mod_geo_primer_grad_2010

PRESENTACIÓN

El COLEGIO DE CIENCIAS APLICADAS “VÍCTOR VALENZUELA
GUARDIA” pone a disposición de nuestros alumnos el presente Módulo Teórico-
Práctico, del curso de Geometría y Medición correspondiente al área de Matemática, el
cual permitirá a nuestros estudiantes la aprehensión de la asignatura con la visión de
sostenerla y aplicarla en la realidad multidisciplinaria en que hoy se desarrolla la
educación del país.

Queremos manifestar el agradecimiento respectivo a la totalidad de nuestra Plana
Docente, la cual en largas sesiones de trabajo, elaboración y coordinación han podido
lograr la realización de este Módulo, y extender el agradecimiento a todas las
personas que han aportado para que dicho material sea el más óptimo posible.

Estas últimas líneas son para agradecer y felicitar a ustedes por confiarnos su
preparación, y en este binomio que hemos conformado, sabemos por anticipado que la
calidad en servicios educativos, está asegurada.

La Dirección

1er Año Geometría y Medición 2

COCIAP “Víctor Valenzuela Guardia”

Geometría plana
conceptos primitivos – estudio
de la recta
MS.c Miguel Ángel Yglesias Jáuregui
I Bimestre

Historia de la Geometría

¿En qué momento apreció el hombre la
Introducción. maravillosa idea de lo que es un punto? ¿Cuándo
comprendió las propiedades básicas de la línea?
¿Cómo tuvo conciencia de lo que es una
La presente obra, está dirigida a
superficie? ¿Cuándo empezó apreciar la forma
estudiantes que cursan el primer año de
de las cosas? ¿Cuándo tuvo conciencia de lo que
educación secundaria en la Institución
es grande o pequeño, o lo que es
Educativa “Víctor Valenzuela Guardia”
extremadamente grande o extremadamente
(COCIAP), de la UNASAM, y ha sido elaborada
pequeño? A pesar de la complejidad que hay
en base al módulo de “Geometría y Medida”
detrás de estas ideas, el hombre parece no
aplicado el año 2009. Contiene los tópicos de
necesitar demasiado para entenderlas porque
geometría y medida, cuyos contenidos han sido
forman parte de sí mismo. Son componentes
tomados de acuerdo a la programación que hace
fundamentales de su inteligencia.
el Ministerio de Educación. En la elaboración de
Es difícil contestar por qué ocurre esto,
esta obra se ha tenido en cuenta consignar
pero a decir verdad el ser humano no ha
aparte de los contenidos conceptuales, el
desarrollado los conceptos que comprende la
desarrollo de actividades que deben permitir al
geometría como un ejercicio intelectual, lo ha
estudiante, potencializar un conjunto de
hecho porque le es claro cómo aprovechar
habilidades que están enmarcadas dentro del
algunos hechos más evidentes y esto le abre
razonamiento y demostración, pensamiento
nuevas vías de conocimiento que al
geométrico, asimismo habilidades de tipo
desarrollarse vuelven a ser de utilidad y así
procedimental.
sucesivamente en un ciclo interminable. La
Al estudiante a quien va dirigida esta
magnífica construcción que el hombre ha hecho
obra, se le recomienda practicar los ejercicios y
de la geometría es en verdad enorme, sin
problemas, realizar dibujos al momento de la
embargo sus principios básicos son accesibles a
resolución del ejercicio o problema, el cual le
cualquier persona
permitirá visualizar los datos y así desarrollar
Observemos por ejemplo la actitud de
el pensamiento geométrico indicado más arriba.
un niño mirando pacientemente la inquietud de
Asimismo, se le recomienda tener habilidades
un grano de polvo vagando en el aire, en el fondo
en resolución de ecuaciones y sistemas de
este niño está haciendo geometría. El grano de
ecuaciones, pues siempre los problemas
polvo es pequeño e insignificante, sin embargo
geométricos se resuelven mediante técnicas del
el niño fácilmente puede comprender que ése
álgebra.
es el bloque formador de todo lo existente.

CONCEPTO: La geometría es parte de la
Continuemos observándolo, ahora matemática que trata del estudio de figuras
extiende su dedo y después de rascar el muro geométricas, de sus propiedades y su extensión.
mira a contraluz el resultado que es verdad También podemos decir que la geometría es una
sorprendente: el muro está hecho de granos de rama de la matemática que trata con medidas,
polvo, pequeños e insignificantes. Ahora el niño propiedades y relaciones entre puntos, líneas,
repite el mismo ejercicio con su propia piel y ángulos, superficies y sólidos
con los objetos que le rodean, entonces en su Etimológicamente la palabra geometría
mente se forma una idea clara: todo su entorno proviene de las raíces griegas: geo = tierra y
está hecho de granos de polvo. metron = medida; de lo que se deduce que la
Pero un grano de polvo se puede dividir, geometría literalmente quiere decir “medida de
y aún dividir el resultado de la división y la tierra”, es decir “agrimensura”, lo cual nos
continuar sin fin. ¿Qué queda después de indica que uno de los orígenes de la geometría
repetir un millón de veces la división de un fue práctico y surgió de la necesidad de medir
grano de polvo? Lo que queda es en extremo la tierra, para luego con el transcurrir del
pequeño, casi no tiene peso ni dimensiones, se tiempo, ésta se transforme en una ciencia.
parece a la nada y sin embargo existe en el Como se dijo, la geometría tuvo un origen
universo. práctico, agrario (extensión de un terreno), Lo
¿Y qué hay de la línea recta? ¿Se puede que se aprendió a medir (con los geómetras
intuir a partir de la imaginación humana? Bien, griegos) fue la extensión de una línea, recta o
miremos hacia la luz de un foco y luego curva; de una superficie limitada por líneas y de
cerremos nuestros ojos lentamente. Lo que se un volumen limitado por superficies. Pero
ve son segmentos rectilíneos emergiendo del rápidamente la expresión medir adquirió entre
origen de la luz. Hagamos ahora otra cosa, los griegos un sentido muy general de
imaginemos a un hombre primitivo pendiendo de "establecer relaciones". Desde las antiguas
una liana. ¿No es éste un modelo de segmento civilizaciones surgió la necesidad de medir
rectilíneo? Será aun más interesante el cuadro distancias entre puntos o localidades, como así
con un león hambriento esperando en tierra la también cantidades y volúmenes de objetos, por
caída de nuestro amigo, para este último no es lo que se comenzaron a conocer conceptos tales
difícil comprender que la trayectoria que hará como punto, recta, plano, etc.
las delicias del león es la línea que va directo Más tarde seria en la civilizaciones de Egipto,
hacia abajo, y entenderá, nadie sabe cómo pero Asiria, India, en donde se hablaría de figuras
lo entenderá, que la longitud del segmento geométricas y la noción de ángulo,
rectilíneo que le separa de las fauces de la principalmente en Grecia (Siglo VI y III a.C.)
fiera, para su desgracia, la distancia más corta donde tuvo su principal desarrollo. Durante los
posible. años 330 y 275 a. c. en Alejandría vivió un
Y así podríamos continuar analizando las hombre que sistematizó y amplió los
manifestaciones de nuestra intuición en conocimientos geométricos. Sin embargo en
materia geométrica para al fin entender lo aquella época su obra, en la cual establece las
natural que nos resultan estas ideas. Esto relaciones entre conceptos primitivos y sus
justifica sin duda por qué las civilizaciones más principales propiedades, pasa desapercibida. Hoy
notables del planeta han hecho geometría, y una en día solo nos queda un nombre, Euclides, y a
buena medida de su grado de avance se ha través de comentarios, la existencia de trece
establecido en términos del conocimiento libros Stoikheia (elementos), en los que se
geométrico que alcanzaron. encontraban los axiomas y teoremas deducidos
Lectura tomada de [1]


por él, los serán estudiados en el transcurso de LA RECTA: Como idea de recta se tiene el
la asignatura. borde de una regla, un hilo extendido, el borde
de una mesa, etc.
ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA – Podemos pensar la recta como un
CONCEPTOS PRIMITIVOS conjunto de puntos alineados en una dirección,
extendiéndose infinitamente en ambos
El término de concepto primitivo hace sentidos, algunas características de la recta
referencia a aquellos elementos sobre los son las siguientes:
cuales se construye la geometría, sin embargo, • No tiene principio ni fin.
dichos elementos sólo son entes abstractos que • Es infinita en ambos sentidos.
la mente los concibe, a los cuales no podemos • Contiene un conjunto infinito de puntos:
definir, sólo aceptar en nuestro modo de Al respecto se afirma, que entre dos
razonar. Dichos conceptos primitivos son: el puntos distintos, siempre es posible
punto, la recta, el plano y el espacio. encontrar al menos un punto entre ellos.
Tenga en cuenta que la Geometría es
una rama de la Matemática, que justamente Representación: Una recta se representa
tiene como cimientos a estos conceptos mediante una línea con flechas en sus extremos.
primitivos, a partir de los cuales se establecen A continuación se muestran figuras que
los axiomas y postulados, los cuales a la vez van representan una recta y sus formas de
a servir de sustento para que a partir de ellos, notación.
a través de razonamientos, se construyan los
Teoremas. Este proceso en cadena, es L
justamente el método que a través de siglos, A B
han dado origen a la Geometría. Notación:
Notación:
Se lee: recta .
Se lee: recta
EL PUNTO: Como idea de punto se tienen las
marcas de un lápiz sobre un papel, una partícula EL PLANO: Como idea de plano tenemos la
de polvo, un punto ortográfico, etc. superficie de una cancha de fulbito, la
Un punto es un objeto ideal, abstracto, superficie de una mesa, el piso del aula, etc.
que no tiene dimensiones, sin embargo nos será Representación: Un plano se representa
útil en geometría para indicar una posición. mediante un paralelogramo designándose con
Representación: Un punto será representado una letra mayúscula en una de sus esquinas.
mediante una marca redonda y se le designará
P
con letras mayúsculas.

A

B EL ESPACIO: Como idea de espacio tenemos el
C
lugar geométrico que se extiende
indefinidamente, y que contiene a la totalidad
Más adelante, el punto nos servirá para de los objetos geométricos y de cosas
determinar una posición, aun más, será posible existentes imaginables.
hablar de las coordenadas de un punto.



Actividad: Observación: el punto se llama punto
1. Describa algunos objetos del mundo frontera y no pertenece a ninguna de
real, en los cuales sea posible las semirrectas.
identificar: puntos, rectas y planos. B. El rayo: Un rayo es la unión de una
2. Elabore un resumen acerca de la vida y semirrecta con su punto frontera.
obra de “Euclides”
A O B
3. ¿Qué es un axioma?
4. ¿Qué es un Teorema?
5. ¿Cuándo dos rectas son paralelas?
A O O B
6. ¿En qué consiste el quinto postulado de
Euclides? Se denota por Se denota por
, y se lee: El , y se lee: El
rayo , . rayo , .
A continuación iniciamos el estudio detallado
de los elementos de una Recta. El punto en cada uno de los casos es el
origen del rayo.
LA RECTA
Como se dijo anteriormente, el borde de una C. El segmento
regla, el pliegue de una hoja doblada, etc., nos Un segmento es la porción de recta que
dan una idea aproximada de lo que es una se encuentra entre dos puntos. Los
Recta. puntos que determinan un segmento se
La recta es una línea que se extiende llaman puntos frontera y forman parte
indefinidamente en ambos sentidos. Se lo del segmento.
considera como un sub conjunto de plano, el A B
cual a la vez contiene infinitas rectas.
En una recta podemos identificar los A B
siguientes subconjuntos:
Se denota por , y se lee el
segmento , .
I. SUBCONJUNTOS DE LA RECTA
En una recta podemos identificar: (i) Medida de un Segmento: Un
A. La semirrecta: Si sobre una recta segmento tiene la propiedad de ser
se escoge un punto entre y , El medible, es decir posee longitud. La
punto divide a la recta en dos longitud del segmento se denota
subconjuntos (o partes), los cuales se mediante , y es la distancia que hay
llaman semirrectas de origen . Tenga desde el punto , hasta el punto .
en cuenta que el punto no es parte de (ii) Congruencia de un Segmento: El
ninguna de las semirrectas. segmento es congruente al
segmento , lo cual se denota
A O B
mediante ≅ , si y sólo si,
= . Es decir: tienen igual
longitud.
A O O B (iii) Sistemas de medida de longitud
Se denota por Se denota por La medición de un segmento se hace
, y se lee: , y se lee: por comparación con una medida
La semirrecta La semirrecta estándar. Dentro de las medidas
, . , .


estándar se tiene a los siguientes para medir la mesa de centro en tu
sistemas de medición: habitación?
4. Un automóvil recorrió 500 millas, ¿a cuánto
Sistema métrico decimal equivale en kilómetros?
1 Kilómetro(Km) 1000 m 5. En la etiqueta de un carrete de hilo de
1 Hectómetro (Hm) 100 m pescar se puede leer que la longitud de hilo
1 Decámetro(Dm) 10 m es de 50 yardas, ¿cuántos metros de hilo
1 metro(m) 1m contiene dicho carrete?
1 decímetro(dm) 0,1 m 6. ¿Qué es el punto medio de un segmento?
1 centímetro(cm) 0,01 m 7. Usando una cinta métrica, realice mediciones
1 milímetro(mm) 0,001 m sobre algunos objetos de tu aula.
Ejemplo:
Sistema inglés Con respecto a la figura que se muestra, realizar
Las unidades de medida usadas en el sistema las operaciones siguientes:
inglés son la milla, la yarda, el pie y la pulgada,
cuyas equivalencias con unidades del sistema
métrico decimal son las siguientes:
1 milla = 1609,34m
1 yarda = 0,9144 m 1) AM + MN – NB
1 pie = 30,48 cm Rpta. _ _ _ _ _ _
1 pulgada = 2,54cm 2) 2AM + 3MN
Rpta. _ _ _ _ _ _
Operaciones con Segmentos 3) AM . MN + MN . NB
Las operaciones se realizan con los Rpta. _ _ _ _ _ _
números que indican las longitudes. 2AM . NB
4)
En la siguiente figura: MN + NB
19
Rpta. _ _ _ _ _ _

PROBLEMAS PARA LA CLASE
= + +
Es decir: la medida de todo el segmento 1. En una recta se toman los puntos
es la suma de las longitudes de sus consecutivos P, Q y R, PR =20; QR = 4.
partes: Hallar PQ

2. Si: M y N son puntos medios de ó
Actividad
. Calcular: AB
1. Elabore un mapa conceptual sobre los temas:
elementos de la geometría y la recta.
2. El tamaño de una pantalla de televisor se
expresa mediante pulgadas (‘’). Así por
ejemplo, se habla de televisores de 14’’, 21’’, 3. Si: AC + AB = 32. Hallar BC
40’’, etc. Aludiendo a la medida de la diagonal
de su pantalla. En casa, usando una cinta
métrica, realiza la medida de la pantalla de
tu televisor. 4. Del gráfico = 30 , calcular .
3. ¿Cuál es la unidad más idónea para medir la
distancia de Huaraz a Lima? ¿y la más idónea
A B C D

14. En una recta se ubican los puntos
5. Calcular BC, si AC = 9; BD = 11, AD = 15 consecutivos , , y , tal que: =5 ,
"
= 32 y = . Calcular .
! #
15. En una línea recta se ubican los puntos
consecutivos , , y . Si = ,
= 10 y = 12 . Calcule .
consecutivos , , y , tal que: =
2 , = , = 40 . Calcule . Tarea Domiciliaria
consecutivos , , y , tal que: = , 1. En una recta se toman los puntos
= , = 60 . Calcule . consecutivos A, B y C; AC = 30, BC =
12. Hallar AB.
8. Una cuerda de 30 cm se ha dividido en
A) 16 B) 15 C) 14
tres partes, sus longitudes medidas en
D) 18 E) 20
centímetros forman una progresión
aritmética de razón 2. Halle la longitud de 2. Si: 2AB = 3BC = 7CD = 84, Hallar AC.
la parte más pequeña.

9. En una misma carretera están ubicadas las
ciudades , y . ¿Qué distancia hay 3. Si: B y C son puntos medios de y .
entre y , si del punto medio de al Hallar AD.
punto medio de hay 10 km?
10. En una misma carretera se encuentran los
paraderos , y , a mitad del trayecto
se encuentra el peaje y a mitad del
trayecto se encuentra el peaje . Si los 4. Si: AB = CD = 18; BC = DE = 16. Hallar

peajes se encuentran separados 15 km, la longitud del segmento que une los

¿qué distancia separa de los paraderos y puntos medios de y

?
11. En una calle recta de 190 m de longitud,
están ubicados 20 árboles separados a
igual distancia. Calcular la distancia de
separación, si en los extremos de la calle 5. Si: AC + BD = 36. Hallar AD
hay árboles.
12. En un terreno de forma cuadrada se ubica
un bastón en cada esquina y cada 20m otro
bastón, ¿cuántos bastones se han puesto si
el perímetro del cuadrado es de 320 m?
13. Un rayo derriba un árbol y lo rompe en tres
consecutivos A, B y C tal que AB – BC = 6 y
pedazos, uno de ellos mide el doble que
AB + BC = 10. Hallar AB
otro y el restante mide 10 m. Si el árbol
7. En una recta se ubican los puntos A, B, C y
en pie medía 40 m, ¿cuánto mide el pedazo
AB CD
más pequeño? D tal que = BC = , siendo AD = 12.
3 2
Calcule BC.


8. En una recta se ubican los puntos D) 11 E) 12
consecutivos A, B y C tal que AB = 2BC y AC
15. Si: 3PQ = 4QR = 5RS = 60. Calcular PS
= 6. Calcule: BC
9. Si: M es punto medio de y AC – CE = 32.
Hallar MC

A) 41 B) 43 C) 47
D) 48 E) 60

10. Si: AB = 10, BC = 18. 16. Si: M y N son puntos medios de y ,
Hallar BM, siendo M punto de Hallar PQ

A) 24 B) 36 C) 48
11. Si M es punto medio de y AB + AC = 38. D) 46 E) 50
Hallar AM.
17. Si: N es punto medio de PR y PQ – QR
= 48.
Hallar NQ

12. Si P y Q son puntos medios de y
. Hallar MR

A) 15 B) 28 C) 29
D) 34 E) 17

18. En una calle recta de 280 m de longitud, se
encuentran ubicados una cantidad de
árboles separados a 20 m de distancia uno
A) 12 B) 20 C) 24 del otro. ¿Cuántos árboles hay en la avenida,
D) 26 E) 28 si hay un árbol en cada extremo?

13. Si: PR + PQ = 64. Hallar QR 19. Sobre una línea recta se tienen los puntos
consecutivos , , y tal que =2 ,
=3 y = 30 . Calcule .
20. Si N es punto medio de QR y además
PQ+PR=30. Hallar PN
A) 14 B) 15 C) 16
D) 18 E) 20

14. Calcular QR, si. PR = 18; QS = 22, PS = 30

A) 10 B) 15 C) 20
D) 30 E) 40

A) 8 B) 9 C) 10


de los egipcios. Lo que si está claro es que los
EL ÁNGULO griegos fueron muy respetuosos de la sabiduría
en oriente, Egipto y Babilonia.
LECTURA: La matemática prehelénica fue algo A pesar que este auge de los griegos fue
más que un empirismo factible, una colección de mucho más reciente que el de los egipcios,
procedimientos prácticos que si bien llegaron a actualmente no se tienen escritos griegos
aciertos notables, como es el caso de la fórmula originales sobre Geometría. La fuente más
para calcular el volumen de un tronco de importante sobre esta historia es el sumario de
pirámide cuadrada, puede llevar a errores como Eudemo escrito por Proclo quien vivió en el siglo
hubo varios. El razonamiento lógico se V d. de C., varios cientos de años después del
contrapone a los procedimientos empíricos decaimiento de la cultura griega. Este texto es
porque no basa sus aseveraciones en la un resumen de otra obra mucho más extensa y
observación, ciertamente la usa como medio para antigua escrita por Eudemo, alumno de
ganar intuición, pero es más bien el uso de la Aristóteles, en algún año anterior a 335 a. de C.,
lógica formal la que nos ayuda a encontrar la que también se llama el Sumario de Eudemo y
verdad. ahasta donde se puede apreciar por unas
Pongamos un ejemplo, sabemos que cuantas hojas que se conservan de este trabajo,
todas las rocas son duras y sabemos además que se trató de un compendio muy completo de la
el cuerpo humano cuando cae desde una altura historia de los griegos.
superior a los dos metros sobre una cosa dura se
daña de manera severa. Si alguien nos propusiera DEFINICIÓN
lanzarnos de la azotea de una construcción Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un
sobre un conjunto de piedras desde una altura origen común.
de 10 metros, realmente no necesitamos
experimentar lo que puede pasar, seguro vamos ELEMENTOS
a resultar lastimados y esto es una consecuencia - Lados: Son los rayos y
lógica de los hechos que se enunciaron al - Vértice: Es el origen común “B”
principio de este párrafo.
Del mismo modo, si sabemos que dos Notación:
rectas a lo más se intersectan en un punto, En general los ángulos se designan con tres
entonces no es posible que por dos puntos dados letras mayúsculas; la letra central corresponde
pase más de una recta porque de lo contrario al vértice.
estas rectas se intersectarían en dos puntos y Algunas veces, cuando no hay lugar a
ya habíamos dicho que esto es imposible. Así, a confusión un ángulo se nombra con la letra del
partir de uno o varios resultados geométricos, vértice.
es posible demostrar otros sin necesidad de
hacer experimentos. No estamos diciendo que la ∧
experimentación sea inapropiada, al contrario, la ∢ABC, A B C
experimentación sirve para plantear conjeturas El símbolo ∢ se
y para corroborar los resultados que se lee “ángulo”
obtengan a partir del razonamiento lógico. Este
modelo de pensamiento es el que finalmente les MEDIDA DE UN ÁNGULO
permitió a los griegos construir la Geometría La medida de un ángulo está determinada por la
Sistemática o Matemática. abertura que forman los dos rayos que lo
No se sabe bien a bien cómo lograron conforman. Para realizar la medición de un
asimilar los griegos los conocimientos científicos


ángulo, se cuenta con tres sistemas de medida 7. Efectuar 128°30’56’’-53°56’58’’
muy conocidos: 8. Calcular: 190°-42°25’45’’
El sistema sexagesimal
El sistema centesimal BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Sistema radial Es el rayo que partiendo del vértice, divide al
ángulo en dos ángulos congruentes.
a. Sistema sexagesimal
Consiste en dividir el ángulo de una vuelta
(circunferencia) en 360 partes iguales
(ángulos iguales), de modo que cada una de
esas partes se toma como unidad de medida y
se le llama grado sexagesimal (1°). De este
modo una vuelta consiste de 360 grados
∧ ∧
sexagesimales. Asimismo, un grado se vuelve Divide al ∢A0B en dos ángulos. A 0 P y P 0 B
a dividir en 60 partes iguales, siendo cada que son congruentes por tener la misma medida
una ellas un minuto sexagesimal (1’). Si un “α” luego.
minuto sexagesimal se divide nuevamente en
es bisectriz de ∢A0B
60 partes iguales, cada una de ellas es un
segundo sexagesimal.
Actividad:
1 vuelta = 360°
1. Usando regla y compás, determine la
1° = 60’
bisectriz de cualquier ángulo.
1’ = 60’’
2. Dibuje un ángulo de 55°, luego usando regla y
El instrumento que se usa para medir ángulos
compás, dibuje la bisectriz del ángulo.
en este sistema se llama transportador.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN
b. Sistema centesimal
SU MEDIDA
Consiste en dividir el ángulo de una vuelta, en
400 partes iguales, siendo cada una de ellas
Ángulo Nulo
un grado centesimal (1g)
Cuando sus dos lados coinciden midiendo de
1 vuelta = 400g
esta manera 0º.
c. Sistema radial
Su unidad de medida es el radián

ACTIVIDAD . m∢A0B = 0º .
1. Realice con el Profesor una experiencia,
mediante la cual determine, en qué consiste Ángulo Agudo
un radián. Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y
2. Usando tu transportador, dibuja ángulos mayor que 0º.
cuyas medidas sean: 25°, 40°, 75°, 90°,
125°, 175°, 275° y 340°.
3. Convertir 1224’’ en minutos y segundos.
4. Exprese 24356’’ en grados, minutos y
segundos.
5. Expresar 32546’’ en grados minutos y
segundos.
. 0º < m∢A0B < 90º .
6. Efectuar: 79°50’24’’+20°42’18’’.


Ángulo Recto
Es el ángulo cuya medida es igual a 90º.

Ángulo Opuestos por el Vértice
Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y
sus lados son opuestos (tienen la misma medida)
. m∢A0B = 90º .

Ángulo Obtuso
Es el ángulo cuya medida es menor que 180º pero
mayor que 90º.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN
LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS
. 90 < m∢A0B < 180º .

Ángulo Complementarios
Ángulo Llano
Dos ángulos son complementarios si la suma de
Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se
sus medidas es 90º.
encuentran extendidos en direcciones opuestas)

. m∢A0B = 180º .

Ángulo de una Vuelta . α + β = 90º .

Es el ángulo cuya medida es 360º
Ángulo Suplementarios
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus
medidas es 180º

. m∢A0B = 360º .

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
SEGÚN SU POSICIÓN

Ángulo Consecutivos
Son los que tienen lados en común y el mismo
α + β = 180º .
vértice


Actividad:
1. Elabore un mapa conceptual referente al PROBLEMAS PARA LA CLASE
tema de ángulos. 1. En la figura, hallar “θ”
2. Dibuje ángulos que sean opuestos por el
vértice, luego con la ayuda del transportador
mida los ángulos opuestos y compruebe que
tienen la misma medida.
3. Con la orientación de tu profesor, descubre
una propiedad mediante la cual se pueda
determinar el complemento o el suplemento
2. Hallar “x”
aplicado a un ángulo muchas veces.

TEOREMAS FUNDAMENTALES

Teorema I
La suma de las medidas de los ángulos
consecutivos formados alrededor de un mismo ∧
3. Se tiene los ángulos consecutivos A 0 B ,
vértice y a un mismo lado de una recta es 180º ∧ ∧
B 0 C y C 0 D , m∢A0C=60º y m∢BOD=40º,
∧ ∧
m∢ B 0 D =80º. Hallar m∢ B 0 C .
4. En la figura, hallar “α”

. α + β + θ + φ = 180º . 5. En la figura mostrada, hallar “α”

Teorema II
La suma de las medidas de los ángulos
consecutivos formados alrededor de un punto en
un plano es 360º.

6. En la figura mostrada: α=3x – 10º;
β=2x+5º. Hallar el complemento de “α”

. α + β + θ + γ + φ = 360º .


7. En la figura mostrada, es bisectriz del 16. Si el suplemento de “x” es igual a “2x”.
ángulo A0B, es bisectriz del ángulo B0C, Hallar “x”

m∢A0C = 72º. Hallar m∢x0y

Tarea Domiciliaria

1. En la figura, hallar “α”

8. En la figura, Calcular el valor de “θ”, si
α=x+5º, β = x + 20º ; θ = 4x + 10º, φ = 100º -
x.

A) 12º B) 20º C) 10º
D) 15º E) 16º

2. Hallar “x”

9. En la figura, m∢A0D = 90º. Determinar el
valor de “x”

A) 90º B) 80º C) 100º
D) 110º E) 120º
∧
3. Se tienen los ángulos consecutivos A 0 B ,
∧ ∧
B 0 C y C 0 D . m∢A0C=50º, m∢B0D=30º. Y
10. Calcula el complemento y el suplemento del m∢A0D=70º.
ángulo que mide 30°28’16’’
Hallar m∢B0C
11. Hallar el suplemento del complemento
de 20º A) 5º B) 10º C) 15º
12. Hallar el complemento de un ángulo que D) 20º E) 25º
mide el doble de 16º. 4. En la figura, calcular “α”
13. Halar el suplemento de la mitad de un
ángulo que mide 66º.
14. El suplemento de θ es igual a 4θ; hallar “θ”
15. El complemento de “α” más el suplemento de
“α” es igual a 170º. Hallar “α”

A) 70º B) 80º C) 90º C) 23º D) 23º30'
D) 100º E) 60º E) 24º

5. En la figura, m∢A0D = 100º. Hallar el valor 10. Hallar el suplemento del complemento de

de “x”. 40º.
A) 120º B) 130º C) 140º
D) 110º E) 90º

ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS
RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA
SECANTE A ELLAS.

A) 15º B) 12º C) 10º Lectura: Tales de Mileto (640- 546 a.C)
D) 15º E) 16º Nació y murió en la ciudad de Mileto
(en lo que actualmente es Turquía). La opinión
antigua es unánime al considerar a Tales como
6. En la figura que se muestra, hallar “x”
un hombre excepcionalmente inteligente y
como es primer filósofo, el primero de los
siete sabios griegos.
El hecho, concreto que más aseguró su
reputación fue la predicción de un eclipse de
sol, que tuvo lugar exactamente en el año que
él había predicho.
A) 10º B) 15º C) 20º Igualmente fue el primero en mantener que
D) 25º E) 30º la luna brillaba por el reflejo del sol. Tomó
7. En la figura mostrada: α=4x–15º y β=x–5. prestada la geometría de los egipcios y dio en
Calcular el valor de . ella un avance fundamental ya que fue el
primero en emprender la tarea de demostrar
exposiciones matemáticas mediante series
regulares de argumentos. En otras palabras
inventó la matemática deductiva. Se le asignan
entre otros, los siguientes teoremas: 1°
Teorema de Tales: un ángulo inscrito en una
semicircunferencia es un ángulo recto. 2° Todo
círculo queda dividido en dos partes iguales por
A) 52º B) 42º C) 32º un diámetro. 3° Los ángulos básicos en un
D) 22º E) 12º triángulo isósceles son iguales, etc.
Tales busca el fundamento natural de las
8. Hallar el complemento del complemento del
cosas y cree, al respecto, que el principio
complemento de 50º
originario, la sustancia primordial de todas las
A) 40º B) 50º C) 60º
cosas, es el agua. Pensaba asimismo que el agua
D) 80º E) 30º
llenaba todo el espacio. Se imaginaba a la tierra
9. El suplemento de un ángulo es 5θ y el como un gran disco flotando sobre las aguas,
complemento del mismo ángulo es θ. sobre las cuales existiría una burbuja
¿Cuál es ese ángulo? hemisférica de aire, nuestra atmósfera
A) 20º B) 22º30' sumergida en la masa líquida. La superficie
1 er Año Geometría y Medición
15

convexa de la burbuja sería nuestro cielo y los
astros según expresión de Tales “Navegarían
por las aguas de arriba”. Escribió un libro de
navegación y se decía que usó la constelación de
la Osa Menor que él había definido como una
característica importante de la navegación. Se Si: // , Entonces:
cree que Tales pudo haber sido maestro de
Anaximandro y que fue el primer filósofo
natural de la escuela milesiana. . α=β .

Actividad: Con la orientación del profesor Propiedad
dibuje rectas paralelas usando regla y compás.

1. Alternos

Internos Externos

Si: //

Entonces:

x=α+β .

Si: // Si: //
1. En la figura // . Aplicando las
Entonces: Entonces:
propiedades que conoces calcula todos los
. α=β . . θ=γ . ángulos que faltan.

2. Ángulos Conjugados
Internos Externos

ángulos que faltan.
Si: // Si: //

Entonces: Entonces:

. α + β = 180º . . θ + γ = 180º .

3. Ángulos Correspondientes



8. Si: // Hallar “x


9. Si: // Hallar “x

5. En la figura identifica qué tipo de parejas
son los ángulos “marcados” y escribe la 10. Si: // Hallar “x
propiedad que le corresponde, sabiendo que:
// .

Tarea Domiciliaria

6. Si: // . Hallar “x”
1. Dos ángulos son complementarios, uno de
ellos mide 38°24’52’’. Hallar la medida del
otro ángulo.
2. Si el suplemento del complemento de un
ángulo es igual a 124°34’20’’. Hallar la
medida del ángulo.
3. La medida de un ángulo es igual a ocho
veces su complemento. Encontrar el
suplemento de dicho ángulo.
7. Si: // . Hallar “x


9. En la figura % es paralela con ", Calcular la
4. Los ángulos consecutivos y forman medida del ángulo que mide .
un ángulo que mide 130°. Hallar la medida
L1
del ángulo formado por sus bisectrices. 35'
5. Si: // Hallar “x+y”

40'
L2

10. En la figura mostrada, % es paralela con ",

Calcular la medida del ángulo que mide .

6. Si: // Hallar “x” y “2y” L1

150'
L2

11. Si las rectas %, " y & son paralelas,
¿cuánto vale en la siguiente figura:

(

L1

80' L2
7. Si: // Hallar “x”

L3

12. En la figura, las rectas %, " y & son
paralelas. Calcular la medida del ángulo que
mide .

L1
*+(
(
*
L2
*+(
8. En la figura adjunta, las rectas % y " son
L3
paralelas, ¿cuánto mide el ángulo
representado por ?

L1
65'

40'
L2



El Triángulo
MSc. Miguel Ángel Yglesias Jáuregui

II Bimestre
estudian están relacionados con las propiedades
Lectura: Euclides del triángulo.
Casi nada se sabe de Euclides, fuera de Grandes matemáticos dedicaron su
las noticias que menciona Proclo en su resumen tiempo al estudio de estas figuras y han
histórico, según el cual Euclides fue un sabio descubierto extraordinarias propiedades que se
Alejandrino que floreció hacia el 300 a.C, que cumplen el triángulo.
publicó numerosas obras científicas,
destacándose entre ellas los célebres Actividad
“Elementos”, cuya importancia científica y 1. Con la orientación de tu profesor, recorta
didáctica se pone en evidencia ante el hecho de tiras de papel de diferentes longitudes,
que hasta hace pocos años eran aún utilizados agrúpalos de tres en tres, luego pega por los
como texto escolar. Por lo demás, ese trabajo extremos para formar triángulos. Debes
fue siempre considerado como sinónimo de descubrir una propiedad, la cual te permita
geometría, y su extraordinaria difusión le decidir cuándo es posible construir un
permite rivalizar con las obras cumbres de la triángulo y cuando no.
literatura universal: la Biblia, la Divina Comedia, 2. Con tres medidas que te proponga el
el Quijote, etc. profesor, construye triángulos que tengan
Euclides se educó probablemente en por lados, dichas medidas exactas, usando
Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento regla y compás.
de la geometría elaborada en la escuela de 3. Con la propiedad que has descubierto en la
Platón, aunque no parece que estuviera parte 1, evalúa si es posible construir
familiarizado con las obras de Aristóteles. triángulos con las siguientes medidas:
Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran a) 6, 6 y 9 cm.
prestigio en el ejercicio de su magisterio b) 12, 15 y 21 cm.
durante el reinado de Tolomeo I Soter. c) 6, 9 y 18 cm.
d) 5, 6 y 11 cm.
CONCEPTO 4. Con la orientación de tu profesor, dibuja
El triángulo es una figura geométrica formada triángulos de diferentes tamaños, luego
por tres segmentos que resultan de unir tres recorta sus tres ángulos y júntalos por sus
puntos no colineales en el plano. vértices. Descubrirás con esta experiencia
una importante propiedad geométrica.
Los triángulos son las figuras más 5. Ahora dibuja triángulos de diferentes
importantes en el estudio de la geometría, gran tamaños, pero que todos ellos posean dos
parte de las propiedades y teoremas que se lados de igual longitud. Después de
identificar los lados iguales, recorta los

ángulos que se les oponen (o que están PROPIEDADES BÁSICAS
frente a ellos) en el triángulo. ¿qué ocurre 1. La suma de los ángulos interiores en un
con ellos? ¿tienen la misma medida? Enuncia triángulo es 180º
la propiedad que has descubierto con esta
experiencia.
6. Usando las rectas paralelas, demuestra que
la suma de los ángulos internos en un
triángulo es 180°.
7. Usando la propiedad anterior ¿qué ocurre si
sumas los ángulos externos del triángulo? . α + β + γ = 180º .
¿cuánto suman? Enuncia la propiedad.
8. Dibuja triángulos equiláteros de diferentes 2. Un ángulo exterior cualquiera es siempre
tamaños, luego con tu transportador mide igual a la suma de los ángulos interiores no
sus ángulos ¿qué ocurre? Enuncia la adyacentes a él.
propiedad que has descubierto.
9. Dibuja un triángulo, luego marca dos ángulos
internos y el ángulo externo no adyacente a
ellos. Recorta los ángulos internos y trata de
cubrir con ellos el ángulo externo, ¿qué
ocurre? ¿has descubierto alguna propiedad
con esta experiencia?
. γ=α+β .
10. Hay una propiedad que se llama la
propiedad del pantalón, pide a tu profesor
que lo enuncie, y con su orientación
1. Hallar α en:
demuestra dicha propiedad.
11. Pide a tu profesor, ejemplos con los cuales
puedas aplicar las propiedades
descubiertas.

CLASIFICACIÓN
Según la Medida de sus Lados

2. Hallar “x”:

Escaleno Isósceles Equilátero

Según la Medida de sus Ángulos 3. Hallar θ:

Obtusángulo Acutángulo Rectángulo
4.

5. Calcular “x”

11. Determinar “x”

6. Hallar “x”, si BD es bisectriz

12. Calcular “x”, si AB = BC = CD

7. Hallar “x” si SL es bisectriz

13. Determinar “x”. Si AB = BC,
BP = BQ

8. Hallar “x”

14. Hallar “θ”

∧ ∧ ∧ ∧
9. Hallar “x” en 15. Hallar la suma de los ángulos A , B , C , D
∧
y E.

10. En la figura, hallar “x”

16. Hallar “α” en:


4. Hallar “α” si:

17. En un triangulo Rectángulo, uno de sus
ángulos agudos es el doble del otro. Hallar el A) 30º B) 40º C) 38º
mayor de los ángulos. D) 25º E) 20º
18. En un triangulo isósceles la medida de su
5. Hallar “x” en:
ángulo diferente es igual al triple del ángulo
común. Cual es dicho ángulo.
19. Los angulos de un triangulo miden; x, 2x y
7x. Hallar el mayor de los angulos

Tarea Domiciliaria A) 70º B) 80º C) 90º
D) 60º E) 100º

1. Hallar “α” en: 6. Hallar “x” en:

A) 12º B) 13º C) 14º
D) 15º E) 16º A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 50º

A) 10º B) 20º C) 30º A) 15º B) 12º C) 11º
D) 40º E) 50º D) 10º E) 14º

3. Hallar θ en: 8. En la figura, hallar “x”

A) 10º B) 30º C) 20º
D) 40º E) 5º A) 30º B) 40º C) 50º


D) 60º E) 70º Tres de sus obras existentes están
dedicadas a la Geometría Plana. Son Medidas de
9. En la figura, hallar “x”
una Circunferencia, Cuadratura de la Parábola y
sobre Espirales. En la primera de estas obras,
Arquímedes propuso el método clásico para el
cálculo del número ,, que consiste en computar
sucesivamente el perímetro de polígonos
A) 5º B) 50º C) 30º regulares llevando el proceso al límites.
D) 60º E) 40º Sobre su vida no se sabe mucho. Su padre
10. Hallar el valor de “x” fue un astrónomo reconocido llamado Fidias que
tenía una relación muy cercana con el rey Hiero
II de Siracusa. Parte de su formación
matemática lo obtuvo en la Universidad de
Alejandría donde trabajó con sucesores
directos de Euclides, y posiblemente, con el
A) 10º B) 30º C) 40º mismo Euclides. Cuando regresó a Sicilia, Roma
D) 20º E) 60º y Cártago se encontraban luchando en las
Guerras Púnicas, y Sicilia era una posición
estratégica en el Mediterráneo para ambos
Líneas y Puntos Notables bandos. A Arquímedes se atribuyen la invención
de muchos mecanismos de aplicación en la
Guerra que le permitieron a Siracusa soportar
Lectura: Arquímedes
por buen tiempo el asedio Romano.
Arquímedes fue un gran matemático de todos
Aún después de la caída de Siracusa,
los tiempos, sin lugar a dudas el mayor de la
Arquímedes continuó estudiando matemáticas.
antigüedad. Nació en la ciudad griega de
Un día estaba haciendo diagramas en la arena y
Siracusa en la isla de Sicilia aproximadamente
estaba allí absorto en sus pensamientos cuando
en 287 a. de C., y murió durante el saqueo
los soldados romanos le derribaron.
romano de Siracusa en 212 a. de C.,
ALTURA:
Es altamente probable que Arquímedes haya
pasado cierto tiempo en Egipto, en la Segmento que sale de un vértice y corta en
Universidad de Alejandría, porque tenía forma perpendicular al lado opuesto o a su

estrechos lazos de amistad con matemáticos prolongación.

muy cercanos a Euclides.

A diferencia de sus predecesores, Arquímedes
no se dedicó a compilar resultados, sus trabajos
son completamente originales y hoy en día son
consideradas obras maestras de exposición
matemática que aún en la actualidad se utilizan
como modelos de producción científica.
Actualmente se tiene conocimiento de unos diez Ortocentro (H):
tratados de Arquímedes y se tiene conocimiento
Es el punto donde se intersectan las tres
de otros que se encuentran perdidos. Su
alturas de un triángulo.
contribución más importante a la Matemática es
su anticipación al cálculo integral,

H:es el Ortocentro.

INCENTRO (I):
MEDIANA: Es el punto donde se intersectan las tres
Segmento que une un vértice con el punto medio bisectrices interiores de un triángulo, es el
del lado opuesto a dicho vértice. centro de la circunferencia inscrita

BARICENTRO (G):

Es el punto donde se intersectan las tres
medianas de un triángulo. PARA RECORDAR.
G: es el Baricentro TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO.

EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL
TEOREMA
TRIÁNGULO.
BG = 2GM
AG = 2GN EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR
CG = 2GS DEL TRIÁNGULO.

EXCENTRO (E):
PARA RECORDAR.
Es el punto donde se intersectan dos
TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO. bisectrices exteriores con una bisectriz
DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES interior en un triángulo, es el centro de la
A 2. circunferencia exinscrita

EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR.

ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE
GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR.

BISECTRIZ:

Segmento que divide a un ángulo interior o
E: Encentro relativo de
exterior en dos ángulos de igual medida.



PARA RECORDAR. PARA RECORDAR.

TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO
CIRCUNCENTRO.
LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS
EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES
EXTERIORES AL TRIÁNGULO.
DEL TRIÁNGULO.

ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES
MEDIATRIZ: ACUTÁNGULO.

Es una recta que pasa por el punto medio de un ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES
lado cortándolo en forma perpendicular. OBTUSÁNGULO.

SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE
LA HIPOTENUSA.

: Mediatriz de

CIRCUNCENTRO (O):

Es el punto donde se corta las tres mediatices
de un triángulo.
Propiedad: Si: “0” es circuncentro
C: Circuncentro, es el centro de la
circunferencia circunscrita

⇒ . x = 2α .

CEVIANA:

Segmento que une un vértice con un punto
cualquiera del lado opuesto o de su
prolongación.



CEVACENTRO (C) .'
= 90' +
2
Es el punto donde se intersectan tres
2. Ángulo formado por dos bisectrices
cevianas de un triángulo.
exteriores:

PARA RECORDAR:
.'
TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS = 90' −
2
CEVACENTROS.
3. Ángulo formado por una bisectriz interior
y una exterior:

OBSERVACIONES:

- PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES
NECESARIO TRAZAR DOS LÍNEAS NOTABLES DE
LA MISMA ESPECIE.
- EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE
TRAZA UNA DE LAS CUATRO PRIMERAS LÍNEAS
NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA
.'
CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS =
2
OTRAS.
4. Propiedad:
- EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL
ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y
CIRCUNCENTRO COINCIDEN.
- EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL
ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y EL
EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE
ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ
DE LA BASE.

0
PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES = +( −
1
1. Ángulo formado por dos bisectrices
interiores:


TEOREMA DE PITÁGORAS: En todo triángulo condiciones de sugerir al alcalde la ubicación
recto (o triángulo rectángulo), el cuadrado de la del farol, ¿dónde debe hacerlo?
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados 7. Un triángulo equilátero de lado está
de sus catetos. inscrito en una circunferencia, ¿calcule el
radio de la circunferencia ( este problema
debe entender plenamente su solución,
porqué será muy aplicado en próximos

0 2 temas)


3
1. Hallar “x” si BM es bisectriz
1 1 1
2 =0 +3

ACTIVIDAD:
1. Elabore un mapa conceptual, sobre el tema:
“líneas y puntos notables”
2. Dibuje un triángulo y ubique exactamente el
incentro. 2. Hallar “a” si BM es mediana
3. Demostrar con la orientación de tu profesor
las propiedades (teoremas) 1, 2 y 3.
5
4. Con la ayuda del profesor, recorta un
triángulo, luego usando regla y compás *
determina los puntos medios de cada lado. A
continuación ubica el baricentro y sostén por 4 0 6
7
medio de un hilo el triángulo en dicho punto.
Si el baricentro (centro de gravedad) fue 3. Hallar “α” si BH es altura.
bien ubicado, el triángulo permanece en
posición horizontal. Investiga porqué ocurre
esto.
5. Pídele a tu profesor que te enseñe a
construir la mediatriz de un segmento. Luego
dibuja un triángulo y en cada uno de sus
lados traza la mediatriz respectiva. El punto
en que se cruzan las tres mediatrices ¿ cómo 4. Hallar el valor de “x”, si G es el baricentro.
se llama?. Verifica que dicho punto es el 5
centro de una circunferencia que pasa por
los tres vértices del triángulo
(circunferencia circunscrita) 8
6. En un pueblito del Callejón de Huaylas, hay 2 6
un parque que tiene la forma de un triángulo. 4
El Alcalde dispone de un solo farol para
poner en dicho parque, de modo que todos 5. Hallar “x”:
sus vértices sean igualmente iluminados.
Como Usted estudia en el COCIAP está en



6. Hallar el valor de “x” en 11. Hallar el valor de “x”

12. Hallar el valor de “x”

7. Hallar el valor de “x” en

8. Hallar el valor de “x”
13. Hallar de “x” en

9. Hallar el valor de “x” en 14. Hallar “x”

15. Hallar “x”, si BH es bisectriz




4. Hallar “x” si BM es bisectriz

A) 30º B) 35º C) 36º
Tarea Domiciliaria D) 40º E) 20º

5. Hallar AM si BM es mediana

1. Hallar “x”

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

6. El baricentro de un triángulo se encuentra
a 6 cm de uno de sus vértices. ¿cuál es la
A) 10º B) 20º C) 30º
longitud de la mediana correspondiente a
D) 40º E) 50º
dicho vértice?
2. Hallar “x” en 7. Hallar el valor de “x” si G es el baricentro

A) 40º B) 30º C) 20º
D) 10º E) 15º A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

3. Hallar “x”, si BF es bisectriz 8. Hallar “x” en la siguiente figura

A) 10º B) 15º C) 17º A) 30º B) 40º C) 60º
D) 20º E) 30º D) 70º E) 45º



A) 60º B) 90º C) 120º
D) 140º E) N.A.

10. Hallar “x”

A) 80º B) 90º C) 100º
D) 110º E) 120º

11. Hallar “x”

A) 30º B) 60º C) 90º
D) 70º E) 120º



El Polígono
MSc. Miguel Ángel Yglesias Jáuregui

III Bimestre
presentan los fundamentos de la física y
Lectura astronomía formulados en el lenguaje de la
geometría pura; “Methodus fluxionum et
serierum infinitorum” en que se describe el
Isaac Newton (1642 - 1727) método de las fluxiones para explicar sus
Científico y matemático inglés nacido en métodos infinitesimales; “Optics”, en el que se
Woolsthorpe y fallecido en Lóndres. Newton ha describen los experimentos con la luz y el color
sido considerado por muchos como la mayor que le condujeron a enunciar teorías sobre la
inteligencia que jamás ha existido. Su padre naturaleza de la luz; “Arithmetica Universalis”,
murió antes del nacimiento del enfermizo Isaac, famoso tratado que contiene las fórmulas para
y su madre se volvió a casar cuando su hijo las sumas de las potencias de las raíces de una
tenía tres años de edad. El muchacho fue criado ecuación algebraica. Sin embargo a pesar de sus
por su abuela, hasta que un tío suyo se dio propias contribuciones al álgebra, Newton
cuenta de la inteligencia inusual del pequeño y parece haber preferido el análisis geométrico
convenció a su madre para que lo matriculase en de los antiguos, y en consecuencia la sección
Cambridge. A finales de 1664 Newton, tras más larga de “Arithmetica Universalis”, es la
estudiar las obras de Euclides, Kepler, Vieta y que está dedicada a la resolución de cuestiones
sobre todo la de los conocimientos matemáticos geométricas.
de la época, se encontraba preparado para
hacer sus propias contribuciones originales. Sus Introducción:
primeros descubrimientos datan de 1665, se El hombre en el transcurso de su
derivan de su habilidad para expresar funciones desarrollo ha buscado delimitar los terrenos
en términos de series infinitas. También donde habita o trabaja mediante líneas
empezó a pensar por esas fechas, en la cerradas que suelen presentar partes
velocidad del cambio o fluxión de magnitudes rectilíneas (principalmente formas
que varían de manera continua o fluentes, tales rectangulares, cuadradas, etc.); para esto,
como longitudes, áreas, volúmenes, distancias, recurrió a formas poligonales, cuyas
temperaturas … En 1666, la peste asoló Lóndres propiedades son necesarias conocer.
y se retiró a la finca de su madre huyendo del También en la naturaleza se observan
peligro, y fue durante este período cuando llevó formas poligonales por ejemplo: el panal de
a cabo sus principales descubrimientos: el abejas está formado por celdas hexagonales, la
teorema binomial, el cálculo, la ley de piedra de los doce ángulos.
gravitación y la naturaleza de los colores. Sus
obras más importantes son: “Philosophiae Definición: El polígono es la figura geométrica
naturalis principia mathematica”, el tratado plana que tiene varios ángulos y resulta den unir
más admirado de todos los tiempos, en que se

tres o más puntos no colineales mediante CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS
segmentos de recta no secante. CONVEXOS
Etimológicamente, “polígono” proviene
de las raíces griegas “POLI” que significa varios 1. Polígono Equiángulo.-
y “GONO” que significa ángulo. Cuando tienen todos sus ángulos internos
A (congruentes) iguales.
Ejm:
Diagonal
B ) Interno
E
β y°
°
120° 120°
Z ° °
120° 120°
θ C ° ° 120° 120°
x°
D ) Externo
2. Polígono Equilátero.-
N° de lados = N° de vértices = N° de s Cuando tienen todos sus lados
internos. (congruentes) iguales.
Ejm:
ELEMENTOS:
Vértice : A, B, C, D, E a a
Lados : AB, BC, CD, DE, EA
m internos : α, β, θ, γ, ψ
a a
m externos : x, y, z, …

a
POLÍGONO CONVEXO
Es cuando tienen todos sus ángulos internos
convexos. Es decir mayores que cero y menores
que 180.

Pentágono no convexo equilátero

3. Polígono Regular.-
Cuando sus lados son ≅ (iguales) y sus
ángulos son ≅ (iguales).
Ejms:
POLÍGONO NO CONVEXO O CÓNCAVO

Triángulo equilátero
Cuando algunos de sus ángulos internos son
mayores de 180° y menores que 360°.

60°
a a
β
60° 60°
θ
a
α, β, θ > 180°
El cuadrado


2da Propiedad.- Suma de las medidas de los
ángulos externos.

El pentágono regular

108° 3ra Propiedad.- Número total de diagonales.
108° 108°

108° 108°

Etc.
4ta Propiedad.- Número de diagonales desde un
Actividad: solo vértice
1. Elabore un mapa conceptual para el tema “el
polígono”.
2. Discute e investiga, si la circunferencia es
un polígono. 5ta Propiedad.- Número de diagonales medias
3. Usted sabe que al sumar los ángulos del
polígono de tres lados (triángulo), nos da
180°. Aplicando el método de razonamiento
inductivo, descubra una propiedad para
sumar los ángulos internos de cualquier
polígono.
PARA POLÍGONOS REGULARES
4. Usando la propiedad descubierta, ahora ¿qué
ocurre si suma los ángulos externos de
6ta Propiedad.- Medida del interior
cualquier polígono?
5. Aplicando el método inductivo, descubra una
propiedad para calcular el número de
diagonales de cualquier polígono.
6. ¿Cuál es otra forma de identificar un
7ma Propiedad.- Medida del exterior
polígono convexo y un polígono cóncavo?
7. Dibuje 5 polígonos convexos y cinco
polígonos cóncavos.

PROPIEDADES
8va Propiedad.- Medida del central (θ)
Para todo polígono convexo.- Si “n” es el número
de lados de un polígono convexo, se cumple que

1ra Propiedad.- Suma de las medidas de los
ángulos internos
9na Propiedad.- Suma de los ángulos centrales.


06) En un cuadrado ABCD, se construye
interiormente el triángulo equilátero AED.
Calcular ∡ :

DENOMINACIÓN DE LOS POLÍGONOS 07) En un polígono regular ABCDE… la ∢ :=
'
144 ¿Cuántas diagonales medias tiene?

Triángulo 3 lados
Cuadrilátero 4 lados 08) La diferencia entre el número de diagonales de

Pentágono 5 lados cierto polígono regular y el número de ángulos

Hexágono 6 lados rectos a que equivale la suma de los ángulos

Heptágono 7 lados internos es 8. calcular la medida del ángulo

Octágono 8 lados central.

Nonágono 9 lados
Decágono 10 lados 09) Calcular la suma de las medidas de los ángulos

Undecágono 11 lados internos de un polígono regular.

Dodecágono 12 lados Si: 9. ∢ext = 5. @

Pentadecágono 15 lados DT: Diagonales Totales

Icoságono 20 lados
Enégono n lados 10) En un polígono convexo, la diferencia de entre
la suma de sus ángulos internos y la suma de
PROBLEMAS PARA LA CLASE sus ángulos externos es igual a 1440°. Calcular
el número de diagonales de dicho polígono.
01) En un polígono convexo, la suma de las medidas
de sus ángulos interiores y exteriores es
1620°. Calcular el número de diagonales de
Tarea Domiciliaria
dicho polígono.

02) En un polígono, la diferencia entre la suma de 01) En un pentágono regular, ¿cuánto mide cada
sus ángulos interiores y exteriores es 180°; uno de sus ángulos interiores?
entonces el doble del número de lados es:
02) Si el número total de diagonales de un
03) La suma de las medidas de los ángulos internos polígono es 9; entonces el número de lados
y centrales de un polígono es igual a 2700°. que tiene el polígono es:
Calcular el número de diagonales.
03) En un hexágono regular, ¿cuánto mide cada
04) La suma de las sumas de las medidas de los uno de sus ángulos interiores?
ángulos internos de dos polígonos es 900°.
¿Qué polígonos cumplen con dicha condición? 04) En un polígono de “n” lados desde 4 vértices
consecutivos se trazan 81 diagonales.
05) Calcular el número de lados de un polígono Calcular “n”.
regular, donde al aumentar en dos su número
de lados, la medida de su ángulo externo a) 12 b) 14 c) 16
disminuye en 9. d) 24 e) 20

05) Si en un polígono regular su número de lados
aumenta en 5, entonces las medidas de su


ángulo exterior disminuye en 6. calcular su
número de lados.
a) 15 b) 12 c) 18 Lectura
d) 20 e) 25

06) En un polígono regular al disminuir en 6 el Leibniz (1646 - 1716)
número de sus lados, la medida de su ángulo Gottfried Wilhelm Von Leibniz nació en
externo aumenta en 80°. ¿Cuántos lados Leipzig, Alemania; fue diplomático, lingüista,
tiene dicho polígono? filósofo y matemático; son conocidas sus
a) 10 b) 7 c) 9 contribuciones a la lógica simbólica y a la
d) 12 e) 8 filosofía; también perfeccionó la máquina de
calcular inventada unos años antes por Pascal,
07) Calcular el número de diagonales de un polígono, pero su mayor fama se debe a que inventó, igual
si la suma de las medidas de sus ángulos que Newton, el cálculo diferencial e integral. Lo
9 curioso es que Leibniz empezó a estudiar
internos es igual a de la suma de sus ángulos
2 matemáticas cuando tenía 26 años; estaba en
externos. París, desempeñando un puesto diplomático
a) 19 b) 28 c) 34 cuando conoció a Christian Huygens (1629 -
d) 37 e) 44 1695) un sabio holandés famoso por sus
investigaciones en física y astronomía pero
08) Dos polígonos regulares tienen ángulos también por sus trabajos en matemáticas y
centrales que se diferencian en 9°. Si uno éste, adivinando el genio de su futuro discípulo,
de ellos tiene la mitad del número de lados aceptó sin vacilaciones.
del otro. Calcular el número de lados de los
dos polígonos. Unos años después, en 1684, apareció la
a) 10 y 20 b) 20 y 40 primera publicación sobre cálculo diferencial:
c) 30 y 60 d) 15 y 30 unas 7 páginas escritas por Leibniz, en la
e) 40 y 80 revista alemana “Acta Eruditorum”. La utilidad
del invento y la sencillez de la notación utilizada
09) Cuantos lados tiene aquel polígono por Leibniz hicieron que el nuevo cálculo se
equiángulo, Si la suma de las medidas de 7 divulgara rápidamente a pesar de no tener
ángulo internos es 1134. todavía fundamentos lógicos.

a) 25 b) 40 c) 35 Los últimos años de su vida de Leibniz
fueron amargados por la recia polémica que
d) 20 e) 30
mantuvo con Newton sobre la prioridad de la
invención del cálculo infinitesimal. También lo
10) La suma y diferencia de las medidas de los afectó mucho que su patrono por más de 40
ángulos exteriores e interiores de dos años, el duque de Brunswick, no lo llevara con él
polígonos regulares es 100 y 20 ¿Cuánto cuando fue llamado a ocupar el trono de
mide el ángulo central del polígono de mayor Inglaterra (1714). A pesar de los valiosísimos
número de lados? aportes de Leibniz a la matemáticas, murió
olvidado por todos, y se dice que sólo su
secretario presenció su entierro.
a) 20 b) 30 c) 40
d) 36 e) 50


La suma de sus ángulos exteriores en un
cuadrilátero es igual a 360°
El Cuadrilátero
B1 + B2 + B3 + B4 = 360°

DEFINICIÓN.- un cuadrilátero es el polígono
5) DIAGONALES (AC y BD)
que tiene 4 lados, teniendo dos a dos un
Son los segmentos de recta que unen dos
extremo común.
vértices no consecutivos.

A B1 B
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS
α1 α 2 B2
Por la forma de su contorno

B4 α4 α3 Convexos.- Son aquellos cuadriláteros en los
C
D que cualquier recta secante, determina 2
B3
puntos de corte.
ELEMENTOS.-
B

1) LADOS (AB, BC, CD y DA ) C
Son los segmentos rectilíneos que lo 1
limitan. Los lados que no tiene vértice
común recibe el nombre de lados
A 2 D
opuestos.
AB y CD , son lados opuestos como
Ejm:
BC y DA . Cóncavos.- Son aquellos cuadriláteros en los que
existe al menos una secante que determina más
2) VÉRTICES: (A, B, C y D) de dos puntos de corte.
Son las intersecciones de dos lados
consecutivos. En todo cuadrilátero, el
número de lados es igual al número de
vértices. 1 4
2 3
3) ÁNGULOS INTERIORES (α1, α2, α3 y α4)
Son los ángulos que se forman por dos
OJO: en ambos casos se refiere a “secante”
lados consecutivos, la suma de
como una recta que corta o cruza al
s interiores en un cuadrilátero es =
cuadrilátero.
360°. Se cumple que:

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS
α1 + α2 + α3 + α4 = 360°
CONVEXOS

4) ÁNGULOS EXTERIORES (B1, B2, B3 y B4)
De acuerdo al paralelismo de sus lados los
Son los ángulos formados en un vértice
cuadriláteros se dividen en:
por un lado y la prolongación del lado
Trapezoide, Trapecio y Paralelogramo.
consecutivo.
Los ángulos exteriores son adyacentes a
los interiores.

A. Trapezoides.- Son aquellos cuadriláteros B C
que no tienen lados opuestos, ningún lado
paralelo al otro paralelo. l m
a. Simétrico.- Es aquel en el que una de M N
sus diagonales es mediatriz de la otra.
l m
B
A H D
Línea de Simetría
θ θ BASES: BC ; AD
m m BC // MN // AD
A C
MN : Mediana del trapecio. Es el segmento
que une los puntos medios de los lados
L : mediatriz no paralelos. Se le conoce también como
de BD
“base media”.
CH : Altura del trapecio. Es la distancia
entre sus dos bases.
D
L
CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS
Propiedades:

a. Escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no
AB = BC; AD = CD paralelos desiguales.

ABD = DBC = θ
ˆ ˆ
//
ADB = BDC = α
ˆ ˆ
a b
b. Asimétrico: Es aquel que no tiene
ninguna simetría. También llamado
trapezoide irregular.

b. Isósceles.- Es aquel que tiene sus lados no
paralelo iguales.
b
β A b B

a θ θ θ

c
D C
B
d
Se cumple
AD = BC
B. Trapecios.- Es el cuadrilátero que solo
A =B;C=D
ˆ ˆ ˆ ˆ
tiene dos lados paralelos denominados
BD = AC
bases.
Los ángulos opuestos son suplementarios
θ + α = 180°


c. Rectángulo.- Es aquel trapecio donde uno ⇒ CH : altura
sus lados no paralelos es perpendicular a - Los ángulos opuestos son iguales y los
sus bases. ángulos adyacentes a un mismo lado son
suplementarios.
A C
B=D;A=C
ˆ ˆ ˆ ˆ

A + B = 180
ˆ ˆ
C + D = 180
ˆ ˆ
B D
a. Romboide.- Es el paralelogramo
α + θ = 180°
propiamente dicho.
PROPIEDADES DEL TRAPECIO
B b C
a

b+a a
m m= F a
2
b
A H b D
a

( BH ; BF : Alturas)
n b−a
n=
2 b. Rectángulo.- Es el paralelogramo que
tiene sus cuatro ángulos iguales y
b
rectos (equiángulo) y sus lados
opuestos iguales dos a dos. Llamado
C. PARALELOGRAMOS.- Son aquellos
también, cuadrilongo.
cuadriláteros que tienen sus lados opuestos
A B
paralelos y congruentes. Se cumple que los
ángulos opuestos son de igual medida y dos θ
ángulos consecutivos siempre
suplementarios. Además sus diagonales se
θ
bisecan mutuamente.
C D
B C
θ
n m A = B = C = D = 90°
ˆ ˆ ˆ ˆ
Se cumple:
AC = BD ; AB = CD
0
m n - Las diagonales son iguales:

θ
A D H AD = BC

Se cumple: c. Rombo.- Es un paralelogramo que
AB // DC y AD // BC tiene sus cuatro lados iguales y sus
⇒ AD = BC ; AB = CD ángulos opuestos dos a dos. Es un

⇒ AO = OC y BO = OD paralelogramo equilátero.


A

θ+φ
x=
a a 2

θ θ
D B 2. ángulo formado por dos bisectrices
θ θ
interiores no consecutivos.
a a C
B
β
β
C
θ
AD = AB = CD = CB
x°
φ
- Las diagonales son perpendiculares entre si
A D
y bisectriz de sus ángulos.
θ−φ
x=
d. Cuadrado.- Es un paralelogramo que 2
tiene sus cuatro lados iguales y sus
cuatro ángulos iguales y rectos (es un
3. cuadrilátero cóncavo.
paralelogramo equiángulo y equilátero)

B
A B
β x = α +β+ γ
ˆ
= 45°

D

x

A C

C D
4.

AB = BD = DC = CA

- Sus diagonales son iguales.
AD = BC x b
a
PROPIEDADES GENERALES

1. Ángulo formado por 2 bisectrices.
C
a+b
B φ x=
θ 2

x° β
β
A D

muchacho muy inteligente y que estudia en
5. el COCIAP, le dice la manera de hacerlo,
a ¿cómo crees que es posible hacer eso?
Explica tu método.
9. Resuelto el problema anterior, calcula el
perímetro de cada una de las parcelas
triangulares, sabiendo que del centro del
campo dista 50 m de cada uno de los
vértices del campo rectangular.
x y
b

b−a b−a
x= y= 1. El perímetro de un rombo es 20 cm y uno
2 2
de sus ángulos mide 85°; determina la
longitud de cada uno de sus lados y calcula
los ángulos.
Definición: el perímetro de polígono es la
longitud de la curva que determina el polígono,
2. Dibuja un trapecio de bases 5 y 9 cm; une
así que para calcularlo sólo hay que sumar las
los puntos medios de los lados no paralelos
longitudes de los lados del polígono.
y pasa a medir el segmento así
Calcular el perímetro de un polígono
determinado. Compara este resultado con
regular es muy sencillo puesto que todos los
la suma de las longitudes de las bases. ¿qué
lados son iguales y por lo tanto si el polígono
deduces?
tiene A lados, su perímetro será A por la
longitud del lado.
3. En el siguiente trapecio, calcular .

Actividad
1. Elabore un mapa conceptual acerca del
“cuadrilátero”
2. ¿Cómo se llama el polígono regular de 4
(
lados? B + C 1 ′′
3. El rombo ¿es un polígono regular? ¿porqué?
4. ¿En qué se diferencia un cuadrado de un 4. En el paralelogramo ABCD hallar ∡ .
rombo?
5. En qué se diferencia un romboide de un 5 6
rectángulo? -40º
6. Recorte un romboide, ¿puede Usted,
convertir dicho romboide en un rectángulo?
7. Recortar trapecios con las medidas que + −18º
4 E
indique el profesor, luego dibuje la
mediana y compare su longitud, con la suma
5. El siguiente trapecio rectangular está
de las longitudes de las bases, ¿qué formado, como muy bien puedes observar,
ocurre?
por la combinación de un cuadrado y la
8. Un agricultor quiere dividir un campo mitad de otro. ¿Cómo lo puedes dividir en
rectangular de 80 m por 60 m en ocho
cuatro partes exactamente iguales?
parcelas triangulares iguales, pero no sabe
cómo hacerlo. Su nieto, que resulta ser un

4
A B
a b
x
3a 3b
D 12 C
6. De un triángulo isósceles sabemos que su
perímetro es 23 cm y que uno de sus lados
mide 9 cm. ¿Cuánto medirá el lado 11. Si a un cuadrado cuyo lado mide F, le
desigual? aumentamos 6 cm a uno de sus lados, se
obtiene un trapecio rectángulo cuya
7. Un trapecio isósceles tiene la base mayor mediana mide 15 cm. ¿Cuánto mide el lado
triple que la menor; cada uno de los lados del cuadrado? ¿Cuánto mide su perímetro?
oblicuos mide 10 cm y es 5/4 de la base
menor. Determina el perímetro del 12. Las bases de un trapecio isósceles están en
trapecio. relación de 5 a 7. Si la suma de sus lados no
paralelos es 18 cm, y su perímetro mide 42
8. En el gráfico adjunto se sabe que ABC es un cm, ¿cuál es la longitud de la base mayor?
triángulo equilátero y BCDE es un cuadrado.
Calcular la medida de la base media del
triángulo. Si se sabe que la suma de los
perímetros de ambas figuras es igual a 28. Tarea Domiciliaria
E

B 01) En el gráfico mostrado, calcular el valor de
“x”.
D

3θ
A C 7
x°
9. En el siguiente rectángulo, la medida del
ángulo es 90°. si el perímetro de la figura
θ
es 80 cm. Calcular la diferencia de sus lados 2 θ
BC y DC. Si sabemos que están en la
relación de 1 a 3. a) 75 b) 72 c) 90
B C d) 60 e) 54

02) En el paralelogramo FJHC, ¿cuánto miden
los ángulos F y G?
H I
A D 1 + 1Kº

10. Calcular el valor de “x” en el gráfico
mostrado, si se sabe que (BC // AD)

+ −42º
G J
a) ∡G = 66' 20′ y ∡G = 113' 20′
b) ∡G = 66' 20′ y ∡G = 113' 40′

c) ∡G = 68' 20′ y ∡G = 113' 40′
d) ∡G = 66' 20′ y ∡G = 113' 10′ 07) En la siguiente figura se tiene que ABCD es
un cuadrado de lado 4 cm. Determine el
03) Las bases de un trapecio isósceles están en perímetro de la región sombreada.
la relación de 5 a 7. si además sabemos que
B C
el perímetro es 38 y los lados no paralelos
miden 7. Calcular el valor de la mediana del
trapecio.

a) 14 b) 10 c) 12
d) 16 e) 18
04) Calcular el perímetro del paralelogramo
ABCD A D

a) 8 cm. b) 10 cm c) 12 cm.
NK + K O2P d) 16 cm e) 20 cm.
N1 + QO2P

O2P

08) Calcular la longitud de la base menor del
trapecio ABCD.
−

B C
N

a) 386 cm b) 380 cm c) 300 K0 K3
cm d) 350 cm e) 400 cm
7 16 M
05) Calcular a° + b° + c° en el siguiente gráfico. 0 3
20
B C A D

θ θ a) 4 b) 5 c) 6 d)
8
G E e) 10

a° θ b°
θ c° 09) En la siguiente figura, el centro es un
cuadrado de 4 cm de lado. Calcule el
A F D
perímetro de la región sombreada,
sabiendo que todos los triángulos son
a) 240 b) 170 c) 190 d)
equiláteros.
200
e) 180

06) Las bases de un trapecio están en la
relación de 6 a 10. Calcular la relación
entre la base mayor del trapecio con su
respectiva mediana.
a) 7/4 b) 3/2 c) 5/2 d)
5/3
e) 5/4

para pensar. En esta época descubrió la fórmula
a) 28 cm. b) 30 cm poliédrica conocida como fórmula de Euler (es
c) 32 cm. d) 36 cm decir: R + S = . + 2). Posteriormente sus
e) 40 cm. investigaciones se dirigieron a la consecución de
una regla para la construcción de raíces de
10) En un trapecio donde las bases miden 24 cualquier ecuación cúbica o cuártica por medio
cm y 8 cm, calcular la distancia entre los de una parábola. No está claro si ya había
puntos medios de sus diagonales descubierto su geometría analítica para el año
a) 8 cm. b) 3 cm c) 12 cm. 1628, pero hay evidencias que demuestran que
d) 6 cm e) 4 cm. la invención de la geometría cartesiana no puede
ser posterior a esta fecha. Su obra matemática
11) El Lado mayor de un triángulo es 8/5 del fundamental es La Géometrie cuyo estudio
lado menor y éste 5/6 del lado mediano. permitió conocer la geometría analítica a sus
Sabiendo que el perímetro es 38 dm, contemporáneos.
determina la longitud de los tres lados.
En 1635 Descartes publicó un libro
12) La figura es un cuadrado, halle su sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su
perímetro si las longitudes están dadas en regla de los signos para saber el número de
centímetros raíces positivas y negativas de una ecuación.
Unas cuantas décadas más tarde, el físico y
K −T
matemático inglés Isaac Newton descubrió un
método iterativo para encontrar las raíces de
ecuaciones.
1 + +T + T1

Área de Figuras Planas

INTRODUCCIÓN: la necesidad de aprovechar
Lectura adecuadamente la naturaleza llevó al hombre a
medir los terrenos de cultivo y viviendas. Para
ello, se ha visto obligado a crear ciertos
Lectura: René Descartes (1596 - 1650) conceptos y postulados que le permitan medir
una región poligonal (triangular, cuadrangular,
Filósofo y matemático Francés nacido en La etc.) circular o compuesta.
Haye y fallecido en Estocolmo. Descartes usó
su nombre latinizado: Renatus Cartesus. Esta es Es el trajinar de nuestra vida, en donde
la causa de que su sistema filosófico se llame nos hemos visto con la necesidad de calcular el
cartesiano y que el sistema más corriente sobre área de la superficie de una pared para poder
el que se trazan curvas que representan pintarla, así también, la necesidad de saber
ecuaciones (inventado por él) se llame cuánto de madera se necesita para construir
cartesiano. Descartes contribuyó una puerta, una ventana, o simplemente saber la
principalmente a la ciencia con sus matemáticas. extensión del piso de nuestras habitaciones,
Se interesó especialmente en esta materia etc. Por consiguiente, se hace evidente que
cuando estuvo en el ejército, ya que la debemos conocer cómo se calcula el área de una
inactividad de que gozó le dejaba mucho tiempo región plana.


REGIÓN PLANA CERRADA

Es una porción de plano, limitada por una línea
cerrada.
La línea cerrada es el contorno o borde
de una región. Observamos que la superficie está cubierta por
Dependiendo de las características de 44 cuadrados pequeños, como cada uno de ellos
"
esta línea, a las regiones podemos clasificarlas tiene área = 1R × 1R = 1R , entonces el
en regiones, triangulares, cuadrangulares, área de la superficie Wserá:
poligonales, circulares, curvilíneas o mixtilíneas. W = 44 R "
- Por ejemplo, Usted siempre ha escuchado a
Por cuestiones prácticas, a una región
los mayores decir; el área del terreno que se
plana cerrada la llamaremos región plana o
dispone para hacer una casa es de 180m2
simplemente región.
¿Qué significa esto?, pues significa que
dicho terreno se podría cubrir con 180
DEFINICIÓN.- El área de un cuadrado cuyo
cuadrados pequeños de un metro de lado
lado tiene longitud F es: F "
cada uno.

ACTIVIDAD:

X A continuación se propone al estudiante un
conjunto de actividades, para las cuales debe
agenciarse de los siguientes materiales: Papel
X bond A4, papel dúplex, regla, lápiz o lapicero,
tijera, goma, cinta scottch.
= F × F = F"
1. Área del rectángulo
Si F = 1 V, entonces decimos, que el cuadrado Recorta un rectángulo cuya base sea de
es una región unitaria, cuya área es 1 V" . 10cm y su altura 8cm. Luego marca con tu
regla cada centímetro sobre el rectángulo y
DEFINICIÓN: el área de una región plana es la traza líneas como se muestra en la figura
medida de la extensión o superficie de dicha
región, y es el número de veces que ésta
contiene a una región unitaria.

- En la figura que sigue se muestra una
superficie,
- ¿Cuáles serían las dimensiones de cada
uno de los cuadrados pequeños
(cuadrículas)? ¿cuánto es el área de cada
uno de ellos? ¿pueden tomarse como
regiones unitarias?
- ¿con cuántas regiones unitarias se ha
cubierto el rectángulo?
- para calcular su área, cubrimos ésta con
- ¿cuánto es el área del rectángulo?
cuadrados, donde cada cuadrado se asume
que tiene 1cm de lado.

- Si tuvieras cualquier otro rectángulo, 3. Área del romboide
¿cuál sería la manera más directa de En este caso, Usted también hará uso de lo
obtener el total de regiones unitarias que que ya sabe, el área del rectángulo
lo cubren? - Recorte un rectángulo de cualquier
- En base a lo a tu razonamiento escribe tamaño e identifique la base y la altura
una fórmula para obtener el área del como se indica:
rectángulo.

2. Área del triángulo
h
A estas alturas Usted ya sabe cómo obtener
el área de un rectángulo. Para descubrir la b
fórmula con la cual se pueda obtener el área
del triángulo, haga lo siguiente:
- Trace una línea sobre el rectángulo como
- Recorte un rectángulo de cualquier
se indica en la figura, luego corte
tamaño e identifique la base y la altura (o
largo y ancho)

h

b - Una de las piezas obtenidas es un
triángulo. Traslade el triángulo como se
indica.
- Dibuje un triángulo sobre el rectángulo,
tal como se indica en la figura:}

h h h
- La figura que Usted ha obtenido se llama
romboide. Si el área del rectángulo es
b ▭ = Z × ℎ, entonces ¿cuánto es el área
del romboide? ¿porqué?
- Recorte el triángulo siguiendo las líneas - Escriba una fórmula para encontrar el
punteadas. Luego, ¿puedes cubrir el área de un romboide.
triángulo más grande con los dos
triángulos más pequeños que te sobraron? 4. Área del rombo
- ¿Cuántos triángulos iguales obtuvistes? - Recorte un rectángulo de cualquier
- Si el área del rectángulo es ▭ = Z × ℎ, tamaño e identifique la base y altura
entonces ¿cuánto es el área del triángulo? como se indica:
¿porqué?
- Escribe la fórmula que has descubierto
para calcular el área del triángulo. h

b


5. Área del trapecio
- Para dibujar un rombo, ubique los puntos - Recorte un rectángulo de cualquier
medios de cada lado del rectángulo y tamaño, luego marque dos segmentos de
recorte por las líneas punteadas como se igual longitud cómo se indica en la figura.
muestra en la figura:
b

b

- Trace las líneas que se indican y recorte
para formar el trapecio

- Se obtiene un rombo como en la siguiente
b
figura. Además de eso hay cuatro
h
triángulos sobrantes. Usted puede h
comprobar que todos ellos son iguales.
B b
B+b

En este caso se observa que la base del
rectángulo es + Z, mientras que su
altura es .Si esto es así, entonces el
área del rectángulo también lo podemos
escribir como ▭ = N + ZO × ℎ.

- A continuación, separe el trapecio del
En este caso se observa que la diagonal
centro e identifique la base mayor, la
grande y la diagonal pequeña son
base menor y la altura.
respectivamente la base y la altura del
- Al separar el trapecio indicado, le sobran
rectángulo, es decir: = Z y = ℎ. Si
dos figuras. Identifique dichas figuras
esto es así, entonces ¿es cierto que el
sobrantes, luego ¿puedes cubrir o formar
área del rectángulo también lo podemos
otro trapecio idéntico al que has
escribir como ▭ = × ?
separado?
- Recuerda que ambos trapecios provienen
- Con los triángulos restantes, ¿puedes
de un rectángulo cuya área es ▭ =N +
cubrir o formar otro rombo idéntico al
ZO × ℎ, si esto es así, entonces ¿cómo es
que has recortado?
el área del trapecio? ¿porqué?
- Escribe la fórmula descubierta para
- Recuerda que ambos rombos provienen de
encontrar el área del trapecio.
un rectángulo cuya área es ▭ = × , si
esto es así, entonces ¿cómo es el área del
PROPIEDADES:
rombo? ¿porqué?
Para calcular el área de figuras elementales se
- Escribe la fórmula para encontrar el área tienen las siguientes fórmulas, las que Tú ya has
de cualquier rombo. encontrado en la actividad anterior.


Rectángulo: El lado de mayor longitud se llama Romboide:
base (o largo), mientras que el lado de menor
longitud es la altura (o ancho) del rectángulo.
]

] 5
4 = 5.]
Rombo:

5

4 = 5. ]

Triángulo: En este caso, dependiendo de la E
forma del triángulo, tenemos las siguientes
propiedades:

_

] E ._
4=
1
Trapecio:

5 3

5. ]
4= ]
1
Cuando el triángulo es equilátero

5

X X
N5 + 3O. ]
4=
1
Círculo:
X

√K
4= X1 a

Cuando se tiene un triángulo recto (o triángulo
rectángulo)
4 = , `1

0

1. En la siguiente figura se muestran tres
b romboides distintos, que tienen la misma
03 base y la misma altura. Calcule el área de
4=
1


cada uno de ellos, luego que ¿podría opinar
al respecto? 8. De dos terrenos de igual superficie se sabe
que uno es un cuadrado de perímetro 160
metros y el otro un rectángulo de 2.5 Dm
de anchura. ¿Cuál es la longitud del
]
segundo terreno?

5 5 5 9. En un trapecio isósceles la diferencia de
las bases es de 10 cm, la altura de 12 cm y
2. Calcule el área de un triángulo cuya base y el perímetro 72 cm. Calcular su área.
altura miden 8cm y 5cm respectivamente.
10. Las dimensiones de un rectángulo ABCD
3. Un terreno tiene la forma de un rombo. Si son: = 5R y = 3 R . Halla sobre
sus diagonales miden 10m y 25m ¿cuánto un punto b cuya distancia =b sea tal
vale su área? que el área del trapecio b sea el
cuádruplo del triángulo b .
4. Las diagonales de un trapecio rectángulo
miden 26cm y 30cm respectivamente; si su
altura es de 24cm, calcule el área.
5. La base y la altura de un romboide son
Tarea Domiciliaria
respectivamente 18cm y 5cm. Calcule su
área. 1. La base de un rectángulo mide 26 m.
6. Calcule el área de un terreno que tiene la Calcular su área, si el segmento que une el
forma y dimensiones que se indican punto medio de su base con un vértice
superior mide 5√10 .
2
a) 234 m b) 236 m2 c) 240 m2
d) 250 m2 e) 260 m2
10cm

2. Hallar el área del rombo cuyo lado mide 4
cm, si la suma de sus diagonales es 12 cm.
4cm
a) 10 cm2 b) 12 cm2 c) 14 cm2
15cm d) 16 cm2 e) 20 cm2
7. Al igual que el caso anterior un terreno
tiene la forma y dimensiones que a 3. La suma de los catetos de un triángulo
continuación se indican: rectángulo es 16 m y la hipotenusa mide
2√34 . Calcular el área del triángulo.
a) 10 m2 b) 15 m2 c) 20 m2
d) 25 m2 e) 30 m2
80cm

30cm 4. Calcular el área de la región sombreada,
5cm
teniendo en cuenta que la circunferencia
tiene 2 cm de radio:

3cm

50cm
8cm


a) 200 m2 b) 250 m2
a) 4N5 − cO cm2 b) 4N4 − 2cO cm2 c) 300 m2 d) 400 m2
c) 6N4 − cO cm2 d) 5N4 − cO cm2 e) 520 m2
e) 4N4 + cO cm2 8. Calcular el área del cuadrado ABCD. El
triángulo CRD es equilátero.
5. Calcular el área de la región sombreada. El 6
5
triángulo inscrito en la circunferencia es
equilátero y el radio de dicha QP h
circunferencia es 2 cm.

4 E

a) 28/3 m2 b) 43/3 m2
c) 32/3 m2 d) 47/3 m2
e) 35/3 m2

a) 4c − √3 cm2 b) 4c − 3√3 cm2 9. En la figura, la altura del trapecio es de 6
2 2
c) 5c − 3√3 cm d) 4c − 2√3 cm metros mientras que su área mide 105 m2.
e) 4c − 3√2 cm2 Calcule la longitud de su base mayor
1
6. En la siguiente figura, el área del cuadrado
ABCD es 169 m2. Calcular el área del
triángulo equilátero BRC
h

+

a) 20 m b) 22 m c) 25 m
5 6
d) 30 m e) 35 m
10. Calcular el área del cuadrado, si se
tiene en cuenta que M, N, P y Q son
puntos medios.
4 E M

# √%& e √%&
a) m2 b) m2 *P
d d
%&√& 2 %fg √& 2
c)
d
m d)
d
m 7 j
& √%&
e) m2 *P
d

7. El perímetro del rectángulo mide 40 i
metros, calcule su área a) 500 m b) 505 m c) 510 m
d) 512 m e) 550 m

11. Calcular el área de la región sombreada
de la siguiente figura, teniendo en
cuenta que el lado del cuadrado inscrito
3 en la circunferencia mide 6 cm:


" "
a) 18Nc − 2OR b) 18Nc − 3OR
" "
c) Nc − 2OR d) 15Nc − 2OR
"
e) 18c R

12. Calcular el área de la región sombreada,
tenga en cuenta que es diámetro de
la circunferencia

B
C
4 cm

3 cm

A

N"e kl"dO " Ne kldO "
a) R b) R c)
d d
N"e kl"mO "
R
d
Ne kl"O " N"e kl"dO "
d) R e) R
d f



Geometría del
Espacio
IV Bimestre MSc. Miguel Ángel Yglesias Jáuregui

fue demostrado por el Doctor Andrew Wiles,
hace pocos años. Lo curioso es que Fermat
Lectura aseguraba una demostración sencilla y que no
consignaba dicha demostración por que no
Pierre Fermat (1601 - 1665) alcanzaba en el margen del libro que estaba
Matemático Francés nacido en utilizando. Debe decirse al respecto que
Beaumont de Lomagne y fallecido en Tolouse. Si Andrew Wiles tuvo que inventar una teoría para
Descartes tuvo un rival, en lo que ha capacidad lograr dicha demostración, la pregunta que
matemática se refiere en su época, éste fue ahora nos hacemos, ¿cómo lo pensaría Fermat?
Fermat, quien por cierto, tampoco era un
matemático profesional, sino mas bien un gran INTRODUCCIÓN:
abogado de su tiempo. Pero considerando lo que La geometría plana trata de figuras que ¨viven¨
hizo por las matemáticas se piensa qué hubiera en un plano. Sin embargo, en la realidad, la
hecho si se hubiera dedicado de pleno a ellas. figura plana de dos dimensiones no existe como
Fermat tuvo la costumbre de no publicar nada, tal sino formando parte de un cuerpo del
sino anotar o hacer cálculos en los márgenes de espacio. Así cuando manipulamos papel, cartón,
los libros o escribir casualmente sus madera, etc., lo hacemos con figuras
descubrimientos en cartas a amigos. El tridimensionales, ya que éstas tienen un cierto
resultado de ellos fue perderse el honor de grosor; sólo mentalmente separamos la figura
acreditarse el descubrimiento de la geometría plana de la del espacio, imaginándola
analítica, que hizo al mismo tiempo que aisladamente como si no tuviera relación con los
Descartes. cuerpos sólidos.
Descartes sólo consideró dos En esta parte estudiaremos las figuras
dimensiones, mientras que Fermat estudio las cuyos elementos básicos están situados en el
tres dimensiones. Igualmente pudo adjudicarse espacio, lo que constituye el objetivo de la
el descubrimiento de algunas características geometría espacial o sólida.
que más tarde inspirarían a Newton. También se No obstante, los conceptos dados en
dedicó al estudio de las probabilidades y al geometría plana son aplicables de cierto modo a
estudio de los números enteros. La ariemética la geometría espacial.
en este campo obtuvo su éxito más sonado al
describir el ¨Gran Teorema de Fermat¨, según ÁNGULOS DIEDROS: Cuando dos planos se
n n n
el cual la ecuación + o = p no tiene solución cortan, dividen al espacio en cuatro regiones,
entera para A > 2. cada una de las cuales se llama ángulo diedro o
Este teorema que Fermat aseguraba en simplemente diedro.
uno de sus borradores haber demostrado, ya

Caras de diedro son los semiplanos que
lo determinan y aristas la recta común a las dos
caras.
(
1
1+(

(
*
cara (
r

arista

Recortando por las líneas punteadas y
cara doblando el papel por las líneas restantes,
puedes construir un ángulo poliedro
alrededor del vértice , sólo pegando
ÁNGULOS POLIEDROS: si fijas tu atención adecuadamente. ¿Qué tipo de ángulo
en la habitación en que te encuentres puedes poliedro obtienes, atendiendo al número de
observar cómo dos paredes contiguas, junto con diedros que lo componen?
el techo, se encuentran en un punto. El espacio
alrededor de ese punto y comprendido entre las 2. Repite la misma operación con los nuevos
paredes y el techo recibe el nombre de triedro. datos adjuntos. ¿Qué puedes observar?
¿Cuál crees que sea la diferencia sustancial
En términos generales se llama ángulo entre este caso y el anterior?
poliedro a al región del espacio limitada por
tres o más planos que se cortan dos a dos según
rectas concurrentes en un mismo vértice.
(
Al igual que los diedros, los ángulos 1
1+(
poliedros tienen caras y aristas. Identifícalas
(
tú mismo en la figura adjunta: 1 ( *

ángulo
poliedro
En general podemos decir que en todo
ángulo poliedro, el ángulo formado por las
dos aristas correspondientes a cualquier
cara ha de ser menor que la suma de los
Según el número de diedros, el poliedro se ángulos de las restantes.
llamará: triedro, tetraedro, pentaedro,
hexaedro, etc. 3. ¿Cuál de las dos series de datos: 30º, 45º,
60º, y 30º, 45º, 90º, crees que nos define
ACTIVIDAD: un ángulo triedro.

1. Sobre una hoja de papel o cartulina y 4. Continuando con el método experimental
usando regla, transportador, dibuja construye ángulos poliedros en los dos
semirrectas concurrentes en un punto casos siguientes:
con los ángulos que se indican en la figura:


a) PRINCIPALES CUERPOS GEOMÉTRICOS

POLIEDROS: consideremos los siguientes
* ( cuerpos geométricos
(
1 B+(

b)

(
r
(
+
(
1

CUERPO GEOMÉTRICO Y POLIEDROS

Consideremos los siguientes objetos, podemos
observar que todos ellos ocupan un lugar en el
espacio Observe que todas estas figuras son partes del
espacio limitadas por polígonos. (Triángulos,
cuadriláteros, pentágonos, etc.).
Llamamos poliedro a los cuerpos
geométricos que están limitados por regiones
poligonales.
En un poliedro se distinguen los
siguientes elementos:
Caras: son las superficies planas poligonales
que limitan el poliedro.
Llamamos cuerpo a todo objeto que
ocupa un lugar en el espacio Aristas: son los lados de los polígonos que
Encontramos que algunos cuerpos están limitan las caras.
limitados solamente por superficies curvas
como el balón, o solamente por superficies Vértices: son los puntos donde se cortan tres o
poligonales, como el dado y el bloque de más aristas del poliedro.
cemento, o solamente están limitadas por
regiones planas y curvas como el cono y la tiza. Ángulo diedro: es el ángulo formado por cada
Llamamos cuerpos o sólidos dos caras que se cortan en una arista.
geométricos a todos los cuerpos que están
limitados por superficies planas poligonales, ACTIVIDAD: Distingue con la ayuda del
planas y curvas. profesor, los elementos de un poliedro.



PRINCIPALES CUERPOS GEOMÉTRICOS

A. POLIEDROS REGULARES: De entre
muchos poliedros que nos podemos
imaginar, los de mayor interés son los
poliedros regulares.
Se llaman poliedros regulares aquellos
cuyas caras son polígonos regulares iguales
entre sí y de modo que en cada vértice
concurren el mismo número de caras. El icosaedro: limitado por veinte caras que son
Existen sólo cinco poliedros regulares, triángulos equiláteros.
también llamados sólidos platónicos. Actividad: recorta la figura para
- El tetraedro: limitado por cuatro formar el icosaedro
caras que son triángulos equiláteros.

Actividad: recorta la siguiente figura en
forma adecuada para formar el tetraedro.

B. EL PRISMA: te habrás percatado de que

- El cubo o hexaedro: limitado por en general los edificios se construyen

seis caras que son cuadrados. verticalmente y con características

- El octaedro: limitado por ocho caras comunes que sugieren la idea de prismas.

que son triángulos equiláteros. En la figura se muestra un prisma de base

Actividad: recorta papel como indica la pentagonal:

figura, para formar el octaedro.
cara básica
Arista lateral

cara lateral

cara básica

arista básica

Los prismas son poliedros cuyas caras
- El dodecaedro: limitado por doce
básicas, paralelas entre sí, son dos
caras que son pentágonos regulares.
polígonos iguales, siendo sus caras
Actividad: recorta papel como indica la
paralelogramos.
figura y forma el dodecaedro.

Hay prismas que son oblicuos, en este Donde u representa el área de la base.
caso las caras laterales con las caras Es preciso indicar que estas expresiones no son
básicas no forman ángulo recto, se ilustra válidas para prismas oblicuos.
en la siguiente figura:
C. EL PARALELEPÍPEDO: es un caso
particular del prisma, sólo que en este caso
todas sus caras son paralelogramos. Como
ejemplos de paralelepípedos tenemos:

- El cubo

Actividad: construya el prisma que se
indica en la figura: - El ortoedro

- Romboedro

Si las aristas laterales del prisma son
perpendiculares a la base, se dice que el prisma
es recto; en caso contrario, el prisma es Algunas propiedades que se cumplen en el
oblicuo. paralelepípedo son:
Los prismas rectos se llaman regulares si sus • Sus diagonales se cortan en su punto medio.
bases son polígonos regulares. • En el ortoedro, todas sus diagonales son
Según sean los polígonos de la base los prismas iguales.
se llaman: triangulares, cuadrangulares, Para calcular la diagonal de un ortoedro es
pentagonales, hexagonales, etc. preciso aplicar el Teorema de Pitágoras

Área lateral y total de un prisma: el área
2
lateral de un prisma es la suma de la superficie
de todas sus caras laterales: _
4s = i. ]
Donde b es el perímetro de la base y ℎ la altura P
3
del prisma.
Para obtener el área total del prisma,
0
basta con añadir la superficie de las dos bases.
En efecto: _1 = 01 + 31 + 21
4t = i. ] + 1. 43



Actividad: Demuestre la fórmula anterior

D. La pirámide: esta palabra nos recuerda
Egipto y los monumentos que allí sirvieron apotema

de tumba a sus faraones. La más grande de
éstas es la de Keops, que data del 2600
a.J.C., aproximadamente y es de base
cuadrada y con unas dimensiones
impresionantes: 230 m de arista de la base
y 146 m de altura. Está formada por 2,3
millones de bloques de piedra, cada uno de
los cuales pesa aproximadamente 20 Actividad: Con la orientación del profesor
toneladas. construye diferentes pirámides. Para esto
debes usar hilo elástico y una base que puede
La pirámide es un poliedro limitado por ser de triplay.
un ángulo poliedro y un plano que corta
todas sus aristas en puntos distintos del En el caso de pirámides rectas y de base
vértice. regular, sus caras laterales son triángulos
isósceles todos ellos iguales. Por esto:
vértice
- El área lateral es:

4s = i. 0
1
- El área total es:
i. 0′
4t = 4s + = i N0 + 0′O
1 1
En ambos casos, b representa el perímetro de
altura

cara lateral la base, . es la apotema de la pirámide y .′ la
apotema del polígono de la base.

E. El cilindro: en la vida diaria nos son
familiares cuerpos como un vaso, un bote,
un rodillo o una tubería; tales cuerpos dan
base
la idea de cilindro.
Un cilindro de revolución o cilindro
circular recto es generado por la rotación
La altura de la pirámide es la distancia del de un rectángulo alrededor de uno de sus
vértice al plano de la base. lados que es tomado como eje de
revolución.

En una pirámide regular, apotema es la
altura de una cualquiera de sus caras
laterales. Es de notar que la apotema de la ]
]
pirámide forma, junto con la apotema de la
3
base y la altura de la pirámide, un triángulo
rectángulo. 3


Z: es el radio del cilindro. Un ejemplo de cono es el caso del cono
ℎ: es la altura del cilindro. recto de revolución, el cual es obtenido
También existen cilindros oblicuos, el cual mediante la rotación de un triángulo
se obtiene de cortar un cilindro de revolución isósceles alrededor de du altura.
por dos planos paralelos no perpendiculares a
sus generatrices, como muestra la siguiente
figura:

]

`
Conviene señalar, al igual que hicimos en
prismas, pirámides y cilindros, que también
Donde: existen conos oblicuos, los cuales se obtienen
ℎ: es la altura del cilindro. de cortar un cono recto por un lado no
a: es el radio del cilindro. perpendicular a su eje de rotación.

Para conocer el área lateral y total de un
cilindro circular recto, basta concebirlo como
cortado a lo largo de la generatriz y desplegarlo
en el plano. Su desarrollo lo componen un
rectángulo de altura ℎ y dos círculos de radio a.
]

`

El área lateral y total del cono son
respectivamente:

%
w = . 2ca. . = ca. .
"
"
@ = w + ca = ca. N. + aO

Ello nos permite concluir que las áreas lateral y
total del cilindro son:
w = 2ca. ℎ
"
@ = w + 2c a

Actividad: De acuerdo al esquema anterior,
construya el cilindro.

F. El Cono: la idea de un cono nos viene
sugerida por cuerpos como un embudo o un Actividad: Construya el cono, que se sugiere en
el esquema anterior.
cucurucho.


Actividad: Elabore un mapa conceptual acerca 13. La base de una pirámide regular es un
del tema de poliedros. cuadrado de 100 m2 de área y su altura
mide 10 m. Hallar la apotema de la
pirámide.
PROBLEMAS PARA LA CLASE 14. La base de una pirámide es un cuadrado
inscrito en una circunferencia de 3 cm de
1. Averigua la superficie de un octaedro radio. Si el área total de la pirámide es 60
regular de 16 cm de arista y de un cubo de m2, ¿cuánto mide la apotema y la altura de
igual arista. Determina la relación entre las la pirámide?
superficies de estos cuerpos. 15. Hallar el área lateral del cilindro circular
2. Cuál es el área del triángulo que se obtiene recto en cuya base hay inscrito un
al unir los vértices de un cubo que son cuadrado de 4√2 cm de lado, si su
extremos de tres aristas concurrentes. generatriz mide 10 cm.
3. Una caja tiene forma de ortoedro de 8 cm 16. Un prisma triangular de 15 cm de altura
de longitud, 6 cm de anchura. Averigua si está inscrito en un cilindro circular recto.
en dicha caja puede caber un lápiz de 13 Si el lado del triángulo de la base del
cm de longitud. prisma mide 8√3 cm, calcula el área total
4. Un edificio tiene forma de prisma cuya del cilindro.
base es un rombo de diagonales de 32 m y 17. La longitud de la circunferencia base de un
24 m, y de altura igual al perímetro de la cono circular recto mide 37,68 cm y su
base. generatriz mide el doble del radio de su
a. Averigua el área de su planta. base. Hallar el área total del cono.
b. ¿Cuál es el área de sus cuatro 18. Hallar el área total de un cono circular
fachadas? recto cuya base tiene 50,24 cm2 de área y
5. Las bases de un prisma recto son cuya generatriz mide 2 cm más que el radio
triángulos rectángulos isósceles de área 8 de la base.
cm2, y la arista lateral mide 7 cm.
Encontrar el área lateral del prisma.
6. Halla el área lateral y total de una pirámide
cuadrangular regular, sabiendo que la Tarea Domiciliaria
diagonal de la base mide 2,8 cm y la arista
lateral 5 cm.
7. La base de una pirámide regular es un
hexágono de 6 cm de lado. Calcula la altura 1. Las bases de un prisma recto son
de la pirámide sabiendo que su superficie rectángulos en los cuales el ancho es la
lateral es doble que la de la base. mitad del largo y su perímetro mide 36 m.
8. Halla las aristas lateral y básica de una Si su altura mide 12 m, ¿cuánto mide cada
pirámide cuadrangular regular sabiendo que uno de sus diagonales?
la suma de todas sus aristas es 68 cm, y 2. Hallar el área total de un prisma recto
que la altura de la pirámide mide 7 cm. cuya base es un cuadrado de 8 m de lado y
9. La base de un ortoedro tiene 6 cm2 de área cuya altura mide 3 m.
y 3 cm de largo. Si la altura del ortoedro 3. El área total de un cubo mide 54 m2, hallar
mide 6 cm, ¿cuánto mide su diagonal? la longitud de la arista.
10. El área de la base de un prisma triangular 4. Hallar el área total de un cubo si la suma
regular mide 4√3 R " . Hallar el área total de sus aristas es 48 cm.
del prisma, si su altura mide 8 cm. 5. Si en una pirámide cualquiera, la base tiene
11. La altura de un prisma triangular regular A lados, ¿cuántas aristas laterales tiene?
mide 5 m y la diagonal de una de sus caras 6. El lado de la base de una pirámide
laterales mide √41 m. Hallar el área de la pentagonal regular mide 6 cm y su apotema
base. 4,13 cm. Si la apotema de la pirámide mide
12. La base de un prisma recto es un cuadrado 8 cm. hallar el área total de la pirámide.
de 3cm de apotema. Si la altura del prisma 7. El área total de una pirámide regular de
mide 12 cm, hallar su área total. base cuadrada es 69 m2. Si la apotema de

la pirámide mide 10 m, hallar el lado de la cuadrados. Según este método, se puede trazar
base y el área de las caras laterales. la ecuación de la curva que más se adapte a un
8. La altura de un cilindro mide 10 cm. en la número de observaciones y el error subjetivo es
base se ha inscrito un triángulo equilátero llevado al mínimo.
de 27√3 cm2 de área, halla el área total del El día 30 de Marzo de 1796 se decidió
cilindro. por fin por la matemática, porque ese mismo
9. La generatriz de un cono mide 17 cm y el día, cuando le faltaba aún un mes para cumplir
radio de la base 8 cm. Hallar el área total los diecinueve años, hizo un brillante
del cono. descubrimiento. Desde hacia más de 2000 años,
10. El radio de un cono mide 7 cm y su altura se sabía como construir con regla y compás el
24 cm. Hallar el área total. triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono
regular (así como algunos otros polígonos
regulares cuyos números de números de lados
son múltiplos múltiplos de dos, de tres o de
Lectura cinco), pero ningún otro polígono regular con un
número primo de lados. Ese día en cuestión
Gauss halló un método para construir un
Johann Karl Friedrich GAUSS (1777 - 1855) polígono equilátero de 17 lados con ayuda de
regla y compás, e incluso fue más allá,
Matemático alemán nacido en Brunswick demostrando que ciertos polígonos equiláteros
y fallecido en Götinga. Gauss fue un niño se podían construir con ayuda de regla y
prodigio en matemáticas y continuó siéndolo compás. Hizo una labor importante en la teoría
toda su vida. Hay quienes los consideran uno de de números, sintetizada en su obra
los tres mayores matemáticos de la historia Disquisitiones arithmeticae, famosísima obra
junto con Arquímedes y Newton. Su padre era responsable del desarrollo del lenguaje y de las
un obrero en Brunswick, obstinado en sus notaciones de la rama de la teoría de números
puntos de vista, que intentó evitar que su hijo conocida como álgebra de congruencias,
recibiera una educación adecuada, pero en ejemplo primitivo de las clases de equivalencia.
cambio, su madre, que tampoco había recibido También construyó una geometría no
ningún tipo de educación, animó siempre a su euclideana, basada en axiomas distintos a los de
hijo en sus estudios. De niño asistió Gauss a la Euclides, pero se negó a publicarla. Lobachewski
escuela local, dirigida por un maestro de y Bolyai ostentan el honor de su descubrimiento
costumbres rutinarias. Un día, con objeto de al publicarla algo más tarde.
mantener la clase atareada y en silencio, el En 1799 Gauss demostró el teorema
maestro tuvo la idea de hacer sumar a los fundamental del álgebra, que afirma que toda
alumnos todos los números de 1 al 100, ecuación algebraica de grado A, tiene A raíces
ordenándoles además que, según fueran (contando sus multiplicidades)
terminando colocaran su pizarra sobre la mesa En 1801 demostró el teorema
del maestro. Casi inmediatamente Carl colocó su fundamental de la aritmética, según el cual:
pizarra sobre la mesa afirmando haber todo número natural se puede representar como
calculado la suma. En la pizarra se encontraba la el producto de números primos de una y
solución correcta 5050 sin ningún cálculo solamente una forma. Fuera del dominio de las
accesorio, Gauss había sido capaz de sumar matemáticas puras, Gauss ganó gran fama en el
mentalmente dicha progresión aritmética. Su campo de la astronomía, a él se debe el hecho
inteligencia superdotada llamó la atención del de haber calculado la órbita del planetoide
duque de Brunswick, quien decidió costearle ¨ceres¨. Fue nombrado director del
todos sus estudios, entrando en 1785 en la observatorio de Gotinga en 1807, durante su
Universidad de Götinga. Gauss estaba entonces estancia en el observatorio, construyó un
indeciso entre dedicarse a la filosofía o a las heliotropo, instrumento que reflejaba la luz
matemáticas. solar a grandes distancias y con él los rayos de
Antes de cumplir los veinte años hizo luz solar se podían emplear como líneas rectas
algunos descubrimientos importantes, entre los que marcaban la superficie terrestre,
que se incluye el método de los mínimos pudiéndose obtener así determinaciones

trigonométricas más precisas de la forma del Este fue llamado el problema de Delos.
planeta. La historia cuenta que los atenienses apelaron
También estudio el magnetismo al oráculo de Delos para saber cómo detener la
terrestre, llevando la unidad de flujo magnético peste que desolaba la ciudad en el 430 a.J.C. Se
su nombre. Se levantó una estatua en su honor dice que el oráculo respondió que debían doblar
en su ciudad natal, que descansa sobre un el tamaño del altar de Apolo. Siendo este altar
pedestal en forma de estrella de 17 puntas, en un cubo, el problema era el de su duplicación.
celebración de su descubrimiento de la También aparece en una carta de
construcción del polígono de 17 lados. Eratóstenes al rey Ptolomeo, cuando dice:
¨Cuéntase que uno de los antiguos poetas
trágicos hacía aparecer en escena a Minos en el
momento en que se construía la tumba de
Volumen de Glauco, y, al observar que sólo medía cien pies
Poliedros por cada lado, dijo: ¨Es un espacio muy pequeño
para sepulcro de un rey; duplicadlo conservando
su forma cúbica, duplicando cada lado¨¨ - y
Hemos estudiado las áreas laterales y totales sigue Eratóstenes – es evidente que se
de poliedros; sin embargo, este aspecto, con ser equivocaba porque duplicando los lados de una
importante, resulta insuficiente para concebir figura plana, se cuadruplicaba, mientras que una
el espacio que los cuerpos geométricos sólida se octuplicaba; y entonces, se propuso a
encierran. Así, por ejemplo, el espacio los geómetras la cuestión de duplicar una figura
encerrado en ocho cubos en el mismo sea cual sólida dada conservando su forma, y ese
fuere el modo de colocarlos; sin embargo, el problema se llamó duplicación del cubo.
área total no es la misma, como puedes
comprobar: Volumen de sólidos:

Postulado: el volumen de un prisma es igual al
producto del área de su base por la altura del
prisma.

Postulado: El volumen de una pirámide es igual
a un tercio del producto del área de su base por
su altura.

Teorema: El volumen de un cilindro circular
recto es igual al producto del área de su base
El volumen de un cuerpo expresa la medida de por su altura.
su extensión en el espacio.
En el sistema métrico decimal se utiliza Teorema: El volumen de un cono de revolución
como unidad de medida del volumen, el metro es igual a un tercio del área de su base por su
cúbico (m3), que representa el volumen altura
encerrado por un cubo de un metro de arista.
En ocasiones es más aconsejable el uso de ACTIVIDAD
múltiplos y submúltiplos de esta unidad.
1. Ilustre cada postulado y teorema sobre los
Volumen de los Paralelepípedos – una historia volúmenes, mediante figuras y sus
genial respectivas fórmulas.
2. Muestre que el volumen de un
Uno de los problemas clásico que paralelepípedo recto (ortoedro) coincide
preocupó a los griegos fue la duplicación del con el volumen de uno que es oblicuo,
cubo; es decir, encontrar el lado de un cubo cuando la base y la altura en ambos casos
cuyo volumen sea el doble que el volumen de son iguales.
otro cubo dado.

3. En el ángulo C del techo de una habitación acumulada en el sótano si su nivel alcanza
se encuentra una araña y el suelo, en el los 15 cm?
ángulo opuesto K duerme una mosca. ¿Cuál 3. ¿Qué volumen tiene un cubo de superficie
es el trayecto que debe recorrer la araña total 1 m2?
para llegar hasta la mosca por la distancia 4. El agua de lluvia es recogida en un
más corta? pluviómetro que tiene forma de pirámide
cuadrangular regular. El agua recogida en
un día de lluvia alcanzó una altura de 9 cm,
formando una pequeña pirámide de 15 cm
C
de arista. ¿Cuál es la altura alcanzada por
el agua al verterla en un depósito cúbico de
K 50 cm de arista?
5. Un túnel de sección semicircular de 40 m
de diámetro tiene 1,5 km de longitud.
¿Cuántos metros cúbicos de tierra y roca
Sugerencia: piense bien antes de tomar la se han extraído para su construcción?
decisión. 6. Calcula el volumen engendrado por un
4. En la pared interior de un vaso cilíndrico de triángulo equilátero de 2 dm de altura al
cristal hay una gota miel situada a 3 cm del girar alrededor de ésta.
borde superior del recipiente. En la pared 7. La generatriz de un cilindro de revolución
exterior, en el punto diametralmente mide 10 cm. Si su rotación alrededor del
opuesto, se ha parado una mosca. Indique eje determina una base de área 28,26 cm2,
cuál es el camino más corto que puede ¿cuál es su volumen?
seguir la mosca para llegar hasta la gota de 8. Una granja se abastece de forraje
miel. La altura del vaso es de 20 cm y el almacenado en un depósito que tiene la
diámetro de 10 cm. (Ojo: la mosca es súper forma de cilindro acabado en su parte
inteligente y conoce bastante de inferior en un cono, ambos de 1,5 m de
geometría) radio, y cuyas alturas miden 3 m y 1,2 m
5. Toma una hoja de papel, colócala de forma respectivamente.
horizontal y enróllala hasta unir los bordes a. Calcula la capacidad de dicho depósito.
laterales para obtener un cilindro sin b. Si la granja consume diariamente
tapas. Haz lo mismo con otra otra hoja 800,7 dm3 de forraje, ¿cuántos días
dispuesta de forma vertical y observa que tardará en vaciarse el depósito?
ambas tienen la misma área lateral. ¿Se 9. Determina la capacidad de un vaso
puede asegurar lo mismo de sus volúmenes? cilíndrico de superficie total 251,2 cm2 y
Compruébalo rellenando ambos cilindros de generatriz igual al diámetro de la base.
con granos de arroz u otro producto 10. La generatriz de un cono mide 17 cm y el
análogo. radio de la base 8 cm. Hallar el volumen del
6. Cómo medirías el volumen de un cuerpo cono.
irregular, por ejemplo, de una piedra.

PROBLEMAS PARA LA CLASE Tarea Domiciliaria
1. Un prisma tiene una sección recta que es
un triángulo rectángulo isósceles de 20 cm 1. En un tanque cuyas dimensiones son 3 m x
de hipotenusa. La arista del prisma mide 2 m x 1 m, se ha depositado agua hasta 0,5
0,5 m. ¿cuál es el volumen del prisma? m de altura. ¿Cuántos litros de agua hay?
2. Por obstrucción de los desagües de un 2. La base de un prisma triangular regular
edificio en un día de lluvia se acumula el está inscrita en una circunferencia de 20
agua en los sótanos. Sabemos que el cm de diámetro. Si la altura del prisma
edificio tiene como sección un trapecio mide el doble del lado de la base, calcular
rectangular de bases 40 m y 32 m, y de su volumen.
altura 20 m. ¿cuál es el volumen de agua
1 er Año Geometría y Medición
61

3. La base de un prisma recto es un cuadrado altura, se construye un cono cuya altura es
de 5 m de lado. Si la diagonal de una de sus los 2/3 de la altura del cilindro. Hallar el
caras mide 13 m, hallar su volumen. volumen del cuerpo formado.

4. La altura de un prisma regular mide 9 cm y 14. El volumen de un montículo de arena que
su volumen 225 cm3. Si su base es un tiene la forma de un cono circular recto es
cuadrado, calcular el lado de la base. 10048 m3. Si el diámetro de la base mide 4
m, ¿cuánto mide su altura.
5. Se cava una zanja de 4 m x 3 m x 1 m de
dimensiones y la tierra se emplea para
hacer adobes de dimensiones 20 cm x 12
cm x 10 cm, ¿cuántos adobes se obtiene?

6. La base de una pirámide regular es un
cuadrado de 6 cm de lado. Si su apotema
de la pirámide mide 5 cm, calcule su
volumen.

7. Hallar el volumen de una pirámide regular
inscrita en un cubo de 18 m de arista.

8. Los lados de la base de una pirámide
triangular miden 3 m, 4m, y 5 m. Si el
volumen de la pirámide es 18 m3, hallar su
altura.

9. Calcular el volumen de un cilindro circular
recto que tiene un radio igual al lado del
triángulo equilátero de 9√3 cm2 de área, si
su altura es el triple del radio.

10. Un pozo de agua tiene la forma de un
cilindro circular recto y una capacidad de
37680 litros. Si su altura mide 3 m, hallar
el diámetro de la base.

11. Un prisma triangular regular de 15 cm de
altura está inscrito en un cilindro circular
recto. Si el lado del triángulo de la base del
prisma mide 8√3 cm, calcule el volumen del
cilindro.

12. Un cilindro circular recto está lleno de
agua hasta la tercera parte de su altura. Al
agregarle una piedrecilla el nivel el agua
sube 2 cm, hallar el volumen de la
piedrecilla, si el radio de la base es de 3
cm.

13. Sobre la base superior de un cilindro
circular recto de 3 m de radio y 6 m de

BIBLIOGRAFÍA

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Edit. Limusa. México.
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[2] Gálvez P. Hildebrando (2008). Matemática. Edit. El Nocedal S.A.S. Lima-
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Edit. Alhambra Mexicana. México.
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Geometría. Edit. Norma. Bogotá – Colombia.
[5] Londoño N., Bedoya H. (1985). Matemática Progresiva I – Aritmética y
Nociones de Geometría. Edit. Norma. Bogotá – Colombia.
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[7] Timoteo V. Salvador (2002). Historia de la Matemática. Edit. Ingeniería
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