Semana 2

Semana 2

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  C ´ALCULO VECTORIAL DanielGarz´on Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica Universidad de La Sabana
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  DERIVADAS PARCIALES En estalecci´on estudiaremos las derivadas parciales de una funci´on f de varias variables, estas nos ayudaran a encontrar la ecuaci´on del plano tangente a la superficie definida por la funci´on f. El plano tangente es la mejor aproximaci´on lineal de la superficie en cada punto, es decir, nos da una idea del cambio en puntos cercanos al punto donde calculamos el plano tangente. FIGURA: Derivada parcial En la figura anterior dibujamos una de las rectas que define el plano tangente, esta tiene como vector director (0, derivada parcial en y, 1)
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  DERIVADAS PARCIALES DERIVADASPARCIALES DERIVADAS PARCIALES DERIVADA PARCIAL Dado el campo escalar f(x, y). Dado el punto (a, b) en el dominio de f. Nos interesa conocer las pendientes de las rectas tangentes a las curvas definidas por f(a, y), y f(x, b) en el punto (a, b). Claramente las funciones f(a, y), f(x, b), solo dependen de una variable, por ende, dichas pendientes se puede calcular como df(a,y) dy y=b , df(x,b) dx x=a , estas se conocen como la derivada parcial de f respecto a y calculada en (a, b), y derivada parcial f respecto a x calculada en (a, b) (respectivamente). Observe que si queremos calcular la derivada parcial como una funci´on del punto (x, y) entonces debemos cambiar la notaci´on que se usaba en calculo de una variable, por que en este caso la funci´on que vamos a derivar es f(x, y), que depende de las variables x, y. Se debe dejar en claro 2 cosas. 1) La funci´on f depende de (x, y). 2) La funci´on f solo se deriva con respecto a una de la variables, considerando, al derivar, la otra variable como constante. estas se notaran como ∂f(x,y) ∂x , ∂f(x,y) ∂x .
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  DERIVADAS PARCIALES CONJUNTOSDE NIVEL EJEMPLO Si f(x, y) = x2 + y2 − 3xy entonces, ∂f(x, y) ∂x = 2x − 3y ∂f(x, y) ∂y = 2y − 3x si queremos calcular las derivadas parciales en el punto (1, 2), es suficiente cambiar x por 1 y y por 2, en las expresiones ∂f(x,y) ∂x , ∂f(x,y) ∂y , en este caso por facilidad se notara como ∂f(x, y) ∂x (1,2) = ∂f(1, 2) ∂x = 2(1) − 3(2) = −1 ∂f(x, y) ∂y (1,2) = ∂f(1, 2) ∂y = 2(2) − 3(1) = 1
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  DERIVADAS PARCIALES PLANOTANGENTE PLANO TANGENTE De acuerdo a lo anterior, para las las gr´aficas de las funciones f(a, y), f(x, b) podemos calcular la ecuaci´on de la recta tangente, para cada una en el punto (a, b), estas rectas son tangentes a las superficie definida por f(x, y) y adem´as son tangentes a los planos yz y xz respectivamente. Con la ayuda de la derivada parcial, y la informaci´on anterior tenemos que los vectores directores de las rectas son (0, ∂f(a,b) ∂y , 1), (∂f(a,b) ∂x , 0, 1), estos dos vectores anclados en el punto (a, b, f(a, b)) son tangentes a la superficie definida por f(x, y) FIGURA: Plano tangente
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  DERIVADAS PARCIALES PLANOTANGENTE PLANO TANGENTE A partir de lo hecho hasta ahora, usando los dos vectores tangentes a la superficie en el punto (a, b, f(a, b)) podemos definir la ecuaci´on del plano tangente a la superficie definida por f(x, y) en el punto (a, b, f(a, b)), como ∂f(a, b) ∂x (x − a) + ∂f(a, b) ∂y (y − b) − z + f(a, b) = 0 OBSERVACI ´ON Observe que para deducir la formula anterior hemos usado la ecuaci´on del plano, vista en el curso de ´algebra lineal, tomando como vector normal del plano tangente, al producto vectorial de los vectores (0, ∂f(a,b) ∂y , 1), (∂f(a,b) ∂x , 0, 1). EJEMPLO: La ecuaci´on del plano tangente a f(x, y) = exy en el punto (1, 1) es ex + ey + z = e.
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  BIBLIOGRAF´IA BIBLIOGRAF´IA Stewart, J.,Multivariable Calculus.Cengage learning (2012). Marsden, J. & Tromba, A., C´alculo Vectorial Addison Wesley (1998).