada en el origen con eje real horizontal. 𝑦−𝑘 2 𝑏 − 𝑥−ℎ 2 𝑎 = 1 no centrada en el origen con eje real vertical.
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  Ejemplo: en la siguientefigura esta graficada una hipérbola cuya ecuación es. 𝑥2 − 𝑦2 = 1 𝑎 = 1,𝑏 = 1,𝑐 = 1.41 Nótese que la ecuación es muy similar a la circunferencia de 𝑟 = 1 cambiando solo el signo (-)
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  Ejercicio sugerido Realiza laecuación de la circunferencia de radio 4, cuyo centro se encuentra en el punto (2,3) y grafica en el plano.