Ejer combinatoriaysoluciones[1]
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Este documento presenta 26 ejercicios de combinatoria y sus soluciones. Los ejercicios involucran conceptos como permutaciones, variaciones, combinaciones y probabilidad. Algunos ejercicios calculan el número de formas posibles de seleccionar objetos, ordenar personas, completar exámenes y más. Las soluciones utilizan fórmulas matemáticas como el factorial, el coeficiente binomial y ecuaciones para determinar valores desconocidos.
Ejer combinatoriaysoluciones[1]
- 1. EJERCICIOS DE COMBINATORIA 1.- Un estudiante tiene que contestar 8 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas formas diferentes puede contestar? ¿Y si las tres primeras son obligatorias? ¿Y si de las cinco primeras ha de contestar a cuatro? Solución: 45, 21, 25 2.- Para jugar al dominó, siete fichas hacen un juego. Sabiendo que tiene 28 fichas, ¿cuántos juegos diferentes se pueden hacer? Solución: 1184040 3.- Hallar el número mínimo de habitantes que debe tener una ciudad para que sea inevitable que al menos dos habitantes tengan las mismas iniciales de su nombre y dos apellidos. (Se supone que el alfabeto tiene 28 letras.) Solución: 21953 4.- El séxtuplo del número de combinaciones que se puede formar con m objetos tomados de tres en tres es igual al número de variaciones que se pueden formar con m-1 objetos tomados de cuatro en cuatro. Halla el valor de m, suponiendo que es mayor que cuatro. Solución: m=6 5.- La diferencia entre el número de variaciones binarias de m objetos y el de combinaciones binarias de los mismos m objetos es 136. Halla el número de objetos. Solución: m=17 6.- En las variaciones sin repetición que podemos formar con las nueve cifras significativas tomadas de tres en tres, ¿cuántas veces está la cifra 7? Solución: 168 7.- ¿Cuántas palabras de 12 letras se pueden formar con la palabra AYUNTAMIENTO, de tal manera que siempre comiencen y terminen por vocal? Solución: 13608000 8.- Con una baraja de 52 cartas, ¿cuántos grupos diferentes de cinco cartas se pueden hacer? Solución: 2598960 9.- ¿Cuántas apuestas hay que rellenar en las quinielas de fútbol para tener la seguridad de acertar cinco resultados? Solución: 243 10.- De un grupo de 12 alumnos deben formarse tres equipos de cuatro participantes para que asistan a tres pruebas diferentes. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden realizarse? Solución: 34650 11.- ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene mayor valor: C 26 , P6 ,V94 ,VR6 ? Solución: V94 3 4 12.- ¿Cuántos tetraedros determinan ocho puntos del espacio de forma que cuatro cualesquiera de ellos no sean coplanarios? Solución: 70 13.- ¿Cuántas palabras de 10 letras diferentes pueden formarse con cinco vocales y cinco consonantes de las 21 existentes, de manera que no haya dos vocales juntas ni dos consonantes juntas? Solución: 586051200 14.- En un departamento de una empresa trabajan cuatro hombres y tres mujeres. Desean que les hagan una fotografía de forma que estén todos los hombres juntos y también las mujeres. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse? Solución: 288 15.- ¿Cuántos resultados distintos se obtienen al lanzar tres dados iguales a la vez? ¿Y si los dados son distintos? Solución: 56, 216 16.- Con los dígitos pares, ¿cuántos números inferiores a 1 000 se pueden escribir? Solución: 84 17.- Calcula el número de diagonales que tiene un polígono de 12 lados. Generaliza el caso para cuando se trate de un polígono de n lados. Solución: n (n-3)/2 18.- Se disponen ocho monedas en una fila. La mitad de ellas son de duro y la otra mitad de 100 pesetas. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar? Solución: 70 19.- Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas. ¿En cuantas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas? Solución: 14348907 20.- ¿En cuantas formas puede un director de televisión programar seis diferentes comerciales de un patrocinador durante los seis periodos de tiempo asignado a mensajes comerciales durante un programa? Solución: 720 21.- ¿De cuantas maneras pueden formarse cinco personas para tomar el autobús? ¿De cuantas maneras si dos de las personas se niegan a hacerlo una detrás de otra? Solución: 120, 72 22.- ¿Cuántas permutaciones diferentes hay de las letras de la palabra "statistics"? ¿Cuántas de ellas comienzan y terminan con la letra s?. Solución: 50400, 3360 23.- En un test de 20 preguntas con dos opciones, ¿de cuantas formas pueden marcarse las preguntas para que a) siete estén correctas y 13 equivocadas; b) 10 estén correctas y 10 equivocadas; c) cuando menos 17 están correctas? Solución: 77520, 184756, 1351 24.- Si se suponen ordenadas todas las permutaciones que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9 en orden creciente, que lugar ocupa la permutación 598132. Solución: lugar nº 476 25.- ¿Cuántos números naturales, incluido el cero, hay que sean menores que 1000, si cada número está constituido por cifras diferentes. Solución: 739 3 2 3 26.- Calcula el valor de m que verifica Vm = 5Vm + C m . Solución m= 8
- 2. EJERCICIOS DE COMBINATORIA 10 7 1.- En el primer caso = 45 ,en el segundo caso sólo debe elegir 5 de entre 7 = 21 ,, la forma de elegir 8 5 5 5 4 entre las primeras 5 y cuatro entre las otras 5 será = 25 4 4 28 2.- = 1184040 7 3 3.- La forma de elegir tres letras entre 28 pudiendo repetirse sería VR28 = 21952 , con lo que si una ciudad tiene un habitante más tendrían dos individuos que coincidir en sus iniciales. 4.- Las soluciones de la ecuación planteada son 2 y 6, por lo que la solución válida es m=6. 5.- Esta ecuación tiene como solución m=17, m=-16, y la solución válida es m=17. 6.- Se pueden formar V93 = 504 variaciones distintas, no interviene el 7 en V83 = 336 , por lo que intervendrá el 7 en 504-336 = 168 7.- Consideramos tres casos: a) Las dos vocales a no figuran en los extremos. V42 ⋅ P 2, 2, 2 = 5443200 (formas de elegir las 10 vocales por las permutaciones de las otras letras que no están en los extremos) b) Una vocal a está en el extremo. 2 ⋅ V41 ⋅ P 2, 2 = 7257600 10 c) Las dos a figuran en los extremos. P 2, 2 = 907200 10 Y en total tendremos 5443200+7257600+907200 = 13608000. 52 52! 8.- = 5 5!47! = 2598960 9.- VR3 = 35 = 243 apuestas 5 12 8 4 10.- =34650 4 4 4 11.- Los valores de cada expresión son 2600, 720, 3024 y 1296, por lo que la mayor es V94 . 8 8! 12.- = 4 4!4! = 70 13.- Las palabras serán de la forma VCVCVCVCVC o CVCVCVCVCV, y por lo tanto tendremos que las posibles ordenaciones son 2 ⋅ V55 ⋅ V21 = 2 ⋅ 120 ⋅ 2441880 = 586051200 5 14.- 2 P4P3= 288, ya que pueden empezar los hombres o las mujeres y pueden los hombres pueden estar de P4 formas distintas mientras que las mujeres lo pueden hacer de P3. 15.- 6 a) Si los lados son iguales tendremos = 20 , además de las repetidas 111, 112, 113, 114, 115, 3 116, y análogamente con 2, 3, 4, 5, 6 es decir 36, por lo que habrá 56 resultados posibles. 3 b) Si los dados son distintos VR6 = 216 16.- Serán números de 1, 2 y 3 cifras, V41 + VR4 + VR4 = 4 + 16 + 64 = 84 2 3 12 17.- − 12 = 54 , es decir el número de combinaciones de dos vértices menos los doce lados del polígono. 2 n n 2 − 3n n(n − 3) En el caso de n lados tendremos − n = 2 = 2 2 18.- P84, 4 = 70 19.- Son variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 15 en 15, es decir 315 20.- Serán permutaciones de 6 elementos, 6!=720 21.- Primeramente serán permutaciones de 5 elementos, 5!=120. Para la segunda pregunta nos damos cuenta que si uno de los dos que se niegan a estar contiguos se coloca en alguno de los tres lugares centrales, el
- 3. EJERCICIOS DE COMBINATORIA otro solo puede ocupar dos lugares, por lo que habrá 3*2*3*2=36 formas de hacerlo, mientras que si ocupa uno de los extremos, el otro podrá colocarse en tres posiciones y por tanto habrá 2*3*3*2=36, en total 72 formas de colocarse. 22.- La palabra tiene 10 letras, pero la “s” se repite 3 veces, la “t” tres y la “i” otras dos, con lo que se podrán 10! hacer PR103, 2,1,1 = 3, = 50400 Si queremos que empiece y termine por s, solo quedarán para permutar 3!3!2! 8! 8 letras, de las cuales se repite la t tres veces y la i dos, por lo que será PR8 , 2,1,1,1 = 3 = 3360 3!2! 23.- 20 a) Se pueden elegir las 7 preguntas a contestar correctamente de 7 20 b) De igual forma será 10 c) En este caso debemos sumar las posibles formas de fallar solo 3, 2, 1 o tener todo el examen 20 20 20 20 correcto, es decir, + + + = 1140 + 190 + 20 + 1 = 1351 3 2 1 0 24.- Contemos todas las permutaciones que quedan por debajo. i) Primero todas las que comiencen por 1, 2, o 3: 3.3!=360 ii) Que comiencen con 5 y la segunda sea menor que 9: 4.4!=96 iii) que la tercera cifra sea menor que 8 (el 5 ya está puesto) 3.3!=18 iv) que la cuarta cifra sea menor que 1 no puede darse. v) que la cuarta cifra sea menor que 3 (ya solo queda el 2) 1 En total 475 por esto ocupará el lugar nº 476. 25.- a) números con una cifra (no se puede repetir) 10 b) números con dos cifras. Las decenas no pueden ser 0, 9.9=81 c) de tres cifras (la 1ª no es cero, la segunda si puede serlo y la tercera no puede ser ni la primera ni la segunda 9.9.8=648 En total 10+81+648=739 números sin repetir la cifras 26.- m(m-1) (m-2) = 5 m (m-1)+ (m (m-1) (m-2))/6 resolviendo esta ecuación nos saldrá m=0, m=1 y m=8, de las que sólo será válida m=8.