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Ejercicio resuelto: Ecuaciones trigonométricas
El resumen resume el proceso de resolución de una ecuación trigonométrica. Primero se multiplica toda la ecuación por el denominador común para eliminar fracciones. Luego se aplican identidades trigonométricas y se factoriza para simplificar la ecuación. Esto resulta en una ecuación que puede ser despejada para encontrar que la única solución es sen(x)=1/2, lo que implica que x=π/6 o 5π/6 más cualquier múltiplo de 2π.
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- 1. HKV TEX VictorSolano Mora 1 Tema: Ecuaciones trigonométricas Obtener el conjunto solución de sen x 1 + cos x + cot x = 2 Solución: Primero se multiplica toda la ecuación por el denominador de la primer fracción, es decir, multiplicar por 1 + cos x, entonces se tiene: sen x + cot x (1 + cos x) = 2(1 + cos x) Desarrollando los paréntesis se obtiene: sen x + cot x + cot x cos x = 2 + 2 cos x Por la identidad trigonométrica cot x = cos x sen x se puede reescribir como: sen x + cos x sen x + cos x sen x cos x = 2 + 2 cos x Ahora multiplicando por sen x toda la ecuación y desarrollando los productos se tiene: sen2 x + cos x + cos2 x = 2 sen x + 2 cos x sen x Por identidad pitagórica sen2 x + cos2 x = 1 y factorizando 2 sen xse tiene: 1 + cos x = 2 sen x(1 + cos x) Dividiendo por 1 + cos x en la ecuación se obtiene: 1 = 2 sen x Despejando sen x se simplifica en: sen x = 1 2 Aplicando las soluciones en el intervalo [0, 2[, la ecuación solo tiene solución si x = 6 , x = 5 6 Ampliando el conjunto de solución a todos los reales, es decir, añadiendo el periodo 2 a cada solución, se tiene: S = ›x R~x = 6 + 2k - x = 5 6 + 2k, con k Z