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- 3. SABERES PREVIOS ANALISIS DEREGRESION MULTIPLE 1. Que es un Modelo de Análisis de Regresión Lineal Múltiple? 2. Para que sirve un Modelo de Análisis de Regresión Lineal Múltiple?
- 4. LOGRO DE SESION Alfinalizar la clase los alumnos aplican los conceptos de regresión lineal múltiple e interpretan adecuamente los coeficientes de regresión que le permiten poder construir el modelo de regresión y aplicarlo en el campo de las ciencias y la ingeniería
- 5. • Actividad: Acontinuación el estudiante va revisar los conceptos básicos correspondientes a Análisis de Regresión Lineal Múltiple y se van a resolver ejercicios para poder desarrollar los conceptos revisados en clase. TRANSFORMACIÓN (60 min) Principio pedagógico: Aprendizaje autónomo y Aprendizaje colaborativo. Transformación
- 6. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Elobjetivo básico del Análisis de Regresión Lineal Múltiple es el de construir un modelo que permita predecir o estimar el valor de una variable Y, en base a un conjunto de variables X1, X2,....,Xk A la variable Y se le llama variable dependiente, y es la que se quiere estimar o predecir. Las variables X1, X2,....,Xk son las variables independientes o variables predictoras. 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2+𝜀𝑖 Los residuos tienen media 0. La varianza de los residuos no depende de xi (homocedasticidad) Los residuos son normales. Los residuos son aleatorios. Las variables x1, x2, etc. no están linealmente correlacionadas entre sí Supuestos:
- 7. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Aficion_lecturaNum_hijos Aficion_cine Aficion_musica renta_mens Nivel_estudios Aficion_TV Satisfaccion 4 0 3 5 1200 4 4 4 3 0 3 4 1500 5 4 3 5 1 4 1 1800 3 5 5 2 2 1 3 1000 2 2 3 4 1 5 3 1300 3 4 4 3 1 3 4 1900 1 4 3 5 3 4 5 1300 4 5 5 3 0 2 3 1200 4 4 3 3 1 4 1 1600 2 5 4 1 3 2 1 1400 2 1 2 4 0 5 4 1700 3 4 4 5 0 5 5 2500 4 5 5 5 2 4 4 1100 5 3 5 5 2 5 3 1400 3 4 5 2 1 1 4 1800 4 3 3 4 2 5 4 2000 4 5 5 3 3 2 4 1500 4 3 3 1 1 2 3 1000 2 2 2 2 1 2 2 1300 3 3 3 1 0 2 5 1600 4 4 2 5 1 4 4 1800 3 4 4 2 2 3 3 1200 4 4 4 4 1 5 5 1700 2 5 4 4 1 4 3 1500 5 4 4 5 2 4 5 1100 5 5 5 Satisfacción de usuarios
- 8. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Elmodelo poblacional de regresión lineal múltiple, con k variables independientes, es el siguiente: Donde: Son Parámetros desconocidos, llamados coeficientes de regresión. (i =0,1,2,3,...,k) Son los errores del modelo, y se suponen independientes y normalmente distribuidos con media 0 y varianza 𝜎2 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2+𝜀𝑖 Estos coeficientes son calculados a partir del método de los mínimos cuadrados. 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2+…+𝛽k𝑋k
- 9. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Resoluciónde Regresión Lineal Múltiple: Notación Matricial Para determinar la ecuación de regresión lineal múltiple muestral, debemos primero identificar la variable dependiente y luego las variables independientes, una vez identificados, formaremos nuestro sistema de matrices para cada uno de ellos, formando el siguiente sistema de ecuación de regresión múltiple, y ubicándolos de esta forma: Quedando el sistema de Matrices definida de la siguiente manera: 𝒀𝒊 = 𝜷𝐤𝑿𝐢𝐤+𝒆𝒊 Donde: Yi: es la Matriz de la Variable Dependiente Xi: es la Matriz de la Variable Independiente Bi: es la Matriz de los coeficientes predictores ei : es la matriz del error de estimación
- 10. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE 𝒀𝒊= 𝜷𝐤𝑿𝐢𝐤+𝜺𝒊 NOTA: En la primera columna de la matriz de la variable independiente se pone 1, que corresponde al valor de la constante Notación Matricial
- 11. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Parahallar el valor de cada uno de los coeficientes regresores B, resolveremos las siguientes operaciones matriciales: β = 𝛽0 𝛽1 . . . 𝛽𝑘 β = 𝑋𝑇𝑋 −1𝑋𝑇𝑌 β = 𝑋𝑇 𝑋 −1 𝑋𝑇 𝑌 Donde: 𝑋𝑇 : : es la matriz transpuesta de la variable independiente 𝑋𝑇 𝑋 −1 : es la matriz inversa β : es la matriz de los coeficientes regresores.
- 12. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Coeficientede regresión en el caso de dos variables independientes: Matrices 𝐴 = 𝑋𝑇𝑋 = 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑋1𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑋2𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑋1𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑋1𝑖 2 𝑖=1 𝑛 𝑋1𝑖𝑋2𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑋2𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑋1𝑖𝑋2𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑋2𝑖 2 𝐺 = 𝑋𝑇𝑌 = 𝑖=1 𝑛 𝑌𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑋1𝑖𝑌𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑋2𝑖𝑌𝑖 𝜷 = 𝑨−𝟏 𝑮 = 𝛽0 𝛽1 𝛽2
- 13. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE 𝑌 = 𝑛𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 𝑋1𝑌 = 𝛽0 𝑋1 + 𝛽1 𝑋1 2 + 𝛽2 𝑋1𝑋2 𝑋2𝑌 = 𝛽0 𝑋2 + 𝛽1 𝑋1𝑋2 + 𝛽2 𝑋2 2 Coeficiente de regresión en el caso de dos variables independientes: Sistema de ecuaciones
- 14. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE yTamaño Distancia 360 2 1 1000 6 1 450 3 2 525 4 3 350 2 10 300 1 4 Se ha reunido la siguiente información de una muestra aleatoria de arrendadores de departamentos en una ciudad. Se intenta predecir la renta (en dólares por mes) con base en el tamaño del departamento (número de habitaciones) y la distancia al centro de la ciudad (en millas). a) Determinar la ecuación de regresión estimada b) Interpretar cada uno de los coeficientes Ejercicios
- 15. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE Laecuación de Regresión a encontrar será: 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 𝑌 𝑋1 𝑋2 𝑋1𝑌 𝑋2𝑌 𝑋1𝑋2 𝑋1 2 𝑋2 2 360 2 1 720 360 2 4 1 1000 6 1 6000 1000 6 36 1 450 3 2 1350 900 6 9 4 525 4 3 2100 1575 12 16 9 350 2 10 700 3500 20 4 100 300 1 4 300 1200 4 1 16 2985 18 21 11170 8535 50 70 131 𝑌 = 2985 Σ 𝑋1 = 18 Σ 𝑋2 = 21 𝑋1𝑌 = 11170 𝑋2𝑌 = 8535 𝑋1𝑋2 = 50 𝑋1 2 = 70 𝑋2 2 = 131 Σ Σ Σ Σ Σ Σ Solución a.
- 16. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE 01 2 0 1 2 0 1 2 2985 6 (18) (21) 11170 (18) (70) (50) 8535 (21) (50) (131) b b b b b b b b b Reemplazando en las ecuaciones normales Resolviendo el sistema de Ecuaciones 𝑌 = 𝑛𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 𝑋1𝑌 = 𝛽0 𝑋1 + 𝛽1 𝑋1 2 + 𝛽2 𝑋1𝑋2 𝑋2𝑌 = 𝛽0 𝑋2 + 𝛽1 𝑋1𝑋2 + 𝛽2 𝑋2 2 𝜷 = 𝛽0 𝛽1 𝛽2 = 96.481 136.485 −2.401
- 17. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE 𝑌= 96.481 + 136.485𝑁º ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡 − 2.401𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐 𝜷𝟎: La renta esperada(promedio), cuando el tamaño del departamento y la distancia al centro de la ciudad toman el valor de cero será de 96.481$ 𝜷𝟏: Por cada incremento de una habitación, la renta esperada(promedio) se incrementará en 136.485$ manteniendo constante la distancia al centro de la ciudad. 𝜷𝟐: Por cada incremento de una unidad de distancia al centro de la ciudad, la renta esperada (promedio) disminuirá en -2,401$ manteniendo constante el número de habitación Solución.
- 18. EJERCICIO ADICIONAL a) Determinarla ecuación de regresión estimada b) Interpretar cada uno de los coeficientes 𝑌 = Σ 𝑋1 = Σ 𝑋2 = 𝑋1𝑌 = 𝑋2𝑌 = 𝑋1𝑋2 = 𝑋1 2 = 𝑋2 2 = Σ Σ Σ Σ Σ Σ
- 19. Actividad: • El estudianteresponde en el chat sobre 2 principales preguntas del docente sobre su aprendizaje en la clase de hoy. CIERRE (15 min) Principio pedagógico: Aprendizaje autónomo. Cierre
- 20. CIERRE ¿QUÉ HEMOS APRENDIDO? 1.¿Cuándose usa la regresión lineal y que supuestos debe cumplir? 2.¿Cómo se interpreta el coeficiente de una regresión lineal múltiple?