Lógica proposicional

CONCEPTO
La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación de
proposiciones complejas a partir de proposiciones simples.
La lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples
representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas,
representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras
proposiciones de mayor complejidad.

PROPOSICIÓN
Es aquel enunciado aseverativo del cual se puede señalar verdadero o falso,
pero no ambos a la vez con respecto a una realidad. Por lo general, a las
proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es
decir, p, q, r, s, t, ...., etc.
Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones:
 p: 19 + 5 = 21 (F)
 q: Daniel Alcides Carrión es una provincia del Perú (V)
 r: El número 15 es divisible por 3. (V)
 s: El mono es reptil. (F)

ENUNCIADOS O EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES
Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad,
que indican una pregunta, un orden, una exclamación, son expresiones NO
PROPOSICIONALES.
Así tenemos, por ejemplo:
– ¿Cómo te llamas?
– ¿Cómo estas?
– Borra el pizarrón.
– ¿Qué haces?
– Lava el coche por favor.
– Prohibido pasar

CLASES DE PROPOSICIONES:
 Proposición Simple o atómica.- Es aquella que consta de una sola
proposición, sin conectivos lógicos.
Ejm.1 Sea la proposición p: 3 + 6 = 9
Ejm.2 Tania es alta.
 Proposición Compuesta o molecular .- Es aquella que consta de dos o
más enunciados simples, con conectivos lógicos:
y; o; entonces, etc.
Ejm. Matías es doctor y Lorena es enfermera.

Los conectivos lógicos son símbolos que sirven de enlace entre las
proposiciones simples (atómicas) y formar proposiciones compuestas
(moleculares).
Ejemplos:
Lima es la capital del Perú y Barcelona es la capital de España
p Ʌ q
CONECTIVO LÓGICO
CONECTIVOS LÓGICOS

SIMBOLO
CONECTOR
LOGICO
OPERACIÓN
LOGICA
ESQUEMA SIGNIFICADO
~ NEGACION ~ P
“no p”, no es cierto que
p
Ʌ CONJUNCION p Ʌ q p y q
V DISYUNCION p v q p o q
∆
DISYUNCION
EXCLUSIVA
p ∆ q o ¨p¨ o ¨q¨
CONDICIONAL p q Si p entonces q
BICONDICIONAL p q ¨p¨ si y solo si ¨q¨

TABLAS DE VERDAD
El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de
la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula:
N° de líneas = 2n
Donde n = número de variables distintas.
Tabla de verdad con 2
proposiciones simples:
p q
V V
V F
F V
F F

p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
TABLA DE VERDAD CON 3 PROPOSICIONES SIMPLES:

Combinando proposiciones simples obtenemos proposiciones compuestas
mediante operaciones lógicas. A cada una de estas operaciones lógicas le
corresponde una tabla de verdad. Las principales son :
CONJUNCION: Dos proposiciones simples p y q relacionadas por el conectivo lógico ¨y¨ ,
conforman la proposición compuesta llamada conjunción la cual se simboliza así: p Ʌ q.
Se lee: p y q
Tabla de Verdad:
El valor de verdad para dos proposiciones p Ʌ q
es verdadera (V) únicamente cuando p y q son ambas
verdaderas. En todos los demás casos es falsa (F).
p q p Ʌ q
V V V
V F F
F V F
F F F
OPERACIONES LOGICAS

Palabras conectivas: y, pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, no obstante.
Ejemplo 1:
p: “el triángulo equilátero tiene los tres lados iguales”
q: “el triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales”
p Ʌ q: “el triángulo equilátero tiene los tres lados iguales y el triángulo equilátero tiene
los tres ángulos iguales”
En forma más sencilla, se enuncia: “el triángulo equilátero tiene sus tres lados y sus
tres ángulos iguales”
Ejemplo 2: Está lloviendo y está nublado.

DISYUNCION INCLUSIVA O DEBIL:
Se llama disyunción de las proposiciones p y q a la proposición p ó q. Se denota
por p v q.
El valor de verdad para dos proposiciones p v q es falsa (F) únicamente cuando
ambas son falsas. En todos los demás casos es verdadera.
Tabla de verdad:
EJEMPLO 1: Felipe será ingeniero o será abogado.
EJEMPLO 2:
Está lloviendo o está soleado.
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
p q
v

DISYUNCION EXCLUSIVA O FUERTE:
Se llama disyunción excluyente de las proposiciones p y q a la proposición “o p
o q”. Se denota como
La proposición es verdadera sólo si las proposiciones p y q tienen
diferente valor de verdad y es falsa en otro caso.
Tabla de verdad:
Ejemplo 2:
O bien está soleado, o bien está nublado
q
p 
p q ∆
V V F
V F V
F V V
F F F
q
p 

CONDICIONAL O IMPLICATIVA:
Se llama condicional de las proposiciones p y q a la proposición “si p,
entonces q”. La primera proposición se llama antecedente y la segunda
consecuente.
La proposición p → q es falsa solamente si p es verdadera y q es falsa y
es verdadera en cualquier otro caso.
Se denota por p → q y se lee: “si p entonces q” ó “p es condición suficiente
para q” ó “q es condición necesaria para p”.
EJEMPLO 1:
Si Felipe nació en Perú entonces Felipe es Sudamericano.
p → q

TABLA DEVERDAD:
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
EJEMPLO 2:
Si el sistema solar está formado sólo por astros, entonces la tierra es
un astro.
p: el sistema solar está formado sólo por astros
q: la tierra es un astro
p → q

Palabras conectivas:
Si ….p…. entonces ....q...
Si …p… , …q…
Por lo tanto
…. Por que
Cuando …p… , …q…
Siempre …p… , …q…
…Dado que …
…En vista que…
Es condición suficiente …p… para que …q…
…q… sólo si …p…
Es condición necesaria …q… para que …p…

BICONDICIONAL:
Dos proposiciones simples p y q relacionada por el conectivo lógico ¨…si y solo
si..¨ conforman la posición compuesta llamada BICONDICIONAL la cual se
simboliza así p ↔ q . SE LEE: p si y solo si q.
La proposición p ↔ q es verdadera si ambas p y q son verdaderas o
falsas. En el resto de los casos es falsa.
TABLA DE VERDAD:
EJEMPLO:
9 < 10 SIY SOLO SI 9 + 2 < 10 +2
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
p q

Palabras conectivas:
• si y sólo si,
• cuando y sólo cuando,
• es equivalente a,
•es condición suficiente y necesaria para.

P ∼ p
V F
F V
NEGACION:
Se llama negación de una proposición p, a la proposición “no p”. Se denota
por ~p. Se lee: No p, no es el caso que p, no es cierto que p.
TABLA DE VERDAD:
Observación: La proposición ~p es verdadera si p es falsa y, es
falsa si p es verdadera.
EJEMPLO:
p: 17 es un numero impar.
~p: No es cierto que 17 es un numero impar.

TIPOS DE PROPOSICIONES
TAUTOLOGÍA
Es aquella proposición (compuesta) cuyos valores de verdad del operador
principal son todos verdaderos, cualquiera sea el valor de verdad de sus
componentes. La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo
para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.
Ejemplo: p q p Λ q  p v q
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F V F

Ejemplo: Demuestre que p ∨ (∼ p) es tautología.
P ∼ p p ∨ (∼ p)
V F V
F V V
NOTA: En las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición
es siempre verdadero. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya
que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar
demostraciones.

La expresión (p ^ q) → (p ∨ ~r) es una tautología
p q r ~ r p ∧ q p ∨ ~ r (p ∧ q) → (p ∨ ~ r)
V V V F V V V
V V F V V V V
V F V F F V V
V F F V F V V
F V V F F F V
F V F V F V V
F F V F F F V
F F F V F V V

CONTRADICCIÓN
Ejemplo:
Demuestre que p ∧ (∼ p)
es una contradicción.
Solución: Debemos encontrar la tabla de verdad de la proposición y
verificar que siempre es falsa
P ∼ p p ∧ (∼ p)
V F F
F V F
Es una proposición cuyos valores de verdad del operador principal son
todos falsos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus componentes.

p q [~ p → ( q Λ ~ q )] Λ ~ p
V V F V V F F F F
V F F V F F V F F
F V V F V F F F V
F F V F F F V F V

CONTINGENCIA
Una proposición que no es tautología ni
contradicción se llama Contingencia, cuyos valores
de verdad de su operador principal tienen por lo
menos una verdad y/o una falsedad.
Ejemplo: Demuestre que p ∨ (∼ q) es una
contingencia.
Concluimos que p ∨ (∼ q) es una contingencia.
p q ∼ q p ∨ (∼ q)
V V F V
V F V V
F V F F
F F V V

PRINCIPALES LEYES LOGICAS O TAUTOLÓGICAS
T1: LEY DE IDENTIDAD (Reflexividad): Una proposición solo es idéntica así misma. Se expresa
por:
p p y p p
T2: LEY DE NO CONTRADICCIÓN: Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez. Se
expresa por:
~ (p Λ ~ p)
T3: LEY DELTERCIO EXCLUIDO: Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera
posibilidad. Se expresa por:
(p V ~ p)

EQUIVALENCIAS NOTABLES
E1: LEY DE INVOLUCIÓN O DOBLE NEGACIÓN: La negación de la negación es una
afirmación.
~ ( ~ p) ≡ p
E2: LEY DE IDEMPOTENCIA: Una cadena de conjunciones o disyunciones de variables
redundantes se eliminan, se reemplazan por la sola variable.
a) p Λ p ≡ p
b) p v p ≡ p

E3: LEYES CONMUTATIVAS: En una proposición, la conjunción, la disyunción inclusiva y la
bicondicional son conmutativas.
(p Λ q) ≡ (q Λ p)
(p v q) ≡ (q v p)
(p ↔ q) ≡ (q ↔ p)
E4: LEYES ASOCIATIVAS: En una proposición, la doble conjunción, la doble disyunción, o la doble
bicondicional se asocian indistintamente.
. (p Λ q) Λ r ≡ p Λ (q Λ r)
(p v q) v r ≡ p v (q v r)
(p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)
EQUIVALENCIAS NOTABLES

E5: LEYES DISTRIBUTIVAS: En una proposición la conjunción, la disyunción y la
implicación son distributivas.
La conjunción se distribuye en una disyunción.
p Λ (q v r) ≡ (p Λ q) v (p Λ r)
La disyunción se distribuye en una conjunción.
P v (q Λ r) ≡ (p v q) Λ (p v r)
El condicional se distribuye en una conjunción.
p→(q Λ r) ≡ ( p → q) Λ (p → r)
El condicional se distribuye en una disyunción.
p→ (q v r) ≡ (p→q) v (p→r)

E6: LEYES DE DE MORGAN: En una proposición, la negación de una conjunción o de
una disyunción son distributivas respecto a la disyunción o conjunción.
Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa, es decir,
una conjunción en una disyunción, como podemos observar aquí:
 La negación de una proposición conjuntiva equivale a la disyunción de las
negaciones de las componentes.
a) ~ (p Λ q) ≡ (~ p v ~q)

 La negación de una proposición disyuntiva equivale a la conjunción de las
b) ~ (p v q) ≡ (~ p Λ ~q)
 Una proposición disyuntiva equivale a la negación de la conjunción de las
c) (p∨q) = ~(~p∧~q)
 Una proposición conjuntiva equivale a la negación de la disyunción de las
d) (p∧q) = ~(~p∨~q)

E7: LEYES DEL CONDICIONAL: En una proposición, la condicional equivale a la
disyunción de la negación del antecedente con el consecuente, y la negación de
una condicional equivale a una conjunción del antecedente con la negación del
consecuente.
 El condicional equivale a una disyunción donde la primera componente se niega.
(p → q) ≡ (~ p v q)
 La negación de condicional equivale a una conjunción donde la segunda
componente se niega.
~ (p→q) ≡ (p Λ ~q)

E8: LEYES DEL BICONDICIONAL:
 El bicondicional equivale a la conjunción del condicional con su reciproco.
Se expresa simbólicamente así:
(p ↔ q) ≡ (p → q) Λ (q → p)
 El bicondicional equivale a la disyunción de una conjunción contra
conjunciones de iguales componentes, pero negadas.
Se expresa simbólicamente así:
(p ↔ q) ≡ (p Λ q) v ( ~p Λ ~q)
(p ↔ q) ≡ ~(p ∆ q)

E9: LEYES DE LA ABSORCIÓN:
a) p Λ (p v q) ≡ p
b) p Λ ( ~p v q) ≡ p Λ q
c) p v (p Λ q) ≡ p
d) p v ( ~p Λ q) ≡ p v q
a) y b) constituyen la absorción del esquema conjuntivo al disyuntivo. Uno de los miembros del
esquema conjuntivo es el esquema absorbente y el otro miembro es el esquema que se
absorbe ( la disyunción).
c) y d) constituyen la absorción del esquema disyuntivo al conjuntivo. A diferencia de a) y b) el
esquema absorvente es una variable o cadena de disyunciones y el esquema que se
absorbe es una conjunción. Note que a) y c) se absorbe toda la disyunción y conjunción,
mientras que en b) y d) se absorbe solo la variable que se repite negativamente.

E10: LEYES DE LA TRANSPOSICIÓN:
Los miembros de un condicional y bicondicional pueden ser transpuestos
si se niegan cada uno de ellos.
a) (p → q) ≡ ( ~q → ~p)
b) (p ↔ q) ≡ ( ~q ↔ ~p)

E11: LEYES DE EXPORTACIÓN:
(p Λ q) → r ≡ p → (q → r)
[(p1 Λ p2 Λ3 Λ … Λ pn) → r ] ≡ [(p1 Λ p2 Λ p3 Λ …Λpn-1)→(pn→r)]
E12: ELEMENTOS NEUTROS PARA LA CONJUNCIÓN Y DISYUNCIÓN:
p Λ V ≡ p ( V es tautología, verdad)
p v F ≡ p ( F es una contradicción, falso)
p ∧ F ≡ F
F v V ≡ V
p v V ≡ V
F ∧ V ≡ F

Lógica proposicional

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Lógica proposicional (20)

Último (20)

Lógica proposicional