Semana 12 inecuaciones

Semana 12
Inecuaciones
Notas Ing. Xavier Silva
Matemáticas superiores Galindo
UPV
Algebra de Mancill

La expresión a ≠b significa que “ a " no es igual a “ b
Según los valores particulares de a y de b, puede tenerse a >b, que se lee “a mayor que b”, cuando la diferencia
a –b es positiva y a < b que se lee “a menor que b”, cuando la diferencia a- b es negativa.
La notación a>b , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a >b o que a = b pero no ambos. Por su
parte, la notación a < b que se lee “ a es menor o igual que b ”, significa que a < b o que a = b pero no ambos.
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los
símbolos < > , > o <.
Ejemplos de desigualdades:
1) 4 > 3
2) a<10
3) b>5
4) x2< 1
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o
menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro.

De la definición de desigualdad, se deduce que:
• Todo número positivo es mayor que cero
• Todo número negativo es menor que cero
• Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto
• Si a > b entonces b <a.
Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro
es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor
se convierte en menor o viceversa.
Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.
Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales x2+1 > x
Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo:3x-
15>0 que solamente satisface para x>5. En este caso se dice que 5 es el limite de x.
Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Sean a, b ∈ R y a≠0 , una desigualdad de primer grado en una variable x se define como:
ax+ b >0
ax+ b >0
ax+ b <0
ax+ b <0
Propiedades de las desigualdades:
Sean a,b,c tres números reales.
I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro.
Esto es, si a > b, entonces se cumple que a + c >b +c.
Ejemplos.
1) Si a la desigualdad 7>3 se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 7+2>3+2, ya que 9>5
2) Si a la desigualdad 16 > 8 se le resta 5 a ambos miembros, entonces, se cumple que 16 - 5>8 -5, ya que: 11>3
Consecuencia de esta propiedad, puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el
otro miembro el término simétrico del suprimido. Es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo,
porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES.
ALGUNAS PROPIEDADES BASICAS DE LAS DESIGUALDADES SON
1.- Si a > b y b > c entonces a > c.
2.- Si a > b entonces a+c > b+c y a-c > b-c.
3.- Si a > b y c > 0 entonces ac > bc y a/c > b/c.
4.- Si a > b y c < 0 entonces ac < bc y a/c < b/c.

INECUACIONES SIMULTANEAS
Son inecuaciones que tienen soluciones comunes.
Ejemplo:
¿Para qué valores de x se verifican simultáneamente las inecuaciones 10x-15 < 0 y 5x > 3?
Resolviendo las inecuaciones, la primera se cumple para x < 3/2, y la segunda, para x >(3/5); por consiguiente,
los valores mayores que 3/5 y menores que 3/2, verifican simultáneamente ambas inecuaciones.
Este resultado se escribe así:
3/5 < x < 3/2

SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN O
DESIGUALDAD.
EJEMPLO: 6x – 10 > 3x + 5
Pasamos los términos semejantes de un lado:
6x – 3x > 5 + 10
Reduciendo términos queda:
3x > 15
Despejando x:
x > 15/3
Haciendo la división obtenemos:
x > 5
El intervalo de solución es (5, ∞)

Resolver la inecuación
Multiplíquese por 15 (el común
denominador de los divisores 3 y 5)
cada miembro
Réstese 15x de cada miembro:
Réstese 30 de cada miembro:
Divídase entre -10 cada miembro
Finalmente
(6 + x)÷ 3 < (5x - 7)÷ 5
30 + 5x < 15x -21
30 + 5x -15x < 15x -21 -15x
30 -10x -30 < -21 -30
(-10x)÷(-10 )> (-51)÷(-10 )
x > 5.1

INECUACIONES CUADRATICAS
EJEMPLO: Resolver la desigualdad x2 – 5x – 6 > 0
SOLUCION: Se factoriza el trinomio (x – 6)(x + 1) > 0
Se buscan los valores que hacen cero el producto. En este caso son 6 y -1, con estos valores se
determinan los intervalos:
(- ∞, -1), (-1, 6), (6, ∞)
Después se comprueba, sustituyendo un valor de cada intervalo en los factores, para determinar los
signos de estos. Posteriormente se aplica la ley de los signos para el producto tomando como solución
el intervalo o los intervalos que cumplen con la desigualdad.

-Para el intervalo (- ∞, -1)
Se toma, por ejemplo, el valor de x = -4 y se sustituye en cada factor.
(-4-6)(-4+1) = (-10)(-3) = 30
el producto es positivo
-Para el intervalo (-1, 6)
Se toma un valor como el de x = 0 y se sustituye en los factores
(0-6)(0+1) = (-6)(1) = -6
el producto es negativo
-Para el intervalo (6, ∞)
Se toma el valor de x, como x = 7 y se sustituye en cada factor
(7-6)(7+1) = (1)(8) = 8
el producto es positivo
Los intervalos solución son aquellos en los cuales el producto es positivo, es decir, (- ∞, -1)  (6, ∞)

INECUACIONES RACIONALES
EJEMPLO : Resolver la desigualdad
2/(3x - 6) < 0
SOLUCION: El numerador es positivo, entonces para que la desigualdad sea
negativa (menor que cero) el denominador debe ser negativo, es decir:
3x – 6 < 0
Despejando x queda x < 6/3 con lo cual se obtiene que x < 2
El intervalo de solución es (-∞, 2) .

EJEMPLO 2: Resolver (3/(2x + 3)) < (1/(x - 2))
SOLUCION : Se agrupan los términos en un solo miembro de la desigualdad y se realiza la operación indicada, obteniendo así:
(3/2x + 3 ) - (1/(x - 2)) < 0
3(x-2) – (2x + 3) / (2x + 3)(x - 2) < 0
3x – 6 – 2x + 3 / (2x + 3)(x - 2) < 0
x – 9 / (2x + 3)(x - 2) < 0
Se determinan los intervalos para analizar la desigualdad, de la siguiente manera:
El denominador debe ser diferente de cero por tanto x ≠ - 3/2 y x ≠ 2.
Luego, el numerador se hace cero cuando x = 9, entonces los posibles intervalos solución son:
(- ∞, -3/2), (-3/2, 2), (2,9), (9, ∞)

Se desglosa formas de poder resolver una inecuación por medio de los signos entre los intervalos que se sacan,
tomando valores entre los intervalos y verificando qué signos son los que quedan cuando se aplican en las
ecuaciones que se obtienen al factorizar.
INTERVALO (-∞ , -3/2) (-3/2,2) (2,9) (9 , ∞)
Signo de x – 9 - - - +
Signo de 2x + 3 - + + +
Signo de x – 2 - - + +
Signo de
(x-9) / (2x+3)(x-2)
- + - +
Por tanto la solución de la desigualdad es (-∞ , -3/2) U (2,9)

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un numero real x denotado por |x| se define por:
x si x > 0
|x|= -x si x < 0
0 si x = 0
Ejemplos :
|5| = 5
|-7| = - (-7) = 7
| - 1 / 9| = -(- 1 / 9) = 1 / 9
|0.98 | = 0.98
| 0 | = 0
• Si x es un número real y a > 0, entonces:
a) |x| < a ↔ -a < x < a
b) |x| > a ↔ x > a ó x < -a

• Otra forma de ver el valor absoluto
a) |x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a
b) |x| ≥ a ↔ x ≥ a o x ≤ -a
Ejemplos: Resolver |x| = 7
Por la definición de valor absoluto, tenemos:
x = 7 o x = -7
Resolver |2x + 8| = 5
2x + 8 = 5 ó 2x + 8 = -5
2x = 5 – 8 ó 2x = - 8 – 5
2x = - 3 ó 2x = - 13
x = - 3 / 2 ó x = -13 / 2
Resolver |x - 10| = - 3
Como el valor absoluto nunca es negativo, esta ecuación no tiene solución.

INECUACIONES ENTERAS
Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que sólo
se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones.
El procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta las
propiedades de las desigualdades. Para resolver una inecuación de primer grado se transponen los términos
(pasar los términos de un miembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para que
aquellos que contienen a la incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en el
otro. Finalmente, para despejar la incógnita se divide por el valor del coeficiente, teniendo en cuenta la
segunda o tercera propiedad de las desigualdades, según el signo del coeficiente.
Ejemplo:
1) 4x + 6 > 2x − 8
2) Solución. Se transponen términos: 4x − 2x > −8 − 6
3) se reducen los términos semejantes: 2x > −14
4) dividiendo por 2
5) x > -7

1. Representa gráficamente en la recta real, los intervalos siguientes:
a) x > 2 y x = 3 b) x
= -1 y x = -1
c) x > -1 ó x = -3 d) x < 2 ó x > 2
2. Indica la propiedad utilizada en cada caso:
a) a > b y b > c entonces a > c
b) a > b entonces a - c > b - c
c) a > b y c < 0 entonces ac < bc

Para qué valores de x,
2 + 3x -x
es un número real?

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