Exposición Tratamiento de las Ec. Dif. Parciales, Implicitas, Crank Nicholson

DUBAN CASTRO FLOREZ HERNAN FULA BOHORQUEZ DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ ELIANA CATHERINE GOMEZ PINTO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA INGENIERIA DE PETROLEOS 2010

2.3. MÉTODO IMPLICITO 2.2. MÉTODO EXPLICITO 2.1. DERIVADAS POR DIFERENCIAS FINITAS 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIIALES 1. INTRODUCCIÓN BIBLIOGRAFIA 2.3. MÉTODO CRANK-NICHOLSON

En este trabajo se presentarán algunas de las técnicas numéricas para aproximar la solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) lineales de segundo orden y con dos variables independientes. Para esto se parte de la modelación de fenómenos físicos como la conducción de calor en una barra aislada.

Dado que las Ecuaciones Diferenciales Parciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde se involucran una función de más de una variable independiente y sus derivadas parciales. De ahí su importancia, pues prácticamente en todos los fenómenos que se estudian en ingeniería y otras ciencias, aparecen más de dos variables, y su modelación matemática conduce frecuentemente a EDP.

DERIVADAS POR DIFERENCIAS FINITAS  Proceso de discretización: El conjunto infinito de números que representan la función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado por un número finito de parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación Entre las diferentes formas de discretización posibles (elementos finitos, volúmenes finitos, etc.), una de las más simples es mediante el Método de Diferencias Finitas.

DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA En una solución por este método, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente solucionable por medios comunes (especialmente matriciales). VALOR EN LA FRONTERA Consideremos el problema de encontrar la función  (x) que satisface la ecuación diferencial: Sujeta a las condiciones de frontera

Las ecuaciones anteriores son utilizadas para la descripción analítica de muchos procesos físicos, por ejemplo: Conducción de calor a través de una pared plana (TQ en 1-D) Flujo en canales y tuberías Deflexión transversal de cables Deformación axial de barras (ver Figura). Entre otros DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA

En la primera condición de frontera, aplicada en x = 0, el valor de la función  (x) se especifica como  0 , tal como se muestra en la siguiente ecuación: =  0 en x = x 0 Una condición de frontera de este tipo se denomina condición de frontera Dirichlet . En la segunda condición, aplicable a la condición remanente de la frontera x = L, el valor de la función corresponde a la ecuación: Este tipo de condición de frontera se denomina condición de frontera Neumann . DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA

APROXIMACIÓN DE DERIVADAS MEDIANTE DIFERENCIAS FINITAS Forma alternativa para obtener aproximaciones de diferencia. Permite deducir: Fórmulas de diferencia sistemáticamente Términos de error de truncamiento. Se pueden obtener las aproximaciones de diferencia hacia atrás, centrada y hacia adelante. La serie de Taylor para una función f evaluada en X i+1 es: Truncando en el término de la primera derivada y realizando los cambios pertinentes se obtiene: DIFERENCIAS FINITAS EN 1-D

A través de los métodos explícitos se calculan los valores en cada nodo para un tiempo posterior, basándose en los valores presentes del nodo y sus vecinos. •Convergencia: Conforme a tienden a cero, los resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximarán a la solución verdadera. •Estabilidad: Los errores en cualquier etapa del cálculo no se amplifican, sino que se atenúan conforme avanza el cálculo. “El método es convergente y estable si ≤1/2 o” Se tendrá un valor óptimo ≤1/6 al minimizar los errores de truncamiento Método Explícito

Resolver el siguiente ejercicio con las condiciones iniciales y de frontera que se dan a continuación: Método Explícito

t x a b 0 0,25 0,50 1,00 0,75 Método Explícito

Tiempo(h) x 0 0,25 0,5 0,75 1 0 60 20 20 20 60 0,01 100 26,4 20 26,4 100 0,02 100 37,152 22,048 37,152 100 0,03 100 44,791 26,881 44,791 100 0,04 100 50,759 32,612 50,759 100 0,05 100 55,734 38,419 55,734 100 0,06 100 60,046 43,96 60,046 100 0,07 100 63,865 49,108 63,865 100 0,08 100 67,285 53,83 67,285 100 0,09 100 70,367 58,136 70,367 100 0,1 100 73,151 62,05 73,151 100 0,2 100 89,968 85,812 89,968 100 0,4 100 98,599 98,018 98,599 100 0,6 100 99,804 99,723 99,804 100 0,8 100 99,973 99,961 99,973 100 1 100 99,996 99,995 99,996 100

Aunque utilizan algoritmos más complicados que los métodos explícitos, mejoran los problemas de estabilidad y no excluyen información de importancia para la solución. La derivada espacial se aproxima en un nivel de tiempo posterior. Método Implícito

Para el ejemplo de la barra visto anteriormente, la segunda derivada se aproxima mediante: Tiene una exactitud de segundo orden. Cuando esta ecuación se reemplaza en la EDP original, resulta una ecuación con varias incógnitas que no puede resolverse como en el método explícito. Método Implícito

El sistema debe resolverse simultáneamente pues con las condiciones de frontera, las formulaciones implícitas dan como resultado un conjunto de m ecuaciones lineales algebraicas con el mismo número de incógnitas. Así, el problema se reduce a la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas en cada punto en el tiempo. que se puede expresar como: Donde: Esta ecuación se aplica a todos los nodos interiores, excepto al primero y al último de los nodos, los cuales deben modificarse para considerar las condiciones de frontera. Método Implícito

Para el extremo izquierdo de la barra (i=0): Donde es una función que describe cómo cambia la temperatura con el tiempo de la frontera. Sustituyendo en la ecuación de diferencias, se obtiene la ecuación para el primer nodo interior: Método Implícito

De manera similar se obtiene la ecuación para el último nodo interior ( i =m): Donde describe los cambios específicos de temperatura en el extremo derecho de la barra. ( i =m+1) Cuando se escriben las ecuaciones de diferencias para todos los nodos, se obtiene el sistema de ecuaciones a resolver. El método tiene la ventaja de que el sistema es tridiagonal. Método Implícito

Aunque este método es estable y convergente, presenta una deficiencia: la aproximación en diferencias temporal tiene una exactitud de primer orden; y la aproximación en diferencias espacial tiene una exactitud de segundo orden. Además, hay un límite de exactitud para el uso de pasos de tiempo grandes. El método de Richardson tiene una exactitud de segundo orden para el espacio y para el tiempo, pero presenta serios problemas de estabilidad. El método conocido como Crank- Nicholson o frece un esquema implícito que tiene una exactitud de segundo orden para el espacio y para el tiempo y es incondicionamente estable. Método Implícito

Resuelva: Condiciones Iniciales: Condiciones de Frontera 1: Condiciones de Frontera 2: Método Implícito

Solucion: Se construye la malla con n=4 y m=100, con lo que a=0,25 y b=0,01. Si (i,j)=(1,1), entonces: La temperatura en los nodos (0,1) y (1,0) está dada por las condiciones frontera e inicial, respectivamente, pero se desconoce la temperatura en los nodos (1,1) y (2,1). Entonces se tiene una ecuación con dos incógnitas que rearreglada queda: Método Implícito

El procedimiento se repite en el nodo (2,1) y la ecuación diferencial parcial queda aproximada por: En esta ecuación hay tres incógnitas , y ; así pues, al rearreglarla queda Análogamente para el nodo (3,1), la ecuación diferencial parcial (EDP) queda aproximada por: En esta ecuación sólo hay dos incógnitas, que son y : así pues, al rearreglarla resulta: Método Implícito

Se tiene un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en las incógnitas , , que son precisamente las temperaturas que se quieren conocer. Esto es: Con la sustitución de valores: Y resolviendo la matriz: Método Implícito

Ahora, mediante los mismos procedimientos que los descritos, se procede: Al sustituir los valores conocidos: Y al resolver, se tiene: Que son las temperaturas correspondientes a t=0.02 h y a x=0.25, x=0.5, y x=0.75 pies, respectivamente. Método Implícito

Al aproximar la EDP por diferencias divididas en la fila j+1, se obtiene el siguiente sistema: Hay que observar que en todos los casos por resolver, se tiene la misma matriz coeficiente, que es tridiagonal y simétrica. Todo el sistema se soluciona estableciendo y resolviendo secuencialmente los sistemas de tres ecuaciones simultaneas para cada fila a partir de la segunda. Método Implícito

t(horas) x (pies) 0 0,25 0,5 0,75 1 0 60 20 20 20 60 0,01 100 29,99 22,43 29,99 100 0,02 100 38,02 26,2 38,02 100 0,03 100 44,64 30,67 44,64 100 0,04 100 50,23 35,41 50,23 100 0,05 100 55,04 40,17 55,04 100 0,06 100 59,25 44,8 59,25 100 0,07 100 62,97 49,2 62,97 100 0,08 100 66,29 53,35 66,29 100 0,09 100 69,28 57,21 69,28 100 0,1 100 71,97 60,79 71,97 100 : : : : : : 0,2 100 88,62 83,91 88,62 100 0,4 100 98,1 97,32 98,1 100 0,6 100 99,68 99,55 99,68 100 0,8 100 99,95 99,93 99,95 100 1 100 99,99 99,99 99,99 100

Se desarrollan aproximaciones por diferencias en el punto medio del incremento del tiempo. Así, la primera derivada temporal, para el caso de la barra, se aproxima en t l+1/2 por: Método de Crank - Nicholson

La segunda derivada en el espacio puede determinarse en el punto medio promediando las aproximaciones por diferencias al principio (tl) y al final (tl+1) del incremento del tiempo: Método de Crank - Nicholson

Sustituyendo y reagrupando: Se determinan las condiciones de frontera para obtener versiones de la ecuación de diferencias para los nodos interiores primero y último. Para el primer nodo: Para el último nodo: Método de Crank - Nicholson

Dada una función u que depende tanto de x como de y, la derivada parcial de u con respecto a x en un punto (x,y) esta definida como: De manera similar la derivada parcial con respecto a y esta definida como: Método de Crank - Nicholson

Se dice que una EDP es lineal en la función desconocida y en todas sus derivadas con coeficientes que dependen solo de las variables independientes. Por ejemplo: Para ecuaciones diferenciales de 2 orden con dos variables independientes se tiene: Método de Crank - Nicholson

Donde A,B y C son funciones de “x” y “y” y D es una función de: Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la segunda derivada de la segunda derivada(A, B y C), la ecuación puede clasificarse en tres categorías como la muestra la siguiente tabla: Método de Crank - Nicholson

Este método es uno de los mas importantes por su estabilidad y alto orden de convergencia. 0,2 0,1 0,0 1,2 1,1 1,0 2,2 2,1 2,0 3,2 3,1 3,0 4,2 4,1 4,0 t X Fig. 1 Nodos usados en el Método de Crank-Nicholson Método de Crank - Nicholson

Al aproximar en el nodo con diferencias hacia adelante y de con diferencias centrales, se obtiene: Método de Crank - Nicholson

Al aproximar en el nodo con diferencias hacia atrás y a con diferencias centrales, se obtiene: Método de Crank - Nicholson

Método de Crank - Nicholson ALGORITMO DE CRANK-NICHOLSON

Vamos a aplicar los nodos (1,0) y (1,1) , es decir: 0,2 0,1 0,0 1,2 1,1 1,0 2,2 2,1 2,0 3,2 3,1 3,0 4,2 4,1 4,0 t X Método de Crank - Nicholson

Las ecuaciones anteriores forman un sistema cuya solucion es la temperatura T en los nodos (1,1) (2,1) y (3,1) 0,2 0,1 0,0 1,2 1,1 1,0 2,2 2,1 2,0 3,2 3,1 3,0 4,2 4,1 4,0 t X Método de Crank - Nicholson

Método de Crank - Nicholson Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, con las condiciones de frontera, se realiza el mismo procedimiento, pero aplicado en los nodos (1,1), (1,2); (2,1), (2,2) y (3,1), (3,2).

EJEMPLO CATEGORIA <0 0 >0 ELIPTICA PARABOLICA HIPERBOLICA ECUACION DE LAPLACE ECUACION DE CONDUCCION DE CALOR ECUACION DE ONDA Método de Crank - Nicholson

COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS Explícito Implícito Crank-Nicolson Solución directa Sistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones Condicionalmente estable Incondicionalmente estable Incondicionalmente estable Segundo orden en espacio O(∆x 2 ) y primer orden en tiempo O(∆t) Segundo orden en espacio O(∆x 2 ) y primer orden en tiempo O(∆t) Segundo orden en espacio y en tiempo O(∆x 2 +∆t 2 )

[1] Douglas Wilhelm Harder, M.Math. Numerical Methods and Analysis for Engineers. University of Waterloo. Department of Electrical and Computer Engineering. http://www.ece.uwaterloo.ca/~ece204/TheBook/ [2] Chapra and Canale. Métodos numéricos para ingenieros. 4ª ed. Mc Graw Hill,2002 [3] Jeffery Cooper . Mathematics Department. The University of Maryland. http://www.math.umd.edu/~jec/ [4] Scientific Educational Matlab Database. Universidad de Stutgart. http://matlabdb.mathematik.uni-stuttgart.de/index.jsp BIBLIOGRAFIA

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