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Probabilidades
- 1. Mg. AUGUSTO FERNÁNDEZ HUAMÁN
- 2. Entonces, decimos ¿Qué tan Que la posible posibilidad ¡ Ya no es que salga Que salga es juego...! Cara o sello? 1/2 ¡ Espera, solo era ¡ Yo sé...! de dos Lo que no es lo broma posibilidades... mismo una que tu cara sea es cara Posiblemente la misma
- 3. PROBABILIDADES emplo: erán el Teorema de Pitágoras? orio, porque no es posible conocer ota con ( E ) un experimento (S). stral. Se denota por A. B.C., etc. rio ), su espacio muestral será: S = {1,2,3,4,5,6} y si buscamos un número impar may > 2 es un tercio.
- 4. Otro ejemplo: Se tiene una baraja de 52 cartas y de ello se extrae una. Calcular la probabilidad de que la carta extraída: a) Sea de color rojo b) Sea de espada c) Represente un número menor que 10 d) Sea As o trébol. Resolución: Al extraer una carta al azar, puede salir cualquiera de las 52 cartas, Luego el número de casos posibles para cualquiera de los eventos es 52. n = 52 a) sale carta roja, entonces m = 26 P(A) = m/n = 26 / 52 = 1/2. b) Sale carta de espada: El número de casos favorables es 13, entonces P (B) = m/n = 13/52 = ¼ c) El número de carta es menor que 10, entonces el número caso favorable es 4x 9 = 36 P(C) = m/n = 36 / 52 = 9/13 d) Sale As o trébol, entonces el número de casos favorables es 4 + 13 – 1 =
- 5. Ejemplo 3. En una caja hay 6 bolas rojas y 4 blancas. Se extraen una a una dos bolas (sin reposición ) Calcular las siguientes probabilidades. a) Que ambas bolas sean rojas b) Que ambas bolas sean blancas c) Que la primera sea roja y la segunda blanca. d) Que la primera sea blanca y la segunda roja Resolución Aplicamos el principio de multiplicación a) Cuando ambas bolas son rojas La `primera bola se puede extrae de 6 maneras diferentes. La segunda bola se puede extraer de 6 – 1 = 5 maneras diferentes porque una bola roja no se ha devuelto a la caja. Luego la 1ra. Roja y la 2da. Roja se pueden extraer de 6x5=30 maneras diferentes. El total de casos posibles: La primera bola se extraer de m/n maneras diferentes P(A) = 10 = 30/ 90 = 1/3 La segunda sería de 9 formas diferentes; entonces sería 10x9=90
- 6. b. Que ambas bolas sean blancas Número de casos favorables: m = 4 x 3 = 12 Número de casos posibles: n = 10 x 9 = 90 P( B ) = 12/ 90 = 2 / 15 c. La primera bola roja y la segunda blanca: Número de casos favorables: m = 6 x 4 = 24 Número de casos posibles: n = 10 x 9 = 90 P( C ) = 24 / 90 = 4 / 15 d. Que la primera bola sea blanca y la segunda roja Número de casos favorables: m = 4 x 6 = 24 Número de casos posibles: n = 10 x 9 = 90 P( D ) = m / n = 24/ 90 = 4 / 15
- 7. EJM: Con los datos del ejercicio anterior, pero considerando que ahora se extraen las dos bolas una a una con reposición. Calcular las mismas probabilidades. a) Que ambas bolas sean rojas Número de casos favorables: m = 6 x 6 = 36 Número de casos posibles: n = 10 x 10 = 100 P( A ) = m / n = 24/ 90 = 4 / 15 b) La primera blanca y la segunda blanca Número de casos favorables: m = 4 x 4 = 16 Número de casos posibles: n = 10 x 10 = 100 P( B ) = m / n = 24/ 90 = 4 / 25 c) La primera roja y la segunda blanca Número de casos favorables: m = 6 x 4 = 24 Número de casos posibles: n = 10 x 10 = 100 P( C ) = m / n = 24/ 100 = 6 / 25 d) La primer blanca y la segunda roja Número de casos favorables: m = 4 x 6 = 24 Número de casos posibles: n = 10 x 10 = 100 P( D ) = m / n = 24/ 90 = 6 / 25
- 8. EJM: En una urna hay 5 tarjetas que tienen escritas las letras G, E, L, A, N; se extraen una por una y se pone en fila sobre una mesa. Calcular la probabilidad de que queden ordenadas de modo que se pueda leer : ANGEL. Resolución A N G E L Las 5 tarjetas se pueden ordenar de P (5) = 5! = 120 maneras diferentes. El número de casos posibles son 120 y de los 120 casos posibles , sólo uno corresponde al orden. Número de casos favorables es = 1 Por lo tanto: P ( A, N, G, E, L ) = 1/ 120 EJM: De una baraja de 52 naipes se extrae al azar 3 cartas. ¿ Cuál es la probabilidad de que las tres sean de espada? Resolución * 3 cartas de 52 se puede extraer de 5 2 maneras diferentes. C 3 Númerop de casos posibles: 5 2! C 3 32 = =22100 3! x 4 9!
- 9. * De los 52 naipes, 13 son de espada, entonces las 3 se escogerán de las 13 de C 1 3 Maneras diferentes. 1 3! 3 * Número de casos favorables: C 3 = =286 13 3! x 1 0! * Luego P ( 3 cartas de espada ) 13 C 3 = 286/22 100 = 11/ 850 5 2 C 3 EJM: De un grupo de 6 hombres y 4 mujeres se va ha formar una comisión de 3 Personas. Calcular la probabilidad de que la comisión esté conformada por: a) 3 hombres b) 3 mujeres c) 1 hombre y dos mujeres d) al menos una mujer Resolución: a) Evento A: comisión formada por 3 hombres * Número de casos posibles = C 10 3 =120 Número de casos favorables A = C 36 = 2 0 Entonces P ( A ) = 20/120 = 1 / 6
- 10. b) Evento B: Comisión formada por 3 mujeres * Número de casos posibles: C 10 3 =120 * Número de casos favorables: C 3 4 =4 Entonces P ( A ) = 4/120 = 1 /30 c) Evento C: Comisión formada por 1 hombre y 2 mujeres * Número de casos posibles: C 10 3 =120 * Número de casos favorables: C 1 6 x C 2 4 =36 Entonces P ( A ) = 4/120 = 1 /30 d) Evento D: Comisión formada por al menos una mujer * Número de casos posibles: C 10 3 =120 * Número de casos favorables: Al menos una mujer significa que la comisión de tres personas puede estar integrada por: (1 mujer y 2 hombres) o (2 mujeres y 1 hombre) o (3 mujeres) C 1 4 xC 2 6 xC 2 4 xC 1 6 xC 3 4 =36 Entonces: P (D) = 100/120 = 5 / 6 4 x15 + 6 x 6 + 4 =100
- 12. Ejemplo En una urna se colocan 5 fichas numeradas con 1,2,3,4 y 5. Si se extraen al azar 2 fichas. ¿Cuál es la probabilidad que sus números sumen 7? Resolución Se extraen 2 fichas de 5. 5 4 5 → n (Ω ) = C 2 =10 3 A : L a s u m a d e lo s n ú m e r o s e s 7 . 1 2 A = {( 2 ; 5 ) , ( 3 ; 4 )} → n ( A ) = 2 2 1 P o r lo t a n t o : P (A )= = 10 5