Divisibilidad

• Los números primos son aquellos
números enteros positivos mayores
que 1, que son divisibles por sí
mismos, y por la unidad (1).
• Es decir, estos números sólo
presentan 2 divisores.
• Los siguientes números son primos:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31;
37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73;
79; 83; 89; 97...

• Los números compuestos son
aquellos números que pueden
ser divididos exactamente
entre 1, él mismo y otros
divisores.
• Es decir, es aquel número que
tiene más de 2 divisores.
• Los siguientes números son
compuestos:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,
20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y
32.

• El teorema fundamental de
la aritmética establece que:
• Todo número compuesto
puede representarse como
el producto de número
primos; está expresión es
única, independientemente
del orden de los factores.

• Generalmente se usan dos
métodos para encontrar
los factores primos de
cualquier número
compuesto.
• Uno consiste en encontrar
dos factores fácilmente
reconocibles y, luego,
expresar nuevamente con
otros productos aquellos
factores que sean números
compuestos.

30
2 15
2 3 5
• 30 puede expresarse por el producto
2 * 15, donde 2 es número primo y 15,
que es compuesto, a su vez puede
expresarse como el producto 3 * 5;
tanto 3 como 5 son números primos.
• Por lo tanto, 30 puede expresarse
como el producto 3 * 2 *5, donde
todos los factores son números primos.

• El otro método consiste en
dividir el número compuesto
dado entre su menor factor o
divisor primo posible.
• Si el cociente obtenido es un
número compuesto, se divide
éste entre su menor factor
primo posible.
• Se continúa este
procedimiento hasta obtener
un cociente que sea número
primo.

• Para expresar o descomponer
20 en factores primos,
dividimos primero entre 2 que
es su menor divisor primo: 20 ÷
2= 10.
• Como 10 es compuesto lo
dividimos entre 2, que es su
menor factor y obtenemos 5.
• Como 5 es primo, finaliza el
proceso así: 20= 2*2*5

• Para facilitar la búsqueda
de factores es útil recordar
los criterios de divisibilidad,
ya que estos permiten
reconocer si un número es
divisible entre otro.

• Un número es divisible entre 2
si termina en cero o en cifra
par.
si la suma de sus cifras es
múltiplo de tres.
cuando el número formado
por las dos últimas cifras son
ceros o múltiplos de cuatro.

• Un número es divisible entre 5 si la
última cifra es cero o cinco.
• Un número es divisible entre 6 si lo
es entre 2 y 3.
• Un número es divisible entre 7 si al
separar la última cifra,
multiplicándola por dos y restando
este producto al número que se
formo con las cifras que quedaron,
repitiendo este proceso el número
de veces necesario, se obtiene
como diferencia cero o un múltiplo
de 7.

• Un número es divisible entre
8 cuando sus tres últimas
cifras son ceros o forman un
múltiplo de ocho.
9 si la suma de sus cifras es
múltiplo de nueve.
10 cuando la última cifra es
cero.

• El Máximo Común Divisor de
dos o más números es el
mayor número que los divide
exactamente a todos.
• Para calcular el mcd de dos o
más cantidades, se
descompone cada una de
ellas en sus factores primos, y
se multiplican los factores
primos comunes tomados con
el menor número de veces
que aparecen.

• Calculemos el mcd de los
números 60, 84 y 120:
60 2 84 2 120 2
30 2 42 2 60 2
15 3 21 3 30 2
5 5 7 7 15 3
1 1 5 5
1

• Luego observamos que los
factores comunes son dos
factores 2 y un factor 3.
• Por último calculamos el
mcd con el producto
2*2*3=12
• El resultado se escribe mcd
(60, 84, 120)= 12

• El mínimo Común Múltiplo de
dos o más números es el menor
número que es múltiplo de
cada uno de ellos.
• Para calcular el mcm de dos o
mas cantidades, se
descompone cada una de
ellas en sus factores primos, y se
multiplican los factores primos
comunes y no comunes,
tomados con el mayor número
de veces que aparecen.

• Calculemos el mcm de los
números 60, 36 y 120:
60 2 36 2 120 2
30 2 18 2 60 2
15 3 9 3 30 2
5 5 3 3 15 3
1 1 5 5
1

• Luego observamos que los
factores comunes son 2 y
3; el no común es 5.
• De los comunes el mayor
número de veces que el
factor 2 aparece es tres; el
factor 3 aparece dos
veces; el factor 5 sólo
aparece una vez.

• Por último, calculamos el
mcm con el producto:
2*2*2*3*3*5= 360
• El resultado se escribe
mcm (60, 36, 120)= 360

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