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- 3. Las razones y proporciones son una manera de encontrar relaciones entre cantidades que aumentan o disminuyen ¿Qué son las razones y proporciones? Por ejemplo La cantidad de dinero que se paga por la compra de un kilo de pescado irá aumentando o disminuyendo en la medida que aumente o disminuya la cantidad de kilos de pescado a comprar
- 4. RAZÓN Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio del cuociente entre ellas Se puede escribir como a:b Se lee " a es a b k b a = ó Antecedente Consecuente b a
- 5. APLICACIONES En lenguaje de cartografía la razón se conoce como escala. Si un mapa está a escala 1:1000, ¿Qué significa? Cualquier distancia (digamos 1cm) en el mapa, representa 1000 cm en la vida real es decir 10m.
- 6. Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de 1000 13 Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 13 bebés. APLICACIONES
- 7. La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional. Por ejemplo, se sabe que la población de Antofagasta es de 285.255 personas, y también se sabe que la superficie es de 30.718,1 kilómetros cuadrados. Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de habitantes por kilómetro cuadrado ¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas! APLICACIONES 3 , 9 1 , 30718 285255 =
- 8. PROPORCIONES Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones d c b a = Se escribe o a : b = c: d Se lee “a es a b como c es a d” En toda proporción: d c b a = Extremos Medios
- 9. OBSERVACIÓN El producto de los medios es igual a los extremos. d c b a = Dada la proporción: Se cumple: c b d a ⋅ = ⋅
- 10. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos o más cantidades a y b son directamente proporcionales cuando su cociente es constante.
- 11. Observación Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta. Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye. Ejemplo: Mas horas de trabajo mas producción
- 12. EJEMPLO En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas? 20 12 3 = x Se tiene: Huevos Personas 3 12 x 20 Formando la proporción Multiplicando cruzado x ⋅ = ⋅ 12 20 3 x = 5 Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas Resolviendo para x, se tiene que:
- 13. Ejemplo Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minuto y medio?
- 14. Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los términos de cada una de las razones son constantes. PROPORCIONALIDAD INVERSA
- 15. El número de obreros y el tiempo para realizar una obra Observación Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye. Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta. Ejemplo:
- 16. EJEMPLO En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano? x 20 400 300 = Se tiene: Gallinas Días 300 20 400 x Formando la proporción Multiplicando cruzado x ⋅ = ⋅ 400 20 300 15 = x Por lo tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos Resolviendo para x, se tiene que: Se invierte la segunda razón 20 400 300 x =
- 17. Ejemplo Un depósito de agua se llena en 2.25 horas empleando cinco llaves de agua de igual diámetro. ¿En cuánto tiempo se llenará, si se utilizan tres llaves?
- 18. Ejemplo de Proporcionalidad 1. El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar es una proporción... 3. La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje es... 5. La cantidad de cigarrillos que fumo y lo que gasto fumando es... 7. El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar es... 9. El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa es...
- 19. PORCENTAJE
- 20. Introducción Para calcular un porcentaje, se divide el entero en 100 partes iguales y se toma de ella la cantidad requerida. Si una cantidad se divide en 100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está considerando el 25 % de la cantidad.
- 21. Ejemplo Si se dice que el 10% de los alumnos de este curso son niñas, se está diciendo que de cada 100 alumnos 10 son niñas.
- 22. CÁLCULO DE PORCENTAJE Para trabajar con tantos por cientos, se procede de igual manera que en las proporciones directas
- 23. Ejemplo Calcular el 32 % de 459. La proporción que se debe formar es:
- 24. Ejemplo ¿Qué porcentaje es 142 de 568? Solución: La proporción que se debe formar es:
- 25. Ejemplo De qué cantidad es 96 el 12%? Solución: La proporción que se debe formar es: