Gestión Financiera. Rentas fraccionadas y variables

Gestión Financiera.
6 > Rentas fraccionadas y variables
Juan Carlos Mira Navarro

1 Introducción
2 Rentas con fraccionamiento uniforme
Rentas fraccionadas, diferidas y anticipadas
Ecuación general de las rentas constantes, inmediatas y temporales
3 Rentas de términos variables en progresión geométrica
Renta pospagable temporal
Renta pospagable perpetua
Renta prepagable temporal
Renta prepagable perpetua
Renta diferida y anticipada
4 Rentas de términos variables en progresión aritmética
Renta pospagable temporal
Renta pospagable perpetua
Renta prepagable temporal
Renta prepagable perpetua
Renta diferida y anticipada
5 Rentas variables fraccionadas
6 Rentas variables en general con rédito periodal constante
Determinación de i. Método de Newton
Hoja de cálculo
Simplificación de Schneider
7 Gestión Financiera

Introducción
En la aplicación práctica del estudio de las rentas, podemos encontrarnos con que los
términos de las mismas no necesariamente han de ser uniformes en toda su duración. Del
mismo modo, tampoco los términos han de coincidir con los años naturales. Es muy
habitual que éstos, en las operaciones financieras de inversión o financiación, sean
mensuales, trimestrales, etc.
Igualmente, los términos no necesariamente serán constantes a lo largo de toda la duración
de la misma. Es frecuente encontrarse con rentas crecientes en un porcentaje e incluso, con
rentas variables en general.
Las rentas fraccionadas son aquellas en las que la periodicidad con que se hacen efectivos
los sucesivos capitales es inferior al año, produciéndose pagos y cobros mensualmente,
trimestralmente, semestralmente, etc.
En una renta fraccionada constante una serie de capitales de la misma cuantía están
disponibles en fracciones consecutivas de año, llamadas m, durante n años.
El número de términos total es n m.
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Rentas con fraccionamiento uniforme
En este caso el período de capitalización es superior al período en que se percibe la renta,
es decir, nos dan el interés efectivo anual i, mientras que el término C de la renta se
percibe m veces dentro del año.
Para encontrar el valor en este tipo de rentas fraccionadas, tendremos también que referir
ambos parámetros término y tanto a la misma unidad.

En este caso el período de capitalización es superior al período en que se percibe la renta,
es decir, nos dan el interés efectivo anual i, mientras que el término C de la renta se
percibe m veces dentro del año.
Para encontrar el valor en este tipo de rentas fraccionadas, tendremos también que referir
ambos parámetros término y tanto a la misma unidad.
Una solución es calcular el interés periódico i(m)
a partir del tanto efectivo anual i dado y
valorar la renta teniendo en cuenta que la duración de la misma es de n m períodos, siendo
t = n m.
i(m)
= (1 + i)
1
m − 1

an m i(m) =
1 − 1 + i(m)
−n m
i(m)
(1)
expresión que nos da el valor actual de la renta unitaria.

an m i(m) =
1 − 1 + i(m)
−n m
i(m)
(1)
expresión que nos da el valor actual de la renta unitaria.
Generalizando, el valor actual de una renta constante, temporal, inmediata y pospagable de
término C, duración n m períodos a interés i(m)
, y de acuerdo con (1), será:
V
(m)
0 = C an m i(m) V
(m)
0 = C
1 − 1 + i(m)
−n m
i(m)
(2)

Gráficamente,
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 t − 1 t

Gráficamente,
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 t − 1 t
1
z }| {

Gráficamente,
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 t − 1 t
1
z }| {
(1 + i(m)
)−1

Gráficamente,
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 t − 1 t
1
z }| {
(1 + i(m)
)−1
(1 + i(m)
)−2

Gráficamente,
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 t − 1 t
1
z }| {
(1 + i(m)
)−1
(1 + i(m)
)−2
(1 + i(m)
)−3

Gráficamente,
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 t − 1 t
1
z }| {
(1 + i(m)
)−1
(1 + i(m)
)−2
(1 + i(m)
)−3
(1 + i(m)
)−4

Gráficamente,
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 t − 1 t
1
z }| {
(1 + i(m)
)−1
(1 + i(m)
)−2
(1 + i(m)
)−3
(1 + i(m)
)−4
.
.
.
(1 + i(m)
)−(t−1)

Gráficamente,
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 t − 1 t
1
z }| {
(1 + i(m)
)−1
(1 + i(m)
)−2
(1 + i(m)
)−3
(1 + i(m)
)−4
.
.
.
(1 + i(m)
)−(t−1)
(1 + i(m)
)−t

Gráficamente,
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 t − 1 t
1
z }| {
(1 + i(m)
)−1
(1 + i(m)
)−2
(1 + i(m)
)−3
(1 + i(m)
)−4
.
.
.
(1 + i(m)
)−(t−1)
(1 + i(m)
)−t
at i (m)
Figura: Valor actual de una renta unitaria fraccionada

Este método, lo podemos considerar como genérico para la resolución de las rentas
fraccionadas y es el que vamos a utilizar para obtener el valor actual o final de una renta
pospagable o prepagable fraccionada, sea de duración determinada o perpetua.
Si se trata del valor final,
sn m i(m) =
1 + i(m)
n m
− 1
i(m)
(3)

Este método, lo podemos considerar como genérico para la resolución de las rentas
fraccionadas y es el que vamos a utilizar para obtener el valor actual o final de una renta
pospagable o prepagable fraccionada, sea de duración determinada o perpetua.
Si se trata del valor final,
sn m i(m) =
1 + i(m)
n m
− 1
i(m)
(3)
generalizando,
V (m)
n = C sn m i(m) V (m)
n = C
1 + i(m)
n m
− 1
i(m)
V (m)
n = C an m i(m)
Ä
1 + i(m)
än m
(4)

Determinar el valor actual de una renta de 5 años de duración, al 7 % de interés anual efectivo y los términos son de 850 e
trimestrales.

trimestrales.
En primer lugar, obtendríamos el tipo de interés efectivo trimestral,
i
(4)
= (1 + 0, 07)
1
4 − 1 = 0, 0170585
para obtener el valor actual utilizando la expresión (2):
V0 = 850 a20 0 ,0170585 = 14 301, 46

trimestrales.
En primer lugar, obtendríamos el tipo de interés efectivo trimestral,
i
(4)
= (1 + 0, 07)
1
4 − 1 = 0, 0170585
para obtener el valor actual utilizando la expresión (2):
V0 = 850 a20 0 ,0170585 = 14 301, 46
Utilizando la calculadora financiera, para obtener V0,
850 CHS PMT 20 n 1,70585 i 0 FV PV obteniendo la respuesta de 14 301,46

Si se trata del valor actual en una renta fraccionada cuyos términos sean prepagables, éste
será igual al valor actual de una renta temporal, constante, unitaria, fraccionada, inmediata
y pospagable multiplicado por 1 + i(m)

. En este caso,
än m i(m) =
1 − 1 + i(m)
−n m
1 − 1 + i(m)
−1 =
1 − 1 + i(m)
−n m
i(m)
Ä
1 + i(m)
ä
(5)
y, el valor final,
s̈n m i(m) =
1 + i(m)
n m
− 1
i(m)
Ä
1 + i(m)
ä
(6)

Si se trata del valor actual en una renta fraccionada cuyos términos sean prepagables, éste
será igual al valor actual de una renta temporal, constante, unitaria, fraccionada, inmediata
y pospagable multiplicado por 1 + i(m)

. En este caso,
än m i(m) =
1 − 1 + i(m)
−n m
1 − 1 + i(m)
−1 =
1 − 1 + i(m)
−n m
i(m)
Ä
1 + i(m)
ä
(5)
y, el valor final,
s̈n m i(m) =
1 + i(m)
n m
− 1
i(m)
Ä
1 + i(m)
ä
(6)
Se verifica por tanto la relación entre el valor actual y final:
sn m i(m) = an m i(m)
Ä
1 + i(m)
än m
(7)
por ser 1 + i(m)
n
el factor de capitalización en el intervalo [0, m].

Si se trata de rentas fraccionadas perpetuas, su valor actual, vendrá expresado por:
a∞ i(m) =
1
i(m)
(8)

a∞ i(m) =
1
i(m)
(8)
En el caso de que la renta fraccionada perpetua unitaria sea prepagable, su valor actual,
será:
ä∞ i(m) = 1 +
1
i(m)
(9)

a∞ i(m) =
1
i(m)
(8)
será:
ä∞ i(m) = 1 +
1
i(m)
(9)
¿Qué capital debemos depositar en un banco que nos abona el 0,5 % mensual si pretendemos obtener una renta de 1 000 e
mensuales?

a∞ i(m) =
1
i(m)
(8)
será:
ä∞ i(m) = 1 +
1
i(m)
(9)
¿Qué capital debemos depositar en un banco que nos abona el 0,5 % mensual si pretendemos obtener una renta de 1 000 e
mensuales?
V0 = 1 000 a∞ 0 ,005 =
1 000
0, 005
= 200 000

Rentas con fraccionamiento uniforme. Rentas fraccionadas, diferidas y
anticipadas
El valor actual de una renta temporal, constante, unitaria, fraccionada y diferida p
períodos, es igual al valor actual de una renta temporal, constante, unitaria y fraccionada
actualizado por los períodos de diferimiento, es decir, multiplicando su valor actual por
1 + i(m)
−p m
. Esto es,
p/an m i(m) =
Ä
1 + i(m)
ä−p m
an m i(m) (10)

Rentas con fraccionamiento uniforme. Rentas fraccionadas, diferidas y
anticipadas
El valor actual de una renta temporal, constante, unitaria, fraccionada y diferida p
períodos, es igual al valor actual de una renta temporal, constante, unitaria y fraccionada
actualizado por los períodos de diferimiento, es decir, multiplicando su valor actual por
1 + i(m)
−p m
. Esto es,
p/an m i(m) =
Ä
1 + i(m)
ä−p m
an m i(m) (10)
Igual ocurre con la obtención del valor final de una renta temporal, constante, unitaria,
fraccionada y anticipada h períodos, debiendo multiplicar en este caso el valor de la renta
fraccionada por su anticipación 1 + i(m)
h m
.
h/sn m i(m) =
Ä
1 + i(m)
äh m
sn m i(m) (11)

Rentas con fraccionamiento uniforme. Ecuación general de las rentas
constantes, inmediatas y temporales
Esta ecuación general, es el algoritmo desarrollado por Roy E. Martin y William Kahan en
el desafío de un sistema de cálculo financiero que equilibrara rapidez y precisión en los
recursos computacionales para la HP12c. Nos permite obtener cualquiera de las cinco
variables financieras típicas.
V0 + (1 + i µ) C
ï
1 − (1 + i)−n
i
ò
+ Vn (1 + i)−n
= 0 (12)
Si µ = 0, se tratará de una renta pospagable, siendo por tanto (1 + i µ) = 1. Si la renta es
prepagable, µ = 1 y en consecuencia (1 + i µ) = (1 + i) que es el factor que convierte una
renta pospagable en prepagable.

Rentas con fraccionamiento uniforme. Ecuación general de las rentas
constantes, inmediatas y temporales
Esta ecuación general, es el algoritmo desarrollado por Roy E. Martin y William Kahan en
el desafío de un sistema de cálculo financiero que equilibrara rapidez y precisión en los
recursos computacionales para la HP12c. Nos permite obtener cualquiera de las cinco
variables financieras típicas.
V0 + (1 + i µ) C
ï
1 − (1 + i)−n
i
ò
+ Vn (1 + i)−n
= 0 (12)
Si µ = 0, se tratará de una renta pospagable, siendo por tanto (1 + i µ) = 1. Si la renta es
prepagable, µ = 1 y en consecuencia (1 + i µ) = (1 + i) que es el factor que convierte una
renta pospagable en prepagable.
Si C = 0 nos encontraríamos en un supuesto de capitalización compuesta, pudiendo
obtener los valores de C0 ∨ V0 ∧ Cn ∨ Vn, ya que:
V0 + Vn (1 + i)−n
= 0

Rentas de términos variables en progresión geométrica
Se caracterizan porque la cuantía de sus términos varían en progresión geométrica. La razón
de la progresión, que representamos por q ha de ser positiva, es decir q 0, puesto que en
caso contrario todos los términos con exponente de q impar tendrían cuantía negativa.
Si q 1, la renta será creciente. Si 0 q 1, los términos de la renta serán decrecientes.
Dentro de las rentas geométricas cabe hacer todas las hipótesis que para las constantes
hemos hecho sobre el vencimiento de los términos (pospagable y prepagable), en relación a
la duración (temporal o perpetua) y con respecto al punto de valoración (inmediata,
diferida o anticipada).

Rentas de términos variables en progresión geométrica. Renta
pospagable temporal
El valor actual de una renta pospagable, inmediata, temporal y variable en pogresión
geométrica, de primer término C y razón q, con una duración de n años al tipo de interés
i, será:
V0(C, q)n i = C (1 + i)−1
+ C q (1 + i)−2
+ C q2
(1 + i)−3
+ · · · +
+C q(n−2)
(1 + i)−(n−1)
+ C q(n−1)
(1 + i)−n
que representa una serie en progresión geométrica de razón q (1 + i)−1
; por tanto, su
suma, será:
V0(C, q)n i =
C (1 + i)−1
− C q(n−1)
(1 + i)−n
q (1 + i)−1
1 − (1 + i)−1 q
=
= C
1 − q(n−1)
(1 + i)−n
q
1
(1 + i)−1
− q
= C
1 − qn
(1 + i)−n
1 + i − q

pospagable temporal
El valor actual de una renta pospagable, inmediata, temporal y variable en pogresión
geométrica, de primer término C y razón q, con una duración de n años al tipo de interés
i, será:
V0(C, q)n i = C (1 + i)−1
+ C q (1 + i)−2
+ C q2
(1 + i)−3
+ · · · +
+C q(n−2)
(1 + i)−(n−1)
+ C q(n−1)
(1 + i)−n
que representa una serie en progresión geométrica de razón q (1 + i)−1
; por tanto, su
suma, será:
V0(C, q)n i =
C (1 + i)−1
− C q(n−1)
(1 + i)−n
q (1 + i)−1
1 − (1 + i)−1 q
=
= C
1 − q(n−1)
(1 + i)−n
q
1
(1 + i)−1
− q
= C
1 − qn
(1 + i)−n
1 + i − q
V0(C, q)n i = C
1 − qn
(1 + i)−n
1 + i − q
(13)

pospagable temporal
El valor final se obtendrá capitalizando el valor actual, esto es, multiplicándolo por su
factor de capitalización compuesta (1 + i)n
.
Vn(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)n
(14)
y sustituyendo,
Vn(C, q)n i = C
(1 + i)n
− qn
1 + i − q
(15)

pospagable temporal
.
Vn(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)n
(14)
y sustituyendo,
Vn(C, q)n i = C
(1 + i)n
− qn
1 + i − q
(15)
Dada una renta variable en progresión geométrica de primer término 10 000 e que se incrementa anualmente un 20 %, si la
duración de la misma es de 15 años y el interés del 6 % efectivo, se pide determinar el valor actual y final de la misma.

pospagable temporal
.
Vn(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)n
(14)
y sustituyendo,
Vn(C, q)n i = C
(1 + i)n
− qn
1 + i − q
(15)
Utilizando (13):
V0(10 000; 1, 2)15 0,06 = 10 000
1 − 1, 215
(1 + 0, 06)−15
1 + 0, 06 − 1, 2
= 10 000
−5, 4288
−0, 14
= 387 772, 27

pospagable temporal
.
Vn(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)n
(14)
y sustituyendo,
Vn(C, q)n i = C
(1 + i)n
− qn
1 + i − q
(15)
Utilizando (13):
V0(10 000; 1, 2)15 0,06 = 10 000
1 − 1, 215
(1 + 0, 06)−15
1 + 0, 06 − 1, 2
= 10 000
−5, 4288
−0, 14
= 387 772, 27
Del mismo modo, sirviéndose de la relación entre el valor actual y final,
Vn(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)
n
V15 = V0(1 + 0, 06)
15
= 387 772, 27 (1 + 0, 06)
15
= 929 318, 81

pospagable perpetua
En el supuesto de que se trate de una renta perpetua, para su cálculo, bastará con hacer
tender n a infinito en la expresión de su valor actual (13):
V0(C, q)∞ i = lı́m
n→∞
V0(C, q)n i =
C
1 + i − q
V0(C, q)∞ i =
C
1 + i − q
(16)
para 1 + i q.

prepagable temporal
Si se trata de una renta prepagable, partiendo del principio de equivalencia financiera y del
valor actual de una renta pospagable, inmediata, variable en progresión geométrica y
temporal, tal como hemos visto en (13):
V̈0(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i) (17)
Igualmente, si se trata del valor final de una renta prepagable, bastará con actualizar el
valor final de la renta pospagable, inmediata, variable en progresión geométrica y temporal.
V̈n(C, q)n i = Vn(C, q)n i (1 + i) (18)
Del mismo modo, partiendo del valor actual, podríamos capitalizar el mismo usando el
factor de capitalización para obtener su valor final:
V̈n(C, q)n i = V̈0(C, q)n i (1 + i)n
(19)

prepagable perpetua
En el supuesto de tratarse de una renta perpetua, la obtención del límite cuando n tiende a
infinito del valor actual de la renta prepagable nos permitirá obtener su valor.
V̈0(C, q)∞ i = lı́m
n→∞
V̈0(C, q)n i =
C (1 + i)
1 + i − q
V̈0(C, q)∞ i =
C (1 + i)
1 + i − q
(20)

Rentas de términos variables en progresión geométrica. Renta diferida y
anticipada
La obtención del valor actual de una renta diferida p períodos, pospagable, temporal y
variable en progresión geométrica, tal como vimos para una renta constante.
p/V0(C, q)n i = V0(C, q)n i (1 + i)−p
(21)
Si se trata de una renta prepagable, procederemos del mismo modo:
p/V̈0(C, q)n i = V̈0(C, q)n i (1 + i)−p
(22)
Cuando se trata de una renta perpetua, el valor actual, será el que corresponde a una
temporal sobre la que obtendremos el límite cuando n tiende a ∞.
p/V0(C, q)∞ i = lı́m
n→∞
p/V0(C, q)n i
p/V0(C, q)∞ i =
C (1 + i)−p
1 + i − q
(23)

Rentas de términos variables en progresión geométrica. Renta diferida y
anticipada
Si fuera prepagable,
p/V̈0(C, q)∞ i =
C (1 + i)−(p−1)
1 + i − q
(24)
En las rentas anticipadas, para la obtención del valor final puede aplicarse lo visto en la
unidad anterior. El valor final, pospagable y temporal,
h/Vn(C, q)n i = Vn(C, q)n i (1 + i)h
(25)
Si la renta es prepagable,
h/V̈n(C, q)n i = V̈n(C, q)n i (1 + i)h
(26)

Rentas de términos variables en progresión aritmética. Renta
pospagable temporal
Se caracterizan por seguir la cuantía de sus términos una progresión aritmética, siendo d la
razón de la progresión, que puede ser positiva o negativa, si bien en este segundo caso, al
ser los términos decrecientes, para que no aparezcan términos negativos o nulos es preciso
imponer la condición C + (n − 1)d 0, lo que implica que la razón d está acotada
inferiormente por:
d
−C
n − 1

pospagable temporal
inferiormente por:
d
−C
n − 1
La obtención del valor actual que designaremos como V0(C, d)n i es:
V0(C, d)n i =
n
X
s=1

C + (s − 1)d

(1 + i)−s
= C an i + d
n
X
s=1
(s − 1)(1 + i)−s

pospagable temporal
inferiormente por:
d
−C
n − 1
La obtención del valor actual que designaremos como V0(C, d)n i es:
V0(C, d)n i =
n
X
s=1

C + (s − 1)d

(1 + i)−s
= C an i + d
n
X
s=1
(s − 1)(1 + i)−s
Por tanto, se puede escribir:
V0(C, d)n i = C an i +
d
i

an i − n(1 + i)−n

de donde,
V0(C, d)n i =
Å
C +
d
i
ã
an i −
d n(1 + i)−n
i

pospagable temporal
sumando y restando
d n
i
se obtiene la expresión:
V0(C, d)n i =
Å
C +
d
i
+ d n
ã
an i −
d n
i
(27)
que resulta más cómoda al venir expresada en función de an i .

pospagable temporal
sumando y restando
d n
i
V0(C, d)n i =
Å
C +
d
i
+ d n
ã
an i −
d n
i
(27)
El valor final, Vn(C, d)n i puede obtenerse de forma directa:
Vn(C, d)n i =
n
X
s=1

C + (s − 1)d

(1 + i)n−s

pospagable temporal
sumando y restando
d n
i
V0(C, d)n i =
Å
C +
d
i
+ d n
ã
an i −
d n
i
(27)
El valor final, Vn(C, d)n i puede obtenerse de forma directa:
Vn(C, d)n i =
n
X
s=1

C + (s − 1)d

(1 + i)n−s
o también, capitalizando el valor actual, es decir, multiplicando por (1 + i)n
:
Vn(C, d)n i = V0(C, d)n i (1 + i)n
=
ïÅ
C +
d
i
ã
an i −
d n(1 + i)−n
i
ò
(1 + i)n
resultando,
Vn(C, d)n i =
Å
C +
d
i
ã
sn i −
d n
i
(28)

pospagable perpetua
El valor inicial de una renta perpetua es el límite cuando n → ∞ de la correspondiente
renta temporal, por tanto, el valora actual de la renta pospagable, variable en progresión
aritmética perpetua es:
V0(C, d)n i = lı́m
n→∞
ïÅ
C +
d
i
ã
an i −
d n(1 + i)−n
i
ò
y dado que:
lı́m
n→∞
an i = a∞ i =
1
i
y
lı́m
n→∞
n(1 + i)−n
= lı́m
n→∞
n
(1 + i)n
= lı́m
n→∞
1
(1 + i)n loge(1 + i)
= 0
resulta:
V0(C, d)∞ i =
Å
C +
d
i
ã
1
i
=
C
i
+
d
i2
(29)

prepagable temporal
Si se trata en este caso de una renta temporal prepagable, su valor actual puede obtenerse
en función de V0(C, d)n i :
V̈0(C, d)n i =
n−1
X
s=0

C + s d

(1 + i)−s
=
= (1 + i)
n
X
s=1

C + (s − 1) d

(1 + i)−s
= V0(C, d)n i (1 + i)
resultando por tanto,
V̈0(C, d)n i = (1 + i)
ïÅ
C +
d
i
+ d n
ã
an i −
d n
i
ò
= V0(C, d)n i (1 + i) (30)

prepagable temporal
Si se trata en este caso de una renta temporal prepagable, su valor actual puede obtenerse
en función de V0(C, d)n i :
V̈0(C, d)n i =
n−1
X
s=0

C + s d

(1 + i)−s
=
= (1 + i)
n
X
s=1

C + (s − 1) d

(1 + i)−s
= V0(C, d)n i (1 + i)
resultando por tanto,
V̈0(C, d)n i = (1 + i)
ïÅ
C +
d
i
+ d n
ã
an i −
d n
i
ò
= V0(C, d)n i (1 + i) (30)
Igualmente, el valor final prepagable, se obtendrá capitalizando el valor actual:
V̈n(C, d)n i = V̈0(C, d)n i (1 + i)n
(31)
o directamente,
V̈n(C, d)n i = Vn(C, d)n i (1 + i) (32)

prepagable perpetua
Si se trata de una renta prepagable perpetua, el valor inicial de la renta variable en
progresión aritmética se obtiene:
V̈0(C, d)∞ i = lı́m
n→∞
V̈ (C, d)n i = lı́m
n→∞
(1 + i) V0(C, d)n i = (1 + i) V0(C, d)n i
resultando,
V̈0(C, d)∞ i =
Å
C +
d
i
ã
1 + i
i
(33)

Rentas de términos variables en progresión aritmética. Renta diferida y
anticipada
Del mismo modo que para las rentas variables en progresión geométrica, si la renta está
diferida en p períodos de rédito constante i respecto del punto de valoración, su valor
actual se obtiene multiplicando el valor inicial por (1 + i)−p
. Si la renta está anticipada en
h períodos de igual rédito i, su valor final será igual al valor final multiplicado por (1 + i)h
.
p/V0(C, d)n i = (1 + i)−p
V0(C, d)n i (34)
sustituyendo,
p/V0(C, d)n i = (1 + i)−p
ïÅ
C +
d
i
+ d n
ã
an i −
d n
i
ò

anticipada
Del mismo modo que para las rentas variables en progresión geométrica, si la renta está
diferida en p períodos de rédito constante i respecto del punto de valoración, su valor
actual se obtiene multiplicando el valor inicial por (1 + i)−p
. Si la renta está anticipada en
h períodos de igual rédito i, su valor final será igual al valor final multiplicado por (1 + i)h
.
p/V0(C, d)n i = (1 + i)−p
V0(C, d)n i (34)
sustituyendo,
p/V0(C, d)n i = (1 + i)−p
ïÅ
C +
d
i
+ d n
ã
an i −
d n
i
ò
Si es prepagable,
p/V̈0(C, d)n i = (1 + i)−p
V̈0(C, d)n i (35)

anticipada
Si se trata de una renta perpetua, procederemos del mismo modo:
p/V0(C, d)∞ i = (1 + i)−p
V0(C, d)∞ i (36)
p/V̈0(C, d)∞ i = (1 + i)−p
V̈0(C, d)∞ i (37)
Si se trata de una renta anticipada, su valor final, será:
h/Vn(C, d)n i = (1 + i)h
Vn(C, d)n i (38)
y sustituyendo,
h/Vn(C, d)n i = (1 + i)h
ïÅ
C +
d
i
ã
sn i −
d n
i
ò

anticipada
Si se trata de una renta perpetua, procederemos del mismo modo:
p/V0(C, d)∞ i = (1 + i)−p
V0(C, d)∞ i (36)
p/V̈0(C, d)∞ i = (1 + i)−p
V̈0(C, d)∞ i (37)
Si se trata de una renta anticipada, su valor final, será:
h/Vn(C, d)n i = (1 + i)h
Vn(C, d)n i (38)
y sustituyendo,
h/Vn(C, d)n i = (1 + i)h
ïÅ
C +
d
i
ã
sn i −
d n
i
ò
que en el supuesto de que fuera prepagable, sería:
h/V̈n(C, d)n i = (1 + i)h
V̈n(C, d)n i (39)

anticipada
Determinar el valor en el momento actual de una renta anual variable en progresión aritmética, de primer término 10 000 e,
razón 2 000 e, rédito periodal constante i = 0, 06, que comenzará a devengarse una vez transcurridos 3 años, en los
supuestos de que se trate de una renta prepagable de 20 años de duración o de una renta pospagable perpetua.

anticipada
En el primer supuesto,
3/V̈0(10 000; 2 000)20 0,06 = (1 + 0, 06)
−3
V̈0(10 000; 2 000)20 0,06 =
= (1 + 0, 06)
−2
V0(10 000; 2 000)20 0,06 =
= 1, 06
−2
ïÅ
10 000 +
2 000
0, 06
+ 2 000 · 20
ã
a20 0 ,06 −
2 000 · 20
0, 06
ò
=
= 0, 889996[83 333, 33 · 11, 469921 − 666 666, 66] = 257 351, 33

anticipada
En el primer supuesto,
3/V̈0(10 000; 2 000)20 0,06 = (1 + 0, 06)
−3
V̈0(10 000; 2 000)20 0,06 =
= (1 + 0, 06)
−2
V0(10 000; 2 000)20 0,06 =
= 1, 06
−2
ïÅ
10 000 +
2 000
0, 06
+ 2 000 · 20
ã
a20 0 ,06 −
2 000 · 20
0, 06
ò
=
= 0, 889996[83 333, 33 · 11, 469921 − 666 666, 66] = 257 351, 33
En el segundo caso,
3/V0(10 000; 2 000)∞ 0,06 = (1 + 0, 06)
−3
V0(10 000; 2 000)∞ 0,06 =
= (1 + 0, 06)
−3
Å
10 000 +
2 000
0, 06
ã
1
0, 06
= 0, 839619 · 722 222, 22 = 606 391, 70

Rentas variables fraccionadas
En las rentas constantes y en general, el tipo de interés i y el período de vencimiento del
capital n deben estar expresados en la misma unidad. En las rentas fraccionadas variables,
supuesto muy habitual en el mercado, el capital vence en una unidad inferior a la del tanto.
Para resolver este supuesto, podemos sustituir todos los capitales pertenecientes a los
subperíodos por un único expresado en la misma unidad de tiempo que la razón de la
variación o utilizar las siguientes expresiones:
Partiendo de la expresión (13):
V
(m)
0 (C, q)n i = C m
i
J(m)
1 − qn
(1 + i)−n
1 + i − q
(40)
A partir de (27),
V
(m)
0 (C, d)n i =
i
J(m)
Å
C m +
d
i
+ d n
ã
an i −
d n
i
(41)
El resto de valores se obtendrían multiplicando por sus relaciones.

Determinar el valor actual de una renta trimestral de 300 e, de 4 años de duración con un incremento anual del 10 % si se
valora a una TAE del 5 %.

Determinar el valor actual de una renta trimestral de 300 e, de 4 años de duración con un incremento anual del 10 % si se
valora a una TAE del 5 %.
Si optamos por obtener el capital anual equivalente a las aportaciones trimestrales,
i
(4)
= (1 + 0, 05)
1
4 − 1 = 0, 012272 Vn = 300 s4 0 ,012272
Vn = 300
(1 + 0, 012272)4
− 1
0, 012272
= 1 222, 2713
En este caso, el valor equivalente anual de 1 222,27 e es el término C y utilizando (13),
V0(C, q)n i V0(1 222, 27; 1, 1)4 0,05
V0 = 1 222, 2713
1 − 1, 14
(1 + 0, 05)−4
1 + 0, 05 − 1, 1
= 4 999, 54
Si aplicamos directamente la expresión (40), entonces,
J
(4)
= 4 · 0, 012272 = 0, 049089
V0 = 300 · 4
0, 05
0, 049089
1 − 1, 14
(1 + 0, 05)−4
1 + 0, 05 − 1, 1
y por tanto, el valor actual,
V0 = 1 200 · 1, 018559 · 4, 090374 = 4 999, 54

Rentas variables en general con rédito periodal constante
En muchas operaciones financieras los términos de las mismas no son constantes, ni
tampoco variables en base a una progresión conocida. En realidad, son variables de forma
aleatoria.

aleatoria.
En estos casos, existe la dificultad técnica de poder calcular la rentabilidad de la operación.
Para ello, y tanto para las operaciones de inversión como las de financiación, se utilizan
diferentes métodos.

aleatoria.
En estos casos, existe la dificultad técnica de poder calcular la rentabilidad de la operación.
Para ello, y tanto para las operaciones de inversión como las de financiación, se utilizan
diferentes métodos.
Los más extendidos son el Valor Actual Neto, (VAN), y el denominado tanto o Tasa
Interna de Rendimiento o retorno (TIR).

Así, ante una operación financiera consistente en el intercambio de capitales financieros
cuyos términos no son iguales en capitalización compuesta,
V0 =
C1
(1 + i)1
+
C2
(1 + i)2
+
C3
(1 + i)3
+ · · · +
Cn
(1 + i)n
si igualamos a 0, podemos obtener el valor de i. Definiremos TIR de esta operación
financiera al número real i, solución de la ecuación:
n
X
s=1
Cs(1 + i)−s
=
n
X
t=1
Ct(1 + i)−t

Evidentemente, n e i, deberán estar expresados en la misma unidad. La TIR obtenida
estará en función de la unidad de tiempo con la que se esté trabajando. Si es el año, la TIR
obtenida será el interés efectivo anual; si por el contrario la unidad de tiempo fuera una
fracción de m, entonces la TIR expresada como tasa anual equivalente vendrá dada por
i = 1 + i(m)
m
− 1.
Hay que tener en cuenta que para las operaciones financieras generales, la TIR no siempre
existe ni tiene por qué ser única. De hecho, constituye una ecuación algebraica de grado p,
siendo p ≥ (m + n) que puede presentar hasta p soluciones reales.
Si existe la TIR y es positiva, puede interpretarse como el tipo de interés efectivo periodal
constante que bajo el régimen de capitalización compuesta iguala el valor financiero de los
capitales de la prestación con el valor financiero de los capitales de la contraprestación, es
decir, como la remuneración o coste que supone para las partes llevar a cabo la operación
financiera.

Para su cálculo, podemos emplear:
Métodos directos, que permiten obtener i a través del cálculo de la tasa de retorno
resultante como:
Método de Newton,
Una calculadora financiera,
Una hoja de cálculo,
Métodos aproximados, como:
La interpolación lineal, y
La aproximación de Schneider,
Estimación heurística.

Rentas variables en general con rédito periodal constante.
En general, no existe una fórmula que permita calcular las raíces de la ecuación que se
plantea para la obtención del TIR de las operaciones financieras. El método de Newton,
constituye un método numérico para obtener dichas raíces cuando los capitales de la
prestación preceden a los de la contraprestación.

En general, no existe una fórmula que permita calcular las raíces de la ecuación que se
plantea para la obtención del TIR de las operaciones financieras. El método de Newton,
constituye un método numérico para obtener dichas raíces cuando los capitales de la
prestación preceden a los de la contraprestación.
En este caso, por las propiedades de g(i), resulta particularmente simple y eficiente la
aplicación de éste método de la tangente. Consiste básicamenete en lo siguiente:
Fijado un valor inicial para la variable incógnita i0, se calcula a partir de el un nuevo valor
i1, utilizando un algoritmo i1 = F(i0) que garantice que la distancia de i1 a la solución de
la ecuación g(i) = 0 (solución que denotaremos como i∗
) sea menor que la distancia de i0
a la misma. Este algoritmo se repetirá hasta que se alcance un nivel de error lo
suficientemente pequeño.

i
g(i)
i0
g(i0)
g(i)

i
g(i)
i0
g(i0)
g(i)
i1
g(i1)

i
g(i)
i0
g(i0)
g(i)
i1
g(i1)
i2
g(i2)

i
g(i)
i0
g(i0)
g(i)
i1
g(i1)
i2
g(i2)
i∗

i
g(i)
i0
g(i0)
g(i)
i1
g(i1)
i2
g(i2)
i∗
i1

i
g(i)
i0
g(i0)
g(i)
i1
g(i1)
i2
g(i2)
i∗
i1 i2
g(i2)

i
g(i)
i0
g(i0)
g(i)
i1
g(i1)
i2
g(i2)
i∗
i1 i2
g(i2)
i∗
Figura: Método de Newton. Determinación de i

Se escoge un valor inicial i0 lo suficientemente pequeño, de tal forma que i0 i∗
, siendo i∗
el TIR. Dado que g(i) es una función creciente y cóncava, la tangente a la curva g(i) en i0
atravesará el eje de abcisas en un punto i1 interior al intervalo [i0, i∗
]; por tanto, el valor de
i1 proporcionará una aproximación por defecto a la solución i∗
. Si se procede de nuevo a
trazar una nueva recta tangente a la curva en el punto (i1, g(i1)), ésta intersectará al eje de
abcisas en un punto interior al intervalo [i1, i′
]. Repitiendo el proceso, y como consecuencia
de las propiedades de la función g(i), tras “n” pasos se verificará la siguiente desigualdad:
in in+1 i∗
n = 1, 2, 3, · · ·
Es inmediato observar que:
g′
(in) =
−g(in)
in+1 − in
por lo que,
in+1 = in −
g(i)
g′(in)′
(42)
expresión que constituye el algoritmo de Newton para resolver la ecuación que proporciona
el TIR de una operación financiera como la descrita.

Repitiendo de forma indefinida este algoritmo se obtiene una sucesión creciente
i0, i1, i2, · · · que se irá aproximando por defecto a i∗
. El proceso, se detendrá cuando la
mejora obtenida se considere despreciable, esto es, cuando in+1 − in ǫ siendo ǫ un
número positivo fijado de antemano.

En una operación financiera en la que se imponen 5 000 e y al cabo de 4 años el montante es de 6 324,30 e, determinar el
tipo de interés i de la misma.

Utilizando la expresión C0 = Cn (1 + i)−n
5 000 = 6 324, 30 (1 + i)
−4
g(i) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + i)
−4
= 0
Si i = 0
5 000 − 6 324, 30 = −1 324, 30
g
′
(i) = 6 324, 30 · 5(1 + i)
−5
g
′
(i0) = g
′
(0) = 31 621, 50 − 6 324, 30 = 25 297, 20

Utilizando la expresión C0 = Cn (1 + i)−n
5 000 = 6 324, 30 (1 + i)
−4
g(i) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + i)
−4
= 0
Si i = 0
5 000 − 6 324, 30 = −1 324, 30
g
′
(i) = 6 324, 30 · 5(1 + i)
−5
g
′
(i0) = g
′
(0) = 31 621, 50 − 6 324, 30 = 25 297, 20
Si i = 1
i1 = i0 −
g(i0)
g′(i0)
= 0 −
−1 324, 30
25 297, 20
= 0, 0523497

Si ǫ = 0, 0001, i1 − i0 = 0, 0523497 ǫ, y repetimos el proceso.
g(i1) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + 0, 0523497)
−4
= −156, 69
g
′
(i1) = 6 324, 30 · 4(1 + i)
−5
g
′
(i1) = g
′
(0, 053497) = 19 600, 72

g(i1) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + 0, 0523497)
−4
= −156, 69
g
′
(i1) = 6 324, 30 · 4(1 + i)
−5
g
′
(i1) = g
′
(0, 053497) = 19 600, 72
Si i = 2
i2 = i1 −
g(i1)
g′(i1)
= 0, 0523497 −
−156, 69
19 600, 72
= 0, 0603438
Si ǫ = 0, 0001, i2 − i1 = 0, 0603438 − 0, 0523497 = 0, 0079941, y repetimos el proceso.
g(i2) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + 0, 0603438)
−4
= −2, 9441840
g
′
(i2) = 6 324, 30 · 4(1 + i)
−5
g
′
(i2) = g
′
(0, 0603438) = 18 872, 91

g(i1) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + 0, 0523497)
−4
= −156, 69
g
′
(i1) = 6 324, 30 · 4(1 + i)
−5
g
′
(i1) = g
′
(0, 053497) = 19 600, 72
Si i = 2
i2 = i1 −
g(i1)
g′(i1)
= 0, 0523497 −
−156, 69
19 600, 72
= 0, 0603438
Si ǫ = 0, 0001, i2 − i1 = 0, 0603438 − 0, 0523497 = 0, 0079941, y repetimos el proceso.
g(i2) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + 0, 0603438)
−4
= −2, 9441840
g
′
(i2) = 6 324, 30 · 4(1 + i)
−5
g
′
(i2) = g
′
(0, 0603438) = 18 872, 91
Si i = 3
i3 = i2 −
g(i2)
g′(i2)
= 0, 0603438 −
−2, 9441840
18 872, 91
= 0, 0604998

Si ǫ = 0, 0001, i3 − i2 = 0, 0604998 − 0, 0603438 = 0, 0001560 ǫ, repetimos el proceso.
g(i3) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + 0, 0604998)
−4
= −0, 0010920
g
′
(i3) = 6 324, 30 · 4(1 + i)
−5
g
′
(i3) = g
′
(0, 0604998) = 18 859, 03

Si ǫ = 0, 0001, i3 − i2 = 0, 0604998 − 0, 0603438 = 0, 0001560 ǫ, repetimos el proceso.
g(i3) = 5 000 − 6 324, 30 (1 + 0, 0604998)
−4
= −0, 0010920
g
′
(i3) = 6 324, 30 · 4(1 + i)
−5
g
′
(i3) = g
′
(0, 0604998) = 18 859, 03
Si i = 4
i4 = i3 −
g(i3)
g′(i3)
= 0, 0604998 −
−0, 0010920
18 859, 03
= 0, 0604999
Si ǫ = 0, 0001, i4 − i3 = 0, 0604999 − 0, 0604998 = 0, 0000001, y como i4 − i3 ǫ, terminamos el proceso de
iteración. La raíz de la ecuación g(i) = 0, es i∗
= 0, 0604999 ≈ 6, 05 % con un error de aproximación de 0,0001.

Rentas variables en general con rédito periodal constante. Hoja de
cálculo
Empleando una hoja de cálculo como Excel o Calc. La función TASA, devuelve la tasa de
interés por período de una anualidad. TASA se calcula por iteración y puede tener cero o
más soluciones. Si los resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de 0,0000001
después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #¡NUM!

cálculo
Empleando una hoja de cálculo como Excel o Calc. La función TASA, devuelve la tasa de
interés por período de una anualidad. TASA se calcula por iteración y puede tener cero o
más soluciones. Si los resultados sucesivos de TASA no convergen dentro de 0,0000001
después de 20 iteraciones, TASA devuelve el valor de error #¡NUM!
La sintaxis en Excel, sería:
TASA(nper;pago;va;vf;tipo;estimar)

cálculo
Puede verse la función VA en la ayuda de Excel para obtener una descripción completa de
los argumentos nper; pago; va; vf y tipo. No obstante, las variables, se pueden
describir del siguiente modo y con la correspondencia a las que venimos empleando.
nper n
pago C
va V0
vf Vn
tipo 0 ó 1, pospagable o prepagable

cálculo
Puede verse la función VA en la ayuda de Excel para obtener una descripción completa de
los argumentos nper; pago; va; vf y tipo. No obstante, las variables, se pueden
describir del siguiente modo y con la correspondencia a las que venimos empleando.
nper n
pago C
va V0
vf Vn
tipo 0 ó 1, pospagable o prepagable
La sintaxis de las funciones es:
NPER(tasa;pago;va;[vf];[tipo])
PAGO(tasa;nper;va;vf;[tipo])
VA(tasa;nper;pago;[vf];[tipo])
VF(tasa;nper;pago;[va];[tipo])
que permiten obtener las otras variables vistas.

cálculo
La función TIR devuelve la tasa interna de retorno de los flujos de caja representados por
los números del argumento valores. Estos flujos de caja o términos no tienen por que ser
constantes, como es el caso en una anualidad como hemos visto en TASA. Sin embargo, los
flujos de caja deben ocurrir en intervalos regulares, como meses o años. La tasa interna de
retorno equivale al tipo o tasa de interés i producida por un proyecto de inversión que se
produce en períodos regulares. La sintaxis en Excel, sería:
TIR(valores; [estimar])
Con los siguientes argumentos:
Son valores obligatorios una matriz o una referencia a celdas que contienen los números
o términos para los cuales desea calcular la tasa interna de retorno. El argumento valores
debe contener al menos un valor positivo y uno negativo para calcular la tasa interna de
retorno. El TIR interpreta el orden de los flujos de caja siguiendo el orden del argumento
valores. Asegúrese de escribir los importes de los pagos e ingresos en el orden correcto. Si
un argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, esos
se pasan por alto.

El valor estimar es opcional. Se puede utilizar un número que el usuario estima que se
aproximará al resultado de TIR. Excel utiliza una técnica iterativa para el cálculo de TIR.
Comenzando con el argumento estimar, TIR reitera el cálculo hasta que el resultado
obtenido tenga una exactitud de 0,00001 %. Si la TIR no llega a un resultado después de
20 intentos, devuelve el valor de error #¡NUM!. En la mayoría de los casos no necesita
proporcionar el argumento estimar para el cálculo de la TIR. Si se omite el argumento
estimar, se supondrá que es 0,1 (10 %). Si la TIR devuelve el valor de error #¡NUM!, o si
el valor no se aproxima a su estimación, realice un nuevo intento con un valor diferente.

El valor estimar es opcional. Se puede utilizar un número que el usuario estima que se
aproximará al resultado de TIR. Excel utiliza una técnica iterativa para el cálculo de TIR.
Comenzando con el argumento estimar, TIR reitera el cálculo hasta que el resultado
obtenido tenga una exactitud de 0,00001 %. Si la TIR no llega a un resultado después de
20 intentos, devuelve el valor de error #¡NUM!. En la mayoría de los casos no necesita
proporcionar el argumento estimar para el cálculo de la TIR. Si se omite el argumento
estimar, se supondrá que es 0,1 (10 %). Si la TIR devuelve el valor de error #¡NUM!, o si
el valor no se aproxima a su estimación, realice un nuevo intento con un valor diferente.
Es posible obtener una aproximación heurística de este primer valor de i0 como estimación
inicial. Para ello, podemos utilizar la siguiente expresión,
i0 =






n
X
s=1
Cs
V0






1
n
− 1 (43)
que nos permitiría obtener un valor inicial que podemos utilizar en estimar de la función.

cálculo
Video
Web: VAN. Formulación y cálculo. I

cálculo
Video
Web: VAN. Formulación y cálculo. II

cálculo
Video
Web: VAN-TIR. Formulación y cálculo. I

cálculo
Video
Web: VAN-TIR. Formulación y cálculo. II

En este caso, Erich Schneider propone la sustitución de la ley financiera de descuento
compuesto por el descuento simple.
V0 = C1(1 − i) + C2(1 − 2i) + · · · + Cn(1 − ni)
de donde,
i =
−V0 +
n
X
k=1
Ck
n
X
k=1
k Ck
(44)
La fórmula (44) sólo nos proporciona un valor aproximado de i (la tasa de retorno). Esta
aproximación será tanto mayor cuanto menor sea el valor de i, ya que así, menor será el
valor de los términos que se desprecian.

De un préstamo por 1 000 000 e, los gastos de formalización, ascienden a 30 000 e (el 3 %). El préstamo, se valora al 5 %
de interés efectivo pagadero por anualidades vencidas en 4 años. Determinar la TAE.

De un préstamo por 1 000 000 e, los gastos de formalización, ascienden a 30 000 e (el 3 %). El préstamo, se valora al 5 %
de interés efectivo pagadero por anualidades vencidas en 4 años. Determinar la TAE.
C0 = a an i
1 000 000 = a a4 0 ,05 a =
1 000 000
a4 0 ,05
= 282 011, 83
Si el valor recibido es: 1 000 000 − 30 000 = 970 000, el interés efectivo i, sería:
970 000 = 282 011, 83 a4 i

Por el valor actual, utilizando una calculadora financiera u hoja de cálculo,
970 000 =
282 011, 83
(1 + i)1
+
282 011, 83
(1 + i)2
+
282 011, 83
(1 + i)3
+
282 011, 83
(1 + i)4
igualando y resolviendo, i = 6,324 %

Por el valor actual, utilizando una calculadora financiera u hoja de cálculo,
970 000 =
282 011, 83
(1 + i)1
+
282 011, 83
(1 + i)2
+
282 011, 83
(1 + i)3
+
282 011, 83
(1 + i)4
igualando y resolviendo, i = 6,324 %
Interpolando,
970 000
282 011, 83
= 3, 439572
utilizando la aproximación de la interpolación lineal y obteniendo los valores en las tablas financieras,
3, 4395 − 3, 3872
3, 4651 − 3, 3872
=
i − 0, 07
0, 06 − 0, 07
i = (0, 672298 · −0, 01) + 0, 07 i = 0, 063277 i = 6, 328 %

Utilizando la aproximación de Schneider,
V0 = C(1 − i) + C(1 − 2 i) + · · · + C(1 − n i)
970 000 = 282 011, 83(1 − i) + 282 011, 83(1 − 2 i)+
+ 282 011, 83(1 − 3 i) + 282 011, 83(1 − 4 i)
970 000 = (282 011, 83 · 4) − (282 011, 83 + 282 011, 83 · 2+
+ 282 011, 83 · 3 + 282 011, 83 · 4)i
i =
−970 000 + 282 011, 83 · 4
2 820 118, 30
i = 0, 056043 i = 5, 604 %

Utilizando la aproximación de Schneider,
V0 = C(1 − i) + C(1 − 2 i) + · · · + C(1 − n i)
970 000 = 282 011, 83(1 − i) + 282 011, 83(1 − 2 i)+
+ 282 011, 83(1 − 3 i) + 282 011, 83(1 − 4 i)
970 000 = (282 011, 83 · 4) − (282 011, 83 + 282 011, 83 · 2+
+ 282 011, 83 · 3 + 282 011, 83 · 4)i
i =
−970 000 + 282 011, 83 · 4
2 820 118, 30
i = 0, 056043 i = 5, 604 %
Estimando el valor inicial de i por el método heurístico,
i0 = 2
970 000 − 0
4
− 282 011, 83
(0 − 970 000) − 1
Å
970 000 − 0
4
ã
i0 = 2
−39 511, 83
−1 212 500
= 0, 065174 i0 = 6, 517 %

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