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Sección 3.2 Propiedades de la transformada Z de señales discretas
El documento aborda las propiedades de la transformada Z en el contexto del procesamiento digital de señales, destacando la linealidad, el desplazamiento temporal, el cambio de escala, y la diferenciación en el dominio Z. Se presentan ejemplos y explicaciones sobre cómo calcular transformadas Z de señales discretas, así como sus regiones de convergencia. Además, se exploran técnicas como la convolución y la correlación, enfatizando su importancia en la simplificación de cálculos relacionados con señales.
En este documento
Desarrollado con IA
Presentación del curso sobre Procesamiento Digital de Señales y la Transformada Z.
Discusión sobre propiedades como linealidad, desplazamiento temporal y sus ejemplos.
Explicación sobre cómo el cambio de escala afecta a la transformada Z y su región de convergencia.
Demostraciones de la transformación Z aplicado a señales bajo cambios de escala.
Propiedades de inversión temporal con ejemplos de señales y sus transformadas.
Propiedades que explican la diferenciación en el dominio Z junto a ejemplos.
Propiedad de convolución en transformadas Z y su procedimiento, incluyendo ejemplos.Definición y ejemplos de la correlación de secuencias mediante transformada Z.
Ejemplos adicionales de la transformada Z aplicada a diversas señales y ejercicios prácticos.
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- 1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DENAYARIT INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA Procesamiento Digital de Señales M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca UNIDAD 3 Transformada 𝑍 y sus aplicaciones A veces un poco de intuición e ingenio conduce a una reducción considerable en la complejidad, y a veces también a mejoras en su velocidad. – Roger Penrose, La mente nueva del emperador, 1996, México.
- 2. Procesamiento Digital deSeñales M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca Transformada 𝑍 y sus aplicaciones 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 de señales discretas
- 3. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Si dos secuencias 𝑥1 𝑛 y 𝑥2 𝑛 tienen transformada Z 𝑥1 𝑛 𝑧 𝑋1 𝑧 y 𝑥2 𝑛 𝑧 𝑋2 𝑧 Entonces la suma lineal de ambas secuencias 𝑥 𝑛 = 𝛼1 𝑥1 𝑛 + 𝛼2 𝑥2 𝑛 𝑧 𝑋 𝑧 = 𝛼1 𝑋1 𝑧 + 𝛼2 𝑋2 𝑧 𝟑. 𝟓 Esto quiere decir que la suma lineal de dos o mas secuencias discretas es igual a la suma lineal de las transformadas 𝑍 de las secuencias discretas. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3 Linealidad
- 4. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.6: Determine la transformada 𝑧 de las señal 𝑥 𝑛 = cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 Solución: Utilizando la identidad de Euler 𝑥 𝑛 = cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 = 1 2 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 + 1 2 𝑒−𝑗𝜔0 𝑛 𝑢(𝑛) Entonces la 𝑇𝑍 se obtiene 𝑋 𝑧 = 1 2 𝑍 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛 𝑢(𝑛) + 1 2 𝑍 𝑒−𝑗𝜔0 𝑛 𝑢(𝑛) Haciendo 𝛼 = 𝑒±𝑗𝜔0 𝑒 𝑗𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧 1 1 − 𝑒 𝑗𝜔0 𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1 y 𝑒−𝑗𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧 1 1 − 𝑒−𝑗𝜔0 𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 4 Linealidad
- 5. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.6: Por lo tanto 𝑋 𝑧 = 1 2 1 1 − 𝑒 𝑗𝜔0 𝑧−1 + 1 2 1 1 − 𝑒−𝑗𝜔0 𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1 Finalmente cos 𝜔0 𝑢 𝑛 𝑧 1 − 𝑧−1 cos 𝜔0 1 − 2𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑧−2 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1 𝟑. 𝟔 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 5 Linealidad
- 6. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Si tenemos una señal discreta con su respectiva transformada 𝑍 x 𝑛 𝑧 X 𝑧 entonces x 𝑛 − 𝑘 𝑧 z−kX 𝑧 , 𝟑. 𝟕 La 𝑅𝑂𝐶 de 𝑧−𝑘 𝑋 𝑧 es la misma que la de 𝑋(𝑧) excepto para 𝑧 = 0 si 𝑘 > 0 y 𝑧 = ∞ si 𝑘 < 0. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 6 Desplazamiento temporal
- 7. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.7: Determine Aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo, determine la transformada 𝑧 de 𝑥2 y 𝑥3 a partir de 𝑥1 𝑥1 = 1, 2,5,7,0,1 𝑥2 = 𝑥1 𝑛 + 2 𝑥3 = 𝑥1 𝑛 − 2 Solución: Usando la propiedad de desplazamiento temporal 𝑋2 𝑧 = 𝑧2 𝑋1 𝑧 = 𝑧2 + 2𝑧 + 5 + 7𝑧−1 + 𝑧−3 ROC: todo 𝑧 excepto en ∞ y en 0. y 𝑋3 𝑧 = 𝑧−2 𝑋1 𝑧 = 𝑧−2 + 2𝑧−3 + 5𝑧−4 + 7𝑧−5 + 𝑧−7 ROC: todo 𝑧 excepto en 0. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 7 Desplazamiento temporal
- 8. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.8: Determine la transformada 𝑧 de la señal 𝑥 𝑛 = 1, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 0, en otro caso Solución: Usando la definición de la transformada 𝑧 𝑋 𝑧 = 𝑛=0 𝑁−1 1𝑧−𝑛 = 1 + 𝑧−1 + ⋯ + 𝑧− 𝑁−1 = 𝑁, si 𝑧 = 1 1 − 𝑧−𝑁 1 − 𝑧−1 , si 𝑧 ≠ 1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑧 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑧 = 0. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 8 Desplazamiento temporal
- 9. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.8: Utilizando las propiedades de linealidad y desplazamiento 𝑥 𝑛 = 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 𝑁 Entonces 𝑋 𝑧 = 𝑍 𝑢(𝑛) − 𝑍 𝑢 𝑛 − 𝑁 = 1 − 𝑧−𝑁 𝑍 𝑢 𝑛 Y como 𝑍 𝑢(𝑛) = 1 1 − 𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1 lo que nos lleva a la misma solución 𝑋 𝑧 = 𝑁, si 𝑧 = 1 1 − 𝑧−𝑁 1 − 𝑧−1 , si 𝑧 ≠ 1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑧 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑧 = 0. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 9 Desplazamiento temporal
- 10. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Como antes se había mencionado, la ROC de señales combinadas queda determinada por la naturaleza finita de la señal resultante, no por las ROC de las transformadas individuales. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 10 Desplazamiento temporal
- 11. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Si una secuencia 𝒙 𝒏 tiene su correspondiente 𝑇𝑍 𝑥 𝑛 𝑧 𝑋 𝑧 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑟1 < 𝑧 < 𝑟2 entonces 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 𝑧 𝑋 𝑎−1 𝑧 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑎 𝑟1 < 𝑧 < 𝑎 𝑟2 (𝟑. 𝟖) para cualquier constante 𝒂 real o compleja. Para comprender mejor el significado y las implicaciones de la propiedad de cambio de escala, expresamos 𝒂 y 𝒛 en forma polar como 𝒂 = 𝒓 𝟎 𝒆𝒋𝝎 𝟎, 𝒛 = 𝒓𝒆𝒋𝝎 , e introducimos una nueva variable compleja 𝒘 = 𝒂−𝟏 𝒛. Por tanto, 𝒁 𝒙 𝒏 = 𝑿 𝒛 y 𝒁 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝑿 𝒘 . Podemos ver fácilmente que 𝑤 = 𝑎−1 𝑧 = 1 𝑟0 𝑟 𝑒 𝑗 𝜔−𝜔0 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 11 Cambio de escala en el dominio de 𝑍
- 12. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Este cambio de variables da lugar al estrechamiento (si 𝑟0 > 1) o a la expansión (si 𝑟0 < 1) del plano 𝑧 en combinación con una rotación (si 𝜔0 ≠ 2𝑘𝜋) del plano 𝑧. Esto explica porqué tenemos un cambio en la ROC de la nueva transformada donde 𝑎 < 1. El caso 𝑎 = 1, es decir, 𝑎 = 𝑒 𝑗𝜔0 tiene un interés especial, ya que solo se corresponde con la rotación del plano 𝑧. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 12 Cambio de escala en el dominio de 𝑍
- 13. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.9: Determine la transformada 𝑧 de las señal 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 Solución: A partir de la ec. 3.6 y 3.8, obtenemos 𝑎 𝑛 cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧 1 − 𝑎𝑧−1 cos 𝜔0 1 − 2𝑎𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑎2 𝑧−2 , 𝑧 > 𝑎 (𝟑. 𝟗) 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 13 Cambio de escala en el dominio de 𝑍
- 14. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Si una secuencia 𝑥 𝑛 tiene una 𝑇𝑍 𝑥 𝑛 𝑧 𝑋 𝑧 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑟1 < 𝑧 < 𝑟2 entonces 𝑥 −𝑛 𝑧 𝑋 𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶: 1 𝑟2 < 𝑧 < 1 𝑟1 𝟑. 𝟏𝟎 La 𝑅𝑂𝐶 para 𝑥 𝑛 es la inversa de 𝑥 −𝑛 . Esto significa que si 𝑧0 pertenece a la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑥 𝑛 , entonces 1 𝑧0 pertenece a la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑥 −𝑛 . Otra forma intuitiva de explicarlo es la siguiente: si reflejamos una señal, el coeficiente de 𝑧−𝑛 se convierte en el coeficiente de 𝑧 𝑛 . Por tanto, reflejar una señal es equivalente a reemplazar 𝑧 por 𝑧−1 en la fórmula de la transformada 𝑧. En otras palabras, la reflexión en el dominio del tiempo se corresponde con la inversión en el dominio de 𝑧. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 14 Inversión temporal
- 15. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.10: Determine la transformada 𝑧 de la señal 𝑥 𝑛 = 𝑢 −𝑛 Solución: A partir de la ec. 3.4 sabemos que 𝑢 𝑛 𝑧 1 1 − 𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1 Utilizando la ec. 3.10 obtenemos fácilmente 𝑢 −𝑛 𝑧 1 1 − 𝑧 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 < 1 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 15 Inversión temporal
- 16. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Si una secuencia 𝑥 𝑛 tiene su correspondiente transformada 𝑍 𝑥 𝑛 𝑧 𝑋 𝑧 Entonces 𝑛𝑥 𝑛 𝑧 − 𝑧 𝑑𝑋 𝑧 𝑑𝑧 𝟑. 𝟏𝟏 La región de convergencia es la misma que 𝑋 𝑧 . 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 16 Diferenciación en el dominio 𝑍
- 17. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.11: Determine la 𝑇𝑍 de la señal 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 Solución: La señal 𝑥 𝑛 puede expresarse como 𝑛𝑥1 𝑛 , donde 𝑥1 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 . Si la 𝑇𝑍 de 𝑥1 𝑛 es 𝑥1 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧 𝑋1 𝑧 = 1 1 − 𝑎𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎 𝟑. 𝟏𝟐 Por tanto, utilizando la ec. 3.11, obtenemos 𝑛𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧 𝑋 𝑧 = −𝑧 𝑑𝑋1 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑎𝑧−1 1 − 𝑎𝑧−1 2 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎 𝟑. 𝟏𝟑 Si hacemos 𝑎 = 1 en ec. 3.13, obtenemos la 𝑇𝑍 de la señal rampa unidad 𝑛𝑢 𝑛 𝑧 𝑧−1 1 − 𝑧−1 2 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1 𝟑. 𝟏𝟒 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 17 Diferenciación en el dominio 𝑍
- 18. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Si dos secuencias 𝑥1 𝑛 y 𝑥2 𝑛 tienen su correspondiente 𝑇𝑍 𝑥1 𝑛 𝑧 𝑋1 𝑛 𝑥2 𝑛 𝑧 𝑋2 𝑛 entonces 𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛 𝑧 𝑋 𝑧 = 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧 𝟑. 𝟏𝟓 La 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋 𝑧 es, al menos, la intersección de las regiones de convergencia de 𝑋1 𝑧 y 𝑋2 𝑧 . 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 18 Convolución de dos secuencias
- 19. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones La propiedad de la convolución es una de las propiedades mas potentes de la 𝑇𝑍, porque convierte la convolución de dos señales en (en el dominio del tiempo) en la multiplicación de sus transformadas. Los pasos para calcular la convolución son: 1. Calcular las transformadas 𝑍 de las señales que se van a convolucionar 2. Multiplicar las dos transformadas 𝑍 3. Hallar la transformada 𝑍 inversa de 𝑋 𝑧 Este procedimiento es, en muchos casos, mas fácil de calcular que la evaluación directa de la convolución. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 19 Convolución de dos secuencias
- 20. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.12: Calcule la convolución 𝑥 𝑛 de las señales 𝑥1 𝑛 = 1, −2,1 𝑥2 𝑛 = 1, 0 ≤ 𝑛 ≤ 5 0, en otro caso Solución: A partir de la ec. 3.1, tenemos 𝑋1 𝑧 = 1 − 2𝑧−1 + 𝑧−2 𝑋2 𝑧 = 1 + 𝑧−1 + 𝑧−2 + 𝑧−3 + 𝑧−4 + 𝑧−5 De la ec. 3.15, realizamos la multiplicación de 𝑋1 𝑧 por 𝑋2 𝑧 𝑋 𝑧 = 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧 = 1 − 𝑧−1 − 𝑧−6 + 𝑧−7 Por lo tanto 𝑥 𝑛 = 1, −1,0,0,0,0, −1,1 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 20 Convolución de dos secuencias
- 21. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.12: El mismo resultado puede obtenerse fijándose en que 𝑋1 𝑧 = 1 − 𝑧−1 2 𝑋2 𝑧 = 1 − 𝑧−6 1 − 𝑧−1 Entonces 𝑋 𝑧 = 1 − 𝑧−1 1 − 𝑧−6 = 1 − 𝑧−1 − 𝑧−6 + 𝑧−7 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 21 Convolución de dos secuencias
- 22. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Si dos secuencias 𝑥1 𝑛 y 𝑥2 𝑛 tienen su correspondiente 𝑇𝑍 𝑥1 𝑛 𝑧 𝑋1 𝑧 𝑥2 𝑛 𝑧 𝑋2 𝑧 Entonces 𝑟𝑥1 𝑥2 𝑙 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 − 𝑙 𝑧 𝑅 𝑥1 𝑥2 𝑧 = 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧−1 𝟑. 𝟏𝟔 La 𝑅𝑂𝐶 de 𝑅 𝑥1 𝑥2 𝑧 es al menor la intersección de las regiones de convergencia de 𝑋1 𝑧 y 𝑋2 𝑧−1 . Como en el caso de la convolución, la correlación cruzada de dos señales se calcula mas fácilmente a través de la multiplicación de polinomios de acuerdo a 3.16 y calculando la transformada inversa al resultado. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 22 Correlación de dos secuencias
- 23. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.13: Determine la secuencia de autocorrelación de la señal 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 , −1 < 𝑎 < 1 Solución: Dado que la secuencia de autocorrelación de una señal es la correlación consigo misma, (3.16) da 𝑅 𝑥𝑥 𝑧 = 𝑍 𝑟𝑥𝑥 𝑙 = 𝑋 𝑧 𝑋 𝑧−1 A partir de (3.12) la 𝑇𝑍 de la secuencia 𝑥 𝑛 es 𝑋 𝑧 = 1 1 − 𝑎𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎 señal causal y 𝑋 𝑧−1 = 1 1 − 𝑎𝑧−1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 < 1 𝑎 señal anticausal 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 23 Convolución de dos secuencias
- 24. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.13: Por tanto, 𝑅 𝑥𝑥 𝑧 = 1 1 − 𝑎𝑧−1 1 1 − 𝑎𝑧 = 1 1 − 𝑎 𝑧 + 𝑧−1 + 𝑎2 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑎 < 𝑧 < 1 𝑎 Dado que la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑅 𝑥𝑥 𝑧 es un anillo, 𝑟𝑥𝑥 𝑙 es una señal bilateral, incluso si 𝑥 𝑛 es causal. La transformada inversa es entonces 𝑟𝑥𝑥 𝑙 = 1 1 − 𝑎2 𝑎 𝑙 , −∞ < 𝑙 < ∞ 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 24 Convolución de dos secuencias
- 25. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Si dos secuencias 𝑥1 𝑛 y 𝑥2 𝑛 tienen su correspondiente 𝑇𝑍 𝑥1 𝑛 𝑧 𝑋1 𝑧 𝑥2 𝑛 𝑧 𝑋2 𝑧 Entonces 𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 𝑧 𝑋 𝑧 = 1 2𝜋𝑗 𝐶 𝑋1 𝑣 𝑋2 𝑧 𝑣 𝑣−1 𝑑𝑣 𝟑. 𝟏𝟕 donde 𝐶 es un contorno cerrado que contiene el origen y se encuentra en la región de convergencia común a 𝑋1 𝑣 y 𝑋2 1/𝑣 . 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 25 Multiplicación de dos secuencias
- 26. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Para obtener la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋 𝑧 , observe que si 𝑋1 𝑣 converge para 𝑟1𝑙 < 𝑣 < 𝑟1𝑢 y 𝑋2 𝑧 converge para 𝑟2𝑙 < 𝑧 < 𝑟2𝑢, entonces la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋2 𝑧/𝑣 es 𝑟2𝑙 < 𝑧 𝑣 < 𝑟2𝑢 Por tanto, la 𝑅𝑂𝐶 para 𝑋 𝑧 es la menos 𝑟𝑖𝑙 𝑟2𝑙 < 𝑧 < 𝑟1𝑢 𝑟2𝑢 3.18 Esta propiedad es útil en el diseño de filtros basados en las técnicas de ventana, donde se multiplica la respuesta al impulso de un sistema IIR por una “ventana” de duración finita, que sirve para truncar la respuesta al impulso de sistema IIR. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 26 Multiplicación de dos secuencias
- 27. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Para las secuencias complejas 𝑥1 𝑛 y 𝑥2 𝑛 podemos definir la secuencia producto como 𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 𝑥2 ∗ 𝑛 . La correspondiente integral de convolución compleja será 𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 𝑥2 ∗ 𝑛 𝑧 𝑋 𝑧 = 1 2𝜋𝑗 𝐶 𝑋1 𝑣 𝑋2 ∗ 𝑧∗ 𝑣∗ 𝑣−1 𝑑𝑣 𝟑. 𝟏𝟗 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 27 Multiplicación de dos secuencias
- 28. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Si 𝑥1 𝑛 y 𝑥2 𝑛 son secuencias complejas, entonces 𝑛=−∞ ∞ 𝑥1 𝑛 𝑥2 ∗ 𝑛 = 1 2𝜋𝑗 𝐶 𝑋1 𝑣 𝑋2 ∗ 1 𝑣∗ 𝑣−1 𝑑𝑣 𝟑. 𝟐𝟎 siempre que 𝑟1𝑙 𝑟2𝑙 < 1 < 𝑟1𝑢 𝑟2𝑢, donde 𝑟1𝑙 < 𝑧 < 𝑟1𝑢 y 𝑟2𝑙 < 𝑧 < 𝑟2𝑢 son las 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋1 𝑧 y 𝑋2 𝑧 . 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 28 Relación de Parseval
- 29. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Si 𝑥1 𝑛 es causal, es decir, 𝑥 𝑛 = 0 para 𝑛 < 0, entonces 𝑥 0 = lim 𝑧→∞ 𝑋 𝑧 𝟑. 𝟐𝟏 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 29 Teorema del valor inicial
- 30. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Propiedad Dominio del tiempo Dominio 𝒁 𝑹𝑶𝑪 Notación 𝑥 𝑛 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 𝑋 𝑧 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧 𝑅𝑂𝐶: 𝑟2 < 𝑧 < 𝑟1 𝑅𝑂𝐶1 𝑅𝑂𝐶2 Linealidad 𝑎1 𝑥1 𝑛 + 𝑎2 𝑥2 𝑛 𝑎1 𝑋1 𝑧 + 𝑎2 𝑋2 𝑧 Al menos la intersección de 𝑅𝑂𝐶1 y 𝑅𝑂𝐶2 Desplazamiento temporal 𝑥 𝑛 − 𝑘 𝑧−𝑘 𝑋 𝑧 La de 𝑋 𝑧 , excepto 𝑧 = 0 si 𝑘 > 0 y 𝑧 = ∞ si 𝑘 < 0 Cambio de escala en el dominio 𝑧 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 𝑋 𝑎−1 𝑧 𝑎 𝑟2 < 𝑧 < 𝑎 𝑟1 Inversión temporal 𝑥 −𝑛 𝑋 𝑧−1 1 𝑟1 < 𝑧 < 1 𝑟2 Conjugación 𝑥∗ 𝑛 𝑋∗ 𝑧∗ 𝑅𝑂𝐶 Parte real Re 𝑥 𝑛 1 2 𝑋 𝑧 + 𝑋∗ 𝑧∗ Incluye la 𝑅𝑂𝐶 Parte imaginaria Im 𝑥 𝑛 1 2 𝑗 𝑋 𝑧 − 𝑋∗ 𝑧∗ Incluye la 𝑅𝑂𝐶 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 30 Tabla de propiedades de la transformada 𝑍
- 31. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Propiedad Dominio del tiempo Dominio 𝒁 𝑹𝑶𝑪 Diferenciación en el dominio 𝑧 𝑛𝑥 𝑛 −𝑧 𝑑𝑋 𝑧 𝑑𝑧 𝑟2 < 𝑧 < 𝑟1 Convolución 𝑥1 𝑛 ∗ 𝑥2 𝑛 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧 Al menos, la intersección de 𝑅𝑂𝐶1 y 𝑅𝑂𝐶2 Correlación 𝑟𝑥1 𝑥2 𝑙 = 𝑥1 𝑙 ∗ 𝑥2 −𝑙 𝑅 𝑥1 𝑥2 𝑧 = 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧−1 Al menos, la intersección de la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋1 𝑧 y 𝑋2 𝑧−1 Teorema del valor inicial Si 𝑥 𝑛 es causal 𝑥 0 = lim 𝑧→∞ 𝑋 𝑧 Multiplicación 𝑥1 𝑛 𝑥2 𝑛 1 2𝜋𝑗 𝐶 𝑋1 𝑣 𝑋2 𝑧 𝑣 𝑣−1 𝑑𝑣 Como mínimo 𝑟1𝑙 𝑟2𝑙 < 𝑧 < 𝑟1𝑢 𝑟2𝑢 Relación de Parseval 𝑛=−∞ ∞ 𝑥1 𝑛 𝑥2 ∗ 𝑛 = 1 2𝜋𝑗 𝐶 𝑋1 𝑣 𝑋2 ∗ 1 𝑣∗ 𝑣−1 𝑑𝑣 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 31 Tabla de propiedades de la transformada 𝑍
- 32. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Señal, 𝒙 𝒏 Transformada 𝒁, 𝑿 𝒛 𝑹𝑶𝑪 1 𝛿 𝑛 1 Todo 𝑧 2 𝑢 𝑛 1 1 − 𝑧−1 𝑧 > 1 3 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 1 1 − 𝑎𝑧−1 𝑧 > 𝑎 4 𝑛𝑎 𝑛 𝑢 𝑛 𝑎𝑧−1 1 − 𝑎𝑧−1 2 𝑧 > 𝑎 5 −𝑎 𝑛 𝑢 −𝑛 − 1 1 1 − 𝑎𝑧−1 𝑧 < 𝑎 6 −𝑛𝑎 𝑛 𝑢 −𝑛 − 1 𝑎𝑧−1 1 − 𝑎𝑧−1 2 𝑧 < 𝑎 7 cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 1 − 𝑧−1 cos 𝜔0 1 − 2𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑧−2 𝑧 > 1 8 sin 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧−1 sin 𝜔0 1 − 2𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑧−2 𝑧 > 1 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 32 Tabla de pares de transformadas
- 33. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Señal, 𝒙 𝒏 Transformada 𝒁, 𝑿 𝒛 𝑹𝑶𝑪 9 𝑎 𝑛 cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 1 − 𝑎𝑧−1 cos 𝜔0 1 − 2𝑎𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑎2 𝑧−2 𝑧 > 𝑎 10 𝑎 𝑛 sin 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 𝑎𝑧−1 sin 𝜔0 1 − 2𝑎𝑧−1 cos 𝜔0 + 𝑎2 𝑧−2 𝑧 > 𝑎 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 33 Tabla de pares de transformadas
- 34. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.14: Determine la transformada 𝑍 de una señal que es la suma de dos exponenciales reales 𝑥 𝑛 = 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 + − 1 3 𝑛 𝑢 𝑛 Solución: La transformada 𝑍 es 𝑋 𝑧 = 𝑛=−∞ ∞ 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 + − 1 3 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧−𝑛 = 𝑛=−∞ ∞ 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧−𝑛 + 𝑛=−∞ ∞ − 1 3 𝑛 𝑢 𝑛 𝑧−𝑛 (𝟑. 𝟐𝟐) 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 34 Ejemplos de la sección
- 35. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.14: 𝑋 𝑧 = 𝑛=0 ∞ 1 2 𝑧−1 𝑛 + 𝑛=0 ∞ − 1 3 𝑧−1 𝑛 = 1 1 − 1 2 𝑧−1 + 1 1 + 1 3 𝑧−1 = 2 1 − 1 12 𝑧−1 1 − 1 2 𝑧−1 1 + 1 3 𝑧−1 = 2𝑧 𝑧 − 1 12 𝑧 − 1 2 𝑧 + 1 3 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 35 Ejemplos de la sección
- 36. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.14: Para que 𝑋 𝑧 converja, las dos sumas de (3.21) deben converger. Ello requiere que 1 2 𝑧−1 < 1 y − 1 3 𝑧−1 < 1 simultáneamente. De otra forma, que 𝑧 > 1 2 y 𝑧 > 1 3 . Por tanto la 𝑅𝑂𝐶 es la región donde se solapan, 𝑧 > 1 2 . La figura muestra el diagrama polo-cero (veremos mas adelante) y la región de convergencia de la transformada 𝑍 de cada uno de los términos y de la señal combinada. 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 36 Ejemplos de la sección
- 37. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones Ejemplo 3.14: 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 37 Ejemplos de la sección 1 1 − 1 2 𝑧−1 𝑧 > 1 2 1 1 − 1 3 𝑧−1 𝑧 > 1 3 1 1 − 1 3 𝑧−1 + 1 1 − 1 3 𝑧−1 𝑧 > 1 2
- 38. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones 3.1 Determine la transformada 𝑧 de las señales a) 𝑥 𝑛 = 3 2 𝑛 − 4 3 𝑛 𝑢 𝑛 b) 𝑥 𝑛 = sen 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 c) 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 sin 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 d) 𝑥 𝑛 = 1 + 𝑛 𝑢 𝑛 e) 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 + 𝑎−𝑛 𝑢 𝑛 , 𝑎 real f) 𝑥 𝑛 = −1 𝑛2−𝑛 𝑢 𝑛 g) 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑎 𝑛 sin 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 h) 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑎 𝑛 cos 𝜔0 𝑛 𝑢 𝑛 i) 𝑥 𝑛 = 𝐴𝑟 𝑛 cos 𝜔0 𝑛 + 𝜙 𝑢 𝑛 , 0 < 𝑟 < 1 j) 𝑥 𝑛 = 1 2 𝑛2 + 𝑛 1 3 𝑛−1 𝑢 𝑛 − 1 k) 𝑥 𝑛 = 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 − 𝑢 𝑛 − 10 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 38 Ejercicios de sección
- 39. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones 3.2 Determine la transformada 𝑧 de las señales y la 𝑅𝑂𝐶 a) 𝑥1 𝑛 = 1 3 𝑛 , 𝑛 ≥ 0 1 2 −𝑛 , 𝑛 < 0 b) 𝑥2 𝑛 = 1 3 𝑛 − 2 𝑛, 𝑛 ≥ 0 0, 𝑛 < 0 c) 𝑥3 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 4 d) 𝑥4 𝑛 = 𝑥1 −𝑛 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 39 Ejercicios de sección
- 40. Transformada 𝑍 ysus aplicaciones 3.3 Calcule la convolución de las señales siguientes utilizando la transformada 𝑍 a) 𝑥1 𝑛 = 1 3 𝑛 , 𝑛 ≥ 0 1 2 −𝑛 , 𝑛 < 0 b) 𝑥2 𝑛 = 1 2 𝑛 𝑢 𝑛 3.4 Determine la señal 𝑥 𝑛 cuya transformada 𝑧 está dada por a) 𝑋 𝑧 = log 1 + 𝑎𝑧−1 , 𝑧 > 𝑎 3.2 Propiedades de la transformada 𝑍 Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 40 Ejercicios de sección