1. CURSO
LOGICO-MATEMATICA
TEMA
Sistema de los números
reales
SEMANA N.º 04
DOCENTE:
Dirección de Estudios Generales
INTEGRANTES
PEVE MORAN ADRIAN MOISES
HUAYTA LLAMOCCA LUIS ALBERTO
NAVARRETE MARTINEZ , RODRIGO
SARAVIA MARTINEZ ALONSO
SALVADOR ASMAD ANGEL ANDRES
2. Conjunto numéricos clásicos del sistema de números reales
• El sistema de números reales está formado por varios subconjuntos que
se conocen como conjuntos numéricos clásicos.
• Estos conjuntos permiten clasificar y entender mejor los distintos tipos
de números que usamos en operaciones matemáticas y situaciones
cotidianas.
• Cada conjunto se incluye dentro de otro más amplio, formando una
jerarquía de números que abarca desde los más simples hasta los más
complejos.
3. Clasificación de los conjuntos numéricos clásicos
Conjunto Símbolo Descripción breve Ejemplo
Naturales ℕ
Números que
usamos
para contar
1, 2, 3, 4...
Enteros ℤ
Naturales +
negativos +
el cero
-2, 0, 3
Racionales ℚ
Números que
pueden
expresarse como
fracción
1/2, 0.75,
-4
Irracionale
s
I
Decimales infinitos
no
periódicos
π, 2,
√ e
Incluye racionales e -3, 1/3,
•Números Naturales ( ):
ℕ Son los números
usados para contar. Ej: 1, 2, 3…
•Números Enteros ( ):
ℤ Incluyen los
naturales, el cero y sus opuestos negativos.
•Números Racionales ( ):
ℚ Son aquellos que
pueden escribirse como fracción : 1/2, -3, 0.25
•Números Irracionales (I): Tienen infinitos
decimales no periódicos. Ej: √2, π
•Números Reales ( ):
ℝ Son todos los
anteriores juntos.
5. Sistema de
números reales
(R)
Números racionales
(Q)
1/2, -3, 0.75, 4
Números irracionales
(I)
π, √2, √3, e
Números enteros
(Z)
-2, -1, 0, 5
Fracciones y decimales
exactos o periódicos
(R)
1/4, 0.5, 2.333...
Sistema de números
reales
(R)
1, 2, 3, 4
6. MULTIPLICACION DE FRACCIONES
DEFINICION:
El producto de dos fracciones es igual al producto de los numeradores
entre el producto de los denominadores.
Es decir:
En el caso de las fracciones de igual denominador o fracciones
homogéneas se procede de la misma manera que para las fracciones
de diferente denominador o heterogéneas.
7. MULTIPLICACION DE FRACCIONES
CON NUMEROS ENTEROS
Cuando multiplicamos una fracción con un numero natural tomamos
en cuenta que el denominador de cualquier numero entero es 1 y por
o tanto cualquier multiplicación de una fracción con un numero
entero se multiplica por uno.
Es decir:
Ejemplo:
5 x =
Ponemos de denominador en numero 1
8. MULTIPLICACION DE FRACCIONES
MIXTAS
En la multiplicación de fracciones mixtas, es necesario que la parte entera
se exprese como una fracción que tenga el mismo denominador que en la
parte fraccionaria que la acompaña. Por ejemplo, para realizar la siguiente
multiplicación mixta:
Numero Mixto Es decir:
Parte entera 2 x 2 x
Numerador
Denominado
r
9. Multiplicación de
Fracciones
Multiplicación
con Números
enteros
Multiplicación con
Fracciones Mixtas
Al denominador le
colocamos el
numero 1
Se multiplica la parte
entera con el
denominador y se suma
el numerador
Es una operación básica
que permite obtener una
tercera fracción al cual se
le conoce como producto
La multiplicación de
fracciones se representa
con el símbolo de un
aspa (x) o (.)
10. FRACCIONES HOMOGÉNEA O HETEROGÉNEA
FRACCIONES HOMOGENEAS:
Son fracciones que tienen el mismo denominador.
Ejemplo:
FRACIONES HETEROGÉNEA
Son fracciones que tienes diferente denominador
Ejemplo:
y
DIFERENCIAS CLAVES:
Características fracciones homogéneas fraccione heterogéneas
Denominadores iguales diferentes
Procesos solo se suman o restan los se buscan común
numeradores denominador antes de
operar
Complejidad mas simple requiere mas pasos
11. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
HOMOGÉNEAS
PASO 1: Se conserva los denominadores
PASO 2: Se suman o restan los numeradores
EJEMPLO DE SUMA:
=
EJEMPLO DE RESTA:
= =
12. SUMA O RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS
PASO 1: Se busca el mínimo común denominador (MCD o m.c.m)
PASO2: Se convierte las fracciones a homogéneas ( mismo denominador)
PASO 3: Se suman o restan los numeradores
PASO 4 (opcional) : Se simplifica el resultado
EJEMPLO DE SUMA: PASO 3: PASO 1: m.c.m de 6 y 4 = 12
PASO 2:
+ + =
= , =
PASO 1: m.c.m de 3 y 4 = 12 EJEMPLO RESTA:
PASO 2 : PASO 3:
= , = - - =
13. FRACCIONES
HOMOGÉNEAS HETEROGÉNEAS
TIENEN EL MISMO
DENOMINADOR
TIENEN DIFERENTE
DENOMINADOR
PARA SUMAR O
RESTAR:
1. sumar/restar
numeradores
2. Mantener el
denominador
PARA SUMAR O RESTAR:
1. Hallar m.c.m de los
denominadores
2. Convertir a frecciones
equivalentes
3. Sumar/restar
numeradores
EJEMPLO:
3/8 + 2/8 = 5/8
EJEMPLO:
2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15
14. Propiedades de la potenciación en Q
Potenciación de un número racional a la potencia cero.
Cualquier número racional a/b (donde a y b son enteros y b es
diferente de cero), elevado a la potencia cero, es igual a 1. Es decir:
(a/b) = 1
⁰
Definición de Potenciación con Exponente Cero
La potenciación con exponente cero se define de manera específica para
mantener la coherencia y consistencia en las reglas de la potenciación. Esto
significa que cualquier número elevado a la potencia de cero es igual a 1.
15. Propiedades complementarias
Distributividad: Mostrar cómo la multiplicación y la división con un
número real (a) se distribuyen sobre un número racional (m/n).
Suma/Resta con enteros: Proporciona métodos para simplificar la
suma o resta de un entero a un número racional.
Factorización/Inverso: Muestra cómo reescribir un número racional
como el producto de sí mismo y su recíproco (inverso multiplicativo).
Esto es útil para factorizar o simplificar expresiones.
a
m m m
0
n n n
a
, a
a
m m m
0
n n n
a
, a
m m n
1
n n n
m
m m a n
0 a
n n n
m
, a
m m
m m 1 1
n n n n
p
p
m m
1
, p
m
0
16. Propiedad
es de la
potencia y
fracciones
Simplificación
de Fracciones
Potencias de
Fracciones
Propiedades de
las Potencias
Se muestra la propiedad distributiva
en fracciones. Si tienes una suma o
resta en el numerador de una
fracción, puedes separarla en varias
fracciones con el mismo
denominador.
La potencia de una fracción se calcula
elevando tanto el numerador como el
denominador a esa potencia
Producto de potencias con la misma base: Al
multiplicar potencias con la misma base, se
suman los exponentes.
Cociente de potencias con la misma base: Al
dividir potencias con la misma base, se
restan los exponentes.
Potencia de una potencia: Para calcular la
potencia de una potencia, se multiplican los
exponentes.
Son
17. Se clasifican según como son:
Números Racionales: Fracciones, decimales finitos o
periódicos.
Números Irracionales: Decimales infinitos no periódicos (π,
2).
√
Enteros: Incluyen negativos, cero y positivos.
Naturales: Solo positivos y el cero.
Importancia general:
Esta clasificación y densidad permiten representar todas las
cantidades posibles en matemáticas, garantizando la base
para álgebra, análisis y geometría.
Clasificación de los Números Reales
Importancia en Ing. Civil:
Medición y Cálculos Precisos
Análisis y Modelado Matemático
Optimización y Simulación
Seguridad y Confiabilidad
18. Propiedades complementarias de potencias y radicales:
Sean a ,b , m, n e R,M,N = 0, y a > 0
Desarrollo de la sesión de aprendizaje
Tener en cuenta de cuando el
índice de una raíz es par, el
radicando debe ser positivo.
Tener en cuenta de
cuando el índice de
una raíz es par, el
radicando debe ser
positivo.
19. Practicando con tu docente
Cual es el resultado que se obtiene si la mitad de los 4/5 de los ¾ de los 5/6 de
72, se le resta la tercera parte de los 3/8 de los 4/9 de 36?
La mitad de los 4/5 de los ¾ de los 5/6 de 72:
5/6.72=60 la tercera parte de los 3/8 de los 4/9 de 36
¾.60=45 4/9.36=16
4/5.45=36 3/8.16=6
Mitad de 36 la tercera parte de 6:
½.36=18 1/3.6=2
Respuesta: 18-2 =16
21. ORGANIZADOR VISUAL:
POTENCIA Y RADICALES
POTENCIA RADICALES
Notación: aⁿ
“a” es la base
“n” es el exponente
Notación: a, ³ a,
√ √
ⁿ a
√
“a” es el radicando
“n” es el índice
Propiedades:
aⁿ * aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
(aⁿ)ᵐ = aⁿ*ᵐ
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
a⁰ = 1
Propiedades:
|
√a * b = (a*b)
√ √
√(a/b) = a / b
√ √
( a)² = a
√
ⁿ (aⁿ) = a
√
EJEMPLO:
2⁴ = 16
3² = 9
EJEMPLO:
√25 = 5 ³ 8 =
√
2
Notas del editor
#14:Esa diapositiva presenta la definición de la potenciación de un número racional a la potencia cero. No muestra las propiedades de la potenciación en el conjunto de los números racionales (Q), sino un caso particular. El concepto central es:
Concepto: Potenciación de un número racional a la potencia cero.
Cualquier número racional a/b (donde a y b son enteros y b es diferente de cero), elevado a la potencia cero, es igual a 1. Es decir:
(a/b)⁰ = 1
Explicación:
Esta definición es una extensión de la propiedad de la potenciación para números reales. Se establece de esta manera para mantener la coherencia y la consistencia de las reglas de la potenciación en todo el sistema numérico. No es una propiedad derivada, sino una definición que permite que las otras propiedades de la potenciación (como la del cociente de potencias con la misma base) funcionen correctamente incluso cuando los exponentes son cero. Si no se definiera así, algunas operaciones resultarían indefinidas.
#15:1. Distributividad:
- Identidad: m/n = (m * a) / (n * a) , donde a es un número real diferente de cero.
- Ejemplo Visual: 2/3 = (2 * 2) / (3 * 2) = 4/6 (Mostrar la fracción 2/3 a la izquierda y 4/6 a la derecha, con una flecha de equivalencia en el medio). Explicar que esto es útil para encontrar un denominador común al sumar o restar fracciones.
2. Suma/Resta con Enteros:
- Identidad: a ± m/n = (a*n ± m) / n
- Ejemplo Visual: 3 + ½ = (3 * 2 + 1) / 2 = 7/2 (Mostrar la operación 3 + ½ a la izquierda y el resultado 7/2 a la derecha con una flecha). Enfatizar la simplicidad del método.
3. Factorización/Inverso:
- Identidad: m/n = m * (1/n)
- Ejemplo Visual: 5/2 = 5 * (1/2) (Mostrar la fracción 5/2 a la izquierda y la multiplicación 5 * (1/2) a la derecha). Explicar que esto es útil para simplificar expresiones o al trabajar con ecuaciones.
#16:La imagen presenta conceptos clave sobre propiedades de fracciones y potencias. Se pueden resumir en estos puntos:
1. Simplificación de Fracciones:
- Se muestra la propiedad distributiva en fracciones. Si tienes una suma o resta en el numerador de una fracción, puedes separarla en varias fracciones con el mismo denominador. Esto facilita la simplificación.Ejemplo: (a ± b ± c) / m = a/m ± b/m ± c/m
2. Potencias de Fracciones:
- La potencia de una fracción se calcula elevando tanto el numerador como el denominador a esa potencia.Ejemplo: (m/n)^p = m^p / n^p
3. Propiedades de las Potencias:
- Producto de potencias con la misma base: Al multiplicar potencias con la misma base, se suman los exponentes.Ejemplo: m^p ⋅ m^q = m^(p+q)
- Cociente de potencias con la misma base: Al dividir potencias con la misma base, se restan los exponentes.Ejemplo: m^p / m^q = m^(p-q)
- Potencia de una potencia: Para calcular la potencia de una potencia, se multiplican los exponentes.Ejemplo: (m^p)^q = m^(p*q)
4. Ejemplo de Simplificación Incorrecta:
- La imagen muestra un ejemplo de una simplificación incorrecta de una fracción donde no se puede simplificar directamente la suma del numerador con el denominador.
En resumen, la imagen ilustra reglas fundamentales para el manejo de fracciones y potencias, enfatizando la simplificación de expresiones matemáticas y mostrando un ejemplo de un error común. La comprensión de estas propiedades es esencial para el álgebra y otras ramas de las matemáticas.
