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Subido porAzal Flores
Método Newton Raphson
El método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para localizar raíces de funciones. Calcula una aproximación mejorada de la raíz basada en el punto donde la tangente a la función cruza el eje X. Iterativamente, calcula un nuevo punto utilizando la fórmula xi+1 = xi - f(xi)/f'(xi) hasta alcanzar la precisión deseada. Proporciona resultados precisos pero puede converger lentamente para algunas funciones como cuando f'(x) es cero.
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- 1.
- 2. Este métodopara localizar raíces es la mas ampliamente utilizada. Punto (𝑥𝑖, 𝑓 𝑥𝑖 ) es el punto donde la tangente cruza en el eje X, representando una aproximación mejorada de la raíz. 𝑓(𝑥) 0 NOTA: Se define como derivada de una función en un punto dado, como la pendiente de la recta tangente de dicho punto. Por lo tanto: 𝑚 = 𝑓´(𝑥)
- 3. 𝑚 = 𝑓 𝑥2− 𝑓(𝑥1) 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑓 𝑥𝑖+1 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 Veamos que: 𝑓 𝑥𝑖+1 = 0 Podemos sustituir: 𝑚 = 0 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 Y despejamos: 𝑚(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) = −𝑓(𝑥𝑖) 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 = −𝑓(𝑥𝑖) 𝑚 Deducimos la formula a utilizar a partir de la pendiente de la recta. 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑚 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑓(𝑥𝑖) 𝑓´(𝑥𝑖)
- 4. Ejemplo Dado 𝑓𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 2 aproximar la raíz de la ecuación 𝑓 𝑥 = 0 , con tres iteraciones, comenzando con 𝑥0 = 1.5 𝑓′ 𝑥 = (1 + 𝑥)𝑒 𝑥 u=x v=𝑒 𝑥 u’v+v’u 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 ∙ 𝑥 1era Iteración 𝑥1 = 1.5 − 𝑓(1.5) 𝑓′(1.5) 𝑥1 = 1.5 − 1.5 𝑒1.5−2 2.5 𝑒1.5 = 𝟏. 𝟎𝟕𝟖 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑒 𝑥 − 2 (1 + 𝑥)𝑒 𝑥 Iteración Aprox Error 0 1.5 100% 1 1.078 39.14% 2 3
- 5. 2da Iteración 𝑥2 =1.078 − 𝑓(1.078) 𝑓′(1.078) 𝑥1 = 1.078 − 1.078 𝑒1.078−2 2.078 𝑒1.078 = 𝟎. 𝟖𝟖𝟕 Iteración Aprox Error 0 1.5 100% 1 1.078 39.14% 2 0.887 21.53% 3 3ra Iteración 𝑥2 = 0.887 − 𝑓(0.887) 𝑓′(0.887) 𝑥1 = 0.887 − 0.887 𝑒0.887−2 1.887 𝑒0.887 = 𝟎. 𝟖𝟓𝟒 Iteración Aprox Error 0 1.5 100% 1 1.078 39.14% 2 0.887 21.53% 3 0.854 3.86%
- 6. Ejemplo 2 Calculela raíz de 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥 empleando como valor inicial 𝑥0 = 0 , con 6 cifras significativas 𝜺 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓% Encontrando la primera derivada 𝑓′ 𝑥 = −𝑒−𝑥 − 1 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − 𝑒−𝑥 𝑖 − 𝑥𝑖 −𝑒−𝑥 𝑖 − 1 Empezando con el valor inicial 𝑥0= 0, se hacen las iteraciones correspondientes. Iteracion Xi 𝜺 𝜶 0 0 100% 1 0.50000 11.8% 2 0.566311 0.147% 3 0.567143165 0.0000220% 4 0.567143290 10−8 % 𝑥0 = 0 − 𝑒−0 − 0 −𝑒−0 − 1 = 0
- 7. Ventajas No esnecesario graficar. No trabaja con intervalos, solo es necesario conocer la derivada de la función. El método converge con una rapidez impresionante Proporciona una muy buena precisión en los resultados
- 8. Desventajas Aunque engeneral el método Newton-Raphson es muy eficiente, hay situaciones, donde se comporta de manera deficiente. Por ejemplo: En el caso de raíces múltiples Raíces simples. Determine la raíz positiva de 𝑓 𝑥 = 𝑥10 − 1 usando el método de Newton-Raphson y un valor inicial x=0.5 Respuesta-> La formula en este caso es: 𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 10 − 1 10𝑥𝑖 9 Se utiliza para calcular:
- 9. Iteración X 0 0.5 151.65 2 46.485 3 41.8365 4 37.65285 5 33.887565 . … . … . … 1.0000000 De esta forma después de la primera predicción deficiente, la técnica converge a la raíz verdadera 1, pero muy lentamente. 𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖 10 − 1 10𝑥𝑖 9
- 10. Puede dares convergencialenta debido a la naturaleza de la función. La tendencia de las aproximaciones oscilan entre el mínimo o máximo local. Valor inicial esta cercano a una raíz salta a una posición mas lejos. 𝑓′ 𝑥 = 0, pendiente cero. Causa una división entre cero. La solución se dispara horizontalmente y jamás toca el eje x.
- 11. No hayun criterio general de convergencia; su convergencia depende de la naturaleza de la función y de la exactitud del valor inicial. Necesario saber derivar funciones.