R.m. areas y perimetros (1)

R.m. areas y perimetros (1)

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  194 Intelectum Evolución1.°   Perímetros y áreas Perímetro Es la suma de los lados de una determinada figura geométrica. Ejemplo: 5 cm 7 cm 13 cm 4 cm 8 cm 3 cm 2p = 7 + 5 + 3 + 8 + 4 + 13 2p = 40 cm Longitud de una circunferencia r LC = 2p . r Ejemplo: 8 cm LC = 2p . 8 LC = 16p cm Longitud para varias semicircunferencias L3 L2 L1 L figura sombreada = L1 + L2 + L3 Ejemplo: 4 cm 10 cm 6 cm L figura sombreada = p.4 + p.6 + p.6 = 20p cm Atención El perímetro de una región plana se denota como (2p) siendo p el semiperímetro. A B D C 1 1 1 1 1 1 Perímetro de ABCD: 2p & 2p = 2 + 4 + 2 + 4 = 12 Recuerda φ A B O LAB ! = 2pr . 360° φ A r r B LAB ! = p . r A r r B LAB ! = .r 2 p
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  195 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -Unidad 4 Área Es la medida de la figura geométrica. Se expresa en unidades cuadradas: cm2 , m2 , etc. Áreas de figuras triangulares b h b h b a A 2 b h . = . A b h 2 = . A a b 2 = Áreas de regiones cuadrangulares b h a d D . A a b h 2 = + b l . A D d 2 = , , a , A 2 , = . A a , = Áreas de regiones circulares r O A = p.r2 Atención S a b θ S sen . a b 2 θ = Recuerda D , , A 2 D2 = Importante r O r A 2 r2 = p r r O   A 4 r2 = p
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  Problemas resueltos 196 IntelectumEvolución 1.° Resolución: A B C D Lcadena = AB CD , , + ! !+ AC + BD Lcadena = . . 2 2 40 2 2 40 p p + + 80 + 80 Lcadena = 40p + 40p + 160 Lcadena = 80p + 160 ` Lcadena = 80(p + 2) cm 4 Halla el perímetro de la región sombreada. 36 cm 12 cm 8 cm C2 C1 36 cm A B D C 32 cm 32 cm Resolución: Del gráfico: 2p = C1 , + C2 , + AB + BC + CD + AD   2p = 2p . 12 + 2p . 8 + 32 + 36 + 32 + 36   2p = 24p + 16p + 68 + 68   2p = 40p + 136 ` 2p = 8(5p + 17) cm 5 Calcula el área de la siguiente región sombreada. A B D C 16 cm 16 cm 1 Halla el perímetro de la figura. 22 cm A B C D E F G H I J 28 cm Resolución: Del gráfico: 2p = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IJ + JA 2p = AB + CD + EF + GH + IJ +    BC + DE + FG + HI + AJ     2p = 22    +    22    +  28   +    28 2p = 44 + 56 ` 2p = 100 cm 2 Halla el perímetro de la figura sombreada. Si AB; BC, AC son diámetros. A C O 16 cm 12 cm B Resolución: Según el gráfico:    2p = AB BC AC , , , + + ! ! !    2p = . . . 2 2 8 2 2 6 2 2 14 p p p + +    2p =8 6 14 p p p + + ` 2p = 28p cm 3 Halla la longitud de la cadena que sirve para atar las tres ruedas de la figura (r = 40 cm).
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  197 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -Unidad 4 Resolución: Trazamos la diagonal AC y trasladamos una parte de la región sombreada, así: A B D C 16 cm M 16 cm   Asombreada = ADAMD = 2 16 8 # ` Asombreada = 64 cm2 6 Halla el área de la región sombreada. Si AB; AD y CD son diámetros. A D B C 12 cm 12 cm Resolución: Trasladamos la región superior hacia abajo vemos que se forma una semicircunferencia. A D B C 6 cm Asombreada = . 2 62 p ` Asombreada = 18p cm2 7 Halla el área de la región sombreada. 2 A O B 2 2 2 Resolución: Trazamos AB y trasladamos una parte de la región sombreada. 2 cm 2 cm A O B 2 cm 2 cm   Asombreada = A AOB - A AOB       = 4p - 8       = 4(p - 2) cm2 8 Calcula el área de la región sombreada. 6 cm 10 cm O A N B M Resolución: Trazamos ON. 6 cm 8 cm 10 cm O A N B M El DOMN es un triángulo rectángulo. Por Pitágoras: MO2 + MN2 = ON2       MO2 + 62 = 102       MO2 + 36 = 100      MO2 = 64       MO = 8 cm Finalmente: Asombreada = 2 6 8 # = 24 cm2
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  Actividades de razonamiento 198Intelectum Evolución 1.° 1. Calcula el área de la región sombreada. 6u 4u 12u A C B A) 35 u2 B) 40 u2 C) 20 u2 D) 46 u2 E) 36 u2 2. En la figura tenemos dos circunferencias concéntricas en O, de radios 4 u y 2 u. Halla el área de la región sombreada. 4u 2u O A) 6p u2 B) 8p u2 C) 2p u2 D) 6p u2 E) 4p u2 3. En la figura tenemos el rectángulo ABCD. Halla el área de la región sombreada. E B C A D 10u 4u A) 50 u2 B) 40 u2 C) 30 u2 D) 10 u2 E) 20 u2 4. En la figura tenemos el cuadrado ABCD y una semi- circunferencia con centro en O y radio 2 u. Halla el perímetro de la región sombreada. B C O 2u A D A) 2(6 + p) u B) 2p + 3 u C) 2(p + 3) u D) 2(5 + p) u E) 3p + 4 u 5. Una hormiga se traslada desde el punto B hasta el punto D siguiendo la trayectoria representada por las líneas punteadas. Halla la longitud de dicha trayectoria, si ABCD es un cuadrado y BO ! , OD ! son cuartos de circunferencias. (O es centro del cuadrado). A) (2p + 3) u B) 3p u C) p u D) (p + 4) u E) 2p u 6. Halla el área de la región sombreada, donde ABCD es un cuadrado. 6u A B C D A) 4p u2 B) (2 + p) u2 C) (3p - 5) u2 D) 9(4 - p) u2 E) 5(5 - p) u2 7. Si el área de la región sombreada es 20 u2 , halla el área del rectángulo ABCD. B C A D E A) 60 u2 B) 40 u2 C) 35 u2 D) 50 u2 E) 30 u2 8. Sean ABCD y GBEF son cuadrados de lado 8 u y 4 u res- pectivamente, halla el área de la región sombreada. B C E F G A D A) 20 u2 B) 25 u2 C) 48 u2 D) 16 u2 E) 10 u2
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  Claves Reto 199 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -Unidad 4 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo (r = 2 u). 1. e 2. d 3. c 4. a 5. e 6. d 7. b 8. d 9. b 10. a 11. c 12. b 13. D 14. B 9. Sean ABCD y EFGH cuadrados de lados 5 u y 4 u respectivamente. Además ADEH es un trapecio, cuya área es 30 u2 y la altura 3 u, halla el perímetro de la figura sombreada. C D E F G H h = 3u B A A) 39 u B) 29 u C) 25 u D) 34 u E) 24 u 10. Una mesa tiene las siguientes dimensiones, halla el área de la región sombreada. (r = 2 u; AD = 8 u) B A C D r r A) 4(8 + p) u2 B) 6(4 + p) u2 C) (2p + 1) u2 D) 7(7 + p) u2 E) 3(5 + p) u2 11. Halla el área de la región sombreada. (r = 4 u; O y O' son centros de las circunferencias) O r O' A) 13p u2 B) 4p u2 C) 12p u2 D) 18p u2 E) 16p u2 12. Halla el área de la región sombreada si, ABCD es un cuadrado. (AB = 4 u) A B D C A) 15 u2 B) 8 u2 C) 4 u2 D) 16 u2 E) 12 u2 13. Calcula el perímetro de: 3 4 A) 7 B) 12 C) 10 D) 14 E) 21 14. Halla el perímetro de la figura sombreada si ABCD es rectángulo. D a a a B C A a a a A) 3pa B) 2pa C) pa D) 4pa E) 5pa D B C A r r Rpta.: 4(4 - p) u2
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  Refuerza practicando 200 Intelectum Evolución1.° NIVEL 1 1 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 4 u. A B D C A) 8 u2 B) 4 u2 C) 2 u2 D) 6 u2 E) 1 u2 2 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo cuya área es 40 u2 . A B D C A) 18 u2 B) 15 u2 C) 10 u2 D) 12 u2 E) 20 u2 3 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6 u. A D B E C A) 10 u2 B) 16 u2 C) 12 u2 D) 20 u2 E) 18 u2 4 Halla el área de la región sombreada, si O es centro de la circunferencia cuyo radio es 4 u. A O B A) 10p u2 B) 8p u2 C) 6p u2 D) 4p u2 E) 2p u2 5 Una hormiga se traslada de B hacia D siguiendo la trayectoria representada por las líneas punteadas. Halla la longitud de dicha trayectoria, si ABCD es un cuadrado de lado 6 u. (BD ! es un cuarto de circunferencia). A) 3p u B) 5p u C) 10p u D) 6p u E) 8p u 6 Halla el área de la región sombreada si ADEC es un trapecio. 4u 8 u 10 u B A D E C 5 u A) 8 u2 B) 7 u2 C) 9 u2 D) 6 u2 E) 10 u2 7 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 2 u. A D B C A) (1 + 2p) u2 B) (p + 1) u2 C) (2 ) 2 p - u2 D) (2 + p) u2 E) (p - 2) u2
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  201 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -Unidad 4 8 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 8 u. A D B C A) 5p u2 B) 3p u2 C) 2p u2 D) 4p u2 E) 16p u2 9 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 6 u. A D B C A) 20 u2 B) 36 u2 C) 15 u2 D) 18 u2 E) 27 u2 10 Halla el perímetro de la región sombreada. 4u 5u A) (9p + 2) u B) (3p + 4) u C) 9p u D) (6p - 1) u E) (2p + 5) u NIVEL 2 11 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. A D B C 4u A) 2(p - 2) u2 B) 4(4 - p) u2 C) (4 - p) u2 D) 3(p + 3) u2 E) 2(2 + p) u2 12 Halla el área de la región sombreada. 8 m 8 m A) 16(4 -p) m2 B) 8(4 -p) m2 C) 8(6 -p) m2 D)16(p-1)m2 E) 16(p - 2) m2 13 El rectángulo ABCD ha sido dividido en partes iguales, halla el área de la región sombreada. A D B C 12u 5u A) 12 u2 B) 2 u2 C) 8 u2 D) 4 u2 E) 6 u2 14 Hallaeláreadelaregiónsombreada,siABFEyGFCH son cuadrados de lado 5 u y 2 u respectivamente. A E G H B F D C A) 15 u2 B) 8 u2 C) 12 u2 D) 6 u2 E) 10 u2 15 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo. B C A D 6 u 9u 4 u A) 24 u2 B) 15 u2 C) 12 u2 D) 21 u2 E) 18 u2
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  202 Intelectum Evolución1.° 16 Halla el área de la región sombreada, si ABCD y AEFD son trapecios. B E F C A D 5u 4u 6u 8u 2u A) 22 u2 B) 20 u2 C) 25 u2 D) 21 u2 E) 15 u2 17 Si el área de la región cuadrada ABCD es 36 u2 , halla el área de la región sombreada. A D E B C A) 32p u2 B) 18p u2 C) 36p u2 D) 25p u2 E) 20p u2 18 Si el área de la región trapecial ABCD es 25 u2 , halla el área de la región triangular ACD. 4u B A C D 6u A) 10 u2 B) 15 u2 C) 18 u2 D) 5 u2 E) 20 u2 19 Halla el área de la región sombreada. 4 m 6 m A) 12p m2 B) 14p m2 C) 16p m2 D) 18p m2 E) 20p m2 NIVEL 3 20 Halla el área de la región sombreada. 4 m 4 m A) 4 m2 B) 6 m2 C) 8 m2 D) 10 m2 E) 12 m2 21 Halla el área de la región sombreada. 4 m 4 m A) 10 m2 B) 8 m2 C) 6 m2 D) 14 m2 E) 12 m2 22 Halla el área de la región sombreada. 20 m 20 m A) 40p m2 B) 50p m2 C) 60p m2 D) 30p m2 E) 448p m2 23 Halla el área de la región sombreada. 20 m 20 m A) 400 m2 B) 200 m2 C) 300 m2 D) 150 m2 E) 250 m2
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  203 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -Unidad 4 24 Halla el área de la región sombreada. 8 m 8 m A) 8 m2 B) 16 m2 C) 18 m2 D) 22 m2 E) 36 m2 25 Halla el área de la región sombreada. 4 m 4 m A) 2(4 -p) m2 B) 8(4 -p) m2 C) 6(9 -p) m2 D) 4(4 -p) m2 E) 4(8 -p) m2 26 Halla el área de la región sombreada. 4 m 4 m A) 3p m2 B) 2p m2 C) 4p m2 D) 6p m2 E) 8p m2 27 Halla el área de la región sombreada. a A) a 5 3 2 B) a 5 4 2 C) a 9 8 2 D) a 8 3 2 E) a 7 6 2 28 Calcula el área de la región sombreada. a A) a 2 2 B) a 3 2 C) a 3 2 2 D) a 5 2 2 E) a 7 4 2 29 Halla el área de la región sombreada. a A) a 5 3 2 B) a 3 2 2 C) a 2 2 D) a 3 2 E) a 4 2 Nivel 1 1. B 2. C 3. E 4. D 5. A 6. C 7. C 8. D 9. E 10. A Nivel 2 11. B 12. A 13. E 14. D 15. D 16. E 17. B 18. B 19. E Nivel 3 20. E 21. B 22. B 23. B 24. A 25. D 26. B 27. D 28. A 29. C Claves