Guia rapida de matlab (comandos basicos, graficacion y programacion)

Gu´ R´pida de Matlab
ıa a

´
Oscar Angulo, Eduardo Cuesta,
Cesar Gutierrez y Mar´ del Carmen Mart´
´ ´ ıa ınez

diciembre de 2001

Pr´logo
o

Este libro inicia una serie de gu´ dedicadas a MATLAB.
ıas

El objetivo de esta gu´ es servir de apoyo para el manejo de MATLAB en las asignaturas en las que se emplea el citado
ıa
software y en las que las limitaciones de tiempo no permiten una dedicaci´n muy exhaustiva a su explicaci´n. Hemos
o o
pretendido mostrar en esta gu´ los comandos y estructuras b´sicas de MATLAB de una manera clara y concisa con
ıa a
algunos ejemplos que hemos considerado interesantes. Pretendemos as´ mismo que esta gu´ sea una gu´ viva que siga
ı ıa ıa
evolucionando con el tiempo, como lo ha hecho hasta ahora, gracias a la experiencia en el uso docente de MATLAB y
gracias a las sugerencias de compa˜eros y alumnos a los cuales les queremos mostrar nuestro agradecimiento.
n

Valladolid, diciembre de 2001
Los Autores

Gu´ R´pida de Matlabdvips .
ıa a 1

m
at

.

No est´ permitida la reproducciń total o parcial de esta gu´ ni su tratamiento inform´tico, ni la transmisiń de
a o ıa, a o
ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrńico, mecńico, por fotocopia, por registro u otros m´todos, ni
o a e
su pr´stamo, alquiler o cualquier otra forma de cesiń de uso del ejemplar, sin el permiso previo y por escrito de los
e o
titulares del Copyright.

´
Angulo Torga, Oscar; Cuesta Montero, Eduardo; Guti´rrez Vaquero, C´sar; Mart´
e e ınez Mart´
ınez, Mar´ del Carmen:
ıa
Profesores del Departamento de Matem´tica Aplicada a la Tćnica; Valladolid, 2001.
a e
´
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID. INSTITUTO DE INVESTIGACION DE CIENCIAS DE LA EDUCACION. ´

ISBN: 84-

Imprime: Servicio Reprograf´ COPIPAUMA
ıa

ıa a 2

Contenidos

1 Introducciń a MATLAB
o 4
1.1 Comentarios previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Iniciando y finalizando una sesiń con MATLAB
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 El entorno gr´fico de MATLAB bajo Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 5
1.4 Entorno gr´fico de MATLAB para Linux
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Breve Introducciń a la Programaciń en MATLAB
o o 7
2.1 Principios con MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Entrada y salida en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Aritm´tica elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 7
2.1.3 Diferentes formatos para los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Asignaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Ficheros *.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Estructuras de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Lectura y escritura de datos (Entrada/salida de datos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.1 Escritura de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.2 Lectura de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Programaciń modular: Funciones
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Otras Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Gr´ficos con MATLAB
a 20
3.1 Gr´ficos de dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 20
3.1.1 El comando plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Opciones del comando plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3 Otros comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Gr´ficos con n´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a u 25
3.3 Gr´ficos en otros sistemas coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 27
3.4 Controlando los gr´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 28
3.5 Dibujando curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Gr´ficos en 3-D
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 Control del color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8 Copia de la ventana gr´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 45

ıa a 3

Cap´
ıtulo 1

Introducciń a MATLAB
o

1.1 Comentarios previos
Comencemos destacando que la filosof´ del entorno MATLAB no es la de otros paquetes de matem´ticas usuales,
ıa a
tales como Derive, Maple o Mathematica.
Su filosof´ se asemeja m´s a la de un lenguaje de programaciń que al de un paquete estńdar de matem´ticas
ıa a o a a
pues, aunque podemos ejecutar desde la linea de comandos mediante los nombres de dichos operaciones como en los
paquetes mencionados, lo habitual con MATLAB es crear un fichero de texto externo que contenga la secuencia de
comandos que se desea ejecutar y llamar a este “programa” desde MATLAB.
Algunas de las ventajas e inconvenientes de MATLAB son:

1) Ventajas que el entorno MATLAB tiene frente a un lenguaje de programaciń:
o

(a) No hay que definir el tipo de las variables que se van a utilizar, ni el tamaõ de las mismas.
n

(b) No hay que compilar los programas, como ocurre en los entornos de programaciń.
o

(c) Se pueden utilizar extens´
ısimas librer´ de funciones ya definidas.
ıas

(d) Presenta un manejo muy prćtico de vectores y matrices.
a

2) Frente a un lenguaje de programaciń no presenta incovenientes destacables.
o Adem´s las sentencias y las
a
estructuras que se manejan son muy similares a las que se usan en el entorno de C.

Algunos de los inconvenientes frente a otros paquetes inform´ticos son, entre otros:
a

(a) Al no estar pensado para el trabajo en linea de comandos no presenta ningń men´ de acceso r´pido a
u u a
procedimientos de uso frecuente (como el que tiene por ejemplo Derive).

(b) No posee una librer´ de c´lculo simb´lico propio por lo que recurre a comandos de Maple. No obstante,
ıa a o
este no es el fin ´ltimo de este programa y hay otros en el mercado m´s optimizados para este tipo de
u a
c´lculos.
a

1.2 Iniciando y finalizando una sesiń con MATLAB
o
MATLAB se arranca pulsando con el ratń en el icono correspondiente, e inmediatamente aparece la pantalla de la
o
figura ??.
Cualquier comando que se escribe tras el cursor de MATLAB ser´ procesado cuando se presione la tecla [ENTER].
a
Por ejemplo, el comando que hay que ejecutar para salir de MATLAB es quit:

>> quit [ENTER]

ıa a 4

1.3 El entorno gr´fico de MATLAB bajo Windows
a m
at

Si se necesita detener la ejecuciń de un programa o de un comando MATLAB antes de su finalizaciń normal es
o o
necesario presionar simultńeamente la tecla [CTRL] y la tecla [C]. MATLAB detiene as´ cualquier comando o programa
a ı
que estuviera ejecutńdose en ese momento y devuelve el cursor a su estado original quedando preparado para ejecutar
a
el siguiente comando.

1.3 El entorno gr´fico de MATLAB bajo Windows
a
La ventana de trabajo de MATLAB es una cl´sica ventana de Windows en la que aparece un men´ de opciones y unos
a u
cuantos botones de acceso r´pido.
a
El men´ de opciones se compone de cinco submen´s
u u File , Edit , View, Window y Help , cada uno de ellos con
las siguientes opciones

• Men´ File : Con esta opciń se puede, entre otras
u o
cosas crear un nuevo elemento (bien un fichero
M-File, una figura o un modelo de Simulink);
abrir una nueva sesiń, o un fichero M-File; gra-
o
bar, leer o mostrar el campo de trabajo (variables
utilizadas); seleccionar el directorio de trabajo;
seleccionar diversas preferencias, que van desde el
color de la pantalla hasta el tipo de datos con los
que trabaja por defecto; imprimir el documento
activo, una selecciń o elegir las preferencias de
o
impresiń; los ´ltimos archivos utilizados; y aban-
o u
donar el programa.

• Men´ Edit :
u Posee las opciones de un edi-
tor cl´sico de textos para Windows, seleccionar
a
un texto (con los cursores o el ratń), cortar
o
un texto, copiar o pegar lo que tengamos se-
leccionado en el portapapeles, deshacer la ´ltima
u
acciń, seleccionar todo el documento o bien bor-
o
rar las variables de la sesiń.
o

ıa a 5

a m
at

• Men´ Help : Muestra todas las ayudas que nos
u
ofrece MATLAB y sobre las que nos extendere-
mos algo m´s en la ´ltima parte de esta intro-
a u
ducciń.
o

Diversas operaciones se pueden realizar a trav´s de los botones de acceso r´pido, como abrir una nueva sesiń,
e a o
imprimir un fichero, obtener ayuda, seleccionar un nuevo directorio de trabajo o ver el n´mero de variables que
u
estamos utilizando en este momento.

a
Seãlemos para los usuarios de Linux que algunas versiones antiguas de MATLAB no incluyen un editor propio como
n
el descrito para Windows por lo que utilizaremos cualquiera de los que Linux tiene disponibles (joe, vi, kedit,...). En
este caso, la ventana de trabajo tendra una presentaciń similar a la siguiente:
o
Destaquemos por ´ltimo que tanto bajo Windows como bajo Linux se puede utilizar cualquier editor que permita
u
grabar los ficheros en formato ASCII para elaborar nuestros programas.

ıa a 6

Cap´
ıtulo 2

Breve Introducciń a la Programaciń
o o
en MATLAB

2.1 Principios con MATLAB
2.1.1 Entrada y salida en MATLAB
Al arrancar MATLAB aparecer´ el s´
a ımbolo del sistema (adem´s de algunos mensajes)
a

>>

El s´
ımbolo >> determina la linea de comandos donde podremos escribir y ejecutar los comandos. Para salir de
MATLAB teclearemos:

>> quit [ENTER]

2.1.2 Aritm´tica elemental
e
Comenzaremos viendo con varios ejemplos que las operaciones aritm´ticas habituales se realizan del modo esperado
e
con los operadores

suma: +, resta: −, producto: ∗, divisiń: /, y exponencianciń: ˆ.
o o

Escribamos en linea de comandos lo siguiente:

>> 1+2 [ENTER] Suma de dos enteros.
ans = 3
>> sin(pi/2) [ENTER] Seno de π/2.
ans = 1
>> 2.45*3.1415 [ENTER] Producto de dos n´meros reales.
u
ans = 7.6967
>> 2,34*3 [ENTER] Ponemos una coma en lugar de un punto
ans = 2
ans = 102 ¿Qu´ ha hecho MATLAB?
e
>> 2E-2*3E8 [ENTER] Uso del exponente.

ıa a 7

2.1 Principios con MATLAB m
at

ans = 6000000
>> log(10) [ENTER] Logaritmo neperiano.
ans = 2.3026
>> (3+2^3*i)+(-1+5*i) [ENTER] Suma de complejos.
ans = 2.0000+13.0000i
>> (1-2*i)*(2+2*i) [ENTER] Producto de complejos.
ans = 6.0000-2.0000i

Existen otras muchas funciones disponibles en MATLAB y que son an´logas a las que maneja Derive, Maple u
a
otros; as´ por ejemplo:
ı

arco seno: asin(x), arco tangente: atan(x), ra´ cuadrada: sqrt(x), logaritmo en base 10: log10(x), . . .
ız

Si no queremos que aparezca por pantalla el resultado de una operaciń tendremos que poner al final de la linea
o
punto y coma ”;” .

>> tan(pi/4) [ENTER] Tangente de π/4.
ans = 1.0000
>> tan(pi/4); [ENTER] La misma operaciń pero sin salida por pantalla.
o
>>

2.1.3 Diferentes formatos para los datos
Existen diferentes formatos de salida para los datos en MATLAB. Veamos algunos ejemplos.

>> d=1/33
d= 0.0303
>> format long, d [ENTER] Formato largo.
d= 0.03030303030303
>> format short e, d [ENTER] Formato corto con mantisa y exponente.
d= 3.0303e-002
>> format long e, d [ENTER] Formato largo con mantisa y exponente.
d= 3.030303030303030e-002
>> format rat, d [ENTER] Formato racional.
d= 1/33

Se puede realizar algunas ”operaciones” con alguna indeterminaciń.
o

>> 1/0 [ENTER] Divisiń por cero.
o
ans = Inf
>> 5*Inf [ENTER] Multiplicaciń por infinito.
o
ans = Inf

Para la primera de ellas nos avisa que divide por cero.

ıa a 8

2.2 Asignaciones m
at

2.2 Asignaciones
Uno de los elementos fundamentales en la programaciń son la variables:
o
Variable: Objeto que puede tomar el mismo valor a lo largo de todo el programa o bien puede ir cambiando al
ejecutar diferentes acciones.
El nombre de cada variable puede ser el que el programador quiera siempre que no coincida con alguna palabra
clave de MATLAB, en cuyo caso nos informar´ mediante un mensaje de error. De todos modos es recomendable que
a
el nombre que elijamos para cada variable sea alusivo a su contenido o a su aplicaciń.
o
Destaquemos un hecho importante: MATLAB distingue entre may´sculas y min´sculas por lo que
u u x y X no serń
a
las mismas variables ni lo serń tampoco
a Nodos, nodos y NODOS.
Para realizar la asignaciń de valores a las variables en MATLAB no hace falta declarar el tipo de dato que se va a
o
asignar (entero, real, complejo o carćter) ni el tamaõ del mismo (escalar, vector o matriz del tamaõ que sea).
a n n
Seudoc´digo: La asignaciń de un valor
o o a a una variable llamada VARIABLE escribiremos

VARIABLE ←− a

donde a puede ser una constante, el valor de otra variable o el valor de una expresiń aritm´tica.
o e

1) Comencemos con algunos ejemplos elementales de asignaciones y alguna de las operaciones que se pueden
realizar.

>> a=2 [ENTER] Asignaciń del valor 2 a la variable a.
o
a= 2
>> x=a [ENTER] Asignaciń del valor 2 a la variable x.
o
x= 2
>> x=x+2 [ENTER] Asignaciń del valor 4 a la variable x.
o
x= 4
>> b=1:1:10 [ENTER] Asignamos a b el vector de datos [1,2,3,4,...,10]
b= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> a+b [ENTER] Sumamos un escalar y un vector.
ans = 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ¿Qu´ ha hecho MATLAB?
e
>> a*b [ENTER] Producto de un vector y un escalar.
ans = 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2) Si sumamos vectores de tamaõ diferente tenemos lo siguiente.
n

>> c=1:5:25 [ENTER] Declaramos el vector c.
c= 1 6 11 16 21
>> b+c [ENTER] Sumamos los vectores b y c.
??? Error using ==> +
Matrix dimensions must be agree

3) Podemos multiplicar vectores, bien como producto escalar de ellos o bien componente a componente.

>> b=0:2:20 [ENTER] Declaramos el vector b.
b= 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
>> c=0:1:10 [ENTER] Declaramos el vector c.
c= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> b.*c [ENTER] Producto de dos vectores componente a componente.
ans = 0 2 8 18 ...200

ıa a 9

2.2 Asignaciones m
at

>> b’*c [ENTER] Matriz resultado de multiplicar b traspuesto por c (ver
pantalla)
>> b*c’ [ENTER] Producto de b por c traspuesto (producto interior)
ans = 770

4) No s´lo se pueden sumar vectores o multiplicar por una constante si no que se puede calcular el logaritmo de un
o
vector o el seno de un vector, etc... obteniendo el logaritmo o el seno de cada una de sus componentes.

>> b=1:10; [ENTER] Declaramos el vector b.
>> log(b) [ENTER] Logartimo del vector b.
ans = Columns 1 through 7 Siete primeras columnas.
0 0.6931 ...1.9459
Columns 8 through 10 Tres ´ltimas columnas.
u
2.0794 2.1972 2.3026
>> sin(b) [ENTER] Seno del vector b.
ans = Columns 1 through 7 Siete primeras columnas.
0.8415 0.9093 ...0.6570
Columns 8 through 10 Tres ´ltimas columnas.
u
0.98954 0.4121 -0.5440
>> c=1:1:5 [ENTER]
c= 1 2 3 4 5
>> 2.^c [ENTER] 2 elevado a las potencias que determina c.
ans = 2 4 8 16 32
>> c.^ 2 [ENTER] Las componentes de c elevadas al cuadrado.
ans = 1 4 9 16 25

Un punto delante de los operadores .*, .^ y ./ indica que las operaciones se realizan componente a componente
en los vectores o las matrices.

5) En relaci´n a la aritm´tica matricial mostramos algunas de las funciones m´s habituales.
o e a

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] [ENTER] Definici´n de la matriz A.
o
A= 1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> A(2,2) [ENTER] Elemento (2,2) de la matriz A.
ans = 5
>> A(:,3) [ENTER] Muestra la tercera columna de la matriz A.
ans = 3
6
9
>> size(A) [ENTER] Tama~o de la matriz A.
n
ans = 3 3
>> B=[1 2 1;2 1 2;1 2 1] [ENTER]
B= 1 2 1
2 1 2
1 2 1
>> A*B [ENTER] Producto matricial habitual.

ıa a 10

2.3 Ficheros *.m m
at

ans = 8 10 8
20 25 20
32 40 32

Un comando de uso frecuente es who que nos permite conocer el n´mero y nombre de las variables usadas a lo
u
largo del programa o de la sesiń. Su formato es:
o

>> who [ENTER]
Your variables are:
A u vfil x
ans vcol w y
donde las variables corresponden a otra ejecuciń del programa.
o
El comando whos nos muestra, adem´s del nombre de las variables, informaciń adicional de cada variable, distin-
a o
guiendo si es vector o escalar.

>> whos [ENTER]
Name Size Bytes Class

A 3x4 96 double array
ans 4x1 32 double array
u 1x1 8 double array
Grand total is 28 elements usign 224 bytes
vcol 4x1 32 double array
vfil 1x4 32 double array
w 1x1 8 double array
x 1x1 8 double array
y 1x1 8 double array
Debemos tener en cuenta que MATLAB en cada sesiń mantiene en memoria todas las variables utilizadas hasta
o
ese momento y que ńicamente el comando
u clear hace que elimine el valor de todas las variables.
>> clear [ENTER]

Si ahora tecleamos who no se produce ninguna salida.

2.3 Ficheros *.m
Como ya hemos dicho la filosof´ de MATLAB se asemeja m´s a la de un lenguaje de programaciń que a la de un
ıa a o
software matem´tico de resoluciń de problemas simb´licos. En concreto, permite ejecutar una secuencia de comandos
a o o
escritos en un fichero ASCII sin m´s que hacer una llamada al mismo, como si se tratase de un programa en lenguaje
a
C, Fortran u otros, pero sin necesidad de ”linkar” y ”compilar” dicho fichero.
Estos ficheros se pueden editar con cualquier editor o procesador de textos, como el que incluye el propio MATLAB,
el usual Word (siempre que almacenemos el fichero sin formato), edit (de MSDOS), kedit, joe, vi,. . . , siempre que
permita guardalo en formato texto.
Un sencillo ejemplo nos pertimitir´ aclarar estas ideas.
a

1) En primer lugar abrimos un fichero con el editor elegido.

2) Tecleamos lo siguiente:

numerador=12^3 % Asignamos el valor 12^3 a la variable numerador.
denominador=3.2E-3 % Asignamos el valor 3.2E-3 a la variable denominador.

x = numerador/denominador % Calculamos la division de la anteriores variables.

ıa a 11

2.4 Estructuras de control m
at

3) Grabamos el fichero en el directorio en el que hemos arrancado MATLAB con el nombre “prueba1.m”. Es
un error frecuente grabar el fichero en un directorio diferente al que tenemos fijado para MATLAB. Si no se
hubiese grabado en ese directorio podemos cambiar desde MATLAB el directorio de trabajo haciendo uso de los
comandos del sistema (para LINUX: ls, cd, mv,. . . para WINDOWS: dir, cd, move,. . . )

4) Volvemos a la ventana de MATLAB y tecleamos

>> prueba1
numerador = 1728
denominador = 0.0032
x= 540000

En lo sucesivo ´sta ser´ la forma de trabajar con MATLAB: escribir en un fichero la secuencia de comandos que
e a
vamos a ejecutar. Con este planteamiento elaboraremos programas (secuencia de comandos) que nos permitan resolver
problemas con un cierto grado de complejidad.

2.4 Estructuras de control
´
Las estructuras de control permiten organizar adecuadamente las acciones a realizar por el procesador. Estas son de
tres tipos:

• Secuenciaciń: Es la estructura de control m´s sencilla y fćil de utilizar y
o a a
consiste en la enumeraciń consecutiva de acciones a realizar.
o
No existe seudoc´digo expl´
o ıcito para esta estructura aparte de
la propia escritura de las acciones

• Selecciń: Esta estructura actá sobre una proposiciń o condiciń boo-
o u o o
leana con dos posibles valores mutuamente excluyentes: Ver-
dadero o Falso
Si C es la condiciń y A y B son las acciones o secuencia de acciones
o

´
SEUDOCODIGO: ´
CODIFICACION EN MATLAB:
si C entonces if C
acciń A
o acciń A
o
sino else
acciń B
o acciń B
o
finsi end

Como ejemplo escribamos el siguiente fichero

if n>2 % Si el valor de n es menor que 2 haz:
disp(’Has cometido un error’) % Muestra un mensaje por pantalla.
end

if n>0 & n<2 % Si n>0 Y n<2 entonces haz...
disp(’Has acertado’)
end

if n<-2 | n>10 % Si n<-2 O n>10 entonces haz...

ıa a 12

at

disp(’Es otra prueba’)
end

Observemos que la opcion else no es necesario utilizarla. Veamos otro ejemplo con la opciń else.
o

if n>0 & n<2 % Si n>0 y n<2 entonces haz...
disp(’Estas en el intervalo’)
else % en caso contrario haz...
disp(’No estas en el intervalo’)
end

Las estructuras de selecciń se pueden anidar de diferentes formas. Mostramos una de esas posibilidades.
o

´
SEUDOCODIGO:
si C1 entonces ´
acciń A1
o if C1
sino acciń A1
o
si C2 elseif C2
acciń A2
o acciń A2
o
finsi else
acciń A3
o acciń A3
o
finsi end

Como ejemplo podemos escribir el siguiente fichero.

if abs(x)<2 % Si el valor absoluto de x es menor que 2 haz
disp(’La variable x esta acotada’)
elseif x>-3 % Si no es as’{i} y si x>-3 haz
disp(’La variable no esta acotada’)
end

Existen otras estructuras de selecciń con fines m´s espec´
o a ıficos como es la estructura switch que se puede
consultar en cualquier manual de MATLAB.

• Iterativa. La estructura iterativa responde al caso de las acciones consis-
tentes en la repeticiń de una o de varias subacciones
o
Existen varios tipos de estructuras iterativas que se pueden englobar en una sola pero nosotros vamos a presentar
los casos particulares m´s habituales:
a

1) Sin n´mero predeterminado de iteraciones y con la condiciń al principio. Si C es la condiciń y A es la
u o o
acciń o secuencia de acciones:
o
´
SEUDOCODIGO: ´
mientras C hacer while C
acciń A
o acciń A
o
finmientras end

ıa a 13

at

Proponemos el siguiente ejemplo

n=1;

while prod(1:n)<1e100
n=n+1;
disp(’Nos llegamos en’),n
end
2) Sin n´mero predeterminado de iteraciones y con la condiciń al final. Si C es la condiciń y A es la acciń
u o o o
o secuencia de acciones:
´
´
SEUDOCODIGO: while 1
hacer acciń A
o
acciń A
o if C,break, end
mientras C end

3) Con n´mero predeterminado de iteraciones. Esta estructura repite una acciń o una secuencia de ellas un
u o
n´mero fijo de veces que viene determinado por una variable
u contador que toma valores entre un valor
inicial vi y un valor final vf, cuando la variable contador se incrementa un valor paso que puede ser
negativo.
Si A es una acciń o secuencia de acciones:
o
´
SEUDOCODIGO:
para contador=vi hasta vf incr. paso ´
hacer for contador=vi,vf,paso
acciń A
o acciń A
o
finpara end

Como ejemplo editemos el fichero prueba.m con los siguientes comandos

for n=1:1:10 % Cuenta desde 1 hasta 10 de 1 en 1.
y(n)=n^2; % Declara un vector cuyas componentes son de la forma n^2.
x(n)=2*y(n); % Declara un vector cuyas componentes son de la forma 2*y_n.
end % Fin del bucle.

y,x % Muestra por pantalla los vectores declarados.

Ejecutamos en MATLAB el fichero prueba y obtenemos lo siguiente

>> prueba [ENTER]
y = 1 4 9 16...100
x= 2 8 18...200
A diferencia de lo que ocurre con algunos lenguajes de programaciń y con la mayor parte del software
o
matem´tico, la variable
a contador puede recorrer los valores que queramos como se muestra en el siguiente
ejemplo (modificamos el fichero anterior).

for n=[1 3 7 2 5.5 3] % Recorre los valores 1 3 7 2 5.5 y 3 de n.
x(n)=2*n; % Declara un vector .
end % Fin del bucle.

ıa a 14

2.5 Lectura y escritura de datos (Entrada/salida de datos) m
at

x % Muestra por pantalla los vectores declarados.

La ejecuciń del fichero prueba muestra
o

>> prueba [ENTER]
x= 2 4 6 0 0 11 14
>> prueba [ENTER]
Destaquemos que el vector muestra los valores ordenados desde la primera componente hasta la ´ltima que
u
contiene la variable n (contador), en el caso de encontrarse ´ ındices no enteros redondea (de todos modos
se avisa con un warning) y en el caso de faltar ´
ındices ´stos se rellenan con valores nulos.
e

2.5 Lectura y escritura de datos (Entrada/salida de datos)
2.5.1 Escritura de datos
La escritura de datos nos permite enviar el valor de una o m´s variables externamente, bien a la pantalla del ordenador,
a
bien a un fichero.
seudoc´digo. Si el nombre de la variable es
o VARIABLE la acciń escritura se escribe como
o

escribe VARIABLE

1) Para que el valor de VARIABLE aparezca por pantalla bastar´ teclear el nombre de la variable
a

>> VARIABLE [ENTER]

2) Para escribir el valor de una variable en un fichero con un formato establecido utilizaremos los siguientes comandos:

• Abrimos el fichero en el que vamos a guardar los datos:
>> fid=fopen(’nombre-fichero’,permisos)
donde

– fid es el identificador que Matlab utiliza para reconocer el fichero.
– nombre-fichero es el nombre con el que aparecer´ en nuestro directorio
a
– permiso es un cadena que indica la operaciń a realizar con el fichero,
o
’r’ −→ Lectura
’w’ −→ Escritura (se crea si es necesario)
’a’ −→ Aãdir a un fichero ya existente (se crea si es necesario)
n
’r+’ −→ Lectura y escritura
’w+’ −→ Trunca el fichero o lo crea para lectura o escritura
’a+’ −→ Lectura y aãdir a un fichero ya existente (se crea si es necesario)
n
• Escribimos el contenido de la variable o variables datos con el formato que indiquemos en format con el
siguiente comando

>> fprintf(fid,format,datos)
• Cerramos el fichero abierto con el comando
>> fclose(fid)
En caso de que se produzca algń error al cerrar el fichero MATLAB devolver´ el valor
u a −1 y si no es as´
ı
devolver´ 0.
a

ıa a 15

at

Editemos un fichero que haga uso de los anteriores comandos

t=0:1:10 % Crea un vector con los datos 0,1,2,3,...,10.
y=t.^2 % Crea un vector con los datos 0,1,4,9,...,100.

fid=fopen(’parabola.dat’,’w’) % Crea un puntero a un fichero llamado
% parabola.dat para escribir en el (w)

x=[t;y]; % Crea la matriz de datos que vamos a escribir en
% el fichero.

fprintf(fid,’%1.1f % 2.6e’,x) % Escribe en el fichero los datos con el
% siguiente formato:
% La primera columna [un entero].[un decimal]
% La segunda [dos enteros].[6 decimales en
% modo exponencial]

fclose(fid) % Manda los datos al fichero fid

En los manuales se pueden encontrar m´s detalles sobre el formato de los datos.
a

Cuando no sea necesario manejar directamente un fichero con los datos sino que ńicamente necesitamos guardar
u
los datos para otra su uso en otra sesiń, podemos utilizar el comando
o save. El formato se muestra en el siguiente
ejemplo:

>> a=[1 2 3;4 5 6]; Crea la variable a
>> b=2:2:10; Crea la variable b
>> save datos1 Guarda el valor de todas las variables en el fichero datos1.mat
>> save datos2 a Guarda en el fichero datos2 la variable a
>> clear eliminamos todas las variables
>> whos No hay variables declaradas
>> load datos2 El comando load lee el fichero de datos datos2.mat
>> a
a= 1 2 3
4 5 6
>> clear
>> load datos1
>> a,b
a= 1 2 3
4 5 6
b= 2 4 6 8 10

Otras opciones como el comando diary se pueden consultar en los manuales.

ıa a 16

at

2.5.2 Lectura de datos
La lectura de datos nos permite asignar un valor a una o a m´s variables mediante acciones externas. bien desde el
a
teclado del ordenador ´ bien desde un fichero.
o
seudoc´digo. Si el nombre de la variable es
o VARIABLE la acciń lectura se escribe como
o

lee VARIABLE

1) El comando de MATLAB para la lectura de un dato desde el teclado es input que se utiliza como aparece en
el ejemplo

>> z=input(’El valor de la variable z es:n’) [ENTER]
El valor de la variable z es:
12
z= 12

2) Para leer el valor de una variable en un fichero con un formato establecido se puede utilizar el comando load.
Mostremos el siguiente ejemplo: Dado el fichero data.dat

1 2 3
4 5 6
7 8 9

podemos teclear

>> load data.mat [ENTER] Carga los datos del fichero data.dat en la variable
data
>> data
data = 1 2 3
4 5 6
7 8 9

3) Otra opciń para leer el valor de una variable en un fichero con un formato establecido hace uso de los comandos
o
descritos para la apertura y el cierre de un fichero, y de otro para la lectura propiamente dicha, en concreto:

>> A=fscanf(fid,format,tama~o)
n

donde

• fid es el identificador del fichero.
• format es un cadena con las mismas opciones que fprintf.
• tama~o es un argumento optativo que permite limitar el n´mero de datos leidos. El valor que puede tomar
n u
este argumento es uno de los siguientes

– N: Lee un vector de hasta N componentes.
– inf: Lee datos hasta el final del fichero.
– [N,M]: Lee una matriz de tamaõ N x M por columnas (M puede se inf).
n

En el siguiente ejemplo se muestra como se puede leer el fichero creado en el ejemplo anterior

ıa a 17

o m
at

fid=fopen(’parabola.dat’,’r’) % Crea un puntero a un fichero llamado
% parabola.dat para leer de ’el (r)

z=fscanf(fid,’%1.1f %2.6e’,11) % Lee del fichero los datos con el
% siguiente formato:
% La primera columna [un entero].[un decimal]
% La segunda [dos enteros].[6 decimales en
% modo exponencial]

fclose(fid) % Cierra el fichero identificado por fid

o
En programaciń, al realizar una operaciń, aparecen con frecuencia los siguientes problemas:
o o

• La tarea debe realizarse varias veces.

• Dicha tarea es realizada en varios programas.

• Aparece en el contexto de un programa muy extenso que conviene simplificar.

Para resolver este tipo de problemas se usan lo que se llaman funciones que no son m´s que programas que son utilzados
a
por otros programas.
Cualquier programa puede considerarse como una funciń subceptible de ser usado por otro programa
o
La posibilidad de llamar a estas funciones tantas veces como sea necesario nos permite no tener que escribir el
programa cada vez que lo necesitemos. Por otra parte, las funciones nos permiten descomponer el programa en
subprogramas m´s sencillos.
a
En relaciń con el modo de definir funciones haremos las siguientes observaciones:
o

1) Se guarda como un fichero funcion.m cuyo nombre ha de coincidir con el de la funciń.
o

2) Ha de estar encabezado por la linea

function[salida1,...,salidaN]=nombre(entrada1,...,entradaM)
seguido por los comandos del programa.

3) La funciń termina su tarea con el ´ltimo comando del programa, sin necesidad de ningń comando espec´
o u u ıfico,
aunque ´sta acciń es posible con el comando
e o return.

4) Desde la propia funciń se puede hacer llamadas a otras funciones o incluso a ella misma (lo que se conoce como
o
recursividad).

5) Las variables usadas en cada funciń toman un valor local. Por tanto, una variable con el mismo nombre en una
o
funciń y en el programa principal mantiene el valor que tome en cada uno de los contextos.
o

Escribimos un sencillo ejemplo que hace llamada a una funciń llamada
o factorial

m=input(’Da el numero de sumandos n’);
x=0;
for n=1:1:m
x=x+1/factorial(n);
end
x

ıa a 18

2.7 Otras Observaciones m
at

donde la funciń
o factorial viene definida por

function[k]=factorial(n)
k=1;
for m=2:1:n
k=k*m;
end

2.7 Otras Observaciones
Para terminar esta introducciń aãdimos algunas observaciones m´s.
o n a

1) Los s´
ımbolos “,” “;” “:” sirven para: separar operaciones dentro de un l´
ınea (“,”); para delimitar campos dentro
de un comando (“:”) ´ para evitar que el resultado de un comando no salga por pantalla (“;”).
o

>> 2+3; 3+4 [ENTER]
ans = 7

Los puntos “...” se usarń para continuar un comando cuando no nos quepa completo en un sola l´
a ınea.

2) Con las flechas ↑ y ↓ recuperamos las operaciones realizadas anteriormente.

3) Para obtener ayuda sobre MATLAB debemos de teclear cualquiera de los comandos

>> help [ENTER]
>> helpwin [ENTER] Aparece una ventana de ayuda en Windows.

4) El s´
ımbolo “%” indica a MATLAB que no tenga en cuenta lo que se encuentra a continuaciń en la misma l´
o ınea
(comentario). Esto vendr´ bien cuando queremos explicar los programas que hagamos.
a

5) Desde la l´
ınea de comandos de MATLAB podemos ejecutar comandos propios del sistema (MSDOS, Linux,...)
como por ejemplo

>> dir
>> cd directorio
>> del fichero

ıa a 19

Cap´
ıtulo 3

Gr´ficos con MATLAB
a

3.1 Gr´ficos de dos dimensiones
a
El usuario de MATLAB puede dibujar fćilmente un conjunto de pares de puntos, y una forma de hacerlo es mediante
a
el comando plot.

3.1.1 El comando plot
El uso del comando plot es el siguiente

>> plot(argumentos)

y los argumentos que toma pueden ser

Argumentos Explicaciń
o
n
plot(x) x ∈IR Dibuja los pares de puntos (i, xi ), 1 ≤ i ≤ n, unidos por segmentos.
plot(x,y) x, y ∈ I n
R Dibuja los pares de puntos (xi , yi ), 1 ≤ i ≤ m, unidos por segmentos.
Dibuja en el plano complejo los pares de puntos ( (zi ), (zi )), 1 ≤
plot(z) z ∈ Cn
i ≤ n , unidos por segmentos.
Para cada j , 1 ≤ j ≤ n, dibuja los pares de puntos (i, aij ), 1 ≤ i ≤ m,
unidos por segmentos.
plot(A) A ∈ Mm×n
En la misma gr´fica, cada l´
a ınea se dibuja con un color y con un tipo
de l´
ınea diferente.
Independientemente de que x sea un vector fila o columna, ejecuta
plot(x,y) donde y es una fila o columna de A, para la elecciń de la
o
plot(x,A) x ∈ I n , A ∈ Mm×n
R fila y columna se tiene en cuenta la coincidencia de dimensiones.
de l´
ınea diferente.
En las mismas condiciones que el caso anterior dibuja los pares orde-
plot(A,x) x ∈ I n , A ∈ Mm×n
R
nados siendo x el valor de las ordenadas
Ejecuta plot(x,y), donde x es una columna de A e y es una columna
de B.
plot(A,B) A,B ∈ Mm×n
de l´
ınea diferente.

Veamos algunos ejemplos. Al ejecutarlos por primera vez aparece una nueva ventana que es la ventana gr´fica, en
a
esta se muestra el dibujo realizado por plot (o cualquiera de los comandos que introduciremos), sin embargo, si vamos

ıa a 20

a m
at

realizando los ejemplos uno a uno sin cerrar la ventana gr´fica ´sta se oculta pasando a ser una ventana secundaria
a e
en la que se van sustituyendo las gr´ficas por las que actualmente dibujamos. Cada vez que queramos ver una gr´fica
a a
tenemos que hacerla ventana principal ya que no se realiza autom´ticamente.
a
Dibujemos el vector de ordenadas y el de abcisas: 25

>> x=[-4 -2 0 1 3 5]; [ENTER]
20
>> y=[16 4 0 1 9 25]; [ENTER]
>> plot(x,y); [ENTER]
15

10

5

0
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

Dibujemos un vector de n´meros complejos:
u
1

0.5
>> z=[1 2+i 3 2-i 3-2*i]; [ENTER]
>> plot(z); [ENTER] 0

−0.5

−1

−1.5

−2
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

Para dibujar n´meros complejos tambiń se pueden utilizar los comandos
u e polar, quiver, feather, compass, rose
y pol2cart. (consultar la secciń 3.2).
o
Dibujemos una matriz: 25

>> A=[1 1 0.5; 2 4 -0.5; 3 9 0.5; 4 16 20

-0.5; 5 25 0.5]; [ENTER]
>> plot(A); [ENTER] 15

10

5

0

−5
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

ıa a 21

a m
at

Si en el ejemplo anterior elegimos las ordenadas obtenemos: 25

20

>> x=[0 0.1 0.2 0.3 0.4]; [ENTER]
>> A=[1 1 0.5; 2 4 -0.5; 3 9 0.5; 4 16 15

-0.5; 5 25 0.5]; [ENTER]
10
>> plot(x,A); [ENTER]
5

0

−5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

1.5

Tambiń podemos dibujar diferentes funciones en el mismo
e
gr´fico.
a 1

>> x=0:0.1:2; [ENTER]
0.5
>> A=[sin(pi*x); 0.5+0.5*x]; [ENTER]
>> plot(x,A); [ENTER]
0

−0.5

−1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

2

Podemos intercambiar los ejes sin m´s que escribir
a 1.8

1.6

1.4
>> plot(A,x) [ENTER]
1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5

3.1.2 Opciones del comando plot
Existe una serie de opciones para realizar gr´ficos con MATLAB entre las que destacamos las siguientes:
a

Explicaciń
o
Dibuja la gr´fica de abcisas
a x y ordenadas y con las opciones de estilo
plot(x,y,cad)
dadas por cad.
Dibuja la gr´fica de abcisas
a x1 y ordenadas y1 con las opciones de
estilo dadas porcad1, la gr´fica de abcisas x2 y ordenadas y2 con las
a
plot(x1,y1,cad1, x2,y2,cad2,...) opciones de estilo dadas por cad2 y as´ con el resto de ternas. Si se
ı
omiten las opciones de estilo MATLAB escoge el color y estilo para
cada gr´fico.
a

Los estilos de l´
ıneas y colores se determinan con una variable caracter de a lo sumo tres de caracteres que hemos

ıa a 22

a m
at

denotado porcad. Las ternas se construyen con un carćter de cada columna sin importar el orden. As´ por ejemplo,
a ı
cad=’ys-’ dibuja una l´
ınea amarilla, s´lida y con cuadrados como marcadores, exactamente igual que cad=’s-y’ o
o
cad=’sy-’ aunque siempre es mejor ser hom´geneos en cada uno de los usos de estos par´metros. Los tamaõs de los
o a n
s´
ımbolos, las anchuras de las l´
ıneas y otros aspectos del dibujo pueden ser modificados como ya veremos posteriormente.
Si no se especifica el estilo, MATLAB utiliza por defecto una l´
ınea azul continua sin marcadores para los puntos
dibujados.

Marcadores L´
ıneas Colores
. punto - s´lida
o y amarillo
* estrella -- discont´
ınua g verde
x cruz -. punto-raya m magenta
o c´
ırculo : punteada b azul
+ m´s
a c cyan
s cuadrado w blanco
d rombo r rojo
p pent´gono
a k negro
h hex´gono
a
v trińgulo abajo
a
< trińgulo izquierda
a
> trińgulo derecha
a
^ trińgulo arriba
a

Veamos algunos ejemplos.

Dibujamos una gr´fica con c´
a ırculos.
0.5

>> x=-pi:0.05:pi; [ENTER]
0.4

0.3
>> plot(x, sin(x).*cos(x),’o’);
0.2
[ENTER]
0.1

0

−0.1

−0.2

−0.3

−0.4

−0.5
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Tecleamos el siguiente fichero:

n=50; % Asignamos valores a las variables
a=0;
b=3;
x=linspace(a,b,n); % Construimos el vector x
e1=exp(-x.^2); % y los vectores de abcisas
e2=(x.^2).*exp(-x.^2);
e3=x.*exp(-x.^2);
e4=exp(-x);
plot(x,e1,’+’,x,e2,’*’,x,e3,’o’,x,e4,’x’); % Dibujamos las gr’aficas

ıa a 23

a m
at

1

La ejecuciń del fichero anterior desde la ventana de MATLAB
o
0.9

nos muestra como se pueden superponer varias gr´ficas, en
a 0.8

2 2 2
concreto las de las funciones e−x , x2 e−x , x e−x y e−x , 0.7

diferencińdolas mediante distintos estilos de l´
a ınea. 0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3.1.3 Otros comandos
Concluimos la secciń con dos comandos gr´ficos de uso frecuente en MATLAB. El primero de ellos es el comando
o a
errorbar, que nos permite incorporar a la gr´fica, mediante barras verticales, el error cometido. Este comando se
a
usa como el comando plot, pero con un argumento m´s que indica el margen de error. En concreto:
a

o
Ejecuta plot(x,y,cad) superponiendo las barras de error
x, y, e ∈ I n ,
R
dadas por el vectore (de valores positivos) sim´tricamente
e
errorbar(x,y,e,cad) cad es una
por encima y por debajo de la gr´fica. El argumento cad es
a
variable cadena
opcional.
x, y, e ∈ I n ,
R Ejecuta plot(x,y,cad), superponiendo en la gr´fica corre-
a
errorbar(x,y,u,e,cad) cad es una spondiente las barras de error dadas por los vectores positivos
variable cadena u (las cotas superiores) y l (las cotas inferiores).

En este ejemplo generamos una serie de datos con cotas de 3.5

error de un 15%. Mostramos la gr´fica con los errores como
a
sigue 3

>> x=linspace(0,10,50); [ENTER]
2.5

>> y=exp(sin(x)); [ENTER] 2

>> delta=0.15*y; [ENTER] 1.5

>> errorbar(x,y,delta); [ENTER]
1

0.5

0
−2 0 2 4 6 8 10 12

fplot, que nos permite dibujar funciones, especificadas mediante ’fcn’. Estas
El segundo de los comandos es
pueden ser predefinidas por MATLAB o definidas por el usuario, en este caso ’fcn’ indica una referencia a un M-file
de nombre fcn.m. M´s concretamente,
a

ıa a 24

3.2 Gr´ficos con n´meros complejos
a u m
at

o
Dibuja el gr´fico de la funciń especificada en la cadena
a o
lim ∈ I 2 ,
R
fplot(’fcn’, lim, cad) fcn en el intervalo de abcisas determinado por lim.
’fcn’, cad cadenas
La cadena cad que indica el estilo de l´
ınea es opcional.
lim ∈ I 4 ,
R Idem que el anterior pero lim determina tambiń las
e
fplot(’fcn’, lim, cad)
’fcn’, cad cadenas ordenadas.
lim ∈ I (2 ´ 4) ,
R o
fplot(’fcn’, lim, cad, En las mismas condiciones, pero especificando la pre-
tol ∈ I
R,
tol) cisiń con
o tol que por defecto es 2e − 3.
’fcn’, cad cadenas

Dibujemos la funciń seno en el intervalo
o [0, 10]: 1

>> fplot(’sin(x^2)’, [0 10]) [ENTER] 0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Destaquemos que MATLAB obtiene autom´ticamente la escala de los ejes de la gr´fica, utilizando el m´
a a ınimo y el
m´ximo de los datos, tanto en el eje de las ordenadas como en el de las abcisas. Para modificar dicha escala podemos
a
utilizar el comando axis (ver secciń 3.4).
o

3.2 Gr´ficos con n´ meros complejos
a u
Dibuja en coordenadas polares. tetha son los
Los elementos del vector
polar(theta,r)
r son las distancias al origen.
ńgulos en radianes, y los elementos del vector
a
Convierte las coordenadas polares dadas por theta y r en coordenadas car-
pol2cart(theta,r)
tesianas.

Vamos a ver dos ejemplos.

>> r = linspace(0,2); [ENTER] 2

>> theta = linspace(0,10*pi); [ENTER] 1.5

>> [x,y] = pol2cart(theta,r); [ENTER] 1

>> z = x+i*y; [ENTER] 0.5

>> plot(z); [ENTER]
0

−0.5

−1

−1.5

−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

ıa a 25

3.2 Gr´ficos con n´meros complejos
a u m
at

En el segundo de los ejemplos dibujaremos la funciń
o

t5
r = ecost − 2 cos 4 t + sin
12
tanto en coordenadas polares como en coordenadas cartesianas.
90 5.0543
120 60

>> t = linspace(0,22*pi,1100);[ENTER] 150 2.5272 30

>> r = exp(cos(t))-2*cos(4*t)+sin(t.5 /12);[ENTER] 180 0

>> polar(t,r);[ENTER] 210 330

240 300
>> [x,y] = pol2cart(t,r);[ENTER] 270

>> plot(x,y);[ENTER] 4

2

0

−2

−4
−3 −2 −1 0 1 2 3 4

Un vector de n´meros complejos pueden ser dibujado tambiń con los comandos
u e quiver, feather, compass y
rose, tal y como se detalla a continuaciń.
o

Dibuja una flecha para cada par de coordenadas dadas. Muestra el argumento
quiver(x,y)
y magnitud del n´mero complejo que tiene ese par de coordenadas reales.
u
Dibuja una flecha en las coordenadas (xi , yi ) con el argumento y magnitud
quiver(x,y,dx,dy)
dados por(dxi , dyi ).
El par´metro s indica la escala con la que se dibujan las flechas, que por
a
quiver(x,y, ...,s)
defecto toma el valor 1.
Dibuja flechas mostrando las magnitudes y argumentos de los elementos de
feather(z)
la matriz complejaz , estas flechas parten de puntos equidistantes del eje x.
Como feather pero en este caso todas ellas tienen como origen el origen de
compass(Z)
coordenadas.
Dibuja un histograma de ńgulos, es decir, un histograma circular mostrando
a
rose(v,n) la frecuencia de los ńgulos dados en el vector
a v ; se utilizan n intervalos. En
el caso de no especificar n, el valor por defecto es 36.
Veamos algunos ejemplos. Sea Z la matriz compleja definida como:
 
1+i 2 − i 3 − 5i
Z =  −4 + 3 i 5 − 5 i i 
−1 − i 3 + 3 i −1

Los siguientes comandos producen en la misma ventana las diferentes gr´ficas.
a

>> Z=[1+i 2-i 3-5*i; -4+3*i 5-5*i i ;-1-i 3+3*i -1]; [ENTER]
>> clf; [ENTER]
>> subplot(2,2,1); quiver(real(Z),imag(Z)); title(’quiver’); [ENTER]
>> subplot(2,2,2); feather(Z); title(’feather’); [ENTER]
>> subplot(2,2,3); compass(Z); title(’compass’); [ENTER]
>> subplot(2,2,4); rose(angle(Z(:))); title(’rose’); [ENTER]

ıa a 26

3.3 Gr´ficos en otros sistemas coordenados
a m
at

quiver feather
3.5 4

3
2
2.5

2 0

1.5 −2
1
−4
0.5

0 −6
0 1 2 3 4 −5 0 5 10

compass
90 7.0711 rose 2
90
120 60 120 60

150 3.5355 30 150 1 30

180 0 180 0

210 330 210 330

240 300 240 300
270 270

3.3 Gr´ficos en otros sistemas coordenados
a
El comando plot dibuja gr´ficos en coordenadas cartesianas; sin embargo, tambiń es posible utilizar otros sistemas
a e
de coordenadas.

Utiliza coordenadas logar´
ıtmicas en el eje x. El resultado es el mismo que
semilogx(x,y) utilizarplot(log10(x),y) pero no produce ningń error si tenemos que
u
calcular log10 0.
Es el mismo comando anterior, pero esta vez la escala logar´
ıtmica est´ en el
a
semilogy(x,y)
eje y.
loglog(x,y) Dibuja ambos ejes en escala logar´
ıtmica.

Como ejemplo dibujemos un gr´fico en un sistema de coordenadas logar´
a ıtmicas y lo comparamos con el mismo
gr´fico en coordenadas cartesianas.
a

ıa a 27

3.4 Controlando los gr´ficos
a m
at

>> x=linspace(0,7); [ENTER]
1200
>> y=exp(x); [ENTER] 1000

>> subplot(2,1,1); plot(x,y); [ENTER] 800

>> subplot(2,1,2); semilogy(x,y); 600

[ENTER]
400

200

0
0 1 2 3 4 5 6 7

4
10

3
10

2
10

1
10

0
10
0 1 2 3 4 5 6 7

a
Los gr´ficos en MATLAB son objetos y los comandos que mostramos en esta secciń son algunos de los que se utilizan
a o
para definir y modificar esos objetos y el entorno en el que se crean.

figure(gfc) Permite mostrar la ventana gr´fica actual y crear nuevas ventanas gr´ficas.
a a
clf Borra el contenido la ´ltima ventana gr´fica utilizada.
u a
delete(n) Borra la ventana gr´fica
a n.
clc Borra la ventana de comandos sin borrar la memoria.
home Mueve el cursor hacia la esquina izquierda superior de la ventana de comandos.
Permite superponer gr´ficos hasta que se desactiva la opciń con el comando
a o
hold on
hold off.
hold off Desactiva la opciń
o hold on.
hold Intercambia las opciones hold on a hold off y viceversa.
Es un comando l´gico que devuelve 1 si para el actual gr´fico est´ activada
o a a
ishold
la opciń
o hold on ´ 0 en caso contrario.
o

Un comando de uso muy frecuente es subplot, que se utiliza para dibujar en la misma ventana gr´fica varios
a
dibujos. Este comando no dibuja nada, pero permite dividir la ventana gr´fica en varias subventanas y dibujar en cada
a
una de ellas con cualquiera de los comandos vistos anteriormente y de los que veremos posteriormente.

Divide la ventana gr´fica en
a m filas y n columnas y hace que la subventana
subplot(m,n,p) p sea la actual. Las ventanas se numeran desde la izquierda a la derecha y
desde arriba hacia abajo. Tambiń puede ser utilizado como subplot(mnp).
e
subplot Pasa la ventana gr´fica a su estado por defecto (subplot(1,1,1)) .
a

Los siguientes comandos dibujan la funciń
o f (x) = −x · sin x, en la ventana superior izquierda, su derivada en
la ventana superior derecha, una aproximaciń de la derivada en la ventana inferior izquierda y el error relativo en la
o
ventana inferior derecha.

>> x=linspace(-10,10,1000); [ENTER]
>> y11=(-x).*sin(x); [ENTER]
>> y12=(-x).*cos(x)-sin(x); [ENTER]

ıa a 28

a m
at

>> y21=diff(y11)./(x(2)-x(1)); [ENTER]
>> y22=(y21-y12(1:999))./norm(y12); [ENTER]
>> subplot(2,2,1); plot(x,y11); title(’La funcion’); [ENTER]
>> subplot(2,2,2); plot(x,y12); title(’La derivada’); [ENTER]
>> subplot(2,2,3); plot(x(1:999),y21); title(’Aproximacion a la derivada’) [ENTER]
>> subplot(2,2,4); plot(x(1:999),y22); title(’Error relativo cometido’) [ENTER]
La funcion La derivada
6 10

4
5
2

0
0
−2

−4
−5
−6

−8 −10
−10 −5 0 5 10 −10 −5 0 5 10

Aproximacion a la derivada −4 Error relativo cometido
x 10
10 8

6
5
4

0 2

0
−5
−2

−10 −4
−10 −5 0 5 10 −10 −5 0 5 10

Las subventanas definidas por el comando subplot pueden ser de diferentes tamaõs dentro de la misma ventana
n
como muestra el siguiente ejemplo.
Editamos un fichero M-file para calcular el fractal de Mandelbrot y mostrarlo de tres formas diferentes. El programa
parte de una red de puntos definida por el usuario en el plano complejo e itera con cada n´mero ξ de la red de acuerdo
u
con el siguiente algoritmo:

z0 = 0
2
zi+1 = zi + ξ.

El programa asigna al punto de la red que estamos calculando el n´mero de iteraciones (con un m´ximo de
u a 100) que
hacen falta para que los t´rminos de la sucesiń disten del l´
e o ımite menos que una cantidad ε > 0. Se genera de esta
manera una matriz mandelbrot del mismo tamaõ que la red.
n

function y = mandelb(renum,imnum) % Programa Mandelbrot

epsilon=1e-14;
renum=input(’renum: ’); % Lee el numeros de nodos en el eje real
imnum=input(’imnum: ’); % Lee el numeros de nodos en el eje imaginario

remin=-2; remax=1 ; immin=-1.5; immax=1.5; % Define los parametros de la red
reval1= linspace(remin,remax,renum);
imval1= linspace(immin,immax,imnum); % Define vectores del tama~no correcto
[Reval, Imval]=meshgrid (reval1,imval1); % Define la red de puntos
Imvalreal=Imval;

ıa a 29

a m
at

Imval=Imval*i;
Cgrid=Reval+Imval;

for reind=1:renum
disp([’reind=’,int2str(reind)]); % Indica en que nodo estamos
for imind= 1:imnum
c=Cgrid(reind,imind);
numc=0;
zold=0.0+0.0*i;
z=zold^2+c;

while(abs(z) <= 2) & (abs(z-zold) >= epsilon) & ...
(numc < 100)
numc=numc+1;
zold=z;
z=zold^2+c;
end

Mandelbrot(reind,imind)= numc;
end
end

% Mostramos la matriz de Mandelbrot de tres formas diferentes

clf; % Borra la figura
%whitebg(’k’); % Fondo negro
subplot(2,2,1); % Esquina superior izquierda
mesh(reval1,imval1,Mandelbrot); % Dibuja la red en tres dimensiones

axis([-2 1 -1.5 1.5 0 100]) % Cambia los limites de los ejes

subplot(2,2,2);
contour(reval1, imval1, Mandelbrot, 100) % Dibuja la red como un contorno

subplot(2,1,2); % Figura inferior, dibuja solo una
surf(Reval,Imvalreal, Mandelbrot); % Dibuja la red como una superficie

view(2); % Punto de vista abajo.

shading flat; % Determina que cada ret’{i}culo tiene
un color colormap(flipud(jet)); % Define el mapa de colores.

colorbar; axis([-2 1 -1.5 1.5]); % Dibuja la barra de colores al lado del gr’afico

ıa a 30

a m
at

1.5

100 1

0.5
50
0

−0.5
0
1 1 −1
0 0
−1 −1 −1.5
−2 −2 −1 0 1

1.5 100

1 80
0.5
60
0
40
−0.5

−1 20

−1.5 0
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

Los ejes de cada dibujo son escalados autom´ticamente para mostrar todos los puntos en la ventana. Puede ocurrir
a
que no se vean algunos de los puntos, porque coinciden con los ejes, pues bien, el comando axis nos permite modificar
la escala de los ejes.

Devuelve los l´
ımites del dibujo actual en un vector fila. Para gr´ficos de dos
a
axis dimensiones tiene los elementos [xmin xmax ymin ymax ] y para gr´ficos de
a
tres dimensiones [xmin xmax ymin ymax zmin zmax ].
Establece la escala de los ejes conforme al vector v
que ser´
a [xmin xmax ymin ymax ] en dos dimensiones o
axis(v)
[xmin xmax ymin ymax zmin zmax ] en tres dimensiones (en escala lo-
gar´
ıtmica, tambiń se utilizan valores actuales, no logar´
e ıtmicos).
Bloquea la escala cuando se aãden dibujos posteriores a uno que se ha
n
axis(axis)
mantenido con el comando hold.
Obtenemos diferentes resultados dependiendo de la cadena cad utilizada:

• ’auto’ Vuelve a la escala autom´tica.
a

• ’equal’ Da la misma escala en ambos ejes.

• ’ij’ Intercambia la parte positiva y negativa del eje y.

• ’xy’ Deshace el anterior.

• ’image’ Igual que equal pero se ajusta al dibujo.
axis(cad)
• ’square’ Modifica la ventana gr´fica para hacer que la caja del dibujo
a
sea cuadrada.

• ’normal’ Modifica la ventana gr´fica para que la caja del dibujo vuelva
a
al tamaõ habitual.
n

• ’off’ No se muestran los ejes.

• ’on’ Deshace el comando anterior.

Tambiń podemos cambiar la escala por medio del ratń y ello es posible gracias al comando
e o zoom que se utiliza
como se muestra a continuaciń.
o

ıa a 31

a m
at

Permite agrandar la ventana con el botń izquierdo del ratń, inhabilitńdolo
o o a
zoom on con el botń derecho. Tambiń permite seleccionar un ´rea para visualizarla
o e a
mejor.
zoom off Deshace el comando anterior.
zoom Intercambia las posiciones de zoom.
zoom out Establece la escala.

Con los siguientes comandos representaremos el c´
ırculo unidad en diferentes escalas:

>> t=0:0.2:2*pi+0.2; [ENTER]
>> x=sin(t); [ENTER] 1

>> y=cos(t); [ENTER] 0.5

>> subplot(3,1,1); [ENTER] 0

−0.5
>> plot(x,y,’-’); [ENTER] −1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

>> plot(x,y,’-’); [ENTER] 0.5

0
>> axis square; [ENTER] −0.5

>> subplot(3,1,3); [ENTER] −1
−1 0 1

>> plot(x,y,’-’); [ENTER]
2
>> axis normal; [ENTER]
0
>> grid; [ENTER]
−2
>> axis([-2 2 -3 3]); [ENTER] −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

En en el ejemplo anterior hemos utilizado el comando grid que describimos a continuaciń.
o

grid on Dibuja una red en la ventana gr´fica.
a
grid off Borra la red de la ventana gr´fica.
a
grid Intercambia las posiciones de grid.
En muchas ocasiones necesitamos incluir texto en la ventana gr´fica para lo que podemos utilzar varios comandos.
a

ıa a 32

a m
at

title(txt) Escribe la variable cadena txt como un t´
ıtulo centrado encima del gr´fico.
a
xlabel(txt),
Escribe la variable cadena txt como una etiqueta bajo el eje x, y y z respec-
ylabel(txt),
tivamente.
zlabel(txt)
Escribe la variable cadena txt en la posiciń (x, y) de la ventana gr´fica.
o a
Las coordenadas x e y estń proporcionadas en las mismas unidades en las
a
que est´ dibujado el gr´fico. Si x e y son vectores, la variable cadena se
a a
text(x,y,txt)
escribe en todos los pares de puntos (xi , yi ). Si txt es un vector de variable
cadenas con el mismo n´mero de filas que x e y, se escribe una de ellas en
u
cada una de las posiciones.
Escribe la variable cadena txt en la posiciń de la ventana de gr´ficos que
o a
gtext(txt) elija el usuario. Una cruz indica la posiciń donde se quiere colocar el texto
o
y es seleccionada mediante las teclas de desplazamiento o mediante el ratń.
o
Escribe en un pequeõ recuadro, las variables cadenas
n st1, st2, etc, al lado
legend(st1,st2, ...) de los estilos de linea utilizados en cada una de las gr´ficas. Este pequeõ
a n
recuadro puede moverse mediante el ratń.
o
legend(l1,st1,
Escribe una leyenda pero se especifican los estilos de l´
ınea.
l2,st2, ...)
legend off Elimina la leyenda del dibujo actual.

Tambiń hay comandos que convierten los n´meros en variable cadenas,
e u num2str, int2str, sprintf, ... que
pueden ser ´tiles y algunas veces necesarias para utilizarlos juntos con estos comandos de texto.
u
El siguiente programa dibuja un camino aleatorio (mediante la funciń
o rand). Este camino se puede considerar
como una simulaciń del movimiento de una part´
o ıcula en el aire.

function y=particle(n)
% Camino aleatorio. Una particula empieza en el origen, y se mueve
% aleatoriamente hacia otra direccion en cada paso.

x=cumsum(rand(n,1)-0.5); % Valores aleatorios de x
y=cumsum(rand(n,1)-0.5); % Valores aleatorios de x

clf;

plot(x,y);
hold on;

plot(x(1),y(1),’o’,x(n),y(n),’o’);

axs=axis;
scale=axs(2)-axs(1);

text(x(1)+scale/30,y(1),’Inicio’);
text(x(n)+scale/30,y(n),’Fin’);

hold off;

xlabel(’x’); ylabel(’y’); title(’Random walk’);

El resultado es el siguiente gr´fico.
a

ıa a 33

a m
at

Random walk
2

1

Fin

0
Inicio

−1

y
−2

−3

−4
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
x

Los comandos ginput y waitforbuttonpress proporcionan al programador de MATLAB herramientas para crear
programas interactivos simples.

Lee las coordenadas desde la ventana de gr´ficos. Aparece un cursor que se
a
maneja bien con el ratń o bien con las teclas de desplazamiento vertical y
o
[x,y]=ginput horizontal. Presionado una tecla o un botń del ratń se env´ las coorde-
o o ıan
nadas a MATLAB que las almacena en los vectores x e y. El proceso termina
cuando se presiona la tecla [RETURN].
[x,y]=ginput(n) Lee n coordenadas de la ventana gr´fica.
a
Detiene el dibujo de gr´ficos hasta que se presiona una tecla o un botń del
a o
waitforbuttonpress
ratń.
o

El siguiente programa dibuja un gr´fico con puntos especificados por el usuario. Cuando el dibujo termina, el
a
programa espera que el usuario haga clic en la figura antes de borrarlo.

n=figure; % nueva ventana grafica;
disp(’Para dibujar una poligonal en la figura:’);
disp(’presiona el boton izqdo para empezar,’);
disp(’Para parar presiona el boton dcho’);

[x,y,t]=ginput(1);
plot(x,y,’o’)
xx=x;yy=y;
hold; axis([0 1 0 1]); % superponer el grafico y se establecen
% los ejes
while t~=3
[x,y,t]=ginput(1);
plot(x,y,’o’)
xx=[xx x];
yy=[yy y];
end
clf; line(xx,yy);
disp(’Aprieta en la figura cuando este terminado’)
waitforbuttonpress
delete(n);

ıa a 34

3.5 Dibujando curvas de nivel m
at

3.5 Dibujando curvas de nivel
Las curvas de nivel de una funciń en dos variables se pueden dibujar en dos y tres dimensiones gracias al comando
o
contour en el primero de los casos y al comando contour3 en segundo. Estos dos comandos s´lo pueden ser utilizados
o
sobre una red rectangular previamente definida.

Dibuja las curvas de nivel de la matriz Z, en n niveles. Si no se especifica
n se dibujan 10 niveles. Los elementos se interpretan como niveles sobre el
contour(Z,n,cad)
plano XY .
cad es opcional y especifica el estilo de linea.
contour(Z,v) Dibuja los niveles especificados en el vector v.
En las mismas condiciones que el comando anterior, pero se especifica la red
contour(x,y,Z,n,v)
sobre la que se va a dibujar la gr´fica
a x × y y la escala de los ejes.
Calcula la matriz C de contorno sin dibujar las lineas de contorno, utilizńdose
a
contourc
los mismos par´metros que en los casos anteriores.
a
Dibuja las curvas de nivel en tres dimensiones utilizńdose los mismos
a
contour3
par´metros que en los casos anteriores.
a
Escribe los valores de los niveles que representan las curvas de nivel. Las po-
siciones son aleatorias. C es la matriz que devuelven los comandos contour
clabel(C) y contour3.
Se pueden especificar los niveles, con un vector v y tambiń se puede realizar
e
manualmente indicńdolo con la etiqueta ’manual’.
a

Los siguientes comandos nos dan las curvas de nivel de una matriz que describe la superficie de una funciń de dos
o
variables.

>> [x,y]=meshgrid(-3:1/8:3);
[ENTER]
>> Z=peaks(x,y).*sin(x); [ENTER]
>> subplot(2,1,1); [ENTER]
40
>> v1=-4:-1; [ENTER]
30
>> v2=0:4; [ENTER]
20
>> contour(Z,v1,’k-’); [ENTER]
10
>> hold on; [ENTER]
>> contour(Z,v2,’k--’); [ENTER] 5 10 15 20 25 30 35 40 45

>> hold off; [ENTER]
−1
−2 −3 3 2
1

1
>> C=contour(Z); [ENTER] 30 2 0
−1 3
>> clabel(C); [ENTER] 20 0 −2
1 −3 −1 0
−2
10
0

5 10 15 20 25 30 35 40 45

Como puede verse hemoos utilizado el comando peaks que genera una matriz trasladando y reescalando la distri-
buciń gaussiana en dos dimensiones.
o

ıa a 35

3.5 Dibujando curvas de nivel m
at

En ocasiones puede ser necesario definir una determinada red para dibujar las curvas de nivel de una matriz Z . El
dominio se define mediante dos vectores x e y de longitudes n y m, respectivamente, para los valores de la red. En la
siguiente tabla se muestran los comandos que nos permieten construir dichas redes, incluso en tres dimensiones, sobre
un cilindro o sobre una esfera.

Comando que obtiene la red adecuada para hacer gr´ficas tridimensionales a
a
[U,V]=meshgrid(x,y)
partir de los vectores x e y.
[U,V,W]=meshgrid(x,y,z) Obtiene una red tridimensional.
Devuelve las matrices correspondientes para la superficie de un cilindro o un
cono. Los radios del cilindro se toman del vector r, que contienen los radios
[X,Y,Z]=cylinder(r,n)
en n puntos equidistantes en el eje del cilindro. Si no se especifica n, se
utiliza n = 20.
[x,y,z]=sphere(n) Devuelve n coordenadas igualmente espaciadas sobre una esfera unidad.

Como ejemplo de uso del comando meshgrid dibujaremos las curvas de nivel de las siguientes funciones:
1) f (x, y) = sin x sin y , x, y ∈ [0, π] × [0, π].
2) f (x, y) = x − 0.5 x3 + 0.2 y 2 + 1 , x, y ∈ [−3, 3] × [−3, 3].
sin x2 + y 2
3) f (x, y) = , x, y ∈ [−8, 8] × [−8, 8].
x2 + y 2
La primera parte del programa genera la red y evalá la funciń, la segunda parte dibuja las l´
u o ıneas de contorno.

x=0:0.2:3*pi;
y=0:0.25:5*pi;

[XX,YY]=meshgrid(x,y);
z1=sin(XX).*sin(YY);

x=-3:0.25:3;
y=x;

z2=XX-0.5*XX.^3+0.2*YY.^2+1;

x=-8:0.5:8;
y=x;

r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
z3=sin(r)./r;
clf

subplot(2,2,1); contour(z1);
title(’sen(x)*sen(y)’);
subplot(2,2,2); contour(x,y,z3);
title(’sen(r)/r’);
subplot(2,2,3); contour3(z2,15);
title(’x-0.5 x^3 + 0.2 y^2 + 1’);
subplot(2,2,4); contour3(x,y,z3);
title(’sen(r)/r’);

ıa a 36

a m
at

El resultado es el siguiente gr´fico.
a

sen(x)*sen(y) sen(r)/r
8
60
6
50
4
40 2

30 0
−2
20
−4
10 −6
−8
10 20 30 40 −5 0 5

x−0.5 x3 + 0.2 y2 + 1 sen(r)/r

20 1

10 0.5

0 0

−10 −0.5
25
20 25 5
15 20 0 5
10 15 0
5 10 −5
5 −5

Una informaciń m´s completa de las curvas de nivel la podemos conseguir si adem´s dibujamos el gradiente de la
o a a
superficie, que se obtiene gracias a la funciń
o gradient.

>> [X,Y]=meshgrid(-pi/2:0.1:pi/2,-pi:0.2:pi);
[ENTER]
>> Z=abs(sin(Y).*cos(X)); [ENTER]
>> [DZDX,DZDY]=gradient(Z,.1,0.2); 30

[ENTER]
>> contour(Z); [ENTER] 25

>> hold on; [ENTER]
>> quiver(DZDX,DZDY); [ENTER] 20

>> hold off; [ENTER]
15

10

5

5 10 15 20 25 30

a
Existen varios comandos que nos permiten dibujar superficies en tres dimensiones. El primero de ellos es el comando
plot3.

ıa a 37

a m
at

Dibuja un gr´fico 3-D que pasa por las coordenadas de los vectores
a x1, y1,
z1. La selecciń del estilo de l´
o ınea es opcional y se elige con cad. Todos
plot3(x1,y1,z1,cad)
los vectores deben tener la misma longitud. Este comando permite dibujar
varios gr´ficas a la vez en la misma ventana gr´fica.
a a
Dibuja gr´ficos para cada columna de las matrices
a X, Y y Z, las cuales deben
plot3(X,Y,Z)
tener el mismo tamaõ.
n

El ejemplo siguiente muestra la simulaciń de un camino aleatorio en tres dimensiones.
o

>> x=cumsum(rand(1,n)-0.5);
[ENTER]
>> y=cumsum(rand(1,n)-0.5);
[ENTER]
>> z=cumsum(rand(1,n)-0.5);
[ENTER]
>> plot3(x,y,z); [ENTER] 0.5

>> text(x(1), y(1), z(1), 0

’Inicio’); [ENTER] −0.5
Inicio

>> text(x(n), y(n), z(n), −1

’Fin’); [ENTER] −1.5

−2
Fin
−2.5

−3
3

2 2
1
1
0
0
−1
−1 −2

El texto de las figuras en tres dimensiones se inserta de la misma forma que en dos dimensiones, tal y como se
puede ver en el ejemplo anterior.
El segundo comando que presentamos es el comando mesh y algunas de sus variantes. Con este comando debemos
tener en cuenta las mismas consideraciones que para dibujar las curvas de nivel.

Dibuja la matriz Z como tercera coordenada sobre una red rectangular y
conecta los puntos adyacentes creando una superficie.
mesh(Z)
Si se especifica la matriz C cada punto se dibuja en el color especificado por
mesh(Z,C)
cada elemento de la matriz.
mesh(U,V,Z,C)
Si se especifican los valores de U y V, dibuja la matriz Z sobre los nodos de
la red formada por U y V.
Dibuja, con las mismas consideraciones que el caso anterior, una superficie
meshc(...)
incluyendo las curvas de nivel bajo el gr´fico.
a
meshz(...) Dibuja una superficie incluyendo una red de referencia en el plano XY .
Mantiene las l´
ıneas traseras escondidas o no dependiedo que escribamos on
hidden on-off
u off. Si s´lo se escribe el comando hidden cambia de uno a otro.
o

Escribamos un programa de MATLAB para dibujar la superficie de las siguientes funciones:

1) f (x, y) = sin x sin y , (x, y) ∈ [0, π] × [0, π].

2) f (x, y) = x − 0.5 x3 + 0.2 y 2 + 1 , (x, y) ∈ [−3, 3] × [−3, 3].

ıa a 38

a m
at

sin x2 + y 2
3) f (x, y) = , (x, y) ∈ [−8, 8] × [−8, 8].
x2 + y 2

x=0:0.2:3*pi;
y=0:0.25:5*pi;

z1=sin(XX).*sin(YY);

x=-3:0.25:3;
y=x;

z2=XX-0.5*XX.^3+0.2*YY.^2+1;

x=-8:0.5:8;
y=x;

r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
z3=sin(r)./r;
clf

subplot(2,2,1); mesh(z1);
title(’sin(x)*sin(y)’);
subplot(2,2,2); meshz(z2);
title(’x-0.5*x^3+0.2*+y^2+1’);
subplot(2,2,3); waterfall(z2);
title(’x-0.5*x^3+0.2*+y^2+1’);
subplot(2,2,4); meshc(z3);
title(’sin(r)/r)’);

El resultado es el siguiente gr´ﬁco
a

sin(x)*sin(y) x−0.5*x3+0.2*+y2+1

1 20

10
0
0

−1 −10
100 40
60 30
50 40 20 20
20 10
0 0 0 0

x−0.5*x3+0.2*+y2+1 sin(r)/r)

20 1

10
0
0

−10 −1
40 40
30 40
20 20 20
10 20
0 0 0 0

ıa a 39

a m
at

Mostramos a continuaciń otros comandos que nos permiten dibujar superficies mediante caras. Igual que en el
o
caso anterior, creamos la red y luego evaluamos la funciń.
o

Dibuja la superficie especificada por la red X e Y, que toma los valores de
Z. Si no se especifica la red, se dibuja en una red uniforme. Los colores se
surf(X,Y,Z, C)
definen por los elementos de la matriz Al igual que fill pero en tres C, si
no se especifican se utiliza la matriz Z.
surfc(X,Y,Z, C) Del mismo modo que surf excepto que dibuja las curvas de nivel.
Del mismo modo que surf excepto que sitá un foco de luz en el punto dado
u
surfl(X,Y,Z, ls,r) por el vector ls. El vector r nos proporciona el tipo de luz que puede ser de
los siguientes tipos: ambiente , difusiń , especular e interior .
o
Del mismo modo que surf pero dibuja las normales a la superficie si no
[Nx,Ny,Nz] =
se especifican los vectores Nx, Ny y Nz. En el caso de que se especifiquen
surfnorm(X,Y,Z)
solamente se almacenan los vectores normales.
Devuelve el reflejo de una superficie difusa con componentes normales dadas
diffuse(Nx,Ny,Nz,ls)
por los vectores Nx, Ny y Nz. El vector ls nos da la posiciń de la luz.
o
specular(Nx,Ny,Nz,ls,v) Al igual que diffuse pero con reflejo especular.
Dibuja colores determinados como valores de los elementos de Z. Si se espe-
pcolor(X,Y,Z)
cifican X e Y es igual que aplicar surf(X,Y,Z); view(2)
ıgono con esquinas dadas por los vectores x e y. El pol´
Dibuja el pol´ ıgono se
fill(x,y,c)
rellena con el color dado por c.
fill3(x,y,z,c) dimensiones.

Las escalas de color usadas por los comandos pueden ser ajustadas (secciń 3.7).
o
sin r
Dibujemos la funciń
o f (r) = con las curvas de nivel en el plano XY .
r
sin(r)/r

1

>> x=-8:0.5:8; y=x; [ENTER]
0.5
>> [XX,YY]=meshgrid(x,y);
[ENTER]
0
>> R=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
[ENTER]
>> Z=sin(R)./R; [ENTER] −0.5
10

>> surfc(XX,YY,Z); 5 10

title(’sin(r)/r’); 0
0
5

[ENTER] −5
−5
−10 −10

Repitamos el ejemplo aãdiendo los vectores normales mediante el comando
n surfnorm.

ıa a 40

a m
at

>> clf; [ENTER]
>> x=-8:0.5:8; y=x; [ENTER]
>> [XX,YY]=meshgrid(x,y); sin(r)/r
[ENTER]
>> R=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
[ENTER] 1.2

>> Z=sin(R)./R; [ENTER] 1

>> surfnorm(XX,YY,Z); 0.8

0.6
title(’sin(r)/r’);
0.4
[ENTER]
0.2

0

−0.2

−0.4
10

5 10
5
0
0
−5
−5
−10 −10

En los ejemplos siguientes mostramos las diferencias entre los comandos surf y surfl utilizando diferentes luces.

[X,Y]=meshgrid(-3:1/8:3);
Z=peaks(X,Y).*sin(X);
[Nx,Ny,Nz]=surfnorm(Z);

s=[-3 -3 2]; % posicion de la fuente de luz
k1=[0,1,0,0]; % difusion
k2=[0,0,1,1]; % especular

subplot(2,2,1);
surfl(X,Y,Z,s); shading interp;
colormap(gray); axis([-3 3 -3 3 min(min(Z)) max(max(Z))]); axis off;
subplot(2,2,2);
surfl(X,Y,Z,s,k1); shading interp;
subplot(2,2,3);
surfl(X,Y,Z,s,k2); shading interp;
subplot(2,2,4);
DD=diffuse(Nx,Ny,Nz,s);
surf(X,Y,Z,DD); shading interp;

ıa a 41

a m
at

Todas estas superficies se pueden ver en escala de grises utilizando el comando shading interp.
Los comandos surf y mesh pueden ser utilizados para dibujar una funciń en una red no uniforme. Ahora podemos
o
incluir las matrices con las coordenadas para llamar a la rutina gr´fica.
a
En muchas ocasiones un gr´fico puede ser m´s fćil de visualizar si lo podemos observar desde un punto de vista
a a a
diferente.

Establece el punto de vista. El escalar v determina el ńgulo azimutal y el
a
view(v,h)
escalar h el ńgulo de elevaciń.
a o
[v,h]=view Devuelve el punto de vista actual, ńgulo azimutal y el ńgulo de elevaciń.
a a o
view(r) Establece el visor en la posiciń
o r=[x y z].
Devuelve los valores estńdar de ńgulos de visiń (con
a a o n = 2 en dimensiń
o
view(n)
dos y con n = 3 los de dimensiń tres).
o
view Devuelve la matriz de visiń (de dimensiń
o o 4 × 4).
view(T) Se utiliza T como matriz de visiń.
o
Devuelve la matriz de visiń (que define el punto de vista y la direcciń de
o o
viewmtx(v,h,s,r)
vista).

Con el comando view obtenemos una superficie ya conocida pero desde un punto de vista distinto.
sin(r)/r
1

0.5

0

−0.5
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

Tambiń es posible utilizar el comando
e view en dos dimensiones. As´ si utilizamos en un gr´fico de dos dimensiones
ı, a
el comando view([1 0.6 0.35]) muestra como el c´
ırculo se puede dibujar en tres dimensiones.

ıa a 42

3.7 Control del color m
at

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8
−1
−1 −0.5
−1 0
−0.5
0 0.5
0.5
1 1

Para investigar las funciones de tres variables gr´ficamente, ya que no podemos representarlas, MATLAB posee el
a
comando slice.

Dibuja capas de la funciń de tres variables definida por la matriz V . La matriz
o
V est´ compuesta de nx capas, evaluada sobre tres matrices obtenidas a
a
slice(V, xs, ys, zs, nx)
partir de meshgrid con tres argumentos. Los vectores xs, ys y zs especifican
que capas se dibujan.

Probamos el comando con la funciń
o f (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 y vemos lo que aparece en el cubo [−1, 1]×[−1, 1]×
[−1, 1]. Para ello definimos la red y evaluamos la funciń en la red (podemos decidir que capas vamos a dibujar).
o

>> [x,y,z]=meshgrid(-1:.1:1,-1:.1:1,-1:.1:1);
[ENTER]
>> v=x.^2+y.^2+z.^2; [ENTER]
>> slice(v,[11],[11],[1 11]); 25

[ENTER] 20

15

10

5

0
25
20 25
15 20
10 15
10
5
5
0 0

Seãlemos que existen otros muchos comandos para realizar y modificar gr´ficos como es el comando
n a rot90 que
nos permite rotarlos sobre la matriz definida.

3.7 Control del color
En MATLAB el usuario puede controlar los colores y la iluminaciń de las gr´ficas en tres dimensiones.
o a

ıa a 43

3.7 Control del color m
at

Redibuja la superficie con las siguientes propiedades de acuerdo con el tipo:

• faceted dibuja la red en la supeficie (opciń por defecto).
o

shading type • interp utiliza colores interpolados en la superficie.

• flat todas las caras se dibujan en colores constantes desde las esquinas
de las caras.

Dibujamos de nuevo una figura ya conocida pero con los colores interpolados utilizando el comando anterior.
sin(r)/r

1

0.5

0

−0.5
10

5 10
5
0
0
−5
−5
−10 −10

MATLAB utiliza mapas de colores para dibujar las superficies. Un mapa de color es una matriz m × 3 en la cual
las filas forman los colores, especificados por la cantidad de rojo (primera columna), verde (segunda columna) y azul
(tercera columna); as´ el mapa caracteriza
ı m colores.
El color sobre la superficie se especifica mediante un ´
ındice del mapa de colores. Este ´
ındice se calcula habitual-
mente en relaciń al m´ximo y el m´
o a ınimo de la superficie. El comando colormap se utiliza para decidir que mapa de
colores utiliza MATLAB.

Sitá como mapa de colores actual a
u Cm. Si no se especifica se devuelve en
colormap(Cm)
una matriz la tabla del gr´fico actual.
a
Dibuja una barra horizontal de escala de colores en la ventana de gr´ficos
a
colorbar(’horiz’)
actual. Si no se especifica la dibuja vertical.

Hay 11 mapas de colores predefinidos en MATLAB:

gray(m) m tonos de grises.
hsv(m) m tonos de colores brillantes.
hot(m) m tonos de colores calientes.
cool(m) m tonos de colores fr´
ıos.
bone(m) m tonos de colores hueso.
copper(m) m tonos de colores copper.
pink(m) m tonos de colores en rosa.
flag(m) m tonos de colores de banderas (EE.UU.).
prism(m) rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta.
jet(m) m tonos de colores de hsv fr´ y calientes.
ıos
white(m) mapa blanco de colores.

Aãdamos a la figura anterior la barra de colores.
n

ıa a 44

3.8 Copia de la ventana gr´fica
a m
at

Hay otros comandos que tambiń manipulan el color.
e

Devuelve un mapa de colores hsv de un mapa de colores rgb. El comando
rgb2hsv(Cm)
inverso es hsv2rgb(Cm).
rgbplot(Cm) Dibuja las columnas del mapa de colores Cm.
v.
Hace que el intervalo de colores actual se sité entre los valores del vector
u
caxis(v) Si no se especifica v devuelve el intervalo habitual. Si se especifica ’auto’
retorna a la escala autom´tica.
a
Rota el mapa de colores durante t segundos usando el paso s (los valores
spinmat(t,s)
por defecto son s=1 y t=3. Si se utiliza inf se cambia para siempre.
brighten(Cm,s) Da brillo al gr´fico si 0 < s < 1 y se oscurece si −1 < s < 0.
a
nt=brighten(Cm,s) Devuelve el mapa de colores brillante u oscurecido, pero no redibuja.
whitebg Cambia el fondo entre blanco y negro.
Establece el color del fondo de acuerdo a una cadena de tipo de l´
ınea, mar-
whitebg(’cad’)
cador y color, o con un vector rgb.

3.8 Copia de la ventana gr´fica
a
Es posible obtener copias de las ventanas gr´ficas bien a impresiń o bien a fichero.
a o

Manda a fichero.ps la ventana actual. Si no se especifica va directamente
print fichero
a la impresora. Se pueden consultar diferentes impresoras.
Se graba en un archivo de formato encapsulado fichero.eps. Para enviarlo
print -deps fichero
posteriormente a otros documentos.
[str, dev] =printopt Nos da la cadena y salida utilizada por print.
Establece la orientaciń que utiliza MATLAB en la siguiente print. Si
o
cadena es lanscape se imprime en apaisado. Si es portrait se imprime en
orient cadena
vertical. Si es tall se imprime en vertical y a una escala que llena el papel.
Si no se especifica devuelve la orientaciń actual en una cadena.
o

ıa a 45

Bibliograf´
ıa

[1] Oscar Angulo, Eduardo Cuesta, Cesar Gutierrez, Carmen Mart´
´ ´ ınez,Gu´ R´pida de MATLAB,
ıa a
IICE, 2001.

[2] Adrian Biran, Moshe Breinner, MATLAB for Engineers, Addison-Wesley, 1997.

[3] S.J. Chapman, MATLAB Programming for engineers, Brooks & Cole, 2000.

[4] Walter Gander, Jiri Hrebicek, Solving Problems in Scientiﬁc Computing Using MAPLE and MATLAB,
Springer, 1997.

[5] Mathews and Fink, M´todos Num´ricos con MATLAB, Prentice Hall, 2000.
e e

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[7] Cesar Perez, Matem´tica Informatizada con MATLAB, ra-ma, 1996.
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[8] Peregrina Quintela, Introducci´n a MATLAB y sus aplicaciones, Universidad de Santiago de Compostela,
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1997.

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[10] Kermit Sigmon, MATLAB Primer (Fifth Edition), CRC Press, 1998 .

[11] Aprenda MATLAB 5.3, como si estuviera en primero, Universidad de Navarra, 1999.

[12] www.mathworks.com

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