Matrices

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  UNIVERSIDAD NACIONAL «SANTIAGO ANTUNEZDE MAYOLO» CURSO : MATEMÁTICA II. INTEGRANTES : AGUEDO LEON CRISTHIAN. RODRIGUEZ CASTILLO MARCO. PROFESOR : TEMA : MÉTODO DE GAUSS – JORDAN PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
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  SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales en donde cada ecuación es de primer grado, definidas sobre un sistema. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
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  MÉTODO DE GAUSS- JORDAN Llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss - Jordan cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss - Jordan transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior y se continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz escalonada reducida. Matriz escalonada reducida 1 0 0 0 1 0 0 0 1           Carl Friedrich Gauss Wilhelm Jordan
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  A. Método deGauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales con solución única. B. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales con infinidad de soluciones. C. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales sin solución. D. Método de Gauss-Jordán para sistemas de ecuaciones lineales homogéneas. MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
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  MÉTODO DE GAUSS- JORDAN PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON SOLUCIÓN UNICA Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss- Jordán: Matriz Aumentada: 36 16 6 4 0 64 8 0 4 16 2 4 0 64 9 8 3 0 B D E F B D E F B D E F B D E F                     16 6 4 36 8 64 16 2 4 4 9 8 3 64 B D E F B D E F B D E F B D E F                     Desarrollo: 16 6 4 1 36 1 8 1 1 64 16 2 4 1 4 9 8 3 1 64                        
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  Reduciendo: 22 31 ( 1) 166 4 1 36 1 8 1 1 64 1 8 1 1 64 16 6 4 1 36 16 2 4 1 4 16 2 4 1 4 9 8 3 1 64 9 8 3 1 64 FC                                                   1 2 2 3 3 1 2 4 4 1 2 1 (8)8 ( 16) ( 130) ( 9) ( 80) 1 8 1 1 64 1 8 1 1 64 0 8 8 0 32 0 1 1 0 4 16 2 4 1 4 0 130 20 15 1020 9 8 3 1 64 0 80 12 8 512 F F F F F F                                                      3 4 3 4 1 5 1 17 224 1 0 7 1 32 1 0 7 1 32 0 1 1 0 4 0 1 1 0 4 0 0 110 15 500 0 0 22 3 100 0 0 68 8 192 0 0 17 2 48 F F F F                                            3 4 3 4 1 5 1 17 224 1 0 7 1 32 1 0 7 1 32 0 1 1 0 4 0 1 1 0 4 0 0 110 15 500 0 0 22 3 100 0 0 68 8 192 0 0 17 2 48 F F F F                                            1 4 3 4 4 ( 1) 1 (3)7 1 0 7 1 32 1 0 7 1 32 0 1 1 0 4 0 1 1 0 4 0 0 22 3 100 0 0 22 3 100 0 0 0 7 644 0 0 0 1 92 F F F                                              
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  1 3 2 3 3 (7) 1 22 1 07 0 60 1 0 7 0 60 0 1 1 0 4 0 1 1 0 4 0 0 22 0 176 0 0 1 0 8 0 0 0 1 92 0 0 0 1 92 F F F                                          1 0 0 0 4 0 1 0 0 4 0 0 1 0 8 0 0 0 1 92                    Interpretación del resultado: La última matriz escalonada reducida, indica que las soluciones para este sistema de ecuaciones lineales son: 4B  4D   8E   92F   , , .
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  MÉTODO DE GAUSS- JORDAN PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON INFINIDAD DE SOLUCIONES Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordán: 5 3 2 1 2 3 2 3 2 2 3 3 2 5 5 4 x y z w x y z w x y z w x y z w                  Desarrollo: 1 2 3 2 2 4 3 2 (5) ( 3) (2) 5 3 1 2 1 5 3 1 2 1 52 1 3 1 2 1 1 1 4 33 2 2 3 3 3 2 2 3 42 5 1 5 4 2 5 1 5 F F F F                                           22 31 4 31 (8) (7)( 1) 50 8 6 22 1 1 1 426 5 261 1 1 4 0 8 6 22 12 120 1 5 9 0 1 5 9 14 140 7 1 13 0 7 1 13 FC FF                                             
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  4 2 3 3 2 5 511 1 4 1 1 1 4 70 700 0 34 50 0 0 34 50 12 120 1 5 9 0 1 5 9 70 00 0 34 0 0 0 0 0 F F C                                                    1 12 3 2 3 3 ( 4) 1 ( 5)34 71 0 4 551 1 1 4 120 1 5 9120 1 5 9 352570 0 0 10 0 34 50 1717 00 0 0 0 00 0 0 0 F F F F                                           15 211 0 0 17 17 28 290 1 0 17 17 25 350 0 1 17 17 0 0 0 0 0                           15 21 17 17 28 29 17 17 25 35 17 17 0 0 x w y w z w w         15 21 17 17 28 29 17 17 25 35 17 17 x w y w z w        21 15 17 17 29 28 17 17 35 25 17 17 wx y w z w       w cSi , tenemos: 21 15 17 17 29 28 17 17 35 28 17 17 c c c x y z w c         , con cR Entonces se puede decir que hay infinidad de soluciones para este sistema de ecuaciones lineales.
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  MÉTODO DE GAUSS- JORDAN PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SIN SOLUCIÓN Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordán: Desarrollo: 2 2 5 3 1 2 2 2 3 x y z w x y w x z w x y z w               2 1 3 1 4 3 1 2 ( 2) ( 3) ( 2) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 12 2 52 1 0 1 0 3 2 3 1 1 53 0 1 1 0 3 2 4 3 12 2 2 1 0 0 0 1 F F F F                                              4 3 ( 1) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 0 3 2 3 1 0 3 2 3 1 0 0 0 1 6 0 0 0 1 6 50 0 0 1 1 0 0 0 0 F                                           0 0 0 0 5x y z w    0 5De la cuarta fila se tiene que da la igualdad de (incorrecto) por lo tanto este sistema de ecuaciones lineales no tiene solución
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  11 1 122 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 ............... 0 ............... 0 n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x           1 1 2 2 3 3 ............... 0m m m mn na x a x a x a x     Los sistemas homogéneos SIEMPRE tienen solución ya que: 1 2 3 ....... 0nx x x x     Esta solución es llamada la solución trivial, así un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene solución única o tiene una infinidad de soluciones. Esta solución es llamada la solución trivial, así un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene solución única o tiene una infinidad de soluciones. MÉTODO DE GAUSS - JORDAN PARA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS Un sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGÉNEO si cada una de las ecuaciones está igualada a cero es decir:
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  Ejemplo: Resolver el siguientesistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss- Jordán: 2 3 4 0 3 2 2 0 4 6 0 x y z x y z x y z          Desarrollo: 2 1 1 3 3 1 ( 3) (2) 2 3 4 0 1 4 6 0 3 2 2 0 3 2 2 0 1 4 6 0 2 3 4 0 F C F                                3 22 11( ) 102 1 4 6 0 1 4 6 0 0 10 16 0 0 10 16 0 1 5 8 0 0 0 0 0 FF                                1 2(4) 21 01 4 6 50 0 8 80 1 0 0 1 0 5 5 0 00 0 0 0 0 0 F                              
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  ANÁLISIS DE SISTEMASDE ECUACIONES LINEALES QUE INVOLUCRAN CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL SISTEMA TENGA O NO SOLUCIÓN En esta parte se dan ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales donde se determinan valores de constantes para que el sistema de ecuaciones lineales tenga o no solución. Ejemplo: Obtener el valor para que el sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordán: k 2 3 2 2 5 4 2 5 4 x y z x y z x y k z k          
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  Desarrollo: 2 1 3 3 1 2 (1) (2) ( 1) 2 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 5 4 0 1 6 2 42 5 0 1 2 F F F k kk k                                   2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 6 2 0 1 6 2 2 20 0 4 0 0 4 F k kk k                                Si entonces:2 4 0k  32 1 4 2 1 3 1 2 0 1 6 2 0 0 1 2 4 F k k k                       3 2 6 2 1 2 x y z y z z k          Del sistema de ecuaciones lineales anterior se obtiene que este es un sistema de ecuaciones lineales con solución única si 2k  
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  Pero si lacuarta matriz queda en la forma de:2k  1 3 1 2 0 1 6 2 0 0 0 0              De esta matriz se obtiene que: 3 2 6 2 0 0 x y z y z z         3 2 6 2 x y z y z       Este es un sistema de ecuaciones lineales con infinidad de soluciones. Y si la cuarta matriz se transforma en:2k   1 3 1 2 0 1 6 2 0 0 0 4               En la tercera fila se tiene que , que da la igualdad .Lo cual nos indica que el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución. En conclusión: 0 0 0 4x y z    0 4  Si , este sistema de ecuaciones lineales tiene solución única Si , este sistema de ecuaciones lineales tiene infinidad de soluciones. Si , este sistema de ecuaciones lineales no tiene solución. 2k   2k   2k  2k  
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  MÉTODO DE GAUSS-JORDANPARA HALLAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ Ejemplo: Obtener la inversa de la matriz mediante el método de Gauss-Jordan: 2 3 4 4 3 2 0 1 0           Desarrollo: 3 2 2 3 4 1 0 0 2 3 4 1 0 0 4 3 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 4 3 2 0 1 0 C A                          3 1 ( 2) 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 6 2 1 0 F A                  1 3 32 (1/2) (1/ 6)(3) 3 11 2 0 02 3 4 1 0 0 2 2 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 6 2 1 0 0 0 1 1 1 1 3 6 2 F FF A                                
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  3 1 23 13 ( 3/2) ( 2)96 3 1 1 1 1 11 0 0 2 2 2 1 0 0 6 3 2 11 3 20 1 0 0 1 0 0 0 1 13 13 13 0 0 1 1 1 10 0 1 116 34 26 3 6 296 96 96 F F F F A                                            La inversa es: 1 1 1 1 6 3 2 0 0 1 1 1 1 3 6 2 A                  Comprobando: 1 *A Matriz IdentidadA  1 1 1 1 1 1 1 0 06 3 2 6 3 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 3 6 2 3 6 2                                   