Mpinning Gy Alg10(Busqueda)
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Este documento presenta definiciones y algoritmos relacionados con grafos. Define relaciones, composición de relaciones, grafos simples, árboles y sus propiedades. Explica los algoritmos de búsqueda en anchura y profundidad para encontrar el árbol de cobertura de un grafo conexo. También presenta teoremas sobre grafos planos y sus propiedades, así como sobre grafos hamiltonianos.
Mpinning Gy Alg10(Busqueda)
- 1. Búsqueda en Grafos Anchura Profundidad
- 2. Definiciones Adicionales Def . Supongamos que R A B. La inversa de R, denotada por R -1 , es la relación {(y,x)|(x,y) R}. Ejemplo: a b c a b c
- 3. Def . Suponga R 1 A B y R 2 B C. La composición de R 1 y R 2 , denotada por R 1 R 2 , es la relación {(x,z)| (x,y) R 1 (y,z) R 2 }. Ejemplo: a b c a b c d R 1 R 2
- 4. a b c d R 1 R 2
- 5. Def . Un grafo sin loops se llama grafo simple. El número de vértices de G se llama orden de G y el número de aristas de G se llama tamaño de G. Teorema . En cada árbol no trivial, hay al menos un vértice de grado 1. Teorema . Un grafo G es un árbol ssi G no tiene ciclos y | E | = | V | - 1.
- 6. Breadth First Search Entrada: Grafo conexo con vértices v 1 , v 2 , ..., v n . Salida: T, árbol de cobertura de G. Algoritmo: 1. (Inicio) Sea v 1 la raíz de T, sea V = {v 1 } 2. (Agrega aristas) Para cada vértice x V, agregar la arista {x, v k } a T, donde k es el menor índice tal que al agregar la arista {x, v k } a T no se forma un ciclo. Si no hay más aristas para agregar, parar. T es el árbol de cobertura. 3. (Actualizar) Reemplazar V por los hijos v en T de los vértices x de V donde las aristas {x,v} se agregaron en el paso 2. Repetir paso 2 para el nuevo conjunto V.
- 7. a b d c f e g i j k h Ejemplo:
- 8. a b d c f e g i j k h a G T
- 9. a b d c f e g i j k h a b d G T
- 10. a b d c f e g i j k h a b d c G T
- 11. a b d c f e g i j k h a b d c e G T
- 12. a b d c f e g i j k h a b d c f e g G T
- 13. a b d c f e g i j k h a b d c f e g h G T
- 14. a b d c f e g i j k h a b d c f e g i j k h G T
- 15. Depth First Search Entrada: Grafo conexo con vértices v 1 , v 2 , ..., v n . Salida: T, árbol de cobertura de G. Algoritmo: 1. (Visita vértice) Sea v 1 la raíz de T, sea L = {v 1 } 2. (Encuentra aristas y vértices no visitados adyacentes a L) Para todos los vértices adyacentes a L, elegir arista {L, v k } donde k es el menor índice tal que al agregar la arista {L, v k} } a T no se forma un ciclo. Si no hay tal arista, ir a paso 3; en caso contrario agregar {L, v k} }a T y hacer L = v k . Repetir paso 2 con el nuevo valor de L 3. (Backtrack o fin) Si x es padre de L en T, hacer L = x y aplicar paso 2 al nuevo valor de L. Si L no tiene padres en T (o sea, L = v1), terminar.
- 16. a b d c f e g i j k h a G T
- 17. a b d c f e g i j k h a b G T
- 18. a b d c f e g i j k h a b c G T
- 19. a b d c f e g i j k h a b d c G T
- 20. a b d c f e g i j k h a b d c e G T
- 21. a b d c f e g i j k h a b d c f e G T
- 22. a b d c f e g i j k h a b d c f e g G T
- 23. a b d c f e g i j k h a b d c f e g h G T
- 24. a b d c f e g i j k h a b d c f e g i h G T
- 25. a b d c f e g i j k h a b d c f e g i j h G T
- 26. a b d c f e g i j k h a b d c f e g i j k h G T
- 27. Recuerdos (Grafos planares) Teorema . Si G es un grafo plano, entonces la suma de los grados de las regiones determinadas por G es 2·|E|, donde |E| es el número de aristas de G. Fórmula de Euler . SI G es un grafo plano, entonces |V| - |E| + |R| = 2 (Euler 1752) |V|: número de vértices |E|: número de aristas |R|: número de regiones
- 28. Corolario . En un grafo conexo plano (simple) G, con |E| > 1: a) |E| 3·|V| - 6, y b) hay un vértice v en G tal que grado(v) 5 Teorema . Un grafo completo K n es planar ssi n 4. Teorema . Un grafo bipartito completo K m,n es planar ssi m 2 o n 2
- 29. Más recuerdos (Grafos Hamiltonianos) Teorema de Dirac . Un grafo simple con n vértices (n 3) en el cual cada vértice tiene grado al menos n/2, tiene un ciclo hamiltoniano.