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HOMOTECIA DE FIGURAS
- 1. Matemáticas – ProgramaTercero Material : MT-23 UNIDAD: DATOS Y AZAR HOMOTECIA DE FIGURAS HOMOTECIA DE FIGURAS EN EL PLANO Es una transformación que a partir de un punto fijo (centro de homotecia) se multiplican todos los vectores centrados en el origen, y por defecto todas las distancias a partir del origen en todas las direcciones y sentidos. Es decir, al aplicar una homotecia de centro O y razón k a un punto P cualquiera, se obtiene otro punto P’, tal que P, O y P’ son colineales y OP’ = lkl · OP En la figura, O es centro de homotecia y k es la razón de homotecia. OBSERVACIONES - Las figuras resultantes de una homotecia siempre serán semejantes, se conservan sus ángulos y todos sus lados serán respectivamente proporcionales. - Segmentos homólogos son paralelos. - La homotecia permite ampliar, reducir o mantener las figuras, manteniendo la forma. - Si k > 1 implica una ampliación de la figura, si k < 1 implica una reducción de la figura, si k = 1 el tamaño de la figura se mantiene. - En la figura 1, si k es la razón de homotecia se tiene: OP OQ OR = = = k OA OB OC - En la figura 2, si k es la razón de homotecia se tiene: OP OQ OR = = = k OA OB OC Q A P R O B C Al triángulo ABC se le aplica una homotecia de centro O y razón de homotecia positiva k, el triángulo PQR es la imagen y se ubica al mismo lado del centro de homotecia que la figura original. Esta homotecia se denomina también homotecia directa figura 1 Al triángulo ABC se le aplica una homotecia de centro O y razón de homotecia k negativa, el triángulo PQR es la imagen y se ubica al lado contrario del centro de homotecia que la figura original. Esta homotecia se denomina también homotecia inversa. figura 2 R P B A O C Q
- 2. 2 EJEMPLOS 1. A unhexágono de perímetro 36 cm, se le aplica una homotecia de razón k = 2 : 1, entonces el perímetro del nuevo hexágono es A) 9 cm B) 18 cm C) 36 cm D) 72 cm E) 108 cm 2. A un pentágono de área 108 cm2 , se aplica una homotecia de razón k = 1 : 3, entonces el área del pentágono resultante es A) 9 cm2 B) 12 cm2 C) 36 cm2 D) 324 cm2 E) 972 cm2 3. Si a una figura del plano se le aplica una homotecia de centro cualquiera fuera de la figura y razón negativa ( < 0), entonces, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) La imagen se ubica al lado contrario del centro de homotecia respecto a la ubicación de la figura original. II) La imagen es de igual o menor tamaño que la figura original. III) Si = -1, imagen es congruente con la figura original. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 4. En la figura adjunta al triángulo ABC se le aplica una homotecia con centro H y razón 1, obteniéndose el triángulo PQR y al triángulo PQR se le aplica una homotecia con centro H y razón de homotecia 2 obteniéndose en triángulo STU, con ST = AB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) 1 es un número real mayor que 1. II) 2 es un número real negativo. III) 1 2 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III A S C Q H U B T P R
- 3. 3 HOMOTECIA DE FIGURASPLANAS EN EL PLANO CARTESIANO Para trabajar homotecia en el plano cartesiano se hace necesario recordar concepto y algunas propiedades de vectores. Vector: un vector es un segmento dirigido, este vector por tanto tendrá dirección, módulo y sentido. En el plano cartesiano, las componentes de un vector pueden considerarse como coordenadas del plano cartesiano, haciendo partir todos los vectores desde el origen, estos vectores se llaman “vectores anclados en el origen”. Un vector se caracterizara por tener dirección, sentido, módulo o magnitud. Dirección: la dirección estará definida por la dirección de la recta que contiene el vector. Sentido: el sentido indica el punto de partida y el punto de llegada, hacia adonde se dirige este segmento, en dicha dirección. Magnitud o módulo: el módulo determina la longitud del vector, se indica entre líneas paralelas, si las coordenadas del vector son v u r = a,b ( ), entonces el módulo del vector v u r será v u r = a2 + b2 . Ponderación de un Vector por un Escalar: Para ponderar el vector v u r de coordenadas v u r = a,b ( ) por el escalar k, entonces el nuevo vector tendrá coordenadas kv u r = k a,b ( )= ka,kb ( ) Observación: - Si el escalar por le cual se pondera el vector es un número real positivo, el nuevo vector tendrá la misma dirección e igual sentido. - Si el escalar por el cual se pondera el vector es un número real negativo, entonces el nuevo vector tendrá igual dirección pero sentido opuesto. - Si el módulo del vector v u r es v u r , entonces el módulo de k v será k v . -5 x y -6 -4 3 4 6
- 4. 4 EJEMPLOS 1. El móduloo magnitud del vector v = (1,3) es igual a A) -10 B) 10 C) 4 D) 7 E) 16 2. Si las coordenadas del vector u r son (-5, 12), entonces las coordenadas del vector -3u r serán A) (-15, 12) B) (15, -12) C) (15, 36) D) (-15, 36) E) (15, -36) 3. Respecto a los vectores y q p = (2 = ( ,- - 3 3 ) ) 2, , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Ambos vectores tienen la misma dirección. II) Los módulos de los vectores son iguales. III) Los vectores tienen igual sentido. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 4. Si las coordenadas del vector u r son (7,24), entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) La magnitud del vector u r es 25. II) La magnitud del vector -u no es un número real. III) El vector v (7, -24) tienen la misma dirección. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.
- 5. 5 HOMOTECIA DE FIGURASPLANAS EN EL PLANO CARTESIANO Si a los vectores anclados en el origen, que corresponden a los vértices de una figura, se le aplica una ponderación por un escalar k, se habla de homotecia con centro en el origen y razón de homotecia k. OBSERVACIÓN: Cuando el centro no es el origen se traslada el origen a ese nuevo punto, se realiza la homotecia suponiendo centro en el origen y este resultado se vuelve a trasladar a su posición original, para poder así determinar la imagen. Por ejemplo, si el punto P a trasladas tiene coordenadas P(x,y) y se realiza una homotecia con centro en el punto (x0, y0) y razón de homotecia k, se realiza el siguiente procedimiento. - Al trasladar el origen, las nuevas coordenadas de P serán P1(x – x0, y – y0). - El punto P1 se multiplica (se pondera) por el factor (razón) de homotecia k, resultando el punto P2(kx – kx0, ky – ky0). - El origen vuelve a su lugar, luego las coordenadas de P2 serán ahora P3(kx – kx0 + x0, ky – ky0 + y0). - Entonces la imagen de P, luego de aplicada una HOMOTECIA con centro (x0,y0) y razón k tendrá coordenadas P`(kx – kx0 + x0, ky – ky0 + y0). x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y x 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 y -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -12 -11 -10 -9 -8 Centro de Homotecia Origen, razón de Homotecia 2 Centro de Homotecia Origen, razón de Homotecia -2
- 6. 6 EJEMPLOS 1. Al triánguloPQR de vértices P(3, 1); Q(5, 7) y R(7, -3) se le aplica una homotecia con centro en el origen y razón de homotecia -2, las coordenadas de la imagen del vértice R serían A) (-6, -2) B) (-10, -14) C) (-14, 6) D) (-6, 2) E) (-14, -6) 2. Al triángulo ABC de coordenadas A(3, 9); B(4, 5) y C(-6, -3) se le aplica una homotecia con centro en el origen. Si la imagen del vértice C luego de aplicada la homotecia es C’(8, 4), ¿cuáles serán las coordenadas de la imagen del vértice A? A) (1, 3) B) (-1, -3) C) (2, 6) D) (-2, -6) E) (-4, -12) 3. Al triángulo PQR de la figura se le aplica una homotecia de centro O’ y razón de homotecia k, entonces las coordenadas de O’ son A) (2, 1) B) (2, 2) C) (1, 1) D) (3, 2) E) No es posible determinar el centro de homotecia 4. ¿Cuál es la razón de homotecia aplicada en el ejercicio anterior, en el cuál el triángulo PQR tiene una imagen P’Q’R’ ? A) -2 B) -1 C) 1 D) 2 E) Falta información P Q R P´ R´ Q´ x y
- 7. 7 EJERCICIOS 1. En lafigura, el triángulo A’B’C’ se obtuvo al aplicar una homotecia de factor 1,5 y centro O al triángulo ABC. Si el perímetro del A’B’C’ es 36 cm, entonces el perímetro del triángulo ABC es A) 54 cm B) 36 cm C) 24 cm D) 18 cm E) 12 cm 2. A un triángulo equilátero ABC de vértices A(2, 1); B(-3, 2) y C(0, 5) se le aplica una homotecia con centro en el origen y razón -2, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) La imagen, luego de realizada la homotecia del vértice A será A’(-4, -2) II) Si C’ es la imagen de C luego de realizada la homotecia, entonces CC’= 15. III) La razón de semejanza entre los triángulos será k = -2. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 3. Al triángulo ABC de la figura se le aplica una homotecia de centro H y razón de homotecia k, obteniéndose el triángulo A’B’C’, ¿cuál(es) de los siguientes valores podría corresponder a k? I) 1 2 II) -2 III) 2 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Ninguno de ellos. A´ C´ B B´ C A O A’ C C’ B’ H A B
- 8. 8 4. Al triánguloPQR de la figura se le aplica una homotecia de centro H y razón k. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) La razón de homotecia k es negativa. II) Si k = -1, los triángulos son congruentes III) CA = -k RP A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Ninguna de ellas. 5. Al triángulo ABC de vértices A(1, 2); B(3, 4) y C(-1, -3) se le aplica un homotecia con centro el punto (2, 2) y razón de homotecia 2. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de C? A) (-2, -6) B) (-3, -5) C) (-6, -10) D) (-4, -8) E) (0, 2) 6. Al cuadrado PQRS de la figura se le aplica una homotecia de centro O (intersección de las diagonales) y razón de homotecia k, ¿cuáles de los siguientes valores puede tomar k, para que la imagen se encuentre en el interior del cuadrado PQRS? I) 3 4 II) 2 3 III) 1 - 3 A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. P C R Q H A B O P Q R S
- 9. 9 7. En lafigura se han aplicado dos homotecias con centro H sobre el cuadrilátero B. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Para obtener el cuadrilátero C la razón de homotecia fue 3 : 2. II) Para obtener el cuadrilátero A, la razón de homotecia fue 1 : 2. III) La razón de semejanza entre los polígono A y C, en ese orden, es 1 : 3. A) Solo I B) Solo II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. 8. Al pentágono regular de la figura, se le aplicó una homotecia de razón negativa. ¿Cuál de los puntos señalados es el posible centro de homotecia? A) P B) Q C) S D) R E) T S R T Q P C H A B
- 10. 10 9. Si enel gráfico de la figura, el DEF es el homotético del ABC con centro de homotecia el punto (4, -1), ¿cuál es la razón de homotecia? A) 1 : 2 B) 13 : 1 C) 1 : 1 D) 1 : 2 E) No se puede determinar (Fuente: DEMRE, año 2016) 10. El triángulo PQR de la figura es imagen homotética del triángulo ABC con centro de homotecia O (0, 0), entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Es una homotecia inversa. II) AB // QP III) Si A(-3, 1) y P(6, -2), entonces la razón de homotecia es -2. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III R A x B P C Q y 5 2 A B C D E F 6 8 x y
- 11. 11 P A B D C Q R S E H G F O 11.En la figura se muestran dos homotecias: una de centro O y razón de homotecia 2 que transforma a ABCD en PQRS y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5 que transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si BQ es igual a 5 cm, entonces BF es igual a 2,5 cm. II) 1 OH SH 3 III) EH // PS A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 12. En la figura, se muestra un trazo en que P’ es homotético al punto P, con centro de homotecia O y OP = 20. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si k = 1 : 4, entonces P’P = 15. II) Si k = 1 : 4, entonces OP’ = 15. III) Si k = 1 : 1, entonces P coincide con P’. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III P´ P O
- 12. 12 13. Si alABC se le aplica una homotecia con centro en P y razón k = -1 : 2, se obtiene el A’B’C’, entonces la figura que mejor representa esta transformación corresponde a A) B) C) D) E) 14. Si al triángulo ABC se le aplica una homotecia con centro el origen del sistema cartesiano y razón de homotecia 2, ¿cuáles serán las coordenadas del vértice A si las coordenadas del vértice P son (4, 2)? A) (2, 1) B) (2, 2) C) (6, 4) D) (3, 2) E) (8, 4) A B C A’ B’ C’ P A B C A’ B’ C’ P A B C A’ B’ C’ P A B C A’ B’ C’ P A B C A’ B’ C’ P y P C R Q x A B
- 13. 13 15. En lafigura, al triángulo TUS se le aplican dos homotecias de centro H y razón k1 obteniéndose el triángulo BCA, a este último se le aplica una homotecia con centro H y razón de homotecia k2, obteniéndose el triángulo QRP, si HR y UH = S = HA H 2 , entonces ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I) k2 – k1 = 1. II) Si el área del triángulo TUS es 30 u2 , entonces el área del triángulo PQR es 120 u2 . III) Si el perímetro del triángulo ABC es 30 u, entonces el perímetro del triángulo PQR es 60 u. A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas. 16. A un cuadrado de vértices A(1, 1); B(5, 1); C(1, -3) y D(5, -3) se le aplica una homotecia con centro el origen del sistema y razón -2, ¿cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las diagonales del cuadrado imagen? A) (3, -1) B) (6, -2) C) (-6, 2) D) (-3, -1) E) (-6, -2) A S C Q H U B T P R
- 14. 14 17. Al triángulode vértices P(2, 4), Q(5, 7) y R(7, -1) se le aplica una homotecia con centro en el origen y razón de homotecia 3 k = - 2 . Respecto a la figura resultante, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) La figura resultante es semejante a la original. II) Tiene menor área. III) Uno de sus vértices es (-3, -6). A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 18. Al triángulo PQR de la figura se le aplico una homotecia con centro H y razón k, obteniéndose el triángulo ABC. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) 0 < k < 1 II) PR//AC III) AB = k PQ A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III Q A P R H B C
- 15. 15 19. Al triánguloABC de vértices (2, 1), (4, 0) y (3, 3) de la figura, se le aplica una homotecia con centro P resultando el triángulo A’B’C’. ¿Cuáles son las coordenadas de P? A) (3, 1) B) (3, 2) C) (0, 0) D) (4, 2) E) No se puede determinar 20. ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura del ejercicio anterior? A) -2 B) -1 C) 1 D) 3 2 E) 2 21. Al punto A de coordenadas A(6, 3) se le aplica una homotecia con centro en el origen y se obtiene su imagen de coordenadas A’(-4, -2). Al aplicar la misma homotecia sobre el punto B(9, 6) se obtendrá la imagen de coordenadas A) (6 ,4) B) (3, 2) C) (-6, -4) D) (-3, -2) E) (-6, 4) A B C A´ C´ B´ x y
- 16. 16 22. Considere eltriángulo de vértices A(2, 2); B(3, 5) y C(7, 1). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) Al aplicar un homotecia con centro el origen y razón -2, la imagen de B tendría coordenadas B’(-6, -10). II) Al aplicar una homotecia con centro (1, 1) y razón -1, la imagen de A tendría coordenadas A’(2, 2). III) Al aplicar una homotecia con centro (-1, -1) y razón 2, la imagen de C tendría coordenadas C’(15, 3). A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 23. Al pentágono PQRST de la figura de coordenadas P(2, 9); Q(2, 1); R(8, 3); S(6, 5) y T(8, 7) se aplica una homotecia de centro O` y razón k. ¿Cuáles son las coordenadas de O’ ? A) (10, 11) B) (3, -2) C) (-10, 11) D) (-4, 10) E) (0, 0) P P´ Q` Q R R´ S S´ T T´ x y
- 17. 17 24. ¿Cuál esla razón de homotecia de la homotecia realizada en el ejercicio 23? A) 3 - 2 B) 2 - 3 C) 2 3 D) 3 2 E) 2 25. En la figura, el triángulo PQR es la imagen homotética del triángulo CAB, con centro de homotecia G. Se puede determinar la razón de homotecia k, si: (1) RQ es mediana del triángulo ABG. (2) ABR = QRG A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional C B A Q R G P
- 18. 18 RESPUESTAS EJEMPLOS RESPUESTAS PÁG.7 1. C 6. D 11. E 16. C 21. C 2. B 7. D 12. D 17. C 22. A 3. C 8. C 13. B 18. E 23. A 4. E 9. A 14. A 19. A 24. D 5. D 10. E 15. C 20. E 25. A MT-23 Pág. 1 2 3 4 2 D B C E 4 B E B C 6 C E B B EJEMPLO Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/