Problema Gauss

Problema Gauss

• 2.
  En una confiteríaenvasan bombones en cajas de 250 gr, 500 gr y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño ( 250 gr.) que de tamaño mediano (500 gr ). Sabiendo que el precio del kilogramo de bombones es 40 euros. Y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1250 euros. A) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. B)Resuelve el problema
• 3.
  Primero escribimos lasincógnitas x = número de cajas de bombones de 250 gramos y = número de cajas de bombones de 500 gramos z = número de cajas de bombones de 1 kilogramo Planteamos las ecuaciones del sistema “Cierto día se envasaron 60 cajas en total” x + y + z = 60 “habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250gr.) que de tamaño mediano(500 gr )“ x=y+5 “Sabiendo que el precio del kilogramo de bombones es 40 euros. Y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1250 euros” 40 ·(0,250x) +40 · (0,500y) + 40·1z = 1250 operamos 10x +20y +40z = 1250 1x + 2y +4z = 125
• 4.
  Escribimos las ecuacionesen orden x+y+z = 60 El método de Gauss consiste en x- y =5 hacer ceros por debajo de la diagonal, es decir la primera x + 2y + 4z = 125 ecuación tendrá tres incógnitas, la segunda ecuación dos incógnitas y la tercera ecuación solamente una incógnita Para ello escribimos solamente los coeficientes de las incógnitas colocados en filas, así obtenemos una matriz para operar con ella. Vamos eliminando primero la incógnita x de la segunda y tercera ecuación, restando filas entre sí. Ahora eliminamos la incógnita y de la tercera ecuación.
• 5.
  1 1 160  1 1 1 60      1 − 1 0 5   0 − 2 − 1 − 55  F2 - F1 2F3 –F2 1 2 4 125  F3 – F1   0 1 3 65    1 1 1 60    SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO  0 − 2 − 1 − 55  EXISTE UNA ÚNICA SOLUCIÓN 0 0 5 85    Escribimos el sistema x + y + z = 60 Lo resolvemos - 2y – z = - 55 empezando por la tercera ecuación 5z = 85
• 6.
  Empiezo con latercera ecuación 5z = 85 x = 85/5 = 17 cajas pequeñas En la segunda ecuación sustituyo -2y – z = - 55 2y + z = 55 2y + 17 = 55 2y = 55-17 y = 38/2 = 19 cajas medianas Para acabar sustituyo en la primera x + y + z = 60 x + 19 + 17 = 60 x = 24 cajas de 1 kg Solución: x = 24 cajas de 1 kilo y = 19 cajas de 500 gramos z = 17 cajas de 250 gramos