Formulario de calculo vectorial

Formulario de calculo vectorial

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  FORMULARIO DE CÁLCULOVECTORIAL Licenciado: Julio Cesar Barreto García 1 Materia: Matemática III VECTORES: Norma de un vector: uuu n u 22 2 2 1   Vector unitario: u u Producto punto o producto escalar:   n i nnii vuvuvuvuvu 1 2211  Cosenos directores: 1)(cos)(cos)(cos ;)cos(,)cos(,)cos( 222 321     u u u u u u Angulo entre dos vectores: vu vu  )cos( Componente de v a lo largo de u: )cos()cos(  v u vu u vu vcompu    Producto cruz o producto vectorial: 2222 )( )( vuvuvu senvuvu    Área del paralelogramo generado por u y v: vuA  Área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo generado por u y v Producto cruz o producto vectorial: )()()( 212131313232 321 321 uvvukuvvujuvvui vvv uuu kji vu   Triple producto escalar: 321 321 321 )( www vvv uuu wvu  Volumen del paralelepípedo generado por u, v, w: )( wvuV  Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen del paralelepípedo generado por u, v y w. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO: Ecuación vectorial de la recta: tvrr  0 : donde v es el vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar. Ecuaciones simétricas de la recta: 0; 321 3 0 2 0 1 0       vvvcon v zz v yy v xx Ecuaciones paramétricas de la recta: 30 20 10 tvzz tvyy tvxx    Ecuación vectorial del plano: 0)( 0  rrn donde n es el vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z). Ecuación escalar del plano que pasa por P0=(x0,y0,z0) y tiene como vector normal a n =(a,b,c): 0)()()( 000  zzcyybxxa . Ecuaciones paramétricas del plano: 330 220 110 sutvzz sutvyy sutvxx    Distancia de un punto Q a un plano: 222 000 )( cba dczbyax n nPQ PQcompD n      Distancia de un punto Q a una recta L está dada por: u uPQ D    , donde P es un punto cualquiera de la recta. SUPERFICIES: Una superficie de revolución tiene la ecuación: x2 + y2 = [r(z)]2 girando en torno al eje z y2 + z2 = [r(x)]2 girando en torno al eje x x2 + z2 = [r(y)]2 girando en torno al eje y Superficies cuadráticas: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0 Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico.
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  FORMULARIO DE CÁLCULOVECTORIAL Licenciado: Julio Cesar Barreto García 2 Materia: Matemática III DERIVADAS PARCIALES: Derivadas parciales de orden superior: xyxyxy yyyxxx ff yx f y yxf xy ff xy f x yxf yx ff yy f y yxf y ff xx f x yxf x                                                                 ),(;),( ),(;),( 22 2 2 2 2 Gradiente de z=f(x,y) ),(),( yx ffyxf  . Gradiente de w=f(x,y,z) ),,(),,( zyx fffzyxf  Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector normal a la superficie z está dado por: ),,(),,( zyx FFFzyxF  La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por: )),(),,((),( ),(),( 000021 0000 yxfyxfuu yxfuyxfD yx u   Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto (x0,y0) entonces: dyyxfdxyxfdzz yx ),(),( 0000  La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:   0,,),,( 000000  zzyyxxzyxF Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:   0,,)1),,(),,(( 0000000  zzyyxxyxfyxf yx La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por: tzyxFzztzyxFyytzyxFxx zyx ),,(;),,(;),,( 000000000000  Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta normal en el punto P=(x0,y0,z0) es: tzztyxfyytyxfxx yx  0000000 ;),(;),( Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es: dy y z dx x z dz       REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces: dt dy y z dt dx x z dt dz       REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces: t y y z t x x z t z s y y z s x x z s z                         ; DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en donde z=f(x,y), entonces: z F y F F F y z z F x F F F x z z y z x               ; CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y). Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2 xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces: 1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)<0 2. f(x0,y0) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)>0 3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0 4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=0 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá resolver el sistema: 0;0;0 )),((),(),,(             H y H x H cyxhyxfyxHSEA COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS:     20;0 0,0)(tan2 0)(tan 0,0)(tan ;;;)(;)cos( ),,( 1 1 1 222              r yxsixy xsixy yxsixy ryxzzrsenyrx zrSCILINDRICA               0,0)(tan2 0)(tan 0,0)(tan );/(cos; 0;20,0);cos();()();cos()( ),,( 1 1 1 1222 yxsixy xsixy yxsixy zzyx zsensenysenx ESFERICAS    
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  FORMULARIO DE CÁLCULOVECTORIAL Licenciado: Julio Cesar Barreto García 3 Materia: Matemática III CAMBIO DE VARIABLE: θdφdρ)dφsen(ρ))φcos(ρ),θ)sen(φsen(ρ),θ)cos(φsen(ρf(z)dxdydzy,f(x,:ESFERICAS dzθdrdrz)),θrsen(),θf(rcos(z)dxdydzy,f(x,:SCILINDRICA θdrdr))θrsen(),θf(rcos(y)dxdyf(x,POLARES 2 QS R Q R Q         SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:         . )( )()( )(' )('')(' )(' )(' )(),( '' '''''' )( '1 '' )( )()( )()()( )( )()( )()( )()()( )(' )(' )( )(' )(' )( )()()('')( )(')( )(')( :,ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ˆ)(ˆ)()( 2 3 2322 2 3 2 2 22 2 2 ESPACIOELEN CURVASAAPLICANSESOLOSVECTORIALEPRODUCTOSCONFORMULASLASQUERECUERDE tv tNta K tr trtr tr tT K ESPACIOELENOPLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS tyytxxPORDADAC yx xyyx K xfyPORDADAC y y K PLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS dt ds K tv tatv atatNtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE dt sd tv tatv tTtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE tNtTtBBINORMALVECTOR tT tT tNUNITARIOPRINCIPALNORMALVECTOR tr tr tTUNITARIOTANGENTEVECTOR tNatTatrtaNACELERACIOVECTOR tr dt ds tvRAPIDEZ trtvVELOCIDADVECTOR ENTONCESESPACIOELENCURVAktzjtyitxtr PLANOELENCURVAjtyitxtr TN T NT                                      R R yx dAyxfyxfdS SUPERFICIELADEAREA 22 ),(),(1 LONGITUD DE ARCO         b a b a dttztytxdttrs 222 )(')(')(')(' INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO REALIZADO)         CC CC b aCC PdzNdyMdxdrFENTONCESktzjtyitxtr PORDADAVIENECYkPjNiMzyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI NdyMdxdrFENTONCESjtyitxtr PORDADAVIENECYjNiMyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI dttrtztytxFTdsFdrF ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ˆˆˆ),,( ˆ)(ˆ)()( ˆˆ),( )('))(),(),((
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  FORMULARIO DE CÁLCULOVECTORIAL Licenciado: Julio Cesar Barreto García 4 Materia: Matemática III INTEGRAL DE LÍNEA                  C b a C b a dttztytxtztytxfdszyxf ktzjtyitxtrPORDADAESTACSI dtjtytxtytxfdsyxf jtyitxtrPORDADAESTACSI 222 22 )(')(')('))(),(),((),,( ˆ)(ˆ)(ˆ)()( )(')('))(),((),( ˆ)(ˆ)()( Sea F(x,y)=Mi + Nj un campo vectorial, F es CONSERVATIVO si x N y M      SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial, F es CONSERVATIVO si el ROTOR (O ROTACIONAL) es nulo, es decir: 0ˆˆˆ ˆˆˆ )(                                          y M x N k z M x P j z N y P i PNM zyx kji Frot Sea F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial. las siguientes conclusiones son equivalentes:      C C CERRADACCURVATODAPARAdrF CAMINODELNTEINDEPENDIEESdrF fALGUNAPARAfFESESTOVOCONSERVATIESF 0.3 .2 ..1 ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA. k v z j v y i v x rk u z j u y i u x rDONDE dArrdSSUPERFICELADEAREA vu S D vu ˆˆˆ,ˆˆˆ:                      Sea F(x,y)= Mi + Nj un campo vectorial, si F es CONSERVATIVO, entonces ))(),(())(),(( ayaxfbybxfdrfdrF CC   donde F(x,y) es una función potencial de F, es decir: ),(),( yxfyxF  Sea F(x,y)= Mi + Nj un campo vectorial, la DIVERGENCIA de F es y N x M yxdivF      ),( Sea F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial, la DIVERGENCIA de F es z P y N x M zyxdivF         ),,( TEOREMA DE GREEN (O DE GREEN-RIEMAN) Relaciona una integral doble extendida a un dominio del plano con una integral curvilínea sobre la curva cerrada frontera de ese dominio.                             RC RRC RC dAFdivdsNF dAkFrotdA y M x N drF dA y M x N NdyMdx )( ˆ)( TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS- OSTROGRADSKI). Relaciona una integral triple sobre una región sólida Q, con una integral de superficie sobre la superficie de Q   QS dVFdivdSNF )( INTEGRALES DE SUPERFICIE                        R vu S S D R yx S S R yx yx vectorialFormadArrFdSNF escalarFormadSvuzvuyvuxfdSzyxf aparamétricForma arribahacianormalvectorialFormadAkjyxgiyxgFdSNF escalarFormadAyxgyxgyxgyxfdSzyxf dAyxgyxgds yxgz )),(),,(),,((),,( )(ˆˆ),(ˆ),( ),(),(1)),(,,(),,( ),(),(1 ),( 22 22 TEOREMA DE STOKES (O DEL ROTOR).Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada que constituye el borde de S.   SC dSNFrotdrF ))(( GRADIENTE                  nx xf x xf xfgrad 0 1 0 0 ,,     LAPLACIANO: 2 2 2 1 2 nx f x f f       