Realimentacion del estado

Departamento de Mecatrónica
Instituto Tecnológico de Culiacán

Realimentación del estado

Dr. Raúl Santiesteban Cos

Culiacán, Sinaloa.

Introducción

• Controlabilidad y observabilidad.
• Asignación de polos
• Observadores del estado
• Esquema controlador-observador

Los conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron
introducidos por Kalman en 1960.

Son de gran importancia en el diseños de sistemas de control
en espacio de estado.

Las condiciones de controlabilidad y observabilidad determinan
si existe una solución viable y completa al diseño de control.

Controlabilidad

Sea el sistema lineal
x(t )  Ax (t )  Bu(t )

(1)
y (t )  Cx(t )

descrito por las matrices (A,B,C), se dice que es controlable si
es posible construir una señal de control u (t ) no restringida tal
que pueda transferir cualquier condición inicial de estado x(0) .

a cualquier otra condición x(t ) en un intervalo de tiempo finito.

Un sistema lineal (A,B,C) es controlable si la matriz


C  B AB  An-1 B  ( C matriz de controlabilidad)

es de rango (r) pleno r=n, en otras palabras, el determinante de
la matriz C es diferente de cero.

Nota: n es la dimensión del sistema (# de variables de estado),
mientras que el rango (r) de C es el número de vectores linealmente
independientes en C

Ejemplo 1:
Determine si el siguiente sistema es controlable
 x1    5 5  x1   0u

 x2   5 4  x2  1
      
Solución:
El sistema es de segundo orden ( n  2 ) y
0 5
C  B AB   
1 4

tiene rango de 2, r  n o, det(C)  0
por lo tanto el sistema es totalmente controlable

Ejemplo 2:
Determine si el siguiente sistema es controlable
 x1    5 0  x1   0u

 x2   5 4  x2  1
      
Solución:
0 0
C  B AB   
1 4

tiene rango de 1, r  n o, det(C)  0

por lo tanto el sistema es no es totalmente controlable

Una forma alterna de verificar si un sistema es controlable, es
dibujando el diagrama de flujo de los estados y determinar si
existen caminos desde la señal de control hasta todas las
variables de estado. Si se cumple, el sistema es controlable:

Diagramas de flujo del estado de los ejemplos 1 y 2
a) Ejemplo 1 u 
x2 x2 
x1 x1
+  5 + 
 x1    5 5  x1   0u

 x2   5 4  x2  1
       4 5

-5

Fig.1 Diagrama a bloques ejemplo 1.
Existe un camino desde u hacia todas las variables de estado.

b) Ejemplo 2 u 
x2 x2 
x1 x1
+  
 x1    5 0  x1   0u

 x2   5 4  x2  1
       4 5

-5
Fig.2 Diagrama a bloques ejemplo 2.

No existe un camino desde u hasta la variable x1 .

En el ejemplo 1

• Existe un camino desde u hasta x1 y x2 .
• El sistema es controlable.

En el ejemplo 2

• No existe un camino desde u hasta x1 . Pero si hacia x2 .
• El sistema es parcialmente controlable.
• No se tiene acceso a modificar la dinámica de x1 .
• Si la dinámica de x1 es inestable, entonces el sistema lo es.

• Si la dinámica de x1 fuera estable y como es posible asignar
a x2 la dinámica deseada. El sistema se dice estabilizable.

Observabilidad
Sea el sistema lineal
x(t )  Ax (t )  Bu(t )

y (t )  Cx(t ) (1)

descrito por las matrices (A, B,C).

• La observabilidad es la capacidad que existe en un sistema
para poder estimar sus variables de estado.

• Un sistema lineal (A,B,C) es Observable en el tiempo t  0
si es posible determinar el estado inicial x(t 0) a partir del
conocimiento de u (t ) y y (t ) en un intervalo de tiempo finito.

La definición anterior no es restrictiva ya que si se desea
conocer el valor del estado para algún tiempo t i , estará dado
por
ti

x(t i )  e x(0)   e
At i A( ti  )
Bu ( )d
0

El sistema (A,B,C) es observable si y solo si la matriz
 C 
 CA 
( O matriz de observabilidad)
O 
  
 n 1 
CA 
es de rango pleno (r  n) , es decir, O es no singular, o su
determinante es diferente de cero.

Si el sistema no es totalmente observable significa que algunas
variables de estado quedan ocultas a las mediciones de y (t ).

Ejemplo 3:
Determine si el siguiente sistema es observable
 x1    5 0  x1   0u

 x2   5 4  x2  1
      
y  1 1  1 
x
 x2 
 
Solución:

O  C   1 1
CA 0 4
   
tiene rango dos, r  n o, det(O)  0
por lo tanto, el sistema es totalmente observable

Ejemplo 4:
Determine si el siguiente sistema es observable
 x1    5 0  x1   0u

 x2   5 4  x2  1
      
y  1 0  x1 
 x2 
 
Solución:

O  C   1 0
CA 5 0
   
tiene rango uno, r  n o, det(O)  0
por lo tanto, el sistema es no es observable (totalmente)

Ejemplo 5:
Determine controlabilidad y observabilidad en el sistema:

 x1   1  2 6   x1  0

 x2    3
 6  4   x2    0  u
 x    7  2  5   x   2
 3    3   

y  1 0 0  x1 
 x2 
x 
Solución:  3


C  B AB A2 B   47  26  16
 C  A 2   49 38 14 
O   CA  
 22

   12 9 
CA 2 
 

0 12  32
C  0  8
 28 
 det (C)  0  el sistema es controlable
2  10  18 
 

 1 0 0
O  1  2 6  det (O)  0  el sistema es observable
 47  26  16
 

Realimentación del estado
Sea el sistema
x(t )  Ax (t )  Bu(t )

(1)
y (t )  Cx(t )

Su polinomio característico es
a( s)  det(sI  A)  s n  a1s n1  a2 s n2    an
que representa cierto comportamiento dinámico.

Ahora se busca modificar el comportamiento del sistema (1)
(A,B,C) por medio de la realimentación del estado:

u(t )   Kx(t )  v(t ) (2)

donde K  [k1 k2 kn ] es un vector fila y v(t ) es una nueva entrada,
a fin de obtener un sistema de lazo cerrado con el polinomio
característico deseado.
 ( s)  s n  1s n1   2 s n2     n (3)

Esto es equivalente a modificar los polos del sistema en el
análisis por Laplace. Sustituyendo (2) en (1) se obtiene:

v(t ) u (t ) 
x(t ) x(t ) y (t )
+ B +  C

A Fig. 3 Representación del
sistema
modificado por
-K realimentación del estado.

x(t )  ( A  BK ) x(t )  Bv(t )

y(t )  Cx(t )

cuyo polinomio característico es
ak ( s)  det(sI  A  BK ) (4)

La meta es que por medio del control (2)
u (t )   Kx(t )  v(t ) (2)
el polinomio característico modificado (4) se iguale al polinomio
característico deseado (3):
ak ( s)   ( s)

Fórmula de Ackermann

El problema de realimentación del estado se reduce a la
obtención del vector de realimentación K
u(t )   Kx(t )  v(t ) K  k1 k2 kn 
en sistemas lineales de una entrada y una salida. La fórmula
de Ackermann es muy útil para diseñar el vector K

K  [0 0  0 1]C 1 ( A) Fórmula de Ackermann

donde  (s) es el polinomio característico deseado

 ( s)  s n  1s n1   2 s n2     n
por lo que:
 ( A)  An  1 An1   2 An2     n I

mientras que [0 0  0 1]C 1 es la última fila de la matriz
de controlabilidad.

Ejemplo 6:

Diseñe un controlador por realimentación del estado que asigne
los valores propios 1  3  j1 y 2  3  j1, al sistema.

 x1    1 1  x1   0u

y  1 0 1 
x
 x2   3 2  x2  1
        x2 
 

Solución:
Una de las formas más sencillas de encontrar el vector de
realimentación es igualar la ecuación característica del sistema
original con realimentación del estado con la ecuación
característica de los valores propios deseados:

Paso 0. Verificar estabilidad ( no indispensable )

  0   1 1  
det         5  (  1.7913)(  2.7913)  0
2
  0    3 2 
   

Hay una raíz con parte real negativa, el sistema es inestable.

Paso 1. Verificar controlabilidad
0 1
C  B AB    Es de rango pleno por lo tanto es
1 2
 totalmente controlable

El diseño del controlador puede llevarse a cabo.

Paso 2. Obtención del vector K
Se iguala:
ak ( )   ( )
det(I  ( A  BK ))  (  3  j1)(  3  j1)

  0    1 1 0 
det       3 2  1k1
 0   
k 2    2  6  10

     
   1 1  
det  
 k  3   2  k 
  2  6  10
 1 2 

2  (k2  1)  k1  k2  5  2  6  10

se igualan los coeficientes del mismo orden

k2  1  6 k1  k 2  5  10

y se obtiene el vector de realimentación K  [8 7]
El sistema realimentado queda:

 x1   1 1  x1  0
  x1  0 y  1 0 x1 
 x    3 2  x   18 7 x   1 v,  x2 
 
 2    2     2  

donde v es una referencia asignada (escalar).

Ejemplo 7:
Utilizando la fórmula de ackermann, diseñe un controlador por
realimentación del estado que asigne los valores propios
1  4  j1 , 2  4  j1 y 3  6 al sistema.

 x1  1  2 2  x1  0

 x1 
 x   4 5 2  x   1 u
2
      
2 y  1 2  1 x 2 .
 
 x 3   2  1 3  x3   2
       x3 
 
Solución:
Paso 0. Verificar estabilidad ( no indispensable )
  0 0  1  2 2  
   4 5 2   3  92  29  5
det   0  0   
  0 0    2  1 3 
   

1  4.4087  j 2.8202, 2  4.4087  j 2.8202, 3  0.1825

los tres valores propios tienen parte real positiva, por lo tanto
el sistema es inestable.
Paso 1. Verificar controlabilidad

0 2  6
C B AB 
A 2 B  1 9 63 ,
 
det(C)  310  0
2 5 10 
 

por lo tanto el sistema es totalmente controlable.

Paso 2. Obtención del vector K, utilizando la fórmula de
Ackerman
K  [0 0  0 1]C 1 ( A)

la inversa de la matriz de controlabilidad es

  45  5 18 
 62 31 31 
 58 6 3
C 1  
 155 155 155 
  13 2 1 
 310 155 155 
 
1
el último renglón de C es

  13
1 2 1 
[0 0  0 1]C   
 310 155 155 

por otra parte, el polinomio característico deseado es

 ( )  (  4  j1)(  4  j1)(  6)  3  142  65  102

entonces
 ( A)  A3  14 A2  65 A  102I

 74  394 164 
 (A)  788 632 624
 
164  312 468
 

por último, el vector K, queda:

K  [0 0  0 1]C 1 ( A)

 74  394 164 
  13  1 
788 632 624
2
K  
 310 155 155   
164  312 468
 

K  6.0065 26.6903  1.8452

Observador de estado

- De orden completo n estados

- De orden reducido menos de n estados

- De orden mínimo el mínimo de estados

Sea el sistema
x(t )  Ax (t )  Bu (t )

(1)
y (t )  Cx(t )


Suponga que el estado x se aproximará mediante el
estado x del modelo dinámico


~(t )  A~(t )  Bu (t )  K ( y  C~)
x x x (2)
e

u (t ) 
x(t ) x(t ) y (t )
B +  C

A

~(t )
x ~(t ) +
y
B +  C -
+ A
Ke

Fig. 1 Representación del sistema modificado usando un
observador de estado de orden completo.

la ecuación de error del observador está dada por


x  ~(t )  Ax  A~(t )  Ke (Cx  C~)
 x x x (3)

 ( A  KeC )( x  ~)
x (4)

Se define la variable de error como

e  ( x  ~)
x (5)

Donde la dinámica de error esta dada por

e  ( A  KeC )e
 (6)

El problema de diseñar un observador de orden completo
se convierte en determinar la matriz de ganancias del
observador Ke, tal que la dinámica de error definida
mediante la ecuación (6) sea asintóticamente estable con
una velocidad de respuesta suficiente.

Problema Dual
Por tanto, aquí el problema se convierte en el mismo que
en el caso de ubicación de polos analizado anteriormente.

x(t )  Ax  Bu
 z (t )  A* z  C *u

(7)
y (t )  Cx  (t )  B* z

La meta es utilizar un control del tipo

v   Kz (8)

La matriz de ganancias de realimentación del estado K se
determina de tal modo que la matriz A*  C * K * produzca un
conjunto de los valores característicos deseados.

Fórmula de Ackermann

Fórmula de Ackermann para
K  [0 0  0 1]C  ( A)
1
el problema de retroalimentación
(9)

Fórmula de Ackermann para
Ke  [0 0  0 1]O  ( A )
1 *
el problema observación
(10)

O1  [C * | A*C * | | ( A* ) n1 C * ]

1
C  0  C  0 
     0 
CA  0 CA   
K e  K *   ( A* )       ( A)    
 n2     n2   
CA  0 CA  0 
 n 1  1   n 1  1 
CA    CA   

donde  (s) es el polinomio característico deseado

 ( s)  s n  1s n1   2 s n2     n

mientras que [0 0  0 1]C 1 es la última fila de la matriz
de controlabilidad.

Ejemplo 8:
Diseñe un observador de estado de orden completo que asigne
los valores propios 1  3  j1 y 2  3  j1, al sistema.

 x1    1 1  x1   0u

y  1 0 1 
x
 x2   3 2  x2  1
        x2 
 

Solución:
Una de las formas más sencillas de encontrar el vector de
observación es igualar la ecuación característica del sistema
original con el observador de estado con la ecuación
característica de los valores propios deseados:

Paso 1. Verificar observabilidad

C   1 0 ¿rango pleno?...por lo tanto es…
O 
CA  1 1


El diseño del observador puede llevarse a cabo.

Paso 2. Obtención del vector Ke
Se iguala:
ake ( )   ( )
det(I  ( A  KeC ))  (  3  j1)(  3  j1)

  0    1 1  K e1  
det      1 0   2  6  10
  0     3 2  K e 2 
  

 
   1  ke1  1  
det     2  6  10
 3 k
 e2   2 


2  (ke1  1)  (ke 2  2ke1  5)  2  6  10

se igualan los coeficientes del mismo orden

ke1  1  6  2ke1  ke 2  5  10
7 
y se obtiene el vector de realimentación K e  
29 
 

La ecuación para el observador de orden completo

 ~1   1 1  ~1  0  7 

x x
~   
   ~   1u  29 y
 x2   3 2  x2     

Ejemplo 7:

Utilizando la fórmula de Ackermann, diseñe un observador de
estado que asigne los valores propios 1  4  j1 2  4  j,
1
y 3  6 al sistema.

 x1  1  2 2  x1  0
  x1 
 x   4 5 2  x   1 u

 2   2    y  1 2  1 x 2 .
 
 x 3   2  1 3  x3   2
      x3 
 

Solución:

Paso 1. Verificar observabilidad

C   1 2  1
  
O  CA    7 9 3 

det(O)  250  0
CA2  49 28 41
   

por lo tanto el sistema es …

Paso 2. Obtención del vector K, utilizando la fórmula de
Ackerman 1
C  0 
 AC   
K e   ( A)   0 
   
 n-1   
 A C 1 
 
la matriz inversa de observabilidad es
 57 11 3 
 50 
25 50 
 14 9 1
O  
1
 
 25 25 25 
 49 7
 
1
 50
 25 50 

3 
 50 
0   
1    1 
O 0  
 25 
1  
  
 1 
 50 
 
por otra parte, el polinomio característico deseado es

 ( )  (  4  j1)(  4  j1)(  6)

   14  65  102
3 2

entonces

 ( A)  A3  14 A2  65 A  102I

 74  394 164 
 (A)  788 632 624
 
164  312 468
 

por último, el vector K, queda:

1 3 
C  0   50 
 AC  0   74  394 164   
K e   ( A)    
K 788 632 624  1 
      25 
 n-1    164  312 468  
 A C
  1    1

 50 
 
 423 
 25 
 

238 
K
 25 
 
 324 
 25 
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