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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Son funciones necesarias para calcular los ángulos de un triángulo a
partir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en la
solución de ecuaciones diferenciales.
Sin embargo, ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene
inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son
inyectivas, pero restringiendo su dominio se puede hallar la inversa.
FUNCIÓN SENO
La función no es uno a uno en su dominio naturalporque al
trazarcualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto.El
codominio es [-1, 1], su gráfica es:
FUNCIÓN ARCOSENO (INVERSA DE LA FUNCIÓN SENO)](https://image.slidesharecdn.com/funcionestrigonomtricasinversas-130504112909-phpapp02/75/Funciones-trigonometricas-inversas-2-2048.jpg)
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Si , entonces la inversa se denota o también
sedenota .
La notación de inversa , no se debe confundir con .
La función inversa de restringido es:
, su dominio es [-1,1] y el recorrido es , su gráfica es
creciente, es una función impar porque
La gráfica es:
EVALUACIÓN DE LA INVERSA DEL SENO
Evalúe
Se busca el ángulo en el intervalo
–
para el cual , por lo
tanto y
–
, por lo tanto .](https://image.slidesharecdn.com/funcionestrigonomtricasinversas-130504112909-phpapp02/75/Funciones-trigonometricas-inversas-3-2048.jpg)
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FUNCIÓN COSENO
La función no es uno a uno en su dominio natural porque al
trazar cualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto.
El codominio es [-1, 1], su gráfica es:
FUNCIÓN ARCOSCOSENO (INVERSA DE LA FUNCIÓN COSENO)
Si , entonces la inversa se denota o también se
denota .
La notación de inversa , no se debe confundir con .
La función inversa de restringido es:
, su dominio es [-1,1] y el recorrido es , su gráficaes
decreciente, es una función par porque .](https://image.slidesharecdn.com/funcionestrigonomtricasinversas-130504112909-phpapp02/75/Funciones-trigonometricas-inversas-4-2048.jpg)
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FUNCIÓN ARCOTANGENTE (INVERSA DE LA FUNCIÓN TANGENTE)
Si , entonces la inversa se denota o también se
denota .
La notación de inversa , no se debe confundir con .
La función inversa de restringido es:
, su dominio es [ , ] y el recorrido es
–
, su gráfica es
creciente, es una función par porque .
La gráfica es:
EVALUACIÓN DE LA INVERSA DE LA TANGENTE
Evalúe
Se busca el ángulo en el intervalo ( , para el cual , por
lo tanto y
–
por lo tanto .](https://image.slidesharecdn.com/funcionestrigonomtricasinversas-130504112909-phpapp02/75/Funciones-trigonometricas-inversas-6-2048.jpg)
Subido porLiliana Inés Pérez Velasco
Funciones trigonométricas inversas
Este documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas inversas y las funciones hiperbólicas. Explica las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente como las inversas de las funciones seno, coseno y tangente, respectivamente. También describe las gráficas y propiedades de las funciones hiperbólicas como el seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente hiperbólica. Finalmente, cubre la derivación e integración de ambos tipos de funciones
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Funciones trigonométricas inversas
- 1. 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASFUNCIONES HIPERBÓLICAS ROSA MARÍA MÉNDEZ PARRA LUZ KARIME DÍAZ TRUJILLO LILIANA INÉS PÉREZ VELASCO OLGA ENITH RODRÍGUEZ CÁLCULO II ARMENIA, DICIEMBRE DE 2011 UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO
- 2. 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Sonfunciones necesarias para calcular los ángulos de un triángulo a partir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en la solución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas, pero restringiendo su dominio se puede hallar la inversa. FUNCIÓN SENO La función no es uno a uno en su dominio naturalporque al trazarcualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto.El codominio es [-1, 1], su gráfica es: FUNCIÓN ARCOSENO (INVERSA DE LA FUNCIÓN SENO)
- 3. 3 Si , entoncesla inversa se denota o también sedenota . La notación de inversa , no se debe confundir con . La función inversa de restringido es: , su dominio es [-1,1] y el recorrido es , su gráfica es creciente, es una función impar porque La gráfica es: EVALUACIÓN DE LA INVERSA DEL SENO Evalúe Se busca el ángulo en el intervalo – para el cual , por lo tanto y – , por lo tanto .
- 4. 4 FUNCIÓN COSENO La funciónno es uno a uno en su dominio natural porque al trazar cualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto. El codominio es [-1, 1], su gráfica es: FUNCIÓN ARCOSCOSENO (INVERSA DE LA FUNCIÓN COSENO) Si , entonces la inversa se denota o también se denota . La notación de inversa , no se debe confundir con . La función inversa de restringido es: , su dominio es [-1,1] y el recorrido es , su gráficaes decreciente, es una función par porque .
- 5. 5 La gráfica es: EVALUACIÓNDE LA INVERSA DEL COSENO Evalúe Se busca el ángulo en el intervalo , para el cual , por lo tanto y , por lo tanto . FUNCIÓN TANGENTE La función no es uno a uno en su dominio. El codominio es el conjunto de los números reales, su gráfica es:
- 6. 6 FUNCIÓN ARCOTANGENTE (INVERSADE LA FUNCIÓN TANGENTE) Si , entonces la inversa se denota o también se denota . La notación de inversa , no se debe confundir con . La función inversa de restringido es: , su dominio es [ , ] y el recorrido es – , su gráfica es creciente, es una función par porque . La gráfica es: EVALUACIÓN DE LA INVERSA DE LA TANGENTE Evalúe Se busca el ángulo en el intervalo ( , para el cual , por lo tanto y – por lo tanto .
- 7. 7 FUNCIÓN COTANGENTE FUNCIÓN (INVERSADE LA FUNCIÓN COTANGENTE) La función cotangenteinversa, denotada por , está definida por: , donde es cualquier número real. Su dominio es y el recorrido es , su gráfica es:
- 8. 8 FUNCIÓN SECANTE FUNCIÓN ARCOSECANTE(INVERSA DE LA FUNCIÓN SECANTE) La función secante inversa, denotada por o arcosecante, está definida por: y , su grafica es:
- 9. 9 FUNCIÓN COSECANTE FUNCIÓN (INVERSADE LA FUNCIÓN COSECANTE) La función cosecante inversa, denotada por , está definida por: , donde es cualquier número real, su gráfica es:
- 10. 10 DERIVADA DE LASFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS , donde . , donde . , donde .
- 11. 11 FUNCIONES HIPERBÓLICAS Se llamanFunciones hiperbólicas porque se pueden describir como las proyecciones, según el eje X y el eje Y, de los puntos sobre una hipérbola.Sus propiedades algebraicas son análogas a las de las funciones trigonométricas. En muchas aplicaciones del análisis matemático se encuentran combinaciones de las funciones exponenciales del tipo: , ; tales combinaciones se consideran como nuevas funciones y se designan: , donde es cualquier número real. , donde es cualquier número real. Con las funciones senh y cosh se pueden definir las funciones hiperbólicas restantes: Estas funciones son conocidas como seno hiperbólico (senh), coseno hiperbólico (cosh), tangente hiperbólica (tanh), cotangente iperbólica (coth), secante hperbólica (sech), y cosecante hiperbólica (csch). Se observa que, en el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones dependientes de la función trascendente elemental .
- 12. 12 Esto no ocurreen las funciones circulares que son funciones trascendentes elementales, independientes de la función exponencial, en el campo real. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS SENO HIPERBÓLICO La aplicación es un homeomorfismo estrictamente creciente de en . Dominio de la función: Rango de la función:
- 13. 13 COSENO HIPERBÓLICO La aplicacióncontinua no es monótona en . Su restricción a es estrictamente creciente; dicha restricción es un homeomorfismo de sobre . Dominio de la función: Rango de la función: . TANGENTE HIPERBÓLICA La aplicación continua es estrictamente creciente sobre ; por tanto es un homeomorfismo de sobre .
- 14. 14 Dominio de lafunción: Recorrido de la función: . COTANGENTE HIPERBÓLICA La función continua es estrictamente decreciente en los intervalos y , donde se define. La restricción a un homeomorfismo de en o sobre y su restricción a es también unhomeomorfismo de sobre Dominio de la función:
- 15. 15 Recorrido de lafunción: SECANTE HIPERBÓLICA La aplicación continua no es monótona en . Su restricción a es estrictamente decreciente; dicha restricción es una aplicación de sobre . Dominio de la función: Rango de la función: .
- 16. 16 COSECANTE HIPERBÓLICA La aplicacióncontinua es estrictamente decreciente en los intervalos , donde se define; su recorrido es
- 17. 17 DERIVADAS DE LAS FUNCIONESHIPERBÓLICAS INTEGRALES DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
- 18. 18 GLOSARIO Homeomorfismo: un homeomorfismo(del griego ὅ μοιος (homoios) = misma y μορφή (morphē) = forma) es una biyección entre dos espacios topológicos por una aplicaciónbiyectiva que es continua y cuya inversa es continua. En este caso, los dos espacios topológicos se dicen homeomorfos. Las propiedades de estos espacios que se conservan bajo homeomorfismos se denominan propiedades topológicas. Homeomorfismo Sean X e Yespacios topológicos, y f una función de X a Y; entonces, f es un homeomorfismo si se cumple que: f es una biyección f es continua La inversa de f es continua Si es un homeomorfismo, X se dice homeomorfo a Y. Si dos espacios son homeomorfos entonces tienen exactamente las mismas propiedades topológicas. Desde el punto de vista de la teoría de categorías, dos espacios que son homeomorfos son iguales topológicamente hablando.
- 19. 19 TALLER - GRUPO1 8. Dada la ecuación , determine el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones: (a)sen x; (b) tan x; (c)cot x; (d) sec x; (e)csc x. Como , ,existe un triángulo rectángulo que contiene un ángulo agudo, cuya medida es . Además, es el radio del lado adyacente dividido por la hipotenusa del triángulo rectángulo. La longitud del lado opuesto del triángulo se encuentra por la aplicación del teorema de Pitágoras, . De la gráfica se concluye que: a) b) c) d) e) Dibuje la gráfica de: 25.
- 20. 20 26. 41. En lossiguientes ejercicios calcule la derivada de la función.
- 21. 21 a) b) En los ejercicios7, 8 y 17, evalúe la integral indefinida. Apoye la respuesta gráficamente o mostrando que la derivada de la respuesta es el integrando. 7. Esta integral , es de la forma .
- 22. 22 Se tiene que: Demostraciónde que la derivada de la respuesta es el integrando: 8. Esta integral , es de la forma . Se tiene que: = = Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:
- 23. 23 17. Desdoblando el integrandoen dos partes tenemos: (1) (2) (1) es de la forma Reemplazando a=1 Se tiene por sustitución: Reemplazando:
- 24. 24 Por propiedad de Setiene que: Uniendo (1) y (2), tenemos: Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:
- 25. 25 En los ejercicios32 y 33, demuestre la fórmula mostrando que la derivada del miembro derecho es igual al integrando. 32. Para volver a la variable original: Luego, . 33. , Para volver a la variable original: Integral de la forma Sea Integral de la forma Sea
- 26.
- 27. 27 b. En los ejercicios49 y 50, exprese la integral indefinida en términos de una función hiperbólica inversa y como un logaritmo natural. 49.
- 28. 28 50. Muestre que: Demostración: En ,se hace ; luego ; ; ; ; Sustituyendo estas equivalencias en : Efectuando los productos indicados y reduciendo términos semejantes:
- 29. 29 Demostración: En , ,se hace ; luego ; ; ; ; Sustituyendo estas equivalencias en : Efectuando los productos indicados y reduciendo términos semejantes: