Ejercicios resueltos io 1 parte 2

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL MODELACIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS
Investigación de Operaciones I
1. La empresa BOMBA S.A. fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas:(1) la normal y (2) extra
grande. El proceso asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades: ensamblado,
pintura y pruebas (control de calidad).Los requerimientos de recursos para ensamblaje, pintura y prueba
se muestran en la tabla Nº 01. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es S/.
50, en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es S/.75. existen disponibles por semana 4800
horas de tiempo de ensamblaje, 1980 de tiempo de pintura y 900 horas de tiempo de prueba. Las
experiencias anteriores de venta señalan que la empresa puede esperar vender cuando menos 300
bombas normales y 180 de las extra grande por semana. A la empresa le gustaría determinar la cantidad
de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus utilidades.
TABLA Nº 01
Requerimiento de manufactura (horas)
Tipo
Proceso de Manufactura
(horas/unidad)
Ensamble Pintura Control de Calidad
Normal
Extra grande
3.6
4.8
1.6
1.8
0.6
0.6
Solución:
Tipo
Proceso de Manufactura
(horas/unidad) Ganancia
Ensamble Pintura Prueba
Normal
Extra grande
3.6
4.8
1.6
1.8
0.6
0.6
50
75
Disponible 4800 1980 900
Variables de Decisión.
Xi = Fabricación o producción de bombas del tipo i (i: Normal y Extra grande) a la semana.
Función Objetivo.
Máx. Z = 50X1 + 75X2
Sujeto a:
3.6X1 + 4.8X2 ≤ 4800
1.6X1 + 1.8X2 ≤ 1980
0.6X1 + 0.6X2 ≤ 900
X1 ≥ 300
X2 ≥ 180
X1, X2 ≥ 0
2. La D & M POWER, fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial en compañías de servicios
electrónicos: aisladores de aplicación general, de aplicación especial y de alto voltaje. Cada producto pasa
a través de tres operaciones de producción en la planta de la D & M: horneado, lavado-laminado y
pulimiento. Solo existe disponible una máquina en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de
producción (en unidades por hora) para cada tipo de aislador, y en cada operación se muestran en tabla Nº
02. Los costos de las materias primas asociadas con la fabricación de los aisladores son de S/.5
(aplicación general), S/.6 (aplicación especial) y S/.10 (alto voltaje). Los costos por hora de las respectivas
YONEL 1

operaciones de producción son: S/. 250 (horneado), S/. 200 (lavado y laminado), y S/.100 (pulimiento). Los
precios unitarios de venta son S/. 25.00, S/. 39.75 y S/.67.50 para los tres productores respectivamente. A
la compañía le gustaría asignar el tiempo utilizado en las diferentes operaciones de manera que se
maximicen las utilidades por hora.
TABLA Nº 02
Tasas de producción: D & M POWER
Tipo de Aislador
Proceso de Fabricación
(unidades/hora)
Horneado Lavado y laminado Pulimiento
Aplicación General
Aplicación Especial
Alto Voltaje
50
40
25
40
20
10
25
10
10
Solución:
Xi = Número de aislador del tipo i (i: 1, 2, 3) x hora a producirse.
Tipo de Aislador
A.A. General A. A. Especial A. Alto Voltaje
Precio de Venta 25 39.75 67.50
Costo de Materiales 5 6 10
Costo del Proceso:
Horneado
Lav-Lam
Pulido
Total
250/50 = 5
200/40 = 5
100/25 = 4
14
250/40 = 6.25
200/20 = 10
100/20 = 5
21.25
250/25 = 10
200/10 = 20
100/10 = 10
40
Costo Total 19 27.25 50
Ganancia 6 7.5 17.50
Función Objetivo.
Máx. Z = 6X1 + 7.5X2 + 17.50X3
Sujeto a:
0.02X1 + 0.025X2 + 0.04X3 ≤ 1
0.025X1 + 0.05X2 + 0.10X3 ≤ 1
0.02X1 + 0.10X2 + 0.10X3 ≤ 1
X1, X2, X3 ≥ 0
3. MUEBLES DESK compañía, un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos de muebles de
escritorio: ejecutivos y secretariales. La compañía tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La
planta 1, que es una planta antigua opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2, que es una
planta más nueva y no opera a su capacidad total. Sin embargo, y dado que los administradores planean
operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se han encontrado operadores
para que trabajen en los dos turnos. En esos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por
semana. No se apaga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno, la tabla Nº 03 muestra
el tiempo de producción (en horas por unidad) y los costos estándar (en soles por unidad) en cada planta.
La compañía ha competido con éxito en el pasado asignado un precio de S/. 350 a los escritorios
ejecutivos. Sin embargo, parece que la compañía tendrá que reducir el precio de los escritorios
secretariales a S/. 250 con el objetivo de estar en posición competitiva. La compañía ha estado
experimentando exceso de costos en las últimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores han
YONEL 2

fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal para
la producción total de escritorios ejecutivos es de S/. 2000, en tanto que el presupuesto para los escritorios
secretariales es de S/. 2200. A los administradores les gustaría determinar cuál es el número de cada clase
de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades.
TABLA Nº 03
Tiempo (horas) y costos (soles): Muebles Desk Compañía
Tipos de Escritorio
Tiempos de Producción
(horas/unidad)
Costo Estándar
(soles/unidad)
Planta 1 Planta 2 Planta 1 Planta 2
Escritorios Ejecutivos
Escritorios Secretariales
7.0
4.0
6.0
5.0
250
200
260
180
Solución:
Tipo de Escritorio
Tiempos de Producción
(horas/unidad)
Costo Estándar
($/unidad)
Precio
Venta
($/unidad)
Presupuesto
($/semana)Planta1 Planta 2 Planta 1 Planta 2
Ejecutivo
Secretarial
7
4
6
5
250
200
260
180
350
275
2000
2200
Tiempo Disponible
(hrs/sem)
80 50
Xij = Escritorio del tipo i (i: 1, 2) a fabricarse por semana en la Planta j (j: 1, 2)
i (1: Ejecutivo, 2: Secretarial)
j (1:Planta 1 , 2: Planta 2)
Función Objetivo.
Para la Función Objetivo, es necesario calcular la utilidad para cada uno de los escritorios, en la
siguiente forma:
Planta 1 Planta 2
Ejecutivo 350 - 250 = 100 350 – 260 = 90
Secretarial 275 - 200 = 75 275 – 180 = 95
Máx. Z = 100X11 + 9,000X12 + 7,500X21 + 9,500X22
Sujeto a:
1. Producción.
Planta 1 7X11 + 4X21 ≤ 80
Planta 2 6X12 + 5X22 ≤ 50
2. Presupuesto.
Ejecutivo 250X11 + 260X12 ≤ 2000
Secretarial 200X21 + 180X22 ≤ 2200
3. No negatividad Xij ≥ 0
4. Una industria de muebles requiere de 350 barras de 2x4x20 cm. y de 200 barras de 2x3x20 cm. si dicha
empresa dispone de barras cuyas dimensiones son 7x5x20 cm., cual deber ser el programa que debe
seguir para minimizar desperdicios sabiendo que el máximo debe ser de 140 cm3
.
YONEL 3

Solución:
3 3
2
2
No sirve
3 4
2
2
X3
3 4
2
3
2 2 2
X2
2 2 2
4
No sirve
2 2 2
3
2
3 3
X1
350 2x4x20
200 2x3x20
7x5x20
140cm3
= 7
Xi = Cantidad de barras a obtener de acuerdo a la madera de corte i (i: 1, 2, 3).
X1 X2 X3
2x4x20 0 1 2
2x3x20 5 4 2
Función Objetivo.
Máx. Z = 100X1 + 60X2 + 140X3
Sujeto a:
0X1 + X2 + X3 ≤ 350
5X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 200
Xi ≥ 0 i=1, 2, 3
YONEL 4
20
5
7
2
4
20
2
3
20

5. Un fabricante cuyo negocio es mezclar aguardiente, compra tres grados A, B y C. los combina de acuerdo
a las recetas que especifican los porcentajes máximo y mínimo de los grados A y C en cada mezcla. Estos
porcentajes se dan en la tabla Nº 1.
TABLA Nº 1: ESPECIFICACIONES DE MEZCLAS
Mezcla Especificación Precio por botella
Super Fuerte No más del 60% de A
No menos del 20% de C
S/. 6.80
Fuerte No más del 60% de C
No menos del 15% de A
S/. 5.70
Menos Fuerte No más de 50% de C S/. 450
La provisión de los tres grados de aguardientes básicos, junto con sus costos se presente en la tabla Nº 2.
TABLA Nº 2: DISPONIBILIDAD Y COSTOS DE AGUARDIENTE
Aguardiente Máxima cantidad disponible
botellas por día
Costo por botella
A
B
C
2 000
2 500
1 200
S/. 7.00
S/. 5.00
S/. 4.00
Indique como se obtiene la primera matriz en un modelo de programación lineal de una política de
producción que haga máxima la ganancia.
Solución:
Xij = Cantidad de aguardiente del tipo i (i: A, B, C) utilizada en la mezcla (j: 1, 2)
1: Super fuerte
2: Fuerte
XA1 = Cantidad de aguardiente del tipo A utilizado en el super fuerte
XB1 = Cantidad de aguardiente del tipo B utilizado en el super fuerte
XC1 = Cantidad de aguardiente del tipo C utilizado en el super fuerte
XA2 = Cantidad de aguardiente del tipo A utilizado en el fuerte
XB2 = Cantidad de aguardiente del tipo B utilizado en el fuerte
XC2 = Cantidad de aguardiente del tipo C utilizado en el fuerte
Ganancia = Pv – Costo
Función Objetivo.
Máx. Z = 6.80 (XA1 + XB1 + XC1) + 5.70 (XA2 + XB2 + XC2) – [7 (XA1 + XA2) + 5.0 (XB1 + XB2) + 4.0 (XC1 + XC2)]
Sujeto a:
Disponibilidad
XA1 + XA2 ≤ 2000
XB1 + XB2 ≤ 2500
XC1 + XC2 ≤ 1200
Especificaciones super fuerte
XA1 ≥ 0.60(XA1 + XB1 + XC1)
XC1 ≤ 0.20( XA1 + XB1 + XC1)
YONEL 5

Especificaciones fuerte
XC2 ≤ 0.60(XA2 + XB2 + XC2)
XA1 ≥ 0.15( XA2 + XB2 + XC2)
Xij ≥ 0, i: A, B, C j:1, 2
6. Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta calidad, y el cinturón B es
de Baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón es de S/. 0.40 y S/. 0.30. cada cinturón de tipo A
requiere el doble de tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la
compañía podría fabricar 1000 día, el abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 800 cinturones
diarios (A y B combinados) el cinturón A requiere una hebilla elegante, de las que solamente se dispone
400 diarias. Se tiene únicamente 700 hebillas el día para el cinturón B. establezca las ecuaciones de
programación lineal para el problema.
Solución:
TABLA Nº 1: GANANCIA DE CINTURONES Y DISPONIBILIDAD DE CINTURONES
Tipos de cinturón Ganancia por cinturón Disponibilidad de hebillas
por día
A
B
0.4
0.3
400
700
Variables de decisión:
Xi = Número de cinturones a producirse del tipo i (i = A, B) al día
Función Objetivo:
Max (z) = 0.4XA + 0.3XB
Restricciones sujeto a:
1. Tiempo
tA = 2tB
2. Abastecimiento de cinturones
2XA + XB ≤ 1000
XA + XB ≤ 800
3. Disponibilidad de hebillas
XA ≤ 400
XB ≤ 700
4. No negatividad
Xi ≥ 0
7. METALESA fabrica un tipo especial de molde que debe contener cuando menos 20% de hierro forjado y
5% de plomo. La compañía tiene dos tipos de mineral a partir del cual puede fabricar los moldes. Los
contenidos de hierro forjado y plomo (expresados en porcentaje por tonelada) de minerales son:
HIERRO FORJADO PLOMO
Mineral Nº 1 60% 10%
Mineral Nº 2 13% 3%
El costo por tonelada de mineral Nº 1 es de $260 y del Nº 2 es de $ 80. Formule un modelo de
programación lineal que minimice el costo total de los moldes.
YONEL 6

Solución:
Mineral Nº 1 Variables de decisión:
Xi = Toneladas del mineral i (i = 1, 2) en el molde
Mineral Nº 2
Función Objetivo:
Min (z) = 260X1 + 80X2
Sujeto a:
0.6X1 + 0.13X2 ≥ 0.20 (X1 + X2)
0.10X1 + 0.03X2 ≥ 0.05 (X1 + X2)
Nota: El problema tratado está mal definido.
8. Un fabricante de laminas metálicas recibe un pedido para producir 2000 laminas de tamaño 2' x 4' y 1000
laminas de tamaño 4'x7'. Se dispone de dos láminas estándar de tamaño 10' x 3000' y otra de 11' x 2000'.
El personal del departamento de ingeniería decide que los tres siguientes patrones anteriores de corte son
adecuados para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio. Formule el problema como un modelo de
programación lineal.
Solución:
YONEL 7
2' 7'
4'
2'
Patron Nº 2
Patron Nº 3
4'
2'2'2'2' 2'
72'
4'
Patron Nº 1

Láminas
2’ * 4’ → 2000 10’ * 3000’
4’ * 7’ → 1000 11’ * 2000’
4’ 4’
2’
7’
4’ 4’
2’
2’
7’
Xij = Número de patrones del tipo i (i = 1, 2, 3) utilizados en el rollo j (j = 1, 2)
Función Objetivo:
Min (z) = 4X11 + 0X31 + 0X22 + 4X32
Sujeto a:
1. Láminas 2’ * 4’
YONEL 8
Rollo 1
Rollo 2
1 3
2 3

X11 + 5X31 + 2X22 + 5X32 ≥ 2000
2. Láminas 4’ * 7’
X11 + 0X31 + X22 + 0X32 ≥ 1000
3. Cantidad de patrones
X11 + X31 ≤ 3000/4
X22 + X32 ≤ 2000/4
4. No negatividad
Xij ≥ 0
9. El real hotel opera los 7 días a la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar seis horas diarias.
El contrato colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2 días.
Todas las mucamas reciben el mismo sueldo semanal. El real hotel requiere como mínimo las horas de
servicio.
Lunes 150, Martes 200, Miércoles 400, Jueves 300, Viernes 700, Sábado 800 y Domingo 300. El
administrador desea encontrar un plan de programación de empleos que satisfaga estos requerimientos y a
un costo mínimo.
Formule este problema como un modelo de programación lineal.
Solución:
L Ma Mi J V S D L Ma Mi J V
XL
XMa
XMi
XJ
XV
XS
XD
XL
Xi = Numero de mucamas que inician a trabajar el día i (i: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) por 5 días.
1: Lunes, 2: Martes, 3: Miércoles, 4: Jueves, 5: Viernes, 6: Sábado, 7: Domingo
Función Objetivo.
Min. Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
Sujeto a:
X4 + X5 + X6 + X7 + X1 ≥ 150/6
X5 + X6 + X7 + X1 + X2 ≥ 200/6
X6 + X7 + X1 + X2 + X3 ≥ 400/6
X7 + X1 + X2 + X3 + X4 ≥ 300/6
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 700/6
X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 800/6
YONEL 9

X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 300/6
Xi ≥ 0 i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10. Panificadora Nacional decide (importar) y vender harina de trigo debido a la escasez que existe
actualmente en el mercado nacional. Posee una bodega con capacidad de 50,000 sacos (de 50 Kg. Cada
uno). El primero de octubre tenía un inventario inicial de 10,000 sacos y $ 200,000 disponibles. El precio
estimado de harina de trigo por saco para el último trimestre es el siguiente:
MES PRECIO DE COMPRA ($) PRECIO DE VENTA ($)
Octubre 28 31
Noviembre 30 32
Diciembre 29 30
La harina de trigo se entrega en el mes de compra y no puede ser vendida hasta el mes siguiente.
La compra y venta se hace estrictamente al contado contra entrega.
La Panificadora Nacional Desea tener un inventario final de 20,000 sacos el terminar el trimestre como
precaución a una posible escasez al inicio del próximo año.
El gerente le solicita a usted el programa óptimo de compra y venta para el trimestre.
Solución:
Io = 10000 I1 I2 I3
Io = 200000 D1 D2 D3
Yi = Cantidad de sacos de trigo a vender en el mes i (i: 1, 2, 3)
Xi = Cantidad de sacos de trigo a comprar en el mes i (i: 1, 2, 3)
1: Octubre, 2: Noviembre, 3: Diciembre
Función Objetivo.
Máx. Z = 31Y1 + 32Y2 + 30Y3 - 28X1 - 30X2 - 29X3
Sujeto a:
Inventario
I1 = 10000+X1 - Y1
I2 = I1 + X2 - Y2
20000 ≤ I2 + X3 - Y3
Disponibilidad del dinero
D1 = 200000+31Y1 - 28X1
D2 = D1 + 32Y2 - 30X2
D3 = D2 + 30Y3 - 29X3
Y1 ≤ 10000
Y2 ≤ I1
Y3 ≤ I3
I1 ≤ 50000
I2 ≤ 50000
I3 ≤ 50000
YONEL 10

Xi ≥ 0; i: 1, 2, 3
11. La compañía XYZ produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta S/. 2 por unidad,
mientras que la materia prima para el clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra
en el departamento Nº 1 y tres en el departamento Nº 2, mientras que un tornillo requiere 4 horas en el
departamento Nº 1 y 2 horas en departamento Nº 2, el jornal por hora en ambos departamentos es de S/.2.
Si ambos productos se venden a S/. 18, y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en
los departamentos son de 160 y 180 respectivamente. Expresar el problema propuesto como un programa
lineal, tal que maximice las utilidades.
Solución:
Tipo Departamento Tornillo Clavo Mano de Obra
Departamento Nº 1 4 2 160
Departamento Nº 2 2 3 180
Xi = Numero de i (i: 1, 2) x semana
1: Tornillo, 2: Clavo
Costo de los Tornillos
6x2 + 2 = 14
Utilidad = 18 – 14 = 4
Costo de los Tornillos
5x2 + 2.5 = 12.5
Utilidad = 18 – 12.5 = 5.5
Función Objetivo.
Máx. Z = 4X1 + 5.5X2
Sujeto a:
4X1 + 2X2 ≤ 160
2X1 + 3X2 ≤ 180
X1, X2 ≥ 0
12. A un estudiante de Ingeniería de Industrial se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa
durante 90 minutos. El pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al
estudiante S/. 50, además sabia que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía
menos de 8 vasos de Cerveza, 10 Ginebras, 12 Whiskys y 24 Martinis. El tiempo que empleaba para beber
era 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6 minutos por cada vaso de ginebra, 7 y 4 minutos por cada
vaso de Whisky y Martini.
Los precios de la bebida eran:
Cerveza S/. 1 el vaso, Ginebra S/. 2 el vaso, Whisky S/. 2 el vaso, Martini S/. 4 el vaso.
El estudiante pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico durante los 90 minutos que
tenía que entender a su huésped. Logro que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las
bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de cerveza, Ginebra, Whisky y
Martini, 17, 15, 16 y 7 por vaso respectivamente. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 Whiskys.
¿Cómo resolvió el estudiante el problema?
Solución:
YONEL 11

Xi = Numero de vaso del tipo i (i: 1, 2, 3, 4)
1: Cerveza
2: Ginebra
3: Whisky
4: Martini
Función Objetivo.
Máx. Z = 17X1 + 15X2 + 16X3 + 7X4
Sujeto a:
X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 ≤ 50
X1 ≤ 8
X2 ≤ 10
X3 ≤ 12
15X1 + 6X2 + 7X3 + 4X4 ≤ 9
X1, X2, X3, X4, ≥ 0
13. Nestle Company está desarrollando una nueva barra de mantequilla de cacahuate y chocolate. El dulce
debe tener al menos 5 gramos de proteínas por onza de mezcla pero no más de 5 gramos de
carbohidratos y 3 gramos de grasas saturadas. Desarrolle un programa lineal para determinar la cantidad
de cada ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un costo total mínimo,
basándose en los siguientes datos:
MANTEQUILLA DE
CACAHUATE (por onza)
CHOCOLATE
Proteínas (gr.) 4.0 0.8
Carbohidratos (gr.) 2.5 1.0
Grasas saturadas (gr.) 2.0 0.5
Costo por onza $ 0.10 $ 0.18
Solución:
Xi = Onza de i (i: 1, 2) utilizado en una onza de mezcla
1: Mantequilla de cacahuate
2: Chocolate
Función Objetivo.
Máx. Z = 0.10X1 + 0.18X2
Sujeto a:
4X1 + 0.8X2 ≥ 5
2.5X1 + X2 ≤ 5(X1 + X2)
2.0X1 + 0.5X2 ≤ 3(X1 + X2)
X1, X2 ≥ 0
14. La Ferguson Ingeniería S.A. fabrica válvulas de aguja, válvulas de globo y ensambla un módulo que consta
de un bloque maquinado y dos válvulas de agujas.
YONEL 12

Recientemente ha obtenido un contrato para ensamblar 200 módulos. El contrato estipula que por cada
módulo que deje de entregar la Ferguson tiene que pagar una multa de $ 20.
El mercado para las válvulas, aguja y globo se presenta óptimo ya que la demanda de estos dos productos
es bastante grande.
La ganancia por unidad por cada tipo de producto es como sigue:
Válvula aguja $ 10.00
Válvula globo $ 20.00
Módulo $ 60.00
La Ferguson tiene limitaciones de tiempo tanto en el Departamento de Maquinaria asi como en los
Departamentos de Inspección, Prueba y ensamble.
TIEMPO REQUERIDO EN EL DEPARTAMENTO DE MAQUINARIA
(Minutos por unidad)
MAQUINA VALVULA AGUJA VALVULA GLOBO BLOQUE
MAQUINADO
TIEMPO DISPONIBLE
(minutos/semana)
Torno 10 15 25 25,000
Fresadora 5 5 10 15,000
TIEMPO REQUERIDO (Minutos por unidad)
MAQUINA VALVULA AGUJA VALVULA GLOBO MODULO TIEMPO DISPONIBLE
(minutos/semana)
Inspección 5 5 10 45,000
Ensamblaje - 5 10 45,000
Prueba 5 20 45,000
Solución:
Válvula aguja $ 10.00
Válvula globo $ 20.00
Módulo $ 60.00
Xi = Cantidad de productos del tipo i (i: 1, 2, 3) a fabricarse a la semana.
1: Válvula aguja
2: Válvula globo
3: Módulo
Función Objetivo.
Máx. Z = 10X1 + 20X2 + 60X3
Sujeto a:
10X1 + 15X2 + (25 + 2x10)X3 ≤ 25000
5X1 + 5X2 + 10X3 ≤ 15000
5X1 + 5X2 + 10X3 ≤ 45000
5X2 + 10X3 ≤ 45000
5X2 + 20X3 ≤ 45000
X3 ≥ 300
YONEL 13

X1, X2, X3 ≥ 0
15. Un fabricante de muebles desea determinar cuántas mesas, sillas, escritorios y libreros debe fabricar para
optimizar el uso de los recursos disponibles. En estos productos se utilizar dos tipos de madera diferente y
tiene en existencia 1500 pies del primer tipo y 1000 pies del segundo tipo, para hacer el trabajo total cuenta
con 800 horas hombre.
Su pronóstico de ventas mas sus órdenes pendientes de entrega hacen necesario fabricar no más de 40
mesas, 130 sillas, 30 escritorios y 10 libreros. Cada mesa, silla, escritorio y librero requieren 5, 1, 9 y 12
pies respectivamente del primer tipo de madera, 2, 3, 4 y 1 pies del segundo tipo de madera. Una mesa
requiere 3 horas/hombre para ser fabricada, una silla requiere de 2 horas/hombre, 5 horas/hombre un
escritorio y 10 horas/hombre el librero.
Solución:
Tipo Muebles Madera 1 Madera 2 Horas/Hombre Utilidad
Mesas 5 2 3 12
Sillas 1 3 2 5
Escritorios 9 4 5 15
Libreros 12 1 10 10
Existencia (pies) 1500 1000 800
Xi = Cantidad i (1, 2, 3, 4).
Función Objetivo.
Máx. Z = 12X1 + 5X2 + 15X3 + 10X4
Sujeto a:
5X1 + X2 + 9X3 + 12X4 ≤ 1500
2X1 + 3X2 + 4X3 + X4 ≤ 1000
3X1 + 2X2 + 5X3 + 10X4 ≤ 800
Xi ≥ 0; i: 1, 2, 3, 4
16. PETROPERU comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal. Cada gasolina debe satisfacer
ciertas especificaciones, tales como la presión máxima de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los
requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran en siguiente cuadro:
Especificaciones de manufactura y precio por barril: PETROPERU
Gasolina Octanaje mínimo (%) Presión máxima de vapor
(Kg./cm3
)
Precio venta (barril)
Normal
Extra
80
100
9
6
S/. 21
S/. 24
Se atizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas normal y extra. Las características de las
gasolinas base se muestran en el siguiente cuadro:
Características de la gasolina base: PETROPERU
Gasolina base Octanaje Presión de vapor Disponibilidad máxima Costo por barril
YONEL 14

Tipo 1
Tipo 2
Tipo 3
108
90
73
4
10
5
32,000
20,000
38,000
S/. 22
S/. 20
S/. 19
PETROPERU se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,000 barriles de gasolina regular
por semana. No se tiene compromisos con respecto a la gasolina extra. A la compañía le gustaría
determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolina que maximice las utilidades
Solución:
Consideraciones:
1. Se utilizan tres tipos de gasolina base de las cuales se conoce: el octanaje, presión de vapor,
disponibilidad y costo por barril.
2. Para fabricar dos tipos de gasolina a comercializar y que deben cumplir ciertas especificaciones.
Definición de las variables:
Xij = Numero de barriles de gasolina base tipo i (i: 1, 2, 3) que se utiliza para fabricar gasolina j (j: N, E) por
semana.
Función Objetivo.
Máx. Z = 21(X1N + X2N + X3N) + 24(X1E + X2E + X3E) - [22(X1N + X1E) + 20(X2N + X2E) + 19(X3N + X3E)]
Sujeto a:
Octanaje
Normal: 108X1N + 90X2N +73X3N ≥ 80(X1N + X2N + X3N)
Extra: 108X1E + 90X2E + 73X3E ≥ 100(X1E + X2E + X3E)
Presión de vapor:
Normal: 4 X1N + 10X2N + 5 X3N ≤ 9(X1N + X2N + X3N)
Extra: 4 X1E + 10X2E + 5 X3E ≤ 6(X1E + X2E + X3E)
Disponibilidad de gasolina base:
Tipo1: X1N + X1E ≤ 32 000
Tipo2: X2N + X2E ≤ 20 000
Tipo3: X3N + X3E ≤ 38 000
De demanda de gasolina normal:
X1N + X2N + X3N ≥ 30 000
No negatividad:
Xij ≥ 0; i: Tipo 1, Tipo 2, Tipo 3 j: N, E
17. TAGASAKI S.A. fabrica dos tipos de alimentos balanceados, recibe un pedido especial de 200 TN de una
mezcla de proteínas y carbohidratos, la mezcla debe contener a lo más 40% de proteínas y por lo menos
30%de carbohidratos, el costo de cada TN de proteínas es de S/. 3 de cada TN de carbohidratos es de 8,
determinar la mezcla óptima.
Solución:
Xi = Cantidad de toneladas de i (i: 1, 2) en la semana
YONEL 15

1: Proteínas
2: Carbohidratos
Función Objetivo.
Min. Z = 3X1 + 8X2
Sujeto a:
X1 + X2 = 200
X1 ≤ 0.40 (X1 + X2)
X2 ≤ 0.30 (X1 + X2)
X1, X2 ≥ 0
18. La Confederación Agraria del Centro está formada por tres comunidades. La planeación global se hace en
su oficina de coordinación técnica. En la actualidad se están planeando la producción agrícola para el año
próximo.
La producción agrícola está limitada tanto por la extensión de terreno disponible para irrigación como por la
cantidad de agua quela Comisión de aguas (una oficina del gobierno regional) asigna para irrigarlo. La
siguiente tabla contiene los datos.
Datos de recursos para la Confederación Agraria del Centro
Comunidad Terreno disponible (acres) Asignación de agua (pies-acre)
1 400 600
2 600 800
3 300 375
El tipo de cosecha apropiada para la región incluye remolacha, algodón y sorgo, y estas son precisamente
las tres que se están estudiando para la estación venidera.
Las cosechas difieren primordialmente en su rendimiento neto esperado por acre y en su consumo de
agua. Además, el Ministerio de Agricultura ha establecido una cantidad máxima de acres que la
Confederación puede dedicar a estas cosechas. En la siguiente tabla se muestran esas cantidades.
Datos de cosechas para la Confederación Agraria del Centro
Cosecha Cantidad Máxima
(acres)
Consumo de agua
(pies- acres/acre)
Rendimiento neto
(soles/acre)
Remolacha 600 3 1000
Algodón 500 2 750
Sorgo 325 1 250
Debido a la disponibilidad limitada de agua para irrigación, la Confederación no podrá usar todo el terreno
irrigable para las cosechas de la próxima temporada. Para asegurar la equidad entre las comunidades, han
acordado que cada comunidad sembrara la misma proporción de sus tierras irrigables disponibles. Por
ejemplo, si la comunidad 1 siembra 200 de sus 400 acres disponibles, entonces la comunidad 2 debe
sembrar 300 de sus 600 acres, mientras que la comunidad 3 sembraría 150 acres de los 300 que tiene.
Cualquier combinación de estas cosechas se puede sembrar en cualquiera de las comunidades. El trabajo
que se enfrenta la oficina de coordinación técnica consiste en planear cuántos acres deben asignarse a
cada tipo de cosecha en cada comunidad, cumpliendo con las restricciones dadas. El objetivo es
maximizar el rendimiento neto total para la Confederación del Centro.
Solución:
Definición de variables:
YONEL 16

Xij = cantidad (acres) de cosecha i (1, 2, 3) en la comunidad j (1, 2 , 3)
i (1: Remolacha, 2: Algodón, 3: Sorgo)
j (1: comunidad 1, 2: comunidad 2, 3: comunidad 3)
Función Objetivo: Max. Z = 1000 (X11 + X12 + X13) + 750 (X21 + X22 + X23) + 250 (X31 + X32 + X33)
Sujeto a:
Terreno disponible:
X11 + X21 + X31 ≤ 400
X12 + X22 + X32 ≤ 600
X13 + X23 + X33 ≤ 300
Cantidad máxima en la cosecha:
X12 + X12 + X13 ≤ 600
X21 + X22 + X23 ≤ 500
X31 + X32 + X33 ≤ 325
Consumo de agua:
3X11 + 2X21 + X31 ≤ 600
3X12 + 2X22 + X32 ≤ 800
3X13 + 2X23 + X33 ≤ 375
Condición:
(X11 + X21 + X31)/400 = (X12 + X22 + X32)/600
(X11 + X21 + X31)/400 = (X13 + X23 + X33)/300
No negatividad:
Xij ≥ 0
19. La NORI & LEET CO., una de las mayores productoras de acero del mundo occidental, está localizada en
la ciudad de Steeltown y es la única empresa grande de la localidad. Steeltown ha crecido y prosperado
junto con la compañía, que de momento emplea a cerca de 50.000 residentes. La actitud de los residentes
ha sido siempre favorable a la compañía; sin embargo, esta actitud está cambiando, ya que la
contaminación no controlada del aire debida a los altos hornos de la planta está en camino de arruinar la
apariencia de la ciudad y de poner en peligro la salud de sus habitantes.
Como resultado, después de una revuelta de los accionistas se eligió un nuevo consejo directivo más
responsable. Los nuevos directores han decidido seguir políticas de responsabilidad social y realizar
consultas con las autoridades de la ciudad y con grupos de ciudadanos para tomar medidas respecto a la
contaminación ambiental. Juntos han establecido estándares rigurosos de calidad del aire para la ciudad
de Steeltown.
Los tres tipos principales de contaminantes son partículas de materia, óxidos de azufre e hidrocarburos.
Los nuevos estándares requieren que la compañía reduzca su emisión anual de estos contaminantes en
las siguientes cantidades presentadas en la tabla Nº I.
El consejo directivo ha dado instrucciones a la gerencia para que el personal de ingeniera determine como
lograr estas reducciones en la forma más económica.
La fabricación de acero tiene 2 fuentes principales de contaminación, los altos hornos para fabricar el
arrabio y los hornos de hogar abierto para transformar el hierro en acero. En ambos casos, los ingenieros
determinaron que los métodos de abatimiento más efectivos son: 1) aumentar la altura de las chimeneas,
2) usar filtros (incluyendo trampas de gas) en las chimeneas y 3) incluir limpiadores de alto grado en los
combustibles de los hornos. Todos estos métodos tienen limitaciones tecnológicas en cuanto al nivel en
que pueden usarse (por ejemplo, un incremento factible máximo en la altura de las chimeneas), pero
también existe una gran flexibilidad para usar el método en cualquier nivel fraccionario de su límite
tecnológico.
YONEL 17

Tabla Nº I Estándares de aire limpio para Nori & Leets Co.
Contaminantes Reducción requerida en la tasa de emisión anual
(millones de libras)
Partículas 60
Óxidos de azufre 150
Hidrocarburos 125
La tabla II se muestra la cantidad de emisión (en millones de libras anuales) que se puede eliminar de cada
tipo de horno usando el método de abatimiento al máximo límite tecnológico. Para fines de análisis, se
supone que cada método se puede usar a un nivel menor para lograr cualquier fracción en las reducciones
de las tasas de emisión mostradas en la tabla. Además, para cualquiera de los hornos, el uso simultáneo
de otro método no afecta de manera significativa la reducción de emisiones que alcanza cada uno de ellos.
Tabla Nº II Reducción en la tasa de emisión (millones de libras por año) con el uso máximo factible
del método de abatimiento para Nori & Leets Co.
Contamínate Chimeneas más altas Filtros Mejores combustibles
Altos
Hornos
Hornos de
Hogar abierto
Altos
Hornos
Hornos de
Hogar abierto
Altos
Hornos
Hornos de
Hogar abierto
Partículas 12 9 25 20 17 13
Óxidos de azufre 35 42 18 31 56 49
Hidrocarburos 37 53 28 24 19 20
Después de obtener estos datos, quedó claro que ningún método por si solo podría lograr las reducciones
requeridas. Por otro lado, la combinación de los tres métodos a toda su capacidad (lo que sería demasiado
caro si se quiere que los productos sigan siendo competitivos en precio) resulta mucho mayor de lo que se
pide. Por todo esto, la conclusión de los ingenieros fue que tendrían que usar alguna combinación de
métodos, tal vez con capacidades fraccionarias, con base en sus costos relativos. Lo que es más, debido a
las diferencias los altos hornos y los hornos de hogar abierto, es probable que la combinación sea diferente
para cada tipo de horno.
Se llevó a cabo análisis para estimar el costo total anual de cada método de abatimiento. El coste total
anual de un método incluye el aumento en los gastos de operación y mantenimiento, al igual que la
reducción en los ingresos debida a cualquier pérdida de eficiencia en el proceso de producción que pudiera
resultar por el uso del correspondiente método. El otro coste importante que se debe tener en cuenta es el
capital inicial requerido para instalar el método. Para hacer que este coste único fuera conmensurable con
los costes anuales, se usó el valor del dinero en el tiempo para calcular el gasto anual (sobre el tiempo
esperado de vida del método) que será equivalente a este coste fijo inicial.
El análisis proporcionó estimaciones de los costos anuales totales (en millones de dólares) dados en la
tabla Nº III, en que se incurren al usar los métodos a toda su capacidad de abatimiento. También se
determinó que el costo de un método que se utiliza a un nivel menor es esencialmente proporcional a la
capacidad fraccional de la capacidad de abatimiento dada en la tabla Nº II que se logra. Entonces, para
cualquier fracción lograda, el costo anual seria en esencia la fracción de la cantidad correspondiente en la
tabla Nº III.
En este momento, todo está listo para desarrollar el marco general del plan de la compañía para disminuir.
Solución:
Definición de variables de decisión:
Xij = fracción por año del método i (1, 2, 3) utilizado en el tipo de horno j (1, 2)
i (1: Partículas, 2: Óxidos de Azufre, 3: Hidrocarburos)
j (1: Altos hornos, 2: Hornos de hogar abierto)
YONEL 18

Función Objetivo: Min. Z = 8X11 + 10X12 + 7X21 + 6X22 + 11X31 + 9X32
Sujeto a:
12X11 + 9X12 + 25X21 + 20X22 + 17X31 + 13X32 ≥ 60
35X11 + 42X12 + 18X21 + 31X22 + 56X31 +49X32 ≥ 150
37X11 + 53X12 + 28X21 + 24X22 + 19X31 + 20X32 ≥ 125
X11 + X12 + X21 + X22 + X31 + X32 ≤ 1
Xij ≥ 0
20. La Dumont Company, fabricante de equipos de pruebas, tiene tres departamentos principales para la
manufactura de sus modelos S-000 y S-2000. Las capacidades mensuales son las siguientes:
Requerimientos Unitarios de Tiempo (Horas) Horas disponibles en
el presenteModelo S-1000 Modelo S-2000
Dpto. de estructura principal 4.0 2.0 1,600
Dpto. de alambrado eléctrico 2.5 1.0 1,200
Dpto. de ensamble 4.5 1.5 1,600
La contribución del modelo S-1000 es de S/.40 por unidad y del modelo S-2000 es de S/.10 por unidad.
Suponiendo que la compañía puede vender cualquier cantidad de esos productos, debido a condiciones
favorables de mercado, determínese la salida óptima para cada modelo, la contribución mas alta posible
para el presente mes, y el tiempo sobrante en los tres departamentos.
Solución:
Xi = unidades por mes del modelo i (1, 2)
i (1: Modelo S-1000, 2: Modelo S-2000)
Función Objetivo:
Max. Z = 40X1 + 10X2
Sujeto a:
Horas disponibles al mes para el Dpto. de Estructura Principal
4X1 + 2X2 ≤ 1600
Horas disponibles al mes para el Dpto. de Alambrado Eléctrico
2.5X1 + X2 ≤ 1200
Horas disponibles al mes para el Dpto. de Ensamble
4.5X1 + 1.5X2 ≤ 1600
No negatividad
Xi ≥ 0
21. Una empresa siderúrgica produce tres tiposde rollos, cada uno hecho de diferente aleación. La grafica de
procesos se ve en la figura mostrad. El problema consiste en determinar las cantidades de cada aleación
que debe producirse, dentro de las limitaciones del volumen de vents y de las capacidades de las
maquinas, para hacer máxima las ganancias.
Los datos sobre capacidades y ganancias se presentan en las siguientes tablas:
TABLA Nº 01
Máquina Nº de Máquinas Turno de 8 horas por semana Tiempo ociosos %
Caja de recocido 4 21 5
YONEL 19

Recocido continuo 1 20 10
Molinos continuos 1 12 0
TABLA Nº 02
Aleación Operación Velocidad de
máquina
Potencial de
ventas
Ganancia por
tonelada
1
2
3
Caja de recocido
Molinos continuos (1)
Recocido continuo
Molinos continuos (2)
Caja de recocido
Recocido continuo
Molinos continuos
Recocido Continuo
Molinos continuos
28 Hrs/10 Tons
50’ por min.
20’ por min.
25’ por min.
35Hrs/10 Tons
20’ por min.
25’ por min
16’ por min.
20’ por min
1250 Tons por mes
250 Tons por mes
1500 Tons por mes
S/. 25
S/. 35
S/. 40
Los rollos de cada aleación son de 400 pies de largo y pesan 4 toneladas. Establezca la función obejtivo y
las restricciones, de las cuales pueda obtenerse una solución a través del método simplex del problema del
fabricante
22. Un fabricante puede producir en una planta dada; acondicionadores de aire o refrigeradores. Los
componentes principales de cada uno de estos artículos son la unidad mecánica y el gabinete. En cada
uno de los casos estos componentes se hacen en los mismos departamentos, y estos tienen capacidades
limitadas. Sin embargo los acondicionadores de aire y los refrigeradores se ensamblan en departamentos
separados. Las capacidades de los varios departamentos para un periodo de trabajo dado se muestran en
la siguiente tabla:
CAPACIDADES DE LOS DEPARTAMENTOS PARA LA FABRICACION Y ENSAMBLE DE
COMPONENTES DE ACONDICIONADORES DE AIRE Y DE REFRIGERADORES
DEPARTAMENTO ACONDICIONADORES REFRIGERADORES
Unidades mecánicas 125 100
Gabinetes 200 50
Ensamble 150 120
La utilidad incremental obtenida en la venta de cada acondicionador de aire es de $50 y de cada
refrigerador es de $75. ¿Qué combinación de acondicionadores de aire y de refrigeradores se debe
programar, de acuerdo a las instalaciones disponibles, a fin de maximiza las utilidades?
Solución:
Xi = Numero de unidades del tipo i (i: A, R) a fabricarse.
A: Acondicionadores, R: Refrigeradores
YONEL 20
Unidades
Mecánicas
Gabinetes
Ensamblaje
Ensamble
X1
=cantidad de acondicionadores
X2
=cantidad de refrigeradores
X1
/2
X1
/2
X2
/2
X2
/2
X1
/2
X2
/2
X2
/2
X1
/2

Función Objetivo: Max. Z = 50X1 + 75X2
Sujeto a:
1 2
1 2
1
2
1 2
X X
1
125 100
X X
1
200 50
X 150
X 120
X , X 0
+ ≤
+ ≤
≤
≤
≥
23. Bata Manufacturing Company fabrica tres productores: A, B y C. los analistas financieros de la compañía
han informado a los administradores que se deben recuperar S/.2,000 de costos fijos asociados con
inversiones de capital y gastos generales para que la compañía alcance el punto de equilibrio. Los
administradores de Bata desearían determinar la cantidad de cada uno de los productores que se deben
fabricar para que, cuando la empresa llegue al punto de equilibrio, la suma de los costos variables de
producción sea mínima. Los precios de los tres productores son S/. 12.00, S/. 10.00 y S/.6.00,
respectivamente. Los costos variables asociados con los productores son S/.10.00, S/.8.50 y S/.5.00. Los
pedidos atrasados que se tie3nen para los tres productores son: A=300 unidades, B=250 unidades y
C=1000 unidades. Deben atenderse todos los pedidos atrasados antes de atender pedidos nuevos.
Formule como un problema de programación lineal.
Solución:
Productos A (S/ ) B (S/ ) C (S/ )
Precios 12 10 6
Costos Variable 10 8.5 5
Pedidos Atrasados 300 250 1000
Xi = Numero de productos del tipo i (i: 1, 2, 3) que deben fabricarse durante el mes.
A= 1; B= 2; C=3
Función Objetivo.
Máx. Z = 10X1 + 8.5X2 + 5X3
YONEL 21

Sujeto a:
(12 - 10) X1 + (10 - 8.5) X2 + (6 - 5) X3 ≥ 2000
X1 ≥ 300
X2 ≥ 250
X3 ≥ 1000
Xi ≥ 0; i: A, B, C
YONEL 22

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