Gabriela Machado 25.852.386 PROBABILIDAD Y TEOREMA DE BAYES

Br:
Gabriela Machado
V- 25.852.386
Barcelona, Abril 2017

CONTENIDO
 Definir Probabilidad, experimento, evento espacio
muestral, sucesos simples y compuestos.
Analizar técnicas o reglas de conteo.
Explicar probabilidades conjuntas, marginales y
condicionales.
Explicar eventos mutuamente excluyentes y eventos no
incluyentes.
Explicar las reglas o leyes: Multiplicativa, aditiva y de
Bayes

 DEFINIR PROBABILIDAD, EXPERIMENTO,
EVENTO ESPACIO MUESTRAL, SUCESOS
SIMPLES Y COMPUESTOS.
La Probabilidad es un numero real que mide la posibilidad de que ocurra un
resultado del espacio muestral cuando un experimento se lleva a cabo.
También puede definirse como, un numero entre 0 y 1, inclusive, que mide la
ocurrencia que se tiene de que llegue a ocurrir un evento especifico que sea
resultado de un experimento.
Los resultados posibles de un experimento aleatorio son (a, b, c, d) con
probabilidades 0,1 ; 0,3 ; 0,5 ; 0,1, respectivamente.
Sean Evento A: {a, b} ..... Evento B {b,c,d} ........ Evento C: {d}
Entonces P(A) = 0.1 + 0.3 = 0.4 P(A´) = 1 – P(A) = 1 -0.4= 0.6
P(B)= 0.3 + 0.5 + 0.1 = 0.9
P(C) = 0.1

1. Experimento Aleatorio
En la vida podemos encontrar situaciones que no se pueden predecir, como
cuando se realiza un partido de fútbol, se lanza una moneda, etc. En todos
estos casos no sabemos que resultado se tendrá y por eso a estas situaciones.
Un experimento aleatorio, tiene dos propiedades en común:
• Uno de estas es que cada experimento tiene varios resultados posibles que
pueden especificarse de antemano.
• La segunda propiedad es que estamos inciertos acerca del resultado de cada
experimento.

Experimento Aleatorio
• Un partido de fútbol, se considera un experimento estadístico pues estamos
inciertos si gana el equipo Verde, el equipo Rojo o empatará.
• Conocer el número de alumnos que faltaran a clases, la próxima semana.
• Recepcionar a un paciente y escribir el nombre del médico con el que será
atendido.
• Preguntar a un profesor de secundaria la especialidad que tiene (Matemática,
Química, Biología, etc.) y anotarlo.

1. Espacio Muestral
Cada experimento aleatorio tiene varios resultados posibles y podemos
describir con precisión el conjunto de estos resultados posibles. Llamaremos
Espacio Muestral asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los
resultados posibles de dicho experimento aleatorio, y lo denotamos con Ω.
Espacio Muestral (Ω): Conjunto de todos los posibles resultados de un
experimento estadístico.
Ejemplo 1: E.A. = Lanzar una moneda. Ω. = { cara, sello } Ejemplo 2: E.A. = Un
partido de fútbol entre los equipos: Rojo y Verde. Ω = Gana el equipo rojo,
Gana el equipo verde, Empatan.

1. Sucesos Simples
La probabilidad simple hace referencia a experimentos simples, es decir,
formado por una única experiencia y a un único suceso de su espacio muestral.
• Evento: A uno o más de los resultados posibles del espacio muestral, se les
denomina Evento o Suceso, y se simboliza con las letras mayúsculas: A, B, C, …
Suceso o Evento: Es un subconjunto del espacio muestral.
• Evento elemental: Es cada uno de los resultados posibles del espacio muestral. A
cada elemento del espacio muestral, se le conoce con el nombre de evento elemental,
y se simboliza con e1, e2,…
• En el espacio muestral del partido de Fútbol entre equipo Rojo y Verde se tienen 3
eventos elementales: e2 = gana el equipo rojo e1 = gana el equipo verde e3 = empatan

1. Sucesos Compuestos
En un experimento compuesto, los sucesos elementales están formados por todas las
posibles combinaciones de los respectivos sucesos simples elementales. Una regla
muy sencilla para determinar que se han considerado todos es que el nº de sucesos
elementales de un experimento compuesto es el producto de los respectivos
cardinales de cada uno de los experimentos simples que lo formen.
Ejm 1: Se lanza una moneda y se elige un bola de una urna que tiene bolas rojas,
blancas y verdes ->
moneda: E1 = {c,x} cardinal(E1) = 2
urna: E2 = {r,b,v} cardinal(E2) = 3
E = {cr,cb,cv,xr,xb,xv} cardinal(E) = 6 = 2· 3

1. Sucesos Compuestos
Lanzamos 2 monedas simultáneamente
E = {cc, cx, xc, xx} cardinal (E) = 4 = 2 ·2

ANALIZAR TÉCNICAS O REGLAS DE
CONTEO
2. Técnicas de Conteo
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles
de cuantificar. La enumeración de puntos muestrales en un espacio muestral, en
ocasiones es difícil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar,
propiciando que se puedan cometer errores al emprender esa tarea. En estos casos se
recurre al análisis combinatorio, que es una manera más sofisticada de contar.
Ejemplo
Una persona para vestirse tiene la posibilidad de escoger entre 2 pares de zapatos, 3
pantalones y 4 blusas. ¿De cuántas maneras puede combinar las prendas?
Solución:
Conocemos que hay 2 posibilidades de combinar los pares de zapatos (Z = 2), los
pantalones de 3 maneras (P = 3) y las blusas de 4 (B = 4). Entonces:
Z x P x B = 2 x 3 x 4 = 24
Existen 24 posibilidades de combinar las prendas.

EXPLICAR PROBABILIDADES CONJUNTAS,
MARGINALES Y CONDICIONALES
3. Probabilidades Conjuntas
Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos
.
De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A)
expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades.
P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la
probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B
Ejemplo: Al arrojar una moneda desequilibrada al aire, P(A)=1/3 y P(S)=2/3, en
dos ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de que en las dos ocasiones sea
águila.
.
⅓
A
S
A
S
A
S
A1
S1
A2
S2
A2
S2
⅓
⅓
⅔
⅔
⅔
P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=
P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9

3. Probabilidades Marginales
Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este tipo de probabilidades, se
realizará un ejemplo.
En un taller mecánico tienen un total de 135 desatornilladores, los técnicos
atribuyen a éstos dos características cuando se los piden a sus ayudantes, su
longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que embona en los tornillos
(planos o de cruz) de acuerdo a la definición de eventos que sigue, la
distribución es la siguiente:
Evento A1 A2 Total
B1 40 60 100
B2 15 20 35
Total 55 80 135
Eventos Característica
A1 Largo
A2 Corto
B1 Punta plana
B2 Punta de Cruz

Para determinar una probabilidad conjunta, digamos desatornilladores cortos
con punta plana, de acuerdo con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se
obtuvo de dividir el número de desatornilladores cortos y que tienen punta
plana, en términos de conjuntos, n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los
desatornilladores del taller, ns=135.
Generalizando se obtiene la probabilidad conjunta de dos eventos con la
expresión siguiente: P(Ai∩Bj)=nij/ns
Donde i=1, 2, 3,…n y j=1, 2, 3,…n
Considérese que únicamente nos interesa conocer la probabilidad de los
eventos Bj, por ejemplo de B1, P(B1)=(n11+n21)/ns=(40+60)/135=100/135=0.74 Se
observa que el subíndice correspondiente al evento B permanece constante en
la suma del numerador n11+n21
3. Probabilidades Marginales

3. Probabilidades Condicionales
A la Probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que algún otro evento A
se ha presentado se llama Probabilidad Condicional y se escribe P(B/A). Se lee
Probabilidad de B dado A.
“Sean A y B dos eventos cualesquiera que se encuentran en un espacio muestral S de
manera tal que P(A)>0. La Probabilidad Condicional de B al ocurrir el evento A, es el
cociente de la probabilidad de A y B con respecto a la probabilidad de A”, de esta
manera se tiene que:

3. Probabilidades Condicionales
La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es
P(D) = 0,83; la de que llegue a tiempo es P(A) = 0,82 y la de que despegue y llegue
a tiempo es P(D∩A) = 0,78. Encuentre la probabilidad de que un avión llegue a
tiempo dado que despegó a tiempo.
Utilizando la fórmula de Probabilidad Condicional se tiene:
La probabilidad de que llegue a tiempo dado que despegó a tiempo sería: P(A /
D), entonces,

EXPLICAR EVENTOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES Y EVENTOS NO
INCLUYENTES.
4. Eventos Excluyentes
Un evento mutuamente excluyente es uno en el que la aceptación de una alternativa
automáticamente excluye otras posibles alternativas. Lanzar una moneda es un
evento mutuamente excluyente, ya que es una variable o alternativa donde el dato a
escoger o elegir no pueden ser ambos, es decir, si son sucesos que no pueden ocurrir
a la vez en una misma jugada es porque la ocurrencia de alguno de ellos excluye la
ocurrencia de otros.
 Un ejemplo común de esto es lanzar una moneda, ¿la moneda caerá de cara o
cruz?, la cara significa un 50% de probabilidad que esta salga o si cae en cruz
representa al otro 50% de probabilidad de que esta salga.
 Si A y B son evento mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que A o
B suceda es equivalente a la probabilidad del evento A más la probabilidad del
evento B.

EXPLICAR EVENTOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES Y EVENTOS NO
INCLUYENTES.
4. Eventos Incluyentes
Son aquellos que a la hora de que suceda no se descarta la posibilidad de otro, es
decir pueden suceder 2 eventos en el mismo acto.
Y si ocurre un ejemplo, los puntos que ambos dados suman un puntaje igual a 8 puntos,
lo cual tiene una probabilidad de ocurrencia 5/36, ya que hay 5 combinaciones que
cumplen con esta condición. Otros ejemplos pueden ser los siguientes:
 Sacar un 5 y una carta de espadas, es un evento no excluyente pues podemos tomar
una carta 5 de espadas.
 Sacar una carta roja y una carta de corazones, es un evento no excluyente pues las
cartas de corazones son uno de los palos rojos.
 Sacar un 9 y una carta negra. es un evento no excluyente pues podemos tomar el 9 de
espadas o el 9 de tréboles.

EXPLICAR LAS REGLAS O LEYES:
MULTIPLICATIVA, ADITIVA Y DE BAYES
5. Reglas Multiplicativas
Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces
P(A∩B)=P(A)P(B|A), dado que P(A)>0.
Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que
ocurra A multiplicada por la probabilidad condicional de que ocurra B,
Dado que ocurre A.
Como los eventos A ∩ B y B ∩ a son equivalentes, del teorema anterior se
sigue que también podemos escribir P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B)P(A|B).
En otras palabras, no importa qué evento se considere como A y cuál como
B.

5. Reglas Multiplicativas
Ejemplo:
Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de
las cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se
retiran de la caja, uno después del otro, sin reemplazar el primero, ¿cuál es
la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?
Sean A el evento de que el primer fusible esté defectuoso y B el evento de
que el segundo esté defectuoso; entonces, interpretamos A ∩ B como
el evento de que ocurra A, y entonces B ocurre después de que haya
ocurrido A. La probabilidad de separar primero un fusible defectuoso
es 1/4; entonces, la probabilidad de separar un segundo fusible
defectuoso de los restantes 4 es 4/19. Por lo tanto,
P(A ∩ B) = (1/4)(4/19) = 1/19.

5. Reglas Aditivas
La Regla Aditiva de Probabilidad establece que la unión de dos
eventos puede ser encontrada sumando las probabilidades de cada evento
y restando la intersección de los dos eventos.

5. Teorema de Bayes
Desarrollado por Thomas Bayes (1700) y es un teorema clave en el
desarrollo de la Inferencia Estadística en la que se emplea la
interpretación subjetiva de la Probabilidad. A primera vista no es más que
una aplicación de las probabilidades condicionales. Sea A un evento del
Espacio Muestral S y B1, B2,… BK una partición de S, con

5. Teorema de Bayes
Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación
entre el fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro
médico, de todos los fumadores de quienes se sospeche que tenían
cáncer pulmonar, el 90% lo tenía mientras que únicamente el 5% de
los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es 0,45.
¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar,
seleccionado al azar, sea fumador?
Sea B1: el evento en que el paciente es Fumador B2: el evento en que el
paciente es No fumador A: el evento en que el paciente tiene cáncer
pulmonar A S B2 B1 B4 B3 B5 Se sabe que, P(A / B1) = 0,90 y P(A /
B2) = 0,05. Además, P(B1) = 0,45 y P(B2) = 0,55. Se desea determinar
la probabilidad a posteriori de seleccionar un fumador puesto que el
paciente tiene cáncer pulmonar, es decir, P(B1 / A).

5. Teorema de Bayes
Sea B1: el evento en que el paciente es Fumador B2: el evento en que el
paciente es No fumador A: el evento en que el paciente tiene cáncer
pulmonar A S B2 B1 B4 B3 B5 Se sabe que, P(A / B1) = 0,90 y P(A /
B2) = 0,05. Además, P(B1) = 0,45 y P(B2) = 0,55. Se desea determinar
la probabilidad a posteriori de seleccionar un fumador puesto que el
paciente tiene cáncer pulmonar, es decir, P(B1 / A).

CONCLUSIONES
 Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que
pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución
de probabilidad es similar al distribución de frecuencias relativas .Si
embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un
evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para
la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos
futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos
naturales.
 La importancia de la estadística en la ingeniería se basa en la participación
de la industria en el aumento de la calidad, ya que las técnicas estadísticas
pueden emplearse para describir y comprender la variabilidad, que es el
resultado de cambios en las condiciones bajo las que se hacen las
observaciones. Las aplicaciones de la estadística dentro de la ingeniería
actualmente han tomado un rápido y sostenido incremento debido al poder
del cálculo computacional. También permite a los ingenieros interpretar una
mejor y determinada información, haciéndola más entendible e interesante.

BIBLIOGRAFIA
1. Lopez, A. (2014) . Relación entre eventos: Mutuamente excluyentes, no
mutuamente excluyentes, dependientes e independientes.
https://es.slideshare.net/14anne/eventos-mutuamente-excluyentes-
39703408
2. Moniik, A. (2012). Propiedad Conjunta, Marginal y Condicional.
https://prezi.com/o4fmlkzuoadb/propiedad-conjunta-marginal-
condicional/
3. Vargas, E. (2012) Reglas Aditivas y Multiplicativas.
https://prezi.com/30kpo_sh6m4s/reglas-aditivas-y-multiplicativas/
4. Suarez, M. (2014). Probabilidad Total y Teorema de Bayes.
http://www.monografias.com/trabajos89/probabilidad-total-y-teorema-
bayes/probabilidad-total-y-teorema-bayes.shtml
5. http://www.ugr.es/~eues/webgrupo/Docencia/MonteroAlonso/estadisticaII
/tema1.pdf
6. https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes

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