Fisica Centro Pre-Universitario UNMSM Ccesa007.pdf

Semana 01
Teoría ............................... 004
Ejercicios
2020-1 ............................... 010
2019-2 ............................... 019
2019-1 ............................... 026
2018-2 ............................... 034
Semana 02
Teoría ............................... 048
Ejercicios
2020-1 ............................... 054
2019-2 ............................... 062
2019-1 ............................... 070
2018-2 ............................... 079
Semana 03
Teoría ............................... 090
Ejercicios
2020-1 ............................... 094
2019-2 ............................... 103
2019-1 ............................... 112
2018-2 ............................... 120
Semana 04
Teoría ............................... 129
Ejercicios
2020-1 ............................... 137
2019-2 ............................... 146
2019-1 ............................... 157
2018-2 ............................... 164
Semana 05
Teoría ............................... 174
Ejercicios
2020-1 ............................... 177
2019-2 ............................... 185
2019-1 ............................... 194
2018-2 ............................... 204
Semana 06
Teoría ............................... 214
Ejercicios
2020-1 ............................... 218
2019-2 ............................... 230
2019-1 ............................... 241
2018-2 ............................... 253
Semana 07
Teoría ............................... 268
Ejercicios
2020-1 ............................... 276
2019-2 ............................... 284
2019-1 ............................... 294
2018-2 ............................... 306
Semana 08
Teoría ............................... 315
Ejercicios
2020-1 ............................... 322
2019-2 ............................... 331
2019-1 ............................... 338
2018-2 ............................... 347
Semana 09
Teoría ............................... 358
Ejercicios
2020-1 ............................... 365
2019-2 ............................... 373
2019-1 ............................... 382
2018-2 ............................... 390
Semana 10
Teoría ............................... 399
Ejercicios
2020-1 ............................... 407
2019-2 ............................... 416
2019-1 ............................... 425
2018-2 ............................... 432
INDICE

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2020-I
Semana Nº 1 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 107
(*) OBSERVACIÓN:
Una cantidad física se considera fundamental cuando se define, de modo independiente, a
partir de una propiedad física considerada universal. Por el contrario, se llama cantidad
física derivada cuando se define en términos de una o más cantidades físicas
fundamentales.
2. Análisis dimensional
Es el procedimiento que permite comprobar si una ecuación de la Física es
dimensionalmente homogénea.
2.1. Ecuación dimensional
Es el resultado de examinar la homogeneidad de una ecuación. Indica las dimensiones
fundamentales de un sistema de unidades. Es de la forma:
  
c
b
a
T
M
L
X 
 
X : se lee dimensión de X
a, b, c, ...: números enteros o fracciones de enteros
2.2. Propiedades básicas
 
número real 1
 ,     
xy x y
 ,
 
 
y
x
y
x







   
cx x ,
 (c: número real),  n
n
x x
  
 
2.3. Principio de homogeneidad dimensional
Establece una condición para que una ecuación sea dimensionalmente homogénea:
Todos los términos de una ecuación de la Física tienen la misma dimensión.
Por ejemplo, considérese la ecuación de la Física:
0
v v at
 
donde v0, v: velocidades, a: aceleración y t: tiempo. Entonces el principio de homogeneidad
exige que:
     
0
v v at
 
Esto también implica que las unidades de los términos de la ecuación sean homogéneas.
5

5. Adición de vectores por métodos geométricos
5.1. Regla del triángulo
A B C 0
  
5.2. Regla del polígono
A B C D E 0
    
5.3. Regla del paralelogramo
7

2 2
R A B R A B 2ABcos
      
(*) OBSERVACIÓN:
2 2
A B A B 2ABcos
     (Ley del coseno)
6. Conceptos adicionales
6.1. Diferencia de vectores
6.2. Traslación de vectores
Los vectores graficados se pueden trasladar a cualquier lugar, siempre que se conserven
sus tres elementos: magnitud, dirección y sentido. En caso contrario, el vector que se
traslada ya no es el mismo y por consiguiente, la operación no es válida.
6.3. Igualdad de vectores
B
A



6.4. Vectores opuestos
A B 0
 
B A
 
8

6.5. Vectores paralelos
A B
  ( : número real)
(*) OBSERVACIONES:
1°) Si 1

 , los vectores son iguales, y si 1


 , los vectores son opuestos.
2º)Si A y B son vectores paralelos en el mismo sentido:  = 0.
máx
A B R A B
   
3º)Si A y B son vectores paralelos en sentidos opuestos: = .
mín
A B R A B
   
9

Física
EJERCICIOS
1. Una partícula está sometida a una fuerzaF, dada por la ecuación dimensionalmente
homogénea 3
x
b
kx
F 

 , donde x: distancia. Determine la dimensión de b.
A) ML–2
T B) MT–2
C) M–1
LT D) ML4
T–2
Solución:
Por el principio de homogeneidad:
 
 
3
b
F
x

 
 
→     3
b F x

    
2 3 4 2
b MLT L ML T
 
 
Rpta.: D
2. La distancia x recorrida por una partícula de masa m sometida a una fuerza de
repulsión está dada por la ecuación dimensionalmente homogénea:
1/2
2
2
0 2
0
kt
x x
mx
 
 
 
 
 
donde t: tiempo, x0: distancia. Halle la dimensión de k.
A) 4 2
M L T
B) MLT C) 2 1
M L T
D) 4 3
M LT
Solución:
Aplicando el principio de homogeneidad:
2
2
0
2
0
kt
x
mx
 
 

   
 
 
  
 
4 4
0 4 2
2 2
m x ML
k ML T
T
t

  
Rpta.: A
10

Solución:
Del principio de homogeneidad:
     
x y
v h g

1 x 2 y
LT L (LT )
 

1 x y 2y
LT L T
  

x + y = 1 ; – 2y = – 1
x = 1/2 ; y = 1/2
Por tanto:
1/2 1/2 1/2
v 2 h g 2gh
 
Rpta: A
5. La figura muestra un sistema de vectores distribuidos en un hexágono regular de
lado L cuyo centro es el punto O. Determine la magnitud de la resultante de los
vectores.
A) 4L
B) 2L
C) 8L
D) 6L
Solución:
Eliminando vectores opuestos y teniendo en cuenta la propiedad cíclica del triángulo,
el sistema se reduce a dos vectores iguales situados en dos lados del hexágono. Por
tanto, la magnitud de la resultante es:
R = L + L = 2L
Rpta.: B
6. Dos hombres A y B jalan horizontalmente dos cuerdas inextensibles atadas a un
bloque de concreto. Las cuerdas forman entre sí un ángulo  = 60º, como muestra la
figura. El hombre ejerce una fuerza de magnitud FA = 1200 N y el hombreB ejerce
una fuerza de magnitud FB = 2000 N. Determine la magnitud de la fuerza resultante.
A) 2400 N
B) 2500 N
C) 2800 N
D) 2250 N
12

Solución:
La magnitud de la fuerza resultante es:
F = 2 2
A B A B
F F 2F F cos60º
 
F = 400 2 2 1
3 5 2(3)(5)
2
 
   
 
F = 2800 N
Rpta: C
7. Un avión vuela en línea recta con una velocidad avión
v de magnitud 100 m/s, en un
lugar donde el viento sopla con una velocidad viento
v de magnitud 20 m/s, como
muestra la figura. La dirección del movimiento del avión respecto al viento es 60º.
Determine la magnitud del vector ( avión viento
v v
 ).Considere 21 4,6
 .
A) 92 m/s
B) 81 m/s
C) 96 m/s
D) 84 m/s
Solución:
De la ley del coseno:
2 2
avión viento
v v (100) (20) 2(100)(20)cos60º
   
avión viento
v v 10 84 20 21 (20)(4,6) 92 m / s
    
Rpta: A
8. En la figura mostrada M es punto medio del segmento PQ. Exprese el vector
resultante de los tres vectores en función de A

yB

.
A) A

+ B

B)
1
(A B)
2
 
 
C)
1
(A B)
2
 

D)
1
(A B)
2
 

13

Solución:
De la figura:
1
C (A B)
2
  
  
Vector resultante:
A B A B
R A B C A B
2 2
   
       
 
 
      
 
 
 
Rpta: C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. La altura máxima h alcanzada por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba
depende de la rapidez v con que fue lanzado y de la aceleración de la gravedad g
del lugar. ¿Cuál es la forma de la ecuación física dimensionalmente correcta que
relaciona h, v y g?
A) h = v2
/g B) h = v3
/g C) h = v/g D) h = g v2
Solución:
x y
h v g

   
x y
h v g

x y
1 2
L LT LT
 
   
    
x y x 2y
L L T
  

x + y = 1; – x – 2y = 0  x = 2, y = - 1
h = v2
/g
Rpta: A
2. El alcance horizontal R de un proyectil lanzado desde tierra con velocidad v y ángulo
de elevación  está dado por la ecuación dimensionalmente homogénea R =
vx
sen2/gy
, donde g: aceleración de la gravedad. ¿Cuáles son los valores de x e y
respectivamente?
A) 2; 1 B) 1; 1 C) 2; – 1 D) – 2; 1
Solución:
 
 
 
x
y
v
R
g

   
x y
1 2
L LT LT

 

  
x x y 2y
L L T L T
 

0 x y x 2y
LT L T
  

x y 1 ; x 2y
  
x 2 ; y 1
 
14

Rpta: C
5. Dos personas A y B jalan horizontalmente las cuerdas atadas a un poste vertical.
Las cuerdas forman entre sí un ángulo de  = 45°,como muestra la figura. Las
magnitudes de las fuerzas que ejercen las personas A y B en las cuerdas son FA y
FB respectivamente y están en la relación A B
F / F 3 / 2 2
 . Determine la magnitud de
la fuerza resultante que actúa sobre el poste sabiendo que FA = 1500 N. (Utilice la
escala 1cm500 N)
A) 100 28 N
B)500 29 N
C) 300 24
D) 400 20 N
Solución:
Sean los vectores fuerza A
F y B
F que ejercen las personas A y B respectivamente.
Entonces según el enunciado escribimos las equivalencias
A
F 1500 N 3 cm
  ; B
F 1000 2 N 2 2 cm
 
Dibujando los vectores A
F y B
F a escala (véase la figura), y luego usando la regla del
paralelogramo, se obtiene la resultante R , siendo su magnitud:
R = 2 2
A B A B
F F 2F F cos45º
 
R= 2 2 1
3 (2 2) 2(3)(2 2)
2
 
   
 
R = 29 cm  500 29 N
16

Rpta: B
6. En la distribución de vectores mostrados en la figura, exprese la magnitud de la
resultante en función de a y .
A) acot
B) atan
C) asec
D) acsc
Solución:
De la figura, sumando los vectores oblicuos:
Magnitud de la resultante:
2
R 1 cot sec
    
a a
Rpta: C
7. La figura muestra un paralelogramo PQRS y tres vectores A

, B

y x

. Los vectores
A

y B

forman entre sí un ángulo de 60º, siendo sus magnitudes de 1u y2u
respectivamente. El vector x

tiene su origen en el punto medio de la diagonal QS.
Determine la magnitud del vector x

, sabiendo que M es punto medio del lado RS.
A) 17 / 4 u
B) 17 / 2 u
C) 21/ 4 u
D) 21/ 2 u
17

Solución:
De la figura:
A
B 2x
2
 
Aplicando la regla del paralelogramo:
2
2
A A
2x B 2 Bcos60º
2 2
   
  
   
   
2
2
1 1 1
2x (2) 2 (2)
2 2 2
     
  
     
     
21
x u
4

Rpta: C
18

UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2019-II
Física
EJERCICIOS
1. Indicar la falsedad (F) o veracidad (V) de las siguientes proposiciones:
I. La ecuación dimensional del caudal
volumen
tiempo
es L3T–1.
II. Solo es posible sumar y restar expresiones dimensionales de la misma naturaleza
física.
III. La utilidad del análisis dimensional radica en el hecho de verificar si una
formulación física está correctamente escrita.
A) VVV B) VFV C) VFF D) FFV
Solución:
I. V II. V III. V
Rpta.: A
2. La ecuación dimensionalmente homogénea que describe la rapidez terminal L
v de
una partícula de masa M y diámetro d, que cae dentro de un líquido debido a la
aceleración de la gravedad g es L
Mg
v
kn
 Determine la dimensión de k, sabiendo que
[n] = M L–1 T–1.
A) ML-2 B) L C) ML–3 D) LT–1
Solución:
2
1
1 1
[M][g] MLT
[v] LT [k] L
[k][n] [k]ML T


 
    
Rpta.: B
3. Una partícula libre con masa en reposo m, que se mueve con rapidez v tiene asociada
una longitud de onda  y está relacionada con su cantidad de movimiento mediante la
siguiente ecuación homogénea x y
h p
  , donde 2 1 1
[h] ML T ; [p] MLT
 
  . Determine
x e y.
A) 1; –1 B) 0; 1 C) 1; 2 D) 2; –1
Solución:
Tomando dimensión a toda la ecuación
x y
x y
2 1
1
[ ] [h p ]
*[ ] [h] [p] ...(1)
[ ] L
[h] ML T
[p] MLT


 
 
 


19

Reemplazando en (1):
x y
2 1 x 1 y
0 0 x y 2x y x y
[ ] [h] [p]
L (ML T ) (MLT )
M LT M L T
x y 2x y 1
x 1 y 1
 
   
 


   
   
Rpta.: A
4. Dada la ecuación dimensionalmente homogénea x =
1 A
2 vt cos



, dónde: A: área; t:
período; v: volumen; determine la dimensión de x.
A) L–2T–1 B) L–1T–2 C) T–1 D) L–2T–2
Solución:
 
1 A
x
2 vt.cos
 

 
 

 
Recuerde:
1
1
2
 

 
 
  = 1
cos  = 1 Luego:
x =
2
3
A L
vt L .T
 

 
 
x = 3 1
3
L
LL T
L T
 
  x = L–2T–1
Rpta.: A
5. Determine el vector resultante del conjunto de vectores que se muestra en la figura.
A) E
B) – E
C) C
D) – C
20

Solución:
     
G
B
A
F
C
C
E
R
G
F
E
D
C
B
A
R 














Sumando vectores opuestos:
        E
R
G
B
A
R
G
B
A
0
0
R 











Rpta: B
6. La figura muestra la dirección de los vectores A y B con respecto al eje X; según
esto. Determine la magnitud de A + B .
A) 148
B) 100
C) 196
D) 96
Solución:
R = 60
cos
)
6
)(
8
(
2
6
8
2
2


= 48
36
64 
 = 148
Rpta: A
7. Determine la magnitud de la resultante de los vectores mostrados en la figura, si
ABCD es un paralelogramo y P es punto medio del lado AB.
A) 4 m
B) 2 m
C) 8 m
D) 6 m
A D
C
B
P
4 m
2 m
21

Solución:
D
P
4 m
2 m  R = 2 m
Rpta.: B
8. Halle la magnitud de la resultante del conjunto de vectores mostrados, si ABCD es un
trapecio, siendo M y N puntos medios y además BC 4u
 y AD 8u
 .
A) 30 u
B) 12 u
C) 18 u
D) 25 u
Solución:
Procederemos a descomponer los vectores
MC y MD, como en la grafica
Por el teorema de la mediana del trapecio
BC AD 4 8
MN 6u
2 2
R BC MN AD
R 4 6 8 18u
 
  
  
   
Rpta.: C
1. La energía total relativista de una partícula se expresa por la ecuación
dimensionalmente homogénea:
2 2 x 2y
E p c m c
 
Donde, p: cantidad de movimiento relativista; c: velocidad de la luz; m: masa de la
partícula; determine x e y.
A) 1; 2 B) 2; 2 C) 2; 3 D) 2; 1
A
B C
D
M N
22

Solución:
Tomando dimensión a toda la ecuación y aplicando el principio de homogeneidad:
2 2 2 x 2y
2 x 2y
2 x 2y
2 2 2 x 1 2y
2 4 4 x 2y 2y
[E] [p c ] [m c ]
*[E] [m c ]
[E] [m] [c]
(ML T ) M (LT )
M L T M L T
x 2 2y 4
y 2
 
 
 




   

Rpta.: B
2. La ecuación, Q = CA 2gh , es dimensionalmente homogénea y permite calcular el
caudal de líquido que sale por un orificio practicado en la pared lateral de un depósito.
Si g: aceleración, A: área, h: altura, Q = caudal (volumen / tiempo), determine las
unidades de la cantidad C en el S.I.
A) Adimensional B) m–1 C) m3s–1 D) m2s–1
Solución:
Estableciendo las dimensiones para cada magnitud:
             
 
1/2 1/2 1/2 3 1 2 2 1/2 1/2
Q C . A . 2 g h L T C (L )(1)(LT ) (L)
C 1
 
  
 
Rpta: A
3. La ecuación para la fuerza viscosa x y
f 3 d ngt
  es dimensionalmente homogénea. Si
t es tiempo, g es aceleración, d es diámetro y 1 1
[n] ML T
 
 , determine x y.

A) 2 B) 1 C) –2 D) –1
Solución:
[f] = [3] [] [d]x [n] [g] [t]y  MLT–2 = LxML–1T–1LT–2Ty  x + y = 2
Rpta.: A
4. Experimentalmente se encuentra que la magnitud del torque () de un acoplamiento
hidráulico varia con las revoluciones por minuto (H) del eje de entrada, la densidad (ρ)
del fluido hidráulico y del diámetro (D) del acoplamiento según la ecuación
X Y Z
K H D ,
   donde K es una constante adimensional. Determine la fórmula
dimensionalmente homogénea que expresa el torque.
23

A) 3
K HD
   B) 2 5
K H D
   C) 2 3
K HD
   D) 3 3
K H D
  
Solución:
X Y Z
X Y Z
2 2 3 X 1 Y Z
K H D
[ ] [ ][H] [D]
ML T (ML ) (T ) L
Resolviendo: x 1; y 2; z 5
  
  
  

  
Rpta.: B
5. El vector resultante se obtiene mediante una operación con vectores cuyo resultado
también es un vector. Normalmente esta operación es la suma de dos o más vectores,
mediante la cual se obtiene un vector cuyo efecto es equivalente. En el cubo de arista
“L” determine la resultante, si “0” es el centro de la base.
A) L 3
B) 4L
C) L 2
D) 3L
Solución:
Descomponiendo los vectores como se observa en la figura los vectores que se
encuentran en la base se anulan entre sí, de manera que nos quedarían los 4 vectores
como se observa en la figura
La resultante de los vectores es
R = L + L + L + L = 4L
Rpta.: B
6. Determine la resultante del sistema de vectores mostrado en la figura.
A) 2 ( A + B )
B) 2 (B + C )
C) 2 (E + F )
D) 2 (B + D )
Solución:
R = A + B + C + D + E + F (1)
A F
B
E
C
D
24

Semana Nº 1 Pág. 93
Física
EJERCICIOS
1. En relación al sistema internacional de pesas y medidas indique la verdad (V) o
falsedad (F) de las proposiciones:
I) Existen siete cantidades fundamentales en el SI.
II) La temperatura no es una cantidad fundamental
III) La fuerza es una cantidad fundamental del SI
A) VFF B) VVF C) FFF D) FVF E) VFV
Solución:
Rpta.: A
2. La ecuación que se muestra es la rapidez terminal vL de una partícula de masa M y
de diámetro d, que cae dentro de un líquido debido a la aceleración de la gravedad g.
La ecuación es dimensionalmente homogénea, donde [n] = M L-1 T-1, determine x - y:
𝑣𝐿 =
𝑀𝑥
𝑔𝑦
3𝜋𝑑𝑛
A) 0 B) 3 C) 1 D) 2 E) 4
Solución:
[M]x [g]y Mx Ly T-2y
[v] = -----------------  L T-1 = -----------------  x -1 = 0; y = 1
[3] [π] [d] [n] 1 x 1 x L x M L-1 T-1
X + y = 1-1 = 0
Rpta.: A
3. La ecuación que se muestra es la fuerza F que actúa sobre una partícula esférica de
masa M y de diámetro d, cuando se mueve dentro de un líquido de viscosidad n, donde
[n] = M L-1 T-1. Si v es la velocidad, determine x + y.
𝐹 = 𝜋𝑑𝑥
𝑛𝑣𝑦
A) 2 B) 3 C) 1 D) 0 E) 4
26
(Prohibida su reproducción y venta)

Solución:
[F] = [π] [d]x [n] [v]y  M L1 T-2 = 1 x 1x Lx M L-1 T-1 Ly T-y
 x + y -1 = 1  x + y = 2
Rpta.: A
4. La velocidad de propagación del sonido en un sólido está dada por la siguiente
ecuación:
𝑣 = √
𝑌
𝜌
Donde Y es el módulo de Young y 𝜌 es la densidad volumétrica. Determine la
dimensión del módulo de Young.
A) 𝑀𝐿−1
𝑇−1
B) 𝑀𝐿−1
𝑇−2
C) 𝑀𝐿𝑇 D) 𝑀𝐿𝑇−1
E) 𝑀𝐿−1
𝑇2
Solución:
Tomando dimensión:
[𝑌] = [𝑣]2[𝜌]
[𝑌] = (𝐿𝑇−1)2(𝑀𝐿−3)
[𝑌] = (𝐿2
𝑇−2)(𝑀𝐿−3)
[𝑌] = 𝑀𝐿−1
𝑇−2
Rpta.: B
27

5. Al sumar dos vectores, la máxima magnitud que se obtiene es 31 u y la mínima
magnitud que se obtiene es 17. Determine la magnitud de la resultante si los vectores
fueran perpendiculares.
A) 25u B) 18u C) 35u D) 12u E) 24u
Solución:
𝑅𝑚á𝑥 = 𝐴 + 𝐵 = 31
𝑅𝑚𝑖𝑛 = 𝐴 − 𝐵 = 17
Entonces:
A = 24 u
B = 7 u
Cuando los vectores sean perpendiculares:
𝑅 = √242 + 72
𝑅 = 25 𝑢
Rpta.: A
6. La figura muestra cinco vectores inscritos en un hexágono regular de lado a.
Determine la magnitud del vector resultante.
A) 2 𝑎
B) 2√3 𝑎
C) 3 𝑎
D) 5 𝑎
E) 3 √2 𝑎
Solución:
Moviendo dos vectores laterales a las diagonales internas, se observa que solo queda
el vector de la diagonal, de longitud
R = a + a = 2a
Rpta.: A
28

7. Si la longitud de la diagonal mayor es 8u, con m y n como puntos medios de los
segmentos respectivos, determine la resultante de los vectores 𝐴
⃗ y 𝐵
⃗⃗ que se muestran
en la figura.
A) 4u
B) 2u
C) 6u
D) 8u
E) 10u
Solución:
De la figura: |2𝐴
⃗ + 2𝐵
⃗⃗| = 8𝑢  |𝐴
⃗ + 𝐵
⃗⃗| =
8𝑢
2
= 4𝑢
Rpta.: A
8. La figura mostrada es un hexágono regular de lado 2u. Determine la magnitud del
vector resultante.
A) 8u B) 10u C) 5u D) 2u E) 16u
Solución:
Trasladamos los vectores hacia los lados que son paralelos a dichos vectores, así:
Luego; sumamos: AD
CD
AC 

AD
ED
AE 

 R = 2 (AD)
Pero AD = 4u
Luego R = 8u
Rpta.: A
B C
D
E
F
A
B C
D
E
F
A
29

1. Con respecto a las magnitudes físicas, indique la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones:
I. Kelvin es la unidad de una magnitud física fundamental.
II. La cantidad de una sustancia y la masa corresponden a la misma magnitud física
fundamental.
III. El coulomb es la unidad de una magnitud fundamental en el SI.
A) VFV B) VVV C) FVF D) VFF E) FVV
Solución:
I. (V), Kelvin es la unidad de la temperatura que es una magnitud física fundamental.
II. (F), La cantidad de sustancia y la masa son magnitudes fundamentales pero
conceptualmente son diferentes.
III. (F), El coulomb es la unidad de la carga eléctrica, esta es una magnitud derivada.
Rpta.: D
2. Con respecto a las propiedades de las ecuaciones dimensionales indique la verdad
(V) o la falsedad(F) de las siguientes proposiciones
I. Si A +B = C → [A]+ [B]= [C]
II. [sen30°] = 1/2
III. la dimensión de toda constante física es igual a la unidad
A) FFF B) FVV C) VVF D) VFF E) FFV
Solución:
FFF
Rpta.: A
3. La ecuación mostrada es dimensionalmente correcta. Determine: (x + y)
g = Vtx (4 + k y-x)
Donde:
t = tiempo; v = velocidad; g = gravedad
A) -2 B) 5 C) 0 D) -1 E) 4
Solución:
Como es D.C., tenemos:
[4] = [Ky-x] = 1
Es decir: y – x = 0  y = x
30

Entonces:
[g] = [ Vtx]
LT-2 = LT-1 Tx = LTx-1
Igualando exponentes:
x – 1 = -2  x = -1
Luego y = -1
 (x + y) = -2
Rpta.: A
4. El análisis Dimensional sirve para relacionar las dimensiones de las magnitudes
físicas fundamentales, para obtener las magnitudes derivadas y fijar así sus unidades,
además permite verificar si una fórmula o ley física es o no correcta dimensionalmente.
En ese contexto, si la ecuación es dimensionalmente correcta, determine la dimensión
de “x”
Si: X =



cos
vt
A
2
1
Donde: A = área; t = período; v = volumen.
A) L-2T-1 B) L-1T-2 C) T-1 D) L-2T-2 E) LT-1
Solución:
 












cos
.
vt
A
2
1
x
Recuerde:
1
2
1







  = 1
cos  = 1 Luego:
x =
T
.
L
L
vt
A
3
2









x = 
 
 1
3
3
T
LL
T
L
L
x = L-2T-1
Rpta.: A
31

5. Los vectores son muy importantes para estudiar fenómenos que suceden a nuestro
alrededor. Con ellos podemos explicar, por ejemplo, ¿por qué elevamos una cometa
cuando el viento está soplando en contra, y si empezamos a correr para mantenerla
en el aire, esta retrocede al punto en que la cuerda con la que la sostenemos, queda
inclinada hacia atrás? En este contexto determine la magnitud de la resultante del
siguiente sistema de vectores, si cada lado de la estrella es de 10.
A) 20u
B) 10u
C) 0u
D) 5u
E) 15u
Solución:
Por el método del polígono los vectores se reducen como el grafico mostrado; de
manera que el módulo de la resultante sería 10u+10u= 20u
Rpta.: A
6. Si “R” es la magnitud de la resultante de dos vectores cuyas magnitudes son “P” y
“2P”, siendo el angulo entre sus líneas de acción de 600
las cuales actuan en
un punto “O”. Un tercer vector de magnitud “S” (S> R) actua en “O”. Si el máximo y
mínimo valor de la resultante de todos los vectores es 26u y 12u.Determine la
magnitud del vector P.
A) √7 𝑢 B) 2√7 𝑢 C) √5 𝑢 D) 19 𝑢 E) 7 𝑢
Solución:
𝑅 = √𝑃2 + 4𝑃2 + 2(𝑃)(2𝑃)𝑐𝑜𝑠600
𝑅 = 𝑃√7
𝑅𝑚á𝑥 = 𝑅 + 𝑆 = 26
𝑅𝑚𝑖𝑛 = 𝑆 − 𝑅 = 12
Entonces:
S = 19u
R = 7 u
𝑅 = 𝑃√7
7 = 𝑃√7
𝑃 = √7
Rpta.: A
32

7. La diferencia de potencial eléctrico ∆𝑉 entre dos puntos de un material está dado por:
∆𝑉 =
𝑊
𝑞
Donde W es el trabajo necesario para trasladar la carga entre dichos puntos y q es la
carga que se traslada.
Determine la dimensión de la diferencia de potencial.
A) 𝑀𝐿2
𝑇−3
𝐼−1
B) 𝑀𝐿2
𝑇𝐼
C) 𝑀𝐿2
𝑇3
𝐼−1
D) 𝑀𝐿𝑇3
𝐼−1
E) 𝑀2
𝐿2
𝑇−3
𝐼
Solución:
Tomando dimensión:
[∆𝑉] =
[𝑤]
[𝑞]
[∆𝑉] =
𝑀𝐿2
𝑇−2
𝐼𝑇
[∆𝑉] = 𝑀𝐿2
𝑇−3
𝐼−1
Rpta.: A
33

Física
EJERCICIOS
1. Se denomina proceso isotérmico en un gas ideal cuando es comprimido a
temperatura constante. En este contexto, la ecuación dimensionalmente homogénea
del trabajo realizado sobre una gas ideal a temperatura constante para un mol es
 
 
 
f
0
V
W=RTLn ,
V
donde W: trabajo, T: temperatura en Kelvin, 0 f
V , V : volumen inicial
y final respectivamente. Determine la dimensión de la constante R para gases
ideales.
A)  

2 1
LT B)  

3 2 1
ML T C)  

2 2 1
ML T
D)  

2 1 1
ML T E)  

2 1
MLT
Solución:
Se toma la dimensión toda la ecuación y se emplea el principio de homogeneidad.
 
    
 
 



 








 
W = R T Ln
 




 
f
0
f
0
2
2
2
2 1
V
W = RTL
 n
V
V
V
ML T = R (θ)(1)
De donde:
R =ML T
θ
Rpta.: C
34

2. Luego de enviar un vehículo explorador a un planeta, se analizó la fuerza que actúa
sobre una canica durante su caída. Se encontró que la ecuación experimental
dimensionalmente homogénea de la aceleración es 
 
2 mt 3
a bv e ct , donde
a: aceleración resultante, v: rapidez y t: tiempo. Determine las dimensiones de b y c,
respectivamente.
A)  
1 5
L , LT B)  
1 4
ML , LT C) 5
L , LT
D)  
1 5
L , MLT E) 2
ML , MLT
Solución:
Teniendo en cuenta el principio de homogeneidad, tenemos:
 
 


 
 
   
 
 
2 3
2 3
mt
mt
* a = bv e +ct
a = bv e = ct
Luego
 
 
 
 
 
 






 
 
   
 
 
2
1 2
3
2 3
2
1
5
mt
* a = bv e
LT = b (LT ) (1)
b =L
* a = ct
LT = c (T)
c =LT
Rpta.: A
35

3. Durante un ensayo con líquidos en reposo, se determinó que la ecuación
dimensionalmente homogénea de la presión absoluta a una profundidad h, medida
desde la superficie del líquido, es   x y
0
P P D gh , donde 0
P : presión atmosférica,
D: densidad del líquido, g: aceleración de la gravedad y h: profundidad. Determine
x e y, respectivamente.
A) 1; 2 B) –1; 1 C) 1; 1 D) 1; –2 E) –1; –1
Solución:
Aplicando el principio de homogeneidad:
 
    
   
     
   
   


x y
0
x y
1 2 3 2
1 2 x 3x y 1 2
P = P = D gh
ML T ML LT L
ML T M L T
Comparando los exponentes a ambos lados de la igualdad:

    
    

* x 1
* 1 3x y 1
1 3(1) y 1
y 1
Rpta.: C
4. Existen diversos procedimientos para hallar la resultante de dos o más vectores,
tales como la ley del paralelogramo, método del triángulo, método del polígono, etc.
De acuerdo a esto, determine la resultante de los vectores que se muestran en la
figura.
A) 0
B) 3E
C) 2(E+G)
D) 3G
E) E+G
36

Solución:
(1)
De la figura :
(2)
(3)
(4)
(2), (3) y (4) en (1):
R = A +B +C +D +E +F +G
B + A = E
D +C = E
E +F = G
R = E +E +G +G
R = 2(E +G)
Rpta.: C
5. Una partícula pasa por los puntos r y s definidos por los vectores posición A y B de
magnitudes 2m y 3m, respectivamente; determine la magnitud del vector
desplazamiento D = B – A.
A) 7 m
B) 5 m
C) 17 m
D) 2 15 m
E) 19 m
Solución:
 
   
      

2 2
2 2
D B A
D A B 2ABcos
D 2 3 2 2 3 cos(120 )
D 19 m
Rpta.: E
37

6. Dos vectores a y b (a > b) tienen como resultante máxima 
max
R 12u, y mínima

min
R 8u, respectivamente. Determine la magnitud del vector resultante de los
vectores cuando forman 60º entre sí.
A) 31 u B) 2 21 u C) 13 u D) 2 31 u E) 2 26 u
Solución:


max
min
2 2
2 2
* R = a+b = 12 (1)
* R = a b = 8 (2)
(1) + (2), resulta
a=10u y b=2u
R= a +b +2abcos( )
R= 10 +2 +2(10)(2)cos(60°)
R=2 31 u
Rpta.: D
7. La ley del paralelogramo, descubierta por Arquímedes, es el procedimiento para
hallar la resultante o suma vectorial de dos vectores. La figura adjunta indica la
magnitud y dirección de los vectores A y B; determine la magnitud de A+B.
A) 13 u
B) 2 7 u
C) 37 u
D) 2 5 u
E) 5 u
38

Solución:
 

2 2
2 2
R A B
R= A +B +2ABCos( )
R= 4 +3 +2(4)(3)cos(60°)
R= 37u
0
Rpta.: C
1. Mediante la cristalografía se estudia las propiedades de solidos cristalinos (aquellos
que tienen sus átomos perfectamente ordenados siguiendo un arreglo periódico,
como los metales). En este contexto, si d es la distancia entre átomos contenidos en
un plano del sólido cristalino, se ha encontrado que 
3
a
m
d
kN D
, donde d: distancia,
k: constante adimensional, Na: número de Avogadro, D: densidad del solido
cristalino. Determine la dimensión del término m.
A) ML B) 2
ML C) 2
M L D) 
2 2
M L E) M
Solución:
Aplicando el principio de homogeneidad.
 
 

 
   
   
 
3
a
3
3
m
d =
kN D
m
L =
(1)(1)(ML )
De donde
m = M
Rpta.: E
39

2. Durante un experimento, un grupo de alumnos observó la caída de un cuerpo dentro
de la niebla. El profesor propuso que la ecuación de la rapidez del cuerpo podría ser
del tipo  a b c
v kD g t , donde v: rapidez, k: constante adimensional, D: densidad de la
niebla, g: aceleración de la gravedad y t: tiempo. Determine los valores de a, b y c,
respectivamente.
A)
1 1 1
, ,
4 4 4
B) 
1 1 1
, ,
4 4 4
C)  
1 1 1
, ,
4 4 2
D)
1 1 1
, ,
2 4 2
E) 
1 1 1
, ,
4 4 4
Solución:
Se toma la dimensión toda la ecuación y se aplica el principio de homogeneidad.
 
   
       
  
     
 
  
     
      


a b c
a b c
a b c
1 3 2
0 1 a b 3a b 2b c
v kD g t
v k D g t
LT 1 ML MLT T
M LT M L T
Luego se igualan los exponentes:
 

  
 
 
 
   
 
 
* a+b=0 a= b
3a+b=1
1
3( b)+b=1 b=
4
1
a=
4
* 2b+c= 1
1 1
2 +c= 1 c=
4 2
Es decir,
 
1 1 1
a= , b= , c=
4 4 2
Rpta.: C
40

3. En la fabricación de suspensiones o resortes helicoidales para vehículos de carga
pesada se tiene en cuenta la fuerza o peso que deben soportar para evitar que estos
se fatiguen rápidamente con el uso. Se ha encontrado empíricamente que La fuerza
aplicada a un resorte viene dado por 0 3
b
F=F +kx+
x
, donde x: elongación del
resorte, F: fuerza, k: constante elástica. Determine la dimensión de b, sabiendo que
la ecuación es dimensionalmente correcta.
A)  
4 2
ML T B) 
4 2
ML T C) 
2 3 2
M L T
D) 
2 4 2
M L T E) 4
ML T
Solución:
     
 
 
 


 
 
 
 
 
 
0 3
3
2
3
4 2
b
F = F = kx =
x
b
F =
x
b
MLT =
L
b =ML T
Rpta.: B
4. En la física se suele aproximar los sistemas complejos a unos más sencillos pero sin
perder la característica central o relevante. Por ejemplo, la ecuación de estado
dimensionalmente homogénea de los gases reales propuesto por Van der Waals es
 
 

 
 
2
a
P+ V b =RT
V
(donde P: presión; V: volumen; T: temperatura y R: constante
universal de los gases) y describe, entre otras cosas, algunas transiciones
líquido-vapor. Determine
[a]
[b]
.
A)  
4 2
ML T B) 
4 2
ML T C) 
2 4 2
M L T
D) 4 2
ML T E) 4
ML T
41

Solución:
Tomando las dimensiones a toda la ecuación y aplicando el principio de
homogeneidad.
  
 
 
 

2
1 2 5 2
6
3
a
* [P] =
V
[a]
ML T = [a]=ML T (1)
L
* [V] = [b]
[b] = L (2)
Por tanto de (1) y (2):

 2 2
[a]
ML T
[b]
Rpta.: D
5. Para conocer el ángulo entre vectores se pueden emplear diversos métodos. En
este contexto, si se sabe que dos vectores A y B cumplen la relación

2A+B = A B y A = B , determine el ángulo entre los vectores A y B.
A) 150° B) 37° C) 30° D) 60° E) 120°
Solución:
  
  
  
2 2 2 2
2 2 2 2
2A B A B
(2A) +B +2(2A)(B)Cos( )= (A) +B 2(A)(B)Cos( )
De donde
4A +B +4ABCos( )=A +B 2ABCos( )
Usando la condición: A = B
  
  
 
 

2 2 2 2 2 2
4A +A +4A Cos( )=A +A 2A Cos( )
5+4Cos( )=2 2Cos( )
6Cos( )= 3
1
Cos( )=
2
= 120°
Rpta.: E
42

6. La magnitud de dos vectores a y b están en relación de 4a = 3b. Si la resultante
máxima de los dos vectores es 14 u; determine la nueva resultante cuando estos
vectores formen un ángulo de 60° entre sí.
A) 3 2u B) 3 37 u C) 2 7 u D) 2 37 u E) 5 3 u
Solución:
Se tiene
4a=3b (1)
a+b=14 (2)
De (1) y (2)
a=6
b=8
  

2 2
2 2 o
R a b 2abcosθ
R = 6 + 8 + 2(6)(8) cos60 2 37 u
Rpta.: D
7. En física muchas veces es necesario expresar un vector en función de otros para
poder reducir y hacer más sencillo la solución. En este contexto la figura muestra un
conjunto de vectores coplanarios, donde se cumple:  
x 2mA 4nB. Si G es punto
baricentro; determine m + n.
A) 
1
6
B)
1
2
C)
1
6
D) 3
E)
1
3
43

Solución:
Al ser G: baricentro, se puede completar
De donde:
 
  
 
  
* A 3x 2B 3x
A 2B 6x
1 1
x A B
6 3
Comparando:
 
 
      
x 2mA 4nB
1 1
x A B
6 3
1 1 1 1
2m m 4n n
6 12 3 12
Por tanto:
  
 
1 1
n m
12 12
1
n m
6
Rpta.: C
44

8. En la ingeniería civil se suelen analizar las fuerzas (vectores) que actúan sobre un
punto de apoyo o estructura para decidir, por ejemplo, los materiales más
apropiados y evitar un accidente. En la figura se muestra un triángulo equilátero de
lado 6 u, siendo O el punto baricentro. Determine la magnitud de la resultante de los
vectores A, B y C.
A) 2 3 u
B) 3 2 u
C) 6 3 u
D) 0
E) 4 3 u
Solución:
Primero reducimos los vectores B y C.
Luego tomamos B + C y sumamos con A:
45

Rpta.: E
46

Física
ADICIÓN DE VECTORES (II) Y MRU
1. Descomposición rectangular de un vector en dos dimensiones
Consiste en proyectar perpendicularmente un vector sobre los ejes de un sistema de
coordenadas. Por ejemplo, en la figura los vectores proyectados sobre los ejes x e y,
denotados por: x
A

y y
A

se llaman componentes del vector A

.
Descripción analítica de los componentes:
Ax = + Acos  : componente de A

en la dirección del eje + x
Ay = + Asen  : componente de A

en la dirección del eje + y
2. Representación analítica de un vector en dos dimensiones
En la forma de un par ordenado:
 
x y
A A ,A


En la forma magnitud – dirección:
2 2
x y
A A A B

   (Magnitud)
Dirección respecto al eje x:
tan y
x
A
A


 
 
 
 
 
y
1
x
A
tan
A
Aquí, tan–1
es la función tangente inversa.
48

3. Adición de vectores por el método analítico de la descomposición rectangular
1°) Descomponer los vectores dados y describir sus componentes con respecto a los ejes
coordenados (ver figura).
2°) Sumar los componentes de los vectores a lo largo de los ejes coordenados. En la
figura:
Rx = Ax + Bx = Acos  – Bcos; Ry = Ay + By = Asen – Bsen
3°) Describir el vector resultante.
En la forma del par ordenado:
 
x y
R R ,R


En la forma magnitud – dirección:
2 2
x y
y
x
R R R
R
arctan
R
  



 


49

4. Conceptos básicos de cinemática
4.1. Sistema de referencia
Sistema de coordenadas asociado a un observador u objeto (ver figura). Sirve como
herramienta para simular el movimiento de un objeto o describir un evento.
4.2.Vector de posición( r )

Indica las coordenadas del punto donde se localiza el objeto. Se representa
geométricamente por un vector dibujado desde el origen de coordenadas hasta el punto
donde se localiza el objeto o evento. Por ejemplo, en la figura anterior:
 
r x,y,z


4.3. Desplazamiento(d)
Cantidad vectorial que indica el cambio de posición de un cuerpo. Por ejemplo, en la
figura el desplazamiento se escribe:
0
d r r
  
 
Para el caso del movimiento rectilíneo en la dirección del eje x (ver figura), el
desplazamiento del auto en el intervalo de tiempo (t – t0) se define por:
0
d x x
 
50

4.4. Velocidad media(v)

Cantidad vectorial que indica el cambio de posición de un objeto en un intervalo de
tiempo.
 
media
cambio de posición
velocidad
intervalo de tiempo

0
0
x x
v
t t



m
Unidad S.I:
s
 
 
 
x0: posición (inicial) en el instante t0
x : posición (final) en el instante t
4.5. Distancia (D)
Cantidad escalar que indica la longitud de la trayectoria recorrida por un objeto.
D = longitud de la trayectoria
Para el caso particular del movimiento rectilíneo en una sola dirección, la distancia (D) es
igual la magnitud del desplazamiento.
D = d
4.6. Rapidez media (V)
Cantidad escalar que indica la distancia recorrida por un objeto en un intervalo de tiempo.
 
media
distancia
rapidez
intervalo de tiempo

Para el caso particular del movimiento rectilíneo en una sola dirección, la rapidez media
(V) es igual a la magnitud de la velocidad media.
V = v
51

5. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
El MRU se caracteriza por el hecho de que el móvil realiza desplazamientos iguales en
intervalos de tiempo iguales. Esto significa que la condición necesaria para que un cuerpo
tenga MRU es:
0
0
x x
v
t t



= constante
6. Ecuación del MRU
0 0
x x v(t t )
  
x0 : posición inicial en el instante t0
x : posición en el instante t
(*) OBSERVACIONES:
1°) Conocida la posición inicial x0 en el instante t0 y la velocidad v del móvil, se conocerá
la posición x del móvil en cualquier instante t.
2°) Si se asume t0 = 0, la ecuación del MRU se escribe:
0
x x vt
 
7. Gráficas del MRU
(*) OBSERVACIONES:
1°) En la gráfica posición – tiempo: tan v
 
2°) En la gráfica velocidad – tiempo: área sombreada = vt = d
8. Velocidad relativa
Considérense un camión A y una camioneta B que se desplazan con velocidades A
v

y
B
v

respectivamente con respecto a un poste situado en el punto P, como se muestra en
las figuras (a) y (b). Entonces en ambos casos se define la velocidad relativa de A con
respecto a la velocidad de B por:
AB A B
v v v
  
 
52

(*) OBSERVACIONES:
1°) La velocidad de la camioneta B con respecto al camión A es el vector opuesto
BA AB
v v
 
  :
BA B A
v v v
  
 
2°) Cuando A y B se mueven en la misma dirección, como muestra la figura (a), la
componente de la velocidad relativa de A con respecto a B se escribe:
AB A B
v v v
 
3°) Cuando A y B se mueven en dirección contraria, como muestra la figura (b), la
componente de la velocidad relativa de A con respecto a B se escribe:
AB A B
v v v
 
53

Física
EJERCICIOS
1. El uso de los vectores facilita y hace comprensible muchos cálculos físico-
matemáticos. En ese contexto, si el vector resultante de los tres vectores mostrados
en la figura forma 53° con el eje +X; determine la magnitud del vector A.
A) 18 u
B) 12 2u
C) 12 u
D) 18 2 u
Solución:
La magnitud de las componentes del vector A son iguales.
Luego la componente horizontal y vertical del vector resultante:
x y
2 2
x y
R a 6, R a 4
Por dato :
a 4
tan53º
a 6
4 a 4
a 12 u : A A A A 12 2u
3 a 6
   




      

Rpta.: B
54

2. Un grupo de estudiantes de ingeniería dedujo que la resultante de los vectores
mostrados en la figura se encuentra sobre el eje y. Determine la medida del ángulo .
A) 30º
B) 37º
C) 45º
D) 60º
Solución:
x
R 24sen 12 0 sen 1/ 2 30º
         
Rpta.: A
3. El vector resultante de dos o más vectores se obtiene, por ejemplo, sumando las
componentes de estos. En ese contexto, la suma vectorial de los vectores A = (–1,1),
B = (Bx. –3) y C = (4, Cy) dan el vector resultante R = (–1,2). Determine la magnitud de
los vectores B y C, respectivamente.
A) 5, 4 2 B) 5 2, 4 C) 3, 4 2 D) 4, 4 2
Solución:
x y
x y
x x
y y
A B C R
( 1,1) (B , 3) (4,C ) ( 1,2)
(3 B , 2 C ) ( 1,2)
* 3 B 1 B 4
* 2 C 2 C 4
  
     
    
     
    
Luego:
2 2 2 2
x y
2 2 2 2
x y
*B B B :B ( 4) ( 3) B 5
* C C C : C (4) (4) C 4 2
       
     
Rpta.: A
y
x
3u
55

4. Dos móviles A y B se desplazan en el eje x según las ecuaciones posición – tiempo
XA= 7 – 3t y XB= – 8 + 2t, donde x se mide en metros y t en segundos. Determine el
tiempo en que tardan los móviles en encontrarse separados 10 m por segunda vez.
A) 4 s B) 1 s C) 5 s D) 6 s
Solución:
   
A B
dist.sep x x
10 7 3t 8 2t
10 15 5t
 
    
 
Se analizan dos casos:
*10 15 5t t 1s
* 10 15 5t t 5s
   
    
Luego, se encuentran separados 10 m por segunda vez en t = 5 s.
Rpta.: C
5. Durante un experimento, un bloque se desplaza con MRU y se obtuvieron los
siguientes resultados t = 1 s, x = – 2 m y t = 11 s, x = +13 m. Determine la velocidad
y posición del bloque para t = 9 s, respectivamente.
A) +1 m/s, + 10 m B) + 1,5 m/s, + 10 m
C) + 0,5 m/s, + 8 m D) + 1,2 m/s, + 15 m
Solución:
La velocidad:
0
0
x x
v
t t
13 2
v v 1,5 m / s
11 1



 
   

Posición para t = 9 s
0
0
x x
v
t t
x 2
1,5 x 10m
9 1



 
   

Rpta.: B
56

6. Un atleta trota sobre una pista recta muy larga y se obtiene la gráfica de su posición-
tiempo, tal como se observa en la figura. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones.
I) El desplazamiento de 0 a 35 min
es nulo.
II) Las velocidades en los
intervalos AB y CD tienen igual
magnitud pero direcciones
opuestas.
III) Entre B y C el atleta se desplaza
con velocidad constante.
A) FVF B) FFV C) VVV D) VVF
Solución:
I) V II) V III) F
Rpta.: D
7. Un grupo psicólogos buscan interpretar la toma de decisiones mediante el uso de un
ratón en un laberinto. En ese contexto, la figura muestra el recorrido realizado
durante 100 s por un ratón de A hacia B en un laberinto bidimensional. Determine la
magnitud de la velocidad media y la rapidez media del ratón, respectivamente.
A) 0,05 m/s, 0,09 m/s
B) 0,5 m/s, 0,9 m/s
C) 0,5 cm/s, 0,5 m/s
D) 0,05 m/s, 0,05 m/s
Solución:
D 5
* Vm : Vm Vm 0,05 m / s
t 100
dist.recorr. 9
*Vm : Vm Vm 0,09m / s
t 100
   

   

Rpta.: A
57

8. Un móvil se desplaza en la dirección del eje x con MRU de acuerdo a la ecuación
x = – 15 + 3t, donde x se mide en metros y t en segundos. Indicar la verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I) La posición inicial del móvil es – 12 m.
II) Al cabo de 5 s el móvil pasa por el origen.
III) Para t = 7 s el móvil se encuentra a 6 m del origen.
A) VFF B) FVV C) FVF D) FFV
Solución:
I) F , 0
x 15 m
 
II) V , x 15 3(5) x 0
    
III) V , x 15 3(7) 6m
    
Rpta.: B
1. En la figura se muestran tres vectores sobre el plano xy; determine la magnitud y
dirección del vector resultante, respectivamente.
A) 3 u, –y
B) 3u, +x
C) 3 u, +y
D) 3 u, –x
Solución:
Descomponiendo:
x x
y y
R 12 8 7 R 3 u
R 16 8 24 R 0
       
     
Luego la magnitud:
2 2
x y
R R R R 3 u
   
Dirección: –x
Rpta.: D
58

2. En la física existen diversos métodos para conocer la magnitud de la resultante de
un conjunto de vectores. En ese contexto, si la resultante de los vectores mostrados
en la figura es nula; determine la medida del ángulo  y la magnitud del vector C.
A) 37º , 9 u
B) 37º , 10 u
C) 16º , 9 u
D) 16º ,18 u
Solución:
Si rotamos el conjunto de vectores ϴ grados en sentido horario y luego
descomponemos al vector de magnitud 15, tendremos:
x
y
R 15cos(53 ) 12
R 15sen(53 ) C
   
   
Por condición del problema el vector resultante es nulo:
x x
y y
*R 15cos(53 ) 12 R 0
0 15cos(53 ) 12
3
cos(53 ) 53 37 16
5
*R 15sen(53 ) C R 0
0 15sen(53 16 ) C
3
C 15x C 9u
5
      
    
           
      
    
  
Rpta.: C
3. Un grupo de ingenieros civiles estableció que en un punto dado la fuerza resultante
debe ser nula y así evitar un colapso estructural. Si las fuerzas aplicadas en dicho
punto son F1 = (a,–10) N, F2 = (18, –16) N,F3=(–10, c) N y F4 = (–15, 12) N;
determine las componentes a y c, respectivamente.
A) 7, 14 B) -7, 14 C) 7, -14 D) 14, 7
Solución:
1 2 3 4 R
F F F F F
(a, 10) (18, 16) ( 10,c) ( 15,12) (0,0)
(a 7,c 14) (0,0)
* a 7 0 a 7
* c 14 0 c 14
   
       
  
   
   
Rpta.: A
59

4. Dos vectores A y B forman entre sí 60°, la magnitud de los vectores tienen la
relación A = 3B. Determine la magnitud del vector A si la magnitud de la resultante
de los vectores A y B es 26 u .
A) 2 u B) 3 2u C) 2 3 u D) 13 u
Solución:
2 2
2 2
2 2
2
R A B 2ABcos( )
26 (3B) B 2(3B)Bcos(60 )
1
26 10B 6B ( )
2
26 13B B 2u
A 3 2u
   
   
 
  
 
Rpta.: B
5. Un móvil se desplaza en la dirección del eje x con MRU de acuerdo a la ecuación
posición – tiempo x = – 8+ 4t, donde x se mide en metros y t en segundos. Indique la
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I) Para t = 2 s, la distancia recorrida por el móvil 8 m.
II) Para t = 8 s, el móvil se encuentra a 24 m del origen (x = 0).
III) Para t = 4 s, el desplazamiento es – 16 m.
A) VVF B) VVV C) FVV D) FFV
Solución:
I) V , de la ecuación v = 4 m/s y por tanto:
d v.t
d 4 2
d 8 m

 

II) V , para t = 8 s la posición del móvil es:
x 8 4(8)
x 24m
  

Por tanto, se encuentra a 24 m del origen (x = 0)
III) F , el desplazamiento para t = 4 s:
t 4s o
D x x
D ( 8 4x4) ( 8)
D 16m

 
    
 
Rpta.: A
60

6. Un ciclista se mueve en línea recta en la dirección del eje x según la ecuación de su
posición-tiempo x = – 20 + 5t, donde x se mide en metros y t en segundos.
Determine el tiempo que debe transcurrir para que el ciclista se encuentre a 100 m
del punto de partida.
A) 20 s B) 16 s C) 18 s D) 25 s
Solución:
De la ecuación, la velocidad del ciclista es 5 m/s
Luego d = v.t
100 5t t 20s
  
Rpta.: A
7. La figura muestra la gráfica de la posición (x) versus el tiempo (t) de un pequeño
bloque que se desplaza a lo largo del eje x. Determine la velocidad media del bloque
entre t1 = 1s y t2 = 4s.
A) + 4 m/s
B) +2 m/s
C) + 1,5 m/s
D) + 3 m/s
Solución:
La velocidad media es constante entre 0 y 4 s
Por tanto:
f 0
m
f 0
m m
X X
V
t t
6 ( 6)
V V 3m / s
4 0



 
  

Rpta.: D
x(m)
t(s)
1 4
6
2
x1
61

Física
EJERCICIOS
1. Dos vectores A

y B

tienen una resultante máxima de magnitud 7u y una resultante
mínima de magnitud 3 u. ¿Cuál será la magnitud de la resultante cuando los vectores
formen un ángulo de 37° entre sí?
A) 3 u B) 2 3 u C) 3 5 u D) 5 u
Solución:
MAX
MIN
R A B 7
R A B 3
  
  
Resolviendo A 5u, B 2u
 
Cuando los vectores A y B forman 37° entre sí
Por el método del paralelogramo
2 2
R 5 (2) 2(5)2cos37
R 3 5 u
   

Rpta.: C
y cuyas magnitudes son respectivamente A = 60
u y B = 45 u está sobre el eje + y. Determine la magnitud de la resultante.
2. La resultante de los vectores
A) 75 u
B) 80 u
C) 27 u
D) 48 u
y
x
A
B
37° 
62

Solución:
De condición:
Rx = – 45cos(37º) + 60cos() = 0
cos() = 3/5   = 53°
Ry = 45sen(37°) + 60sen(53°) = 75 u
Rpta.: A
3. Un profesor de física, sale en su auto de la Pre San Marcos y se dirige hacia la ciudad
de Huaral, debiendo llegar a las 6:00 p.m. Si viaja con una rapidez promedio de
40 km/h llegaría una hora después, y si viaja con rapidez promedio de 60 km/h llegaría
una hora antes. ¿Qué rapidez promedio debería llevar para llegar a su destino a la
hora fijada? Considere que la rapidez máxima en carretera es de 90 km/h.
A) 40 km/h B) 42 km/h C) 48 km/h D) 36 km/h
Solución:
Nos piden: V
De I y II:
m
e v t 40(t 1) 60(t 1)
t 5h y e 240 km
    
  
Para el caso I:
m m
240 km v 5 v 48 km / h
  
Rpta.: C
4. La ecuación de la posición de dos partículas A y B que se mueven en la dirección del
eje x están dadas por: xA = 3t – 10 y xB = –2t + 5, donde x está en metros y t en
segundos. Determine los instantes de tiempo para que las partículas estén separadas
5 m.
A) 1 s; 2 s B) 2 s; 3 s C) 2 s; 4 s D) 4 s; 6 s
63

Solución:
 xA  xB = 5  xB  xA = 5
(3t  10)  (2t + 5) = 5 (2t + 5)  (3t  10) = 5
5t  15 = 5 5t + 10 = 0
t = 4 s t = 2 s
Rpta.: C
5. La figura muestra la gráfica de la posición (x) en función del tiempo (t) de un móvil que
se desplaza en la dirección del eje x. ¿Qué distancia recorre el móvil al cabo de 10 s?
A) 20 s
B) 25 s
C) 30 s
D) 5 s
Solución:
x 2t 2(10) 20s
  
Rpta.: D
6. La grafica de la velocidad (v) en función del tiempo (t) que se muestra en la figura
corresponde a un móvil que se desplaza rectilíneamente en la dirección del eje x. Si
en el instante t = 0 la posición del móvil es x0 = – 50m, ¿en qué posición se encontrará
en el instante t = 3 s?
A) + 40 m
B) + 140 m
C) – 40 m
D) – 140 m
Solución:
x (m)
0
10
5
t(s)
64

f f f i
f
f
x x v x x (30m / s)(3s) x 90m
x ( 50) 90
x 40 m
        
  
 
Rpta.: A
7. Un gato al percatarse de la presencia de un ratón emprende veloz carrera en su
persecución con rapidez de 8 m/s y en línea recta. Si el ratón está inicialmente situado
a 10 m del gato y huye en trayectoria rectilínea con rapidez de 2 m/s, ¿qué tiempo
empleará el gato en alcanzar al ratón?
A) 1,70 s B) 1,50 s C) 2,0 s D) 2,5 s
Solución:
De la figura: D = VG t y D – 10 = DR, de donde
G R
10 10 10
t 1
,70 s
V V 8 2 6
   
 
Rpta.: A
8. Dos móviles se desplazan en la dirección del eje x, con movimiento rectilíneo uniforme
de acuerdo a la gráfica posición (x) versus tiempo (t) mostrada. Determine la rapidez
del móvil B.
A) 4,0 m/s
B) 3,0 m/s
C) 3,5 m/s
D) 4,5 m/s
Solución:
 Cálculo de la rapidez del móvil A: A
A
| x | 30
v 3 m/s
t 10

  

 Magnitud del desplazamiento de A en 5 segundos:
x(m)
t(s)
0 5
30
10
A B
65

A A
| x | v t (3 m/s)(5 s) 15 m
   
Luego, la magnitud del desplazamiento de B en t = 5 s, será: 30 – 15 = 15 m
Por lo que su rapidez será: B
B
| x | 15 m
v 3 m/s
t 5

  

Rpta.: B
1. Dos vectores P

y Q

indican las posiciones de dos puntos de un terreno donde se
edificara un centro comercial. Los vectores forman entre sí un ángulo de 60°. La
resultante máxima de los vectores tiene una magnitud de 8 cm, lo que equivale a
800 m de terreno, y la resultante mínima de los vectores tiene una magnitud de 2 cm,
lo que equivale a 200 m de terreno. ¿A qué extensión del terreno corresponde la
magnitud del vector resultante?
A) 700 m B) 250 m C) 500 m D) 400 m
Solución:
 Por dato del problema:
P + Q = 8 cm
P – Q = 2 cm
De donde:
P = 5 cm y Q = 3 cm
 Aplicando la ley de cosenos, tenemos:
R = 2 2
P Q 2PQcos60
   = 7 cm = 700 m
Rpta.: A
2. La figura muestra tres vectores cuyo punto de aplicación es el origen de coordenadas.
Determine la máxima magnitud del vector resultante.
A) 8 u
B) 8
3
u
C) 5 u
D) 6 u
Solución:
2 u
6 u
2
2
°
8°
2 3 u
Y
X
66

El módulo de la resultante de los vectores fijos de
módulos 2u y 2 u es:
2 2
2 2
R A B 2ABcos
R 2 (2 3) 2(2)2 3 cos150
R 2 u
   
   

Nos quedaría dos vectores, R = 2u y el vector de módulo 6u, entonces la resultante
máxima es
MAX MAX
R A B R 2 6 8 u
     
Rpta.: A
3. Un jugador de billar lanza una bola blanca con rapidez
de 4 m/s, siguiendo la trayectoria ACB mostrada en la
figura, cuando choca con la banda de la mesa rebota
con rapidez de 1 m/s de manera que emboca en la
tronera (punto B). ¿Qué rapidez media tiene la bola de
billar en este trayecto?
A) 2,5 m/s B) 3,0 m/s
C) 1,5 m/s D) 1,6 m/s
Solución:
Por definición de rapidez media total
m m
total
e
(v ) v
t

AC CB
L L L
 
Tramo AC: AC
L
t
4

Tramo CB: CB
L
t
1

En todo el trayecto: total
m m
total AC CB
e L L 2L
v v 1,6 m/s
L L
t t t
4 1

    
 
Rpta.: D
4. Un móvil que se desplaza en la dirección del eje x realiza un movimiento cuya gráfica
posición (x) versus tiempo (t) se encuentra representado por la figura mostrada.
Determine su posición en t = 8 s.
A) 9,2 m
B) 8,2 m
C) 6,2 m
D) 7,2 m
Solución:
x(m)
t(s)
0
5
12
67

De la figura:
x 12
8 5 5


x = 7,2 m
Rpta.: D
5. Un tren que se desplaza con velocidad constante, cruza un túnel de 120 m en 8 s. Si
una persona sentada al lado de una de las ventanas del tren nota que permanece 4 s
dentro del túnel, determine la longitud del tren.
A) 120 m B) 180 m C) 200 m D) 240 m
Solución:
Para el tren
1 1 t
d v t (120 L) v 8 (I)
   
La rapidez de la persona es igual a la del tren.
p
120 v (4)

Entonces p t
v v 30m/s
 
En (I) obtenemos L = 120 m.
Rpta.: A
6. En la figura se tienen dos móviles A y B en las posiciones mostradas, separados por
una distancia de 250 m. Determinar al cabo de qué tiempo ambos móviles se
encontrarán separados una distancia de 50 m por segunda vez.
A) 15 m/s
B) 5 m/s
C) 10 m/s
D) 8 m/s
Solución:
 De la figura:
Móvil – A: D14 = D13 + D34 Móvil – B: D52 = D53 + D23
Luego se tiene que,
D13 + D53 = 250 m
D23 + D34 = 50 m
Entonces (D13 + D34) + (D53 + D23) = 300 m
DA DB
Luego VA t + VB t = 300 m
68
x(m)
t(s)
0
5
12
x
8
12

A B
300 m 300 m
t 10 s
V V (20 10) m/s
  
 
Rpta.: C
7. Un automóvil se va alejando en línea recta y perpendicular a un muro con rapidez de
20 m/s. Si a cierta distancia de éste, el conductor toca la bocina, y escucha el eco
después de 4 s, ¿a qué distancia del muro se encontrará el conductor cuando escucha
el eco? Considere Vsonido = 340 m/s
A) 720 m B) 780 m C) 250 m D) 130 m
Solución:
v 340 m/s

a
2
a
d 2d 340 4
20 4 2d 340 4
320 4
d 640m
2
Luego : d* d d 640 20 4 720 m
  
   

 
     
Rpta.: A
69

Física
EJERCICIOS
1. Se tiene el conjunto de vectores mostrados donde F =30u, E=50u. Determine la
magnitud del vector resultante
A)80u B)60u C)100u D)70u E)140u
𝑅
⃗
Solución:
= 𝐴 + ⃗
𝐵 + 𝐶 + ⃗
𝐷
⃗ + ⃗
𝐸 + 𝐹
Del Método del polígono
𝐴 + ⃗
𝐵 + 𝐶 + ⃗
𝐷
⃗ = ⃗
𝐸 + 𝐹
𝑅
⃗
→ = 2(⃗
𝐸 + 𝐹) ,
como el ángulo que forman ⃗
𝐸 𝑦 𝐹 es de 60°
→por el método del paralelogramo:
𝑅 = 2√𝐸2 + 𝐹2 + 2𝐸𝐹𝑐𝑜𝑠60°
𝑅 = 2√502 + 302 + 2.50.30.
1
2
𝑅 = 2(70)
𝑅 = 140𝑢
Rpta.: E
70

2. Los vectores son muy importantes para estudiar fenómenos que suceden a nuestro
alrededor. Con ellos podemos explicar por ejemplo: ¿Por qué si elevamos una
comenta cuando el viento está soplando en contra, y empezamos a correr para
mantenerla en el aire, ésta retrocede a tal punto que la cometa, queda inclinada
hacia atrás?. Para casos como este, usamos los vectores para representar la
velocidad que lleva la cometa y la velocidad del viento. Podemos decir que al hacer
uso de los vectores (flechas dirigidas que poseen magnitud), podemos explicar con
facilidad, problemas que tienen que ver con velocidades, desplazamientos, fuerzas y
aceleraciones. Por ejemplo en la siguiente figura, determinar la magnitud del ángulo
𝛽 , si la magnitud del vector resultante es cero. Considere |𝐴| = 2 u, |𝐶| = 2 u y
|𝐵
⃗ | = 2 u.
y
𝑩
⃗⃗
x
𝜷
𝜷
𝑨
⃗⃗ 𝑨
⃗⃗
A) 30° B) 60° C) 37° D) 53° E) 45°
Solución:
Rpta.: A
71

3. Respecto al MRU, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I) El móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales.
II) El móvil recorre distancias diferentes en tiempos iguales.
III) La velocidad permanece constante.
A) VFV B) FVV C) FFV D) FFF E) VFF
Solución:
Rpta.: A
4. Para evitar la congestión vehicular, los ingenieros instalan sensores a lo largo de las
vías y luego procesan la información en la central de cómputo. La figura muestra el
tipo de información procesada a través de un gráfico que representa a un auto que
se mueve en una sola dirección determine la magnitud de su velocidad.
A) +1 m/s
B) -5 m/s
C) 4 m/s
D) -2 m/s
E) 0 m/s
Solución:
En una gráfica de X(m) vs t(s) la velocidad(V)= pendiente
V = tg45°
V= 1m/s
Rpta.: A
72

5. Dos móviles parten simultáneamente de una determinada posición con
rapideces de 30 m/s y 20 m/s respectivamente en la misma dirección. ¿Al cabo de
que tiempo los móviles estarán equidistantes de un semáforo situado a 200 m del
punto de partida?
A) 8s B) 16s C) 4s D) 5s E) 10s
Solución:
30 t
A A
20 t
B B
d d
200 m
De la figura, tenemos que:
● Para el móvil – A : 30 t – d = 200 -(1)
● Para el móvil – B : 20 t + d = 200 -(2)
Luego sumando miembro a miembro –(1) y -(2) , tenemos
50 t = 400
t = 8 s
Rpta.:
6. En la gráfica mostrada posición (x) en función del tiempo (t). Determine el instante
para el cual los dos móviles se encuentran
A) 18s
B) 22,5
C) 20,0
D) 25,5
E) 9
73

Solución:
Del grafico se deduce las ecuaciones de movimientos de ambos móviles
XA =50-
10
9
t, XB=
10
9
t
Para que se encuentren
XA = XB
50-
10
9
t =
10
9
t
T=22.5s
Rpta.: B
7. Las ecuaciones de posición vs. tiempo de los móviles A y B que viajan con MRU son
𝑥𝐴 = −20 + 4𝑡 y 𝑋𝐵 = +48 − 3𝑡, donde x se mide en m y, el tiempo t en s. ¿Qué
distancia los separa 5s después después de cruzarse?
A) 33 m B) 25 m C) 15 m D) 33 m E) 43 m
Solución:
𝑑𝐴 = 4
𝑚
𝑠
× 5𝑠 = 20𝑚 y 𝑑𝐵 = 3
𝑚
𝑠
× 5𝑠 = 15 𝑚
XA = -20 + 20 = 0 XB = -48 - 15 = 33 m
∆x = XB - XA = 33 m
Rpta.: A
8. La escalera mecánica de Plaza San Miguel mide d = 10 m y se mueve con rapidez
constante VE. Se desea conocer la rapidez VJ de un joven que tarda 5 s en subir
por la escalera en movimiento y 20 s en bajar por la misma escalera.
A) 1,25 m/ s B) 1,45 m/s C) 2,25 m/ s D) 2,45 m/s E) 2,0 s
Solución:
● Velocidad relativa cuando sube: VR = VJ + VE -(1)
● Velocidad relativa cuando baja: Vr = VJ – VE -(2)
Por lo tanto se cumple:
* Sube d = VR ts = (VJ + VE )ts 10 = (VJ + VE ) 5 VJ + VE = 2 -(3)
* Baja d = Vr tb = (VJ – VE )tb 10 = (VJ – VE ) 20 VJ – VE = 0,5 -(4)
Luego de –(3) y -(4), tenemos
2 VJ = 2,5 VJ = 1,25 m/ s
Rpta.: A
74

1. Un barco turístico navega por el océano Atlántico desplazándose A = 270km hacia el
este, luego de ello se detiene para evaluar y corregir algunos problemas mecánicos
porque son alcanzados por mareas altas surgiendo problemas de orientación incluso
los sistemas de navegación han dejado de funcionar por culpa de algún virus,
desplazándose B = 360km a la deriva. Un vigía con conocimientos de física se dio
cuenta de que │𝐴 + 𝐵
⃗ │ = │𝐴 − 𝐵
⃗ │, siendo 𝐴 y 𝐵
⃗ los vectores de desplazamiento
que realizo el barco. Determine cuanto es la magnitud del desplazamiento total del
barco.
A)630km B)500km C)450√3km D)400km E) 450km
Solución:
Piden 𝑅 = │𝐴 + 𝐵
⃗ │
Sea: A=270km y B=360km para hallar el desplazamiento total tenemos que saber
que ángulo(ϴ) forman los vectores 𝐴𝑦𝐵
⃗ , entonces:
Del dato
│𝐴 + 𝐵
⃗ │ = │𝐴 − 𝐵
⃗ │
√𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝛳 = √𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝛳
4𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝛳 = 0→ 𝑐𝑜𝑠𝛳 = 0 ‫؞‬ 𝛳 = 90°
Como forman 90°
→ 𝑅 = │𝐴 + 𝐵
⃗ │ = √𝐴2 + 𝐵2 = √2702 + 3602
𝑅 = 450𝑘𝑚
Rpta.: E
2. Diremos que un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación cuando la fuerza
resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es nula: 𝐹𝑅
⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ . En este
contexto, si se muestran tres vectores de fuerza que actúan sobre un cuerpo en
equilibrio, ¿qué ángulo deben formar los vectores 𝐹1
⃗⃗⃗ y 𝐹2
⃗⃗⃗ para que tengan la misma
magnitud?
A) 30° B) 60° C) 90° D) 120° E) 180°
75

Solución:
Condición del problema 𝐹𝑅
⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗
𝐹𝑅
⃗⃗⃗⃗ = 𝐹1
⃗⃗⃗ + 𝐹2
⃗⃗⃗ + 𝑊
⃗⃗⃗ = 0
⃗
│𝐹1
⃗⃗⃗ + 𝐹2
⃗⃗⃗ │ = │ − 𝑊
⃗⃗⃗ │
Por el método del paralelogramo
√ 𝐹1
2
+ 𝐹2
2
+ 2𝐹1. 𝐹2𝑐𝑜𝑠𝛳 = 𝑊
Como 𝐹1 = 𝐹2 = 𝑊
→ 𝑐𝑜𝑠𝛳 =
−1
2
ϴ=120°
Rpta.: D
3. Dadas las proposiciones para el movimiento rectilíneo uniforme:
I) La dirección de la velocidad media es paralela al desplazamiento del móvil.
II) Si la velocidad media es constante para todo intervalo de tiempo, entonces la
distancia recorrida es proporcional al tiempo empleado.
III) En un MRU la magnitud de la velocidad media y la magnitud de la velocidad
instantanea son iguales.
¿Cuáles son verdaderas?
A) I, II y III B) I y II C) II y III D) Solo I E) Solo III
Solución:
I) V
II) V
III) V
Rpta.: A
4. En la siguiente gráfica se representa el movimiento de dos móviles que tienen
movimiento uniforme. Determinar el tiempo de encuentro.
X (m)
A) 10,50 s A
B
B) 11,50 s 600
30
C) 12,50 s
D) 9,50 s
740
E) 15,5 s t(s)
76

Solución:
En una gráfica posición (x) vs tiempo (t), la pendiente de la recta me determina la
velocidad del móvil, por lo que: (
√3
3
= 0,58 ,
24
7
= 3,43)
● Móvil – A : VA = Tag 740 =
𝑆𝑒𝑛 740
𝐶𝑜𝑠740
=
24
25
7
25
=
24
7
m/s
● Móvil – B : VB = Tag 300 =
𝑆𝑒𝑛 300
𝐶𝑜𝑠 300
=
1
2
√3
2
=
√3
3
m/s
● Como en el MRU : X = X0 + V t , entonces tenemos que,
XA = 0 + VA t =
24
7
t y XB = 30 + VB t = 30 +
√3
3
t
Entonces XA = XB
24
7
𝑡 = 30 + 0,58 t t = 10,50 s
Rpta.: A
5. La grafica muestra la posición vs el tiempo de dos móviles A y B que se mueven con
MRU en la dirección del eje X. El instante en que se cruzan es:
A) 3,8 s
B) 2,5 s
C) 3,0 s
D) 4,2 s
E) 2,8 s
Solución:
De la Grafica se tiene 𝑋𝐴 = −8 + 4𝑡 y 𝑋𝐵 = 30 − 6𝑡, se cruzan cuando
−8 + 4𝑡 = 30 − 6𝑡
𝑡 = 3,8 𝑠
Rpta.: A
77

6. Dos móviles A y B viajan con MRU. Tienen las ecuaciones de posición: 𝑋𝐴 = −20 +
5𝑡 y 𝑋𝐵 = 12 + 3𝑡, donde x se mide en metros y el tiempo t en segundos. ¿En qué
instante el móvil A alcanza al móvil B?
A) 4 s B) 12 s C) 6 s D) 10 s E) 8 s
Solución:
Dado que 𝑋𝐴 = 𝑋𝐵
−20 + 5𝑡 = 12 + 3𝑡
8𝑡 = 32 → 𝑡 = 4𝑠
Rpta.: A
7. Un equipo de científicos disparó neutrinos desde el acelerador de partículas que se
encuentra cerca de Ginebra (Suiza) en el año 2011, hasta el Gran Sasso (Italia),
distante 630 kilómetros, y con los detectores de neutrinos encontraron que tardaban
en viajar 0.1ms menos que la rapidez de la luz en el mismo experimento. Nada
puede viajar más rápido que la luz, si esto fuera cierto, se haría tambalear los
cimientos de la física», afirmó Stephen Parke. Con esta información, determine la
rapidez de los neutrinos. (VLUZ=3.105 km/s)
A) 3,15.105 km/s B) 3,015.105 km/s C) 2.105 km/s
D) 4.105 km/s E) 6.3.105 km/s
Solución:
Hallando el tiempo que demora la luz
T=d/v → 𝑡 =
630𝑘𝑚
3.105𝑘𝑚/𝑠
→𝑡 = 2.1𝑚𝑠
Para los neutrinos 𝑡 − 0.1𝑚𝑠
𝑣 =
𝑑
𝑡
→ 𝑣 =
630𝑘𝑚
(2.1 − 0.1)𝑚𝑠
𝑣 = 3,15. 105
𝐾𝑚/𝑠
Rpta.: A
78

Física
EJERCICIOS
1. En Física con frecuencia necesitamos trabajar con cantidades físicas que tienen
propiedades numéricas y direccionales, a estas cantidades las conocemos como
cantidades vectoriales. Como por ejemplo tenemos al vector posición,
desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, etc. Teniendo en cuenta las
propiedades del cálculo vectorial. Determine los elementos del vector resultante de
los vectores , y
A B C mostrados en la figura.
A) – 33 u ; 0° B) 33 u ; 180° C) – 33 u ; 180°
D) 3 u ; 0° E) 40 u ; 180°
Solución:
Por el método analítico tenemos:
Rpta.: B
       
       
   
, , , ,
, 6,8 24,7 15, 15
, 33,0
R = 33 u
=180°
X Y X Y X Y X Y
X Y
X Y
R R A A B B C C
R R
R R

  
     
 
79

2. Los vectores sirven para representar cantidades vectoriales como la fuerza. En la
siguiente figura se muestra dos personas tirando de una mula terca. Determine la
magnitud de la fuerza equivalente de las dos personas.
A) 100 N B) 200 N C) 300 N D) 400 N E) 500 N
Solución:
     
   
, 21,28 21,72
, 0,100
R = 100 N
X Y
X Y
R R
R R N
  

Rpta.: A
80

3. Existen cantidades físicas que quedan completamente determinadas por su
magnitud, expresadas en alguna unidad conveniente. Dichas cantidades se llaman
escalares. Sin embargo existen cantidades físicas que requieren para su completa
determinación, que se añada una dirección a su magnitud. Dichas cantidades las
llamamos vectoriales. En la figura se muestra cuatro cantidades vectoriales de la
misma naturaleza A, B, C y D . Si el vector resultante es vertical. Determine la
magnitud del vector A .
A) 15 u B) 20 u C) 13 u D) 14 u E) 18 u
Solución:
Eje “X”
5 7 cos37 0
15 u
x
R A
A
     

Rpta.: A
4. Cuando un móvil tiene una trayectoria rectilínea y recorre la misma distancia en
iguales intervalos de tiempo, decimos que tiene un movimiento rectilíneo uniforme
(MRU). Con respecto a este movimiento indique la verdad (V) o falsedad (F) de las
I) La velocidad instantánea es igual que la velocidad media.
II) El desplazamiento es igual a la distancia recorrida.
III) Si su rapidez permanece constante entonces realiza un MRU.
A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF E) FFV
Solución:
I) V II) F III) F
Rpta.: C
81

5. Considere dos móviles A y B que se desplazan sobre el eje x. Si sus movimientos
están descritos por las siguientes ecuaciones de posición con respecto al tiempo:
A
x 20 2t
   y x 40 8t
B   donde x se mide en metros y t en segundos. Determine:
I) La distancia que están separados en el instante t = 5 s.
II) El instante en que se cruzan.
A) 10 m; 4 s B) 15 m; 6 s C) 13 m; 6 s D) 10 m; 6 s E) 12 m; 4 s
Solución:
I)
x x 40 8t ( 20 2t)
x x 60 10 ; 5 s
x x 60 10 5 10 m
B A
B A
B A
t t
x
     
   
   
II)
x =x
40 8t= 20 2t
60 10
6 s=t
B A
t
  

Rpta.: D
6. Considere dos móviles A y B que se mueven horizontalmente a lo largo del eje x. La
descripción de sus movimientos está dado por la gráfica de posición versus tiempo
que se muestran en la figura. Determine la posición inicial del automóvil A.
A) –13 m B) +20 m C) +10 m D) –10 m E) +13 m
82

Solución:
Para t=4 s
0
0
0
x =x
12 tan 45 4 tan37 4
16 3
13 m
B A
A
A
A
x x x
x
x
    
 
 
Rpta.: E
7. No existe movimiento absoluto, todo movimiento es relativo, quiere decir que
depende de un sistema de referencia. Para poder describir el movimiento de un
cuerpo de un sistema inercial a otro se puede recurrir a las transformaciones
galileanas. Tomando en cuenta estas transformaciones considere dos móviles A y B
que se desplazan sobre el eje x, con rapideces constante A B
v =72 Km/h y v =90 Km/h
respectivamente. Determine la magnitud de velocidad relativa de B con respecto a
A, cuando:
I) Se mueven en la misma dirección.
II) Se mueven en direcciones opuestas.
A) 1 m/s;40 m/s B) 18 m/s;162 m/s C) 3 m/s;60 m/s
D) 5 m/s;45 m/s E) 2 m/s;4 m/s
Solución:
I) 25 m/s - 20 m/s = 5 m/s
BA B A
v v v
  
II) 25 m/s -(- 20 m/s) = 45 m/s
BA B A
v v v
  
Rpta.: D
1. En la figura se muestran 4 vectores , , y D
A B C aplicados en el origen de
coordenadas. Determine la magnitud del vector resultante.
A) 101 u B) 102 u C) 10u D) 15u E) 99 u
83

Solución:
         
         
   
, , , , ,
, 2 3,0 5,5 4,3 2 3,2
, 1,10
R = 101 u
X Y X Y X Y X Y X Y
X Y
X Y
R R A A B B C C D D
R R
R R
   
     

Rpta.: A
2. Un golfista novato necesita hacer tres tiros para meter la pelota en el hoyo. Los
desplazamientos sucesivos son 10 m al norte; 5 m, 37° al norte del este; 2 m al
sureste. Si un golfista experto empieza del mismo punto inicial. Determine la
magnitud del desplazamiento único que debería realizar la pelota de golf para
ingresar al hoyo.
A) 10 m B) 12 m C) 11 m D) 13 m E) 17 m
Solución:
(0,10) (4,3) (1, 1) (5,12) m
13 m
d
d
    

Rpta.: D
3. El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es uno de los movimientos más
elementales que puede describir un sistema. Todo sistema que se mueve a
velocidad constante describe dicho movimiento. Con respecto a lo enunciado indique
la verdad (V) o falsedad (F) según corresponda en cada proposición:
I. Si un móvil recorre 10 metros en 2 segundos entonces su rapidez es 18 Km/h.
II. Solo se realiza de manera horizontal.
III. Si un móvil tiene trayectoria rectilínea entonces realiza un MRU.
A) FFF B) FVF C) VFF D) FFV E) VVV
84

Solución:
I) V II) F III) F
Rpta.: C
4. En la figura se muestra la trayectoria que recorre Pedro en su automóvil para
dirigirse a su trabajo. Si marca su tarjeta de asistencia a la 8:00 am. Determine la
magnitud de la velocidad media y la rapidez media respectivamente a la que debe
viajar Pedro en su automóvil para llegar a la hora. Si sale de su casa a la 7 00 a.m.
Considere perpendicular los cruces de las avenidas.
A) 100 Km/h;120 Km/h
B) 90 Km/h; 160 Km/h
C) 125 Km/h; 175 Km/h
D) 50 Km/h; 45 Km/h
E) 60 Km/h; 100 Km/h
Solución:
85

2 2
100 75 125 Km
d   
media
d 125 Km
v = = =125 Km/h
Δt 1 h
175 Km
rapidez media= =175 Km/h
1 h
Rpta.: C
5. Un móvil se mueve sobre el eje x de acuerdo a la ecuación 10 5
x t
  , donde x se
mide en metros y t en segundos. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
I. Su velocidad del móvil es 5 m/s.
II. En el instante t=2 s, se encuentra a 5 m de la posición inicial.
III. Al cabo de 10 s la distancia recorrida es 40 m.
A) FFV B) FVV C) FFF D) VVV E) VVF
Solución:
I) F
5 m/s
v  
II) F 10 5 2 0 m
x x
  
III) F
5 10 50 m
d x
 
Rpta.: C
6. En la figura se muestra la gráfica posición versus tiempo de un partícula que se
desplaza a lo largo del eje x. Con respecto al movimiento de esta partícula indique la
verdad (V) o falsedad (F) según corresponda en cada proposición:
I. La velocidad instantánea
en t = 1 s es -7,5 m/ s .
II. La velocidad media en el
intervalo de t = 7 s a
t = 9 s es -10m/ s .
III.La rapidez media en el
intervalo de t = 0 s a
t = 9 s es 6,6 m/ s .
A) FFF B) VVV C) FFV D) VFV E) FVF
86

Solución:
15
I. v = = 7,5 m/s
2
30
II. v = = 10 m/s
3
60
III. rapidez = 6,6 m/s
9
media
media
 
 

Rpta.: B
7. Considere dos móviles A y B que se desplazan sobre el eje x. En la figura 1 se
muestra la gráfica posición vs tiempo del móvil A y en la figura 2 se muestra la
gráfica velocidad vs tiempo del móvil B. Si la posición inicial de móvil B es 45 m
x   ,
determine el instante al cual están separados 11 m por segunda vez.
A) 3 s B) 4 s C) 10 s D) 11 s E) 6 s
Solución:
De las gráficas se tiene:
10
45 10
11
11 45 10 (10 )
11 45 10 10
66 11
6 s
A
B
B A
x t
x t
x x
t t
t t
t
t
 
  
 
    
    


Rpta.: E
87

8. El movimiento es un concepto relativo porque debe siempre referirse a un sistema
particular de referencia. Como diferentes observadores pueden utilizar sistemas de
referencias distintos, es importante conocer la forma en que están relacionadas.
Como por ejemplo en la figura se muestra dos automóviles A y B, desplazándose
con rapideces constante. El móvil A recorre 108 Km por cada 2 h hacia el norte y el
móvil B recorre 216 Km por cada 3 h hacia el este. Determine la magnitud de la
velocidad relativa del móvil A con respecto al móvil B.
A) 11 m/s B) 18 m/s C) 30 m/s D) 25 m/s E) 32 m/s
Solución:
108 5 216 5
= x =15 m/s ; = x =20 m/s
2 18 3 18
A B
v v
2 2
2 2
15 20 25 m/s
AB A B
AB A B
AB
v v v
v v v
v
 
 
  
Rpta.: D
88

03
semana
MANUAL DE PRACTICAS Y EJERCICIOS
FISICA

Física
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
1. Aceleración media(a)
Cantidad física vectorial que indica el cambio de velocidad de un móvil en un intervalo de
tiempo.
 
media
cambio de velocidad
aceleración
intervalo de tiempo

0
0
v v
a
t t



2
m
Unidad S.I:
s
 
 
 
(*) OBSERVACIONES:
1°) Movimiento acelerado: aumento de la rapidez. La aceleración del móvil tiene la
dirección del movimiento, como muestra la figura (a).
2°) Movimiento desacelerado: disminución de la rapidez. La aceleración del móvil tiene
dirección opuesta al movimiento, como muestra la figura (b).
90

2. Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
Se caracteriza por el hecho de que el móvil realiza cambios de velocidad iguales en
intervalos de tiempo iguales. Esto significa que la condición necesaria para que un cuerpo
tenga MRUV es que su aceleración permanezca constante:
0
0
v v
a constante
t t

 

3. Ecuaciones del MRUV
Ecuación velocidad (v) en función del tiempo (t):
0 0
v v a(t t )
  
v0 : velocidad (inicial) en el instante t0
v : velocidad (final) en el instante t
Ecuación posición (x) en función del tiempo (t):
2
0 0 0 0
1
x x v (t t ) a(t t )
2
    
x0 : posición (inicial) en el instante t0
x : posición (final) en el instante t
(*) OBSERVACIONES:
1°) Conocidas las cantidades (x0,v0,a) en el instante t0 se conocerán (x,v) en cualquier
instante t.
2°) Si t0 = 0:
0
v v at
  ;
2
0 0
1
x x v t at
2
  
3°) Ecuación velocidad (v) – posición (x):
2 2
0 0
v v 2a(x x )
  
v0 : velocidad en la posición x0
v : velocidad en la posición x
91

4. Gráficas del MRUV
(*) OBSERVACIONES:
1°) El área sombreada en la gráfica velocidad – tiempo representa el desplazamiento del
móvil:
área sombreada = d = x – x0
2°) La pendiente de la recta en la gráfica velocidad – tiempo representa la aceleración (a)
del móvil:
tan a
 
3°) La mediana del trapecio en la gráfica velocidad – tiempo representa la velocidad
media entre v0 y v:
mediana = 0
v v
v
2


92

4º) El área sombreada en la gráfica aceleración – tiempo representa el cambio de la
velocidad del móvil:
área sombreada = at = v – v0
5. MRUV vertical
Es un caso aproximado de MRUV el cual se verifica cerca de la superficie terrestre,
siempre que se desprecie la resistencia del aire. La aceleración que experimenta el móvil
se llama aceleración de la gravedad la cual se asume constante. Se puede expresar
vectorialmente por: g (0, g)
  , donde el signo negativo indica que la aceleración de la
gravedad tiene la dirección del eje – y.
Ecuación velocidad (v) – tiempo (t):
0
v v gt
 
Ecuación posición (y) – tiempo (t):
2
0 0
1
y y v t gt
2
  
Ecuación velocidad (v) – posición (y):
2 2
0 0
v v 2g(y y )
  
93

Física
EJERCICIOS
1. Un automóvil se mueve a 72 km/h en línea recta; repentinamente se aplican los
frenos y se detiene luego de recorrer 20 m. Si se hubiera estado moviendo a
108 km/h y se aplicaran los frenos, como en el caso anterior, de manera que se
obtuviese la misma desaceleración, determine la distancia que recorre desde el
momento que se aplican los frenos hasta que se detiene.
A) 40 m B) 36 m C) 45 m D) 10 m
Solución:
 1ra situación:
 
 

2 2
F O
2
V V 2ad
0 400 2a(20)
a 10 m/s
 2da situación:
 
 

2 2
F O
V V 2ad
0 900 2(10)d
d 45 m
Rpta.: C
2. Un cuerpo se mueve rectilíneamente en la dirección del eje x de acuerdo a la
ecuación posición vs tiempo    2
x 2(1 2t) , 
(t 0) donde (x) se mide en metros y (t)
se mide en segundos. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I. El móvil cambia de dirección en el instante t = 0,5 s.
II. La velocidad del móvil en el instante t = 0,25 s es + 6 m/s.
III. En t = 1 s el móvil vuelve a pasar por la posición inicial.
A) FFF B) FVV C) VFV D) VVF
Solución:
    2
0
o
2
2
2
at
2
1
t
v
x
t
8
t
8
2
t
4
t
4
1
2
t
2
1
2
x 













Comparando
m
2
xo 

,
s
/
m
8
vo 

,
2
s
/
m
16
a 

I. (V): Cambia la dirección cuando ( F
V 0
 )
F O
V V at
0 ( 8) ( 16)t
t 0,5 s
 
   

94

II. (F):
F O
F
F
V V at
1
V ( 8) ( 16)
4
V 4 m/s
 
 
     
 

III. (V): o
(x x 2)
  
2
2
2
x 2 8t 8t
2 2 8t 8t
8t 8t
t 1 s
   
    


Rpta.: C
3. La empresa Norteamericana OTIS elevator Company, es el principal fabricante de
sistemas de ascensores del mundo, pionera en sistema de seguridad para
ascensores. Un ascensor se encuentra detenido en el primer piso, si Raúl dentro del
ascensor sube hasta el piso 13, de tal forma que el ascensor se comporta de
acuerdo al gráfico mostrado. Determine la altura de cada piso, y durante cuatro pisos
el ascensor estuvo aumentando su rapidez.
A) 2 m; 1 piso
B) 2,5 m; 2 pisos
C) 3 m; 3 pisos
D) 3,2 m; 3 pisos
Solución:
Si el ascensor sube hasta el piso 13, entonces recorre 12 pisos. Del gráfico del
problema, determinamos su área, la cual representa la distancia recorrida.
trapecio
4 8
d Área 5 30 m
2
30
Luego : c / piso 2,5 m
12

 
   
 
 
 
Ahora, determinemos los pisos en que estuvo aumentando su rapidez, la cual ocurre
los 2 primeros segundos.
Del gráfico:
2 5
d ÁreaTriángulo 5 m
2

 
  
 
 
Entonces, serán 2 pisos.
Rpta.: B
t(s)
V(m/s)
6 8
2
5
0
95

4. Un objeto se lanza hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Después de qué
tiempo de lanzado, alcanzará respecto al piso las tres cuartas partes de su altura
máxima, pero de regreso.
(g = 10 m/s2
)
A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 3.5 s
Solución:
2 2
o
2
o
2
V (20)
Hmax 20m
2g 2(10)
3
h Hmax 15m
4
1
h V t gt
2
15 20t 5t
t 1s
t 3s
  
 
 
 


Luego, de regreso el tiempo es el mayor t = 3 s.
Rpta.: C
5. Una persona, lanza una moneda verticalmente, si dicha moneda se comporta de
acuerdo a la ecuación: Y(t) = 60 + 20t – 5t2
(expresada en unidades del S:I),
determine su desplazamiento luego de 5 segundos.
(g = 10 m/s2
)
A) 20 m B) –25 m C) 35 m D) –45m
Solución:
2
2
2
y 60 20t 5t
y 60 20t 5t ..............(t 5 s)
d 20(5) 5(5)
d 25 m
  
   
 
 
Rpta.: B
6. Un cuerpo realiza caída libre, si la única fuerza que actúa sobre él es su propio peso.
Una persona ubicada en B, observa un cuerpo que es lanzado en "A" con 40 m/s.
Determine el ángulo que barre la visual del observador en los tres últimos segundos
de ascenso del cuerpo.
(g = 10 m/s2
)
A) 30°
B) 60°
C) 37°
D) 53°
35m
60m
g
40m/s
A
B
96

Solución:
- Notamos que el tiempo que tarda en ascender es 4 s.
- Ahora determinemos el tiempo que le toma en ascender 35 m.
2
h 35 40t 5t t 1s
    
- Su velocidad en ese instante:
F o
V V gt V 40 10(1) 30 m/s
     
h1=45m

60m
V=0
V=30 m/s
B
i F
1
V V 30 0
h t 3 45 m
2 2
Luego, del : 37
 
   
  
 
 
 
 
   
Rpta.: C
7. Determine la mínima aceleración constante con la que debe alejarse un motociclista
que activa una granada para que no sea alcanzado por la onda expansiva sabiendo
que la granada se activa luego de 10 segundos. La velocidad de la onda expansiva
en el aire es 340 m/s.
A) 15 m/s2
B) 16 m/s2
C) 17 m/s2
D) 18 m/s2
Solución:
- Si a min, entonces la velocidad del motociclista al momento de llegar la onda es
de 340 m/s.
 MOTO:  
0 340
d t 10
2

 
 
 
 
 ONDA: d = 340t
Igualando: t = 10s  Ttotal = 20s
Luego:
F O tot
2
V V a.t
340 0 a.(20)
a 17 m/s
 
 

Rpta.: C
t = 3s
97

8. Determine la altura que descenderá una piedra en 1 s en las cercanías de la
superficie de la Tierra, si en el segundo anterior la piedra descendió 10,2 m.
(g = 10 m/s2
)
A) 20,2 m B)10,2m C)15m D) 20 m
Solución:
 AB:
o F
V V
d .t
2
V V 10
10,2 .1
2
V 5,2 m/s

 
  
 
 
 
  
 

 BC:
o F
V V
d .t
2
15,2 25,2
V .1 20,2 m
2

 
  
 

 
 
 
 
Rpta.: A
1. La rapidez de un móvil es reducida de 35 m/s a 15 m/s mientras recorre una distancia
de 400 m. Determine la distancia que logra recorrer el móvil durante el último segundo
antes de detenerse por completo. Asuma que el móvil desarrolla MRUV.
A) 0,5 m B) 0,625 m C) 0,75 m D) 0,125 m
Solución:
 
 
 

2 2
F 0
2
2
2
V V 2ad
(15) 35 2a(400)
a 1
,25 m/s
Un segundo antes de detenerse posee una rapidez:  
V 1
,25 m/s

o F
V V 1.25 0
d .t .1 0,625 m
2 2
 
   
  
 
 
 
 
Rpta.: B
V
1s
y
A
C
1s
10.2m
V+10
V+20
B
98

2. De un globo aerostático que sube con una rapidez constante de 20 m/s se suelta
una piedra. Si ésta demora 5 s en llegar al suelo, ¿qué distancia separa al globo y la
piedra en el instante en que ésta impacta con el piso?
(g = 10 m/s2
)
A) 90 m B) 100 m C) 115 m D) 125 m
Solución:
 Piedra:
2
o o
2
o
o
1
y y v t gt
2
1
0 y 20(5) ( 10)(5)
2
y 25 m
  
   
 
 Globo:
t = 5 s
d v.t 20(5) 100 m
  
 Separación:
S 25 100 125 m
  
Rpta.: D
3. Una partícula se mueve a lo largo del eje x, partiendo de la posición x = –5m
comportándose de acuerdo al grafico mostrado. Determine del desplazamiento entre
t = 0 y t = 12 s.
A) 120 m
B) – 24 m
C) – 72 m
D) 96 m
Solución:
1 2
d A A
8 24 4 12
2 2
96 24
d 72 m
 
 
   
  
   
   
  
 
Rpta.: C
-
V(m/s)
t(s)
0 8
24
12
v(m/s)
12 t(s)
-24
0 8
99

4. Las proposiciones siguientes están referidas al movimiento rectilíneo uniformemente
variado, señale la verdad o falsedad de dichas proposiciones.
I. Los cambios de la velocidad en este movimiento son proporcionales a los
tiempos empleados.
II. Si el movimiento inicia del reposo y es a lo largo del eje X, su posición es
proporcional al cuadrado del tiempo utilizado.
III. En el M.R.U.V. la aceleración media y la aceleración instantánea no
necesariamente son iguales.
A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF
Solución:
I. V II. V III. F
Rpta.: B
5. El M.R.U.V. es un movimiento donde el móvil experimenta los mismos cambios de
velocidad en el mismo intervalo de tiempo. Se sabe que un auto se mueve sobre el
eje X, partiendo del reposo en la posición x 12 m

  y viaja durante 4 s, en ese
instante su velocidad es + 24 m/s. ¿En qué instante de tiempo pasa por el origen?
A) 1 s B) 3 s C) 2 s D) 5 s
Solución:
m
12
xo 


0
Vo 

2
2
o
o t
a
2
1
12
t
a
2
1
t
V
x
x











t
a
t
a
V
V o







En t = 4 s:
m
V 24
s

 24 a (4)

  2
m
a 6
s

  2
x 12 3t

  
Si x 0

 :
2
0 12 3t
    t = 2 s
Rpta.: C
100

6. El M.R.U.V es un movimiento rectilíneo que se realiza con aceleración constante. Se
muestra el gráfico posición (x) en función del tiempo (t) de un móvil sobre el eje x
con MRUV. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. La aceleración constante, tiene módulo igual a 0,16 m/s2
.
II. El móvil primero avanzó hacia –x, luego en t = 5 s cambia su sentido.
III. Su velocidad inicial (en t = 0 s) es –8 m/s.
A) VVV B) VFV C) FVV D) VVF
Solución:
I. (V) Del gráfico: t 5 10s

2
o
2
2 2
1
d V t at
2
1
2 a(5)
2
24
a m/s 0,16 m/s
5
 

 
II. (V) En t = 5 s cambia de sentido.
III. (F) Entre: 
t 0 5s
F o
o
o
V V a.t
0 V (0.16)(5)
V 0,8 m/s
 
 
 
Rpta.: D
7. Un dron desciende verticalmente con una velocidad constante de 20 m/s, a cierta
altura se cruza con un objeto que asciende verticalmente en caída libre con 50 m/s.
¿Qué altura descendió el dron hasta que el objeto lo cruza por segunda vez?
(g = 10 m/s2
)
A) 220 m B) 140 m C) 260 m D) 280 m
parábola
0
x(m)
t(s)
10
2
101

Solución:
El desplazamiento es el mismo para ambos
 
1 2
2
2
d d
1
20t 50t 10 t
2
20t 50t 5t
t 14s

   
  

Luego: d 20t 20(14) 280 m
   
Rpta.: D
102

Física
EJERCICIOS
1. En una competencia deportiva de ciclismo dos ciclistas A y B se desplazan sobre
una pista recta en la dirección del eje + x. Las ecuaciones posición – tiempo de los
ciclistas A y B son xA = 625 + 4t y xB = 4t + t2, (t ≥ 0) respectivamente, donde x se
mide en metros y t en segundos. ¿Cuánto tiempo tardará el ciclista B en alcanzar al
ciclista A?
A) 25 s B) 20 s C) 50 s D) 40 s
Solución:
Cuando el ciclista B alcanza al ciclista A se cumple: xA = xB
625 + 4t = 4t + t2
t = 25 s
Rpta: A
2. Dos automóviles A y B se desplazan rectilíneamente sobre pistas paralelas en la
dirección del eje x, como se muestra en la figura. El auto A se desplaza con velocidad
constante de + 10 m/s y el auto B tiene aceleración constante de – 4 m/s2. Si la
velocidad del auto B en el instante t = 0 es – 10 m/s, determine la distancia entre los
autos en el instante t = 10 s.
A) 180 m B) 240 m C) 360 m D) 270 m
Solución:
Ecuaciones posición – tiempo de los autos:
A
x 10 10t
  ; 2
B
x 50 10t 2t
  
En t = 10 s:
A
x 10 10(10) 110 m
    ; 2
B
x 50 10(10) 2(10) 250 m
    
Distancia:
D 110 250 360 m
  
Rpta: C
103

3. La figura muestra la gráfica de la velocidad (v) en función del tiempo (t) de un móvil
que se desplaza rectilíneamente en la dirección del eje x. ¿Cuál es su
desplazamiento entre t = 0 y t = 20 s?
A) – 400 m
B) + 200 m
C) – 200 m
D) + 400 m
Solución:
2
10 10
a 2 m / s
10 0
 
  

v 10 2t
 
t = 20 s:
v 10 2(20) 30 m / s
   
Desplazamiento:
10 30
d (20 10) 200 m
2
 
 
   
 
 
Rpta: C
4. Dos autos (1) y (2) se desplazan sobre una pista recta en la dirección del eje + x,
como muestra la figura. El auto (1) tiene aceleración constante de + 2 m/s2 y el auto
(2) tiene velocidad constante de + 4 m/s. Si en el instante t = 0 la velocidad del auto
(1) es + 4 m/s, ¿en qué tiempo estarán distanciados 1280 m?
A) 18 s B) 36 s C) 72 s D) 24 s
104

Solución:
x1 = 4t + t2 ; x2 = 16 + 4t
x1 – x2 = 1280
2 2
4t t (16 4t) 1280
   
t = 36 s
Rpta.: B
5. La figura muestra la gráfica posición (y) – tiempo (t), y la gráfica velocidad
(v) – tiempo (t) de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba. ¿En qué tiempo y
con qué velocidad llegará el proyectil a tierra (y = 0)? Desprecie la resistencia del
aire. (g = 10 m/s2)
A) 2 s; –10 m/s B) 2 s; – 5 m/s C) 4 s; –10 m/s D) 2 s; –15 m/s
Solución:
Usando:
2
0 0
1
y y v t gt
2
  
2
y 10 5t 5t 0
   
2
t t 2 0
  
(t 2)(t 1) 0
  
t 2 s

Usando:
0
v v gt
 
v 5 10t
 
En t = 2 s:
v 5 10(2) 15 m / s
   
Rpta: D
105

6. Un estudiante situado en la ventana de un edificio ve que su profesora camina por la
vereda contigua al edificio y deja caer un globo con agua desde la altura H = 21,6 m
sobre el suelo, cuando la profesora está a la distancia d = 1,5 m de la trayectoria
vertical del globo, como muestra la figura. Si la estatura de la profesora es h = 1,6 m
y camina con rapidez v = 0,5 m/s, indique la verdad (V) o falsedad (F) de las
(g = 10 m/s2)
I) El globo golpea la cabeza de la profesora.
II) El globo no golpea la cabeza de la profesora.
II) El globo pasa a 0,5 m delante de la profesora.
A) VFV
B) FVV
C) VFF
D) FFF
Solución:
I) F II) V III) V
Rpta: B
7. La figura muestra un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba desde tierra con
rapidez de 30 m/s. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
Desprecie la resistencia del aire. (g = 10 m/s2)
I. La altura máxima que alcanza el proyectil es 50 m.
II. La posición del proyectil en el instante t = 3 s es y = + 45 m.
II. En el instante t = 6 s la posición del proyectil es y = + 20 m y su velocidad es
v = + 30 m/s.
A) FVF B) VVF C) FFF D) FVV
106

Solución:
I) F II) V III) F
Rpta.: A
8. Un muchacho situado junto a un edificio lanza una pelota verticalmente hacia arriba
con rapidez v0 = 20 m/s, como muestra la figura. En su trayectoria hacia abajo la
pelota es atrapada por otra persona que se asoma a una ventana del edificio situada
a una altura h = 5 m respecto al punto de lanzamiento. ¿Cuánto tiempo permaneció
en el aire la pelota? Desprecie la resistencia del aire. (Considere 3  1,7; g = 10
m/s2)
A) 4,2 s
B) 3,7 s
C) 2,4 s
D) 1,7 s
Solución:
Velocidad final:
2 2 2
0
v v 2gh 20 2(10)(5) 300
    
v 10 3 10(1
,7) 17 m / s
     
Tiempo:
107

2
1
8
32
Parábola
x(m)
t(s)
0
v v gt
 
0
v v 20 ( 17)
t 3,7 s
g 10
  
  
Rpta.: B
1. Un auto se mueve con aceleración constante y tiene una velocidad v = +12 m/s en
la dirección del eje +x cuando su coordenada x = +3 m. Si la posición del auto en
t = 2s es x = –5 m, determine la magnitud de su aceleración.
A) 8 m/s2 B) 16 m/s2 C) 12 m/s2 D) 14 m/s2
Solución:
a = – 16 m/s2
|a| = 16 m/s2
Rpta.: B
2. La figura muestra la gráfica posición-tiempo de un cuerpo que se mueve
rectilíneamente partiendo del reposo. Determine su rapidez en t = 3 s.
A) 48 m/s B) 24 m/s C) 20 m/s D) 64 m/s
108

Solución :
Para t= 1 s
Rpta.: A
3. Las ecuaciones de velocidad de dos móviles A y B son VA = 3 + 6t y VB = 4 + 4t
donde V está en m/s y t en segundos. Determine el instante en el cual se encuentran
separados 10 m si se sabe que iniciaron sus movimientos en las posiciones
mostradas en la figura.
A) 1 s B) 3 s C) 2 s D) 6 s
Solución:
10
]
2
4
[
]
3
3
)
4
[( 2
0
2
0 








 t
t
x
t
t
x
d
x
x B
B
B
A
s
t
t
t 3
0
6
2






Rpta.: B
4. Una esfera A es abandonada desde una altura de 20 m en el mismo instante en que
otra esfera B es lanzada verticalmente hacia abajo desde una altura de 30m y con
una rapidez V0. Determine V0 de modo que ambas esferas lleguen al suelo
simultáneamente.
(g = 10m/s2)
A) 10 m/s B) 8 m/s C) 5 m/s D) 7 m/s
B A
x0B x0A
4 m
109

Solución :
s
m
v
v
at
t
v
h
B
esfera
la
De
s
t
t
at
t
v
h
A
esfera
la
De
o
o
o
o
/
5
)
2
)(
10
(
2
1
)
2
(
30
2
1
"
"
:
2
)
10
(
2
1
20
2
1
"
"
:
2
2
2
2















Rpta.: C
5. Una partícula se mueve rectilíneamente de acuerdo a la ecuación:
x = -150 + 40t – 2t2 , donde las variables se encuentran en unidades del S.I.
Determine el instante en que pasa por el origen por segunda vez.
A) 5 s B) 10s C) 15 s D) 20 s
Solución:
x = 0 = -150 + 40t – 2t2
t2 – 20t +75 = 0  (t – 15) (t – 5) =0
 t = 15 s (2° vez)
Rpta.: C
6. En la siguiente gráfica posición (x) versus tiempo (t) de un móvil, encontrar la
posición que tiene el móvil en t = 8 s.
A) 64 m
B) 32 m
C) 20 m
D) 40 m
Solución:
La ecuación de movimiento por ser la gráfica una parábola es:
110

Luego para t = 2 s se tiene que X = 4 m. Por lo tanto, se tiene que:
Para t = 8 s:
Rpta.: A
7. En la figura se muestra una esfera lanzada verticalmente hacia arriba con una
rapidez de 40 m/s. Si estuvo 12 segundos en el aire, determine el valor de
h. g = 10 m/s2
A) 240 m
B) 120 m
C) 200 m
D) 60 m
Solución:
En la figura se tiene que en el tramo AB = BC: VB = VA – g t = 0
0 = 40 – 10 tAB
tAB = tBC = 4 s
Luego el tramo AB + BC: tAC = tAB + tBC = 8 s. Por tanto tCD = 12 – 8 = 4 s
Entonces
Rpta.: A
111

Física
EJERCICIOS
1. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un tipo de movimiento
frecuente en la naturaleza. Una bola rueda sobre un plano inclinado o un cuerpo cae
de lo alto de un edificio ganando velocidad con el tiempo; es decir, con una
aceleración constante. En este contexto indique la verdad (V) o falsedad (F) de las
I. Cuando un cuerpo cae libremente, su aceleración depende del peso del cuerpo.
II. Dos cuerpos con MRUV pueden tener en cierto instante la misma velocidad
instantánea pero diferente aceleración.
III. En los movimientos desacelerados, la gráfica que lo representa es una parábola.
A) FVV B) VVV C) FFV D) VVF E) FFF
Solución:
I. Falso
II. Verdadera
III. Verdadera
Rpta.: A
2. Un móvil se mueve rectilíneamente en la dirección del eje x. Siendo su ecuación de
la posición (x) en función del tiempo (t): donde x se mide en
metros y t en segundos Determine el desplazamiento del móvil entre t = 1 s y t =
4 s.
A) + 24 m B) + 12 m C) + 32 m D) – 12 m E) – 24 m
Solución:
En t = 1 s:
En t = 4 s:
Rpta.: A
112

B A
x0B x0A
4 m
3. El MRUV es un movimiento realizado en línea recta y con aceleración constante.
Señale la gráfica que describe el movimiento de un móvil que se mueve en la
dirección del eje X, hacia la derecha en forma retardada.
A) B) C)
D) E)
Solución:
En la alternativa C, la velocidad posee pendiente positiva y la concavidad hacia
abajo nos indica que la aceleración es negativa.
Rpta.: C
4. Las ecuaciones de la velocidad de dos móviles A y B son t
VA 6
3
 y
t
VB 4
4 
 donde V está en m/s y t en segundos. Determine el instante en el cual se
encuentran separados 10 m si se sabe que iniciaron sus movimientos en las
posiciones mostradas en la figura.
A) 1 s B) 3 s C) 2 s D) 6 s E) 5 s
Solución:
10
]
2
4
[
]
3
3
)
4
[( 2
0
2
0 








 t
t
x
t
t
x
d
x
x B
B
B
A
s
t
t
t 3
0
6
2






Rpta: B
113

5. Un bloquecito de 0,5 kg es lanzado verticalmente hacia arriba en caída libre desde
una altura de 30 m respecto al piso, de acuerdo a la gráfica mostrada. Determine la
altura máxima que logra alcanzar con respecto al piso. (g=10 m/s2)
A) 500m
B) 650m
C) 700m
D) 720m
E) 750m
Solución:
0
0
0
tan
12
10
12
120 m/s
 


V
g
V
V

0 12 120 12
max 720
2 2
   
ascendente
V x x
H Area m
Luego respecto al Piso : HMAX= 720 + 30 =750m
Rpta.: E
6. La figura muestra la gráfica de la velocidad versus tiempo de un cuerpo que se
mueve en una trayectoria rectilínea, si en t0 = 0, x0 = 0. Determine la magnitud del
desplazamiento entre t1 =3 s y t2 =5 s.
A) 12 m B) 18 m C) 20m D) 24 m E) 36 m
0
V (m/s)
t (s)
12
0
V (m/s)
t (s)
Vo
12
A(+)

114

Solución:
Sabemos: x = x0 + vit + a t2
x = - 4t + 2 t2
t = 3 s x1 = 6 m
t = 5 s x2 = 30 m
d = x2 – x1
d = 24 m
Rpta.:D
7. Un cuerpo A es lanzado verticalmente con velocidad –25 m/s desde el borde del
techo de un edificio de 175 m de altura y simultáneamente del mismo lugar otro
cuerpo B es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad de +25 m/s. Determine
la diferencia entre los tiempos de llegada al piso.
(g = 10 m/s2)
A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s
Solución:
La diferencia de tiempo entre los instantes de impacto es el tiempo de vuelo hasta el
mismo nivel.
2 2 25
5
10
O
V x
t s
g
   
Rpta.: E
8. Podemos considerar la caída libre como el movimiento de un cuerpo que se
caracteriza porque solamente actúa su peso. Este es un MRUV vertical, ya que su
velocidad varía linealmente en el tiempo por efecto de la gravedad. En este contexto,
se suelta un cuerpo de masa 500 g desde una altura de 20 m sobre el piso,
determine el tiempo que tarda en llegar al piso y su rapidez en dicho punto.(g=10
m/s2)
A) 2 s, 20 m/s B) 1 s, 10 m/s C) 2 s, 40 m/s
D) 1 s, 20 m/s E) 1 s, 5 m/s
115

Solución:
s
m
20
2
10
t
g
v
s
2
10
20
2
g
h
2
t
t
g
2
1
h
x
x
2








Rpta.: A
1. El movimiento realizado por una partícula en línea recta donde el cambio de
velocidad por unidad de tiempo es constante se denomina MRUV. Si se tiene una
partícula que se mueve en la dirección del eje X, de modo que su posición con
respecto al tiempo está dada por la siguiente ecuación:
x = – 18 + 3t – t2
donde x se expresa en metros y t en segundos. Indique verdadero (V) o falso (F) en
las siguientes proposiciones:
I. La partícula se encuentra al cabo de t = 2 s a 10 m a la izquierda del origen.
II. La partícula posee una aceleración de –4 m/s2 .
III. La partícula se desplaza 0 m durante los 3 primeros segundos.
A) VFV B) VFF C) VVF D) FFV E) FFF
Solución:
I. Falso
En t = 2 s: Reemplazando en la ecuación
La partícula se encuentra a 16 m a la izquierda del origen
II. Falso
La partícula posee una aceleración de -2 m/s2
III. Verdadero
2
18 3(3) (3)
0
X
d m
  

Rpta.: D
116

2. En el instante en que el semáforo cambia a verde, un automóvil, que ha estado
esperando, parte del reposo con una aceleración de magnitud de 1,8 m/s2. En el
mismo instante un camión que se desplaza con velocidad constante de magnitud 9
m/s alcanza y pasa al automóvil. Determine a que distancia del punto de partida se
volverán a encontrar el automóvil y el camión.
A) 40 m B) 60 m C) 35 m D) 80 m E) 90 m
Solución:
Ecuación de posición del automóvil:
Ecuación de posición del camión:
Entonces
Reemplazando:
Rpta.: E
3. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio con
rapidez de 10 m/s. Luego de 2 s se lanza otra pelota desde el piso con rapidez de
30 m/s, logrando encontrarse con la primera 2 s después. Determine la altura del
edificio.
[g = 10 m/s2]
A) 80 m B) 100 m C) 110 m D) 120 m E) 150 m
Solución:
m
H
at
t
v
at
t
v
h
h
H
total
altura
es
H
Si
o
o
80
)
2
(
10
2
1
)
2
(
30
)
2
)(
10
(
2
1
)
2
(
10
2
1
2
1
"
"
2
2
2
2
2
1











Rpta.: A
117

4. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con rapidez inicial de
40 m/s. Determine el instante en el cual se encuentra a una altura de 75 m por
segunda vez.
[g = 10 m/s2]
A) 3 s B) 8 s C) 12 s D) 4 s E) 5 s
Solución:
0
15
8
75
5
40
75 2
2







 t
t
t
t
y
s
t
Rpta
t
t 5
:
5
3 





Rpta.: E
5. La posición de los móviles A y B está dada por: 1
t
5
t
4
x
2
A 

 y 8
t
5
t
3
x
2
B 

 ,
donde x está dado en metros y t en segundos. Determine la velocidad relativa
entre A y B en el instante en que se encuentran.
A) +11 m/s B) –5 m/s C) –10 m/s D) +6 m/s E)+29 m/s
Solución:
s
3
t
x
x B
A 


para A: s
/
m
29
)
3
(
8
5
V
t
8
5
V A
A 






para B: 5 6 5 6(3) 23
B B
V t V
       m/s
( 29) ( 23) 6
A A B
B
V V V m s
       
Rpta.: D
6. La siguiente figura muestra una gráfica velocidad (v) – tiempo (t) de un móvil que se
mueve rectilíneamente en la dirección del eje x. Determine el desplazamiento del
móvil en el intervalo de tiempo de 0 y 11 s.
A) + 48 m
B) + 40 m
C) +38 m
D) +30 m
E) +20 m
118

Solución:
11 5
x (6) 48m
2

 
   
 
 
Rpta.: A
7. Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s
desde la azotea de un edificio de 80 m de altura. Determine al cabo de 2s la altura
alcanzada desde la azotea del edificio.
A) 20 m B) 40 m C) 80 m D) 100 E) 120 m
Solución:
2
1
h (20)(2) (10)(2) 20m
2
  
Rpta.: A
119

Física
EJERCICIOS DE CLASE
1. Dos automóviles A y B están separados inicialmente 25 m y se desplazan sobre una
pista recta en la dirección del eje x, como se muestra en la figura. Si las ecuaciones
posición (x) – tiempo (t) de los automóviles son xA = 2t2 y xB = 25 + t2, donde x se
mide en metros y t en segundos, ¿al cabo de qué tiempo estarán separados 75 m?
A) 10 s
B) 8 s
C) 20 s
D) 15 s
E) 5 s
Solución:
Los autos estarán separados 75 m cuando:
xA – xB = 75
2t2 – (25 + t2) = 75
t = 10 s
Rpta.: A
2. Un automóvil se desplaza sobre una pista recta en la dirección del eje x según la
gráfica velocidad (v) – tiempo (t) que se muestra en la figura. ¿Cuál es la distancia
recorrida por el automóvil entre t1 = 10 s y t2 = 35 s?
A) 750 m
B) 900 m
C) 950 m
D) 500 m
E) 625 m
Solución:
En t1 = 10 s: v1X = + 20 m/s
En t2 = 35 s: v2X = + 30 m/s
Distancia recorrida:
20 30 30 60 60 30
d (50) (5)(30) (10) (5) 950 m
2 2 2
  
     
    
     
     
Rpta.: C
120

3. Una persona corre rectilíneamente en la dirección del eje x con rapidez v = 2 m/s,
como se muestra en la figura. En el instante en que la persona pasa por la posición x
= + 30 m, un perro parte en su persecución desde la posición x = + 21 m con
velocidad inicial de + 2 m/s y aceleración constante de + 2 m/s2. ¿En que posición el
perro alcanzará a la persona?
A) + 30 m
B) + 36 m
C) + 24 m
D) + 48 m
E) + 18 m
Solución:
Para la persona:
1
x 30 2t
 
Para el perro:
2
2
x 21 2t t
  
Cuando el perro alcanza a la persona: x1 = x2
2
30 2t 21 2t t
   
t = 3 s
El perro alcanza a la persona en: x1 = x2 = + 36 m
Rpta.: B
4. Dos aviones A y B vuelan rectilíneamente en planos paralelos con aceleraciones
constantes desde las posiciones que indican en la figura. El avión A vuela
directamente hacia el Este con aceleración de + 2 m/s2 y el avión B vuela
directamente hacia el Oeste con aceleración de – 2 m/s2. Si en el instante t = 0 las
velocidades de los aviones A y B son + 100 m/s y – 140 m/s respectivamente, ¿al
cabo de qué tiempo se cruzarán los aviones?
A) 1 min
B) 2 min
C) 3 min
D) 4 min
E) 5 min
121

Solución:
Para el avión A:
2
A
x 100t t
 
Para el avión B:
2
B
x 57 600 140t t
  
Cuando los aviones se cruzan: xA = xB
2 2
100t t 57 600 140t t
   
2
t 120t 28 800 0
  
(t 240)(t 120) 0
  
t 120 s 2 min
 
Rpta.: B
5. Un automóvil se desplaza por una pista recta con aceleración constante en la
dirección del eje x de acuerdo a la gráfica posición (x) en función del tiempo (t) que
se muestra en la figura. Si la velocidad del automóvil en t = 4 s es nula, determine su
velocidad inicial y su aceleración.
A) – 16 m/s2; + 4 m/s2
B) – 12 m/s2; + 3 m/s2
C) – 10 m/s2; + 5 m/s2
D) – 18 m/s2; + 9 m/s2
E) – 12 m/s2; + 8 m/s2
Solución:
De la ecuación posición – tiempo:
2
0 0
1
x x v t at
2
  
En t = 4 s:
0
x 24 4v 8a 0
   
0
v 2a 8
  
De la ecuación velocidad – tiempo:
0
v v at
 
En t = 4 s:
0
v v 4a 0
  
0
v 4a 0
 
Resolviendo:
v0 = – 16 m/s ; a = + 4 m/s2
Rpta.: A
122

6. Con respecto a un cuerpo en caída libre, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
(g = 10 m/s2)
I) El cuerpo desciende 10 m en cada segundo.
II) El cuerpo incrementa su rapidez en 10 m/s en cada segundo.
III) El cuerpo desciende 25 m durante el tercer segundo.
A) FVF B) FVV C) VFV D) FFV E) VVF
Solución:
I) F II) V III) V
Rpta.: B
7. Una pelota cae desde una altura h0 y rebota en el piso de tal manera que se eleva la
novena parte de su altura anterior en cada rebote, como se muestra en la figura. Si
el tiempo transcurrido hasta el instante en que se va a producir el tercer rebote es 17
s, determine la altura h0.
(g = 10 m/s2)
A) 405 m
B) 510 m
C) 390 m
D) 455 m
E) 384 m
Solución:
Por dato:
1 0
1
h h
9
 ; 2 1 0 0
1 1 1 1
h h h h
9 9 9 81
 
  
 
 
Tiempos de caída libre:
0
0
2h
t
g
 ; 0
1
1
2h
2h
t
g 9g
  ; 0
2
2
2h
2h
t
g 81g
 
0 1 2
t 2t 2t 17 s
  
0 0 0
2h 2h 2h
2 2 17
g 9g 81g
  
0
h 405 m

Rpta.: A
123

EJERCICIOS PARA LA CASA
1. Dos automóviles A y B se desplazan sobre una pista recta en la dirección del eje x
desde las posiciones que se indican en la figura. Si las respectivas ecuaciones
posición (x) – tiempo (t) de los automóviles son xA = 22 – 3t y xB = 10 – t + 2t2, donde
x se mide en metros y t en segundos, determine la rapidez del auto B en el instante
que alcanza al auto A.
A) 14 m/s
B) 9 m/s
C) 6 m/s
D) 8 m/s
E) 7 m/s
Solución:
Cuando el auto B alcanza al auto A: xA = xB
22 – 3t = 10 – t + 2t2
t = 2 s
Velocidad del auto B en t = 2 s:
vB = –1+ 4(2) = + 7 m/s
Rpta.: E
2. Dos ciclistas A y B se desplazan en trayectoria rectilínea en la dirección del eje x
según la gráfica velocidad (v) – tiempo (t) que se muestra en la figura. Indicar la
I) Entre t = 0 y t = 30 s el ciclista A tiene aceleración constante.
II) Entre t = 0 y t = 20 s el ciclista B tiene movimiento desacelerado y después tiene
movimiento acelerado.
III) Entre t = 0 y t = 30 s los ciclistas recorren la misma distancia.
A) FFF
B) FVF
C) VFV
D) FFV
E) VVF
124

Solución:
I) F II) F III) F
Rpta.: A
3. En el instante en que un automóvil parte del reposo un perro lo persigue con rapidez
constante v = 4 m/s en la dirección del eje x, como se muestra en la figura. Si el
automóvil inició su movimiento a 20 m del perro y tiene una aceleración constante de
+ 1 m/s2, ¿cuál es la distancia mínima que puede acercarse el perro al automóvil?
A) 10 m
B) 14 m
C) 12 m
D) 18 m
E) 16 m
Solución:
La distancia entre el perro y el auto será mínima en el instante en que el auto
alcance la velocidad del perro:
vauto = v = + 4 m/s
El tiempo que tarda el auto en alcanzar esta velocidad se determina de:
vauto = v0 +at = t
t = 4 s
Las posiciones del perro y del auto en t = 4 s son:
xperro = vt = (4)(4) = + 16 m
2 2
auto 0
1 1
x x (a)t 20 (1)(4) 28 m
2 2
     
Distancia mínima:
d = 28 – 16 = 12 m
Rpta.: C
4. En una competencia deportiva de ciclismo dos ciclistas A y B se desplazan en una
pista recta en la dirección del eje + x según las ecuaciones xA = 16 + 4t y xB = 4t + t2,
(t ≥ 0) respectivamente, donde x se mide en metros y t en segundos. Indicar la
I) El ciclista A tiene MRU y el ciclista B tiene MRUV.
II) El ciclista A tiene la misma velocidad que el ciclista B en t = 0.
III) La distancia que los separa al cabo de seis segundos es 20 m.
A) VFV B) VVF C) FFF D) VVV E) FVV
125

Solución:
I) V II) V III) V
Rpta.: D
5. Dos aviones A y B se cruzan en la posición (0,0) en el instante t = 0 (en planos
paralelos cercanos). El avión A vuela directamente hacia el Norte con aceleración
constante de + 2 m/s2 y el avión B vuela directamente hacia el Este con la misma
aceleración, como se muestra en la figura. Si en el instante t = 0 las velocidades de
los aviones A y B son + 100 m/s y + 120 m/s respectivamente, ¿cuál es la distancia
aproximada que los separa al cabo de un minuto? Considere la
aproximación 145 12
 .
A) 12,5 km
B) 9,6 km
C) 18,2 km
D) 14,4 km
E) 16,4 km
Solución:
Para el avión A:
2
A
x 100t t
 
En t = 60 s:
2
A
x 100(60) (60) 9600 m
   
Para el avión B:
2
B
x 120t t
 
En t = 60 s:
2
B
x 120(60) (60) 10 800 m
   
Distancia:
2 2 2 2 2
d 100 (96) (108) 100 (12) (8 9 ) 14 400 m 14,4 km
     
Rpta.: D
126

6. Una moneda es lanzada verticalmente hacia arriba con rapidez de 20 m/s. Cuando
está descendiendo es atrapada en un punto situado a 5 m por encima del punto de
lanzamiento. (Considere: 3 = 1,7; g = 10 m/s2)
I) ¿Qué rapidez tenía la moneda cuando fue atrapada?
II) ¿Cuánto tiempo permaneció la moneda en el aire?
A) 17 m/s; 3,7 s B) 15 m/s; 3,5 s C) 16 m/s; 3,2 s
D) 18 m/s; 3,3 s E) 12 m/s; 3,6 s
Solución:
I) Poniendo el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento (y0 = 0):
2 2
0 0
v v 2g(y y )
  
2 2
v (20) 2(10)(5) 300
  
v = – 17 m/s
II) De la fórmula:
0
v v gt 20 10t
   
17 20 10t
  
t = 3,7 s Rpta.: A
7. Se dejan caer simultáneamente dos pelotas A y B al suelo desde diferentes alturas.
Si la pelota B llega al suelo 1 s después que la pelota A y la distancia que las separa
inicialmente es 10 m, ¿desde qué altura se dejaron caer las pelotas A y B
respectivamente? (g = 10 m/s2)
A) 1,75 m; 11,75 m B) 1,25 m; 11,25 m C) 1,60 m; 12,50 m
D) 1,15 m; 11,50 m E) 1,20 m; 10,25 m
Solución:
Para la pelota A:
2 2
A 0A A
1
y y gt h 5t 0
2
    
2
A
h 5t

Para la pelota B:
2 2
B 0B B
1
y y g(t 1) h 5(t 1) 0
2
      
2
B
h 5(t 1)
 
2 2
B A
h h 5(t 1) 5t 10
    
t = 0,5 s
Alturas:
2
hA 5(0,5)
 1
,25 m
2
B
h  5(0,5 1) 11
,25 m
Rpta.: B
127

04
semana
FISICA

Física
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
1. Movimiento parabólico
Es un movimiento en dos dimensiones, compuesto de un MRU en el eje x, y un MRUV en
el eje y. La trayectoria del cuerpo es una parábola, siempre que el movimiento se realice
cerca de la superficie terrestre y se desprecie la resistencia del aire (véase el ejemplo de
la figura).
2. Ecuaciones del movimiento parabólico
Eje x (MRU) Eje y (MRUV)
x0 = 0 ; t0 = 0
v0x = v0 cos  = constante
y0 = 0 ; t0 = 0
v0y = v0 sen 
0 0x
x x v t
 
y 0y
v v gt
 
2
0 0y
1
y y v t gt
2
  
129

(*) OBSERVACIONES:
1°) Ecuación velocidad – posición en el eje y:
2 2
y 0y 0
v v 2g(y y )
  
2º) Magnitud de la velocidad del proyectil en cualquier punto de la trayectoria:
2 2
x y
v v v
 
3º) Altura máxima que alcanza el proyectil respecto al punto de lanzamiento:
2 2
0
v sen
H
2g


4º) Alcance horizontal del proyectil respecto al punto de lanzamiento:
2
0
v sen2
R
g


5º) Tiempo de vuelo del proyectil:
0
v
2v sen
t
g


3. Movimiento circular
Es un movimiento que se describe en dos dimensiones. La trayectoria del cuerpo es
una circunferencia (véase la figura).
130

3.1. Desplazamiento angular (θ)
Indica el cambio de la posición angular de un móvil. Se expresa por:
0
     (radián ≡ rad)
θ0: posición angular inicial en el instante t0
θ : posición angular en el instante t
3.2. Velocidad angular media ()
Cantidad vectorial que indica el cambio de la posición angular del móvil en un intervalo de
tiempo.
cambio de posición angular
intervalo de tiempo
 
0
0
t t
  
 

rad
Unidad S.I:
s
 
 
 
3.3. Periodo (T) y frecuencia (f)
El periodo en el movimiento circular se define como el intervalo de tiempo en que la
partícula realiza una vuelta. Y la frecuencia se define por:
número de vueltas
f
intervalo de tiempo

1
f
T

1
Unidad S.I: Hertz Hz
s
 
 
 
 
4. Movimiento circular uniforme (MCU)
Se caracteriza por el hecho de que la partícula realiza desplazamientos angulares iguales
en intervalos de tiempo iguales. Esto significa que la condición necesaria para que una
partícula realice MCU es:
131

0
0
constante
t t
  
  

O también:
2
T

  = constante
(Rapidez angular)
5. Ecuación del MCU
0 0
(t t )
     
0: posición angular de la partícula en el instante t0
 : posición angular de la partícula en el instante t
(*) OBSERVACIONES:
1º) Si t0 = 0:
0 t
    
2º) Si 0 = 0 en t0 = 0:
t
  
6. Gráficas del MCU
7. Velocidad tangencial
Indica la rapidez y dirección del movimiento de la partícula en cada punto de la
circunferencia. Se representa por un vector tangente en cada punto de la circunferencia
(ver figura).
132

En el MCU:
2 R
v
T

 = constante
(Rapidez tangencial)
8. Relación general entre la rapidez tangencial y la rapidez angular
Para todo tipo de movimiento circular se verifica la relación:
v R
 
. Aceleración angular media ()
Cantidad vectorial que indica el cambio de velocidad angular en un intervalo de tiempo.
cambio de velocidad angular
intervalo de tiempo
 
0
0
t t
  
 

2
rad
Unidad S.I:
s
 
 
 
0: velocidad angular (inicial) en el instante t0
: velocidad angular en el instante t
133

10. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)
Se caracteriza por el hecho de que una partícula realiza cambios de velocidad angular
iguales en intervalos de tiempo iguales. Esto significa que la condición necesaria para que
una partícula tenga MCUV es:
0
0
constante
t t
 
  

11. Ecuaciones del MCUV
Ecuación velocidad angular ( ) – tiempo (t):
0 0
(t t )
     
 0: velocidad angular (inicial) en el instante t0
 : velocidad angular en el instante t.
Ecuación posición angular ( ) – tiempo (t):
2
0 0 0 0
1
(t t ) (t t )
2
        
0 : posición angular (inicial) en el instante t0
 : posición angular en el instante t
(*) OBSERVACIONES:
1º) Cuando t0 = 0:
0 t
    
2
0 0
1
t t
2
      
2º) Ecuación velocidad angular () – posición angular ( ):
2 2
0 0
2 ( )
      
 0: velocidad angular (inicial) en la posición angular θ0
 : velocidad angular en la posición angular θ
134

12. Gráficas del MCUV
13. Aceleración centrípeta ( C
a

) y aceleración tangencial ( T
a

)
En general, todo cuerpo que describe una circunferencia experimenta una aceleración
dirigida hacia su centro, llamada aceleración centrípeta C
a

y una aceleración paralela a la
velocidad tangencial llamada aceleración tangencial T
a

(véase la figura).
135

Magnitud de la aceleración centrípeta:
2
C
v
a
R
 o 2
C
a R
 
Magnitud de la aceleración tangencial:
T
a R
 
(*) OBSERVACIONES:
1°) Magnitud de la aceleración resultante:
2 2
C T
a a a
 
2°) En el MCU: aT = 0 y por consiguiente: a = aC.
136

Física
EJERCICIOS
1. Desde el borde de un edificio de 50 m de altura, se dispara un proyectil
horizontalmente con una rapidez de 20 m/s, tal como muestra la figura. Determine la
rapidez en el instante en que el proyectil pasa frente a una ventana que se
encuentra a 25 m del suelo. ( 2
g 10m / s
 ).
A) 30 m/s B) 25 m/s C) 20 m/s D) 15 m/s
Solución:
2 2
x y
v v v
 
x o
2
y
v v 20
v 2g y 2x10x25 500
   
   
Reemplazando
v 400 500 30m / s
  
Rpta.: A
2. Indicar la verdad (V) o falsedad (F), de las siguientes proposiciones:
I. En el movimiento parabólico o de proyectiles, la aceleración tiene la dirección de
la tangente a la trayectoria.
II. Cuando el proyectil llega a su máxima altura, su velocidad instantánea coincide
con la componente inicial horizontal de la velocidad.
III. Cuando un proyectil impacta con el piso, la dirección de la velocidad instantánea
no puede ser perpendicular al piso.
A) VVV B) FVF C) FFV D) FVV
25 m
o
v
v
y
v
x
v
v
137

Solución:
I) F
II) V
III) V
Rpta.: D
3. Un ascensor con ventana, está subiendo con una rapidez constante de 2m/s. En
cierto instante el ascensor se encuentra a 40 m sobre el piso y desde él se dispara
un proyectil con una rapidez de 10 m/s y con un ángulo de tiro de o
53 (figura).
Determine el tiempo que el proyectil tarda en impactar con el piso y la distancia
horizontal del impacto respecto a la base del edificio. (g=10 m/s2
).
A) 10s, 30 m B) 5s, 20m C) 4s, 24 m D) 15s, 30m
Solución:
Eligiendo el origen de coordenadas en el piso (x=0, y=0), tenemos:
a
v
o
v
o
53
40m
a
v
o
v
o
53
40m
y
x
138

o
ox
o
oy
v 10cos53 6m / s
v 10sen53 8m / s
   
   
2 2
y 40 (2 8)t 5t 40 10t 5t
      
Cuando llega al suelo, y=0:
2 2
5t 10t 40 t 2t 8 0
     
t=4s
x 6t 6x4 24m
d x x 24m
    
   
Rpta.: C
4. El radio terrestre mide aproximadamente 6400 km y la tierra efectúa una rotación en
24h. Determine la rapidez tangencial de un punto en el ecuador asumiendo que la
tierra es una esfera perfecta. (Considere 3
  ).
A) 1000 km/h B) 800 km/h C) 1200 km/h D) 1600 km/h
Solución:
2
R 6400km 64x10 km
T 24h
 

2 2 rad
T 24h 12 h
  
   
2
T
T
3
v R 64x10 km.
12h
v 1600km / h
  

Rpta.:D
139

I. En el MCU, el vector aceleración centrípeta varía continuamente.
II. En el MCUV, la aceleración del móvil no es central.
III. En el MCU, la aceleración centrípeta es nula.
A) VVV B) FVF C) VVF D) FVV
Solución:
I. V
II. V
III. F
Rpta.:C
6. Un disco tiene un agujero a 20 cm del centro y está girando horizontalmente con una
rapidez angular constante . En cierto instante pasa por el agujero un pequeño
proyectil con una rapidez de  m/s y formando un ángulo de 30o
con el plano del
disco (figura). Determine la rapidez angular que debe tener el disco para que el
proyectil pase por el agujero por segunda vez. (g=10m/s2
).
A) 10 rad/s
B) 8 rad/s
C) 5 rad/s
D) 20 rad/s
Solución:
El proyectil se mueve en su propio plano. Por lo tanto, el agujero debe estar en la
posición opuesta a la posición inicial (figura) para pasar por segunda vez.
En el tiempo de vuelo del proyectil, el agujero barre un ángulo de rad
 . Por lo tanto:
o
v o
g
g
1
t 2v sen30 / g 2
2
10rad / s

 
    

 
Rpta.:A
o
30
o
v
r
r
140

7. El aspa de un ventilador mide 1,5 m y está girando con una rapidez angular de
rad / s
2

. En cierto instante se corta la corriente y el ventilador se mueve con MCUV,
efectuando 10 vueltas antes de detenerse. Determine la aceleración angular y el
tiempo que tarda en detenerse.
A)
2
rad
, 25s
60 s

B)
2
rad
160 s

, 80s C)
2
rad
, 65s
100 s

D)
2
rad
, 20s
120 s

Solución:
2 2
o
2
2
o
2
2 0
rad
4
2 2x10x2 160 s
     

 
   
 
o
o
t 0
2
t 80s
160
     


  


Rpta.:B
8. Un automóvil se desplaza por una pista semicircular de radio 300m, tal como
muestra la figura. Cuando pasa por el punto A tiene una rapidez de 20 m/s y
comienza a frenar uniformemente, quedando en reposo en el punto C. Si el auto
tardó en frenar 8s, determine la relación entre la magnitud de la aceleración
tangencial y centrípeta en el punto B (punto medio de la trayectoria).
A) 10/3 B) 20/3 C) 12/5 D) 15/4
A
B
C
R
141

Solución:
C A T
A
T
2
v v a t 0
v 20 5
a m / s
t 8 2
  
  
AC A T
2 2
B A T AB
2
B
C
2
2 2
2
1 5
S v t a t 20x8 x64 80m
2 4
v v 2a S 400 5x40 200m / s
v 200 2
a m / s
R 300 3
    
    
  
T
C
a 5 / 2 15
a 2 / 3 4
 
Rpta.:D
1. Un proyectil cae libremente partiendo del reposo y recorre una distancia de 4m
(figura). El proyectil choca elásticamente con un plano inclinado y rebota con una
velocidad horizontal. Determine el ángulo de inclinación del plano (ángulo  ).
(g=10m/s2
).
A) 37º B) 45º C) 60º D) 53º
T
a
C
a
T
v
B
H=4m
h=3m
d
θ
vo
142

Solución:
La rapidez al final de la caída libre
será
2
v 2gH 2x10x4 80
v 4 5 m / s
  

Como el choque es elástico
o
v v 4 5 m / s
 
De la figura
o
45
 
Rpta.:B
2. En relación al problema 1, determine la distancia d, indicado en la figura. (g=10 m/s2
,
3 1,7
 )
A) 3,8 m B) 4,3 m C) 5,2 m D) 6,3 m
Solución:
El tiempo que tarda en recorrer h, es:
2
1
h g t 3
2
6
t
10
 

o
6
s d v t 4 5x 4 3 m
10
   
d 4 3 3 3,8m
  
Rpta.:A
H=4m
h=3m
d
θ
vo
s
H=4m
h=3m
d
θ
vo
n
θ
o
45
143

I. Cuando un proyectil llega a su máxima altura, su velocidad instantánea se anula.
II. El alcance de un proyectil es máximo cuando el ángulo de tiro es o
90 .
III. Si un proyectil se lanza de grandes alturas, puede orbitar la tierra.
A) VVV B) FVF C) FFV D) FVV
Solución:
I. F
II. F
III.V
Rpta.:C
4. Teniendo en cuenta el problema 4 de ejercicios y los datos del mismo, determinar la
aceleración centrípeta de un punto del ecuador terrestre.
A) 3m/s2
B) 10 m/s2
C) 0,06 m/s2
D) 0,03 m/s2
Solución:
T
C
C
2 2
2
v (1600km / h)
a
R 6400km
a 0,03m / s
 

Rpta.:D
5. Dos pequeñas esferas A y B, se mueven por una canaleta circular de radio R y sin
rozamiento, tal como muestra la figura. En el instante inicial (t=0) el móvil A parte del
reposo del punto S y se mueve con una aceleración angular constante de
2
/ 2rad / s
 , mientras que el móvil B en ese instante pasa por P y se mueve con
rapidez angular constante de / 2 rad / s
 . Determine el tiempo que tarda A en
alcanzar a B.
(considere 5 2,2
 )
A) 3,2s
B) 5,5s
C) 4,3s
D) 2,2s
S P
A
B
2R
144

Solución:
Sea θ el ángulo recorrido por B hasta el instante de alcance. Entonces el ángulo
recorrido por A será Θ+π
2
2
2
1
t t
2
1
t t
2 2 2
t 2t 4 0
t 1 5 3,2s
    
 
  
  
  
Rpta.:A
6. Un auto se mueve rectilíneamente con una rapidez constante de 20 m/s. Determine
la rapidez tangencial instantánea del punto de la rueda que está en contacto con el
piso.
A) 0 B) 2 m/s C) 20 m/s D) 1 m/s
Solución:
La rapidez es nula, porque la rapidez traslacional se anula con la rapidez rotacional.
Rpta.:A
7. Un disco de 20 cm de radio parte del reposo y se mueve con MCUV. En el instante
t=10s un punto del borde del disco tiene una rapidez de 5 m/s, determine su
aceleración angular.
A) 0 B) 2,5 rad/s2
C) 20 rad/s2
D) 1 rad/s2
Solución:
1
v R
v 5
25rad / s
R 2x10
 
   
2
t
25
2,5rad / s
t 10
  

   
Rpta.:B
145

Física
EJERCICIOS
1. Un futbolista situado a una distancia d = 36 m de una pared vertical patea una
pelota, tal como se muestra en la figura. La pelota impacta en la pared a una altura
de 3 m sobre el suelo. Determine la rapidez inicial v0 de la pelota sabiendo que ésta
demora 3 s en llegar a la pared. Desprecie la resistencia del aire. (g = 10 m/s2)
A) 20 m/s
B) 15 m/s
C) 10 m/s
D) 22 m/s
Solución:
En la horizontal:
0x
x  x  v t , 0 
x 0
0x
0
x v (3) 36 v0x  12m / s
  
En la vertical:
2
0 0y
1
y  y v t gt
2
  , 0 
y 0
2
0y 0y
1
y  v (3) (10)(3) 3 v 16m / s
2
    
Rapidez inicial:
2 2
12 16  20 m / s
v 
Rpta.: A
146

2. Un motociclista realiza una acrobacia impulsándose horizontalmente con rapidez
v0 = 10 m/s desde una altura h = 20 m, como muestra la figura. Desprecie la
resistencia del aire. (g = 10 m/s2)
I. ¿Al cabo de qué tiempo su rapidez se duplica?
II. ¿Con qué rapidez llega al suelo?
A) 2 s ; 20 5 m / s B) 2 3 s; 5 5 m / s
C) 3 2 s; 10 3 m / s D) 3 s ; 10 5 m / s
Solución:
I. Cuando v = 2v0 = 2(10) = 20 m/s
2 2 2 2 2 2
vy  v  vx  (2v0 )  v0  3v0
y 0
v  v 3  10 3 m / s
y
v 10t 10 3
   
t  3 s
II. 2 2
y 0y 0
v 2g(y ) 2(10)(0 20) 400
     
y
v
2
v (10)  400 10 5 m / s
 
Rpta.: D
147

3. Un avión en la posición P tiene una rapidez v0 = 125 m/s y ángulo de elevación 37°
con la horizontal. El avión deja caer un proyectil cuando se encuentra a una altura
H = 500 m respecto a tierra, como muestra la figura. ¿Cuál es su alcance horizontal
d? Desprecie la resistencia del aire. (Considere 41 6,4
 ; g = 10 m/s2)
A) 2 km
B) 4 km
C) 1 km
D) 3 km
Solución:
2
o oy
1
y y v t gt
2
  
2
y 500 75t 5t 0
   
2
t 15t 100 0
  
148

(t + 5)(t – 20) = 0
t = 20 s
Alcance:
x d 100t
 
d = (100)(20) = 2000 m = 2 km
Rpta.: A
4. Un basquetbolista lanza una pelota con un ángulo de elevación  = 45° desde una
altura h = 2 m hacia una canasta situada a una distancia horizontal d = 4 m, tal como
muestra la figura. Si la altura del aro es H = 3 m, ¿con qué rapidez v0 debe lanzar la
pelota para que ingrese a la canasta por el centro del aro?
(Considere 10 / 3  1,8; g = 10 m/s2)
A) 3,6 m/s
B) 8,4 m/s
C) 7,2 m/s
D) 9,6 m/s
Solución:
De las ecuaciones posición – tiempo:
0
x (v cos )t
  ; 2
0 0
1
y y (v sen )t gt
2
   
Eliminando t:
2
0 0
0 0
x 1 x
y y (v sen ) g
v cos 2 v cos
   
   
   
 
   
2
0
0
1 x
y y xtan g
2 v cos
 
     

 
Evaluando para x = d = 4 m, y = H = 3 m, y0 = h = 2 m,  = 45°:
2
0 2
80 160
v
3
cos 45 (4tan45 1)
 
  
0
10
v (4) (4)(1
,8) 7,2 m / s
3
  
Rpta: C
149

5. Las manecillas de un reloj marcan las 9:00 horas, como se muestra en la figura.
Determine a qué hora aproximadamente, antes de las 10 horas, se superpondrán el
horario y el minutero de este reloj.
A) 9 horas, 50 min y 5 s
B) 9 horas, 49 min y 6 s
C) 9 horas, 55 min y 4 s
D) 9 horas, 47 min y 8 s
Solución:
Rapidez angular del minutero (M) y del horario (H):
M
M
2 2 rad
2 rad / h
T 1 hora
 
     ; M
H
2 2 rad
rad / h
T 6
12 horas
  
   
Ecuaciones posición angular – tiempo:
M 0M Mt 2 t
       ; H 0H H
3
t t
2 6
 
      
Cuando se sobreponen: M = H
3
2 t t
2 6
 
  
9
t h 49,1 min 49 min y 6 s
11
  
Se sobreponen a las 9 horas, 49 min y 6 s.
Rpta.: B
6. Un automóvil se desplaza en una pista circular de radio R = 20 m, como muestra la
figura. Las posiciones A, B, C, D son equidistantes entre sí, y el automóvil tarda 2 s
en recorrer dos posiciones consecutivas. Si la posición E equidista de las posiciones
D y A, determine:
I. La longitud de recorrido entre A y E.
II. La rapidez lineal del automóvil. (Considere   3)
A) 105 m; 15 m/s
B) 85 m; 10 m/s
C) 210 m; 25 m/s
D) 96 m; 12 m/s
150

Solución:
I. Desplazamiento angular:
3 7
( ) rad
2 4 4
  
     
7
L R (20) 105 m
4

 
   
 
 
II. Intervalo de tiempo hasta el punto E: t = 7 s
Rapidez angular:
7
3
4 0,75 rad / s
t 7 4 4

 
     

Rapidez lineal:
3
v R (20) 15 m / s
4
 
   
 
 
Rpta: A
7. Un automóvil que tiene sus ruedas de radio 0,4 m se desplaza en una pista recta
con rapidez v0 = 20 m/s, como muestra la figura. En el instante en que la luz del
semáforo cambia a rojo el automóvil se encuentra a una distancia d = 102 m del
semáforo y el conductor aplica los frenos. Si las llantas desaceleran uniformemente
a razón de 5 rad/s2, ¿en qué posición respecto al semáforo se detiene el automóvil?
A) 2 m después del semáforo
B) 4 m antes del semáforo
C) 4 m después del semáforo
D) 2 m antes del semáforo
Solución:
Velocidad angular inicial:
0
0
v 20
50 rad / s
R 0,4
   
Desplazamiento angular:
2 2 2 2
0 0 (50)
250 rad
2 2( 5)
   
   
 
Distancia recorrida por el auto:
L R (0,4)(250) 100 m
   
Rpta.: D
151

8. Las llantas de una bicicleta que tienen radio de 0,4 m giran con aceleración angular
constante según la gráfica que se muestra en la figura. Si la bicicleta parte del
reposo en el instante t = 0, determine la rapidez tangencial de un punto del borde de
de las llantas en 1 minuto.
A) 2,4 m/s
B) 8,4 m/s
C) 4,8 m/s
D) 9,6 m/s
Solución:
Aceleración angular:
2
1
t
2
  
2
2 2
2 2(10)
0,2 rad / s
t (10)

   
Velocidad angular en t = 60 s:
t (0,2)(60) 12 rad / s
    
Rapidez tangencial:
v R (12)(0,4) 4,8 m / s
   
Rpta.: C
1. En el movimiento de un proyectil, si se desprecia el rozamiento del aire y la
gravedad se considera constante, entonces, su trayectoria se considera una
parábola que se abre hacia abajo. En este contexto, indicar la verdad (V) o falsedad
(F) de las siguientes proposiciones:
I. Los proyectiles lanzados con ángulos complementarios tienen el mismo alcance.
II. El tiempo de vuelo entre los proyectiles lanzados con ángulos complementarios
es igual.
III. Cuando un proyectil es lanzado horizontalmente su tiempo de vuelo es igual a
de un proyectil en caída libre soltado de la misma altura.
A) VFV B) FFV C) VFF D) VVV
152

Solución:
I. V
II. F (el lanzado con de mayor ángulo demora más en el aire)
III. V
Rpta.: A
2. El francotirador ruso Andréy Ryabinsky el 10 de octubre de 2017, batió el récord
mundial al efectuar un disparo que alcanzó un blanco situado a 4.210 m de
distancia. El disparo se efectuó con un rifle cuyo proyectil tenía una rapidez inicial de
1100 m/s. En este contexto, calcule el alcance máximo posible que tendría un
disparo con esta arma si se desprecia el rozamiento del aire.
(g = 10 m/s2)
A) 1,21 x 105 m B) 1,21 x 104 m
C) 1,21 x 106 m D) 0,6 x 105 m
Solución:
El alcance máximo será:
Rpta.: A
3. En una prueba de tiro, un proyectil pasa al ras de dos edificios. Si empleó 2 s en ir
del edificio (1) al edificio (2), determine el tiempo que le tomó al proyectil desde el
punto más alto de la trayectoria en llegar al edificio (2).
(g = 10 m/s2)
A) 0,2 s
B) 0,4 s
C) 0,8 s
D) 0,5 s
Solución:
Entre los dos edificios:
32
16 /
2
x
x
d
V m s
t
   dicha Vx =Constante.
En el punto de lanzamiento (θ = 45°) → Vy = 16 m/s
153

12 16 10
0.4
F i
V V gt
t
t s
 
 

12
16
t1
16
1.6
10
iy
sub
V
T s
g
  
Luego el tiempo que ascendió desde el piso hasta edificio (1) es de 1,6 -0.4 = 1,2s
como el tiempo entre los edificios es 2s entonces está bajando durante 2 – 1,2 =
0,8s
Rpta.: C
4. Una granada es lanzada verticalmente hacia arriba. Cuando alcanza su altura
máxima explota en dos fragmentos los cuales salen horizontalmente en direcciones
opuestas con rapideces de 15 m/s y 20 m/s. Luego de 2 s de la explosión, ¿qué
ángulo formarán las velocidades de los fragmentos que aún están desplazándose en
el aire?
(g = 10 m/s2)
A) 82° B) 75° C) 98° D) 60°
Solución:
0
2
20 /
y y
t s
V V gt m s

  
Luego:
37º 45º
20
20
20
15
x = 37°+45°
x = 82°
Rpta.: A
154

5. Dos móviles A y B salen al mismo tiempo desde las posiciones que se indican en la
figura. Si A gira con un periodo de 30 s y B con un periodo de 60 s, determine el
tiempo en que se cruzarán por primera vez.
A) 17/3
B) 19/6
C) 20/3
D) 10/3
Solución:
Calculando las velocidades angulares:
Para A:
Para B:
Aplicando la fórmula del tiempo de encuentro:
Reemplazando:
Rpta.: C
6. En un laboratorio de física un grupo de estudiantes se proponen analizar el
movimiento circular uniformemente variado. Para ello disponen de una rueda unida a
un motor que la hace rotar desde su centro. Los estudiantes observan que la
velocidad angular de la rueda se duplica luego de que esta ha dado 300 vueltas en 4
segundos. ¿Qué aceleración angular constante le ha suministrado el motor a la
rueda?
A) 12 rev/s2 B) 12,5 rev/s2 C) 14,5 rev/s2 D) 15 rev/s2
Solución:
60°
A
B
O
155

Rpta.: B
7. El inventor del tocadiscos fue Thomas Edison en 1877, también se conoce como
tornamesa. La gráfica nos muestra un tocadiscos que rota uniformemente con MCU.
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. A y B tendrán la misma magnitud de velocidad tangencial.
II. A y B tienen igual velocidad angular.
III. A y B tienen la misma magnitud de aceleración centrípeta.
IV. Si el punto A se encuentra en la mitad del disco tendrá la cuarta parte de la
aceleración centrípeta que B.
A) FFVV B) VFFV C) FVVF D) FVFF
Solución:
F.V.F.F
Luego la respuesta correcta será , solo II
Rpta.: D
156

157

158

159

160

161

162

163

Física
EJERCICIOS
1. Un motociclista se mueve sobre una superficie plana con una velocidad horizontal de
10 m/s, pierde contacto con el suelo al llegar al extremo de una rampa inclinada 45°
con la horizontal tal como se muestra en la figura (punto A). Si el motociclista debe
llegar a una distancia horizontal D, (D= H ) esta es aproximadamente igual a
A) 10 m B) 20 m C) 15 m D) 5,0 m E) 7,5 m
Solución:
Del gráfico: X = v0 . t
Y = g/2. t2
Dando valores
X =10t
Y = 5 t2
164

37º
V =6
0y
V =10
0
Como las coordenadas son iguales en el punto B.
10 t = 5 t2
t = 2 s
y reemplazando en la primera ecuación
X = 20 m
Rpta.: B
2. Un jugador de fútbol patea una pelota con rapidez de 36 Km/h m/s, formando un
ángulo de 37º sobre la horizontal. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima
es:
(g = 10 m/s2)
A) 0,6 s B) 0, 4 s C) 0,3 s D) 0, 5 s E) 0, 2 s
Solución:
V0= 36 Km /h = 10 m/s
En la altura máxima
s
6
,
0
t
t
10
6
t
10
6
0
t
g
v
v
0
v
oy
y
y








Rpta.:A
3. El gráfico mostrado se representa el lanzamiento de un proyectil que realiza un
movimiento parabólico, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones.
I. La velocidad del proyectil en la posición 1 es igual que en la posición 3.
II. En (4) la magnitud de la velocidad es la mayor.
III. En la posición 2 la velocidad es nula.
A) VVF B) VVV C) FFF D) VFF E) FVF
165

Solución:
I. (F) Tienen igual magnitud, pero diferente dirección.
II. (V) La velocidad vertical aumenta al ir descendiendo
III. (F) Existe componente horizontal de la velocidad.
Rpta.: E
4. En las figuras se muestran la gráfica de las componentes vx y vy de la velocidad de
un proyectil en función del tiempo. Determine la magnitud de la velocidad para t=0,2
segundos.
A) 6 2 m/s
B) 6 m/s
C) 8 m/s
D) 10 m/s
E) 8 2 m/s
Solución:
Del gráfico:
Para t0 = 0
v0x = 6 m/s
v0y = 8 m/s
vy= v0y-gt
Para t = 2
v0x = 6 m/s
v0y = 6 m/s
v = 2
y
0
2
x
0 v
v 
v = 6  v =6 m/s
Rpta.: D
5. Un niño sobre un velocípedo se desplaza en trayectoria rectilínea con velocidad
constante en relación al suelo. Si la rueda delantera realiza una vuelta en un
segundo, el radio de la rueda delantera es de 24 cm y las traseras 16 cm, en que
tiempo las ruedas traseras del velocípedo dan una vuelta completa.
A) 1/2 s B) 2/3 s C) 3/2 s D) 2 s E) 1 s
166

Solución:
f 1 = 1 Hz
r1 = 24 cm
las velocidades lineales de las ruedas son iguales:
w1r1 = w2r2
2πf1r1= 2πf2 r2
1.24 = f2.16
f2 = 1,5 Hz
finalmente
T2 = 1/f2
T2 = 2/3
Rpta.: B
6. En la última fila de asientos de un ómnibus, dos pasajeros están separados dos
metros entre sí. Cuando el ómnibus hace una curva cerrada de 40 m de radio con
una velocidad de 36 Km /h., la diferencia de velocidades de los pasajeros en metros
por segundo es.
A) 0,5 m/s B) 0,2 m/s C) 1,5 m/s D) 0,1 m/s E) 1,0 m/s
Solución:
Uno de los pasajeros estará 2 m más cerca del centro, podemos considerar un
movimiento sobre un eje fijo con velocidad angular constante.
Si la velocidad de B es igual a 36 Km /h o sea 10 m/s, tendremos:
VA= 9,5 m/s y VB = 10 m/s, VB-VA = 0,5 m/s
Rpta.: A
167

7. Las aspas de una licuadora están girando a razón de 180 rpm y se detienen en diez
segundos, determinar la magnitud de la aceleración angular.
A) 3π/5 rad/s2 B) 3π/2 rad/s2 C) 5π/3 rad/s2
D) 2π rad/s2 E) 2π/3 rad/s2
Solución:
180 rpm = 180  2 rad/min =
60
2
180 

rad/s = 6 rad/s
 =
t


= 6π/10 = 3π/5
 = 3π/5 rad/s2
Rpta.: A
1. En el grafico se muestra una pelotita que rueda por el techo inclinado de un granero
que forma un ángulo de 37° con la horizontal, el borde del techo está a 8 m del suelo
y la rapidez de la pelotita al momento de abandonar el techo es de 10 m/s. ¿A qué
distancia del borde del granero golpea la pelotita el piso si no golpea otra cosa al
caer?
(g = 10 m/s2)
A) 4,8 m
B) 6,4 m
C) 8,5 m
D) 10 m
E) 9,2 m
Solución:
En el eje y:
En eje x:
Rpta.:B
168

2. En el gráfico los cuerpos son lanzados desde el suelo formando un ángulo sobre la
horizontal, en ausencia de la resistencia del aire, las alturas alcanzadas son
pequeñas en comparación al radio de la tierra. Si son lanzados al mismo tiempo y
sus trayectorias se ubican en un mismo plano vertical, tal como se muestra en la
figura. Determine el tiempo de cruce o colisión.
(g = 10 m/s2)
A) 1 s, cruce B) 1 s, colision C) 2 s, cruce
D) 2 s, colisión E) 3 s, cruce
Solución:
Analizando en el eje x:
El tiempo de cruce es entonces:
s
2
º
53
Cos
40
º
37
Cos
50
128
V
V
128
t
X
X 02
1
o





Los proyectiles no colisionan, sino se cruzan, porque las alturas alcanzadas por
ambas, son diferentes dado que las componentes verticales de sus velocidades en
el instante de lanzamiento son diferentes:
o1Y
m
V 50Sen37º 30
s
  , H1= 30(2) – 5 (2)2 = 20m
s
m
32
º
53
Sen
40
V Y
2
o 
 , H2 = 32(2) – 5 (2)2 = 44m
Rpta.: C
3. Determine la rapidez angular de la manecilla del horario de un reloj.
A)
000
3

rad/s B)
000
8
1

rad/s C)
600
21

rad/s
D)
600
3

rad/s E)
500
1
2
rad/s
169

w
r A B
Solución:
Para el minutero de un reloj:  = 2 en una hora
 =
t

=
h
2
1
rad
2
 =
60
60
12
2



rad/s =
60
60
6 


rad/s   =
600
21

rad/s
Rpta.: C
4. En el gráfico mostrado: Un hombre lanza una pelota desde la parte superior de un
edificio de 50 m, con una velocidad inicial de 20 m/s. Determine la rapidez V en el
instante t = 1,5 s.
(g = 10 m/s2)
A) 10,0 m/s
B) 20,0 m/s
C) 30,0 m/s
D) 25,0 m/s
E) 40,0 m/s
Solución:
s
/
m
20
V
s
/
m
15
)
5
,
1
(
10
V
x
y




Rpta.: D
5. En el gráfico un disco rota con velocidad angular constante. Si la rapidez de A y B
están en la relación de 2 a 5 y la separación entre dichos puntos es 3 cm, determine
el radio del disco.
A) 1 cm
B) 2 cm
C) 3 cm
D) 4 cm
E) 5 cm
V
25 m/s
20 m/s
15 m/s
170

Solución:
Para el problema:
……………
………………
dividiendo obtenemos:
Rpta.: E
6. Un ciclista conduce una bicicleta de forma tal que sus ruedas, de 30 cm de radio
cada una, giran a 200 revoluciones por minuto. Determine la rapidez de la bicicleta.
Consideré .
Solución:
Rpta.: B
7. Los puntos periféricos de una rueda de la fortuna de 2 m de radio,al iniciar su
movimiento se comportan de acuerdo a la expansión  =0,5 t + 1,5 t2 y donde 𝞱 se
expresa en radianes y t en segundos . Determine la magnitud de la aceleración total
en el instante t=0,5 s.
A) 2 m/s2 B) 6 m/s2 C) 8 m/s2 D) 10 m/s2 E) 12 m/s2
Solución:
2
2
0,5 1,5
1
2
t t
w t t
  
    
Comparando:
wF = 0,5 rad/s2
 =3 rad/s2
para la aceleracion tangencial
• at =  .R = (3)(2) = 6m/s2
Para la aceleracion centripeta
•wF = w0 +  t (t = 0,5)
wF = 0,5 + 3(0,5)
wF = 2 rad/s
• ar = wF
2 · R
ar
a
at
171

ar = (2)2 (2) = 8m/s2
finalmente:
2
2
T
2
1 s
/
m
10
=
a
+
a
=
a
Rpta.: D
8. Se lanza una pelota con rapidez de 15 m/s, formando un ángulo de 37º sobre la
horizontal. Una pared se encuentra a 12 m del punto de lanzamiento, ¿a qué altura
impactará la pelota en la pared?
A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 1 m E) 2,5 m
Solución:
0x 0y
0x
2 2
0y
Como : v 12m / s v 9m / s
entonces : x v t 12 12t t 1s
1 1
y v t gt y 9(1) (10)(1)
2 2
y 4m
 
    
   

172

05
semana
FISICA

Física
DINÁMICA
I. Leyes de Newton
Primera Ley (principio de inercia)
“Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema es nula,
este permanecerá en reposo o se moverá en línea recta con velocidad constante.”
Eje x: Rx =  Fx = 0 Eje y: Ry =  Fy = 0 (1)
Segunda Ley (principio de masa)
“Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un sistema no es nula,
este adquirirá una aceleración la cual es directamente proporcional a la fuerza
resultante e inversamente proporcional a la masa del sistema.”
m a
F  







 1 Newton  1 N
s
m
Unidad S.I. : 1 kg 1
2
(2)
Tercera Ley (principio de acción y reacción)
“Cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejercerá una fuerza
sobre el primero de la misma magnitud pero de dirección opuesta.”
2
1
F  F (3)
1
F : fuerza del cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 (acción/reacción)
2
F : fuerza del cuerpo 2 sobre el cuerpo 1 (reacción/acción)
II. Fuerza de rozamiento o fricción (f)
Es la fuerza que se opone al movimiento relativo (o al intento de moverse) de
objetos que están en contacto. Ejemplo: Véase los casos de las figuras.
No hay movimiento Movimiento por iniciarse En movimiento
(fricción estática) (fricción estática máxima) (fricción cinética)
174

III. Ley de Coulomb de la fricción
"La magnitud de la fricción es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza
normal a las superficies en contacto".


















fuerza de contacto
normal (magnitud )
coeficient e
de rozamiento
fricción
(magnitud
)
f =  N (4)
(*) OBSERVACIONES:
1º) "" depende de la naturaleza de las superficies en contacto, por lo común:
0, sup
1, sup
erficies muy lisas
erficies muy ásperas









0    1 
2º) Fricción estática (valor máximo):
fS = S N S: coeficiente de rozamiento estático. (5)
3º) Fricción cinética:
fC = C N C: coeficiente de rozamiento cinético. (6)
4º) Por lo común se cumple: S > C
IV. Gravitación Universal
1. Ley de Newton de la gravitación universal
"La magnitud de la fuerza de atracción entre dos objetos en el universo es
directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia entre sus centros de masa".
F
G m m
d
G 
1 2
2 (fuerza gravitatoria) (7)
G = 6,67  10-11
N m2
/kg2
: constante de gravitación universal
2. Variación de "g".
Considérese un planeta esférico de masa M y radio R (ver figura); se cumple:
175

d: distancia medida desde el centro del planeta.
(8)
176

Física
EJERCICIOS
1. Un móvil de 1200 kg de masa se mueve rectilíneamente. Si disminuye su rapidez
uniformemente desde 25 m/s hasta 15 m/s en10 s, ¿cuál es la magnitud de la fuerza
aplicada al móvil?
A) 1250 N B) 1500 N C) 1200 N D) 1850 N
Solución:
a =
25−15
10
= 1 m⁄s2
. Por lo tanto, tenemos: F = 1200 kg x 1 m/s2
= 1200 N
Rpta.: C
2. Un bloque de peso 20 N se desliza sobre un plano inclinado 45° respecto a la
horizontal con rapidez constante de 2 m/s. El coeficiente cinético de rozamiento
entre el bloque y el plano inclinado es
A) 0,1 B) 0,3 C) 0,5 D) 1,0
Solución:
  tg  tg45  1
Rpta.: D
3. Establecer la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. Un objeto con aceleración constante puede invertir el sentido de su velocidad.
II. La dirección de la aceleración depende en alguna forma de la dirección del
movimiento.
III. Si la aceleración de un objeto tiene la misma dirección que su velocidad,
entonces su velocidad necesariamente aumenta.
A) VFV B) VFF C) FVV D) VVV
177

Solución
.
Rpta.:B
4. En la figura se muestran tres bloques cuyas masas son: MA = 20 kg, MB = 10 kg, y
MC = 10 kg. Los cuales se deslizan sobre una superficie lisa y son desplazados por
una fuerza de magnitud 50 N. Determine la magnitud de la tensión de la cuerda 2.
(Las masas de las cuerdas son despreciables)
A) 37,5 N
B) 20,0 N
C) 25,0 N
D) 35,5 N
Solución:
𝐹
𝑀𝐴+𝑀𝐵+𝑀𝐶
5
4
Aplicando la segunda ley de Newton a sistema: 𝑎 = = m/s
Luego en el bloque C: F – T2 = MC x a, entonces T2 = F – MC x a = 37,5 N
Rpta.: A
5. Sobre un cuerpo que inicialmente reposa en una superficie plana y lisa actúa
durante 4s una fuerza horizontal de 1 000 N. Si el cuerpo recorre 400 m, determine
el peso del cuerpo.
A) 100 N B) 150 N C) 200 N D) 300 N
Solución:
20 Kg
50
1000
m
F  ma
a  50 m/ s
(4)
2
a
400 2
2





W  mg 200N
Rpta.: C
178

6. En la figura se muestra una faja transportadora que es accionada de tal modo que
su velocidad inicial V0 permanece constante. Un bloque de masa 20 kg se encuentra
en reposo con respecto a la faja hasta que en determinado instante t se le aplica una
fuerza de magnitud F que le comunica una aceleración constante de magnitud 0,2
m/s2
respecto a la faja. Si el coeficiente de fricción cinética entre la faja y el bloque
es de 0,1. Determinar la magnitud de la fuerza F. (g = 10 m/s2
)
A) 30,5 N
B) 34,5 N
C) 30,0 N
D) 24,5 N
Solución:
Por la segunda ley de Newton:
F – Fr = M x a
F = M x a + 𝜇Mg
F = 20 x 0,2 + 0,1 x 20 x 10
F = 24 N
Rpta.: D
7. Los bloques se sueltan de la posición mostrada en la figura. Si la masa del bloque A
es 3 kg y la rapidez del bloque B al llegar al piso es 4 m/s, ¿cuál es la masa del
bloque B? (g = 10 m/s2
)
A) 2 kg
B) 3 kg
C) 1 kg
D) 4 kg
Solución:
2Kg
10  4
4
3
a
g
a
m
m
4 m/ s
2
2
4
2d
v
a
A
B
2
2
2









Rpta.: A
179

8. ¿A qué altura respecto de la superficie terrestre el peso de un cuerpo es la cuarta
parte de su peso en la superficie? (R: radio de la Tierra)
A)
2
R
B) 3R C) 2R D) R
Solución:
h  R
R  n
R
W
4
W
R  h
R
W
W
2
2
n
 






 






Rpta.: D
1. Un ladrillo es lanzado sobre una superficie horizontal tal como se muestra en la
figura. Determine la magnitud de la aceleración del ladrillo. (g = 10 m/s2
)
A) 3,0 m/s2
B) 1,5 m/s2
C) 4,0 m/s2
D) 4,5 m/s2
Solución:
Rpta.: A
2. Una persona de masa 60 kg se encuentra dentro de un ascensor que sube
desacelerando con aceleración constante de magnitud 2 m/s2
. Determine la reacción
del piso del ascensor sobre la persona.
A) 400 N B) 600 N C) 480 N D) 720 N
N
480
R
2)
(10
60
)
a
g
(
m
Solución:
R





Rpta.: C
2
r
f  mg  ma  a  3 m/ s
180

3. En la figura mostrada, determinar la mínima aceleración a para que el bloque de
masa m no resbale con respecto a la masa M.
A) 12,5 m/s2
B) 14,5 m/s2
C) 10,5 m/s2
D) 8,5 m/s2
Solución:
12,5 m/ s
2
0,8
g 10
a
mg  ma
mg  f





Rpta.: A
4. En la figura mostrada, si m = 6 kg y está a punto de deslizarse sobre 2m. Si el
coeficiente de rozamiento entre m y 2m es 0,5, no existiendo fricción entre 2m y la
superficie horizontal. Determine el peso W. (g = 10 m/s2
)
A) 180 N
B) 200 N
C) 280 N
D) 90 N
Solución
∎ D.C.L para el bloque de masa m:
Por la segunda ley de Newton:
fr = ma
μmg = ma
a = μg
Para el sistema: W = MT x a = (3m +
W
g
) a
181

W = (3m +
w
g
) (μg) = 3mgμ + Wμ
W =
3mgμ
1 − μ
=
3(6)(10)(0,5)
1 − 0,5
= 180 N
Rpta.:A
5. En el sistema mostrado en la figura, el bloque se libera cuando el resorte no ha
sufrido deformación. Determine la magnitud de la aceleración del bloque si el resorte
se ha estirado 0,1 m. Considere: m = 2 kg, k = 100 N/m y g = 10 m/s2
.
A) 5 m/s2
B) 2,5 m/s2
C) 10 m/s2
D) 7,5 m/s2
Solución:
2
1
a  5 m/ s
2a
mg  kx  ma
210  100 10 

Rpta.: A
6. En la figura, se tiene un pequeño cilindro que se desliza sin fricción por una guía
como se muestra. Si el móvil acelera con una aceleración de magnitud constante e
igual a 2,5 m/s2
. El resorte mostrado horizontalmente posee una constante de rigidez
de 10 N/cm. Determine la elongación del resorte. (g = 10 m/s2
)
A) 2,0 cm
B) 1,5 cm
C) 2,5 cm
D) 3,5 cm
m k
182

Solución:
Kx – N sen 370
= ma -(1)
N cos 370
= mg -(2)
Luego de (1) y (2): x = 2 cm
Rpta.: A
7. Si un planeta X en otra galaxia, posee una densidad constante y si hiciera más
grande, la magnitud de su fuerza de atracción sobre un objeto de masa m en su
superficie aumentará debido a la mayor masa M del planeta, pero disminuirá debido
a la mayor distancia R del objeto al centro del planeta. De acuerdo a este contexto,
El efecto que predomina será:
I. La fuerza de atracción gravitatoria aumenta, debido a la mayor masa del planeta.
II. La fuerza de atracción gravitatoria disminuye, debido a la mayor distancia del
objeto al centro del planeta.
III.La fuerza de atracción gravitatoria se mantiene constante, ya que la densidad del
planeta se mantiene constante
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II
Solución:
Considerando a la masa M del planeta concentrada en su centro y por la ley de la
gravitación universal, tendremos:
F = G
Mm
R2
Luego como M = ρ × V = ρ(
4
3
𝜋𝑅3
) remplazando en la ley de la gravitación
universal, tenemos
F = (
4
3
Gρπm) R
Podemos apreciar que el efecto que predomina es la mayor masa del planeta
porque ésta depende de R3
y la distancia del objeto al centro del planeta de R2
.
Por lo que podemos afirmar que la fuerza de atracción gravitatoria aumenta, debido
a la mayor masa del planeta.
Rpta.: A
183

8. Una persona pesa en la Tierra 900 N. ¿Cuál será su peso en una estación espacial
que gira alrededor de la Tierra a una altura igual a dos radios terrestres?
A) 100 N B) 300 N C) 450 N D) 400 N
Solución:
100 N
R  h
R
W
W
2
s
h
 






Rpta.: A
184

Física
EJERCICIOS
1. Una caja de 4 kg de masa debido a una fuerza constante que forma un ángulo
de 37º con la horizontal. Si la caja cambia su rapidez de 2 m/s a 8 m/s después
de recorrer 15 m. Determine la magnitud de la fuerza constante que actúa sobre
la caja, si el coeficiente de fricción cinética entre la caja y la cinta transportadora
es 0,2 (g = 10 m/s2)
A) 18,2 N B) 11,4 N C) 21,8 N D) 13,6 N
Solución:
 
K 0,2
Por cinemática:
 
2 2
F o
V V 2ad
 
2 2
(8) (2) 2a(15)
  2
m
a 2
s
…… (1)

 
Y
F 0 :
 
N
F FSen37º mg
  
N
F mg FSen37º ….. (2)
Por 2da ley de Newton

R
F m.a
 
k N
FCos37º F m.a ….. (3)
Reemplazando (1) y (2) en (3)
F 11
,4 N

Rpta.: B
37º
F
mg
FN
fK
d
a
Vo VF
185

37º
2. La figura muestra dos bloques de igual masa, unidos por una cuerda que pasa por
una polea sin fricción. Responder verdadero (V) o falso (F) a las siguientes
proposiciones:
(g = 10 m/s2)
I. Si el plano es liso, el sistema acelera con 2 m/s2
II. Si existe fricción entre el bloque y el plano, con uK = 0,25, el sistema acelera con
1 m/s2
III. Si el sistema se mueve sin aceleración, entonces uK = 0,5
A) VVV B) VFV C) FVF D) VFF
Solución:
I. Verdadero
 
mg T m.a  2
m
a 2
s
 
T mgSen37º m.a
II. Verdadero
 
mg T m.a  2
m
a 1
s
  
K
T mgSen37º mgCos37º m.a
III. Verdadero

T mg  
K 0,5
  K
T mgSen37º mgCos37º
Rpta.: A
186

3. Un muelle es una pieza elástica, ordinariamente de metal, colocada de modo tal que
pueda utilizarse la fuerza que hace para recobrar su posición natural cuando ha sido
separada de ella. En el caso siguiente, el bloque de 1 kg gira atado a un muelle de
constante elástica K = 12 N/m con rapidez angular de 2 rad/s. Si la longitud natural
del muelle es de 1 m. ¿Qué deformación experimenta el resorte?
A) 20 cm B) 70 cm C) 50 cm D) 40 cm
Solución:

CP CP
F ma
 2
Kx m R
  
2
Kx m (1 x)
 
2
12x (1)(2) (1 x)
x 50cm
 
Rpta.: C
4. Un bloque es lanzado sobre una superficie horizontal rugosa con rapidez inicial
5 m/s tal como se muestra en la grafica velocidad – tiempo. Determine el coeficiente
de rozamiento cinetico.
(g=10 m/s2)
A) 0,05
B) 0,2
C) 0,6
D) 0,5
FN
mg

R = 1+x Kx


Liso

v (m/s)
t (s)
10
5
187

Solución:
De la grafica:
2
5
: 0,5 m/s
10
v
a a a
t

     

Segunda ley de Newton:
Re . .
.
(10 ) ( )(0,5) 0,05
sult
F m a
froz ma
m m u



  
Rpta.: A
5. Una esfera de masa 100 g unido a una cuerda de longitud 50 cm gira sobre un plano
horizontal a razón de 20 revoluciones/s, tal como se muestra en la figura; determine
la magnitud de la fuerza centrípeta.
(g=10m/s2, π2=10)
A) 800 N
B) 200 N
C) 600 N
D) 80 N
Solución:
 
2
2
2
0,1 (2 )(20) (0,5)
800
Fc m R f
Fc
Fc N
  

  


Rpta.: A
188

6. Una gran bola de acero de masa 500 kg sujeto por una cuerda es utilizado para
demoler edificios, si pasa por su punto más bajo con rapidez de 6 m/s describiendo
una trayectoria circular de 5 m. Determine la magnitud de la fuerza centrípeta en su
punto más bajo.
(g = 10 m/s2)
A) 3600 N B) 8600 N C) 1200 N D) 3200 N
Solución:
De la 2da Ley de Newton, en la posición más baja:
2
2
(6)
500
5
3600
c c
v
Fc ma a
R
Fc x
Fc N
  

 
Rpta.: A
7. Un minero que se encuentra en el interior de una mina de oro, emplea para extraerlo
tres vagones de masas 300 kg, 200 kg y 100 kg respectivamente; los cuales se
encuentran unidos por un cable, cuya masa se desprecia. Si se jala con una fuerza
horizontal de 600 N, sin considerar la fricción de las ruedas. Determinar la
aceleración del sistema.
A) 1 m/s2
B) 3 m/s2
C) 2 m/s2
D) 0,5 m/s2
Solución:
Masa total del sistema: M = 300 + 200 + 100 = 600 kg.
Por la segunda Ley de Newton:
Rpta.: A
189

8. En los números de acrobacia de los circos, no es raro ver a motociclistas en una
jaula dar vueltas en trayectorias circulares verticales. En este contexto, calcular la
rapidez mínima que debe tener la moto al pasar por la parte más alta de la
trayectoria para garantizar una trayectoria circular completa, desprecie todo tipo de
rozamiento. (considerar g= 10 m/s2 y radio de 3.6 m).
A) 6 m/s B)
6
m / s
2
C) 6 2 m / s D) 7 m/s
Solución:
La condición de mínima es cuando
Rpta.: A
1. Las leyes de Newton son principios de la mecánica clásica que describen el
movimiento de los cuerpos debido a las fuerzas que la hacen posible. Éstas
leyes son la base para entender muchos fenómenos que ocurren en nuestro
alrededor, en nuestra naturaleza. Al respecto, se mencionan las siguientes
proposiciones referidadas a éstas leyes, responder verdadero (V) o falso (F):
I. El estado de movimiento en línea recta en ausencia de fuerzas externas se
realiza con velocidad constante.
II. Un cambio en el estado de movimiento de un cuerpo, implicará una fuerza
neta y consecuentemente una aceleración resultante sobre dicho cuerpo.
III. Un cuerpo o sistema, puede por si mismo, ponerse en movimiento sólo con
sus fuerzas internas.
A) VVF B) FVF C) VVV D) FFV
Solución:
I. Verdadero
Según la 1ra ley de Newton, en M.R.U. la fuerza resultante es nula.
II. Verdadero
Según la 2da ley de Newton, la aceleración surge por la aparición de una
fuerza neta.
III. Falso
Según la 3ra ley de Newton, el movimiento es posible sólo con fuerzas
externas de acción y reacción.
Rpta.: A
190

. El peralte en sí es un elemento de seguridad vial, y el papel que juega está muy
relacionado con la física. Cuando un vehículo toma una curva, las diferentes fuerzas
que actúan sobre él al hacer el giro provocan cierta tendencia a seguir en la
dirección inicial, es decir, recto. El peralte contrarresta estas fuerzas, ayudando a
que el vehículo permanezca en la vía y evitando su salida de la misma. Para el
cálculo del peralte hay que tener en cuenta principalmente el radio de la curva, el
peso del vehículo y la velocidad del mismo. Un ciclista practica en una pista circular
de 48 m de radio con rapidez constante de 12 m/s. ¿Cuál debe ser el ángulo de
peraltado que debe tener la pista para que el ciclista pueda recorrerla sin sufrir
incidentes? (g=10 m/s2).
A) Tg–1(0,1) B) Tg–1(0,2) C) Tg–1(0,3) D) Tg–1(0,4)
Solución:
 
2
T
N
V
F Sen m
R
 
N
F Cos mg
Entonces
   
2 2
T
V (12)
Tg 0,3
Rg (48)(10)

   1
Tg (0,3)
Rpta.: C
3. Por la segunda Ley de Newton, la fuerza resultante que actúa en un cuerpo y la
aceleración tienen la misma dirección. En este contexto, un bloque de masa 0,6 kg
es desplazado verticalmente hacia arriba con aceleración 6m/s2 y fuerza de
magnitud 10 N, tal como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza
de resistencia del aire
(g = 10 m/s2)
A) 0,4 N
B) 1,5 N
C) 0,8 N
D) 4 N
FN
mg 

R
o

191

Solución:
Por la segunda Ley de Newton
F – mg – fr = ma
Fr = F – mg – ma
= 10 – 0,610 – 0,66
F = 0,4 N
Rpta.: A
4. En consideraciones más reales, el rozamiento del aire no es despreciable, Esta
observación es notable cuando se ve el saque de meta en un partido de fútbol, la
pelota no sigue una trayectoria parabólica. En este contexto, un futbolista profesional
impulsa hacia arriba con fuerza una pelota con rapidez de 55 m/s, determine la
altura máxima que adquiriría la pelota si la fuerza de rozamiento del aire se
considera como una décima parte de su peso. (considerar g = 10m/s2)
A) 137,5 m B) 151,25 m C) 168,06 m D) 125,5 m
Solución:
Rpta.: A
5. El mecanismo que operan los ascensores o montacargas consisten en un motor
empotrado en un ambiente conveniente en la azotea de los edificios, sistema de
engranajes, cables que se amarran a cabinas que las elevan o bajan. Por seguridad
los cables tienen límite de carga máxima. En este contexto, se desea conocer la
aceleración máxima de ascensión que puede resistir un ascensor a plena carga
antes que se rompa el cable; la carga total es de 2000 Kg de masa y la tensión de
ruptura 25000 N. (despreciar las fuerzas internas de rozamiento y considerar g= 10
m/s2).
A) 2,5 m/s2
B) 12,5 m/s2
C) 10 m/s2
D) 5 m/s2
Solución:
Rpta.: A
192

6. Un móvil se desliza sobre una superficie rugosa bajo la acción de una fuerza
horizontal de magnitud constante, tal como se muestra en la figura. Si la ecuación
de su velocidad - posición está dada por 2
25 8
V x
  , donde V está en m/s y x en
metros; determine la masa del bloque.
(g=10 m/s2)
A) 1 kg
B) 1,5 kg
C) 6 kg
D) 4 kg
E) 2,5 kg
Solución:
• De la ecuación velocidad – posición: a = 4 m/s2.
• 2da Ley de Newton al bloque:
Re . .
6 (0,2)(10 ) ( )(4)
6 2 4
1

 
 

sult
F m a
m m
m m
m kg
Rpta.: A
7. La tierra tiene una velocidad angular de rotación , por lo
tanto, existe un efecto dinámico de rotación. En este contexto, ¿cuál sería la
aceleración centrípeta debida a su rotación en el ecuador terrestre.
(considerar RT = 6400 km)
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Rpta.: “A”
193

Física
EJERCICIOS
1. De acuerdo a las leyes de Newton, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
I. Son aplicables en cualquier sistema de referencia.
II. La tercera ley es aplicable a cualquier sistema de referencia.
III. Un sistema que rota con MCU es inercial.
A) FVF B) VVF C) FFF D) FFV E) VFV
Solución:
I. F (solo la tercera ley)
II. V
III. F (un sistema rotante está acelerado)
Rpta.: A
2. Un bloque es desplazado por una fuerza paralela a un piso horizontal rugoso con
una aceleración de 2 m/s2. Determine la magnitud de la fuerza aplicada si el
coeficiente de rozamiento es  
c 0,3 y la masa es 1 kg.
(Considere g = 10 m/s2)
A) 3 N B) 5 N C) 2 N D) 10 N E) 7 N
Solución:
     
          
         
 i r
r c
r r
F ma w N F F ma
w N 0 N 1 10 10N ; F N 0,3 10 3 N
F F ma F ma F 1 2 3 F 5N
Rpta.: B
3. Se suelta una piedra de 2 kg de masa desde la azotea de un rascacielos, después
de 5 s la piedra bajó una altura de 100 m. Determine la magnitud de la fuerza de
fricción supuesta constante.
(Considere g = 10 m/s2)
A) 4 N B) 16 N C) 8 N D) 10 N E) 12 N
194

a
F
a
2
1
F
a
F
2
1
a1
a
2
Solución:
 

    
        
      

2 2
2
i r r
r r
1 2h 2 100
h at a 8 m / s
2 t 25
F ma w F ma w F ma
F m g a 2(10 8) F 4N
Rpta.: A
4. La figura muestra la gráfica de la aceleración ( a ) versus la fuerza ( F ) que se aplica
a dos bloques 1 y 2 de masas m1 y m2 respectivamente, que descansan sobre una
superficie horizontal lisa. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I. Las masas de los bloques cumplen la relación: m2 > m1
II. Para una misma fuerza F, el bloque 2 tendrá una mayor aceleración que el
bloque 1
III. Si los bloques experimentan la misma aceleración, entonces F1 > F2
A) FFF B) VFV C) VVV D) FVV E) FFV
Solución:
I. Falso
La recta de menos pendiente indica mayor masa del cuerpo, por tanto m1 > m2
II. Verdadero
De la gráfica se observa que a2 > a1
195

a
F
2
1
F
120º
V=0
F = 6 N
1
III. Verdadero
De la gráfica se observa que F1 > F2
Rpta.: D
5. La dinámica describe los factores que son capaces de producir una alteración en el
estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. En el caso que se muestra, un
ladrillo de masa 3 kg reposa sobre un plano horizontal liso y en cierto instante se le
aplican las fuerzas constantes mostradas. Determine la magnitud de la fuerza F
sabiendo que después de 2 s del instante mostrado, el bloque presenta una rapidez
de 1 m/s. (g = 10 m/s2)
A) 3 N
B) 12 N
C) 6 N
D) 10 N
E) 9 N
Solución:
Por M.R.U.V.
F o
V V at
  
   1 0 a(2)

   2
m
a 0,5
s

 
F1 = 6 N
F
Vo = 0
30º
FSen30°
FCos30°
a
mg FN
196

Aplicando 2da ley de Newton:
R
F ma
 

1
F FSen30 m.a
    6 F(0,5) 3(0,5)
   F 9 N

Rpta.: E
6. El cajón de masa 2 kg lleva una carga interior de 6 kg de masa y está atada a una
cuerda inextensible y ligera que sujeta a una esfera de 2 kg de masa. El conjunto
desliza sobre un riel liso mediante anillos sujetos a soportes verticales unidos al
cajón. Determine la magnitud de la fuerza horizontal F que se aplica al cajón.
(g = 10 m/s2)
A) 50 N
B) 60 N
C) 75 N
D) 85 N
E) 95 N
Solución:
La magnitud de la aceleración del sistema es:
TSen37 m.a
 
TCos37 m.g
 
 a = g.Tg37º
 
 
 
 
2
3 m
(10) 7,5
4 s
La magnitud de la fuerza F aplicada será:
T
F m .a
 = (2+6+2) (7,5) = 75 N
Rpta.: C
197

g
R=1m
(2)
(1)
FC
3m/s
1
FC2
g
R=1m
(2)
(1)
FC
3m/s
1
FC2
6m/s

v=2m/s
7. Una esferita de masa m, atada a una cuerda de 1 m de longitud, gira en un plano
vertical y se aprecia que la rapidez de la esferita en la parte más alta es 3 m/s y en la
más baja 6 m/s. Determine la relación de las fuerzas centrípetas en los puntos
inferior y superior de la trayectoria.  
2 1
FC / FC (g=10m/s2)
A) 4
B) 7
C) 10
D) 12
E) 6
Solución:
2
(2)
2
(1)
(2)
(1)
m.(6)
Fc
R
m.(3)
Fc
R
dividiendo :
Fc
4
Fc



Rpta.: A
8. Una pequeña esfera de hierro de masa 0,8 kg atada a una cuerda inextensible de
longitud 1 m es soltada y pasa por la posición más baja con rapidez de 2 m/s, tal
como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la tensión en la cuerda
cuando la esfera pasa por la posición más baja. Desprecie la fuerza de resistencia
del aire.
(g = 10 m/s2)
A) 11,2 N
B) 8 N
C) 12 N
D) 3,2 N
E) 12,2 N
198

Solución:
De la 2da Ley de Newton, en la posición más baja:
c
2
T Fg ma
(2)
T 8 (0,8)
1
T 11,2N
 
  
 
Rpta.: A
1. Dos bloques A y B unidos por una cuerda tensa son deslizados sobre una superficie
lisa bajo la acción de una fuerza F de magnitud constante, tal como se muestra en la
figura. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. La fuerza resultante que actua sobre los bloques A y B son iguales.
II. La magnitud de la tensión de la cuerda sobre los bloques A y B son diferentes.
III. Los bloques A y B se desplazan con la misma aceleración
A) FFV B) FVV C) FVF D) VVF E) VFF
Solución:
I. Los bloques experimentan diferentes fuerzas resultantes. (F)
II. La magnitud de la tensión de la cuerda sobre ambos bloques son iguales. (F)
III.La aceleracion de los bloques A y B son iguales. (V)
Rpta.: A
2. Un bloque de masa m, se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado que forma un
ángulo de 37o con la horizontal, con velocidad constante. Determine el coeficiente de
rozamiento cinético.
A) 0,75 B) 4/3 C) 0,6 D) 0,8 E) 0,5
F
mA mB
199

Solución:
i r
F 0 w N F 0
    

Tomando el sistema de referencia de la rampa
r c r c
r r c c
4 4
N w cos37 0 N w ; F N F w
5 5
3 4 3 3
F w sen37 0 F w ; w w 0,75
5 5 5 4
         
          
Rpta.: A
3. Utilizando una cuerda de masa despreciable, se sube un cuerpo por una rampa que
forma un ángulo de 53o sobre la horizontal y con velocidad constante. Determine el
coeficiente de fricción cinética teniendo en cuenta que la cuerda es paralela a la
rampa y la magnitud de su tensión es igual al peso del cuerpo.
A) 1/3 B) 2/3 C) 1/2 D) 2/5 E) 3/4
Solución:
i r
F 0 w N T F 0
     

Considerando el sistema de referencia de la rampa
r c r c
r c c c
3 3
N wcos53 0 N w ; F N F w
5 5
3 4 3 1 1
T F w sen53 0 w w w 0
5 5 5 5 3
         
               
Rpta.: A
200

4. Por la segunda ley de Newton, la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo y la
aceleración tienen la misma dirección. En este contexto, un bloque de masa 0,6 kg
es desplazado sobre la superficie horizontal rugosa mediante una fuerza F, tal como
se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza F, si la magnitud de la
aceleración del bloque es 2 m/s2.
(g = 10 m/s2)
A) 3,6 N
B) 1,5 N
C) 0,5 N
D) 3,5 N
E) 2 N
Solución:
Por la segunda Ley de Newton:
res.
* F ma
F froz. ma froz. N
F (0,4)(6) (0,6)(2) F 3,6N

    
   
Rpta.: A
5. Un móvil se desliza sobre una superficie rugosa bajo la acción de una fuerza
horizontal, tal como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza de
rozamiento sobre el móvil, si la ecuación de posición del móvil está dada por
2
x 10 0,5t 0,9t
    , donde x está en metros y t en segundos.
(g=10 m/s2)
A) 5 N
B) 3,2 N
C) 1,2 N
D) 2,4 N
E) 6 N
Solución:
• De la ecuación de posición: a = 1,8 m/s2
• 2da Ley de Newton al bloque:
5
8 (0,3)(m)(10) (m)(1
,8) m kg
3
   
201

Por tanto la magnitud de la fuerza de rozamiento:
fr uN N Fg
5
fr 0,3 10
3
fr 5N
  
 
 
 
 
 
Rpta.: A
6. Una esfera de 2 kg de masa, atada a una cuerda, gira con movimiento circular en un
plano vertical. Al pasar por la posición más baja, la rapidez de la esfera es el doble
que en su posición más alta. Determine la magnitud de la tensión máxima en la
cuerda, sabiendo que la mínima tiene una magnitud de 10 N. (g = 10 m/s2)
A) 100 N B) 120 N C) 130 N D) 140 N E) 110 N
Solución:
En la parte más alta:
CP CP
F ma

2
mín
V
T mg m
R
 
2
V
10 20 2
R
 

2
V
15
R

En la parte más baja:
CP CP
F ma

2
máx
máx
máx
(2V)
T mg m
R
T 20 8(15)
T 140 N
 
 


Rpta.: D
•
V
2V
mg
mg
Tmáx
Tmín
o
R
202

7. Si la fuerza resultante sobre un cuerpo no tiene la misma dirección que la velocidad,
se produce un movimiento curvilíneo. Esta fuerza producirá modificaciones en
magnitud y dirección de la velocidad del cuerpo. Un cántaro de 4 kg de masa se
hace girar por medio de una cuerda de 2 m de longitud en un plano vertical. Si en el
instante mostrado el cántaro tiene una rapidez angular de 3 rad/s, determine la
magnitud de la tensión de la cuerda en la posición dada. (g = 10 m/s2)
37º R
A) 40 N B) 50N C) 48 N D) 36 N E) 54 N
Solución:
Luego de realizar un D.C.L. aplicaremos la segunda ley de Newton al movimiento
curvilíneo.
FCP = m.aCP
T + mgCos37° = m2R
T + 32 = 4(3)2(2)
 T = 40 N
Rpta.: A
T
mgcos37° mgsen37°
mg

R
37°

203

Física
EJERCICIOS
1. Por la segunda Ley de Newton, cuando un cuerpo o sistema es sometido a una fuerza
resultante, éste adquiere aceleración. En este contexto, la figura muestra dos bloques
(unidos mediante una cuerda de peso despreciable, tensa e inextensible) que son
desplazados mediante una fuerza horizontal de magnitud 2 N; determine la magnitud
de la tensión en la cuerda que une los bloques (1) y (2). Considere que las superficies
son lisas.
(g= 10m/s2, m1 = 4 kg, m2 = 6 kg)
A) 8 N
B) 1,2 N
C) 0,8 N
D) 0,4 N
E) 1,6 N
Solución:
Para el sistema:
N
8
,
0
T
2
,
0
4
T
a
.
m
T
:
)
1
(
Bloque
s
/
m
2
,
0
a
a
)
6
4
(
2
a
m
F
1
2
.
sist
.
s
Re










Rpta.: C
1 2
F = 2 N
Cuerda
F = 2 N
204

2. Suponga que un astronauta de 80 kg es enviado en una nave espacial para realizar
una expedición a un planeta donde la gravedad es 4,4 m/s2. Si al momento de aterrizar
en la superficie del planeta, la nave desacelera a razón de 5,6 m/s2; determine la
magnitud de la fuerza normal entre el astronauta y la nave durante el aterrizaje.
A) 490 N
B) 96 N
C) 240 N
D) 800 N
E) 960 N
Solución:
2da ley de Newton al astronauta:
Res.
F =ma
N mg=ma
N (80)(4,4) = (80)(5,6)
N =800N



Rpta.: D
3. En relación a las fuerzas y la segunda ley de Newton, indique la verdad (V) o falsedad
I. La aceleración sobre un cuerpo puede tener direccion contraria a la fuerza
resultante.
II. La fuerza de rozamiento estatico en general tiene direccion contraria a la velocidad.
III.Cuando un cuerpo describe una trayectoria circular, existe siempre una fuerza
centrípeta.
A) FVV B) FFV C) VFF D) VVF E) FVF
Solución:
I. La aceleración y la fuerza resultante siempre se encuentran en la misma
dirección. (F)
II. La fuerza de rozamiento estático puede tener la misma dirección que la
velocidad. (F)
III. La fuerza centrípeta siempre actua cuando un cuerpo describe una trayectoria
circular. (V)
Rpta.: B
205

4. Se impulsa un ladrillo sobre una superficie horizontal con rapidez inicial de 2 m/s, tal
como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la aceleración del ladrillo y la
distancia recorrida hasta detenerse. (g = 10 m/s2)
A) 3 m/s2; 0,67 m
B) 2,5 m/s2; 0,67 m
C) 1,5 m/s2; 1,5 m
D) 3 m/s2; 1,5 m
E) 2 m/s2; 0,3 m
Solución:
2da ley de Newton:
roz.
2
f =ma
μN=ma
0,3(10m)=ma
a=3m/s
Cinemática:
2 2
0
2
V =V 2ad
0=2 2(3)d
d=0,67m


Rpta.: A
5. Los materiales que se pueden estirar o comprimir tienen buenas propiedades
elásticas. Un bloque de masa 2 kg se encuentra suspendido del techo de un ascensor
mediante un resorte, tal como se muestra en la figura. Si el ascensor desciende
aumentando su rapidez con aceleración de magnitud 2 m/s2; determine la constante
elástica del resorte si esta estirado 10 cm. (g = 10 m/s2)
A) 120 N/m
B) 160 N/m
C) 280 N/m
D) 80 N/m
E) 240 N/m
206

Solución:
De la 2da Ley de Newton:
Res.
k
F =ma
mg F =ma
20 Fk(0,1)=2(4)
k=120 N/m


Rpta.: A
6. En el sistema mostrado en la figura, el bloque se libera cuando el resorte no ha sufrido
deformación. Determine la magnitud de la aceleración del bloque cuando el resorte se
ha estirado 10 cm. Considere: m = 2 kg, k = 100 N/m y g = 10 m/s2
A) 5 m/s2
B) 2,5 m/s2
C) 10 m/s2
D) 7,5 m/s2
E) 4 m/s2
Solución:
resul.
2
F =m a
mg kx= ma
2 10 100 0,1= 2a
a= 5 m/s

  
Rpta.: A
7. Para el instante que se muestra en la figura, el aire ejerce una fuerza de resistencia
opuesta al movimiento de magnitud 16 N sobre la esfera de masa 4 kg. Si el
dinamómetro “D” registra 40 N; determine las magnitudes de la fuerza centrípeta y de
la fuerza tangencial, respectivamente. (g=10m/s2)
A) 16 N; 18 N
B) 16 N; 14 N
C) 16 N; 16 N
D) 18 N; 17 N
E) 13 N; 12 N
m k
D
207

Solución:
Eje Radial:
Radial
Radial
F =40 24
F =16N

Eje Tangencial:
Tang.
Tang.
F =32 16
F =16N

Rpta.: C
1. Un móvil se desliza sobre una superficie horizontal rugosa bajo la acción de una fuerza
horizontal, tal como se muestra en la figura. Determine el peso del móvil si su ecuación
de posición está dada por
2
x=4 t+3t
 , donde x está en metros y t en segundos.
(g=10 m/s2)
A) 10 N B) 40 N C) 20 N D) 15 N E) 60 N
Solución:
De la ecuación de posición: a = 6 m/s2
2da Ley de Newton al bloque:
resul.
F =m a
22 (0,5)(10m)=(m)(6)
m=2kg
mg=20N

Rpta.: C
2. Existen diferentes métodos experimentales para determinar el grado de rugosidad de
una superficie. En este contexto, dos bloques se desplazan sobre una superficie
horizontal rugosa, con aceleración constante de 1 m/s2 y bajo la acción de una fuerza
horizontal constante de magnitud F = 12 N, tal como se muestra en la figura. Si las
masas de los bloques son mA = 8 kg y mB = 2 kg; determine el coeficiente de
rozamiento cinético. (g=10 m/s2)
A) 0,01
B) 0,03
C) 0,05
D) 0,02
208

E) 0,04
Solución:
Empleando la 2da Ley de Newton al sistema:
resul. sist.
c A B
F =m a
F f =(m +m )a
12 μ(100)=(8+2)(1)
μ=0,02


Rpta.: D
3. Un bloque de 10 kg de masa, parte del reposo y asciende por un plano inclinado liso
debido a la acción de una fuerza de magnitud 100 N, tal como se muestra en la figura.
Determine el tiempo necesario para que el bloque recorra la distancia de 8 m.
(g=10 m/s2)
A) 4 s
B) 2 s
C) 6 s
D) 1 s
E) 8 s
Solución:
Result.
2
F =ma
100 100Sen37°=(10)a
a=4m/s

2
2
1
d= at
2
1
8= (4)t
2
t=2s
Rpta.: B
4. En el sistema mostrado en la figura los bloques 1 y 2 están inicialmente en reposo. Si
los bloques se dejan en libertad; determine la magnitud de la aceleración y la rapidez
del bloque 2 cuando llega al piso.
(m1 = 2 kg; m2 = 3 kg, g = 10 m/s2)
A) 2 m/s²; 3 m/s
B) 3 m/s²; 6 m/s
C) 3 m/s²; 3 m/s
D) 4 m/s²; 6 m/s
E) 2 m/s²; 6 m/s
209

Solución:
Aplicando la 2da Ley de Newton en m1 y m2:
T 20=2a (1)
30 T=3a (2)


De (1) y (2):
a = 2 m/s2
* Por cinemática:
2 2
0
2
V = V +2ad
V =2(2)(9)
V = 6m/s
Rpta.: E
5. En la naturaleza existen diversas fuerzas, estas al interactuar sobre un cuerpo o
sistema pueden modificar su estado dinámico. En este contexto, indique la verdad (V)
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. En un movimiento curvilineo, la fuerza resultante sobre el cuerpo puede ser nula.
II. Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es nula, entonces su aceleracion no es
nula.
III. Durante la caida libre de una canica, no actuan fuerzas.
A) VFV B) FFF C) VFF D) FVV E) FVF
Solución:
I. MCU: Fuerza centripeta (F)
MCUV: Fuerza centripeta y tangencial.
II. Si la fuerza resultante es nula, su aceleración es nula. (F)
III. Durante la caida libre de una canica, actua su peso. (F)
Rpta.: B
6. En la figura se muestra una esfera de 1 kg girando sobre una superficie horizontal lisa
con rapidez constante de 10 m/s. Si la esfera está sujeta a un resorte de 20 cm de
longitud natural, determine la constante elástica del resorte si esta estirado 5 cm.
(g=10 m/s2)
A) 10 N/cm
B) 1,6 N/cm
C) 15 N/cm
D) 0,8 N/cm
E) 0,4 N/cm
210

Solución:
Aplicando dinámica circular:
2
c c
2
v
F = ma =m
r
(1)(10)
k(5)=
25
k= 0,8 N/cm
Rpta.: D
7. Una bolita se encuentra atada a una cuerda de 2 m de longitud y gira en un plano
vertical como se muestra en la figura. Si en el instante mostrado su rapidez es 5 m/s,
determine la magnitud de la tensión en la cuerda.
(=53°, m = 6kg, g=10m/s2)
A) 111 N
B) 36 N
C) 75 N
D) 85 N
E) 25 N
Solución:
En la dirección radial:
2
cent.
mv
F =
r
6 25
T 36=
2
T=111N


Rpta.: A
211

8. Para el instante mostrado en la figura, el radio de curvatura es (50/3) m. La esfera
tiene una masa 0,2 kg. Si la resistencia ejercida por el aire tiene una magnitud de
0,4N y es contraria a la velocidad, determine el módulo de la aceleración tangencial
para dicha posición. (g=10m/s2)
A) 8 m/s2
B) 10 m/s2
C) 7 m/s2
D) 9 m/s2
E) 6 m/s2
Solución:
Datos:
Tang.
V = 10m/s
50
R = m
3
Eje radial:
Radial cent.
2
cent.
2
F =ma
V
a =
R
(10)
2Cos( ) =0,2
50
3
Cos( ) =3/5
=53°
 


Eje tangencial
Tang. Tang.
aire Tang.
Tang.
2
Tang.
F =ma
F +2Sen( ) = ma
4
0,4+2 =0,2a
5
a =10 m/s


Rpta.: B
2Sen()
212

06
semana
FISICA

Física
ESTÁTICA
1. Equilibrio de fuerzas concurrentes
Tres o más fuerzas son concurrentes si sus líneas de acción se intersectan en un punto.
Por ejemplo, en la mesa de fuerzas que se muestra en la figura la primera ley de Newton
requiere:
1 2 3
F F F 0
  
(*) OBSERVACIONES:
1º) Cuando la masa de un cuerpo sólido está distribuida uniformemente a través de su
volumen su densidad es constante, y se dice que el cuerpo es homogéneo y uniforme.
2º) El punto de un cuerpo sólido macroscópico donde parece concentrarse su peso se
llama centro de gravedad y el cuerpo se puede representar como una partícula simple.
214

3º) El centro de gravedad (punto G) de un cuerpo sólido, homogéneo y simétrico se
localiza en su centro de simetría (véanse las figuras).
2. Torque (  )
Cantidad vectorial que indica el efecto de rotación producido por una fuerza (véase la
figura).
El torque de la fuerza F se puede definir por:
 
fuerza
torque brazo
perpendicular
 
  
 
(Fsen )r
  
(Unidad S.I: Nm)
 ángulo entre vector r (brazo de la fuerza) y la dirección de la fuerza F(véase la figura).
215

Otra definición equivalente de torque es (véase la siguiente figura):
  
torque fuerza brazo perpendicular

F(rsen )
  
(*) OBSERVACIONES:
1°) Si r = 0, significa que la fuerza actúa en el punto de giro o su línea de acción pasa por
él. Se obtiene: 0
  (no hay giro).
2°) Si la fuerza (F) es perpendicular al brazo ( r ): = 90, obtiene:
Fr
 
3°) Para rotaciones en dos dimensiones se puede hacer un convenio de signos asociado
a la dirección del torque: torque positivo ( > 0) significará un giro antihorario y torque
negativo ( < 0) significará un giro horario.
3. Condiciones de equilibrio
3.1. Primera condición de equilibrio
Se refiere al equilibrio de traslación o de fuerzas concurrentes. Se aplica al estado de
reposo o de MRU:
F 0


216

3.2. Segunda condición de equilibrio
Se refiere al equilibrio de rotación o de fuerzas paralelas. Se aplica al estado de reposo o
de MCU:
0
 

217

Física
EJERCICIOS
1. En la figura se muestran los bloques A y B en equilibrio. Con respecto al par de
fuerzas Acción y Reacción, determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I. La fuerza de reacción al peso del bloque A es la fuerza normal que ejerce B
sobre A.
II. La fuerza de reacción a la fuerza normal de B sobre A es el peso del
bloque A.
III. La fuerza de reacción a la fuerza normal que ejerce el piso sobre el bloque B es
la fuerza de reacción que ejerce B sobre A.
A) FFF B) VVF C) FFV D) FVV
Solución:
I) F II) F III) F
Rpta.: A
2. En el esquema de la figura adjunta los tres cuerpos unidos por cables están en
equilibrio. Los bloques A y B pesan 60 N cada uno y el bloque C pesa 80 N.
Determinar el valor de h
A) 1,34 m B) 1,46 m C) 1,58 m D) 1,60 m
Solución:
218

h = 1,34 m
Rpta.: A
3. En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 600 N de peso pende de dos
cables. Determinar: el valor de la tensión BC en los cables para F = 500 N.
Dato: tg α = 4 / 3
A) 184,5 N B) 193 N C) 182,5 N D) 123,5 N
Solución:
Para el valor F = 500 N, las tensiones en los
dos cables son distintas de cero. En el punto C
concurren cuatro fuerzas, luego para que este en
equilibrio su resultante ha de ser cero. Condición
gráfica de equilibrio
Rpta.: A
P
FB
F

FA
60
º
219

127°
127°
53°
R
T
100N
37°
R
100 N
T
R=80N
53°
N
F
R=80N
100N
53°
N-100 80N
F
4. Se tienen dos esferas homogéneas de masas iguales a 10Kg cada una y de igual
radio. Una descansando sobre la otra tal como se ilustra, determine la magnitud de
la fuerza ejercida por el resorte en contacto con la esfera. Si se desprecia todo tipo
de rozamiento.
A) 48 N
B) 36 N
C) 24 N
D) 60 N
Solución:
Rpta.: A
220

5. Una barra horizontal de 4 m de largo de masa 1,2 kg está sometida a una fuerza
vertical hacia abajo de 12 N aplicada en su extremo B. Determinar el momento lineal
resultante para mantener la barra en estado de reposo.
A) 72 N-m B) 80 N-m C) 62 N-m D) 50 N-m
Solución:
Σ MA = 4x 12 + 2x 12 = 48 + 24 = 72 N-m
Rpta.: A
6. Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies
lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar: el valor de la reacción de
apoyo ( NA ) en A, para mantener la barra en equilibrio en la posición indicada.
A) 150 N B) 136 N C) 120 N D) 100 N
Solución:
Sobre la barra actúan cuatro fuerzas:
El peso P, las normales en los apoyos
NA, NB y la fuerza aplicada en el
extremo A.
Diagrama del sólido libre
B
G
A
30
º
60
º
N
A
P
F
30°
NB
221

Condición de equilibrio
NA + NB sen 30º = P
NB cos 30º = F
P
Tomando momento de Fuerza en A
Sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas
Operando queda NB = 100 N ; NA = 150 N ; F = 86,5 N
Rpta.: A
7. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. Para un cuerpo rígido en equilibrio estático, el momento resultante respecto a
cualquier punto es nulo.
II. Para que un objeto esté en equilibrio es necesario que sobre él no actúe
ninguna fuerza.
III. El peso de un cuerpo siempre se equilibra con una fuerza llamada normal.
A) VFF B) FFV C) VFF D) VVV
Solución:
I. V
II. F
III. F
Rpta.: A
NB
N
A
F
222

a
2a
a/2
a
a/2
a
W 2W
0
T
8. Una barra homogénea y uniforme está suspendida de una cuerda tal como se
muestra en la figura. Determine el valor de tg para que el sistema se encuentre en
equilibrio.
A) 4
1
B) 2
1
C)
3
1
D)
5
1
Solución:















tg
4
1
)
sen
a
(
W
2
cos
2
a
W
0
t0
Rpta.: A
223

30°
k
1. El sistema mostrado en la figura se encuentra en reposo. Si el peso del bloque es
100 N. Halle la tensión de la cuerda AB.
A) 80 N
B) 70 N
C) 90 N
D) 100 N
Solución:
El sistema está en equilibrio por lo que:  F = 0
Rpta.: A
2. En la figura mostrada, un bloque de 400 N de peso está siendo halado con una
velocidad constante sobre un plano liso e inclinado. Determine el estiramiento del
resorte.
(K = 500 N/m)
A) 40 cm
B) 20 cm
C) 40 3 cm
D) 20 3 cm
224

30°
N
kx
400 N kx
400 N
N
60°
M
R
N
30°
10N
10
N
R
60°
30°
R = 20 N
Solución:
200 = k x 200 = 500x
X= 0,4 m X = 40 cm
Rpta.: A
3. La figura muestra una esfera homogénea de 10 N de peso reposando sobre una
barra uniforme y homogénea de 8 N de peso. Determine la tensión de la cuerda
horizontal si M es punto medio de la barra. (Desprecie todo tipo de rozamiento)
A) N
3
8
B) N
3
5
C) N
3
4
D) N
3
5
,
4
Solución:
Haciendo del para la esfera
225

60°
8N
R
T
L
L
A
Del para barra
 
N
3
8
T
)
L
(
20
2
L
8
3
L
T
0
tA











Rpta.: A
4. El sistema mostrado en la figura está en equilibrio. La barra homogénea OA tiene la
longitud L = 5 m y el peso del bloque es W = 3600 N. Si la barra pesa 2800 N,
calcular la magnitud de la tensión en cable AB.
A) 4000 N
B) 4100 N;
C) 4500 N;
D) 2000 N
Solución:
De la figura:
M0 = W0
2
l
cos37° + Wl cos37° – Tl = 0
 T = 





 W
2
W0
cos37° = 4 000 N
Rpta.: A
226

5. El sistema mostrado en la figura se encuentra en reposo. Si el peso del bloque es
200 N y la tabla AB pesa 100 N y mide 6 m. de largo. Halle la tensión TB.
A) 110 N
B) 70 N
C) 80 N
D) 100 N
Solución:
Tomando momento en el punto A de la tabla AB:
 M = 0
–100 . 3 – R . 4 + TB . 6 = 0
Analizando el bloque de peso 200 N:
 F = 0
T + R – 200 = 0
TB = 110 N
Rpta.: A
6. En la figura, las esferas homogéneas se encuentran en contacto y apoyadas en
planos inclinados sin fricción de modo que la línea que une sus centros forma un
ángulo de 60° con la horizontal. Si el peso de la esfera superior es 60 N, calcule la
magnitud de la fuerza de contacto entre las esferas.
A) 20 3 N
B) 10 3 N
C) 40 3 N
D) 30 3 N
Solución:
Las fuerzas que actúan en la esfera superior son: el peso de la esfera
W = 60 N, la fuerza de contacto de la esfera inferior R, y la normal del plano
inclinado N*.
227

De la primera ley de Newton:
x
F Rcos60 N* cos60 0
    

R N*

(1)
y
F Rsen60 N* sen60 W 0
     

R 3 N* 3
W
2 2
 
(2)
(1) en (2):
W
R 20 3 N
3
 
Rpta.: A
7. Un cilindro homogéneo de peso P y radio R se apoya sobre un plano inclinado
rugoso que forma 74º con la horizontal. Se encuentra en condiciones de movimiento
inminente bajo la acción de la fuerza que le ejerce el cable horizontal unida al
cilindro en su parte superior. Determinar el valor del coeficiente de rozamiento .
A) 0,75 N B) 0,93 N C) 0,82 N D) 0,5 N
228

Solución:
Sobre el cilindro actúan 3 fuerzas el peso P del cilindro, la fuerza horizontal F del
cable y la resultante RA en el punto de apoyo A , que es la suma de la normal y de
la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene su valor máximo fr = NA
Diagrama del sólido libre y condición de equilibrio.
Rpta.: A
229

Física
EJERCICIOS
1. La tercera ley de Newton nos indica que, si tenemos dos cuerpos, y el primero de
estos le ejerce una fuerza de acción al segundo, el segundo le ejercerá una fuerza
de reacción al primero de igual magnitud pero en dirección opuesta. En este
contexto, determinar la fuerza de contacto entre los bloques C y D, si se sabe que
los pesos de los bloques cúbicos son: , , y .
A) 8N B) 10N C) 12N D) 14N
Solución:
Tomando los bloques A, B y C como un sistema:
Por tanto:
Rpta.: C
N
N
230

2. Una polea ideal es una máquina simple que no posee masa ni rozamiento, y cuya
cualidad principal es la de cambiar la dirección de una determinada fuerza de
tensión sin alterar su magnitud. En este contexto, se tiene un prisma rectangular
isósceles, sobre el cual se encuentran dos bloques A y B que están atados por una
cuerda ideal. Dicha cuerda pasa por una polea ideal, tal como se muestra en la
figura. Si los pesos de dichos bloques suman 28 N. Determinar la magnitud de los
pesos (en Newton) de A y B, para que el sistema se encuentre en equilibrio. No
existe rozamiento.
A) 14N y 14N B) 10N y 18N C) 12N y 16N D) 13N y 15N
Solución:
Del gráfico:

Del dato:

Por lo tanto:
Rpta.: C
231

3. Unos hábiles estudiantes en el laboratorio se proponen calcular la longitud total de
una barra homogénea de una manera poco convencional. Para lograrlo, con la
ayuda de un dinamómetro, midieron las tensiones de las cuerdas A y B. También,
les fue necesario medir solo una pequeña porción de dicha barra, tal como se
muestra en la figura. Si las tensiones de las cuerdas A y B que lograron medir están
en la relación de 4 a 3. ¿Cuál fue la longitud total de la barra que dichos estudiantes
lograron determinar?
A) 48m B) 50m C) 52m D) 56m
Solución:
Aplicando la 2da Condición de
Equilibrio:


Rpta.: A
4. Un cuerpo rígido extenso se encontrará en equilibrio total, si y solo si, dicho cuerpo
cumple la primera condición de equilibrio (equilibrio de traslación) y la segunda
condición de equilibrio (equilibrio de rotación). En este contexto, se sabe que la barra
homogénea AB, mostrada en la figura, se encuentra en equilibrio total. Además, la
fuerza de reacción en el punto C es , siendo C punto de tangencia entre la
barra y la esfera. Determinar el peso de dicha barra, si esta posee una longitud total
de 24 m. No existe rozamiento.
A) 160N B) 180N C) 200N D) 220N
centro
de giro
232

Solución:
Aplicando la 2da condición de equilibrio a la barra:
Rpta.: A
5. Una fábrica de suspensiones helicoidales de resorte para bicicleta hace un test de
compresión. Cuando se coloca un bloque de 80 kg de masa el resorte se comprime
2 cm, tal como se muestra en la figura. Determine la máxima compresión del resorte
antes que pierda su propiedad elástica.
(g = 10 m/s2)
A) 5 cm
B) 6 cm
C) 2 cm
D) 8 cm
Solución:
De la ley de Hooke:
*
800 (2) 400N/cm
k
F kx
k k

  
De la figura, xmax=?, F=2000 N
max max
*
2000 40 5
k
F kx
x x cm

  
Rpta.: A
centro
de giro
233

6. Por la primera condición de equilibrio, si la fuerza resultante que actúa en un cuerpo
es nula, el cuerpo se mantiene en reposo o se desplaza con velocidad constante. En
este contexto, determine la magnitud de la tensión T que actúa sobre un bloque de
masa 5 kg que se encuentra en reposo sobre un plano rugoso inclinado 53° con la
horizontal y coeficiente rozamiento estático 0,4.
(g = 10 m/s2)
A) 28 N
B) 24 N
C) 32 N
D) 44 N
Solución:
Analizando las fuerzas:
roz.
3
* N = FgCos(53°)=mgcos 53º = (5) (10) = 30N
5
3
N = (50) N 30N
5
* + f = FgSen(53°) T+ mgcos53º = mg sen 53º
4
T + (0,4)(30) (50) 28N T+ N=mgsen 53º
5
 
 
 
 
 
 
 

 
  
 
 
T
T


4
T+(0,4) (3º)=(5)(10)
5
T+12N = 40N
T=40N-12N=28N
 
 
 
Rpta.: A
7. La figura muestra la unión de dos bloques mediante una cuerda que pasa a través
de una polea ideal fija. Si el bloque A está a punto de deslizar sobre una superficie
horizontal áspera con coeficiente estático 1/3; determine la masa del bloque A para
mantener el equilibrio.
(g = 10 m/s2)
A) 15 kg
B) 30 kg
C) 25 kg
D) 1,5 kg
234

Solución:
Por la primera Ley de Newton:
* Bloque B:
T= 50 N
* Bloque A:
50 (1/ 3)(10 ) 15
roz
T f N Fg
m m kg
  
  
Rpta.: A
8. Una esfera de masa m = 100 g gira en una trayectoria circular en el plano vertical
como se muestra en la figura. Si la rapidez en el punto A es 10 m/s. Determine la
magnitud de la tensión de la cuerda en el punto A, radio R = 1 m.
A) 10 N
B) 20 N
C) 40 N
D) 50 N
Solución:
T = m.ac
a cp = v2/ R = 100 / 1 = 100 m/s2
T = (0,1)  (100) = 10 N
Rpta.: A
235

1. En un laboratorio de física unos estudiantes se proponen analizar la primera
condición de equilibrio mediante experimentos. Para ello usan las pesas P y Q, de
pesos de 36N y 12N, respectivamente. Además disponen de un dinamómetro digital,
que permite la medida de la tensión de cada cuerda en un intervalo de tiempo de 5
segundos. Si el dinamómetro calculó una diferencia de tensión entre los cables BC y
ED de 14N. Y además, se observó que las cuerdas ED y BC están perfectamente
paralelas al plano horizontal. ¿Cuál fue la magnitud de la tensión que el
dinamómetro calculó en la cuerda AB?
A) 35N B) 50N C) 40N D) 48N
Solución:
Para el punto D:
X:
Y:
Para el punto B:
X:
Y:
Elevando (1) y (2) al cuadrado y sumando:

Rpta.: B
236

2. Cuando el torque resultante es nulo, la aceleración angular es nula y por tanto el
sistema presenta rapidez angular constante o nula. En ese contexto, la figura
muestra la acción de dos fuerzas sobre una barra de peso despreciable en posición
vertical articulada en el punto A. determine el torque resultante respecto del punto A.
(g = 10 m/s2)
A) +15 N.m
B) -1,5 N.m
C) +10 N.m
D) -15 N.m
Solución:
2
1
F
A
F
A
R
A M
M
M 

)
2
x
30
(
)
3
x
15
(
M
R
A 


45 60
R
A
M   
 m
.
N
15
M
R
A 

Rpta.: A
3. Un atleta de peso 672 N y 1.70 m de estatura realiza el ejercicio de anillos
denominado “el Cristo”, en el que mantiene su cuerpo inmóvil con los brazos
extendidos horizontalmente tal como se muestra en la figura. Determine la tensión
de la cuerda cuando forma 74° con la horizontal.
(g=10m/s2)
A) 350 N
B) 250 N
C) 450 N
D) 550 N
2m
F1=15N
1m
F2=30N
A
2m
F1 1m
F2
237

Solución:
En el equilibrio:
* 2 . (74 )
24
672 2 350
25
g
F T Sen
T T N
 
 
  
 
 
Rpta.: A
4. Un bloque de masa 8 kg se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal.
Debido a la fuerza horizontal de magnitud 32 N, el bloque tiende a moverse,
determine el coeficiente de fricción estática entre el bloque y el piso.
(g = 10 m/s2)
A) 0,4 B) 0,1 C) 0,2 D) 0,5
Solución:
De la segunda ley de Newton:
F – N = 0 (1)
Si F = 32 N, N = mg = 80 N (2)
(2) en (1):
32 – (80) = 0
32
0,4
80
  
Rpta.: A
5. El bloque que cuelga de masa M, se conecta por medio de una cuerda que pasa por
una polea sin fricción a un bloque de 5 kg de masa en reposo, sobre una mesa
plana. Si el coeficiente de fricción estático es 0,50, determine la masa M.
A) 2,5 kg
B) 3,0 kg
C) 7,0 kg
D) 8,0 kg
238

Solución:
T = mg (1)
T = Mg (2)
De (1) y (2) M = 2,5 kg
Rpta.: A
6. La barra uniforme y homogénea, mostrada en la figura, pesa 40N. Cuando la
magnitud de la fuerza F es de 200 N permanece horizontal. Determinar la masa del
bloque A.
(g = 10 m/s2)
A) 3 kg B) 4 kg C) 5 kg D) 6 kg
Solución:
Tomando momento en el extreme inferior izquierdo de la barra:
 M = 0
200 x 1 – 40 x 2 – T x 4 = 0
T = 30 N
M = 3 Kg
Rpta.: A
7. Una barra homogénea de 300 N de peso y longitud l se apoya sobre dos
superficies lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Se mantiene en equilibrio
bajo la acción que le ejerce un muelle unido a su extremo B de constante
k = 500 N/m. Determinar el alargamiento del muelle.
A) 26 cm B) 23 cm C) 25 cm D) 28 cm
239

Solución:
Rpta.:A
240

Física
EJERCICIOS
1. Un cuadro permanece en reposo colgado en una pared, como se muestra en la
figura. Las cuerdas AB y BC forman ángulos α = 45° y β = 53° con la horizontal
respectivamente. Si el cuadro pesa 28 N, determine las tensiones en las cuerdas AB
y BC respectivamente.
A) 12 2 N; 20 N
B) 24 2 N; 10 N
C) 36 2 N; 30 N
D) 18 2 N; 25 N
E) 15 2 N; 24 N
Solución:
De la primera ley de Newton, en el punto B:
AB BC
T cos T cos
  
AB BC
T sen T sen W
   
Resolviendo:
AB
T 12 2 N
 ; BC
T 20 N

241

Rpta.: A
2. Un resorte AB y una varilla BC, ambos de masas despreciables, están unidos entre
sí formando un ángulo recto, tal como se muestra en la figura. El resorte tiene una
constante elástica k = 200 N/m y está estirado 10 cm. Si del extremo B se suspende
un bloque de masa m = 4 kg, determine la tensión de la varilla para que el sistema
permanezca en equilibrio. (g = 10 m/s2)
A) 20 3 N
B) 10 3 N
C) 25 3 N
D) 30 3 N
E) 15 3 N
Solución:
Formando el triángulo de fuerzas se escribe:
2 2 2
T (mg) (kx)
 
2 2 2 2
T (4 10) (200 10 10 )

    
2
T 1200

T 20 3 N

Rpta.: A
242

3. Para el tratamiento del hueso roto de una pierna se requiere mantener el hueso
alineado mediante fuerzas de estiramiento, como se muestra en el dispositivo de la
figura. La cuerda que pasa por la polea ideal forma un ángulo α = 53° con la vertical
y está unida a un bloque de peso W = 60 N. Determine la tensión de la cuerda
horizontal conectada a la pierna. Considere que las cuerdas son ideales.
A) 60 N
B) 40 N
C) 50 N
D) 80 N
E) 20 N
Solución:
De la primera condición de equilibrio en la polea:
2
T T sen
 
1 2
T T cos
 
De la primera condición de equilibrio en el bloque:
1
T W

De donde:
4
T Wtan (
60) 80 N
3
 
    
 
 
Rpta.: D
243

4. Un hombre y una mujer desean deslizar un armario de archivos cuya masa es 80 kg
sobre una superficie horizontal rugosa aplicando fuerzas horizontales de igual
magnitud F, como se muestra en la figura. Los coeficientes de fricción estático y
cinético son S = 0,4 y C = 0,2 respectivamente. Indique la verdad (V) o falsedad
I) La magnitud y la dirección de la fricción estática dependen de la magnitud y de
la dirección de las fuerzas aplicadas al armario.
II) La magnitud de la fuerza que debe aplicar cada persona para poner en
movimiento al armario es 160 N.
III) Para que el armario se mueva con velocidad constante la magnitud de la fuerza
aplicada por cada persona es 80 N.
A) VFV
B) VVV
C) VVF
D) FFF
E) FVV
Solución:
I) V II) V III) V
Rpta.: B
5. La palanca es una máquina simple que sirve para multiplicar la fuerza. Consiste en
una barra rígida que puede girar alrededor de un punto de apoyo, llamado fulcro. La
figura muestra una palanca de primer género, donde el fulcro se encuentra situado
entre la fuerza aplicada y la resistencia. En el estado de equilibrio la ley de la
palanca es: fuerza perpendicular x brazo de la fuerza = resistencia x brazo de la
resistencia. Si un hombre intenta levantar un bloque de peso 1000 N, determine la
magnitud de la fuerza que debe aplicar sobre barra para que esta quede en
equilibrio en posición horizontal, sabiendo que el brazo de la fuerza del hombre es
50 cm y el de la resistencia es 10 cm.
A) 250 N
B) 180 N
C) 150 N
D) 300 N
E) 200 N
244

Solución:
De la segunda condición de equilibrio:
Fa = Rb
b 10
F R (
1000) 200 N
a 50
   
  
   
   
Rpta.: E
6. Un obrero de peso 800 N se encuentra parado sobre una tabla homogénea AD
pintando una pared, como muestra la figura. Si la tabla pesa 160 N, ¿a qué distancia
mínima del extremo A puede pararse el pintor sin que la tabla se incline?
A) 1,3 m
B) 1,1 m
C) 1,2 m
D) 1,4 m
E) 1,0 m
Solución:
Sea x la distancia, WO = 800 N y W = 160 N. De la segunda condición de equilibrio:
B
0
 

o
W(
1
,5 x) W
(
1
,5)
 
x 1
,2 m

Rpta.: C
245

7. Con respecto al equilibrio de un cuerpo rígido, indique la verdad (V) o falsedad (F)
de las siguientes proposiciones:
I) Un cuerpo estará en equilibrio solamente cuando se encuentre en estado de
reposo.
II) Si un cuerpo está sometido a tres fuerzas coplanares, concurrentes y la
resultante de dos cualesquiera de ellas es igual y opuesta a la tercera, entonces
estará completamente en equilibrio.
II) Un cuerpo sometido a dos fuerzas de igual magnitud y de dirección contraria
estará siempre en equilibrio de traslación.
A) VVV B) FVV C) VVF D) VFV E) FVF
Solución:
I) F II) V III) V
Rpta.: B
8. Un hombre de peso W = 800 N está parado
sobre una escalera que está apoyada sobre
una pared sin fricción, como se muestra en la
figura. Si el peso de la escalera es P = 160 N,
¿cuál es la magnitud de la fuerza de
rozamiento que debe actuar sobre la base de
la escalera para que no resbale?
A) 272 N
B) 248 N
C) 286 N
D) 224 N
E) 296 N
246

Solución:
De la primera condición de equilibrio:
s
R f

N* P W
 
De la segunda condición de equilibrio:
R
(
5) P
(
1)W
(
1
,5)
 
P 1
,5W
R
5


s
160 1
,5
(
800)
R f 272 N
5

  
Rpta.: A
1. Dos esferas homogéneas se mantienen en equilibrio por la acción de una fuerza
horizontal de magnitud mínima F = 25 N, tal como muestra la figura. La esfera
inferior pesa 10 3 N y la esfera superior pesa 25 3 N. ¿Cuál es la magnitud de la
fuerza de contacto que ejerce la esfera superior sobre la esfera inferior? Desprecie
la fricción.
A) 80 N
B) 75 N
C) 35 N
D) 20 N
E) 50 N
247

Solución:
En el triángulo de fuerzas (ver figura) es claro que:
F = 25 N; N – mg = 25 3 N
Por tanto:
R = 50 N
Rpta.: E
2. Por la primera condición de equilibrio, si la fuerza resultante que actúa en un cuerpo
es nula, el cuerpo se mantiene en reposo o se desplaza con velocidad constante. En
este contexto, determine la magnitud de la fuerza F que actúa sobre un bloque de
masa 5 kg. que es desplazado con velocidad constante sobre un plano inclinado
rugoso (µc = 0,2), tal como se muestra en la figura. 2
(g 10m / s )

A) 38 N
B) 24 N
C) 32 N
D) 44 N
E) 36 N
Solución:
Se realiza el diagrama de cuerpo libre:
roz.
* N = FgCos(37°)
4
N = (50) N 40N
5
* F f = FgSen(37°)
3
F (0,2)(40) (50) F 38N
5
 
 
 
 

 
   
 
 
248

* Se construye el triángulo de fuerzas:
Rpta.: A
3. La figura muestra dos bloques unidos mediante una cuerda que pasa a través de
una polea ideal fija. Si el bloque A de masa 8 kg está a punto de deslizar sobre una
superficie horizontal áspera; determine el coeficiente de rozamiento estático entre la
superficie horizontal y el bloque A. (g = 10 m/s2)
A) 0,625
B) 0,424
C) 0,325
D) 0,836
E) 0,125
Solución:
Por la primera Ley de Newton:
Bloque B:
T= 50 N
Bloque A:
roz
T f N Fg
50 (80) 0,625
  
    
Rpta.: A
249

A
600+600=1200
T B
T
4. En la figura se muestra una barra horizontal homogénea de peso 600 N y un bloque
de peso W = 600 N suspendido de su centro. Determine las tensiones en las
cuerdas verticales A y B respectivamente para que el sistema se mantenga en
equilibrio.
A) 400 N y 800 N
B) 900 N y 300 N
C) 600 N y 600 N
D) 800 N y 400 N
E) 1000 N y 200 N
Solución:
A
B
B
A B
M 0
1200(2) T (3)
T 800N
F 0
T T 1200




 


Rpta.: A
5. La figura muestra una barra homogénea de masa 4 kg y un bloque homogéneo de
masa 8 kg suspendido de su centro. Si el sistema se encuentra en equilibrio,
determine la deformación del resorte. (k = 15 N/cm, 2
g 10m / s
 )
A) 2 cm
B) 6 cm
C) 4 cm
D) 8 cm
E) 3 cm
250

A
B
F
1m 3m
Solución:
De la figura, aplicando la segunda condición de equilibrio respecto al punto de
acción de la tensión de la cuerda:
Horario AntiHorario
k k
k
*
40(L) 80(L) F (2L) F 60N
* F kx
60N 15x x 4cm
  
   

  
 
Rpta.: C
6. La barra uniforme y homogénea que se muestra en la figura pesa 40 N. Cuando la
magnitud de la fuerza F = 200 N la barra permanece horizontal. Determine la
magnitud de la fuerza de reacción que actúa en el punto A.
A) 100 N
B) 120 N
C) 130 N
D) 200 N
E) 150 N
Solución:
Tomando momento en el extremo izquierdo de la barra:
M 0
200 1 40 2 T 4 0
T 30N
F 0
R 200 30 40 0
R 130N

     


   
 


Rpta.: C
251

A
G
B
30° 60°
P
A
G
B
30° 60°
P
F
NB
NA
60°
F
P
NA
NB
7. Una barra homogénea AB de peso 300 N se encuentra apoyada sobre dos
superficies lisas, tal como se muestra en la figura. El sistema se mantiene en
equilibrio bajo la acción de la fuerza que ejerce un resorte unido al extremo B.
Determine el estiramiento del resorte. (Considere que la constante elástica del
resorte es k = 500 N/m).
A) 28 cm
B) 23 cm
C) 25 cm
D) 26 cm
E) 30 cm
Solución:
Sobre la barra actúan cuatro fuerzas: El peso P, las normales en los apoyos
A B
N , N y la fuerza aplicada en el extremo B.
Diagrama del sólido libre
Condición del sólido libre
A B
B
N Fsen60 N sen30 P
Fcos60 N Cos30
Sistema de dos ecuaciones
con tres incógnitas.
     

  

 




Tomando momentos respecto de B A
1
N l cos30 P lcos30 0
2
    
Operando queda: A
1 1 F
N P ; F Psen60 ; l 26cm
    Rpta.: D
252

Semana N.º 6 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 99
Física
EJERCICIOS
1. Isaac Newton propuso tres leyes de la mecánica clásica; por ejemplo la tercera ley
menciona que en toda interacción existe un par de fuerzas acción y reacción. De lo
mencionado indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. El par de fuerzas acción y reacción se pueden anular entre sí.
II. El par de fuerzas acción y reacción son iguales en magnitud, dirección y
sentido.
III. El par de fuerzas acción y reacción tienen igual magnitud y actúan en
diferentes cuerpos.
A) VFV B) VFF C) FFF D) VVV E) FFV
Solución:
I. El par de fuerzas acción y reacción se pueden anular entre sí. (F)
II. El par de fuerzas acción y reacción son iguales en magnitud, dirección y
sentido. (F)
III. El par de fuerzas acción y reacción tienen igual magnitud y actúan en
diferentes cuerpos. (V)
Rpta.: E
253

2. En la figura se muestra un bloque A (de 4 Kg de masa) apoyado sobre un plano
inclinado liso y unido a otro bloque B. Determine la masa del bloque B, si el sistema
se mantiene en equilibrio estático. ( 2
g=10 m/s )
A) 2 Kg
B) 1 Kg
C) 4 Kg
D) 0,5 Kg
E) 20 Kg
Solución:
Del diagrama de fuerzas, tenemos:
Para el bloque “A”
T = 20 N
Para el bloque “B”
T = m g = 20 N
B
B
m = 2 Kg
Rpta.: A
3. En la figura se muestra dos poleas ideales: la primera está fija al techo y la segunda
está suspendida por una cuerda; además se tiene un bloque de 12 Kg sostenido por
dos cuerdas tal como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la fuerza F
necesaria para que el sistema se mantenga en equilibrio estático.
( 2
g=10 m/s )
A) 50 N
B) 60 N
C) 40 N
D) 10 N
E) 12 N
254

Solución:
Aplicamos la primera ley de Newton, para el bloque
Fg = 3F=120 N
F = 40 N
Rpta.: C
4. En la figura se muestra una esfera de 4 Kg en reposo. Por un extremo está unido a
un resorte ideal de constante elástica de 30 N/cm y por el otro, está en contacto con
una pared áspera. Si el resorte está comprimido 1 cm, determine la magnitud de la
resultante de la normal y la fuerza de rozamiento.
( 2
g=10 m/s )
A) 55 N B) 50 N C) 60 N D)100 N E) 40 N
Solución:
Del diagrama de fuerzas sobre la esfera, tenemos:
255

De la primera ley de Newton:
Eje “X”
Fe=N
Kx=N
30x1=Rx
30 N=N
Eje “Y”
g
F =f
40 N=f
Calculando la magnitud de la resultante:
2 2
R= N +f
Rpta.: B
5. En la figura se muestra una barra de 100 cm, articulada en el punto O. Sobre ella
actúan 4 fuerzas, tal como se muestra en la figura. Determine la magnitud del
momento resultante de dichas fuerzas con respecto al punto O. Considere la barra
de peso despreciable.
A)560 N.m B) 660 N.m C) 600 N.m D) 650 N.m E) 580 N.m
Solución:
3
1 2 4
F
F F F
R
o o o o o
τ =τ +τ +τ +τ
T =0 - 500x1 - 400sen30x0.8 + 200x0.5
R
O
R
R
τ = - 560 N.m
τ =560 Nm
Rpta.: A
2 2
R= 30 +40 = 50 N
256

6. Una persona sostiene una barra uniforme de aluminio en equilibrio. Si la masa de la
barra es de 30 Kg y se ejerce una fuerza hacia arriba 1
F (con una mano) y una
fuerza 2
F hacia abajo (con la otra mano), tal como se muestra en la figura. Determine
la magnitud de las fuerzas 1 2
F y F respectivamente.
( 2
g=10 m/s )
A) 450 N;200 N
B) 400 N;200 N
C) 300 N;150 N
D) 600 N;300 N
E) 350 N;150 N
Solución:
De la Segunda condición de equilibrio: tomando como centro de giro el punto A
A 2
L L
τ = +F L mg =0
4 4
2
2
F 300=0
F = 300N
De la primera condición de equilibrio:
1 2
F =F +mg
1
F =300+300=600 N
Rpta.: D
257

7. En la figura se muestra una barra uniforme rígida de masa 0,44 Kg y 5 m de
longitud, sostenida por un resorte de constante elástica de 10 N/cm. Sobre un
extremo de la barra se sostiene un bloque mediante una cuerda y por el otro
extremo está articulada, tal como se muestra en la figura. Si el resorte está
deformado 1 cm, determine la magnitud de la reacción de la articulación sobre la
barra, si el sistema se mantiene en equilibrio. -- ( 2
g=10 m/s )
A) 50 N B) 80 N C) 40 N D) 10 N E) 100 N
Solución:
Aplicamos la primera ley de Newton en la barra,
Sobre el eje “X” tenemos,
X X
R =Fe =Fecos37°
X X
4
R =Fe =10 =8 N
5
258

Aplicamos la segunda condición de equilibrio, tomando como centro de giro el punto “O”
B
W
R Fe Rx Ry T
O O O O O O
τ =τ +τ +τ +τ +τ =0
B
Fe(2,5)+R (4) Ry(3)+0+W 2,5=0
10(2,5)+8(4) Ry(3)+0+4,4 2,5=0
Ry=6 N
Por lo tanto la magnitud de la reacción de la articulación sobre la barra es:
2 2
R= 8 +6 =10 N
Rpta.: D
1. La estática estudia la mecánica de los cuerpos o sistemas en equilibrio estático. Sus
aplicaciones son muy variados en el campo de la ingeniera como por ejemplo
tenemos los puentes, torres de alta tensión, edificios, etc. Con respecto a lo
mencionado indique verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I) Si la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a cero, entonces
necesariamente estará en reposo.
II) Si el torque resultante sobre un cuerpo es cero, entonces está en equilibrio de
traslación.
III Decimos que un cuerpo está en equilibrio de rotación, si la suma de los
momentos de fuerzas medidos de un mismo centro de giro es cero.
A) VFF B) VVF C) FVF D) VFV E) FFV
Solución:
I. (F) No necesariamente
II. (F) Equilibrio de Rotación
III. (V)
Rpta.: E
259

2. En la figura se muestra dos poleas lisas: la polea A tiene una masa de 6 Kg y está
fija al techo; la polea B (de 1 Kg de masa), está suspendida por una cuerda.
Además, el sistema de cuerdas sostiene un bloque de 16 Kg de masa. Determine la
magnitud de la fuerza F necesaria para que el sistema se mantenga en equilibrio
estático.
( 2
g=10 m/s )
A) 15 N B) 35 N C) 55 N D) 10 N E) 50 N
Solución:
Aplicamos la primera ley de Newton, para el bloque
Fg = 3F+10=160 N
F=50 N
Rpta.: E
260

3. En la figura se muestra una esfera (de 6 Kg de masa) en reposo unido a un resorte
ideal y apoyado sobre una pared lisa. Determine la deformación del resorte sabiendo
que la constante elástica es 100 N/m. ( 2
g=10 m/s )
A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m
Solución:
Kx=100
x =1 m
Rpta.: A
261

4. El tornillo mecánico es una herramienta que nos sirve para sujetar piezas. Si sobre
un tornillo se aplica dos fuerzas de 100 N cada una pero en direcciones opuestas
sobre los extremos de la palanca ingrávida, tal como se muestra en la figura.
Determine la magnitud del torque resultante de dichas fuerzas en instante mostrado,
medido a partir de su eje de giro. Considere la rotación sin fricción.
(L=10 cm)
A) 60 N.m B) 66 N.m C) 40 N.m D) 70 N.m E) 80 N.m
Solución:
1 2
F F
R
o o o
τ =τ +τ
R
o
τ =100(0,30)+100(0.10)
R
o
R
o
τ =+40 N.m
τ =40N.m
Rpta.: C
262

5. Un semáforo tiene una masa de 49 Kg y esta sostenida en el extremo de una viga
horizontal (de masa despreciable) y la cual está conectada con una bisagra en el
poste, tal como se muestra en la figura. Un cable ayuda a sostener el semáforo
formando un ángulo de 16° con la viga. Determine la magnitud de la tensión del
cable.
( 2
g=10 m/s )
A) 1700 N B) 1235 N C) 1155 N D) 1000 N E) 1750 N
Solución:
Del diagrama de fuerzas, tenemos:
/
T =490 N
Aplicando la segunda condición de equilibrio, tomando el eje de rotación el punto “O”
/
R T T
0 0 0
τ +τ +τ =0
/
0+Tsen16°(L) - T (L)=0
T=1750 N
Rpta.: E
263

6. Se tiene una barra uniforme de 60 Kg de masa y 10 m de largo, apoyada sobre un
pilar triangular. Además, la barra está sostenida en un extremo por una cuerda y en
el otro extremo se coloca un bloque de 30 Kg de masa, tal como se muestra en la
figura. Determine la magnitud de la tensión de la cuerda si el sistema se mantiene en
equilibrio. ( 2
g=10 m/s )
A) 160 N B) 150 N C) 200 N D)180 N E) 140 N
Solución:
De la segunda condición de equilibrio, tenemos:
R Fg W T
o o o o o
τ = τ +τ +τ +τ =0
600x3+300 2+T 8=0
T=150 N
Rpta.: B
264

7. En la figura se muestra un automóvil de 1000 Kg, apoyado sobre un plano inclinado
liso, unido a un sistema de poleas ideales. Determine la masa “m” del bloque
suspendido, si el sistema se mantiene en equilibrio. ( 2
g=10 m/s )
A) 200 Kg B) 300 Kg C) 200 Kg D) 500 Kg E) 100 Kg
Solución:
Realizamos el diagrama de fuerzas.
Aplicamos la primera ley de Newton en el automóvil
Fgsen53°=4T
4
10000 =4T
5
2000 N=T
En bloque tenemos:
B
T=Fg =2000 N
B
m =200 Kg
Rpta.: A
265

8. La figura muestra a una varilla uniforme de 10 m de largo y 20 N de peso, el cual
está unida por un extremo a una cuerda ideal e inextensible, y por el otro extremo
está apoyada sobre una pared rugosa. Si se coloca sobre la varilla un bloque de 2
Kg, determine la magnitud de la tensión de la cuerda si el sistema se mantiene en
equilibrio. ( 2
g=10 m/s )
A) 17,5 N B) 16,5 N C)18 N D) 14 N E) 17 N
Solución:
De la segunda condición de equilibrio, tenemos:
V B
Fg Fg
R T
o o o o o
τ = τ +τ +τ +τ =0
o V B
τ =0 Fg 5 Fg 2+T 10=0
20 5 20 2+Tsen53° 10=0
T = 17,5 N
Rpta.: A
266

07
semana
FISICA

Física
TRABAJO Y ENERGÍA
1. Definición de trabajo
Cantidad escalar que indica la acción de una fuerza cuyo efecto es producir
desplazamiento.
 
 
   
 
 
fuerza paralela
trabajo W desplazamiento
al desplazamiento
2. Trabajo de una fuerza constante
Cuando la magnitud y la dirección de una fuerza se mantiene constante el trabajo que
realiza se expresa por:
W (Fcos )d
 
(Unidad S.I: Nm = Joule J)
F: magnitud de la fuerza (constante)
d: magnitud del desplazamiento
: ángulo (constante) entre la dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento
268

(*) OBSERVACIONES:
1°) Si la fuerza no produce desplazamiento: d = 0, entonces W = 0.
2°) Si la fuerza tiene la misma dirección del desplazamiento:  = 0, entonces:
W = Fd
3°) Si la fuerza tiene dirección opuesta al desplazamiento:  = , entonces:
W = – Fd
4°) Si la fuerza es perpendicular a la dirección del desplazamiento:  = /2, entonces W = 0.
269

3. Trabajo de una fuerza variable
El trabajo realizado por una fuerza variable se puede determinar mediante la gráfica de la
fuerza en función de la posición, siempre que la variación de la fuerza sea simple (ver
figura).
W =  
o
o
F F
x x

 

 
 
2
= F d
F = (F + Fo)/2: fuerza media
F0 : fuerza que experimenta el cuerpo en la posición x0.
F : fuerza que experimenta el cuerpo en la posición x.
  0
d x x : desplazamiento
(*) OBSERVACIÓN:
El trabajo de la fuerza elástica F = kx, donde k es la constante elástica (ver gráfica) es:
W =
2
1
(kx)(x) =
2
1
kx2
270

4. Potencia media (P)
Cantidad escalar que indica el trabajo realizado en un intervalo de tiempo.

Trabajo
P
Intervalo de tiempo
W
P
t

 
 
 
 
J
Unidad S.I: Watt W
s
(*) OBSERVACIONES:
1°) Definición equivalente de potencia:
P = (Fcos)v
F: magnitud de la fuerza
v: magnitud de la velocidad
: ángulo entre la dirección de la fuerza y la dirección de la velocidad
2°) Si la fuerza tiene la misma dirección que la velocidad:  = 0
P = Fv
3º) Si la fuerza tiene dirección opuesta a la velocidad:  = , la potencia se llama disipativa.
P = – Fv
5. Concepto de energía
Se dice que un cuerpo adquiere energía si recibe trabajo.
energía de un sistema trabajo recibido por el sistema

Estado de movimiento Energía mecánica
Posición: x Energía potencial: EP
Velocidad: v Energía cinética: EC
6. Energía cinética (EC)
Cuando una fuerza realiza trabajo para poner en movimiento a un cuerpo, se dice que
éste adquiere energía cinética.
  
C
E masa rapidez

2
1
2
271

2
C
1
E mv
2

(Unidad S.I: Joule  J)
7. Teorema del trabajo y la energía
Establece que el trabajo realizado por la fuerza resultante sobre un cuerpo produce un
cambio de su energía cinética.
trabajo de la fuerza resultante = cambio de la energía cinética
2 2
0
1 1
W mv mv
2 2
 
8. Energía potencial (EP)
Cuando una fuerza realiza trabajo para cambiar la posición de un cuerpo, sin aceleración,
se dice que el cuerpo adquiere energía potencial. Ésta se mide con respecto a un punto o
nivel de referencia elegido arbitrariamente donde se puede asumir EP = 0.
8.1. Energía potencial gravitatoria (EPG)
En la figura si se elige el nivel de referencia en el suelo (EPG = 0), y el hombre realiza
trabajo ejerciendo una fuerza opuesta al peso del bloque, tal que F = mg, para levantar el
bloque desde la posición y0 = 0 (en el suelo) hasta la posición y = h, el bloque adquirirá la
energía potencial gravitatoria:
EPG= (peso)(desplazamiento vertical)
PG
E mgh

272

(*) OBSERVACIÓN:
Si elegimos el nivel de referencia (EPG = 0), entonces cuando el bloque está sobre el
hombro de la persona (véase la figura anterior) y éste realiza trabajo ejerciendo una
fuerza opuesta al peso, tal que F = mg, para descender el bloque desde la posición y0 = 0
hasta la posición y = – h (en el suelo), el bloque adquirirá la energía potencial gravitatoria
negativa:
PG
E mgh
 
273

8.2. Energía potencial elástica (EPS)
En la figura si se elige el punto de referencia (EPS = 0) en el centro de masa del bloque
cuando el resorte no ha sufrido deformación, y una fuerza opuesta a la fuerza del resorte,
tal que F = kx, realiza trabajo para desplazar al bloque desde la posición inicial (x0 = 0)
hasta una posición final (x), el sistema bloque y resorte adquirirá la energía potencial
elástica:
EPS=
1
2
(constante elástica)(deformación)2
2
PS
1
E kx
2

(*) OBSERVACIÓN:
El trabajo efectuado por una fuerza opuesta a la fuerza gravitatoria, FG = mg o el realizado
por una fuerza opuesta a la fuerza recuperadora elástica FS = kx para cambiar la posición
de un cuerpo sin aceleración sólo depende de la diferencia de la energía potencial
(gravitatoria o elástica) ente las posiciones inicial y final:
F PF PI
W E E
 
Las fuerzas FG = mg y FS = kx se llaman fuerzas conservativas.
9. Principio de conservación de la energía
La energía total de un sistema aislado permanece constante, si el trabajo de las fuerzas
externas es nulo.
9.1. Sistema conservativo: no hay fricción
Energía mecánica inicial = Energía mecánica final
CI PI CF PF
E E E E constante
   
274

9.2. Sistema no conservativo: hay fricción
Energía mecánica inicial = Energía mecánica final + Energía mecánica disipada
CI PI CF PF
E E E E Q constante
    
fricción
Q W
 
Q: energía mecánica disipada
Wfricción: trabajo realizado por la fricción
275

Física
EJERCICIOS
1. Un granjero engancha su tractor a un trineo cargado con leña y lo arrastra 20 m
sobre un suelo horizontal. El peso total del trineo y la carga es de 14700 N. El tractor
ejerce una fuerza constante de 5000 N a 37° sobre la horizontal, mediante una
cadena. Además, una fuerza de fricción de 3500 N se opone al movimiento del
trineo. Calcule el trabajo neto sobre el trineo con carga.
A) +33,5  10−3
𝑚𝐽 B) −33,5  10−3
𝑚𝐽
C) −335  10−3
𝑚𝐽 D) −33,5  10−2
𝑚𝐽
Solución:
Como la fuerza de la gravedad y la normal son perpendiculares al movimiento,
entonces sus trabajos son nulos.
𝑊𝑁𝐸𝑇𝑂
= + 𝐹𝑑𝑐𝑜𝑠37° − 𝑓𝑑
= +5000  20 
4
5
− 3500  20
= +10 000 𝐽
Rpta.: B
276

2. Un coche de 1000 kg se mueve a una rapidez constante de 147,6 km/h por una
pendiente hacia arriba del 22.5% (es decir, la carretera se eleva 9 m por cada 40 m
de distancia horizontal). Determine el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad
cuando el auto sube durante 2 minutos.
A) −10,8 𝑀𝐽 B) −2,7 𝑀𝐽 C) −5,4 𝑀𝐽 D) +5,4 𝑀𝐽
Solución:
Calculando la distancia para 2 minutos (120 s)
𝑑 = 𝑣𝑡 = 41120 = 4920 𝑚
Ahora calculamos el trabajo generado por la fuerza de gravedad:
𝑊𝐹𝑔
= ±𝐹𝑑
𝑊𝐹𝑔
= −10000  1080
𝑊𝐹𝑔
= −10,8 𝑀𝐽
Rpta.: A
3. Un saltador que pesa 800 N se ata con una cuerda elástica al tobillo y se salta de
una torre alta. La cuerda tiene una longitud sin estirar de 30 m, y un extremo se une
al punto donde el salto comienza. Calcule el trabajo de la fuerza elástica hasta que
el saltador detenga su descenso, considere que la cuerda elástica tiene una
constante elástica de 200 N/m.
A) – 8 kJ
B) – 40 kJ
C) – 16 kJ
D) – 80 kJ
Solución:
Calculando la deformación de la cuerda elástica.
mg(h + x) =
1
2
k  x2
800(30 + x) =
1
2
200 x2
x = 20 m
277

Calculando el trabajo de una fuerza variable, fuerza elástica.
WFe = –
1
2
k x2
= –
1
2
200 202
= – 40 kJ
Rpta.: B
4. El ascensor electromecánico es el que normalmente conocemos y está constituido
por un motor eléctrico trifásico, máquina reductora y una polea, de la que cuelgan los
cables de tracción. Si el ascensor es para cuatro personas la potencia promedio del
motor es de 2,2 KW, determine el trabajo que realizara el ascensor si recorre 10 m
en 20 s.
A) 22 𝐾𝐽 B) 44 𝐾𝐽 C) 20 𝐾𝐽 D) 11 𝐾𝐽
Solución:
Relacionando la potencia con el trabajo.
𝑃 =
𝑊
𝑡
2,2 103
=
𝑊
20
𝑊 = 44 𝐾𝐽
Rpta.: B
5. El 3 de junio de 1997 en un partido amistoso entre Francia y Brasil, el lateral
brasileño Roberto Carlos se paró frente a la pelota para patear un tiro libre e hizo
historia: el balón, impactado por su botín zurdo, esquivó la barrera con un efecto
impensado y se terminó metiendo en el arco, ese lanzamiento no solo hizo historia
por el efecto que tuvo el balón, conocido como efecto “Efecto Magnus”, sino también
porque el balón de 450 g de masa adquirió una gran rapidez de 136,8 km/h.
Considerando ese lanzamiento por Roberto Carlos determine la energía cinética
adquirida por la rapidez lineal del balón.
A) 136,8 𝐽 B) 162,45 𝐽 C) 324,9 𝐽 D) 649,8 𝐽
Solución:
Calculando la energía cinética del balón.
𝐸𝐶 =
1
2
𝑚𝑣2
𝐸𝐶 =
1
2
45010−3
(38)2
𝐸𝐶 = 324,9 𝐽
Rpta.: C
6. En un tubo de televisión se acelera un electrón desde el reposo hasta una energía
cinética de 4 kJ (2,5 keV) a lo largo de una distancia de 40 cm (la fuerza que acelera
el electrón es una fuerza eléctrica debido al campo eléctrico que se genera en el
tubo). Determine la magnitud de la fuerza que actúa sobre el electrón suponiendo
que es constante y tiene la dirección del movimiento.
A) 2 𝑘𝑁 B) 20 𝑘𝑁 C) 1 𝑘𝑁 D) 40 𝑘𝑁
278

Solución:
Aplicando el teorema del trabajo y la energía.
= ∆𝐸𝐶
±𝐹𝑑 = 𝐸𝐶𝑓
− 𝐸𝐶𝑖
𝐹 =
𝐸𝐶𝑓
− 𝐸𝐶𝑖
𝑑
𝐹 =
4000 − 0
0,40
𝐹 = 10 𝑘𝑁
Rpta.: A
7. Larry M. Silverberg y Chau Tran desarrollaron hace veinte años un sistema de
simulación informática para calcular cuál era la forma óptima de lanzar un tiro libre
en el baloncesto y se llegó a estas conclusiones, si la altura a la que se encuentra el
balón es de 2,13 m y la altura a la que se encuentra la cesta es 3,95 m, entonces el
ángulo adecuado es 60° y una rapidez de 7,5 m/s. En estas condiciones calcule la
energía mecánica que adquiere el balón cuando sale de las manos del jugador
respecto al suelo, considere la masa del balón 600 g.
A) 29,655 𝐽
B) 16,875 𝐽
C) 59,310 𝐽
D) 12,780 𝐽
Solución:
Calculando la energía cinética del balón.
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝑔
𝐸𝑀 =
1
2
𝑚𝑣2
+ 𝑚𝑔ℎ
𝐸𝐶 =
1
2
60010−3
 (7,5)2
+ 60010−3
 10  2,13
𝐸𝐶 = 29,655 𝐽
Rpta.: A
8. Kingda Ka es una montaña rusa ubicada en, Nueva Jersey, EE. UU. El día de su
apertura, el 21 de mayo de 2005, se convirtió en la más alta montaña rusa del
mundo, con una altura de 139 m. El tren es lanzado por un mecanismo hidráulico a
206 km/h en 3,5 segundos. Si el carrito es lanzado con rapidez de 57 m/s
aproximadamente, determine la rapidez que adquiere en la parte más alta de su
trayectoria. Desprecie todo tipo de fricción.
A) √469 B) √134 C) √139 D) √938
279

Solución:
Por conservación de la energía:
𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐵
1
2
𝑚𝑉𝐴
2
= 𝑚𝑔ℎ +
1
2
𝑚𝑉𝐵
2
1
2
572
= 10  139 +
1
2
𝑉𝐵
2
𝑉𝐵 = √469
Rpta.: A
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La caída cerrada es una modalidad de paracaidismo que consiste en descender, sin
desplegar el paracaídas. Durante la caída, los "buceadores del cielo", descienden a
una velocidad variable, entre unos 180 y 300 km/h, lo que les permite "volar" de
forma relativa. Normalmente se salta desde un avión a aproximadamente 4.000
metros de altura, realizando en el trayecto descendente diversas piruetas, maniobras
y formaciones antes de abrir el paracaídas a aproximadamente a 1.500 metros sobre
el suelo, considerando esta caída determine el trabajo realizado por la fuerza de la
gravedad desde que salta del avión hasta que abra el paracaídas, considere una
persona de 60 kg de masa.
(𝑔 = 10 𝑚/𝑠2)
A) +1500 𝐾𝐽 B) −1500 𝐾𝐽 C) +2500 𝐾𝐽 D) −2500 𝐾𝐽
Solución:
Calculando el trabajo realizado por la fuerza de gravedad.
𝑊𝐹𝑔
= ±𝐹. 𝑑
𝑊𝐹𝑔
= +(600). (2500)
𝑊𝐹𝑔
= +1 500 000
𝑊𝐹𝑔
= +1500 𝐾𝐽
Rpta.: A
2. Una gota de lluvia de masa 3,35  10−5
𝑘𝑔 cae verticalmente con una rapidez
constante bajo la influencia de la gravedad y la resistencia del aire. Considerando la
gota como una partícula, determine el trabajo realizado por la resistencia del aire en
una caída de 100 m.
(𝑔 = 10 𝑚/𝑠2)
A) +33,5  10−3
𝑚𝐽 B) −33,5  10−3
𝑚𝐽 C) −335  10−3
𝑚𝐽 D) −33,5  10−2
𝑚𝐽
280

Solución:
Calculando el trabajo de la resistencia del aire, considerando que la fuerza de
resistencia tiene el mismo valor que el peso.
𝑊𝑅𝑎𝑖𝑟𝑒
= ±𝐹. 𝑑
= −(33,5  10−5). (100)
= −33,5  10−3
= −33,5  10−3
𝑚𝐽
Rpta.: B
3. Una niña de masa 40 kg se desliza hacia abajo por un tobogán de 8 m de largo y 4 m
de altura, el tobogán está inclinado 37°. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre
la niña y el tobogán es 0,3. Determine el trabajo neto sobre la niña.
(𝑔 = 10 𝑚/𝑠2)
A) +435 𝐽 B) +832 𝐽 C) +130 𝐽 D) +400 𝐽
Solución:
Haciendo el DCL se concluye que la normal es:
𝑁 = 400𝑐𝑜𝑠37° = 320𝑁
Entonces la fricción es:
𝑓 = 320  0,3 = 96 𝑁
Calculando el trabajo neto.
= 𝑊𝐹𝑔
+ 𝑊𝑁 + 𝑊
𝑓
Como la normal es perpendicular al movimiento, entonces sus trabajos son nulos.
= +400  4 − 968
= +832 𝐽
Rpta.: B
4. Una de las más poderosas grúas del mundo, que funciona en Suiza, es capaz de
levantar lentamente una carga de 6000 toneladas una altura de 12 m. Determine la
potencia desarrollada por la grúa sabiendo que tarda un minuto en elevar la carga a
dicha altura.
(𝑔 = 10 𝑚/𝑠2)
A) 30 𝑀𝑊 B) 6 𝑀𝑊 C) 48 𝑀𝑊 D) 12 𝑀𝑊
Solución:
Como el movimiento es lento se puede considerar MRU, entonces la fuerza que usa
la grúa para levantar la carga tiene el mismo valor que el peso que está cargando.
𝐹 = 6000  103
 10 = 60 𝑀𝑁
281

Relacionando la potencia con el trabajo.
𝑃 =
𝑊
𝑡
𝑃 =
𝐹𝑑
𝑡
=
60  106
 12
60
𝑃 = 12 𝑀𝑊
Rpta.: D
5. Ana y María son dos exploradoras ambas deciden ascender a la cumbre de una
montaña. Ana escoge el camino más corto por la pendiente más abrupta, mientras
María, quien tiene la misma masa que Ana, sigue un camino más largo, de
pendiente suave. Al llegar a la cima comienzan a discutir sobre el trabajo realizado
de sus pesos y la energía potencial que ganaron. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es cierta?
A) Ana gana más energía potencial que María.
B) El trabajo realizado por el peso de Ana es positivo.
C) María gana más energía potencial que Ana.
D) Ambos ganan la misma energía potencial.
Solución:
Como tienen el mismo peso, entonces la energía potencial depende de la altura.
Pero como ambos llegan a la cima de la misma montaña ambos tendrán la misma
energía potencial.
Rpta.: D
6. Un disco de hockey de 160 g se desliza sobre el hielo y es golpeado por un jugador
que ejerce una fuerza constante de 2 N a lo largo de una distancia de 0,16 m.
Determine qué rapidez tiene el disco después de recorrer dicha distancia, considere
que la superficie es hielo y la fuerza de fricción es despreciable.
(𝑔 = 10 𝑚/𝑠2)
A) +6,3 𝐽 B) +0,63 𝐽 C) +0,063 𝐽 D) +63 𝐽
282

Solución:
Calculando el trabajo neto sobre el disco.
= 𝑊𝐹𝑔
+ 𝑊𝑁 + 𝑊𝐹
Como la fuerza de la gravedad y la normal son perpendiculares al movimiento,
entonces su trabajo es nulo.
= ±𝐹𝑑
= +2  0,16
= +0,32 𝐽
Aplicando el teorema del trabajo y la energía
= ∆𝐸𝐶
+0,32 = ∆𝐸𝐶
+0,32 =
1
2
𝑚𝑉2
− 0
+0,32 =
1
2
160  10−3
𝑉2
𝑉 = 2 𝑚/𝑠
Rpta.: B
7. El paracaídas es, como su nombre indica, un artefacto diseñado para frenar las
caídas mediante la resistencia generada por él mismo al atravesar el aire, logrando
una velocidad de caída segura y prácticamente constante. Si consideramos un
paracaidista de 60 kg de masa que salta de un avión a una altura de 800 m. Su
paracaídas se abre y aterriza con una rapidez de 5 m/s. ¿Cuánta energía se ha
perdido debido a la resistencia del aire en ese salto?
A) −4792,5 𝑘𝐽 B) −958,5 𝑘𝐽 C) −750 𝑘𝐽 D) −600 𝑘𝐽
Solución:
Aplicando conservación de la energía:
𝑊𝐹𝑅𝐼𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁
= ∆𝐸𝑀
= 𝐸𝑀𝑓 − 𝐸𝑀𝑖
=
1
2
𝑚𝑉2
− 𝑚𝑔ℎ
=
1
2
60 52
− 60  10  800
= −4792,5 𝑘𝐽
Rpta.: A
283

Física
EJERCICIOS
1. Una pelota de 2 kg de masa es lanzada desde el suelo con rapidez de 50 m/s y con
un ángulo de elevación de 37°. Responder verdadero (V) o falso (F) a las siguientes
proposiciones:
I. El trabajo que desarrolla en peso de la pelota en los primeros 4 s de movimiento
es – 800 J.
II. La energía cinética de la pelota en t = 5 s es 1800 J.
III. La potencia desarrollada por la fuerza de gravedad entre t = 1 s y t = 6 s es 100 W.
A) VVV B) VFV C) FVF D) FFF
Solución:
I. Verdadera
2 2
oy
0
1 1
y y V t g t 0 (30)(4) ( 10)(4) 40 m
2 2
   
       
     
W mgy (2)(10)(40) 800 J
II. Falsa
X 0
4 m
V V cos37 50 40
5 s

 
   
 
 
o
y
m
V V g t  30  (10)(5) 20
s
  
   
2 2
X Y
m
V V V 20 5
s
  
Ec
1 1
2 2
mV  (2)(20 5)  2000 J
2 2

III. Verdadera

h 25 m

W mgh (2)(10)(25)
P 100 W
  
t t 5
Rpta.: A
284

2. En la figura, el bloque de 3 kg de masa inicia su movimiento desde el reposo, sobre el
suelo liso, debido a la fuerza mostrada. Determine aproximadamente la rapidez que
adquiere el bloque en la posición x = 8 m.
A) 4 m/s
B) 3 m/s
C) 8 m/s
D) 7 m/s
Solución:
4 20 2 10
Área 20 6 150
2 2
 
    
o
W Área cos60 (150)(0,5) 75 J
   
Por el teorema del trabajo y la energía: F
W Ec Ec
 
2 2
1 1 m
75 mV 0 75 (3)V V 5 2 7
2 2 s
      
Rpta.: D
3. La conservación de la energía, implica una transformación de una forma de energía
en otra forma de energía, en ese sentido la figura muestra una guía metálica de 1 kg
de masa sobre un mástil sin fricción, unido a un muelle elástico ideal de constante
K = 5 N/cm. La guía es soltada en la posición mostrada y se pide determinar la rapidez
que alcanza 30 cm por debajo de esta posición, de donde fue soltado. La longitud del
muelle sin deformación es de 40 cm.
(g = 10 m/s2)
A) 1 m/s
B) 2 m/s
C) 3 m/s
D) 4 m/s
10
12
6
20
285

Solución:
Por conservación de la energía mecánica
F o
2 2
F
2 2
F
F
EM EM
1 1
Kx mV mgh
2 2
1 1
(500)(0,1) (1)V (1)(10)(0,3)
2 2
V 1m/s

 
 
 
Rpta.: B
4. En mecánica clásica, se dice que una fuerza realiza un trabajo cuando hay un
desplazamiento de su punto de aplicación en la dirección de dicha fuerza. Ahora bien,
la figura muestra un péndulo, en donde la esfera pasa por los putos A y B; y, la cuerda
con la vertical forman ángulos de 53° y 37°, respectivamente. Si el viento ejerce una
fuerza constante y su trabajo desde A hasta B es de – 10 J, determine la longitud de
la cuerda (magnitud de la fuerza del viento = 50 N).
A) 1,0 m
B) 0,8 m
C) 0,6 m
D) 0,4 m
Solución:
Por condición del problema:
viento
F
viento
A B
W F k
1
10 50k k
5
1
5 1m
5
 
     
 
  
 
 
l
Rpta.: A
A
B
g
viento
A
B
viento
5k
3k
4k
4k
286

5. El trabajo es una noción con múltiples acepciones. En este caso, nos interesa su
significado vinculado al producto de una fuerza mecánica, por su parte, es un término
que está relacionado con la física y que se centra en el movimiento y el equilibrio de
los objetos que están sometidos a la influencia de una fuerza. De lo expuesto podemos
observar en la figura a un bloque que es llevado por una fuerza F

cuya magnitud
varía de acuerdo a la gráfica adjunta. Determine el trabajo realizado desde x = 0 hasta
x = 8 m.
A) 80 J
B) 32 J
C) 64 J
D) 70 J
Solución:
F
área
x
F
x
4 12
W 0 x 8 m A 8
2
W 0 x 8 m 64 J

 
      
 
     
Rpta.: C
6. La realización de trabajo puede verse también como un consumo de energía. No
obstante, la noción de energía es más amplia que la de trabajo. Aunque,
genéricamente, se define energía como la capacidad de un cuerpo para realizar
trabajo, también comprende el calor, o transferencia de energía de un sistema material
a otro, como una de sus manifestaciones más comunes. Como ejemplo podemos
notar en la figura a una cadena en posición vertical, determine la mínima cantidad de
trabajo que se debe realizar mediante la fuerza F paralela al plano inclinado, para
colocar a la cadena homogénea de 10 m de longitud y 10 kg de masa sobre el plano
inclinado.
(g = 10 m/s2)
A) 200 J
B) 500 J
C) 600 J
D) 800 J
F
X=0
Y
X 4
4
8
12
Área
LISO
F
287

Solución:
ganada
F p
mínimo M G
F
mínimo
F
mínimo
F
mínimo
W E E
W mgh
W 10 10 8
W 800 J
  
 
   
  
Rpta.: E
7. La figura muestra la disposición de la acción de una fuerza constante sobre un bloque
a esto lo denominamos trabajo de esta fuerza y que en todo momento actúa sobre el
bloque, esta fuerza constante de magnitud 25 N actúa sobre el bloque inicialmente en
reposo, e inmediatamente empieza a moverse sobre la superficie mostrada.
Determine la cantidad de trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en el tramo AB,
si en B la rapidez del bloque es 6 m/s. (g = 10 m/s2
; mbloque = 1 kg)
A) 24 J
B) –24 J
C) 37 J
D) –37 J
Solución:
NC k
k k
k
F f
F p
M(final) M(inicial) A B C(B)
A B A B G(B)
2 2
f f
B B
x H y x H y
A B A B
f
A B
W E E W W E E
mV mV
F d F h W mgh W mgh F d F h
2 2
1(36)
1 10 3 20 2 15 3
2
Operando : W 37 J

 
 

     
        
       
  
Rpta.: D
LISO
F
F
C.M.
C.M.
N.R.
5 m
5 m
3 m
8 m
g
A
B
2 m
3 m
F
288

8. Determine la reacción normal en el punto B de la pista semicircular sobre la esfera
soltada en A, cuyo peso es 10 N. Considerar superficie lisa.
A) 20 N
B) 30 N
C) 25 N
D) 35N
Solución:
mec
2 2
B
2
B
2
B
B
B
B
E 0
1
(V 0 ) 10(0 1,5R) 0
2
V 30 R ... (1)
V
En el punto B: N m
R
30R
De (1): N 1
R
N 30 N
 
    
 
 
 
 
Rpta.: B
1. El bloque de 7 kg de masa se mueve por acción de las fuerzas mostradas, sobre una
superficie horizontal donde el coeficiente de rozamiento cinético entre las superficies
en contacto es 0,50. Si el trabajo neto desarrollado sobre el bloque es 1,1 KJ para la
distancia dada, determine la magnitud de la fuerza “F”.
(g = 10 m/s2)
A) 110 N
B) 120 N
C) 130 N
D) 140 N
Solución:
N K
neto F 50 mg F f
W W W W W W
    
K
1100 F.d 50.dcos37 0 0 (mg 50sen37 )d
       
4
1100 F(10) 50(10) 0,5(70 30)(10)
5
 
   
 
 
 
F 120 N
Rpta.: B
289

2. En la figura, el bloque de 2 kg de masa se muestra en reposo, siendo la magnitud de
la fuerza F = 20 N, el resorte ideal tiene constante de rigidez K = 100 N/m. Si en cierto
instante, la fuerza F deja de actuar, determine la rapidez del bloque en el instante que
deja de acelerar. Desprecie la fricción.
(g = 10 m/s2)
A) 1,1 m/s
B) 1,2 m/s
C) 1,3 m/s
D) 1,4 m/s
Solución:
Por equilibrio
o
F mgsen37 Kx
    o
3
20 (2)(10) 100x
5
 
 
 
 
 o
x 0,08 m

En el instante en que deja de acelerar
F F F
Kx mg 100x (2)(10) x 0,2 m
    
Por conservación de la energía
F o
EM EM
  2 2 2
F F o F o
1 1 1
mV Kx mg(x x )sen37 Kx
2 2 2
    
2 2 2
F
1 1 3 1
(2)V (100)(0,2) (2)(10)(0,08 0,2) (100)(0,08)
2 2 5 2
 
   
 
 
2
F
V 1
,69

F
V 1
,3
  m/s
Rpta.: C
3. Si la energía mecánica la consideramos constante, o sea que no hay fuerzas
disipativas, como el rozamiento, esta energía mecánica permanece invariable. Por
ejemplo, veamos en la figura a un alambre en forma de una circunferencia en la cual
se tiene un collarín liso unido a un resorte ideal, tal como se muestra en el gráfico. Si
en la posición A la rapidez del collarín es 1 m/s, determine su rapidez cuando pase
por B. (Considere que el alambre está en un plano vertical y g = 10 m/s2).
A) 2,0 m/s
B) 5,0 m/s
C) 0,5 m/s
D) 0,2 m/s
r =60 cm
A
B
K
290

Solución:
Notamos que la energía mecánica para el sistema (Bloque-Resorte) se conserva:
Sist(A) Sist(B)
p p p
M M C(A) C(B)
E E
G(A)
2 2 2
A B B
B
E E E E E E E
mV mV V
1
mg2r 10 2 0,6
2 2 2 2
V 5 m/s
     
       
 
Rpta.: B
4. Sobre un bloque de masa 30 kg, inicialmente en reposo, se aplica una fuerza
horizontal variable según indica la gráfica. Se sabe que la superficie horizontal es
rugosa (uk = 0,05). ¿Cuál es la magnitud del trabajo neto sobre el bloque cuando se
desplaza desde x = 0 m hasta x = 10 m?
A) 200 J
B) 250 J
C) 300 J
D) 400 J
Solución:
K
f
NETO F
NETO
NETO
W W W
20 60
W 10 0,05 30 10 10
2
W 250 J
 

 
     
 
 
 
Rpta.: B
5. La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo de 2 kg de masa varía con respecto a x
como se muestra en la figura. Si el cuerpo parte del reposo, determine su rapidez
cuando ha recorrido 8 m.
A) 22 m/s
B) 27,5 m/s
C) 27,5 m/s
D) 12 m/s
291

Solución:
NETO
c
NETO 2 2
2
W E
1
W 2 (V 0 )
2
8 3
5 V
2
V 27,5 m/s
 
   

 
 
 
 
 
Rpta.: C
6. En el laboratorio, un equipo de trabajo obtuvo los siguientes resultados después de
realizar un experimento con portapesas y un carrito unidos por una cuerda ideal. Se
determinó que las pesas de masa M desplazarán 50 cm al carrito de masa m.
M m
∆ Energía Cinética 0.091 J 0.079 J
∆ Energía Potencial Gravitatoria 0.082 J –0.343 J
Determine: La variación de la energía mecánica del sistema y el trabajo de la fuerza
de rozamiento.
A) –0,091 J; –0,091 J B) –0,091 J; 0,173 J
C) –0,173 J; –0,091 J D) 0,091 J; 0 J
Solución:
r
mec
f
mec
E (0,091 0,082) (0,079 0,343)
W E
0,091 J
    
 
 
Rpta.: A
7. En la figura el bloque de masa m = 2 kg se mueve por un carril rugoso, sujeto de un
resorte de constante de rigidez k = 10 N/m y de longitud natural 3 m. El bloque se
suelta de la posición A y recorre la trayectoria señalada llegando a la posición B con
una rapidez de 16 m/s. Determine el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas
que actúan sobre el bloque.
A) 90 J
B) 0 J
C) –197 J
D) –97 J
292

Solución:
f.n.c.
mec
2 2 2 2 f.n.c.
f.n.c.
E W
1 1
(6 0 ) 2 10 (0 5) 10 (2 7 ) W
2 2
W 197 J
 
          
  
Rpta.: C
293

Física
EJERCICIOS
1. El bloque A reposa sobre la superficie horizontal rugosa y está unido al bloque B de
peso 50 N tal como se muestra en la figura. El bloque A se suelta desde la posición
mostrada. Analice las siguientes proposiciones y determine la veracidad (V) o falsedad
(F) de cada una de ellas cuando el bloque A se ha deslizado 0,50 m hacia la derecha.
( ) El trabajo de la tensión que actúa sobre el bloque A es idéntico al trabajo de la
tensión que actúa sobre el bloque B
( ) El trabajo de la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque A es igual al
cambio de la energía cinética de dicho bloque
( ) El trabajo del peso del bloque B es positivo
( ) Si el sistema se mueve con velocidad constante, el trabajo de la fricción es nulo
A) FFFV B) VFVF C) FFVF D) VVFV E) VVVF
Solución:
(F) El trabajo de la tensión sobre el bloque A es positivo, mientras que sobre el
bloque B es negativo.
(F) El cambio de la energía cinética está dado por el trabajo neto, es decir, debido al
trabajo realizado por la fricción y la tensión.
(V) El Peso es una fuerza conservativa, por condición del problema el bloque B
desciende, la energía potencial disminuye con lo que al descender del trabajo
del peso es positivo.
(F) Mientras el sistema se encuentre en movimiento, la fricción realiza trabajo sobre
el bloque A.
Rpta.: C
2. El bloque de 2 kg de la figura, se mueve desde el reposo en la dirección del eje +X,
variando su posición ( x

) en el tiempo (t) tal como se muestra en el gráfico x

vs t.
294

¿Qué trabajo desarrolla la fuerza constante desde la posición x

= +2 m hasta la
posición x

= +5 m? Desprecie la fricción.
A) 18 J
B) 16 J
C) 10 J
D) 12 J
E) 24 J
Solución:
o
x 0


o
V 0


El bloque se mueve aceleradamente, desde el reposo.
2
1
x a t
2
 

Para t = 2 s; x

= +4 m  2
1
4 a(2)
2

  2
m
a 2
s

 
Sólo la componente paralela al movimiento del bloque desarrolla trabajo. Como el
bloque se traslada desde la posición x

= +2 m hasta la posición x

= +5 m entonces
se desplaza una distancia d = 3 m, entonces:
W (FCos ).d
  = m.a.d = (2)(2)(3) = 12 J
Rpta.: D
3. Al bloque de 15 kg se le aplica una fuerza constante F, desplazándose éste por el
suelo. Se sabe que después de los cálculos, el trabajo neto sobre el bloque es el 70%
del trabajo que efectúa la fuerza F. Determine el coeficiente de rozamiento cinético
que se presenta entre las superficies en contacto del bloque con el suelo. (g = 10 m/s2)
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5
F = 750 N
53°

F
0 2 4
4
16
x(m)
t(s)
1 5
25
3
295

Solución:
N
3
F FCos53 mg 750( ) 150 600 N
5
     
Se debe cumplir que:
Neto F
W 70%W
  R
F .d 0,7(FSen53 .d)
 
 R
4
F 0,7(750x ) 420 N
5
 
Luego:
R K
F FSen53 f
    K
4
420 750( ) f
5
   K
f 180 N

Por tanto:
K
K
N
f 180
0,3
F 600
   
Rpta.: C
4. Cuando la fuerza es contante todo parece sencillo, pero cuando se aplica una fuerza
variable a un cuerpo se necesita otro tipo de análisis para determinar el trabajo
realizado. De lo expuesto, en la figura, observando a una fuerza cuya magnitud varia
con la posición de acuerdo con la expresión 𝐹 = 2 + 6𝑥 en unidades del S.I.
actúa sobre un cuerpo de 8 𝑘𝑔 de masa tal como se muestra. Determine el trabajo de
F entre 𝑥𝑜 = 4 𝑚 y 𝑥𝐹 = 8 𝑚.
F
A) +50 𝐽 B) +75 𝐽 C) +100 𝐽 D) +152 𝐽 E) +225 𝐽
fK
FSen53°
FCos53° mg = 150 N
FN
296

Solución:
De la figura: Wx=4→x=8
F
= +A = + (
26+50
2
) 4
Operando
∴ Wx=4→x=8
F
= +152 J
Rpta.: D
5. La rapidez con que se desarrolla el trabajo mecánico recibe el nombre de Potencia
Mecánica, un concepto que se aplica en el diseño y construcción de diversas
máquinas. En el caso que se muestra, un cajón de 5 kg de masa es soltado de la parte
alta del plano inclinado y resbala recorriendo todo el plano. ¿Qué potencia mecánica
desarrolla la fuerza gravitatoria del cajón en éste trayecto? Considere 3 /5 el
coeficiente de fricción entre el cajón y el plano inclinado (g = 10 m/s2)
A) 75 N B) 60 N C) 45 N D) 90 N E) 105 N
Solución:
El trabajo de la fuerza gravitatoria es:
30°
4,5 m
30°
h = 4,5 m
d = 9 m
t
mg
a
Vo = 0
4 8
26
50
F(N)
x(m)
A
297

W mgh (5)(10)(4,5) 225 J
  
El bloque acelera con:
R
K 2
F 1 3 3 m
a gSen30 gCos30 10( ) (10)( ) 2
m 2 5 2 s
        
El tiempo que emplea en recorrer el plano inclinado es:
2
1
d at
2
  2
1
9 (2)t
2
  t 3 s

La potencia mecánica que desarrolla la fuerza gravitatoria será:
W 225 J
P 75 W
t 3 s
  
Rpta.: A
6. En la naturaleza la energía está sujeta a cambios y transformaciones, éste es un
principio fundamental en el desarrollo de la ciencia física. Un ladrillo de 1 kg de masa
se lanza al ras del suelo con rapidez de 6 m/s y a 3 m del extremo libre de un resorte
de constante elástica K = 2 N/m. Si el coeficiente de fricción cinético entre el ladrillo y
el suelo es 0,2. Determine la rapidez del ladrillo en el instante en que el resorte se
encuentra deformado 2 m. (g = 10 m/s2)
A)
m
1
s
B)
m
2
s
C)
m
2
s
D)
m
2 2
s
E)
m
3
s
Solución:
K K N K
f F mg (0,2)(10) 2 N
     
La energía mecánica del bloque se reduce por el trabajo de fricción del suelo, entonces
se cumple que:
3 m
2 m
P.E.
Vo
VF
Kx
mg
FN
fK
298

K
f F o
W EM EM
 
2 2 2
K F o
1 1 1
f .d ( mV Kx ) mV
2 2 2
   
2 2 2
F
1 1 1
(2)(5) (2)(2) (1)V (1)(6)
2 2 2
   
 F
m
V 2 2
s

Rpta.: E
7. Un cuerpo de 5kg de masa inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal,
sufre la acción de una fuerza neta constante F1 durante 10s; luego, durante los 10
siguientes segundos, la fuerza neta es cero. En el instante t= 20 se le aplica otra fuerza
neta constante F2 en sentido opuesto a su velocidad hasta anularla. El siguiente
grafico representa la velocidad del cuerpo en función del tiempo.
Indique verdadero (v) o falso (F) en cada afirmación.
( ) La energía cinética en el instante 30,0 s es 16kJ.
( ) La variación de la energía cinética mientras se aplica F1 es mayor que la variación
de la energía cinética mientras se aplica F2
( ) Entre los instantes t=10,0 s y t = 20,0 s, el trabajo hecho sobre el cuerpo es nulo.
A) VVV B) VFV C) FFV D) VVF E) FVF
Solución:
(V) En el instante 30s su rapidez es 80m/s -> 𝐸𝑐 = 16𝐾𝐽
(F) En [0:10]s |ΔEc|=64KJ , En [20,40]s |ΔEc|= 64KJ
(V) Se desplaza con rapidez constante
Rpta.: B
299

8. Un bloque de 1.5kg de masa sube por un plano inclinado con una velocidad de 4m/s,
cuando se le aplica una fuerza constante F horizontal, según la figura. Si al recorrer
10m sobre el plano inclinado liso adquiere una rapidez de 6m/s. Determine la magnitud
de la fuerza F.
A) 10N B) 15N C) 20N D) 25N E) 30N
Solución:
Aplicando energía:
∆𝐸𝑚𝑒𝑐. = 𝑊𝑓𝑛𝑐
1
2
∗ 3 ∗ (62
− 42) + 1.5 ∗ 10 ∗ (6 − 0) = 0.8𝐹 ∗ 10
𝐹 = 15𝑁
Rpta.: B
1. En el grafico se muestran dos bloques, unidos por una cuerda inextensible y de peso
despreciable, uno de masa 𝑚𝐴 = 2𝑘𝑔 y el otro de masa 𝑚𝐵 = 3𝑘𝑔, inicialmente en
reposo (máquina de Atwood). Estando a la misma altura, en el instante 𝑡 = 0, los
bloques empiezan a moverse. Luego de ocurrido esto, señale verdadero (V) o falso
(F) según corresponda:
I. Se verifica que |𝑊𝐵| > |𝑊𝐴|, donde 𝑊𝐵 y 𝑊𝐴 son cantidades de trabajo de la fuerza
de gravedad del bloque B y A, respectivamente.
II. En el desplazamiento de los bloques, la cantidad de trabajo de la tensión sobre A
es menor que la cantidad de trabajo de la tensión sobre B.
300

III. El trabajo neto realizado sobre A es positivo y el realizado sobre B es negativo.
A) FFF B) VFF C) VVF D) VVV E) VFV
Solución:
VFF
Rpta.: B
2. “La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma”, éste es un principio
fundamental en la naturaleza y se cumple también en sistemas mecánicos. En la
figura, se muestra dos esferas homogéneas de masas m y 2m que se encuentran
unidas a una varilla de peso despreciable, inicialmente en posición horizontal. Se
libera el sistema del reposo y éste puede girar en torno a la parte central de la varilla
la cual se encuentra articulada. Determine la rapidez máxima que alcanza la esfera
de masa m. Desprecie la fricción. (g: aceleración de la gravedad)
A) g B) 2 g C)
1
g
2
D) 2g E)
2
g
3
Solución:
Por conservación de la energía mecánica, se tendrá:
F o
EM EM

m 2m

m 2m

m
2m
Vo = 0
N.R.
Vo = 0
V
V
301

F F o 0
Ec EPg Ec EPg
  
2
3
V g
2


2
V g
3

Rpta.: E
3. El trabajo neto efectuado sobre un objeto es la suma de todos los trabajos efectuados
por las fuerzas que actúan sobre el objeto, de esta afirmación, se muestra en la figura
un bloque liso de 3 𝑘𝑔 que es desplazado lentamente desde A hasta B. Si la fuerza 𝐹
⃗
es constante y horizontal, determine la magnitud de 𝐹
⃗. Considere 𝑔 = 10𝑚/𝑠2
.
g
A
B
F
7d
4d
A) 45 𝑁 B) 52,5 𝑁 C) 52 𝑁 D) 47,8 𝑁 E) 58 𝑁
Solución:
Como el WA→B
Neto
= WA→B
F
+ WA→B
Fg
= 0 → WA→B
F
= −WA→B
Fg
→ WA→B
F
= −mgh
→ WA→B
F
= −30x7d = −Fx4d
∴ F = 52,5 N
Rpta.: B
2 2
1 1
mV (2m)V mg(2 ) mg( ) 2mg( )
2 2
   
302

4. Considerando que el objeto sobre el cual se está analizando se mueve con rapidez
constante y por tanto su estado de movimiento no está cambiando, tal es el caso que
se observa en la figura. Si el joven desplaza lentamente el bloque de 50 𝑁 de peso
sobre el plano inclinado rugoso, determine el trabajo desarrollado por el joven sobre
el bloque cuando este se desplaza 2 𝑚 .
g
A) +100 𝐽 B) +200 𝐽 C) +300 𝐽 D) +400 𝐽 E) +500 𝐽
Solución:
De la figura notamos: WA→B
joven
= WA→B
T
→ WA→B
Neto
= WA→B
T
+ WA→B
Fg
+ WA→B
fk
+ WA→B
fN
= 0
→ WA→B
T
= −WA→B
fk
− WA→B
Fg
→ WA→B
T
= −(−μkfNd) − (−mgh)
→ WA→B
T
= (
1
2
) (40)(2) + (50)(1,2)
→ WA→B
T
= +100 J → WA→B
joven
= +100 J
Rpta.: A
5. Si la energía mecánica se considera constante, o sea no hay fuerzas disipativas, como
el rozamiento por ejemplo, la energía mecánica permanece constante. De lo expuesto
podemos plantear la siguiente situación física mostrada en la figura, donde un cuerpo
en A es soltado, determine la magnitud de la reacción de la superficie cilíndrica sobre
la esfera de 2 𝑘𝑔 de masa cuando pase por la posición B. considere que la esfera se
soltó en A y no hay rozamiento. (𝑔 = 10 𝑚/𝑠2
).
A) 16 𝑁 B) 32 𝑁
C) 64 𝑁 D) 48 𝑁
E) 80 𝑁
A
B
h=1,2 m d=2 m
g
A
B
303

Solución:
De la figura tenemos sobre la zona B:
Fcp(B) = RB − mgcosθ = m
VB
2
5r
……(∗)
Por la ley de conservación de la energía mecánica
respecto al nivel de referencia se cumple:
EM(A) = EM(B) → mg4r =
mVB
2
2
→ 8g =
VB
2
r
En (∗):
RB − mgcosθ =
m8g
5
→ RB = mg (
8
5
+ cosθ)
→ RB = 20 (
8
5
+
4
5
)
Operando: ∴ RB = 48 N
Rpta.: D
6. Un bloque de 100g de masa se desliza sobre una superficie sin rozamiento entre
dos resortes, como se muestra en la figura. El resorte del lado izquierdo donde se
ubica el bloque tiene una constante k1 =90N/m y su máxima comprensión es 10cm.
El resorte del extremo derecho tiene una constante de k2 =250N/m. Determine la
máxima comprensión del resorte de la derecha y su rapidez máxima antes de su
compresión.
A) 10cm y 5m/s B) 6cm y 3m/s C) 8cm y 1m/s
D) 1cm y 2m/s E) 6cm y 4m/s
Solución:
Aplicamos energía, tomando como puntos iniciales y finales los puntos de máxima
comprensión de ambos resortes.
∆𝐸𝑚𝑒𝑐. = 0
1
2
∗ 90 ∗ (02
− 0.12) +
1
2
∗ 250 ∗ (𝑥2
− 02) = 0
𝑥 = 0.06𝑚
Como se desplaza por una superficie lisa, la rapidez que tenga mientras no esté en
contacto con ningún resorte será constante. Tomando el extremo izquierdo y punto
entre ambos resortes.
g
A
B
N.R.
5r 4r
3r
304

1
2
∗ 90 ∗ (02
− 0.12) +
1
2
∗ 0.1 ∗ (𝑉2
− 02) = 0
𝑉 = 3𝑚/𝑠
Rpta.: B
7. Un collarín de 7kg de masa se mueve de A hacia B a lo largo de una barra AB sin
fricción. El collarín se suelta desde el punto A y la longitud natural del resorte es 8m.
Se sabe que el collarín llega al punto B con una rapidez de √11m/s, determine la
constante de rigidez k del resorte.
A) 1N/m B) 2N/m C) 3N/m D) 4N/m E) 5N/m
Solución:
1
2
∗ 𝐾 ∗ (22
− 92) +
1
2
∗ 7 ∗ (√11
2
− 02
) = 0
𝐾 = 1 𝑁/𝑚
Rpta.: A
305

Física
EJERCICIOS
1. Se baja verticalmente un bloque de masa M atado a una cuerda. Si el bloque recorre
una distancia d con una aceleración de magnitud en la dirección del
movimiento, determine el trabajo efectuado por la tensión de la cuerda sobre el
bloque.
A) B) C)
D) E)
Solución:
Rpta.: D
2. La figura muestra a un bloque que, partiendo del punto A, se desliza por el plano
inclinado (plano AB) y luego continúa moviéndose sobre un plano horizontal (plano
BC). Determine el coeficiente de rozamiento ( ) si se sabe que el cuerpo recorre en
el plano horizontal la misma distancia que en el plano inclinado; además tienen el
mismo coeficiente de rozamiento. (Considere )
A) B)
C) D)
E)
306

15 m
6 m
2 m
B
A
C
Solución:
Rpta.: A
3. La figura muestra a un móvil (de 100kg de masa) que parte del reposo del punto A
y se mueve sobre un carril sin rozamiento. Determinar la fuerza que el carril ejerce
sobre el móvil en B, donde el radio de curvatura del carril es r=6m.
A) 4000 N
B) 5200 N
C) 7800 N
D) 6000 N
E) 3600 N
307

Solución:
Rpta.: D
4. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) en cada una de las siguientes proposiciones:
I) Sólo la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo puede realizar trabajo.
II) Ningún trabajo se realiza sobre un cuerpo que permanece en reposo.
III) Una fuerza que es perpendicular a la velocidad del cuerpo no realiza trabajo.
A) VVV B) FVF C) FFV D) FVV E) VFF
Solución:
I) Sólo la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo puede realizar trabajo. (F)
II) Ningún trabajo se realiza sobre un cuerpo que permanece en reposo. (V)
III) Una fuerza que es perpendicular a la velocidad del cuerpo no realiza trabajo. (V)
Rpta.: D
5. Se suelta un bloque de 50kg de masa desde la parte superior de un plano inclinado
un ángulo de 30º, tal como muestra la figura. En la parte inferior del plano inclinado
se ha colocado un resorte, cuya constante elástica es 2×103 N/m. Si no hay
rozamiento, determinar la máxima deformación del resorte.
A) 0,24 m
B) 0,44 m
C) 0,84 m
D) 0,36 m
E) 0,56 m
Solución:
Sea A la posición inicial del bloque y
B la posición final
308

Luego:
Rpta.: C
6. La fuerza que se requiere para jalar un bote con velocidad constante es proporcional
a la velocidad. Si se requiere una potencia de 7 480 w para jalarlo con rapidez de
4,02 Km/h, ¿qué potencia se requerirá para jalarlo con rapidez de 12,1 Km/h?
A) 67320 W B) 22440 W C) 8976 W
D) 74800 W E) 56930 W
Solución:
Como
F = kv y P = Fv
Entonces
P = k v2
Luego
7480 W = k (4,02 km/h)2
P = k (12,1 km/h)2
De donde
P = 67320 W
Rpta.: A
7. La fuerza aplicada en la dirección del eje x y que actúa sobre una partícula varía tal
como se muestra en la figura. Determine el trabajo realizado por esta fuerza entre
las posiciones x = 0 y x = 10 m.
A) 21 J
B) 16 J
C) 24 J
D) 36 J
E) 18 J
309

Solución:
Rpta.: A
1. Se desplaza un bloque (de peso W) una distancia d sobre un piso horizontal y con
rapidez constante. Si la fuerza aplicando P forma un ángulo  con la horizontal,
(figura) y si el coeficiente cinético de rozamiento es , determine el trabajo realizado
sobre el bloque.
A) Wd /(1+ tg) B) Wd /(1+ sen) C) Wd /(1+ cos)
D) Wd /(1– sen) E) Wd /(1– cos)
Solución:
Rpta.: A
2. Un cuerpo de 3 kg de masa, cae desde cierta altura partiendo con rapidez inicial de
2m/s y dirigido verticalmente hacia abajo. Determine el trabajo realizado durante 10s
por la fuerza de resistencia del aire (supuesta constante), sabiendo que al final de
éste intervalo de tiempo el cuerpo adquiere una rapidez de 50 m/s.
(g = 9,8 m/s2)
A) –7320 J B) –2440 J C) –8976 J
D) –4800 J E) –3900 J
310

Solución:
Rpta.: E
3. Una pequeña esfera hueca de masa m se desplaza por un lazo áspero, horizontal y
circular de radio R. Suponga que su velocidad inicial es V0 y que después de
completar una vuelta se reduce a V0/2. Determine el trabajo efectuado sobre la
esferita por la fuerza de fricción, suponiendo que la fuerza de fricción es constante
¿cuál es su magnitud?
A) –3mV0
2 /2 B) –3mV0
2 /4 C) –3mV0
2 /8
3mV0
2 /8R 3mV0
2 /10R 3mV0
2 /16R
D) –3mV0
2 /16 E) –3mV0
2 /32
3mV0
2 /12R 3mV0
2 /24R
Solución:
Rpta.: C
4. Una bomba impulsa agua desde un pozo que tiene una profundidad de 20 m y va a
verterla en un canal con rapidez de 8m/s. El volumen que se va a bombear es de
0,5 litros por segundo. Determine la potencia mínima del motor.
A) 32 W B) 100 W C) 76 W D) 80 W E) 50 W
Solución:
Rpta.: B
311

5. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo se modifica en -6 J . Esto significa
que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre el cuerpo es:
A) –6 J y el cuerpo asciende.
B) –6 J y el cuerpo desciende.
C) 6 J y el cuerpo asciende.
D) 6 J y el cuerpo desciende.
E) No hay respuesta si no se conoce la masa del cuerpo.
Solución:
6 J y el cuerpo desciende.
Rpta.: D
6. En relación a un auto que parte del reposo y se desplaza con aceleración constante,
indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I) La potencia suministrada por el motor es constante.
II) La potencia suministrada por el motor crece a medida que el auto aumenta su
velocidad.
III) La potencia suministrada por el motor decrece a medida que el auto aumenta su
velocidad.
A) FVF B) VFF C) VVF D) FFV E) VVV
Solución:
I) La potencia suministrada por el motor es constante. (F)
II) La potencia suministrada por el motor crece a medida que el auto aumenta
su velocidad. (V)
III) La potencia suministrada por el motor decrece a medida que el auto aumenta su
velocidad. (F)
Rpta.: A
7. Dos exploradores A y B de igual peso, deciden ascender a la cumbre de una
montaña. A escoge el camino más corto por la pendiente más abrupta, mientras que
B sigue un camino más largo de pendiente suave. Al llegar a la cima, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es correcta?
A) A gana más energía potencial que B.
B) A gana menos energía potencial que B.
C) A gana la misma energía potencial que B.
D) Para comparar se debe conocer la altura de la montaña.
E) Para comparar se debe conocer la longitud de las dos trayectorias.
Solución:
A gana la misma energía potencial que B.
Rpta.: C
312

A
B
R
3R
8. Un pequeño cuerpo de masa m desliza sin rozamiento sobre la canaleta mostrada
en la figura. El cuerpo parte del reposo en el punto A a una altura 3R por encima
del piso. Determine su aceleración normal y su aceleración tangencial
rrespectivamente cuando alcanza el punto B en el extremo de un diámetro
horizontal (figura).
A) g ; 4g
B) 2g ; 2g
C) 4g ; g
D) 2g ; 4g
E) 4g ; 2g
Solución:
Como
EA = EB
EcA + EpA = EcB + EpB
0 + 3mgR = ½ m vB
2 + mgR vB
2 = 4gR
Luego, la aceleración normal o centrípeta será:
aC = vB
2 / R = 4g
Y la aceleración tangencial dada por el peso será:
at = g
Rpta.: C
313

08
semana
FISICA

Física
CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
1. Definición de cantidad de movimiento lineal (p )
Cantidad vectorial que indica del estado dinámico de traslación de un cuerpo (véase la
figura). Se expresa por:
p masa velocidad
 
p mv

m
Unidad S.I.: kg
s
 
 
 
m: masa del cuerpo
v : velocidad del cuerpo
(*) OBSERVACIONES:
1º) El cambio de la cantidad de movimiento de un cuerpo se expresa por:
p cantidad de movimiento final cantidad de movimiento inicial
  
0 0
p p p mv mv
    
0
v : velocidad inicial del cuerpo
v : velocidad final del cuerpo
2º) Para un sistema de N partículas, la cantidad de movimiento total ( p ) del sistema es
igual a la suma vectorial de las cantidades de movimiento de las partículas individuales:
1 2 3 N
p p p p p
    
O también:
1 1 2 2 3 3 N N
p m v m v m v m v
    
m1, m2, …,mN: masas de las partículas
1
v , 2
v , … , N
v : velocidades de las partículas
315

2. Segunda ley Newton y cantidad de movimiento lineal
Indica que una fuerza resultante produce un cambio del momentum lineal p
 de la
partícula durante un intervalo de tiempo t. Se expresa:
fuerza media resultante 
cambio de la cantidad de movimiento lineal
intervalo de tiempo
p
F
t



3. Principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal
La cantidad de movimiento total de un sistema aislado permanece constante si la fuerza
resultante externa que actúa sobre el sistema es nula.
cantidad de movimiento inicial (total)  cantidad de movimiento final (total)
I F
p p
 = vector constante
4. Impulso (I )
Cantidad vectorial que indica la acción de una fuerza durante un intervalo de tiempo. Todo
impulso es producido por una fuerza (véase la figura) cuyo efecto es el cambio de la
cantidad de movimiento del sistema.
I  fuerza (media)  intervalo de tiempo
I F t
 
(Unidad S.I.: Ns)
(*) OBSERVACIÓN:
La figura muestra la variación típica de una fuerza (F) que actúa en una colisión durante
un intervalo de tiempo t = t – t0. Se cumple:
I = área bajo la línea de la fuerza media = área bajo la curva de F vs t
316

5. Teorema del impulso y de la cantidad de movimiento
El impulso producido por una fuerza media resultante sobre un cuerpo en un intervalo de
tiempo es igual al cambio de la cantidad de movimiento del cuerpo (véase la figura).
0
F t mv mv
  
m: masa del cuerpo
0
v : velocidad (inicial) del cuerpo inmediatamente antes de la interacción
v : velocidad (final) del cuerpo inmediatamente después de la interacción
6. Colisiones
Una colisión (o choque) es una interacción que ocurre en un intervalo de tiempo pequeño.
Las colisiones son de dos tipos:
6.1. Colisión elástica
Se caracteriza por el hecho de que la energía cinética total se conserva. En la figura se
muestra un caso típico de colisión elástica unidimensional. El principio de la conservación
de la energía exige:
energía cinética antes de la colisión  energía cinética después de la colisión
EC(inicial) = EC(final
317

6.2. Colisión inelástica
Se caracteriza por el hecho de que la energía cinética total no se conserva. En la figura se
muestra un caso típico de colisión inelástica unidimensional. El principio de conservación
de la energía exige:
energía cinética antes de la colisión  energía cinética después de la colisión + Q
EC(inicial) = EC(final) + Q
Q: energía mecánica disipada durante el choque
7. Regla de Newton de la colisión unidimensional
Es el resultado de combinar los principios de conservación de la energía y de la cantidad
de movimiento lineal:
En una colisión unidimensional entre dos partículas, las velocidades relativas de las
partículas antes y después de la colisión son de direcciones contrarias.
2 1 2 1
v v (v v )
 
   
1 2
v ;v : velocidades de las partículas antes de la colisión
1 2
v ;v
  : velocidades de las partículas después de la colisión
: coeficiente de restitución
(*) OBSERVACIONES:
1º) El coeficiente de restitución  es un indicador del grado de elasticidad de la colisión, o
equivalentemente es un indicador de la energía mecánica disipada.
318

2º) Los posibles valores de  están comprendidos en el intervalo:0  1. Si  = 1, la
colisión se llama completamente elástica, y si  = 0, la colisión se llama completamente
inelástica.
8.* Gravitación universal
8.1. Ley de Newton de la gravitación
La magnitud de la fuerza de atracción entre dos partículas en el universo es directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa.
1 2
G 2
Gm m
F
d

G = 6,67  10–11
N m2
/kg2
: constante de gravitación universal
m1, m2 : masas de las partículas
d: distancia entre las partículas
8.2. Variación de la aceleración de la gravedad ( g)
La magnitud de la aceleración de la gravedad (g) es directamente proporcional a la masa
del planeta (M) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (d) medida desde
el centro del planeta (véase la figura):
2
GM
g
d

319

(*) OBSERVACIONES:
1º) En la superficie del planeta se tiene: d = R, entonces:
2
GM
g
R

2º) Sí M = 0, se obtiene: g = 0.
3º) Para órbitas circulares de satélites, la segunda ley de Newton se escribe:
2
2
2
GmM mv
m r
r
r
  
v: rapidez tangencial del satélite
: rapidez angular del satélite
r: radio de la órbita circular
m: masa del satélite
M: masa del cuerpo respecto al cual gira el satélite
9. Leyes de Kepler
9.1. Primera ley (ley de las órbitas)
Los planetas describen elipses estando el Sol en uno de sus focos. (Véase la figura (a)).
9.2. Segunda ley (ley de las áreas)
Una línea desde el Sol hasta un planeta describe áreas iguales en intervalos de tiempo
iguales. (Por ejemplo, en la figura (b) se cumple: A1 = A2).
320

9.3. Tercera ley (ley de los períodos)
El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es directamente proporcional al cubo
de la distancia promedio entre el planeta y el Sol.
2
3
T
constante
d

T: periodo de revolución del planeta
d: distancia promedio entre el planeta y el Sol
(*) OBSERVACIÓN:
La ley de los periodos para órbitas circulares de satélites:
2 2
3
T 4
GM
r


r: radio de giro del satélite
M: masa del cuerpo respecto al cual gira el satélite
EJERCICIOS
1. El impulso es una cantidad vectorial que está relacionada a la fuerza aplicada a un
cuerpo durante un intervalo de tiempo. Un jugador de futbol ejecuta un tiro libre con
una pelota de 350 g de masa, la cual adquiere una rapidez de 28 m/s. Calcule la
magnitud de la fuerza ejercida por el jugador si consideramos que el impacto con la
pelota transcurre en 9.8 ms.
A) 1000 N B) 900 N C) 800 N D) 980 N
321

Física
EJERCICIOS
1. El impulso es una cantidad vectorial que está relacionada a la fuerza aplicada a un
cuerpo durante un intervalo de tiempo. Un jugador de futbol ejecuta un tiro libre con
una pelota de 350 g de masa, la cual adquiere una rapidez de 28 m/s. Calcule la
magnitud de la fuerza ejercida por el jugador si consideramos que el impacto con la
pelota transcurre en 9.8 ms.
A) 1000 N B) 900 N C) 800 N D) 980 N
Solución:
El impulso I es igual al cambio en la cantidad de movimiento:
𝐼 = ∆𝑃 = (0.35 𝑘𝑔)(28 𝑚
𝑠
⁄ − 0) = 9.8 𝑘𝑔 𝑚
𝑠
⁄
𝐹 =
𝐼
∆𝑡
=
9.8 𝑘𝑔 𝑚
𝑠
⁄
9.810−3𝑠
= 1.0  103
𝑁
Rpta.: A
2. Se deja caer una pelota desde la altura h en un piso donde el coeficiente de
restitución es e. La pelota rebota después de la colisión inelástica (0 < 𝑒 < 1).
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes afirmaciones
respecto a la colisión de la pelota:
I. La cantidad de movimiento experimentada por pelota después de la colisión es
la misma que antes de la colisión.
II. La energía mecánica de la pelota se conserva antes y después de la colisión.
III. En la colisión entre la pelota y la Tierra no se conserva la cantidad de
movimiento.
A) VFF B) VVF C) VVV D) FVV
Solución:
En una colisión inelástica la cantidad de movimiento se conserva.
Rpta.: A
3. El gráfico muestra la magnitud de la fuerza vs tiempo actuando sobre un objeto. Los
segmentos AB, BC y CD son segmentos rectos. Encuentre la magnitud del impulso
total de la fuerza sobre el objeto.
A) 2.0  106
Ns
B) 2.0  109
Ns
C) 7.5  106
Ns
D) 7.5  109
Ns
322

Solución:
La magnitud total del impuso total es la suma de las áreas ABGH, BCFG y CDEF.
𝐴𝐴𝐵𝐺𝐻 =
1
2
(100𝑁 − 50𝑁)(10 − 0)106
𝑠 + (50𝑁)(10 − 0)106
𝑠 = 750  106
𝑁𝑠
𝐴𝐵𝐶𝐹𝐺 = (50𝑁 − 0)(20 − 10)106
𝑠 = 500  106
𝑁𝑠
𝐴𝐶𝐷𝐸𝐹 =
1
2
(100𝑁 − 50𝑁)(30 − 20)106
𝑠 + (50𝑁)(30 − 20)(10)6
= 750  106
𝑁𝑠
𝐼𝑇 = 2.0  109
𝑁𝑠
Rpta.: B
4. Se comprime un resorte unido un bloque de masa de 0.5 kg. La distancia
comprimido es 20 cm. Cuando se suelta el bloque de masa m1 colisiona con el
bloque de masa m2 y terminan moviéndose los dos bloques juntos. Determine la
velocidad de los bloques.
A) 2.5 𝑚
𝑠
⁄
B) 1.5 𝑚
𝑠
⁄
C) 2.0 𝑚
𝑠
⁄
D) 0.5 𝑚
𝑠
⁄
Solución:
La energía elástica almacenada en el resorte es transferida al bloque m1.
1
2
𝐾(∆𝑥)2
=
1
2
𝑚1𝑣1
2
𝑣1 = √
𝐾(∆𝑥)2
𝑚1
= √
(50 𝑁
𝑚
⁄ )(0.2𝑚)2
0.5 𝑘𝑔
= 2 𝑚
𝑠
⁄
Por conservación de cantidad de movimiento para colisión inelástica:
𝑚1𝑣1 = (𝑚1 + 𝑚2)𝑉′
𝑉′
=
𝑚1𝑣1
(𝑚1 + 𝑚2)
=
(0.5𝑘𝑔)(2𝑚
𝑠
⁄ )
(0.5 𝑘𝑔 + 1.5𝑘𝑔)
= 0.5 𝑚
𝑠
⁄
Rpta.: D
5. En figura adjunta la bola tiene una masa de 4 kg y una velocidad de 8 m/s viajando
de Oeste hacia el Este. En el punto O recibe un impulso por una fuerza externa y
hace que cambie de dirección hacia el Norte con una velocidad de 6 m/s. Determine
el impulso recibido.
A) 35 𝑘𝑔 𝑚
𝑠
⁄
B) 42 𝑘𝑔 𝑚
𝑠
⁄
C) 45 𝑘𝑔 𝑚
𝑠
⁄
D) 40 𝑘𝑔 𝑚
𝑠
⁄
323

Solución:
Los vectores del momento inicial y final se muestran en el gráfico.
∆𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃1
⃗⃗⃗ + 𝑃2
⃗⃗⃗⃗
(∆𝑃)2
= (𝑃1)2
+ (𝑃2)2
= 𝑚2(𝑣1
2
+ 𝑣2
2)
∆𝑃 = √(4 𝑘𝑔)2[(8 𝑚
𝑠
⁄ )2 + (6 𝑚
𝑠
⁄ )2]
∆𝑃 = 40 𝑘𝑔 𝑚
𝑠
⁄
También: 𝐼 = ∆𝑃 = 40 𝑘𝑔 𝑚
𝑠
⁄
Rpta.: D
6. La ley de los periodos de Kepler es resultado de la fuerza gravitacional entre el Sol y
los planetas y la fuerza centrípeta del movimiento en una órbita elíptica de los
planetas alrededor del Sol. “El cuadrado del período de la órbita de un planeta es
proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita”. La constante de
proporcionalidad se expresa en términos de la masa solar (Ms) y la constante de
gravitación universal (G): T2
/r3
= 42
/GM. En ese marco, determine el periodo orbital
del planeta Venus, si el radio promedio de órbita de Venus es 1.0  1011
m y la masa
del Sol es de 2  1030
kg.
Considere 𝜋2
= 10 𝑦 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝐺 = 6.67  10−11 𝑁𝑚2
𝑘𝑔3
⁄ .
A) 1.13  107
s B) 2.13  106
s C) 1.73  107
s D) 1.0  106
s
Solución:
Se conoce que:
𝑇2
𝑟3 =
4𝜋2
𝐺𝑀𝑠
= constante
Entonces 𝑇𝑣
2
=
4𝜋2
𝐺𝑀𝑠
𝑟𝑣
3
=
(4  10)
(6.67  10−11𝑁𝑚2
𝑘𝑔3
⁄ )(2  1030 𝑘𝑔)
(1  1033
𝑚3) = 2.9985  1014
𝑠2
𝑇𝑣 = 1,73  107
𝑠
Rpta.: C
7. El proyecto global de internet satelital de Elon Musk de cubrir el cielo de satélites es
denominado “Starlink”. La compañía de tecnología aeroespacial, SpaceX, pone un
satélite aproximadamente en órbita circular alrededor de la tierra con 4 veces el
radio de la Tierra. Usando la fuerza centrípeta y gravitacional experimentada por el
satélite, determine el tiempo que toma este satélite en completar una órbita.
Expresar su respuesta en función de la constante universal (G), y radio (𝑅𝑇) y masa
(𝑀𝑇) terrestre.
A)
16𝜋𝑅𝑇
3
2
⁄
(𝐺𝑀𝑇)
1
2
⁄
B)
12𝜋𝑅𝑇
3
2
⁄
(𝐺𝑀𝑇)
1
2
⁄
C)
16𝜋𝑅𝑇
1
2
⁄
(𝐺𝑀𝑇)
3
2
⁄
D)
8𝜋𝑅𝑇
5
2
⁄
(𝐺𝑀𝑇)
1
2
⁄
324

Solución:
Se considera el movimiento circular del satélite:
𝐹𝐶 = 𝑚𝑠
𝑣𝑠
2
𝑟𝑠
y 𝐹𝐺 = 𝐺
𝑀𝑇𝑚𝑠
𝑟𝑠
2
En equilibrio: 𝐹𝑐 = 𝐹𝐺
𝑣𝑠 = √
𝐺𝑀𝑇
𝑟𝑠
El tiempo para completar una órbita:
𝑣𝑠 =
2𝜋r𝑠
𝑡
→ 𝑡 =
2𝜋r𝑠
𝑣𝑠
=
2𝜋(4𝑅𝑇)(4𝑅𝑇)
1
2
⁄
(𝐺𝑀𝑇)
1
2
⁄
=
16𝜋𝑅𝑇
3
2
⁄
(𝐺𝑀𝑇)
1
2
⁄
Rpta.: A
8. La tercera ley de Kepler indica que 𝑇2
= 𝑘𝑟3
, en la que T es el tiempo para que un
planeta complete una vuelta alrededor del Sol y r es la medida del radio orbital medio
entre los ejes mayor y menor al Sol. Considerando para el caso de la Tierra, el radio
orbital medio es de 149.6  106
km y para el planeta Neptuno es 4,495  106
km.
Además, considerando que la constante k es la misma para todos los objetos
orbitando alrededor del Sol. Determine el tiempo en recorrer una vuelta alrededor del
Sol y la luz en llegar del Sol a Neptuno. Velocidad de la luz en el vacío = 300,000 km/s
A) 164.7 años y 8.32 días B) 134.2 años y 14.98 días
C) 74.3 años y 8.32 días D) 164.7 años y 4.16 días
Solución:
i) De la ley de periodos de Kepler:
𝑇𝑇
2
𝑟𝑇
3 =
𝑇𝑁
2
𝑟𝑁
3
Reemplazando 𝑇𝑁 =
𝑟𝑁
3
𝑟𝑇
3 𝑇𝑇
2
=
(4495  106𝑘𝑚)
3
(149.6 106 𝑘𝑚)3
(1 𝑎ñ𝑜)2
𝑇𝑁 = 164.7 𝑎ñ𝑜𝑠
ii) Se conoce que 𝑐 =
𝑟𝑁
𝑡𝑁
𝑡𝑁 =
𝑟𝑁
𝑐
=
4495 106
𝑘𝑚
3 105 𝑘𝑚
𝑠
⁄
= 14983.33 𝑠
𝑡𝑁 = 4.16 𝑑í𝑎𝑠
Rpta.: D
325

1. La segunda ley de Newton es mejor expresada como: “la fuerza neta promedio que
experimenta un objeto es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento con
respecto al tiempo”. Usando esta ley, calcule la fuerza promedio aplicada a una
pelota de fútbol. Si en un partido de fútbol el pie de un jugador está en contacto con
una pelota de 0.2 kg por aproximadamente 2 milisegundos. Además, se conoce que
la pelota adquiere la velocidad de 144 km/h después de interaccionar con el pie del
jugador.
A) 100 N B) 300 N C) 200 N D) 400N
Solución:
Conocemos que 𝐹𝑁 =
∆𝑃
∆𝑡
=
𝑚(𝑣−𝑣𝑜)
𝑡−𝑡𝑜
reemplazando 𝐹𝑁 =
(210−1𝑘𝑔)(40𝑚
𝑠
⁄ −0)
210−3 𝑠
= 400 𝑁
Rpta.: D
2. En un juego de billar cada una de las bolas tienen 0.165 g de masa. La bola 1 se
mueve a una rapidez de 15 m/s, golpea la bola 2, la cual se encontraba en reposo.
Asumiendo que las billas se deslizan sin fricción sobre las superficies de las mesas y
todas las colisiones son frontales, determine la velocidad final de la billa 2 en cada
una de las siguientes condiciones:
1. La bola 1 se queda en reposo después de golpear la bola 2.
2. La bola 1 continúa moviéndose después de colisionar con una rapidez de 5 m/s
en la misma dirección.
A) 15 y 12 m/s B) 15 y 10 m/s C) 10 y 15 m/s D) 10 y 10 m/s
Solución:
Por conservación de cantidad de movimiento: 𝑃
⃗𝑜 = 𝑃
⃗
1. Como 𝑣1
′
= 0, 𝑣2 = 0,𝑣1 = 15
𝑚
𝑠
, 𝑣2
′
=?
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑣1
′
+𝑚2𝑣2
′
𝑚1 = 𝑚2
𝑣2
′
= 𝑣1 + 𝑣2 − 𝑣1
′
𝑣2
′
= 15 𝑚
𝑠
⁄ + 0 − 0 = 15 𝑚
𝑠
⁄
2. Como 𝑣1
′
= 5 𝑚
𝑠
⁄ , 𝑣2 = 0,𝑣1 = 15
𝑚
𝑠
, 𝑣2
′
=?
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑣1
′
+𝑚2𝑣2
′
𝑚1 = 𝑚2
𝑣2
′
= 𝑣1 + 𝑣2 − 𝑣1
′
𝑣2
′
= 15 𝑚
𝑠
⁄ + 0 − 5 𝑚
𝑠
⁄ = 10 𝑚
𝑠
⁄
Rpta.: B
326

3. Durante los juegos de carnaval, un niño en su patineta de 2 kg de masa, inicialmente
en reposo, lanza un globo con agua de aproximadamente 2 kg en dirección de una
niña. Si el globo tiene una rapidez de 12 m/s con respecto al piso y como
consecuencia, el niño y la patineta, se mueve en la dirección opuesta a la niña a
0.5 m/s, ¿cuál es la masa del niño?
A) 42 kg B) 44 kg C) 46 kg D) 58 kg
Solución:
Por conservación de cantidad de movimiento:𝑃
⃗𝑜 = 𝑃
⃗
Rpta.: C
4. La figura muestra una pista sin fricción ABC. El bloque de masa 𝑚1 = 5.0 kg se deja
caer desde una altura h = 5 m (posición A). En la posición B se encuentra, en
reposo, el bloque de m2 = 15 kg y con el que experimenta una colisión elástica
frontal. Calcule la altura máxima a la que se eleva m1 después de la colisión.
Considere 𝑔 = 10 𝑚
𝑠2
⁄ .
A) 1.25 m
B) 1.50 m
C) 1.75 m
D) 2.00 m
Solución:
Aplicando la conservación de energía, en ℎ ≠ 0 𝑦 ℎ = 0, antes de la colisión:
𝐸𝑃ℎ
+ 𝐸𝑘ℎ
= 𝐸𝑃𝑜
+ 𝐸𝑘𝑜
𝑚1𝑔ℎ + 0 = 0 +
1
2
𝑚1𝑣1
2
𝑣1 = √2𝑔ℎ = √2(10 𝑚
𝑠2
⁄ ) (5𝑚) = 10 𝑚
𝑠
⁄
327

Aplicando conservación de cantidad de movimiento y energía:
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑣1
′
+ 𝑚2𝑣2
′
………………………………… (1)
1
2
𝑚1𝑣1
2
+
1
2
𝑚2𝑣2
2
=
1
2
𝑚1𝑣1
′ 2
+
1
2
𝑚2 𝑣2
′ 2
………………………... (2)
Resolviendo (1) y (2) para 𝑣1
′
:
𝑣1
′
=
(𝑚1 − 𝑚2)
(𝑚1 + 𝑚2)
𝑣1 +
2𝑚2
(𝑚1 + 𝑚2)
𝑣2
𝑣1
′
=
(5 𝑘𝑔 − 15 𝑘𝑔)
(5 𝑘𝑔 + 15 𝑘𝑔)
(10 𝑚
𝑠
⁄ ) +
2(15 𝑘𝑔)
(5 𝑘𝑔 + 15 𝑘𝑔)
(0) = −5 𝑚
𝑠
⁄
𝑣1
′
= −5 𝑚
𝑠
⁄ −→ movimiento en dirección opuesta.
Nuevamente por conservación de energía:
𝑚1𝑔ℎ𝑚á𝑥. =
1
2
𝑚1𝑣1
′ 2
ℎ𝑚á𝑥. =
1
2𝑔
𝑣1
′ 2
=
1
2 (10 𝑚
𝑠2
⁄ )
(−5 𝑚
𝑠
⁄ )2
= 1.25 𝑚
Rpta.: A
5. Se coloca un resorte con constante elástica k = 3000 Nm−1
entre dos bloques de 1.0
y 3.0 kg sobre una superficie sin fricción, como se muestra en la figura adjunta. Los
bloques se encuentran juntos con el resorte comprimido en 10 cm y luego se
sueltan. Determine la velocidad del bloque de 3.0 kg después de separarse.
A) 0.52 m/s
B) 1.58 m/s
C) 2.5 m/s
D) 3.0 m/s
Solución:
Por conservación de energía: 𝐸𝑜 = 𝐸′
𝐸𝑘 + 𝐸𝑝 = 𝐸𝑘
′
+ 𝐸𝑝
′
0 +
1
2
𝐾(∆𝑥)2
=
1
2
𝑚1𝑣1
′ 2
+
1
2
𝑚2𝑣2
′ 2
+ 0 ……………….. (1)
Por conservación de cantidad de movimiento: 𝑃
𝑜 = 𝑃′
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑣1
′
+ 𝑚2𝑣2
′
𝑚1(0) + 𝑚2(0) = 𝑚1𝑣1
′
+ 𝑚2𝑣2
′
𝑣1
′
= −
𝑚2
𝑚1
𝑣2
′
……………………………. (2)
328

Reemplazando (2) en (1):
𝑣2
′ 2
=
𝑚1𝐾(∆𝑥)2
𝑚2(𝑚1 + 𝑚2)
=
(1 𝑘𝑔)(3  103 𝑁
𝑚
⁄ )(0.1 𝑚)2
(3 𝑘𝑔)(1𝑘𝑔 + 3𝑘𝑔)
= 2.5 𝑚
𝑠
⁄
𝑣2
′
= 1.58 𝑚
𝑠
⁄
Rpta.: B
6. En colisiones inelásticas la energía mecánica no se conserva porque parte de la
energía cinética inicial se transforma en energía térmica u otro tipo de energía
durante la colisión. En ese contexto, tenemos un sistema de dos bloques mostrado
en la figura adjunta. El bloque de masa 𝑚1 = 2.0 𝑘𝑔 se mueve sobre una superficie
horizontal sin fricción con una velocidad de 3.0 m/s hacia otro bloque 𝑚2 = 4 𝑘𝑔, en
reposo. La constante elástica del resorte fijo en un extremo de𝑚2es de 300 N/m.
Encuentra la máxima compresión del resorte.
A) 10.0 cm
B) 15.0 cm
C) 20.0cm
D) 25.0 cm
Solución:
La máxima compresión sucede el instante que los dos bloques están juntos después
de la colisión.
Por conservación de cantidad de movimiento:
𝑚1𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = 𝑚1𝑣1
′
+ 𝑚2𝑣2
′
Condición para su máxima compresión: 𝑣1
′
= 𝑣2
′
= 𝑉′
𝑚1𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 = (𝑚1 + 𝑚2)𝑉′
𝑉′
=
𝑚1𝑣1 + 𝑚2(0)
𝑚1 + 𝑚2
=
(2 𝑘𝑔)(3𝑚
𝑠
⁄ )
2 𝑘𝑔 + 4 𝑘𝑔
= 1 𝑚
𝑠
⁄
Energía mecánica inicial:
𝐸𝑖 =
1
2
𝑚1𝑣1
2
+
1
2
𝑚2(0)2
=
1
2
(2 𝑘𝑔)(3 𝑚
𝑠
⁄ )2
= 9 𝐽
Energía mecánica final:
𝐸𝑓 =
1
2
(𝑚1 + 𝑚2)𝑉′2
=
1
2
(2 𝑘𝑔 + 4 𝑘𝑔)(1 𝑚
𝑠
⁄ )2
= 3 𝐽
Como 𝐸𝑖 − 𝐸𝑓 = 9 𝐽 − 3 𝐽 = 6 𝐽
Se presenta energía potencial elástica en el resorte de 6 J.
𝐸𝑝𝑒
= 6 𝐽 =
1
2
K(∆𝑥)2
=
1
2
(300 𝑁
𝑚
⁄ )(∆𝑥)2
∆𝑥 = 20 𝑐𝑚
Rpta.: C
329

7. La segunda ley de Kepler nos dice que cada planeta se mueve de manera que una
línea imaginaria trazada desde el Sol al planeta barre áreas iguales en periodos
iguales. Para la figura adjunta, el planeta toma un tiempo TAB para moverse de A
hacia B y un tiempo TCD para ir de C hacia D. Considerando que el área COD es
cuatro veces el área AOB, podemos afirmar que:
A) 𝑇𝐴𝐵 = 2𝑇𝐶𝐷
B) 𝑇𝐴𝐵 = 4𝑇𝐶𝐷
C) 4𝑇𝐴𝐵 = 𝑇𝐶𝐷
D) 2𝑇𝐴𝐵 = 𝑇𝐶𝐷
Solución:
∆𝐴 ∝ ∆𝑇 ó
∆𝐴
∆𝑇
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
∆𝐴𝐴𝑂𝐵
𝑇𝐴𝐵
=
∆𝐴𝐶𝑂𝐷
𝑇𝐶𝐷
𝐴
4𝐴
=
𝑇𝐴𝐵
𝑇𝐶𝐷
−→ 𝑇𝐴𝐵 = 4𝑇𝐶𝐷
Rpta.: B
330

Física
EJERCICIOS
1. Respecto a la Ley de Gravitación Universal. Señale verdadero (V) o Falso (F), según
corresponda a las siguientes proposiciones:
I. Si dos cuerpos se atraen gravitacionalmente, el de mayor masa experimenta
mayor fuerza.
II. La constante G, sólo es válida para el sistema solar.
III. El descubrimiento de la Ley de Gravitación Universal hecho por Newton confirma
que las leyes de Kepler son correctas.
A) VVV B) VVF C) VFV D) FFV
Solución:
I. F
II. F
III. V
Rpta.: D
2. Un objeto inicialmente en reposo, explota fragmentándose en dos partes de masas m1
y m2. Si el fragmento m1 adquiere el doble de energía cinética que el otro, ¿cuál es la
relación m1/m2? (Asumir que dichas masas parten en dirección opuesta con respecto
al punto de explosión)
A) 2 B) 2 C) 1 D) 0,5
Solución:
Aplicamos el dato de la energía cinética:
1 2
c c
2 2
1 1 2 2
1 2
2 1
E 2E
1 1
m v 2 m v
2 2
m v
2 ... (1)
m v

  
 
   
 
Aplicamos conservación de la cantidad de movimiento:
331

2 2 1 1
2 1
1 2
2
1 1
2 2
1
2
F 0
m v m v 0
v m
, reemplazando en (1) :
v m
m m
2
m m
m
0,5
m

 
 

 
  
 
 
Rpta.: D
3. En la figura se muestra el lanzamiento de una esfera de 0,5 kg de masa. Si la velocidad
de lanzamiento forma un ángulo de 53° con respecto a la horizontal. Determine la
cantidad de movimiento lineal de la esfera después de 7 s de su lanzamiento.
Considere a la trayectoria de vuelo una parábola.
2
(g 10 m/s )
A) (20, 20) kgm/s
B) (15, 15) kgm/s
C) (30, 30) kgm/s
D) 15 2 kgm/s
Solución:
Del movimiento parabólico, tenemos: y
v 40 10x7 30 m / s
La velocidad para 7 s es: v (30, 30) m / s
 
Calculando la cantidad de movimiento para t = 7 s
x y
p m(v ,v ) 0,5(30, 30) p (15, 15) kgm / s
Rpta.: B
4. En la figura se muestra un péndulo simple de longitud 50 cm y una masa oscilante de
2 kg. Si se suelta desde la posición A, determine la magnitud de la cantidad de
movimiento del péndulo en el instante que se encuentra a 5 cm sobre su posición más
baja durante su movimiento. Desprecie todo tipo de fricción durante el movimiento.
2
(g 10 m/s )
A) 3 kgm/s
B) 2 kgm/s
C) 10 kgm/s
D) 1 kgm/s
53°
v = 50 m/s
332

Solución:
A 5 cm sobre la posición más baja
de su trayectoria, tenemos:
A B
M M
2
B
A
2
B
B
E E
mv
mgh
2
v
10 0,05
2
v 1 m / s
De la definición de momento lineal,
tenemos:
p mv
p 2 1 2 kgm / s
Rpta.: B
5. En la figura se muestran dos esferas A y B de masas 2 kg y 3 kg respectivamente,
moviéndose sobre una superficie horizontal lisa, de tal manera que sufren una colisión
perfectamente inelástica. Determine rapidez de la esfera B inmediatamente después
de la colisión.
A) 2,0 m/s
B) 1,6 m/s
C) 2,5 m/s
D) 5,5 m/s
Solución:
De la conservación de la cantidad de movimiento, tenemos:
i f
/
/ /
B
p p
2( 10) 3( 4) (2 3)v
1,6 m / s v v
Rpta.: B
6. El Principio de conservación de la cantidad de movimiento, consiste en que la suma
de las cantidades de movimiento de los cuerpos en interacción se conserva invariable.
La suma de las cantidades de movimiento queda constante, aunque las cantidades
de movimiento de los cuerpos varían, ya que sobre cada cuerpo actúan las fuerzas de
interacción. Si un rifle de 5 kg de masa dispara un proyectil de masa 15 g con rapidez
inicial de 600 m/s. Determine la velocidad de retroceso del rifle.
A) 1,8 m/s B) 2,8 m/s C) 2 m/s D) 3 m/s
333

Solución:
De la conservación de movimiento de la cantidad de movimiento
r r b b
m v m v

Y por lo tanto, b
r b
r
m 0,015 kg
v v 600m/s 1,8
m 5 kg
    
Rpta.: A
7. Un patinador de masa 40 kg se mueve con rapidez de 4 m/s e igual a otro de masa
60 kg que se mueve con rapidez de 2 m/s en la misma dirección y choca con él. Si los
dos patinadores permanecen en contacto, ¿cuál es la rapidez final?
A) 2,8 m/s B) 1,8 m/s C) 2 m/s D) 3 m/s
Solución:
Cantidad de movimiento total inicial = cantidad de movimiento total final
1 1 2 2 1 2 f
1 1 2 2
f
1 2
m v m v (m m )v
m v m v (40 kg 4m/s) (60 kg 2 m/s)
v 2,8 m/s
(m m ) 40 kg 60
  
   
  
 
Rpta.: A
8. Si una colisión inelástica es aquella en la cual, parte de la energía cinética se cambia
en alguna otra forma de energía en la colisión. Un cuerpo de masa 30 kg se mueve
con rapidez de 3 m/s e iguala a otro cuerpo de masa 50 kg que se mueve con rapidez
de 1 m/s en la misma dirección y choca con él y permanecen en contacto con rapidez
de 1,75 m/s. ¿Cuánta energía cinética se pierde?
A) 37,5 J B) 34,8 J C) 35,5 J D) 32 J
Solución:
Ec. Inicial = 2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
m v m v 30 3 50 1 160 J
2 2 2 2
     
Ec. final = 2 2
1 2 3
1 1
(m m )v 80 1,75 122,5 J
2 2
   
Por lo tanto, se pierde 160 – 122,5 = 37,5 J
Rpta.: A
1. Un bloque de 2 kg de masa que se mueve hacia la derecha con rapidez de 5 m/s
colisiona con otro bloque de 3,5 kg de masa que está en reposo. Si después del choque
el bloque de 3,5 kg se mueve hacia la derecha con rapidez de 3 m/s. Determine el
coeficiente de restitución entre los bloques. Asumir que la superficie es lisa.
A) 0,5 B) 0,6 C) 0,7 D) 0,65
334

Solución:
sis
A
A
P 0
2 (5) 3,5 0 2 V 3,5 3
V 0,25 m/s ... (1)
3 ( 0,25)
De (1): e
0 5
e 0,65
 
      
 
 
 
  

 
 
Rpta.: D
2. Una pequeña esfera de masa M1 = 0,2 kg descansa sobre una columna vertical de altura
h = 5 m. Una bolilla de masa m2 = 0,01 kg, moviéndose son una rapidez v0 = 500 m/s,
choca horizontalmente con la esfera M1. La esfera alcanza el suelo a una distancia de
s = 20 m, tal como se muestra en la figura. Depreciando cualquier tipo de rozamiento y
asumiendo que los dos cuerpos tienen velocidades después de la colisión en dirección
horizontal. ¿Cuál será la magnitud de la rapidez de la esferilla después de la colisión?
A) 50 m/s
B) 100 m/s
C) 150 m/s
D) 200 m/s
Solución:
2
1 M
M
sis
m
m
Sobre M : 5 5t 20 V 1
t 1s V 20 m/s ... (1)
P 0
0,2 0 0,01 500 0,2 20 0,01 V
w 100 m/s
  
  
 
      
 
Rpta.: B
3. El periodo del planeta mostrado que gira alrededor de una estrella dura 700 días.
Cuando el planeta va de “A” hacia “B” emplea 200 días. Si el área sombreada es “S”,
determine el área que encierra la trayectoria elíptica en función de S.
A) 10 S
B) 20 S
C) 25 S
D) 28 S
B
A
335

Solución:
total
total total
AB
AB
total total
total
A
S
A A
A 4
t Periodo 200 700
7
A 7S 2A
4
A 28S

  
 
 
Rpta.: D
4. Un bloque de 5 kg de masa se encuentra moviéndose sobre una superficie horizontal
lisa. En un determinado momento sube por una rampa rugosa inclinada 30° con
respecto a la horizontal, tal como se muestra en la figura. Determine la magnitud del
impulso que recibe el bloque entre la posición A y B.
A) 25 kgm/s
B) 20 kgm/s
C) 15 5 kgm/s
D) 35 kgm/s
Solución:
Del teorema del impulso y cantidad de movimiento, tenemos:
f 0
2 2
I p
I p p
I 5(4,3) 5(10,0)
I ( 30,15) kgm / s
I ( 30) 15 15 5 kgm / s
Rpta.: C
5. Un núcleo atómico inestable de masa 10–26 kg inicialmente en reposo se desintegra
en tres partículas. Una de las partículas, de masa 10–27 kg, se mueve a lo largo del eje
+y con una rapidez de 5  106 m/s. Otra partícula, de masa 4  10–27 kg se mueve a
lo largo del eje +x con una rapidez de 5  106 m/s. Determine la rapidez de la tercera
partícula.
A) 15  106 m/s B) 4  106 m/s C) 5  106 m/s D) 17  106 m/s
Solución:
De la conservación del momento lineal, tenemos:
-27 6 27 6 27
x y
6 6
x y
6
0 10 (0;5 10 ) 4 10 (5 10 ;0) 5 10 (v ;v )
(v ;v ) (4 10 ; 1 10 ) m/s
v 17 10 m/s
 
      
   
 
Rpta.: D
336

6. Un patinador de 80 kg de masa le aplica a otro de 50 kg de masa una fuerza de
250 N durante 0,5 s, ¿qué rapidez adquiere el segundo patinador?
A) 2,5 m/s B) 2,2 m/s C) 2,8 m/s D) 3,0 m/s
Solución:
Según la definición de impulso:
I = F.t
I = 250 N  0,5 s
I = 125 kg.m/s
El impulso en el momento del choque es el mismo para ambos cuerpos y el impulso
también es igual a la cantidad de movimiento.
I = m2.v2
I/m2 = v2
v2 = (125 kg.m/s)/50 kg
v2 = 2,5 m/s
Rpta.: A
7. Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242 N y adquiere una
rapidez de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo
estuvo en contacto el palo sobre la pelota?
A) 0,0196 s B) 0,0176 s C) 0,0135 s D) 0,0132 s
Solución:
I = F.t = m.v
F.t = m1.v1
t = m1.v1/F
t = 0,05 kg.(95 m/s)/242 N
t = 0,0196 s
Rpta.: A
337

Física
EJERCICIOS
1. La cantidad de movimiento o momento lineal es una cantidad vectorial que permite
describir el estado dinámico de una partícula o de un sistema de partículas. De lo
mencionado, se lanza verticalmente una esfera (de 2 kg de masa) en dirección del
eje +y, con rapidez 50 m/s, tal como se muestra en la figura. Determine el momento
lineal de la esfera después de 6 s de su lanzamiento. Desprecie todo tipo de
rozamiento durante el movimiento.
2
(g=10 m/s )
A) -20 kgm/s
B) 20 kgm/s
C) -30 kgm/s
D) 20 kgm/s
E) -10 kgm/s
Solución:
Del movimiento vertical, tenemos:
50 10 6 10 /
y
v x m s
Calculando la cantidad de movimiento para t = 6 s
2( 10) k /
y
p mv gm s
( 20) /
p kgm s
Rpta.: A
338

2. En la figura se muestra un péndulo simple de longitud 5 m y una masa oscilante de
1 kg. Si se suelta desde la posición A, determine la magnitud de la cantidad de
movimiento del péndulo en el instante que adquiere su máxima velocidad. Desprecie
todo tipo de rozamiento durante el movimiento.
2
(g=10 m/s )
A) 15 kgm/s
B) 20 kgm/s
C) 10 kgm/s
D) 10 kgm/s
E) 2 5 kgm/s
Solución:
En la parte más baja del movimiento, la esfera adquiere su máxima velocidad. (Punto
B). De la conservación de la energía mecánica, tenemos:
A B
M M
E E
2
2
B
A
mv
mgh
2
10 1
2
B
v
x
20 /
B
v m s
De la definición de momento lineal, tenemos:
p mv
1 ( 20)
p x
2 5 /
p Kgm s
Rpta.: E
339

3. En la figura se muestran dos esferas A y B moviéndose sobre una superficie horizontal
lisa, de tal manera que sufren una colisión. Determine la energía cinética de la esfera
A, después de la colisión. Si la velocidad de la esfera B es +2 m/s.
(Considere: A B
m =3m =3 kg)
A) 2,0 J
B) 1,5 J
C) 2,5 J
D) 4,5 J
E) 5,0 J
Solución:
De la conservación de la cantidad de movimiento, tenemos:
i f
p p
/
3( 3) 1( 10) 3 1( 2)
A
v
/
1 / A
m s v
Por lo tanto la energía cinética de A después de la colisión es:
2
1
3 1 1
,5
2
C
E x x J
Rpta.: B
4. Un patinador de 80 kg de masa le aplica a otro patinador de 50 kg de masa una fuerza
de 250 N durante 0,5 s, ¿qué velocidad adquiere el segundo patinador?
Solución:
I = F.t
I = 250 N x 0,5 s
I = 125 kg.m/s
El impulso en el momento del choque es el mismo para ambos cuerpos y el impulso
también es igual a la cantidad de movimiento.
I = m2.v2
I/m2 = v2
v2 = (125 kg.m/s)/50 kg
v2 = 2,5 m/s
Rpta.: A
340

5. Un bloque de 100 g de masa se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal
lisa y en estado de reposo. En cierto instante recibe un impulso mediante una fuerza
variable, tal como se muestra en la gráfica de la figura. Determine la rapidez que
adquiere el bloque en el instante t = 2 s.
A) 2,5 m/s
B) 2,0 m/s
C) 1,5 m/s
D) 3,5 m/s
E) 4,5 m/s
Solución:
Del teorema del impulso y cantidad de movimiento, tenemos:
I p
3
(1 2)100 10
0,1
2
x
v
1,5 /
m s v
Rpta.: C
6. Un patinador de 40 kg se mueve a 4 m/s e igual a otro de 60 kg que se mueve a 2
m/s en la misma dirección y choca con él. Si los dos patinadores permanecen en
contacto, cual es la velocidad final
A) 2,8 m/s B) 1,8 m/s C) 2 m/s D) 3 m/s E) 3,8 m/s
Solución:
Cantidad de Movimiento total inicial = cantidad de movimiento total final
𝑚1𝑣1 +𝑚2𝑣2 = (𝑚1 + 𝑚2 ) 𝑣𝑓
𝑣𝑓 =
𝑚1𝑣1 +𝑚2𝑣2
(𝑚1 + 𝑚2 )
=
( 40 𝑘𝑔 𝑥 4
𝑚
𝑠
) + (60 𝐾𝑔 𝑥 2
𝑚
𝑠
)
40 𝑘𝑔 + 60 𝐾𝑔
= 2,8 𝑚/𝑠
Rpta.: A
341

7. La Ley de Gravitación Universal propuesta por Sir Isaac Newton, menciona que dos
masas ( 1
m y 2
m ) se atraen mutuamente, con una fuerza denominada Fuerza
Gravitacional, cuya magnitud es directamente proporcional al producto de sus masas
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, multiplicada
por una constante gravitacional ( -11 2 2
G=6,67x10 Nm /kg ). De lo mencionado, indique
la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. La fuerza gravitacional solo se manifiesta para cuerpos celestes.
II. Si aumentamos la distancia entre las masas, la fuerza gravitacional aumenta.
III. Si duplicamos las masas, entonces la fuerza gravitacional se duplica.
A) VVV B) FFF C) FVF D) FVV E) FFV
Solución:
I. (F)
II. (F)
III. (F)
Rpta.: B
8. Un cohete cósmico se dirige a la Luna. ¿En qué punto de la recta d que une los
centros de la Luna y de la Tierra será igual a la fuerza de atracción que estos dos
astros ejercen sobre el cohete?
2 8
0,81 10 ; 3,84 10
T
L
M
Considere x d x m
M
A) 8
3,4 10
x m B) 8
2,7 10
x m C) 8
5,4 10
x m
D) 8
1
,7 10
x m E) 8
4.3 10
x m
Solución:
2
2
8
:
:
: 3,4 10
T L
Como Tierra Cohete Luna Cohete
M m M m
F G F G
r d r
Entonces F F
Simplificando r x m
Rpta.: A
342

1. El principio de conservación de la cantidad de movimiento, consiste en que la suma
geométrica de las cantidades de movimiento de los cuerpos en interacción se
conserva invariable. La suma de las cantidades de movimiento queda constante
aunque las cantidades de movimiento de los cuerpos varían, ya que sobre cada
cuerpo actúan las fuerzas de interacción. Si un rifle de 5 kg dispara un proyectil de
15 g a una velocidad inicial de 600 m/s. Encuentre la velocidad de retroceso del rifle
A) 1,8 m/s B) 2,8 m/s C) 2 m/s D) 3 m/s E) 3,8 m/s
Solución:
De la Conservación de movimiento de la cantidad de movimiento
𝑚𝑟𝑣𝑟 = 𝑚𝑏 𝑣𝑏
Y por lo tanto
𝑣𝑟 =
𝑚𝑏
𝑚𝑟
𝑥 𝑣𝑏 =
0,015 𝐾𝑔
5 𝑘𝑔
𝑥 600
𝑚
𝑠
= 1,8 𝑚/𝑠 x
Rpta.: A
2. Una colisión inelástica es aquella en la cual parte de la energía cinética se cambia en
alguna otra forma de energía en la colisión. Un cuerpo de 30 kg de masa se mueve
con rapidez de 3 m/s e iguala a otro cuerpo de 50 kg de masa que se mueve con
rapidez de 1 m/s en la misma dirección y choca con él, si permanecen en contacto
con rapidez de 1,75 m/s ¿Cuánta energía cinética se pierde?
A) 37,5 J B) 34,8 J C) 35,5 J D) 32 J E) 40 J
Solución:
𝐸𝑐. 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 =
1
2
𝑚1𝑣1
2
+
1
2
𝑚2 𝑣2
2
=
1
2
30 𝑥 32
+
1
2
50 𝑥 12
= 160 𝐽
𝐸𝑐 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 =
1
2
( 𝑚1 + 𝑚2 )𝑣3
2
=
1
2
80𝑥 1,752
= 122,5 𝐽
Por lo tanto se pierde 160 – 122,5 = 37,5
Rpta.: A
343

3. Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242 N y adquiere una
velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo
el palo de golf estuvo en contacto con la pelota?
A) 0,0196 s B) 0,0176 s C) 0,0135 s D) 0,0132 s E) 0,0140 s
Solución:
I = F.t = m.v
F.t = m1.v1
t = m1.v1/F
t = 0,05 kg.(95 m/s)/242N
t = 0,0196 s
Rpta.: A
4. Una pelota de tenis de mesa es lanzada hacia una bola de boliche en reposo. La
pelota sufre una colisión elástica en una dimensión y rebota en dirección opuesta a su
movimiento inicial. Después de la colisión, al comparar la bola de boliche con la pelota
de tenis de mesa, esta última tiene:
A) Mayor cantidad de movimiento y más energía cinética.
B) Menor cantidad de movimiento y más energía cinética.
C) Mayor cantidad de movimiento y menos energía cinética.
D) Menor cantidad de movimiento y menos energía cinética.
E) La misma magnitud de cantidad de movimiento y la misma energía cinética.
Solución:
Debido a que se conserva la cantidad de movimiento del sistema formado por la pelota
de tenis de mesa y la bola de boliche, 𝑃
⃑𝑇 + 0 = 𝑃
⃑𝑇
′
+ 𝑃
⃑𝐵
′
Como la pelota de tenis de mesa rebota sobre la mucho más grande bola de boliche
con aproximadamente la misma rapidez, 𝑃
⃑𝑇 = −𝑃
⃑𝑇
′
. Como consecuencia 2𝑃
⃑𝑇 = 𝑃
⃑𝐵
′
.
La energía cinética se puede expresar como K = p2
/2m. Debido a la masa mucho más
grande de la bola de boliche, su energía cinética es mucho menor que la de la pelota
de tenis de mesa.
Rpta.: B
344

5. Una pequeña esfera de masa M1=0.2 kg reposa sobre una columna vertical de altura
h=5m. Una bolilla de masa m2= 0.01kg, moviéndose con una rapidez v0’=500m/s,
choca horizontalmente con la esfera M1. La esfera alcanza el suelo a una distancia
s=20m. Depreciando cualquier tipo de rozamiento, asumiendo que los cuerpos tienen
velocidades finales (después de la colisión) en dirección horizontal. ¿Cuál será la
rapidez de la esferilla después de la colisión?
A) 10 m/s B) 20 m/s
C) 50 m/s D) 100 m/s
E) 150 m/s
Solución:
En la colisión:
∆𝑃
⃑ = 0
0.2(0) + 0.01(500) = 0.2 ∗ 𝑉
⃑1
′
+ 0.01𝑉2
′
⃑⃑⃑⃑
5 = 0.2 ∗ 𝑉1
′
+ 0.01𝑉2
′
… (1)
Para la esfera M1:
5 =
1
2
∗ 10 ∗ 𝑡2
→ 𝑡 = 1𝑠
𝑠 = 20𝑚 → 20 = 𝑉1
′
∗ (1)
→ 𝑉1
′
= 20𝑚/𝑠
Reemplazando en (1) : ∴ 𝑉2
′
= 100𝑚/𝑠
Rpta.: D
6. Un satélite artificial explota en 3 fragmentos idénticos, donde una parte continúa su
trayectoria a lo largo de la dirección de movimiento del satélite y los otros dos van en
direcciones cada una inclinada 60°, con respecto a la línea de movimiento inicial del
satélite, tal como se muestra en la figura. Si al momento de la explosión, el satélite
tenía una rapidez “V”; y la velocidad del fragmento que sigue la dirección del satélite
tiene una velocidad que es la semisuma de los otros dos, determine la rapidez de este
último.
A) V B) 2V C) 3V D) V/2 E) V/3
Y
X
V’
V’’
V’
345

Solución:
2 'cos60 '
''
2 2
:
'' 'cos60 'cos60
3 3 3
: ' 2
antes antes
v v
Como v
Entonces p p
M M M
Mv v v v
Simplificando v v
Rpta.: B
7. El planeta Marte tiene dos satélites Phobos y Deimos. El primero se halla a la distancia
1 9500
R km del centro de Marte y el segundo a la distancia 2 24000
R km .
Determine la relación entre sus periodos de estos satélites cuando giran alrededor de
Marte. 1 2
/
T T
A) 0,25 B) 0,50 C) 0,75
D) 1,25 E) 1,5
Solución:
2 3
1 1
2 3
2 2
3
2
1
2
:
9500
: 0,25
24000
T R
Como
T R
T
Entonces
T
Rpta.: A
346

Física
EJERCICIOS
1. Una pelota de básquet de masa
0,6 kg es lanzada desde la posición
que se indica en la figura. La rapidez
inicial de la pelota es 0
v = 10 m/s y el
ángulo de elevación = 53º. Si la
pelota ingresa al cesto con una
rapidez v=6 2 m/s y ángulo
 = 45º por debajo de la horizontal,
determine la magnitud del cambio de
la cantidad de movimiento de la pelota
entre la posición de lanzamiento y la
posición donde ingresa al cesto.
A) 4,8 kgm/s B) 8,8 kgm/s C) 7,2 kgm/s
D) 9,6 kgm/s E) 8,4 kgm/s
Solución:
Velocidad inicial y final de la pelota:
0
v (6,8) m / s
 ; v (6, 6) m / s
 
Cambio de la cantidad de movimiento:
0 0
p mv mv m(v v ) 0,6(0, 14) kgm / s
      
Magnitud:
2 2
p (0,6) (0) ( 14) 8,4 kgm / s
    
Rpta.: E
2. La tercera ley de Newton explica que cuando se dispara una bala por medio de un
revolver de masa M, como muestra la figura, hay fuerzas internas de igual magnitud y
opuestas en el sistema revolver y bala. Si la masa de la bala es m =
M/100 y su rapidez de salida es vb = 300 m/s, determine la rapidez de retroceso del
revolver vr. Desprecie las fuerzas externas sobre el sistema revolver y bala.
A) 2 m/s
B) 3 m/s
C) 4 m/s
D) 1 m/s
E) 5 m/s
347

Solución:
Antes del disparo:
I
p 0

Después del disparo:
F b r
p mv M( v )
  
De la conservación de la cantidad de movimiento:
b r
mv M( v ) 0
  
r b
m 1
v v (300) 3 m / s
M 100
   
  
   
   
Rpta.: B
3. Una bala de masa m = 0,05 kg está dirigida con velocidad horizontal hacia un bloque
de masa M = 0,95 kg que está en reposo sobre una superficie horizontal sin fricción,
como se muestra en la figura. El bloque está conectado a un resorte no deformado
cuya constante elástica es k = 100 N/m. Si la bala se incrusta en el bloque y el resorte
se comprime hasta 0,5 m, ¿qué rapidez vb tenía la bala en el instante que impactó en
el bloque?
A) 120 m/s B) 90 m/s C) 100 m/s D) 150 m/s E) 110 m/s
Solución:
b
mv M(0) (m M)v
  
b
m M
v v 20v
m

 
 
 
 
De la conservación de la energía:
2 2
1 1
(m M)v kx
2 2
 
2 1 2
2 kx (100)(5 10 )
v 25
m M 1


  

348

v = 5 m/s
Rapidez de la bala:
vb = 20(5) = 100 m/s
Rpta.: C
4. Una pelota de futbol de masa m = 450 g, que se mueve en la dirección del eje – x,
tiene una rapidez v0 = 20 m/s inmediatamente antes de ser golpeada por el pie de un
futbolista, como se muestra en la figura. El pie del futbolista actúa sobre la pelota
durante 0,01 s y su rapidez inmediatamente después de ser golpeada es v =
30 m/s en la dirección del eje + x. Determine la fuerza media que ejerce el pie sobre
la pelota.
A) + 2450 N
B) + 2250 N
C) – 2450 N
D) – 2250 N
E) + 3375 N
Solución:
Del teorema del impulso:
0
F t mv mv
  
F(0,01) (0,45)(30) (0,45)( 20)
  
F 2250 N
 
Rpta.: B
5. Dos bolas de billar A y B de igual masa, que se deslizan en la dirección del eje x,
chocan frontalmente. La velocidad inicial de la bola A es + 2 m/s, mientras que la
velocidad inicial de la bola B es – 1 m/s. Si el choque es totalmente elástico (coeficiente
de restitución  = 1), ¿cuál es la velocidad final de las pelotas A y B respectivamente?
A) – 2 m/s; + 1 m/s B) – 1 m/s; + 1 m/s C) – 1 m/s; + 3 m/s
D) – 3 m/s; + 1 m/s E) – 1 m/s; + 2 m/s
Solución:
0A 0B A B
mv mv mv mv
  
A B
v v 1
 
349

De la regla de Newton de la colisión unidimensional:
B A 0B 0A
v v (v v )
   
Para una colisión totalmente elástica:  = 1
B A
v v 3
 
Resolviendo:
A
v 1 m / s
  ; B
v 2 m / s
 
Rpta.: E
6. Tres esferas homogéneas de igual masa m1 = m2 = m3 = 1 kg están localizadas en los
vértices de un triángulo equilátero de lado 1 m, como se muestra en la figura. Si una
cuarta esfera de masa m4 = 1 kg se coloca en el punto O (origen de coordenadas),
determine la fuerza gravitatoria resultante sobre ella.
(G = 6,6×10–11 Nm2/kg2)
A) +8,8×10–11 N
B) –8,8×10–11 N
C) +4,4×10–11 N
D) –4,4×10–11 N
E) +6,6×10–11 N
Solución:
Las fuerzas de atracción de las esferas de masas m1 y m3 se anulan (véase la figura).
Por consiguiente, la fuerza gravitatoria neta es:
2 4
2
Gm m
F
d

11
11
2
(6,6 10 )(1)(1)
F 8,8 10 N
3
2



  
 
 
 
 
Dirección: eje + y
Rpta.: A
350

7. La distancia promedio del planeta Marte al Sol es igual a 1,5 veces la distancia de la
Tierra al Sol. ¿Cuál es aproximadamente el periodo de revolución de Marte alrededor
del Sol? Considere: 3,375 = 1,8
A) 1,5 años B) 2,2 años C) 1,4 años
D) 2,4 años E) 1,8 años
Solución:
Sean d1 la distancia de la Tierra al Sol y d2 la distancia de Marte al Sol. Por dato:
2 1
d 1
,5d

De la ley de los periodos:
3 3
2 2 2
2 1
2 1
1 1
d 1
,5d
T T (1) 3,375
d d
   
  
   
   
2
T 3,375 1
,8 años
 
Rpta.: E
1. Un ciclista se desplaza sobre una pista recta horizontal con rapidez constante v0 = 8
m/s, como se muestra en la figura. Al ingresar en el punto A en un plano inclinado, el
cual forma un ángulo  = 37º con la horizontal, empieza a desacelerar. Si la masa total
del ciclista y la bicicleta es 80 kg, y su rapidez en el punto B es v = 5 m/s, ¿cuál es la
magnitud del cambio de la cantidad de movimiento que experimenta el ciclista entre
los puntos A y B?
A) 400 kgm/s B) 200 kgm/s C) 500 kgm/s
D) 300 kgm/s E) 450 kgm/s
Solución:
Velocidad del ciclista en los puntos A y B:
0
v ( 8,0) m / s
  ; v ( 4,3) m / s
 
351

Cambio de la cantidad de movimiento:
0 0
p mv mv m(v v ) 80(4,3) kgm / s
     
Magnitud:
2 2
p 80 4 3 400 kgm / s
   
Rpta.: A
2. Una bala de masa m = 0,02 kg es disparada con una velocidad horizontal de magnitud
vb = 1000 m/s por un rifle de masa M = 4 kg, tal como se muestra en la figura.
Determine la razón de la energía cinética de la bala a la del rifle. Desprecie las fuerzas
externas sobre el sistema rifle y bala.
A) 100
B) 400
C) 300
D) 200
E) 150
Solución:
Antes del disparo:
I
p 0

Después del disparo:
F b r
p mv M( v )
  
b r
mv M( v ) 0
  
r b
m 0,02
v v (1000) 5 m / s
M 4
   
  
   
   
2 2 2
b
Cb b
2
Cr r
r
1
mv
E v
m 0,02 1000
2
1
E M v 4 5
Mv
2
 
    
  
 
    
    
 
Cb
Cr
E
200
E

Rpta.: D
352

3. Se utiliza el dispositivo que se muestra en la figura para determinar la rapidez de
impacto vb de una bala de masa m sobre un bloque cúbico homogéneo de lado
L = 12 cm y masa M = 199 m que se encuentra en reposo en el borde de una mesa
de altura h = 94 cm. La bala queda incrustada en el bloque y éste abandona la mesa
con velocidad horizontal cayendo a una distancia d = 50 cm del borde de la mesa.
¿Con qué rapidez impacta la bala en el bloque? Desprecie la fricción entre el bloque
y la mesa. Considere 5 = 2,2; g = 10 m/s2
A) 110 m/s
B) 320 m/s
C) 220 m/s
D) 200 m/s
E) 440 m/s
Solución:
b
mv M(0) (m M)v
  
b
m M
v v 200v
m

 
 
 
 
Del movimiento parabólico:
2
1
H gt
2
 ; d vt
 ;
L
H h 1 m
2
  
Eliminando t:
2 2
2 gd (10)(0,5) 5
v
2H 2(1) 4
   
5
v 1
,1 m / s
2
 
Rapidez de la bala:
b
v 200(1
,1) 220 m / s
 
Rpta.: C
353

4. Una fuerza impulsiva en la dirección del eje x actúa sobre un cuerpo de masa 2 kg de
acuerdo a la gráfica que se muestra en la figura. Indicar la verdad (V) o falsedad (F)
I) El impulso dado al cuerpo es + 72 Ns.
II) La fuerza media impulsiva es aproximadamente 514 N.
III) Si el cuerpo tiene una velocidad inicial de –16 m/s su velocidad final es +20
m/s.
A) FFF B) FVF C) VFV D) VVV E) VVF
Solución:
I) Impulso:
4 14
I (8) 72 Ns
2

 
 
 
 
II) Fuerza media impulsiva:
2
I 72
F 514 N
t 14 10
  
 
III) Teorema del impulso:
0
I mv mv
   72 2v 2( 16)
  
v 20 m / s
 
Rpta.: D
354

5. Un automóvil que se desplaza con rapidez v1 = 16 m/s hacia el Este choca en el punto
O con otro automóvil de igual masa que se desplaza con rapidez v2 = 12 m/s hacia el
Norte. Después de la colisión los automóviles quedan unidos, tal como se muestra en
la figura. ¿Con qué rapidez v y en qué dirección  se mueven los automóviles después
del choque?
A) 12 m/s; 53º
B) 10 m/s; 37º
C) 16 m/s; 30º
D) 20 m/s; 60º
E) 15 m/s; 45º
Solución:
x
m(16) m(0) (2m)v
 
y
m(0) m(12) (2m)v
 
De donde:
x
v 8 m / s
  ; y
v 6 m / s
 
Rapidez:
2 2
v (8) (6) 10 m / s
  
Dirección:
6 3
tan
8 4
    37º
 
Rpta.: B
6. Cuatro esferas homogéneas de masas m1 = 2 2 kg y m2 = m3 = m4 = 1kg están
distribuidas en los vértices de un cuadrado de lado a = 1 m, como se muestra en la
figura. Determine la magnitud de la fuerza gravitatoria resultante sobre la esfera
situada en el origen de coordenadas. (G = 6,6 x 10-11 Nm2/kg2)
A) 13,2 2 x 10-11 N
B) 26,4 2 x 10-11 N
C) 12,5 2 x 10-11 N
D) 11,2 2 x 10-11 N
E) 10,5 2 x 10-11 N
355

Solución:
Sean m1 = 2m 2 y m2 = m3 = m4 = m. La magnitud de la fuerza de atracción
gravitatoria que ejercen las masas m2 y m4 (ver figura) es:
2 11 2
11
2 2
Gm (6,6 10 )(1)
F 6,6 10 N
a (1)



   
La magnitud de la fuerza de atracción gravitatoria de la masa m3 es:
2
1 3
2 2
2
Gm m G(2m 2)m Gm 2
F
2a a
(a 2)
   
F F 2
 
La magnitud de la fuerza de atracción gravitatoria resultante (ver figura) es:
11
G
F 2F 2 13,2 2 10 N

  
Rpta.: A
7. Una nave espacial de masa 100 toneladas, situada en el espacio, lanza un satélite el
cual gira alrededor de la nave en un radio de 66 m. ¿Cuánto tiempo tarda el satélite
en dar una vuelta alrededor de la nave espacial?
(G = 6,6×10–11 Nm2/kg2; 2 = 10)
A) 1,25×106 s B) 1,12×106 s C) 1,22×106 s
D) 1,75×106 s E) 1,32×106 s
Solución:
De la ley de los periodos para órbitas circulares:
2 2
3
T 4
GM
r


2 3 3
2
11 3
4 r 4(10)(66)
T
GM (6,6 10 )(100 10 )


 
 
6
T 1
,32 10 s
 
Rpta.: E
356

09
semana
FISICA

Física
HIDROSTÁTICA
1. Conceptos básicos
1.1. Fluido en reposo
Cualquier sustancia líquida o gaseosa que, en estado de equlibrio, tiene la propiedad de
adoptar la forma del recipiente que lo contiene. El fluido ejerce fuerzas perpendiculares
sobre las paredes del recipiente.
1.2. Presión (P)
Cantidad escalar que indica la magnitud de una fuerza perpendicular que actúa en la
unidad de área (véase la figura).
fuerza perpendicular (magnitud)
P
área

Fcos
P
A











 Pa
Pascal
m
N
:
.
I
.
S
Unidad
2
Si la fuerza es perpendicular a la superficie (véase la figura b)  = 0:
F
P
A

358

1.3. Densidad de masa ()
Cantidad escalar que indica la masa de un objeto material en la unidad de volumen.
masa
volumen
 
m
V
 








3
m
kg
:
.
I
.
S
Unidad
2. Ecuación presión (P) – profundidad (h)
Es una consecuencia de aplicar la primera ley de Newton a un fluido en reposo (véase la
figura).
0
P P gh
  
(Presión absoluta)
P0: presión atmosférica
: densidad del líquido
g: aceleración de la gravedad
(*) OBSERVACIONES:
1. En un recipiente abierto, y a nivel del mar, la presión debido a la fuerza del aire se
llama presión atmosférica y su valor es:
P0 = 105
N/m2
 1 atmósfera  1 atm
2. La diferencia entre la presión absoluta (P) y la presión atmosférica (P0) se define como
presión manométrica (P ):
P  gh

359

3. Medición de la presión
4. Principio de Pascal
La presión adicional aplicada a un fluido en equilibrio se transmite completamente a todos
los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.(Véanse las figuras).
(*) OBSERVACIONES:
1°) En la figura (a), al aplicarse una presión adicional P al émbolo del recipiente esférico
con agujeros, el líquido sale por todos los agujeros con la misma presión adicional P.
Además, cada punto del líquido también experimenta la misma presión adicional.
2°) En la figura (b) al aplicar la presión adicional P en el pistón, después de que el gas
alcanza su estado de equlibrio, se verifica que cualquier punto, como A, B o C
incrementará su presión en la misma cantidad P.
5. Prensa hidráulica
Consiste en dos recipientes interconectados de secciones trasversales diferentes que
contienen el mismo líquido y dos tapas movibles de áreas diferentes llamadas émbolos.
La prensa hidráulica sirve para sostener objetos muy pesados, como se muestra en la
figura.
360

Según el principio de Pascal se cumple:
P1 = P2
1 2
1 2
F F
A A

2
2 1
1
A
F F
A
 
  
 
(*) OBSERVACIÓN:
Como A2  A1, se deduce que F2  F1. Si A2  A1 entonces se tendrá F2   F1. Por tanto,
la prensa hidráulica es una máquina que multiplica la fuerza.
6. Principio de Arquímedes
Todo cuerpo sumergido totalmente o parcialmente en un fluido experimenta una fuerza
vertical hacia arriba hacia arriba de igual magnitud que el peso del volumen del fluido que
desplaza. (Véase la figura).
L L L
E m g gV
  
mL: masa de fluido desplazado
L: densidad del líquido
VL: volumen de fluido desplazado
361

(*) OBSERVACIONES:
1. Si el cuerpo está completamente sumergido:
VL = Vcuerpo
2. Si el cuerpo está parcialmente sumergido:
V´L = (fracción sumergida)Vcuerpo
3. La medida del empuje (véase la figura) se obtiene restando el peso real en el aire y el
peso aparente en un fluido que no sea el aire:
E = W(real) – W´(aparente)
362

7. Tensión superficial ()
Fenómeno de origen molecular que se manifiesta en la superficie libre de un líquido
debido a una fuerza resultante hacia abajo que experimenta cada una de las moléculas de
la superficie del líquido, como muestra la figura.
Experimentalmente para medir la tensión superficial se puede usar un anillo de longitud L
colocándolo sobre la superficie de un líquido, como muestra la figura (a). Para extraer el
anillo lentamente se requiere una fuerza adicional F (medida por el dinamómetro) opuesta
a la fuerza superficial resultante FS que ejerce el líquido sobre el anillo, como muestra la
figura (b).
La tensión superficial se define como la magnitud de la fuerza superficial perpendicular
(FS) por unidad de longitud que ejerce la superficie de un líquido sobre una línea
cualquiera situada en ella. Se expresa por:
fuerza superficial perpendicular (magnitud)
longitud total de acción
 
S
F
L
 
(Unidad SI: N/m)
363

(*) OBSERVACIÓN:
En la figura anterior la longitud total del perímetro del anillo donde actúa la fuerza
superficial del líquido es la suma de las longitudes de la circunferencia interior y exterior
del anillo: L = 2(2r), donde r es el radio medio del anillo.
8. Capilaridad
Fenómeno relacionado con la tensión superficial que se manifiesta por el ascenso o
descenso de un líquido por el interior de un tubo delgado cuando este se sumerge en el
líquido (véanse las figuras).
La altura (h) de la columna de líquido sostenida por la acción capilar está dada por:
2 cos
h
gr
 


: tensión superficial del líquido
: densidad del líquido
r: radio del capilar
: ángulo de contacto (entre la dirección de la fuerza superficial FS y el capilar)
(*) OBSERVACIONES:
1º) El ángulo de contacto () es un indicador de las fuerzas adhesivas líquido/sólido y las
fuerzas cohesivas en el líquido.
2º) El menisco de un líquido es cóncavo cuando la fuerza adhesiva es mayor que la
fuerza cohesiva:  < 90º (el lìquido asciende).
3º) El menisco de un líquido es convexo cuando la fuerza adhesiva es menor que la
fuerza cohesiva:  > 90º (el lìquido desciende).
4º) El ángulo de contacto depende de qué líquido esté en contacto con un sólido.
Por ejemplo, el ángulo de contacto para el agua – vidrio puede ser  = 0º, y el
ángulo de contacto para el mercurio – vidrio puede ser  = 180º.
364

Física
EJERCICIOS
1. La presión que ejercen los fluidos sobre un cuerpo sumergido varía linealmente con la
profundidad. Un buzo de masa 80 kg desciende a 20 m de profundidad en el mar. Indique la
verdad (V) y falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
 
2
3
5
0 /
10
,
3
/
10
,
10 s
m
g
m
kg
Pa
P agua 

 
A) VVF B) VVV C) VFF D) VFV
Solución:
I: Pabs = Patm + ρH2O.g.H
Pabs = 105
Pa + 103
x 10 x 20
Pabs = 3 x 105
Pa
II: Pm = 103
x 10 x 20 = 2 x 105
Pa
III: F
Rpta: A
I: La presión absoluta es el triple de la presión de la presión atmosférica.
II: La presión manométrica es el doble de la presión atmosférica.
II: La presión manométrica es la mitad de la presión atmosférica.
2. Como se muestra en la figura, un pistón cargado confina un fluido de densidad
en un recipiente cerrado. El peso combinado del pistón y la carga es de 200
N, y el área de la sección transversal del pistón es A = 8.0 cm2
. Calcule la
presión total en el punto B si el fluido es mercurio y h= 25 cm.
( .
A) 3,84x105
Pa
B) 2,5x105
Pa
C) 6,4x105
Pa
D) 1,5x105
Pa
365

3. Para el sistema que se muestra el cilindro L de la izquierda tiene una masa de 600
kg y un área de sección transversal de 800 cm2
. El pistón S de la derecha tiene un
área en su sección transversal de 25 cm2
y peso despreciable. Si el dispositivo se
llena con aceite calcule la fuerza F que se requiere para mantener al sistema en
equilibrio. (
A) 28 N
B) 30 N
C) 30, 5 N
D) 31, 5 N
Solución:
Rpta: A
366

Solución:
Rpta:D
4. En un laboratorio de Física se observa un pequeño cuerpo cilíndrico que flota en un
vaso de bohemia. ¿Cuál es la densidad del cuerpo, si flota en el agua de modo que
emerge el 35 % de su volumen?
(
A) 350 kg/m3
B) 650 kg/m3
C) 550 kg/m3
D) 750 kg/m3
Solución:
Nos piden:
Como el cuerpo flota, entonces está en equilibrio mecánico por lo que
………….. (I)
Además: ………………………………………. (II)
Reemplazando II en I
→
5. Un cilindro sólido de aluminio con , tiene una masa medida de 67 g
en el aire y 45 g cuando se sumerge en un líquido. Calcule la densidad del líquido.
A) 103
kg/m3
B) 600 kg/m3
C) 800 kg/m3
D) 500 kg/m3
Solución:
Volumen del solido sumergido:
367

Rpta: A
6. Con respecto a la tensión superficial, indique verdadero (V) o falso (F) en las
I. La tensión superficial es la fuerza neta de cohesión entre las moléculas de la
superficie libre de un líquido.
II. La capilaridad es un fenómeno relacionado con la tensión superficial.
III. La altura a la que asciende o desciende un líquido por acción capilar es
inversamente proporcional al radio del tubo capilar.
A) VVF B) VFV C) VVV D) VFF
Rpta: C
7. Determine la magnitud de la fuerza de tensión superficial que actúa sobre una varilla
maciza de vidrio de diámetro D= 3 cm que flota verticalmente y parcialmente en
agua cuyo coeficiente superficial es .
A) 1 m N B) 7, 065 m N C) 8,5 m N D) 6,2 m N
Solución:
Rpta: B
368

8. Un cardiólogo le reporta a su paciente que una de sus arterias principales de
longitud L = 5 cm se ha estrechado en un 10% del radio normal de la arteria
r1 = 3 mm, como muestra la figura. Asumiendo que el corazón en condiciones
normales bombea 5 litros de sangre por minuto, determine la razón de la diferencia
de presión de la arteria bloqueada (r2) a la diferencia de presión de la arteria normal
(r1). Considere que el caudal de sangre es constante. (= 5 cp; ρ = 1060 kg/m3
;
(10/9)4
= 1.52)
A) 1.52 B) 1.44 C) 1.2 D) 0.66
Solución:
Rpta.: C
1. Se desea cambiar la llanta posterior de un auto cuya masa es de 1500kg. Para ello,
se usa un elevador hidráulico cuyo pistón tiene 20cm de diámetro. Al elevar el auto,
las dos ruedas delanteras quedan apoyadas sobre el piso. Determine
aproximadamente la mínima presión que ejerce el elevador.
Considere π=3; g=10 m/s2
.
A) B) C) D)
Solución:
Nos piden: P
P: presión que ejerce el elevador
F: fuerza que ejerce el elevador
A: área del émbolo
Por definición de presión:
Considerando que el peso del auto se concentra en su punto medio y el piso es liso,
entonces aplicando una de las propiedades del momento de una fuerza, se
determina que la magnitud de la fuerza que ejerce el elevador (F) es 7500N.
El área del émbolo (A)
Reemplazando en:
r2
L = 5
cm
r1
L = 5
cm
369

Rpta: D
2. El manómetro es un instrumento que mide la presión de un fluido. La mayoría de los
manómetros miden la diferencia entre la presión de un fluido y la presión
atmosférica, ¿Qué tan alto subirá el agua por la tubería de un ediﬁcio si el
manómetro que mide la presión del agua indica que ésta es de 270 kPa) al nivel del
piso? (g= 10 m/s2
)
A) 10 m B) 40 m C) 27 m D) 19 m
Solución:
Rpta: C
3. La figura muestra un dispositivo para determinar la presión de un gas ideal en el
recipiente. Si la altura h= 8 cm, determine la presión del gas ideal.
A) 97,6 kPa B) 102,4 kPa C) 95 kPa D) 97,4 kPa
370

Solución:
Nos piden
De la recta Isóbara
Rpta: D
4. La densidad del hielo es de 917 kg/m3
. ¿Qué fracción del volumen de un trozo de
hielo estará sobre la superficie del agua cuando flote en agua dulce?
A) 0,917 B) 0, 64 C) 0,364 D) 0,083
Solución:
Entonces, la fracción de volumen que está sobre la superficie del agua es:
Rpta: D
5. La presión que ejercen los fluidos sobre un cuerpo sumergido, varía linealmente con
la profundidad y la fuerza que se ejerce el fluido sobre un cuerpo sumergido es
llamado Empuje. Un iceberg de densidad ρ = 0,8 g/cm3
flota en el mar con el 80% de
su volumen total. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones
siguientes:
I. El peso de un iceberg (bloque de hielo) es menor que el empuje que ejerce el
agua de mar.
II. La densidad del agua de mar es 103
kg/m3
.
IIl. Si la masa del iceberg se incrementa entonces aumenta el porcentaje del
volumen sumergido.
A) VFF B) VVV C) FVF D) FFV
371

Solución:
I. Por equilibrio: Peso del iceberg = empuje (F)
II.
(V)
III. Si las densidades no varían entonces el volumen sumergido será la misma. (F)
Rpta.: C
6. Un gramo de cobre de densidad 8,3 g/cm3
y un gramo de tantalio de densidad 16,6
g/cm3
están totalmente sumergidos en agua. El empuje hidrostático sobre el tantalio
es al empuje hidrostático sobre el cobre como.
A) 0,5 B) 1,0 C) 1,5 D) 2,0
Solución:
Nos Piden
Por el principio de Arquímedes
Rpta: A
7. Con relación a la capilaridad, indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes
proposiciones:
I. El ascenso del líquido a través de los capilares se debe a que la fuerza de
adhesión entre el líquido y el capilar es mayor a la fuerza de cohesión entre las
moléculas del líquido.
II. El líquido asciende hasta que la fuerza de adhesión se equilibre con el peso del
líquido presente en los capilares.
III. La altura a la que sube el líquido a través de un capilar es proporcional a la
tensión superficial del líquido.
A) VVV B) FVV C) FFV D) VVF
Rpta: A
372

Física
EJERCICIOS
1. Un ladrillo de techo tiene 9 kg de masa y un área cuadrada en la base de 30 cm de
lado por 18 cm de altura. Determine la presión que el ladrillo ejerce sobre el plano
inclinado que se muestra en la figura. (g = 10 m/s2)
A) 200 Pa
B) 500 Pa
C) 600 Pa
D) 1 000 Pa
Solución:
Pa
A
Mg
P 600
)
3
,
0
)(
3
,
0
(
)
5
/
3
)(
10
)(
9
(
53
cos




Rpta.: C
2. La anchoveta de la figura en un instante se encuentra a 2 m de profundidad en el
mar. Determine la presión absoluta que soporta la anchoveta.
(P0=105 Pa, ρagua de mar=1020 kg/m3, g = 10 m/s2)
A) 100 000 Pa
B) 203 000 Pa
C) 200 000 Pa
D) 120 400 Pa
Solución:
P= P0 + (ρagua del mar)(g)(h)= 100 000+(1 020)(10)(2)= 120 400 Pa
Rpta.: D
53º
373

3. La presión en el interior de un fluido en equilibrio es igual al producto de la
aceleración de la gravedad por la densidad del fluido y por la profundidad desde la
superficie del fluido. Dicho de otra manera podemos manifestarlo mediante la
siguiente figura. En el grafico A y B son puntos dentro del agua (ρagua=1 000 kg/m3),
si el líquido que está en la parte superior es aceite de densidad ρaceite= 800 kg/m3.
Determine la diferencia de presiones que existe entre los puntos A y B (PB-PA).
A) 1 200 Pa
B) 1 500 Pa
C) 1 300 Pa
D) 200 Pa
Solución:
………
………..
De en :
PB – PA = 1 300 Pa
Rpta.: C
4. En la prensa hidráulica mostrada en la figura, el embolo circular A tiene una masa de
2,2 kg y el embolo circular B tiene una masa de 10 kg y 10 m2 de área. Sobre el
embolo B se sube un oso de 1590 kg de masa, mientras que en el embolo A se sube
a un roedor de 800 g. Determine el área del embolo A si el sistema está en
equilibrio. (ρaceite=840 kg/m3)
A) 3x10-3 m2
B) 5x10-3 m2
C) 3x10-4 m2
D) 5x10-4 m2
25 cm
15 cm
50 cm
A
B
isóbara x
aceite
agua
agua
25 cm
15 cm
50 cm
A
B
Aceite
A
B
1m
Aceite
Oso
Roedor
374

Solución :
2
3
10
3
10
)
10
(
1600
)
1
)(
10
(
840
)
10
(
3
m
A
A





Rpta.: A
5. Cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el fluido, una
fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene dirección y que es
vertical, siendo su magnitud igual al peso del volumen del fluido que ha sido
desalojado por el cuerpo sumergido. Tal es el caso que se muestra en la figura, al
introducir lentamente el bloque hasta sumergirlo completamente sin tocar el fondo,
se observa que la balanza indica 30 N y el dinamómetro 35 N. Determine la masa
del bloque .
A) 1,5 kg
B) 6,5 kg
C) 3,5 kg
D) 3 kg
Solución:
…….
En :
Rpta.: B
6. Notamos en el gráfico a una esfera de menor densidad que el agua, flotando
completamente sumergido en el agua, sujeta al extremo de una cuerda, y del otro
extremo de la misma se ata a un bloque de 1,5 kg de masa. Si de esta manera se
logra el equilibrio como se muestra, determine el peso de la esfera. El volumen de la
esfera es de . .
A) 4,0 N
B) 5,0 N
C) 10,0 N
D) 2,0 N
balanza
Dinamómetro
375

Solución:
Por condición del problema:
Sobre la esfera:
Rpta.: B
7. Un globo lleno con helio está atado a una cuerda uniforme de 10 m de largo y
0,4 Kg de masa. El globo es esférico con un radio de 0,5 m. Cuando se suelta, se
eleva hasta que la longitud h de la cuerda permita que el sistema se encuentre en
equilibrio, como se muestra en la figura. Determine la magnitud de h, si el globo
tiene una masa de 0,2 Kg.
3 3 2
( 1,2 / ; 0,2 / ; 10 / ; 3)
Aire Helio
Kg m Kg m g m s
  
   
A) 6,0 m
B) 9,5 m
C) 7,5 m
D) 7,0 m
Solución:
De la primera condición de equilibrio, tenemos:
g
T
T
W
E
376

He G C
W W W E
  
He G C Aire S
m g m g m g V g

  
He He G C Aire Globo
V m m V
 
  
3 3 3
4
4 0,5 0,5
3
He Globo
V V R x m

   
0,4
10
He He G Aire Globo
h
V m V
 
  
0,4
0,2 0,5 0,2 1,2 0,5
10
h
x x
  
0,1 0,2 0,04 0,6
h
  
7,5
h m

Rpta.: C
8. La tensión superficial es causada por los efectos de las fuerzas intermoleculares que
existen en la interface. La tensión superficial depende de la naturaleza del líquido,
del medio que lo rodea y de la temperatura. Líquidos cuyas moléculas tengan
fuerzas de atracción intermoleculares fuertes tendrán tensión superficial elevada.
Por ejemplo, una manifestación de la tensión superficial es la tendencia que tienen
ciertos líquidos a la adhesión con la superficie que los contienen, tal es el caso que
se muestra en la figura, determine h, si la separación entre las superficies es
, la tensión superficial es 0,032 N/m y el ángulo de contacto entre la
superficie y el agua es de .
Considerar (g = 10 m/s2
;  = 103
kg/m3
; cos 37/2 = 0,95)
A) 0,42 mm
B) 0,36 mm
C) 0,48 mm
D) 0,28 mm
Solución:
Clave: C
h
agua
377

1. La densidad es una cantidad escalar que relaciona la masa por unidad de volumen
de una sustancia, también depende de otras cantidades físicas como la
temperatura y la presión. De lo mencionado se desea determinar la densidad de un
cuerpo en forma de paralelepípedo de dimensiones 30 cmx5 cmx1 cm, tal como se
muestra en la figura. Considere su peso de 150 N.
2
(g=10 m/s )
A) 3
10 /
Kg m
B) 3 3
10x10 /
Kg m
C) 3
100 /
Kg m
D) 3 3
1x10 /
Kg m
Solución:
m
V
3
15
10000 /
0,3 0,05 0,1
Kg m
x x
Rpta.: B
2. La presión atmosférica a nivel del mar es 5 2
o
p (10 N / m ) y el barómetro de mercurio
marca una altura de 76 cm. Determine la presión atmosférica en cierto lugar de la
sierra donde el barómetro marca una altura de 64 cm.
A) o
0,80p B) o
0,89p C) o
0,84p D) o
0,88p
Solución:
Como la presión es proporcional a la altura de la columna de Hg
o
o o
o o
,
,
p h 64
0,84
p h 76
p 0,84p
  

Rpta.:C
378

3. Una piscina tiene una profundidad de 8m. En la base de la piscina existe un tapón
de resorte que se abre cuando el nivel de agua alcanza una altura de 5m.
Determine la fuerza sobre el tapón si éste tiene una superficie plana de área
100 cm2.
( 2
3 3
H O 10 Kg / m
  , 2
g 10m/s
 , 5 2
o
p 10 N/ m
 ).
A) 1200 N B) 1500N C) 800 N D) 2500 N
Solución:
H2O
o
5 3 2
F pA (p gh)A
F (10 10 x10x5)x10 N
F 1500N

   
 

Rpta.:B
4. El área del pistón mayor en una prensa hidráulica, es 100 veces mayor que el área
del pistón menor. En este contexto, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones, si 1 2
F y F son las fuerzas aplicadas al pistón menor y
mayor respectivamente, cuando existe equilibrio.
I. Se cumple 1 2
F 100F
 .
II. Se cumple 2 1
F 100F
 .
III. Se cumple 1 2
F F
 .
A) VVF B) FFV C) FVF D) VFF
Solución:
Rpta.:C
5. En un recipiente que contiene cierta cantidad de agua se sumerge una esfera de
2 Kg de masa. Si emerge solo el 25% de su volumen. Determine el peso del
volumen de agua desplazado y la densidad de la esfera.
2 3
(g=10 m/s ; =1000 Kg/m )
Agua
A) 3
20 N; 250 Kg/m B) 3
30 N; 250 Kg/m
C) 3
20 N; 350 Kg/m D) 3
20 N; 500 Kg/m
Solución:
Por el principio de Arquímedes y la primera condición de equilibrio, tenemos
g
F E
e
m g E
20 N E
Por el principio de Arquímedes sabemos que la fuerza de empuje tiene igual
magnitud al peso del volumen del fluido desplazado.
Cálculo de la densidad de la esfera.
379


g
F E
25%
e e Agua e
V g V g
3
250 Kg/m
e
Rpta.: A
6. Con respecto al principio de Pascal indique la verdad (V) o falsedad (F) según
corresponda en cada proposición.
I. Se aplica para multiplicar fuerzas.
II. La presión adicional que se ejerce a un fluido incompresible encerrado se
transmite solo a las paredes del recipiente.
III. Cumple para todos los líquidos.
A) VVV B) VFV C) FVV D) FVF
Solución:
I. (V) II. (F) III. (V)
Rpta.: B
7. Cuando un líquido sube por un tubo capilar, es debido a que la fuerza
intermolecular o cohesión intermolecular es menor que la adhesión del líquido con el
material del tubo; es decir, es un líquido que moja. El líquido sigue subiendo hasta
que la tensión superficial es equilibrada por el peso del líquido que llena el tubo. Sin
embargo, cuando la cohesión entre las moléculas de un líquido es más potente que
la adhesión al capilar, como el caso del mercurio, la tensión superficial hace que el
líquido descienda a un nivel inferior y su superficie es convexa ,tal es el caso que se
muestra en la figura que nos muestra un menisco del líquido que es convexo al
ingresar lentamente en el líquido un tubo capilar de vidrio, lo que demuestra la
enorme cohesión predominante en este líquido de mercurio, determine h, si la
tensión superficial es .
Hg
2 3
g
m
(g 10 ; 13,6 )
s cm
  
A) 0,072 mm
B) 0,096 mm
C) 0,048 mm
D) 0,086 mm
14 mm
h
Hg
48 mm
380

Solución:
(El signo negativo demuestra la enorme cohesión del líquido)
Rpta.: B
381

Física
EJERCICIOS
1. Los fluidos al igual que los sólidos ejercen presión, lo cual es evidente sobre los
cuerpos sumergidos a gran profundidad. Se cuenta con una pecera que contiene
agua de mar (ρ = 1,2 g/cm3) y un pez que nada a 1 m del fondo. Si el nivel del agua
es de 2,5 m. ¿Cuál es la presión absoluta que soporta el pez? (g = 10 m/s2)
(Patm =105
Pa)
A) 112 kPa B) 114 kPa C) 116 kPa D) 118 kPa E) 120 kPa
Solución :
kPa
P
P
P
P
P
abs
abs
Atm
h
abs
118
10
)
5
.
1
)(
10
)(
10
(
2
.
1 5
3





Rpta.: D
2. En la figura se muestra un submarino nuclear sumergido a cierta profundidad (H).
Determine la profundidad del submarino, si soporta una de presión absoluta de 500
KPa.
5 3 3
atm agua
(P 10 Pa; ρ =10 Kg/m )
A) 50 m
B) 40 m
C) 20 m
D) 60 m
E) 90 m
Solución:
atm H
P P P
3 3 3
500 10 100 10 10 10
x x x H
500 100 10H
40 m H
Rpta.: B
2,5m
h=1,5m
1 m
382

3. En la figura se muestra una tubería horizontal, en un extremo se tiene un pistón liso
y de masa despreciable; y en el otro extremo una tapa. Además el área del pistón es
3 veces mayor que el área de la tapa. Si se aplica una fuerza horizontal de 100 N de
magnitud sobre el área mayor, determine la magnitud de la fuerza que se ejerce
sobre la tapa.
A) 33 N
B) 50 N
C) 20 N
D) 25 N
E) 40 N
Solución:
Por el Principio de Pascal, tenemos:
/
F F
A a
/
100
4
xa
F
a
/
25 N F
Rpta.: D
4. En la figura se muestra una esfera sólida de cobre (Cu) que tiene un diámetro de 10
cm. Determine la masa de la esfera.
3
Cu
(ρ =8,4 g/cm ; 3)
A) 6,5 Kg
B) 4,5 Kg
C) 4,2 Kg
D) 5,5 Kg
E) 3,5 Kg
Solución:
m
V
m V
3
4 (5)
8,4
3
m x
4200 4,2
m g Kg
Rpta.: C
383

5. Una esfera se suelta desde el fondo de un estanque. Determine el intervalo de
tiempo que tarda en llegar a la superficie libre de agua.
Considere y .
A) 4s
B) 2s
C) 5s
D) 5,2s
E) 6s
Solución:
MRUV: ………….
En :
Rpta.: B
6. El equilibrio hidrostático se produce en un fluido en el que las fuerzas del gradiente
vertical de presión y la gravedad están en equilibrio, en un fluido no hay aceleración
vertical neta, dicho esto se muestra en la figura un tubo en forma de U, se vierten
tres líquidos A, B y C. Si la densidades de A y C son 500 kg/m3
y 300 kg/m3
,
respectivamente, determine la densidad del liquido B.
A) 1500 kg/m3
B) 200 kg/m3
C) 1600 kg/m3
D) 500 kg/m3
E) 1400 kg/m3
Solución:
Sobre una isobara se cumple:
Operando:
Rpta.:C
25cm
5cm
15cm
agua
20m
384

7. Con respecto al principio de Arquímedes mencione la verdad (V) o falsedad (F)
según corresponda en cada proposición.
I. Solo se cumple cuando se sumerge un objeto en un líquido.
II. La dirección de la fuerza de empuje que experimenta un objeto sumergido en un
fluido siempre es vertical y hacia arriba.
III. Solo cumple cuando el objeto está completamente sumergido en un fluido.
IV. La magnitud del empuje depende del peso del objeto sumergido.
A) VVVV B) VVFF C) FFVV D) VFVF E) FVFF
Solución:
I. (F)
II. (V)
III. (F)
IV. (F)
Rpta.: E
8. El sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio. Si un camión se coloca
sobre el émbolo (2), la fuerza vertical 𝐹⃗ debe incrementarse en 100 𝑁 para que el
sistema no pierda el equilibrio. Determine la masa del camión. (𝑔 = 10 m/s2
)
Considere la barra de masa despreciable (los émbolos se encuentran en el mismo
nivel horizontal)
A) 1245 kg B) 925 kg C) 995 kg D) 1125 kg E) 1025 kg
Solución:
kg
m
mg
F 1025
20
)
5
)(
41
(
100
41
.
2
)
5
( 




Rpta.: E
385

1. Un estudiante de la UNMSM desea saber la densidad de un objeto de masa “m”.
Para ello vierte cierto volumen de agua en una probeta (figura 1) y sumerge el objeto
colgado de un dinamómetro de resorte “D” (figura 2). Determine la densidad del
objeto calculado por el estudiante, si el dinamómetro marca 10 N.
2 3 3 3
agua
(g=10 m/s ; 10 L=1 m ; ρ =1000 Kg/m )
A) 3
6000 Kg/m
B) 3
8000 Kg/m
C) 3
1000 Kg/m
D) 3
2000 Kg/m
E) 3
5000 Kg/m
Solución:
g
F E T
B B agua s
V g V g T
agua s
B
B
V g T
V g
Calculo del volumen sumergido
3
4 3
3
1
200 0,2 ( ) 2 10
10
B S
m
V V mL Lx x m
L
Entonces:
3 4
3
4
10 2 10 10 10
6000 /
2 10 10
B
x x x
Kg m
x x
Rpta.: A
386

cuerda
2. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. Si la presión atmosférica se debe al peso de una tremenda masa gaseosa
entonces podemos afirmar que la presión atmosférica en la sierra es mayor que
en la costa.
II. Una burbuja de aire, al emerger en un líquido aumenta su volumen, porque va
aumentando la presión.
III. Sabemos que la presión debido a un cuerpo solido no es la misma que la de un
líquido debido a que estos presentan propiedades distintas entonces podemos
afirmar correctamente que la presión que ejerce el peso de un ladrillo sobre el
área de apoyo es independiente de cual sea dicha área.
A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV E) FFF
Solución:
FFF
Rpta.: E
3. La presión ejercida sobre un fluido incompresible y en equilibrio dentro de un
recipiente de paredes indeformables se transmite con igual intensidad en todas las
direcciones y en todos los puntos del fluido. Ahora bien, se muestra en la figura una
porción de un dispositivo que contiene un líquido y un gas. Si este último, al ser
calentado, el manómetro registra un incremento de 30 Pa, determine en cuanto
varia la tensión en la cuerda. Considere que las áreas de los émbolos son A1 = 20
cm2
y A2 = 30 cm2
.
A) 0,3 N
B) 0,03 N
C) 0,9 N
D) 0,09 N
E) 0,18 N
Solución:
Por el principio de Pascal se cumple:
Rpta.: D
A2
A1
387

4. El fenómeno de flotación, consiste en la perdida aparente de peso de los objetos
sumergidos o parcialmente sumergidos en un líquido. La figura muestra a un bloque
cubico de de arista que se mantiene en la posición mostrada indicando el
dinamómetro . Luego se hace descender al bloque lentamente hasta sumergirlo
totalmente en el agua y sin tocar el fondo; determine el peso del líquido que se
desaloja y la nueva lectura del dinamómetro. ( ).
A) 10 N; 5N
B) 10N; 20 N
C) 20 N; 25N
D) 10 N; 30 N
E) 20 N; 15N
Solución:
Por el P. de Arquímedes se cumple: ; como el
En cuanto a la nueva lectura del dinamómetro (peso aparente):
Rpta.: B
5. El principio de Arquímedes es útil para determinar el volumen y por consiguiente
la densidad de un objeto regular y también irregular, veamos ahora el caso de una
barra homogénea que se mantiene en reposo, tal como se muestra en la figura. Si el
empuje sobre el bloque de es la cuarta parte de su fuerza de gravedad,
determine la masa de la barra, considerando que y es el punto
medio de esta.
A) 1 kg
B) 2 kg
C) 3 kg
D) 4 kg
E) 5 kg
Solución:
De la figura notamos que respecto a la articulación se cumple por equilibrio:
…….
Donde : fuerza de empuje sobre la barra:
dinamómetro
agua
388

Por equilibrio sobre el bloque se cumple: Si
como
En :
Operando:
Rpta.: C
389

Física
EJERCICIOS
1. Muchos pisos de vinílico tienen hendiduras debido a la presión ejercida por los tacos
del zapato las damas. En este contexto, una señorita tiene una masa de 60 kg y el
área de la punta de sus tacos es de 2
1cm , determine la inmensa presión que ejerce
el taco en el piso cuando está de pie.
(g=10m/s2)
A)  6
3 10 Pa B)  6
5 10 Pa C)  6
7 10 Pa
D)  6
8 10 Pam E)  6
1 10 Pa
Solución:





6
4
6
mg
W/2 60 10
P= = = =3 10 Pa
A 2A 2 10
p=3 10 Pa
Rpta.: A
2. La presión atmosférica a nivel del mar se mide normalmente con un barómetro de
mercurio, el cual alcanza una altura de 76 cm. Si en lugar de mercurio se utilizara
agua, ¿cuál sería la altura que alcanzaría el agua en el barómetro?
( 3 3
agua merc.
ρ =1g/cm , ρ =13,6g/cm )
A) 1233 cm B) 76 cm C) 1033,6 cm
D) 1020,8 cm E) 106 cm
Solución:
agua mercu.
agua agua mercu mercu.
mercu
agua mercu.
agua
agua
P =P
ρ gh =ρ gh
ρ 13,6
h =( )
h =( )
76cm
ρ 1
h =1033,6cm
Rpta.: C
390

3. En el fondo de una piscina existe un tapón abierto de resorte (el área del tapón es
de 2
100 cm ), el cual tiene una elongación de x = 10 cm cuando la piscina está vacía
(figura). Si la constante el resorte es 
k=2 10 N/m
4
, determine la altura del agua que
se alcanza cuando la piscina se llena y el tapón se cierra
( 3 3 5 2 2
agua o
ρ =10 kg/m , p =10 N/m , g=10m/s )
A) 20 m B) 10 m C) 50 m D) 30 m E) 40 m
Solución:



 


o
o
4 1
5
3 2
Cuando el tapón se cierra
F=k x
pA=kx
kx
p= ( )
A
p=p +ρgh ( )
De(1)
y(2)
1 kx
h= ( p )
ρg A
1 2 10 10
h= ( 10 )
m
10 10 10
h=10m
1
2
Rpta.: B
391

4. Un elevador de autos en una estación de servicio es esencialmente una prensa
hidráulica de Pascal. Se desea elevar un auto que tiene un peso de 15000 N. Si el
radio del pistón menor es de 5 cm y el radio del pistón mayor es de 25 cm, determine
la magnitud de la fuerza mínima que debe aplicarse al pistón menor.
A) 600N B) 1000N C) 500N D) 300N E) 400N
Solución:
Teniendo en cuenta la ecuación de la prensa hidráulica de Pascal, tenemos:

1 2
1 2
2
1 1
1 2 2
2 2
2
1
1
F F
=
A A
A R
F = F =( )
F
A R
5
F =( ) 15000N
25
F =600N
Rpta.: A
5. Un globo inflado se encuentra sumergido y sostiene un bloque en equilibrio, tal como
muestra la figura. Si la masa del bloque es de 5 kg, determine el volumen del globo
inflado. (Se desprecia el peso del globo).
( 3 3
bloque agua
ρ =5g/cm , ρ =1g/cm )
A) 6000 cm3
B) 1000 cm3
C) 500 cm3
D) 3000 cm3
E) 4000 cm3
Solución:
g
C
g C
g C
T=E (1)
T+E =W (2)
De(1)
y(2)
E +E =mg
ρV g+ρ V g=mg (3)
392

 

C agua 3 3
g C
agua
3
g
De donde
ρ ρ 5 1
V =( )
V =( )10 cm
ρ 1
V =4000 cm
Rpta.: E
6. Para medir el coeficiente de tensión superficial γ de un líquido, se mide la fuerza
necesaria para levantar un aro de la superficie del líquido (figura). Determine la
fuerza mínima que es necesaria aplicar para levantar un aro de 4 cm de radio de una
superficie jabonosa donde la tensión superficial es γ= 0,025 N/m (a temperatura
ambiente).
A) π 3
10 10 N


B) π 3
7 10 N


C) π 3
4 10 N


D) π 3
8 10 N


E) π 3
32 10 N


Solución:
(debido que hay dos superficies)
 

   

2 3
3
F
γ=
2L
F=2γL=4 R γ
F=4 R γ=4 4 10 25 10 N
F=4 10 N
π
π π
π
Rpta.: C
7. Los elementos nutrientes de una planta ascienden a través de capilares
denominados xilemas. Un capilar tiene un radio de 0,1 mm, determine la altura que
se elevará el agua por capilaridad suponiendo que el ángulo de contacto es o
θ=0 .
( 3 3 3
agua agua
73 10 N/ m, 10 kg / m

     )
A) 34,6 cm B) 15,6 cm C) 22,5 cm D) 10,5 cm E) 14,6 cm
393

Solución:
4 o 3 3 3 2
agua agua
3 o
3 4
3
r 0,1mm 1 10 m, 0 , 73 10 N / m, 10 kg / m g 10m / s
De la ecuación
2 cos 2 73 10 cos0
h m
gr 10 10 10
h 146 10 m 14,6 cm
 



          
    
 
  
  
Rpta.: E
1. Un alambre de cobre tiene forma de aro de radio 5 cm. Si la sección transversal del
alambre tiene un radio de 3mm, determine el peso del alambre.
(  3 3 2 2
Cu
ρ =9 10 kg/m , g=10m/s , ≈10
π )
A) 
 2
60 10 N B) 
 2
81 10 N C) 
 2
111 10 N
D) 
 2
91 10 Nm E) 
 2
80 10 N
Solución:
 

 
    

    
Cu
2 2 2
2 6 3
6 3
3 6 2
W=mg=ρ Vg (1)
V=(2 R(
) r )=2 Rr
V=2 10 5 10 9 10 m
V=9 10 m
En(1)
W=9 10 9 10 10=81 10 N
π π π
Rpta.: B
I) Los líquidos no pueden soportar fuerzas tangenciales o cortantes.
II) Los líquidos son fácilmente comprimibles.
III) Los líquidos en reposo transmiten íntegramente cualquier fuerza ejercida en su
superficie.
A) VFF B) VVF C) FVF D) FFV E) VVV
Solución:
I) V
II) F
III) F
Rpta.: A
394

3. En cierto pueblo de los andes el barómetro muestra una altura de 70 cm en la
columna de mercurio, determine la presión atmosférica en dicho pueblo. La presión
atmosférica al nivel del mar es 0
5 2
p =10 N/m o equivalente a 76 cm de mercurio.
A)  5 2
0,80 10 N/m B  5 2
0,70 10 N/m C)  5 2
0,65 10 N/m
D)  5 2
0,92 10 N/m E)  5 2
0,57 10 N/m
Solución:
(1)
(2)


Hg
o Hg o
5 2
o
o
5 2
Presión en pueblo
p=ρ gh
Presión a nivel del mar
p =ρ gh
h 70
p=( )
p =( )10 N/m
h 76
p=0,92 10 N/m
Rpta.: D
4. Un tubo de vidrio en forma de U contiene inicialmente mercurio. Por una rama del
tubo se vierte agua; determine la altura de agua h (figura) para que la columna de
mercurio en la otra rama se eleve 5 cm.
A) 13 cm
B) 50 cm
C) 136 cm
D) 156 cm
E) 120 cm
Solución:
2
2
o Hg o H O
Hf
H O
Las presiones en los puntos A y B deben ser iguales
p +ρ gH=p +ρ gh
ρ 13,6
h=( )
H=( )
10cm
ρ 1
h=136cm
Rpta.: C
395

5. Un automóvil pesa 12000 N y se desea cambiar una llanta, para lo cual se usa una
gata hidráulica. Si el diámetro el embolo menor de la gata es de 3 cm y del émbolo
mayor de 12 cm, determine la fuerza mínima que se debe aplicar al émbolo menor
para levantar una llanta del auto.
A) 187,5 N B) 89,5 N C) 250,5N D) 70 N E) 65 N
Solución:

1 2
1 2
2
1 1
1 2 2
2 2
2
1
1
De la ecuación
F F
=
A A
A d
F =( )F =( )
F
A d
3
F =( ) 3000N
12
F =187,5N
Rpta.: A
6. Un cubo de madera flota en agua. Determine el porcentaje del volumen que se
encuentra sumergido.
( 3 3
mad agua
ρ =0,8g/cm , ρ =1g/cm )
A) 10% B) 89% C) 80% D) 70% E) 50%
Solución:
agua S m
S m
agua
S
E=mg
ρ V g =ρ Vg
V ρ 0,8
= = =0,8
V ρ 1
V
80%
V
Rpta.: C
7. Determine la altura que ascenderá una columna de agua por un capilar de vidrio de
2 mm de diámetro a temperatura ambiente. Considere el ángulo de contacto entre el
agua y el vidrio o
θ=0 . ( 3
agua
γ=0,073N/m, ρ =1g/cm )
A) 14,6% B) 89% C) 80% D) 70% E) 50%
396

Solución:



  

 

3 o
3 3
4
De la ecuación
2γcosθ 2 73 10 cos0
h=
ρgr 10 10 10
h=146 10 m=14,6cm
Rpta.: A
I) El coeficiente de tensión superficial depende de la temperatura.
II) El fenómeno de capilaridad se observa fundamentalmente en tubos de muy
pequeño diámetro.
III) Todos los líquidos tienen tensión superficial.
A) VFF B) VVV C) FVF D) FFV E) VVF
Solución:
I) V
II) V
III) V
Rpta.: B
397

10
semana
FISICA

Física
HIDRODINÁMICA Y CALOR
1. Fluido ideal en movimiento
Un fluido se llama ideal cuando cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme
llamada línea de corriente (véase la figura). Tiene las siguientes características:
1.1. Fluido uniforme
Su densidad es constante para todos los elementos de volumen de fluido.
1.2. Fluido incompresible
Los elementos de volumen de fluido no cambian mientras fluye.
1.3. Fluido no viscoso
Se desprecia el rozamiento interno en el fluido.
1.4. Fluido no turbulento
Los elementos de volumen de fluido no tienen velocidad angular.
2. Flujo de un fluido o caudal (Q)
Indica el volumen (V) de un fluido que se transporta durante un intervalo de tiempo (t). Se
expresa por:
volumen de fluido
Q
intervalo de tiempo

V
Q
t

(Unidad SI: m3
/s)
(*) OBSERVACIÓN:
Si el fluido se transporta por un tubo, el caudal se puede expresar por:
Q Av

399

A: área de la sección transversal del tubo
v: rapidez media del fluido
3. Ecuación de continuidad
Para un fluido ideal que se transporta por un tubo (véase la figura) la conservación de la
masa requiere:
1 1 2 2
A v A v constante
 
A1; A2: áreas de las secciones transversales del tubo
v1; v2; rapidez del fluido a través de A1 y A2 respectivamente
(*) OBSERVACIÓN:
La rapidez de un fluido es mayor a través del área transversal menor A2 que a través del
área transversal mayor A1. Es decir, v2 > v1.
4. Ecuación de Bernoulli
Es una consecuencia de la ley de conservación de la energía aplicada a un fluido ideal de
densidad constante () que se transporta a través de un tubo (ver figura). Se expresa por:
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
P v gh P v gh constante
2 2
          .
P1: presión del fluido a la altura h1
P2: presión del fluido a la altura h2
v1: rapidez del fluido a la altura h1
v2: rapidez del fluido a la altura h2
400

(*) OBSERVACIONES:
1º) Un fluido fluye por una tubería debido a una diferencia de presiones (P1 – P2) entre
dos puntos de la tubería, siendo P1 > P2, como se indica en la figura anterior.
2º) Cuando un tanque, que está abierto a la atmósfera en su parte superior, contiene un
líquido y tiene una abertura a una distancia h debajo del nivel líquido (véase la figura) se
deduce (aplicando la ecuación de Bernoulli) que su rapidez v de salida por la abertura
está dado por:
v 2gh

(Teorema de Torricelli)
5. Viscosidad ()
Es la resistencia interna al movimiento de un fluido, debido a la fricción entre capas
adyacentes de fluido.
401

Considere el volumen de fluido de espesor L que se muestra en la figura (a). Al aplicar
una fuerza tangencial o cortante (F) sobre la superficie de área A, las capas de fluido se
moverán unas con respecto a otras con velocidades relativas diferentes (v) hasta anularse
(v = 0) debido a la fricción entre ellas, como muestra la figura (b). Entonces la viscosidad
se define por:
esfuerzo cor tante
rapidez de deformación
 
F / A
v / L
 
(Unidad SI: Pa.s = Poiseuille  PI)
(*) OBSERVACIÓN:
A veces, por razones de simplicidad, se usa la unidad centipoise  cP.
1 cP  10-3
PI
Para el agua:
 = 1 cP
6. Ley de Poiseuille
Cuando un fluido se transporta a través de un tubo, hay una fricción entre el líquido y las
paredes del tubo, siendo la rapidez del fluido (v) mayor hacia el centro del tubo (ver
figura).
El flujo de un fluido (Q) es directamente proporcional a la diferencia de presiones (P1 – P2)
entre los extremos del tubo y a la cuarta potencia del radio r del tubo, e inversamente
proporcional a la viscosidad  del fluido y a la longitud L del tubo:
4
1 2
r (P P )
Q
8 L
 


(Unidad SI: m3
/s)
(*) OBSERVACIÓN:
Un fluido viscoso con movimiento lento y descrito por capas se dice que está en régimen
laminar. Su perfil se representa tal como se muestra en la figura. Por el contrario, un fluido
viscoso con movimiento rápido y con velocidad angular se dice que está en régimen
turbulento.
402

7. Conceptos básicos de la calorimetría
7.1. Calor
Forma de energía que se transmite debido a una diferencia de temperatura entre dos
cuerpos.
7.2. Temperatura
Propiedad de un objeto la cual indica qué tan caliente o qué tan frío está respecto a un
patrón de referencia establecido.
7.3. Equilibrio térmico
Estado final que alcanza un sistema a una temperatura común con el entorno próximo.
7.4. Ley cero de la termodinámica
Indica que los sistemas naturales tienden hacia el equilibrio térmico con el medio que lo
rodea.
8. Escalas de temperatura
(*) OBSERVACIÓN:
Equivalencia entre los grados:
1 C  1,8 F; 1 K  1,8 F; 1 C  1 K
403

9. Relaciones de conversión de temperaturas
Respecto al punto de congelación del agua (véase la figura anterior):
C F K
T T 32 T 273
5 9 5
 
 
Respecto a cualquier punto de referencia:
C F K
T T T
5 9 5
  
 
TC, TF, TK: intervalos de temperatura en las escalas Celsius, Fahrenheit y Kelvin
respectivamente
10. Cantidad de calor (Q)
La ecuación que determina la cantidad de calor absorbida o liberada (Q) por una
sustancia para aumentar o disminuir su temperatura está dada por:
Q = m c T
(Unidad S.I.: Joule  J)
m: masa de la sustancia
c: calor específico de la sustancia
T ≡ Tfinal – Tinicial: cambio de temperatura
(*) OBSERVACIONES:
1º) El calor específico es la cantidad de calor que absorbe la unidad de masa de una
sustancia para aumentar su temperatura en un grado. Por ejemplo, para el agua y el hielo:
cagua = 1
cal
g C

= 1
kcal
kg C

chielo = 0,5
cal
g C

= 0,5
kcal
kg C

2º) Si Q > 0, el sistema absorbe o gana calor y si Q < 0, el sistema libera o pierde calor.
3º) La unidad clásica del calor se llama caloría  cal. Se define como la cantidad de calor
necesaria para elevar la temperatura de 1 g de agua en 1 C. Y si la masa es de 1 kg la
cantidad de calor necesaria es:
1 kilocaloría  1 kcal = 1000 cal
404

4º) El equivalente mecánico del calor es el factor de conversión que permite transformar
unidades de energía calorífica en unidades de energía mecánica o viceversa:
1 cal ≡ 4,18 J ó 1 J ≡ 0,24 cal
11. Capacidad calorífica (C)
Indica la cantidad de calor absorbido por un cuerpo en un intervalo de temperatura. Se
expresa por:
cantidad de calor absorbido
C
intervalo de temperatura

Q
C mc
T

 

(Unidad: J/K o cal/ºC)
c: calor específico del cuerpo
m: masa del cuerpo
12. Calor latente (L)
Cantidad de calor mínima que debe suministrarse o sustraerse a la unidad de masa de
una sustancia para que cambie de fase a una misma temperatura. Se expresa por:
cantidad de calor
L
masa

Q
L
m


(J/kg o kcal/kg)
(*) OBSERVACIONES:
1º) Durante un cambio de fase una sustancia puede absorber o liberar calor sin cambiar
su temperatura. En este caso la cantidad de calor se determina por:
Q mL
 
2º) Para el agua, los valores de L que se verifican empíricamente en las transiciones de
fase son los que se muestran en las figuras.
405

Lfusión = Lsolidificación = 80
kcal
kg
Lvaporización = Lcondensación = 540
kcal
kg
13. Principio de la calorimetría
Es la formulación del principio de conservación de la energía en términos del concepto de
calor. Dentro de un recipiente térmicamente aislado se verifica lo siguiente:
En una mezcla de dos o más sustancias, la cantidad de calor ganado por una o varias de
ellas es igual a la cantidad de calor perdido por las restantes.
cantidad de calor ganado = – cantidad de calor perdido
406

Física
EJERCICIOS
1. La calorimetría mide los cambios en las variables de estado de un cuerpo con el
propósito de conocer la transferencia de calor. En este contexto, dentro de un
recipiente se tiene 100 g de agua a 20 °C y se le suministra 3000 cal de calor.
Determine la temperatura final del agua.
A) 50 °C B) 30 °C C) 10 °C D) 60 °C
1
agua
e
cal
c
g C
 

 

 
407
Solución:
Rpta.: A
2. Durante la madrugada de invierno la temperatura en la región andina del Perú bajó
de 18 °C hasta -2 °C. Determine en cuanto varió la temperatura en grados
Fahrenheit.
A) 36 °F B) -20 °F C) -36 °F D) 20 °F
0
 m C T
(  )
3000 100(1)( 20) 50
e F
F F
Q T
T T C
   

408
Solución:
Rpta.: C
3. Durante el cambio de estado o fase un cuerpo no varía su temperatura. En ese
contexto, se tiene 20 g de H2O a -5°C; determine el calor necesario que se le debe
suministrar para que alcance la temperatura de 105°C.
A) 7250 cal B) 2200 cal C) 3800 cal D) 14500 cal
Solución:
El agua a -5°C se encuentra en el estado sólido y a 105°C en el estado gaseoso:
Rpta.: D
5 0 0100 100105
20(0,5)(0 5) 20(80)  20(1)(100 0)  20(540)  20(0,5)(105100)
14500
neto SL LG
neto
neto
Q Q Q Q Q Q
Q
Q cal
 
    
  

 
2
H O
e
C cal
1 / g
 C
5 9
F
    36
F F
5 9
F
C

2 18 

4. Durante el verano algunas fábricas artesanales de helados incrementan su
producción para cubrir la demanda y necesitan hielo para mantenerlos en buen
estado. En ese contexto, una fábrica artesanal necesita 2 kg de hielo a -2 °C;
determine el calor que debe el agua si la temperatura inicial fue 20 °C.
A) –200 kcal B) –42 kcal C) –202 kcal D) 101 kcal
Solución:
La crema de helado a 20 °C se encuentra en el estado líquido y a -2 °C en el estado
sólido:
Rpta: C
5. En las alturas de nuestro país se quiere preparar una gran cantidad de gelatina para
un evento masivo, para ello se ha colocado 10 kg de agua a 9 °C. Determine la
cantidad de masa de agua hirviendo que se debe agregar a un recipiente para que la
temperatura final de la mezcla sea 30 °C.
(No se considere la energía absorbida por el recipiente y Cesp.agua = 1 cal/g°C)
A) 4 kg B) 5 kg C) 3,5 kg D) 3 kg
Solución:
. . . .
.
.
0
0
10(1)(30 9) (1)(100 30) 0
3
ganado perdido
agua esp agua agua agua hirviendo esp agua agua hirviendo
agua hirviendo
agua hirviendo
Q Q
m C T m C T
m
m kg
 
   
   
 
Rpta: D
 
2 2 2
( ) ( )
1 / , 0,5 / , 80 /
H O Líquido H O Sólido H O
e e L S
C cal g C C cal g C L cal g

    
20 0 0 2
2000(1)(0 20) 2000(80) 2000(0,5)( 2 0)
202000
202
neto L S
neto
neto
neto
Q Q Q Q
Q
Q cal
Q kcal
  
  
     
 
 
409

. . . .
.
.
0
0
( ) ( ) 0
150* (40 20) 300*1*(40 80) 0
4
ganado perdido
fluido agua
fluido fluido agua agua
fluido esp eq o agua esp eq o
fluido
esp
fluido
esp
Q Q
Q Q
m C T T m C T T
C
cal
C
g C
 
 
   
   
 

 
6. Con respecto al calor latente de cambio de fase, indicar la verdad (V) o falsedad (F)
de las siguientes afirmaciones:
I. Los calores latentes de fusión y vaporización de cada sustancia tienen distintas
magnitudes.
II. Durante el cambio de estado de una sustancia la temperatura permanece
constante.
III. En el agua la temperatura de vaporización depende de la presión del medio
ambiente.
A) FVV B) VVF C) VVV D) VFV
Solución:
I) V
II) V
III) V
Rpta.: C
7. En una fábrica de aceite se desea conocer la propiedad térmica de un fluido líquido
de origen vegetal. En ese contexto, un recipiente térmicamente aislado contiene 150
g del fluido de origen vegetal a la temperatura de 20 °C, luego se vierte 300 g de
agua a la temperatura de 80°C. Si la temperatura de equilibrio de la mezcla es 40°C;
determine el calor específico del fluido de origen vegetal. No considere el
intercambio de calor con el recipiente y el exterior.
. 1
agua
esp
cal
C
g C
 

 

 
A) 4
cal
g C

B) 0,25
cal
g C

C) 8
cal
g C

D) 2
cal
g C

Solución:
 Por conservación del calor:
Rpta.: A
410

(1) (2) (3)
0
0
(0,5)(0 20) (80) (1)(20 0) 550(1)(80 20) 0
110 33000 0 300
ganado perdido
hielo hielo hielo agua
Q Q
Q Q Q Q
m m m
m m g
 
   
       
   
 
8. Durante un día de verano se vierte en un recipiente 550 g de agua a 80 ºC y hielo a
-20 ºC. Determine la masa de hielo que se debe mezclar para que la temperatura de
equilibrio sea 20 °C. (Considerar que el intercambio de calor se da únicamente entre
el agua y el hielo)
A) 600 g B) 200 g C) 300 g D) 400 g
Solución:
El hielo debe ganar calor para aumentar su temperatura hasta 0°C, luego cambiar de
fase y finalmente llegar hasta 20 °C
El agua desciende su temperatura hasta 20 °C
Rpta: C
1. Determine el calor necesario para que 3 kg de agua eleve su temperatura de 15 °C
hasta 85 °C.
A) 210 kcal B) 420 kcal C) 21 kcal D) 210 cal
Solución:
Rpta: A
. .
1 , 0,5 , 80 /
agua hielo
esp esp S L
cal cal
C C L cal g
g C g C

 
  
 
 
 
. .
1 , 0,5 , 80 /
agua hielo
esp esp S L
cal cal
C C L cal g
g C g C

 
  
 
 
 
0
( )
3000(1)(85 15)
210000 210
e F
Q m C T T
Q
Q cal Q kcal
 
 
  
411

10 0 0 50 90 50
0
0
(0,5)(0 10) (80) (1)(50 0) 405(1)(50 90) 0
135 16200 120
ganado perdido
S L
Q Q
Q Q Q Q
m m m
m m g
    
 
   
       
  
 
2. Un recipiente de peso despreciable contiene 405 g de agua a la temperatura de
90 °C. Determine cuantos gramos de hielo a la temperatura -10 °C se debe dejar
caer dentro del recipiente para que la temperatura de equilibrio térmico sea 50 °C.
A) 240 g B) 80 g C) 120 g D) 60 g
Solución:
 El hielo debe aumentar su temperatura de -10 °C hasta 0 °C, luego cambiar de
fase y finalmente aumentar su temperatura de 0 °C hasta 50 °C.
 El agua líquida solo disminuye su temperatura de 90 °C hasta 50 °C
Rpta: C
3. Cuando las sustancias con diferentes temperaturas son mezcladas intercambian
calor hasta que alcanzan el equilibrio térmico. En este contexto, dos sustancias
líquidas miscibles A y B con masas m y 2m, respectivamente, son mezclados en un
recipiente. Si la temperatura inicial de A es 70°C y de B 10°C; determine la
temperatura cuando alcanzan el equilibrio térmico.
A) 25 °C B) 40 °C C) 20 °C D) 30 °C
Solución:
Por la conservación del calor:
Rpta: A
. .
1 , 0,5 , 80 /
agua hielo
esp esp S L
cal cal
C C L cal g
g C g C

 
  
 
 
 
 
2 / , 3 /
A B
e e
C cal g C C cal g C
   
0
( ) ( ) 0
(2)( 70) 2 (3)( 10) 0
2 140 6 60 0
8 200
25
ganado perdido
A B
A e F oA B e F oB
F F
F F
F
F
Q Q
m C T T m C T T
m T m T
T T
T
T C
 
   
   
   

 
 
412

300 100 (120 20)
0,03 /
e
e
e
Q mC T
C
C cal g C
 
 
  
800 300 100
5 /
Q mL
L
L cal g

 

4. Durante los cambios de estado la temperatura permanece constante. En ese
sentido, la gráfica muestra el resultado experimental de la temperatura vs la energía
calorífica suministrada a una sustancia líquida de 100 g de masa. Determine el calor
específico y calor latente (L->G) del líquido, respectivamente.
A) 0,01 cal/g °C, 6 cal/g
B) 0,03 cal/g °C, 5 cal/g
C) 0,02 cal/g °C, 4 cal/g
D) 5 cal/g °C, 0,03 cal/g
Solución:
Según la gráfica la sustancia es líquida entre 20 °C y 320°C
El cambio de estado (líquido -> gas) ocurre a 320 °C
Rpta.: B
5. En un laboratorio se investiga las propiedades térmicas de una mezcla láctea. En
ese contexto, un recipiente térmicamente aislado contiene 300 g de mezcla láctea a
la temperatura de 15 °C, luego se vierte 200 g de agua a la temperatura de 90°C. Si
la temperatura de equilibrio de la mezcla láctea - agua es 60°C; determine el calor
específico de la mezcla láctea. No considere el intercambio de calor con el recipiente
y el exterior.
A) 8
cal
g C

B) 0,6
cal
g C

C) 0,44
cal
g C

D) 1,6
cal
g C

. 1
agua
esp
cal
C
g C
 

 

 
413

. . . .
3 3
. . . .
. . .
0
0
( ) ( ) 0 .
.(2 ) ( 10) .( ) ( 100) 0
8( 10) 100 0 20
ganado perdido
A B
A B
A esp eq o B esp eq o
esp eq esp eq
eq eq eq
Q Q
Q Q
m C T T m C T T m Vol
L C T L C T
T T T C

 
 
 
     
   
      
 
.
. .
. . . . .
.
.
.
.
0
0
( ) ( ) 0
300* (60 15) 200*1*(60 90) 0
0,44
ganado perdido
mezcla lact agua
mezcla lact mezcla lact agua agua
mezcla lact esp eq o agua esp eq o
mezcla lact
esp
mezcla lact
esp
Q Q
Q Q
m C T T m C T T
C
cal
C
g C
 
 
   
   
 

 
Solución:
o Conservación del calor:
Rpta: C
6. Dos cubos A y B del mismo material se ponen en contacto, el cubo A con 10 ºC de
temperatura y arista 2L mientras que el cubo B con 100 ºC y arista L. Determine la
temperatura de equilibrio.
A) 30 ºC B) 20 ºC C) 10 ºC D) 40 ºC
Solución:
Los cubos A y B son del mismo material por tanto ambos tienen igual densidad y
calor específico.
o Por conservación del calor:
Rpta: B
7. En el laboratorio de calorimetria se emplea un conducto por donde ingresa 60 g de
vapor de agua a 110 °C hacia un recipiente termicamente aislado que contiene agua
a 60 °C; determine la masa de agua necesaria para que la temperatura de equilibrio
sea 90 °C.
A) 2,22 kg B) 11,1 kg C) 1,11 kg D) 0,11 kg
. .
1 , 0,5 , 540 /
agua vapor
esp esp Vapor Liq
cal cal
C C L cal g
g C g C

 
  
 
 
 
414

(1) (2) (3)
*
0
0
(1)(90 60) 60(0,5)(100 110) 60( 540) 60(90 100) 0
30 333000 0 1110 1,11
ganado perdido
agua vapor vapor liq vapor
Q Q
Q Q Q Q
m
m m g m kg

 
   
       
     
 
Solución:
El vapor de agua debe perder calor hasta llegar a los 100 °C, luego cambiar de fase
y finalmente descender hasta 90 °C
El agua incrementa su temperatura hasta 90 °C
Rpta: C
415

Física
EJERCICIOS
1. A lo largo de una tubería en posición horizontal con una sección transversal de
fluye una corriente de agua con rapidez de 5 . Si la superficie transversal
del tubo se incrementa a 5 . Determine la rapidez de la corriente de agua en ese
punto.
A) 2 m/s B) 3 m/s C) 4 m/s D) 5 m/s
Solución:
Rpta.: C
2. En los seres humanos, la sangre fluye desde el corazón hacia la aorta, desde donde
pasa hacia las grandes arterias. Estas se ramifican en arterias pequeñas (arteriolas),
que a su vez se ramifican en miríadas de delgados capilares, como se indica en la
figura La sangre regresa al corazón a través de las venas. El radio de la aorta es de
aproximadamente 1.2 cm, y la sangre que pasa a través de ella tiene una rapidez
cercana a 40 cm/s. Un capilar típico tiene un radio aproximado de y la
.Estime el
sangre fluye a través de él con una rapidez aproximada de
número de capilares que hay en el cuerpo
A) 7x109
B) 4 x 109
C) 5x109 D) 1 x 109
416

Sea el área de la aorta y el área de todos los capilares a través de los que
fluye la sangre. Entonces , donde es el radio
promedio estimado de un capilar. A partir de la ecuación de continuidad se tiene:
Operando:
Rpta.:A
3. En la figura se muestra un tubo horizontal de sección transversal A = 40 cm2 y de
sección transversal más pequeña a = 10 cm2. Entre los tubos se coloca un tubo en
forma de “U” que contiene mercurio. y se observa una diferencia de altura h entre las
columnas. El caudal en la tubería es de 6x10-3 m3/s. ¿Cuánto mide la diferencia de
alturas h? (ρHg = 13,6x103 kg/m3, g = 10 m/s)
A) 12,4 cm
B) 24,1cm
C) 15,75 cm
D) 10,27 cm
Solución:
pA – pa = ρHggh . . . . . . . . . . . . . . . (1)
h
A
a
A
Solucion:
417

De la ecuación de Benoulli y de Av1 = av2, se deduce que
pA – pa = (ρv1
2/2)[ (A/a)2 - 1)] y poniendo los datos de las áreas
pA – pa = (ρv1
2/2)[ (15)] . . . . . . .(2)
y además Q = 6x10-3 = Av1 = 40x10-4v1 ▬► v1 = 1,5 m/s y en (2)
queda pA – pa = (103)(1,52/2)[ (15)] = 1,69X104 Pa
finalmente (1)
h = (pA – pa)/ ρHgg = 1,69X104 / (13,6x103x10)
h = 12,4 cm
Rpta.:A
4. Fluye agua continuamente de un tanque abierto como se muestra en la figura. La
altura del punto 1 es de 10.0 m, y la de los puntos 2 y 3 es de 2.00 m. El área
transversal en el punto 2 es de ; en el punto 3 es de . El área
del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo.
Suponiendo que puede aplicarse la ecuación de Bernoulli, determine la rapidez de
descarga en litros por segundo. g = 10m/s2
A) B) C) D)
Solucion:
Aplicando Bernoulli a los puntos 1 y 3:
Rpta.:A
418

5. En distintos laboratorios es muy probable que se tengan escalas de temperatura
diferentes Kelvin, Celsius, Fahrenheit. Esto crea la necesidad de conocer las
equivalencias entre dichas escalas, para lo cual se han creado equivalencias entre
dichas escalas. ¿A qué temperatura la lectura en °F es el doble de la lectura en °C?
A) 320 °F B) 160 °F C) 100 °F D) 200 °F
Solución:
La lectura en F es el doble de la lectura en C.
F = 2C
Por formula de conversión
Remplazando
Luego C = 160 °C
Por lo que F= 2C = 2(160) = 320 °F
Rpta.: A
6. En un cuadro de gripe, un hombre de 80 kg de masa que tiene fiebre, registra una
temperatura de 39,0°C (102.2°F), en vez de la temperatura normal de 37.0°C
(98.6°F). Suponiendo que el cuerpo humano es agua en su mayoría, ¿cuánto calor
en Joule se requirió para elevar su temperatura esa cantidad?
A) 146 kJ
B) 670 kJ
C) 120 kJ
D) 80 kJ
Solución:
Rpta.:B
419

7. La gráfica muestra el resultado experimental de la temperatura vs. la energía
calorífica Q suministrada a un líquido de 2 Kg de masa. Determine el calor latente
para este líquido.
A) 0,83 J/(kg°C)
B) 50 J/kg
C) 83 J/kg
D) 8,3 J/kg
Solución:
del gráfico se puede notar que ΔQ=mL
luego 100=2L L = 50 J/kg
Rpta.:B
8. La figura muestra dos recipientes con agua y hielo. Si inicialmente se tiene 350 g de
agua a una temperatura de 0 °C y 160 g de hielo a una temperatura de -10 °C ,
determine la cantidad de agua que quedaría después de mezclar el hielo con el
agua.
A) 360 g
B) 340 g
C) 140 g
D) 160 g
Solución:
Debido al balance de la energía y la condición del problema, se debe cumplir:
Siendo m=10 g la cantidad de masa del agua que se solidificó. Por lo tanto, el agua
que queda será: 350 g – 10 g = 340 g
Rpta.: B
420

1. La capacidad de almacenar agua en un camión cisterna es de 1 200 litros. Cuál es el
caudal para abastecer la mitad del volumen total si para dicho fin han transcurrido
20 minutos.
A)
B)
C)
D) 0,20x10-3 m3/s
Solución:
Rpta.: A
2. Respecto a la ecuación de Bernoulli indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
I. La ecuación de Bernoulli es aplicable solo a los líquidos en movimiento.
II. Para un fluido en movimiento cuya densidad va variando (fluidos compresibles)
la cantidad de masa que pasa por dos secciones transversales en la unidad de
tiempo no es la misma.
III. Para ciertos tipos de fluidos, la ecuación de Bernoulli nos dice que la energía
que transporta el fluido por unidad volumen es constante.
A) FFV B) VVF C) FVV D) FVF
Solución:
I. (F) De la ecuación de Bernoulli se deduce, en un fluido estático, p + gh = p0
donde p0 es la presión constante tomada como referencia en una zona del fluído.
II. (F) En un fluido en movimiento, la cantidad de masa que pasa por cualquier
sección transversal es la misma, por el principio de la conservación de la masa.
421

III.(V) Haciendo un pequeño análisis dimensional de los términos de la ecuación de
Bernoulli, concluimos que cada término representa energía por unidad de
volumen.
Rpta.: A
3. En la figura se muestra un tubo horizontal de sección transversal de área
A= 40 cm2
. Para medir el caudal en el tubo se le acopla otro de longitud pequeña y
de sección transversal de área más pequeña igual a a = 10 cm2 y en cada uno de
estos tubos se coloca un manómetro que determinan una diferencia de presión de
1,69x104 Pa. ¿Qué cantidad de energía por m3 está llevando el fluido?
A) 1,127x103 J
B) 2,4 x10·3 J
C) 1,7x104 J
D) 0,27x104 J
Solución:
p1 + v21/2 = p2 + v22/2 y Av1 = av2
combinando estas dos expresiones se obtiene:
p1 – p2 = (v1
2/2)[ (A/a)2 - 1)] ▬► 1,69x104 = (Ener./m3)[ (A/a)2 – 1) ]
(Ener./m3) = 1,127x103 J/m3
Rpta.: A
4. En distintos laboratorios es muy probable que se tengan escalas de temperatura
diferentes tales como las escalas de Kelvin, Celsius, Fahrenheit. Esto crea la
necesidad de conocer las equivalencias entre dichas escalas, para lo cual se han
determinado equivalencias entre dichas escalas. Un cuerpo tiene una temperatura
que guarda la siguiente relación
F +C = 88
Determine su medida en kelvin
A) 293 °K B) 290 °K C) 291 °K D) 292 °K
Solución:
Tenemos
F +C = 88 (1)
por formula de conversión
A
A
a
v1
422

Usando la propiedad de la suma de los numeradores y denominadores no altera la
relación:
(2)
Reemplazando1 en 2:
K = 293 °K
Rpta.: A
5. Un recipiente de peso despreciable, contiene 0.200 kg de hielo a una temperatura
inicial de -40.0°C se mezcla con una masa m de agua que tiene una temperatura
inicial de 80.0°C. No se pierde calor al entorno. Si la temperatura final del sistema es
20.0°C, ¿cuál es la masa m del agua que estaba inicialmente a 80.0°C?
A) 0,399kg B) 0,289kg C) 0,128kg D) 0,320kg
Solucion:
Rpta.:A
6. Dos cuerpos de diferentes calor específico están a la misma distancia de una fuente
que irradia calor. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. El que tiene mayor masa almacena mayor calor
II. El que tiene mayor calor específico, aumenta su temperatura con mayor
rapidez
III. El que tiene menor calor específico emplea mas tiempo en enfriarse.
A) FFF B) FFV C) VVV D) FVF
Solución:
I. (FALSO) Los cuerpos no almacenan calor
423

hielo
II. (FALSO) El que tiene mayor calor especifico significa que necesita mayor calor
para aumentar su temperatura
III. (FALSO) Con la misma rapidez que aumentó su temperatura, igual la
disminuye en el proceso de enfriamiento.
Rpta.:A
7. Un bloque de hielo es atravesado por un tubo de cobre, tal como se muestra en la
figura. Si por el extremo izquierdo ingresa agua a la temperatura de 100° C a razón
de 1litro/min y sale por el extremo derecho a 20°C. Determinar la masa M del trozo
de hielo si después de 2 minutos se ha derretido por completo. (1 lt = 10-3 m3 y es
el volumen de la masa de 1kg de de H2O)
A) 2 Kg
B) 4 kg
C) 3 kg
D) 1 kg
Solución:
EN 2 min, pasa una masa m2 = 2 kg de agua. La cantidad de calor que le llegó al
hielo es
Q = m2. c. T = (2 kg )(1 cal/gr. °C)( 80 °C)
Q = (2x103g)(1 cal/gr.°C)(80 °C) = 2x80x103 cal.
Con esta cantidad de calorías el hielo se ha derretido completamente,
entonces
Q = MLf = M (80 cal/g)
2x80x103 cal = M (80 cal/g)
M = 2x103 g = 2 kg
Rpta.:A
424

Física
EJERCICIOS
1. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones
I. Según la ecuación de continuidad, la rapidez del flujo de un fluido puede variar a
lo largo de las trayectorias del fluido.
II. La ecuación de Bernoulli relaciona la presión, la rapidez de flujo y la altura para
el flujo de un fluido en general.
III. La ecuación de Bernoulli solo es válida para un flujo estable de un fluido
incompresible sin viscosidad.
A) VVV B) FVF C) VFV D) VVF E) FVV
Solucion:
I. V
II. F
III. V
Rpta.: C
2. Por una manguera de bomberos de 0.25 m de diametro sale a presión agua que
fluye a una velocidad de 10.5 m/s , si la manguera se achica en la parte de su
boquilla de salida a 0.1 m de diametro ¿Con qué velocidad sale el chorro de agua?
Solución:
Las áreas de la manguera y la boquilla son
Y las velocidades correspondientes ,
Rpta.: D
425

3. Se tiene un tanque lleno de agua el cuál tiene una cañería conectada a 3 metros
medidos desde la parte superior del mismo. Determine la velocidad de salida del
agua por la cañería sabiendo que tiene una sección transversal de 0,05 m2
.
(Considere =3.87).
Solución:
V=
Rpta.: C
4. La figura muestra un tanque abierto conteniendo agua hasta una altura H = 5 m. Se
perfora un agujero en una pared a una profundidad h = 1 m bajo la superficie del
agua. ¿A qué distancia R del pie de la pared tocara el piso el chorro que sale?
A) 4 m B) 3 m C) 2 m D) 5 m E) 6 m
Solución:
Aplicando Bernoulli en 1 y 2 , además tomando la base del recipiente como nivel
de referencia
y
Aplicando:
Rpta.: A
426

5. En el campo una geóloga bebe su café matutino de una taza de aluminio. La taza
tiene una masa de 0.100 kg e inicialmente está a 20.0°C cuando se vierte en ella
0.200 kg de café que inicialmente estaba a 80.0 °C. ¿A qué temperatura alcanzaran
la taza y el café el equilibrio térmico? (suponga que el calor específico del café es el
mismo del agua y que no hay intercambio de calor con el entorno.)
A) 70°C B) 72°C C) 74°C D) 76°C E) 78°C
Solución:
Café pierde Calor:
Taza de aluminio gana calor:
Rpta.: C
6. El cobre es uno de los mejores conductores de electricidad, se utiliza en hilos,
electro imanes, relés e interruptores eléctricos. Este material posee un calor
específico kcal/kg°C y un calor latente de fusión igual a 51,11 kcal/kg. Si
se tiene 800 g de cobre a 18 °C ¿Cuánto calor se debe entregar para que llegue a
fundirse?. (Temperatura de fusión del cobre T=1083°C).
A) 118,61 kcal B) 119.26 kcal C) 117,51 kcal
D) 120,12 kcal E) 119.65 kcal
Solución:
El calor total para que se funda el cobre es:
Q = (0.8)(51.11) + (0.092)(0.8)(1083-18)
Q = 40.88 + 78.38
Q = 119.26 Kcal
Rpta.: B
7. El aluminio es un material usado en los sectores de electricidad, comunicación,
transporte y edificación. Una de sus mayores ventajas es la posibilidad de ser
reciclado infinitas veces. ¿Cuál es la capacidad calórica de un cubo de aluminio cuya
masa es de 272 g? (Calor especifico del aluminio: kcal/kg°C).
A) 0,01 kcal/°C B) 0,02 kcal/°C C) 0.04 kcal/°C
D) 0,03 kcal/°C E) 0,06 kcal/°C
427

Solución:
=0.06 kcal/°C
Rpta.: C
8. Está cayendo agua desde una altura de 18.3 m a razón de 0,238 m3/s e impulsa
una turbina. Empleando la ecuación de Bernoulli determine la máxima potencia que
se puede obtener con esta turbina. (g = 10 m/s2)
A) 4,35x104 W B) 6,1x106 W C) 2,8x106 W
D) 1,4x106 W E) 5,8x106 W
Solución:
Sea v1 en la parte alta y v2 justo cuando golpea a la turbina. En todo momento, el
agua está expuesta a la presión atmosférica. Entoces
p0 + v1
2/2 + gh = p0 + v2
2/2
v2
2/2 - v1
2/2 = gh . . . . . . . . . . . . . . (1)
Aplicando el teorema Trabajo- Energía a la expresión (1): EC/V = W/V, entonces
en (1)
W/V = gh
W = ghV
P = W/t = ghV/t = gh(V/t)
P = (103)(10)(18.3)(0.238)
P = 4,35  104 W
Rpta.:A
1. Con respecto al medidor de Venturi, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
I. El caudal ( Q) es constante en cualquier punto del medidor
II. La presión en el punto 1 es menor que en el punto 2
III.La rapidez en el punto 2 es mayor que en punto 1
A) VVV B) FFF C) VFF D) FVF E) VFV
428

Solución:
I. V
II. F
III. V
Rpta.:E
2. El tubo horizontal de la figura tiene área transversal de 40 cm2 en la parte más ancha
y de 10 cm2 en la constricción. Fluye agua en el tubo, cuya descarga es de 6 x10–3
m3/s (6 L/s). Determine la diferencia de presión entre estas porciones. (
A) 1,69 x 103 Pa
B) 1,69 x 104 Pa
C) 2,0 x 103 Pa
D) 2,69 x 104 Pa
E) 2,69 x 103 Pa
Solución:
Aplicando continuidad en 1 y 2 :
Del caudal: y
Aplicando Bernoulli en los puntos 1 y 2 :
Rpta.: B
3. Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
I. Si se tienen dos sistemas A y B que están en equilibrio término con un tercer
sistema C, entonces A y B no se encuentran en equilibrio mutuamente. ( )
II. Todo cambio de fase conlleva un reordenamiento de las moléculas del material. ( )
III. A mayor altitud, el punto de ebullición del agua es mayor a los 100°C. ( )
A) FVF B) FVV C) VVF D) VFF E) FFV
Solución:
I. F II. V III.F
Rpta.: A
429

I. El término presión (p), en la ecuación de Bernoulli, representa energía de fluído
por unidad de volumen
II. Los términos, en la ecuación de Bernoulli, representan volumen de fluido que se
desplaza por unidad de tiempo.
III. Todos los términos en la ecuación de Beroulli, representan energía por unidad
de volumen
A) VFV B) FVF C) VVF D) FFV E) VFF
Solución:
La ecuación de Bernoulli es dimensionalmente correcta, por tanto todos los términos
tiene las mismas unidades.
Haciendo un análisis de la unidades del término pv2/2:
(M/V)(m/s)2/2 = [M(m/s)2/2]/ V = Energía(cinética)/volumen
Rpta.:A
5. ¿Cuánto trabajo realiza la presión al forzar 1,4 m3 de agua a través de una tubería
de diámetro interno de 13 mm si la diferencia de presión entre los extremos de la
tubería es de 1,0 at.
(considerar 1 at = 1,01x105 N/m2 = 1,01x105 Pa)
A)1,41x105 J B) 1,01x105 J C) 1,08x105 J D) 1,21x105 J E) 1,11x105 J
Solución:
p1 + v1
2/2 = p2 + v2
2/2
p1 - p2 = pv2
2/2 - pv1
2/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
Empleando el teorema
W = Ec
el 2do miembro de la relación (1) es la cantidad de energía cinética por unidad de
volumen o el trabajo por unidad de volumen, entonces se tiene en (1)
p1 - p2 = EC = W/V
W = ( p1 - p2 ) V = (1x1,01x105N/m2)(1,4)
W = 1,41x105 J
Rpta.:A
I. A todas las sustancias (líquido, gaseoso, o sólido) cuando tienen mas
temperatura poseen más calor
II. Se tiene un trozo de Fierro y otro de plástico, ambos de masas iguales, están a
la misma temperatura. Cuando se les proporciona la misma cantidad de calor,
los dos terminan con la misma temperatura.
III. Se tiene dos bloques de hielo, uno de masa m y el otro de masa 4m a la
temperatura de 0°C, el primero para convertirse en agua a 0°C absorbe Q
calaorías y el segundo 4Q.
A) FFV B) FVV C) VFV D) VVF E) FVF
430

Solución:
I) (F) Los cuerpos por si solos no poseen calor
II) (F) El que posee mayor calor específico, aumenta más su temperatura.
III)(V) La cantidad de calor, para que el hielo a 0°C cambie de estado, está en
razón directa a la masa,
Rpta.: A
7. En días muy calurosos, beber una limonada helada es agradable con el fin de bajar
la temperatura del cuerpo en esos días. Se tiene un recipiente con 0.3 litro de agua a
la temperatura de 18°C. Con el fin de enfriarla hasta 8°C se vierte cierta cantidad de
cubitos de hielo a 0°C cada uno de 20g de masa. (Suponer que el intercambio de
calor es solamente entre el hielo y el agua). ¿aproximadamente cuántos cubitos es
necesario?
A) 2 B) 10 C) 5 D) 6 E) 3
Solución:
M.cag.(18 – 8) = x(20)(80) + x(20).cag.(8)
(300)(1)(10) = x(20x80 + 20x8)
3000 = x(20x80 + 160) = 1760x
x  2
Rpta.:A
431

Física
EJERCICIOS
1. Conocer el caudal de una corriente de agua que fluye por una tubería es un
parámetro fundamental para aplicarlo, por ejemplo, al riego de un terreno agrícola.
En este contexto, por un tubo horizontal fluye una corriente de agua en régimen
estacionario, tal como se indica en la figura. Si la diferencia de alturas en los tubos
verticales es -1
=2x10 m
h y el área de la sección transversal menor 2
A es mitad del
área de la sección mayor 3 2
1
A 4 3x10 m

 , determine el caudal de la corriente de
agua
(g=10 m/s2)
A) 8x10–2
m3
/s B) 8x10–3
m3
/s C) 4x10–3
m3
/s
D) 2x10–3
m3
/s E) 4 3 x10–3
m3
/s
Solución:
Aplicando la conservación del caudal a los puntos 1 y 2
1 1 2 2
1
2 1 1
2
Q A v A v
De donde
A
v ( )v 2v (1)
A
 
 
Aplicando Bernoulli a los puntos 1 y 2
2 2
1 1 2 2
1 1
p v p v
2 2
     (2)
De (1) y (2)
2
1 2 1
3
p p v
2
   (3)
Por otro lado, teniendo en cuenta las presiones absolutas en 1 y 2:
1 2 0 1 0 2 1 2
p p (p gh ) (p gh ) g(h h ) gh
          
Reemplazando en (3) resulta
2
A
1
A
h
1 2
432

-1
1
-3 -3 3
1 1
2g h 2x10x2x10 2
v = = = m/s
3 3 3
Caudal
2
Q=A v =4x 3x10 x =8x10 m /s
3
Rpta.:B
2. La circulación de la sangre por el cuerpo humano es el flujo de un líquido viscoso. La
sangre tarda aproximadamente 1s en recorrer un capilar humano de 1 mm de
longitud. Si el radio del capilar es de 6
3,5x10 m

y la diferencia de presión (o caída
de presión) es 2,5 kPa, determine la viscosidad de la sangre.
( 3
1Pa.s 10p 10 cp, 1cp : centipoise)
 
A) 3,8 cp B) 9,8 cp C) 3cp D) 8,8 cp E) 7,8 cp
Solución:
3 6
3
1 2
L 1mm 1x10 m, R 3,5x10 m, t 1s
p p p 2,5x10 Pa
 
   
   
Caudal
2
R L
Q Av
t

  (1)
Ley de Poiseulli
4
1 2
R
Q (p p )
8 L

 

(2)
De (1) y (2), resulta
2 12 3
2 6
3
R t p 49x10 x1x5x10
Pas
8L 4x2x8x10
3,8x10 Pas 3,8cp




 
 
=
Rpta.:A
3. La temperatura en Lima en verano es del orden de o
25 C y el invierno es del orden
de o
15 C , siendo la variación de o
C
10 . Determine la variación en la escala
Fahrenheit.
A) 18ºF B) 36ºF C) 25ºF D) 10ºF E) 30ºF
433

Solución:
De la ecuación
C F
F C
o
F C
o
F
T T -32
=
5 9
9
T =( )T +32
5
9 9
ΔT =( )ΔT =( )x10 F
5 5
ΔT =18 F
Rpta.:A
4. Un niño tiene fiebre y su temperatura corporal es de o
40 C . Determine esta
temperatura en la escala Fahrenheit y Kelvin.
A) 124ºF, 213K B) 104ºF, 313 K C) 208ºF, 413K
D) 225º F, 453 K E) 394º F, 113K
Solución:
De las ecuaciones de conversión
C F K
T T 32 T 273
5 9 5
 
 
o
F C
K C
9 9
T T 32 x40 32 104 F
5 5
T T 273 40 273 313K
    
    
Rpta.: B
5. Frecuentemente utilizamos el agua hirviendo para múltiples fines. Se requiere hacer
hervir 2 litros de agua (es decir a una temperatura de
o
00 C
1 ), sabiendo que se
encuentra inicialmente a una temperatura de o
20 C. Determine la cantidad de calor
que se requiere, suponiendo que se desprecia el calor perdido en el recipiente y
medio ambiente.
( o
agua g C
cal
c =1 )
A) 160 kcal B) 190 kcal C) 420 kcal D) 500 kcal E) 840 kcal
434

Solución:
La cantidad de calor requerida, es
e f i
Q mc T T
 
3
( )
Q=2x10 x1x(100-20)
cal
Q=160 kcal
Rpta.: A
I. Un recipiente contiene agua hirviendo a
o
00 C
1 . Si proporcionamos más calor al
agua, éste puede aumentar su temperatura de ebullición.
II. Un recipiente contiene agua a
o
0 C . Si se vierte al recipiente cubos de hielo a
o
0 C , entonces el hielo no se fusiona ni el agua se solidifica.
III. Un cuerpo sólido se encuentra muy caliente, entonces contiene gran cantidad de
calor.
A) FFF B) VVV C) VFF D) FVV E) FVF
Solución:
I) F (en los cambios de fase, la temperatura no cambia).
II) V (el hielo coexiste con su líquido a
o
0 C ).
III) F (los cuerpos calientes no contienen calor, contienen energía interna).
Rpta.:E
7. En muchas ocasiones es agradable tomar agua fría para calmar la sed. Un
recipiente contiene 1 litro de agua a o
60 C y se requiere enfriarlo a
o
0 C
1 ; con este
objetivo se vierte cubos de hielo a
o
0 C . Determine la masa de hielo que se requiere
para tal fin. Se desprecia el calor perdido en el recipiente y medio ambiente.
( agua f hielo
o
cal cal
c =1 , c =80
g
g C
)
A) 800,6 g B) 655 g C) 555,6 g D) 455,5 g E) 285,8 g
435

Solución:
Aplicando la ecuación de conservación del calor
ganados perdidos
Q Q

 
o o o
fusion 0 10 60 10
h f agua agua f i agua agua i f
h f h
agua agua f i agua agua h
agua agua i f
h h
h
Q + Q = Q
m L + m c (T - T ) = M c (T - T ) (1)
m L = 80m
m c (T - T ) = m x1x(10 - 0) = 10m = 10m
M c (T - T ) =1000x1x(60 -10) = 50000
En (1)
80m +10m = 50000
50000
m = = 555 6g
90
→
→
,
Rpta.:C
1. Un cilindro (de altura H) se encuentra lleno de agua y tiene una pequeña abertura en
forma de caño cerca de la base, tal como muestra la figura. El área de la abertura es
500 veces menor que el área transversal del cilindro ( 2 1
A =A /500). Si el pequeño
caño se abre, determine la altura h que alcanzará inicialmente el chorro de agua que
sale por el caño.
A) H B) H/2 C) H/3 D) H/4 E) H/5
H
h
A1
A2
436

Solución:
Aplicando Bernoulli a los puntos 1 y 2:
2 2
o 1 o 2
2 2
2 1
2 2 2
2 1 2
2
2
1 1
p + ρv +ρgH=p + ρv (1)
2 2
1
ρ
(v -v )=ρgH (2)
2
Despreciando la rapidez de lasuperficie del liquido del cilindro
comparado con la rapidez del chorro: v -v ≈v . De(2)
resulta:
v =2gH (3)
De:
2 2
2
2
2
v =v -2gh=0
v 2gH
h= = =H
2g 2g
Rpta.:A
2. Una piscina tiene un volumen de 1000 m3. Se desea llenar completamente la piscina
de agua en 2 h, determine el caudal del tubo que abastece a la piscina.
A) 180 /s B) 140 /s C) 150 /s D) 110 /s E) 240 /s
Solución:
3
3
1000m
V
Q= = =0,14m /s=140 /s
t 2x60x60s
Rpta.: B
3. Por un tubo horizontal fluye agua. Si el tubo tiene un radio de 4 cm, la presión es de
5 Pa, determine la presión en la zona donde la acumulación de calcio en las paredes
del tubo ha reducido el radio a 2 cm (figura), si la rapidez en la región estrecha es de
10–1
m/s
A) 0,4 Pa B) 0,8 Pa C) 0,1 Pa D) 0,5 Pa E) 0,9 Pa
437

Solución:
Aplicando Bernoulli a los puntos 1 y 2
p v p v
ρ ρ
  
2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
(1)
A v A v

1 1 2 2 (2)
A R v
v v v
A R
De y
p p v
p x x Pa
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
,
ρ

  
 
  
2
2 2 2
1 2 2
1 1
2
2 1 2
3 2
2
2
4
1 2
15
3
32
15
5 10 10 0 4
32
Rpta.: A
I) Los fluidos viscosos no siempre se mueven en régimen laminar.
II) El coeficiente de viscosidad del agua es nulo.
III) Cuánto más viscoso es un fluido, más lento es su movimiento.
A) FFF B) VVV C) VFF D) FVV E) VFV
Solución
VFV
Rpta.:E
5. La temperatura aproximada en la superficie del sol es de K
6000 . Determine esta
temperatura en las escalas Celsius y Fahrenheit.
A) 6727ºC, 20340ºF B) 8760ºC, 11323,8ºF
C) 5727ºC, 10340,6ºF D) 2529ºC,14340,6ºF
E) 9727ºC, 10 000,6ºF
1 2
V1 V2
438

Solución:
C F K
T T 32 T 273
5 9 5
 
 
Tenemos
C F K
C K
o
C
F K
0
F
T T 32 T 273
5 9 5
T T 273 6000 273
T 5727 C
9 9
T (T 273) 32 (6000 273) 32
5 5
T 10340,6 F
 
 
   

     

Rpta.:C
6. La masa de cierta porción de hielo es de 200 g y se encuentra en un recipiente a
una temperatura de o
0 C . Si la temperatura del medio ambiente es de o
20 C y el
hielo se derrite a razón de 0,5g/s , determine el tiempo en que tarda en derretirse
totalmente.
A) 6,7 min B) 29 min C) 15,5 min D) 40 min E) 10,8 min
Solución:
Cantidad de masa que se derrite por segundo
m
=0,5g/s
t
Tiempo para una masam
m 200
t= = s=400s=6,7min
0,5 0,5
Rpta.:A
I) En los cambios de fase del agua, la temperatura no cambia.
II) El agua hirviendo contiene más calor que el agua fría.
III) Una porción de hielo a o
0 C es más caliente que una porción y hielo o
-10 C.
A) FFF B) VVV C) VFV D) FVV E) FVF
Solución:
I) V II F III) V
Rpta.:C
439

8. Un recipiente contiene 2 litros de agua a o
100 C . Se desea enfriarlo a o
20 C
vertiendo agua a o
0 C, determine el volumen de agua requerida. Se desprecia el
calor absorbido por el recipiente y otros.
(c = 1cal/g oC)
A) V=8 B) V=10 C) V=15 D) V=22 E) V=30
Solución:
ganado perdido
agua f i i f
i f
agua
f i
agua
agua
Q =Q
M c
(T -T )=mc
(T -T )
T -T
M =( )
m
T -T
100-20
M =( )
x2000g
20-0
M =8000g=8kg
V=8
Rpta.:A
440

11
semana
FISICA

Física
FUERZAS Y CAMPOS ELÉCTRICOS
1. Conceptos básicos
1.1. Carga eléctrica
Cantidad escalar que indica el número de electrones en exceso o en defecto en los
átomos de un objeto material. Debido a la atracción/repulsión entre cuerpos electrizados
existen dos tipos de carga eléctrica: positiva y negativa (véanse los ejemplos de las
figuras).
1.2. Fuerza eléctrica
Interacción (atracción/repulsión) entre partículas con carga eléctrica. Si las partículas
tienen cargas de igual signo la fuerza eléctrica entre ellas es de repulsión. Si las partículas
tienen cargas de signo contrario la fuerza eléctrica entre ellas es de atracción.
1.3. Ley de conservación de la carga eléctrica
Tres enunciados equivalentes:
442

*La carga eléctrica no se crea, no se destruye, sólo se transfiere de un objeto a otro.
*La carga eléctrica de un sistema aislado eléctricamente permanece constante.
carga eléctrica total inicial = carga eléctrica total final
inicial final
q q constante
 
*La sumatoria de todas las cargas eléctricas del universo es igual a cero.
 q 0
 

1.4. Cuantización de la carga eléctrica:
La magnitud de la carga eléctrica (q) que adquiere un cuerpo es igual a un múltiplo entero
de la magnitud de la carga eléctrica de un electrón (e).
q ne

(Unidad SI: Coulomb  C)
e = 1,6 × 10–19
C
n = 1, 2, 3, …: número de electrones en exceso/defecto
Unidades inferiores a 1 C:
1 mC  10-3
C ; 1 C  10-6
C ; 1 nC  10-9
C ; 1 pC  10-12
C
1.5. Electrización
 Electrización por frotamiento: transferencia de electrones de un cuerpo hacia otro
cuando estos se frotan. Los cuerpos quedan finalmente con cargas de igual magnitud,
pero de signos contrarios. (Véase la figura).
443

 Electrización por contacto: transferencia de carga eléctrica de un cuerpo cargado a otro
eléctricamente neutro (o con carga eléctrica) cuando estos se tocan. Los cuerpos
quedan finalmente con carga eléctrica del mismo signo, pero de diferente magnitud,
excepto si los cuerpos son idealmente idénticos. (Véanse las figuras).
 Electrización por inducción: redistribución de electrones en los átomos de un sistema
de uno o más cuerpos debido a la presencia cercana de un cuerpo electrizado, llamado
inductor. Al aislar el sistema, este puede quedar finalmente con carga eléctrica
positiva/negativa. (Véanse las figuras).
2. Ley de Coulomb
La magnitud de la fuerza eléctrica (FE) de atracción o repulsión entre dos partículas
cargadas eléctricamente es directamente proporcional al producto de las cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
444

1 2
E 2
kq q
F
r

k = 9  109
N m2
/C2
(constante de permitividad eléctrica del aire o vacío)
q1, q2: cargas eléctricas (magnitudes),expresadas en coulomb(C)
r: distancia entre las cargas, expresada en metro(m)
(*) OBSERVACIONES:
1°) Nótese en la figura que los pares de fuerza eléctrica de atracción/repulsión son de
acción y reacción a distancia. Además, tienen la misma línea de acción.
2°) Para un sistema de dos o más partículas cargadas se cumple que la fuerza eléctrica
resultante sobre una de ellas es igual a la suma vectorial independiente de las fuerzas
eléctricas producidas por cada una de las otras cargas (principio de superposición).
445

3. Concepto del campo eléctrico (E)
Se dice que existe un campo eléctrico en una región del espacio si una carga eléctrica de
prueba positiva situada en dicha región experimenta una fuerza eléctrica. (Véase en las
figuras la analogía entre gravedad y campo eléctrico).
fuerza eléctrica
E
carga eléctrica

E
0
F
E
q







C
N
:
.
I
.
S
Unidad
0
q
: carga de prueba (positiva) que experimenta el campo eléctrico E

4. Campo eléctrico producido por una carga eléctrica puntual
La magnitud del campo eléctrico (E) en un punto del espacio libre es directamente
proporcional a la magnitud de la carga eléctrica que lo produce e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia desde la carga:
446

2
kq
E
r

q: magnitud de la carga eléctrica que produce el campo E

en el punto P. Expresada en
coulomb.
r: distancia desde la partícula cargada al punto P. Expresada en metro.
(*) OBSERVACIÓN:
Para un sistema de dos o más partículas, el campo eléctrico en un punto es igual a la
suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada carga (principio de
superposición).
5. Líneas de fuerza de campo eléctrico
Son líneas imaginarias que se dibujan para indicar la dirección del campo eléctrico. Para
cargas puntuales aisladas las líneas de fuerza son rectas divergentes de la carga positiva
y convergentes en la carga negativa (véanse las figuras). Para dos cargas puntuales no
aisladas las líneas de fuerza son curvas abiertas, para cargas de signos iguales o curvas
cerradas, para cargas de signos opuestos (véanse las figuras).
447

(*) OBSERVACIONES:
1°) Las líneas de fuerza del campo eléctrico nunca se interceptan (de lo contrario la
dirección del campo eléctrico sería indeterminada). Además, el campo eléctrico en un
punto de la línea de fuerza se representa dibujando un vector tangente en dicho punto.
2°) El número de líneas de fuerza N, que salen de una carga positiva (o que entran a una
carga negativa) es proporcional a la magnitud de la carga eléctrica q:
N
constante
q

6. Partícula cargada en un campo eléctrico uniforme
Un campo eléctrico E

es uniforme en una región del espacio cuando su magnitud y
dirección permanecen constantes. Es producido por una carga eléctrica lejana. Se puede
representar por líneas de fuerza rectas, paralelas e igualmente espaciadas (véanse las
figuras).
448

449

Física
EJERCICIOS
1. En relación a los procesos de carga electrostáticos, indicar la verdad (V) o falsedad
I. En el proceso por inducción no necesariamente se deben usar conductores
como cuerpo de carga inducida.
II. En proceso por inducción es necesario tierra como cuerpo surtidor de carga.
III. Para la ley de conservación de carga eléctrica, no es necesario que el sistema
esté aislado.
A) FFF B) FFV C) VFV D) FVF
Solución:
I. F (porque es necesario que haya carga libre para distribuirla)
II. F (por definición tierra es un manantial infinito de carga eléctrica)
III. F (el sistema de estudio debe estar aislado)
Rpta.: A
2. Un núcleo de helio tiene una carga de + 2e y uno de neón de + 10e, donde e es la
carga del electrón, 1,6x10-19
C. Encuentre la fuerza de repulsión ejercida sobre una
por la otra cuando están separadas 3 nanómetros (1nm = 10-9
m). Suponga que el
sistema está en el vacío.
A) 0,512n N B) 0,251n N C) 0,362n N D) 0,241n N
Solución:
𝐹 =
𝑘|𝑞1||𝑞2|
𝑑2
𝐹 =
9𝑥109
𝑥2𝑥10(1,6𝑥10−19
)2
(3𝑥10−9)2
𝐹 = 5,12𝑥10−10
𝐹 = 0,512𝑛𝑁
Rpta.: A
450

m
m
3. En los vértices del triángulo rectángulo se ubican tres partículas electrizadas.
Determine la magnitud de la fuerza eléctrica resultante sobre la partícula "3".
(q1 = +4 x 10-4
C, q2 = -3 x 10-4
C; q3 = +2 x 10-4
C)
A) 80 N B) 100 N C) 120 N D) 140 N
Solución:
F1 = K
𝑞1.
2
𝑞3
𝑑
=
9𝑥109(4𝑥10−4)(2𝑥10−4)
(3)2 = 80 N
F2 = K
𝑞2.
2
𝑞3
𝑑
=
9𝑥109(3𝑥10−4)(2𝑥10−4)
(3)2 = 60 N
Luego:
FR = √𝐹1
2
+ 𝐹2
2
= √(80)2 + (60)2 = 100 N
Rpta: B
45º
q1
q2
q3
3 2 m
q1(+)
F1
F2
FR
3 2 m
3
3
q3(+
)
45º
q2(-)
451

6 cm 3 cm
1
q 
2
q
P
2
E 1
E
C
N
x
E
E
E
E
C
N
x
E
x
x
x
x
E
C
N
x
E
x
x
x
x
E
R
R /
10
20
/
10
40
)
10
3
(
10
4
10
9
/
10
20
)
10
9
(
10
18
10
9
6
1
2
6
2
2
2
6
9
2
6
1
2
2
6
9
1














4. Dos cargas puntuales uC
q 18
1 

y uC
q 4
2 

están sobre una recta horizontal, 
2
q a
la derecha de 
1
q y están separadas 6 cm. Determine la magnitud del campo eléctrico
a 3 cm y a la derecha de la carga 
2
q
A) 10x106
N/C B) 15x106
N/C C) 20x106
N/C D) 60x106
N/C
Solución:
Rpta.: C
5. Dado el sistema de partículas eléctricas fijas, determine el módulo de la intensidad
del campo eléctrico resultante en el vértice recto del triángulo mostrado.
(Q1 = +12 C; Q2 = -16 C).
A) 5x108
N/C B) 4x108
N/C C) 3x108
N/C D) 2x108
N/C
Solución:
E1 = K
𝑄1
(3𝑥10−2)2 =
9𝑥109(12𝑥10−6)
9𝑥10−4
= 12x107
E2 = K
𝑄2
(3𝑥10−2)2 =
9𝑥109(16𝑥10−6)
9𝑥10−4
= 16x107
Luego:
ER = √𝐸1
2
+ 𝐸2
2
= 2x108 𝑁
𝐶
Rpta: D
Q1
Q2
3cm
3cm
Q1(+)
Q2(-)
3x10-2
m
E1
E2
ER
45º
452

6. Se tiene en equilibrio a una esferita cargada suspendida de un hilo aislante, e
inmersa en un campo eléctrico uniforme. Si la esferita tiene una carga eléctrica de
𝑞 = +20𝜇𝐶 y una masa de 𝑚 = 5𝑔. Calcular el valor del módulo de la tensión de la
cuerda. (g=10m/s2
).
A) 40 mN B) 50 mN C) 60 mN D) 80 Mn
Solución:
Debido a que la esferita se encuentra en equilibrio entonces:
Vemos que tenemos a un triángulo equilátero.  𝑇 = 5 × 10−2
= 50𝑚𝑁
Rpta.: B
30°
𝐸 = 2,5𝑘𝑁/𝐶
𝑚𝑔
5 × 10−3
× 10
5 × 10−2
𝐸𝑞
2,5 × 103
× 20 × 10−6
5 × 10−2
𝑇
60°
453

7. Una fotocopiadora trabaja mediante el arreglo de cargas positivas sobre la superficie
de un tambor cilíndrico y luego rocía suavemente partículas de tóner seco cargado
negativamente (la tinta) sobre el tambor. Las partículas de tóner se pegan en forma
temporal en el patrón sobre el tambor y después se transfieren al papel y se “fijan
térmicamente” para producir la copia. Suponga que cada partícula de tóner tiene una
masa de 9x10-16
kg y que porta un promedio de 20 electrones extra para producir la
carga eléctrica. Suponiendo que la fuerza eléctrica sobre una partícula de tóner debe
ser mayor que el doble de su peso, para asegurar una atracción suficiente.
Determine la magnitud del campo eléctrico requerido cerca de la superficie del
tambor.
A) 5,6x103
N/C B) 2,5x103
N/C C) 6,4x103
N/C D) 1,5x103
N/C
Solución:
𝐹𝐸 = 2𝑚𝑔
𝐸|𝑞| = 2𝑚𝑔
𝐸𝑥20|𝑒−| = 2𝑚𝑔
𝐸 =
2𝑚𝑔
20|𝑒−|
𝐸 =
2(9𝑥10−16
)(10)
20(1,6𝑥10−19)
𝐸 = 5,6𝑥103
𝑁/𝐶
Rpta: A
8. Se tienen seis esferitas cargadas ubicadas en los vértices de un hexágono regular, tal
como muestra la figura. Si cada una de ellas tienen cargas de 𝑞+
o 𝑞−
, en donde
|𝑞+| = |𝑞−| = 𝑞. Calcule la magnitud del campo eléctrico en el centro del hexágono
regular. (k: constante de Coulomb en el aire o en el vacío).
A)
√3
2
𝑘𝑞2
𝑎2
B) √3
𝑘𝑞2
𝑎2
C) 2
𝑘𝑞2
𝑎2
D) 2√3
𝑘𝑞2
𝑎2
𝑎
𝑞+
𝑞−
𝑞+
𝑞−
𝑞+ 𝑞−
𝑂
454

Solución:
De la figura se observa que el campo eléctrico generado por las 2 cargas de arriba y
las 2 cargas de abajo se cancela. Las cargas del medio generan un campo eléctrico
resultante:
 𝐸 =
𝑘𝑞2
𝑎2 +
𝑘𝑞2
𝑎2 = 2
𝑘𝑞2
𝑎2
Rpta.: C
1. El rayo es una poderosa descarga natural de electricidad estática, producida durante
una tormenta eléctrica, en periodos cortos de tiempo. En este contexto, si en una
descarga se transportan alrededor de 7,68 C, calcular el número de electrones que
son trasladan en esta descarga. (𝑒 = 1.6 × 10−19
𝐶)
A) 4,8 × 1019
elec B) 4,8 × 1020
elec C) 4,8 × 1018
elec D) 4,8 × 1017
elec
Solución:
𝑄 = 𝑛𝑒 ⇒ 𝑛 =
𝑄
𝑒
=
7.68
1.6×10−19 ⇒ 𝒏 = 𝟒. 𝟖 × 𝟏𝟎𝟏𝟗
𝒆𝒍𝒆𝒄.
Rpta.: A
2. En relación al campo eléctrico, indicar como verdadera (V) o falsa (F) las siguientes
afirmaciones:
I. La fuerza y campo eléctricos siempre tienen la misma dirección.
II. Todo cuerpo cargado genera un campo eléctrico en el espacio que le rodea.
III. La dirección del campo y fuerza eléctrica en una carga de prueba negativa
tienen direcciones opuestas.
A) FVV B) VVF C) FVF D) FFV
Solución:
I. F (solo si la cara de prueba es positiva)
II. V
III. V
Rpta.: A
3. Un electrón se encuentra en una región de campo eléctrico uniforme con intensidad
2,7 MV/C. Calcular la aceleración que tendrá el electrón al ser liberado. (desprecie
cualquier otro tipo de fuerzas, considere: 𝑒 = 1.6 × 10−19
𝐶; 𝑚𝑒 = 9 × 10−31
𝑘𝑔)
A) 4,8 × 1017
m/s2
B) 4,8 × 1018
m/s2
C) 4,8 × 1016
m/s2
D) 2,4 × 1017
m/s2
455

Solución:
∑ 𝐹
⃗𝑖 = 𝐹
⃗𝑞 ⇒ 𝐹𝑞 = 𝑒𝐸 = 𝑚𝑒𝑎 ⇒ 𝑎 =
𝑒𝐸
𝑚𝑒
=
1.6×10−19×2.7×106
9×10−31
⇒ 𝒂 = 𝟒. 𝟖 × 𝟏𝟎𝟏𝟕
𝒎 𝒔𝟐
⁄
Rpta.: A
4. Dos placas metálicas cargadas en el vacío están separadas 15 cm., como se
muestra en la ﬁgura. El campo eléctrico entre las placas es uniforme y tiene una
intensidad E= 3000 N/C. Un electrón (q = -e, me = 9,1 × 10-31
kg) se libera desde el
reposo en el punto P justo afuera de la placa negativa. Determine cuánto tiempo
tardará en alcanzar la otra placa.
A) 1,2x10-8
s B) 0,64x10-8
s C) 2,4x10-8
s D) 3,6x10-8
s
Solución:
El electrón, por ser negativo, experimentará una fuerza en sentido opuesto, hacia la
izquierda.
𝐹𝐸 = 𝐸|𝑞|
𝐹𝐸 = 3𝑥103
𝑥1,6𝑥10−19
𝐹𝐸 = 4,8𝑥10−16
𝑁
𝑎 =
𝐹𝐸
𝑚
𝑎 =
4,8𝑥10−16
9,1𝑥10−31
𝑎 = 5,3𝑥1014
𝑚/𝑠2
𝑡 = √
2𝑑
𝑎
456

𝑡 = √
2𝑥15𝑥10−2
5,3𝑥1014
= 2,4𝑥10−8
𝑠
Rpta: C
5. ¿Cuál es la magnitud de un campo eléctrico en la que la fuerza eléctrica es igual en
magnitud al peso? (𝑒 = 1.6 × 10−19
𝐶; 𝑚𝑝 = 1.6 × 10−27
𝑘𝑔; 𝑔 = 10 𝑚 𝑠2
⁄ ).
A) 1 × 10–7
N/C B) 1 × 10–6
N/C
C) 1 × 10–8
N/C D) 2 × 10–7
N/C
Solución:
∑ 𝐹
⃗𝑖 = 0 ⇒ 𝑒𝐸 = 𝑚𝑔 ⇒ 𝐸 =
𝑚𝑔
𝑒
=
1.6 × 10−27
× 10
1.6 × 10−19
= 𝟏 × 𝟏𝟎−𝟕
𝑵 𝑪
⁄
Rpta.: A
6. Se tiene dos esferitas cargadas de masas idénticas 𝑚 = 2,4𝑘𝑔 y cargas opuestas de
+0,8𝜇𝐶 y −0,8𝜇𝐶. Si una de las esferitas está atada a un hilo aislante y gira en torno
a la otra describiendo un MCU en donde la cuerda forma un ángulo de 16° respecto
a la vertical, tal como se muestra en la figura. Calcular (en 𝑟𝑎𝑑/𝑠) la rapidez angular
𝜔 de la esferita giratoria.
A)
1
2
√30
𝑟𝑎𝑑
𝑠
B) √30
𝑟𝑎𝑑
𝑠
C)
4
3
√30
𝑟𝑎𝑑
𝑠
D)
5
3
√30
𝑟𝑎𝑑
𝑠
Solución:
Vertical: 𝑇𝑐𝑜𝑠(16°) = 2,4 × 10  𝑇 ×
24
25
= 24  𝑇 = 25𝑁
Horizontal: 𝑇𝑠𝑒𝑛(16°) + 𝐹𝑒 = 2,4 × 𝜔2
× 8 × 10−2
16° 16°
8cm
𝜔
457

 25 ×
7
25
+
9×109×82×10−13
82×10−4 = 24 × 8 × 10−3
× 𝜔2
 7 + 9 = 24 × 8 × 10−3
× 𝜔2
 16 = 24 × 8 × 10−3
× 𝜔2
 𝜔2
=
103
12
 𝜔2
=
10×102
3×22  𝜔 = 5
√10
√3
 𝜔 =
5
3
√30
𝑟𝑎𝑑
𝑠
Rpta.: D
7. Se tiene una varilla no homogénea, no conductora y de masa no despreciable (𝑚 =
5𝑔), que está unida a una esferita cargada de masa despreciable (𝑞 = +10𝜇𝐶) en un
extremo, y a una cuerda en el otro, como se muestra en la figura. Si el sistema está
dentro de un campo eléctrico uniforme y se mantiene en equilibrio, calcular la
magnitud de la tensión de la cuerda.
A) 20 mN B) 30 mN C) 40 mN D) 50 mN
Solución:
Como el sistema se encuentra en equilibrio y todas las fuerzas son paralelas,
entonces:
𝐸𝑞 + 𝑇 = 𝑚𝑔  2 × 103
× 10 × 10−6
+ 𝑇 = 5 × 10−3
× 10
 2 × 10−2
+ 𝑇 = 5 × 10−2
 𝑇 = 3 × 10−2
 𝑇 = 30𝑚𝑁
Rpta.: B
𝐸 = 2𝑘𝑁/𝑐
𝑞
458

Física
EJERCICIOS
1. 0
q C

2
 
Dos esferas conductoras con igual carga eléctrica , están separadas por una
distancia d. Determine el número de electrones que debe perder una de ellas para que
la fuerza de repulsión a la misma distancia se triplique. ( 19
e 1
,6 10

C

  )
A) 3,751013
B) 13
6,25 10

C) 13
1
,25 10
 D) 13
2,25 10

Solución:
Inicialmente:
Finalmente:
Por dato:
2
0
0 2
q
F k
d

0
2
qq

F k
d
0
F  3F
De la cuantización de la carga:
Rpta.: A
2
0 0
2 2
qq q
k 3k
r r

0
q 3q 3(2) C
   6
ne
q 
19
6
10
1
,6
10
6
n 


 13
10
3,75

459

2. Se tienen tres esferitas cargadas eléctricamente y alineadas, como se muestra en la
figura. Determine la magnitud de la fuerza resultante sobre la esferita de carga 0
+
q ,
0
Q
2



q q
 
sabiendo .
A) 2 2
3KQ / a B) 2 2
2KQ / a C) 2 2
3KQ / 4a D) 2 2
5KQ / 8a
Solución:
1 2

F F
FR 
2
2
FR  5KQ / 8a
Rpta.: D
3. Dos esferas metálicas idénticas (inicialmente separadas) tienen cargas
1 2
16C y q
q   4C
 
respectivamente. Se ponen en contacto y luego se separan.
En esta situación la magnitud de la fuerza electrostática entre ellas es 6,4 N, determine
la distancia que los separa.
A) 10 cm B) 15 cm C) 20 cm D) 40 cm
Solución:
Rpta.: D
d  30 cm
0,3 m
10
3
d
10
9
d
d
10
64
10
9
6,4
1
2
2
2
12
9











460

4. Cinco partículas, cada una con carga eléctrica Q 20 C

  , están igualmente
espaciadas en una semicircunferencia de radio R = 30 cm, tal como se muestra en la
figura. Determine la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre una partícula
con carga eléctrica q 10 C

  situada en el centro de la semicircunferencia.
 
9 2 2
2 1
,4 ; k 9 10 N m /C
  
A) 24 N, eje +x B) 24 N, eje –x
C) 48 N, eje +x D) 48 N, eje –x
Solución:
De la figura:
La fuerza resultante se encontrará en la dirección del eje +x:
De la ley de Coulomb:
   
 
9 6 6
R 2 2
2
9 10 10 10 20 10
kqQ
F 2,4 (2,4) 48N
R 30 10
 

  
  

, eje +x.
Rpta.: C
y
F 0


R x
2 2
F F F F F F(1 2) 2,4F
2 2
      

2
kqQ
F
R

461

5. La figura muestra a dos esferitas idénticas de masas 0,3 g cada una y cuelgan de un
hilo fino aislante. Si la distancia entre ellas es 6 cm, determine la tensión del hilo en el
segmento BC, sabiendo que las esferitas tienen cargas eléctricas idénticas positivas
de 20 nC.
A) 7 mN
B) 5 mN
C) 4 mN
D) 3 mN
Solución:
Datos: 3 2 9
M 0,3 10 kg , d 6 10 m , q 20 10 C
  
     
Para la esfera en C:
2
BC E C
2
q
T F P k mg 4mN
d
    
Rpta.: C
6. Tres esferitas conductoras e idénticas con carga 1 2 3
q q q 4 C
  
    están ubicadas en
los vértices de un triángulo rectángulo isósceles, tal como se muestra en la figura.
Determine la magnitud del campo eléctrico en el punto medio de la hipotenusa.
A) 4 KN/C
B) 18 KN/C
C) 9 KN/C
D) 12 KN/C
Solución:
Donde: x 2m

462

1 2 3
9 6
R 2
E E E E
kq 9 10 4 10
E E 18kN / C
x 2

  
  
   
Rpta.: B
7. La figura muestra tres cargas puntuales
idénticas q+ localizadas en los vértices de un
triángulo equilátero de lado a. Determine la
magnitud y dirección respecto al eje x del campo
eléctrico en el punto medio P.
A) 2
2kq/ 3a , 30eje –x
B) 2
4kq/ 3a , 60eje +x
C) 2
4kq/ a , 60 eje –x
D) 2
4kq/ 3a , 30eje –x
Solución:
En los puntos medios M, N y P de cada lado del triángulo, los campos eléctricos de
cada par de cargas contiguas se anulan, quedando sólo los campos eléctricos de
repulsión 1 2 3
E , E y E debido a las cargas ubicadas en cada vértice opuesto. En el
punto P:
Dirección: 30°, eje –x
Rpta.: D
3 2 2
kq 4kq
E
3
3
2
 
 
 
 
 
a
a
463

8. En la figura se muestran las líneas de fuerza de campo eléctrico de dos esferas
conductoras. Las esferas están separadas una distancia de 1 m y la magnitud del
campo eléctrico en el punto medio de la línea que las separa es 108 N/C. ¿Cuáles son
las magnitudes de las cargas Q y q de las esferas, respectivamente?
 
9 2 2
k 9 10 Nm / C
 
A) –2 nC ; +1 nC
B) +4 nC ; –2 nC
C) –3 nC ; +1 nC
D) +2 nC ; –1 nC
E) +6 nC ; –2 nC
Solución:
De la figura la relación de las cargas es:
Valores de las cargas: +2 nC y –1 nC
Rpta.: D
Q q
16 8

Q 2q

1 2
E E E 108 N/ C
  
2 2
kQ kq
E
(0,5) (0,5)
 
9
E 108
q 1 nC
12k 12 9 10
  
 
464

1. Tres partículas con cargas eléctricas 1 2 3
q 5 C , q 5 C y q 10 C
  
      , están
situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado 30 cm, tal como muestra la
figura. Determine la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga 3
q
.
 
9 2 2
k 9 10 Nm / C
 
A) 5 3 N , eje –y
B) 3 3 N , eje +x
C) 3 3 N, eje –x
D) 5 3 N, eje +y
Solución:
, d = 30 cm
   
 
9 6 6
3
R 2
2
2
9 10 5 10 10 10
kqq
F 3 3 5 3N
d 30 10
 

  
  

, eje + y.
Rpta.: D
x
F 0


R y
F F 2Fsen60 3F
   

3
2
kqq
F
d

1 2
q q q 5 C
   
465

2. Dos esferas pequeñas tienen cargas iguales y están separadas 30 cm. Si la magnitud
de la fuerza de repulsión es de 20
6,4 10 N

 , determine el número de electrones de
exceso en cada esfera.
2
9 19
2
Nm
K 9 10 ; e 1
,6 10 C
c

 
   
 
 
A) 5 0000 B) 7 500 C) 5 000 D) 1 125
Solución:
2 2 1 20
e
e 2 2 19 9
F
Kq K(ne) d 3 10 6,4 10
F n 5000
d d e K 1
,6 10 9 10
 

 
     
 
Rpta.: C
3. Las figuras muestran las líneas de fuerza de un campo eléctrico entre dos esferas
metálicas cargadas eléctricamente. Determine la relación entre las cargas 1 3
q y q .
A) 1 B) 8/9 C) 9/8 D) 9/7
Solución:
Como la magnitud de la carga eléctrica es proporcional al número de líneas de campo
eléctrico, entonces a partir de las figuras se tiene que:
3 3
1 2 1 2
1 2 3
q q
q q q q
n n n 9 8 8
    
De donde:
1
3
q 9
q 8

Rpta.: C
466

4. Respecto al concepto y teoría del campo eléctrico, indicar la verdad (V) o falsedad (F)
I. Las líneas de fuerza son curvas o rectas imaginarias en una región del espacio,
de modo que la dirección del vector campo eléctrico es tangente a la línea.
II. El número de líneas de fuerza que emergen de un cuerpo cargado eléctricamente
es proporcional al volumen del cuerpo electrizado.
III. Si se deja en libertad una partícula con carga eléctrica positiva en una región
donde exista un campo eléctrico, ésta se moverá necesariamente a lo largo de las
líneas de fuerza.
A) VVF B) VFF C) VVV D) VFV
Solución:
I. Las líneas de fuerza son curvas o rectas imaginarias en una región del espacio,
de modo que la dirección del vector campo eléctrico es tangente a la línea. (V)
II. El número de líneas de fuerza que emergen de un cuerpo cargado eléctricamente
es proporcional al volumen del cuerpo electrizado. (F)
III. Si se deja en libertad una partícula con carga eléctrica positiva en una región
donde exista un campo eléctrico, ésta se moverá necesariamente a lo largo de las
líneas de fuerza. (F)
Rpta.: B
5. Una esfera cargada de 3 g de masa, está suspendida de una cuerda larga de 20 cm.
Si la esfera está en equilibrio dentro de un campo eléctrico uniforme de magnitud
N
E 10 3
C
 , de tal manera que forma un ángulo de 30° con la vertical, tal como
muestra la figura, ¿cuál es la carga en la esfera?
 
2
g 10 m / s

A) 1
10 C

B) 2
10 C

C) 3
10 C

D) 10 C
Solución:
De la figura, en el equilibrio se cumple:
Tsen30 qE ... (1)
Tcos30 mg ...(2)
 
 
De (1) y (2)
3
3
tan30 m g 3 10 10
q 10 C
E 3 3 10


   
  
 
Rpta.: C
467

6. Un protón se sitúa inicialmente en reposo en un campo eléctrico de 500 N/C.
Determine la rapidez del protón en un lapso de 50 ns después de liberarse.
 
27 19
p
m 1
,6 10 kg ; q 1
,6 10 C
  
    
A) 2 550 m/s
B) 2 000 m/s
C) 7 500 m/s
D) 2 500 m/s
Solución:
0
p 0 p
N
Datos : V 0 ; E 500 ; t 50ns
C
v v at v 0 at ... (1)
  
    
Cálculo de a:
Segunda ley de Newton:
19
10
27 2
q E 1
,6 10 500 m
a 5 10 ... (2)
m 1
,6 10 s


  
   

En (1)
 
10 9
p
v 5 10 50 10 2500 m/s

   
Rpta.: D
7. La fuerza resultante que un conjunto de cargas puntuales ejerce sobre cierta carga,
es igual a la suma vectorial de las fuerzas independientes de que cada una de las
cargas del conjunto ejerce sobre la carga en cuestión. A esto se conoce con el nombre
de “Principio de Superposición de las Fuerzas”. En este contexto se tienen dos cargas
puntuales del mismo signo y de magnitudes 1 2
q q 18nC
 
  . Si las cargas están
separadas entre sí 9 3 cm, ¿cuál será la magnitud de la fuerza sobre una carga
3
q 3nC

 (figura) situada a 9 cm de cada una de las otras cargas?
A) 18 N
B) 24 N
C) 60 N
D) 45 N
468

Solución:
Como ambas cargas se sitúan a igual distancia de la carga 3
q 3nC

 , entonces las
magnitudes de estas fuerzas son:
1 3
1 2 2
q q
F F k
r
 
Hallamos la fuerza resultante sobre la carga 3
q 3nC


9 9
9
1 2
18 10 3 10
F F 9 10
81 10
F 60 N
 

  
  

 
Rpta.: C
469

Física
EJERCICIOS
1. En una región donde hay un campo eléctrico uniforme se colocan tres partículas, tal
como se muestra en la figura. La partícula ubicada en A es un protón, en B neutrón y
en C electrón. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. Cada partícula experimenta la misma fuerza eléctrica.
II. La fuerza eléctrica sobre el protón es diferente que sobre el electrón.
III. La fuerza eléctrica sobre el protón es mayor que sobre el electrón.
A) VVV B) VVF C) FVF D) FFV E) VFF
Solución:
I. Cada partícula experimenta la misma fuerza eléctrica. F
II. La fuerza eléctrica sobre el protón es diferente que sobre el electrón. V
III. La fuerza eléctrica sobre el protón es mayor que sobre el electrón. F
Rpta.: C
2. La distancia entre iones vecinos de Sodio y Cloro en cristales de sal de mesa NaCl),
cargados uno por uno es de
o
3 A , ¿cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica de
atracción entre los iones?
o
10 9 2 2
1A 10 m , K 9 10 N.m / C

 
  
 
 
A) 2,16 n N B) 2,56 n N C) 2,28 n N
D) 2,53 n N E) 2,55 n N
Solución:
De la ley de Coulomb, se tiene que:
 
 
2
9 19
2
2 2
10
9 10 1,6 10
K q
F 2,56 nN
r 3 10


 
  

Rpta.: B
A B C
470

4 cm
0 +3
1
+x
q
3
2
q+
3
q
3. Tres cargas puntuales están localizadas en el eje x: 1
q 6 C

  está en x= –3 m,
2
q 4 C

  está en el origen y 3
q 6 C

  está en x = + 3 m, como muestra la
figura. Determine la fuerza ejercida sobre

1
q . (k = 9×109 N m2/C2)
A) +27×10–3 N B) +18×10–3 N C) +9×10–3 N
D) +15×10–3 N E) +3×10–3 N
Solución:
 
  
 

 
    
6 6
9 3
1 2
2 2
6 10 4 10
q q
F k 9 10 24 10 N
9
3
 
  
 

 

 
    
     
   
6 6
9 3
1 3
3 2
3 3
E
(
partícula 1) E
(2) E
(
3)
3
E
(
particular 1)
6 10 6 10
q q
F k 9 10 9 10 N
36
6
F F F 24 10 9 10
F 15 10 N
Rpta.: D
4. Toda partícula cargada eléctricamente que se encuentra en una región de campo
magnético es sometida a una fuerza eléctrica en la misma dirección del campo si es
positiva y opuesta si es negativa. En la figura se tiene dos esferitas electrizadas
8 8
1 2
q 10 10 C y q 10 10 C
  
     , determine la masa de la esferita 2
q si se
encuentra en equilibrio.
2
9 2
2
Nm
K 9 10 ; g 10 m / s
C
 
  
 
 
A) 0,5 g
B) 1,5 g
C) 4,5 g
D) 5 g
E) 7,5 g
471

Solución:
1 2
kq q
d²
mg
4k 3k
 
 
 
  m = 7,5 g
Rpta.: E
5. La intensidad de campo es una característica vectorial de un campo físico, como el
campo eléctrico. En la figura se muestra dos esferitas fijas y electrizadas “q” y “Q”,
determinar la carga Q para que la intensidad del campo eléctrico en el punto P sea
horizontal, si q 36 C
  .
A) +2,5 µC
B) +4,5 µC
C) +5 µC
D) –9 µC
E) +18 µC
Solución:
Para que sea horizontal:
EQ = Eq sen30º
kQ kq 1
d² 4d² 2
 
q
Q
8

 Q = +4,5µC
Rpta.: B
30º P
Q
Eq
La carga
debe ser (-)
30º
- q
Eq cos 30
EQ
Eq
Eq sen 30
q
P
Q
472

P
6. En la figura, se muestran dos partículas con cargas eléctricas 1
q y 2
q que se
encuentran separadas por 4 m de distancia sobre el eje horizontal. Determine la
magnitud de la carga 1
q . Si P es punto medio sobre el cual la magnitud del campo
eléctrico es de 81 N/C. (k = 9×109 N m2/C2).
A) 9 nC
B) 18 nC
C) 27 nC
D) 36 nC
E) 54 nC
Solución:
1
2
q 9 líneas
q 3 líneas

 

 

1 3
1
2
q 3q
q 3q
q q

 

Si:
1 2
2 2
9
1 1
Ep E E
K(3q) K(q)
Ep Kq
2 2
81 9 10 q
9 nC q
q 3q q 27 nC
 
  
 

   
Rpta.: C
473

q
7. Una esferita de 20 g se encuentra inmersa en una región donde existe un campo
eléctrico uniforme cuya magnitud es de 5 kN/C y en situación de equilibrio, tal como
muestra la figura. Determine la carga eléctrica de la esferita. (g = 10 m/s2)
A) q– =15 µC
B) q+ =20 µC
C) q+ =25 µC
D) q– =30 µC
E) q+ =35 µC
Solución:
 mg = (20×10–3×10) = 0,2 N
 qE = q(5×103) = 0,1
 q+ = 20×10–6 C = 20 µC
Rpta.: B
1. Un estudiante realiza una actividad experimental para medir la carga eléctrica de
tres cuerpos. Los siguientes son los resultados experimentales.
19
1
19
2
19
3
I) q 8 10 C
II) q 2,4 10 C
III) q 8,8 10 C
 
 
 
 
 
 
¿Qué mediciones diría usted que son compatibles con los conocimientos teóricos?
19
(e 1
,6 10 C)

 
A) Solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) II y III
474

Solución:
A partir de la cuantización de la carga eléctrica, tenemos que:
19
1 19
19
2 19
19
3 19
8 10
n 5 (Compatible)
1
,6 10
2,4 10
n 1
,5 (No compatible)
1
,6 10
8,8 10
n 5,5 (No compatible)
1
,6 10







 


 


 

Rpta.: A
2. Respecto al campo eléctrico, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I. La intensidad del campo eléctrico, siempre es tangente a las líneas de fuerza en
cada punto.
II. En un dipolo las líneas del campo eléctrico son abiertas, salen de la carga
negativa y van hacia la carga positiva.
III. Las líneas de campo no pueden cortarse, de lo contrario en el punto de corte se
tendrían dos intensidades de campo eléctrico distintos.
A) VFF B) VFV C) FVF D) FFV E) FFF
Solución:
VFV
Rpta.: B
3. Dos partículas con cargas iguales C
4
q 


están localizadas a lo largo del eje x en
las posiciones x = 0 y x 9 m
  . Determine el campo eléctrico en x 3 m
  .
(k = 9×109 Nm2/C2)
A)   3
1 10 N/C B)   3
5 10 N/C C)   3
3 10 N/C
D)   3
4 10 N/C E) +  3
3 10 N/C
Solución:
Magnitud del campo de la carga situada en x = 0:
9 6
3
1 2
kq (9 10 )(4 10 )
E 4 10 N/ C
9
3

 
   
475

Magnitud del campo de la carga situada en x = + 8 m:
9 6
3
2 2
kq (9 10 )(4 10 )
E 1 10 N/ C
36
6

 
   
Campo resultante en x = + 3 m:
3
1 2
E E E 3 10 N/ C
    
Rpta.: E
4. Una esfera conductora aislada con carga eléctrica positiva de magnitud Q = 30 mC
está localizada en el centro de un cubo de arista a = 20 cm, como se muestra en la
figura. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en un vértice cualesquiera del
cubo?
(k = 9×109 Nm2/C2)
A) 6×109 N/C
B) 3×109 N/C
C) 9×109 N/C
D) 5×109 N/C
E) 7×109 N/C
Solución:
2
kQ
E
d

De la figura, el cuadrado de la distancia de la esfera hasta un vértice es:
2 2
d 3a / 4

2
4kQ
E
3a

9 3
9
2 2
4 9 10 30 10
E 9 10 N/ C
3(20 10 )


   
  

Rpta.: C
476

5. La figura muestra las líneas de fuerza de campo
eléctrico de dos cargas eléctricas puntuales
separadas por una pequeña distancia. Indique la
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I) La razón de las cargas q1/q2 es 1/2.
II) El signo de la carga q1 es negativo y el signo
de la carga q2 es positivo.
III) La magnitud del campo eléctrico en el entorno
de la carga q1 es mayor que en el entorno de
la carga q2.
A) VVV B) FVV C) VVF
D) VFV E) FVF
Solución:
I) F II) V III) F
Rpta.: E
6. En la figura se muestran dos cargas puntuales separadas 4 cm. Si en el punto “p” la
intensidad del campo eléctrico es de 81 N/c. Determine la magnitud de la carga 2
q
(p: punto medio). (K=9×109 N.m2/C2)
A) 0,9 pC
B) 0,27 pC
C) 0,3 pC
D) 0,12 pC
E) 0,6 pC
Solución:
De la figura se desprende que : 1 2
q 3q
 , r = 2 cm
La intensidad del campo total en “p”, está dado por:
 
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
9
2
2
2
2
K q K q K 3q K q 4K q
E
r r r r r
4 9 10 q
81 q 0,9 pC
2 10
    
 
  

Rpta.: A
P
477

7. En la figura se muestra un bloque de masa m = 0,5 kg y carga eléctrica q = 50 mC,
en equilibrio sobre el plano inclinado liso. Determine la magnitud del campo eléctrico
uniforme. (g = 10 m/s2)
A) 20 N/C
B) 37 N/C
C) 50 N/C
D) 75 N/C
E) 19 N/C
Solución:
5 qE
4k 3k
 E = 75 N/C
Rpta.: D
8. Un electrón ingresa a una región de campo eléctrico uniforme de magnitud
E = 9×106 N/C, con velocidad inicial v0 perpendicular al campo eléctrico, tal como se
muestra en la figura. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento del electrón en la
dirección del eje +y al cabo de 1×10–9 s? (e– = 1,6×10–19 C; me = 9×10–31 kg)
A) 0,25 m
B) 0,50 m
C) 0,40 m
D) 0,80 m
E) 0,90 m
qE
mg = 5 N
37º
N
N
qE
5 N
53º
37º
478

Solución:
Aceleración del electrón:
19 6
18 2
31
e
eE (1
,6 10 )(9 10 )
a 1
,6 10 m / s
m 9 10


 
   

, eje + y
Desplazamiento en la dirección del eje + y en t = 1 x 10-9 s:
2 18 9
1 1
y at (1
,6 10 )(1 10 ) 0,80 m
2 2

     
Rpta.: D
479

Física
EJERCICIOS
1. Un cuerpo eléctricamente neutro queda cargado cuando gana o pierde electrones. En
ese contexto, se tienen dos esferitas metálicas neutras e idénticas; una de ellas gana
1014 electrones y la otra pierde 3x1016 electrones. Determine la magnitud de la fuerza
electrostática entre ellas cuando están separadas 16 cm entre sus centros.
)
(
A) 72x103 N B) 12x103 N C) 36x103 N D) 18x103 N E) 27x103 N
Solución:
Cuantización de la carga eléctrica:
Q=ne
Luego, la fuerza electrostática será:
Rpta.: E
480

2. En relación a las propiedades de los cuerpos eléctricamente neutros o cargados,
indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I) Un cuerpo eléctricamente neutro no tiene electrones.
II) Durante la electrización, un cuerpo puede ganar o perder protones.
III) En el proceso de electrización por contacto entre metales, los cuerpos obtienen
cargas de igual signo.
A) VVV B) VFV C) VFF D) FFV E) FFF
Solución:
I) (F) Un cuerpo neutro tiene igual cantidad de electrones y protones
II) (F) Los cuerpos intercambian electrones.
III) (V) Durante la de electrización por contacto, los cuerpos obtienen cargas de igual
signo.
Rpta.: D
3. Las particulas cargadas con igual tipo de carga se repelen y de distintas clase de
cargas se atraen. En ese contexto, la figura muestra tres partículas electrizadas
ubicadas en los vértices de un triángulo isósceles; determine la magnitud de la fuerza
resultante que actúa sobre la carga q2.
A)
B)
C)
D)
E)
481

Solución:
De la figura:
Por propiedad, la magnitud
de la fuerza resultante:
Rpta.: A
4. Las partículas o cuerpos eléctricamente cargados crean en el espacio un campo
eléctrico, el cual se representa mediante las líneas de fuerza. En la figura se muestran
dos cargas q 4 uC y . Determine la magnitud del campo eléctrico en el
1
punto P.
A) 7x107 N/C
B) 4x107 N/C
C) 1x107 N/C
D) 3x107 N/C
E) 5x107 N/C
Solución:
Rpta.: E
5. Una partícula de masa m = 6x10-20 kg y carga q- = 3,2 pC, se encuentra dentro de
eléctrico uniforme de magnitud E = 3x103 N/C y dirigido en el sentido positivo del eje
x; determine la magnitud de la aceleración que adquiere la partícula.
C) 1,6x1010 m/s2
A) 3,2x1011 m/s2
D) 3,2x109 m/s2
B) 4,8x1011 m/s2
E) 1,6x1011 m/s2
482

Solución:
Rpta.: E
6. Una partícula cargada origina un campo eléctrico en torno a su espacio. Si el campo
eléctrico en punto del espacio situado a 2 cm de la carga tiene una magnitud de 30
N/C; determine la magnitud del campo eléctrico a 4 cm de la partícula.
A) 25 N/C B) 15 N/C C) 12,5 N/C D) 7,5 N/C E) 10 N/C
Solución:
Rpta.: D
7. Una pequeña esfera metálica (de 2g de masa) está ubicada en la región de un campo
eléctrico uniforme E y suspendida de una cuerda aislante de 20 cm de longitud, tal
como se muestra en la figura. Si el sistema se encuentra en equilibrio, determine la
carga de la esfera.
A) 15 C
B) 20 C
C) 25 C
D) 30 C
E) 35 C
483

Solución:
Rpta.: A
1. Determine el número de electrones transferidos a un conductor metálico esférico de
radio muy pequeño, si la carga inicial y final son q+ = 1,6 nC y q- = 4,8 nC,
respectivamente.
A) 2x1010 B) 4x1010 C) 6x1010 D) 5x1010 E) 3x1010
Solución:
Rpta.: B
2. Dos esferitas conductoras idénticas están inicialmente separadas y cargadas con
cargas , respectivamente. Se ponen en contacto y luego se
separan 10 cm; según esto, indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I) El número de electrones que se transfiere entre las esferas es
electrones.
gana electrones.
III) La magnitud de la fuerza de interacción electrostática entre la esferilla es 81 N.
A) VVF
II) La esferita con carga
B) VFV C) FFF D) FVV E) VVV
484

Solución:
I)
Luego:
(V)
II) (V)
III) (F)
Rpta.: A
3. Dos cargas separadas a cierta distancia se repelen con una fuerza de magnitud 200
N. Si una carga se duplica, la otra se cuadruplica y la nueva distancia es el doble de
la anterior, determine la magnitud de la fuerza con qué se repelen.
A) 100N B) 200N C) 400N D) 500N E) 250N
Solución:
Rpta.: C
4. La fuerza electrostática entre dos más particulas se puede obtener mediante la
superposición de fuerza, obteniendo la fuerza resultante. En este contexto, la figura
muestra tres cargas puntuales ubicadas sobre una línea. Si la fuerza sobre la carga
q2 es nula, determine la distancia entre las cargas q2 y q3.
A)
B)
C)
D)
E)
485

Solución:
De la gráfica, para que la fuerza sea nula:
Rpta.: C
5. Dos cargas puntuales y , están sobre una recta horizontal, a
la derecha de y están separadas 6 cm. Determine la magnitud del campo eléctrico
a 3 cm y a la derecha de la carga
C) 20x106 N/C
B) 15x106 N/C
E) 20x104 N/C
A) 10x106 N/C
D) 60x106 N/C
Solución:
Gráficamente se tiene:
Rpta.: C
486

6. En los vértices de un hexágono regular de lado a se sitúan seis partículas cargadas,
como se muestra en la figura. Determinar la magnitud del campo eléctrico en el centro
del hexágono.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
* La magnitud del campo eléctrico de una partícula en el centro del hexágono:
* Luego la magnitud de la resultante:
Rpta.: B
487

7. La electrización se presenta en todo cuerpo capaz de ganar o perder electrones; y
para determinar la carga del cuerpo electrizado se emplean diversos experimentos.
Por ejemplo, una partícula de masa 5x10-13 g, con rapidez inicial v0= 2x 104 m/s ingresa
perpendicularmente una región con campo eléctrico uniforme de intensidad E = 2x103
N/C generada por dos placas paralelas, tal como se muestra en la figura. Determine
el signo y la carga de la partícula, desprecie el efecto gravitatorio.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Analizamos el eje horizontal:
* Analizamos el eje vertical:
Para que la partícula describa esa trayectoria debería estar cargada negativamente.
Segunda ley de Newton
Rpta.: C
488

8. La figura muestra una esfera uniforme con carga eléctrica de y masa 200
mg unido a un resorte no conductor de constante elástica k = 2,1 N/m. Si el sistema
se encuentra en equilibrio en la región de un campo eléctrico E vertical, determinar la
deformación del resorte.
A) 2 cm
B) 1 cm
C) 3 cm
D) 5 cm
E) 4 cm
Solución:
Del equilibrio:
Rpta.: A
489

12
semana
FISICA

Física
POTENCIAL ELÉCTRICO Y CONDENSADORES
1. Energía potencial eléctrica (EP)
Cuando se realiza trabajo para trasladar una partícula con carga eléctrica q0, sin
aceleración, desde muy lejos (donde su energía potencial es EP0 = 0) hasta situarla en el
campo eléctrico de otra partícula con carga eléctrica q (véase la figura), se dice que el
sistema de dos partículas adquiere energía potencial eléctrica (EP).
o
P
kq q
E
r

0
q ,q: valores algebraicos de las cargas
r: distancia entre las cargas
(*) OBSERVACIÓN:
Cuando una fuerza externa F realiza trabajo en un campo eléctrico para trasladar sin
aceleración una partícula cargada desde una posición inicial hasta una posición final se
cumple:
Trabajo de F = cambio de la energía potencial eléctrica
F PF PI
W E E
 
EPI: energía potencial eléctrica inicial
EPF: energía potencial eléctrica final
2. Potencial eléctrico (V)
Cantidad escalar que indica la energía potencial eléctrica por unidad de carga eléctrica:
energía potencial eléctrica
V
carga eléctrica

P
0
E
V
q

491

J
Unidad S.I.: Voltio V
C
 
 
 
 
q0: carga eléctrica de prueba
3. Potencial eléctrico de una carga eléctrica puntual
Carga positiva:
kq
V
r

(Potencial de repulsión)
Carga negativa:
kq
V
r
 
(Potencial de atracción)
(*) OBSERVACIONES:
1º) El potencial eléctrico en un punto debido a dos o más cargas puntuales es igual a la
suma algebraica de los potenciales eléctricos de cada una de ellas:
kq
V
r
 
q: valor algebraico de cada carga eléctrica
r: distancia desde cada carga eléctrica
2º) La gráfica del potencial eléctrico (V) en función de la distancia (r).
492

4. Potencial eléctrico de una esfera conductora hueca
Para puntos interiores a la esfera y en la superficie (r  R):
kQ
V
R

493

Para puntos exteriores a la esfera (r´ > R):
kQ
V´
r


Q: carga eléctrica de la esfera
R: radio de la esfera
r: radio desde el centro de la esfera
(*) OBSERVACIONES:
1°) La carga eléctrica de un conductor se distribuye solamente en la superficie.
2°) La carga eléctrica en el interior de un conductor es cero. Por consiguiente, el campo
eléctrico en el interior del conductor es nulo.
3°) El potencial eléctrico para puntos interiores de un condutor cargado eléctricamente es
constante.
4°) El potencial eléctrico para puntos exteriores a una esfera conductora cargada
uniformemente es igual a potencial eléctrico de una particula con la misma carga (Q)
situada en su centro.
5. Diferencia de potencial eléctrico o voltaje (V)
El trabajo realizado por una fuerza externa (F) para desplazar una partícula con carga
eléctrica sin aceleración desde la posición inicial A hasta la posición final B equivale a una
diferencia de potencial eléctrico (véase la figura):
F PB PA
W E E
 
F
B A
o
W
V V V
q
   
(*) OBSERVACIONES:
1º) El trabajo de la fuerza externa F no depende de la trayectoria de la carga. Sólo
depende de la diferencia de potencial entre los puntos A y B:
 
F 0 B A 0
W q V V q V
   
494

2º) El trabajo realizado por la fuerza eléctrica E
F (o del campo eléctrico) es:
 
E 0 B A 0
W q V V q V
     
3°) El trabajo total realizado es cero:
F E
W W 0
 
6. Relación entre la diferencia de potencial y el campo eléctrico
De la figura, el trabajo de la fuerza eléctrca WE = (q0Ecos)d es igual a la expresión WE =
– q0V, de donde se deduce la relación:
V (Ecos )d
   
: ángulo entre el campo eléctrico (E

) y el desplazamiento (d

) de la partícula
(*) OBSERVACIONES:
1º) Si E

y d

tienen la misma dirección: 0
 
V
E
d

 
(Unidad: V/m)
2º) Si E

y d

tienen direcciones contrarias:   
V
E
d


495

7. Superficies equipotenciales
Es el lugar geométrico de puntos donde se mide el mismo potencial eléctrico. Las
superficies equipotenciales tienden a adoptar la forma del cuerpo electrizado (véase la
figura).
(*) OBSERVACIONES:
1º) La superficie de un conductor cargado eléctricamente también es una superficie
equipotencial con el mayor potencial eléctrico. Los potenciales de las subsiguientes
superficies equipotenciales disminuyen con la distancia al conductor. Por ejemplo, en la
figura: V1 > V2 > V3.
2º) Las líneas de fuerza de campo eléctrico (E) son perpendiculares a las superficies
equipotenciales (véase la figura).
3º El trabajo realizado en cuasiequilibrio sobre una superficie equipotencial es cero,
porque la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de ella es cero.
8. Condensador
Un condensador o capacitor es un sistema conformado por dos conductores que tienen
cargas de igual magnitud y de signos contrarios entre los cuales existe una diferencia de
potencial (véase la figura).
Considerando que los electrones (e-
) se transfieren de un conductor al otro la magnitud de
la carga eléctrica (q) que adquieren los conductores es directamente proporcional al
voltaje proporcionado por la batería (V):
q C V
 
496

C: capacidad o capacitancia del condensador (constante de proporcionalidad)
(*) OBSERVACIONES:
1º) La capacidad de un condensador depende de las propiedades del condensador. No
depende de la carga eléctrica ni del voltaje.
2°) Definición de capacidad de un condensador:
V
q
C


C
Unidad S.I: Faradio F
V
 
 
 
 
3º) Unidades inferiores al Faradio:
3
6
9
12
1 milifaradio 1 mF 10 F
1 microfaradio 1 F 10 F
1 nanofaradio 1 nF 10 F
1 picofaradio 1 pF 10 F




  

  


 


 

9. Capacidad de un condensador plano de placas paralelas
La capacidad de un condensador de placas paralelas es directamente proporcional al
área de las placas e inversamente proporcional a la distancia entre las placas:
0A
C
d


497

0: permitividad eléctrica del material aislante (dieléctrico) entre las placas
A: área de cada placa
d: distancia entre las placas
(*) OBSERVACIONES:
1°) Si en el espacio entre las placas hay aire o es el vacío, la permitividad eléctrica tiene el
valor:
12
o 8,85 10 F / m

  
2°) Representación de un condensador:
3°) Representación de una batería:
4°) Representación de un interruptor:
498

10. Conexiones de condensadores
10.1) Conexión en serie
Considérense tres condensadores de capacidades C1, C2 y C3. Si la placa negativa de un
condensador está conectada con la placa positiva del otro o viceversa, como muestra la
figura, se dice que están conectados en serie.
(*) OBSERVACIONES:
1º) La ley de conservación de la carga requiere:
q1 = q2 = q3
2º) La ley de conservación de la energía requiere:
V = V1 + V2 + V3
3º) La capacidad equivalente CE de la conexión se obtiene a partir de:
3
2
1
E C
1
C
1
C
1
C
1



10.2) Conexión en paralelo
Considérense tres condensadores de capacidades C1, C2 y C3. Si las placas
positiva/negativa de cada condensador se conectan entre sí a un mismo potencial, como
muestra la figura, se dice que los condensadores están conectados en paralelo.
499

(*) OBSERVACIONES:
V1 = V2 = V3 = V
q = q1 + q2 + q3
3º) La capacidad equivalente CE de la conexión se obtiene por:
CE = C1 + C2 + C3
11. Energía almacenada en un condensador (U)
En la gráfica carga eléctrica – voltaje (véase la figura), el área del triángulo rectángulo
con lados q y V representa la energia potencial U almacenada en el condensador:
1
U q V
2
 
500

Expresiones equivalentes:
2
1
U C( V)
2
 
2
q
U
2C

501

Física
EJERCICIOS
1. La figura muestra tres partículas cargadas cercanas, cuyas cargas son
1 2 3
q 2 C; q 1 C y q 8 C
         , respectivamente. Determine la energía potencial
eléctrica total del sistema.
A) – 47 mJ B) + 38 mJ C) – 51 mJ D) + 24 mJ
3 m
4 m
q1
q2 q3
Solución:
1
d  3 m
2
d  4 m
3
d  5 m
2
9
2
N.m
K  9x10
C
2 3 1 3
1 2
sistema
1 2 3
q q q q
q q
U K K K

d d d
 
 sistema
U  51mJ
Rpta.: C
2. q y q
1 2  1C
La figura muestra un triángulo rectángulo y dos partículas cargadas
Si el vector campo eléctrico en el punto P es horizontal y hacia la derecha, determine
el potencial eléctrico en el punto P.
A) 48 KV B) 36 KV C) 18 KV D) 27 KV
P
1 m
q1
q2

30°
502

Solución:
Se cumple
1 2
E Sen30  E
1 2
2 2
1 2
K q K q
Sen30
d d
 
1 2
q 8 q

1
q  8 C
Luego
9 6)
 9 6
1 2
P
1 2
Kq Kq 9x10 (8x10
V   27 KV
d d 2 1
9x10 ( 1x10 )
 
  
Rpta.: D
(P)
1 m
q1(+) q2(-)

30°
E2
E1
30°
2 m
3.
q  50mC
La figura muestra dos partículas cargadas en posiciones fijas. El potencial eléctrico
en el punto A es VA = 80V. Determine el trabajo necesario para desplazar
lentamente una partícula de carga desde el punto A hasta el punto B.
A) +4 J B) –6 J C) +8 J D) –10 J
Solución:
Tenemos:
A
K( Q) K(
 Q)
V 80 V
r 2r
   
KQ
160 V
r

B
K( Q)
 K(Q) KQ
V 80 V
 
r 2r 2r
   
El trabajo necesario realizado por el agente externo será:
Fext 2
AB B A B A
W U U q(V  V ) 5x10 (80  80) 8 J

      
Rpta.: C
A
r
+Q -Q


B
r r
503

4. Las partículas q1 = 2x10–6
C, q2 = 3 x 10–6
C, q3 = –6 x 10–6
C están situadas en una
semicircunferencia de radio r= 30 cm. Determine el potencia eléctrico en el punto 0.
r
r
r
o
A) 60 kV B) –30 kV C) –90 kV D) –10 kV
Solución:
𝑽𝒐 = 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 + 𝑽𝟑 → 𝑽𝒐 =
𝑲
𝒓
(𝒒𝟏 + 𝒒𝟐 + 𝒒𝟑)
→ 𝑽𝒐 =
𝟗𝒙𝟏𝟎𝟗
𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟏
(𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟔
+ 𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟔
− 𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟔)
∴ 𝑽𝒐 = −𝟑𝟎 𝒌𝑽
Rpta.: B
5. La figura muestra el esquema de un campo eléctrico uniforme y tres superficies
equipotenciales: M, A y N. Las magnitudes son: VM=60V, VA=?, VN=20V; determine
el trabajo que se debe efectuar para trasladar lentamente una pequeña partícula
3
q 10
C


cargada, con carga , desde A hasta B.
A) –0,5 J
B) + 0,5 J
C) –0,01 J
D) + 0,01 J 3b
A
M N
E
b
B
+ q
504

Solución:
Como el campo es constante, tenemos
M N A N A B
B N
V V V V V V
E , (V V )
4b b b
  
    (1)
Aplicando
A B B A
W q (V V )

   
A B B A A B
W q (V V ) q (V V )
 
       (2)
De (1) y (2)
M N
A B A B
q (V V )
W q (V V )
4




    
3
2
A B
10 (60 20)
W 1x10 J 0,01J
4






   
Rpta.: C
6. Un condensador de láminas paralelas, de área 1 cm2
y separación 0,11 mm es
alimentado por un voltaje de 1,5 V. Responda verdadero (V) o falso (F) a las
siguientes proposiciones: (
2
12
o 2
C
  8,8x10
N.m
I. La capacidad del condensador es 8 pF
II. La energía eléctrica que almacena es 9 pJ
III. La carga eléctrica que almacena es 12 pC.
A) VVV B) FVF C) FVV D) VVF
505

Solución:
2 4 2
A 1cm 10 m

 
d 1,1cm

Verdadera
12 4
12
o
4
A (8,8x10 )(10 )
C 8x10 F 8 pF
d 1
,1x10
 



   
Verdadera
2 2
1 1
U C( V) (8)(1
,5) 9 pJ
2 2
   
Verdadera
Q = CV = 8 pF x 1,5 v = 12 pC
Rpta.: A
7. La figura muestra un diagrama de condensadores conectados entre sí. Si todos los
condensadores tienen la misma capacidad (𝐶 = 5 𝜇𝐹) y la energía almacenada en
todo el sistema es 5,6 𝑚𝐽 , determine el potencial eléctrico en el punto A
A) 30 V
B) 12 V
C) 20 V
D) 40 V
A
B
C
C
C
C
C
C
C
C C
C
C
506

Solución:
∆𝑽 = 𝑽𝑨 − 𝑽𝑩
como 𝑽𝑩 = 𝟎 → ∆𝑽 = 𝑽𝑨
Sabemos:
𝑼 =
𝑪𝒆𝒒𝒖𝒊∆𝑽𝟐
𝟐
…….(𝟏)
Calculo de la 𝐶𝑒𝑞𝑢𝑖
A B
C
C
C
C
C
C
C
C C
C
C
A B
C
C
C
A B
C C
C
A B
C
A B
Como
𝑪 = 𝟓 𝝁𝑭 → 𝑪𝒆𝒒𝒖𝒊 = 𝟕 𝝁𝑭
En (𝟏):
𝟓𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟒
=
𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟔∆𝑽𝟐
𝟐
→ ∆𝑽 = 𝟒𝟎 𝑽 → 𝑽𝑨 = 𝟒𝟎 𝑽
Rpta.: D
I. La capacidad de un condensador depende de la cantidad de carga que
almacena.
II. La cantidad de carga total que almacena un sistema de dos condensadores
idénticos conectados en serie es igual cuando están conectados en paralelo.
Ambos casos conectados a igual diferencia de potencial.
III. La capacidad es una cantidad vectorial.
A) FVF B) FVV C) VVF D) FFV
Solución:
I. F
II. V
III. F
Rpta.: A
507

1. Un campo eléctrico uniforme se caracteriza por tener una intensidad de campo
eléctrico constante en magnitud y dirección. En la figura se muestra un campo
eléctrico de esta naturaleza. Determine el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. La intensidad de campo eléctrico tiene magnitud de 500 V/m
II. El potencial eléctrico en el punto P es 20 V
III. El trabajo que efectúa el campo eléctrico cuando una partícula de +30 mC es
trasladada del punto P al punto A es +1,2 J
A) VVV B) VVF C) FVV D) FVF
Solución:
Falsa
A B
V V E.d
   2
60 ( 12) E(18x10 )

   
V
E 400
m

Verdadera
P
60 V E(0,1)
   P
V 20V

Falsa
Campo 2
B A B A
W q(V V ) 3x10 (20 60) 1
,2 J

      
Rpta.: D
60V
P
10 cm

E
8 cm
-12V
A


B
508

2. Cuando una carga Q crea un campo eléctrico en el que se introduce otra carga q,
esta última sufrirá una fuerza eléctrica. La figura mostrada presenta a una partícula
electrizada con 𝑞 = 0,2𝜇𝐶 que es trasladada por la trayectoria ABCD mostrada.
Determine la cantidad de trabajo que realiza el campo eléctrico asociado a 𝑄 sobre 𝑞
desde A hasta D.
A) –6 mJ
B) 30 mJ
C) – 2mJ
D) 1,5 mJ
Solución:
𝑊
𝐴→𝐷
𝐹𝐸
= 𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐷) → 𝑊
𝐴→𝐷
𝐹𝐸
=
𝐾𝑄𝑞
𝑟
(
1
6
−
1
2
) ……….(∗)
Por condición del problema: 𝑉𝐴 = 15 𝑘𝑉 =
𝐾𝑄
6𝑟
→
𝐾𝑄
𝑟
= 90 𝑘𝑉
En (∗): 𝑊
𝐴→𝐷
𝐹𝐸
= (90𝑥103)0,2𝑥10−6
(
−4
12
)
∴ 𝑊
𝐴→𝐷
𝐹𝐸
= −6 𝑚𝐽
Rpta.: A
3. En el ámbito de la física, se llama «campo» al sector espacial en cuyos puntos se
define una magnitud física. «Eléctrico», por su parte, es aquello vinculado a
la electricidad: la fuerza manifestada a través del rechazo o la atracción entre las
partículas cargadas, aquella cantidad física que nos mide la fuerza eléctrica que
experimenta una carga dentro de una región de un campo se denomina intensidad
del campo eléctrico. En la gráfica, se muestra cómo varia la intensidad de campo
eléctrico con la posición. Determine la cantidad de trabajo que se realiza a través del
campo sobre una partícula electrizada con 𝑞 = −2𝜇𝐶 desde 𝑥
⃗ = 2 𝑚 hasta 𝑥
⃗ = 6 𝑚.
A) –4,8 J
B) 2,4 J
C) 4,8 J
D) –2,4 J
2r
r
6r
A
B
+ Q
C
D
2
0
509

Solución:
𝑾𝒙=𝟐→𝒙=𝟔
𝑭𝑬
= 𝒒(𝑽𝒙=𝟐 − 𝑽𝒙=𝟔)
→ 𝑾𝒙=𝟐→𝒙=𝟔
𝑭𝑬
= 𝒒𝑬𝒅
𝑾𝒙=𝟐→𝒙=𝟔
𝑭𝑬
= 𝒒𝑨𝒓𝒆𝒂
→ 𝑾𝒙=𝟐→𝒙=𝟔
𝑭𝑬
= (−𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟔)(𝟐𝟒𝒙𝟏𝟎𝟓)
∴ 𝑾𝒙=𝟐→𝒙=𝟔
𝑭𝑬
= −𝟒, 𝟖 𝑱
Rpta.: A
4. Para establecer un campo eléctrico uniforme, debemos pensar en que las líneas de
campo deben ser todas en la misma dirección y con la misma separación en el cual
la fuerza eléctrica sobre una partícula dentro del campo permanece constante.
Ahora bien, el gráfico muestra a un punto A interior de un campo eléctrico
homogéneo donde se abandona una pequeña esfera de 100 g electrizada con +𝑞𝑜.
Si al pasar por B presenta una rapidez de 6√10𝑚/𝑠, determine la magnitud de la
intensidad del campo eléctrico homogéneo. (𝑞𝑜 = 1𝜇𝐶; 𝑔 = 10𝑚/𝑠2
).
A) 6,34𝑥108
𝑁/𝐶
B) 2,63𝑥106
𝑁/𝐶
C) 1,79𝑥108
𝑁/𝐶
D) 5,72𝑥106
𝑁/𝐶
Solución:
𝑾𝑨→𝑩
𝒏𝒆𝒕𝒐
= 𝑾𝑨→𝑩
𝑭𝒈
+ 𝑾𝑨→𝑩
𝑭𝑬
= 𝑬𝑪(𝑩) − 𝑬𝑪(𝑨) → 𝒎𝒈𝒉 + 𝒒𝒐(𝑽𝑨 − 𝑽𝑩) =
𝒎𝑽𝑩
𝟐
𝟐
→ 𝒒𝒐𝑬𝒉 =
𝒎𝑽𝑩
𝟐
𝟐
− 𝒎𝒈𝒉 → 𝑬 =
𝒎
𝒒𝒐
(
𝑽𝑩
𝟐
𝟐𝒉
− 𝒈)
→ 𝑬 =
𝟏𝟎−𝟏
𝟏𝟎−𝟔
(
𝟑𝟔𝟎
𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏
− 𝟏𝟎) → 𝑬 = 𝟏, 𝟕𝟗𝒙𝟏𝟎𝟖
𝑵/𝑪
Rpta.: C
2
0 2 6
4
8
10cm
510

5. La figura muestra una esfera en reposo que contiene una carga Q
. Una partícula,
de carga q
y masa m se dispara hacia la esfera con una rapidez v. Depreciando la
pérdida de energía por radiación, determine la distancia R para que la partícula
queda en reposo instantáneo.
A)
2𝐾𝑄𝑞
𝑚𝑉
B)
2𝐾𝑄𝑞
𝑚𝑉2
C)
2𝐾𝑞
𝑚𝑉2
D)
𝐾𝑄𝑞
2𝑚𝑉2
Solución:
Por conservación de la energía:
p
2
2
Ec E
1 kQq
mv
2 R
2kQq
R
mv



Rpta.: B
6. En el diagrama del circuito de condensadores mostrado, determine la capacidad
equivalente entre los puntos a y b.
A) 30uF B) 15uF C) 6uF D) 10uF
Solución:
Rpta.: C
a b
a b
m
m p
p
p
m
m
511

7. Los condensadores tienen una amplia gama de aplicaciones que van desde el
bloqueo de componentes de la corriente directa en amplificadores, rectificadores y
osciladores, en la generación de pulsos, así como en elementos almacenadores de
energía de unidades electrónicas para destellos de fotografía, aceleradores de
electrones y lámparas laser. La figura siguiente muestra un circuito de
condensadores, determine la carga (en C) y voltaje eléctrico (en V) en el
condensador de 3 F.
A) 9 y 6
B) 12 y 4
C) 8 y 10
D) 6 y 6
Solución:
Los condensadores de 3 F y 6 F están en paralelo, así como los condensadores
de 6 F y 12 F. Luego el equivalente de éstos en serie, por tanto la capacidad
equivalente del circuito resulta ser eq
(3 6)(6 12)
C 6 F
9 18
 
  

y la carga eléctrica
que almacena el condensador equivalente es eq fuente
Q C . V (6 F)(6 V) 36 C
      .
La cual se reparte la tercera parte en el condensador de 3 F, es decir:
l Q
Q 12 C
3
  
Y el voltaje al que está sometido es:
l
l Q 12 C
V 4 V
C 3 F

   

Rpta.: B
3 F
6 F
12 F
6 F
6 V

  
512

Física
EJERCICIOS
1. En relación a la teoría del potencial eléctrico, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de
I) Una carga puntual, determina en el espacio que lo rodea un campo eléctrico y un
potencial, los cuales son proporcionales a la carga de la partícula.
II) La diferencia de potencial entre dos puntos dentro de un campo eléctrico, se define
como el trabajo que debe realizarse para trasladar lentamente una unidad de
carga entre dichos puntos.
III) En una región donde campo eléctrico es uniforme, las superficies equipotenciales
son planos imaginarios perpendiculares al campo.
A) FVF B) VVV C) FFV D) VVF
Solución:
I) Una carga puntual, determina en el espacio que lo rodea un campo eléctrico y un
potencial, los cuales son proporcionales a la carga de la partícula. (V)
II) La diferencia de potencial entre dos puntos dentro de un campo eléctrico, se define
como el trabajo que debe realizarse para trasladar lentamente una unidad de
carga entre dichos puntos. (V)
III) En una región donde campo eléctrico es uniforme, las superficies equipotenciales
son planos imaginarios perpendiculares al campo. (V)
Rpta.: B
2. Dos cargas puntuales de la misma magnitud, q 4 C

  , están situadas en los vértices
opuestos de un cuadrado de 20 cm de lado, tal como muestra la figura. Determine el
trabajo que se debe realizar para desplazar lentamente la carga 0
q 1 C

  , desde el
punto O hasta el punto P.  
2 1
,4

A) 100 mJ
B) 120 mJ
C) 144 mJ
D) 136 mJ
513

Solución:
Datos: 6 9 2 2
q 4 10 C ; L 0,2m ; d 0,1 2m ; k 9 10 N m / C

      
Los potenciales en los puntos O y P son
6
9
0 1
6
9 4
P 1
q 4 10
V 2k 2 9 10 360KV
L 2 10
q 4 10
V 2k 2 9 10 36 2 10 504KV
d 23 10





    


      

El trabajo para llevar a la carga q
desde O hasta P es
   
6 3
0 P 0 0 P
W q V V 10 144 10 144mJ

       
Rpta.: C
3. La figura muestra la gráfica del potencial eléctrico (V) versus la distancia, para una
partícula cargada positivamente. Determine el valor de V a una distancia de 20 cm de
la carga.
A) 120 V
B) 135 V
C) 150 V
D) 175 V
Solución:
1 1 1
1
1
2 1
2 2
q
V k kq V d
d
d
q 25cm
V V k V 120 150V
d d 20cm
  
   
    
   
 
 
Rpta.: C
514

4. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones, en relación a las
propiedades de los condensadores.
I) Un condensador es un dispositivo eléctrico capaz de almacenar carga eléctrica.
Los condensadores usuales son pequeños y constan de dos placas conductoras
paralelas muy cercanas y separadas por un aislante.
II) Un condensador, además de almacenar carga, también almacena energía
eléctrica.
III) En un condensador usual, la cantidad de carga Q que adquiere cada placa es
proporcional a la magnitud de la diferencia de potencial entre ellas.
A) VVV B) FFV C) VFF D) FVF
Solución:
I) Un condensador es un dispositivo eléctrico capaz de almacenar carga eléctrica.
Los condensadores usuales son pequeños y constan de dos placas conductoras
paralelas muy cercanas y separadas por un aislante. (V)
II) Un condensador, además de almacenar carga, también almacena energía
eléctrica. (V)
III) En un condensador usual, la cantidad de carga Q que adquiere cada placa es
proporcional a la magnitud de la diferencia de potencial entre ellas. (V)
Rpta.: A
5. Una partícula posee una carga q 5mC

 y se encuentra reposo dentro de un campo
electrostático en la posición a. La diferencia de potencial entre los puntos a y b es de
50V. Determine el trabajo que debe efectuarse para trasladar la carga lentamente
desde la posición a hasta la posición b.
A) 4
5,5 10 J

 B) 5
2,4 10 J

 
C) 15J D) 0,5 J

Solución:
Utilizando la ecuación
a b b a
W q (V V )

   
3
a b
W 50 10 50J 0,5W

      
Rpta.: D
515

6. En el circuito mostrado, determine la carga almacenada en el condensador de
capacidad C 4 F
  .
A) 18 C

B) 24 C

C) 64 C

D) 32 C

Solución:
eq
C 2 F
q 2 F 24V 48 C
 
    
eq
total
12 6
C 4 F
18
Q 4 F 24V 96 C

  
    
Si: 1
2
q 4 1
q 8 2
 
Para 1 1
C 4 F q 32 F
    
Rpta.: D
7. Una esfera metálica hueca contiene una carga eléctrica Q 32 C

  . A 4,0 cm del
centro de la esfera se sitúa una carga puntual con q 10 C

  . Asumiendo que la
distribución de carga en la superficie de la esfera se mantiene homogénea, determine
la energía potencial eléctrica del sistema.
A) 18 J B) 144 J C) 36 J D) 72 J
Solución:
      
9 9 6 6 2
1 2
Ep 9 10 q q / d 9 10 32 10 10 10 / 4 10
Ep 72J
  
         

Rpta.: D
516

8. El foco que produce un flash en cierta cámara fotográfica, utiliza la energía
almacenada en un condensador de 150 F
 a 200 V. Determine la energía almacenada
en el condensador y la potencia liberado en 1 ms.
A) 3,0 J y 3000 W B) 2,5J y 2500 W
C) 30,0 J y 300 W D) 6,0 J y 6000 J
Solución:
 
2
2 6
3
1 1
U CV 150 10 200 3,0J
2 2
U 3,0
P 3000W
t 1 10


 
   
 
  

Rpta.: A
1. La figura muestra el esquema gráfico de un campo eléctrico uniforme de magnitud
E = 500 N/C. Determine el trabajo que se debe efectuar para trasladar lentamente una
partícula con carga q 20 C

  , a lo largo de la recta AB de 80 cm de longitud.
A) 2 mJ
B) 4 mJ
C) 5 mJ
D) 6 mJ
Solución:
6
A B
W q V qEdcos60 20 10 500 0,4 4mJ

         
Rpta.: B
517

2. En relación al concepto de superficies equipotenciales, indicar la verdad (V) o falsedad
I. Todo cuerpo cargado crea en su entorno de espacio un campo eléctrico y un
potencial eléctrico. Todos los puntos del espacio que poseen el mismo potencial
constituyen una superficie imaginaria llamada “superficie equipotencial”, la cual
tiene generalmente la forma de la superficie del cuerpo (planos, esferas,
cilindros, etc.).
II. Las líneas de fuerza que representan al campo son perpendiculares a las
superficies equipotenciales.
III. El trabajo efectuado sobre una carga a lo largo de una superficie equipotencial
es nulo.
A) VVV B) VVF C) FVV D) FFF
Solución:
I. Todo cuerpo cargado crea en su entorno de espacio un campo eléctrico y un
potencial eléctrico. Todos los puntos del espacio que poseen el mismo potencial
constituyen una superficie imaginaria llamada “superficie equipotencial”, la cual
tiene generalmente la forma de la superficie del cuerpo (planos, esferas,
cilindros, etc.) (V)
II. Las líneas de fuerza que representan al campo son perpendiculares a las
superficies equipotenciales. (V)
III. El trabajo efectuado sobre una carga a lo largo de una superficie equipotencial
es nulo. (V)
Rpta.: A
3. Un electrón es acelerado horizontalmente desde el reposo y en el vacío en el
cinescopio de un televisor antiguo, por una diferencia de potencial de 5000 V. Luego
se desplaza entre dos placas horizontales paralelas de 6,5 cm de largo y 1,3 cm de
separación (como se muestra en la figura). Las placas cargadas tienen una diferencia
de potencial de 250 V. Determine el ángulo de salida  .
1 1
tg 7
8

 
 
 
 
 
 
 
A) 5°
B) 6°
C) 7°
D) 8°
518

Solución:
Horizontal:
2
x
x
1 x
q V mv , t
2 v

  
Vertical:
0
y y y
e y y
x
v v qE x
F qE ma m , v
t mv
 
 
 
   
 
 
Combinando las ecuaciones:
 
y y
x
500
0,065
v E x 1
0,013
tg ; 7
v 2 V 2 5000 8
 
 
  
       

Rpta.: C
4. La figura muestra una esfera metálica, la cual contiene una carga 2
q 30 C

  . A una
distancia d = 10 mm del centro de la esfera, se encuentra en reposo inicialmente otra
carga puntual con carga 1
q 10 C

  . Determine la energía (o el trabajo) que se debe
invertir para trasladar lentamente la carga 1
q
hacia la esfera una distancia de 5 mm
A) 2
2,7 10 J

B) 3
0,4 10 J

C) 4
1
,7 10 J

D) 4
2,7 10 J

519

Solución:
3 3
1 2
r 10 10 m , r 5 10 m
 
   
En movimiento cuasi estático:
 
   
3
1 2 1 2 1
9 6 6 3
2
1 1
W q V V q q 10
5 10
1 1
W 9 10 30 10 10 10 10
5 10
W 2,7 10 J
 
 
    
 
 
 
     
 
 
 
Rpta.: A
5. La figura muestra el diagrama de un circuito. Cuando el interruptor 1
S está cerrado y
el interruptor 2
S está abierto, la capacidad equivalente entre los puntos X e Y es 1
C .
Cuando 1
S está abierto y S2 está cerrado la capacidad equivalente es 2
C . Determine
1
2
C
C
.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
Solución:
De la figura:
1
2
C 6C
C 2C


1
2
C
3
C
 
Rpta.: B
520

6. En las tormentas eléctricas, la diferencia de potencial entre la superficie de la tierra y
las nubes de tormenta puede ser tan alta como 35, 000,000 V. La parte inferior de
cierta nube está a 1500 m sobre la Tierra y tiene una área de 2
100 km . Si
consideramos al sistema tierra–nube como un condensador gigantesco plano,
determine: a) la capacidad del sistema tierra–nube, b) la carga almacenada en el
condensador.
2
12
0 2
C
8,85 10
N m

 
  
 

 
A) 0,59 F y 20,65C
 B) 1
,8 F y 41
,30C

C) 0,25 F y 10,30C
 D) 0,50 F y 20,60C

Solución:
  
 
  
12 6
6
0
6 6
8,85 10 100 10
A
a) C 0,59 10 F
d 1500
b) Q C V 0,59 10 35 10 20,65C



 

   
     
Rpta.: A
7. El circuito de condensadores que se muestra en la figura está alimentado por una
batería de 12V. Determine la carga total almacenada en el circuito. Las capacidades
de los condensadores son: 1 2 3 4
C 1
,0 F , C 2,0 F , C 3,0 F , C 4,0 F
        .
A) 24 C

B) 14 C

C) 40 C

D) 2,4 C

Solución:
 
 
1
2
eq
eq
eq
eq
1 4 4
C F
5 5
2 3 6
C F
5 5
4 6
C F F 2 F
5 5
luego
Q C V 2 12 24 C
  
  
 
 
  
  
 
 
   
     
   
   
      
Rpta.: A
521

Física
EJERCICIOS
1. Con respecto al potencial eléctrico y diferencia de potencial eléctrico, indicar la
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I) La diferencia en energía potencial, b a
U U
 , es igual al negativo del trabajo,
a b
W  , que realiza el campo eléctrico para mover la carga desde a hasta b.
II) El potencial eléctrico, al igual que el campo eléctrico, no depende de la carga de
prueba, depende de las otras cargas que generan el campo, pero no de q.
II) La carga q adquiere energía potencial cuando está inmersa en el potencial V
debido a otras cargas.
A) VVV B) FFF C) VVF D) VFF E) FFF
Solución:
I) V II) V III) V
Rpta.: A
2. Un potencial eléctrico se puede definir como una magnitud escalar, que tenga en
cuenta la perturbación que la carga fuente q1 que produce en un punto del espacio,
de manera que cuando se sitúa en ese punto la carga de prueba, el sistema
adquiere una energía potencial. De lo expuesto consideremos un sistema de
partículas sobre el cual se observa a cada una de las cargas puntuales Q+ en cada
una de las esquinas de un cubo de lado 50 cm como se muestra en la figura
Determine el potencial eléctrico en el centro del cubo, si la carga es 3 C
 .
A) 144 kV
B) 200 kV
C) 288 kV
D) 304 kV
E) 18 kV
Solución:
El potencial para una carga:
Q 3
V k r L
r 2
 
El potencial total:
6
9
total
Q 3 10
V 8k 8 9 10 288 kV
r 0,5


    
Rpta.: C
522

A
Q
5m
6m
B
2
1
Q
5m
6m
3. Dos partículas con cargas eléctricas Q1 = +2 C y Q2= –1 C se encuentran situadas
como se muestra en la figura. Determine el trabajo que se requiere para trasladar
lentamente una partícula con carga q=+2 µC desde la posición A hasta la
posición B.
A) –210 J
B) 2 100 J
C) 1 500 J
D) –1 500 J
E) 600 J
Solución:
 
 
ext
9
B
F
AB B A
9
A
6 9
9
V 10 v
5
W q V V
9
V 10 v
6
9 9
2 10 10
5 6
600 J


 


  
  


 
   
 
 

Rpta.: E
4. El trabajo realizado por una fuerza externa para mover una carga de 10 C
  del
punto a al punto b es de 4
7 10 J

 . Si la carga partió del reposo y tenía 4
2 10 J

 de
energía cinética cuando llegó al punto b, ¿cuál debe ser la diferencia de potencial
entre a y b?
A) –40 V B) –30 V C) +40 V D) –50 V E) –60 V
Solución:
Teorema de trabajo y energia: neto C
W E

agente externo fuerza eléctrica c f ci
W W E E
  
 
4 6 4
7 10 J q 10 C V 2 10 J
  
     
4 4
6
7 10 J 2 10
V 50V
10 10
 

  
   
 
Rpta.: D
523

5. En la figura se muestra líneas de fuerza de un campo eléctrico de magnitud
E = 100 N/C. La distancia entre los puntos A y B es 6 cm. y entre B y C es 4 cm.
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. El trabajo eléctrico que hace un agente externo para llevar un electrón, en
equilibrio desde el punto A a B y luego hasta C es –6 eV.
II. El trabajo eléctrico que hace un agente externo para llevar un electrón, en
equilibrio desde el punto C a A es +6 eV.
III. La diferencia VA – VC = 6 V es correcta.
A) VVV
B) VVF
C) VFF
D) FFV
E) FFF
Solución:
I) (V) Wag = –e(VB – VA) = –e(Ed) V = –Ed eV = –100×6×10–2 eV = –6 eV.
II) (V) Wag = –e(VA – VB) = –e(– [VB – VA]) = + 6 eV.
III) (F) VA < VB por lo tanto es – 6 V
Rpta.: B
6. En el sistema de condensadores mostrados en la figura, determine la capacidad
equivalente entre los terminales a y b, si la capacidad de cada uno de los
capacitores es 2µF .
A) 1µF
B) 2 µF
C) 3 µF
D) 4 µF
E) 5 µF
Solución:
A
B
C
a a a c
b
b
b
b
b
c
c
c
524

Reduciendo:
Ceq = 5 µF
Rpta.: E
7. La batería de la figura suministra 12 V. Encontrar la carga almacenada en los
condensadores C1 y C4 cuando se cierra el interruptor b, considerando que
C1 = 1,0 F, C2 = 2,0 F, C3 = 3,0 F y C4 = 4,0 F.
A) 9uC ; 16,5uC
B) 8,4uC ; 12,3uC
C) 9,45uC ; 14,4uC
D) 7,4uC ; 16,2uC
E) 8,4uC ; 14,4uC
Solución:
Cálculo de la carga total:
2
equi AB
21u
Q C V Q 25,2uC
10u
   
Para la asociación en paralelo de 1 2
C y C : q 2q 3q 3q 25,2 uC
   
1
q q 8,4uC
  
Para la asociación en paralelo de 1 1 1 1
3 4
C y C : 3q 4q 7q 7q 25,2 uC
   
1 1
4
q 3,6uC q 4q 14,4 uC
    
Rpta.: E
8. Un condensador de capacidad 2000 µF tiene una carga de 900 µC y se encuentra
inicialmente desconectado. Si se conecta en paralelo con otro capacitor inicialmente
descargado, cuya capacitancia es el doble del anterior, determine la carga final
almacenada en este último condensador.
A) 0,6 mC B) 0,2 mC C) 1,6 mC D) 1,4 mC E) 0,8 mC
b
525

Solución:
La diferencia de potencias es la misma para ambos.
V1 = VC
1 2
q q
C 2C

q2 = 2q1
q1 + q2 = 900µC
 q1 = 300 µC
q2 = 600 µC
Rpta.: A
1. Con respecto a las superficies equipotenciales indicar la verdad (V) o falsedad (F) de
las siguientes proposiciones.
I. Una superficie equipotencial es una superficie en la que todos los puntos que se
encuentran sobre ella están al mismo potencial.
II. Una superficie equipotencial debe ser perpendicular al campo eléctrico en
cualquier punto.
III. No se requiere ningún trabajo para trasladar una carga de un punto a otro sobre
una superficie equipotencial
A) FFF B) VFV C) VVF D) VVV E) VFF
Solución:
I. V II. V III. V
Rpta.: D
C = 2000 µF
q = 900 µC
2 C
V

C Q1
Q2
526

2. Dos esferas de radios r1 = 1,0 cm y r2 = 3,0 cm se encuentran muy separadas una de
la otra. Antes de conectarlas, con un alambre delgado, se coloca una carga de
+32 uC en la esfera pequeña y la grande no tiene carga. Calcular la carga en cada
esfera una vez que se las ha conectado.
A) 1 2
q 6,4uC y q 16 uC
 
B) 1 2
q 8uC y q 24 uC
 
C) 1 2
q 4uC q 18 uC
  
D) 1 2
q 8,3uC y q 32 uC
 
E) 1 2
q 12uC y q 45 uC
 
Solución:
Al final cesa el flujo de carga cuando los potenciales son equivalentes: A B
V V

1 2 1 2
2 1 1 2 1
1 2
1 2
Kq Kq q q
q 3q 32 uC q q 32uC 4q
1 3
r r
q 8uC q 24uC
            
     
Rpta.: B
3. En las figura se muestra un campo eléctrico uniforme que está en la dirección del eje
+x. Si la diferencia de potencial entre los puntos A y B es 80V, determine la
diferencia de potencial entre los puntos C y D?
A) 40 V B) 20 V C) 10 V D) 80 V E) 160 V
Solución:
Como:
V = Ed
a) VA  VB = E(2d) = 80
b) VC  VD = Ed
Entonces:
VD  VC = 40 V
Rpta.: A
A.
C.
.B
.D
2d 
E
d
527

4. Se puede decir que la energía almacenada en un condensador se encuentra en su
campo eléctrico cuando el dispositivo está cargado. Esto se puede afirmar porque el
campo eléctrico en el condensador es proporcional a la carga del dispositivo sin
embargo hay otros factores a considerar , por ejemplo respecto a la carga
acumulada por el condensador, su capacitancia y la energía que almacena, para un
condensador de placas paralelas indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
I. La carga Q es proporcional a V
 .
II. El valor de C no depende de Q ni de V
 .
III. La energía potencial es proporcional al potencial eléctrico.
A) VVF B) VVV C) FVV D) FFF E) FVF
Solución:
I. V II. V III. F
Rpta.: A
5. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. Dado dos capacitadores C1 y C2 tal que C1>> C2 y por lo tanto la carga en C1
siempre será mayor que en C2 .
II. El condensador que remplaza a n condensadores idénticos de área A y
separación d conectados en paralelo debe tener una separación de (d/n) y área
A.
III. La capacidad de un condensador depende del voltaje que se le aplique.
A) FVF B) FFV C) VVF D) VFV E) FFF
Solución:
I. (F), solo Q1 (en C1) será mayor que Q2 (en C2), cuando cada uno de ellos están
conectados al mismo potencial.
II. (V), La capacidad equivalente es Ceq = n(0A/d) = (0A/(d/n))
III. (F), depende de su geometría, área A y separación d.
Rpta.: D
6. Un capacitor de placas planas y paralelas de área A y separación d se cargan hasta
un potencial V0. A continuación se desconecta la batería de carga y las placas se
separan hasta una distancia 2d.
Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones
I. La nueva diferencia de potencial en el condensador es V0/2
II. La nueva diferencia de potencial en el condensador es 2V0
III. La diferencia de potencial se mantiene constante.
A) FVF B) FFV C) VFV D) FFF E) VFF
528

A
B
C
C
S
C C
A
B
C
3
2
C
A
B
C
2
C
C
C = C
1
3
5
A
B
C
2
C
C
Solución:
I. (F) Con la nueva separación, la capacidad nueva es C = (1/2)C0 y como la carga
no cambia, el nuevo voltaje V, es tal que C0V0 = CV de donde V = 2V0
II. (V) Por la por la pregunta I)
III. (F) Por la pregunta I)
Rpta.: E
7. Cuatro condensadores de igual capacidad y un interruptor están conectadas como
se muestran en la figura. Si la diferencia de potencial entre los puntos A y B es 12 V,
Determine la relación de la energía almacenada por el sistema cuando el
interruptor S este abierto y cerrado.
A) 5
B) 8/5
C) 3/5
D) 2/5
E) 2
Solución:
“s” abierto: Cabierto= 3/5C
“s” abierto: Ccerrado= C
U
C cerrado
cerrado
U
C abierto
abierto



5
3
Rpta.: C
529

V
a b
C1
C3
C2
8. De la definición de voltaje como energía por unidad de carga, uno podría esperar
que la energía almacenada en este condensador ideal fuera exactamente QV. Es
decir, todo el trabajo realizado sobre las cargas para moverlas desde una placa a la
otra pero la realidad es otra, veamos el caso en que sobre un sistema de
3 condensadores se le entrega un voltaje ab
V , tal como muestra la figura. Determine
la energía que almacena el condensador 3
C mostrado en la figura. Si
1 2 3 ab
C C 2C 24 F , V 12V
     .
A) 128 µJ
B) 210 µJ
C) 240 µJ
D) 384 µJ
E) 360 µJ
Solución:
3
2
3
C
3
Q
U
2C

Suma de 1
C y 2
C : e
C 8 F
  e e e
Q C C V
   e e
Q C V
 
e
Q 8 12 96 C
   
3
12
6
6
c
96 96 10
U 384 10 J 384 J
2 12 10



 
    
 
Rpta.: D
530

Física
EJERCICIOS DE CLASE
1. Cuatro partículas con cargas eléctricas q1 = + q, q2 = + q, q3 = q y q4 = + 3q están
situadas en los vértices de un cuadrado de lado a, como se muestra en la figura.
I) Determine el potencial eléctrico en el centro del cuadrado.
II) ¿Cuál es el trabajo que se requiere realizar para trasladar lentamente una
partícula con carga Q q

 3 desde el infinito hasta el centro del cuadrado?
A) 6kq 2 /a; – 18kq2 2 /a
B) 3kq 2 /a; – 9kq2 2 /a
C) 3kq 2 /2a; – 6kq2 2 /a
D) kq 2 /2a; – 9kq2 2 /a
E) 2kq 2 /3a; – kq2 2 /3a
Solución:
I) Potencial:
kq kq kq k(3q)
V
a 2 / 2 a 2 / 2 a 2 / 2 a 2 / 2
   
6kq 2
V
a

II) Trabajo:


  
 
     
 
 
 
f i
W Q (V V )
6kq 2
W ( 3q)(V V ) ( 3q) 0
a
531

2
18kq 2
W
a
 
Rpta.: A
2. Entre dos placas metálicas paralelas existe un campo eléctrico uniforme de
magnitud E = 100 N/C, como se muestra en la figura. Si la distancia entre los puntos
A y B es 6 cm, indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I) La diferencia de potencial entre los puntos A y B es VB – VA = – 6 V.
II) La diferencia de potencial entre los puntos A y C es VC –VA = 600 V.
III) El trabajo realizado para trasladar una partícula cargada lentamente desde el
punto B al punto C es cero.
A) FFF B) VFV
C) VFF D) VFV
E) VVV
Solución:
I) V II) F II) V
Rpta.: D
3. Se realiza un experimento para medir el campo eléctrico mediante el sistema que se
muestra en la figura (a). Con el movimiento del puntero conectado al voltímetro se
explora sobre una hoja de papel, humedecida con una solución de agua y sal, las
líneas equipotenciales en el entorno de los electrodos. Así se deducen las líneas
equipotenciales, como se muestra en la figura (b). ¿Cuál es el campo eléctrico en el
entorno del electrodo plano?
(a) (b)
A) – 200 V/m B) + 200 V/m C) – 100 V/m
D) + 100 V/m E) + 250 V/m
532

Solución:
Magnitud:
2
V 20 10
E 200 V / m
d 5 10
 
  

Dirección: eje + x.
Rpta.: B
4. Un condensador de placas paralelas cuya separación es 2,0 mm se encuentra
conectado inicialmente a una batería de 12 V. Luego se desconecta de la batería y
las placas se separan hasta que su distancia sea de 3,5 mm. ¿Cuál es la nueva
diferencia de potencial en el condensador?
A) 42 V B) 30 V C) 21 V D) 45 V E) 25 V
Solución:
Inicialmente:

 o A
C
d
;
V
q
C


 
 o A V
q
d
Finalmente:

 

o A
C
d
;
q
C
V
 



 


o A V
q
d
Igualando da:
d 3,5
V V (12) 21 V
d 2

   

    
   
   
Rpta.: C
533

5. Se conectan cinco condensadores de igual capacidad C = 2 C, como se muestra en
la figura. Determine la capacidad equivalente entre los puntos A y B.
A) 1 F
B) 2 F
C) 3 F
D) 5 F
E) 4 F
Solución:
De la figura, finalmente quedan dos condensadores (C) en paralelo:
Ce C C 2C 2(2) 4 F
     
Rpta.: E
6. El flash de una cámara fotográfica requiere de un condensador equivalente a la
conexión de los tres condensadores que se muestra en la figura. Los condensadores
tienen capacidades iguales a 6 nF y la diferencia de potencial entre los puntos A y B
es 10 V. ¿Cuál es la energía almacenada en el sistema de condensadores?
A) 450 nJ
B) 900 nJ
C) 500 nJ
D) 250 nJ
E) 480 nJ
534

Solución:
Capacidad equivalente:
e
(6)(6)
C 6 9 nF
6 6
  

Energía almacenada:
2 2
e
1 1
U C ( V) (9)(10) 450 nJ
2 2
   
Rpta.: A
7. Cinco condensadores de capacidades C1= 8 F, C2 = 8 F, C3 = 3 F, C4 = 6 F y
C5 = 12 F están conectados como se muestra en la figura. La diferencia de
potencial en el condensador de capacidad C1 es 5 V. Determine la energía
almacenada en el condensador de capacidad C5 .
A) 120 J
B) 150 J
C) 180 J
D) 140 J
E) 130 J
Solución:
Carga de C1:
1 1 1
q C V (8)(5) 40 C
    
Como C1 y C2 están en serie:
1 2
q q 40 C
  
Voltaje de C2:
2
2
2
q 40
V 5 V
C 8
   
Capacidad equivalemte de C1, C2, C3, y C4:
3 4
1 2
1 2 3 4
C C
C C
C 4 2 6 F
C C C C
     
 
Carga de C:
q C V (6)(5 5) 60 C
     
535

Como C queda en serie con C5:
5
q q 60 C
  
Energía de C5:
2 2
5
5
5
q (60)
U 150 J
2C 2(12)
   
Rpta.: B
1. Dos partículas con igual carga eléctrica q+ = 10-8 C están ubicadas en las posiciones
A y B, como se muestra en la figura. Determine la diferencia de potencial VC – VD
entre los puntos C y D. Considere que AC = CB = 3 cm y CD = 4 cm.
(k = 9 x 109 Nm2/C2)
A) 1600 V
B) 1200 V
C) 1800 V
D) 2400 V
E) 3000 V
Solución:
9 8
C 2 2 2
kq kq 2 9 10 10
V 6000 V
3 10 3 10 3 10

  
  
   
  
9 8
D 2 2 2
kq kq 2 9 10 10
V 3600 V
5 10 5 10 5 10

  
  
   
  
C B
V V 2400 V
 
Rpta.: D
2. Se tienen dos esferas conductoras aisladas A y B de radios R y 3R respectivamente.
La carga eléctrica de la esfera A es QA = 0 y la carga eléctrica de la esfera B es QB =
+ 20 C. Si las esferas se ponen en contacto y luego se separan, indique la verdad
(V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I) Durante el contacto de las esferas hay transferencia de electrones de la esfera A
hacia la esfera B.
II) Después del contacto los potenciales eléctricos de las esferas son iguales.
III) Después del contacto la magnitud de la carga de la esfera B es el triple que la de
la esfera A.
A) VVV B) VFV C) VVF D) FFV E) FFF
536

Solución:
I) V II) V III) V
Rpta.: A
3. Una partícula de masa m = 2 x 10-6 kg y carga eléctrica q - = 4 x 10-9 C se encuentra
en equilibrio entre las placas planas y paralelas de un condensador, como se
muestra en la figura. Determine la diferencia de potencial entre las placas, sabiendo
que la distancia entre ellas es d = 2 mm. (g = 10 m/s2)
A) 12 V
B) 5 V
C) 10 V
D) 20 V
E) 15 V
Solución:
En el equilibrio:
6 3
9
mg qE
V
mg q
d
mgd 2 10 10 2 10
V
q 4 10
V 10V
 



 
  
 
   
  

 
Rpta.: C
4. Un campo eléctrico uniforme de magnitud E = 250 V/m está en la dirección del
eje +x. Si una partícula con carga eléctrica q = 12 C se mueve lentamente desde el
origen de coordenadas hasta el punto (30 cm, 40 cm), ¿a través de qué diferencia
de potencial se movió?
A) 75 V B) –75 V C) 50 V D) –50 V E) 25 V
Solución:
5
3
º
5
0
c
m
d
(
3
0
,4
0
)c
m
+
y
+
x
0
537

Usando la relación: V = – Edcos53º = – (250)(50102)








5
3
V = – 75 V
Rpta.: B
5. Dos condensadores de capacidades C1 y C2 cuyas áreas de sus placas son A1 y A2
respectivamente se encuentran conectados a una fuente de voltaje V, como se
muestra en la figura. Ambos condensadores tienen la misma separación entre sus
placas y acumulan cargas q1 = 10 C y q2 = 15 C respectivamente. Determine la
razón entre sus áreas A1/A2.
A) 2/7
B) 4/3
C) 5/3
D) 2/5
E) 2/3
Solución:
0 1
1
A
C
d

 ; 1
1
q
C
V


0 2
2
A
C
d

 ; 2
2
q
C
V


1
1
0
q d
A
V

 
; 2
2
0
q d
A
V

 
1 1
2 2
A q 2
A q 3
 
Rpta.: E
6. Un conjunto de cuatro condensadores de igual capacidad C = 6 µF es conectado tal
como se muestra en la figura. La diferencia de potencial entre los puntos A y B es
10V
I) ¿Cuál es la capacidad equivalente entre los puntos A y B?
II) Determine la energía almacenada en el sistema de condensadores.
A) 48 µF; 3600 J
B) 12 µF; 2400 J
C) 18 µF; 1000 J
D) 24 µF; 1200 J
E) 30 µF; 1500 J
538

Solución:
I) Los cuatro condensadores están en paralelo:
CE = 4C = 4(6) = 24 µF
II) Energía almacenada:
2 2
E
1 1
U C ( V) (24)(10) 1200 J
2 2
    
Rpta.: D
7. Cuatro condensadores de capacidades C1 = 2 F, C2 = 2 F, C3 = 2 F y C4 = 3 F
están conectados como se muestra en la figura. Si la diferencia de potencial entre
los puntos A y B es 12 V, determine la energía almacenada en el condensador de
capacidad C4.
A) 92 J
B) 94 J
C) 96 J
D) 98 J
E) 90 J
Solución:
C1, C2, y C3 están en paralelo:
1 2 3
C C C C 6 F
    
Capacidad equivalente:
4
E
4
CC
C 2 F
C C
  

Carga almacenada:
E
q C V 24 C
   
Energía almacenada en C4:
2 2
4
4
4
q (24)
U 96 J
2C 2(3)
   
Rpta.: C
539

13
semana
FISICA

Física
CORRIENTE ELÉCTRICA Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
1. Concepto de corriente eléctrica
La corriente eléctrica es un flujo de cargas eléctricas debido a una diferencia de potencial
entre dos puntos de un conductor. Por ejemplo, en el conductor mostrado en la figura el
flujo neto de carga eléctrica es hacia la derecha porque el potencial eléctrico en el punto A
es mayor que el potencial eléctrico en el punto B. En el interior del conductor debe existir
un campo eléctrico E, el cual realiza trabajo sobre los portadores de carga eléctrica
(positiva/negativa).
(*) OBSERVACIONES:
1º) En un conductor sólido, la corriente eléctrica se debe al movimiento de electrones
libres. En los fluidos conductores (líquidos y gases) la corriente se debe al
movimiento de iones positivos y/o negativos.
2º) La corriente eléctrica que se describe en la teoría se llama corriente convencional.
Debe entenderse como la que tiene dirección opuesta al movimiento de los
electrones libres, es decir, la que tiene la dirección del movimiento de las cargas
positivas (véase la figura).
3º) La corriente eléctrica que se estudia aquí se llama corriente continua, porque tiene
una sola dirección.
2. Intensidad de corriente eléctrica (I)
Cantidad escalar que indica la cantidad de carga eléctrica que pasa por un conductor en
un intervalo de tiempo. Se expresa por:
tiempo
de
ervalo
int
neta
eléctrica
a
arg
c
I 
q
I
t

(Unidad S.I.: Amperio  A)
541

3. Resistencia eléctrica
Propiedad de los conductores que indica la oposición que manifiesta un conductor cuando
pasa una corriente eléctrica por él.
Para un conductor rectilíneo, como el mostrado en la figura, la resistencia eléctrica (R) es
directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional al área de su sección
transversal:
L
R
A


(Unidad: Ohm  )
: resistividad eléctrica del material conductor
L: longitud del conductor
A: área de la sección transversal del conductor
(*) OBSERVACIONES:
1°) En general, la resistividad eléctrica depende de la naturaleza del conductor y de la
temperatura. Se puede considerar constante en el rango de temperatura entre 15 °C
y 25 °C.
2°) Los resistores son objetos conductores de forma cilíndrica que tienen bandas de
colores. Su representación esquemática es como se muestra en la figura.
4. Ley de Ohm
La diferencia de potencial (V) entre dos puntos de un metal es directamente proporcional
a la corriente (I) que pasa por él.
V RI
 
R: resistencia eléctrica del metal (constante de proporcionalidad)
542

(*) OBSERVACIÓN:
La gráfica del voltaje en función de la intensidad de la corriente eléctrica en un conductor
que satisface la ley de Ohm es una línea recta inclinada cuya pendiente es:
V
tan R
I

  
5. Potencia eléctrica (P)
Indica la rapidez con que la energía eléctrica se transforma en calor u otra forma de
energía. En particular, en un conductor eléctrico:
P I V
 
(Unidad S.I.: Watt  W)
(*) OBSERVACIONES:
1º) Para un conductor metálico que satisface la ley de Ohm V = IR, se obtienen las
fórmulas equivalentes:
2
P I R

2
( V)
P
R


2º) La potencia calorífica disipada en una resistencia eléctrica es:
Q
P
t


Q: cantidad de calor disipado en la resistencia eléctrica
543

6. Efecto Joule
Expresa el requerimiento de la ley de conservación de la energía para el caso en que
parte de la energía eléctrica se transforma en calor (véase la figura):
La cantidad de calor (Q) disipado en un resistor eléctrico (R) al pasar una corriente
eléctrica (I) durante un intervalo de tiempo (t) es:
2
Q I Rt
 
O también:
2
( V)
Q t
R

 
7. Conexiones de resistores
7.1) Resistores en serie
Considérense tres focos cuyas resistencias son R1, R2 y R3. Cuando el extremo de uno de
ellos se conecta con el extremo del otro, como muestra la figura, se dice que los focos
están conectados en serie. (Véanse las figuras).
544

(*) OBSERVACIONES:
I1 = I2 = I3
V = V1 + V2 + V3
3º) La resistencia equivalente (RE) del sistema es:
E 1 2 3
R R R R
  
7.2) Resistores en paralelo
Considérense tres focos cuyas resistencias son R1, R2 y R3. Si los extremos de de ellos
resistencia se conectan simultáneamente entre sí a un mismo potencial (+ o –), se dice
que están conectados en paralelo. (Véanse las figuras).
545

(*) OBSERVACIONES:
V1 = V2 = V3
I = I1 + I2 + I3
3º) La resistencia equivalente (RE) del sistema se determina a partir de:
E 1 2 3
1 1 1 1
R R R R
  
8. Fuente de fuerza electromotriz (fem)
Dispositivo que permite mantener una diferencia de potencial entre dos puntos de un
circuito eléctrico. Por ejemplo, una batería es una fuente de voltaje que suministra energía
eléctrica a un circuito.
La fem de una fuente de voltaje (denotada por ) se define por:
trabajo
fem
carga eléctrica

W
q
 
(Unidad: voltio V)
546

(*) OBSERVACIONES:
1º) En una batería ideal se ignora su resistencia interna (r = 0), como muestra la figura
(a). Si la batería se recorre de menor (–) a mayor potencial (+), la diferencia de
potencial (VB – VA) es:
B A
V V V
    
2°) En una batería real se considera su resistencia interna (r  0), como muestra la
figura (b). Si la batería se recorre de menor (–) a mayor potencial (+) y la resistencia
interna se recorre de mayor a menor potencial, la diferencia de potencial (VB – VA)
para este caso es:
B A
V V V Ir
     
9. Medidores eléctricos
9.1) El amperímetro
Mide la intensidad de la corriente eléctrica. Se conecta en serie con un resistor, como
muestra la figura. En un amperímetro ideal la resistencia interna se considera nula (r = 0)
y mide exactamente la intensidad de la corriente eléctrica (I) que pasa por el resistor.
9.2) El voltímetro
Mide la diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito. Se conecta en paralelo con
un resistor, como muestra la figura. En un voltímetro ideal la resistencia interna se
considera infinita (r = ) y mide exactamente la diferencia de potencial (V) entre los
extremos del resistor.
547

10. Leyes de Kirchhoff
10.1) Regla de los nudos
Es el requerimiento de la ley de conservación de la carga eléctrica a cualquier nudo de un
circuito eléctrico. Por ejemplo, en la figura se cumple: I1 + I2 = I3. En forma práctica se
expresa así:
La sumatoria de las corrientes que entran en un nudo es igual a la sumatoria de las
corrientes que salen del nudo.
(entrantes) (salientes)
I I

 
10.2) Regla de las mallas
Es el requerimiento de la ley de conservación de la energía a cualquier malla de un
circuito eléctrico. Por ejemplo, en la figura se tienen tres mallas ABEFA, BCDEB y
ABCDEFA. En forma práctica se expresa así:
La sumatoria algebraica de las fems () de una malla es igual a la sumatoria algebraica de
los voltajes (IR) en cada resistor de la malla.
( ) ( )IR
   
 
Se usa (+), cuando el sentido de la fem y el sentido de la corriente coinciden con el
sentido de recorrido de la malla.
Se usa (–), cuando el sentido de la fem y el sentido de la corriente son opuestos al sentido
de recorrido de la malla.
548

(*) OBSERVACIONES:
1º) Las flechas de las corrientes en cada resistor se pueden dibujar con sentido
arbitrario, siempre que se cumpla la regla de los nudos.
2º) En cada malla se puede elegir arbitrariamente un sentido de recorrido
(horario/antihorario).
549

Física
EJERCICIOS
1. Se tiene un conductor sólido con una sección transversal de 10 mm2
. Calcular el
número de electrones que atraviesa dicha sección transversal del conductor en
5 segundos, cuando la intensidad de corriente es de 3,2 A.
A) 0,5  1019
B) 0,5  1020
C) 2  1019
D) 1020
Solución:
𝑛𝑒 = 𝐼𝑡  𝑛 × 1,6 × 10−19
= 3,2 × 5  𝑛 = 1020
Rpta.: D
2. Un conductor metálico tiene 4 m de longitud, y una sección transversal de 0,054 m2
.
Si el conductor tiene una resistividad eléctrica de 2,7  10–7
 m. Calcular su
resistencia eléctrica (en ohmios).
A) 10–5
 B) 10–6
 C) 2  10–5
 D) 2  10–6

Solución:
𝑅 =
𝜌𝐿
𝐴
 𝑅 =
2,7×10−7×4
0,054
 𝑅 = 2 × 10−5
Ω
Rpta.: C
3. En el circuito mostrado en la figura, calcular la resistencia equivalente (en ohmios)
entre los bornes A y B.
A) 1 
B) 1/3 
C) 3 
D) 9 
Solución:
Claramente las tres resistencias se encuentran en paralelo. Entonces:
1
𝑅𝐸
=
1
3
+
1
3
+
1
3
 𝑅𝐸 = 1Ω
Rpta.: A
550

36Ω
𝐼2
4. Todo dispositivo eléctrico pierde energía en forma de calor al paso de una corriente
eléctrica, debido a que todos estos poseen una resistencia interna. En este contexto,
un estudiante en un laboratorio desea conocer la resistencia eléctrica interna de
cierta pila. Para ello, primero la conecta a una resistencia de 16 , y luego se
reemplaza esta por otra de 36 . Si el estudiante midió que ambas resistencias
disipan la misma potencia. ¿Cuál es el valor de la resistencia interna de la batería
calculada por el estudiante?
A) 20  B) 24  C) 26  D) 36 
Solución:
Circuito 1:
De la Segunda ley de Kirchoff:
𝜀 − 𝐼1𝑟 − 𝐼116 = 0
𝜀 = 𝐼1(𝑟 + 16)
Circuito 2:
De la Segunda ley de Kirchoff:
𝜀 − 𝐼2𝑟 − 𝐼136 = 0
𝜀 = 𝐼2(𝑟 + 36)
Igualando: 𝐼1(𝑟 + 16) = 𝐼2(𝑟 + 36)

𝐼1
𝐼2
=
𝑟+36
𝑟+16
(1)
La potencia:  𝑃 = 𝐼𝑉 = 𝐼2
𝑅
Como las potencias son iguales:
 𝐼1
2
16 = 𝐼2
2
36 
𝐼1
𝐼2
=
6
4
=
3
2
(2)
Igualando (1) y (2):

𝑟+36
𝑟+16
=
3
2
 2𝑟 + 72 = 3𝑟 + 48  𝑟 = 24Ω
Rpta.: B
5. Se tiene una lámpara de 80 watts que está conectada a una fuente de voltaje de
220 V. ¿Qué cantidad de calor (en calorías) liberará dicha lámpara en un intervalo
de tiempo igual a 200 segundos?
(1 J = 0,24 cal).
A) 3840 cal B) 9580 cal C) 10500 cal D) 16000 cal
16Ω
𝐼1
551

Solución:
𝑃 =
𝐸
𝑡
𝐸 = 𝑃𝑡𝐸 = 80 × 200𝐽 = 80 × 200𝐽 ×
0,24𝑐𝑎𝑙
1𝐽
𝐸 = 3840 𝑐𝑎𝑙
Rpta.: A
6. El ohmmímetro es un instrumento que sirve para medir la resistencia eléctrica, al
colocar los terminales del ohmmímetro entre “x” e “y” la resistencia eléctrica medida
fue R. Determine la resistencia eléctrica que se medirá al conectar los terminales
entre “M” y “N”.
A) R
B) R/4
C) 4R
D) 2R
Solución:
Entre x e y:
𝑅 = 𝜌
𝐿
2𝐿2
𝑅 = 𝜌
1
2𝐿
𝜌 = (2𝐿)𝑅
…(1)
Entre M y N:
𝑅𝑀𝑁 = 𝜌
2𝐿
𝐿2
, 𝑑𝑒 (1)
𝑅𝑀𝑁 = (2𝐿)𝑅
2
𝐿
∴ 𝑅𝑀𝑁 = 4𝑅
Rpta.: C
7. Asumiendo que los resistores son idénticos. ¿En cuál de los cuatro circuitos
mostrados, la fuente proporciona menor intensidad de corriente? (asuma que en los
cuatro circuitos, el voltaje de la fuente es del mismo valor)
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
552

Solución:
En 1 : V = I*(3R) -> I1= V/(3R)
En 2 : V = I*(3R/2) -> I2 = 2*V/(3R)
En 3 : V = I*(R/3) -> I3 = 3V/R
En 4 : V = I*(2R/3) -> I4 = 3V/2R
Rpta.: A
8. Dos conductores cilíndricos A y B fueron sometidos a diferentes voltajes
obteniéndose medidas de intensidad de corriente según lo muestra la gráfica I vs V.
Determine la relación de resistencia RA/RB.
A) 2
B) 3
C) 1
D) 0.5
Solución:
Del gráfico:
1
𝑅𝐴
= 4 → 𝑅𝐴 = (
1
4
)Ω
1
𝑅𝐵
= 2 → 𝑅𝐵 = (
1
2
)Ω
∴
𝑅𝐴
𝑅𝐵
= 0.5
Rpta.: D
1. En el circuito mostrado R1 = R2 = R3. El interruptor “S” se encuentra abierto.
Determinar la lectura del amperímetro y del voltímetro, siendo ambos ideales.
A) 1 A, 10 V
B) 0 A, 10 V
C) 10/3 A, 10 V
D) 0 A, 0 V
Solución:
Circuito abierto con la fuente -> I = 0 A
Voltímetro en paralelo con la fuente -> V = 10 V
Rpta.: B
553

2. En el circuito mostrado en la figura, el condensador se encuentra completamente
cargado. Además, el amperímetro y voltímetro son ideales. Determine la lectura del
amperímetro.
A) 0.4 A
B) 0.6 A
C) 0.8 A
D) 1 A
Solución:
Al reducir el circuito:
20 = 𝐼 ∗ 𝑅𝑒𝑞
20 = 𝐼 ∗ 20
𝐼 = 1𝐴
Finalmente:
4 = 𝐼 ∗ 5
∴ 𝐼 = 0.8𝐴
Rpta.: C
3. En el circuito mostrado, halle la corriente (en A) que circula por la resistencia de 2 .
A) 12 A
B) 7/12 A
C) 12/7 A
D) 0 A
Solución:
En la malla MNPM:
0 = −5 − 3 + 2𝐼 + 8 + 4𝐼 − 12 + 1𝐼
0 = −12 + 7𝐼
∴ 𝐼 =
12
7
𝐴
Rpta.: C
554

4. La corriente eléctrica requiere de materiales que dispongan de una gran cuota de
electrones libres, es decir, ubicados en su última órbita alrededor del núcleo y por lo
tanto susceptibles de movilizarse, al estar menos fuertemente atraídos por éste. De
lo expuesto consideremos el caso mostrado en la figura, donde se observa como
varia la intensidad de corriente (𝐼) en función del tiempo (𝑡). Determine el número de
electrones que pasan por la sección transversal del conductor desde 𝑡 = 1 𝑠 hasta
𝑡 = 3 𝑠.
A) 25  1017
B) 40  1018
C) 55  1019
D) 75  1018
Solución:
De la figura:
𝑄 = 𝑛|𝑞𝑒−| = 𝐴𝑟𝑒𝑎
→ 𝑛 =
𝐴𝑡=1 𝑠→3 𝑠
|𝑞𝑒−|
→ 𝑛 =
(
7+5
2
) 2
1610−20
→ 𝑛 = 751018
Electrones
Rpta.: D
5. Dos conductores ofrecen resistencia al paso de la corriente eléctrica, según la
calidad del material y según sus dimensiones. La ley que regula esta característica
es la ley de Poulliet. Se muestra en la figura dos conductores del mismo material y
de secciones transversales homogéneas. Si la resistencia eléctrica del conductor (1)
es 360 , determine la resistencia eléctrica del conductor (2).
A) 30 
B) 60 
C) 90 
D) 40 
Solución:
Como son del mismo material:
𝑅 = 𝜌
𝐿
𝐴
→ 𝜌 =
𝑅𝐴
𝐿
…..(∗)
I (A)
t (s)
0
8
8
1 3
5
7
I
I (A)
t (s)
0
8
8
(1)
(2)
A
4A
3L
L
555

𝜌 =
𝑅1𝐴
3𝐿
=
𝑅24𝐴
𝐿
, si 𝑅1 = 360 Ω
∴ 𝑅2 = 30 Ω
Rpta.: A
6. Cuando en un circuito hay varias resistencias conectadas, resulta útil para calcular
las corrientes que pasan por el circuito y las caídas de tensión que se producen,
encontrar una resistencia que pueda sustituir a otras, de forma que el
comportamiento del resto del circuito sea el mismo; o sea, debemos encontrar o
calcular la Resistencia equivalente. Ahora bien, la figura muestra a un conjunto de
resistores donde la resistencia equivalente entre m y n es 8 , determine R.
A) 10 
B) 30 
C) 20 
D) 40 
Solución:
De la figura:
𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖 = 8 =
𝑅10
𝑅 + 10
∴ 𝑅 = 40 Ω
Rpta.: D
7. Un circuito eléctrico es la interconexión de dos o más componentes que contiene
una trayectoria cerrada. Dichos componentes pueden ser resistencias, fuentes, etc.
Según el circuito mostrado en la figura, determine la intensidad de corriente I que
pasa por la fuente.
A) 10 A
B) 4,5 A
C) 8 A
D) 4 A
Solución:
Por la ley de Ohm:
𝑉 = 𝐼𝑅𝑒𝑞𝑢𝑖 como la resistencia equivalente es
9
2
Ω
→ 36 = 𝐼 (
9
2
) → 𝐼 = 8 𝐴
Rpta.: C
m
C
n
R
m n
R
n
R
m
36 V
m
n
c c
R
36 V
I
556

Física
EJERCICIOS
1. Los cables de cobre utilizados para las conexiones eléctricas domiciliarias son buenos
conductores de la electricidad. Determine la intensidad de corriente que circula por un
conductor cuando a través de su sección transversal de 2 mm2 circulan 19
10 10

electrones en 8 s.
A) 2 A B) 0,2 A C) 4 A D) 8 A E) 2,3 A
Solución:
19 19
q ne (10 10 )(1
,6 10 )
i i 2A i 2A
t t 8

 
    
Rpta.: A
2. Un alambre metálico de longitud 0,5 m y área transversal de 
 6 2
2 10 m tiene una
resistividad eléctrica de 8
2 10 m

  . Si el alambre transporta una corriente de
intensidad 1A, determine la magnitud del campo eléctrico uniforme en su interior.
A) 0,01 V/m B) 0,02 V/m C) 0,03 V/m
D) 0,04 V/m E) 0,05 V/m
Solución:
Resistencia del alambre:
3
6
L 2 0,5
R 10
A 2 10

 
   5 

Voltaje:
3 3
IR  (1)(510 )  510 V
V 
Campo eléctrico:
3
V 5
 10
E 0,02 V / m
L 0,5

  
Rpta.: B
557

3. En los siguientes circuitos, indique cuál o cuáles de los circuitos I, II o III permite medir
correctamente el voltaje de la resistencia R, donde V: voltímetro.
A) Solo I B) Solo III C) II y III D) I y II E) I y III
Solución:
El voltímetro se instala en paralelo I
Solo

Rpta.: A
4. En la figura se muestra una conexión de cinco resistores de igual resistencia R.
Determine la resistencia equivalente entre los puntos a y b.
A) 8R/5
B) 8R
C) R/5
D) 5R/2
E) R/6
558

Solución:
Redibujando y reduciendo:
Resistencia equivalente:
E
R(3R / 2) 8R
R R
R 3R / 2 5
  

Rpta.: A
5. Se puede decir que la resistencia eléctrica es todo aquello que se opone al paso de la
corriente eléctrica.
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. En un conductor
rectilíneo,
I. Si se aumenta la sección transversal, entonces disminuye la resistencia.
II. Si se duplica el voltaje, entonces se duplica la corriente eléctrica.
II. Si se duplica la corriente eléctrica, entonces se duplica potencia eléctrica.
A) VFV B) FFV C) FVV D) VFV E) VFF
Solución:
I. Verdadero. Debido a que la resistencia es proporcional inverso al área:
L
R ρ
A

III. Verdadero.
V
V Ri, i
R
  duplica el voltaje: I I
2V
2V R 2i
R
  
II. Falso. Se cuadriplica.
2
P R i
 , duplicando la corriente: 2 2 2
P R(2i) 4R(i ) 4Ri 4P
   
Rpta.: A
559

6. Cada una de las resistencias en el circuito puede disipar un máximo de 18 W sin sufrir
ningún daño. Determinar la máxima potencia, que puede disipar el circuito.
A) 36 W
B) 54 W
C) 27 W
D) 16 W
E) 76 W
Solución:
Cálculo de la resistência equivalente del circuito:
T
R Ω
2 2
2 3
2 2

  

Cálculo de la corriente máxima del circuito:
máxima
P I 2
R
 
máxima máxima
I ( ) I
2
18 2 3A
   
Cálculo de la potencia máxima del circuito:
máxima máxima
P I 2
T
R
 
máxima
P ( ) ( )
2
3 3
 
máxima
P 27 W

Rpta.: C
7. Una tetera eléctrica calienta un líquido aumentando su temperatura de 20 ºC a 23 ºC
durante 120 s. Si la capacidad calorífica del líquido es 624 cal/ºC, ¿cuál es la potencia
consumida por la tetera? Asumir que todo el calor disipado en la resistencia eléctrica
de la tetera es absorbido por el líquido. (Considere 1 J = 0,24 cal)
A) 65 W B) 60 W C) 75 W D) 80 W E) 50 W
Solución:
560

Calor disipado en la resistencia de la tetera: 
Q 0,24Pt
Calor absorbido por el líquido:
Q C T
 
C T (624)(23 20)
P 65 W
0,24t 0,24(120)
 
  
Rpta.: A
8 . En el circuito mostrado en la figura determine la intensidad de corriente que circula
por el resistor de resistencia 4.
A) 0,6 A
B) 6 A
C) 1,6 A
D) 0,16 A
E) 1 A
Solución:
12 6 (6 4)i i 0,6A
   
Rpta.: A
1. Toda partícula con carga eléctrica, en movimiento, establece una corriente eléctrica.
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. Sobre la corriente
eléctrica:
I. El flujo de protones establece una corriente eléctrica.
II. El movimiento de iones establece una corriente eléctrica.
III. El flujo de electrones establece una corriente eléctrica.
A) VVV B) FFV C) FVV D) VFV E) VFF
Solución:
I. El flujo de protones establece una corriente eléctrica. (V)
II. El movimiento de iones establece una corriente eléctrica. (V)
III. El flujo de electrones establece una corriente eléctrica. (V)
Rpta.: A
561

2. Se inserta un amperímetro en el circuito que consta de seis resistores, una fem  y un
interruptor S, como se muestra en la figura. Cuando el interruptor S está abierto, la
lectura en el amperímetro es I1 , y cuando está cerrado la lectura es 2
I . Determine
I / I
1 2 .
A) 0,5
B) 0,6
C) 0,7
D) 0,8
E) 0,9
Solución:
I
I
E 1
E 2
5R 5R
S abierto : R
2 2
9R 9R
S : cerrado : R
2 4
  
   


9
,
0
10
9
2
1


I
I
Rpta.: E
3. Uno de los instrumentos que usualmente usan las damas es la secadora de cabello
que funciona con la corriente eléctrica. Una secadora eléctrica tiene una potencia de
22 W y funciona con una tensión de 220 V.
Determine cuál es resistencia eléctrica.
A) 2 200 B) 200 C) 22
D) 110 E) 1100
Solución:
2 2 2
V V 220
P R R 2 200
R P 22
    
Rpta.: A
562

4. Sobre el pararrayos del Instituto meteorológico ubicado en la ciudad de Puno cayó un
rayo y se midió experimentalmente la descarga eléctrica del rayo, siendo su potencia
eléctrica de 10
8 10
 watts en un tiempo de 2 ms. Si el potencial eléctrico fue de
320 kV, determinar la intensidad de la corriente eléctrica (en A) generado por el rayo.
A) 5
2,5 10 A
 B) 5
3,6 10 A
 C) 4
4,5 10 A

D) 3
5,0 10 A
 E) 6
6,8 10 A

Solución:
I
( ) I
I ,
10 3
5
P=V×
8 10 320 10
2 5 10 A
   
 
Rpta.: A
5. La mayoría de instalaciones eléctricas, tanto domésticas como industriales, tienen
conexiones en paralelo. La figura muestra una conexión en paralelo de un foco de 100
W, una plancha de 1000 W y un televisor de 200 W. Si la línea de transmisión de
voltaje a través del tomacorriente es 200 V, indique la verdad (V) o falsedad (F) de las
I) La intensidad de la corriente eléctrica que circula por la plancha es 10 veces la
intensidad que circula por el foco.
II) La intensidad de la corriente eléctrica que circula por el foco es la mitad de la
que circula por el televisor.
III) La intensidad de la corriente eléctrica que circula por la plancha es 5 veces de la
intensidad que circula por el televisor.
A) VVF B) FFF C) VFV D) FVV E) VVV
Solución:
I) V II) V III) V
Rpta.: E
563

6. Se conecta a la red eléctrica de 220 V en una sala de cuidados intensivos de un
hospital de MINSA, un motor eléctrico de una bomba de vacío para aspirar los fluidos
de los pacientes, el motor necesita 2 A para funcionar. Si la empresa eléctrica cobra
S/ 0,65 nuevos soles por kW-h consumido. ¿Cuánto costará, en nuevos soles,
mantener el motor encendido en la sala de cirugía durante 10 horas diarias, por
25 días?
A) S/ 50,4 B) S/ 83,0 C) S/116,2
D) S/ 174,8 E) S/ 71,5
Solución:
Energía de la bomba:
I
E V. .t

(220).(2).(10 25)
E 110 kW h
1000

  
costo: C (110).(0,65)

C S / 71
,50

Rpta.: E
7. En el circuito mostrado el voltaje en la resistencia R es 2 V. Determinar la magnitud
de la resistencia R.
A) 1,25 
B) 2,50 
C) 0,75 
D) 3,75 
E) 6,25 
Solución:
En el nodo M:
I I I
1 2 3
  … (1)
En la malla izquierda (1)
I
V R. 0
  
564

I I I
I I
1 3 3
1 1
10 5. R. 0 R. 2
10 5. 2 0 2,4A
     
      
En la malla derecha (2)
I
V R. 0
  
I I I
I I
2 3 3
2 2
22 5. R. 0 R. 2
22 5. 2 0 4A
     
     
R 1
,25W

Rpta.: A
565

Física
EJERCICIOS
1. Una técnica que utiliza el profesional tecnólogo físico en terapia y rehabilitación es
aplicar dosis de corriente eléctrica a la parte del cuerpo afectado. Se sabe que todo
flujo de carga eléctrica que atraviesa una sección transversal por unidad de tiempo
por un conductor se denomina intensidad de la corriente eléctrica. La intensidad de
corriente aplicada por el terapista médico a la parte afectada del cuerpo de un
deportista durante 10 minutos es de 1,6 mA. ¿Cuántos electrones fluyen por la parte
afectada del cuerpo del deportista?
A) 18
n 6 10
  B) 16
n 2 10
  C) 18
n 1
,5 10
 
D) 19
n 1
,5 10
  E) 18
n 6 10
 
Solución:
Como:
3
18
19
q ne q it
i n
t t t e
(1,6 10 )(600)
n n 6 10 electrones
1,6 10


   

  

Rpta.: A
2. La intensidad de la corriente eléctrica se define como cargas eléctricas que se
mueven por unidad de tiempo.
Respecto a la corriente eléctrica que circula por un conductor metálico, indique la
I) Los electrones se mueven siempre con velocidades constantes.
II) Los electrones se mueven siguiendo trayectorias irregulares, de forma que su
velocidad media es mucho menor que la de la luz.
III) Por convención, las cargas eléctricas positivas se mueven en la dirección de la
corriente mientras que las cargas eléctricas negativas en sentido opuesto.
A) FVV B) VFF C) FVF D) VFV E) VVV
566

Solución:
I) F II) V III) V
Rpta.: A
3.

En la naturaleza existen sustancias que son buenos y malos conductores de la
electricidad. Los buenos conductores son generalmente cuerpos metálicos. Un
resistor es un material que presenta una resistencia eléctrica al paso de la corriente
eléctrica que en general depende de la configuración geométrica del resistor. Un
alambre metálico de longitud L tiene una resistividad y resistencia eléctrica de
240 . Si con el mismo material se forma un alambre de longitud L/2, determine la
magnitud de la nueva resistencia eléctrica 2
R .
A) 960  B) 240  C) 110  D) 60  E) 30 
Solución:
1
1 1 2 2 2 2 1
1
1 2 1
1 2 1
1 2 1 1
2
L
Volumen : A L A L A A 2A
2
L
L L L
L 1 1
2
R : R R R
A 4 4
A A 2A A
1
R (240) 60
4
  


          
 
  
Rpta.: D
4. Una esferita con carga eléctrica Q = 8 nC gira atada al extremo de un hilo aislante
con rapidez angular constante de 100 rad/s. ¿Cuál es la intensidad de la corriente
eléctrica generada por la rotación de la esferita?
A) 0,1 µA B) 0,2 µA C) 0,4 µA D) 0,6 µA E) 0,8 µA
567

Solución:
De la definición de intensidad de corriente:
Q
I
T

Del MCU:
2
T



Q
I
2



9
7
100 8 10
I 4 10 A
2


 
  

Rpta.: C
5. Cuando en un circuito hay varias resistencias conectadas, resulta útil calcular las
corrientes que circulan por cada elemento del circuito y las caídas de tensión que se
producen; de esta forma se puede encontrar una resistencia que pueda sustituir a
otras de tal forma que el comportamiento de las resistencias del circuito sea el
mismo. Determine la resistencia equivalente en el circuito mostrado entre A y B.
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
Solución:
Req(AB) = 2Ω
Rpta.: B
568

6. Dos conductores A y B del mismo material están conectados a una misma diferencia
de potencial. El conductor A tiene el doble de diámetro y el doble de longitud que el
conductor B. ¿Cuál es la relación de las potencias electricas PA/PB de los dos
conductores?
A) 4 B) 1/2 C) 3 D) 1/4 E) 2
Solución:
2
A
A
( V)
P
R

 ;
2
B
B
( V)
P
R


A B
B A
P R
P R

A 2 2
(
2L) 2 L
R
(
2d)/ 4 d
 
 
 
; B 2 2
L 4 L
R
d / 4 d
 
 
 
2
A
2
B
P 4 L / d
2
P 2 L / d
 
 
 
Rpta.: E
7. Una fuente de voltaje genera una fuerza electromotriz  y como todo dispositivo
eléctrico tiene una resistencia propia llamada resistencia interna r. En la figura se
muestra una fuente de   120V y su resistencia interna  
r 0,10 . La fuente se
conecta a un resistor de resistividad  , resistencia R y que tiene 0,1 m de longitud,
sección transversal 
 8 2
2 10 m . Determine la cantidad de calor disipada por la
resistencia R durante un minuto.  

   8
6 10
A) 16,2 KJ
B) 0,54 KJ
C) 0,009 KJ
D) 0,27 KJ
E) 8,1 KJ
R
569

Solución:
 
  
 2
L
R
A
(
i r R)
Q (
Ri)t
1
8 1
8
1 1
1 2
(10 )
R (6 10 ) 3 10
2 10
12 i(10 3 10 ) i 30A
Q (3 10 )(30 )(60) 16 200 J 16,2kJ

 

 

    

   
   
Rpta.: A
8. En el circuito mostrado se conectan dos resistencias R1 = 6 , R2 = 4 , dos fuentes
de 
1
20V y 
2
10V , un amperímetro ideal y un voltímetro ideal. Determine las
lecturas del amperímetro y del voltímetro, respectivamente.
A) 1 A; 4 V
B) 3 A; 18 V
C) 1 A; 6 V
D) 3 A; 12 V
E) 2 A; 6 V
Solución:
De la regla de las mallas:
1 2 1 2
IR IR
    
El amperímetro indicará:
1 2
1 2
I 1 A
R R
  
 

El voltímetro indicará:
1
V IR 6 V
  
Rpta.: C
570

1. Ya desde buen tiempo, la intensidad de la corriente eléctrica tiene aplicaciones que
facilitan nuestra vida, en las fábricas para mover generadores y motores, en el
transporte para mover autos y trenes, en la agricultura para mover motores de riego,
hornos y calefactores, etc. Es una cantidad física que nos expresa la cantidad de
carga eléctrica que por unidad de tiempo es capaz de recorrer por un conductor. En
este caso, se ha encontrado que la intensidad de la corriente eléctrica a través de un
hilo conductor varía con el tiempo según la relación I = 4 + 3t, donde I se expresa en
amperios y t en segundos. Determine el número de electrones que pasan a través
de la sección transversal del hilo, entre t = 2 s y t = 6 s.
A) 1,61019 B) 11019 C) 21019
D) 41020 E) 21020
Solución:
Evaluando:
t = 2 s  I1 = 4+3(2) = 10 A
t= 6 s  I2 = 4+3(6) = 22 A
Luego:
10 22
Q Área 4 64C
2

 
 
 
 
Finalmente:
20
19
e
Q 64C
n 4 10 electrones
1
,6 10 C
q

   

Rpta.: D
2. Cuatro resistores idénticos con resistencia R = 2 Ω se instalan con una batería cuya
fem es ε = 12 V, como muestra la figura. Determine la diferencia de potencial entre
los puntos a y b.
A) 2,4 V
B) 2,0 V
C) 1,2 V
D) 3,2 V
E) 6,4 V
571

Solución:
Resistencia equivalente:
e
R
R 2R 5Ω
2
  
Corriente que genera la fuente de fem:
I
e
2,4 A
R
ε
 
Diferencia de potencial entre los puntos a y b:
ab
I
V R 1
,2 2 2,4 V
2
 
    
 
 
Rpta.: A
3. En el circuito eléctrico mostrado en la figura, determine la lectura del amperímetro
ideal y la intensidad de corriente que pasa por la resistencia de 3.
A) 2 A , 2/3 A
B) 2 A , 4/3 A
C) 2 A, 2 A
D) 4/3 A , 2 A
E) 2/3 A, 2 A
Solución:
R
6 3
2 4 Ω
6 3

  

Lectura del amperímetro:
V I.R

Σ Σ
2 + 6 = I (2 + 2)  I= 2 A
I I ..............( )
3 6 2 1
 
En las resistencias en paralelo
V3 = V6
I I I I
3 6 3 6
3 6 2
     , En (1)
I A

3
4
3
Rpta.: B
572

4. En el tratamiento de enfermedades del corazón, se usa un desfibrilador
cardíaco, aparato que envía una corriente eléctrica al corazón de forma sincronizada y
con una intensidad determinada interrumpiendo un tipo de arritmia cardiaca capaz
de producir la muerte en pocos minutos. Para intentar que reinicie el funcionamiento
del corazón se hace pasar una intensidad de corriente de 12 A y 25 V a través del
cuerpo, en un tiempo muy corto, normalmente de 3 ms aproximadamente. Determine
la potencia que transmite el desfibrilador en cada descarga al cuerpo, y calcule la
energía de 3 descargas aplicadas al paciente?
A) 150 W ; 0,9 J B) 900 W ; 0,9 J C) 300 W ; 2,7 J
D) 30 W ; 1,8 J E) 150 J ; 9 J
Solución:
Potencia del desfibrilador:
I
V
P .

)
25
(
).
12
(

P W
P 300

Energía de tres descargas
t
P
N
E .
.

)
003
,
0
.(
)
300
(
).
3
(

E
J
E 7
,
2

Rpta.: C
5. En los siguientes circuitos mostrados, indique cuál o cuáles de los circuitos I, II o III
permite medir correctamente la resistencia R mostrada, donde A: amperímetro y V:
voltímetro.
A) Solo I B) I y II C) II y III D) I y III E) Solo III
573

Solución:
El voltímetro se instala en paralelo y el amperímetro en serie con la resistencia.
I y II

Rpta.: B
6. ¿Cuánto tiempo tardará un calentador eléctrico de potencia 40 W en fundir 72 g de
hielo a 0C? Considere que todo el calor disipado en la resistencia eléctrica del
calentador es para fundir el hielo. (LF = 80 cal/g°C; 1 J = 0,24 cal)
A) 20 min. B) 5 min. C) 10 min. D) 8 min. E) 15 min.
Solución:
Según la ley de Joule:
Q = (0,24)I2Rt
Por dato:
Q = mLF
Potencia disipada:
P = I2R
De donde:
t =
 
F
mL 72 80
0,24 P 0,24 40



= 600 s = 10 min
Rpta.: C
7. En el circuito que se muestra, determine la lectura del amperímetro ideal.
A) 8A
B) 7A
C) 6A
D) 5A
E) 4A
10
20
A
20V
20
40V
574

Solución:
Rpta.: B
10
20
A
20V
20
40V
20V
40V
0V
0V 40V
2A
4A
1A
7
I A

575

Física
EJERCICIOS
1. La mínima intensidad de corriente que el cuerpo humano puede detectar es de 1
mA. Determine el número de electrones que pasan por el cuerpo humano por
segundo asociado a esta intensidad de corriente.
( e = 1,6×10-19 C )
C) 625 1015
B) 5,25 1015
E) 2,5 1013
A) 625 1013
D) 450 1013
Solución:
Como:
I =
t
q
y q = n.e n =
n = 1013 electrones
Rpta.: A
2. En cierto conductor, la intensidad de corriente eléctrica varía como se muestra en el
gráfico. Determine al número de electrones que atraviesa una sección del conductor
en 8 segundos.
A) 5 1016 B) 5 1016 C) 2 1016
D) 4 1017 E) 2 1018
576

Solución:
. = 0,32 C
Luego:
q =
N= q / e = = 2.
Rpta.: E
3. La figura muestra un conductor de aluminio cuya resistividad es .
Si se aplica un voltaje de 1 V entre los puntos M-N, determine la intensidad de
corriente eléctrica que se genera entre dichos puntos. (a = 5 mm, b = 100 m y c = 8
mm)
B) 7,1. A C) 15,3. A
E) 2,3. A
A) 14,3. A
D) 4,2. A
Solución:
Aplicando la ley de ohm:
luego:
Para los bornes M-N:
Rpta.: A
577

4. En el circuito mostrado, determine la intensidad de la corriente que fluye por la
fuente de fem.
A) 9 A
B) 10 A
C) 13 A
D) 11 A
E) 12 A
Solución:
Las tres resistencias de la derecha se anulan ya que existe corto circuito entre los
puntos A y B. El circuito se reduce a aquel que se muestra en la figura (b) y se
puede hallar la resistencia equivalente:
,
La intensidad de la corriente que fluye por la fuente es:
5. Para el circuito mostrado en la figura,
Rpta.: B
= 15 V, R1 = R2 = R3 = 30 y R4 = 20 .
Determine la intensidad de la corriente que indica el amperímetro A.
A) 0,1 A B) 0,2 A
C) 0,3 A D) 0,4 A
E) 0,5 A
578

Req = 10
Req = 10 + 20 = 30
Solución:
R1, R2 y R3 paralelo
R4 serie 20
I = = 0,5 A
Rpta.: E
6. Relacione los elementos indicados de arriba hacia abajo, con su propiedad
característica:
A) 25314
1. Galvanómetro
2. Fusible.
3. Conductor óhmico.
4. Amperímetro.
5. Voltímetro.
B) 34215 C) 25134 D) 14235 E) 35241
Solución:
1 galvanómetro: detecta corrientes pequeñas.
2. fusible: interrumpe el paso de la corriente por efecto joule.
3. conductor óhmico: posee resistencia constante independiente de la diferencia de
potencial.
4. amperímetro: posee resistencia eléctrica pequeña.
5. voltímetro: posee gran resistencia eléctrica.
Rpta.:A
7. Determine el costo económico mensual en mantener en actividad una refrigeradora
de 200 W, si funciona durante 12 horas diarias. Considere un mes de 30 días.
Además 1KW.H cuesta s/ 0,5.
A) S/. 26 B) S/. 30 C) S/. 28
E) S/. 36
D) S/. 24
Solución:
Luego :
P = En /t
En= P.t
En= 200 .12.30 = 72 Kw.h
Finalmente
Costo : 72x0,5 = S/ 36
Rpta.:E
. Interrumpe el paso de corriente por efecto joule.
. Posee gran resistencia.
. Posee resistencia constante, independiente de la diferencia de potencial.
. Detecta corrientes eléctricas pequeñas.
. Posee resistencia eléctrica pequeña.
579

1. Se tiene un conductor cilíndrico cuya resistencia es 5 ; ¿cuál será la nueva
resistencia de dicho conductor si duplicamos su longitud y su diámetro se reduce a
la mitad?
A) 25 B) 40 C) 20 D) 50 E) 30
Solución:
Rpta.: B
2. La resistencia equivalente de dos resistores cuando están conectados en serie es
resistor.
A) 31 , 19 B) 28 , 22 C) 32 , 18
D) 34 , 16 E) 30 , 20
Solución:
Datos: Rs p
De acuerdo con las fórmulas para las resistencias equivalentes en serie y en
paralelo de dos resistores, tenemos:
,
De la segunda ecuación se deduce que
,
es decir
,
Resolviendo este sistema se obtiene:
Rpta.: E
580

3. En el circuito mostrado la corriente en la resistencia R es nula. Determine la
magnitud de la resistencia X.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Solución:
El circuito mostrado corresponde a un puente de wheastone luego
4.3 = 2.X
Rpta.: D
4. Un amperímetro permite medir la intensidad de corriente eléctrica que fluye entre
dos puntos de un circuito. En el circuito mostrado en la figura, determine la
intensidad de la corriente eléctrica que indica el amperímetro A.
A) 5 A B) 4 A
C) 3 A D) 2 A
E) 1 A
Solución:
De la segunda ley de Kirchhoff
Rpta.: D
581

5. Un rayo se produce cuando dos puntos de la atmosfera tienen una diferencia de
potencial de 2,5.109 V, produce una corriente de 2.105 A. y el intervalo que se
produce la descarga es de 1 ms. Cuantas casas pueden ser abastecidas durante un
mes con la energía de un rayo?.
A) 300 B) 400 C) 5000 D) 6000 E) 700
Solución:
P = V i. t = 1,4.105KW-H
N= 1,4.105 / 3,5.102= 400
Rpta.: A
6. En el circuito mostrado de la figura, determine cuánto indica el voltímetro y
amperímetro A1, si el amperímetro A2 registra 0,3 A. Considere instrumentos ideales.
(un equipo de medición es ideal, si no altera el sistema)
A) 6 V, 0,2 A.
B) 4 V, 0,1 A.
C) 2 V, 0,2 A.
D) 6 V, 0,1 A.
E) 4 V, 0,2 A.
Solución:
Re
Luego:
Ri =V
20.0,3 = V = 6 V
En la rama superior (izquierda)
20/3 . 0,3 = Vizq= 2V
Finalmente:
10.A1 = 2
A1 =0,2 A
Rpta.:A
582

7. En el circuito mostrado en la figura 1 se anula la resistencia de 25 y a continuación
se conecta una resistencia R (la figura 2). Determine la magnitud de la resistencia R
para que la intensidad de la corriente que fluye por la resistencia de 100 no varíe.
A) 4
B) 10
C) 12
D) 18
E) 20
Solución:
Rpta.: A
583

14
semana
FISICA

Física
MAGNETISMO
1. Polos magnéticos
Son los extremos de una piedra metálica llamada imán. Se denominan polo Norte (N) y
polo Sur (S), como se indica en la figura.
Ley de los polos: polos magnéticos de igual nombre se repelen y polos magnéticos de
nombres contrarios se atraen. (Véanse las figuras).
La interacción (atracción/repulsión) entre polos de imanes se llama fuerza magnética, y se
dice que el imán crea un campo magnético en el espacio que lo rodea.
Un campo magnético en el entorno de un imán se representa gráficamente por líneas de
fuerza o líneas de inducción magnética, como se muestra en la figura.
(*) OBSERVACIONES:
1°) Las líneas de inducción magnética son cerradas y nunca se interceptan.
2°) Por convenio las líneas de fuerza del campo magnético o líneas de inducción
magnética se dibujan saliendo del polo norte e ingresando al polo sur, como muestra
la figura.
585

3°) Los polos magnéticos de un imán son inseparables. No existen imanes con un sólo
polo magnético, llamados monopolos magnéticos. Cada vez que se dividan se
obtendrán otros imanes más pequeños (véase la figura).
2. Definición de campo magnético (B)
Se dice que existe un campo magnético en una región del espacio cuando una partícula
con carga eléctrica en movimiento (véase la figura) o una corriente eléctrica experimenta
una fuerza magnética.
La magnitud del campo magnético (B) se define:
fuerza (magnitud) fuerza (magnitud)
B
(carga eléctrica) (rapidez) (corriente eléctrica) (longitud)
 
 











T
Tesla
m
A
N
s
/
m
C
N
:
.
I
.
S
Unidad
586

3. Campo magnético producido por una corriente rectilínea muy larga
La magnitud del campo magnético B producido por una corriente rectilínea muy larga es
directamente proporcional a la intensidad de la corriente eléctrica (I) e inversamente
proporcional al radio de circulación (r) del campo magnético:
0
2
I
B
r



o = 4  10–7 Tm/A: permeabilidad magnética del vacío
La dirección de circulación del campo magnético (B) se determina con la siguiente regla
de la mano derecha (véase la figura anterior):
Si el pulgar extendido indica la dirección de la corriente eléctrica, los dedos flexionados
indicarán el sentido de circulación de B.
(*) OBSERVACIONES:
1°) La corriente eléctrica y el campo magnético no están en el mismo plano.
Representando la corriente saliente perpendicularmente del plano con , y
aplicando la regla de la mano derecha, la circulación del campo magnético se
describe en sentido antihorario, como muestra la figura (a). Análogamente,
representando la corriente entrante perpendicularmente al plano con  , la
circulación del campo magnético se describe en sentido horario, como muestra la
figura (b).
587

2º) La dirección del campo magnético B en un punto de la línea de inducción se indica
con una vector tangente a la circunferencia, el cual es perpendicular al radio vector
r (véanse las figuras anteriores).
4. Campo magnético producido por una corriente circular
La magnitud del campo magnético B producido por una corriente circular en su centro es
directamente proporcional a la intensidad de la corriente (I) que conduce e inversamente
proporcional a su radio (R):
R
2
I
B 0


La dirección del campo magnético producido por esta corriente se determina por la
siguiente regla de la mano derecha (véase la figura):
Si los dedos flexionados indican el sentido de circulación de la corriente, el pulgar
extendido indicará la dirección del campo magnético B.
(*) OBSERVACIONES:
1º) Toda espira con corriente eléctrica es un imán. La cara con el campo magnético
saliente es el polo norte y la cara con el campo magnético entrante es el polo sur
(véase la figura).
588

2°) La corriente eléctrica y el campo magnético no están en el mismo plano. Si la
corriente circula en sentido antihorario, aplicando la regla de la mano derecha, el
campo magnético es saliente del plano y se representa con , como muestra la
figura (a). Análogamente, si la corriente circula en sentido horario, aplicando la regla
de la mano derecha, el campo magnético es entrante al plano y se representa con  ,
como muestra la figura (b).
3°) Campo magnético en el centro de un segmento de corriente circular:
0I
B
2 2R


 
   

 
: ángulo central limitado por el segmento circular
R: radio del segmento circular
5. Fuerza magnética sobre una partícula cargada
La magnitud de la fuerza magnética (FM) que experimenta una partícula cargada se
expresa por:
M
F qvBsen
 
q: magnitud de la carga eléctrica de la partícula
v: rapidez de la partícula
B: magnitud del campo magnético
: ángulo entre v y B
589

La dirección de la fuerza magnética se determina por la regla de la mano derecha. En las
figuras (a), (b) y (c) se muestran tres formas equivalentes:
(a) Si los dedos extendidos de la mano derecha indican la dirección de v y se flexionan
hacia el vector B, el pulgar indicará la dirección de M
F .
(b) Si el dedo índice extendido tiene la dirección de v y el dedo medio tiene la dirección
de B, el pulgar extendido indicará la dirección de M
F .
(c) Si el dedo pulgar extendido tiene la dirección de v y los otros dedos extendidos
tienen la dirección de B, la palma indicará la dirección de M
F .
(*) OBSERVACIONES:
1°) La fuerza M
F es siempre perpendicular al plano donde se encuentran los vectores v
y B.
2°) Si v y B son perpendiculares entre si ( = /2):
M
F qvB

(magnitud máxima)
3°) Si v y B son paralelos ( = 0) o antiparalelos ( = ): FM = 0
4°) Si v = 0 ó q = 0: FM = 0
590

6. Trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético uniforme
Cuando una partícula cargada ingresa a una región donde existe un campo magnético
uniforme B con una velocidad v perpendicular a la dirección del campo magnético.
Realiza MCU (véanse las figuras).
Despreciando el peso de la partícula respecto a la fuerza magnética la segunda ley de
Newton requiere:
2
2
mv
qvB m R
R
  
v: rapidez tangencial de la partícula
: rapidez angular de la partícula
m: masa de la partícula
R: radio de la circunferencia
7. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica rectilínea
La magnitud de la fuerza magnética resultante que experimenta el conductor recto que
transporta corriente, situado en un campo magnético uniforme B está dada por:
M
F ILBsen
 
L: longitud del conductor
I: intensidad de corriente eléctrica
: ángulo entre B y la dirección de la corriente
La dirección de la fuerza magnética sobre un conductor que transporta corriente se
determina usando la regla de la mano derecha, como se muestra en la figura.
591

(*) OBSERVACIONES:
1°) Si B es perpendicular al conductor ( = /2), la magnitud de la fuerza magnética es
máxima:
M
F ILB

2°) Si B es paralelo a la dirección de la corriente en el conductor ( = 0 ó ), la magnitud
de la fuerza magnética es: FM = 0.
8. Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos paralelos muy largos
La magnitud de la fuerza magnética de atracción o repulsión (FM) por unidad de longitud
(L) entre dos conductores rectilíneos, paralelos muy largos es directamente proporcional
al producto de las intensidades de corriente que pasan por los conductores e
inversamente proporcional a la distancia entre ellos:
0 1 2
2
M
F I I
L d



d: distancia entre conductores
I1, I2: intensidades de corriente eléctrica en los conductores
592

EJERCICIOS
1. Con respecto al experimento Hans Christian Oersted realizado en 1820 y a las
propiedades del campo magnético. Indique la verdad (V) o falsedad (F), de las
I. El experimento demuestra la relación entre magnetismo y electricidad.
II. La aguja imantada colocada sobre el conductor eléctrico se orienta
paralelamente al conductor.
III. El campo magnético se representa con líneas imaginarias denominadas líneas
de inducción magnética y estas son líneas abiertas.
IV. El campo magnético en un punto del espacio es perpendicular a las líneas de
inducción.
A) VVVV B) VVFF C) VFFF D) VFFV
2. La figura muestra las secciones transversales de dos conductores rectilíneos
infinitos que transportan corrientes eléctricas I1 = 10 A e I2 = 5A. ¿A qué distancia
del conductor izquierdo (I1) la intensidad del campo magnético es nula? La
separación entre los conductores es 90 cm.
A) 30 cm
B) 60 cm
C) 90 cm
D) 120 cm
3. La figura muestra tres espiras circulares donde circulan cierta corriente eléctrica I.
Determine la magnitud y la dirección de la inducción magnética en el centro de las
espiras.
A)
𝜇0𝐼
6𝑅
, ⨀
B)
𝜇0𝐼
6𝑅
, ⨂
C)
𝜇0𝐼
12𝑅
, ⨀
D)
𝜇0𝐼
12𝑅
, ⨂
I1 I2
90 cm
 
593

4. Se cuenta con alambres conductores por los cuales circula las corrientes eléctricas
mostradas. Detemine la magnitud de la inducción magnética resultante en el origen
O del sistema de coordenadas cartesianas dada.
( 1 2
R 10 cm; 0,4 A; 1,6 A; 3
       )
A) 2,0 T
B) 2,4 T
C) 3,0 T
D) 3,2 T
5. Una varilla conductora metálica se mueve en una región de campo magnético
uniforme B con una rapidez v, como se muestra en la figura. Indicar la verdad (V) o
I. El extremo A se carga negativamente.
II. El extremo B se carga positivamente.
III. En el interior de la varilla se genera un
campo eléctrico.
A) FVF B) VVV C) FFV D) VFF
6. Una esfera de 400 g y electrizada con +800 mC, gira uniformemente en torno al
punto “O” con rapidez tangencial Vo = 10 m/s, en un campo magnético uniforme cuya
inducción magnética tiene magnitud B = 0,5 T. Determine la magnitud de la tensión
del hilo que une a la esfera con el centro de giro O. Desprecie efectos gravitatorios.
A) 36 N
B) 24 N
C) 32 N
D) 20 N
X
Y
Z
I1
I2
+20cm

Vo
L=1m
B
594

7. Un conductor por el circula una corriente eléctrica en un campo magnético,
experimenta la acción de una fuerza magnética de parte de dicho campo, éste
principio es utilizado para la construcción de los llamados motores eléctricos. En el
caso siguiente, determine la magnitud de la fuerza magnética que actúa sobre el
conductor mostrado, si I = 1,5 A y el campo magnético tiene una magnitud constante
B =
3
2
T.
A) 6 N
B) 12 N
C) 9 N
D) 15 N
8. Una partícula electrizada con 𝑄+
= 1 𝜇𝐶 y de 1 𝜇𝑔 se lanza perpendicularmente a un
campo magnético homogéneo (B = 2 T) con una rapidez de 106 m/s. Despreciando
los efectos gravitatorios, determine la frecuencia de dicha partícula.
A)
1
5𝜋
𝐻𝑧 B)
1
10𝜋
𝐻𝑧 C)
1
2𝜋
𝐻𝑧 D)
1
𝜋
𝐻𝑧
1. Los imanes son materiales que tienen la cualidad de atraer al hierro, al cobalto o
níquel, es decir la propiedad del magnetismo. Pueden ser naturales (magnetita
3 4
Fe O ) o artificiales (Ferrita, AlNiCo, NdFeB). Ciertos materiales presentan un
comportamiento particular cuando son frotados por un imán. Responder verdadero
(V) o falso (F) a las proposiciones siguientes:
I. Los materiales ferromagnéticos son aquellos que no retienen el magnetismo de
un imán tan pronto se les retira.
II. Los materiales paramagnéticos son aquellos que débilmente o no retienen el
magnetismo tan pronto se retira el imán de ellos.
III. Los materiales diamagnéticos son aquellos que se magnetizan fuertemente al
ser frotados por un imán.
A) VVV B) FVF C) VFV D) VVF
2. La figura muestra un alambre conductor de gran longitud por el que circula una
corriente eléctrica de intensidad I = 0,8 A. La inducción magnética en el punto P es
cuatro veces la inducción magnética en el punto Q. Determine la distancia entre los
puntos P y Q, si la magnitud de la inducción magnética en el punto medio entre P y
Q es 1,6T.
A) 6 cm
B) 9 cm
C) 12 cm
D) 14 cm
2m
30° 30°
I
B
P
Q
I
595

3. El experimento de Oersted demostró la relación entre el magnetismo y la corriente
eléctrica. Así sabemos que todo conductor eléctrico por el circula una corriente
eléctrica este se comporta como un imán (electroimán) creando a su alrededor un
campo magnético. El cual representamos con líneas imaginarias denominadas
líneas de inducción magnética. En la figura se muestra dos conductores eléctrico
uno rectilíneo muy largo y otro circular. Determine la intensidad del campo
magnético resultante en el punto P.
-7
0
(μ =4πx10 Tm/A; 3)
A) 0,8 μT
B) 1 μT
C) 1,5 μT
D) 0,6 μT
4. En la figura muestra un alambre que conduce una intensidad de corriente eléctrica
de A
5

I en un campo magnético uniforme de magnitud B = 0,15 T. Indique la
I. En la porción AB la fuerza magnética  
m
F es nula.
II. En BC, )
z
(
N
2
,
0
Fm 

III. En CD, )
z
(
N
12
,
0
Fm 

A) FVV B) VFV C) VVV D) FVF
596

5. En la figura se muestra dos conductores rectilíneos e infinitos, dispuesto
perpendicularmente. Determine la magnitud del campo magnético resultante en el
punto P.
7
0
( 4 10 Tm / A)

  
A) 8
5 10 T


B) 8
7 10 T


C) 8
14 10 T


D) 8
3 2 10 T


6. Un electrón ingresa perpendicularmente a un campo magnético uniforme de
intensidad 45T, con una rapidez 6
1,6 10 m/s . Si la partícula describe un MCU.
Determine el radio de su trayectoria.
19 -31
e
( e =1,6x10 C , m =9x10 kg)
A) 0,1 m B) 0,5 m C) 0,4 m D) 0,2 m
7. Se aceleran electrones a través de una diferencia de potencial de 6
5 10 V

partiendo del reposo. Luego ingresan por la posición A saliendo por B, donde existe
un campo magnético uniforme, tal como se muestra en la figura. Determine el tiempo
que permanece dentro de dicho campo.
19 -31 12
e
( e =1,6x10 C , m =9x10 kg, 3, p=10 )
A) 2,25 ps
B) 2,5 ps
C) 4,5 ps
D) 3,25 ps
597

Física
EJERCICIOS
II. La aguja imantada colocada sobre el conductor eléctrico se orienta paralelamente
al conductor.
III. El campo magnético se representa con líneas imaginarias denominadas líneas de
inducción magnética y estas son líneas abiertas.
inducción.
Solución:
I. (V)
II. (F) Se orienta perpendicularmente al conductor.
III: (F) Son líneas cerradas.
IV. (F) El campo magnético es tangente a las líneas de inducción.
Rpta.: C
2. La figura muestra las secciones transversales de dos conductores rectilíneos infinitos
que transportan corrientes eléctricas I1 = 10 A e I2 = 5A. ¿A qué distancia del
conductor izquierdo (I1) la intensidad del campo magnético es nula? La separación
entre los conductores es 90 cm.
A) 30 cm
B) 60 cm
C) 90 cm
D) 120 cm
Solución:
En la figura se muestra los vectores 1
B
→
y 2
B
→
, debido a las corrientes 1
I e 2
I . Para que
R
B
→
sea nulo, a una distancia x del conductor izquierdo, las magnitudes de 1
B
→
y 2
B
→
tienen que ser iguales.
1
B
→
2
I 5A
=
1
I 10 A
=
2
B
→
90 cm - x
x
I1 I2
90 cm
• •
598

Por tanto: 1 2
B B
= (para que R
B 0
= )
( )
0 1 0 2
I I 10 A 5A
2 x 2 90cm x x 90cm x
 
=  =
  − −
→ x = 60 cm
Rpta.: B
espiras.
A)
𝜇0𝐼
6𝑅
, ⨀
B)
𝜇0𝐼
6𝑅
, ⨂
C)
𝜇0𝐼
12𝑅
, ⨀
D)
𝜇0𝐼
12𝑅
, ⨂
Solución:
La inducción magnética total en el centro y considerando su dirección será:
𝐵𝑅 = −
𝜇𝑜
2
(
𝐼
𝑅
) +
𝜇𝑜
2
(
𝐼
2𝑅
) +
𝜇𝑜
2
(
𝐼
3𝑅
) =
𝜇𝑜𝐼
12
⨂
Rpta.: D
mostradas. Detemine la magnitud de la inducción magnética resultante en el origen O
del sistema de coordenadas cartesianas dada.
( 1 2
R 10 cm; 0,4 A; 1,6 A; 3
=  =  =   )
A) 2,0 T
B) 2,4 T
C) 3,0 T
D) 3,2 T
Solución:
La inducción magnética debido a la semiespira es:
7
o 1
1
1 4 x10 (0,4)
B ( ) 0,4 0,4(3) 1,2 T
2 2R 4(0,1)
−
  
= = =  = = 
La inducción magnética debido al conductor rectilíneo
de gran longitud es:
B1
B2 BR
X
Y
Z
I1
I2
+20cm
•
599

7
o 2
2
4 x10 (1,6)
B 1,6 T
2 d 2 (0,2)
−
  
= = = 
 
Luego, la inducción magnética resultante será:
2 2 2 2
R 1 2
B B B (1,2) (1,6) 2 T
= + = + = 
Rpta.: A
campo eléctrico.
Solución:
I. V II. V III. V
Rpta.: B
6. Una esfera de 400 g y electrizada con +800 mC, gira uniformemente en torno al punto
“O” con rapidez tangencial Vo = 10 m/s, en un campo magnético uniforme cuya
A) 36 N
B) 24 N
C) 32 N
D) 20 N
Vo
L=1m
B
600

Solución:
Por dinámica circular
CP CP
F m.a
=
Se tendrá
2
T
V
T Fm m
R
+ =
2
o
o
V
T q V BSen90 m
L
+  =
2
(10)
T 0,8(10)(0,5)(1) 0,4
1
+ =
 𝑇 = 40 − 4 = 36𝑁
Rpta.: A
B =
3
2
T.
A) 6 N
B) 12 N
C) 9 N
D) 15 N
Solución:
La magnitud de la fuerza
magnética sobre el alambre
conductor, se determina así:
m MN
F L B
= 
m
3
F 1,5(4 3)( )
2
=
 m
F 9 N
=
Rpta.: C
A)
1
5𝜋
𝐻𝑧 B)
1
10𝜋
𝐻𝑧 C)
1
2𝜋
𝐻𝑧 D)
1
𝜋
𝐻𝑧
2m
30° 30°
I
B
T
Fm
Vo
2m
30° 30°
I B
M N
Fm
601

Solución:
Calculo del radio de la trayectoria circunferencial:
𝑅 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
→ 𝑅 =
10−6
 106
10−6  2
= 0.5  106
𝑚
Cálculo de la frecuencia: 𝑣 = 𝜔𝑅 → 𝑣 = 2𝜋𝑓𝑅 → 𝑓 =
𝑣
2𝜋𝑅
→ =
106
2𝜋(0.5  106)
𝑓 =
1
𝜋
𝐻𝑧
Rpta.: D
níquel, es decir la propiedad del magnetismo. Pueden ser naturales (magnetita 3 4
Fe O
) o artificiales (Ferrita, AlNiCo, NdFeB). Ciertos materiales presentan un
comportamiento particular cuando son frotados por un imán. Responder verdadero (V)
o falso (F) a las proposiciones siguientes:
III. Los materiales diamagnéticos son aquellos que se magnetizan fuertemente al ser
frotados por un imán.
Solución:
I. Falso. Los materiales ferromagnéticos como el hierro se caracterizan por retener
fuertemente el magnetismo. Por ejemplo, si un imán de NdFeB se frota con un
clavo de hierro, éste último se magnetiza.
II. Verdadero. El aluminio o el platino son por ejemplo materiales paramagnéticos.
III. Falso. El oro, el bismuto y el grafito de carbono son materiales diamagnéticos que
repelen el magnetismo de los imanes, en consecuencia, no se magnetizan.
Rpta.: B
puntos P y Q, si la magnitud de la inducción magnética en el punto medio entre P y Q
es 1,6T.
A) 6 cm
B) 9 cm
C) 12 cm
D) 14 cm
P
Q
I
602

Solución:
En el punto medio entre los puntos P y Q se tiene:
o
B 1
,6 T
2 (2,5d)
 
= = 


7
6
4 10 (0,8)
1
,6 10
5 d
−
−

= 

 d = 0,04 m
Luego; 3d 3(0,04) 0,12 m
= =
Rpta.: C
campo magnético. El cual representamos con líneas imaginarias denominadas líneas
de inducción magnética. En la figura se muestra dos conductores eléctrico uno
rectilíneo muy largo y otro circular. Determine la intensidad del campo magnético
resultante en el punto P.
-7
0
(μ =4πx10 Tm/A; 3)
A) 0,8 μT
B) 1 μT
C) 1,5 μT
D) 0,6 μT
Solución:
Como los dos campos magnéticos son entrantes en el punto P, tenemos:
7 7
P
1 4 3 10 4 4 10 2
B
2 2 1 2 0,5
− −
 
    
= +
 
 
 
 
P
B 0,8 T
= 
Rpta.: A
P
Q
I
d
4d 3d
603

4. En la figura muestra un alambre que conduce una intensidad de corriente eléctrica de
A
5
=
I en un campo magnético uniforme de magnitud B = 0,15 T. Indique la verdad
I. En la porción AB la fuerza magnética ( )
m
F es nula.
II. En BC, )
z
(
N
2
,
0
Fm −
=
III. En CD, )
z
(
N
12
,
0
Fm +
=
Solución:
( )( )
( )( ) N
12
,
0
53
sen
10
15
10
20
5
F
N
12
,
0
10
15
10
16
5
LB
F
2
2
CD
2
2
BC
=



=
=


=
=
−
−
−
−
I
Rpta.: C
punto P.
7
0
( 4 10 Tm / A)
−
 = 
A) 8
5 10 T
−

B) 8
7 10 T
−

C) 8
14 10 T
−

D) 8
3 2 10 T
−

604

Solución:
Para el conductor paralelo al plano
7
8
1
4 10 0,2
B 4 10 T
2 1
−
−
 
= = 

Para el conductor perpendicular al plano
7
8
2
4 10 0,3
B 3 10 T
2 2
−
−
 
= = 

Como 1 2
B B
⊥ , tenemos: 8
P
B 5 10 T
−
= 
Rpta.: A
19 -31
e
( e =1,6x10 C , m =9x10 kg)
A) 0,1 m B) 0,5 m C) 0,4 m D) 0,2 m
Solución:
2
m
v
F m
R
2
v
qvB m
R
R
qB
mv
31 6
19 6
9 10 1,6 10
R 0,2 m
1,6 10 45 10
−
− −
  
= =
  
Rpta.: D
5 10 V
 partiendo
del reposo. Luego ingresan por la posición A saliendo por B, donde existe un campo
magnético uniforme, tal como se muestra en la figura. Determine el tiempo que
permanece dentro de dicho campo.
19 -31 12
e
( e =1,6x10 C , m =9x10 kg, 3, p=10 )
A) 2,25 ps
B) 2,5 ps
C) 4,5 ps
D) 3,25 ps
605

Solución:
C
2
e
6 19
9
31
e
Ve E
m v
Ve
2
2 Ve 2 5 10 1,6 10 4
v 10 m/s
m 3
9 10
−
−
 =
 =
    
= = = 

Del MCU, tenemos:
3
12
9
v R
2
v R
T
2 R 2 3 2 10
T 9 10 s
v 4 10
3
−
−
= 

=
   
= = = 

Por lo tanto:
12
12
T 9 10
t 2,25 10 s 2,25 ps
4 4
−
−

= = =  =
Rpta.: A
606

Física
EJERCICIOS
1. Se muestran dos conductores paralelos de gran longitud, determine la magnitud de la
inducción magnética resultante en el punto P.
A) 150 T

B) 100 T

C) 80 T

D) 90 T

E) 10 T

Solución:
Si 0 0
A B
3 4
B , B
2 d 2 d
 
 
 
; por ser notables los valores entonces en P sería
7
0
P P 1
P
5 4 10 5
B , B
2 d 2 10
B 10 T


  
 
 
  
Rpta.: E
2. Si los conductores mostrados son paralelos y de gran longitud, ¿cuál es la magnitud
de la inducción magnética en el punto P?
A) 2 T

B) 3 T

C) 4 T

D) 5 T

E) 6 T


10 cm P

10 cm
3 A
4 A


P
20cm 30cm
1 A
6 A
607

Solución:
De la figura notamos
0 1 0 2 0 1 2
P 1 2 P P
1 2 1 2
7
P 1 1
P
B B B B B
2 d 2 d 2 d d
4 10 1 6
B
2 2 10 3 10
B 5 T

 
 
  
       
 
    
  
  
 
  
 
  
I I I I
Rpta.: D
3. Un conductor muy delgado esta doblado como muestra el gráfico. Si por el pasa una
intensidad de corriente eléctrica de 6A, determine la magnitud de la inducción
magnética en el punto “0”. (r = 10 cm)
A) 10 T
 
B) 4 T
 
C) 6 T
 
D) 8 T
 
Solución:
De la figura podemos establecer lo siguiente: 𝐵𝑜 = 𝐵1 + 𝐵2 → 𝐵𝑜 =
𝜇𝑜𝐼𝜃
4𝜋3𝑟
+
𝜇𝑜𝐼𝜃
4𝜋𝑟
→ 𝐵𝑜 =
𝜇𝑜𝐼𝜃
4𝜋𝑟
(
1
3
+ 1) → 𝐵𝑜 =
10−7
𝑥6𝑥𝜋
10−1
(
4
3
)
∴ 𝐵𝑜 = 8𝜋 𝜇𝑇
Rpta.: D
4. Un electrón (carga negativa) q = e
describe un movimiento circular uniforme de radio
r, con una frecuencia , determine una expresión para la inducción magnética
resultante en el centro de la trayectoria circular.
A)
r
.
f
.
e
.
π
μ
2
0
B)
r
.
f
.
e
.
π
μ
2
0
C)
r
f
.
e
.
0
μ
D)
r
.
f
.
e
.
2
0
μ
I

o
I
r
3r
608

Solución:
Campo magnético para cargas en movimento:
q V sen
B V R f R
R
0
2
μ θ
ω 2π
4π
  
      

q ( f R)sen
B V R f R
R
sen sen
0
2
μ 2π θ
ω 2π
4π
θ 90 1
   
      

 
q f
B
R
0
μ
2
 


Rpta.: D
5. La regla de la mano derecha permite determinar la dirección de un tercer vector, si se
conocen las orientaciones vectoriales de los otros dos vectores. Teniendo en cuenta
esta regla, indicar el esquema correcto de los vectores asociados a una partícula con
carga eléctrica negativa en movimiento.
A) B)
C) D)
Solución:
Usando la regla de la mano derecha C)
Rpta.: C
6. Si una partícula cargada eléctricamente ingresa a una región donde existe un campo
magnético; experimentará una fuerza magnética cuando la velocidad es perpendicular
al campo magnético efectuando una trayectoria circular. Una partícula con carga q y
masa kg
10
4
m 6


 , ingresa con rapidez v a una región donde existe un campo
magnético uniforme de magnitud B = T; si describe una trayectoria circular a razón
de 60 rpm. Determine la carga eléctrica de la partícula.
A) 8 C B) 6 C C) 10 C D) 4 C
609

E
B

 







 







v
Solución:
C
q
q
s
rad
w
w
m
qB
6
6
10
8
2
10
4
2













Rpta.: A
7. Si en una región del espacio actúan simultáneamente un campo eléctrico y un campo
magnético; una partícula cargada eléctricamente experimentará una fuerza magnética
y una fuerza eléctrica; un caso particular es el usado en los televisores para dar forma
a las imágenes que se perciben donde los campos son perpendiculares entre sí. Una
partícula con carga eléctrica q– = 50 µC y masa m, se mueve con rapidez v = 4×106
m/s en dirección perpendicular a un campo eléctrico E = 100 kN/C y a un campo
magnético B = 5,0 mT, tal como se muestra en la figura. Determine el peso de la
partícula si esta se mueve sin desviarse dentro de la región.
A) 4,0 N
B) 1,0 N
C) 0,4 N
D) 0,5 N
Solución:
Fe= F mag
qE = qB.v
si adicionalmente consideramos el peso de la partícula:
mg = q(E–vB) = 4 N
Rpta.: A
8. Si un conductor por el que circula una corriente eléctrica se ubica en la región de un
campo magnético B, experimenta una fuerza magnética. La figura muestra un
conductor por el que circula una corriente eléctrica de intensidad 3 A se encuentra en
la región un campo magnético homogéneo. Determine la magnitud de la fuerza
magnética que actúa sobre el segmento doblado PQ.
A) 1,5 N
B) 1,0N
C) 0,5N
D) 1,8N
=0,1 T
610

Solución:
B
.
L
.
I
FM 
)
1
,
0
(
)
5
(
)
3
(
FM 
N
5
,
1
FM 
Rpta.: A
1. Con respecto al campo magnético B generado por una corriente I que circula por un
anillo conductor de radio R, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I) El campo magnético B en todos los puntos del área que encierra dicho anillo es
constante.
II) Las líneas de campo magnético B son líneas abiertas.
III)Las líneas de campo magnético son imaginarias
A) VVV B) VVF C) VFF D) FFV
Solución:
I) El campo magnético B en todos los puntos del área que encierra dicho anillo es
constante. (F)
II) Las líneas de campo magnético B son líneas abiertas. (F)
III) Las líneas de campo magnético son imaginarias. (V)
Rpta.: D
2. Por un alambre conductor rectilíneo muy largo, fluye una corriente eléctrica de
intensidad 0,2 A. Determine a que distancia d del alambre en la figura, el
campo magnético tiene una magnitud igual a 2 µT.
A) 2,0 cm
B) 2,5 cm
C) 3,0 cm
D) 3,5 cm
53º
I = 0,2 A
P
d
611

Solución:
El campo magnético en el punto P es 2 µT, luego en la fórmula para el cálculo del
campo para un alambre infinito.
I 7
6
0
P
4 10 0,2
B 2 10
4
2 dsen53
2 d
5


 
   
   
  
 
d = 2,5 cm
Rpta.: B
3. La figura muestra las secciones transversales de tres conductores rectos paralelos y
muy largos que cortan perpendicularmente al plano del papel y pasan por los tres
vértices de un triángulo equilátero de lado igual a 6 cm. Si P es el punto medio de uno
de los lados del triángulo y las corrientes eléctricas que pasan por cada uno de los
cable es igual a 0,3 3 A

I , determine la magnitud del campo magnético resultante
en el punto P.
A) 5 μT
B) 3 μT
C) 4 μT
D) 2 μT
Solución:
El campo magnético debido a dos cables en el punto P se cancelan, luego solo queda
la contribución del campo de uno de los cables.
I 7
0 A
2
4 10 0,3 3
B 2 T
2 d 2 3 3 10


  
   
  
Rpta.: D
I
I
I
P
612

4. En la figura se representan dos alambres de gran longitud. Sí por el conductor A circula
una corriente eléctrica de intensidad IA = 3 A, y por el conductor B circula una corriente
eléctrica de intensidad IB = 2 A, determine a que distancia “d” del cable B el campo
magnético total es nulo.
A) 80 cm
B) 40 cm
C) 20 cm
D) 10 cm
Solución:
I I
0 A 0 B
A B
B B
2 (d 0,4) 2 (d)
 
 
  
Para que el campo sea nulo, igualando el valor de ambos campos magnéticos
0 0
(3) (2)
d 0,8 m
2 (d 0,4) 2 (d)
 
 
  
Rpta.: A
5. La figura muestra dos conductores rectilíneos delgados muy largos y una espira
circular, los tres cables están revestidos con una fina capa de barniz. Si I2 = 0,2 A,
I3 =
0,1

A, determinar la magnitud de I1 para que la magnitud del campo magnético en
el centro de la espira sea cero?
(μ0=4π×10–7 Tm/A)
A) 0,3 A
B) 0,2 A
C) 0,4 A
D) 0,8 A
E) 0,5 A
Solución:
B1 = µo I1/2πR
B2 = µo I2/2πR B3 = µo I3/2R
B1 = B2 + B3 luego I = 0,3 A
Rpta.: A
P
I2
I3
I1
613

6. Cuando una partícula con carga eléctrica está en movimiento crea en la región del
espacio que la rodea, un campo magnético “interior”, cuando esta carga entra en la
región de un campo magnético “exterior” la interacción de los dos campos hace que
la carga experimente una fuerza magnética. Una carga eléctrica q+ = 8 𝜇𝑐 entra en la
región de un campo magnético uniforme de 0,4 T, con una rapidez de 5×104 m/s, si
experimenta una fuerza de 96×10–3 N. Determine el ángulo que forma la velocidad con
las líneas de inducción magnética.
A) 30º B) 60º C) 37º D) 53º
Solución:
𝐹 = 𝑞𝑉𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃
96 ∗ 10−3
= 8 ∗ 10−6
∗ 5 ∗ 104
∗ 0,4𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜃 = 37𝑜
Rpta.: C
7. La figura muestra un conductor y una partícula con carga eléctrica negativa que se
lanza paralelamente al conductor en la misma dirección de la corriente eléctrica I,
despreciando los efectos gravitatorios, entonces.
A) La carga toca el conductor.
B) La carga se mueve paralelamente al conductor.
C) La carga toca al conductor y se aleja de él.
D) La carga se aleja del conductor.
E) La carga da vueltas alrededor del conductor.
Solución:
Por la regla de la mano derecha, la fuerza magnética va hacia abajo, entonces la carga
se aleja del conductor.
Rpta.: D
X -X X X X
X -X X X X
X -X X X X
X -X X X X
𝛽
𝑣
𝐹
I
614

Física
EJERCICIOS
1. Con respecto al campo magnético B generado por la corriente eléctrica I que circula
por un alambre recto de gran longitud, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
I) La magnitud es directamente proporcional a la distancia entre el punto y la
ubicación del alambre.
II) Es directamente proporcional a la corriente I que circula por él.
III) Las líneas de campo B son circulares, concéntricas al conductor.
A) VVV B) VVF C) VFF D) FVV E) FFV
53º P
I = 0,3 A
25 cm
Solución:
I) La magnitud es directamente proporcional a la distancia entre el punto y la
ubicación del alambre. (F)
II) Es directamente proporcional a la corriente I que circula por él. (V)
III) Las líneas de campo B son circulares, concéntricas al conductor. (V)
Rpta.: D
2. Por el alambre conductor rectilíneo muy largo, fluye una corriente eléctrica de intensidad
0,3 A. Determine la magnitud del campo magnético en el punto P de la figura.
A) 1,0 µT
B) 2,0 µT
C) 0,3 µT
D) 4,0 µT
E) 0,5 µT
615

Solución:
La magnitud del campo magnético en el punto P será:
BP = µo I/2πR = 4π 10–7 (0,3) / 2π (2010–2) = 0,3 µT
Rpta.: C
3. En la figura se representan dos alambres de gran longitud. Sí por el conductor A
circula una corriente IA = 3 A, determine la intensidad de corriente que pasa por el
conductor B y su dirección, si el campo magnético en el punto Q es nulo.
A) 1,0 A
B) 1,0 A
C) 2,0 A
D) 0,3 A
E) 3,0 A
Solución:
Dato: P A B
B 0 B B
  
I I
I
I
B
A
0 0
A B
A 0 A A
B A 0 A A
2R
B / 2R
B

B / 2R
 
2 R


  
Reemplazando valores y simplificando: IB 1A

Rpta.: B
616

4. En la figura se muestra un conductor por donde circula una intensidad de corriente
I = 2 mA. Determine la magnitud del campo magnético en el punto 0.
A) 1,75   10–10 T
B) 1,25   10–10 T
C) 0,75   10–10 T
D) 1,50   10–10 T
E) 0,25  10–10 T
Solución:
I
I I
0
0 1 0 2
10
10
B / 2R
3 1
B / 2R / 2R
4 4
7
B 10
4
B 1
,75 10



   
   
   
   
 
 
 
 
 
Rpta.: A
5. En un horno microondas los electrones del filamento incandescente son acelerados
por una diferencia de potencial V
 y disparados en dirección perpendicular al campo
magnético uniforme de magnitud 9,1π µT (creado por el magnetómetro del horno). Si
los electrones describen una circunferencia de 10 cm de radio; determine la
frecuencia del movimiento circular (e– = 1,610–19 C, me = 9,110–31 kg)
A) 16105 Hz B) 4105 Hz C) 6105 Hz
D) 12105 Hz E) 8105 Hz
617

Solución:
2
qvB mv / r
qB mv / r
qB mw



Luego:
19 6
31
5
w qB / m 2 f
2 f qB / m
1,6 10 9,1 10
f
2 9,1 10
f 8 10 Hz
 

  
 
   

 
 
Rpta.: E
6. En la figura, una partícula con carga eléctrica q+ se mueve sin desviarse con una
rapidez constante v = 4106 m/s, en la región de un campo eléctrico y magnético. Si
la magnitud del campo magnético es 30 µT, determine la magnitud del campo
eléctrico E. (desprecie el peso de la partícula)
A) 100 N/C
B) 150 N/C
C) 500 N/C
D) 120 N/C
E) 200 N/C
Solución:
Como no se desvía: 6 5
qvB qE E v(B) 4 10 (3 10 )

     
E = 120 N/C
Rpta.: D
618

7. La figura muestra la dirección de un campo magnético uniforme de magnitud
B = 0,8 T y un alambre que circula una corriente de 30 A. Determine la magnitud y
dirección de la fuerza magnética que actúa sobre los 5 cm de longitud del alambre.
A) 1,2 N, –y
B) 1,2 N, +y
C) 3,2 N, –y
D) 2,3 N, –x
E) 2,0 N, +y
Solución:
I
2 1
F LB sen
F 30 5 10 8 10 1,2 N
 
 
     
Usando la regla de la mano derecha la dirección de la fuerza magnética es hacia
abajo.
Rpta.: A
8. Los cables de alta tensión, observados al lado de las carreteras durante los viajes
transportan energía eléctrica. Estos cables se encuentran suspendidos por torres de
alta tensión y expuestos a diferentes interacciones con la naturaleza. Una de estas
es la interacción con el campo magnético terrestre. Se tienen dos conductores
paralelos muy largos separados por una distancia de 1,5 m que transportan corriente
eléctrica de I1=15 A y I2=25 A, como se indica en la figura. Determine la fuerza
magnética por unidad de longitud que se ejercen mutuamente. o = 410–7 N/A2.
A) 40 µN/m
B) 60 µN/m
C) 80 µN/m
D) 90 µN/m
E) 50 µN/m
Solución:
I I
π
0 1 2
M
μ L
F
2 .d
  

π
π
7
M
F (4 10 ) (15) (25)
L 2 .(1
,5)

  

619

5
M
F N
5 10
L m

 
Rpta.: E
1. El campo magnético en una región de espacio se representa gráficamente mediante
las llamadas líneas de inducción magnética, son líneas continuas y nunca se cortan.
En un conductor rectilíneo muy largo las líneas de inducción son concéntricas al
conductor y la dirección del campo magnético se determina mediante la regla de la
mano derecha. En un alambre rectilíneo muy largo que conduce una corriente
eléctrica de 10 A. Determine la magnitud del campo magnético.
A) 4 µT B) 0,5 µT C) 8 µT D) 30 µT E) 40 µT
Solución:
μ I
π
0
B
2 .d


π
π
7
6
(4 10 ) (10)
B B 4 10 T
2 .(0,5)


 
    
Rpta.: A
2. En la figura se muestra la sección transversal de dos conductores paralelos de gran
longitud que conducen la misma intensidad I de corriente eléctrica. Si la magnitud
del campo magnético en el punto P es 10 µT, ¿Cuál será la intensidad de corriente
que circula en los conductores?
A) 85 A
B) 10 A
C) 11A
D) 12 A
E) 15 A
620

I2
I1
Solución:
μ I
B
πd
0
2


La magnitud del campo magnético resultante
en P:
B B B
2 2 2
1 2
 
 
μ I μ I
μ
π d π
2 2
2 0 0
1 2
10
2 2 d
   
 
 
   
 
   
  π I π I
π π
2
2
7 7
2
5 4 10 4 10
1 10
1 1
2 2
4 3
 

 
 
 
 
   
    
 
 
 
 
   
I I
10 14 2 14 2
1 10 64 10 36 10
  
    
I
10 14 2
1 10 100 10
 
    I2
100

I A
10

Rpta.: B
3. Una partícula ionizada ingresa en una región con campo magnético uniforme B y con
una velocidad v, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones
con respecto a la fuerza magnética:
I) Es máxima si la velocidad es paralela al campo magnético.
II) Es nula si la velocidad es perpendicular al campo magnético.
III) Siempre es perpendicular al campo magnético y a la velocidad.
A) FFV B) VFF C) FFF D) VVF E) FVF
Solución:
La partícula experimenta una fuerza dada por:
F = q V B sen 𝞱
Donde 𝞱 es el ángulo entre B y v
I) Falso: Si 𝞱 = 0°, Sen 0° = 0  La fuerza es nula.
II) Falso: Si 𝞱 = 90°, Sen 90° = 1  La fuerza es máxima.
III) Verdadero
Rpta.: A
Si: I1 = I 2 = I
621

4. Una partícula con carga eléctrica q= – 4 µC ingresa en la región de un campo
magnético uniforme de 50 T, de tal manera que su velocidad forma 60º con las
líneas del campo magnético. Determine la magnitud de la fuerza que experimenta la
carga eléctrica, si se sabe que su rapidez es 3.105 m/s
A) 5 3 N B) 10 3 N C) 15 3 N
D) 20 3 N E) 30 3 N
Solución:
M
F q V B sen60
    
6 5
M
3
F (4 10 ) (3 10 ) (50)
2

     
M
F 30 3 N

Rpta.: E
5. Tomando en cuenta la regla de la mano derecha sobre la fuerza magnética, indicar
el esquema correcto (en cierto instante) de vectores asociados a una partícula de
carga negativa en movimiento en la región de un campo magnético uniforme
A) B) C)
D) E)
Solución:
Rpta.: D
622

6. La figura muestra la porción recta de un conductor de gran longitud por el cual
circula la corriente eléctrica. Si un protón se mueve paralela y cerca al conductor,
determine la dirección de la fuerza magnética sobre el protón cuando pasa por el
punto p.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
Si el conductor rectilíneo genera un campo:
Rpta.: C
7. En la figura se muestra las trayectorias de dos partículas de igual masa e igual carga
eléctrica moviéndose en la región de un campo magnético uniforme perpendicular al
plano del papel. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A) El trabajo realizado por la fuerza magnética sobre la partícula 1 es mayor que la
partícula 2.
B) El trabajo hecho por la fuerza magnética sobre la partícula 2 es mayor que el
hecho sobre la partícula 1.
C) La energía cinética de la partícula 1 es mayor que de la partícula 2.
D) La energía cinética de la partícula 2 es mayor que de la partícula 1.
E) Ambas tienen igual energía cinética.
623

Solución:
“La fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada que se mueve a través
de un campo magnético es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por
lo tanto la fuerza magnética modifica la dirección de la velocidad, pero no su módulo,
Los campos magnéticos no realizan trabajo sobre las partículas”
M cp
F F

2
cp cp
V
q.V.B m.a a
R
  
1 2
1 2
1 2
2 1
2 1
2
C C(2) C(1)
m m m
q q q
qB
ω ω ω
m
R R
V ωR V V
1
E mV E E
2
 
 
  

  
  
Rpta.: D
624

Física
EJERCICIOS
1. Un imán es un material que crea un campo magnético. Este campo es invisible, pero
puede ejercer una fuerza sobre otros materiales ferromagnéticos, como el hierro,
níquel, etc. Determine la verdad (V) o falsedad (F) según corresponda a cada
enunciado.
I. Se denomina líneas de inducción magnética a aquellas líneas que representan
geométricamente al campo magnético en una región del espacio.
II. Los polos magnéticos de un imán se pueden divid ir para obtener imanes de un
solo polo.
III. Los imanes pueden atraen a todos los metales.
A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF E) FFV
Solución:
I. V
II. F
III. F
Rpta.: C
2. En la figura se muestra un conductor rectilíneo muy largo. Si el conductor conduce
corriente eléctrica de 2 A de intensidad, determine la magnitud del campo magnético
en el punto P.
A) B) C) 30 D) E)
625

Solución:
Rpta.: A
3. La figura muestra un alambre que conduce una corriente eléctrica de intensidad I=6
A. Determine la magnitud y dirección del campo magnético en el centro de la
semicircunferencia, sabiendo que el radio mide 3 . Tome en cuenta que la única
contribución de la corriente al campo magnético en el punto P se debe al tramo
semicircular.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
-7
P -2
B =
1 4
2 3x
Rpta.: D
626

4. En la figura se muestra un conductor rectilíneo muy largo paralelo al eje z; y un
conductor circular (o espira circular) sobre el plano xy. Si por los conductores circulan
corrientes eléctricas de intensidades y , respectivamente. Determine
la magnitud del campo magnético en el centro del conductor circular si su radio tiene
una longitud de 1 cm.
A) B) C) D) E)
Solución:
De la figura tenemos:
-7
2 -2
B =
4
=40
2x10
Rpta.: A
627

5. Indicar la regla correcta que relaciona la dirección de los vectores velocidad ,
Fuerza magnética y campo magnético para una carga negativa.
Solución:
Por la regla de la palma de la mano derecha.
Rpta.: B
6. Un electrón ingresa perpendicularmente a un campo magnético uniforme con una
rapidez . Si la partícula describe una trayectoria circular de radio 0,2 m;
determine la intensidad del campo magnético.
A) B) C) D) E)
Solución:
qvB=m
v2
R
Rpta.: E
628

7. La figura muestra a un conductor recto PQ. La masa del conductor es 50 g y su
longitud 20 cm; además conduce una corriente eléctrica de 5 A y está sostenido por
dos cables aislantes dentro de un campo magnético uniforme de 0,1 T. Determine la
magnitud de la tensión de los cables para que el conductor se mantenga en equilibrio.
A) 0,2 N B) 0,4 N C) 0,5 N D) 1 N E) 1,2 N
Solución:
De la primera Ley de Newton:
Rpta.: A
629

1. En relación a las propiedades magnéticas de un material, indique la verdad (V) o
falsedad (F) según corresponda en cada enunciado.
I. Todo metal genera un campo magnético.
II. Los polos opuestos de los imanes se atraen.
III. El hierro, cobalto y níquel son los principales materiales ferromagnéticos.
A) VVF B) VFF C) FVV D) FVF E) VVV
Solución:
I. F
II. V
III. V
Rpta.: C
2. En la figura se muestra el tramo de un conductor rectilíneo de gran longitud. Si la
intensidad de la corriente eléctrica que circula por el conductor es 2 A, determine la
intensidad del campo magnético en el punto P.
A) B) C) D) E)
Solución:
Rpta.: D
630

3. En la figura se muestra la sección transversal de cuatro conductores rectilíneos
paralelos y muy largos, perpendiculares al plano del papel, ubicados en los vértices
de un cuadrado y por los cuales circula la misma intensidad de corriente eléctrica. Si
se coloca una pequeña brújula en el centro del cuadrado, determine la orientación de
la aguja.
Solución:
Rpta.: A
631

4. En la figura se muestra parte un conductor rectilíneo muy largo y un conductor circular
de radio R, por el cual circula una corriente eléctrica de intensidad . Determine
la intensidad y sentido de la corriente eléctrica que debe circular por el conductor
rectilíneo para que el campo magnético en el centro de la espira sea nulo.
A) B) C) D) E)
Solución:
Necesariamente la dirección del campo magnético generado por el conductor
rectilíneo debe ser saliente en el centro de la espira. . Además:
Donde: es la intensidad del campo magnético generado por el conductor rectilíneo.
Rpta.: D
632

5. Una partícula cargada ingresa con cierta velocidad a una región donde existe un
campo magnético uniforme. Con respecto a la fuerza magnética sobre la partícula,
indique la verdad (V) o falsedad (F) según corresponda en cada enunciado.
I. Es perpendicular al plano formado por la velocidad y campo magnético.
II. Es nula cuando ingresa en la misma dirección del campo magnético.
III. Es máxima cuando ingresa perpendicularmente al campo magnético.
A) VFF B) FFF C) VVV D) FVV E) VFV
Solución:
I. V
II. V
II. V
Rpta.: C
6. Se disparan horizontalmente un haz de partículas cargadas positivamente dentro una
región donde existe un campo eléctrico y un campo magnético cruzados
perpendicularmente; además la velocidad de las partículas incidentes es normal al
plano de los dos campos, tal como muestra la figura. La intensidad del campo
magnético es 0,2 T y el campo eléctrico está generado por un par de placas paralelas
iguales y de cargas opuestas, colocadas a 4 cm una de otra (figura), siendo la
diferencia de potencial entre las placas 400 V. Si las partículas se mueven
rectilíneamente, determine la rapidez de las partículas (se desprecia el peso de las
partículas).
A) B) C)
D) E)
633

Solución:
Rpta.: B
por el punto A y sale por el punto C, realizando una trayectoria semicircular tal como
se muestra en la figura. Determine el tiempo que permanece dentro del campo
magnético.
A) 0,225 s B) 0,05 s C) 0,431 s D) 0,135 s E) 0,315 s
634

Solución:
Rpta.: D
8. Una barra conductora uniforme de 0,1 m de longitud y 12 g de masa se encuentra
dentro de un campo magnético uniforme de 0,2 T tal como se muestra en la figura.
Determine la intensidad de corriente eléctrica que debe circular por el conductor para
que se mantenga en equilibrio.
A) 4 A B) 2 A C) 3 A D) 5 A E) 6 A
Solución:
635

Rpta.: E
636

15
semana
FISICA

Física
ELECTROMAGNETISMO
1. Flujo magnético ()
Medida del número de líneas de inducción magnética que pasan a través de una
superficie.
 = campo magnético perpendicular  área
(Bcos )A
  
 
2
Unidad S.I: Tm Weber Wb
 
θ: ángulo entre el campo magnético B y el vector normal a la superficie
(*) OBSERVACIONES:
1º) Si B tiene la dirección de la normal a la superficie: θ = 0
638

BA
 
2º) Si
B
tiene dirección opuesta a la normal: θ = 
BA
  
3º) Si
B
es perpendicular a la normal: θ = /2
0
 
4º) La variación del flujo se denota por:    - 
0
 : flujo magnético (inicial) en el instante t0
639

 : flujo magnético en el instante t
2. Inducción electromagnética
Es la generación de corriente eléctrica debido a un flujo magnético variable (véanse las
figuras).
(*) OBSERVACIONES:
1º) El voltaje producido por el flujo magnético cambiante se llama fuerza electromotriz o
fem inducida (ind).
2º) La corriente producida por la ind se llama corriente inducida (Iind).
3º) El campo magnético producido por la Iind se llama campo magnético inducido (Bind).
3. Ley de Lenz
Una fem inducida genera una corriente eléctrica cuyo campo magnético se opone al
cambio del flujo magnético que lo produjo.
se opone
produce produce produce
ind ind ind
I B
      
(*) OBSERVACIONES:
1º) Regla geométrica:
640

2º) Regla de la mano derecha: Si el dedo pulgar indica la dirección del campo magnético
inducido, los dedos flexionados indicarán el sentido de circulación de la corriente inducida.
4. Ley de Faraday
Un flujo magnético cambiante produce una fem.
cambio del flujo magnético
fem inducida
intervalo de tiempo
 
ind.
t

  

Wb
Unidad S.I: Voltio V
s
 
 
 
 
(*) OBSERVACIONES:
1º) Para una bobina de N espiras (o vueltas) la fem inducida se multiplica:
ind. N
t

  

2º) Si
B
es constante y el área A de la superficie cambia con el tiempo:
641

ind.
A
NB
t

  

3º) Si el área de la superficie A es constante y cambia con el tiempo:
ind.
B
NA
t

  

4º) Ley de Ohm – Faraday:
ind.
I R N
t

 

R: resistencia eléctrica
5º) El signo negativo (–) que aparece en las fórmulas anteriores significa oposición al
cambio del flujo magnético. También indica que en el fenómeno de la inducción
electromagética intervienen fuerzas opuestas de igual magnitud (acción/reacción).
5. Fem inducida debida a un conductor móvil
642

Cuando un conductor rectilíneo se mueve en un campo magnético uniforme externo B
perpendicular al plano de su movimiento (véase la figura), la fem inducida en el conductor
móvil está dada por:
ind. BLv
  
B: magnitud del campo magnético externo perpendicular a la superficie (rectangular)
limitada por el conductor
v: rapidez del conductor
L: longitud del conductor entre los rieles
(*) OBSERVACIONES:
1º) El sentido de circulación de la corriente inducida (Iind) en la trayectoria rectangular
limitada por el alambre conductor se puede determinar por la ley de Lenz.
2º) Si el campo magnético externo forma un ángulo  con la normal al plano donde se
mueve el conductor (véase la figura), la fem inducida está dada por:
ind. (Bcos )Lv
   
Bcos: componente del campo magnético perpendicular al plano donde se mueve el
conductor
6. Transformador de corriente alterna (CA)
Dispositivo que se usa para aumentar o disminuir el voltaje. Consiste de un núcleo de
hierro en el cual hay dos bobinas llamadas primaria y secundaria que tienen diferente
número de espiras y están situadas en lados opuestos, como muestra la figura.
643

La relación entre el voltaje de entrada en el primario y el voltaje de salida en el secundario
es:
1 2
1 2
V V
N N
 

N1 : número de espiras en la bobina primaria
V1 : voltaje en la bobina primaria
N2 : número de espiras en la bobina secundaria
V2 : voltaje en la bobina secundaria (inducido)
La potencia eléctrica de entrada en la bobina primaria puede igualarse a la potencia de
salida en la bobina secundaria:
1 1 2 2
I V I V
  
I1 : intensidad de la corriente eléctrica en la bobina primaria
I2 : intensidad de la corriente eléctrica en la bobina secundaria (inducida)
(*) OBSERVACIONES:
1º) Si N2 > N1, el transformador aumentará el voltaje de entrada.
2º) Si N2 < N1, el transformador reducirá el voltaje de entrada.
644

Física
EJERCICIOS
II. La aguja imantada colocada sobre el conductor eléctrico se orienta paralelamente
al conductor.
III. El campo magnético se representa con líneas imaginarias denominadas líneas de
inducción magnética y estas son líneas abiertas.
inducción.
Solución:
I. (V)
II. (F) Se orienta perpendicularmente al conductor.
III: (F) Son líneas cerradas.
IV. (F) El campo magnético es tangente a las líneas de inducción.
Rpta.: C
2. La figura muestra las secciones transversales de dos conductores rectilíneos infinitos
que transportan corrientes eléctricas I1 = 10 A e I2 = 5A. ¿A qué distancia del
conductor izquierdo (I1) la intensidad del campo magnético es nula? La separación
entre los conductores es 90 cm.
A) 30 cm
B) 60 cm
C) 90 cm
D) 120 cm
Solución:
En la figura se muestra los vectores 1
B
→
y 2
B
→
, debido a las corrientes 1
I e 2
I . Para que
R
B
→
sea nulo, a una distancia x del conductor izquierdo, las magnitudes de 1
B
→
y 2
B
→
tienen que ser iguales.
1
B
→
2
I 5A
=
1
I 10 A
=
2
B
→
90 cm - x
x
I1 I2
90 cm
• •
645

Por tanto: 1 2
B B
= (para que R
B 0
= )
( )
0 1 0 2
I I 10 A 5A
2 x 2 90cm x x 90cm x
 
=  =
  − −
→ x = 60 cm
Rpta.: B
espiras.
A)
𝜇0𝐼
6𝑅
, ⨀
B)
𝜇0𝐼
6𝑅
, ⨂
C)
𝜇0𝐼
12𝑅
, ⨀
D)
𝜇0𝐼
12𝑅
, ⨂
Solución:
La inducción magnética total en el centro y considerando su dirección será:
𝐵𝑅 = −
𝜇𝑜
2
(
𝐼
𝑅
) +
𝜇𝑜
2
(
𝐼
2𝑅
) +
𝜇𝑜
2
(
𝐼
3𝑅
) =
𝜇𝑜𝐼
12
⨂
Rpta.: D
mostradas. Detemine la magnitud de la inducción magnética resultante en el origen O
del sistema de coordenadas cartesianas dada.
( 1 2
R 10 cm; 0,4 A; 1,6 A; 3
=  =  =   )
A) 2,0 T
B) 2,4 T
C) 3,0 T
D) 3,2 T
Solución:
La inducción magnética debido a la semiespira es:
7
o 1
1
1 4 x10 (0,4)
B ( ) 0,4 0,4(3) 1,2 T
2 2R 4(0,1)
−
  
= = =  = = 
La inducción magnética debido al conductor rectilíneo
de gran longitud es:
B1
B2 BR
X
Y
Z
I1
I2
+20cm
•
646

7
o 2
2
4 x10 (1,6)
B 1,6 T
2 d 2 (0,2)
−
  
= = = 
 
Luego, la inducción magnética resultante será:
2 2 2 2
R 1 2
B B B (1,2) (1,6) 2 T
= + = + = 
Rpta.: A
campo eléctrico.
Solución:
I. V II. V III. V
Rpta.: B
6. Una esfera de 400 g y electrizada con +800 mC, gira uniformemente en torno al punto
“O” con rapidez tangencial Vo = 10 m/s, en un campo magnético uniforme cuya
A) 36 N
B) 24 N
C) 32 N
D) 20 N
Vo
L=1m
B
647

Solución:
Por dinámica circular
CP CP
F m.a
=
Se tendrá
2
T
V
T Fm m
R
+ =
2
o
o
V
T q V BSen90 m
L
+  =
2
(10)
T 0,8(10)(0,5)(1) 0,4
1
+ =
 𝑇 = 40 − 4 = 36𝑁
Rpta.: A
B =
3
2
T.
A) 6 N
B) 12 N
C) 9 N
D) 15 N
Solución:
La magnitud de la fuerza
magnética sobre el alambre
conductor, se determina así:
m MN
F L B
= 
m
3
F 1,5(4 3)( )
2
=
 m
F 9 N
=
Rpta.: C
A)
1
5𝜋
𝐻𝑧 B)
1
10𝜋
𝐻𝑧 C)
1
2𝜋
𝐻𝑧 D)
1
𝜋
𝐻𝑧
2m
30° 30°
I
B
T
Fm
Vo
2m
30° 30°
I B
M N
Fm
648

Solución:
Calculo del radio de la trayectoria circunferencial:
𝑅 =
𝑚𝑣
𝑞𝐵
→ 𝑅 =
10−6
 106
10−6  2
= 0.5  106
𝑚
Cálculo de la frecuencia: 𝑣 = 𝜔𝑅 → 𝑣 = 2𝜋𝑓𝑅 → 𝑓 =
𝑣
2𝜋𝑅
→ =
106
2𝜋(0.5  106)
𝑓 =
1
𝜋
𝐻𝑧
Rpta.: D
níquel, es decir la propiedad del magnetismo. Pueden ser naturales (magnetita 3 4
Fe O
) o artificiales (Ferrita, AlNiCo, NdFeB). Ciertos materiales presentan un
comportamiento particular cuando son frotados por un imán. Responder verdadero (V)
o falso (F) a las proposiciones siguientes:
III. Los materiales diamagnéticos son aquellos que se magnetizan fuertemente al ser
frotados por un imán.
Solución:
I. Falso. Los materiales ferromagnéticos como el hierro se caracterizan por retener
fuertemente el magnetismo. Por ejemplo, si un imán de NdFeB se frota con un
clavo de hierro, éste último se magnetiza.
II. Verdadero. El aluminio o el platino son por ejemplo materiales paramagnéticos.
III. Falso. El oro, el bismuto y el grafito de carbono son materiales diamagnéticos que
repelen el magnetismo de los imanes, en consecuencia, no se magnetizan.
Rpta.: B
puntos P y Q, si la magnitud de la inducción magnética en el punto medio entre P y Q
es 1,6T.
A) 6 cm
B) 9 cm
C) 12 cm
D) 14 cm
P
Q
I
649

Solución:
En el punto medio entre los puntos P y Q se tiene:
o
B 1
,6 T
2 (2,5d)
 
= = 


7
6
4 10 (0,8)
1
,6 10
5 d
−
−

= 

 d = 0,04 m
Luego; 3d 3(0,04) 0,12 m
= =
Rpta.: C
campo magnético. El cual representamos con líneas imaginarias denominadas líneas
de inducción magnética. En la figura se muestra dos conductores eléctrico uno
rectilíneo muy largo y otro circular. Determine la intensidad del campo magnético
resultante en el punto P.
-7
0
(μ =4πx10 Tm/A; 3)
A) 0,8 μT
B) 1 μT
C) 1,5 μT
D) 0,6 μT
Solución:
Como los dos campos magnéticos son entrantes en el punto P, tenemos:
7 7
P
1 4 3 10 4 4 10 2
B
2 2 1 2 0,5
− −
 
    
= +
 
 
 
 
P
B 0,8 T
= 
Rpta.: A
P
Q
I
d
4d 3d
650

4. En la figura muestra un alambre que conduce una intensidad de corriente eléctrica de
A
5
=
I en un campo magnético uniforme de magnitud B = 0,15 T. Indique la verdad
I. En la porción AB la fuerza magnética ( )
m
F es nula.
II. En BC, )
z
(
N
2
,
0
Fm −
=
III. En CD, )
z
(
N
12
,
0
Fm +
=
Solución:
( )( )
( )( ) N
12
,
0
53
sen
10
15
10
20
5
F
N
12
,
0
10
15
10
16
5
LB
F
2
2
CD
2
2
BC
=



=
=


=
=
−
−
−
−
I
Rpta.: C
punto P.
7
0
( 4 10 Tm / A)
−
 = 
A) 8
5 10 T
−

B) 8
7 10 T
−

C) 8
14 10 T
−

D) 8
3 2 10 T
−

651

Solución:
Para el conductor paralelo al plano
7
8
1
4 10 0,2
B 4 10 T
2 1
−
−
 
= = 

Para el conductor perpendicular al plano
7
8
2
4 10 0,3
B 3 10 T
2 2
−
−
 
= = 

Como 1 2
B B
⊥ , tenemos: 8
P
B 5 10 T
−
= 
Rpta.: A
19 -31
e
( e =1,6x10 C , m =9x10 kg)
A) 0,1 m B) 0,5 m C) 0,4 m D) 0,2 m
Solución:
2
m
v
F m
R
2
v
qvB m
R
R
qB
mv
31 6
19 6
9 10 1,6 10
R 0,2 m
1,6 10 45 10
−
− −
  
= =
  
Rpta.: D
5 10 V
 partiendo
del reposo. Luego ingresan por la posición A saliendo por B, donde existe un campo
magnético uniforme, tal como se muestra en la figura. Determine el tiempo que
permanece dentro de dicho campo.
19 -31 12
e
( e =1,6x10 C , m =9x10 kg, 3, p=10 )
A) 2,25 ps
B) 2,5 ps
C) 4,5 ps
D) 3,25 ps
652

Solución:
C
2
e
6 19
9
31
e
Ve E
m v
Ve
2
2 Ve 2 5 10 1,6 10 4
v 10 m/s
m 3
9 10
−
−
 =
 =
    
= = = 

Del MCU, tenemos:
3
12
9
v R
2
v R
T
2 R 2 3 2 10
T 9 10 s
v 4 10
3
−
−
= 

=
   
= = = 

Por lo tanto:
12
12
T 9 10
t 2,25 10 s 2,25 ps
4 4
−
−

= = =  =
Rpta.: A
653

Física
EJERCICIOS
1. El flujo magnético se define como el conjunto de líneas de inducción magnética que
atraviesan una superficie. Se tiene un campo magnético uniforme de intensidad B = 4 T,
cuyas líneas de campo magnético atraviesan la superficie que encierra el anillo de radio
20 cm formando un ángulo de 60° con la normal a la superficie. Determine el flujo
magnético.
A) 0,08 Wb B) 0,08 3 Wb C) 0,8 3 Wb D) 0,04 Wb
Solución:
2
BAcos
4 (0,20) cos60 0,08 Wb
  
     
Rpta.: A
2. Un solenoide es una bobina formada por un alambre enrollado en espiras sobre un
armazón cilíndrico, si perpendicularmente a la sección transversal de 40 cm2 del
solenoide fluyen las líneas de un campo magnético variable según la ecuación
B = 4 + 2t, donde el campo magnético se mide en tesla y el tiempo en segundos.
Según esto, determine la f.e.m. inducida en el intervalo de t = 5 s hasta t = 10 s, si se
sabe que el solenoide tiene 100 espiras.
A) 0,2 V B) 0,4 V C) 0,6 V D) 0,8 V
Solución:
Determinando la f.e.m. cuando el campo magnético varia.
4
B (24) (14)
NA 100 40 10
t 10 5
0,8 V

 
    
 
 
Rpta.: D
3. El campo magnético terrestre se originó con los movimientos de metales líquidos en
el núcleo de la Tierra. Dicho campo se extiende desde el núcleo, atenuándose
progresivamente en el espacio exterior. Provoca efectos electromagnéticos en la
magnetosfera y nos protege del viento solar. Un aeroplano vuela de este a oeste
paralelo a la superficie terrestre con una rapidez de 100 m/s. Si la componente vertical
del campo magnético en esa región tiene una intensidad de 0,8  10–4 T. Determine
la diferencia de potencial entre las puntas de las alas cuya separación es de 25 m.
A) 0,2
B) 0,8
C) 2,0
D) 0,4
e
o
654

Solución:
4
V L B
V 25 100 0,8 10 0,2 V

  
     
Rpta.: A
4. Una espira cuadrada de 20 cm de lado ingresa con rapidez constante de 5 cm/s a una
región donde se ha establecido un campo magnético homogéneo cuya inducción es
B = 4 T. Determine la energía consumida por la bombilla de resistencia eléctrica 1 
en un segundo, mientras la espira ingresa a la región del campo magnético uniforme.
A) 2 mJ
B) 3 mJ
C) 1,6 mJ
D) 4 mJ
Solución:
De la figura notamos que solo sobre el conductor vertical móvil se induce una fem:
ind B L
    la energía consumida por la bombilla:
2
ind
consumida
E t
R


2 2 2
consumida consumida
consumida
(BL ) (4 0,2 5 10 )
E t E (1)
R 1
E 1
,6 mJ

   
   
 
Rpta.: C
5. En el circuito mostrado en la figura la varilla conductora móvil de longitud 1 m se
desliza con rapidez de 10 m/s en una región donde el campo magnético uniforme tiene
una intensidad de 0,2 T. Determine la dirección de la corriente eléctrica en el conductor
y la potencia disipada en el resistor de resistencia 2 . Desprecie todo tipo de
resistencia mecánica.
A) antihoraria, 2 W
B) antihoraria, 1 W
C) horaria, 2 W
D) antihoraria, 0,2 W
  
   





B=4 T
  

   
v
 
  
  
mango
aislante
mango
aislante
655

Solución:
Aplicando la ley de Lenz: Circulación antihoraria
L Bsen 1 10 0,2 2 V
Ri 2 2i i 1 A
P i P 1 2 2 W
        
   
    
Rpta.: A
6. La fuerza electromotriz inducida es apreciable entre los extremos de las alas de un jet
747, el cual tiene una distancia de 60 m. Según lo mencionado determine la f.e.m.
inducida entre los extremos de las alas del jet si este alcanza una rapidez de 900 km/h
y la componente vertical del campo magnético terrestre es 0,2 T.
A) 3 mV B) 6 mV C) 54 mV D) 108 mV
Solución:
Determinado la f.e.m.
6 5
B L (0,2 10 ) 900 (60)
18
3 mV
  
     
 
 
 
Rpta.: A
7. A partir del circuito mostrado indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones, inmediatamente después de cerrar S. considere un pequeño intervalo
de tiempo.
I. Según el observador la corriente en el circuito 1 es antihorario.
II. Según el observador el campo inducido en el circuito 2 es saliente.
III. En el circuito 2 la corriente va de M hasta N.
A) VVV B) FVF C) VFF D) FVV
Solución:
I. (F) La corriente sale del polo positivo de la fuente.
II. (V) Como el campo magnético generado por el circuito 1 aumenta de manera
entrante entonces el campo magnético inducido debe ser saliente.
III. (F) Como el campo magnético inducido es saliente entonces la corriente inducida
debe ser antihorario, eso significa que la corriente va de N hacia M.
Rpta.: B
656

8. Se denomina transformador a un dispositivo eléctrico que permite aumentar o
disminuir el voltaje en un circuito eléctrico de corriente alterna. En este contexto,
cuándo se tiene un voltaje alterno de 110 V entre los terminales M y N, obtenemos
5,5 V entre los terminales P y Q. ¿Cuál sería el voltaje entre M y N, si conectamos
220 V (alterno) entre los terminales P y Q?
A) 400 V
B) 3000 V
C) 4000 V
D) 4400 V
Solución:
Esquema simplificado:
En la relación de los transformadores reemplazamos los datos:
Representando el segundo caso:
La relación se mantiene:
657

Reemplazando el dato conocido para el segundo caso y lo obtenido en (I):
Rpta.: D
1. El flujo magnético es una cantidad física escalar que mide la cantidad de líneas de
campo magnético que atraviesa una superficie, si consideramos un campo magnético
de magnitud 2 T que atraviesa una superficie circular de radio de 40 cm. Determine el
flujo magnético cuando el campo magnético atraviesa la superficie formando un
ángulo de 37°.
A) 96 mWb B) 64 mWb C) 192 mWb D) 48 mWb
Solución:
Calculando el flujo magnético.
2
2
BAcos
(2)[ (0,4) ]cos53
3
(2)[ (0,4) ]
5
192 mWb
  
   
 
    
 
 
Rpta.: C
2. Una fem () puede tener origen eléctrico o magnético. La figura muestra un conductor
rectilíneo de 80 cm de longitud que se mueve con rapidez constante de 60 m/s en una
región donde hay un campo magnético uniforme de intensidad 0,5 T. Si entre los
extremos del conductor se establece una fem  = 12 V, determine el ángulo entre el
campo magnético y la velocidad.
A) 30°
B) 60°
C) 45°
D) 37°
Solución:
L Bsen 2 0,80 60 0,5sen 12 24sen
1
sen 30
2
         
    
Rpta.: A
B
 v
658

3. Una lámina rectangular está apoyada sobre una pared vertical, formando con el plano
X-Y un ángulo de 37°. determine el flujo magnético saliente a través de dicha lámina
si las líneas de inducción magnética son paralelas al eje +Z. (B = 100 T).
A) 6,4  10–4 Wb
B) 1,2  10–2 Wb
C) 3,2  10–3 Wb
D) 7,2  10–3 Wb
Solución:
De la figura notamos:
m(saliente) proy
6
m(saliente)
4
m(saliente)
BAcos BA
100 10 2 4cos37
6,4 10 Wb


   
     
  
Rpta.: A
4. Una varilla conductora se desliza sobre un alambre conductor en forma de U, el cual
se encuentra sobre un plano horizontal. Si el conductor se desliza con rapidez
constante de 0,1 m/s en la región de un campo magnético homogéneo de B = 0,5 T,
determine la intensidad de corriente eléctrica que pasa por el foco.
A) 3 mA
B) 6 mA
C) 15 mA
D) 5 mA
Solución:
De la figura notamos que sobre el conductor móvil se inducen una fem:
ind ind
B L IR 0,5 0,1 0,3 I 3
I 5 mA
          
 
Rpta.: D
  
   




B



    
30cm
 v
3
Y
X
Z
B
4 m
2 m
37°
659

5. La barra conductora de 2 m de longitud rota con rapidez angular constante de 2 rad/s.
Si la magnitud del campo magnético uniforme B

es 2 T, determine la intensidad de
corriente eléctrica que pasa por el foco de 100 . Desprecie la resistencia eléctrica de
los rieles conductores.
A) 30 mA
B) 40 mA
C) 50 mA
D) 60 mA
Solución:
De la figura notamos que la varilla gira
uniformemente entonces de todas maneras se
induce sobre dicho conductor una fem:
ind ind ind
B A
I R... (*)
t t
 
     
 
El incremento del área A en un tiempo t es:
menor mayor
2 2
2
2r r
A r A r
2 2
3r 3r
A A t
2 2
A 3r
t 2

    
 
    
   
 
 
 
         
 
 
 

   
 
  
l l
En (*):
2 2
ind ind
3r 2 2 3 1
B I R I 100
2 2
    
    
 
 
 
ind
I 60 mA
 
Rpta.: D
1 m
1 m
 
  




B
  

  
 
  
  

r=1 m
r=1 m
 
  




B
  
  
  

t



A

Mayor
l
menor
l
660

6. La fuerza electromotriz o voltaje inducido (fem) es capaz de mantener una diferencia
de potencial entre dos puntos de un circuito abierto o de producir una corriente
eléctrica en un circuito cerrado. Esto, por ejemplo, representa una característica de
cada generador eléctrico. Una espira de 500 cm2 de área se acerca a un imán y el
flujo magnético aumenta a razón de 0,2 Wb/s. Si la espira tiene una resistencia de
R = 10 . Determine la intensidad de corriente inducida en la espira.
A) 20 mA B) 10 mA C) 2 mA D) 22 mA
Solución:
0,2 V
t
R i 0,2 10 i i 0,02 A 2 mA

   

    
Rpta.: A
7. Algunos aparatos eléctricos o electrónicos de nuestra casa necesitan de un
transformador tal es el caso de una laptop, las características de este transformador
están en la figura adjunta. Si consideramos que el voltaje de entrada es 220 V,
determine la intensidad de la corriente eléctrica de entrada al transformador, considere
que el transformador es ideal.
A) 0,5 A
B) 0,3 A
C) 0,1 A
D) 0,4 A
Solución:
Para un transformador ideal se cumple.
entrada salida
entrada entrada salida
P P
V I P
(220)I 110
I 0,5 A

 


Rpta.: A
661

Física
EJERCICIOS
1. Luego de que Michael Faraday descubre que era posible inducir corriente eléctrica en
una bobina a partir de un imán, se imaginaba la existencia de una especie de corriente
de un fluido magnético que salía del polo Norte y se metía al polo Sur, donde las líneas
de inducción magnética representarían la corriente de este líquido misterioso; es así
como introduce el concepto de flujo magnético. Consideremos una superficie plana de
área 2
40 cm la cual se sitúa en la región de un campo magnético uniforme de
magnitud 0,25 T. Con relación al flujo magnético a través de la superficie del plano,
indique la verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones:
I) Si la superficie plana se sitúa perpendicularmente a las líneas de inducción,
entonces el flujo magnético es 1 mWb.
II) Si la superficie forma un ángulo de 45º con las líneas de inducción entonces el
flujo magnético es igual a 0,5√2 mWb.
III) Si la superficie forma un ángulo de 60º con las líneas de inducción entonces el
flujo magnético es igual a 0,5√3 mWb.
A) VVF B) VFV C) VFF D) FFV E) VVV
Solución:
I) V
Si la superficie es perpendicular al vector de inducción B, entonces 1 90
  :
4 2
1 1
cos 40 10 25 10 1 mWb
BA x x x
  
   
II) V
Si la superficie forma un ángulo de 45° con el vector de inducción B, entonces
2 45
  :
4 2
2 2
2
cos 40 10 25 10 0,5 2 mWb
2
BA x x x x
  
   
III) V
Si la superficie forma un ángulo de 60° con el vector de inducción B, entonces
3 60
  :
4 2
3 3
3
cos 40 10 25 10 0,5 3 mWb
2
BA x x x x
  
   
Rpta.: E
662

2. El flujo magnético es una cantidad escalar que puede variar debido al cambio del área
y el campo magnético e incluso del ángulo que forma el campo con la normal a la
superficie. Si consideramos que el flujo magnético varía según la ley Φ = 2 + 0,5𝑡,
donde el flujo se mide en weber y t en segundos, determine el cambio de flujo
generado de 𝑡1 = 3𝑠 a 𝑡2 = 8𝑠 sobre una espira circular de área 0,06𝑚2
.
A) 2,5 𝑊𝑏 B) 3,5 𝑊𝑏 C) 6,0 𝑊𝑏
D) 5,0 𝑊𝑏 E) 9,5 𝑊𝑏
Solución:
Me piden determinar el cambio de flujo, entonces debo calcular el flujo final e inicial y
luego restamos sus valores.
Flujo inicial para 3s.
Φ1 = 2 + 0,5(3) = 3,5 𝑊𝑏
Flujo inicial para 8s.
Φ2 = 2 + 0,5(8) = 6,0 𝑊𝑏
Entonces:
∆Φ = Φ2 − Φ1 = 6,0 − 3,5
∆Φ = 2,5 𝑊𝑏
Rpta.: A
3. En la aduana te hacen pasar por un detector de metales. Ahí atraviesas una región
con campo magnético generado por una bobina por donde circula una pequeña
corriente eléctrica. Las bobinas detectan cualquier cambio que sufre un campo
magnético debido a un metal que la atraviesa; en este caso un detector activa una
alarma.
A través de una espira circular conductora se atraviesa un flujo magnético variable
según la ecuación Φ = 2𝑡2
+ 𝑡 − 15, donde Φ se mide en weber y t en segundos.
Determine la magnitud media de la fem inducida entre t = 5 s y t = 10 s
A) 31 V B) 3,1 V C) 15,5 V D) 0,03 V E) 10 
Solución:
t = 5 s Φ = 2(52) + (5) − 15 = 40 𝑊𝑏
t = 10 s Φ = 2(102) + (10) − 15 = 195 𝑊𝑏
ΔΦ = 155 𝑊𝑏
𝜀 =
ΔΦ
Δ𝑡
𝜀 =
155
(10−5)
= 31
Rpta.: A
663

4. La inducción magnética a través de la espira mostrada varía según la gráfica adjunta.
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a lo anterior.
I. Desde 0
t  a 1
t t
 no se induce fem.
II. En el intervalo 1 2
t t t
  se induce fem.
III. Desde 0
t  a 1
t t
 , el flujo magnético es nulo.
A) VVF B) FVV C) VFV D) FFF E) VVV
Solución:
I. V B : Constante
II. V B : Variable
III. F BA

664

5. Se tiene una barra conductora MN que se puede mover sobre rieles lisos y
conductores, en una región donde existe un campo magnético homogéneo (como se
muestra en la figura). Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
afirmaciones.
I. El flujo magnético generado a través de la espira aumenta.
II. El campo magnético inducido es entrante.
III. La dirección de la corriente inducida es antihorario.
A) VFV B) VFF C) VVF D) FVF E) FFF
Solución:
I. (V) El flujo magnético aumenta porque el área por donde atraviesan la línea
aumenta.
II. (F) Las líneas de campo inducido son salientes porque el flujo está aumentando.
III. (V) Si el campo inducido es saliente por la regla de la mano derecha la corriente
es antihorario.
Rpta.: B
665

6. La importancia de los metales en el campo del electromagnetismo trasciende por ser
buenos conductores de la corriente, además que pueden polarizarse. Determine la
potencia eléctrica disipada en la resistencia de 2  cuando la barra conductora de 0,5
m se desliza sobre los rieles con rapidez de 10 m/s en la región de un campo
magnético uniforme de 0,4 T. Desprecie la resistencia eléctrica de la barra y de los
rieles.
A) 2,0 W B) 3,0 W C) 1 W D) 5 W E) 6 W
Solución:
● Calculo de la f.e.m.:


 
  
 
 
. . .
4 1
10 2
10 2
f e m v B
x x v
● Calculo de la potencia eléctrica:

   
2 2 2
2
2
2
v
P W
R R
Rpta.: C
7. Un transformador eléctrico es un dispositivo que se usa para aumentar o disminuir un
cierto voltaje.
El cargador de la batería de una cámara fotográfica se conecta a una fuente de 220
V, si la cámara funciona con 2,2 V y 0,8 A de intensidad de corriente eléctrica.
Determine la intensidad de la corriente eléctrica en el primario. (Considere que el
cargado tiene un transformador ideal)
A) 8 mA B) 125 mA C) 136 mA D) 80 mA E) 0,8 mA
666

Solución:
𝑉
𝑝𝑖𝑝=𝑉
𝑠𝑖𝑠 (220)𝑖𝑝=(2,2)(0,8) 𝑖𝑝=8𝑥10−3
= 8 𝑚𝐴
Rpta.: A
8. El transformador de un celular (cargador eléctrico) tiene un voltaje de salida de
4,40 V. Cuando se conecta a una fuente de alimentación eléctrica de 220 V, ¿cuál
será la relación entre el número de espiras en el primario y el secundario,
considerando un transformador ideal?
A) 20 B) 50 C) 100 D) 200 E) 500
Solución:
En un transformador se cumple:
𝑁𝑃
∆𝑉𝑃
=
𝑁𝑆
∆𝑉𝑆
Luego:
𝑁𝑃
𝑁𝑆
=
220
4,40
= 50
Rpta.: B
1. La magnitud física que mide la cantidad de las líneas de campo magnético que
atraviesan una superficie se llama flujo magnético y se mide en weber (Wb). Si
consideramos una superficie circular de radio 2cm y un campo magnético homogéneo
(B=0,2T) como se muestra en la figura, determine el flujo magnético a través de la
espira circular.
A) 32𝜋𝜇𝑊𝑏 B) 160𝜋𝜇𝑊𝑏 C) 198𝜋𝜇𝑊𝑏
D) 16𝜋𝜇𝑊𝑏 E) 64𝜋𝜇𝑊𝑏
667

Solución:
El flujo magnético a través de una espira se calcula:
𝜙 = 𝐵𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
Donde el ángulo es respecto al vector normal a la superficie, entonces:
𝜙 = 0,2𝑥𝜋(2𝑥10−2)2
𝑥 (
4
5
)
𝜙 = 64𝜋𝜇𝑊𝑏
Rpta.: E
2. La producción de voltaje depende solo del movimiento relativo entre el conductor y el
campo magnético.
I) Es posible que aunque el flujo magnético que atraviesa un circuito cerrado sea
nulo en ese instante, exista una fem.
II) La ley de Lenz está relacionada con la ley de conservación de la energía.
III) Un conductor recto muy largo pasa por el centro de una espira circular conductora
perpendicularmente a su plano. Por el conductor recto circula una corriente
eléctrica. Si varía la corriente en el conductor se induce corriente en la espira.
A) VVF B) VFF C) FVF D) VFV E) VVV
Solución:
I) (V) Para que no exista fem el flujo magnético debe ser independiente del tiempo
II) (V) De lo contrario, si el sentido de la fem inducida fuera contraria predicho por la
ley de Lenz se estaría creando energía.
III) (F) La corriente en el conductor recto crea un campo magnético paralelo al plano
de la espira de magnitud constante. Si se varia la corriente en el conductor
aumenta el campo magnético, pero no se induce corriente alguna en la espira.
Rpta.: A
668

3. Se muestra la gráfica que representa la variación del flujo magnético en función del
tiempo, a través de una espira circular y debido a un campo magnético, cuyas líneas
de inducción son perpendiculares al plano de la espira.
I. Determine la f.e.m. inducida que se genera en la espira durante el intervalo de
tiempo de t1 = 0 a t2 = 5s
II. Determine la intensidad de la corriente eléctrica que circula en la espira si su
resistencia es 4Ω.
A) 0,4𝑉; 0,8𝐴 B) 0,8𝑉; 0,2𝐴 C) 0,4𝑉; 0,4𝐴
D) 0,8𝑉; 0,4𝐴 E) 1,6𝑉; 0,2𝐴
Solución:
I. La f.e.m. para una espira circular se calcula:
𝜀 = 𝑁 |
∆Φ
∆𝑡
|
𝜀 = (1) |
(6 − 2)
(5 − 0)
|
𝜀 = 0,8𝑉
II. Aplicando la ley de OHM para la resistencia y la f.e.m. constante.
𝜀 = 𝐼𝑅
0,8 = 𝐼𝑥4
𝐼 =; 0,2𝐴
Rpta.: B
669

4. Una de las aplicaciones más importantes de la fem es el diseño de generadores y
motores eléctricos; mientras que un generador convierte el trabajo mecánico en
energía eléctrica, un motor hace lo contrario, convirtiendo la energía eléctrica en
trabajo mecánico. Una barra conductora de 100 cm de longitud gira en el plano de un
papel con una rapidez angular constante 3 rad/s
  donde existe un campo
magnético uniforme perpendicular entrante a dicho plano de magnitud B = 8 mT, tal
como muestra la figura. Determine la magnitud de la fem inducida.
A) 12 mV B) 10 mV C) 9 mV D) 6 mV E) 3 Mv
Solución:
( ) ( )
ind
BA BAx BA BA
t t tx t
 
 
  
   
    
   
Reemplazando:
-3 2
8 10 1 3
2
12 mV
ind
ind




   


Rpta.: A
670

5. En 1919, Oersted descubrió la conexión entre corriente eléctrica y campo magnético.
Faraday y Henry en 1921 descubrieron que se podía generar corriente eléctrica en un
alambre con el simple hecho de introducir y sacar un imán de una bobina. Se
construye así el campo de la inducción electromagnética.
Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I) La fem (𝜀) inducida en un circuito es proporcional al flujo magnético.
II) Cuando un imán se acerca a una bobina, la 𝜀 inducida depende de la rapidez con
que se acerca.
III) Mientras un imán se acerca a una bobina conectada a un galvanómetro, la aguja
de este medidor se reflecta hacia derecha o izquierda dependiendo del polo más
cercano a la espira.
A) FVV B) VVF C) FFV D) VFF E) FVF
Solución:
I) (F) 𝜖 es proporcional a la variación de flujo magnético.
II) (V) Mientras más rápido se acerca mayor será (𝜀) y viceversa.
III) (V) Depende del polo más cercano a la espira tal que se presente una oposición
a la variación de flujo magnético.
Rpta.: A
6. La figura representa un conductor de longitud L,
que toca al conductor en U en solo dos puntos.
Si el conductor se mueve lentamente con
velocidad v perpendicular a una campo
magnético uniforme B induce una fem dada por
𝜀 = 𝐿𝑣𝐵.
Sobre un alambre conductor en forma U, de abertura 24 cm, una varilla conductora se
desliza con rapidez constante de 0,6 m/s. Si está en la región de un campo magnético
B de magnitud 0,5T. Determine la intensidad de la corriente eléctrica inducida.
A) 72 mA B) 7,2 mA C) 0,72 mA D) 35 mA E) 148 mA
Solución:
𝜀 = 𝐿𝑣𝐵 = 𝑅𝑖 𝑖 =
(0,24)(0,6)(0,5)
1
= 72 𝑚𝐴
Rpta.: A
671

7. Se denomina transformador a un dispositivo eléctrico que permite aumentar o
disminuir el voltaje en un circuito de corriente alterna, manteniendo la potencia
constante. Un equipo de Rayos X requiere un voltaje de 30000 V para funcionar. Se
dispone de un voltaje de 200 V y de un transformador de 300 espiras en el primario,
determine el número de espiras en el secundario que debe tener dicho transformador.
A) 45000 B) 10000 C) 2000 D) 30000 E) 50000
Solución:
● Según el problema tenemos los siguientes datos:
1
1
2
300
200 V
30000 V
N
V
V



● En un transformador se cumple:
1 1
2 2
2
2
300 200
30000
45000
N V
N V
N
N



Rpta.: A
672

Física
EJERCICIOS
1. Una bobina delgada plana contiene 100 espiras y se encuentra dentro de un campo
magnético uniforme, tal como muestra la figura. Si la magnitud del campo es de
0,5 T y el área de la espira , determine el flujo magnético.
A) B) C)
D) E)
B
n
Solución:
Por definición del flujo magnético
Rpta.: A
673

Solución:
Rpta.: C
2. Una espira rectangular de área 100 cm2, se encuentra inicialmente perpendicular a
un campo magnético uniforme de 1T, tal como muestra la figura. Súbitamente gira y
se coloca paralelo al campo (figura), determine la magnitud de la variación del flujo
magnético.
A) B) C)
D) E)
B
n
B
674

3. Una bobina circular delgada contiene 200 espiras y se encuentra
perpendicularmente a un campo magnético uniforme pero que varía con el tiempo,
tal como muestra la figura. En el instante la magnitud del campo magnético
en la superficie de la espira es de 0,5 T, y en el instante
área de la espira es de y su resistencia eléctrica es de
es de 1,5 T. Si el
, determine la
magnitud de la intensidad de la corriente eléctrica promedio en dicho intervalo de
tiempo.
A) 0,09 A B) 0,20 A C) 0,10 A D) 0,45 A E) 1A
Solución:
Rpta.: A
B(t)
675

4. Una bobina contiene 200 espiras y se mueve perpendicularmente a lo largo de un
campo magnético no uniforme, tal como muestra la figura. Si la velocidad de
variación del flujo magnético es a razón de 0,02 Wb/s, determine la intensidad de la
corriente eléctrica sabiendo que la resistencia de la bobina es de .
A) 0,09 A
B) 10 A
C) 0,10 A
D) 0,5 A
E) 2 A
Solución:
Rpta.: E
5. La figura muestra una varilla conductora en forma de U situada perpendicularmente
a un campo magnético uniforme y saliente de magnitud B. Otra varilla de longitud
se desliza sin rozamiento sobre el conductor en forma de U con rapidez constante
En este contexto indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I) Se genera una corriente eléctrica en sentido antihorario (visto normalmente).
II) Se genera una corriente eléctrica en sentido horario.
III) No se genera corriente eléctrica.
A) VFF B) FVV C) FVF D) VFV E) VVV
676

Solución:
I) F II) V III) F
Rpta.: C
6. La figura muestra una barra metálica de 30 cm de longitud, desplazándose
perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 1T. Si la rapidez de la varilla
es de 0,5 m/s y su resistencia de , determine la intensidad de la corriente
eléctrica momentánea.
A) 0,15 A
B) 0,5 A
C) 0,10 A
D) 0,55 A
E) 0,25 A
Solución:
Rpta.: A
7. Una máquina de soldar de arco requiere una corriente de salida de 250A. El
soldador tiene un transformador de 1500 espiras en el primario; además tiene un
voltaje de entrada de 250V y una corriente de 5A. Determine el voltaje de salida y el
número de espiras en el secundario.
A) 45V , 220 B) 55V , 50 C) 100V , 50
D) 25V , 50 E) 5V , 30
v
F
I
677

Solución:
Rpta.: E
1. La figura muestra varias espiras cuadradas formando un cubo, el cual se encuentra
perpendicularmente dentro de un campo magnético horizontal uniforme. Si la arista
del cubo es de 10 cm y la magnitud del campo 1T, determine el flujo total o flujo neto
a través del cubo.
A) 1 Wb
B) 0
C) 10 Wb
D) 2 Wb
E) 20 Wb
Solución:
Rpta.: B
678

2. Una bobina circular gira sobre un eje vertical dentro de un campo magnético
uniforme de 2T y con una rapidez angular constante de , tal como muestra
la figura. Si el área de la bobina es de , contiene 2000 espiras y tiene una
resistencia de , determine la intensidad de la corriente eléctrica media cuando en
el intervalo de tiempo cuando la bobina está perpendicular al campo y cuando está
paralela; es decir en un cuarto del período de giro.
A) 0,4A
B) 0,8A
C) 0,9A
D) 1A
E) 1,5A
Solución:
Rpta.: A
679

3. La figura muestra una bobina rectangular delgada inmersa en un campo magnético
horizontal uniforme. Si la espira contiene 100 espiras, la magnitud del campo
magnético es 2T y el área de la espira es , determine el flujo magnético.
A) 0,1 Wb
B) 0,8 Wb
C) 0,9 Wb
D) 1 Wb
E) 5 Wb
Solución:
Rpta.: D
I) La ley de inducción de Faraday se refiere directamente a la generación de
corriente eléctrica.
II) La ley de Lenz se refiere al sentido de la corriente inducida.
III) La ley de inducción de Faraday está relacionado con la variación del flujo
magnético.
A) FVV C) VFF D) FVF E) VFV
Solución:
I) F II) V
B) FFV
III) V
Rpta.: A
680

5. La figura muestra a un electroimán conectado a un circuito eléctrico y en extremo se
encuentra una espira.
En relación al sistema mostrado, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
I) Cuando se cierra el circuito, las líneas de inducción magnética del extremo del
electroimán penetran la espira de izquierda a derecha.
II) Se genera una corriente eléctrica en la espira de intensidad constante.
III) En el circuito y en instante en que se conecta el circuito se genera una corriente
de N a M.
A) FVV C) VFF D) FVF E) VFV
Solución:
I) V II) F
B) FFV
III) F
Rpta.: C
6. La figura muestra esquemáticamente a una barra metálica en caída libre y dentro de
un campo magnético uniforme. En cierto instante la barra tiene una rapidez de 2 m/s.
Además, la longitud de la barra es de 30 cm, la resistencia eléctrica de y la
magnitud del campo es de 2T; determine la intensidad de la corriente en el instante
mencionado.
A) 0;8 A B) 0;5 C) 0,6A D) 0,2 A E) 1 A
x x x
x x x
v
L
I
681

Solución:
Teniendo en cuenta el problema 6), tenemos:
Rpta.: C
7. En relación al transformador, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones:
I) Funciona con corriente continua.
II) Funciona con corriente alterna.
III) Puede elevar o reducir un voltaje alterno.
A) FVV B) FFV C) VFF D) FVF E) VFV
Solución:
I) F II) V III) V
Rpta.: A
8. Un equipo de R-X requiere un voltaje de salida de 30000 V. Si el voltaje efectivo de
entrada es de 250 V y el primario tiene 100 espiras, determine el número de espira
en el secundario.
A) 2000 B) 5000 C) 8000 D) 10000 E) 12000
Solución:
Rpta.: E
682

16
semana
FISICA

Física
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
(MAS)
El MAS es producido la fuerza recuperadora elástica: F = – kx, donde k es la constante
elástica. En este tipo de movimiento se prescinde de la fricción.
1. Elementos del MAS
1.1. Oscilación o vibración
Es un movimiento de ida y vuelta que se produce cuando un sistema se aleja de la
posición de equilibrio (véase la figura anterior).
1.2. Periodo (T)
Es el intervalo de tiempo que tarda cualquier punto del sistema en realizar una
oscilación.
1.3. Frecuencia (f)
Es el número de oscilaciones realizadas en un intervalo de tiempo. Se expresa por:
número de vibraciones
f
intervalo de tiempo

O también:
1
f
T

1
Unidad S.I: Hertz Hz
s
 
 
 
 
684

1.4. Elongación (x)
Es el desplazamiento de cualquier punto del sistema respecto a la posición de equilibrio.
Por ejemplo, el desplazamiento x del centro de masa del bloque respecto a la posición x
= 0 (véase la figura anterior).
1.5. Amplitud (A)
Es la máxima elongación. Por ejemplo, el máximo desplazamiento del centro de masa
del bloque desde x = 0 hasta x = ± A (véase la figura anterior).
2. Energía de un Oscilador con MAS
Aplicando la ley de conservación de la energía en las posiciones (1) y (2) del bloque de
la figura anterior, se escribe:
2 2 2
1 1 1
mv kx kA constante
2 2 2
  
m: masa del bloque
k: constante elástica del resorte
v: rapidez del bloque
Por consiguiente, la energía de un oscilador con MAS se define por:
2
1
E kA
2

(*)OBSERVACIONES:
1º) En x = 0:
2
C máx
1
E mv
2
 ; EP = 0
2º) En x = ± A:
EC = 0; 2
P
1
E kA
2

3. Velocidad de un Oscilador con MAS
De la ley de conservación de la energía se deduce:
 
2 2
k
v A x
m
  
Aquí, los signos ± indican la dirección de la velocidad a lo largo del eje x.
685

(*) OBSERVACIONES:
1º) En x = 0:
máx
k
v A
m
 
2º) En x = ± A, se deduce: v = 0.
4. Aceleración de un Oscilador con MAS
De la segunda ley de Newton se deduce que la aceleración es directamente
proporcional a la posición:
k
a x
m
 
  
 
(*) OBSERVACIONES:
1º) En x = 0, se tiene: a = 0
2º) En x = ± A, se obtiene la aceleración máxima:
máx
kA
a
m

Aquí, los signos indican la dirección de la aceleración a lo largo del eje x.
5. Periodo de oscilación de un sistema bloque – resorte
Indica el intervalo de tiempo que tarda cualquier punto del sistema en realizar una
oscilación. Está dado por:
m
T 2
k
 
(*) OBSERVACIONES:
1°) El periodo de oscilación del sistema bloque – resorte no depende de la amplitud A.
2º) La frecuencia natural se define por:
1 k
f
2 m


686

3°) La frecuencia angular  del M.A.S se define por:
k
m
 
4º) Velocidad máxima y aceleración máxima en función de :
máx
v A
  ; 2
máx
a A
 
6. Periodo de oscilación de un péndulo simple
Un péndulo simple es un sistema conformado por una cuerda o varilla ideal sujeta a un
cuerpo de masa arbitraria el cual oscila en un plano vertical, como se muestra en la
figura.
Si la amplitud angular es 0 < 10 el péndulo realizará aproximadamente MAS (entre las
posiciones simétricas A y B, como muestra la figura). El periodo de oscilación está dado
por:
L
T 2
g
 
L: longitud del péndulo
687

(*) OBSERVACIONES:
1º) El periodo de oscilación de péndulo simple con MAS es independiente de la amplitud
angular 0 y de la masa del cuerpo suspendido de la cuerda. Sólo depende de la
longitud del péndulo (L) y de la aceleración de la gravedad (g) del lugar.
2º) La frecuencia natural f = 1/T, del péndulo simple es:
1 g
f
2 L


3°) La frecuencia angular  = 2f, del péndulo simple es:
g
L
 
7. Relación entre el MAS y el MCU
El M.A.S de una partícula se puede considerar como la proyección del MCU de la
partícula sobre cada uno de los ejes de un sistema de coordenadas. Entonces el MCU
de la partícula se puede descomponer en dos MAS independientes a lo largo de los ejes
coordenados x e y cuya amplitud de oscilación es A = R (véase la figura).
Ecuación posición – tiempo de un oscilador con MAS, para 0 = 0 en t0 = 0:
A lo largo del eje x:
x Acos t
 
A lo largo del eje y:
y Asen t
 
688

(*) OBSERVACIONES
1°) Una revolución de la partícula con MCU corresponde a una oscilación armónica
sobre el eje x (o sobre el eje y).
2°) En general  = 0 + t, y la ecuación posición – tiempo de un oscilador con MAS es
como sigue:
A lo largo del eje x:
0
x Acos( t )
   
A lo largo del eje y:
0
y Asen( t )
   
0: fase inicial del MAS
3°) La fase inicial 0 es el ángulo que forma el vector de posición inicial con un eje
coordenado en el instante t0.
689

690

691

692

693

694

695

696

Física
EJERCICIOS
1. Si sobre un cuerpo o sistema actúa una fuerza neta proporcional a su desplazamiento
y de sentido contrario, se dice que se moverá con movimiento armónico simple,
denotado por las siglas M.A.S. En este contexto responder verdadero (V) o falso (F) a
I. El M.A.S. tiene la característica de ser un movimiento que se repite en el tiempo,
es decir es periódico.
II. En el M.A.S. la aceleración es máxima en el instante en que su velocidad es
máxima.
III. La frecuencia angular en el M.A.S. nos indica la rapidez con que se efectúan las
oscilaciones.
A) VFV B) FVF C) VFF D) FFV
Solución:
VFV
Rpta.: A
2. El pistón del motor a gasolina de un automóvil oscila con Movimiento Armónico Simple,
entre los puntos A y B. Si la oscilación esta defina por la ecuación de movimiento
x = 2,5cos(120t), donde la posición se mide en centímetros y el tiempo en segundos.
Considerando este movimiento, determine la frecuencia de oscilación.
A) 20 s
B) 30 s
C) 60 s
D) 90 s
Solución:
De la ecuación se sabe:
2
A 2,5 cm 120 2 f
T

      
Entonces:
120
f 60s
2

 

Rpta.: C
697

3. En un MAS, la única fuerza que produce el movimiento es la fuerza elástica, si un
cuerpo de masa 1 kg, ligado a un resorte, realiza un MAS en la dirección del eje X, de
modo que la amplitud es 10 cm. Si la energía del sistema es 2 J, Indique la verdad (V)
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. La constante elástica del resorte es 200 N/m.
II. La rapidez máxima del cuerpo es 2 m/s.
III. La frecuencia angular de las oscilaciones es 20 rad/s.
A) FVV B) FFV C) FFF D) VVF
Solución:
Constante elástica del resorte:
m
N
400
m
N
)
1
,
0
(
)
2
(
2
A
E
2
k 2
2



La velocidad máxima que alcanza el oscilador es:
s
m
2
s
m
1
)
2
(
2
M
E
2
vmax 


La frecuencia angular de las oscilaciones es:
s
rad
20
s
rad
1
400
M
k




Rpta.: A
4. Cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme sobre una circunferencia, su
proyección sobre el diámetro en la dirección del eje X coincide con la posición de un
objeto que describe un movimiento armónico simple sobre ella. La elongación de este
movimiento es la distancia desde la posición que tiene en cada instante al punto medio
de la circunferencia. En la figura, la partícula describe una trayectoria circular de
40 cm de radio en sentido antihorario, sabiendo que, al inicio del movimiento, la
proyección se encuentra en la mitad del radio respecto al centro, tal como se observa,
siendo su periodo 4 s, determine la ecuación de posición (en m) de esta proyección
sobre el diámetro PQ.
A)
5
x 0,4sen t
2 3
  
 
 
 
 
B) x 0,2sen t
3 6
  
 
 
 
 
C)
5
x 0,4sen t
2 6
  
 
 
 
 
D)
3
x 0,2sen t
6 2
  
 
 
 
 
Solución:
s
rad
2
4
2
T
2 






o
5
150 rad
6

   
m
4
,
0
R
A 

● X
Y
t = 0
P Q
● X
Y
t = 0
P Q
R
150º
T = 4 s
698

Luego 0
5
x Asen( t ) 0,4sen t m
2 6
  
 
     
 
 
Rpta.: C
5. Un sistema bloque resorte que realiza un MAS, es un sistema ideal donde la energía
total permanece constante. Si un sistema bloque-resorte oscila en la dirección del eje x
con una amplitud de 10 cm siendo la constante elástica del resorte 60 N/m, determine
la energía cinética cuando el bloque pasa por la posición x = 5 cm.
A) 225  10–3 J B) 230  10–3 J C) 125  10–3 J D) 425  10–3 J
Solución:
2 2 2 2 4 3
C C
1 1 1
E kA E kx E k(A x ) 30 75 10 J 225 10 J
2 2 2
 
          
Rpta.: A
6. Para definir la energía potencial elástica se tiene en cuenta el concepto de
deformación de un resorte ideal, ejerciendo una fuerza en su proceso de deformación.
Donde k es la constante de fuerza del resorte, medido en N/m, y x es la deformación
del resorte, medido en m. La manera más sencilla de analizar la fuerza de un resorte
físicamente es mediante su modelo ideal global, bajo la suposición de que éste
obedece la Ley de Hooke. Se establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona
la fuerza F ejercida sobre el mismo con la elongación "x" producida. En este contexto
cuando una masa de 0,75 kg oscila unido a un resorte ideal, la frecuencia es de
1,25 Hz. Determine la frecuencia si se agregan 0,25 kg a la masa original.
A)
5
3 Hz
8
B)
25
3 Hz
8
C)
5
75 Hz
8
D)
5
0,75 Hz
8
Solución:
1 1 2 2 2
2
1 k k
f f m f m constante
2 m 2
f m f m 1.25 0.75 f 1
5 3
f Hz
8
    
 
  

Rpta.: A
7. El periodo de un péndulo simple es independiente de la masa del cuerpo suspendido
y de la amplitud de las oscilaciones, siempre que estas sean suficientemente
pequeñas como para que la aproximación senθ ≈ θ sea aceptable. Esta última
propiedad, es conocida como isocronismo de las pequeñas oscilaciones y fue
descubierta por Galileo hacia el año 1581. Se cuenta con un péndulo simple que oscila
con un periodo igual a 10 s. Si la longitud del mismo se reduce en un 60%, el nuevo
periodo del péndulo es
A) 3 s B) 2 s C) 1 s D) 4 s
699

Solución:
El periodo del péndulo simple es s
10
g
L
2
T 


Si se reduce en un 60% la longitud del péndulo
L 60%L 0,4L L
T 2 2 0,4 2 0,4 10 2 s
g g g
 

        
 
 
 
Rpta.: B
8. Un péndulo simple oscila sobre la superficie de la Tierra, con un periodo de 2,7 s.
Determine el periodo de oscilación de este péndulo, a cierta altura sobre la superficie
de la Tierra, en donde la aceleración de la gravedad disminuye en 19% respecto a la
superficie.
A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s
Solución:
Para un péndulo simple se cumple:
L
T 2
g
 
Entonces
sup alt
sup sup
sup alt
alt sup
sup
alt sup
alt
L L
T 2 T 2
g g
T g
T g
81%g
2,7 9
T g 10
T 3s
    

 

Rpta.: C
1. Un sistema masa resorte puede ser descrito como la proyección de un MCU a lo largo
de uno de sus diámetros. Si el bloque de masa 1 kg realiza un MAS en la dirección
del eje X, de acuerdo a la ecuación x(t) = 0,5cos(10t), donde x está en metros y t en
segundos. Determine la energía cinética en x = 0,3 m.
A) 8 J B) 16 J C) 4 J D) 12 J
Solución:
De la ecuación: A = 0,5 m y w = 10 rad/s
700

2 2 2 2
2 2
C C C
v w A x : v 10 0,5 0,3 v 4m/s
1 1
E mv : E (1)(4) E 8 J
2 2
     
   
Rpta.: A
2. Un MAS es un movimiento periódico alrededor de una posición de equilibrio. Con
respecto al MAS, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. El movimiento oscilatorio de un péndulo simple no siempre es un MAS.
II. Dos péndulos simples de diferentes longitudes pueden tener periodos iguales en
la superficie de la Tierra.
III. La frecuencia de oscilación depende de la masa.
A) VFF B) FVV C) VFV D) VVF
Solución:
I) V
Solo se cumple para ángulos pequeños
II) F
El periodo de un péndulo simple depende de la longitud
III) F
f no depende de la masa.
Rpta.: A
3. Frecuentemente en el ámbito militar se exige que los aparatos electrónicos resistan
una aceleración de 10 g, donde g es la aceleración de la gravedad. Para asegurarse
que los equipos cumplan con esta exigencia se someten a ensayos en una mesa que
puede vibrar con diferentes frecuencias y amplitudes especificadas. Si un determinado
dispositivo se somete a una vibración de 2,5 cm de amplitud, determine cuál debe ser
su frecuencia para que cumple con las exigencias militares. Considere g = 2 m/s2.
A) 10 Hz B) 20 Hz C) 50 Hz D) 100 Hz
Solución:
El aparato debe soportar una aceleración máxima de 10 g
2
max
a A
 
Se cumple también:
2 1
T
f

 

Entonces:
2 2 2
max
2 2
a (2 f) A 4 f A
10g 4gf (2,5 10 )
f 10 Hz

   
 

Rpta.: A
701

4. Un automóvil de 1650 kg de masa está construido sobre un bastidor sostenido por
cuatro resortes. Cada resorte tiene una constante de rigidez de 20 kN/m. Si dos
personas que viajan en el auto tienen una masa combinada de 150 kg, determine el
periodo de vibración del vehículo cuando pasa sobre un bache en el camino.
A) 0,1 s B) 0,2 s C) 0,3 s D) 0,4 s
Solución:
Calculando el periodo:
m
T 2
k
450
T 2
20000
T 0,3 s
 
 
 
Rpta.: C
5. Un hombre tiene necesidad de conocer la altura de una torre, pero solo cuenta con un
cronómetro para poder hacerlo. Sin embargo, el hombre sabe que hay un péndulo
largo que cuelga del cielorraso casi hasta el piso. Determine la altura del edificio si el
hombre mide que el periodo es 12 s. (considere g = 2 m/s2)
A) 6 m B) 12 m C) 36 m D) 42 m
Solución:
Aplicando la fórmula del periodo
2
2
2 2
2
L gT
T 2 L
g 4
12
L
4
L 36 m
   





Rpta.: C
6. Un péndulo simple se compone de una masa puntual (m) suspendida por una cuerda
ligera inextensible de longitud L, donde el extremo superior de la cuerda está fijo. De
lo expuesto, se tiene un péndulo simple de 0,16 m que oscila en un lugar del planeta
donde g = 2 m/s2. ¿Cuántas oscilaciones realiza en 2 minutos?
A) 50 B) 150 C) 25 D) 10
Solución:
Por definición de la frecuencia:
1 # t
f # ...(*)
T t T
   
702

Cálculo del periodo (T):
2
1
2
16 10
T 2 2 8 10 Hz
g



     

En (*): # = 1
2(60)
8 10

 # = 150 oscilaciones
Rpta.: B
7. Un MAS es un movimiento ideal donde la única fuerza que produce el movimiento es
la fuerza elástica. Si sobre una superficie horizontal un bloque oscila con MAS de
amplitud 20 cm y frecuencia de 0,5 Hz. ¿Cuál es el máximo coeficiente de fricción
entre un bloque de masa 10 kg situado sobre la superficie horizontal para que no se
deslice?
(g = 10 m/s2, 2 = 10)
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4
Solución:
De la segunda ley de Newton:
x S
F N* ma
  

– S(mg) = ma  a = – Sg
Además:
a = – x
m
k








= –2x
Igualando:
sg = 2x  s =











g
2
x
El valor máximo de S se obtiene poniendo x = A:
S (máx.) =
g
A
2

=
g
A
)
f
2
( 2

Evaluando:
S (máx.) =
   
10
2
,
0
5
,
0
4 2
2
2





 
= 0,2
Rpta.: B
x
mg
f  N*
N*
OSCILACIONES
s = s
703

Física
EJERCICIOS
1. Con respecto a un MAS indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones
I.- cuando la aceleración es máxima, también lo es la velocidad.
II.- cuando la velocidad es máxima la aceleración es cero.
III.- la aceleración es directamente proporcional y del mismo sentido que la elongación.
IV.- la energía cinética máxima es igual a la energía mecánica total.
A) FVFV B) VFVV C) VFVF D) FVFF E) FVVF
Solución:
I. F
a es máxima en los extremos ,
y v es máxima en la posición de equilibrio.
II. V.
En la posición de equilibrio
X = 0
Luego:
Fel = - K x = 0
Se deduce
a = 0
III. F
Fel = - K x = 0
F y a tienen direcciones opuestas.
IV. V
704

Al pasar por la posición de equilibrio.
La energía cinética es máxima la fuerza elástica es nula.
Rpta.: A
2. Cuanto tiempo transcurrirá desde que comienza el MAS hasta que el punto que vibra
armónicamente de acuerdo con la ecuación x =7 cos 0,5 πt recorre la distancia que
hay entre la posición de equilibrio y la de elongación máxima.
A) 1 s B) 2s C) 0,5 s D) 1,5 s E) 0,75 s
Solución:
La ecuación
x =7 cos 0,5 πt
se compara con
x =A cos w t
y se deduce:
w = 0,5 π = 2π / T
T = 4 s
Desde la posición de equilibrio hasta la elongación máxima hay un cuarto de longitud
de onda.
t = 1 s
Rpta.: A
3. Un bloque unido a un resorte de constante elástica 10 N/m oscila con un M.A.S. y con
un periodo de 2s , si cambiamos el resorte por uno de constante elástica 40N/m, el
nuevo periodo será:
A) 4s B) 3s C) 2s D) 5s E) 6s
Solución:
Se cumple:
𝑇1 = 2𝜋√
10
𝑚
= 2
Para el nuevo resorte
𝑇2 = 2𝜋√
40
𝑚
= 2 (2𝜋√
10
𝑚
) = 2(2) = 4𝑠
Rpta.: A
705

4. El Riel de Aire es un aparato de laboratorio utilizado para estudiar las colisiones en
una dimensión. El riel consta de un tubo de sección transversal cuadrada con una
serie de perforaciones por las que sale aire a presión. Sobre el riel se colocan carros
que se deslizan sobre un colchón de aire que se forma entre el riel y el carro,
permitiendo que se mueven en esencia sin fricción. Sobre los carros se colocan pesos
para experimentar el choque de objetos de diferente masa. En un laboratorio de física,
se conecta un deslizador de riel de aire de 0,2 kg de masa al extremo de un resorte
ideal de masa despreciable y se pone a oscilar. El tiempo transcurrido entre la primera
vez que el deslizador pasa por la posición de equilibrio y la segunda vez que pasa por
este punto es 2,5 s. Determine la constante elástica del resorte. (Considere 2
10
  )
A) 3,2 N/m B) 0,2 N/m C) 0,032 N/m
D) 0,32 N/m E) 0,25 N/m
Solución:
● Según el enunciado:
2,5
4 4
5 s
T T
T
 

● Cálculo de la constante elástica del resorte:







2
2
0,2
5 2
0,2
25 4 ( )
0,32 N/m
m
T
K
K
K
K
Rpta.: D
706

5. En física la amplitud de un movimiento oscilatorio, ondulatorio o señal
electromagnética es una medida de la variación máxima del desplazamiento. Es la
distancia entre el punto más alejado y el punto de equilibrio del medio. Se tiene un
cuerpo de 0,5 kg de masa sujeto de un resorte de constante elástica K = 50 N/m sobre
la superficie lisa horizontal. Si el sistema desarrolla un MAS, teniendo en cuenta que
la distancia entre los puntos de mayor estiramiento y de máxima compresión es 12
cm, determine su rapidez cuando el cuerpo se encuentre en la posición que representa
la mitad de su amplitud.
A) 16 m/s B) 3,2 2 m/s C) 8 2 m/s
D) 0,3 3 m/s E) 0,6 3 m/s
Solución:
● Según el enunciado:
2A = 12 cm
A = 6 cm
● Calculo de la frecuencia angular:
50
10 rad/s
0,5
K
m



 
● Calculo de la rapidez v para x = 3 cm:
2 2
2 2 2 2
2
( )
10 (6 10 ) (3 10 )
10 27 10
0,3 3 m/s
v A x
v
v
v

 

 
   
  

Rpta.: D
6. Determine la relación entre la energía cinética y la energía potencial elástica (Ek/ EP)
de un cuerpo que oscila armónicamente, en el instante en que la elongación del
resorte es x = A/2, donde A es la amplitud de las oscilaciones.
A) 4 B) 3 C) 2 D) 5 E) 6
707

Solución:
E tot = Ec+Ep
K A2/2 = Ec +kx2/2
Y para x = A/2
Ec = k( A2/2 - A2/8)
Ec =3kA2/8
Finalmente:
K A2/2 = 3k A2/8 + Ep
Ep = k A2/8
Luego
Ec / Ep = 3
Rpta.: B
I. El periodo de oscilación de un péndulo simple que realiza M.A.S., no depende de
la amplitud de oscilación.
II. En un sistema bloque resorte que realiza un M.A.S., la energía cinética es
constante.
III. Al duplicar la longitud de un péndulo simple que realiza M.A.S, su periodo se
duplica.
A) FVF B) VVF C) VVV D) FFF E) VFF
Solución:
V F F
Rpta.: E
708

8. El péndulo simple es un sistema idealizado constituido por una partícula de cierta
masa que está suspendida de un punto fijo mediante un hilo inextensible e ingrávido.
Cuando la partícula se deja en libertad desde cierto ángulo inicial con la vertical,
comienza a oscilar a un lado y otro periódicamente. Cuando el ángulo de desviación
máximo respecto de la vertical es pequeño (en la práctica menor que 10º) el péndulo
oscila con movimiento armónico simple alrededor del punto de equilibrio. En esta
situación el periodo resulta ser independiente del ángulo inicial, es decir, el ángulo
donde se libera el péndulo, y depende únicamente de la longitud del péndulo y de la
aceleración de la gravedad. Debido a la relación entre el periodo T y la aceleración de
la gravedad g, el péndulo simple es un dispositivo preciso y adecuado para medir la
aceleración de la gravedad, En este contexto, se tiene un péndulo que bate el
segundo, si este péndulo es llevado a un lugar donde la aceleración de la gravedad
es la novena parte de la aceleración de la gravedad en la Tierra, determine su nuevo
periodo de oscilación. (Considere 2 2
m/s
g 
 )
A) 4 s B) 5 s C) 6 s D) 3 s E) 2 s
Solución:
● Como en un péndulo que bate el segundo sabemos que el periodo es 2 s:
1 2 2 s
L
T
g

 
● En un lugar donde la aceleración de la gravedad es la novena parte de la gravedad
en la Tierra el periodo será:
2
2 1
9
2 2 3 (2 )
( )
9
3 ( ) 3 (2 s) 6 s
L L L
T
g g g
T T
  
   
    
Rpta.: C
709

1. El periodo (T) es el mínimo tiempo que separa dos instantes en los que el sistema se
encuentra exactamente en el mismo estado: mismas posiciones, mismas velocidades,
mismas amplitudes. Así, el periodo de oscilación de una onda es el tiempo empleado
por la misma en completar una longitud de onda. En términos breves es el tiempo que
dura un ciclo de la onda en volver a comenzar. Por ejemplo, en una onda, el periodo
es el tiempo transcurrido entre dos crestas o dos valles consecutivos. En este
contexto, una pieza metálica de una maquina oscila como un bloque-resorte con una
frecuencia de 5 Hz; si súbitamente pierde el 75% de su masa, determine la variación
de su frecuencia.
A) 8 Hz B) 5 Hz C) 4 Hz D) 3 Hz E) 2 Hz
Solución:
● Sabiendo que:
1 1
2 2
2
100
2
25
K
f
m
K
f
m
 
 
 
 
● Dividiendo ambas expresiones:
1
2
25 1
100 2
f
f
 
● Reemplazando 1 5 Hz
f  tenemos:
2
2
5 1
10 Hz
2
f
f
 
● Finalmente, la variación de frecuencia fue de:
10 5
5
f Hz Hz
f Hz
  
 
Rpta.: B
2. Un sistema bloque-resorte realiza M.A.S. con una amplitud de 10 cm. Determine la
energía cinética del bloque cuando pasa por la posición de equilibrio como se muestra
en la figura.
A) 0,5 J
B) 0,4 J
C) 1,0 J
D) 0,9 J
E) 0,6 J
0
μ=0
K=200 N/m
710

Solución:
Rpta.: C
3. Para definir la energía potencial elástica se introduce el concepto de un resorte ideal,
que es aquel que se comporta como un cuerpo elástico, ejerciendo una fuerza en su
proceso de deformación. La manera más sencilla de analizar el comportamiento de
un resorte físicamente es mediante su modelo ideal bajo la suposición de que éste
obedece a la Ley de Hooke. En relación a un sistema bloque-resorte que efectúa un
M.A.S. indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. La energía cinética es máxima cuando la elongación del resorte es máxima.
II. La energía cinética del bloque es igual a la energía potencial del resorte cuando
la elongación del resorte es la mitad de la amplitud.
III. Cuando la elongación del resorte es máxima, la energía potencial es igual a la
energía total.
A) FVV B) VVV C) FFF D) VVF E) FFV
Solución:
FFV
Rpta.: E
4. El bloque de la figura realiza M.A.S. Si la amplitud de la oscilación es 20 cm y el
periodo es π/4 s, determine la energía mecánica total del sistema.
A) 512x10-2 J
B) 612x10-2 J
C) 128x10-2 J
D) 212x10-2 J
E) 51,2x10-2 J
P.E.
x
K
0
μ=0
J
x
KA
E
Ec M 0
,
1
2
10
200
2
2
2





711

Ө
Solución:
Rpta.: C
5. Dos péndulos simples realizan un M.A.S., si sus longitudes son: L1 = L y L2 = 2L
respectivamente, determine la razón de sus periodos T1/T2.
A) 1/ 2 B) 1/ 3 C) 1/2 D) 1/3 E) 1/4
Solución:
Rpta.: A
6. La figura muestra un péndulo simple que realiza M.A.S. Si el periodo de oscilación es
(2π)/5 s, determine la longitud del péndulo. (g =10 m/s2)
A) 0,1 m
B) 0,25 m
C) 1,2 m
D) 0,9 m
E) 0,4 m
Solución:
Rpta.: E
7. Un péndulo simple oscila sobre la superficie terrestre con una frecuencia de 2 Hz.
¿Con que frecuencia oscilara el péndulo en un planeta donde la gravedad se reduce
a la cuarta parte de la gravedad en la superficie de la tierra..
A) 1 Hz B) 2 Hz C) 3 Hz D) 4 Hz E) 5 Hz
J
x
J
x
x
x
x
KA
E
m
N
x
T
m
K
2
4
4
2
2
2
2
2
10
128
10
128
10
400
64
2
1
2
1
/
64
16
4
4













2
1
2
2
2
1
2
1
2
1


 L
L
g
L
g
L
T
T


m
x
x
g
T
L 4
,
0
100
40
4
25
10
4
4 2
2
2
2







712

Solución:
Si: ft = 2
Se deduce
T = ½
Y para los periodos
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔𝑃
= 2𝜋√
𝐿
𝑔
4
= 2 (2𝜋√
𝐿
𝑔
)
𝑇 = 2 (
1
2
) = 1 → 𝑓 = 1𝐻𝑧
Rpta.: A
713

Física
EJERCICIOS
1. Un sistema bloque resorte tiene MAS en la dirección del eje x y su movimiento está
limitado entre los puntos de retorno x1 = 100 cm y x2 = 140 cm. Determine la
posición donde el cuerpo alcanza su máxima energía cinética.
A) 140 cm B) 100 cm C) 130 cm D) 110 cm E) 120 cm
Solución:
El punto de equilibrio está en la posición 120 cm, por consiguiente la energía cinética
es máxima cundo el bloque pasa por dicho punto.
Rpta.: E
2. Un sistema bloque resorte parte de la posición x = +25 cm y oscila alrededor de su
posición de equilibrio en x = 0, con un período de T = 2,5 s. Determine la magnitud
de la máxima aceleración
B)
A) C)
E)
D)
Solución:
A=25cm=25x10-2 m
T=2,5s=5/2 s
Rpta.:E
3. Un péndulo está constituido por una cuerda y una esfera llena con agua. La esfera
tiene un orificio y el agua escapa gradualmente; en este contexto indique la
proposición correcta en relación a la frecuencia de oscilación:
B) Aumenta gradualmente.
D) La frecuencia se duplica.
A) Disminuye gradualmente.
C) No varía.
E) La frecuencia se reduce a la mitad.
Solución:
Rpta.: C
4. Un péndulo simple (de longitud L) oscila con MAS. Determine la variación relativa de
su longitud para que el período de oscilación disminuya en 1/5.
A) 0,36 B) 0,46 C) 0,54 D) 0,65 E) 0,25
714

Solución:
Luego:
De donde
Rpta.: A
5. Un sistema bloque-resorte, está constituido por un bloque de 3 kg de masa y oscila
con MAS con una amplitud de 8 cm. Si la magnitud de su aceleración máxima es
3,5 m/s2, determine la energía mecánica.
B) 0,42 J C) 0,18 J D) 0,84 J E) 1,88 J
A) 0,26 J
Solución:
Rpta.:B
6. Si el periodo de oscilación de un péndulo en la superficie de la tierra es T0. ¿A qué
altura sobre la superficie de la tierra el periodo sea duplica?. (Considere R como el
radio terrestre).
A) R B) 2 R C) 4 R D) E)
715

Solución:
Rpta.:A
7. La ecuación de posición de una partícula que realiza MAS es x = 7 Cos 6 t, donde x
se mide en metros t en segundos. Determine el primer instante en que la partícula
pasa por la posición de equilibrio x=0.
A) 1/12 s B) 1/6 s C) 1/4 s D) 1/3 s E) 1/5 s
Solución:
Como
Entonces
De donde
t = 1/12 s
Rpta.: A
716

1. Un cuerpo (de masa 10 g) tiene MAS, con amplitud 24 cm y período 4 s. Determine
la magnitud de la fuerza que actúa sobre el cuerpo en el instante t = 0,5 s, sabiendo
que la magnitud de la aceleración en cualquier instante t está dada por
, donde son la frecuencia angular y la amplitud
B) C)
E)
respectivamente.
A)
D)
Solución:
Rpta.: D
2. Un péndulo simple efectúa un MAS con una frecuencia de 4 osc/s. Determine el
incremento en su longitud para que su frecuencia sea de 2 osc/s?
A) 4, 7 cm B) 2, 8 cm C) 5, 6 cm D) 9, 2 cm E) 2,3 cm
Solución:
Rpta.:A
717

3. Se observa que un reloj pendular (del tipo péndulo simple) indica la hora con retraso.
Para corregirlo se requiere modificar la longitud del péndulo. En este contexto,
indicar la verdad (V) o falsedad (F) en las siguientes proposiciones:
I) Se debe aumenta la longitud.
II) Se debe disminuir la longitud.
III) Se debe modificar la masa.
B) FFV C) FFF D) VFF E) FVV
A) FVF
Solución:
I) V
II) F
III) F
Rpta.: D
4. La figura muestra un péndulo que oscila con MAS. El péndulo tiene una longitud
L = 4 m y se suelta desde la posición A. Se clava un clavo a 3 m del punto o sobre la
vertical. Determine el tiempo empleado por el péndulo en retornar al punto inicial A.
Considerar L = 1 m, g = 2 .
A) 3 s
B) 6 s
C) 12 s
D) 4 s
E) 8 s
Solución:
Para la longitud L:
T1 = 2 = 2 = 4 s
Luego, el tiempo para ir de A a A y a A será:
t1 = 2 = 2 s
Para la longitud L :
T1 = 2 = 2 = 2 s
el tiempo para ir de A a A y de A a A será:
t2 = 2 = 1 s
T= t1 + t2 = 3 s
Rpta.: A
718

5. Un péndulo simple realiza un MAS y tiene un periodo de 3 s. ¿Cuál será su periodo
si su longitud aumenta en un 60%?
A) 3, 8 s B) 2, 7 s C) 1, 9 s D) 5, 4 s E) 4, 3 s
Solución:
Como
Entonces:
Rpta.: A
6. Un sistema bloque-resorte tiene una masa de 1,5 kg oscila con movimiento
armónico simple unido a un resorte de constante k =500 N/m. Su rapidez máxima es
70 cm/s, determine su energía total.
A) 1,44 J B) 0,72 J C) 0,18 J D) 0,36 J E) 2,88 J
Solución:
Como
entonces
A = 0,037 m
Luego
Etotal = ½ kA2 = 0,36 J
Rpta.:D
7. Un cuerpo está oscilando con movimiento armónico simple con una amplitud de
15 cm y con una frecuencia de 4 osc/s. Determine la rapidez máxima del cuerpo.
B)
A) C)
E)
D)
Solución:
Rpta.:B
719

17
semana
FISICA

Física
MOVIMIENTO ONDULATORIO
1. Concepto de onda
Una onda es una perturbación o deformación de un medio a través del cual se
transmite energía sin transporte de materia. Considere que en el instante t = 0 una
cuerda está extendida horizontalmente sin perturbarla, como muestra la figura (a).
En un instante posterior t > 0, la cuerda es perturbada periódicamente en uno de sus
extremos en la dirección vertical y se deforma progresivamente adoptando la forma
sinuosa que se muestra la figura (b). Los puntos de la cuerda de máxima elevación
se llaman crestas y los puntos de máxima depresión se llaman valles. A este tipo de
perturbación se le llama onda armónica.
2. Elementos de una onda
2.1. Longitud de onda ()
Es la distancia entre dos crestas consecutivas o dos valles consecutivos, y en
general entre dos partes idénticas sucesivas de una onda (véase la figura anterior).
721

2.2. Frecuencia (f)
Es el número de vibraciones de cada punto del medio por unidad de tiempo. Esto se
expresa por:
f =
número de vibraciones
intervalo de tiempo
O también:
1
f
T

T: periodo de la onda (intervalo de tiempo que tarda la onda en recorrer la
distancia

)
2.3. Amplitud (A)
Es el máximo desplazamiento de cada punto del medio vibrante con respecto a la
posición de equilibrio inicial. Por ejemplo, la distancia vertical A por encima o por
debajo de la línea horizontal que se muestra en la figura anterior.
(*) OBSERVACIÓN:
Una onda se llama armónica, porque todos los puntos del medio realizan movimiento
armónico simple. Por consiguiente, la energía (E) de una onda armónica está dada
por:
2
1
E kA
2

k : constante elástica del medio
A: amplitud de oscilación de cada punto del medio
3. Rapidez de una onda periódica
Una onda periódica se caracteriza por recorrer la misma distancia  en un mismo
intervalo de tiempo T.
rapidez =
longitud de onda
periodo
v
T


O también:
v f
 
(*) OBSERVACIONES:
1°) La rapidez de una onda periódica unidimensional es constante.
2º) La rapidez de una onda depende de las propiedades del medio.
3°) La longitud de onda depende de las propiedades del medio.
4º) La frecuencia de una onda no depende de las propiedades del medio.
722

5°) En particular, la rapidez de una onda en una cuerda tensada depende de la
tensión en la cuerda F, y de la densidad lineal de masa µ, definida por
 = masa/longitud. Está dada por:
F
v 

4. Clasificación de las ondas
Según el modo de vibración del medio:
4.1. Ondas transversales
Una onda es transversal cuando la dirección de vibración de cada punto del medio
es perpendicular a la velocidad de la onda. Por ejemplo, las ondas en una cuerda
vibrante (véase la figura).
4.2. Ondas longitudinales
Una onda es longitudinal cuando la dirección de vibración de cada punto del medio
es paralela a la velocidad de la onda. Por ejemplo, las ondas en un resorte (véase la
figura).
Según la naturaleza del medio:
4.3. Ondas mecánicas
Requieren necesariamente de un medio material para propagarse. Por ejemplo, el
sonido puede describirse como una onda elástica, porque sólo puede transmitirse a
través de la materia, pero no en el vacío.
4.4. Ondas no mecánicas
No requieren necesariamente de un medio material para propagarse. Por ejemplo, la
luz se considera una onda no mecánica, porque no requiere necesariamente de la
materia para transmitirse. La luz es la única influencia que permite transmitir
información en el vacío.
723

5. Ondas sonoras
El sonido es producido por vibraciones de objetos materiales. Se describe por una
onda mecánica longitudinal.
En condiciones normales, las frecuencias (f) de la fuente vibrante y de la onda
sonora coinciden:
ffuente vibrante = fonda sonora
La audición humana percibe frecuencias de sonido en el rango:
20 Hz < f < 20 000 Hz
(*) OBSERVACIONES:
1°) Si f > 20 000 Hz: ultrasonido (no se percibe el sonido).
2°) Si f < 20 Hz: infrasonido (no se percibe el sonido).
3º) La rapidez del sonido en un fluido depende de la elasticidad del fluido y de su
densidad:


B
v
B: módulo de elasticidad del fluido
 : densidad del fluido
4º) Los sólidos son más elásticos que los líquidos, y estos a su vez son más
elásticos que los gases:
5º) La rapidez del sonido es en general mayor en los sólidos que en los líquidos, y
mayor en los líquidos que en los gases:
vsólido > vlíquido > vgas
6. Intensidad del sonido (I)
El sonido de describe por una cantidad escalar llamada intensidad, cual indica la
rapidez con que la energía (E) de la onda sonora llega a la unidad de área (A). Esto
se expresa por:
energía
intervalo de tiempo potencia
I
área área
 
E P
I
At A
 
2
W
Unidad S.I:
m
 
 
 
(*) OBSERVACIONES:
1º) Energía que transporta la onda sonora:
E IAt

724

2º) Para una fuente sonora puntual (ver figura) la intensidad del sonido es
directamente proporcional a la potencia de la fuente sonora e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente:
2
P
I
4 r


P: potencia de la fuente sonora
r: distancia desde la fuente sonora
7. Nivel de intensidad ( )
Es una medida indirecta de la intensidad del sonido en una escala logarítmica. Se
expresa por:
0
I
10log
I
 
(decibel  dB)
Io = 10-12 W/m2: umbral de audición humana
(*) OBSERVACIONES:
1º) La intensidad máxima del sonido que podría tolerar el oído humano se llama
umbral del dolor, y su valor es:
Imáx. = 1 W/m2
2º) La audición humana percibe intensidades de sonido en el rango:
10-12 W/m2 < I < 1 W/m2
725

3º) La audición humana percibe niveles de intensidad de sonido en el rango:
0 dB <  < 120 dB
4°) Puesto que el nivel de intensidad se define en términos de un logarítmo
decimal, es conveniente tener en cuenta la definición de la función logaritmo y
algunas de sus propiedades, como sigue:
y logx
  y
x 10

logxy logx logy
 
x
log logx logy
y
 
n
logx nlogx

log1 0

log10 1

8. Ondas electromagnéticas (O.E.M)
Son producidas por vibraciones de cargas eléctricas. Se describen constituidas por
un vector campo eléctrico (E) y un vector campo magnético (B) los cuales oscilan
en direcciones mutuamente perpendiculares, y también son perpendiculares a la
velocidad de la onda ( v ), como se muestra en la figura.
9. Rapidez de una O.E.M
La rapidez de transmisión de una O.E.M en un medio depende de una cantidad
adimensional llamada índice de refracción del medio (n). Se define por:
rapidez de la luz en el vacío
rapidez
índice de refracción del medio

c
v
n

726

(*) OBSERVACIONES:
1º) Si el medio es el vacío o el aire (n = 1):
v = c = 3  108 m/s = 300 000 km/s = constante
2°) El índice de refracción n es un indicador de la densidad del medio. Para sustancias
homogéneas y utilizando luz monocromática, puede considerarse constante.
Medio n
Aire 1,00
Agua 1,33
Glicerina 1,47
Vidrio 1,50
Diamante 2,42
3°) La longitud de onda () y la frecuencia (f): de una onda electromagnética en el vacío
son inversamente proporcionales:
c f
 
10. Espectro electromagnético
Es la distribución de frecuencias o longitudes de onda correspondiente a todas las
radiaciones electromagnéticas.
(*) OBSERVACIONES:
1º) El rango de longitudes de onda de luz que puede percibir el ojo humano es:
400 nm (violeta) <  < 750 nm (rojo)
2º) El rango de frecuencias de luz que puede percibir el ojo humano es:
4 x 1014 Hz (rojo) < f < 7,5 x 1014 Hz (violeta)
727

11. Fenómenos ondulatorios
11.1.Reflexión
Es el cambio de dirección de una onda cuando llega a la frontera entre dos medios y
retorna al primer medio (véase la figura). Cuando se mide el ángulo que forma la
dirección de la onda incidente con la normal y la dirección de la onda reflejada con la
normal resultan ser iguales. Esta conclusión se llama ley de reflexión.
ángulo de incidencia = ángulo de reflexión
i r
  
(Ley de reflexión)
11.2. Refracción
Es el cambio de dirección de una onda cuando pasa de un medio a otro distinto
(véanse las figuras). La ecuación que relaciona los ángulos de incidencia (1) y
refracción (2) con los índices de refracción n1 y n2 de los medios 1 y 2 se llama ley
de refracción:
1 1 2 2
n sen n sen
  
(Ley de refracción)
728

(*) OBSERVACIÓN:
La ley de refracción también se puede escribir en la forma:
1 1
2 2
sen v
sen v



v1: rapidez de la onda en el medio 1
v2: rapidez de la onda en el medio 2
11.3. Interferencia
Es la superposición de dos o más ondas en un mismo lugar del espacio y al mismo
tiempo. Existen dos casos extremos de interferencia:
a) Interferencia constructiva
Cuando las crestas y los valles de las ondas se superponen simultáneamente en un
mismo lugar del espacio. El resultado es una onda de amplitud máxima (refuerzo).
b) Interferencia destructiva
Cuando la cresta de una onda se superpone simultáneamente con el valle de la otra
onda en un mismo lugar del espacio. El resultado es una amplitud nula
(cancelación).
11.4. Difracción
Es el cambio de dirección de una onda que no se debe a la reflexión ni a la
refracción. El grado de difracción de una onda depende del tamaño de la longitud de
onda  con respecto a la dimensión R del obstáculo. Si  es comparable con R, se
observará la difracción, como muestra la figura (a). Por el contrario, si  es mucho
menor que R, no se observará la difracción, como muestra la figura (b).
729

11.5. Polarización
Es una propiedad de las ondas transversales. Consiste en la eliminación de todas
las vibraciones que no están en una dirección determinada. Por ejemplo, la luz
natural vibra en todas las direcciones posibles, pero al pasar por un polarizador sólo
queda un plano de vibración, y se dice que la luz está polarizada linealmente (véase
la figura).
11.6. Dispersión de la luz
Es la descomposición de la luz natural en sus colores componentes. En la figura se
muestra la dispersión producida por un prisma óptico triangular.
730

(*) OBSERVACIONES:
1º) La dispersión de la luz se mide con los ángulos formados por los rayos (rojo,
naranja, amarillo, verde, azul y violeta) que salen del prisma, con respecto a la
dirección original de la luz blanca (véase la figura).
2º) De la figura se deduce que el color que menos se dispersa es el rojo y el color
que más se dispersa es el violeta.
731

Física
EJERCICIOS
1. El estudio de las ondas es muy importante porque tienen muchas y variadas
aplicaciones en el desarrollo tecnológico y en la mejora de la vida de las personas,
por ejemplo: en la música, electroacústica, acústica fisiológica, el sonar, la ecografía,
la litotricia, radar, radiotelescopios etc. Un tronco de madera flotando en el mar,
realiza 6 oscilaciones en 10 segundos, si la rapidez de las ondas en el mar es de
3 m/s. Determine su longitud de onda.
A) 4 m B) 4,8 m C) 5 m D) 5,4 m
Solución:
f 6 oscilaciones /10s V f
3 m / s 6 /10 s 5 cm
  
    
Rpta.: C
2. La litotricia es una técnica utilizada para destruir los cálculos que se forman en el
riñón, la vejiga, los uréteres o la vesícula biliar, la cual consiste en ondas sonoras de
alta energía, llamadas ondas de choque que se concentran en los cálculos y los
rompen en fragmentos diminutos que son eliminados en la micción. Una fuente
sonora emite en el aire un sonido a una frecuencia de 900 Hz, el cual penetra en el
mar y sigue propagándose con una rapidez de 1531 m/s. Determine la relación entre
las longitudes de onda del mar y del aire. (vsonido en el aire = 340 m/s)
A) 4,5 B) 4,8 C) 5 D) 5,4
Solución:
 
 

  
V f
agua de mar : 1531 mar f
aire : 340 airef
mar / aire 4,5
Rpta.: A
732

3. El oído humano puede percibir ondas del sonido, siempre que la amplitud sea lo
suficientemente grande. Determine el intervalo de las longitudes de onda que puede
percibir el oído humano si su frecuencia está comprendida entre 20 Hz < f < 20000 Hz.
A) 0,17 m < λ < 17 m B) 0,017 m < λ < 17 m
C) 1,7 m < λ < 17 m D) 0,17 m < λ < 170 m
Solución:
El oído humano puede percibir frecuencias de: 20 Hz < f < 20 000 Hz
V = λf => 340 = λ 20 => λ = 17 m
V = λf => 340 = λ 20 000 => λ = 0,017m
0,017 m < λ < 17 m
Rpta.: B
4. La reflexión se aplica en la fibra óptica, esta luz se propaga en el núcleo de la fibra,
reflejándose continuamente sin refractarse, debido a que se verifican las condiciones
de reflexión interna total. Determine la medida del ángulo  , si el rayo luminoso se
refleja sucesivamente en los espejos planos.
A) 45°
B) 55°
C) 60°
D) 65°
Solución:
    
         
   
  
De la figura : 90 ... (1)
Del cuadrilátero: 180 2 180 2 180 2 70 360
125 2 ... (2)
De (1) y (2) 55
Rpta.: B
733

5. Una de las aplicaciones de la refracción de la luz se da en los prismas dispersivos
que son usados para descomponer la luz en el espectro del arco iris. Un rayo de luz
monocromático incide normalmente en una cara de un prisma de 37° y emerge con
una desviación de 16°. Determine el índice de refracción del prisma.
(naire = 1)
A)
4
3
B) 1,4
C) 1,5
D) 1,7
Solución:
Por Snell: np Sen 37° = naire Sen 53°
np = 4/3
Rpta.: A
6. Una fuente sonora puntual produce un nivel de intensidad de 100 dB en una ventana
abierta de 2 m2 de superficie. Determine la energía acústica que en cada segundo
penetra por la ventana.
A) 20 mJ B) 2,4 mJ C) 2,8 mJ D) 3 mJ
Solución:
B = 10 log(I/Io) => 100 = 10 log(I/Io)  1010 = I/10 – 12  I = 10– 2 W/m2
I = P/A  P = I.A => P = 10– 2.2 W  P = 2.10– 2 J/s  P = 20 mJ/s
E = 20 mJ
Rpta.: A
7. La distancia de un valle y la cresta siguiente de un tren de ondas en el agua es de
0,25 m. Si cuando el tren de ondas pasa por un tronco que flota en el agua y se
observa que éste alcanza amplitudes de 15 cm, con una rapidez máxima de
0,6 m/s. Determine la rapidez con que se propaga el tren de ondas.
A) 6 m/s B) 9 m/s C) 10 m/s D) 12 m/s
734

Solución:
5 m
 
A = 0,15 m
máx
m
V 0,6
s
 
máx
V 0,6 rad
4
A 0,15 s

    
4
f 2 Hz
2 2
 
  
 

m
V f 5x2 10
s
   
Rpta.: C
8. En el cuadro adjunto se indica aproximadamente las frecuencias del espectro visible.
Si una onda electromagnética luminosa se propaga con una amplitud de 6000Å.
Indique el color del espectro visible.
( 8
3 10 m/s
 
c )
A) Rojo B) Naranja C) Amarillo D) Verde
Solución:
Para una O.E.M. se cumple:
8
10
14
c f
c
f
3 10
f
6000 10
f 5 10 Hz

 





 
Rpta.: B
735

1. Una onda incide sobre una superficie que separa dos medios diferentes, si la onda
transmitida disminuye en 65% su rapidez, con respecto a la rapidez de incidencia,
¿Cuál es el ángulo de refracción si el ángulo de incidencia es 53°?
A) 37° B) 16° C) 74° D) 53°
Solución:
Aplicando la ley de refracción, en función de la rapidez:
Colocando valores:
sen 53 sen
v 35%v



4 35 7
sen
5 100 25

 
  
 
 
16

  
Rpta.: B
2. En la demolición de un edificio hacen explotar estratégicamente varios cartuchos de
dinamita en la base de dicho edificio de manera que una persona ubicada a 100 m
de la explosión escucha el sonido con un nivel de intensidad de 100 dB. Determine
el nivel de intensidad sonora que escucha otra persona ubicada a 200 m de la
explosión. (Considere log 2 = 0,3)
A) 50 dB B) 64 dB C) 72 dB D) 94 dB
Solución:
Como conocemos el nivel de intensidad: 100 dB


Entonces busquemos la intensidad de sonido en dicho punto:
0
1
0
1
0
10 2
1 0
I
10log
I
I
100 10log
I
I
10 log
I
I I 10 W/m
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 

736

Como a 200 m de dicho punto se cumple:
2
2 2
1 1 2 2
10 2 2
0 2
10 2
0
2
I constante
I I
I 10 (100) I (200)
I
I 10 W/m
4
d
d d
 
  
   
 
Finalmente busquemos el nivel de intensidad de sonido a 200 m de dicho punto:
2
2
0
10
2
10 2
2
2
2
2
I
10log
I
10
10log
4
10(log10 log2 )
10(10log10 2log2)
10(10(1) 2(0,3))
94
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 dB






Rpta.: D
3. Los bebés pueden llorar con una amplitud sonora extremadamente potente que
golpea todo lo que se encuentre en su camino para poder avisarle a su mamá que
tiene hambre o que su pañal ya está mojado. En este contexto, si los niveles de
intensidad del sonido que percibe el padre con respecto al que percibe la madre
cuando escuchan el llanto de su bebé son de 100 dB y 40 dB, respectivamente,
¿cuántas veces mayor es la intensidad del sonido que el padre escucha respecto al
de la madre?
A) 4
10 B) 5
10 C) 6
10 D) 7
10
Solución:
Como: 1 2
100 y 40
 
dB dB
 
Podemos determinar sus intensidades de sonido:
10
1 1 1
1 1 0
0 0 0
4
2 2 2
2 2 0
0 0 0
I I I
10log 100 10log 10 log I I 10 ... (1)
I I I
I I I
10log 40 10log 4 log I I 10 ... (2)
I I I
     
       
     
     
     
       
     
     


Dividiendo (1) entre (2):
10
6
0
1 1
4
2 0 2
I 10
I I
10
I I 10 I

  

Rpta.: C
737

4. El uso doméstico de una aspiradora permite eliminar polvo, sin embargo, puede
originar cierta molestia por el sonido que emite. Si el nivel de intensidad sonora de
dicha aspiradora es de 70 dB a 1 m de distancia, determine la potencia sonora
constante que emite.
A) 7
8 10 W


 B) 7
5 10 W


 C) 5
2 10 W


 D) 5
4 10 W



Solución:
Como conocemos el nivel de intensidad: 70 dB


Entonces busquemos la intensidad de sonido en dicho punto:
0
0
0
12 7 2
5 2
I
10log
I
I
70 10log
I
I
7 log
I
I 10 10 W/m
I 10 W/m


 
  
 
 
  
 
 
  
 
 


Pero como también sabemos:
2 2 5 5
2
P
I P 4 I P 4 (1) (10 ) P 4 10 W
4
d
d
  

 
         
Rpta.: D
5. Una onda mecánica (o elástica) es una perturbación que se propaga en determinada
dirección en medios materiales. Una onda electromagnética es una perturbación que
se propaga en medios donde hay vacío de materia.
En relación al movimiento ondulatorio, indique la verdad (V) o falsedad (F) de las
I) Todas las ondas transportan materia y energía.
II) Todas las ondas se propagan solo en medio materiales.
III) Las ondas en la superficie del mar tienen mayor masa que las ondas del aire.
A) FFF B) VFV C) VVV D) FFV
Solución:
I) F II) F III) F
Rpta.: A
738

6. La precipitación en la atmósfera puede ser: pluvial, nevada, granizo, pedrusco.
Durante una precipitación pluvial se observa gotas de agua que impactan
verticalmente sobre la superficie de un estanque a intervalos de 0,05 s, producen
ondas superficiales. Si las ondas se desplazan con una rapidez de 2 m/s, determine
la longitud de onda de las ondas.
A) 1 m B) 5 m C) 0,1 m D) 0,5 m
Solución:
λ =v T (0,05
λ =2 )=1m
Rpta.: A
7. Las cuerdas fijas en ambos extremos con una tensión adecuada se utilizan en
instrumentos de cuerdas.
Se perturba una cuerda delgada tensa formándose una onda con frecuencia de
50 Hz que se desplaza con una rapidez de 1 m/s, ¿cuál será su longitud de onda?
A) 1 Hz B) 2 Hz C) 20 Hz D) 10 Hz
Solución:
v =λf 1=λ( 20) λ =0,02 m=2 cm
Rpta.: A
739

Física
EJERCICIOS
1. Una onda mecánica es una perturbación producida en un medio que se propaga a
través de él sin transportar materia, solo energía. Si la distancia entre dos valles
consecutivos de una onda armónica es 0,2 m y realiza 200 oscilaciones en
10 segundos; determine la rapidez con que se propaga la onda.
A) 1 m/s B) 2 m/s C) 3 m/s D) 4 m/s
Solución:
# .
*
200
0,2 4m/s
10
osc
V f f
t
V V

=  =

 
=  =
 
 
Rpta.: D
2. Muchas de las ondas electromagnéticas que provienen del sol son de vital
importancia para la fotosíntesis. En este contexto, una onda electromagnética
proveniente del sol se propaga del aire hacia el agua, indique la verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. La rapidez de propagación de la onda electromagnética es la misma en ambos
medios.
II. La frecuencia de la onda electromagnética no cambia cuando se propaga del
aire al agua.
III. La longitud de onda electromagnética permanece constante.
A) FVF B) VVF C) FVV D) VVV
Solución:
Cuando las ondas se propagan de un medio hacia otro, mantienen su frecuencia
constante pero su rapidez y longitud de onda cambian.
Rpta.: A
740

3. Algunas ondas de radio son generadas por emisoras radiales y recibidas
por receptores radio. Por otra parte, tienen características de propagación diferentes
en función de la frecuencia. En este contexto, a un receptor de ondas de radio llega
una señal con 6 MHz de frecuencia. Si desde la emisora radial hasta el receptor hay
601 crestas de onda de radio; determine la distancia entre la emisora y el receptor
de ondas.
A) 15 km B) 20 km C) 30 km D) 40 km
Solución:
De la figura:
De:
(2) en (1):
Rpta.: C
x(m)
601
Emisora
radial
Receptor
d
1 2 3
4. En la figura, un rayo de luz incide sobre un cristal rectangular con ángulo de
incidencia de 53° y se refracta con ángulo de refracción de 30°. Determine la
relación de la longitud de onda de la luz en el aire respecto al cristal.
(naire = 1)
A) 0,5
B) 1,0
C) 1,5
D) 1,6
741

Solución:
* ( ) ( )
(1) (53 ) (30 )
4 1
1,6
5 2
*
1,6 1,6
aire I cristal R
cristal
cristal medio
cristal
cristal
luz luz luz
luz
Sen Sen
Sen Sen
C
V
f
f
   

 

 
 
=
 = 
 
=  =
 
 
=
=  =
Rpta.: D
5. Cuando un haz de luz se propaga pasando de un medio a otro cambiando su
dirección, decimos que se ha refractado. Un haz de luz en el aire incide en un medio
con ángulo de incidencia de 37° y se refracta con un ángulo de 30°; determine la
rapidez de la luz en el medio refractante.
(naire = 1, c = 3x108 m/s)
A) 2,5x108
m/s B) 2x108
m/s C) 2,4x108
m/s D) 3x108
m/s
Solución:
8
8
* ( ) ( )
(1) (37 ) (30 )
3 1 6
5 2 5
*
6 3 10
2,5 10 /
5
aire I medio R
medio
medio medio
medio
medio
medio
medio
Sen Sen
Sen Sen
C
V
x
V x m s
V
   

 

=
 = 
 
=  =
 
 
=
=  =
Rpta.: A
742

6. El sonómetro es un instrumento muy útil para medir el nivel de intensidad del sonido.
En ese contexto, un sonómetro ubicado en el punto P mide 160 dB y 140dB cuando
el avión caza por las posiciones A y B, respectivamente. Asumiendo que la potencia
del sonido es constante, determine la distancia entre el sonómetro y la posición B.
A) 400 m
B) 2000 m
C) 800 m
D) 200 m
Solución:
Para una misma fuente sonora, rA = 20 m y rB = ?
2 2 10
0
160 140
2 2 2 2 2
10 10
0 0
* 10
10 (20) 10 (10 )(20) 200
x
A A B B x
B B b
I r I r I I
I I r r r m

=  =
=  =  =
Rpta.: D
7. Por el principio de superposición, la intensidad del sonido producida por dos o más
fuentes separadas pueden sumarse en un punto dado. La figura muestra dos
fuentes sonoras A y B cuyas potencias sonoras son 80π W y 180π W,
respectivamente. Determine el nivel de intensidad que se percibe en el punto P.
(Io = 10-12 W/m2)
A) 110 dB
B) 100 dB
C) 90 dB
D) 80 dB
Solución:
2
1 2
2
1 2
2
1 2
0
1
12
4
80
* 0,5 10 W/m
4 (20)
180
* 0,5 10 W/m
4 (30)
* 1 10 W/m
10log
10
* 10log 110
10
A A
B B
P A B P
P
P
P P
P
I
r
I I x
I I x
I I I I x
I
I
dB






 
−
−
−
−
−
=
=  =
=  =
= +  =
 
=  
 
 
=  =
 
 
Rpta.: A
743

1. Cuando un rayo de luz atraviesa perpendicularmente de un medio a otro, diremos
que no se refracta. En ese contexto, un rayo de luz atraviesa perpendicularmente un
pequeño bloque de vidrio con índice de refracción 3/2 en 10-10 s; determine el
espesor del vidrio.
(c = 3x108 m/s)
A) 2 cm B) 2,2 cm C) 3 cm D) 3,2 cm
Solución:
8
8
8 10
*
3 10
2 10 m/s
3
2
* d= t
(2 10 )(10 ) 2
medio medio
medio medio
medio medio
medio
C C
V
V
x
V V x
V
d x d cm


−
=  =
=  =
=  =
Rpta.: A
2. Toda onda electromagnética (OEM) transporta energía pero no materia, las OEM se
pueden clasificar por su frecuencia o longitud de onda. En este contexto, indicar la
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. Mientras mayor es la longitud de onda, mayor es su frecuencia.
II. Mientras mayor es su frecuencia, mayor es su energía
III. La frecuencia de la onda de radio es mayor que la onda ultra violeta.
A) FVF B) FFV C) VVV D) FFF
Solución:
Del espectro de la radiación electromagnética
I. (F)
II. (V)
III.(F)
Rpta.: A
3. Un alumno estudia el sonido producido por su guitarra al tocar la misma cuerda de
manera constante, para ello emplea un detector de sonido que registra la rapidez de
340 m/s y oscila a razón de 170 vibraciones cada 2 segundos en el aire; determine
la longitud de onda del sonido producido
A) 4 m B) 2 m C) 0,4 m D) 8 m
744

Solución:
170
340 ( )
2
4
v f
m



=
=
=
Rpta.: A
4. La nota musical “la” tiene una frecuencia por convenio internacional de 440 Hz. Si en
el aire se propaga con una rapidez de 340 m/s y en el agua lo hace a 1400 m/s,
determine aproximadamente el número de longitudes de onda “la” en agua respecto
del aire.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
Solución:
340 1400
3,182 3
aire agua
agua agua
aire agua aire aire
v
f f f

 
   
=  =
=  =  
Rpta.: C
5. Una de las aplicaciones de la reflexión de las ondas se da en los reflectores de los
radares de tráfico. Las superficies AB, BC y CD son perfectamente reflectantes;
determine la medida del ángulo que forma el rayo incidente con el último rayo
reflejado.
A) 44º
B) 136º
C) 88º
D) 22º
Solución:
De la figura:
* 44 2 180 2 136
* 2 180 44
y y
x y x
 

+ + =   + = 
+ + =   = 
Rpta.: A
745

6. La intensidad del sonido que percibimos depende de la distancia respecto a una
fuente que emite el sonido. Si una persona situada a 20 m de una fuente sonora
percibe el sonido con 40 dB. ¿A qué distancia debe ubicarse la persona para percibir
el sonido con 60 dB?
(Io = 10-12 W/m2)
A) 6 m B) 4 m C) 2 m D) 10 m
Solución:
Para una misma fuente sonora, ra = 20 m y rb = ?
2 2 10
0
40 60
2 2 2
10 10
0 0
* 10
10 (20) 10 4 2
x
a a b b x
b b b
I r I r I I
I I r r r m

=  =
=  =  =
Rpta.: C
7. Durante un ensayo de laboratorio se utilizó una fuente sonora puntual. Si la
intensidad de la fuente sonora puntual a 1 m de distancia es de 10-4 W/m2; determine
el nivel de intensidad a 9 m más distante.
(Io = 10-12 W/m2)
A) 80 dB B) 60 dB C) 50 dB D) 40 dB
Solución:
Para una misma fuente sonora:
2 2
a a b b
I r I r
=
Luego: ra = 1 m y rb = 10 m
2 2
4 2 2 6 2
0
6
12
*
10 (1) (10) 10 W/m
* 10log
10
10log 60
10
a a b b
b b
b
b
b b
I r I r
I I
I
I
dB

 
− −
−
−
=
=  =
 
=  
 
 
=  =
 
 
Rpta.: B
746

8. Durante una clase de física, un profesor ubica a 10 alumnos alrededor de un círculo
de radio 2 m. Si el nivel de intensidad promedio de la voz de un alumno percibido por
el profesor ubicado en el centro del círculo es 60 dB, determine el nivel de intensidad
del sonido cuando todos hablan simultáneamente con la misma intensidad.
(Io = 10-12 W/m2)
A) 70 dB B) 20 dB C) 30 dB D) 40 dB
Solución:
Para 1 alumno
1
10
1 0
60
6
10
1 0 1 0
10
10 10
alum
alum
alum alum
I I
I I I I

=
=  =
Para 10 alumnos
7
. 1. 1. 0
.
.
0
7
0
10. 10.
0
* 10
* 10log
10
10log 70
N alum alum alum
N alum
N alum
alum alum
I NI I I
I
I
I
dB
I

 
=  =
 
=  
 
 
=  =
 
 
Rpta.: A
747

Física
EJERCICIOS
1. Teniendo en cuenta los conceptos de ondas mecánicas y electromagnéticas, indicar
la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
I. Las ondas no transportan materia.
II. Todas las ondas electromagnéticas son ondas transversales.
III. Las ondas mecánicas se pueden propagar en el vacío.
A) VVV B) FVF C) VFF D) VVF E) FFF
Solución:
I. (V) Solo propagan energía y cantidad de movimiento.
II. (V) Todas las O.E.M. son transversales.
III. (F) Las ondas mecánicas se propagan en un medio material.
Rpta.: D
2. Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 80cm de longitud, sujeta de dos extremos y
se observa que presenta 9 nodos. Si la amplitud máxima es de 1cm y la rapidez de
propagación de la onda por la cuerda es 6m/s, determine la frecuencia de la onda.
A) 10 𝐻𝑧 B) 20 𝐻𝑧 C) 30 𝐻𝑧 D) 40 𝐻𝑧 E) 80 𝐻𝑧
Solución:
Graficando lo expuesto en el problema.
Se cumple:
8 (
𝜆
2
) = 80
𝜆 = 20𝑐𝑚 = 0,2𝑚
Además:
𝑣 = 𝜆𝑓 → 𝑓 =
𝑣
𝜆
𝑓 =
6
0,2
𝑓 = 30 𝐻𝑧
Rpta.: C
748

3. Un pulso senoidal en una cuerda tensa recorre 10 m en 1 s; si la frecuencia de
vibración de los puntos de la cuerda es de 2 Hz. Determine la longitud de onda y el
número de longitudes de onda en una longitud de 30 m de dicha cuerda.
A) 5 m; 6 B) 2 m; 10 C) 4 m; 8 D) 5 m; 5 E) 3 m; 6
Solución:
Calculo de la longitud de onda:
𝑣 = 𝜆𝑓 =
𝑑
𝑡
𝜆. 2 =
10
1
𝜆 = 5 𝑚
Calculo del número de longitudes de onda:
𝑛𝜆 = 30
𝑛. 5 = 30
𝑛 = 6
Rpta.: A
4. Uno de los animales más famosos por sus aullidos es, sin duda, el lobo gris (Canis
lupus). Sus aullidos, que pueden escucharse por otros lobos incluso a 190 kilómetros
de distancia, oscilan entre los 90 dB y 115 dB. A estos animales les enseñan a aullar
cuando son unos pequeños lobeznos, recibiendo comida u otros premios como
recompensa. Según esta información determine la mínima intensidad que produce el
aullido del lobo gris.
C) 10−4
𝑊/𝑚2
A) 10−3
𝑊/𝑚2
D) 10−9
𝑊/𝑚2
B) 10−2
𝑊/𝑚2
E) 10−1
𝑊/𝑚2
749

Solución:
La mínima intensidad se genera cuando el nivel es 90dB
𝐼 = 𝐼𝑂10
𝛽
10
𝐼 = 10−12
10
90
10
𝐼 = 10−3
𝑊/𝑚2
Rpta.: A
5. En los vértices de un triángulo equilátero de lado 50√3 m se ubican tres fuentes
sonoras puntuales idénticas. Si la potencia con que las fuentes emiten sonidos
simultáneamente, es 𝑃 = 100 𝜋/3 W. Determine el nivel de intensidad sonora en el
punto baricentro del triángulo.
A) 120dB B) 110dB C) 100dB D) 90dB E) 80dB
Solución:
𝑟 =
2
3
ℎ =
2
3
√3
2
𝐿 =
√3
3
𝐿 = 50𝑚
𝐼𝑏 = 3𝐼 = 3 (
𝑃
4𝜋𝑟2) = 3
100𝜋 3
⁄
4𝜋(50)2 = 10−2 𝑊
𝑚2
𝛽 = 10𝑙𝑜𝑔
𝐼
𝐼0
= 10 𝑙𝑜𝑔
10−2
10−12
= 10 log 1010
= 100 𝑑𝐵
Rpta.: C
750

6. En el cuadro adjunto se indica aproximadamente las frecuencias del espectro visible.
Si una onda electromagnética luminosa se propaga con una amplitud de 6000Å.
Indique el color del espectro visible. (𝑐 = 3𝑥108
𝑚/𝑠)
Color Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta
Frecuencia
(𝑥1014
𝐻𝑧)
4,4 5,0 5,2 6,1 7,0 7,7
A) Rojo B) Naranja C) Amarillo D) Verde E) Azul
Solución:
Para una O.E.M. se cumple:
𝑐 = 𝜆𝑓 → 𝑓 =
𝑐
𝜆
𝑓 =
3𝑥108
6000𝑥10−10
𝑓 = 5𝑥1014
𝐻𝑧
Rpta.: B
7. Una onda incide sobre una superficie que separa dos medios diferentes, si la onda
transmitida incrementa en 20% su rapidez, con respecto a la rapidez de incidencia,
¿Cuál es el ángulo de refracción si el ángulo de incidencia es 53°?
A) 37° B) 16° C) 74° D) 53° E) 30°
Solución:
Aplicando la ley de refracción, en función de la rapidez:
sen 𝜃1
𝑣1
=
sen 𝜃2
𝑣2
Colocando valores:
sen 53°
𝑣
=
sen 𝛼
120%𝑣
sin 𝛼 = (
4
5
) 𝑥
120
100
=
24
25
→ 𝛼 = 74°
Rpta.: C
8. Un haz de luz se propaga pasando de un medio a otro, como se muestra en la figura.
Sabiendo que la rapidez en el medio 1 es 𝑉1 = √3 𝑥 108 𝑚
𝑠
y al pasar al otro medio 2
es 𝑉2 = 2,5 𝑥 108
𝑚 𝑠
⁄ , determine el ángulo de refracción.
A) 37° B) 45° C) 53° D) 60° E) 80°
751

Solución:
𝑛1𝑠𝑒𝑛 37 = 𝑛2𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑅
𝑠𝑒𝑛 37
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑅
=
𝑉1
𝑉2
=
√3 𝑋108
2,5 𝑋 108
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑅 =
2,5 𝑋 108
√3 𝑋108
3
5
=
5
2√3
.
3
5
=
√3
2
𝜃𝑅 = 60°
Rpta.: D
1. Con respecto a las ondas mecánicas y electromagnéticas, indique la verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
A) El fenómeno de la refracción también es común a todo tipo de onda (mecánica,
electromagnética o luminosa)
B) las ondas mecánicas solo se originan en los sólidos líquidos y gases, se propaga
con rapidez constante
C)las ondas electromagnéticas, experimentan además el fenómeno de la
polarización.
A) VVV B) VVF C) FVV D) VFV E) FFF
Solución:
V V V
Rpta.: A
𝑛2
N
53
𝑛1
752

2. Se disponen de 10 parlantes idénticos y equidistantes que emiten sonido
simultáneamente y el nivel de intensidad medido en un punto es de 120 dB. Determine
el nivel de intensidad del sonido que emite cada parlante.
A) 110 dB B) 100 dB C) 90 dB D) 120 dB E) 80 dB
Solución:
𝛽 = 10 𝑙0𝑔
𝑁𝐼
𝐼0
𝛽 = 10 log
𝐼
𝐼0
120 = 10𝑙𝑜𝑔
𝑁𝐼
𝐼0
10−1
10−12
1012
=
10𝐼
10−12
𝛽 = 10 log 1011
𝐼 = 10−1
𝛽 = 10𝑥11
𝛽 = 110 𝑑𝐵
Rpta.: A
3. A la distancia de 4m de una pared se emite un sonido que llega a la pared con una
intensidad de 12,5 𝑥 10−5
𝑤 𝑚2
⁄ . Sabiendo que la pared refleja el 80% de la energía
incidente y absorbe el resto. Determine cuál es el nivel de intensidad del sonido
inmediatamente después de ser reflejado.
A) 120dB B) 110dB C) 100dB D) 90dB E) 80dB
Solución:
𝐼1 = 12,5 𝑥10−5
𝐼2 =
80
100
𝐼1 =
4
5
𝑥 12,5 𝑥 10−5
= 10−4
𝐼2
𝐼0
= 10𝑙𝑜𝑔
10−4
10−12
= 10𝑙𝑜𝑔108
= 80𝑑𝐵
Rpta.: E
4. Los bebés pueden llorar con una amplitud sonora extremadamente potente que
golpea todo lo que se encuentre en su camino para poder avisarle a su mamá que
tiene hambre o que su pañal ya está lleno. Según el sonómetro, el llanto de un bebé
llega a los 110 dB (decibeles), muy por encima del ruido que genera una alarma contra
incendios (95 dB), y casi tan ruidoso como la sirena de una ambulancia (112 dB). La
boca de un bebé está a 30 cm de la oreja del padre y a 1.50 m de la oreja de la madre.
¿Qué diferencia hay entre los niveles de intensidad del sonido que escuchan ambos?
A) 14.0 dB B) 12.0 dB C) 5.0 dB D) 6.50 dB E) 100.0 dB
753

Solución:
Se tiene la diferencia de niveles de intensidad, donde 1
r es la madre y 2
r al padre
Rpta.: A
5. Con respecto a las ondas electromagnéticas (OEM), determinar la verdad (v) o
falsedad ( F) de las proposiciones siguientes :
I.- La frecuencia de las microondas de longitud de ondas 5 cm es de 6 𝑥 1010
𝐻𝑧.
II.- El tiempo que tarda la luz en recorrer un metro en el vacío es menor que el tiempo
que tarda en recorrer un metro dentro del agua.
III.- La longitud de onda correspondiente a una onda de radio con frecuencia de 100
𝐻𝑧 es 3 𝑥 106
𝑚
A) VVV B) VFV C) FVV D) FFF E) VFF
Solución:
I (F) 𝐶 = ʎ𝑓 => 𝑓 =
𝑐
ʎ
=
3 𝑥108
5 𝑥10−2
=
3
5
𝑥 1010
=
30
5
𝑥109
= 6 𝑥 109
𝐻𝑧
II (V)
III (V) ʎ =
𝐶
𝑓
=
3 𝑋 108
102
= 3 𝑥 106
𝑚
Rpta.: C
754

6. Dos espejos planos se encuentran en un ángulo de 135°. Si los rayos de luz inciden
sobre un espejo a 38° como se muestra, ¿a qué ángulo ϕ salen del segundo espejo?
A) 7º B) 8º C) 9º D) 10º E) 15º
Solución:
La ley de reflexión se puede aplicar dos veces. En la primera reflexión, el ángulo es θ,
y en la segunda reflexión, el ángulo es ϕ. Consideremos el triángulo formado por los
espejos y el primer reflejo rayo
Rpta.: A
7. Cuando se transmite la luz de un material a otro, la frecuencia de la luz no cambia,
pero la longitud de onda y la rapidez de onda pueden cambiar. El índice de refracción
n de un material es la razón entre la rapidez de la luz en el vacío c y su rapidez v en
el material. Un haz paralelo de luz en el aire forma un ángulo de 47.5° con la superficie
de una placa de vidrio que tiene un índice de refracción de 1.66. ¿Cuál es el ángulo
entre el haz reflejado y la superficie del vidrio?
A) 24º B) 37º C) 45º D) 60º E) 53º
755

Solución:
Aplicando la ley de Snell
Rpta.: A
756

Física
EJERCICIOS
1. Una niña agita el extremo de una cuerda tensa de longitud L generando ondas
armónicas transversales A, B y C de la misma amplitud, como se muestra en la figura.
I) Las ondas A, B y C tienen longitudes de onda L, 2L/3 y L/2 respectivamente.
II) Si las ondas se generan en un mismo intervalo de tiempo, la onda A es la de
menor frecuencia y la onda C es la de mayor frecuencia.
III) Todas las ondas transportan la misma energía.
A) VFV B) VVF C) FFV D) FVV E) FVF
Solución:
I) F II) F III) V
Rpta.: C
757

2. Se dejan caer billas idénticas desde la misma altura sobre el centro de la superficie
del agua que está en reposo en un estanque. Las billas impactan en la superficie del
agua cada 2 s durante 20 s y cada impacto de una billa en la superficie del agua,
produce una onda circular, como se muestra en la figura. Si cada cresta de onda tarda
6 s en alcanzar el borde del estanque que está a una distancia R = 12 m del punto de
impacto, determine la longitud de onda .
A) 4 m
B) 2 m
C) 6 m
D) 8 m
E) 5 m
Solución:
Frecuencia:
Rapidez:
Longitud de onda:
v 2
4 m
f 0,5
Rpta.: A
758

3. La rapidez de propagación (v) de una onda de tsunami depende de la profundidad (h)
del fondo marino y está dada por , donde g es la aceleración de la gravedad.
Se produce una onda periódica de tsunami en el punto A del fondo marino que está
a una profundidad h = 4000 m, como se muestra en la figura. Si el periodo de la onda
es 10 min, ¿cuál es la longitud de onda del tsunami? (g = 10 m/s2)
A) 100 km
B) 120 km
C) 110 km
D) 150 km
E) 130 km
Solución:
Rapidez de la onda:
Longitud de onda:
Rpta.: B
4. Para medir la profundidad marina se utiliza una sonda acústica colocada en el punto
A del casco de un barco, como se muestra en la figura. La onda sonora emitida incide
en el fondo rocoso y se refleja en el punto B a la profundidad h. Considerando que el
tiempo que transcurre entre la emisión del sonido y la recepción de su eco es 2 s, y
que la rapidez del sonido en el agua de mar es 1500 m/s, determine la profundidad h.
A) 1750 m
B) 1000 m
C) 1100 m
D) 1250 m
E) 1500 m
759

Solución:
Distancia recorrida por el sonido:
Rpta.: E
5. Se hace sonar una campanita a una distancia r = 1 m del oído de una persona, como
se muestra en la figura. Si la potencia de la campanita es 4 x 10-8
W, ¿cuál es el nivel
de intensidad del sonido que percibe la persona? (I0 = 10-12
W/m2
)
A) 40 dB
B) 20 dB
C) 60 dB
D) 10 dB
E) 50 dB
Solución:
Intensidad:
Nivel de intensidad:
Rpta.: A
760

6. La figura muestra una persona situada a una distancia r = 2 m de un perro y escucha
el sonido de su ladrido con un nivel de intensidad de 50 dB. ¿Qué distancia adicional
x deberá alejarse para escuchar el sonido del ladrido del perro con un nivel de
intensidad de 30 dB? (I0 = 10-12
W/m2
)
A) 10 m
B) 20 m
C) 15 m
D) 18 m
E) 12 m
Solución:
Sean r y d = r + x las respectivas distancias para 50 dB y 30 dB.
La distancia adicional será:
Rpta.: D
761

7. Un rayo de luz incide sobre un bloque rectangular de vidrio con un ángulo de 45º y
sigue la trayectoria que se muestra en la figura. El vidrio tiene un espesor d = 1 cm y
se encuentra sobre un espejo delgado para que la luz se refleje completamente.
(naire = 1; nvidrio = 3/2; c = 3 x 108
m/s; = 1,4)
I) Determine el valor del ángulo .
II) ¿Cuánto tiempo permanece el rayo de luz dentro del vidrio?
A) 45º; 2,8 x 10-10 s
B) 60º; 1,2 x 10-10 s
C) 45º; 1,4 x 10-10 s
D) 53º; 1,5 x 10-10 s
E) 37º; 1,4 x 10-10 s
Solución:
I) De la ley de refracción aire vidrio:
De la ley de refracción vidrio aire:
3 = 45º
De la figura:
= 45º
762

II) De la figura:
;
Rpta.: C
1. Un sistema bloque y resorte vertical está unido a una cuerda tensa horizontal de
longitud L = 1 m la cual a su vez está unida a una pared vertical, como se muestra en
la figura. El sistema se hace oscilar con un movimiento armónico simple de energía
0,5 J y se genera una onda que viaja por la cuerda hacia la pared. Si la masa del
bloque es m = 0,25 kg y la constante elástica del resorte es k = 100 N/m, indique la
I) La onda en la cuerda tiene una longitud de onda de 0,5 m.
II) La frecuencia de la onda es aproximadamente 3,2 Hz. (Considere = 22/7)
III) La amplitud de la onda es 10 cm.
A) FFF
B) VFV
C) VVV
D) FVV
E) VVF
763

2 = L = 0,5 m
I) V
II) V
III) V
Rpta.: C
2. En un terremoto se producen ondas sísmicas armónicas a partir del foco, llamadas
ondas internas, como se muestra en la figura. Cuando estas ondas llegan a la
superficie terrestre de llaman ondas superficiales. Si en un lugar de la superficie
terrestre la energía de una onda superficial es el doble de la energía de una onda
interna y sus frecuencias son aproximadamente iguales, ¿cuál es la razón de la
amplitud de la onda superficial a la amplitud de la onda interna?
A) 4
B) 2
C) 2
D) 1
E)
Solución:
Energía de las ondas interna y superficial:
;
Rpta.: E
Solución:
764

3. Dos pescadores A y B se encuentran situados frente a un peñasco grande rodeado
por el mar, como muestra la figura. El pescador A habla en voz alta y la onda sonora
incide en el punto C del peñasco equidistante de los pescadores. Si el pescador B
escucha el sonido de la voz del pescador A después de 1 s y el ángulo de incidencia
de la onda sonora es 37º, ¿cuál es la distancia entre los pescadores? (vsonido = 340
m/s)
A) 214 m
B) 140 m
C) 108 m
D) 204 m
E) 102 m
Solución:
Tiempo de recorrido del sonido:
De la figura:
765

Rpta.: D
4. Un altavoz de forma semiesférica, como el que se muestra en la figura, se ajusta para
amplificar el sonido de la voz. ¿Cuál es la potencia del altavoz, sabiendo que el nivel
de intensidad del sonido a una distancia r = 10 m es 100 dB? (I0 = 10-12
W/m2
)
A) 2 W
B) 3 W
C) 4 W
D) 5 W
E) 6 W
Solución:
Por dato:
2
I 1010
I0 10 2
W / m
Puesto que el altavoz es semiesférico:
Rpta.: A
766

5. En la figura el nivel de intensidad de la batería de orquesta percibido por una persona
situada a una distancia r = 2 m es 60 dB. Considerando que el umbral de audición
humana es I0 = 10-12
W/m2
, determine:
I) El nivel de intensidad a una distancia de 100 m. (Considere log 2 = 0,3)
II) La distancia a la cual el sonido de la batería de orquesta dejará de ser audible.
A) 13 dB; 1 km
B) 26 dB; 2 km
C) 22 dB; 3 km
D) 24 dB; 2 km
E) 12 dB; 1 km
Solución:
I) Para r = 2 m:
Para r´ =100 m:
II) Para I = I0:
Rpta.: B
767

6. Una abeja volando produce un zumbido apenas audible para una persona situada a 5
m de distancia. ¿Cuántas abejas volando alrededor de la persona y a la misma
distancia producirán sonido con un nivel de intensidad de 40 dB? (I0 = 10-12
W/m2
)
B) C) D) E)
= 0 dB I = I0
A) 104
Solución:
Para 1 abeja:
Para N abejas:
Rpta.: A
7. Un pez se halla en una pecera a una profundidad h = 40 cm, tal como se muestra en
la figura. Determine la profundidad aparente h´ del pez cuando se le observa con un
ángulo de incidencia 1. Considere la aproximación tan sen . (naire = 1; nagua = 4/3)
A) 30 cm
B) 25 cm
C) 33 cm
D) 20 cm
E) 28 cm
Solución:
De la figura:
;
768

De la ley de refracción:
Rpta.: A
769

18
semana
FISICA

Física
FÍSICA MODERNA
1. Postulados de la relatividad especial de Einstein
1.1. Primer postulado
Las leyes de la Física son las mismas para todos los observadores en movimiento
relativo de traslación uniforme.
(*) OBSERVACIONES:
1º) El primer postulado significa que no existe en el universo ningún sistema de
referencia en reposo absoluto desde el cual pudiese describirse el movimiento. Por
consiguiente, todo movimiento es relativo y todos los sistemas de referencia son
arbitrarios.
2°) En la figura el observador en la Tierra se considera equivocadamente en reposo y
describe que las naves espaciales A y B se mueven rectilíneamente respecto a él
en sentidos contrarios con velocidad constante. Si los observadores que viajan en
las naves no perciben su movimiento, no podrán determinar quién se mueve y
quién está en reposo. En consecuencia, si el observador de la nave A se considera
en reposo describirá que la nave B se acerca hacia él. Y si el observador de la
nave B se considera en reposo describirá que la nave A se acerca hacia él.
3°) Puesto que las leyes de la Física son las mismas para todos los observadores en
reposo relativo o con MRU, entonces en la figura la ley de la intensidad del sonido
tendrá la misma forma matemática tanto para el observador O en reposo relativo
como para el observador O´ que viaja en el vagón con rapidez constante v.
771

1.2. Segundo postulado
La rapidez de la luz en el vacío (c = 3 × 108
m/s) tiene el mismo valor para
cualquier observador, independiente de su movimiento o del movimiento de la
fuente de luz.
(*) OBSERVACIONES:
1º) El segundo postulado significa que todos los observadores que miden la rapidez
de la luz en el espacio libre siempre obtienen el mismo valor c.
2°) En la figura el observador O en reposo relativo dispara un rayo de luz hacia un
blanco, entonces el valor que obtiene al medir la rapidez de la luz es V = c. Si el
observador O´ viajando en el tren dispara un rayo de luz hacia el blanco,
cualesquiera que sea la rapidez v del tren, el valor que obtiene al medir la rapidez
de la luz será V´ = c.
772

2. Masa relativista
La masa de un cuerpo en movimiento aumenta con la velocidad según la ecuación:
0
2
m
m
1 (v / c)


m0: masa en reposo del cuerpo
v. rapidez el cuerpo
(*) OBSERVACIONES:
1º) Si la rapidez del cuerpo es v = 0: m = m0.
2º) Cuando v = c: m = . Esto significa que se requeriría una fuerza infinita para
acelerar un cuerpo hasta la rapidez c. Por tanto, c es el límite superior para la
rapidez de los cuerpos materiales.
3. Relación entre masa y energía
La energía en reposo E0 de un cuerpo se relaciona con su masa en reposo m0 por:
2
0 0
E m c

(*) OBSERVACIONES:
1º) La energía en reposo es equivalente a la masa en reposo. Por consiguiente, la
masa es una forma de energía o la energía tiene masa.
2º) Aun cuando la energía cinética de un cuerpo sea cero este tiene la energía E0,
la cual se llama también energía de existencia.
3º) Equivalencia entre la unidad de masa (kilogramos) y la unidad de energía
(joule): 1 kg  9 ×1016
J.
4. Energía total relativista
La energía de un cuerpo en movimiento aumenta con la velocidad según la
ecuación:
2
2 0
2
m c
E mc
1 (v / c)
 

m: masa relativista
v: rapidez del cuerpo
773

(*) OBSERVACIÓN:
Para cualquier tipo de cambio de energía (E) la relación de conversión
masa – energía se puede escribir:
2
E ( m)c
  
m: cambio de la masa
5. Energía cinética traslacional relativista
Cuando se le suministra energía cinética traslacional a un cuerpo su masa
relativista m es mayor que su masa en reposo m0 y está dada por:
2
C 0
E (m m )c
 
6. Cantidad de movimiento lineal relativista
La cantidad de movimiento lineal de una partícula de masa en reposo m0 y rapidez
v está dada por:
0
2
m v
p mv
1 (v / c)
 

(*) OBSERVACIONES:
1º) La energía total relativista de una partícula se puede expresa en función de la
cantidad de movimiento lineal relativista:
2 2 2
0
E (pc) (m c )
 
2º) La energía total relativista se puede recordar mediante el triángulo rectángulo
que se muestra en la figura 16.2, donde según el teorema de Pitágoras:
2 2 2 2
0
E (pc) (m c )
 
3º) Si la masa en reposo del objeto es m0 = 0:
E pc

774

4º) Una expresión para determinar la rapidez relativa v/c de una partícula en
función de p y E es
v pc
c E

5º) La cantidad de movimiento lineal relativista puede expresarse en unidades de
energía/c.
7. Contracción de la longitud
Significa que la medida de la longitud de un objeto en movimiento es más corta
que la longitud del objeto cuando está en reposo relativo (véase la figura). Por
consiguiente, la longitud de un objeto en movimiento disminuye con la velocidad de
acuerdo a la ecuación:
2
0
L L 1 (v / c)
 
L0 : longitud del objeto medida cuando está en reposo relativo
L : longitud del objeto medida cuando está en movimiento
v : rapidez del objeto con respecto a un observador en reposo relativo
(*) OBSERVACIONES:
1°) La longitud del objeto medida cuando está en reposo relativo se llama longitud
propia.
2°) La contracción relativista de la longitud de un objeto se produce solamente en la
dirección de su movimiento. Las dimensiones transversales del objeto no varían.
775

3°) Para acontecimientos que impliquen distancias astronómicas es conveniente tener
en cuenta la unidad de longitud astronómica denominada año luz. Un año luz se
define como la distancia recorrida por la luz en 1 año:
1 año luz = 9,5 1015
m
8. Dilatación del tiempo
Significa que el tiempo transcurre más lentamente en un sistema de referencia en
movimiento que en un sistema de referencia en reposo relativo. En consecuencia,
en el sistema de referencia en reposo relativo el tiempo se dilata de acuerdo a la
ecuación (véanse las figuras):
0
2
t
t
1 (v / c)


t : intervalo de tiempo medido en el sistema de referencia en reposo relativo
t0 : intervalo de tiempo medido en el sistema de referencia en movimiento
v : rapidez del sistema de referencia en movimiento con respecto al sistema de
referencia en reposo relativo
(*) OBSERVACIONES:
1º) El intervalo de tiempo t0 medido (con un solo reloj) en el sistema de referencia
en movimiento se llama tiempo propio. En consecuencia, un reloj en
movimiento marcha más lento que un reloj en reposo relativo.
2º) Sincronización de relojes: dos relojes sincronizados en un sistema de
referencia no están sincronizados en ningún otro sistema de referencia que se
mueva respecto al primero.
3º) Simultaneidad: dos acontecimientos que son simultáneos en un sistema de
referencia no lo son en otro sistema de referencia que se mueva respecto al
primero.
776

9. Teorías de la luz
9.1. Teoría corpuscular (Isaac Newton): La luz está compuesta de muchas
partículas.
777

9.2. Teoría ondulatoria (Chrystian Huygens): La luz es un movimiento ondulatorio.
9.3. Teoría de la dualidad (Albert Einstein): La luz está compuesta de cuantos de
energía que se comportan como onda o corpúsculo.
778

10. Principio de Planck
La luz es emitida o absorbida en cuantos discretos cuya energía es proporcional a
la frecuencia.
A un cuanto de energía se le llama fotón. Y la energía de un fotón (E) se expresa:
E hf

h = 6,63 × 10– 34
Js : constante de Planck
(*) OBSERVACIONES:
1º) Puesto que f = c/, la ecuación anterior es equivalente a:
hc
E 

c = 3 × 108
m/s (rapidez de la luz en el vacío)
l : longitud de onda asociada al fotón.
2º) Las gráficas de la energía del fotón (E) en función de la frecuencia (f) y en
función de la longitud de onda (l) es como muestran las figuras.
779

3º) La unidad de energía a escala atómica se llama electrónvoltio  eV. Se define
como la energía que adquiere un electrón cuando es acelerado por una
diferencia de potencial de un voltio. La equivalencia con la unidad Joule es:
1 eV = 1,6  10–19
J
Con esta unidad, la constante de Planck toma el valor:
h = 4,14  10–15
eVs
4°) La unidad de longitud a escala atómica es comparable al diámetro de un
átomo de hidrógeno y se llama Angstrom. La equivalencia con la unidad
metro es:
1
o
A = 10– 10
m
11. Efecto fotoeléctrico
Es el hecho de que ciertos metales emiten electrones cuando sobre ellos incide luz
o radiación. A los electrones emitidos se les llama fotoelectrones.
(*) OBSERVACIONES:
1º) El efecto fotoeléctrico depende de la frecuencia de la radiación incidente.
780

2º) Cuando se manifiesta el efecto fotoeléctrico, el número de fotoelectrones (N)
es proporcional a la intensidad de la radiación (I), tal como se muestra en la
gráfica de N en función de I (véase la figura).
12. Ecuación fotoeléctrica
Es el resultado de aplicar la ley de conservación de la energía al sistema fotón –
metal. La energía del fotón que llega al metal se divide en dos partes:
energía de un fotón 
función
energía cinética
máxima de los trabajo
del metal
fotoelectrones
 
 
 
 
  
 
 
   
   
C
hf E
  
 : función trabajo del metal (se interpreta como la energía mínima que debe tener
el fotón para extraer un electrón del metal).
0
hf
 
0
f .: frecuencia umbral (valor mínimo)
(*) OBSERVACIONES:
1º) La función trabajo  depende de la naturaleza del metal. Tiene un valor típico para
cada metal.
2º) Fórmula equivalente de la función trabajo:
0
hc
 

l0.: longitud de onda umbral (valor máximo)
781

3º) La gráfica de EC en función de f:
4º) La energía del fotoelectrón se escribe por:
C 0
E h(f f )
 
Si f  f0: EC  0 (hay fotoelectrones).
Si f < f0: EC < 0 (no hay fotoelectrones).
13. El experimento del efecto fotoeléctrico
Consiste en un tubo de alto vacío dentro del cual hay dos placas metálicas
conectadas a los extremos de una fuente de voltaje, llamadas cátodo (placa
negativa) y ánodo (placa positiva). Si los fotones de luz que inciden en el cátodo
extraen electrones, entonces el amperímetro (A) debe detectar corriente eléctrica,
lo cual significará que se emiten electrones desde el cátodo.
(*) OBSERVACIÓN:
Si se invierte la polaridad de la fuente de voltaje de la figura, se puede reajustar el
voltaje (V) hasta frenar a los fotoelectrones (EC = 0) antes de llegar al ánodo. Esto
se comprueba cuando el amperímetro no registra corriente eléctrica. Por tanto, el
trabajo mínimo que debe realizar la fuente de voltaje es:
C
e V E
 
782

V: voltaje de frenado
EC: energía cinética máxima del fotoelectrón
e: magnitud de la carga eléctrica del electrón
14. Potencia e intensidad de un haz de fotones
Considérese un haz de luz monocromática de frecuencia f. Si el haz está
constituido de n fotones (véase la figura), entonces la energía del haz es:
E = nhf
Por consiguiente, la potencia (P) del haz de luz es:
 

nhf nhc
P
t t
La intensidad (I) de la radiación que incide en la unidad de área (A) se expresa por:
 
P nhf
I
A tA
15. Rayos X
La producción de rayos X es un proceso inverso al efecto fotoeléctrico. En la figura
se muestra un diagrama de tubo de rayos X. En el interior del tubo de alto vacío
hay dos placas metálicas conectadas por el exterior a una fuente de votaje. La
placa positiva se llama ánodo y la placa negativa se llama cátodo. Los electrones
son acelerados desde el cátodo dirigiéndose hacia el ánodo. Al llegar a éste son
frenados y se emite radiación de alta frecuencia llamada rayos X.
783

Si toda la energía cinética de un electrón (EC) se transfiere al ánodo para crear un
fotón de rayos X de frecuencia fX, la ley de conservación de la energía requiere:
C X
E e V hf
  
V: voltaje acelerador
e = 1,6  10– 19
C: magnitud de la carga del electrón
Si una fracción de la energía del electrón se transfiere al ánodo para crear un fotón
de rayos X de frecuencia fX, la ley de conservación de la energía requiere:
X
(fracción)e V hf
 
(*) OBSERVACIÓN:
Para que se produzcan rayos X, el voltaje acelerador debe estar comprendido en
el rango: 104
V < V < 105
V.
16. Rayos láser
Es radiación electromagnética producida en un instrumento óptico con las
siguientes propiedades:
1º) Es luz monocromática. Es decir, tiene una sola frecuencia o color.
2º) Es luz coherente. Las ondas constituyentes están en fase (interfieren
constructivamente), como se muestra en la figura.
3º) Se propaga en el espacio libre en una sola dirección a grandes distancias sin
dispersarse apreciablemente.
784

(*) OBSERVACIÓN:
La palabra LASER proviene de las siglas del idioma inglés:
Light Amplification by Stimulated Emision of Radiation
(Amplificación de la Luz por Emisión Estimulada de la Radiación)
17. Principio de incertidumbre de Heisenberg
Es imposible conocer simultáneamente y con exactitud la posición y la cantidad de
movimiento de una partícula.
h
x p
4
  

x: incertidumbre en la medición de la posición de la partícula
p: incertidumbre en la medición de la cantidad de movimiento de la partícula
h: constante de Planck
(*) OBSERVACIONES:
1º) Si x es muy pequeña, entonces p será grande, y viceversa si x es grande,
entonces p será muy pequeña.
2º) Las incertidumbres x y p no son el resultado de la imperfección de los
instrumentos de medición. Éstas son inherentes a la naturaleza de la partícula
microscópica.
3º) Si se intentara medir con gran exactitud la posición y la cantidad de movimiento de
un electrón utilizando un microscopio potente, haciendo incidir un fotón de luz
sobre el electrón (figura a), éste será desviado inevitablemente como resultado de
la colisión (figura b). Por consiguiente, intentar localizar al electrón con gran
exactitud (x pequeña) producirá una p grande en el electrón, ya que el fotón
transfiere al electrón energía y cantidad de movimiento.
4º) Si se reemplaza la posición x por el tiempo t y la cantidad de movimiento p lineal
por la energía E, se obtiene la relación de incertidumbre energía – tiempo:
h
E t
4
  

E : incertidumbre en la medición de la energía de la partícula
t : incertidumbre en la medición del intervalo de tiempo en que se mide la
energía de la partícula
785

EJERCICIOS
1. Alfa Centauri es la estrella más cercana del sistema solar, se encuentra a 4,4 años
luz aproximadamente de distancia. Si desde la Tierra se lanza una nave con
destino a Alfa Centauri con rapidez de 0,8 c respecto a la Tierra. ¿Cuantos años
habrán pasado para los pasajeros dentro de la nave según su propio reloj al llegar
a su destino?
A) 6,6 años B) 1,1 años C) 3,3 años D) 2,2 años
2. En un centro de investigación nuclear se desea hacer pruebas con ciertas
partículas elementales para lo cual necesitan que su masa aumente en un 25% de
su masa en reposo. ¿Cuál debe ser la rapidez con que debe moverse esta
partícula para generar este aumento en su masa?
A) 0,8c B) 0,3 c C) 0,6 c D) 0,4 c
3. Se desea tener una sustancia que produzca efecto fotoeléctrico con luz visible de
600 THz de frecuencia. ¿Cuáles de los siguientes materiales son los adecuados
para producir tal efecto? ( )
Metal Función
trabajo
I. Cesio 1,9 eV
II. Litio 2,3 eV
III. Aluminio 4,2 eV
IV. Plata 4,7 eV
A) I B) I, II C) III, IV D) III
786

Física
EJERCICIOS
1. Alfa Centauri es la estrella más cercana del sistema solar, se encuentra a 4,4 años
luz aproximadamente de distancia. Si desde la Tierra se lanza una nave con
destino a Alfa Centauri con rapidez de 0,8 c respecto a la Tierra. ¿Cuantos años
habrán pasado para los pasajeros dentro de la nave según su propio reloj al llegar
a su destino?
A) 6,6 años B) 1,1 años C) 3,3 años D) 2,2 años
Solución:
Calculando el tiempo que transcurre para una persona en la tierra.
La masa total que vibraría sería la de la nave con las personas juntas.
Rpta.: C
2. En un centro de investigación nuclear se desea hacer pruebas con ciertas
partículas elementales para lo cual necesitan que su masa aumente en un 25% de
su masa en reposo. ¿Cuál debe ser la rapidez con que debe moverse esta
partícula para generar este aumento en su masa?
A) 0,8c B) 0,3 c C) 0,6 c D) 0,4 c
Solución:
La masa total que vibraría sería la de la nave con las personas juntas.
787

Rpta.: C
3. Se desea tener una sustancia que produzca efecto fotoeléctrico con luz visible de
600 THz de frecuencia. ¿Cuáles de los siguientes materiales son los adecuados
para producir tal efecto? ( 15 )
Metal Función
trabajo
I. Cesio 1,9 eV
II. Litio 2,3 eV
III. Aluminio 4,2 eV
IV. Plata 4,7 eV
A) I B) I, II C) III, IV D) III
Solución:
Calculando la energía del fotón de luz.
Para generar efecto fotoeléctrico, la frecuencia de la función trabajo debe ser
menor a la frecuencia del fotón.
Rpta.: B
4. Para poder remover un electrón de la superficie de una placa de Sodio se necesita
una energía de 2,46 eV. Si sobre la placa incide luz cuya longitud de onda es
600 nm, determine la energía cinética máxima de los fotoelectrones que salen.
( 15 8 )
A) 0,27 eV B) 1,08 eV C) 0,54 eV D) 2,16 eV
Solución:
788

Rpta.: C
5. La intensidad de la luz solar en la superficie terrestre es aproximadamente de
2
y la energía promedio de un fotón que se emite es 20
. Si
consideramos una superficie de 2
, determine el número de fotones por
segundo que inciden sobre la superficie. ( 15 8 )
A) 35×10
18
B) 32×10
18
C) 14×10
18
D) 7×10
18
Solución:
Se cumple:
Rpta.: A
6. Cuando se ilumina la superficie de un material fotoeléctrico con luz de 380 nm, el
potencial de frenado es 3,2 V. Luego, cuando se oxida el material el potencial de
frenado se reduce a . Calcule la variación de la función trabajo del material.
A) 3,8 × 10
–19
J B) 3,2 × 10
–19
J C) 1,6 × 10
–19
J D) 2,56 × 10
–19
J
Solución:
Aplicando para cada caso, como la energía del fotón incidente no cambia:
Rpta.: D
789

7. El wifi es una tecnología que permite conectar diferentes equipos informáticos a
través de una red inalámbrica de banda ancha, mediante las ondas
electromagnéticas. Un joven que se encuentra a 2 m del router, el cual emite OEM
con 2,4 GHz, absorbe dicha radiación. Si en esta situación inciden en él
5000 fotones, determine la energía absorbida por el muchacho. ( 34
6 10 J.s
h 
  )
A) 60×10
–22
J B) 72×10
–22
J C) 82×10
–22
J D) 80×10
–22
J
Solución:
3 34 9 22
5 10 6 10 2,4 10 72 10 J
total
fotones
total
fotones
E nhf
E  

       
Rpta.: B
8. Con respecto a la producción de los rayos X:
I. La longitud de onda de los rayos X depende de cual sea el material que se usa
para frenar a los electrones.
II. La energía de un fotón de rayos X puede ser igual a la energía de los
electrones acelerados en el tubo de rayos X.
III. El mecanismo de producción de los rayos X es el proceso inverso al
efecto fotoeléctrico.
A) FFV B) FVF C) FVV D) VVV
Solución:
I. La longitud de onda mínima o de corte del espectro de los rayos x, dada por la
relación: 6
1
,24 10 / m
V
 
   no depende del material del que está hecho el
blanco metálico que se usa para frenar a los electrones. Pero si depende del
potencial acelerador V al cual está sometido el tubo de rayos x.
II. Los fotones x más energéticos se producen cuando el electrón
acelerado experimenta una sola colisión y finalmente quedan en reposo.
Es decir la energía máxima del fotón x es igual a la energía cinética del
electrón acelerado en el tubo de rayos x.
III. El mecanismo de generación evidencia el carácter corpuscular de los
rayos x, mientras que el fenómeno de difracción de los rayos x, evidencia su
naturaleza ondulatoria, es decir los rayos x como cualquier OEM posee
naturaleza dual.
Rpta.: C
790

1. La radiación producida del láser es altamente coherente, monocromática y
concentrada, por ello tiene muchas aplicaciones tecnológicas. Un láser de rubí,
tiene una potencia de 7
10 W y emite un pulso en 8
3 10 s

 . Si los fotones están
asociados a una onda electromagnética de longitud de onda de 6600 A .
Determine el número de fotones emitidos.
34 8 10
( 6,6 10 J.s, 3 10 m/s, 1 A 10 m)
h c
 
    
A) 18
3 10
 B) 18
1 10
 C) 17
4 10
 D) 16
3 10

Solución:
Como
Nhc
P

 y además:
n
N
t


Entonces:
P t
n
hc


7 10 8
34 8
18
10 (6600 10 )(3 10 )
(6,6 10 )(3 10 )
10
n
n
 

 

 

Rpta.: B
2. Un fotón incide sobre un metal cuya función trabajo es 6 eV. Si el fotoelectrón tiene
una energía cinética máxima igual al 70% de la energía del fotón, determine la
longitud de onda del fotón incidente (en nm).
Considere ( s
/
m
10
3
c
;
s
.
J
10
62
,
6
h 8
34



 
)
A) 60 nm B) 61 nm C) 62 nm D) 63 nm
Solución:
Datos: c
E E

  0,7
c
hc
E


c
hc
E


  19
6 9,6 10
eV J
 
  
Entonces
0,3 hc




Rpta.: C
34 8
19
9
0,3 6,62 10 3 10
9,6 10
62,06 10 62
m nm





   


  
791

3. A la velocidad de la luz la longitud se contrae, lo cual significa que la longitud de un
objeto cuando está en movimiento es más corta que la longitud del objeto cuando
está en reposo relativo. Una nave se desplaza frente a un observador con
velocidad 0,6c. Si su longitud mide 50 m cuando se encuentra en reposo con
respecto a un observador. ¿Cuál será la longitud de la nave medida por éste?
( 8
3 10 /
c m s
  )
A) 40 m B) 42 m C) 45 m D) 48 m
Solución:
2 2 2
0
v 0,6
1 ( ) 50 1 ( ) 50 64 10
c c
40 m
c
L L
L

     

Rpta.: A
4. La longitud de onda umbral para el cesio es . Si una longitud de onda de
ilumina una superficie de este material, determine la energía cinética
máxima de los fotoelectrones. ( 34
)
A) 0,12 × 10
–18
J B) 0,35 × 10
–18
J
C) 0,13 × 10
–18
J D) 1,14 × 10
–18
J
Solución:
Rpta.: C
5. Se mide el tiempo de un haz de partículas radioactivas cuando se dispara en un
laboratorio, se encuentra que en promedio cada partícula ―vive‖ durante un tiempo
de 2.10-8
s; después de este tiempo, la partícula cambia a una nueva forma.
Cuando las mismas partículas estaban en reposo en el laboratorio, ―vivian‖ en
promedio 0,75.10-8
s. Determine la rapidez que tenían las partículas en el haz.
A) 0,75×108
m/s B) 1,75×108
m/s
C) 2×108
m/s D) 2,78×108
m/s
Solución:
Rpta.: D
792

6. La tierra es bombardeada constantemente por partículas que se originan en el
espacio exterior que forman parte de la radiación cósmica, una de estas partículas
es el muón que se forma a una altura entre 10 a 20 Km de la superficie de la
Tierra, la rapidez de esta partícula es siempre menor que la rapidez de la luz en el
vacío (C), su vida media es de 2,2 µs antes de desintegrarse en un electrón y
neutrinos.
I. Determine la distancia que debe recorrer el muón en ese tiempo. Si se detecta
en la superficie de la Tierra que podemos afirmar.
A) mayor que 660 m ; el tiempo para el muón se contrae.
B) menor que 660 m ; es una prueba experimental de la dilatación del tiempo.
C) igual a 660 m ; es una prueba experimental de la dilatación del tiempo.
D) mayor de 20 Km ; el tiempo no se dilata.
Solución:
I. d = C t d = 3.108
.2,2.10-6
d = 660 m esto es a la rapidez de la luz pero el
muón tiene una rapidez menor => recorre menos de 660 m en ese tiempo ( su
vida media).
Es una prueba experimental de la dilatación del tiempo, porque el muón solo
puede recorrer menos de 660 m pero se lo detecta en la superficie terrestre.
Rpta.: B
7. La gráfica muestra la energía cinética de un fotoelectrón en función de la
frecuencia de la radiación incidente sobre un metal fotosensible. Indique la verdad
(V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. ( h = 4,14.10-15
eV.s )
I. La frecuencia de umbral es 1015
Hz
II. La función trabajo del metal fotosensible es 6,21 eV.
III. Le energía cinética máxima de los fotoelectrones es el doble de la función
trabajo si f = 4,5.1015
Hz.
A) FVF B) FFV C) FVV D) VVV
f (10
15
Hz)
Ec
1,5
793

Solución:
I. (F)
II. (V) Φo = hfo Φo = 4,14.10-15
eV.s.1,5.1015
1/s Φo = 6,21 eV
III. (V) hf = Φo + Ec
De: hf = Φo + Ec 4,14.10-15
eV.s.f = 6,21 eV + 12,42 eV
f = 18,63 eV / 4,14.10-15
eV.s
f = 4,5.1015
Hz
Rpta.: C
794

Física
EJERCICIOS
1. De los postulados de la relatividad de Einstein se encuentra que si un cuerpo se
mueve con rapidez respecto a un observador, su masa aumenta en
comparación a su masa medida en un sistema de reposo. Un cuerpo de 60 kg de
masa medida por un observador en reposo, súbitamente empieza a moverse con
una velocidad de 0,8 c ¿cuánto será la nueva masa medida por el observador en
reposo?
(c = 3x108 m/s)
A) 100 kg B) 70 kg C) 80 kg D) 90 kg
Solución:
Rpta.: A
2. Los postulados de la relatividad de Einstein nos permite deducir que el tiempo
transcurre más lentamente en un sistema de referencia en movimiento que en un
sistema de referencia en reposo relativo. En ese contexto, si un piloto aeroespacial
realiza un viaje por 80 días a la velocidad de 0,6 c; determine cuantos días
transcurrirán para un observador en tierra.
(c = 3x108 m/s)
A) 100 B) 90 C) 80 D) 70
Solución:
Rpta.: A
3. En el efecto fotoeléctrico la luz que incide sobre un metal, arranca electrones del
metal, que son llamados fotoelectrones. En ese contexto, indicar la verdad (V) o
falsedad (F) las siguientes proposiciones:
I) La función trabajo de un metal depende de la frecuencia de la luz incidente.
II) La máxima energía cinética de los electrones emitidos varía linealmente con la
frecuencia de la luz incidente.
III) La energía de un fotón es proporcional a su frecuencia.
A) VFF B) FVV C) VFV D) FFV
795

Solución:
FVV
Rpta.: B
4. En el verano las consecuencias de la radiación solar son notorias si se permanece
mucho tiempo expuesto sin protección. Si la piel absorbe un fotón con 300 nm
podría causarle una quemadura solar; determine la energía del fotón.
(h = 4x10–15 eVs, c = 3x108 m/s)
A) 3 eV B) 2 eV C) 4 eV D) 1 eV
Solución:
De la ecuación de Planck:
15 8
7
4 10 (3 10 )
3 10
4
hc
E
x x
E
x
E eV

−
−
=
=
=
Rpta.: D
5. Una lámina metálica es iluminada con luz de 900 nm de longitud de onda y se
extraen electrones con 1eV de energía cinética. Determine la función trabajo de la
lámina metálica.
(h = 4x10–15 eVs, c = 3x108 m/s)
A) 4 eV B) 3,3 eV C) 0,33 eV D) 1,33 eV
Solución:
Reemplazando datos:
15 8
9
*
(4 10 )(3 10 )
1
900 10
1,33 1 0,33
f c f
f
hc
E E E
x x
x
eV



 
−
−
= +  =
= +
= +  =
Rpta.: C
796

6. Un electrón es acelerado en un tubo de rayos X con 50000 V de diferencia de
potencial. Si el 70% de la energía cinética del electrón se pierde en el choque con el
anticátodo y el resto se transforma en rayos X; determine la longitud de onda de los
rayos X generados.
(h = 4x10–15 eVs, c = 3x108 m/s, 1 A = 10-10
m)
A) 8 A B) 0,8 A C) 80 A D) 1,6 A
Solución:
Se pierde 70% de la energía cinética por tanto queda disponible 30% para la
generación de rayos X
15 8
11
*30%
30 (4 10 )(3 10 )
(50000 )
100
8 10
0,8A
c R X R X
R X
R X
R X
R X
hc
E E E
x eV x
e V
x m




− −
−
−
−
−
−
−
=  =
=
=
=
Rpta.: B
7. La radiación producida del láser es altamente coherente, monocromática y
concentrada, por ello tiene muchas aplicaciones tecnológicas. Un láser de rubí, tiene
una potencia de 107 W y emite un pulso en 3x10-8 s. Si los fotones están asociados a
una onda electromagnética de longitud de onda de 6600 A . Determine el número de
fotones emitidos.
(h = 6,6x10–34 Js, c = 3x108 m/s, 1 A = 10-10
m)
A) 3x1018
B) 1x1018
C) 4x1017
D) 3x1016
Solución:
7 10 8
34 8
18
*
10 (6600 10 )(310 )
(6,6 10 )(3 10 )
10
Nhc n P t
P N n
t hc
x
n
x x
n


− −
−

=  =  =

=
=
Rpta.: B
797

1. La teoría de la luz ha tenido muchos cambios a lo largo de la historia de la ciencia a
medida que se van descubriendo nuevas evidencias que permiten interpretar su
comportamiento. En ese contexto, indicar la verdad (V) o falsedad (F) las siguientes
proposiciones:
I. Según I. Newton la luz tiene un comportamiento ondulatorio que se propaga solo
en el vacío.
II. Según C. Huygens la luz se propaga en forma de pequeños corpúsculos y se
propaga en una dirección.
III. Según A. Einstein la luz tiene un comportamiento dual onda - partícula.
A) FVF B) VVV C) FFV D) VFV
Solución:
FFV
Rpta.: C
2. El espectro electromagnético está constituido por todos los posibles niveles
de energía que la luz puede tener. La energía de la luz es relacionada con la
frecuencia o longitud de onda. En ese contexto, indicar la verdad (V) o falsedad (F)
I. Los rayos gamma tienen menor frecuencia que la luz visible y por tanto son más
energéticos.
II. Las O.E.M se pueden propagar en el vacío o un medio material.
III. La energía de la luz es directamente proporcional a la longitud de onda.
A) FVF B) VVV C) FFF D) VFV
Solución:
FVF
Rpta.: A
3. Para conocer las algunas propiedades físicas de un compuesto metálico sólido se le
somete a una radiación de frecuencia 1014 Hz, logrando extraer fotoelectrones con
energía cinética 0,15 eV. Con respecto al enunciado, indique la verdad (V) o
falsedad de las siguientes proposiciones:
(h = 4x10-15 eVs, c = 3x108 m/s, 1 A = 10-10
m)
I. Si disminuye la longitud de onda de la radiación incidente, aumenta el número
de fotoelectrones extraídos de la intensidad de la luz incidente
II. La frecuencia umbral del compuesto metálico es mayor que la frecuencia de la
radiación.
I. La función trabajo del compuesto metálico es 0,25 eV
A) FVV B) VVF C) FVF D) VVV
798

Solución:
I. F: Si disminuye la longitud de onda entonces la frecuencia de la radiación
aumenta por tanto aumenta la energía cinética de los fotoelectrones.
II. V: Para que se produzcan fotoelectrones la frecuencia de la radiación deber ser
mayor o igual a la frecuencia umbral del metal.
III. V:
15 14
4 10 (10 ) 0,15
0,4 0,15
0,25
radiacion c
E E
x
eV




−
= +
= +
= +
=
Rpta.: A
4. Una O.E.M de frecuencia 2x1014 Hz incide sobre una superficie metálica cuya
función trabajo es 0,3 eV; determine la energía cinética de los fotoelectrones
producidos.
(h=4x10-15 eV.s)
A) 0,4 eV B) 5 eV C) 0,5 eV D) 6 eV
Solución:
15 14
4 10 (2 10 ) 0,3
0,8 0,3
0,5
radiacion c
E E
x x
eV




−
= +
= +
= +
=
Rpta.: D
5. Las zonas geográficas de gran incidencia solar son aprovechadas para la
instalación de paneles solares y generar corriente eléctrica mediante el efecto
fotoeléctrico. En este contexto, la energía de un fotón que incide sobre el panel
solar es 12 eV; determine la longitud de onda asociada a esta energía.
(h = 4x10–15 eVs, c = 3x108 m/s)
A) 330 nm B) 300 nm C) 100 nm D) 500 nm
799

Solución:
De la ecuación de Planck:
15 8
4 10 (3 10 )
12
100
hc
E
x x
nm



−
=
=
=
Rpta.: C
6. A la velocidad de la luz la longitud se contrae, lo cual significa que la longitud de un
objeto cuando está en movimiento es más corta que la longitud del objeto cuando
está en reposo relativo. Una nave se desplaza frente a un observador con velocidad
0,8c. Si su longitud mide 80 m cuando se encuentra en reposo con respecto a un
observador. ¿Cuál será la longitud de la nave medida por éste?
(c = 3x108 m/s)
A) 48 m B) 50 m C) 60 m D) 65 m
Solución:
Rpta.: A
7. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones, en relación a la
teoría de la Relatividad Especial de Einstein.
(c = 3x108 m/s)
I) Una nave especial se mueve a una velocidad de 0,7c respecto a tierra. El
astronauta mide cierto objeto y mide 2 m. El mismo objeto medido desde la tierra
será menor que 2 m.
II) La masa de todo cuerpo en movimiento se incrementa por efecto relativista.
III) La teoría de la relatividad solo es válida para objetos que se mueven a
velocidades cercanas a la luz.
A) VVF B) FFV C) FVF D) VFF
Solución:
VVF
Rpta.: A
800

8. Una de las formas alternativas del principio de incertidumbre es la indeterminación
tiempo-energía que puede escribirse como
h
E t
4
  

. En ese contexto, si el
tiempo de una transición atómica es de 8
10 s
−
; determine la mínima incertidumbre
de la energía de la radiación emitida.
(h = 4x10–15 eVs, c = 3x108 m/s)
A) 4x10–8
eV B) 6x10–8
eV C) 3,1x10–8
eV D) 2x10–8
eV
Solución:
Del principio de incertidumbre
15
8
8
h 4x10
E 3,18x10 eV
4 t 4 x10
−
−
−
 = = =
 
Rpta.: C
801

Física
1. Luis decide hacer un viaje en una nave espacial cuya masa es de kg a una
velocidad de 0,5 C. Determine su masa cuando se encuentra en movimiento.
(c= m/s)
A) 1360 kg B) 1200kg C) 1600kg D) 1500kg E) 1800kg
Solución:
Rpta: C
2. Una nave espacial pasa junto a un observador con rapidez de 0,8 c. Si la longitud
medida por el observador es 36 m. Determine la longitud de la nave cuando se
encuentre en reposo. (c= m/s)
A) 60 m B) 30 m C) 64 m D) 24 m E) 20 m
Solución:
 
2
0
0 0
2 2
0
1
36
1 0.8
1
60
v
l l
c
l
l l
v
c
l m
 
  
 
 

 
 
 

Rpta: A
802

3. En un marco de referencia terrestre, una estrella está a 60 años luz de distancia.
¿Con qué rapidez tendría que viajar una persona de manera que para ella la
distancia sólo sea de 30 años luz?
A) C /2 B) 2C C) C D) 2C E) C
Solución:
2
0
2
1
30
1
60
3
2
l
v c
l
v c
c
v
 
  
 
 
  
 

Rpta.: A
4. Con respecto a las ondas electromagnéticas (OEM). Indicar la verdad (V) o falsedad
(F) de las siguientes proposiciones
I) Requieren de un medio para propagarse
II) Incluyen luz visible y las ondas de radio y la telefonía
III) Se propagan mediante oscilaciones de campos eléctricos y magnéticos
A) FVV B) VVV C) FFV D) VFF E) FVF
Solución:
FVV
Rpta.: A
5. Si la función trabajo de un metal es 2,2 eV y la energía cinética máxima de los
fotoelectrones que emite al ser iluminado es 6,08 eV. Determine la frecuencia de la
radiación incidente. (h= 4,14 x )
A) 2,2 x 1015
Hz B) 2 x 1014
Hz C) 2,2 x 1014
Hz
D) 1,8 x 1015
Hz E) 2 x 1015
Hz
Solución:
E =
803

Rpta.: E
6. El principio cuántico de Planck nos da a entender que la materia puede absorber
energía a través de los fotones. En el caso del átomo de Hidrógeno, un electrón en
el primer nivel (E1= –13,6 eV) absorbe un fotón y realiza un salto energético al
segundo nivel (E2 = –3,4 eV). ¿Cuál es la frecuencia del fotón absorbido? .
(h= 4,14 x )
A) 2,46 x Hz B) 3,2 x Hz C) 4,15 x Hz
D) 5,6 x Hz E) 7,8 x Hz
Solución:
Rpta.: A
7. Electrones son disparados con un voltaje de 50000 V en un tubo de R-X y son
frenados en el anticátodo generándose fotones X. Determine la energía de un fotón
X, si la energía de un electrón se convierte totalmente en la energía de un fotón.
A) B) C)
D) E)
Solución:
Rpta.: B
8. Uno de los límites del principio de incertidumbre de Heinsenberg es que debe
predecir, a nivel macroscópico, que la indeterminación en la posición y la velocidad
es nula. Es por ello que a escala macroscópica podemos conocer con total certeza
la posición y velocidad de los objetos (ejemplo: una pelota). ¿Cuál será la
incertidumbre de la medida de la velocidad de un balón de fútbol de 0.43 kg si se
conoce su posición con una indeterminación de 1 mm? ( h =6,6x10-34 Js)
A) 4,5 x m/s B) 3,5 x m/s C) 1,22 x m/s
D) 2,1 x m/s E) 9,8 x m/s
Solución:
804

Rpta.: C
1. Con respecto a los postulados de Einstein de la relatividad especial, indique la
I) Las leyes de la física son iguales en sistemas de referencia inerciales y no
inerciales.
II) La velocidad de la luz adquiere un valor mayor a c dependiendo del sistema de
referencia.
II) La velocidad de la luz es constante tanto para observadores en reposo como
para observadores moviéndose con una aceleración.
A) FVF B) VFF C) FFF D) VVV E) FFV
Solución:
FFV
Rpta.: E
2. Una de las conclusiones de la teoría especial de la relatividad radica en que a
medida que los objetos adquieren mayor velocidad, mayor será la masa que
adquieran en comparación a la masa medida en un sistema en reposo. Se tiene una
pelota de 10 kg de masa medidas por un observador en reposo, si la pelota
súbitamente empieza a moverse a una velocidad de 0.6c ¿Cuánto será la nueva
masa que adquiera la pelota medidas por el observador en reposo?
A) 10 kg B) 12,5 kg C) 13 kg D) 16 kg E) 20 kg
Solución:
Rpta.: B
805

3. La contracción de Lorentz es un efecto relativista que consiste en la contracción de
la longitud de un cuerpo en la dirección del movimiento a medida que su velocidad
se acerca a la velocidad de la luz ¿Con qué rapidez v la longitud de una barra de
1,00 m parecería un 20,0% más corta (es decir, de 80.0 cm)?
A) 3c/5 B) 2c/5 C) 5c/3 D) 3c/4 E) c/3
Solución:
2
0
2
1
0.8
1
1
3
5
l
v c
l
v c
c
v
 
  
 
 
  
 

Rpta.: A
4. Suponga que decide viajar a una estrella a 65 años luz de distancia con una rapidez
que le indica que la distancia sólo es de 25 años luz. ¿Cuántos años tardaría en
realizar el viaje?
A) 27 años B) 25 años C) 10 años D) 2 años E) 60 años
Solución:
Donde 25
l c

2
25
27,083
25
1
65
c
t
c
c
c
 
 
 
 
Rpta.: A
806

5. La longitud de onda umbral para el potasio es de 750 nm. Determine la frecuencia
umbral y la función trabajo del potasio.
A) 6x Hz, 2.4 Ev B) 3x Hz, 16.6 eV C) 4x Hz, 1.6 eV
D) 4x Hz, 16.6 eV E) 4x Hz, 16 eV
Solución:
Rpta: D
6. Un haz de fotones de luz ultravioleta incide sobre una superficie fotosensible, la cual
emite electrones. Si el número de fotones de luz ultravioleta se duplica, indique la
verdad (v) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes.
I. La energía cinética máxima de los electrones emitidos se duplica.
II. El mínimo de electrones emitidos se duplica.
III. La función trabajo del metal se duplica.
A) VVV B) VFV C) FVF D) FFF E) FFV
Solución:
I. (F)
II. (V)
III.(F)
Rpta: C
7. El potencial de frenado para fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada
con luz de longitud de onda de 4140 Å es 1,43V.Cuando se cambia la longitud de
onda incidente, se encuentra que el potencial de frenado es 0,68 v. Determine la
nueva longitud de onda.
(h= )
A) 5520Å B) 2208Å C) 1104Å D) 3312Å E) 4416Å
Solución:
807

Rpta: A
808

Física
EJERCICIOS
1. Se acelera electrones hasta una energía cinética de 106
eV .Determine el porcentaje
del aumento de masa de los electrones por efectos relativistas, sabiendo que:
A) 300% B) 100% C) 200% D) 400% E) 500%
Solución:
Energía total
Rpta.: C
2. Una nave espacial se mueve respecto a la tierra con una rapidez
. El periodo de oscilación de un péndulo de resorte en la
nave es de 4s, ¿cuál será el período medido desde la tierra?
(Considere )
A) 4,5 s B) 6 s C) 4,8 s D) 4,001 s E) 4,9 s
Solución:
Teniendo en cuenta la ecuación relativista sobre la dilatación del tiempo, tenemos:
(1)
Donde es el periodo del péndulo medido en el la nave.
809

En (1)
Rpta.: A
3. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones, en relación a la
teoría de la relatividad especial:
I) Ningún cuerpo puede moverse con mayor rapidez que la rapidez de la luz en el
vacío.
II) La velocidad de la luz es igual en un sistema que se desplaza con MRU o
MRUV.
III) La teoría de la relatividad no se cumple en los movimientos a nivel de la tierra.
A) VVF B) VFF C) VFV D) VVV E) FFF
Solución:
I) V II) F III) F
Rpta.: B
4. Todo cuerpo caliente emite ondas electromagnéticas de la región infrarroja. El
cuerpo humano emite radiación infrarroja cuya longitud de onda promedio es del
orden de , determine la energía promedio de un fotón emitido por el cuerpo
humano.
A) 0,12 eV B) 0,22 eV C) 1,2 eV D) 0,18 eV E) 0,50 eV
Solución:
Rpta.: A
810

5. Se requiere extraer electrones de la superficie de potasio por efecto fotoeléctrico. Si
la energía cinética de los fotoelectrones debe ser dos tercios (1/3) de la energía de
los fotones, hallar la frecuencia que debe tener la radiación monocromática
incidente. La función trabajo del potasio es .
A) B) C)
D) E)
Solución:
Rpta.: E
6. Para la toma de una radiografía convencional se requiere acelerar electrones con un
voltaje de 30000 V y por el fenómeno de frenamiento se generan los R-X. Determine
la longitud de onda de los R-X si solo el 20% de la energía cinética de un electrón se
transformó en energía de un fotón.
C) D) E)
A) B)
Solución:
Rpta.: D
811

7. El LÁSER es la amplificación de la luz por estimulación de los átomos emisores. La
radiación producida es altamente coherente, monocromática y concentrada. Su
aplicación hoy en día es muy grande en el campo de la tecnología electrónica, la
medicina, entre otros.
Un LÁSER pulsátil de rubí tiene una potencia de y emite un pulso en . Si
los fotones están asociados a una onda electromagnética de longitud de onda de
, determine el número de fotones emitidos.
C) D) E)
A) B)
Solución:
Rpta.: E
8. Para medir la energía de una partícula cuántica (por ejemplo un electrón) se requiere
un intervalo de tiempo. Según el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, si
representan las incertidumbres de las mediciones simultáneas de la
energía y el tiempo respectivamente, entonces . Si la incertidumbre de la
medición del tiempo es , determine la mínima incertidumbre de la medición de
la energía.
A) B) C)
D) E)
Solución:
Rpta.: A
812

1. Una nave espacial se mueve a una gran velocidad respecto a tierra y alejándose de
ella con una rapidez de 0,5 c. Si una regla tiene una longitud de 30 cm medida en la
nave, ¿cuál será su longitud medida desde la tierra?
A) B) C) D) E)
Solución:
De la ecuación relativista de la contracción de la longitud
Rpta.: C
2. La teoría ondulatoria y la teoría corpuscular son las dos concepciones
fundamentales acerca de la naturaleza de la luz. En este contexto indicar la verdad
I. Según Newton y sus seguidores la luz tiene un comportamiento corpuscular.
II. Hay fenómenos de la luz que se explican bajo un concepto ondulatorio y otros
bajo un concepto corpuscular; decimos que la luz tiene naturaleza dual: onda-
corpúsculo.
III. Según la teoría de Planck, la radiación emitida por un cuerpo caliente es
estrictamente continua y ondulatoria.
A) FVF B) VVF C) VFF D) VVV E) FFF
Solución:
I. V II. V III. F
Rpta.: B
3. Un haz de R-X monocromático tiene una longitud de onda de . Determine la
energía de los fotones de R-X.
A) 4200 eV B) 1100 eV C) 2200 eV D) 1500 eV E) 1200 eV
813

Solución:
Rpta.: E
4. Una célula fotoeléctrica tiene como electrodo un metal cuya función trabajo es de
4 eV. Se desea liberar electrones de la superficie metálica con una energía de 8 eV.
Determine la frecuencia de la radiación que se debe utilizar para tal fin.
A) B) C)
D) E)
Solución:
De la ecuación de Einstein:
Rpta.: A
I) En el efecto fotoeléctrico (para un metal dado), los fotones deben tener una
energía mínima extraer electrones.
II) Las llamadas ondas electromagnéticas de radio, no pueden considerarse como
un flujo de fotones.
III) Los fotones de R-X son más energéticos que los fotones luminosos.
A) FVF B) VVF C) VFV D) VVV E) FFF
Solución:
I) V
II) F
III) V
Rpta.: C
814

6. En un tubo de R-X, los electrones son disparados con un voltaje de 50000 V.
Cuando los electrones son frenados en el anticátodo, se generan los fotones X.
Determine la energía de un fotón X si la energía de un electrón se convierte
totalmente en la energía de un fotón.
A) 80 keV B) 50 keV C) 100 keV D) 95 keV E) 65 keV
Solución:
Rpta.: B
7. La radiación emitida por un LASER de color rojo tiene una longitud de onda de
. Determine la energía de los fotones de este LASER.
A) 2,2 eV B) 1,4 eV C) 42 eV D) 8 eV E) 0,50 eV
Solución:
Rpta.: B
815

8. Según el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, no es posible medir
exactamente y simultáneamente la posición y la cantidad de movimiento de una
partícula cuántica (un electrón, por ejemplo). Para un electrón que se mueve en la
dirección del eje x, si representa la incertidumbre de la medida de la posición y
la incertidumbre de la cantidad de movimiento, entonces según Heisenberg
. Para un electrón que se mueve en la dirección del eje x se ha obtenido
, determine la incertidumbre de la energía cinética mínima.
A) B) C)
D) E)
Solución:
x
x
2 22 2
c
2
(eV s)
2
5 108 (eV s)
2
2 2 2
1,6 10 19
2 2 2
2
2
19
x p
h
4
h 16
3 10 eVs
3 10 11 eVs
p
4 x m
10 5
m
E
( px ) 9 10
(1)
2M 2 9 10 31
kgm kgm
1
2
kgm2
kg
m
2
s Js eVs
s
(eV s) (eV) s
1,6 10 19
eV
1
kgm eVs
1,6 10
En (1)
Ec 5 108
1,6 1
c
0 19
eV
E 8 10 11
eV
Rpta.: A
816

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