Ejercicios resueltos de investigacion de operaciones

E j e r c i c i o s
resueltos de
investigación
o p e r a t i v a
Exámenes propuestos en la
Facultad de Ciencias Económicas
y Empresariales
EKONOMIA ETA ENPRESA
ZIENTZIEN FAKULTATEA
Facultad de Ciencias Económicas
y Empresariales
Belén Castro Íñigo
Henar Diez Sánchez
Ana Marta Urrutia Careaga
ISBN: 978-84-694-5889-1

© Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco
Euskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzua
ISBN: 978-84-694-5889-1
Bilbao, julio 2011
www.argitalpenak.ehu.es

Índice
Introducción
Exámenes año 2005
Extraordinario Febrero.............................................................................................3
Convocatoria Junio ................................................................................................11
Convocatoria Septiembre ......................................................................................24
Exámenes año 2006
Extraordinario Febrero ..........................................................................................33
Convocatoria Junio ...............................................................................................43
Convocatoria Septiembre.......................................................................................51
Exámenes año 2007
Extraordinario Febrero...........................................................................................60
Convocatoria Junio ...............................................................................................71
Convocatoria Septiembre.......................................................................................81
Exámenes año 2008
Extraordinario Febrero ..........................................................................................94
Convocatoria Junio ..............................................................................................103
Convocatoria Septiembre.....................................................................................113
Exámenes año 2009
Extraordinario Febrero.........................................................................................122
Convocatoria Junio .............................................................................................132
Convocatoria Septiembre ....................................................................................142
Exámenes año 2010
Extraordinario Febrero.........................................................................................153
Convocatoria Junio ..............................................................................................163
Convocatoria Septiembre.....................................................................................173

Introducción
La asignatura Investigación Operativa es una asignatura cuatrimestral dedicada
fundamentalmente a la introducción de los modelos deterministas más elementales
dentro de la investigación de operaciones. Esta asignatura se ha impartido en los últimos
años en el tercer curso de la Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas
(L.A.D.E.) en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la U.P.V.
Esta publicación recoge los problemas resueltos propuestos en los exámenes de las
distintas convocatorias entre los años 2005 y 2010.
El temario oficial de la asignatura desglosado por temas es el siguiente:
1. Programación lineal entera
1.1 Formulación de problemas de Programación Lineal Entera.
1.2 Método de ramificación y acotación (Branch and Bound).
1.3 Otros métodos de resolución.
2. Programación multiobjetivo y por metas
2.1 Introducción a la Programación Multiobjetivo.
2.2 Programación por metas.
2.3 Programación por prioridades.
3. Modelos en redes
3.1 Conceptos básicos.
3.2 Problema del árbol de expansión minimal.
3.3 Problema del camino más corto.
3.4 Problema del camino más largo.
3.5 Problema del flujo máximo.
3.6 Problema de asignación.
3.7 Planificación de Proyectos: Métodos C.P.M. y P.E.R.T.

Referencias Bibliográficas:
EPPEN, G.D. ; GOULD, F. J. ; SCHMIDT, C. P.; MOORE, J. H.;
WEATHERFORD, L.R. (2000): “Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa”. Ed. Pearson Educación. México.
HILLIER, F.; LIEBERMAN, G.J. (2008): "Introducción a la Investigación de
Operaciones", 8ª edición. Ed. McGraw-Hill. México.
MATHUR, K. ; SOLOW, D. (1998): "Investigación de Operaciones. El arte de la
toma de decisiones". Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A. México.
RIOS, S. (1988): "Investigación Operativa. Optimización". Ed. Centro de Estudios
Ramón Areces. Madrid.
TAHA, H.A. (2004): "Investigación de Operaciones, una Introducción", 7ª
edición. Ed. Prentice Hall. México.
WINSTON, W.L. (2004): "Investigación de Operaciones. Aplicaciones y
Algoritmos", 4ª edición. Ed. Thompson. Madrid.
YIH-LONG CHANG. (2003): "WinQSB Versión 2.0". Ed. John Wiley & Sons, Inc.

3
INVESTIGACION OPERATIVA (3º LADE)
Extraordinario Febrero 2005
1. (10 puntos) Una inmobiliaria desea promocionar una nueva urbanización mediante
una campaña publicitaria. Para ello dispone de 5 tipos de anuncios: anuncios en
televisión local al mediodía (tvm), anuncios en televisión local a la noche (tvn),
anuncios en periódico local (per), anuncios en suplemento dominical local (sup) y
anuncios en radio local por la mañana (rad). La empresa ha reunido datos sobre la
cantidad de clientes potenciales a los que se destina cada tipo de anuncio y el coste
de cada anuncio en euros. Además, se ha llevado a cabo una valoración de la
calidad que tiene cada anuncio de acuerdo al medio en el que se expone, en una
escala de 0 a 100 (0 nula, 100 excelente). Los datos se recogen en la siguiente tabla:
Anuncios
Clientes
Potenciales
Coste
(euros)
Calidad
exposición
tvm 1000 1500 65
tvn 2000 3000 90
per 1500 400 40
sup 2500 1000 60
rad 300 100 20
El número máximo de anuncios que se pueden emitir es 15, 10, 25, 4 y 30 de tvm,
tvn, per, sup y rad, respectivamente. La inmobiliaria, aconsejada por una agencia de
publicidad, decide utilizar al menos 10 anuncios en la televisión, alcanzar por lo
menos 50000 clientes potenciales, no gastar más de 18000 euros en anuncios en
televisión y si se hacen anuncios en el periódico entonces no hacer anuncios en la
televisión por la noche. El presupuesto máximo para la campaña publicitaria es de
30000 euros. Modelizar, sin resolver, mediante programación lineal entera el
problema de cómo debe planificar la campaña si se desea maximizar la calidad de
la exposición de todos los anuncios de la campaña publicitaria.

4
Solución:
Definimos las variables de decisión siguientes:
1x = número de anuncios a emitir en tvm
2x = número de anuncios a emitir en tvn
3x = número de anuncios a emitir en per
4x = número de anuncios a emitir en sup
5x = número de anuncios a emitir en rad
1 si se hacen anuncios per
0 en caso contrario
y

= 

La modelización queda como sigue:
( )
( )
1 2 3 4 5
1
4
5
1 2
1 2 3 4 5
1 2
1 2 3 4 5
3
2
Max 65 90 40 60 20
15
4
30
10
1000 2000 1500 2500 300 50000
s.a 1500 3000 18000
1500 3000 400 1000 100 30000
25
10 1-
0 y enteras 1,...,5
0 , 1
i
x x x x x
x
x
x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x y
x y
x i
y
+ + + +
≤
≤
≤
+ ≥
+ + + + ≥
+ ≤
+ + + + ≤
≤
≤
≥ =
=















2. (10 Puntos) Resolver el problema siguiente.
1 2 4 3
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
2 4 4
1 2
Min ( , , , )
2 8 (1)
1 (2)
4 (3)
s.a
2 (4)
0, 0 1, ,5
0, 0
i i
L y y y y
x x y y
x x y y
x x y y
x y y
y y i
x x
− + + +
+ −
+ −
+ −
+ −
− +
 + − + =

 − − + = −

 + − + =

 − + =

≥ ≥ =

≥ ≥
⋯

5
Solución:
1 1
1 2 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
2 8 (1)
s.a 0, 0
0, 0
y
x x y y
x x
y y
−
+ −
− +
≡
 + − + = ≥ ≥
 ≥ ≥
Soluciones óptimas:
Valor óptimo: 0
2 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
P Min ( )
2 8 (1)
0, 0
s.a 0, 0
1 (2)
0, 0
y
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
+
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + − + = ≥ ≥ = ≥
 − − + =− ≥ ≥
Valor óptimo: 0
3 4
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
2 4 4
4 4
P Min ( )
2 8 (1)
0, 0
0, 0
s.a 1 (2)
0, 0
2 (4)
0, 0
y
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
x y y
y y
+
+ −
− +
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + − + = ≥ ≥ = ≥ − − + = −
 ≥ = − + = ≥ ≥
Solución óptima:
Valor óptimo: 1
A∈
B∈
(2,3)

6
4 3
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
2 4 4
4 4
1 2 3 3
3 3
P Min ( )
2 8 (1)
0, 0
0, 0
1 (2)
s.a 0, 0
2 (4)
0, 1
4 (3)
0, 0
y
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
x y y
y y
x x y y
y y
+
+ −
− +
+ −
− +
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + − + = ≥ ≥ = ≥ − − + =− ≥ =
 − + = ≥ = + − + = ≥ ≥
Solución óptima:
Valor óptimo: 1
Conclusión: la solución óptima es (2,3). En las metas 1ª y 2ª no hay ni exceso ni
defecto 1 1 2 2( 0, 0, 0, 0)y y y y+ − + −
= = = = . En la meta 3ª y en la 4ª hay un exceso
de 1 3 3 4 4( 1, 0, 1, 0)y y y y+ − + −
= = = = .
3. La directora de un centro educativo debe asignar la docencia de 5 asignaturas, A1,
A2, A3, A4 y A5 a 4 profesores, P1, P2, P3 y P4 teniendo en cuenta las valoraciones
de las encuestas hechas por los alumnos y unas restricciones impuestas por un nuevo
reglamento. En base a las encuestas de años anteriores, se tienen las siguientes
valoraciones promedios (escala: 0 mala, 5 excelente):
(2,3)

7
A1 A2 A3 A4 A5
P1 2.7 2.2 3.4 2.8 3.6
P2 2 3.6 3.4 2.8 3.6
P3 3.2 3.8 2.3 1.9 2.6
P4 2.6 2.5 1.8 4.2 3.5
El nuevo reglamento dice que el profesor P3 no puede impartir las asignaturas A1 y
A2. Las asignaturas no se pueden compartir y se han de impartir todas. Ningún
profesor puede quedar sin asignaturas. Al profesor P1 solamente se le debe asignar
una asignatura.
a) (5 puntos) Modelizar como un problema de programación lineal entera con el
objetivo de obtener la asignación que maximice la valoración media total.
b) (5 puntos) Indicar a qué tabla habría que aplicar el método húngaro para
determinar la asignación óptima.
Solución:
a) Definimos las variables de decisión siguientes:
1 si al profesor se le asigna la asignatura
=
0 en caso contrario
ij
i j
x



con i=1,…,4 y j=1,…,5
( )11 12 15 21 22 25 45
11 12 13 14 15
1 2 3 4 5
1 2 3 4
31
32
Max 2.7 2.2 ... 3.6 2 3.6 ... 3.6 ... 3.5
1
1 2 2, 3, 4
1 1,...,5
s.a
0
0
0,1 1,...,4 1,...,5
i i i i i
j j j j
ij
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x i
x x x x j
x
x
x i j
+ + + + + + + + +
+ + + + =
 ≤ + + + + ≤ =
 + + + = =

=
 =

= = =
b) Aplicaremos el Método Húngaro a la siguiente tabla:

8
A1 A2 A3 A4 A5 F F
P1 -2.7 -2.2 -3.4 -2.8 -3.6 M M
P2 -2 -3.6 -3.4 -2.8 -3.6 M M
P2 -2 -3.6 -3.4 -2.8 -3.6 0 0
P3 M M -2.3 -1.9 -2.6 M M
P3 M M -2.3 -1.9 -2.6 0 0
P4 -2.6 -2.5 -1.8 -4.2 -3.5 M M
P4 -2.6 -2.5 -1.8 -4.2 -3.5 0 0
Con M positivo suficientemente grande.
4. La siguiente red representa un proyecto donde el valor de cada arco indica la
duración de cada actividad en días:
a) (4 puntos) Determinar para qué valores de t(1,3), t(1,6) y t(8,9) se cumplen las
tres condiciones siguientes:
La duración prevista del proyecto es de 23 días.
La actividad (2,6) es crítica.
El margen de la actividad (3,4) es 4.
b) (6 puntos) Hallar el (los) camino(s) crítico(s) del proyecto y la tabla de
actividades para los valores obtenidos en a)
t(1,6)
5
7
4
3
5
2
5
7
8
5t(1,3)
8
4
1
3
2
4
5
6
7
8 9
t(8,9)

9
Solución:
a)
Dado que la actividad (2,6) es crítica y ( ) ( ){ }6 Max 12, 1,6P t= , se tiene
que ( )6 12P = y en consecuencia ( )1,6 12.t ≤
Como la duración prevista del proyecto (d.p.p.) es de 23 días y la
actividad (2,6) es crítica, se sabe que: 23=12+7+ ( )8,9 .t Luego
( )8,9 4.t =
Dado que el margen de la actividad (3,4) es
( ) ( ) ( ) ( )3,4 4 3 3,4M Q P t= − − , se tiene que ( )4 16 3 3P= − − y por
tanto ( )3 9P = . Como ( ) ( ){ }3 Max 9, 1,3 9P t= = entonces ( )1,3 9.t ≤
b) Si ( )1,6 12t < , el camino crítico es (1,2,6,8,9).
Si ( )1,6 12t = los caminos críticos son (1,2,6,8,9) y (1,6,8,9).
La tabla de actividades correspondiente a este proyecto es:
t(1,6)
5
7
4
3
5
2
5
7
8
5
t(1,3)
84 t(8,9)=40
1
0
4
2
4
9
3
10
12
4
16
13
5
14
12
6
12
20
7
21
19
8
19
23
9
23

10
(i,j) t(i,j) CMT(i,j) FMT*(i,j) M(i,j)
(1,2) 4 0 4 0*
(1,3) t(1,3) 0 10 10- t(1,3)
(1,6) t(1,6) 0 12 12- t(1,6)
(2,3) 5 4 10 1
(2,5) 8 4 14 2
(2,6) 8 4 12 0*
(3,4) 3 9 16 4
(3,5) 4 9 14 1
(4,7) 5 12 21 4
(5,7) 7 13 21 1
(5,8) 5 13 19 1
(6,8) 7 12 19 0*
(6,9) 5 12 23 6
(7,9) 2 20 23 1
(8,9) 4 19 23 0*
Donde:
( ),t i j es la duración de la actividad ( ),i j
( ),CMT i j es el comienzo más temprano de la actividad ( ),i j
( )*
,FMT i j es el final más tardío de la actividad ( ),i j
( ),M i j es el margen de la actividad ( ),i j

11
Junio 2005
1. Una empresa de juguetes está considerando la puesta en marcha de tres nuevos
modelos de juguetes (1, 2 y 3) para su posible inclusión en la próxima campaña de
Navidad. La preparación de instalaciones para la fabricación de estos modelos
costaría 25000 €, 35000 € y 30000 € respectivamente, y la ganancia unitaria sería
de 10 €, 15 € y 13 € respectivamente. La empresa dispone de tres plantas de
producción para la elaboración de estos modelos, pero para evitar gastos sólo en
una de ellas se producirían los juguetes, dependiendo la elección de la
maximización de las ganancias.
El número de horas que se precisa para producir cada juguete en cada planta es:
juguete 1 juguete 2 juguete 3
planta 1 5 4 6
planta 2 4 2 2
planta 3 3 3 2
Las plantas disponen al día 500, 600 y 630 horas de producción respectivamente.
La gerencia ha decidido desarrollar al menos uno de los tres juguetes.
a) (8 puntos) Modelizar el problema utilizando programación lineal entera para
maximizar el beneficio total.
b) (2 puntos) La empresa decide producir únicamente el juguete tipo 3, pero debe
tener en cuenta que si produce más de 50 unidades de este tipo de juguete
entonces:
el coste de preparación de instalaciones del juguete tipo 3 es de 40000 €
debe producir en la planta 3
Modelizar el problema, añadiendo esta información, utilizando programación lineal
entera.

12
Solución:
ix = número de juguetes producidos diariamente del tipo i i=1,2,3
1 si se pone en marcha el juguete tipo
0 en caso contrario
i
i
y

= 

i = 1, 2, 3
1 si se produce en la planta
0 en caso contrario
j
j
z

= 

j = 1, 2, 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
1 2 3
Max(10 25000 15 35000 13 30000 )
1
1, 2, 3
5 4 6 500 (1 )
4 2 2 600 (1 )
3 3 2 630 (1 )s.a
1
0 y enteras =1, 2, 3
0,1 =1, 2, 3
0,1 =1, 2, 3
i i
i
i
j
x y x y x y
y y y
x My i
x x x M z
x x x M z
x x x M z
z z z
x i
y i
z j
− + − + −
+ + ≥
 ≤ =
+ + ≤ + −
+ + ≤ + −
+ + ≤ + −
+ + =
≥
=
=










b) Definimos la variable de decisión siguiente:
31 si 51
0 en caso contrario
x
p
≥
= 

( )
( )
3
3
3
3 1
3 2
3 3
1 2 3
3
Max 13 30000(1 ) 40000
51 50 1
6 500 (1 )
2 600 (1 )
s.a 2 630 (1 )
1
0 y entera
0,1
0,1 =1,2,3i
x p p
p x p Mp
p z
x M z
x M z
x M z
z z z
x
p
z i
− − −
≤ ≤ − +

≤
 ≤ + −

≤ + −

≤ + −
 + + =

≥

=
 =

13
2. En una industria panadera se quiere introducir la elaboración de dos nuevos tipos de
pan: integral y de centeno, ya que se tiene asegurada la venta de su producción.
Estos panes se elaboran principalmente a base de tres ingredientes: salvado integral,
harina de trigo y harina de centeno. Para elaborar 1 kg de pan integral se necesitan
350 g de salvado integral y 150 g de harina de trigo y para la elaboración de 1 kg de
pan de centeno se necesitan se necesitan 250 g de harina de trigo y 250 g de harina
de centeno. La disponibilidad diaria de salvado integral es de 210 kg, 115 kg de
harina de trigo y 100 kg de harina de centeno. El beneficio que deja cada kg de pan
integral es de 0.40 € y 0.60 € cada kg de pan de centeno.
Calcular la elaboración diaria de pan integral y de centeno, si se han puesto las
siguientes metas por orden de prioridad:
• Prioridad 1. Se desea obtener un beneficio de al menos 240 € diarios.
• Prioridad 2. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan integral sea
al menos el doble que la de centeno.
• Prioridad 3. Se desea que la cantidad elaborada diariamente de pan de centeno
no sea inferior a 300 kg.
¿Qué metas de las propuestas se han cumplido?
Solución:
1x = kg de pan integral elaborado diariamente
2x = kg de pan de centeno elaborado diariamente
1 2 3
1
2
1 2
1 2 1 1
1 2 2 2
2 3 3
1 2
Min ( , , )
0.35 210 (1)
0.25 100 (2)
0.15 0.25 115 (3)
0.4 0.6 240 (4)
s.a
2 0 (5)
300 (6)
0, 0
0, 0 1,2,3i i
L y y y
x
x
x x
x x y y
x x y y
x y y
x x
y y i
− − −
+ −
+ −
+ −
− +
 ≤ ≤ + ≤ + − + =
 − − + = − + = ≥ ≥ ≥ ≥ =

14
El conjunto X de soluciones factibles del problema es:
1 1
1
2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
0.35 210 (1)
0.25 100 (2)
0.15 0.25 115 (3)
s.a
0.4 0.6 240 (4)
0, 0
0, 0
y
x
x
x x
x x y y
x x
y y
−
+ −
− +
≡
 ≤ ≤ + ≤
 + − + = ≥ ≥ ≥ ≥
Valor óptimo: 0
2 2
1
2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
P Min ( )
0.35 210 (1)
0.25 100 (2)
0.15 0.25 115 (3)
0.4 0.6 240 (4)
s.a 0, 0
0, 0
2 0 (5)
0, 0
y
x
x
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
−
+ −
− +
+ −
− +
≡
 ≤ ≤ + ≤ + − + = ≥ ≥ = ≥ − − + = ≥ ≥
A∈

15
Valor óptimo: 0
3 3
1
2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
2 3 3
3 3
P Min ( )
0.35 210 (1)
0.25 100 (2)
0.15 0.25 115 (3)
0.4 0.6 240 (4)
0, 0
s.a 0, 0
2 0 (5)
0, 0
300 (6)
0, 0
y
x
x
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
x y y
y y
−
+ −
− +
+ −
− +
+ −
− +
≡
 ≤ ≤ + ≤ + − + = ≥ ≥ = ≥ − − + = = ≥ − + =
≥ ≥

Solución óptima:
(418.182, 209.091)
Valor óptimo: 90.909
La solución óptima consiste en elaborar diariamente 418.182 kg de pan integral y
209.091kg de pan de centeno. El beneficio diario es 292.73€
1 1( 52.7274, 0),y y+ −
= = la producción de pan integral es exactamente el doble que
la producción de pan de centeno 2 2( 0, 0),y y+ −
= = y la producción de este último
es aproximadamente 209kg diarios 3 3( 90.909, 0).y y− +
= = Se cumplen, por lo
tanto, la 1ª y la 2ª meta y no la 3ª.
B∈

16
3. Se considera el siguiente grafo:
a) (5 puntos) Si los valores de cada arco representan distancias, hallar
razonadamente cómo debe ser a para que la ruta más corta del nodo 1 al 7 pase
obligatoriamente por el nodo 2. Indicar esta ruta más corta.
b) (5 puntos) Si 5a = y los valores de los arcos representan capacidades de flujo,
calcular el valor del flujo máximo del nodo 1 al 7.
Solución:
a) Los caminos del nodo 1 al nodo 7 pasan bien por el nodo 2, por el 3 o por el 4.
Aplicando el método de la ruta más corta, calculamos los caminos más cortos
desde cada uno de estos nodos al nodo 7.
En el siguiente grafo se observa que el camino más corto del nodo 2 al nodo 7
es (2,4,6,7) cuyo valor es 8.
2
41
3
2
4
1
6
9
2 0
4 1
5 3
7 8
6 23 3
2
4
1
3
4
a
3
2
1
5
4 7
6
7
2
4
1
6
9

17
es (3,6,7) cuyo valor es 10.
es (4,6,7) cuyo valor es 7.
Luego necesariamente la ruta más corta del nodo 1 al nodo 7 debe ser alguna
de las siguientes:
(1,2,4,6,7) cuyo valor es a+8.
(1,3,6,7) cuyo valor es 14.
(1,4,6,7) cuyo valor es 14.
Para que la ruta más corta pase obligatoriamente por el nodo 2 se debe cumplir
que 8 14.a + < Luego 6,a < y la ruta más corta es (1,2,4,6,7).
Si a = 6 las 3 rutas anteriores tienen el mismo valor.
2
4
2
4
1
6
9
4 0
5 3
7 7
6 13 2
2
4
6
95 6
7 10
6 43 0

18
b) Partimos del flujo nulo:
Consideramos la cadena de crecimiento del origen al destino (1,2,5,7).
( ) { }1,2,5,7 min 5,3,9 3f∆ = = y llegamos al siguiente flujo cuyo valor es 3.
Consideramos la cadena de crecimiento (1,2,4,5,7).
( ) { }1,2,4,5,7 min 5 3,1,4,9 3 1f∆ = − − = y llegamos al siguiente flujo cuyo
valor es 4.
2,0
4,0
1,0
3,3
4,0
5,3
3
2
1
5
4 7
6
7,0
2,0
4,0
1,0
6,0
9,3
2,0
4,0
1,0
3,0
4,0
5,0
3
2
1
5
4 7
6
7,0
2,0
4,0
1,0
6,0
9,0

19
Consideramos la cadena de crecimiento (1,3,6,7).
( ) { }1,3,6,7 min 4,4,6 4f∆ = = y llegamos al siguiente flujo cuyo valor es 8.
( ) { }1,4,5,7 min 7,4 1,9 4 3f∆ = − − = y llegamos al siguiente flujo cuyo valor
es 11.
2,04,1
1,1
3,3
4,4
5,4
3
2
1
5
4 7
6
7,0
2,0
4,4
1,0
6,4
9,4
2,04,1
1,1
3,3
4,0
5,4
3
2
1
5
4 7
6
7,0
2,0
4,0
1,0
6,0
9,4

20
( ) { }1,4,6,7 min 7 3,1,6 4 1f∆ = − − = y llegamos al siguiente flujo cuyo valor
es 12.
No existe ninguna cadena de crecimiento del nodo 1 al nodo 7. Luego este
flujo es un flujo máximo, cuyo valor es 12fV = .
4. Se considera un proyecto formado por 11 actividades. La tabla siguiente recoge
dichas actividades, su duración en días y las relaciones de precedencia entre las
mismas:
2,04,4
1,1
3,3
4,4
5,4
3
2
1
5
4 7
6
7,4
2,0
4,4
1,1
6,5
9,7
2,04,4
1,1
3,3
4,4
5,4
3
2
1
5
4 7
6
7,3
2,0
4,4
1,0
6,4
9,7

21
Actividad Duración Precedentes Inmediatas
A 2 --
B 2 --
C 6 A
D TD A
E 1 B
F 2 B
G 4 D, E
H TH D, E
I 2 F, H
J 2 G, I, C
K 3 F, H
a) (3 puntos) Elaborar un grafo que represente a dicho proyecto.
b) (5 puntos) Sabiendo que las actividades críticas del proyecto son A, C, D, G,
H, I y J calcular la duración prevista del proyecto, los caminos críticos y las
duraciones de las actividades D y H.
c) (2 puntos) Calcular el margen de las actividades no críticas.
Solución:
a) La siguiente red representa a este proyecto:
J
I
G
D
C
B
A
3
2
1
6
4 7
5
E
F
H
K

22
b)
Si A, C, D, G, H, I, y J son críticas entonces:
Caminos críticos: (1,2,6,7), (1,2,4,6,7) y (1,2,4,5,6,7)
Duración prevista del proyecto (d.p.p.):
Valor del camino (1,2,6,7) 2 6 2 10= + + = días.
Duración de la actividad D: 2 4 2 10 2D DT T+ + + = ⇒ = días.
Duración de la actividad H: 2 2 2 2 2 2 2 10D H HT T T+ + + + = + + + + =
⇒ 2HT = días
c)
J (2)
J
I (2)
G (4)
D (2)
C (6)
B (2)
A (2)
E (1)
F (2)
H (2)
K (3)
0
1
0
2
2
2
2
3
3
4
4
4
6
5
6
8
6
8
10
7
10
J (2)
J
I (2)
G (4)
D (TD)
C (6)
B (2)
A (2)
E (1)
F (2)
H (TH)
K (3)
1
2
3
4
5
6
7

23
M(i,j)=FMT*(i,j)-CMT(i,j)-t(i,j)=Q(j)-P(i)-t(i,j)
M(1,3)=3-0-2=1 día
M(3,4)=4-2-1=1 día
M(3,5)=6-2-2=2 días
M(5,7)=10-6-3=1 día

24
Septiembre 2005
1. (10 puntos) Una universidad se encuentra en un proceso de formar una comisión.
Diez personas han sido nominadas: A, B, C, D, E, F, G, H, I y J. El reglamento
obliga a que sean incluidos en dicha comisión al menos una mujer, un hombre, un
estudiante, un administrativo y un profesor. Además, el número de mujeres debe ser
igual que el de hombres y el número de profesores no debe de ser inferior al de
administrativos. La mezcla de los nominados en las siguientes categorías es como
sigue:
Categoría Personas
Mujeres A, B, C, D, E
Hombres F, G, H, I, J
Estudiantes A, B, C, J
Administrativos E, F
Profesores D, G, H, I
Modelizar sin resolver como un problema de programación lineal entera, si se trata
de que la comisión sea lo más reducida posible.
Solución:
1 si se incluye la persona en la comisión
0 en caso contrario
i
i
x

= 

i = A, B, C, D, E, F, G, H, I, J

25
Min( )
1
1
1
1
s.a
1
0,1 = , , , , , , , , ,
A B C D E F G H I J
A B C D E
F G H I J
A B C J
E F
D G H I
A B C D E F G H I J
D G H I E F
i
x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x
x i A B C D E F G H I J
+ + + + + + + + +
+ + + + ≥
 + + + + ≥
 + + + ≥

+ ≥

+ + + ≥
 + + + + = + + + +

+ + + ≥ +
 =
2. El director de personal de una empresa debe asignar 5 tareas (T1, T2, T3, T4 y T5)
a 4 empleados (E1, E2, E3 y E4) teniendo en cuenta las valoraciones hechas en
base a experiencias anteriores que muestran la siguiente tabla (puntuación: 0 mala,
10 excelente, “--” imposibilidad):
T1 T2 T3 T4 T5
E1 6 8 9 3 7
E2 2 3 -- 4 --
E3 5 6 8 9 6
E4 2 3 7 8 6
Además, hay que tener en cuenta las siguientes restricciones: los empleados no
pueden quedarse sin tarea, al empleado E2 sólo se le puede asignar una tarea, y las
tareas no se pueden compartir.
a) (5 puntos) Modelizar como un problema de programación lineal entera.
b) (5 puntos) Encontrar una solución óptima aplicando el Método Húngaro.
Solución:
1 si se asigna al empleado E la tarea T
0 en caso contrario
i j
ijx

= 

i = 1, 2, 3, 4, 5; j=1, 2, 3, 4

26
11 12 13 14 15 21 22 24
31 32 33 34 35 41 42 43 44 45
1 2 3 4 5
21 22 23 24 25
1 2 3 4
23 25
Max (6 8 9 3 7 2 3 4 +
5 6 8 9 6 2 3 7 8 6 )
1 2 1,3,4
1
s.a 1 1,...,5
0
i i i i i
j j j j
ij
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x i
x x x x x
x x x x j
x x
x
+ + + + + + +
+ + + + + + + + + +
≤ + + + + ≤ =
+ + + + =
+ + + = =
= =
0,1 1,2,3,4 1,...,5i j







 = = =
b) Aplicamos el Método Húngaro a la siguiente tabla:
T1 T2 T3 T4 T5 F1 F2
E1 -6 -8 -9 -3 -7 M M
E1 -6 -8 -9 -3 -7 0 0
E2 -2 -3 M -4 M M M
E3 -5 -6 -8 -9 -6 M M
E3 -5 -6 -8 -9 -6 0 0
E4 -2 -3 -7 -8 -6 M M
E4 -2 -3 -7 -8 -6 0 0
↑ +6 ↑ +8 ↑ +9 ↑ +9 ↑ +7
T1 T2 T3 T4 T5 F1 F2
E1 0 0 0 6 0 M M
E1 0 0 0 6 0 0 0
E2 4 5 M 5 M M M ←-4
E3 1 2 1 0 1 M M
E3 1 2 1 0 1 0 0
E4 4 5 2 1 1 M M ←-1
E4 4 5 2 1 1 0 0

27
T1 T2 T3 T4 T5 F1 F2
E1 0 0 0 6 0 M M
E1 0 0 0 6 0 0 0
E2 0 1 M 1 M M M
E3 1 2 1 0 1 M M
E3 1 2 1 0 1 0 0
E4 3 4 1 0 0 M M
E4 4 5 2 1 1 0 0
Asignación óptima: E1 → T2 y T3, E2 → T1, E3→ T4, E4 → T5.
Valor óptimo: 8+9+2+9+6 = 34 puntos.
3. (10 puntos) Resuelve:
1 2 3 4
1 2
1 2 1 1
1 2 2 2
2 3 3
3 4 4
1 2
Min ( , , , )
100 (1)
20 8 1600 (2)
0 (3)
s.a 45 (4)
15 (5)
0, 0
0, 0 1,...,4i i
L y y y y
x x
x x y y
x x y y
x y y
y y y
x x
y y i
+ − − −
+ −
+ −
+ −
+ + −
− +
+ ≤

+ − + =

− − + =

− + =

− + =
 ≥ ≥

 ≥ ≥ =
Solución:

28
1 1
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
100 (1)
20 8 1600 (2)
s.a
0, 0
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
+
+ −
− +
≡
 + ≤ + − + =
 ≥ ≥ ≥ ≥
Valor óptimo: 0
2 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
P Min ( )
100 (1)
20 8 1600 (2)
0, 0
s.a
0, 0
0 (3)
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
−
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + ≤ + − + = ≥ ≥

 ≥ = − − + = ≥ ≥
Valor óptimo: 0
A∈
B∈

29
3 3
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
2 3 3
3 3
P Min ( )
100 (1)
20 8 1600 (2)
0, 0
0, 0
s.a
0 (3)
0, 0
45 (4)
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
x y y
y y
−
+ −
− +
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + ≤ + − + = ≥ ≥ ≥ =
 − − + = = ≥ − + = ≥ ≥
Valor óptimo: 0
4 4
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
2 3 3
3 3
3 4 4
4 4
P Min ( )
100 (1)
20 8 1600 (2)
0, 0
0, 0
0 (3)
s.a
0, 0
45 (4)
0, 0
15 (5)
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
x y y
y y
y y y
y y
−
+ −
− +
+ −
− +
+ −
− +
+ + −
− +
≡
 + ≤ + − + = ≥ ≥ ≥ = − − + =
 = ≥ − + = = ≥ − + = ≥ ≥
Solución óptima: (50, 50)
Valor óptimo: 10
Solución óptima:
1 2 1 1 2 2
3 3 4 4
50, 50, 0, 200, 0, 0,
5, 0, 0, 10
x x y y y y
y y y y
+ − + −
+ − + −
= = = = = =
= = = =
C∈

30
4. (10 puntos) En la siguiente tabla se muestran el conjunto de actividades que
componen un proyecto, así como su duración en días y las relaciones de
precedencia entre las mismas.
A 3 -
B 2 A
C 6 A
D 2 C
E 3 A
F 3 B
G 5 C
H 1 C
I 1.5 F, H
J 2 I
a) Construir un grafo asociado al proyecto y hallar la duración prevista del
proyecto.
b) Elaborar la tabla de actividades del proyecto.
c) Responder a las siguientes preguntas.
i) ¿Qué ocurre con la duración del proyecto si la actividad I se retrasa 2
días?
ii) ¿Cuántos días se puede retrasar la actividad D sin que afecte a la
duración prevista del proyecto?
iii) ¿Qué duración debería tener la actividad B para que fuese una actividad
crítica, si la duración de las demás actividades se mantiene fija?

31
Solución:
a) El siguiente grafo representa a este proyecto:
Duración prevista del proyecto (d.p.p.): 14 días.
Camino crítico: (1,2,4,8)
b) La tabla de actividades correspondiente a este proyecto es:
A (1,2) 3 0 3 0*
B (2,3) 2 3 7.5 2.5
C (2,4) 6 3 9 0*
E (2,8) 3 3 14 8
F (3,5) 3 5 10.5 2.5
H (4,5) 1 9 10.5 0.5
D (4,6) 2 9 14 3
G (4,8) 5 9 14 0*
I (5,7) 1.5 10 12 0.5
Fic(6,8) 0 11 14 3
J (7,8) 2 11.5 14 0.5
B(2)
F(3) I(1.5)
G(5)
C(6)
J(2)
E(3)
D(2)
A(3)
H(1)
0
1
0
3
2
3
6
3
7.5
9
4
9
10
5
10.5
11
6
14
11.5
7
12
14
8
14

32
c)
i) Si la actividad I se retrasa 2 días, dado que su margen es de 0.5 días, la
duración prevista del proyecto se retrasa 1.5 días.
ii) El margen de la actividad D es de 3 días. Luego esta actividad se
puede retrasar hasta 3 días sin que la duración prevista del proyecto se
vea afectada.
iii) Para que una actividad sea crítica, debe formar parte de un camino
crítico. Dado que la duración de la actividad B es de 2 días y su
margen de 2.5 días, su duración debería ser mayor o igual que 4.5 días
para que fuese crítica.

33
1. Una empresa que fabrica electrodomésticos está pensando abrir una nueva factoría
para producir 3 modelos de lavadora: modelo de gama alta, media y baja. Tiene dos
posibles ubicaciones: 1 y 2. La inversión necesaria para construir la fábrica en la
ubicación 1 es de 2000000 unidades monetarias y de 1750000 unidades monetarias
en la ubicación 2. Los costes unitarios de producción son 15, 13 y 10 unidades
monetarias, respectivamente para gama alta, media y baja, en la ubicación 1 y 16,
12 y 9 unidades monetarias, respectivamente, en la ubicación 2.
De la gama alta se han de producir al menos 75000 unidades anuales, 100000 de la
media y 200000 de la baja.
a) (7 puntos) Si sólo se va a construir una factoría, modelizar el problema con el
objetivo de minimizar costes.
b) (3 puntos) Si se incluye la posibilidad de construir las dos factorías (ubicación
1 y 2), modelizar el problema con el objetivo de minimizar costes
considerando, además, las siguientes restricciones:
En caso de producirse lavadoras de gama baja en la ubicación 1 se
recibirá una subvención de 1000000 unidades monetarias.
La gama alta se producirá únicamente en una de las dos ubicaciones.
Solución:
( )
número de lavadoras de la gama producidas en la ubicación al año
con 1,2; , , siendo alta, media y baja
ijx j i
i j a m b a m b
=
= = = = =
1 si se produce en la ubicación
0 en caso contrario
i
i
y

= 

con i=1, 2

34
( )1 1 1 2 2 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
Min 15 13 10 16 12 9 2000000 1750000
75000
100000
200000
1
s.a
0 y enteras 1, 2; , ,
0,1 1, 2
a m b a m b
a a
m m
b b
a
a
m
m
b
b
ij
i
x x x x x x y y
x x
x x
x x
y y
x My
x My
x My
x My
x My
x My
x i j a m b
y i
+ + + + + + +
+ ≥
 + ≥
+ ≥
+ =
≤
≤

≤
≤
≤
≤
≥ = =
= =
















b) Definimos las variables de decisión siguientes
número de lavadoras de la gama producidas en la ubicación al año
( 1,2; , , )
ijx j i
i j a m b
=
= =
1 si se produce en la ubicación lavadoras de la gama
0 en caso contrario
( 1,2; , , )
ij
i j
y
i j a m b

= 

= =
1 si se construye la factoria de la ubicación
0 en caso contrario
i
i
z

= 

con i=1,2

35
(
)
1 1 1 2 2 2
1 2 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1
Min 15 13 10 16 12 9
2000000 1750000 1000000
75000
100000
200000
1
1
s.a
a m b a m b
b
a a
m m
b b
a a
a
a
m
m
b
b
a a
a a
m m
m m
b
x x x x x x
z z y
x x
x x
x x
y y
z z
y z
y z
y z
y z
y z
y z
x My
x My
x My
x My
x
+ + + + + +
+ + −
+ ≥
+ ≥
+ ≥
+ =
+ ≥
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≤
1
2 2
0 y enteras 1, 2; , ,
0, 1 1, 2; , ,
0, 1 1, 2
b
b b
ij
ij
i
My
x My
x i j a m b
y i j a m b
z i























 ≤

 ≤

≥ = =
 = = =

= =
2. (10 puntos) Una empresa dispone de dos tipos de máquinas A y B. Por cada hora de
trabajo en la máquina A se obtienen 20 piezas y 30 piezas por cada hora en la
máquina B. Por motivos de capacidad de la empresa no se pueden fabricar al día
más de 600 piezas ni menos de 250. Además debido a las características de las dos
máquinas el coste por unidad producida por la máquina A es de 4 € y 3 € por
unidad producida por B. Determinar las horas diarias óptimas para las dos
máquinas con las siguientes metas y prioridades:
• Prioridad 1. El coste total diario no supere los 2000 €.
• Prioridad 2. Las horas de trabajo diarias en las máquinas A y B sean iguales.
• Prioridad 3. Maximizar el número de piezas diarias.

36
Solución:
1
2
número de horas diarias de trabajo de la máquina A
número de horas diarias de trabajo de la máquina B
x
x
=
=
1 2 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2
Min ( , , 20 30 )
20 30 250 (1)
20 30 600 (2)
80 90 2000 (3)
s.a
0 (4)
0, 0
0, 0 1, 2i i
L y y y x x
x x
x x
x x y y
x x y y
x x
y y i
+ + −
+ −
+ −
− +
+ − −
 + ≥ + ≤ + − + =
 − − + = ≥ ≥ ≥ ≥ =
1 1
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
20 30 250 (1)
20 30 600 (2)
s.a 80 90 2000 (3)
0, 0
0, 0
y
x x
x x
x x y y
x x
y y
+
+ −
− +
≡
 + ≥ + ≤ + − + =
 ≥ ≥ ≥ ≥
Valor óptimo: 0
A∈

37
2 2 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
P Min ( )
20 30 250 (1)
20 30 600 (2)
80 90 2000 (3)
0, 0s.a
0, 0
0 (4)
0, 0
y y
x x
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
+ −
+ −
− +
+ −
− +
≡ +
 + ≥ + ≤ + − + = ≥ ≥
 ≥ = − − + = ≥ ≥
Valor óptimo: 0
3 1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
P Max (20 30 )
20 30 250 (1)
20 30 600 (2)
80 90 2000 (3)
0, 0s.a
0, 0
0 (4)
0, 0
x x
x x
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
+ −
− +
+ −
− +
≡ +
 + ≥ + ≤ + − + = ≥ ≥
 ≥ = − − + = = =
Solución óptima: (11.765,11.765)
Valor óptimo: 588.25
Las horas óptimas de trabajo diarias de la máquina A son 11.765 y de la máquina B
también 11.765. Se produce un equilibrio en las horas de trabajo al día de cada tipo
de pieza, ( 2 20, 0y y+ −
= = ). Se producirán 235.3 piezas de A y 352.95 piezas de B
(total 588.25) con un coste de 2000€ ( 1 10, 0y y+ −
= = ).
3. Una empresa va a determinar su política de reemplazamiento de equipo para los
próximos 4 años. El coste de adquisición del equipo para cada uno de los 4 años es
de 7000 unidades monetarias. Los costes de mantenimiento y el valor recuperado
(5,5)(11.765,11.765)B∈ =

38
cuando se reemplaza el equipo dependen de la edad del equipo y son los que se
recogen en la siguiente tabla:
Edad Coste anual de mantenimiento Valor recuperado
1 1000 4000
2 1000 2500
3 2000 2000
4 3000 0
a) (7 puntos) Elaborar una red para representar las políticas de reemplazamiento
posibles. Calcular la política de reemplazamiento para el periodo que minimice
el coste total neto (coste de adquisición + coste de mantenimiento - valor
recuperado), teniendo en cuenta que al inicio del año 1 se debe comprar un
equipo nuevo y que al final del periodo no se desea tener ningún equipo.
b) (3 puntos) Parece que va a entrar en vigor una nueva legislación que va a exigir
la revisión de un equipo cada dos años, siempre que no se reemplace, con un
coste de 2000 unidades monetarias por revisión. ¿Cómo debe incluirse esta
información en la red anterior? ¿Cambiaría la política de reemplazamiento de
coste mínimo obtenida en el apartado anterior?
Solución:
a) Se trata de un problema de reemplazamiento de equipo que tiene como objetivo
minimizar el coste total a lo largo del periodo de planificación. Puede
representarse por la siguiente red en la que el valor de cada arco ( ),i j , ( ),d i j ,
representa el coste, en miles de unidades monetarias, de mantener un equipo
desde el comienzo del año i hasta el comienzo del año j. Así se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( )1,2 2,3 3,4 4,5 7 1 4 4d d d d= = = = + − =
( ) ( ) ( )1,3 2,4 3,5 7 1 1 2.5 6.5d d d= = = + + − =
( ) ( )1,4 2,5 7 1 1 2 2 9d d= = + + + − =
( )1,5 7 1 1 2 3 14d = + + + + =

39
Utilizando el método de la ruta más corta se tiene que las políticas óptimas de
reemplazamiento vienen dadas por los caminos:
- (1,2,5) que significa que el equipo que compramos inicialmente lo
cambiamos al año siguiente y éste último lo mantenemos hasta el final.
- (1,3,5) el equipo que compramos inicialmente lo cambiamos por uno nuevo
transcurridos dos años y éste último lo mantenemos hasta el final.
- (1,4,5) el equipo que compramos inicialmente lo cambiamos por uno nuevo
transcurridos tres años y éste último lo mantenemos hasta el final.
Coste mínimo: 13000 unidades monetarias.
b) Solo cambian los valores de los arcos que representan tres a más años, es decir
( ) ( )1,4 2,5 7 1 1 2 2 2 11d d= = + + + − + = ;
( )1,5 7 1 1 2 3 2 16d = + + + + + =
9
6.5
6.5
6.5
4 4 4 4
9
14
1 0 2 4 3 6.5 4 9 5 13
6.5
6.5
4 4 4 4
6.5
11
16
1 0 2 4 3 6.5 4 10.5 5 13
11

40
Ahora la estrategia óptima es única y viene dada por el camino (1,3,5) de la
red. Consiste en transcurridos dos años cambiar el equipo comprado
inicialmente por uno nuevo y mantener este último hasta el final.
Coste mínimo: 13000 u.m.
4. Una empresa de transporte dispone de 4 camiones y 4 rutas. Cada camión debe
hacer una ruta y cada ruta debe realizarse exclusivamente por un camión. Los
beneficios de cada transportista para las distintas rutas dependen de las
características del camión y de la ruta escogida y se presentan en la siguiente tabla:
Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Ruta 4
Camión 1 150 200 300 100
Camión 2 100 220 300 250
Camión 3 250 140 240 240
Camión 4 300 250 100 300
a) (4 puntos) Decidir la ruta que debe realizar cada camión para que el beneficio
total obtenido sea máximo.
b) El comercial de la empresa ha conseguido dos nuevas rutas y desea probarlas
durante este año. Los beneficios obtenidos por cada camión son:
Camión 1 Camión 2 Camión 3 Camión 4
Ruta 5 200 300 250 250
Ruta 6 260 280 250 320
i) (3 puntos) Construir la tabla a la que aplicaríamos el Método Húngaro
sabiendo que cada camión únicamente puede realizar una ruta y las
nuevas rutas deben realizarse obligatoriamente.
ii) (3 puntos) Construir la tabla a la que aplicaríamos el Método Húngaro
sabiendo que se tienen que realizar todas las rutas, cada camión puede
realizar más de una ruta y tienen que utilizarse obligatoriamente todos los
camiones. Además, el camión 1 podrá realizar, como mucho, 450 km

41
diarios, los camiones 2 y 3 podrán realizar, como mucho, 300 km diarios
y el camión 4, 160 km y las rutas 1, 2, 3, 4, 5, 6 son de 110, 150, 130,
150, 120 y 90 km respectivamente.
Solución:
a) Aplicamos el Método Húngaro a la siguiente tabla:
R1 R2 R3 R4
C1 -150 -200 -300 -100
C2 -100 -220 -300 -250
C3 -250 -140 -240 -240
C4 -300 -250 -100 -300
↑ +300 ↑ +250 ↑ +300 ↑ +300
R1 R2 R3 R4
C1 150 50 0 200
C2 200 30 0 50
C3 50 110 60 60 ←-50
C4 0 0 200 0
R1 R2 R3 R4
C1 150 50 0 200 ←-30
C2 200 30 0 50 ←-30
C3 0 60 10 10
C4 0 0 200 0
↑ +30
R1 R2 R3 R4
C1 120 20 0 170
C2 170 0 0 20
C3 0 60 40 10
C4 0 0 230 0

42
Asignación óptima: Camión 1 → Ruta 3, Camión 2 → Ruta 2, Camión 3→
Ruta 1, Camión 4 → Ruta 4.
Beneficio máximo 1070.
b)
i) Aplicaremos el Método Húngaro a la siguiente tabla:
R1 R2 R3 R4 R5 R6
C1 -150 -200 -300 -100 -200 -260
C2 -100 -220 -300 -250 -300 -280
C3 -250 -140 -240 -240 -250 -250
C4 -300 -250 -100 -300 -250 -320
F1 0 0 0 0 M M
F2 0 0 0 0 M M
ii) Aplicaremos el Método Húngaro a la siguiente tabla:
R1 R2 R3 R4 R5 R6 F1 F2
C1 -150 -200 -300 -100 -200 -260 M M
C1 -150 -200 -300 -100 -200 -260 0 0
C1 -150 -200 -300 -100 -200 -260 0 0
C2 -100 -220 -300 -250 -300 -280 M M
C2 -100 -220 -300 -250 -300 -280 0 0
C3 -250 -140 -240 -240 -250 -250 M M
C3 -250 -140 -240 -240 -250 -250 0 0
C4 -300 -250 -100 -300 -250 -320 M M

43
Junio 2006
1. (10 puntos) Una fábrica produce 4 tipos de jabones, para lo cual son necesarios 6
componentes. En la siguiente tabla se muestran las cantidades necesarias para
realizar una pastilla de jabón de cada tipo.
aceite agua
sosa
cáustica
glicerina
esencia
de limón
esencia
de fresa
J1 250 ml 240 ml 42 g 1 g 1 ml 3 ml
J2 200 ml 210 ml 2 g 40 g 2 ml 1 ml
J3 230 ml 240 ml 20 g 25 g 3 ml 1 ml
J4 180 ml 200 ml 10g 35 g 1 ml 3 ml
La fábrica dispone de 150000 ml de aceite, 160000 ml de agua, 12 kg de sosa
cáustica, 3 kg de glicerina, 2000 ml de esencia de limón y 3000 ml de esencia de
fresa por día.
Se tiene que producir al menos un tipo de jabón al día y como mucho tres. Además
si se producen jabones del tipo 1 no se podrán producir del tipo 4.
El beneficio por cada pastilla de jabón es de 10, 13, 15 y 11 euros respectivamente
para cada tipo de pastilla de jabón.
La fábrica se está planteando ampliar la planta de producción con un coste de
200000 euros, de forma que si se realiza la ampliación las disponibilidades de los
componentes aumentarán en 50000 ml de aceite, 70000 ml de agua, 4 kg de sosa
cáustica, 4 kg de glicerina, 1000 ml de esencia de limón y 500 ml de esencia de
fresa. Además, en el caso de realizar esta ampliación, si se producen pastillas del
tipo 3, se tendrán que realizar también del tipo 1.
Modelizar el problema de programación lineal entera que maximice el beneficio.

44
Solución:
Definimos las variables de decisión siguientes
número de pastillas de jabón tipo J producidas diariamente; 1,...,4ix i i= =
1 si se produce jabón del tipo J
con 1,...,4
0 en caso contrario
i
i
y i

= =

1 si se hace la ampliación
0 en caso contrario
z

= 

( )1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
Max 10 13 15 11 200000
250 200 230 180 150000 50000
240 210 240 200 160000 70000
42 2 20 10 12000 4000
40 25 35 3000 4000
2 3 2000 1000
3 3
s.a
x x x x z
x x x x z
x x x x z
x x x x z
x x x x z
x x x x z
x x x
+ + + −
+ + + ≤ +
+ + + ≤ +
+ + + ≤ +
+ + + ≤ +
+ + + ≤ +
+ + + 4
1 2 3 4
4 1
1 3
3000 500
1 3
1
1
1,...,4
0 y enteras 1,...,4
0, 1 1,...,4
= 0, 1
i i
i
i
x z
y y y y
y y
y y z
x My i
x i
y i
z








≤ +

≤ + + + ≤
 ≤ −

≥ + −

≤ =
 ≥ =

= =

2. Una fábrica de caramelos produce dos tipos de caramelos C1 y C2. Cada kg de
caramelo C1 se vende a 200 euros y contiene 100 g de azúcar y 200 g de frutas.
Cada kg de caramelo C2 se vende a 300 euros, contiene 400 g de azúcar y 400 g de
frutas. La diferencia entre la producción semanal de C1 y C2 no sea inferior a 5 kg.
Además, el contenido de fruta semanal debe ser al menos de 1600 g.
a) (5 puntos) Buscar las soluciones eficientes que maximicen el ingreso y
minimicen el contenido de azúcar de la producción semanal.
b) (2 puntos) Se sabe que la reducción de 1 kg de azúcar equivale a un aumento
de 2 euros en los ingresos. Modelizar sin resolver el problema ponderado.

45
c) (3 puntos) Si el coste de embalaje de los caramelos es de 0.1 euros por kg para
los caramelos de tipo C1 y 0.2 euros por kg para C2. Obtener una solución
eficiente que maximice el ingreso semanal, minimice el azúcar utilizado a la
semana y minimice el coste semanal de embalaje.
Solución:
i= kg de caramelos producidos a la semana del tipo C 1,2ix i = .
( )1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
Max 200 300 , 100 400
5 (1)
s.a 200 400 1600 (2)
0, 0
x x x x
x x
x x
x x
+ − −
− ≥

+ ≥
 ≥ ≥
( ) ( )
(6,1) (1500, 1000)
(8,0) (1600, 800)
(7,2) (2000, 1500)
(10,0) (2000, 1000)
X f f X∈ ∈
−
−
−
−
)

46
Soluciones eficientes: ( ){ }1 1,0 donde 8x x ≥ es decir, producir 8 kg o más de
C1 y nada de C2.
b) ( ) ( )1 2 1 2Max 1 200 300 2 0.1 0.4
s.a
x x x x
X
+ + − −  
∈
c) Por el teorema de Zadeh si damos pesos positivos a las funciones objetivo, la
solución óptima del problema ponderado será una solución eficiente del
problema multiobjetivo.
1 2 31, 2, 1000λ λ λ= = =
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2Max 1 200 300 2 -100 400 100 0.1 0.2
s.a
x x x x x x
X
+ + − + − −  
∈
El problema lineal queda:
( )1 2Max -100 -700
s.a
x x
X∈
La solución óptima del problema ponderado es (8,0). Por lo tanto producir
semanalmente 8 kg de C1 y nada de C2 es una solución eficiente del problema
multiobjetivo.
3. Con motivo del 5º centenario del nacimiento de un célebre pintor, un importante
museo ha decidido restaurar cinco de sus obras, para lo cual ha contratado tres
equipos de restauración. Cada equipo ha presentado el presupuesto de restauración
para cada una de las obras, como se recoge en el siguiente cuadro, en miles de
euros.
O1 O2 O3 O4 O5
R1 60 -- 90 -- 120
R2 70 90 80 100 80
R3 -- 70 120 90 100
(Donde “--“ significa que dicho equipo no restaurará en ningún caso la obra
correspondiente).

47
El primer equipo restaurador está compuesto por seis personas, el segundo por
cuatro y el tercero por tres. En la restauración de cada una de las obras son
necesarias dos personas. Cada persona de un equipo sólo restaura una obra.
a) (3 puntos) ¿A qué tabla se debe aplicar el Método Húngaro para realizar las
cinco restauraciones, con el menor coste posible, teniendo en cuenta que cada
una de ellas debe ser realizada por un único equipo restaurador, y que los tres
equipos deben participar en dichas restauraciones?
b) (6 puntos) Dado que el coste de restauración de las cinco obras es muy
elevado, la directiva del museo decide restaurar únicamente tres, asignando una
única obra a cada equipo. Determinar, aplicando el Método Húngaro, todas las
posibles asignaciones que minimicen el coste total.
Solución:
a) Aplicaremos el Método Húngaro a la siguiente tabla:
O1 O2 O3 O4 O5 F
R1 60 M 90 M 120 0
R1 60 M 90 M 120 0
R1 60 M 90 M 120 0
R2 70 90 80 100 80 0
R2 70 90 80 100 80 0
R3 M 70 120 90 100 M
b) Aplicamos el Método Húngaro a la siguiente tabla:
O1 O2 O3 O4 O5
R1 60 M 90 M 120
R2 70 90 80 100 80
R3 M 70 120 90 100
F1 0 0 0 0 0
F2 0 0 0 0 0

48
O1 O2 O3 O4 O5
R1 60 M 90 M 120 ←-60
R2 70 90 80 100 80 ←-70
R3 M 70 120 90 100 ←-70
F1 0 0 0 0 0 0
F2 0 0 0 0 0 0
O1 O2 O3 O4 O5
R1 0 M 30 M 60 ←-10
R2 0 20 10 30 10 ←-10
R3 M 0 50 20 30 ←-10
F1 0 0 0 0 0
F2 0 0 0 0 0
↑ +10 ↑ +10
O1 O2 O3 O4 O5
R1 0 M 20 M 50
R2 0 20 0 20 0
R3 M 0 40 10 20
F1 10 10 0 0 0
F2 10 10 0 0 0
Las asignaciones óptimas son:
Asignación óptima 1: R1 → O1, R2 → O3, R3→ O2.
Asignación óptima 2: R1 → O1, R2 → O5, R3→ O2.
Coste mínino 210000 €

49
4. Dada la siguiente red:
a) (2 puntos) Indicar una cadena de origen a destino que no sea un camino y que
pase por el nodo 5.
b) (4 puntos) Si los valores de los arcos representan la capacidad del arco (izda) y
el valor del flujo del arco (dcha), calcular, si es posible, una cadena de
crecimiento (no saturada) asociada a este flujo.
c) (3 puntos) Partiendo del flujo dado, obtener el valor del flujo máximo.
Solución:
a) La cadena (0,2,5,4,6) es una cadena que sin ser camino pasa por el nodo 5.
b) La cadena (0,2,1,3,6) no está saturada, es decir sus arcos directos no están
saturados y el inverso no tiene flujo nulo.
c) Considerando el flujo dado, cuyo valor es 6, y la cadena de crecimiento dada en
el apartado b), el valor del flujo puede aumentar en:
( ) { }0,2,1,3,6 min 4 2,2,1 0,3 2 1f∆ = − − − =
Saturamos la cadena añadiendo esta cantidad a los arcos directos y restándosela
a los inversos. El resultado es el siguiente flujo cuyo valor es 7:
3,3
2,2
2,2
1,0
4,2
4,4
2
1
0
3
4 6
5
2,2
4,3
2,1
3,0
1,1
3,2

50
En esta nueva situación todas las cadenas de origen a destino están saturadas,
por tanto el flujo que atraviesa la red es máximo y de valor 7fV = .
5. (2 puntos) Explicar el significado de comienzo más temprano y final más tardío de
una actividad en la planificación de un proyecto.
Solución:
El comienzo más temprano de una actividad del proyecto es el periodo de
tiempo mínimo que debe transcurrir desde iniciado el proyecto para que sean
realizadas todas sus actividades precedentes y poder empezar dicha actividad.
El final más tardío de una actividad del proyecto es el periodo de tiempo máximo
que debe transcurrir desde iniciado el proyecto para que sea realizada dicha
actividad sin alterar la duración prevista del proyecto.
3,3
2,2
2,2
1,1
4,3
4,4
2
1
0
3
4 6
5
2,1
4,3
2,1
3,0
1,1
3,3

51
Septiembre 2006
1. (10 puntos) Una empresa está considerando cinco proyectos. Cada proyecto
aprobado será ejecutado sobre un periodo de tres años. Los rendimientos esperados
y los gastos anuales para cada proyecto, junto con los fondos anuales disponibles en
miles de euros, se recogen en la siguiente tabla:
Proyecto
Gastos en
Rendimientos
Año 1 Año 2 Año 3
1 5 1 8 20
2 4 7 10 40
3 3 9 2 20
4 7 4 1 15
5 8 6 10 30
Fondos
disponibles
25 25 25
La empresa, teniendo en cuenta su capital disponible, debe elegir los proyectos con
el objetivo de maximizar los rendimientos totales. Además se dispone de la
siguiente información:
El proyecto 3 no se hace si se hace el 5.
Los proyectos 1 y 2 se hacen de forma conjunta solo si no se hacen ni el 4 ni el
proyecto 5.
La empresa debe reducir en uno de los tres años sus fondos disponibles en 5
mil euros y debe decidir en qué año hacerlo.
Modelizar sin resolver el problema usando la programación lineal entera.
Solución:
Definimos las variables de decisión siguientes
1 si se lleva a cabo el proyecto
con 1,...,5
0 en caso contrario
i
i
y i

= =


52
1 si se reducen los fondos en el año
con 1,2,3
0 en caso contrario
j
j
z j

= =

( )
( )
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1
1 2 3 4 5 2
1 2 3 4 5 3
1 2 3
3 5
4 5 1 2
Max 20 40 20 15 30
5 4 3 7 8 25 5
7 9 4 6 25 5
8 10 2 10 25 5
1
s.a
1
4 2
0, 1 1,...,5
0, 1 1,2,3
i
j
y y y y y
y y y y y z
y y y y y z
y y y y y z
z z z
y y
y y y y
y i
z j
+ + + +
+ + + + ≤ −
 + + + + ≤ −

 + + + + ≤ −

+ + =
 ≤ −
 + ≤ − +

= =
 = =
2. (10 puntos) Una empresa posee dos cadenas de producción para un mismo artículo.
La cadena 1 produce 2 unidades por minuto con un beneficio unitario de 3000 €,
mientras que la cadena 2 produce 3 unidades por minuto con un beneficio de 5000
€ por unidad. El coste de almacenamiento por unidad asciende a 10 €.
Calcular el tiempo de producción semanal que debe asignarse a cada una de las
cadenas, si la empresa se ha planteado las siguientes metas y objetivos con el
siguiente orden de prioridades.
• Prioridad 1. Producir al menos 30000 unidades semanales.
• Prioridad 2. Los gastos de almacenamiento no superen los 450000 € semanales.
• Prioridad 3. El tiempo de producción semanal en la cadena 1 sea al menos
tanto como en la 2, pero no más del triple de la 2.
• Prioridad 4. Maximizar el beneficio semanal.
Solución:
1
2
minutos de producción de la cadena 1 a la semana
minutos de producción de la cadena 2 a la semana
x
x
=
=

53
( )
1 2 3 4 1 2
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 4 4
1 2
Min ( , , , 6000 15000 )
2 3 30000 (1)
10 2 3 450000 (2)
0 (3)
s.a
3 0 (4)
0, 0
0, 0 1,...,4i i
L y y y y x x
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x x
y y i
− + − +
+ −
+ −
+ −
+ −
− +
+ − −
 + − + = + − + = − − + =
 − − + = ≥ ≥ ≥ ≥ =
1 1
1 2 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
2 3 30000 (1)
s.a 0, 0
0, 0
y
x x y y
x x
y y
−
+ −
− +
≡
 + − + = ≥ ≥
 ≥ ≥
Valor óptimo: 0
2 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
P Min ( )
2 3 30000 (1)
0, 0
s.a. 0, 0
20 30 450000 (2)
0, 0
y
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
+
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + − + = ≥ ≥ = ≥
 + − + = ≥ ≥
Valor óptimo: 0
A∈
B∈

54
3 3 4
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
1 2 3 3
1 2 4 4
3 3 4 4
P Min ( )
2 3 30000 (1)
0, 0
0, 0
20 30 450000 (2)
s.a.
0, 0
0 (3)
3 0 (4)
0, 0, 0, 0
y y
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
x x y y
x x y y
y y y y
− +
+ −
− +
+ −
− +
+ −
+ −
− + − +
≡ +
 + − + = ≥ ≥ = ≥ + − + =
 ≥ = − − + = − − + = ≥ ≥ ≥ ≥
Valor óptimo: 0
4 1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
1 2 3 3
1 2 4 4
3 3
4 4
P Max (6000 15000 )
2 3 30000 (1)
0, 0
0, 0
20 30 450000 (2)
0, 0s.a
0 (3)
3 0 (4)
0, 0,
0, 0
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
x x y y
x x y y
y y
y y
+ −
− +
+ −
− +
+ −
+ −
− +
− +
≡ +
 + − + = ≥ ≥ = ≥ + − + = ≥ =
 − − + = − − + = = ≥
≥ =

C∈

55
Solución óptima: (9000,9000)
Valor óptimo: 189000000
Los tiempos óptimos de producción son de 9000 minutos semanales en cada una de
las cadenas. Se realizan, a la semana, 45000 productos (no existe ni exceso ni
defecto en la primera meta) con un gasto de almacenamiento de 450000 € (no hay
ni exceso ni defecto en la segunda meta) y un beneficio de 189 millones de euros.
3. (10 puntos) El dueño de un local se está planteando la duración de los contratos de
arrendamiento de dicho local. La tabla siguiente recoge los cálculos de la utilidad
esperada, en cientos de euros, si se arrienda desde el inicio del año i hasta el inicio
del año j.
i j 2 3 4 5
1 12 22 38 40
2 -- 13 20 29
3 -- -- 10 19
4 -- -- -- 12
El dueño quiere conocer cuándo arrendar y por cuánto tiempo para maximizar la
utilidad esperada durante los próximos 4 años.
Solución:
Este es un problema de reemplazamiento de contratos para maximizar la utilidad
esperada y puede ser representado por la siguiente red, en la que el valor de cada

56
arco ( ),i j indica la utilidad esperada de un contrato de arrendamiento desde el
inicio del año i hasta el inicio del año j.
Utilizando el método de la ruta más larga a la red anterior se tiene que el camino
más largo es el (1, 4, 5) de valor 50.
La solución óptima es arrendar con un contrato desde el inicio del primer año hasta
el inicio del cuarto año (por tres años), y luego realizar otro contrato desde el inicio
del cuarto año hasta el inicio del quinto (por un año). La utilidad esperada óptima es
de 5000 euros.
4. (10 puntos) En la siguiente tabla quedan recogidas las duraciones en días y las
relaciones de precedencia de las actividades que forman un proyecto:
A 4 --
B 6 --
C 7 --
D t A
E 5 B,D
F 1 A
G 2 B,D
H 3 C, E
a) Elaborar una red que represente el proyecto.
19
38
22
12 13 10 12
20
29
40
1 0 2 12 3 25 4 38 5 50

57
b) ¿Cuál es la duración del proyecto si la duración de la actividad D es menor de
dos días? Elaborar la tabla de actividades del proyecto, señalando las
actividades críticas.
c) La actividad D puede retrasarse hasta ½ día sin alterar la duración del proyecto.
¿Cuál es la duración de la activad D?
Solución:
a)
b) Para 2t < :
H(3)
E(5)C(7)
F(1)
A(4)
B(6)
D(t)
G(2)
2
1 3
4
5
H(3)
E(5)C(7)
F(1)
A(4)
B(6)
D(t)
0
1
0
11
4
11
4
2
6-t
6
3
6
14
5
14
G(2)

58
Tabla de actividades:
A (1,2) 4 0 6-t 2-t
B (1,3) 6 0 6 0*
C (1,4) 7 0 11 4
D (2,3) t ( )2t < 4 6 2-t
F (2,5) 1 4 14 9
E (3,4) 5 6 11 0*
G (3,5) 2 6 14 6
H (4,5) 3 11 14 0*
Actividades críticas: B, E, H.
c) Del enunciado se sabe que el margen de la actividad D es 0.5 días y por tanto
no es una actividad crítica.
Comprobamos en primer lugar que en esta situación se cumple que 2t < . Ya
que para 2t ≥ se tendría que:
H(3)
E(5)C(7)
F(1)
A(4)
B(6)
D(t)
0
1
0
9+t
4
9+t
4
2
4
4+t
3
4+t
12+t
5
12+t
G(2)

59
Por tanto para 2t = , los caminos críticos serían: (1,2,3,4,5) y (1,3,4,5), y para
2t > , el camino crítico sería: (1,2,3,4,5). En ambos casos, D sería una
actividad crítica y por tanto su margen sería nulo.
Luego si el margen de la actividad D es 0.5 días se sabe que 2t < y en
consecuencia se cumple que:
( )2,3 2 0.5 1.5M t t= − = ⇒ = días.

60
1. (10 puntos) Una empresa estudia producir sus tres productos P1, P2 y P3 en una
sola de las ubicaciones U1, U2 y U3. La producción de cada producto genera un
volumen de contaminación de 0.5, 2 y 1 3
cm respectivamente por unidad
producida, independientemente de la ubicación.
La siguiente tabla recoge para cada una de las ubicaciones: los ingresos unitarios
(euros) de cada producto, la capacidad de producción diaria (unidades), los
volúmenes máximos de contaminación permitidos 3
(cm ) y la penalización por
volumen de contaminación excedente 3
(€/cm ):
La empresa, concienciada con los problemas del medio ambiente, propone unos
objetivos y metas, con un orden de prioridades dado por:
• Prioridad 1. Maximizar ingresos diarios.
• Prioridad 2. No superar el nivel máximo de contaminación de la ubicación
• Prioridad 3. Se desea no gastar más de 9000 € al día por exceso de
contaminación.
Formular un modelo de programación lineal que permita determinar cuántas
unidades diarias de cada producto deben producirse y en qué ubicación.
U1 U2 U3
Ingreso Unitario P1 2 4 3
Capacidad producción diaria 200 400 300
Volumen máximo contaminación diaria 150 250 200
Penalización de contaminación excedente 20 15 10

61
Solución:
unidades producidas al día de Pj en Ui 1,2,3 , 1,2,3ijx i j= = =
1 si se elige la ubicación
1, 2, 3
0 en cualquier otro caso
j
j
u j

= =

La modelización del problema queda como sigue:
11 21 31 12 22 32 13 23 33
1 2 3 4
11 21 31 1
12 22 32 2
13 23 33 3
1 2 3
11 21 31 1 1 1
12 22 32 2 2
Min ( (2 5 3 4 3 4 3 6 2 ),
, , )
200
400
300
1
0.5 2 150 (1 )
0.5 2 250 (s.a
L x x x x x x x x x
y y y y
x x x u
x x x u
x x x u
u u u
x x x y y M u
x x x y y M
+ + + +
+ −
+ −
− + + + + + + + +
+ +
+ + ≤
+ + ≤
+ + ≤
+ + =
+ + − + = + −
+ + − + = + 2
13 23 33 3 3 3
1 2 3 4 4
1 )
0.5 2 200 (1 )
20 15 10 9000
0, y enteras 1, 2, 3 1, 2, 3
0, 1 1, 2, 3
0, 0 1, 2, 3, 4
ij
j
i i
u
x x x y y M u
y y y y y
x i j
u j
y y i
+ −
+ + + + −
− +
 −
 + + − + = + − + + − + = ≥ = = = = ≥ ≥ =
2. (10 puntos) Un artista de prestigio ha concluido 4 obras de arte. Las galerías A, B y
C están interesadas en adquirirlas y están dispuestas a pagar por cada obra las
cantidades (en millones de unidades monetarias) que se recogen en la siguiente
tabla:
Obra 1 Obra 2 Obra 3 Obra 4
Galería A 12 10 8 10
Galería B 14 11 6 7
Galería C 15 13 8 9
El artista va a vender todas las obras de arte y cada galería va a adquirir por lo
menos una obra de arte. Se da la circunstancia de que la galería A ha decidido que
sólo va a comprar una obra de arte.

62
a) (6 puntos) Determinar cómo asignará el artista las obras de arte entre las
distintas galerías si lo que persigue es maximizar sus ingresos.
b) (4 puntos) Modelizar empleando la programación lineal entera el anterior
problema si, además, el artista añade la siguiente restricción: las obras de arte 2
y 4 han de venderse a la misma galería.
Solución:
O1 O2 O3 O4 F1
Galeria A -12 -10 -8 -10 M
Galeria B -14 -11 -6 -7 0
Galeria B -14 -11 -6 -7 0
Galeria C -15 -13 -8 -9 0
Galeria C -15 -13 -8 -9 0
↑ +15 ↑ +13 ↑ +8 ↑ +10
O1 O2 O3 O4 F1
Galería A 3 3 0 0 M
Galería B 1 2 2 3 0
Galería C 0 0 0 1 0
O1 O2 O3 O4 F1
Galería B 1 2 2 3 0 ←- 1
Galería B 1 2 2 3 0 ←- 1
↑ +1

63
O1 O2 O3 O4 F1
Asignación óptima: Galería A → Obra 4, Galería B → Obra 1, Galería C →
Obra 2 y Obra 3.
Ingreso máximo: 45 millones de unidades monetarias.
1 si se asigna a la galería la obra
ij
i j
x

= 

, i=A,B,C. j=1,…,4
(
)
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 4
2 4
Max 12 10 8 10 14 11 6 7
15 13 8 9
1
1
1
1
1
s.a
1 2
1 2
0,1
A A A A B B B B
C C C C
A B C
A B C
A B C
A B C
A A A A
B B B B
C C C C
B B
C C
ij
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x
+ + + + + + + +
+ + +
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
+ + + =
≤ + + + ≤
≤ + + + ≤
=
=
= A,B,C; 1,...,4i j














= =
3. (10 puntos) Una empresa emplea dos procesos de producción diferentes para
producir un producto. En cada uno de los procesos se precisa utilizar tres máquinas
M1, M2 y M3. Para fabricar una unidad de producto según el proceso productivo

64
elegido se necesita usar en cada una de las máquinas las horas indicadas en la
siguiente tabla:
Proceso 1 Proceso 2
M1 1 3
M2 4 2
M3 3 4
Por una unidad de producto fabricado con el proceso 1 se obtienen 55 euros y con
el proceso 2 se obtienen 75 euros. El coste de una hora de máquina es de 5 euros.
Cada máquina está disponible 60 horas.
La empresa propone las siguientes metas por orden de prioridad:
• Prioridad 1. Obtener un beneficio de al menos 300 euros.
• Prioridad 2. El número de horas trabajadas en las máquinas M1 y M2
coincidan.
• Prioridad 3. El número de horas trabajadas en la máquina M3 no sea superior a
2 veces el número de horas trabajadas en la máquina M1.
Modelizar, utilizando programación lineal, el problema de calcular las unidades
óptimas que deben asignarse a cada proceso productivo. Resolver el problema
relajado asociado.
Solución:
1
2
unidades producidas con el proceso 1 a la hora
unidades producidas con el proceso 2 a la hora
x
x
=
=
La modelización del problema relajado queda como sigue:

65
1 2 2 3
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2 1 2 2 2
1 2 1 2 3 3
1 2
Min ( , , )
3 60 (1)
4 2 60 (2)
3 4 60 (3)
15 30 300 (4)
s.a
3 (4 2 ) 0 (5)
3 4 2( 3 ) 0 (6)
0, 0
0, 0 1, 2, 3i i
L y y y y
x x
x x
x x
x x y y
x x x x y y
x x x x y y
x x
y y i
− + − +
+ −
+ −
+ −
− +
+
 + ≤ + ≤ + ≤ + − + =
 + − + − + =
+ − + − + =
≥ ≥
≥ ≥ =

1 1
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
3 60 (1)
4 2 60 (2)
3 4 60 (3)
s.a
15 30 300 (4)
0, 0
0, 0
y
x x
x x
x x
x x y y
x x
y y
−
+ −
− +
≡
 + ≤ + ≤ + ≤
 + − + = ≥ ≥ ≥ ≥
Valor óptimo: 0
A∈

66
2 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
P Min ( )
3 60 (1)
4 2 60 (2)
3 4 60 (3)
15 30 300 (4)
s.a 0, 0
0, 0
3 0 (5)
0, 0
y y
x x
x x
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
+ −
+ −
− +
+ −
− +
≡ +
 + ≤ + ≤ + ≤ + − + = ≥ ≥ = ≥− + − + = ≥ ≥
Valor óptimo: 0
3 3
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
1 2 3 3
3 3
P Min ( )
3 60 (1)
4 2 60 (2)
3 4 60 (3)
15 30 300 (4)
0, 0
s.a 0, 0
3 0 (5)
0, 0
2 0 (6)
0, 0
y
x x
x x
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
x x y y
y y
+
+ −
− +
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + ≤ + ≤ + ≤ + − + = ≥ ≥ = ≥− + − + = = = − − + = ≥ ≥
Valor óptimo: 0
La solución óptima ( )1 2,x x del problema relajado, es decir el número óptimo de
unidades producida con los procesos 1 y 2, se encuentra en cualquier combinación
lineal de las siguientes soluciones factibles: (2.857,8.571), (4,12).
B∈
(2.857,8.571)(4,12)∈

67
4. (10 puntos) La siguiente red representa un proyecto y los valores asignados a cada
arco las duraciones de las actividades en él recogidas en días.
a) (2 puntos) Determinar la duración prevista del proyecto y el camino crítico.
b) (3 puntos) Calcular todos los tiempos (CMT, CMT*, FMT y FMT*) y el
margen de las actividades (2,4), (4,7), (6,7) y (6,8).
c) (5 puntos) Se ha de incorporar en el proyecto la nueva actividad (2,6) con
duración ( )2,6t .
i) Si ( )2,6 11t = , ¿variará la duración prevista del proyecto?, ¿se
modificará el margen de las actividades (6,7) y (6,8)?, ¿en cuánto?
ii) ¿Para qué valores de ( )2,6t es la actividad (2,6) crítica? Calcular para
estos valores, la duración prevista del proyecto y el(los) camino(s)
crítico(s).
3 10
4
15
8
9
12
2
3
4
5
6
7
6
5
1 7 8
5
6
3

68
Solución:
a)
Camino crítico: (1,3,5,7,8)
Duración prevista del proyecto(d.p.p): 26 días.
b) La siguiente tabla recoge los tiempos (CMT y FMT*) de todas las actividades
que conforman el proyecto:
(1,2) 6 0 13 7
(1,3) 7 0 7 0*
(1,4) 12 0 18 6
(1,6) 15 0 18 3
(2,4) 5 6 18 7
(3,4) 3 7 18 8
(3,5) 6 7 13 0*
(4,7) 5 12 23 6
(5,7) 10 13 23 0*
(5,8) 9 13 26 4
(6,7) 4 15 23 4
(6,8) 8 15 26 3
(7,8) 3 23 26 0*
8
4
10
3
15
9
3
7
6
5
0
1
0
7
3
7
6
2
13
15
6
18
12
4
18
13
5
13
23
7
23
26
8
26
6
512

69
Como ( ) ( ) ( ), , ,FMT i j CMT i j t i j= + , ( ) ( ) ( )* , * , ,CMT i j FMT i j t i j= − , y
( ) ( ) ( ) ( ), * , , ,M i j FMT i j CMT i j t i j= − − se tiene que:
( )2,4 6 5 11FMT = + = , ( )* 2,4 18 5 13CMT = − = , ( )2,4 18 6 5 7M = − − =
( )4,7 12 5 17FMT = + = , ( )* 4,7 23 5 18CMT = − = , ( )4,7 23 12 5 6M = − − =
( )6,7 15 4 19FMT = + = , ( )* 6,7 23 4 19CMT = − = , ( )6,7 23 15 4 4M = − − =
( )6,8 15 8 23FMT = + = , ( )* 6,8 26 8 18CMT = − = , ( )6,8 26 15 8 3M = − − =
c)
i) Si incorporamos una nueva actividad (2,6) de duración ( )2,6 11t = , se
tiene que:
( )6 17P = (en vez de 15), ( )7Q y ( )8Q mantienen su valor y por tanto
los márgenes ( ) ( ) ( ) ( )6,7 7 6 6,7M Q P t= − − y
( ) ( ) ( ) ( )6,8 8 6 6,8M Q P t= − − disminuyen en 2 días.
ii) Si la actividad (2,6) con tiempo ( )2,6t t= es crítica se tiene que:
8
4
10
3
15
9
3
7
6
5
0
1
0
7
3
7
6
2
7
17
6
18
12
4
18
13
5
13
23
7
23
26
8
26
6
512
11

70
el camino crítico que pasa por el nodo 2 es (1,2,6,8) y la duración
prevista del proyecto es 14t + . (Se descarta el camino (1,2,6,7,8) cuya
duración es 13t + ). Consecuentemente ( )6 6P t= + y ( )8 14P t= + , con
t satisfaciendo:
( ) { }6 Max 6,15 6P t t= + = +
( ) { }7 Max 10,17,23P t= +
( ) ( ){ }8 Max 14,22, 7 3 14P t P t= + + = +
Luego se deduce que 12t ≥ .
Si 12t = ; los caminos críticos son (1,3,5,7,8) y (1,2,6,8).
Si 12t > ; el único camino crítico es (1,2,6,8).
8
4
10
3
15
9
3
7
6
5
0
1
7
3
6
2
t+6
6
12
4
13
5
23
7
t+14
8
6
512
t(2,6)=t

71
Junio 2007
1. Un empresario que fabrica tres artículos P1, P2, P3, desea encontrar la producción
diaria que le permita maximizar sus beneficios. Los artículos son procesados en dos
de las cuatro máquinas de las que dispone, bien en la A y B, o bien en la C y D,
siendo el coste diario fijo de la puesta en marcha de cada una de estas máquinas 20,
25, 35 y 15 unidades monetarias respectivamente. El ingreso de estos artículos es
de 5 unidades monetarias por unidad de P1, 5 unidades monetarias por unidad de
P2, y 10 unidades monetarias por unidad de P3. Las horas que se necesitan por
máquina y unidad de articulo son:
Máquina A Máquina B Máquina C Máquina D
P1 1 1 2 1
P2 1 1 1 2
P3 2 1 1 1
Siendo el número de horas disponibles en cada máquina 190, 210, 170 y 200
respectivamente.
a) (7 puntos) Modelizar el problema utilizando programación lineal entera para
maximizar el beneficio total diario.
b) (3 puntos) Modelizar el problema utilizando la programación lineal entera si
además se debe tener en cuenta que si se fabrica el artículo P1, se debe
producir al menos 10 unidades y no más de 20 de P2 y al menos 5 de P1.
Solución:
a) Definimos las variables de decisión siguientes
unidades de Pix i= , i=1, 2, 3
1
1 si se utilizan las máquinas A y B
y

= 

2
1 si se utilizan las máquinas C y D
y

= 


72
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
1 2 3 1 2
1 2 3 1
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 2
1 2
1
2
Max 5 5 10 20 25 35 15
2 190 1
210 1
2 170 1
2 200 1
s.a
1
0 y enteras 1, 2, 3
1, 0
1, 0
i
x x x y y
x x x M y
x x x M y
x x x M y
x x x M y
y y
x i
y
y
+ + − + + +  
+ + ≤ + −

+ + ≤ + −
 + + ≤ + −

+ + ≤ + −

+ =
 ≥ =

=
 =
b) Definimos la variable de decisión siguiente
11 si se fabrica P
0 en caso contrario
z

= 

En la modelización anterior deberíamos añadir las siguientes restricciones:
2
1
10 20 (1 )
5
0,1
z x M z
z x Mz
z
≤ ≤ + −
≤ ≤
=
2. Una agencia de viajes está planificando un paquete de vacaciones a un destino
turístico C. Los aeropuertos de salida son dos: A1 y A2. No hay vuelos directos.
Posibles aeropuertos en donde se pueden hacer conexiones son B1, B2, B3, B4, y
B5. Las plazas en clase turista disponibles en vuelos entre aeropuertos en los que
hay tiempo suficiente para hacer las conexiones se recogen en la siguiente tabla:

73
B1 B2 B3 B4 B5 C
A1 45 40 30 -- -- --
A2 -- -- 30 -- -- --
B1 -- -- -- 20 30 --
B2 -- -- -- 25 -- --
B3 -- -- -- -- 35 20
B4 -- -- -- -- -- 40
B5 -- -- -- -- -- 65
a) (1 punto) Construir una red asociada al problema de planificar cómo enviar los
turistas a C.
b) (9 puntos) La siguiente tabla nos indica una planificación para enviar turistas al
destino C. ¿Cuántos turistas viajarían al destino C?
B1 B2 B3 B4 B5 C
A1 45 20 25 -- -- --
A2 -- -- 30 -- -- --
B1 -- -- -- 20 25 --
B2 -- -- -- 20 -- --
B3 -- -- -- -- 35 20
B4 -- -- -- -- -- 40
B5 -- -- -- -- -- 60
¿Cuántos turistas más se pueden enviar?
Solución:
a) Problema de flujo máximo cuya red asociada es:

74
b) La red que representa esta planificación es:
Con esta planificación se pueden enviar hasta 120 turistas desde el origen hasta
el destino C ( 120fV = ).
Una cadena de crecimiento (no saturada) asociada a este flujo es (O, A1, B2,
B4, B1, B5, C), dado que sus arcos directos no están saturados y su arco
inverso no tiene flujo nulo. El incremento de flujo que permite esta cadena es:
( ) { }O,A1,B2,B4,B1,B5,C min M,40 20,25 20,20,30 25,65 60 5f∆ = − − − − =
Saturamos la cadena añadiendo esta cantidad a los arcos directos y restándosela
65,60
30,25
35,35
25,20
20,2045,45
30,25
30,30
40,20
M,30
40,40
B2
M,90
B1
O
A1
A2
B3
B4
B5
C
20,20
65
30
35
25
2045
30
30
40
M
40
B2
M
B1
O
A1
A2
B3
B4
B5
C
20

75
a los inversos. El resultado es el siguiente flujo en el que todas las cadenas de
origen a destino están saturadas, por tanto el flujo que atraviesa la red es
máximo y de valor 125fV = turistas.
3. El Director de personal de una empresa quiere repartir las vacaciones de verano de
las tres personas que componen su departamento. Con el fin de realizar la
asignación lo mejor posible ha decidido confeccionar un listado de preferencias
para los meses de Junio, Julio, Agosto y Septiembre, como recoge la siguiente
tabla:
Junio Julio Agosto Septiembre
P1 5 4 9 --
P2 -- 3 6 7
P3 7 5 5 6
Este año el Director de Personal ha decidido traer a su departamento una cuarta
persona de otro departamento para los meses estivales, con el fin de cubrir las
necesidades mínimas de su departamento.
a) (7 puntos) Calcular la asignación que optimice el nivel de preferencias, si las
preferencias de la cuarta persona fuesen las recogidas en la siguiente tabla:
30,25
65,65
35,35
25,25
20,1545,45
30,30
30,30
40,25
M,30
40,40
B2
M,95
B1
O
A1
A2
B3
B4
B5
C
20,20

76
Junio Julio Agosto
P4 6 -- 9
Teniendo en cuenta que las cuatro personas han de disfrutar sus vacaciones en
los meses de Junio, Julio, Agosto (cada uno un mes completo) y que en cada
uno de estos tres meses debe haber al menos una persona de vacaciones.
b) (3 puntos) Habiendo encontrado otra cuarta persona, P*4, cuya única
preferencia es trabajar en el departamento de forma continua tres de los cuatro
meses, al Director de Personal no le parece mala idea incluir en su
planificación también el mes de Septiembre. Plantear la tabla a la que se le
aplicaría el Método Húngaro, para calcular la asignación que optimice el nivel
de preferencias de las cuatro personas, (P1, P2, P3, P*4), si las cuatro han de
disfrutar sus vacaciones en los cuatro meses y cada una en un mes diferente.
Solución:
Junio Junio Julio Julio Agosto Agosto
P1 -5 -5 -4 -4 -9 -9 ←+9
P2 M M -3 -3 -6 -6 ←+6
P3 -7 -7 -5 -5 -5 -5 ←+7
P4 -6 -6 M M -9 -9 ←+9
F1 M 0 M 0 M 0
F2 M 0 M 0 M 0
P1 4 4 5 5 0 0
P2 M M 3 3 0 0
P3 0 0 2 2 2 2
P4 3 3 M M 0 0
F1 M 0 M 0 M 0
F2 M 0 M 0 M 0
↑ -2

77
P1 4 4 3 5 0 0 ←-1
P2 M M 1 3 0 0 ←-1
P3 0 0 0 2 2 2
P4 3 3 M M 0 0 ←-1
F1 M 0 M 0 M 0
F2 M 0 M 0 M 0
↑ +1 ↑ +1
P1 3 3 2 4 0 0
P2 M M 0 2 0 0
P3 0 0 0 2 3 3
P4 2 2 M M 0 0
F1 M 0 M 0 M 1
F2 M 0 M 0 M 1
Asignación óptima: P1 → Agosto, P2 → Julio, P3→ Junio, P4 → Agosto.
b) Se aplica el Método Húngaro a la tabla:
Junio Julio Agosto Septiembre
P1 -5 -4 -9 M
P2 M -3 -6 -7
P3 -7 -5 -5 -6
P*4 0 M M 0
4. En el siguiente grafo están representadas las actividades de un proyecto con los
tiempos optimista, modal y pesimista en días:

78
a) (5 puntos) Determinar la duración media estimada del proyecto, varianza de la
duración del proyecto y actividades críticas. Elaborar la tabla de actividades.
b) Contestar razonadamente a las siguientes preguntas:
i) (1 punto) ¿En cuántos días se puede reducir la duración media de la
actividad C para que la duración media estimada del proyecto se reduzca
en la misma cantidad?
ii) (2 puntos) Si se añade al proyecto inicial una nueva actividad G cuyo
precedente inmediato es E, ¿cuántos días como mucho debe durar (en
media) para que no varíe la duración media estimada del proyecto
calculada en el apartado a?
iii) (2 puntos) Si la actividad nueva G tiene como precedentes inmediatos a E
y a D, ¿cuántos días como mucho debe durar (en media) para que no
varíe la duración media estimada del proyecto calculada en el apartado
a)? Construir una red asociada a este nuevo proyecto.
Solución:
a) Bajo los supuestos del PERT se estima la duración media de cada actividad
como ( )
( ) ( ) ( ), 4 , ,
,
6
o m pt i j t i j t i j
t i j
+ +
= donde ot representa la duración
optimista, mt la modal y pt la pesimista. Y la varianza de la duración de cada
actividad se estima como ( )
( ) ( )
2
2
,
, ,
6
p o
i j
t i j t i j
σ
− 
=  
 
.
Un grafo que representa este proyecto es el siguiente, donde el valor de cada
arco es la duración media estimada de cada actividad
F(2,2,2)
E(6,6,6)
B(1,2,3)
A(2,3,4) C(4,11,12)
1
3
2
4
5
D(5,6,13)

79
Duración media estimada del proyecto: 13 días
Camino Crítico: (1,2,5)
Varianza estimada de la duración del proyecto:
( ) ( )
2 2
2 2 2 4 2 12 4 17
6 6 9
T t A t C
σ σ σ
− −   
= + = + =   
   
Tabla de actividades:
(i,j) ( ),t i j CMT(i,j) FMT*(i,j) M(i,j)
A (1,2) 3 0 3 0*
B (1,3) 2 0 4 2
Fict (2,3) 0 3 4 1
C (2,5) 10 3 13 0*
D (3,4) 7 3 11 1
E (3,5) 6 3 13 4
F (4,5) 2 10 13 1
b)
i) Se puede reducir C hasta 1 día. A partir de aquí el proyecto durará, en
media, 12 días ya que aparece un nuevo camino crítico
ii) Como mucho debe durar en media 4 días, ya que este es el margen de la
actividad E.
F(2)
C(10)
D(7)
E(6)
A(3)
B(2)
0
1
0
3
3
4
3
2
3
10
4
11
13
5
13

80
iii) Como mucho 3 días, ya que su comienzo más temprano es el día 10 (un
día más tarde que en el apartado ii)) y queremos que su final más tardío
sea el día 13
F(2)
C(10)
D(7)
E(6)
A(3)
B(2)
0
1
3
3
3
2
10
4
13
6
10
5
G

81
Septiembre 2007
1. Dado el siguiente problema de programación lineal entera:
1 2
1 2
1
2
1 2
Max (2 5 )
2 +3 12 (1)
4 (2)
s.a
3 (3)
0, 0 y enteras
x x
x x
x
x
x x
+
≤
 ≤

≤
 ≥ ≥
a) (7 puntos) Resolver el problema mediante el método de Ramificación y
Acotación.
b) (3 puntos) Calcular cuál es la nueva solución al problema si el coeficiente de la
variable x1 de la función objetivo pasa de ser 2 a ser 10/3.
Solución:
a) Resolución del problema relajado:
PR

82
(3/ 2,3)R
=
Cota = ---
PR
18R
z =
1 (2,8/ 3)=
Cota = ---
P1
1 17.333z =4
(1,3)=
Cota = 17
P4
4 17z =
P3 P2
Infactible3
(3,2)=
Cota = 16
3 16z =
Terminal
TerminalTerminal
1 1x ≤
1 2x ≥
2 2x ≤ 2 3x ≥
P3
P1

83
Solución óptima:
Valor óptimo: 17
2. Una empresa de automoción produce un artículo dirigido al mercado de “primer
equipo”, cuyo beneficio unitario es de K unidades monetarias. Dicha empresa se
está planteando introducir su artículo en el mercado de “piezas de recambio”, ya
que el beneficio unitario de su producto se duplica en dicho mercado. La Dirección
de la Empresa no se plantea aumentar su capacidad actual de producción que
asciende a un máximo de 800 piezas diarias.
a) (5 puntos) Para un primer acercamiento a dicho mercado y por temor a perder
la clientela actual, la Gerencia de la Empresa ha decidido destinar diariamente
a “primer equipo” al menos el 75% de la producción total y al menos 160
unidades al mercado “piezas de recambio”.
Modelizar y determinar, resolviendo el problema relajado, la cantidad diaria
que se debería destinar a cada uno de los dos mercados con los objetivos de
maximizar los beneficios y destinar la mayor cantidad posible de artículos al
mercado de “primer equipo”.
b) (5 puntos) Un posible cliente del mercado de “piezas de recambio” ha remitido
a la Dirección de la Empresa un pedido de 180 unidades diarias de modo que la
P4
(1,3)=

84
Gerencia de la Empresa ha decidido replantearse la situación con las siguientes
metas y objetivos, con el siguiente orden de prioridades:
• Prioridad 1. La cantidad de artículos destinados diariamente a “primer
equipo” no sea inferior al 75% de la producción total.
• Prioridad 2. La cantidad de artículos destinados diariamente a “piezas de
recambio” permita satisfacer las necesidades del nuevo cliente.
• Prioridad 3. La cantidad de artículos destinados diariamente a “piezas de
recambio” no sea superior al 20% de la producción total.
• Prioridad 4. Máximo Beneficio.
Calcular, resolviendo el problema relajado correspondiente, la cantidad diaria
que se debería destinar a cada uno de los dos mercados y realizar un análisis
detallado de la solución obtenida.
Solución:
1
2
unidades diarias destinadas a "primer equipo"
unidades diarias destinadas a "piezas de reemplazamiento"
x
x
=
=
( )
( )
1 2 1
1 2
1 1 2
2
1 2
Max 2 ,
800
0.75
s.a
160
0, 0 y enteras
Kx Kx x
x x
x x x
x
x x
+
+ ≤
 ≥ +

≥
 ≥ ≥
Resolveremos el problema relajado:
( )
( )
1 2 1
1 2
1 1 2
2
1 2
Max 2 ,
800 (1)
0.75 (2)
s.a
160 (3)
0, 0
Kx Kx x
x x
x x x
x
x x
+
+ ≤
 ≥ +

≥
 ≥ ≥

85
Soluciones eficientes: ( )( )600,200 640,160
b) La modelización del problema relajado queda como sigue:
1 2 3 1 2
1 2
1 2 1 1
2 2 2
1 2 3 3
1 2
Min ( , , , 2 )
800 (1)
0.25 0.75 0 (2)
180 (3)
s.a
0.2 0.8 0 (4)
0, 0
0, 0 1,2,3i i
L y y y Kx Kx
x x
x x y y
x y y
x x y y
x x
y y i
− − +
+ −
+ −
+ −
− +
− −
+ ≤

− − + =

− + =

− + − + =
 ≥ ≥

 ≥ ≥ =
Vértices Vértices
( )
(480,160) (800 ,480)
(600,200) (1000 ,600)
(640,160) (960 ,640)
X f X
K
K
K

86
1 1
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
800 (1)
0.25 0.75 0 (2)
s.a
0, 0
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
−
+ −
− +
≡
 + ≤ − − + =
 ≥ ≥ ≥ ≥
Valor óptimo: 0
2 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
2 2 2
2 2
P Min ( )
800 (1)
0.25 0.75 0 (2)
0, 0
s.a
0, 0
180 (3)
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
x y y
y y
−
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + ≤ − − + = ≥ ≥

 = ≥ − + = ≥ ≥
A∈

87
Valor óptimo: 0
3 3
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
2 2 2
2 2
1 2 3 3
3 3
P Min ( )
800 (1)
0.25 0.75 0 (2)
0, 0
0, 0
s.a
180 (3)
0, 0
0.2 0.8 0 (4)
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
x y y
y y
x x y y
y y
+
+ −
− +
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + ≤ − − + = ≥ ≥ = ≥
 − + = = ≥− + − + = ≥ ≥
Valor óptimo: 20
B∈

88
4 1 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
2 2 2
2 2
1 2 3 3
3 3
P Min ( 2 )
800 (1)
0.25 0.75 0 (2)
0, 0
0, 0
s.a
180 (3)
0, 0
0.2 0.8 0 (4)
0, 20
Kx Kx
x x
x x y y
x x
y y
x y y
y y
x x y y
y y
+ −
− +
+ −
− +
+ −
− +
≡ − −
 + ≤ − − + = ≥ ≥ = ≥
 − + = = ≥− + − + = ≥ =
Valor óptimo: -980K
La solución óptima consiste en destinar 620 unidades diarias a “primer equipo”
y 180 a “piezas de recambio”. Los artículos destinados diariamente al “primer
equipo” son el 77.5% del total producidos 1 1( 20, 0).y y+ −
= = Se satisfacen
las necesidades del nuevo cliente, 180 unidades diarias de “piezas de
recambio” 2 2( 0, 0).y y+ −
= = La cantidad de artículos destinados diariamente
a “ piezas de recambio” es el 22.5% de la producción total, luego la meta
asociada a la 3ª prioridad no se cumple 3 3( 20, 0).y y+ −
= = El beneficio
máximo es de 980K unidades monetarias.

89
3. Un ayuntamiento quiere diseñar el modo de llevar el agua desde el depósito
municipal D a 7 casas rurales, no necesariamente de forma directa, con el menor
coste posible. Las posibles conducciones entre los depósitos y las casa con sus
costes correspondientes, en unidades monetarias, vienen recogidas en la siguiente
tabla:
D C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
D -- 10 12 14 -- -- -- --
C1 -- -- -- 3 -- -- --
C2 -- -- 2 4 -- --
C3 -- -- 3 -- --
C4 -- 3 5 6
C5 -- 7 5
C6 -- 4
C7 --
Por ejemplo, realizar una conducción entre la casa 2 y la casa 5 tiene un coste de 4
unidades monetarias.
a) (9 puntos) Calcular todas las formas posibles de establecer las conexiones para
que el coste total sea mínimo.
b) (1 punto) Si en lugar de 7 casas tenemos 8 casas, ¿cuántas conducciones se
necesitarían? Razonar la respuesta.
Solución:
a) Problema del árbol de expansión minimal cuya red asociada es:

90
Ordenamos en orden creciente las aristas según el coste y aplicamos el
algoritmo de Kruskal. Se tienen dos soluciones óptimas cuyo coste total
mínimo es de 30 unidades monetarias.
Solución óptima A:
4
14
6
7
3
4
3
10
2
12
5
C2
C1
D
C3
C4
C5
C6
5
3
C7
4
14
6
7
3
4
3
10
2
12
5
C2
C1
D
C3
C4
C5
C6
5
3
C7

91
Solución óptima B:
b) Se sabe que, dado un subgrafo G’ de un grafo no dirigido G de n nodos, si G’
es un árbol de expansión entonces G’ tiene n-1 aristas.
Vemos que en el apartado anterior las soluciones óptimas tienen 7 conexiones,
una menos que el número de nodos. Si en lugar de 7 casas tenemos 8, entonces
todas las soluciones óptimas tienen 8 conexiones.
4. (4 puntos) En la siguiente tabla se encuentran representadas las diferentes
actividades que componen un proyecto y las relaciones de precedencia entre las
mismas.
Actividades A B C D E F G H I J K L M
Precedentes
Inmediatas
- - A A A B B D, E, F C, D D D D I, J
Elaborar una red que represente a este proyecto.
4
14
6
7
3
4
3
10
2
12
5
C2
C1
D
C3
C4
C5
C6
5
3
C7

92
Solución:
5. (6 puntos) Sean tres actividades que vienen representadas en una red por los arcos
(3, 8), (4, 8) y (4, 9). Sabiendo que:
las tres tienen una duración de dos semanas,
la actividad (4,8) debe estar finalizada al de 20 semanas de iniciado el proyecto
si se desea cumplir con la duración prevista del proyecto,
la actividad (4,8) puede retrasarse hasta 3 semanas sin que se retrase la
duración prevista del proyecto.
Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuál es el comienzo y el final más temprano de la actividad (4,9)?
b) ¿Cuál es el comienzo y el final más tardío de la (3,8)?
Solución:
Se sabe que:
( ) ( ) ( )3,8 4,8 4,9 2t t t= = =
( ) ( )* 4,8 8 20FMT Q= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4,8 8 4 4,8 20 4 2 3 4 15M Q P t P P= − − = − − = ⇒ =
M
L
K
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
1
2
3
4
5
6 7
8
9

93
a) ( ) ( )4,9 4 15CMT P= = y ( ) ( ) ( ) ( )4,9 4,9 4,9 4 2 17.FMT CMT t P= + = + =
b) ( ) ( )* 3,8 8 20FMT Q= = y ( ) ( ) ( )* 3,8 * 3,8 3,8 20 2 18.CMT FMT t= − = − =
2
2
2
3
15
4
8
20
9

94
1. Tres servicios médicos constan de 10, 6 y 4 médicos respectivamente; cada médico
atiende como máximo a 10 pacientes. El coste de cada paciente es en el Servicio1
de 10 €/día, en el Servicio2 de 20 €/día y en el Servicio3 de 25 €/día, y el
presupuesto total diario de los tres servicios de 2400 €. Además, entre los dos
primeros servicios deben tratar como mínimo el doble de pacientes que el
Servicio3.
Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones:
a) (6 puntos) Plantear el problema, como un problema de programación lineal
entera, para encontrar cuántos pacientes deben ser atendidos diariamente en
cada servicio, con el objetivo de maximizar el número total de personas
atendidas.
b) (4 puntos) Se ha aumentado el presupuesto diario a 3200 €. El hospital tiene
que decidir entre abrir un cuarto servicio médico con 5 nuevos médicos y con
un coste por paciente de 22 €/día, o aumentar en dos médicos cada uno de los
servicios ya existentes. Plantear el problema, como un problema de
programación lineal entera, para encontrar cuántos pacientes deben ser
atendidos diariamente en cada servicio, con el objetivo de maximizar el
número total de personas atendidas.
Solución:
número de pacientes diarios atendidos por el Servicioix i= , i=1,2,3

95
( )1 2 3
1
2
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Max
100
60
40
s.a
10 20 25 2400
2
0, 0, 0 y enteras
x x x
x
x
x
x x x
x x x
x x x
+ +
≤
 ≤
 ≤

+ + ≤
 + ≥

≥ ≥ ≥
4 número de pacientes diarios atendidos por el Servicio 4x = ,
1 si se abre el Servicio 4
0 no se abre el Servicio 4
z

= 

( )1 2 3 4
1
2
3
4
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
Max
100 20(1 )
60 20(1 )
40 20(1 )
50
s.a
10 20 25 22 3200
2
0, 0, 0, 0 y enteras
= 0, 1
x x x x
x z
x z
x z
x z
x x x x
x x x
x x x x
z
+ + +
≤ + −
 ≤ + −
 ≤ + −

≤

+ + + ≤
 + ≥

≥ ≥ ≥ ≥


2. Una empresa desea cubrir un puesto de trabajo con personal eventual durante los
próximos 4 meses. Para ello utiliza una empresa de trabajo temporal que cobra 200
euros por cada persona contratada. El primer mes, la empresa contrata una persona
y a principios de los siguientes meses decide si contrata una nueva persona o sigue
con la contratada anteriormente. Se conoce que el sueldo del primer mes trabajado
es de 900 euros y la ganancia proporcionada a la empresa es de 2000. El segundo
mes trabajado el empleado tendrá un sueldo de 1000 euros proporcionando una
ganancia de 2100. Si el empleado trabaja tres meses o más tendrá un sueldo de
1100 el tercer mes y de 1200 el cuarto mes, proporcionando una ganancia de 2200 y
2300 para el tercer y cuarto mes, respectivamente.

96
Además, se sabe que la empresa de trabajo temporal al finalizar el contrato de un
trabajador que ha trabajado durante 1, 2, 3 ó 4 meses debe abonarle 100, 200, 300 ó
650 euros respectivamente.
a) (8 puntos) Calcular la política de contratación de trabajadores para los
próximos 4 meses que proporcione un mayor beneficio a la empresa.
b) (2 puntos) Si la empresa deseara cubrir el puesto de trabajo durante los
próximos 3 meses, ¿cuál sería la mejor política de contratación? ¿Y su
beneficio máximo?
Solución:
a) Este es un problema de reemplazamiento de contratos para maximizar
beneficios, cuya red asociada es:
Donde el valor de cada arco, ( ),d i j , indica el beneficio de contratar un nuevo
trabajador al comienzo del año i y mantenerlo hasta el comienzo del año j. Así:
( ) ( ) ( ) ( )1,2 2000 900 100 200 800 2,3 3,4 4,5d d d d= − − − = = = =
( ) ( ) ( )1,3 2000 2100 900 1000 200 200 1800 2,4 3,5d d d= + − − − − = = =
( ) ( )1,4 2000 2100 2200 900 1000 1100 300 200 2800 2,5d d= + + − − − − − = =
( )1,5 2000 2100 2200 2300 900 1000 1100 1200 650 200 3550d = + + + − − − − − − =
2800
2800
800
1800
800
800
8
1800
3
1 0
2 800
3 1800
4 2800
5 3600
800
3550
1800

97
Las políticas de contratación óptimas se corresponden con los caminos más
largos del origen al destino. Aplicando el método de la ruta más larga se tiene
que las políticas de contratación óptimas son:
(1,2,5) → Contratar un empleado durante un mes y después otro empleado
durante tres meses.
(1,3,5) → Contratar un empleado durante dos meses y después otro empleado
durante dos meses.
(1,4,5) → Contratar un empleado durante tres meses y después otro empleado
durante un mes.
El beneficio máximo es de 3600 euros.
b) La política de contratación óptima es el camino:
(1,4) → Contratar un empleado durante los tres meses.
El beneficio máximo es de 2800 euros.
3. (10 puntos) Una fábrica de quesos produce tres tipos de quesos: queso curado,
queso semicurado y queso fresco. Para ello se utilizan dos tipos de leche, leche de
oveja y leche de cabra. La fábrica está dotada de dos tipos de máquinas. La
máquina 1, utiliza en cada hora 70 litros de leche de oveja y 200 litros de leche de
cabra para producir 9 kilogramos de queso curado, 2 kilogramos de queso
semicurado y 5 kilogramos de queso fresco. Con la máquina 2, se obtienen cada
hora 10, 5 y 4 kilogramos de cada queso respectivamente con un gasto de 100 litros
de leche de oveja y 80 litros de leche de cabra.
Teniendo en cuenta los estudios de demanda de los tres productos la compañía
estima que debe producir al día al menos 900 y 300 kilogramos de queso curado y
semicurado, respectivamente, y no más de 800 kilogramos de queso fresco. Los
beneficios por kilogramo producido de cada tipo de queso son de 4, 6, y 7 euros
respectivamente.
La gerencia de la empresa se ha planteado las siguientes metas y objetivos con el
siguiente orden de prioridades:
• Prioridad 1. La cantidad de leche utilizada para la producción de los quesos no
supere 14000 litros diarios para la leche de oveja y 20000 litros diarios para la
leche de cabra.

98
• Prioridad 2. La cantidad de leche de cabra no sea superior a la de oveja.
• Prioridad 3. Maximizar beneficios.
Modelizar y resolver el problema para calcular el número de horas al día que deben
operar las máquinas.
Solución:
1
2
horas al día que debe operar la máquina 1
horas al día que debe operar la máquina 2
x
x
=
=
( )( )1 2 3 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2 2
Min , , 4 (9 10 ) 6 (2 5 ) 7 (5 4 )
9 10 900 (1)
2 5 300 (2)
5 4 800 (3)
70 100 14000 (4)
s.a
200 80
L y y y x x x x x x
x x
x x
x x
x x y y
x x y
+ + −
+ −
+
+ − + + + + +
+ ≥
+ ≥
+ ≤
+ − + =
+ − 2
1 2 1 2 3 3
1 2
20000 (5)
70 100 200 80 0 (6)
0, 0
0, 0 1, 2, 3i i
y
x x x x y y
x x
y y i
−
+ −
− +








+ =
 + − − − + =
 ≥ ≥

 ≥ ≥ =

99
( )1 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2
1 1
P Min
9 10 900 (1)
2 5 300 (2)
5 4 800 (3)
s.a 70 100 14000 (4)
200 80 20000 (5)
0, 0
0, 0
y y
x x
x x
x x
x x y y
x x y y
x x
y y
+ +
+ −
+ −
− +
≡ +
+ ≥
+ ≥
+ ≤
+ − + =
+ − + =
≥ ≥
≥ ≥ 2 2, 0, 0y y− +











 ≥ ≥
Valor óptimo: 0
( )2 3
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2
1 1
2 2
P Min
9 10 900 (1)
2 5 300 (2)
5 4 800 (3)
70 100 14000 (4)
200 80 20000 (5)
s.a 0, 0
0, 0
0, 0
y
x x
x x
x x
x x y y
x x y y
x x
y y
y y
−
+ −
+ −
− +
− +
≡
+ ≥
+ ≥
+ ≤
+ − + =
+ − + =
≥ ≥
≥ =
≥ =
1 2 3 3
3 3
130 20 0 (6)
0, 0
x x y y
y y
+ −
− +














− + − + =

≥ ≥
A∈

100
Valor óptimo: 0
( )3 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2
1 1
P Min 83 98
9 10 900 (1)
2 5 300 (2)
5 4 800 (3)
70 100 14000 (4)
200 80 20000 (5)
s.a 0, 0
0, 0
x x
x x
x x
x x
x x y y
x x y y
x x
y y
y
+ −
+ −
− +
≡ − −
+ ≥
+ ≥
+ ≤
+ − + =
+ − + =
≥ ≥
≥ =
2 2
1 2 3 3
3 3
0, 0
130 20 0 (6)
0, 0
y
x x y y
y y
− +
+ −
− +












 ≥ =

− + − + =

= ≥
Solución óptima:
B∈
(19.44,126.39)

101
La solución del problema consiste en operar 19.44 horas al día con la máquina 1,
126.39 horas al día con la máquina 2. Se utilizan 14000 litros de leche de oveja
1 1( 0, 0)y y+ −
= = y 14000 litros de leche de cabra 2 2( 0, 6000)y y+ −
= = . Se
usan, por lo tanto, la misma cantidad de leche de oveja y de cabra
3 3( 0, 0).y y+ −
= = El beneficio máximo obtenido es de 14000 euros.
4. En la tabla siguiente quedan recogidas las actividades en las que se divide el
proyecto de rodar una película, su duración en días así como sus relaciones de
precedencia.
Actividad Descripción
Precedentes
Inmediatas
Duración
a Hacer el guión -- 30
b Localizar exteriores a 10
c Permisos para rodar en exteriores b 4
d Localizar interiores a 8
e Contratar actores a 10
f Contratar personal técnico a 8
g Alojamiento actores y personal técnico e, f 1
h Vestuario e 5
i Rodar escenas exteriores sin actores c, f 1
j Rodar con actores i, h, g, d 20
a) (6 puntos) Elaborar una red que represente el proyecto. Indicar el o los caminos
críticos y la duración prevista del proyecto.
b) (2 puntos) Si la localización de interiores se retrasa en 2 días, ¿afecta este
retraso a la duración prevista del proyecto? ¿Por qué?
c) (2 puntos) Si por problemas de producción el objetivo fuese reducir el tiempo
de rodaje ¿sería una política adecuada eliminar el rodaje en exteriores (eliminar
actividades b, c, i)? ¿Por qué?

102
Solución:
Caminos críticos: (1,2,3,8,9) y (1,2,5,6,8,9)
Duración prevista del proyecto (d.p.p.): 65 días
b) El margen u holgura de la actividad d (Localizar interiores) es de 7 días, por lo
que un retraso de 2 días en esa actividad no afecta a la d.p.p.
c) No. La d.p.p. sería la misma, ya que estas actividades no forman parte de uno
de los caminos críticos, el camino (1,2,3,8,9).
a(30)
f(8)
j(20)
e(10)
i(1)
d(8)
g(1)
c(4)
b(10)
0
1
0
40
5
40
30
2
30
38
4
44
44
6
44
40
7
44
45
8
45
40
3
40
65
9
65
h(5)

103
Junio 2008
1. (10 puntos) Una empresa fabrica dos productos A y B que se procesan en tres
máquinas M1, M2 y M3. Los tiempos de procesamiento en horas de cada unidad de
producto en cada máquina, los ingresos unitarios de cada producto y las
disponibilidades semanales de cada máquina están recogidos en la siguiente tabla:
A B
Disponibilidad
semanal (horas)
M1 3 5 30
M2 1 10 35
M3 2 8 40
Ingresos unitarios
(euros)
1000 2000
La empresa está considerando la posibilidad de aumentar semanalmente la
capacidad de la máquina M1 en 10 horas y/o de la máquina M2 en 15 horas y/o de
la máquina M3 en 20 horas con unos costes de 400 €, 600 € y 500 €,
respectivamente, no pudiendo ser el coste total más de 1200 €. La capacidad de la
máquina M2 sólo se puede ampliar si se amplia la de la máquina M1. Modelizar el
problema de cómo planificar la producción como un problema de programación
lineal entera si se desea maximizar los beneficios.
Solución:
número de unidades del producto que se producen a la semana A, Bix i i= =
1 si se aumenta la capacidad de la máquina
0 en caso contrario
j
j
z

= 

con j=1,2,3

104
( )
( )
1 2 3
1
2
3
2 1
1 2 3
Max 1000 2000 400 600 500
3 5 30 10
10 35 15
2 8 40 20
s.a
400 600 500 1200
0 y enteras A, B
0, 1 1, 2, 3
A B
A B
A B
A B
i
j
x x z z z
x x z
x x z
x x z
z z
z z z
x i
z j
+ − − −
+ ≤ +
 + ≤ +

 + ≤ +

≤
 + + ≤ ∗

≥ =
 = =
2. (10 puntos) Resolver el siguiente problema de programación por metas:
1 2 3 4
1 2
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 4 4
1 2
Min ( , , )
40 (1)
2 60 (2)
3 0 (3)
s.a 3 0 (4)
4 3 180 (5)
0, 0
0, 0 1, ,4i i
L y y y y
x x
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x x
y y i
+ − + −
+ −
+ −
+ −
+ −
− +
+
+ ≤

+ − + =

− − + =

− − + =

+ − + =
 ≥ ≥

 ≥ ≥ = ⋯
Solución:

105
1 1
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
40 (1)
2 60 (2)
s.a
0, 0
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
+
+ −
− +
≡
 + ≤ + − + =
 ≥ ≥ ≥ ≥
Valor óptimo: 0
2 2 3
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
2 2 3 3
P Min ( )
40 (1)
2 60 (2)
0, 0
s.a 0, 0
3 =0 (3)
3 =0 (4)
0, 0, 0, 0
y y
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
x x y y
y y y y
− +
+ −
− +
+ −
+ −
− + − +
≡ +
 + ≤ + − + = ≥ ≥ ≥ =
 − − + − − + ≥ ≥ ≥ ≥
Valor óptimo: 0
A∈
B∈

106
3 4
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
2 2
3 3
1 2 4 4
4 4
P Min ( )
40 (1)
2 60 (2)
0, 0
0, 0
3 =0 (3)
s.a
3 =0 (4)
0, 0
0, 0
4 3 =180 (5)
0, 0,
y
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
x x y y
y y
y y
x x y y
y y
−
+ −
− +
+ −
+ −
− +
− +
+ −
− +
≡
 + ≤ + − + = ≥ ≥ ≥ = − − +
 − − + = ≥ ≥ = + − + ≥ ≥
Solución óptima:
Valor óptimo: 40
Solución óptima: 1 220, 20x x= =
1 1 2 2 3 3 4 40, 40, 0, 0, 40, 0, 40y y y y y y y y+ − + − + − + −
= = = = = = = =
3. Una compañía estatal de petróleo cuenta con una red de oleoductos que utiliza para
transportar petróleo desde su refinería R hasta su centro de almacenamiento A,
como se muestra en el grafo siguiente. Cada arco viene valorado por la capacidad
máxima diaria que se puede enviar, en miles de litros.
a) (5 puntos) Determinar el tiempo que se necesita para transportar 60000 litros
desde la refinería al centro de almacenamiento si cada día se envía la cantidad
máxima posible.
b) (5 puntos) Si la capacidad del arco (2,5) aumenta de 1 a 4, teniendo en cuenta
la distribución de envío obtenido en el apartado a), ¿en cuánto se reducirá el
tiempo obtenido?
3
6
14
2
1
4
1
3
1
2
5
A
8
9
12
10
R
4
(20,20)

107
Solución:
a) Partimos del flujo nulo y consideramos la cadena de crecimiento del origen al
destino (R,1,5,A). El incremento de flujo que permite esta cadena viene dado
por ( ) { }R,1,5,A min 8,4,12 4f∆ = = y llegamos al siguiente flujo cuyo valor
es 4fV = miles de litros diarios:
Consideramos la cadena de crecimiento (R,1,2,5,A).
( ) { }R,1,2,5,A min 8 4,1 0,1 0,12 4 1f∆ = − − − − = y llegamos al siguiente flujo
cuyo valor es 5fV = miles de litros:
Consideramos la cadena de crecimiento (R,2,4,5,A).
( ) { }R,2,4,5,A min 3 0,4 0,1 0,12 5 1f∆ = − − − − = y llegamos al siguiente flujo
cuyo valor es 6fV = miles de litros:
Consideramos la cadena de crecimiento (R,2,4,A).
3,1
6,0
1,1
4,1
2,0
1,1
4,4
1,1
3
1
2
5
A
8,5
9,0
12,6
10,0
R
4
3,0
6,0
1,04,0
2,0
1,1
4,4
1,1
3
1
2
5
A
8,5
9,0
12,5
10,0
R
4
3,0
6,0
1,04,0
2,0
1,0
4,4
1,0
3
1
2
5
A
8,4
9,0
12,4
10,0
R
4

108
( ) { }R,2,4,A min 3 1,4 1,6 0 2f∆ = − − − = y llegamos al siguiente flujo cuyo
valor es 8fV = miles de litros:
Consideramos la cadena de crecimiento (R,3,4,A).
( ) { }R,3,4,A min 9 0,10 0,6 2 4f∆ = − − − = y llegamos al siguiente flujo cuyo
valor es 12fV = miles de litros:
No existe ninguna cadena de crecimiento del nodo R al nodo A. Luego este
flujo es un flujo máximo y su valor es 12000 litros diarios.
Si queremos mandar 60000 litros, necesitamos
60000
5
12000
= días.
b) Consideramos la cadena de crecimiento (R,3,4,2,5,A).
( ) { }R,3,4,2,5,A min 9 4,10 4,3,4 1,12 6 3f∆ = − − − − = y llegamos al siguiente
flujo cuyo valor es 15fV = miles de litros:
6,6
1,14,0
2,0
4,4
4,4
1,1
3
1
2
5
A
8,5
9,7
12,9
10,7
R
4
3,3
6,6
1,14,3
2,0
1,1
4,4
1,1
3
1
2
5
A
8,5
9,4
12,6
10,4
R
4
3,3
3,3
6,2
1,1
4,3
2,0
1,1
4,4
1,1
3
1
2
5
A
8,5
9,0
12,6
10,0
R
4

109
No existe ninguna cadena de crecimiento del nodo R al nodo A. Luego este
flujo es un flujo máximo y su valor es 15000 litros diarios. Si queremos mandar
60000 litros, ahora se necesitan 4 días, luego se reduciría en un día.
4. (4 puntos) En la siguiente tabla se presentan el listado de las actividades para
realizar la formulación de las cuentas anuales de una empresa (con sus duraciones
en días y sus relaciones de precedencia):
Actividades Descripción Duración
Precedentes
Inmediatas
A Inventario (Recuento físico) 2 --
B
Valoración inventario (conversión
moneda funcional)
1/4 A
C
Comprobantes (identificación
facturas)
2 --
D Registro contable 1 C
E Auditoria I (verificación saldos) 1 D
F
Auditoria II (revisión del proceso de
registro)
1/2 E
G
Circulación de cuentas corrientes
deudoras
7 D
H
Circulación de cuentas corrientes
activas
5 F
I
Verificación final de saldos
patrimoniales
3 F y G
J
Balance de comprobación de sumas y
saldos
1/2 I
K
Regularización (traspaso de gastos e
ingresos y determinación de
resultado contable)
1/2 G
L Balance final 1/2 J y K
Construir un grafo asociado a este proyecto.

110
Solución:
5. (6 puntos) En el grafo siguiente se representa un proyecto. En los arcos se indica la
duración de las diferentes actividades en días.
a) Calcular la duración prevista del proyecto y el camino crítico. Calcular las
holguras (márgenes) de las actividades (4,7) y (2,4).
b) Si la duración de la actividad (2,4) se redujera en 1 día, ¿cómo afectaría a la
duración prevista del proyecto? ¿Y al camino critico?
c) Si la actividad (6,7) sufriera una modificación y su duración fuera de 4 días,
¿cuál sería la duración prevista del proyecto? ¿Cuáles serían las actividades
críticas?
4
6
2
2
4
4
3
2
4
5
7
2
3
1
1
6 1
8
L
J
F
B
G
D
H
E
E
D
C
A
11
98
7
6
5
42
3
1
10I
K

111
Solución:
a)
Camino crítico: (1,2,4,6,7,8)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4,7 * 4,7 4,7 4,7 7 4 4,7 9 6 2 1M FMT CMT t Q P t= − − = − − = − − =
( )2,4 0M = , ya que la actividad (2,4) es crítica.
b)
2
4
4
1
2
1
2
3
0
1
3
3
2
2
5
4
7
6
8
7
12
8
6
5
3
6
4
1
2
1
2
3
0
1
0
3
3
6
2
2
2
6
4
6
8
6
8
9
7
9
13
8
13
6
5
7
4
6
2
4

112
Si la duración de la actividad (2,4) se redujera en un día, la duración prevista
del proyecto se reduciría en un día, es decir duraría 12 días. Los caminos
críticos serían: (1,2,4,6,7,8) y (1,2,5,8).
c) La actividad (6,7) es crítica. Si su duración fuera de 4 días en lugar de un día,
el proyecto se retrasaría 3 días, es decir duraría 16 días. El camino crítico
seguiría siendo el mismo y, por tanto, las actividades críticas serían: (1,2),
(2,4), (4,6), (6,7) y (7,8).

113
Septiembre 2008
1. (10 puntos) El Consejo de Administración de inversiones de una empresa dispone
de 1000000 € para invertir en 7 fondos. El rendimiento de la inversión de 1 € en el
fondo i es Ri. El Consejo desea maximizar el rendimiento total teniendo en cuenta
las siguientes condiciones:
La inversión en el fondo 2 sólo se realizará si se lleva a cabo la inversión en el
fondo 1.
La inversión en el fondo 4 debe hacerse obligatoriamente si se hacen las
inversiones en los fondos 1 y 3.
Si se realizan inversiones en los fondos 1 o 4 no se realizará la inversión en el
fondo 6.
Si no se realizan ni la inversión en el fondo 2 ni la inversión en el fondo 5,
entonces no se realizará la inversión en el fondo 7.
Si se invierte en algún fondo la cantidad invertida en dicho fondo debe ser al
menos de 600 €.
a) Modelizar este problema como un problema de programación lineal entera.
b) El Consejo de Administración dispone de otros 200000 € adicionales. Debe
decidir si invierte esa cantidad íntegramente en Letras del Tesoro, lo cual le
reportaría un rendimiento total de R, o bien agregarla a la cantidad inicial para
redistribuirla entre los fondos de inversión anteriores. Formular un problema de
programación lineal entera que maximice el rendimiento total en esta nueva
situación.
Solución:
euros invertidos en el fondo 1,...,7ix i i= =
1 si se invierte en el fondo
0 en caso contrario
i
i
y

= 

con i=1,…,7

114
1 1 2 2 7 7
1 7
2 1
4 1 3
6 1
6 4
2 5 7
Max (R R ... R )
... 1000000
1
1
1s.a
600 1,...,7
0 = 1,...,7
0, 1 = 1,...,7
i i i
i
i
x x x
x x
y y
y y y
y y
y y
y y y
y x My i
x i
y i
+ + +
+ + ≤
 ≤
 ≥ + −

≤ −

≤ −
 + ≥

≤ ≤ =
 ≥
 =
b) Definimos las variable de decisión siguiente:
1 si se invierten los 200000 € en Letras del Tesoro
0 en caso contrario
z

= 

( )
1 1 2 2 7 7
1 7
2 1
4 1 3
6 1
6 4
2 5 7
Max (R R ... R )
... 1000000 200000 1
1
1
1
s.a
600 1,...,7
0 = 1,...,7
0,1 = 1,...,7
=0, 1
i i i
i
i
x x x Rz
x x z
y y
y y y
y y
y y
y y y
y x My i
x i
y i
z
+ + + +
 + + ≤ + −

≤
 ≥ + −

≤ −
 ≤ −

+ ≥
 ≤ ≤ =

≥
 =


2. (10 puntos) El ayuntamiento de un municipio va a construir una residencia para
estudiantes con dos tipos de habitaciones, pequeñas y grandes, con capacidad para 2
y 4 estudiantes respectivamente.

115
Dadas las necesidades existentes, para que el proyecto resulte factible y apropiado,
el número total de habitaciones debe ser como mucho 400, y las habitaciones
pequeñas deben ser al menos el 40% del total de habitaciones
El coste de construcción de cada habitación pequeña es de 40000 € y de cada
habitación grande 60000 €. La corporación pretende minimizar el coste de
construcción y maximizar la capacidad de estudiantes de la residencia.
a) Modelizar el problema multiobjetivo y encontrar todas las soluciones eficientes
del problema relajado.
b) Sabiendo que cada habitación pequeña requiere 22 m2
y cada habitación grande
28 m2
, si además de los dos objetivos anteriores se pretende también minimizar
el espacio construido, obtener 2 soluciones eficientes del nuevo problema
multiobjetivo.
Solución:
1
2
= número de habitaciones pequeñas
= número de habitaciones grandes
x
x
La modelización del modelo multiobjetivo relajado queda como sigue:
( )
( )
1 2 1 2
1 2
1 1 2
1 2
Max 40000 60000 , 2 4
400 (1)
s.a 0.4 (2)
0, 0
x x x x
x x
x x x
x x
− − +
+ ≤

≥ +
 ≥ ≥

116
Soluciones eficientes: ( )( )0,0 160,240∈
b) La modelización del modelo multiobjetivo relajado queda como sigue:
( )
( )
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 2
1 2
Max 40000 60000 ,2 4 , 22 28
400
s.a 0.4
0, 0
x x x x x x
x x
x x x
x x
− − + − −
+ ≤

≥ +
 ≥ ≥
Resolución 1: el conjunto de soluciones factibles X es compacto y vemos por
el gráfico f(X) ó por la tabla de los vértices que (0,0) es la única solución
óptima que minimiza el coste, luego es una solución eficiente del problema
multiobjetivo a) y b) (no podemos pasar a otra solución factible sin empeorar el
coste).
Análogamente, (160,240) es otra solución eficiente del problema multiobjetivo
a) y b) dado que es la única solución óptima de la función capacidad de
estudiantes.
Resolución 2: aplicando el teorema de Zadeh
Con pesos 1 2 3 1λ λ λ= = = tenemos el siguiente modelo ponderado:
( )1 2Max 40020 60024
s.a
x x
X
− −
∈
La solución óptima es (0,0), luego (0,0) es solución eficiente del modelo
multiobjetivo.
Con pesos 1 2 31, 100000, 1λ λ λ= = = tenemos el siguiente modelo ponderado:
( )1 2Max 159978 339972
s.a
x x
X
+
∈
Vértices Vértices
( )
(0,0) (0,0)
(400,0) ( 16000000,800)
(160,240) ( 20800000,1280)
X f X
−
−

117
La solución óptima es (160,240), luego (160,240) es solución eficiente del
modelo multiobjetivo.
3. (10 puntos) Una empresa dispone de dos camiones frigoríficos C1 y C2 con una
capacidad de 100 y 60 toneladas respectivamente. La empresa desea realizar un
sólo viaje y hay 4 cargas para transportar, A y B de 40 toneladas cada una y C y D
de 50 toneladas cada una. El beneficio de transporte por carga en miles de euros se
indica en la tabla
A B C D
C1 10 10 8 8
C2 6 6 4 4
a) Determinar mediante el Método Húngaro qué cargas de las 4 deben ser
transportadas utilizando los dos camiones para maximizar el beneficio total.
b) Se dispone de un tercer camión C3 de 150 toneladas y con un beneficio de
transporte por carga de 7000 euros. Teniendo en cuenta que C3 no es camión
frigorífico y únicamente las cargas A y B necesitan camión frigorífico para su
transporte, ¿a qué tabla (sin resolver) se aplicaría el Método Húngaro si se
desea asignar las 4 cargas a los camiones con el máximo beneficio? ¿Y a qué
tabla , si además se impone la condición de que se utilicen los tres camiones?
Solución:
b)
A B C D
C1 -10 -10 -8 -8 ←+10
C1 -10 -10 -8 -8 ←+10
C2 -6 -6 -4 -4 ←+6
F1 0 0 0 0

118
A B C D
C1 0 0 2 2 ←-2
C1 0 0 2 2 ←-2
C2 0 0 2 2 ←-2
F1 0 0 0 0
↑ +2 ↑ +2
A B C D
C1 0 0 0 0
C1 0 0 0 0
C2 0 0 0 0
F1 2 2 0 0
Existen varias soluciones óptimas. En ellas las cargas C o D no se transportan y
el resto de la carga A, B, C (ó D) se pueden transportar en cualquier camión.
C1 lleva dos cargas y C2 una.
b) El camión C3 puede transportar hasta150 toneladas por lo que puede llevar
hasta 3 cargas, pero al no ser frigorífico solo puede transportar las cargas C o D
i) Aplicaremos el Método Húngaro a la siguiente tabla:
A B C D F1 F2
C1 -10 -18 -8 -8 0 0
C1 -10 -10 -8 -8 0 0
C2 -6 -6 -4 -4 0 0
C3 M M -7 -7 0 0
C3 M M -7 -7 0 0
C3 M M -7 -7 0 0
ii) Si además de impone la condición de que se utilicen los tres camiones,
aplicaremos el Método Húngaro a la siguiente tabla:

119
A B C D F1 F2
C1 -10 -18 -8 -8 0 0
C1 -10 -10 -8 -8 M M
C2 -6 -6 -4 -4 M M
C3 M M -7 -7 0 0
C3 M M -7 -7 0 0
C3 M M -7 -7 0 0
4. (10 puntos) La siguiente red representa un proyecto, cada arco una actividad del
mismo y su valor asociado su duración en días. La duración de la actividad (3,7)
viene dada por t, donde 10t ≤ .
a) Determinar la duración prevista del proyecto y el camino crítico.
b) Calcular para las actividades (3,5) y (5,6) los tiempos de comienzo más
temprano (CMT), los de finalización más tardío (FMT*) y sus márgenes.
c) ¿Cuánto se reduce la duración prevista del proyecto si la duración de la
actividad (4,6) se reduce en 2 días?, ¿y si se reduce en 4 días?
d) Si la actividad (5,7) se retrasa 2 días, ¿afecta este retraso al margen de alguna
de las actividades del proyecto? ¿Al de cuáles y en cuánto?
e) Si se sabe que el final más temprano de la actividad (3,7) es 20, determinar la
duración de la actividad (3,7).
7
8
7
9
6
11
5
t
4
2
3
5
7
4
12
10
6
1
6
8

120
Solución:
a)
b) ( ) ( )3,5 3 12CMT P= =
( ) ( )5,6 5 18CMT P= =
( ) ( )* 3,5 5 20FMT Q= =
( ) ( )* 5,6 6 27FMT Q= =
( ) ( ) ( ) ( )3,5 * 3,5 3,5 3,5 20 12 4 4M FMT CMT t= − − = − − =
( ) ( ) ( ) ( )5,6 * 5,6 5,6 5,6 27 18 7 2M FMT CMT t= − − = − − =
c) Si la duración de la actividad (4,6) se reduce 2 días, la duración prevista del
proyecto se reduce en 2 días, es decir pasa a ser de 34 días, y los caminos
críticos son (1,2,4,6,8) y (1,2,5,6,8).
Si la duración de la actividad (4,6) se reduce 4 días, la duración prevista del
proyecto se reduce en 2 días, es decir pasa a ser de 34 días, y el caminos crítico
es (1,2,5,6,8).
7
8
7
9
6
11
5
t
412
10
6
0
1
0
12
3
16
10
2
10
16
4
16
18
5
20
23
7
30
27
6
27
36
8
36

121
d) Si la duración de la actividad (5,7) se retrasa 2 días, su margen se reduce en dos
días. Además este retraso afecta al comienzo más temprano de la actividad
(7,8), que se retrasa en 2 días, luego el margen de esta actividad también se
reduce en 2 días.
e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3,7 3,7 3,7 20 12 3,7 3,7 8FMT CMT t t t= + ⇒ = + ⇒ = días.

122
1. En un hospital comarcal se pueden realizar operaciones de riñón, de corazón y de
vesícula. Por problemas de personal cada día se realizan operaciones como mucho
de dos clases. Debido al gran número de operaciones pendientes se deben realizar al
menos tantas operaciones de vesícula como de riñón. Por otra parte, no se pueden
realizar más de 50 operaciones de vesícula diarias. Cada operación de riñón
requiere la presencia de dos médicos y se realiza en una hora. Las operaciones de
corazón requieren 3 médicos y se realizan en 5 horas. Cada operación de vesícula
sólo requiere un médico y se realiza en una hora Para estos tipos de operaciones el
hospital tiene asignados 20 médicos y cuenta con 60 horas diarias de quirófano.
a) (6 puntos) Modelizar el problema como un problema de programación lineal
entera para maximizar el número de operaciones diarias.
b) (4 puntos) El hospital recibe una subvención y se plantea o bien modernizar el
hospital y, así, poder realizar también operaciones de cataratas, o bien contratar
dos nuevos médicos. Las operaciones de cataratas requieren un médico y una
hora de quirófano, además, si se opera de cataratas se deben realizar como
mínimo 5 operaciones al día y no más de 10. Modelizar el problema como un
problema de programación lineal entera para maximizar el número de
operaciones.
Solución:
1x = número de operaciones de riñón al día
2x = número de operaciones de corazón al día
3x = número de operaciones de vesícula al día
1
1 si se realizan operaciones de riñón
0 en caso contrario
y

= 

2
1 si se realizan operaciones de corazón
0 en caso contrario
y

= 


123
3
1 si se realizan operaciones de vesícula
0 en caso contrario
y

= 

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3
1 1
2 2
3 3
Max ( )
2 3 20
5 60
2
s.a
50
0 1,2,3 y enteras
0,1 1,2,3
i
i
x x x
x x x
x x x
y y y
x x
x My
x My
x y
x i
y i
+ +
 + + ≤ + + ≤ + + ≤ ≤ ≤
 ≤ ≤ ≥ = = =
b) Sea definen además de las variables del apartado anterior:
1 si se decide realizar operaciones de cataratas
0 en caso contrario
z

= 

4x = número de operaciones de cataratas al día
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 3
1 1
2 2
3 3
4
Max ( )
2 3 20 2(1 )
5 60
2
s.a
50
5 10
0 1,2,3,4 y enteras
0,1 1,2,3
0,1
i
i
x x x x
x x x x z
x x x x
y y y z
x x
x My
x My
x y
z x z
x i
y i
z
+ + +
 + + + ≤ + − + + + ≤ + + + ≤ ≤ ≤ ≤
 ≤ ≤ ≤ ≥ = = = =

124
2. En la tabla siguiente quedan recogidas las actividades que componen un proyecto
así como la duración en días y las relaciones de precedencia de dichas actividades:
Actividades Duración Precedentes Inmediatas
A1 7
A2 5
A3 1 A2
A4 3 A1,A3
A5 2 A4
A6 7 A2
A7 8 A2
A8 7 A4
A9 3 A5,A6
A10 2 A7
A11 6 A8,A9,A10
a) (6 puntos) Elaborar una red que represente el proyecto y hallar la tabla de
actividades, la duración prevista del proyecto y el camino crítico.
b) (2 puntos) ¿Cuál será el efecto en la duración prevista del proyecto, si se
retrasa tres días el inicio de la actividad A6? ¿Por qué?
c) (2 puntos) ¿Cuál es el tiempo máximo que se puede esperar desde el inicio del
proyecto para dar comienzo a la actividad A6, sin variar la duración prevista del
proyecto? ¿Por qué?

125
Solución:
La tabla de actividades es:
A2 (1,2) 5 0 6 1
A1 (1,4) 7 0 7 0*
A7 (2,3) 8 5 15 2
A3 (2,4) 1 5 7 1
A6 (2,6) 7 5 14 2
A10 (3,7) 2 13 17 2
A4 (4,5) 3 7 10 0*
A5 (5,6) 2 10 14 2
A8 (5,7) 7 10 17 0*
A9 (6,7) 3 12 17 2
A11 (7,8) 6 17 23 0*
b) Si el inicio de la actividad A6 se retrasa 3 días, el proyecto se retrasaría 1 día,
ya que el margen de esta actividad es de 2 días y el retraso en el inicio es de
tres, es decir un día por encima de su margen.
A7 (8)
A5 (2)
A6 (7)
A10 (2)
A9 (3)
A8 (7)
A4 (3)
A2 (5)
A1 (7)
A3 (1)
0
1
0
13
3
15
5
2
6
7
4
7
12
6
14
17
7
17
23
8
23
10
5
10
A11 (6)

126
c) El tiempo máximo que se puede esperar desde el inicio del proyecto para dar
comienzo a la actividad A6, sin variar la duración prevista del proyecto, es de 7
días, ya que el margen de dicha actividad es 2.
3. (10 puntos) Una empresa produce dos productos A y B. Cada unidad de A requiere
2 horas de trabajo y 3 unidades de materia prima y cada unidad de B requiere 4
horas de trabajo y 3 unidades de materia prima. Para su producción, la empresa
dispone al día de 12 unidades de materia prima. La empresa obtiene 200 € de
beneficio por cada unidad de A y 400 € por cada unidad de B. Modelizar y resolver
el problema, sabiendo que la empresa se ha fijado las siguientes prioridades para las
metas:
• Prioridad 1: Las horas de trabajo diarias no sean inferiores a 8.
• Prioridad 2: Los beneficios alcanzados sean al menos 1600 €.
• Prioridad 3: Por cada unidad de B no se produzcan más de tres unidades de A.
Solución:
1x = unidades producidas diariamente del producto A
2x = unidades producidas diariamente del producto B
1 2 3
1 2
1 2 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2
Min ( , , )
3 3 12 (1)
2 4 8 (2)
200 400 1600 (3)
s.a
3 0 (4)
0, 0 y enteras
0, 0 1, 2, 3i i
L y y y
x x
x x y y
x x y y
x x y y
x x
y y i
− − +
+ −
+ −
+ −
− +
 + ≤ + − + = + − + =

 − − + = ≥ ≥ ≥ ≥ =

127
Resolveremos el problema relajado. El conjunto de soluciones factibles será:
1 1
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
3 3 12 (1)
2 4 8 (2)
s.a
0, 0
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
−
+ −
− +
≡
 + ≤ + − + =
 ≥ ≥ ≥ ≥
Valor óptimo: 0
2 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
P Min ( )
3 3 12 (1)
2 4 8 (2)
0, 0
s.a
0, 0
200 400 1600 (3)
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
−
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + ≤ + − + = ≥ ≥
 = ≥ + − + = ≥ ≥
A∈

128
Valor óptimo: 0
3 3
1 2
1 2 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
1 2 3 3
3 3
P Min ( )
3 3 12 (1)
2 4 8 (2)
0, 0
0, 0
s.a
200 400 1600 (3)
0, 0
3 0 (4)
0, 0
y
x x
x x y y
x x
y y
x x y y
y y
x x y y
y y
+
+ −
− +
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + ≤ + − + = ≥ ≥ = ≥
 + − + = = ≥ − − + = ≥ ≥
Valor óptimo: 0

129
La solución óptima consiste en producir diariamente 4 unidades del producto B y
ninguna unidad del producto A.
Las horas de trabajo diarias con esta producción óptima son 16 ( 1 10, 8y y− +
= = ).
El beneficio obtenido es de 1600 € ( 2 20, 0y y− +
= = ). Se alcanza la tercera meta
produciéndose un defecto de 12 unidades ( 3 312, 0y y− +
= = ).
4. (10 puntos) Un ayuntamiento tiene previsto construir cuatro instalaciones
deportivas diferentes dentro del municipio. El ayuntamiento se compone de cuatro
distritos A, B, C y D y quiere asegurar la construcción de un polideportivo en los
distritos más grandes: A y B. Además, cabría la posibilidad de construir dos
polideportivos en el distrito B. La siguiente tabla muestra el número de usuarios
semanales (en centenas) que se estiman para cada tipo de instalación deportiva
según en el distrito en que se construya.
Polideportivo
Distrito
P1 P2 P3 P4
A 12 14 17 19
B 16 19 24 17
C 10 12 18 15
D 13 9 20 17
Resolver mediante el Método Húngaro el problema de dónde se deben construir los
4 polideportivos si el ayuntamiento desea maximizar el número de usuarios
semanales.
Solución:
Aplicamos el Método Húngaro a la siguiente tabla:

130
P1 P2 P3 P4 F1
A -12 -14 -17 -19 M
B -16 -19 -24 -17 M
B -16 -19 -24 -17 0
C -10 -12 -18 -15 0
D -13 -9 -20 -17 0
P1 P2 P3 P4 F1
A -12 -14 -17 -19 M
B -16 -19 -24 -17 M
B -16 -19 -24 -17 0
C -10 -12 -18 -15 0
D -13 -9 -20 -17 0
↑ +16 ↑ +19 ↑ +24 ↑ +19
P1 P2 P3 P4 F1
A 4 5 7 0 M
B 0 0 0 2 M
B 0 0 0 2 0
C 6 7 6 4 0
D 3 10 4 2 0
P1 P2 P3 P4 F1
A 4 5 7 0 M ←-3
B 0 0 0 2 M
B 0 0 0 2 0
C 6 7 6 4 0 ←-3
D 3 10 4 2 0 ←-3
↑ +3 ↑ +3

131
P1 P2 P3 P4 F1
A 1 2 4 0 M
B 0 0 0 5 M
B 0 0 0 5 3
C 3 4 3 4 0
D 0 7 1 2 0
Se obtiene la siguiente asignación óptima: A → Polideportivo 4, B→
Polideportivos 2 y 3, D → Polideportivo 1.
Valor óptimo, 7500 usuarios semanales.

132
Junio 2009
1. Una plantación hortícola dispone de un terreno de 100 hectáreas en el que se desea
cultivar tomates, pimientos, zanahorias, cebollas y lechugas. Las horas de trabajo
totales disponibles para cultivar toda la plantación son 300. Las horas por hectárea
necesarias para el cultivo de cada uno de los productos aparecen recogidas en la
siguiente tabla:
Tomates Pimientos Zanahorias Cebollas Lechugas
Horas/ha 5 4 5 2 3
El coste de las semillas y fertilizantes por hectárea cultivada, para cada uno de los
productos, junto con el coste fijo del cultivo de cada uno de ellos vienen reflejados
en la siguiente tabla:
El capataz de la plantación ha determinado que:
plantará como mínimo 3 productos y a lo sumo 4 de los 5 posibles,
si planta tomates, entonces no plantará cebollas,
plantará lechugas sólo si planta pimientos
a) (7 puntos) Modelizar el problema como un problema de Programación Lineal
Entera para minimizar los costes.
b) (3 puntos) La empresa está considerando implantar un nuevo sistema de
labranza que le permitiría reducir las horas de trabajo por hectárea necesarias
para el cultivo de cada producto. Estas pasarían a ser las que se muestran en la
siguiente tabla:
Coste semillas y
fertilizantes (€)
25 15 10 8 25
Coste fijo del
cultivo (€)
100 120 100 80 150

133
Horas/ha 4 2 2 1 2
Implantar este nuevo sistema de labranza requiere una inversión inicial de 1000 €.
Modelizar el problema incorporando las 2 alternativas: continuar con el actual
sistema de labranza o implantar el nuevo.
Solución:
hectáreas cultivadas del productoix i=
i=1,…,5 (1 son tomates, 2 pimientos, 3 zanahorias, 4 cebollas y 5 lechugas)
1 si se cultiva el producto
0 en caso contrario
i
i
y

= 

con i=1,…,5
( )1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
4 1
5 2
Min 25 15 10 8 25 100 120 100 80 150
100
5 4 5 2 3 300
3 4
1s.a
0 1,...,5
0,1 1,...,5
i i
i
x x x x x y y y y y
x x x x x
x x x x x
y y y y y
y y
y y
x My i
y i
+ + + + + + + + +
+ + + + ≤
 + + + + ≤
 ≤ + + + + ≤

≤ −
 ≤

≤ ≤ =
 = =
b) Definimos las variable de decisión siguiente:
1 si se implanta el nuevo sistema de labranza
0 en caso contrario
z

= 


134
(
)
( )
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
4 1
5 2
Min 25 15 10 8 25 100 120 100 80 150
1000
100
5 4 5 2 3 300
4 2 2 1 2 300 1
3 4
s.a 1
0 1,...,5
0,1 1,...,5
i i
i
x x x x x y y y y y
z
x x x x x
x x x x x Mz
x x x x x M z
y y y y y
y y
y y
x My i
y i
+ + + + + + + + + +
+
+ + + + ≤
+ + + + ≤ +
+ + + + ≤ + −
≤ + + + + ≤
≤ −
≤
≤ ≤ =
= =
0,1z













 =
2. (10 puntos) Una empresa dedicada a la elaboración de piensos produce dos tipos de
compuestos C1 y C2 a partir de dos materias primas A y B. Para producir 1 tonelada.
de C1 se necesitan 0.25 toneladas de materia prima A y 0.75 toneladas de B, y para
producir 1 tonelada de C2 se necesitan 0.5 toneladas de A y 0.5 toneladas de B. El
beneficio por tonelada de C1 es de 1 unidad monetaria y por tonelada de C2 son 2
unidades monetarias.
Las cantidades totales semanales disponibles de las materias A y B son 10 y 18
toneladas respectivamente.
Para ajustarse al programa comunitario de elaboración de pienso, la empresa se
plantea las siguientes metas y objetivos, en el siguiente orden de prioridades.
• Prioridad 1: Desea obtener con el compuesto C2 al menos tanto beneficio
semanal como con el compuesto C1.
• Prioridad 2: Desea que la producción semanal de C1 no sea inferior a 16
toneladas.
• Prioridad 3: Minimizar la producción semanal de C2.
Determinar la producción óptima semanal de cada uno de los compuestos.
Interpretar la solución obtenida planteando y resolviendo gráficamente cada una de
las metas y objetivos.

135
Solución:
1x = producción semanal en toneladas del compuesto C1
2x = producción semanal en toneladas del compuesto C2
1 2 2
1 2
1 2
2 1 1 1
1 2 2
1 2
Min ( , , )
0.25 0.5 10 (1)
0.75 0.5 18 (2)
2 0 (3)
s.a
16 (4)
0, 0
0, 0 1, 2i i
L y y x
x x
x x
x x y y
x y y
x x
y y i
− −
+ −
+ −
− +
 + ≤ + ≤ − − + =
 − + = ≥ ≥ ≥ ≥ =
El conjunto de soluciones factibles es el siguiente:
1 1
1 2
1 2
2 1 1 1
1 2
P Min ( )
0.25 0.5 10 (1)
0.75 0.5 18 (2)
2 0 (3)s.a
0, 0
0, 0 1,2i i
y
x x
x x
x x y y
x x
y y i
−
+ −
− +
≡
+ ≤
 + ≤


− − + =
 ≥ ≥

 ≥ ≥ =
Valor óptimo: 0
A∈

136
2 2
1 2
1 2
2 1 1 1
1 2
1 1
1 2 2
2 2
P Min ( )
0.25 0.5 10 (1)
0.75 0.5 18 (2)
2 0 (3)
0, 0s.a
0, 0
16 (4)
0, 0
y
x x
x x
x x y y
x x
y y
x y y
y y
−
+ −
− +
+ −
− +
≡
+ ≤
 + ≤
 − − + =

 ≥ ≥
 = ≥

 − + =

 ≥ ≥
Valor óptimo: 0
3 2
1 2
1 2
2 1 1 1
1 2
1 1
1 2 2
2 2
P Min ( )
0.25 0.5 10 (1)
0.75 0.5 18 (2)
2 0 (3)
0, 0s.a
0, 0
16 (4)
0, 0
x
x x
x x
x x y y
x x
y y
x y y
y y
+ −
− +
+ −
− +
≡
 + ≤ + ≤ − − + = ≥ ≥
 = ≥ − + = = ≥
Valor óptimo: 8
La solución óptima consiste en producir semanalmente 16 toneladas del compuesto
C1 y 8 toneladas de C2.
Se satisface la meta 1 obteniendo exactamente el mismo beneficio semanal de 16
euros con ambos compuestos, 1 1( 0, 0).y y− +
= = Además también se satisface la
meta 2 2 2( 0, 0).y y− +
= =
B∈

137
3. El director general de una empresa de publicidad se enfrenta al problema de asignar
publicistas a 4 nuevos clientes importantes: C1, C2, C3 y C4. En la tabla se
presenta el coste estimado que le supondría asignar sus 3 mejores publicistas P1, P2
y P3 a cada uno de los clientes, en miles de euros:
a) (6 puntos) Determinar las posibles asignaciones óptimas de los 3 publicistas a 3
de los 4 clientes teniendo en cuenta que cada publicista atenderá a un único
cliente.
b) (4 puntos) Plantear la tabla a la cual se aplicaría el Método Húngaro para
asignar los 4 clientes si el director sabe que cualquiera de los 3 publicistas
puede atender a más de un cliente y todos (los publicistas y clientes) deben
estar asignados.
Solución:
P1 P2 P3 F1
C1 4 6 8 0
C2 2 3 4 0
C3 4 8 5 0
C4 1 2 6 0
↑ -1 ↑ -2 ↑ -4
P1 P2 P3 F1
C1 3 4 4 0
C2 1 1 0 0
C3 3 6 1 0
C4 0 0 2 0
P1 P2 P3
C1 4 6 8
C2 2 3 4
C2 4 8 5
C4 1 2 6

138
P1 P2 P3 F1
C1 3 4 4 0 ←-1
C2 1 1 0 0
C3 3 6 1 0 ←-1
C4 0 0 2 0
↑ +1
P1 P2 P3 F1
C1 2 3 3 0 ←-1
C2 1 1 0 1 ←-1
C3 2 5 0 0 ←-1
C4 0 0 2 1
↑ +1 ↑ +1
P1 P2 P3 F1
C1 1 2 3 0
C2 0 0 0 1
C3 1 4 0 0
C4 0 0 3 2
Y obtenemos las dos siguientes asignaciones óptimas:
Asignación óptima 1: C2 → P1, C3→ P3, C4 → P2.
Asignación óptima 2: C2 → P2, C3→ P3, C4 → P1.
Coste mínimo 9000 €

139
P1 P2 P3 P1 P2 P3
C1 4 6 8 4 6 8
C2 2 3 4 2 3 4
C3 4 8 5 4 8 5
C4 1 2 6 1 2 6
F1 0 0 0 M M M
F2 0 0 0 M M M
4. Una empresa desea diversificar su oferta hacia un nuevo segmento del mercado, y
para ello, encarga al departamento de marketing que realice un estudio de mercado.
El departamento de marketing elabora una lista con las actividades a realizar, la
duración de cada una de las actividades y las relaciones entre ellas, tal y como se
muestra en la siguiente tabla:
Actividad
Arco
(i, j)
Descripción
Duración
(en días)
Precedentes
Inmediatas
A (1, 3)
Búsqueda y análisis de
información secundaria
3 -
B (1, 2)
Definir el marco
metodológico y los objetivos
1 -
C (2, 5)
Determinar el tamaño de la
muestra y seleccionarla
2 B
D (3, 5) Diseñar el cuestionario 1 A y B
E (5, 6)
Realizar encuestas y
codificar información
10 C y D
F (3, 4)
Diseñar la entrevista y
seleccionar expertos para la
entrevista
2 A y B
G (4, 6) Realización de entrevistas t F
H (6, 7)
Análisis de la información
cuantitativa y cualitativa
k E y G
I (7, 8) Redacción del estudio 3 H

140
donde la duración de la actividad G y H vienen dadas por las variables t y k
respectivamente.
a) (2 puntos) Elaborar el grafo asociado al proyecto añadiendo actividades
ficticias si fuera necesario para mantener las relaciones de precedencia
indicadas en la tabla y teniendo en cuenta la numeración de los arcos indicada.
b) (8 puntos) Si se sabe que t es menor que 9 días:
i) ¿Es posible calcular la duración prevista del proyecto y el camino crítico
independientemente de los valores que toman t y k? Calcularlos en
función de t y k si fuese necesario.
ii) ¿Qué valores puede tomar k si se desea concluir el proyecto en menos de
25 días?
iii) Si se sabe que para no retrasar la duración prevista del proyecto la
actividad F debe estar finalizada el sexto día ¿cuál es el valor de t?
Teniendo en cuenta el valor obtenido ¿cuántos días se podrá retrasar la
actividad G para no retrasar la duración prevista del proyecto?
Solución:
b)
i) Si 9t < , la duración prevista del proyecto (d.p.p.) es 17+k y el camino
crítico es (1,3,5,6,7,8).
ii) Si la duración prevista del proyecto es menor de 25 días, se tiene que:
E(10)
I(3)H(k)
G(t<9)
C(2)
F(2)
A(3)
B(1)
D(1)
0
1
0
1
2
2
3
3
3
5
4
14-t
14
6
14
14+k
7
14+k
17+k
8
17+k
4
5
4

141
d.p.p. 25 17 25 8k k< ⇒ + < ⇒ < . Luego la duración de la actividad H
ha de ser inferior a 8 días.
iii) Si la actividad F como muy tarde puede finalizar el día 6 para que no se
retrase la duración prevista del proyecto, se tiene que
( )* 3,4 6 14 6 8FMT t t= ⇒ − = ⇒ = . Luego la duración de la actividad
G ha de ser de 8 días.
Si 8t = , se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4,6 * 4,6 4,6 4,6 6 4 8 14 5 8 1M FMT CMT t Q P= − − = − − = − − =
Luego la actividad G se podrá retrasar a lo sumo 1 día para que la
duración prevista del proyecto no se vea afectada.

142
1 2
1 2
1 2
1 2
Min ( )
3 5 (1)
s.a 5 2 6 (2)
0, 0 y enteras
x x
x x
x x
x x
+
− ≤

+ ≥
 ≥ ≥
Septiembre 2009
1. Dado el siguiente problema de Programación Lineal Entera:
a) (8 puntos) Resolver mediante el método de Ramificación y Acotación.
b) (2 puntos) Calcular la solución óptima del problema en el caso en el que el
coeficiente de la variable x1 en la función objetivo, en lugar de ser 1, tome
cualquier valor 5
2
λ > .
Solución:
a) Resolución del problema relajado:
PR

143
P1
(1.2,0)R =
Cota = ---
PR
1.2Rz =
1 (2,1)=
Cota = 3
P1
1 3z =2 (1,0.5)=
Cota = 3
P2
2 1.5z =
P6
3 (0.8,1)=
Cota = 3
P3
3 1.8z =
Infactible
5 (0,3)=
Cota = 2
P5
5 3z = 4 (1,1)=
Cota = 2
P4
4 2z =
Terminal
Terminal
TerminalTerminal
1 1x ≤
1 2x ≥
2 0x ≤ 2 1x ≥
1 0x ≤ 1 1x ≥

145
Solución:
b) Si: entonces la solución del Problema Relajado es:
Dado que la solución tiene ambas variables enteras ésta será la solución del
Problema Lineal Entero.
2. El departamento de Recursos Humanos de una empresa está preparando un
encuentro formativo en Madrid para trabajadores de sus delegaciones en Bilbao,
Barcelona, Sevilla, Valencia y Zaragoza. Después de analizar las necesidades
formativas de sus trabajadores, decide organizar 3 seminarios, S1, S2 y S3, que se
desarrollarán simultáneamente. La delegación de Bilbao tiene capacidad para enviar
a 7 de sus trabajadores al encuentro, la de Barcelona a 5, la de Sevilla a 7, la de
Valencia a 2 y la de Zaragoza a 6. En la siguiente tabla se recoge el número de
trabajadores que como mucho pueden participar en cada seminario.
Bilbao Barcelona Sevilla Valencia Zaragoza
S1 4 2 2 -- --
S2 1 3 2 2 3
S3 -- -- 3 -- 1
P5
(1,1)
2z
=
=
5 / 2λ >
(0,3)
3
R
Rz
=
=

146
Cada seminario se impartirá en una de las salas de reuniones de la sede central en
Madrid, cada una de ellas con capacidad máxima para 8 personas.
a) (3 puntos) Si se desea maximizar el número de trabajadores que asistirán a los
seminarios, dibujar el grafo que represente este problema.
b) (4 puntos) Si el departamento de Recursos Humanos ha confirmado la
inscripción de los siguientes trabajadores en cada uno de los seminarios,
Bilbao Barcelona Sevilla Valencia Zaragoza
S1 4 2 0 -- --
S2 1 3 2 2 0
S3 -- -- 3 -- 1
¿se podría inscribir algún trabajador más a alguno de los seminarios? ¿cuál
sería el número máximo de trabajadores que asistirán a los seminarios?
(Responder razonadamente)
c) (3 puntos) ¿Cambiaría el número máximo de personas que asistirían a los
seminarios, si la delegación de Valencia puede enviar a sus trabajadores
también al seminario S3? (Responder razonadamente)
Solución:
a) Este problema puede ser modelizado como un problema de flujo de
trabajadores mediante el siguiente grafo.
4
,1
2
3
2 2
3
2
3
1
8
8
8
7
5
7
2
6
Bilbao
Barcelona
Sevilla
Valencia
Zaragoza
O
S1
S2
S3
D

147
b) Un grafo que representa esta situación es:
En esta situación, el flujo de trabajadores inscritos para ir desde las
delegaciones al encuentro en la sede central de Madrid es un flujo cuyo valor es
18. Partimos de este flujo y consideramos la cadena de crecimiento del origen
al destino (O, Sevilla, S1, D). El valor del flujo puede aumentar en
( ) { }O,Sevilla,S1,D min 7 5,2 0,8 6 2f∆ = − − − = . Dado que todos sus arcos son
directos, saturamos esta cadena añadiendo 2 a todos sus arcos. El resultado es
el siguiente flujo cuyo valor es 20.
En esta nueva situación todas las cadenas del origen al destino están saturadas,
por tanto el flujo que atraviesa la red es máximo y de valor 20fV = .
Por lo tanto el número máximo de trabajadores que asistirán a los seminarios es
20.
4, 4
1, 1
2, 2
3, 3
2,2
2, 2
3, 3
2, 2
3,0 1, 1
8, 8
8, 8
8, 4
7, 5
5, 5
7, 7
2, 2
6, 1
O
Bilbao
Barcelona
Sevilla
Valencia
Zaragoza
S1
S2
S3
D
4, 4
1, 1
2, 2
3, 3
2 2, 2
3, 3
2, 2
3 1, 1
8, 6
8, 8
8, 4
7, 5
5, 5
7, 5
2, 2
6, 1
O
Bilbao
Barcelona
Sevilla
Valencia
Zaragoza
S1
S2
S3
D

148
c) Se crea un nuevo arco desde Valencia al seminario S3 con una capacidad de 2.
En esta nueva situación hay una cadena de crecimiento (no saturada), la cadena
(O,Zaragoza,S2,Valencia, S3,D), ya que sus arcos directos no están saturados y
su inverso no tiene flujo nulo. Considerando esta cadena el valor del flujo
puede aumentar en:
( ) { }O,Zaragoza,S2,Valencia, S3,D min 6 1,3 0,2,2 0,8 4 2f∆ = − − − − = .
Llegamos al siguiente flujo cuyo valor es 22.
No existe ninguna cadena de crecimiento del nodo O al nodo D. Luego este
El número máximo de trabajadores que asistirán a los seminarios es 22, 8 al
seminario S1, 8 al seminario S2 y 6 al seminario S3.
4, 4
1, 1
2, 2
3, 3
2, 2
2, 2
3, 3
2, 2
3,0
1, 1
8, 8
8, 8
8, 4
7, 5
5, 5
7, 7
2, 2
6, 1 2,0
O
Zaragoza
Valencia
Sevilla
Barcelona
Bilbao
S1
S2
S3
D
4, 4
1, 1
2, 2
3, 3
2, 2
2, 2
3, 3
2, 0
3, 2
1, 1
8, 8
8, 8
8, 6
7, 5
5, 5
7, 7
2, 2
6, 3
2, 2
O
Bilbao
Barcelona
Sevilla
Valencia
Zaragoza
S3
S2
S1
D

149
3. Una empresa realiza dos tipos de bombones, de calidad excelente y de primera
calidad. Para producirlos utiliza cacao y almendras, de los que dispone
semanalmente de 48 kilos y 4.5 kilos respectivamente. Para realizar una caja de
bombones de calidad excelente se necesita 600 gramos de cacao y 50 gramos de
almendras mientras que para una caja de primera calidad se necesita 400 gramos de
cacao y 50 gramos de almendras. Por cada caja de calidad excelente se obtiene un
beneficio de 70 € y por cada una de primera calidad de 40 € y además se vende sin
problemas todo lo que se produce.
a) (5 puntos) Determinar, resolviendo el problema relajado, las producciones
semanales eficientes de cajas de bombones de modo que la empresa maximice
sus beneficios y el volumen de ventas.
b) (2 puntos) Si la empresa considera cada venta como 10 € de beneficio,
modelizar el problema relajado correspondiente.
c) (3 puntos) Si la empresa necesita 7 horas de producción para obtener una caja
de calidad excelente y 4 horas para una caja de primera calidad, determinar al
menos dos producciones semanales eficientes del problema relajado de modo
que la empresa maximice sus beneficios, y el volumen de ventas y minimice
las horas de producción.
Solución:
1x = cajas de bombones de calidad excelente producidas semanalmente
2x = cajas de bombones de primera calidad producidas semanalmente
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
Max (70 40 , )
600 400 48000
s.a 50 50 4500
0, 0 y enteras
x x x x
x x
x x
x x
+ +
 + ≤ + ≤
 ≥ ≥
Resolveremos el problema relajado:
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
Max (70 40 , )
600 400 48000 (1)
s.a 50 50 4500 (2)
0, 0
x x x x
x x
x x
x x
+ +
 + ≤ + ≤
 ≥ ≥

150
b) La modelización queda como sigue:
( ) ( )1 2 1 2Max 70 40 10
s.a
x x x x
X
+ + +  
∈
c) La modelización queda como sigue:
( )1 2 1 2 1 2Max 70 40 , , 7 4
s.a
x x x x x x
X
+ + − −
∈
Por el teorema de Zadeh si damos pesos positivos a las funciones objetivo, la
solución óptima del problema ponderado será una solución eficiente del
problema multiobjetivo.
Vértices Vértices
( )
(0,0) (0,0)
(80,0) (5600,80)
(60,30) (5400,90)
(0,90) (3600,90)
X f X

151
Asignando: 1 2 31, 1, 10λ λ λ= = = el modelo lineal ponderado tiene como
soluciones óptimas( )( )0,90 60,30 . Estas serán soluciones eficientes del modelo
multiobjetivo.
4. El grupo de rock Led Seppelin está preparando su disco de despedida. El manager
del grupo está definiendo el proyecto, estableciendo las duraciones (en semanas) de
las actividades que lo componen, así como las relaciones de precedencia que se dan
entre ellas, que aparecen recogidas en la siguiente tabla:
Actividad Descripción Duración
Precedentes
Inmediatas
A Composición de canciones 10 -
B Producción 5 -
C Diseño de portada 7 -
D Grabación del disco 4 A y B
E Fabricación 3 C y D
F Promoción 6 E
G Registro del disco 1 E
H Distribución 2 F y G
a) (7 puntos) Elaborar un grafo asociado a este proyecto y determinar la duración
prevista del proyecto y el camino crítico.
b) (3 puntos) El manager del grupo ha visto la necesidad de incorporar una nueva
actividad I para garantizar el éxito del disco. Esta actividad es la grabación de
un videoclip que se hará inmediatamente después de la grabación del disco e
inmediatamente antes de la fase de promoción. La grabación del videoclip
durará 5 semanas. Elaborar un grafo asociado al proyecto que recoja dicha
actividad.

152
Solución:
a) Un grafo que representa este proyecto es:
Duración prevista del proyecto (d.p.p.): 25 semanas.
Camino crítico: (1,2,3,4,5,7,8).
b) Un grafo que representa este proyecto y que recoge la nueva actividad es:
F(6)
B(5)
G(1)
H(2)
I(5)
E(3)
D(4)
A(10)
C(7)
2
1 3
4
5
6
7 8 9
B(5)
G(1)
H(2)
F(6)
E(3)
D(4)
A(10)
C(7)
0
1
10
3
10
2
14
4
18
6
23
7
25
8
17
5

153
1. La empresa de llaves JMI utiliza 3 materiales (aluminio, latón y plástico) para
producir 3 tipos de llaves. La cantidad necesaria de estos materiales para fabricar
una llave de cada tipo viene expresada en la siguiente tabla:
Aluminio (g) Latón (g) Plástico (g)
Llave tipo 1 1.5 0 0.75
Llave tipo 2 0 2 1.25
Llave tipo 3 0.75 0.75 0.75
La empresa JMI dispone diariamente de 200 g de aluminio, 150 g de latón y 100 g
de plástico en su planta principal donde lleva a cabo la producción. La producción
de las llaves de tipo 1 conlleva unos costes fijos de 1500 € y un coste adicional de
1 € por unidad. Para las llaves de tipo 2, el coste fijo es de 1750 € con un coste
variable de 1.5 € por unidad. Para las llaves de tipo 3, el coste fijo es de 1800 € y el
variable es de 2 € por unidad. El precio de venta de cada llave es de 10 €, 15 € y
20 € para las llaves de tipo 1, 2, y 3 respectivamente.
a) (6 puntos) Plantear el problema como un problema de programación lineal
entera con el objetivo de maximizar el beneficio diario.
b) (4 puntos) La empresa JMI está también considerando la posibilidad de
trasladar la producción a una planta alternativa. La nueva planta dispondría de
250 g de aluminio, 140 g de latón y 150 g de plástico al día. Plantear el nuevo
problema como un problema de programación lineal entera.
Solución:
ix = número de llaves del tipo i producidas semanalmente i=1,2,3
1 si se producen llaves del tipo
0 en caso contrario
i
i
y

= 

i = 1,2,3

154
( )1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3
2 3
1 2 3
Max 10 15 20 1500 1750 1800 1.5 2
1.5 0.75 200
2 0.75 150
0.75 1.25 0.75 100
s.a
0 y enteras 1,2,3
1,2,3
0,1 1,2,3
i
i i
i
x x x y y y x x x
x x
x x
x x x
x i
x My i
y i
+ + − − − − − −
+ ≤
 + ≤
 + + ≤

≥ =
 ≤ =

= =
b) Definimos la variable de decisión siguiente:
1 si se produce en la planta alternativa
0 en caso contrario
z

= 

( )
( )
( )
( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 3
1 3
2 3
2 3
1 2 3
1 2 3
Max 10 15 20 1500 1750 1800 1.5 2
1.5 0.75 200
1.5 0.75 250 1
2 0.75 150
2 0.75 140 1
0.75 1.25 0.75 100
s.a
0.75 1.25 0.75 150 1
0 y enterasi
x x x y y y x x x
x x Mz
x x M z
x x Mz
x x M z
x x x Mz
x x x M z
x
+ + − − − − − −
+ ≤ +
+ ≤ + −
+ ≤ +
+ ≤ + −
+ + ≤ +
+ + ≤ + −
≥ 1,2,3
1,2,3
0,1 1,2,3
= 0, 1
i i
i
i
x My i
y i
z









 =

≤ =
 = =


2. (10 puntos) La compañía Ordenata S.A. desea planificar el ensamblaje de dos
nuevos modelos de ordenador el Core Duo KS500 y el Core Duo KS600. Ambos
modelos precisan del mismo tipo de carcasa y lector óptico. En el modelo KS500 se
ensambla la carcasa con 2 lectores ópticos. En el modelo KS600 se ensambla la
carcasa con un lector óptico y además se añade un lector de tarjetas. Se dispone
semanalmente de 1000 lectores ópticos, 500 lectores de tarjetas y de 600 carcasas.
El ensamblaje de un KS500 lleva una 1 hora de trabajo y proporciona un beneficio

155
de 200 euros y el del KS600 lleva 1.5 horas de trabajo y su beneficio es de 500
euros.
Teniendo en cuenta las restricciones anteriores, el director de la compañía desea
alcanzar las siguientes metas en orden de prioridad:
• Prioridad 1. Producir semanalmente al menos 200 ordenadores KS500.
• Prioridad 2. Ensamblar al menos 500 ordenadores en total a la semana.
• Prioridad 3. Igualar el número de horas totales de trabajo dedicadas al
ensamblaje de los dos tipos de ordenador.
• Prioridad 4. Obtener un beneficio semanal de al menos 250000 euros.
Obtener e interpretar la solución óptima del problema relajado, planteando y
resolviendo gráficamente cada una de las metas.
Solución:
1x = unidades ensambladas semanalmente del ordenador Core Duo KS500
2x = unidades ensambladas semanalmente del ordenador Core Duo KS600
1 2 3 3 4
1 2
2
1 2
1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 4 4
1 2
Min ( , , , )
2 1000 (1)
500 (2)
600 (3)
200 (4)
500 (5)s.a
1.5 0 (6)
200 500 250000 (7)
0, 0 y enteras
0, 0 1,2,3,4i i
L y y y y y
x x
x
x x
x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x x
y y i
− − + − −
+ −
+ −
+ −
+ −
− +
+
 + ≤ ≤
+ ≤
− + =
+ − + =
− − + =
+ − + =
≥ ≥
≥ ≥ =


Resolveremos el problema relajado. El conjunto de soluciones factibles será:

156
1 1
1 2
2
1 2
1 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
2 1000 (1)
500 (2)
600 (3)
s.a
200 (4)
0, 0
0, 0
y
x x
x
x x
x y y
x x
y y
−
+ −
+ −
≡
 + ≤ ≤ + ≤
 − + = ≥ ≥ ≥ ≥
Valor óptimo: 0
2 2
1 2
2
1 2
1 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
P Min ( )
2 1000 (1)
500 (2)
600 (3)
200 (4)
s.a 0, 0
0, 0
500 (5)
0, 0
y
x x
x
x x
x y y
x x
y y
x x y y
y y
−
+ −
+ −
+ −
+ −
≡
 + ≤ ≤ + ≤ − + = ≥ ≥ ≥ = + − + = ≥ ≥
Valor óptimo: 0
A∈
B∈

157
3 3 3
1 2
2
1 2
1 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
1 2 3 3
3 3
P Min ( )
2 1000 (1)
500 (2)
600 (3)
200 (4)
0, 0
s.a 0, 0
500 (5)
0, 0
1.5 0(6)
0, 0
y y
x x
x
x x
x y y
x x
y y
x x y y
y y
x x y y
y y
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
≡ +
 + ≤ ≤ + ≤ − + = ≥ ≥ ≥ = + − + = ≥ = − − + = ≥ ≥
Valor óptimo: 0
4 4
1 2
2
1 2
1 1 1
1 2
1 1
1 2 2 2
2 2
1 2 3 3
3 3
1 2 4 4
4 4
P Min ( )
2 1000 (1)
500 (2)
600 (3)
200 (4)
0, 0
0, 0
s.a 500 (5)
0, 0
1.5 0 (6)
0, 0
200 500 250000 (7)
0, 0
y
x x
x
x x
x y y
x x
y y
x x y y
y y
x x y y
y y
x x y y
y y
−
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
≡
 + ≤
≤
+ ≤
− + =
≥ ≥
≥ =
 + − + =
≥ =
− − + =
= =
+ − + =
≥ ≥


(300,200)(360,240)∈

158
La solución óptima consiste en ensamblar 360 ordenadores KS500 y 240
ordenadores KS600. Con ellos se puede cubrir el pedido institucional de 200
KS500 (sobran 160 1 10, 160y y− +
= = ). Se ensamblan en total 500 ordenadores a
la semana ( 2 20, 0y y− +
= = ). Se utilizan el mismo número de horas para
ensamblar los dos tipos de ordenadores ( 3 30, 0y y− +
= = ). El beneficio semanal
obtenido es de 192000 euros ( 4 40, 58000y y+ −
= = ).
3. Una empresa inmobiliaria va a realizar 4 proyectos de construcción, P1, P2, P3 y
P4. Cada uno se identifica por el número de viviendas y el tipo de cada una. Así:
con el proyecto P1 se construirán 50 viviendas de dos habitaciones,
con el proyecto P2, 100 viviendas de tres habitaciones,
con el proyecto P3, 80 viviendas de cuatro habitaciones y
con el proyecto P4, 80 viviendas de cuatro habitaciones y garaje.
La empresa dispone de suelo en tres distintas ubicaciones, Bilbao, Sevilla y
Valencia. El suelo disponible en Bilbao admite hasta 200 viviendas de cualquier
tipo, el de Sevilla hasta 180 y el de Valencia hasta 120. Los costes de construcción
de cada vivienda varían según el tipo y la ubicación y quedan recogidos (en
unidades monetarias) en la siguiente tabla.

159
Bilbao Sevilla Valencia
2 habitaciones 20 25 30
4 habitaciones y garaje 45 50 50
La empresa necesita tomar la decisión de cómo planificar los cuatro proyectos en
las distintas ubicaciones para minimizar los costes.
a) (7 puntos) Determinar cómo debe hacerlo haciendo uso del Método Húngaro si
cada proyecto se realiza exclusivamente en una ciudad y las tres ciudades
deben ser escogidas. Dar todas las alternativas óptimas posibles.
b) (3 puntos) Si en Valencia el suelo disponible fuera de 80 viviendas ¿a qué tabla
le aplicarías el Método Húngaro para planificar los 4 proyectos en las distintas
ciudades?
Solución:
Bilbao Bilbao Sevilla Sevilla Valencia
P1 1000 1000 1250 1250 1500
P2 3000 3000 3000 3000 3500
P3 3200 3200 3600 3600 3600
P4 3600 3600 4000 4000 4000
F1 0 0 0 0 M
P1 1000 1000 1250 1250 1500 ←-1000
P2 3000 3000 3000 3000 3500 ←-3000
P3 3200 3200 3600 3600 3600 ←-3200
P4 3600 3600 4000 4000 4000 ←-3600
F1 0 0 0 0 M

160
P1 0 0 250 250 500
P2 0 0 0 0 500
P3 0 0 400 400 400
P4 0 0 400 400 400
F1 0 0 0 0 M
↑ -400
P1 0 0 250 250 100
P2 0 0 0 0 100
P3 0 0 400 400 0
P4 0 0 400 400 0
F1 0 0 0 0 M
Y obtenemos las dos siguientes asignaciones óptimas:
Asignación óptima 1: P1→Bilbao, P2→Sevilla, P3→Bilbao, P4→Valencia.
Asignación óptima 2: P1→Bilbao, P2→Sevilla, P3→Valencia, P4→Bilbao.
Coste mínimo: 11200 unidades monetarias.
P1 1000 1000 1250 1250 1500
P2 3000 3000 3000 3000 M
P3 3200 3200 3600 3600 3600
P4 3600 3600 4000 4000 4000
F1 0 0 0 0 M

161
4. Considerar el proyecto cuyas actividades y duraciones correspondientes (en
semanas) aparecen recogidas en la siguiente tabla:
Actividades Arcos Duración
optimista
Duración más
probable
Duración
pesimista
A (1,2) 7 8 9
B (1,3) 6 7 14
C (2,6) 6 9 12
D (3,4) 4 4 4
E (3,5) 7 8 15
F (3,6) 10 13 22
G (4,5) 3 4 11
H (5,6) 4 5 12
I (5,7) 7 9 11
J (6,7) 3 4 11
Responder razonadamente a las siguientes cuestiones:
a) (4 puntos) ¿Cuál es la duración media estimada del proyecto y el o los caminos
críticos?
b) (2 puntos) ¿Qué efecto tendría sobre la duración media estimada del proyecto
si todas las actividades críticas se retrasaran sobre su duración media estimada
en una semana?
c) (4 puntos) ¿Qué efecto tendría sobre la duración media estimada del proyecto
si la duración media estimada de la actividad (2,6) aumentara en 6 semanas?
¿Y sobre el final más tardío de la actividad (1,2)?
Solución:
como ( )
( ) ( ) ( ), 4 , ,
,
6
t i j
+ +
optimista, mt la más probable y pt la pesimista.

162
Un grafo que representa a este proyecto es el siguiente, donde el valor de cada
arco es la duración media estimada de cada actividad.
Duración media estimada del proyecto: 28 semanas.
Caminos críticos: (1,3,4,5,6,7) y (1,3,5,6,7).
b) Si la duración media estimada de todas las actividades críticas se retrasan una
semana, como uno de los caminos críticos tiene 5 actividades y el otro cuatro,
entonces la duración media estimada del proyecto aumenta en 5 semanas, y
sólo hay un camino crítico, el (1,3,4,5,6,7).
c) Si la duración media estimada de la actividad (2,6) aumenta en 6 semanas,
dado que su margen es
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,6 * 2,6 2,6 2,6 6 2 9 23 8 9 6M FMT CMT t Q P= − − = − − = − − =
la duración media estimada del proyecto no varía y esta actividad pasa a ser
crítica.
Además el final más tardío de la actividad (1,2) pasa a ser de 8 semanas ya que
en esta situación ( ) ( ) ( )* 1,2 2 23 9 6 8FMT Q= = − + = .
5
9
4
6
14
9
9
8
8
5
0
1
0
8
2
14
8
3
8
23
6
23
28
7
28
17
5
17
12
4
12

163
Junio 2010
1. Una compañía produce cuatro productos P1, P2, P3 y P4. Cada uno de ellos pasa
por tres plantas de producción: la planta A, la planta B, y la planta C. En cada
planta se dispone de una capacidad de 10000 horas semanales de trabajo.
La tabla siguiente muestra el ingreso unitario, en euros, y las horas de trabajo
necesarias en cada planta para la producción de una unidad de cada uno de los
productos.
P1 P2 P3 P4
Ingreso unitario 6 € 7 € 8 € 9 €
Planta A 5 horas 3 horas 6 horas 4 horas
Planta B 4 horas 6 horas 3 horas 5 horas
Planta C 5 horas 6 horas 3 horas 2 horas
La empresa ha decidido producir como máximo tres de esos productos, sabiendo
que los costes fijos de producción de cada uno de ellos son 2800, 4000, 3800 y
4100 €, respectivamente. Además ha decidido que:
Se produce de P2 solo si se produce de P3,
Si no se produce de P4 entonces se deben producir de P1 y P2.
a) (8 puntos) Formular un modelo de programación lineal entera, para decidir qué
productos deben ser producidos y cuántas unidades de cada uno de ellos, si la
empresa pretende maximizar beneficios.
b) (2 puntos) La empresa va a ampliar 1000 horas de trabajo en dos de sus
plantas. Formular el nuevo modelo de programación lineal entera, para decidir
en qué plantas se debe realizar esta ampliación.
Solución:
ix = unidades producidas semanalmente del producto Pi , 1,...,4i =

164
1 si se produce el producto P
i
i
y

= 

1,...,4i =
( )
( )
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2
1 4
1 2 4
2 4
Max [6 7 8 9 2800 4000 3800 4100 ]
5 3 6 4 10000
4 6 3 5 10000
5 6 3 2 10000
1,...,4
3
s.a
1
2 1
1
0 y enteras 1,...,
i i
i
x x x x y y y y
x x x x
x x x x
x x x x
x M y i
y y y y
y y
y y
y y y
y y
x i
+ + + − + + +
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
≤ =
+ + + ≤
≥
+ ≥
⇔ + ≥ −
+ ≥
≥ = 4
0,1 1,...,4iy i














 = =
1 si se amplían 1000 horas en la planta
j
j
z

= 

, ,j A B C=
( )1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2
1 4
2 4
Max [6 7 8 9 2800 4000 3800 4100 ]
5 3 6 4 10000 1000
4 6 3 5 10000 1000
5 6 3 2 10000 1000
1,...,4
2
3
s.a
1
1
0 y ent
A
B
C
i i
A B C
i
x x x x y y y y
x x x x z
x x x x z
x x x x z
x M y i
z z z
y y y y
y y
y y
y y
x
+ + + − + + +
+ + + ≤ +
+ + + ≤ +
+ + + ≤ +
≤ =
+ + =
+ + + ≤
≥
+ ≥
+ ≥
≥ eras = 1,...,4
0,1 1,...,4
0,1 , ,
i
j
i
y i
z j A B C
















= =
 = =

165
2. Una empresa aceitera se está planteando la forma de dividir un terreno cultivable de
15 hectáreas para plantar olivos y girasoles.
La inversión por hectárea dedicada a la plantación de olivos es de 10000 € y la de
cada hectárea dedicada a la plantación de girasoles es de 5000 €.
Siguiendo las recomendaciones del consejo regulador para la producción de aceite,
la parte dedicada a la plantación de olivos debe estar entre 8 y 12 hectáreas (ambas
inclusive) y la parte dedicada a los girasoles entre 2 y 6 hectáreas (ambas
inclusive).
a) (5 puntos) La empresa se ha planteado como objetivos, minimizar la inversión
y maximizar el número de hectáreas dedicadas a la plantación de olivos.
Hallar gráficamente el conjunto de soluciones factibles X, representar su
conjunto imagen f(X) y hallar las soluciones eficientes.
b) (5 puntos) La empresa por motivos fiscales ha decidido plantearse la meta de
invertir al menos 140000 € y maximizar el número de hectáreas totales
cultivadas, en ese orden de prioridades.
Modelizar y resolver el nuevo problema.
Solución:
a) Definimos las variables de decisión siguientes
1x = hectáreas cultivadas de olivos
2x = hectáreas cultivadas de girasoles
1 2 1
1 2
1
2
1 2
Max ( 10000 5000 , )
15
8 12
s.a
2 6
0, 0
x x x
x x
x
x
x x
− −
+ ≤
 ≤ ≤

≤ ≤
 ≥ ≥
El conjunto de soluciones factibles del problema es:

166
1x = hectáreas cultivadas de olivos
2x = hectáreas cultivadas de girasoles
1 1 2
1 2
1
2
1 2 1 1
1 2
1 1
Min ( , )
15
8 12
2 6
s.a
10000 5000 140000 (1)
0, 0
0, 0
L y x x
x x
x
x
x x y y
x x
y y
−
+ −
+ −
− −
+ ≤
 ≤ ≤
 ≤ ≤


+ − + =
 ≥ ≥

 ≥ ≥
Vértices Vértices
( )
(8,2) ( 90000,8)
(12,2) ( 130000,12)
(12,3) ( 135000,12)
(9,6) ( 120000,9)
(8,6) ( 110000,8)
X f X
−
−
−
−
−

167
1 1
1 2
1
2
1 2 1 1
1 2
1 1
P Min ( )
15
8 12
2 6
s.a
10000 5000 140000 (1)
0, 0
0, 0
y
x x
x
x
x x y y
x x
y y
−
+ −
+ −
≡
+ ≤
 ≤ ≤
 ≤ ≤


+ − + =
 ≥ ≥

 ≥ ≥
Valor óptimo: 5000
2 1 2
1 2
1
2
1 2 1 1
1 2
1 1
P Max ( )
15
8 12
2 6
s.a
10000 5000 140000 (1)
0, 0
0, 5000
x x
x x
x
x
x x y y
x x
y y
+ −
+ −
≡ +
+ ≤
 ≤ ≤
 ≤ ≤


+ − + =
 ≥ ≥

 ≥ =
Dado que la solución óptima de 1P es un único punto, ese mismo punto es
también la solución óptima de 2P y, por tanto, del problema.
Se cultivarán 12 hectáreas de olivos y 3 hectáreas de girasoles. El cultivo total
es de 15 hectáreas y se hará una inversión total de 135000 €
1 1( 5000, 0).y y− +
= =

168
3. Dada la siguiente red donde el primer número del par asignado representa la
capacidad del arco:
donde a 6≥ .
a) (5 puntos) Si la capacidad del arco (1,4) es 6, ¿la asignación dada en la red es
un flujo? ¿Es un flujo máximo? (Contestar razonadamente a las preguntas).
b) (5 puntos) A partir de la asignación dada en la red, calcular el valor del flujo
máximo para a 8= .
Solución:
a) La asignación dada en la red es un flujo ya que:
El valor de cada arco es un número no negativo y no excede la capacidad
del arco.
Para cada nodo (excepto el origen y el destino), la suma de los valores de
los arcos que llegan al nodo es igual a la suma de los valores de los arcos
que salen de dicho nodo:
Nodo 2: 5 2 3= +
Nodo 3: 5 2 1 3 1 2+ = + + +
Nodo 4: 6 2 8+ =
Nodo 5: 3 1 2 6+ + =
Nodo 6: 3 1 2 2+ = +
Nodo 7: 1 8 1 8+ = +
Para este flujo la cadena (1,3,2,5,8) no está saturada, ya que sus arcos directos
no están saturados y el inverso no tiene flujo nulo. El valor del flujo puede
2,2
1,1
3,3
a,6
1,1
3,2
7,6
6,5
5,5
1
2
3
5
6 8
6,3
1,1
8,8
3,2
4 7
2,2
12,8

169
aumentar en: ( ) { }1,3,2,5,8 min 6 5,2,6 3,7 6 1f∆ = − − − = , luego este flujo no
es máximo.
b) Consideramos la cadena (1,3,2,5,8) del apartado anterior. Saturamos la cadena
aumentando en 1 el valor del flujo de sus arcos directos y disminuyendo en esa
magnitud el del arco inverso. El resultado es el siguiente flujo cuyo valor es 17:
Consideramos la cadena de crecimiento (1,4,3,2,5,6,8).
( ) { }1,4,3,2,5,6,8 min 8 6,2,1,6 4,2,3 2 1f∆ = − − − = . Saturamos esta cadena
sumando 1 al valor de sus arcos directos y restando 1 al de sus inversos y
llegamos al siguiente flujo cuyo valor es 18.
No existe ninguna cadena de crecimiento del nodo 1 al nodo 8. Luego este
2,1
1,1
3,3
8,7
1,1
3,1
7,7
6,6
5,5
1
2
3
5
6 8
6,5
1,1
8,8
3,3
4 7
2,0
12,8
2,2
1,1
3,3
8,6
1,1
3,2
7,7
6,6
5,5
1
2
3
5
6 8
6,4
1,1
8,8
3,2
4 7
2,1
12,8

170
4. En el grafo siguiente se representa un proyecto. En los arcos se indica los tiempos
optimista, modal y pesimista, en días, de las diferentes actividades.
a) (5 puntos) Calcular la duración media estimada del proyecto, el camino crítico
y la varianza de la duración del proyecto. Calcular los márgenes de las
actividades (1,2) y (3,4).
b) (5 puntos) Si se incorpora una nueva actividad en el arco (2,4) con un tiempo
medio de duración de t días. Contestar razonadamente a las siguientes
preguntas:
i) ¿Para qué valores de t la duración media del proyecto no varía?
ii) ¿Para qué valores de t la actividad (3,4) deja de ser crítica? ¿Cuál sería su
margen?
Solución:
como ( )
( ) ( ) ( ), 4 , ,
,
6
t i j
+ +
optimista, mt la más probable y pt la pesimista. Y la varianza de la duración de
cada actividad se estima como ( )
( ) ( )
2
2
,
, ,
6
p o
i j
t i j t i j
σ
− 
=  
 
.
(5,6,7)
(3,4,5)
(2,3,4)
(6,7,8)
1
3
2
4
5 6 7
(4,4,4)
(5,13,15)
(3,6,9)
(1,3,5)

171
Un grafo que representa a este proyecto es el siguiente, donde el valor de cada
arco es la duración media estimada de cada actividad.
Duración media estimada del proyecto: 26 días.
Camino crítico: (1,3,4,5,6,7).
Varianza de la duración del proyecto:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1,3 3,4 4,5 5,6 6,7
1.666σ σ σ σ σ+ + + + =
b)
i) Si 8t ≤ , un grafo que representa a este proyecto es el siguiente
Luego, si 8t ≤ , ( )4 11P = y la duración media estimada del proyecto no
varía. El camino (1,3,4,5,6,7) sigue siendo el único camino crítico.
Si 8t > ,
8t ≤
6
3
0
1
0
3
2
3
7
3
t-1
11
4
11
17
5
17
20
6
20
26
7
26
7
3
4
12
4
6
6
3
0
1
0
3
2
5
7
3
7
11
4
11
17
5
17
20
6
20
26
7
26
7
3
4
12
4
6

172
La duración media estimada del proyecto es 18 26t+ > .
ii) Si 8t ≤ , el camino (1,3,4,5,6,7) sigue siendo crítico, luego la actividad
(3,4) es crítica.
Si 8t > , el camino crítico es (1,2,4,5,6,7), entonces la actividad (3,4)
deja de ser crítica y su margen es:
( ) ( ) ( ) ( )3,4 4 3 3,4 3 7 4 8M Q P t t t= − − = + − − = − .
6
30
1
0
3
2
3
7
3
t-1
3+t
4
3+t
9+t
5
9+t
12+t
6
12+t
18+t
7
18+t
7
3
4
12
4
6
t >8

173
2
=
Cota =
P2
2z =
1
=
Cota =
P1
1z =
R =
Cota =
PR
Rz =
1 1x ≤ 1 2x ≥
Septiembre 2010
1. (10 puntos) Sea el problema de PLE:
( )1 2
1 2
1 2
1 2
Max 3
5 2 10 (1)
s.a 4 7 (2)
, 0 y enteras
x x
x x
x x
x x
+
+ ≤

+ ≤
 ≥
Completar los datos que faltan en el árbol anterior correspondiente al método de
ramificación y acotación, y continuar el árbol en el caso de que sea necesario para
obtener la solución óptima del problema.
Solución:
Resolución del problema relajado:
PR

174
P2
1 (1, 5/ 2)=
Cota = ---
P1
1 5.5z =
(4/3,5/3)R =
Cota = ---
PR
17 / 3Rz =
Infactible
2 2x ≤
3 (1, 2)=
Cota = 5
P3
3 5z =
4 (4/ 5 , 3)=
Cota = 5
P4
4 27 / 5z =
P5
Infactible
6 (0 , 5)=
Cota = 5
P6
6 5z =
Terminal Terminal
Terminal
1 1x ≤ 1 2x ≥
2 3x ≥
1 0x ≤ 1 1x ≥Terminal
P1

175
Soluciones óptimas: (0, 5) y (1,2)
Valor óptimo: 5
P3
P4
P6

176
2. (10 puntos) Una compañía agrícola dispone de 1000 hectáreas de terreno para el
cultivo de trigo y centeno. Por cada hectárea dedicada al cultivo de trigo la
compañía, con un coste de 150 unidades monetarias, obtiene 2 toneladas de este
cereal, y por hectárea dedicada al centeno, con un coste de 200 unidades
monetarias, obtiene 3 toneladas. La próxima temporada debe atender un pedido de
2500 toneladas de cada uno de estos dos cereales. Dado que no dispone de
suficientes hectáreas para poder atender a este pedido mediante la cosecha de sus
terrenos, la compañía va a recurrir al mercado para comprar las cantidades de trigo
y centeno que precisa para cubrir esta demanda, con un coste de 200 unidades
monetarias por cada toneladas de trigo y 180 por cada toneladas de centeno.
a) (4 puntos) Modelizar, sin resolver, para decidir cuántas hectáreas de trigo y de
centeno deben ser cultivadas y cuántas toneladas de estos cereales deben ser
adquiridas en el mercado, para minimizar los costes totales y maximizar las
hectáreas de terreno cultivadas.
b) (6 puntos) La compañía decide flexibilizar sus objetivos. Desea que los costes
totales no superen 180000 unidades monetarias y que el terreno cultivado sea al
menos 800 hectáreas. Modelizar el problema, sin resolver, teniendo en cuenta
estas metas y que se valora el doble la carencia de una hectárea de terreno
cultivada que el exceso de una unidad monetaria en el coste total.
Solución:
Tx = hectáreas dedicadas al trigo.
Cx = hectáreas dedicadas al centeno.
Ty = toneladas de trigo compradas en el mercado.
Cy = toneladas de centeno compradas en el mercado.
( )( )Max 150 200 200 180 ,
2 2500
3 2500
s.a
1000
0, 0, 0, 0
T C T C T C
T T
C C
T C
T C T C
x x y y x x
x y
x y
x x
x x y y
− + + + +
+ =
 + =

+ ≤
 ≥ ≥ ≥ ≥

177
b) La modelización queda como sigue:
( )1 2
1 1
2 2
1 1 2 2
Min 2
2 2500
3 2500
1000
s.a
150 200 200 180 180000
800
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;
T T
C C
T C
T C T C
T C
T C T C
y y
x y
x y
x x
x x y y y y
x x y y
x x y y y y y y
+ −
+ −
+ −
+ − + −
+
+ =
 + =

 + ≤

 + + + − + =
 + − + =

 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
3. El departamento de control de calidad de una empresa contabiliza para sus cuatro
trabajadores (T1, T2, T3, T4) sobre cuatro tipos de productos manufacturados
(A,B,C,D), el número medio de defectos por producto que aparece en la tabla que
se muestra a continuación.
A B C D
T1 4 8 9 3
T2 9 1 6 4
T3 7 3 6 8
T4 6 5 7 --
donde el guión “--“ indica que no se inspecciona.
Teniendo en cuenta que cada producto es realizado por un único trabajador y que
todos los productos deben de ser realizados.
a) (5 puntos) Asignar los productos a los trabajadores, si cada trabajador sólo
realiza un único producto de manera que se minimice el número total medio de
defectos.
b) (5 puntos) La crisis ha afectado a la empresa, que ha decidido despedir al
trabajador T4 y manufacturar un producto más, E, siendo el número medio de
defectos para el mismo.

178
E
T1 4
T2 9
T3 7
En las siguientes situaciones ¿a qué tabla aplicaría el Método Húngaro para
hallar las asignaciones óptimas que minimicen el número total medio de
defectos?
i) Cada trabajador debe realizar ahora, al menos un producto y como
mucho dos.
ii) Cada trabajador debe realizar al menos un producto y como mucho dos y
además los trabajadores T1 y T2 deben realizar el mismo número de
productos manufacturados.
Solución:
A B C D
T1 4 8 9 3 ←-3
T2 9 1 6 4 ←-1
T3 7 3 6 8 ←-3
T4 6 5 7 M ←-5
A B C D
T1 1 5 6 0
T2 8 0 5 3
T3 4 0 3 5
T4 1 0 2 M
↑ -1 ↑ -2
Con M positivo suficientemente grande

179
A B C D
T1 0 5 4 0
T2 7 0 3 3 ←-1
T3 3 0 1 5 ←-1
T4 0 0 0 M
↑ +1
A B C D
T1 0 6 4 0
T2 6 0 2 2
T3 2 0 0 4
T4 0 1 0 M
Asignación óptima: T1 → D, T2 → B, T3→ C, T4 → D.
Mínimo número total medio de defectos es16.
b)
i) Aplicaremos el Método Húngaro a la siguiente tabla
A B C D E F
T1 4 8 9 3 3 0
T1 4 8 9 3 3 0
T2 9 1 6 4 9 0
T2 9 1 6 4 9 0
T3 7 3 6 8 7 0
T3 7 3 6 80 7 0

180
ii) Aplicaremos el Método Húngaro a la siguiente tabla
A B C D E F
T1 4 8 9 3 3 M
T1 4 8 9 3 3 M
T2 9 1 6 4 9 M
T2 9 1 6 4 9 M
T3 7 3 6 8 7 0
T3 7 3 6 8 7 0
4.
a) (4 puntos) En la siguiente tabla se presentan el conjunto de actividades en las
que se encuentra dividido un proyecto junto con sus relaciones de precedencia.
Actividades Precedentes Inmediatas
A --
B --
C A, B
D A, B
E D
F B
G F
H E, G
I E
J H, I
K H, I
Construir un grafo asociado al proyecto.
b) (6 puntos) Dado el siguiente grafo, en el cual están representadas las
actividades de un proyecto, con sus duraciones en días:

181
i) Calcular el Comienzo más Temprano de la actividad (3,4). El Final más
Tardío de la (2,3). El Margen de la actividad (3,5) y su Final más
Temprano.
ii) Si la actividad (2,3) se retrasa en t días, contestar razonadamente a las
siguientes preguntas:
1) ¿Cómo debe de ser t para que el Comienzo más Temprano de (3,4)
siga siendo el obtenido en el apartado anterior.
2) ¿Cuál es el Final más Tardío de (3,4) dependiendo de los valores
que puede tomar t?
Solución:
a) El siguiente grafo representa a este proyecto:
I J
F
C
G
K
H
E
DA
B
10
98
7
6
5
4
3
2
1
3
8
2
1
2
3
4
5
1
5
3
4

182
b)
Camino crítico: (1,2,4,5).
i) ( ) ( )3,4 3 5CMT P= =
( ) ( )* 2,3 3 6FMT Q= =
( ) ( ) ( ) ( )3,5 5 3 3,5 3M Q P t= − − =
( ) ( ) ( )3,5 3,5 3,5 9FMT CMT t= + =
ii)
1) ( ) ( ) { }3,4 3 max 3 ,5 5CMT P t= = + = 2t⇔ ≤
2) Dado que el ( )2,3M era 2, si 2t ≤ : ( ) ( )* 3,4 4 9FMT Q= =
Para 2t > , distinguimos dos casos:
Cuando 3t ≥ :
4
3
8
21
5
3
0
1
0
1
2
1
5
3
6
9
4
9
12
5
12
3
8
2+t1
5
3
4
0
1
0
1
2
1
3+t
3
3+t
6+t
4
6+t
9+t
5
9+t

183
en el que ( ) ( )* 3,4 4 6FMT Q t= = +
Cuando 3t < :
en el que ( ) ( )* 3,4 4 9FMT Q= =
3
8
2+t1
5
3
4
0
1
0
1
2
1
3+t
3
6
9
4
9
12
5
12

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