Gascon

Evolución de la didáctica de las matemáticas como
disciplina científica*
Josep Gascón
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma de Barcelona

ABSTRACT
In this article we reconstruct the development of Didactics of Mathematics as a scientific
discipline. We start from the body of problems spontaneously encountered by the teacher
and go through didactic’s classical point of view which systematizes and generalizes such
matters.
After following expansions, a lot of unexplained phenomenons and unsolved didactical
problems forced to modelize mathematical school activity. Historically this new trend of
thought, known as “fundamental didactics” and called initially “experimental
epistemology”, corresponds to the first formulations of the didactic situations theory.
Whithin the framework of this new scientific research 90
program, and starting from didactic transposition theory, has arisen the anthropological
approach of didactics, which takes the institutionalized studing process of mathematics
as its main object of study.

RÉSUMÉ
Nous présentons une reconstruction de la didactique des mathématiques en tant que
discipline scientifique, en prenant comme point de départ la problématique du professeur
et en passant par el point de vue classique en didactique qui systématise et généralise
cette problématique.
Après des élargissements successifs de la problématique didactique, une foule de
phénomènes non expliqués et des problèmes didactiques sans resoudre ont poussé à
prendre en charge et modéliser l’activité mathématique scolaire. Cela a donné naissance à
l’”épistémologie expérimentale” qui, après les premières formulations de la théorie des
situations didactiques, a pris el nom de “didactique fondamentale”.
Dans el cadre de ce nouveau programme de recherche, et partant de la théorie de la
transposition didactique, surgit l’approche antropologique qui, dans ses derniers
développements, prend comme objet premier de recherche le processus d’étude
(institutionnalisé) d’oeuvres mathématiques.

_________
*
Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 18/1, nº 52, pp. 7-33, 1998.

2

RESUMEN
En este trabajo se hace una reconstrucción del desarrollo de la didáctica de las
matemáticas como disciplina científica partiendo de la problemática del profesor y
pasando por el punto de vista clásico en didáctica que sistematiza y generaliza dicha
problemática.
Después de sucesivas ampliaciones de la problemática didáctica, cuando una
multitud de fenómenos sin explicar y de problemas didácticos sin resolver obligaron
a tematizar y modelizar la actividad matemática escolar, emergió la epistemología
experimental que, coincidiendo con las primeras formulaciones de la teoría de las
situaciones didácticas, tomó el nombre de “didáctica fundamental”.
En el marco de este nuevo programa de investigación y a partir de la teoría de la
transposición didáctica ha surgido el enfoque antropológico que, en sus últimos
desarrollos, toma el proceso de estudio (institucionalizado) de las obras matemáticas
como objeto primario de investigación.

Introducción
La evolución de la didáctica de las matemáticas está determinada por
sucesivas ampliaciones de la problemática didáctica. Cada una de estas ampliaciones
comporta cambios de su objeto primario de investigación y, en consecuencia, modifica
la naturaleza de la didáctica como disciplina científica .
En este trabajo intentamos hacer, de una manera forzosamente esquemática, una
“reconstrucción racional” (Lakatos, 1971) de la evolución de una de las lineas de
desarrollo de la problemática didáctica. No pretendemos, por tanto, hacer una
descripción exhaustiva de la historia de la didáctica de las matemáticas a lo largo de
las últimas décadas.
El “principio metodológico” (o, si se quiere, el prejuicio principal) que guía esta
reconstrucción es nuestra convicción de que a principios de los años 70 tuvo lugar
una ampliación inesperada de la problemática didáctica (debida principalmente a la
inclusión del conocimiento matemático como objeto primario de investigación) que
cambió la naturaleza de esta disciplina y provocó la emergencia de la didáctica
fundamental. Es en este marco en el que se reivindicó por primera vez el estatuto de
“saber científico” para la didáctica de las matemáticas. Nuestro trabajo pretende, en
definitiva, reconstruir la génesis de la didáctica fundamental, entendida como el
resultado de sucesivas ampliaciones de la problemática espontánea del profesor.
Además, interpretaremos el enfoque antropológico como uno de los desarrollos
naturales de la didáctica fundamental.

1. El punto de vista clásico en didáctica de las matemáticas
Antiguamente se consideraba que la enseñanza de las matemáticas era un arte y,
como tal, difícilmente susceptible de ser analizada, controlada y sometida a reglas. Se
suponía que el aprendizaje dependía sólo del grado en que el profesor dominara dicho
arte y, al mismo tiempo, de la voluntad y la capacidad de los alumnos para dejarse
moldear por el artista. Esta es, todavía, la idea dominante en la cultura corriente y
representa una “concepción” precientífica de la enseñanza que sigue siendo muy
influyente en la cultura escolar.
Esta forma un tanto “mágica” de considerar la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas fue evolucionando a medida que crecía el interés por entender y explicar

3

los hechos didácticos. Así, desde los inicios de la didáctica de las matemáticas como
disciplina, fue consolidándose un punto de vista -que denominaremos clásico1- que
rompe con esta visión mágica y considera el aprendizaje en general, y el de las
matemáticas en particular, como un proceso psico-cognitivo fuertemente influenciado
por factores motivacionales, afectivos y sociales.
Esta manera de interpretar el aprendizaje humano fue tomando cuerpo a través de
la obra de diferentes autores (como Piaget, Vygotsky y Bruner, entre otros muchos) a
pesar de las importantes diferencias que éstos mantenían entre sí. Es lógico que en la
primera etapa del desarrollo de la didáctica, para poder luchar más eficazmente contra la
visión precientífica de los hechos didácticos, se tomase la Psicología Educativa como
fundamento científico y se intentase adaptar al caso de las matemáticas la noción de
“aprendizaje” que esta disciplina proporcionaba. En este sentido hay que citar como
emblemática la obra principal de Ausubel, no sólo como síntesis crítica de las diversas
aportaciones anteriores de la psicología educativa a la explicación del aprendizaje en el
aula, sino también por sus aportaciones originales, entre las que destaca la noción de
“aprendizaje significativo” (Ausubel, 1968). Veremos más adelante que la insuficiencia
de esta noción general de “aprendizaje” llevó a elaborar, dentro del enfoque clásico de la
didáctica, una noción de “aprendizaje específicamente matemático”.
Para analizar estas primeras etapas de la evolución de la problemática didáctica,
vamos a dar una descripción general, razonablemente simplificada, del punto de
vista clásico en didáctica de las matemáticas. Empezaremos describiendo dicho punto
de vista mediante dos características muy generales:
(a) Toma como problemática didáctica una ampliación limitada de la problemática
espontánea del profesor.
Esto significa que recoge, reformula, amplía y sistematiza las cuestiones que
constituyen inicialmente la problemática del profesor, las cuales están muy
condicionadas por las ideas dominantes en la cultura escolar. Entre las cuestiones
que constituyen la problemática del profesor podemos citar: el problema de la
naturaleza de los conocimientos previos de los alumnos, el problema de la
motivación necesaria para el aprendizaje, el problema de los instrumentos
tecnológicos de la enseñanza, el problema de la diversidad, el problema de cómo
enseñar a resolver problemas de matemáticas y el problema de cómo evaluar a los
alumnos, entre otros muchos. Incluso los términos en que se plantean estas cuestiones
(como “motivación”, “diversidad”, “evaluación”, etc.) dependen de la cultura escolar
dominante que, naturalmente, está muy influenciada por los documentos curriculares y
por el discurso de la noosfera. Las posibles “respuestas” imaginables por el profesor a
dicha problemática se corresponden siempre con las ideas dominantes que pueden
expresarse en forma de eslogans pedagógicos: “Enseñanza personalizada”, “Motivación
a través de materiales relacionados con la realidad y los intereses de los alumnos”,
1
El calificativo de “clásico” que asignamos a este enfoque no tiene, por supuesto, ninguna connotación
peyorativa. Se trata del primer enfoque sistemático de los hechos didácticos y a él le corresponde el
honor de haber roto por primera vez con la mentalidad precientífica en lo que se refiere al análisis
de lo didáctico. Sin su valiosa aportación no tendría sentido la evolución de la didáctica como
disciplina científica que presentamos aquí. El primer autor que habló del “enfoque clásico” en
didáctica fue precisamente Guy Brousseau, caracterizándolo como aquel enfoque que, en la explicación
de los hechos didácticos, toma como central la actividad cognitiva del sujeto presuponiendo, además,
que dicha actividad puede ser descrita y explicada de manera relativamente independiente de los
restantes aspectos de la relación didáctica (Brousseau, 1986).

4

“Utilización de medios informáticos”, “Enseñanza a través de la resolución de
problemas”, etc.
(b) Presenta el saber didáctico como un saber técnico, en el sentido de aplicación
de otros saberes más fundamentales importados de otras disciplinas. Esto
comporta considerar la didáctica de las matemáticas como una disciplina más
normativa que explicativa.
Desde este punto de vista clásico, la didáctica de las matemáticas tiene como
objetivo primero y principal proporcionar al profesor los recursos profesionales que
éste necesita para llevar a cabo su labor de la manera más satisfactoria posible.
1.1. Dos enfoques clásicos: el aprendizaje del alumno y el pensamiento del profesor
Si afinamos un poco más el análisis, podemos distinguir dos enfoques “sucesivos”
(aunque no sean temporalmente sucesivos) en el desarrollo inicial de la problemática
didáctica.
El primer enfoque está centrado en el aprendizaje del alumno. Su problemática
gira alrededor de la noción ya citada de “aprendizaje significativo” en el sentido
de Ausubel (Ausubel, 1968) y su objeto primario de investigación es el conocimiento
matemático del alumno y su evolución. Esta elección del objeto de estudio comporta que
se delegue explícitamente a la psicología la fundamentación científica de las técnicas
que la didáctica proporciona.
El segundo enfoque, aunque está centrado en la actividad docente, comparte el
interés básico por la instrucción del alumno. Este enfoque amplía la problemática
didáctica introduciendo cuestiones relativas al profesor y a su formación profesional.
Una de las cuestiones centrales de la nueva problemática puede formularse en los
siguientes términos: “¿Qué conocimientos (en el sentido amplio de saber y saber hacer)
debe tener el profesor para favorecer un aprendizaje efectivo de los alumnos?” (Gil y
otros, 1991).
El objeto primario de investigación de este segundo enfoque es el pensamiento del
profesor que incluye su conocimiento de las matemáticas, su conocimiento de los
procesos de enseñanza y aprendizaje y su experiencia en la práctica docente. Se trata
de un conjunto de conocimientos “profesionales” cuya construcción y justificación
requiere una base multidisciplinar que abarque, además de la psicología educativa, la
sociología, la historia de las matemáticas, la pedadogía y la epistemología de las
matemáticas, entre otras disciplinas.
Se postula que la formación del profesor debe empezar por la transformación del
“pensamiento docente espontáneo” en un sentido análogo a la necesidad de transformar
el pensamiento espontáneo del alumno, sus preconceptos y errores conceptuales,
para posibilitar su aprendizaje. Al tomar el pensamiento del profesor como vía de acceso
al análisis de la relación didáctica se origina una cierta confusión o, cuanto menos,
un solapamiento entre saber didáctico y saber necesario para enseñar. Un ejemplo
paradigmático de confusión entre ambos tipos de saberes, que responden a dos lógicas
distintas, lo encontramos en la “investigación-acción”(Brousseau, 1989).
Para caracterizar de una manera global este estadio de la evolución de la
problemática didáctica no hay que apelar a la mayor o menor importancia asignada
a su fundamentación psicológica ni al hecho de que se centre en uno u otro de los
protagonistas de la relación didáctica -ya sea el alumno o el profesor en referencia al
alumno-. Lo que es verdaderamente característico del punto de vista clásico en
didáctica de las matemáticas es que asume acríticamente que, o bien los saberes que
utiliza no son problemáticos en sí mismos (como los saberes matemáticos), o bien no

5

forman parte de la problemática didáctica (como los psicológicos, sociológicos o
lingüísticos). En todo caso, dichos saberes sólo pueden ser aplicados para describir e
interpretar los hechos didácticos, pero nunca pueden ser modificados como
consecuencia de dicha aplicación. Esto significa que, al contrario de lo que pasa en
cualquier disciplina científico-experimental, cuando se utiliza una noción psicológica
como, por ejemplo, la de “aprendizaje significativo”, para describir o explicar un hecho
didáctico, esta aplicación no tendrá ninguna repercusión importante en la evolución de la
teoría psicológica en cuestión. Dicho en otras palabras, mientras que los hechos físicos
(naturalmente interpretados por la teoría como fenómenos físicos) pueden llegar a
modificar las nociones construidas por la teoría (como, por ejemplo, la noción de
“masa”), no es posible que, en el ámbito de la didáctica clásica, los hechos didácticos
modifiquen la noción misma de “aprendizaje significativo”.

1.2. Limitaciones del punto de vista clásico en didáctica
Destacaremos a continuación tres limitaciones inherentes a este estadio del
desarrollo de la didáctica de las matemáticas:
(i) Paradójicamente, y a pesar de centrarse en la problemática de la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas, el enfoque clásico no incluye entre sus objetos de
estudio las nociones de “enseñar matemáticas” ni de “aprender matemáticas”, entre
otras. Sólo las utiliza como nociones transparentes y no cuestionables, o bien como
nociones construidas en otras disciplinas.
(ii) Al centrar el análisis en el alumno (o en el profesor en referencia al alumno), el
enfoque clásico aborda su objeto de estudio de una forma fuertemente condicionada
por los fenómenos psicológicos involucrados en el proceso de enseñanza y aprendizaje,
al tiempo que tiende a poner en segundo plano los fenómenos específicamente
didáctico-matemáticos.
Incluso cuando se rechaza partir de una teoría del aprendizaje general, que sea
neutral respecto al contenido, y se defiende que la didáctica de las matemáticas debe
elaborar una teoría del aprendizaje matemático, como propugnan Bauersfeld y
Skowronek en la que se ha considerado la carta fundacional del International Group of
the Psychology of Mathematics Education (PME) (Bauersfeld y Skowronek 1976), se
siguen enfatizando los procesos de aprendizaje matemático y el conocimiento
matemático del alumno como objetos primarios de investigación.
Así, por ejemplo, Richard Lesh y Marsha Landau afirman en la introducción de uno
de los libros más prestigiosos de los últimos años en el ámbito de la educación
matemática, que “The goals of much of the research reported in this book were: (a) to
identify students' primitive conceptualizations of various mathematical ideas and
processes (e.g., rational numbers, early number concepts, and spatial-geometric
concepts); (b) to investigate similarities and differences between students'
conceptual structures associated with these ideas and the formal mathematical
structures that characterize them; (c) to describe how these conceptualizations are
gradually modified into mature understandings; and (d) to identify factors that
influence this development” (Lesh y Landau, 1983, p. 3).
Y aunque intentan diferenciar este tipo de análisis de los análisis puramente
psicológicos [“These idea analyses are quite distinct from the task analyses and
analyses of children's cognitive characteristics that tend to be used in general (i.e.
not subject-matter-oriented) psychological research”], no pueden dejar de reconocer

6

que “These three types of analyses are clearly interrelated” (Lesh y Landau, op. cit., p.
3). En la práctica esta interrelación comporta una subordinación y casi una
reducción de lo didáctico a lo psicológico.

(iii) Al interpretar el saber didáctico como un saber técnico (en el sentido de que su
justificación hay que buscarla en saberes científicos ajenos a la propia didáctica e
independientes entre sí), el enfoque clásico renuncia a la ambición de construir la
didáctica de las matemáticas como disciplina científica.
En este sentido es interesante observar que autores como Jeremy Kilpatrick, que ha
enfatizado con fuerza las necesidades teóricas de la investigación en “educación
matemática” (“As long as we ignore the theoretical contexts of our researh work in
mathematics education, it will remain lifelees and ineffective”: Kilpatrick, 1981, p. 26),
cita como ejemplo de “trabajo teórico” que ha influido efectivamente sobre el
pensamiento del profesor de matemáticas y sobre su práctica educativa, el de autores
como E. L. Thorndike, Piaget, Dienes y Gagne. Esto comporta, al menos en primera
instancia, que los “constructos teóricos” de la investigación en educación
matemática se buscan en saberes científicos ajenos a esta disciplina.
Por su parte Alan H. Schoenfeld subraya la importancia capital de disponer de
una teoría: “One of the major goals, if not the major, of the learning sciences is the
construction of a theory of learning” (Schoenfeld, 1991, p. 35). Pero, ¿en qué saberes
científicos hay que fundamentar esa teoría? En su obra más sistemática (Schoenfeld,
1985), este autor considera que los “elementos” básicos para elaborar un marco en el
que pueda analizarse la actividad matemática son el “conocimiento de base”, las
“estrategias heurísticas”, las “estrategias de control y gestión” del proceso y el
“sistema de creencias”. Hay que subrayar que todos estos elementos hacen
referencia a la cognición (ya sea a sus aspectos conceptuales o procedimentales, a la
“metacognición” o a los aspectos afectivos de la cognición). Este punto de vista ha sido
reafirmado por el autor en sus trabajos más recientes.
Así pues, se continúa identificando el proceso de aprendizaje de las matemáticas
(o, con más precisión, el proceso de aprender a resolver problemas de matemáticas), con
un proceso psico-cognitivo fuertemente influenciado por factores motivacionales y
actitudinales. Resulta, en definitiva que, en el marco del enfoque clásico de la
didáctica, la teoría del aprendizaje (también del aprendizaje matemático) se debe
fundamentar, en última instancia, en las ciencias cognitivas.

1.3. El mecanismo de ampliación de la problemática didáctica
A fin de superar éstas y otras limitaciones, la didáctica de las matemáticas se ha visto
obligada a ampliar su problemática, incluyendo en ella objetos que hasta ese momento
habían sido considerados como “dados”.
El mecanismo mediante el cual la didáctica de las matemáticas amplió drásticamente
su problemática no es específico de esta disciplina. Se trata de un mecanismo general
que tiene relación con la necesidad que se produce periódicamente en toda disciplina
de introducir como objetos de estudio propios, objetos que hasta el momento habían
sido utilizados únicamente como herramientas transparentes, no cuestionables y que
sólo aparecían en el discurso científico normal como útiles para describir otros objetos.
Si llamamos “paracientíficos” a dichos objetos, el mecanismo general de ampliación
de una problemática científica podría ser descrito como la transformación en objetos

7

científicos de objetos que hasta ese momento habían funcionado como paracientíficos en
el discurso científico normal.
En el caso de las matemáticas tenemos ejemplos muy conocidos de este fenómeno:
los objetos “número real”, “función” y “conjunto”, entre otros muchos, fueron
paramatemáticos (esto es, herramientas transparentes útiles para describir y estudiar
otros objetos matemáticos) mucho antes de devenir históricamente objetos
matemáticos (esto es, objetos de estudio en sí mismos, además de herramientas útiles
para estudiar otros objetos matemáticos)2.
La necesidad histórica de cambiar el estatuto de paramatemáticos que tenían
dichos objetos para convertirlos en objetos matemáticos de pleno derecho, vino
determinada por la presión que ejercían sobre la comunidad una multitud de
fenómenos matemáticos inexplicados y de problemas matemáticos no resueltos. La
consiguiente ampliación de la problemática matemática originada por la irrupción de
los nuevos objetos, provocó transformaciones importantes en la naturaleza de las
matemáticas como ciencia.
Análogamente, en el caso de la didáctica de las matemáticas ha sido la aparición
de multitud de hechos didácticos inexplicados y la falta de respuesta a múltiples
cuestiones, los que han provocado la necesidad de cambiar el estatuto de ciertos
objetos paradidácticos para constituirlos en objetos didácticos de pleno derecho, esto
es, en objetos de estudio en sí mismos para la didáctica de las matemáticas.
Entre las cuestiones que no pueden abordarse desde el punto de vista clásico
citaremos, a título de ejemplo, los siguientes: ¿Cuál es el papel de las “rutinas” en el
aprendizaje de las matemáticas? ¿Cómo diferenciar las rutinas de las actividades
“creativas”? ¿Qué papel juega o podría jugar la actividad de resolución de problemas
en la enseñanza de las matemáticas? ¿Cuál es la relación entre el aprendizaje de la
“aritmética”, el “álgebra elemental” y la “geometría”? ¿Qué significa “adquirir el
concepto de proporcionalidad” o “adquirir el concepto de función”? ¿Qué criterios
deben utilizarse para diseñar el currículo de matemáticas?
La razón por la cual estas cuestiones no pueden abordarse desde una perspectiva
clásica es muy sencilla: para tratar científicamente estas cuestiones es preciso disponer de
un modelo explícito de la actividad matemática escolar en el que se modelicen, en
particular, el “álgebra escolar”, la “aritmética escolar”, la “geometría escolar”, la
“proporcionalidad”, etc. Asímismo, es necesario disponer de un modelo del proceso
escolar de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas que contenga las nociones
de “rutina matemática”, “actividad matemática creativa”, “resolución de problemas
matemáticos”, “enseñanza escolar de las matemáticas”, etc. como nociones construidas
en el modelo (no primitivas). Dichas nociones deberían definirse a partir de las nociones
primitivas del modelo de la actividad matemática escolar antes citado, el cual debería
jugar el papel de modelo “nuclear”. Sólo así sería posible plantear las cuestiones citadas

2
La noción de objeto paramatemático se debe a Chevallard (1985) y es relativa a la institución en
la que nos situemos. Así, por ejemplo, podemos decir que “demostración”, “parámetro” y “ecuación”
son objetos paramatemáticos en la enseñanza secundaria porque en esta institución las citadas
nociones se utilizan como herramientas transparentes, no cuestionables. No es posible, por ejemplo, que
en un examen de secundaria aparezca una pregunta del tipo “¿Qué es una demostración?” o “¿Qué
diferencia hay entre un parámetro y una variable?” porque en dichas instituciones las nociones
citadas no se toman como objeto de estudio. Pero la noción de “demostración”, por ejemplo, puede
funcionar como un objeto matemático en un curso de lógica matemática a nivel universitario.

8

sin tener que dejar a la psicología cognitiva la responsabilidad de la fundamentación
científica última de los análisis didácticos.
Es fácil, asímismo, citar fenómenos didácticos que han permanecido inexplicados
durante décadas debido, principalmente, a su transparencia cuando se contemplan desde
el punto de vista clásico. Entre éstos se encuentran todos los fenómenos de
transposición didáctica. Aquí citaremos únicamente algunos fenómenos que pueden
formularse, aunque no puedan explicarse, con las nociones didácticas clásicas (para más
detalles, Chevallard, Bosch y Gascón, 1997).
* La “desalgebrización del currículo de la secundaria obligatoria”, que se manifiesta,
entre otras cosas, por la desintegración del corpus de problemas algebraicos, la
ausencia del uso sistemático de parámetros, la desaparición progresiva de las
justificaciones algebraicas de los procedimientos aritméticos, geométricos o
combinatorios y la pobre utilización que se hace de las fórmulas, reduciéndolas a
simples algoritmos de cálculo. La descripción, el análisis y la explicación de este
fenómeno requiere, en particular, un cuestionamiento, tematización y modelización del
álgebra escolar que, por definición, está ausente en el enfoque clásico de la problemática
didáctica.
* La “irresponsabilidad matemática de los alumnos”, que se pone de manifiesto en la
gran dificultad que tienen los alumnos para responsabilizarse de las respuestas que dan
a las cuestiones matemáticas que se les plantean. Éste es un fenómeno que
tradicionalmente se englobaría en la problemática de la “motivación del alumno”,
preconizándose explicaciones (y soluciones) de naturaleza psicológica, psicoafectiva y
pedagógica. En el marco del nuevo paradigma de la didáctica fundamental, sin embargo,
el fenómeno puede analizarse en términos del contrato didáctico y de la devolución de
una situación adidáctica que, en última instancia, hacen referencia al conocimiento
matemático que la situación caracteriza.
* La “atomización del proceso de enseñanza de las matemáticas”, que es una
tendencia cada vez más acentuada hacia la transformación del proceso de
enseñanza en un conjunto desestructurado de actividades independientes entre sí,
en el seno del cual se tratan los problemas matemáticos como “anécdotas” aisladas y en
el que el trabajo sistemático y disciplinado y los objetivos a medio y largo plazo
tienden a desaparecer. De nuevo, la mera descripción de este fenómeno requiere la
utilización de un modelo de la estructura del proceso de enseñanza de las matemáticas y
una caracterización de lo que se entiende por “actividad matemática atomizada” que
están ausentes en el enfoque clásico.

* La “aritmetización del álgebra escolar”, esto es, la fuerte dominancia en la cultura
escolar de una forma simplista de interpretar el álgebra elemental como aritmética
generalizada. En otro lugar hemos dado una primera interpretación de este fenómeno
didáctico (Gascón, 1994) basada, naturalmente, en un modelo específico del álgebra
escolar y en el análisis de las restricciones que impone el modelo del álgebra escolar (y,
consiguientemente de su enseñanza) dominante en la institución escolar.
* La “algebrización del cálculo diferencial escolar” que se manifiesta en una
enseñanza del cálculo esencialmente “algebraica”, en tratar el paso al límite como
un proceso algebraico “finito” y, en definitiva, en un intento escolar de reducir las
técnicas específicas del análisis, en las que prima la utilización de condiciones

9

suficientes, a maneras de hacer puramente algebraicas centradas en el uso de
equivalencias sucesivas (Artigue, 1995). De nuevo nos encontramos con un fenómeno
cuyo mera detección ha requerido la utilización, como instrumentos básicos, de sendos
modelos específicos del álgebra y del cálculo diferencial escolares. Postulamos que la
profundización en el análisis de este fenómeno y su eventual explicación dependerán de
la explicitación de dichos modelos y del estudio sistemático de las restricciones que
impone el proceso de estudio de (la reconstrucción escolar de) dichas obras.

2. Didáctica fundamental: la didáctica de las matemáticas como epistemología
experimental
Las anteriores cuestiones sin respuesta, así como éstos fenómenos inexplicados,
junto a muchos otros, sólo pueden ser abordados científicamente si ciertos objetos
(“problema de matemáticas”, “enseñar matemáticas”, “aprender matemáticas”, “concepto
matemático”, “rutina matemática”, “actividad matemática creativa”, “proporcionalidad”,
“número decimal”, “función”, “álgebra elemental”, “aritmética”, “geometría”, entre
otros muchos) que funcionaban tradicionalmente como transparentes (paradidácticos),
pasan a ser objetos de estudio en sí mismos, esto es, se convierten en objetos
didácticos, integrantes de pleno derecho de la problemática didáctica.
Ello comporta la necesidad para la didáctica de disponer de un modelo de la
actividad matemática y de un modelo del proceso de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas en el que dichos objetos puedan estar debidamente representados. No se
trata de una necesidad nueva, sino del reconocimiento de una necesidad que es inherente
a toda investigación científica. De hecho, todo análisis didáctico utiliza
inevitablemente ciertos modelos más o menos implícitos, aunque el investigador no sea
consciente de ello ni, por tanto, del grado de dependencia de los mismos.
El nuevo punto de vista en didáctica de las matemáticas, la didáctica fundamental,
nació precisamente cuando Brousseau vislumbró por primera vez la necesidad para
la didáctica de utilizar un modelo propio de la actividad matemática, dado que los
modelos epistemológicos usuales no habían sido construidos para responder a los
mismos problemas que se plantea la didáctica. Históricamente se corresponde con
las primeras formulaciones de la teoría de las situaciones didácticas, cuyo texto
fundador fue publicado a principios de los años 70 (Brousseau, 1972). En esto
consiste, precisamente, el principio metodológico fundamental de la teoría de las
situaciones: definir un “conocimiento matemático” mediante una “situación”, esto es,
por un autómata que modeliza los problemas que únicamente este conocimiento
permite resolver de forma óptima ( Brousseau, 1994).
Con más precisión, se llama situación fundamental (correspondiente a un
conocimiento matemático concreto C) a un conjunto minimal de situaciones adidácticas
(específicas de C) que permiten engendrar, por manipulación de los valores que toman
sus variables didácticas, un campo de problemas suficientemente extenso como para
proporcionar una buena representación de C en relación a cómo ha sido reconstruido C
en la institución didáctica en cuestión. Tenemos así que, en la teoría de situaciones, la
actividad matemática escolar se modeliza a partir de la noción de “situación
fundamental” y es también con ayuda de dicha noción como, en cada caso, se define
“aprender un conocimiento matemático C” en una institución didáctica determinada
(para más detalles, ver el Anexo D, en Chevallard, Bosch y Gascón, 1997).
Además de constituir una importantísima ampliación de la problemática didáctica,
este punto de vista sitúa dicha problemática en el marco de la epistemología de las
matemáticas, sin que ello comporte ninguna pérdida de autonomía de la didáctica

10

como disciplina. De hecho esta reformulación del objeto de la didáctica no sólo origina
una ampliación inesperada de ésta sino que, al mismo tiempo, acabará forzando una
drástica ampliación del objeto de estudio de la epistemología de las matemáticas, tal
como explicaremos más adelante. De esta forma, la didáctica de las matemáticas no se
encierra dentro de la epistemología, entendida como estudio de la génesis y la estructura
del conocimiento matemático, sino que se abre al estudio de la dimensión didáctica de
todos los tipos de manipulación institucional de las matemáticas, asumiendo nuevas
responsabilidades científicas. En particular, desde el punto de vista de la didáctica
fundamental, los didácticos deben asumir la responsabilidad de elaborar y
contrastar empíricamente los modelos de la actividad matemática que forzosamente
utilizan.
Uno de los rasgos esenciales de este punto de vista en didáctica consiste
precisamente en tomar la actividad matemática en sí misma y, más en concreto, la
actividad matemática escolar, como objeto primario de estudio. Este es el origen de
la denominación de "epistemología experimental" que Brousseau dió inicialmente a la
didáctica de las matemáticas. Esto comporta, en particular, que "enseñar matemáticas"
y "aprender matemáticas" dejen de tener el carácter de objetos primarios de
investigación para pasar a ser secundarios (lo que no quiere decir que sean menos
importantes), porque son definidos (o construidos) a partir de los términos
primitivos del modelo epistemológico-didáctico en cuestión.
De esta forma, no sólo es posible empezar a abordar cuestiones que antes no se
podía ni siquiera plantear, sino que, lo que es más importante, se pone de manifiesto que
todo fenómeno didáctico (en el sentido tradicional de fenómeno relativo a la enseñanza
y al aprendizaje de las matemáticas) tiene un componente matemático esencial,
inaugurándose una nueva vía de acceso al análisis de los fenómenos didácticos (el
propio conocimiento matemático) así como un nuevo programa de investigación
(Lakatos, 1978) en didáctica de las matemáticas: la didáctica fundamental.

2.1. El enfoque antropológico como desarrollo de la didáctica fundamental
En el marco de la didáctica fundamental pronto se puso de manifiesto que no era
posible interpretar adecuadamente la matemática escolar ni la actividad matemática
escolar sin tener en cuenta los fenómenos relacionados con la reconstrucción escolar de
las matemáticas que tienen su origen en la propia institución de producción del saber
matemático. Ésta es una de las primeras aportaciones de la teoría de la
transposición didáctica (Chevallard, 1985). El desarrollo de esta teoría ha mostrado que
las diferentes formas de manipulación social de las matemáticas no pueden ser
estudiadas separadamente (Chevallard, 1990). En otro lugar hemos aportado
argumentos para justificar porqué no pueden separarse completamente el estudio de la
génesis y el desarrollo del saber matemático, del estudio de la enseñanza y la utilización
de dicho saber (Gascón, 1993).
Resulta, en definitiva, que los fenómenos relativos a la enseñanza de las
matemáticas sólo pueden abordarse científicamente si se tienen en cuenta
simultáneamente los fenómenos de transposición didáctica que, a su vez, no pueden
separarse de los fenómenos relativos a la producción de las obras matemáticas (ver
la sección 2.2.). La actividad matemática escolar se integra así inseparablemente en la
problemática mucho más amplia de las actividades matemáticas institucionales (ver la
sección 2.3.), las cuales pasan a constituir el nuevo y más extenso objeto primario de
la investigación didáctica.

11

Surge así una definición más general de didáctica de las matemáticas como
“ciencia de las condiciones específicas de la difusión (impuesta) de los saberes
matemáticos útiles a las personas y a las instituciones humanas” (Brousseau, 1994),
que amplía el ámbito de estudio de la didáctica mucho más allá de las instituciones
escolares para abarcar todas aquellas instituciones en las que tiene lugar algún tipo de
manipulación de los conocimientos matemáticos.
En este marco de la didáctica fundamental, y como una consecuencia natural
del desarrollo de la teoría de la transposición didáctica, ha surgido el enfoque
antropológico en didáctica de las matemáticas (Chevallard, 1992). Este enfoque
propugna que la actividad matemática debe ser interpretada (esto es, modelizada) como
una actividad humana junto a las demás, en lugar de considerarla únicamente como la
construcción de un sistema de conceptos, como la utilización de un lenguaje o como
un proceso cognitivo. De esta manera el enfoque antropológico integra muchos enfoques
parciales (epistemológicos, lingüísticos, psicológicos, sociológicos, ...).
Así, mientras que los enfoques clásicos de la didáctica de las matemáticas se
desarrollaron principalmente a la sombra de modelos psicológicos del aprendizaje
(conceptualistas, psicolingüísticos o cognitivistas), el enfoque antropológico precisará
de un modelo de las matemáticas institucionales que incluya la matemática escolar
como un caso particular y de un modelo de las actividades matemáticas institucionales
que incluya la enseñanza-aprendizaje escolar de las matemáticas, como una actividad
matemática institucional particular. Este paso, de la institución escolar a cualquier
institución en la que se manipulen conocimientos matemáticos, con la consiguiente
inclusión de los fenómenos de transposición didáctica, constituye la última de las
ampliaciones de la problemática didáctica. Esta generalización del objeto de
investigación es, por tanto, otra de las aportaciones del enfoque antropológico en
relación a las primeras formulaciones de la didáctica fundamental.

2.2. La noción de obra matemática: elementos y estructura
En los últimos desarrollos del enfoque antropológico (Chevallard, 1996) se
modeliza la matemática institucional mediante la noción de obra matemática. No se
dice lo que “es” una obra matemática, pero se propone un modelo de su estructura a
partir de los elementos que la constituyen.
Se postula que una obra matemática, como toda obra humana, surge siempre como
respuesta a un conjunto de cuestiones y como medio para llevar a cabo, en el seno de
cierta institución, determinadas tareas problemáticas.

Así, por ejemplo, podemos considerar la obra matemática que responde, entre otras, a
cuestiones del tipo: “¿Cómo obtener determinado objeto al menor precio posible?”,
“¿Cómo alcanzar el mayor efecto posible con un determinado esfuerzo?”, “¿Cómo
efectuar el máximo trabajo dentro de un tiempo dado?”, “¿Cómo obtener el máximo
beneficio corriendo el mínimo riesgo?”, “¿Cómo construir una máquina que gaste el
mínimo de energía para llevar a cabo cierto trabajo?”, “¿Cómo construir un recipiente
cilíndrico de determinado volumen minimizando el gasto de materia prima?”, etc. Se
trata de cuestiones que de una u otra forma se plantean en la institución escolar.

Las cuestiones y las tareas problemáticas a las que responde una obra matemática
acaban cristalizando en uno o más tipos de problemas, aunque inicialmente sólo se
disponga de algunos problemas concretos del campo. A medida que la actividad
matemática avanza, y siempre que los problemas no se traten como anécdotas aisladas
(o “adivinanzas”), es la propia actividad la que genera uno o más tipos de problemas.

12

En la obra matemática que estamos considerando aparecen problemas tales
como: “Dada una recta r en el plano y dos puntos A y B situados en el mismo semiplano
respecto a r, buscar el punto X de r tal que el ángulo AXB sea máximo”, “De entre
todos los triángulos que tienen un lado de longitud dada y un perímetro dado, ¿cuál es el
que tiene área máxima?”, “De entre todos los rectángulos de área dada, cuál es el que
tiene el perímetro mínimo?” Se trata de problemas que pueden ser planteados en la
enseñanza escolar de las matemáticas.

Si afirmamos que los problemas citados forman, junto a otros muchos, un tipo de
problemas no es porque tengan enunciados más o menos parecidos (en todos ellos la
incógnita es en un objeto “óptimo” en algún sentido), sino porque existe una
técnica matemática (no algorítmica, como en la mayoría de los casos) capaz de
abordarlos y de generar muchos más problemas del mismo tipo.

Para abordar los problemas anteriores existe, por ejemplo, la técnica de la linea
de nivel tangente a la trayectoria (Polya, 1954). Se trata de una técnica que no utiliza
el cálculo diferencial y que, por razones que analizaremos más adelante, no forma parte
del currículo escolar (para hacerse cargo del funcionamiento de esta técnica, puede
consultarse el ANEXO de este trabajo).

Ninguna técnica puede “vivir” con normalidad en una institución si no aparece
en ésta como una manera de hacer a la vez correcta, comprensible y justificada. La
existencia de una técnica supone, por tanto, que exista en su entorno un discurso
interpretativo y justificativo de la técnica así como de su ámbito de aplicabilidad o
validez. Llamamos a este discurso sobre la técnica una tecnología (de tékhne, técnica y
logos, discurso). Además de justificarla y hacerla inteligible, la tecnología tiene la
importante función de aportar elementos para modificar la técnica con el fin de
ampliar su alcance, superando así sus limitaciones y posibilitando la producción de
nuevas técnicas.

En nuestro ejemplo, el elemento fundamental de la tecnología asociada a la técnica de
la "línea de nivel tangente a la trayectoria", lo constituye el teorema de los
multiplicadores de Lagrange. Incluso podría decirse que la técnica descrita
constituye una "interpretación geométrica" del sistema de Lagrange. El hecho de
que esta tecnología no tenga cabida en la enseñanza secundaria de las matemáticas
podría explicar, en parte, la ausencia de la técnica de la “línea de nivel” en dicha
institución (a pesar de que permite resolver muchos problemas planteables de manera
natural pero irresolubles mediante la técnica que se enseña en secundaria). En el caso de
la enseñanza universitaria, la técnica de la “línea de nivel” no puede vivir con
normalidad porque tendría que competir con la propia técnica analítica de los
multiplicadores de Lagrange que es mucho más potente y general.

Otros elementos que también forman parte de la tecnología asociada a una técnica
son las proposiciones que describen su alcance, su relación con otras técnicas,
sus posibles generalizaciones (por ejemplo, del plano al espacio) y las causas de sus
limitaciones (Gascón, 1989).
La tecnología asociada a una técnica es, en general, un discurso matemático que,
como tal, requiere a su vez una interpretación y justificación institucional.
Llamamos teoría asociada a una técnica a la tecnología de su tecnología, esto es, a un
“discurso” matemático suficientemente amplio como para justificar e interpretar la
tecnología de dicha técnica (junto a la de muchas otras). Mientras que la tecnología
asociada a una técnica tiende a ocupar una posición cercana a ésta y aparece con cierta

13

frecuencia en las prácticas matemáticas en las que se utiliza dicha técnica, la teoría,
por contra, suele mantenerse a mayor distancia de la práctica matemática, y acostumbra
a estar “ausente” de la misma.

La teoría asociada a la técnica de la “línea de nivel tangente a la trayectoria”
estará así contenida en la teoría de la diferenciación de funciones reales de varias
variables.

Podemos decir, en resumen, que la matemática institucionalizada y, en
particular, la matemática escolar, se organiza en obras matemáticas que son conjuntos
estructurados de objetos matemáticos que surgen como respuesta a ciertas
cuestiones planteables en el seno de dicha institución. Las obras matemáticas son así
el resultado final de una actividad matemática que, como toda actividad humana,
presenta dos aspectos inseparables: la práctica matemática que consta de tareas
(materializadas en tipos de problemas) y técnicas útiles para llevar a cabo dichas tareas,
y el discurso razonado sobre dicha práctica que está constituido por dos niveles, el
de las tecnologías y el de las teorías. Estos son, en definitiva, los elementos constitutivos
de toda obra matemática.
Lo anterior no significa que el carácter “práctico” o “teórico” de un objeto
matemático sea intrínsico al mismo. Por contra, hay que subrayar que un mismo objeto,
como por ejemplo el sistema de Lagrange, puede formar parte de una actividad
“práctica” (puede utilizarse directamente para resolver un problema de máximos y
mínimos condicionados) o, en otra organización institucional, puede jugar el papel
de elemento “teórico” que puede justificar, en última instancia, una práctica
matemática, pero manteniéndose muy alejado de ella. Resulta, en definitiva, que el
carácter “teórico” o “práctico” de un objeto matemático depende, en cada institución y
en cada actividad matemática concreta, de la función que dicho objeto desempeñe.

Lo dicho hasta aquí pone de manifiesto además que, lejos de ser independientes, los
elementos constitutivos de una obra matemática están fuertemente interrelacionados
entre sí: el desarrollo de las técnicas genera nuevos tipos de problemas y provoca
nuevas necesidades tecnológico-teóricas. Éstas, a su vez, permiten modificar las
técnicas ya establecidas, interrelacionarlas con otras, generar nuevas técnicas y, en
definitiva, plantear y abordar nuevos tipos de problemas3.

2.3. Modelo del proceso de estudio de una obra matemática
Ya hemos dicho que en el enfoque antropológico, el objeto primario de
investigación didáctica lo constituyen las actividades matemáticas institucionales que
se modelizan mediante la noción de proceso de estudio de una obra matemática en el
seno de una institución.
Los estudiantes (esto es, los sujetos de la institución inmersos en un proceso de
estudio) no tienen porqué ser alumnos; también pueden ser investigadores de
matemáticas, biólogos, químicos, economistas e incluso músicos o pintores que se
plantean cuestiones matemáticas para utilizar las respuestas en su trabajo. También
puede tratarse, claro está, de profesores que estudian matemáticas en el marco de su

3
Para una descripción más detallada de la estructura de una obra matemática se puede consultar
Chevallard, Bosch y Gascón, 1997. Al considerar simultáneamente los dos aspectos de una obra
(“praxis” y “logos”) tenemos la noción de “praxeología matemática”.

14

actividad docente. En este sentido la noción de proceso de estudio contiene
ampliamente la noción clásica de proceso de enseñanza-aprendizaje: mientras que la
enseñanza es sólo un medio (a veces poderoso, pero nunca el único) para el estudio, el
aprendizaje es el efecto perseguido por el estudio (Chevallard, Bosch y Gascón,
1997).
El enfoque antropológico postula que el proceso de estudio no es homogéneo sino
que está estructurado en diferentes momentos. Cada momento del proceso de estudio
hace referencia a una dimensión o aspecto de la actividad matemática más que a un
periodo cronológico preciso; por tanto, los momentos están distribuidos de una
manera dispersa a lo largo del proceso de estudio y no pueden ser vividos “de una vez
por todas”.
En una primera aproximación, el proceso de estudio de una obra matemática
puede describirse, aunque de una forma inevitablemente simplificada, relacionando
cada momento con los diferentes elementos (tipos de problemas, técnicas, tecnologías y
teorías) que constituyen dicha obra.
Denominamos momento del primer encuentro a aquel que hace referencia a los
objetos que permiten enunciar problemas de un cierto tipo. La función principal de este
momento es la de “hacer existir” dichos objetos para los estudiantes, lo que provoca la
emergencia para éstos de un campo de problemas que, en principio, tiene una existencia
únicamente virtual y está muy mal delimitado.

El momento del primer encuentro con los problemas de máximos y mínimos tiene
lugar, en la organización matemática escolar de la Enseñanza Secundaria4 en las
aplicaciones de la noción de derivada de una función real de variable real. En este
caso los problemas de máximos y mínimos existen para los estudiantes de Secundaria
únicamente dentro del “estrecho” mundo de las funciones de una variable.

Al momento del primer encuentro le sigue, funcionalmente, el momento exploratorio
que tiene como primera función que el estudiante utilice el pensamiento conjetural
o plausible (Polya, 1954) con prioridad al pensamiento lógico, en la búsqueda de
alguna manera de enfrentarse con los problemas. La segunda función del momento
exploratorio consiste en permitir que el estudiante llegue a tratar con problemas
concretos del campo y a utilizar efectivamente una técnica matemática para
resolverlos. La actividad matemática que se lleva a cabo en el momento
exploratorio tiene un carácter de conocimiento “en acto”, esto es, no presupone que el
estudiante sea capaz de explicitar la técnica que está utilizando ni, mucho menos, que
esté en condiciones de justificarla.
Las funciones del momento exploratorio son, así, perfectamente compatibles
con una actividad matemática dubitativa y rígida y, por tanto, son insuficientes. La
actividad matemática exploratoria conlleva errores y bloqueos que los estudiantes sólo
pueden superar familiarizándose con las técnicas y fortaleciendo su dominio de las
mismas.

En el caso de los problemas de máximos y mínimos tal como se estudian en la
enseñanza secundaria, podemos decir que el momento exploratorio está prácticamente
ausente. Ello es debido a que la única técnica que aparece en la organización escolar es
casi algorítmica (puesto que, explícitamente, se reduce a la resolución de la ecuación de

4
Se toma como ejemplo el proceso de estudio de los problemas de máximos y mínimos, tal como se lleva
a cabo en la Enseñanza Secundaria española.

15

puntos críticos de una función) y viene dada de antemano. No hay ningún vestigio de
ninguna otra técnica (en particular no aparece ni puede aparecer la técnica de la linea de
nivel tangente a la trayectoria ni otras técnicas clásicas independientes del cálculo
diferencial) y los aspectos menos algorítmicos de la técnica que se utiliza (esto es, la
modelización del problema mediante una función de una variable que hay que
optimizar) no son tomados en consideración como “maneras de hacer matemáticas”,
esto es, como técnicas que habría que explorar, practicar y llegar a dominar.

Llamamos momento del trabajo de la técnica al que completa, en el sentido
indicado, al momento exploratorio. Sus funciones principales apuntan a que el
estudiante llegue a tener un dominio robusto de las técnicas previamente exploradas,
pueda llegar a explicitar la técnica que está utilizando, lleve a cabo pequeñas
variaciones de la misma, relaciona diversas técnicas y, en última instancia, pueda
llegar a producir nuevas técnicas (respecto a la cultura matemática del grupo).
El momento del trabajo de la técnica es, por tanto, un momento muy importante
del proceso de estudio pero, paradójicamente, las instituciones didácticas actuales no
disponen de ningún dispositivo en el cual este momento pueda vivir y desarrollarse de
una manera normal (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997).

En el caso particular del estudio de los problemas de máximos y mínimos tal como
éste se lleva a cabo en la enseñanza secundaria, tampoco se pretende que el alumno
llegue a tener un dominio robusto de la técnica escolar habitual ni, mucho menos,
que llegue a producir técnicas nuevas.
Sería posible imaginar, sin embargo, una organización matemática escolar en la
cual tuviese cabida la técnica de la línea de nivel tangente a la trayectoria y en la
cual existiera un dispositivo didáctico que posibilitara que los estudiantes alcanzasen un
dominio robusto de la misma. En ese “mundo posible” sería previsible que el desarrollo
de la técnica de “la línea de nivel” permitiese producir una nueva técnica, la técnica de
“variación parcial” (Polya, 1954) que tampoco requiere la utilización del cálculo
diferencial pero que permite abordar problemas de un campo mucho más amplio.

Como ya hemos dicho, la aparición de una nueva técnica, comporta que ésta
aparezca como “correcta”, “justificable” e “interpretable” en la institución de
referencia. Estas necesidades institucionales también se manifiestan a nivel del
proceso de estudio de una pequeña comunidad (incluso en el caso límite de un sólo
estudiante) que, después de producir una técnica nueva (respecto de la cultura
matemática del grupo) fruto de un trabajo más o menos guiado, necesitan vivir
momentos tecnológico-teóricos a fin de integrar ambos niveles de justificación de
la práctica matemática.
Los momentos de institucionalización y evaluación, por fin, considerados como
dimensiones o aspectos del proceso de estudio de una obra matemática en el seno de
una institución, no deben ser confundidos con la institucionalización y la evaluación
escolares que no son más que formas muy particulares de materializar dichas
dimensiones. Todo “estudiante” de matemáticas (sea investigador, alumno, profesor,
científico que utiliza las matemáticas, etc.) vive momentos de “institucionalización” y
de “evaluación” a lo largo de su proceso de estudio5.

5
La primera exposición, aunque muy esquemática, de los momentos del proceso de estudio de una obra
matemática, se encuentra en Chevallard, 1996. Para un análisis más detallado de la teoría de los
momentos didácticos y para empezar a relacionar las nociones de “praxeología matemática” y
“praxedología didáctica”, se puede consultar Chevallard, Bosch y Gascón, 1997.

16

3. La didáctica de las matemáticas como ciencia del “estudio”
Podríamos decir, en resumen, que el paso del punto de vista clásico a la didáctica
fundamental inaugura un nuevo programa de investigación en didáctica de las
matemáticas (Lakatos, 1978) que, aunque modifica el objeto primario de investigación,
abarca ampliamente toda la problemática didáctica clásica, puesto que permite
reformular sus problemas y plantear y abordar muchos más. Surgió como consecuencia
del descubrimiento de que todo fenómeno didáctico tiene un componente matemático
esencial. Este descubrimiento trajo consigo la ampliación inesperada del objeto de
investigación de la didáctica, incluyendo las prácticas matemáticas escolares no como
un objeto más entre otros, sino como el objeto primario de investigación de cuyo
estudio dependen, en cierta forma, todos los demás.
La problemática didáctica se situaba así en el marco de la epistemología de las
matemáticas provocando, simultáneamente, una antropologización de la epistemología
para dar cabida al “estudio del hombre haciendo matemáticas”. Surge así la
antropología de las matemáticas como ampliación de la tradicional “epistemología de
las matemáticas” que sólo se ocupaba de la producción de los conocimientos
matemáticos. En el seno de esta antropología de las matemáticas emerge la
(antropología) didáctica de las matemáticas (Chevallard, 1990).
Desde ese momento fue posible empezar a recorrer el camino inverso: partir del
hombre haciendo matemáticas para constatar que lo didáctico es denso en lo
matemático y que todo fenómeno matemático tiene un componente didáctico
esencial. Este es el camino que ya hace unos años ha empezado a recorrer el enfoque
antropológico en el marco de la didáctica fundamental. Sólo así ha sido posible
descubrir no sólo que es insuficiente considerar al estudiante como “sujeto cognitivo”,
sino que tampoco basta tomarlo como “sujeto epistémico” (en el sentido estrecho de
la epistemología clásica); es preciso abarcar toda la complejidad del “sujeto
didáctico” (Artigue, 1990). En el enfoque antropológico esta necesidad de abarcar
todas las sujeciones del sujeto didáctico se satisface postulando que la relación del
estudiante a una obra matemática puede ser reconstruida a partir de las relaciones
institucionales a dicha obra del conjunto de todas las instituciones (no únicamente
escolares) a las que el estudiante está sujeto.
El enfoque antropológico toma como objeto primario de investigación el proceso
(institucionalizado) de estudio de una obra matemática. Abreviadamente podemos
decir que, desde este punto de vista, la didáctica es la ciencia del estudio6
(incluyendo la ayuda al "estudio”) de las matemáticas. Su objetivo es llegar a
describir, caracterizar y explicar (pero también diseñar, ayudar a gestionar y evaluar)
los procesos de estudio de las comunidades que se ven llevados a estudiar
matemáticas en el seno de ciertas instituciones.
Tenemos, en resumen, que el paso del punto de vista clásico a la didáctica
fundamental constituye lo que Lakatos denomina un “cambio progresivo de
problemática”, con el consiguiente aumento del “poder heurístico” del nuevo programa
de investigación (Lakatos, 1978). Este aumento viene corroborado por la aparición de
nuevos problemas, de nuevas teorías auxiliares y con la anticipación de hechos y
6
Para entender el alcance de la noción de “estudio” tal como aquí se utiliza, no hay que olvidar que en
los últimos desarrollos del enfoque antropológico toda actividad matemática institucional se modeliza
mediante la noción de proceso de estudio de una obra matemática (en el seno de dicha institución).

17

fenómenos nuevos. A fin de ejemplificar algunos de los elementos que ponen de
manifiesto este aumento de “poder heurístico”, distinguiremos entre el nivel de
investigación didáctica básica y el nivel de ingeniería didáctica:
(i) A nivel de investigación didáctica básica, el enfoque antropológico permite
reformular nociones de la didáctica fundamental tan importantes como las de
transposición didáctica (que, en lugar de referirse a la transposición de las “nociones
matemáticas” o de los “objetos matemáticos”, en adelante versará sobre la
transposición de las “obras” matemáticas), y obstáculo epistemológico, que pasa
ahora a referirse a obstáculos en el “proceso de estudio de una obra matemática” y
que ahora podrán ser descritos en base a los cambios (necesarios) de actividad
matemática que comporta todo proceso de estudio.
Este enfoque permite, además, abordar muchos problemas didácticos como, por
ejemplo, el “problema del diseño del currículo de matemáticas”, que no eran
planteables sin salirse del ámbito escolar. Digamos, por último, que gracias al
enfoque antropológico es posible describir y empezar a explicar muchos fenómenos
didácticos que habían pasado inadvertidos durante años (Chevallard, Bosch y Gascón,
1997).
(ii) A nivel de ingeniería didáctica, el enfoque antropológico proporciona los
instrumentos para analizar, por ejemplo, la estructura y las funciones de los
actuales dispositivos didácticos escolares (“clase de matemáticas”, “clase de teoría”,
“clase de problemas”, “libro de texto”, “dispositivos de evaluación”, etc.). Este
análisis ha permitido constatar y, en cierto sentido, explicar la pobreza de dispositivos
didácticos escolares actuales, así como algunas de sus consecuencias.
En un sentido más general, el enfoque antropológico permite simplificar el
análisis didáctico previo al diseño de una ingeniería didáctica, centrándolo inicialmente
en dos polos: el análisis de la relación institucional a la obra matemática involucrada en
el problema didáctico estudiado y el análisis del modelo didáctico específico dominante
en la institución escolar, esto es, lo que se (sobre)entiende en dicha institución por
“enseñar y aprender” la obra matemática en cuestión. Lo anterior no significa que el
enfoque antropológico elimine los análisis cognitivos preliminares relativos a las
concepciones de los estudiantes y los análisis de los obstáculos que condicionan su
evolución; significa únicamente que dichos análisis no se consideran independientes del
análisis epistemológico de la obra enseñada, del análisis de la reconstrucción escolar de
dicha obra y del análisis del proceso de estudio de la misma, tal como se lleva a cabo en
la institución didáctica considerada. El enfoque antropológico pretende entonces integrar
todos esos análisis parciales sin dejar de considerar a las prácticas matemáticas escolares
(esto es, a la relación institucional a las obras matemáticas) como el objeto primario de
investigación didáctica de cuyo análisis dependen, en cierta forma, todos los demás.
El resto de los análisis didácticos pasan a ser secundarios (en el sentido de “no
primarios”), aunque no por ello sean menos importantes.
En adelante la didáctica de las matemáticas puede seguir siendo considerada como
la ciencia de los fenómenos y los procesos didácticos, con la condición de que
“didáctico” se entienda como “relativo al estudio de las matemáticas”.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

18

AUSUBEL D.P. (1968): Educational Psychology: A Cognitive View, Holt, Rinehart
and Winston: New York.
ARTIGUE M. (1990): Épistémologie et didactique, Recherches en didactique des
mathématiques, vol. 10, 2.3, 241-286.
ARTIGUE M. (1995): La enseñanza de los principios del cálculo: problemas
epistemológicos, cognitivos y didácticos, en Artigue, M., Douady, R., Moreno,
L., Gómez, P. (eds.) Ingeniería didáctica en educación matemática, Grupo
Editorial Iberoamérica: México, pp. 97-140.
BAUERSFELD H., y SKOWRONEK H. (1976): Research Related to the Mathematical
Learning Process, en Athen y Kunle, (eds.), 231-245.
BROUSSEAU G. (1972): Processus de mathématisation. La Mathématique à l'Ecole
Élémentaire, 428-442, APMEP: Paris.
BROUSSEAU G. (1986): Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques,
Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 7.2, 33-115.
BROUSSEAU G. (1989): La tour de Babel, IREM, Université de Bordeaux I.
BROUSSEAU G. (1994): Problèmes et résultats de Didactique des Mathématiques,
ICMI Study 94.
CHEVALLARD Y. (1985): La transposition didactique. Du savoir savant au savoir
eneigné, La pensée Sauvage: Grenoble.
CHEVALLARD Y. (1990): Didactique, anthropologie, mathématiques, Postfacio a la
segunda edición de La transposition didactique. Du savoir savant au savoir
enseigné, La pensée sauvage: Grenoble.
CHEVALLARD Y. (1992): Concepts fondamentaux de la didactique: Perspectives
apportées pau une approche anthropologique. Recherches en Didactique
des Mathématiques, 12(1), 73-112.
CHEVALLARD Y. (1996): La fonction professorale: esquisse d’un modèle didactique,
en R. Noirfalise et M-J. Perrin-Glorian (coord.), Actes de l’École d’Été de
Didactique des Mathématiques (Saint-Sauves d’Auvergne, 1995), 83-122.
CHEVALLARD Y., BOSCH M. y GASCON J. (1997): Estudiar matemáticas. El
eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje, ICE/Horsori: Barcelona.
GASCON J. (1989): El aprendizaje de métodos de resolución de problemas de
matemáticas, Tesis doctoral, Universitat Autònoma de Barcelona.
GASCON J. (1993): Desarrollo del conocimiento matemático y análisis didáctico:
del patrón de análisis-síntesis a la génesis del lenguaje algebraico, Recherches en
Didactique des Mathématiques, Vol 13/3, 295-332.
GASCON J. (1994-95): Un nouveau modèle de l'algèbre élémentaire comme
alternative à l’“arithmétique généralisée”, Petit x, 37, 43-63.
GIL D., CARRASCOSA J., FURIO C. y MTNEZ-TORREGROSA J. (1991): La
enseñanza de las ciencias en la educación secundaria, ICE/Horsori:
Barcelona.
KILPATRICK J. (1981): The Reasonable Ineffectiveness of Research in Mathematics
Education, For the Learning of Mathematics, 2.2, 22-29.
LAKATOS I. (1971): Historia de la ciencia y sus reconstrucciones racionales,
Tecnos: Madrid, 1974.
LAKATOS I. (1978): The Methodology of Scientific Research Programmes,
Philosophical Papers Volume I, Cambridge University Press: Cambridge.
LESH R. y LANDAU M., eds., (1983): Acquisition of Mathematics Concepts and
Processes, Academic Press: New York.

19

POLYA G. (1954): Mathematics and plausible reasoning, Princeton University Press:
Princeton (2 vols.)
SCHOENFELD A. H. (1985): Mathematical Problem Solving, Academic Press:
Orlando, Florida.
SCHOENFELD A. H. (1991): On paradigms and methods: What do you do when the
ones you know don't do what you want them to?, Paper presented at a Symposium on
methods at the annual meeting of the American Educational Research Association,
Chicago, April 1991.

20

ANEXO

LA TÉCNICA DE LA LINEA DE NIVEL
TANGENTE A LA TRAYECTORIA

La puesta en acción de esta técnica requiere las siguientes tareas elementales,
ninguna de las cuales es algorítmica porque todas poseen cierto grado de
indeterminación:

1. Reducir el problema a la obtención de un punto, es decir, reducir la construcción
del objeto incógnita (que puede representarse mediante un objeto geométrico) a la
construcción de un punto. A partir de este momento podremos suponer que la
incógnita "es" un punto.

2. Expresar la función a optimizar como una función del plano en el conjunto de
números reales. Se trata de una función f(x,y) = z que a cada punto P = (x,y) del plano
le hace corresponder un número real z. Los puntos buscados son los extremos de
esta función de dos variables.

3. Dibujar las lineas de nivel correspondientes a la función a optimizar. Se trata de las
curvas Ck del plano sobre las que la función a optimizar es constante.

Ck = {(x,y)/ f(x,y)=k}

4. Dibujar la trayectoria del problema, es decir la curva del plano g(x,y)=0 sobre la
cual (según la condición del problema) deben estar situados los puntos solución.

5. Buscar los puntos en los que alguna curva de nivel sea tangente a la
trayectoria. Estos puntos son las únicas posibles soluciones del problema.

6. Comprobar para cada uno de los puntos obtenidos si proporciona una solución del
problema y, en ese caso, construir el correspondiente objeto solución que verifica la
propiedad extremal indicada.

A fin de mostrar el funcionamiento de esta técnica matemática, la aplicaremos a los
dos primeros problemas enunciados anteriormente en la sección 2.2.:

“Dada una recta r en el plano y dos puntos A y B situados en el
mismo semiplano respecto a r, buscar el punto X de r tal que el ángulo
AXB sea máximo”

1. En este caso la reducción a un punto es clara, puesto que la incógnita es
precisamente un punto.

2. La función a optimizar hace corresponder a cada punto P(x,y) del plano la amplitud
del ángulo APB (ver fig. 1).

21

3. Las curvas de nivel son las circunferencias que pasan simultáneamente por A y

Fig. 1
4. por B, dado que, si P varía en una de dichas circunferencias, todos los ángulos
APB tienen la misma amplitud porque son ángulos inscritos a una misma
circunferencia y abarcan el mismo arco.

5. La trayectoria es, en este caso, la recta r dada.

6. Las posibles soluciones vendrán determinadas por los puntos de tangencia de la recta r
con las circunferencias que pasan por A y B. En general hay dos circunferencias que
pasando por A y B son tangentes a la recta r. Dado que los centros de estas
circunferencias deben equidistar simultáneamente de los puntos A y B y de la recta r,
se obtendrán como intersección de la mediatriz del segmento AB con las parábolas de
directriz r y focos respectivos A y B.

7. Para construir el punto X de r tal que AXB sea máximo, basta tomar de entre los
dos puntos de tangencia el correspondiente a la circunferencia de menor radio, puesto
que en ésta el ángulo central correspondiente a esta cuerda será mayor (y, por tanto, el
ángulo inscrito también será mayor).

“De entre todos los triángulos que tienen un lado de longitud dada a y
un perímetro p dado, ¿cuál es el triángulo que tiene área máxima?”

1. Para reducir el problema a la obtención de un punto, basta dibujar el lado de longitud
dada a=BC. La incógnita es ahora el punto A, tercer vértice del triángulo.

2. La función a optimizar es la que hace corresponder a cada punto P del plano, el
área del triángulo BCP. Dado que BC=a es constante, puede tomarse como función a
optimizar la que hace corresponder a cada punto P del plano su distancia a la recta que
contiene el lado BC (que es la altura del triángulo BCP relativa al lado BC).

3. Las lineas de nivel correspondientes a la función a optimizar son las rectas paralelas a
la recta que contiene BC (ver figura 2).

22

Fig. 2

4. La trayectoria del problema es una elipse de focos B y C, ya que se trata del lugar
geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a B y a C es igual a p-a .

5. Por simetría, resulta que los únicos puntos en los que alguna curva de nivel es
tangente a la trayectoria son los puntos de la elipse que equidistan de los focos B y
C. Estos puntos proporcionan las únicas posibles soluciones del problema.

6. El triángulo buscado es el isósceles cuyo lado BC=a es dado y los dos lados
restantes, AB y AC son iguales y miden (p-a)/2.

Poble Nou, julio de 1997

Josep Gascón
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma de Barcelona
Edificio C, 08193 Bellaterra (Barcelona) Spain
Fax: (3)5812790
E-Mail: gascon@mat.uab.es

Gascon

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Destacado

Similar a Gascon

Último

Gascon