S13 distribución de probabilidad para v.a continuas

S13 distribución de probabilidad para v.a continuas

• 2.
  Distribuciones de Probabilidadpara Variables aleatorias continuas PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
• 3.
  Variables aleatorias continuas Sedice que una 𝑣. 𝑎 X es continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo de números, esto es, si para algún A < B, cualquier número x entre A y B es posible. Ejemplos : 1. Si el estudio de la ecología de un lago efectuamos mediciones de su profundidad en lugares seleccionados al azar, entonces X= la profundidad en tal lugar es una 𝑣. 𝑎 continua. Aquí A es la profundidad mínima en la región donde se hace el muestreo, y B es la profundidad máxima.
• 5.
  Función de densidadde probabilidad Para una variable aleatoria continua X, una función de densidad de probabilidad es una función tal que 1. 𝑓 𝑥 ≥ 0 2. −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑓 𝑥 𝑑𝑒 𝑎 a 𝑏, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑦 𝑏 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎.
• 6.
  Ejemplo Sea que lavariable aleatoria continua X denote la corriente medida en un alambre delgado de cobre en miliamperes. Suponga que el rango de X es [0, 20mA], suponga asimismo que la función de densidad de probabilidad de X es 𝑓 𝑥 = 0.05 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 20. ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de la corriente sea menor que 10 miliamperes? 𝑃 𝑋 < 10 = 0 10 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0.05 𝑃 5 < 𝑋 < 15 =
• 7.
  Ejemplo Sea que lavariable aleatoria continua X denote el diámetro de un agujero taladrado en un componente metálico. El diámetro especificado es 12.5 milímetros. La mayoría de las perturbaciones aleatorias del proceso resultan en diámetros mayores. Datos históricos indican que la distribución de X puede modelarse con la función de densidad de probabilidad 𝑓 𝑥 = 20𝑒−20(𝑥−12.5), 𝑥 ≥ 12.5 Si un componente con un diámetro mayor que 12.60 milímetros se desecha, ¿Qué proporciones de los componentes se desecha?. Un componente se desecha si 𝑋 > 12.60.
• 8.
  Solución P X >12.60 = 12.6 ∞ f x dx = 12.6 ∞ 20e−20(x−12.5)dx = −e−20(x−12.5) ∞ 12.6 = 0.135 ¿Qué proporción de los componentes tiene entre 12.5 y 12.6 milímetros? 𝑃 12.5 < 𝑋 < 12.60 = 12.5 12.6 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 12.5 12.6 20𝑒−20(𝑥−12.5) 𝑑𝑥 = −𝑒−20(𝑥−12.5) 12.6 12.5 = 0.865
• 9.
  Función de distribuciónacumulada La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X es 𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = −∞ 𝑥 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 para −∞ < 𝑥 < ∞
• 10.
  Distribución acumulada Para laoperación de taladrado del ejemplo anterior . 𝐹(𝑥) consta de dos expresiones: 𝐹 𝑥 = 0 parra 𝑥 < 12.5 y 𝐹 𝑥 = 12.5 x 20e−20(u−12.5) d𝑢 = 1 − 𝑒−20 𝑥−12.5 para 12.5 ≤ 𝑥 Por lo tanto 𝐹 𝑥 = 0 𝑥 < 12.5 1 − 𝑒−20 𝑥−12.5 12.5 ≤ 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑑𝐹(𝑥) 𝑑𝑥
• 11.
  Ejemplo Sea X unavariable aleatoria cuya función de densidad viene dada por 𝑓 𝑥 calcule su función de distribución. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠