Método de Gauss
- 1.
- 2. Método de Gauss Unejemplo paso a paso...
- 3. El problema Tres personasA, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B, C paga 3 €. Se pide:
- 4. El problema Tres personasA, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B, C paga 3 €. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona.
- 5. El problema Tres personasA, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B, C paga 3 €. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.
- 6. El planteamiento 1. Empezamospor declarar las incógnitas:
- 7. El planteamiento 1. Empezamospor declarar las incógnitas: x= el dinero que gastó A. y= el dinero que gastó B. z= el dinero que gastó C.
- 8. El planteamiento 2. Planteamoslas ecuaciones:
- 9. El planteamiento 2. Planteamoslas ecuaciones: ● El regalo les cuesta 86€:
- 10. El planteamiento 2. Planteamoslas ecuaciones: ● El regalo les cuesta 86€: x+ y+z =86
- 11. El planteamiento 2. Planteamoslas ecuaciones: ● El regalo les cuesta 86€: x+ y+z =86 ● A paga el triple de lo que pagan B y C juntos:
- 12. El planteamiento 2. Planteamoslas ecuaciones: ● El regalo les cuesta 86€: x+ y+z =86 ● A paga el triple de lo que pagan B y C juntos:
- 13. El planteamiento 2. Planteamoslas ecuaciones: ● El regalo les cuesta 86€: x+ y+z =86 ● A paga el triple de lo que pagan B y C juntos: x=3⋅( y+z )
- 14. El planteamiento 2. Planteamoslas ecuaciones: ● El regalo les cuesta 86€: x+ y+z =86 ● A paga el triple de lo que pagan B y C juntos: x=3⋅( y+z ) ● Por cada 2€ que paga B, C paga 3€:
- 15. El planteamiento 2. Planteamoslas ecuaciones: ● El regalo les cuesta 86€: x+ y+z =86 ● A paga el triple de lo que pagan B y C juntos: x=3⋅( y+z ) ● Por cada 2€ que paga B, C paga 3€: y z = 2 3
- 16. El planteamiento 3. Obtenemosnuestro sistema de ecuaciones y lo reescribimos en forma estándar:
- 17. El planteamiento 3. Obtenemosnuestro sistema de ecuaciones y lo reescribimos en forma estándar: } x+ y+z = 86 x= 3⋅ y+z ) ( y z = 2 3
- 18. El planteamiento 3. Obtenemosnuestro sistema de ecuaciones y lo reescribimos en forma estándar: } x+ y+z = 86 } x= 3⋅ y+z ) ( x+ y+z = 86 ⇒ x−3 y −3 z = 0 y z = 3 y−2 z = 0 2 3
- 19. La resolución 1. Convertimosnuestro sistema en una matriz:
- 20. La resolución 1. Convertimosnuestro sistema en una matriz: 1⋅x+1⋅y +1⋅z=86
- 21. La resolución 1. Convertimosnuestro sistema en una matriz: 1⋅x+1⋅y +1⋅z=86
- 22. La resolución 1. Convertimosnuestro sistema en una matriz: 1⋅x+1⋅y +1⋅z=86 1⋅x −3⋅y −3⋅z=0
- 23. La resolución 1. Convertimosnuestro sistema en una matriz: 1⋅x+1⋅y +1⋅z=86 1⋅x −3⋅y −3⋅z=0
- 24. La resolución 1. Convertimosnuestro sistema en una matriz: 1⋅x+1⋅y +1⋅z=86 1⋅x −3⋅y −3⋅z=0 0⋅x+3⋅y−2⋅z =0
- 25. La resolución 1. Convertimosnuestro sistema en una matriz: 1⋅x+1⋅y +1⋅z=86 1⋅x −3⋅y −3⋅z=0 0⋅x+3⋅y−2⋅z =0
- 26. La resolución 2. Elobjetivo es obtener una matriz escalonada: ( ) 1 1 1 86 1 −3 −3 0 0 3 −2 0
- 27. La resolución 2. Elobjetivo es obtener una matriz escalonada: ( ) 1 1 1 86 1 −3 −3 0 0 3 −2 0
- 28. La resolución 2. Elobjetivo es obtener una matriz escalonada: ( ) 1 1 1 86 E1 1 −3 −3 0 E2 0 3 −2 0 E3
- 29. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) 1 1 1 86 1 −3 −3 0 0 3 −2 0
- 30. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 1 1 1 86 1 −3 −3 0 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 0 3 −2 0
- 31. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 1 1 1 86 1 −3 −3 0 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 0 3 −2 0
- 32. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 E1 1 1 1 86 1 −3 −3 0 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 0 3 −2 0
- 33. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 1 −3 −3 0 E 2−E 1 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 0 3 −2 0
- 34. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 1 −3 −3 0 E 2−E 1 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 E 3 0 3 −2 0
- 35. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 1 −3 −3 0 E 2−E 1 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 E 3 0 3 −2 0 ( ) 1 1 1 86 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0
- 36. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 1 −3 −3 0 E 2−E 1 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 E 3 0 3 −2 0 ( ) ( ) 1 1 1 86 1 1 1 86 0 −4 −4 −86 ⇒ 0 2 2 43 0 3 −2 0 0 0 −20 −258
- 37. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 1 −3 −3 0 E 2−E 1 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 E 3 0 3 −2 0 ( ) ( ) 1 1 1 86 1 1 1 86 0 −4 −4 −86 ⇒ 0 2 2 43 0 3 −2 0 0 0 −20 −258
- 38. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 1 −3 −3 0 E 2−E 1 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 E 3 0 3 −2 0 ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 0 −4 −4 −86 ⇒ 0 2 2 43 0 3 −2 0 0 0 −20 −258
- 39. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 1 −3 −3 0 E 2−E 1 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 E 3 0 3 −2 0 ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 0 −4 −4 −86 E 2 : (−2) ⇒ 0 2 2 43 0 3 −2 0 0 0 −20 −258
- 40. La resolución ● Hacemos combinaciones de las ecuaciones: ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 1 −3 −3 0 E 2−E 1 ⇒ 0 −4 −4 −86 0 3 −2 0 E 3 0 3 −2 0 ( ) ( ) 1 1 1 86 E 1 1 1 1 86 0 −4 −4 −86 E 2 : (−2) ⇒ 0 2 2 43 0 3 −2 0 4⋅E 3 +3⋅E 2 0 0 −20 −258
- 41. La resolución 3. Resolvemosel nuevo sistema, que es equivalente al original: ( ) 1 1 1 86 0 2 2 43 0 0 −20 −258
- 42. La resolución 3. Resolvemosel nuevo sistema, que es equivalente al original: ( ) } 1 1 1 86 x+ y+z = 86 0 2 2 43 ⇔ 2 y+2 z = 43 0 0 −20 −258 −20 z = −258
- 43. La resolución 3. Resolvemosel nuevo sistema, que es equivalente al original: ( ) } 1 1 1 86 x+ y+z = 86 E1 0 2 2 43 ⇔ 2 y+2 z = 43 E2 0 0 −20 −258 −20 z = −258 E3
- 44. La resolución ● Encontramos los valores de las incógnitas empezando por z y terminando con la x :
- 45. La resolución ● Encontramos los valores de las incógnitas empezando por z y terminando con la x : ⇒ E 3 : −20 z=−258
- 46. La resolución ● Encontramos los valores de las incógnitas empezando por z y terminando con la x : −258 ⇒ E 3 : −20 z=−258 ⇒ z= =12,90 20
- 47. La resolución ● Encontramos los valores de las incógnitas empezando por z y terminando con la x : −258 ⇒ E 3 : −20 z=−258 ⇒ z= =12,90 20
- 48. La resolución ● Encontramos los valores de las incógnitas empezando por z y terminando con la x : −258 ⇒ E 3 : −20 z=−258 ⇒ z= =12,90 20 ⇒ E 2 : 2 y+2 z =43
- 49. La resolución ● Encontramos los valores de las incógnitas empezando por z y terminando con la x : −258 ⇒ E 3 : −20 z=−258 ⇒ z= =12,90 20 43−2z 43−2⋅12,9 ⇒ E 2 : 2 y+2 z =43 ⇒ y= = =8,60 2 2
- 50. La resolución ● Encontramos los valores de las incógnitas empezando por z y terminando con la x : −258 ⇒ E 3 : −20 z=−258 ⇒ z= =12,90 20 43−2z 43−2⋅12,9 ⇒ E 2 : 2 y+2 z =43 ⇒ y= = =8,60 2 2
- 51. La resolución ● Encontramos los valores de las incógnitas empezando por z y terminando con la x : −258 ⇒ E 3 : −20 z=−258 ⇒ z= =12,90 20 43−2z 43−2⋅12,9 ⇒ E 2 : 2 y+2 z =43 ⇒ y= = =8,60 2 2 ⇒ E 1 : x+ y+z=86
- 52. La resolución ● Encontramos los valores de las incógnitas empezando por z y terminando con la x : −258 ⇒ E 3 : −20 z=−258 ⇒ z= =12,90 20 43−2z 43−2⋅12,9 ⇒ E 2 : 2 y+2 z =43 ⇒ y= = =8,60 2 2 ⇒ E 1 : x+ y+z=86 ⇒ x=86− y−z =86−8,6−12,9=64,50
- 53. La resolución ● Encontramos los valores de las incógnitas empezando por z y terminando con la x : −258 ⇒ E 3 : −20 z=−258 ⇒ z= =12,90 20 43−2z 43−2⋅12,9 ⇒ E 2 : 2 y+2 z =43 ⇒ y= = =8,60 2 2 ⇒ E 1 : x+ y+z=86 ⇒ x=86− y−z =86−8,6−12,9=64,50
- 54. La resolución 4. Comprobamosla solución: } x+ y+z = 86 x= 3⋅ y+z ) ( y z = 2 3
- 55. La resolución 4. Comprobamosla solución: } } x+ y+z = 86 64,5+8,6+12,9=86 x= 3⋅ y+z ) ( 64,5=3⋅(8,6+12,9) ⇒ y z 8,6 12,9 = = 2 3 2 3
- 56. La resolución 4. Comprobamosla solución: } } x+ y+z = 86 64,5+8,6+12,9=86 x= 3⋅ y+z ) ( 64,5=3⋅(8,6+12,9) ⇒ y z 8,6 12,9 = = 2 3 2 3 } 86=86 ⇔ 64,5=3⋅(21,5) 8,6⋅3=12,9⋅2
- 57. La resolución 4. Comprobamosla solución: } } x+ y+z = 86 64,5+8,6+12,9=86 x= 3⋅ y+z ) ( 64,5=3⋅(8,6+12,9) ⇒ y z 8,6 12,9 = = 2 3 2 3 } } 86=86 86=86 ⇔ 64,5=3⋅(21,5) ⇔ 64,5=64,5 8,6⋅3=12,9⋅2 25,8=25,8
- 58. La resolución 4. Comprobamosla solución: } } x+ y+z = 86 64,5+8,6+12,9=86 x= 3⋅ y+z ) ( 64,5=3⋅(8,6+12,9) ⇒ y z 8,6 12,9 = = 2 3 2 3 } } 86=86 86=86 ⇔ 64,5=3⋅(21,5) ⇔ 64,5=64,5 8,6⋅3=12,9⋅2 25,8=25,8
- 59. La resolución 4. Comprobamosla solución: } } x+ y+z = 86 64,5+8,6+12,9=86 x= 3⋅ y+z ) ( 64,5=3⋅(8,6+12,9) ⇒ y z 8,6 12,9 = = 2 3 2 3 } } 86=86 86=86 ⇔ 64,5=3⋅(21,5) ⇔ 64,5=64,5 8,6⋅3=12,9⋅2 25,8=25,8
- 60. La resolución 4. Comprobamosla solución: } } x+ y+z = 86 64,5+8,6+12,9=86 x= 3⋅ y+z ) ( 64,5=3⋅(8,6+12,9) ⇒ y z 8,6 12,9 = = 2 3 2 3 } } 86=86 86=86 ⇔ 64,5=3⋅(21,5) ⇔ 64,5=64,5 8,6⋅3=12,9⋅2 25,8=25,8
- 61. La resolución ● Por tanto la solución es: A gastó 64,50€. B gastó 8,60€. C gastó 12,90€.
- 62. Otro problema Se hanrecaudado 5670€ en un concierto. El precio de las entradas era de 24€ para adultos, 15€ para niños y 12€ para jubilados. Si se sabe que asistieron cinco veces más adultos que jubilados: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.
Notas del editor
- #30 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #31 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #32 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #33 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #34 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #35 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #36 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #37 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #38 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #39 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #40 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.
- #41 Aunque no necesitamos dividir la segunda ecuación entre dos en el segundo paso, siempre es buena idea simplificar cuando se pueda. Podríasmos haber escogido otras operaciones, siempre que se sigan las reglas el resultado final será el mismo, aunque la matriz escalonada no coincida.