Ejercicios diagramas de bloques y gfs

DepartamentodeTecnologíaElectrónica
eIngenieríadeSistemasyAutomáca
JoséRamónLlataGarcía
EstherGonzálezSarabia
DámasoFernándezPérez
CarlosTorreFerrero
MaríaSandraRoblaGómez
Capítulo2.DiagramasdeBloquesyFlujogramas
Ejercicios
Automáca

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 2.1.
Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques:
G1 G2 G3 G4
H1 H2
H3
+ _ + _+
_
G1 G2 G3 G4
H1 H2
H3/G4
+ _ + _+
_
14
3
243
43
121
21
243
43
121
21
GG
H
HGG1
GG
HGG1
GG
1
HGG1
GG
HGG1
GG









_ G1 G2 G3 G4
H1 H2
H3/(G4·G1)
+ _ + _
_
+
121
21
HGG1
GG


243
43
HGG1
GG


H3/(G4·G1)
_
+
214321332243121
4321
HHGGGGHGGHGGHGG1
GGGG

1

Diagramas de Bloques y Flujogramas.
EJERCICIO 2.2.
Obtener la función de transferencia global del sistema mediante el movimiento de bloques.
G3G2G1
c
d
b
a
C(s)
_
++
+
R(s)
+ _
H1
H2
La señal en el punto d será:
21121 cHbGaGcHG)ba(d 
Se mueve el bloque restador cuya salida es el punto d hasta situarlo a continuación del
punto de suma a:
G3G2G1
c
d
b
a
C(s)
_
+ +
+
R(s)
+ _
H1
H2
Se analiza ahora de que está formada la señal que llega al punto d:
121112 GcHbGaGG)bcHa(d 
Con respecto al valor inicial de la señal se puede observar que sobra G1 en el último
sumando. Para resolver esto se dividirá el bloque H2 entre G1.
G3G2G1
c
d
b
a
C(s)
_
+ +
+
R(s)
+ _
H1
H2/G1
2

Resolviendo el bucle interno:
121
21
1
HGG1
GG
)s(M


Con lo que el diagrama de bloques ahora será:
G G G
G G H
1 2 3
1 2 11
c
a
C(s)
_
+R(s)
+ _
H2/G1
Resolviendo el lazo interno entre a y c:
232121
321
1
2
121
321
121
321
2
HGGHGG1
GGG
G
H
HGG1
GGG
1
HGG1
GGG
)s(M







G G G
G G H G G H
1 2 3
1 2 1 2 3 21 
C(s)R(s)
+ _
Y resolviendo el último lazo:
321232121
321
232121
321
232121
321
3
GGGHGGHGG1
GGG
HGGHGG1
GGG
1
HGGHGG1
GGG
)s(M






321232121
321
GGGHGGHGG1
GGG

C(s)R(s)
Otra posible forma de resolver sería moviendo la señal de realimentación tomada a la
salida del bloque G2 hasta la salida del bloque G3. De esta forma modificando los bloques
afectados se tendría:
3

G3G2G1
C(s)
_
++
+
R(s)
+ _
H1/G3
H2
Resolviendo el bloque más interno:
232
32
1
HGG1
GG
)s(M


G G
G G H
2 3
2 3 21
G1
C(s)
+
+
R(s)
+ _
H1/G3
Resolviendo el lazo más interno nuevamente:
121232
321
3
1
232
321
232
321
2
HGGHGG1
GGG
G
H
HGG1
GGG
1
HGG1
GGG
)s(M







G G G
G G H G G H
1 2 3
2 3 2 1 2 11 
C(s)R(s)
+ _
Y resolviendo el último lazo:
321121232
321
121232
321
121232
321
3
GGGHGGHGG1
GGG
HGGHGG1
GGG
1
HGGHGG1
GGG
)s(M






4

EJERCICIO 2.3.
Para el diagrama de bloques de la figura encontrar Geq y Heq de forma analítica y gráfica.
1
s
2
3s
1
10s
K
w
vue
r
z
Y(s)R(s)
+
+
+
+
+ _
0.1
Analíticamente:





 
 v
s
1s
u1.0r)v
s
1
vu1.0(r)wu1.0(rzre
e
10s
K
)3s(s
)1s(2
1.0ru
)3s(s
)1s(2
1.0ru
3s
2
s
1s
u1.0r 



























e
10s
K
)3s(s
)1s(2
1.0re 










r
)10s)(3s(s
)1s(K2
10s
K1.0
1e 










r
)10s)(3s(s
)1s(K2)3s(Ks1.0)10s)(3s(s
1
r
)10s)(3s(s
)1s(K2
10s
K1.0
1
1
e 









r
K2s)K3.230(s)K1.013(s
)10s)(3s(s
e 23




Por otro lado, la función de transferencia de lazo directo es directa:
e
)10s)(3s(s
K2
y 


)10s)(3s(s
K2
e
y
)s(G


5

Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado es:
e
)10s)(3s(s
K2s)K3.230(s)K1.013(s
e
)10s)(3s(s
K2
)s(R
)s(Y
)s(M 23






K2s)K3.230(s)K1.013(s
K2
)s(M 23


Se busca ahora descomponer dicha función de lazo cerrado en las funciones
correspondientes a la cadena directa, cuyo valor ya se conoce, y la realimentación.
)s(H)s(G1
)s(G
)s(M


Para este sistema, sustituyendo el valor de la cadena directa:
)s(HK2s30s13s
K2
)s(HK2)10s)(3s(s
K2
)s(H
)10s)(3s(s
K2
1
)10s)(3s(s
K2
)s(M 23








Luego igualando los denominadores de las dos expresiones obtenidas para M(s):
)s(HK2s30s13sK2s)K3.230(s)K1.013(s 2323

)s(HK2s30s13sK2Ks3.2Ks1.0s30s13s 23223

)s(HK2K2Ks3.2Ks1.0 2

1s15.1s05.0H 2
eq 
2
3 10
K
s s s( )( ) 
C(s)R(s)
+ _
0 05 115 12
. .s s 
6

Resolviendo ahora de forma gráfica:
1
s
2
3s
1
10s
K
w
vue
r
z
Y(s)R(s)
+
+
+
+
+ _
0.1
Pasando el último bloque delante del punto de bifurcación v:
2
3s s( )
1
10s
K
w
vue
r
z
Y(s)R(s)
+
+
+
+
+ _
0.1 s
Agrupando las funciones de transferencia del último sumador:
2
3s s( )
K
s10
w
vue
r
z
Y(s)R(s)
+
+
+ _
0.1 s+1
Moviendo el bloque
2
3s s( )
delante del punto de bifurcación u:
2
3 10
K
s s s( )( ) 
w
vue
r
z
Y(s)R(s)
+
+
+ _
01 3
2
. ( )s s
s+1
7

Agrupando los dos elementos del sumador:
2
3 10
K
s s s( )( ) 
e
r
z
Y(s)R(s)
+ _
0 05 115 12
. .s s 
EJERCICIO 2.4.
Para el diagrama de bloques mostrado en la figura calcular las funciones de transferencia
G(s) y H(s) equivalentes de forma analítica y gráfica. Calcular también la función de
transferencia G(s) equivalente para que el sistema tenga realimentación unitaria.
1
s
10
1s
ve
r y
z
Y(s)R(s)
+
+
+ _
2
Analíticamente:
e
1s
10
s
1
2rv
s
1
2rv
s
1
v2r)yv2(rzre




















e
1s
10
s
1
2re 













r
1s
10
s
1s2
1e 

















 

r
10s21s
)1s(s
r
10s21s
ss
ss
10s20
1
r
e 22
2
2











La función de transferencia de cadena directa se obtiene de forma directa:
)1s(s
10
e
y
)s(G


8

e
)1s(s
10
y


Y la función de transferencia de lazo cerrado es:
10s21s
10
e
)1s(s
10s21s
e
)1s(s
10
r
y
)s(M 22






Sabiendo que:
)s(H)s(G1
)s(G
)s(M


)s(H10ss
10
)s(H
)1s(s
10
1
)1s(s
10
)s(M 2







Igualando los denominadores de las dos funciones de transferencia M(s) obtenidas:
)s(H10ss10s21s 22

)s(H1010s20 
1s2)s(H 
10
1s s( )
Y(s)R(s)
+ _
2s+1
Resolviendo el diagrama de bloques de forma gráfica:
1
s
10
1s
ve
r y
z
Y(s)R(s)
+
+
+ _
2
9

Moviendo el último bloque delante del punto v:
10
1s s( )
ve
r y
z
Y(s)R(s)
+
+
+ _
2s
Uniendo los elementos del sumador:
10
1s s( )
Y(s)R(s)
+ _
2s+1
Si se desea que Heq sea 1:
Y(s)R(s)
+ _
G’(s)
Como la función de transferencia de lazo cerrado es:
10s21s
10
)s(M 2


Dividiendo el numerador y denominador de M(s) entre s21s2
 se tiene:
)s('G1
)s('G
s21s
10
1
s21s
10
s21s
10
s21s
s21s
s21s
10
)s(M
2
2
22
2
2










Y(s)R(s)
+ _ )21s(s
10

10

De forma gráfica partiendo de la función obtenida con Geq y Heq:
10
1s s( )
Y(s)R(s)
+ _
2s+1
10
1s s( )
Y(s)R(s)
+ _
1
2s
)21s(s
10
s21s
10
)1s(s
s20ss
)1s(s
10
s2
)1s(s
10
1
)1s(s
10
)s('G 22













Y(s)R(s)
+ _ )21s(s
10

EJERCICIO 2.5.
Resolver el siguiente diagrama de bloques de forma gráfica y mediante la técnica de los
flujogramas.
C(s)
R(s)
+
+
+ _
G1 G2
+ -
G3 G5G4
G8
G6 G7
11

Resolviendo primero gráficamente:
En primer lugar se ha ordenado el diagrama de bloques de la forma típica:
C(s)R(s)
+
+
+ _
G1G2
+ _
G3 G5
G4
G8
G6
G7
Ahora los bloques G5 y G2 se mueven delante del punto de bifurcación:
C(s)R(s)
+
+
+ _
G1
+ _
G3
G4
258 GGG
G6
25
7
GG
G
Se agrupan los bloques de la realimentación interna:
12

C(s)R(s)
+ _
G1
+ _
G3






 4
25
7
6 G
GG
G
G
258 GGG
C(s)R(s)
+ _
G1
+ _
G3 258 GGG
25
25476
GG
GGGG(G 
Agrupando en un único bloque la realimentación interna:
)GGGG(GG1
GGG
GG
GGGG(G
GGG1
GGG
)s('G
254768
258
25
25476
258
258





C(s)R(s)
G1
+ _
G3
)GGGG(GG1
GGG
254768
258

Agrupando finalmente los elementos restantes:
)GGGG(GG1
GGGGG
1
)GGGG(GG1
GGGGG
G
)GGGG(GG1
GGG
G1
G
)GGGG(GG1
GGG
G
)s(M
254768
25831
254768
25831
1
254768
258
3
1
254768
258
3








13

25831254768
25831
GGGGG)GGGG(GG1
GGGGG
)s(M


8532186542876
85321
GGGGGGGGGGGGG1
GGGGG
)s(M


Aplicando la técnica de los flujogramas:
Se construye en primer lugar el flujograma correspondiente al sistema:
G3 G8 G2G5 G1 11
G4
-G6
-1
G7
R C
Se resuelve aplicando la regla de Mason:
La relación entre la salida C(s) y la entrada R(s), viene dada por:



k kkT
)s(M
)s(R
)s(C
siendo:
 (Determinante del flujograma.) = 1-i+ij-ijk+…
Trayectos directos: "aquellos que partiendo de un nodo fuente llegan a un nodo final
sin pasar dos veces por el mismo nodo"
i: ganancia de cada lazo.
i igual a la suma de ganancias de los bucles que tienen algún nodo común con
cualquier trayecto directo.
ij igual a la suma de productos de las ganancias de todas las combinaciones
posibles de dos bucles disjuntos.
TK es la ganancia del k-ésimo trayecto directo.
K se calcula igual que , pero eliminando los bucles que tienen algún nodo común
14

con el k-ésimo trayecto directo.
Trayectos directos:
152831 GGGGGT 
Lazos:
152831 GGGGG
6782 GGG
645283 GGGGG
  6452867815283321i GGGGGGGGGGGGG
No existen lazos disjuntos.
  6452867815283321i GGGGGGGGGGGGG111
11 
6452867815283
15283k kk
GGGGGGGGGGGGG1
GGGGGT
)s(M
)s(R
)s(C






EJERCICIO 2.6.
Calcular la función de transferencia
)s(R
)s(C
del siguiente flujograma:
1 G11 1G2 G3
-H2
H1
-1
R(s) C(s)
Trayectos Directos: 3211 GGGP 
Lazos Independientes: 1211 HGGL 
2222 HGGL 
3213 GGGL 
Determinante: ...LLLLLL1 fedcba   
15

 321232121 GGGHGGHGG1 
Cofactor: 3211 GGGP 
11 
Entonces:
k
k
kP
1
)s(M 

 
321232121
321
GGGHGGHGG1
GGG
)s(M


EJERCICIO 2.7.
Calcular la función de transferencia
)s(R
)s(Y
del siguiente flujograma:
1 1R(s) 1
-3
s+1
6
-4
s
s+2
-5
3
1
Y(s)1
Trayectos Directos:
)2s)(1s(
s3
P1


)1s(
4
P2



6P3 
Lazos Independientes:
)1s(
3
L1



)2s(
s5
L2



Pares de lazos:
)2s)(1s(
s15
LL 21


Determinante:
...LLLLLL1 fedcba   
16

)2s)(1s(
s15
)2s(
s5
)1s(
3
1












Cofactores:
)2s)(1s(
s3
P1


11 
)1s(4P2 
)2s(
s5
12


6P3 
)2s)(1s(
s15
)2s(
s5
)1s(
3
13












Entonces:
k
k
kP
1
)s(M 

 
 




































)2s)(1s(
s15
)2s(
s5
)1s(
3
1
)2s(
s5
1
1s
4
1
)2s)(1s(
s3
)s(M
)2s)(1s(
s15
)2s(
s5
)1s(
3
1
)2s)(1s(
s15
)2s(
s5
)1s(
3
16
























8s26s6
40s135s36
)s(M 2
2



EJERCICIO 2.8.
Calcular la función de transferencia del siguiente flujograma:
G1
1 1
G2 G3
H2H1
R(s) C(s)
G4
G5
G6 G7
G8
H3 H4
17

Trayectos Directos:
43211 GGGGP 
87652 GGGGP 
Lazos Independientes:
121 HGL 
232 HGL 
363 HGL 
474 HGL 
Pares de lazos:
471241 HGHGLL 
362332 HGHGLL 
Determinante:
...LLLLLL1 fedcba   
  47362312 HGHGHGHG1  36234712 HGHGHGHG 
Cofactores:
43211 GGGGP 
 47361 HGHG1 
87652 GGGGP 
 23122 HGHG1 
Entonces:
k
k
kP
1
)s(M 

 
)
3
H
6
G
2
H
3
G
4
H
7
G
1
H
2
G()
4
H
7
G
3
H
6
G
2
H
3
G
1
H
2
G(1
))
2
H
3
G
1
H
2
G(1)(
8
G
7
G
6
G
5
G())
4
H
7
G
3
H
6
G(1)(
4
G
3
G
2
G
1
G(
)s(M



EJERCICIO 2.9.
Calcular las funciones de transferencia indicadas para el siguiente flujograma:
18

1R1(s) 1 C1(s)
1R2(s) 1 C2(s)
s
s+2
s
s+3
-4
101
1
)s(R
)s(C
T
1
1
11 
)s(R
)s(C
T
1
2
21 
)s(R
)s(C
T
2
1
21 
)s(R
)s(C
T
2
2
22 
1- )s(R)s(CT 1111 
1R1(s) 1 C1(s)
s
s+2
s
s+3
-4
101
1
   
































)3s(s
40
2s
s4
1
1
)3s(s
10
1
2s
s
)s(T11
80s46s17s5
20s10s3s
)s(T 23
23
11



2- )s(R)s(CT 1221 
1R1(s)
1 C2(s)
s
s+2
s
s+3
-4
101
1
 

























)3s(s
40
2s
s4
1
1
)3s(s
1
)s(T21
19

80s46s17s5
2s
)s(T 2321



3- )s(R)s(CT 2121 
1 C1(s)
1R2(s)
s
s+2
s
s+3
-4
101
1
 

























)3s(s
40
2s
s4
1
1
)3s(
10
)s(T12
80s46s17s5
s2s10
)s(T 23
2
12


4- )s(R)s(CT 2222 
1R2(s) 1 C2(s)
s
s+2
s
s+3
-4
101
1

































)3s(s
40
2s
s4
1
)3s(s
40
1
)3s(
1
)s(T22
80s46s17s5
s2s5
)s(T 23
2
22



EJERCICIO 2.10.
Calcular las funciones de transferencia del siguiente flujograma:
20

1R1(s)
R2(s) R3(s)
Y1(s)
Y2(s)
s
-2
6
-3
-41
1 1 1
1s
1
)s(R
)s(Y
T
1
1
11 
)s(R
)s(Y
T
2
1
12 
)s(R
)s(Y
T
3
1
13 
)s(R
)s(Y
T
1
2
21 
)s(R
)s(Y
T
2
2
22 
)s(R
)s(Y
T
3
2
23 
1- )s(R)s(YT 1111 
1R1(s) Y1(s)s
-2
6
-3
-4
1
1s
1
 
2
2
11
s
6
s
24
s
3
s
2
1
1
s
6
)s(T








6s29s
6
)s(T 211


2- )s(R)s(YT 2112 
R2(s)
Y1(s)s
-2
6
-3
-4
1 1
1s
1
 
2
11
s
6
s
24
s
3
s
2
1
1
s
6
)s(T








6s29s
s6
)s(T 211


21

3- )s(R)s(YT 3113 
R3(s)
Y1(s)s
-2
6
-3
-4
1 1
1s
1
 
2
13
s
6
s
24
s
3
s
2
1
s
2
11
)s(T









6s29s
)2s(s
)s(T 213



4- )s(R)s(YT 1221 
1R1(s)
Y2(s)
s
-2
6
-3
-41
1
s
1
 
2
21
s
6
s
24
s
3
s
2
1
s
24
s
3
11
)s(T









6s29s
)27s(s
)s(T 221



5- )s(R)s(YT 2222 
R2(s)
Y2(s)
s
-2
6
-3
-41
1 1
s
1
 
2
22
s
6
s
24
s
3
s
2
1
s
3
12
)s(T









22

6s29s
)6s2(s
)s(T 222



6- )s(R)s(YT 3223 
R3(s)
Y2(s)
s
-2
6
-3
-41
1 1
s
1
  
2
23
s
6
s
24
s
3
s
2
1
18
)s(T


6s29s
s8
)s(T 2
2
23


EJERCICIO 2.11.
La función de transferencia G(s) viene definida por el siguiente diagrama de flujo:
Donde: G1 = 1 G2 = 1/s G3 = 1/s G4 = 1/s G5 = 4
G6 = 1 G7 = -1 G8 = -2 G9 = -3 G10 = 1 G11 = 2.
Calcular, mediante Mason, la función de transferencia de G(s).
 


K
KKT
1
)s(G
Trayectos directos:
36543211
s
4
14
s
1
s
1
s
1
1GGGGGGT 
s
1
11
s
1
1GGGGT 610212 
23

26113213
s
2
12
s
1
s
1
1GGGGGT 
Determinante del sistema:
...LLL1 cba  
32943283272
s
3
s
2
s
1
1GGGGGGGGG1 
Cofactores:
11  12  13 
Función de transferencia:
3
23
3
2
32
23
s
3s2ss
s
ss24
s
3
s
2
s
1
1
s
2
s
1
s
4
)s(G






3s2ss
4s2s
)s(G 23
2



EJERCICIO 2.12.
Calcular la función de trasferencia del sistema de la figura mediante la aplicación de la
regla de Mason:
21
s
1
)s(G  )1s()s(G2  5)s(G3  s)s(G4 
s
1
)s(G5  1)s(G6 
1s
1
)s(G7

 s)s(G8 



 nnT
)s(T
Trayectos:
125831 GGGGGT 
-
-
+
+
+
+
Y(s)
G1(s) G2(s)
G3(s) G4(s) G5(s)
G6(s) G7(s)
G8(s)
R(s)
24

Lazos:
125831 GGGGGL 
642582 GGGGGL 
6783 GGGL 
)GGGGGGGGGGGGG(1 6786425812583 
)GGGGGGGGGGGGG(1
GGGGG
)s(T
6786425812583
12583













1
1s
1
s1s)1s(
s
1
s
s
1
)1s(
s
1
s51
s
1
)1s(
s
1
s5
)s(T
2
2
5s10s6s3s2s
)1s(5
)s(T 2345
2



EJERCICIO 2.13.
G(s) está definida por el diagrama de flujo:
2 1/s 1/s1
-5
3
-4
U(s) Y(s)
Obtener la función de transferencia.
Aplicando la regla de Mason:



 nnT
T
Trayectos directos:
T
s1
3
 1 1
T
s
2 2
2
 2 1
Lazos independientes:
L
s1
4
 
25

L
s
2 2
5
 
   1
4 5
2
s s
5s4s
2s3
s
5s4s
s
2s3
s
5
s
4
1
s
2
s
3
)s(G 2
2
2
2
2
2









5s4s
)66.0s(3
)s(G 2



EJERCICIO 2.14.
Obtener la función de transferencia de una planta que viene definida por el siguiente
flujograma:
3
1
1
7
4
2
5
6
1
/(s+1)
1
/(s+1)
R'(s)
C'(s)
La relación entre la salida C'(s) y la entrada R'(s), viene dada por:



k kkT
)s('M
)s('R
)s('C
1052T1  11 
1863T2  12 
2874T3  13 
26

1s
12
6
1s
1
2T4



 14 
25
)1s(
14
7
1s
1
1s
1
2T





 15 
1s
21
7
1s
1
3T6



 16 
Bucles: No hay
Bucles disjuntos: No hay.
Luego, sustituyendo:
. = 1-i+ij-ijk+… = 1 - 0= 1
Se tiene entonces:
1
T...TTT
)s('M 662211k kk 





22
)1s(
14
1s
33
56
1s
21
)1s(
14
1s
12
281810)s('M










2
2
)1s(
1433s3356s112s56
)s('M



2
2
)1s(
103s145s56
)s('M



EJERCICIO 2.15.
Para el sistema del ejercicio 1.14. hallar la función de transferencia que relaciona la altura
del líquido en el depósito h(t) y la tensión de referencia u(t), mediante la técnica de
flujogramas. En el ejercicio 1.14. el sistema quedó definido por el siguiente diagrama de
bloques:







s
2.0
110 10
+ _ s
1
+ _
U(s) E(s) V(s)
F(s)
Qe(s)
Qs(s)
H(s)
0.009
27

Obtener en primer lugar el flujograma correspondiente al diagrama de bloques mostrado en
la figura.
1U E







s
2.0
110
V 10 Qe 1
-1
-0.009
H Hs
1
Aplicando la Regla de Mason se obtendrá la función de transferencia:



 nnT
T
   21 LL1
s
1
10
s
2.0
110T1 






11 
)1(
s
1
10
s
2.0
110L1 






)009.0(
s
1
L2 












 )009.0(
s
1
)1(
s
1
10
s
2.0
1101
s
009.0
s
2.0s
1001
s
2.0s
100
)s(U
)s(H
T
2
2





s009.020s100s
)2.0s(100
)s(U
)s(H
T 2



20s009.100s
)2.0s(100
)s(U
)s(H
T 2



28

EJERCICIO 2.16.
Dado un sistema de control representado por el siguiente diagrama de bloques:
G1(s) G2(s)
H2(s)H1(s)
H3(s)
R1(s)
R2(s)
+
-
+
+
-
Y(s)
1.- Dibujar el flujograma correspondiente.
2.- Si se hace R2(s) = 0, hallar mediante la regla de Mason, )s(M
)s(R
)s(Y
1

3.- Si en M(s), hacemos H2(s) = H3(s) = 1; H1(s) =
s
1
; G1(s) = K y G2(s) =
)6)(4(
1
 ss
.
Obtener la función de transferencia G3(s) para que M(s) sea equivalente al sistema de la
figura:
R(s)
G3(s)
s
1
C(s)
+
-
1. Flujograma: Sustituyendo el diagrama de bloques:
-1
-H1(s)
R1(s)
G1(s) -1
1
R2(s)
Y(s)
1G2(s)
H2(s)
-H3(s)
210
4
3 5 61
2- Ahora R2(s) = 0. La función de transferencia global del sistema será:



 KK
1
T
)s(R
)s(Y
)s(M
29

Trayectos directos: 0 – 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : G1(s)G2(s)
Bucles: B1: 1 – 2 – 3 – 5 – 1 : G1(s)G2(s)[-H3(s)]
B2: 1 – 2 – 3 – 5 – 4 – 1: G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s)
B3: 2 - 3 – 5 – 4 –2 : G2(s)[-H2(s)]
Bucles disjuntos: No hay.
Luego, sustituyendo:
. = 1 – [G1(s)G2(s)[-H3(s)] + G1(s)G2(s)[-H1(s)]H2(s) +G2(s)[-H2(s)]] + 0 =
= 1 + G2(s)[G1(s)[-H3(s)] + G1(s)[-H1(s)]H2(s) + H2(s)]
K = 1 = 1 – 0 = 1
T1 = G1(s)G2(s)
Se tiene entonces:
 )s(H)s(H)s(H)s(G)s(H)s(G)s(G1
)s(G)s(GT
)s(R
)s(Y
)s(M
2211312
21KK
1 






3. Ahora,
)6s)(4s(
1
)s(G;K)s(G;
s
1
)s(H;1)s(H)s(H 21132


sustituyendo en la ecuación anterior de M(s), se tiene:
Ks)K25(s10s
Ks
K)1K(s)6s)(4s(s
Ks
)1
s
K
K(
)6s)(4s(
1
1
)6s)(4s(
K
)s(M 23









KsKss
Ks
 )25(10 23
R1(s) Y(s)
 G3(s)
s
1
R(s) C(s)
M(s)
30

)K25(s10s
K
)s(Ms
)s(Ms
)s(G
)s(Gs
)s(Gs
s
1
)s(G1
)s(G
)s(M 23
3
3
3
3










Luego la función de transferencia en lazo abierto del nuevo sistema, teniendo en cuenta
que K = 1000, será:
)s(GK
s
1
.'A.L.T.F 3
)1025s10s(s
1000
.'A.L.T.F 2


EJERCICIO 2.17.
G(s) es la función de transferencia de una planta, de la que se conoce su flujograma, que es
el siguiente:
-4
-6-7
1 2
3
5
6
10
9
4
8
ss
1
2

+1
4s
1
2

1s
1

8s
8
 s
1
s
1
3s
3
2s
2

+10
-s
+1
7
Calcular la función de transferencia de la planta, aplicando la regla de Mason.
Trayectos directos:
31

)1s)(ss(s
10
s
1
s
1
10
ss
1
1s
1
P761094321 2221






)8s)(4s(s
8
s
1
s
1
8s
8
4s
1
P76109821 2222






Lazos disjuntos:
;
s
6
s
1
6L;
8s
56
8s
8
7L;sL;
ss
4
L 43221










)3s)(2s(s
30
2s
s
3s
3
s
1
s
1
10L5






Determinante del flujograma:
     42132142324131214321 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL1 





 














 

















































s
6
)s(
ss
4
8s
56
)s(
ss
4
s
)6(s
8s
)56(s
)ss(s
)6(4
)8s)(ss(
)56(4
ss
)s(4
s
6
8s
56
s
ss
4
1
22
2222
)8s)(1s(s
192s520s450s193s72s
2
2345



Cofactores:
)1s(s
4s5s2s
ss
s4
)s(
ss
4
1LL)LL(1
s1)s(1L1
23
2221212
21




















Luego,


 2211 PP
)s(G
Y sustituyendo los valores queda:
)192s520s450s193s72s)(4s(s
352s80s96s18
)s(G 23452
23



32

Ejercicios diagramas de bloques y gfs

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Ejercicios diagramas de bloques y gfs (20)

Último (20)

Ejercicios diagramas de bloques y gfs