Sistemas de ecuaciones Lineales

Cap´
ıtulo 7

SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
7.1.

Introducciń
o

Se denomina ecuaciń lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,
o
las inc´gnitas no estń elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s´ ni en el denominador.
o
a
ı,
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaciń lineal con tres inc´gnitas.
o
o
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 inc´gnitas representan una recta en el plano.
o
Si la ecuaciń lineal tiene 3 inc´gnitas, su representaciń gr´fica es un plano en el espacio.
o
o
o
a
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Figura 7.1: Representaciń gr´fica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del del plano x + y + z = 1
o
a
en el espacio

El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de
varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,
o geom´tricamente representan la misma recta o plano.
e

109

CAP´
ITULO 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

7.2.

110

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · + a1n · xn = b1 


a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · + a2n · xn = b2 
.
.

.



am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · + amn · xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´gnitas.
o
o
u
Los n´meros reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan inc´gnitas (o n´meros a
u
e
determinar) y bj se denominan t´rminos independientes.
En el caso de que las inc´gnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2
o
, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1 , x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el
sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las inc´gnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones
o
del sistema simultńeamente.
a
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

7.3.

Expresiń matricial de un sistema
o

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:
    

x1
b1
a11 a12 a13 . . . a1n
 a21 a22 a23 . . . a2n   x2   b2 
    

 .
.
.
. · .  =  . 
..
.
.
.
.   .   . 
 .
.
.
.
.
.
.
am1 am2 am3 . . . amn
xn
bm
mxn



nx1

mx1


 
a1n
x1
x2 
a2n 

 
.  se llama matriz de coeficientes, la matriz X =  . 
. 
 . 
.
.
am1 am2 am3 . . . amn
xn
 
b1
 b2 
 
e
se llama matriz de inc´gnitas, y la matriz B =  .  se llama matriz de t´rminos independientes.
o
 . 
.
bm
La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:


a11 a12 a13 . . . a1n b1
 a21 a22 a23 . . . a2n b2 


(A|B) =  .
.
.
.
. 
..
.
.
.
.
.
 .
.
.
.
.
. 
a11
 a21

La matriz A =  .
 .
.

a12
a22
.
.
.

a13
a23
.
.
.

...
...
..
.

am1 am2 am3 . . .

amn bm

se llama matriz ampliada del sistema y se representar´ por (A|B) o bien por A∗ .
a

x+y−z = 5 
Ejemplo: El sistema:
x+y =7
escrito matricialmente es:

2x + 2y − z = 12

    
1 1 −1
x
5
1 1 0  ·  y  =  7 
2 2 −1
z
12

CAP´

111

y la matriz ampliada es:



1 1 −1 5
(A|B) = 1 1 0 7 
2 2 −1 12

7.4.

Tipos de sistemas

En general,buscaremos las soluciones de los sistemas en los n´ meros reales R. Dependiendo del
u
posible n´mero de tales soluciones reales que tenga un sistema, ´stos de pueden clasificar en:
u
e

o
 * INCOMPATIBLES (No tienen soluciń)→ S.I.
o ´
* DETERMINADOS (Soluciń unica)→ S.C.D.
o
 * COMPATIBLES (Tienen soluciń)
* INDETERMINADOS (Infinitas soluciones)→ S.C.I.

7.5.

Sistemas con dos inc´gnitas
o

Los sistemas m´s sencillos son aquellos en los que s´lo hay dos inc´gnitas y 2 ecuaciones, y que ya
a
o
o
son conocidos de cursos pasados.
Hay varios sistemas para resolverlos, los m´s habituales:
a
* Reducciń
o
* Igualaciń
o
* Sustituciń
o
en los que ya no nos entretendremos.
Como cada ecuaciń lineal con 2 inc´gnitas se interpreta geom´tricamente como una recta, el estudio
o
o
e
de la soluciń del sistema se limita a estudiar la posiciń de 2 rectas en el plano.
o
o
Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden presentar. Resolver e interpretar el
x + 2y = −3
sistema:
.
−2x + y = 1
Por reducciń:
o
2x+4y=-6
-2x+ y=1
5y=-5
de donde y = -1 y sustituyendo x + 2ó(-1) = -3, x = -1.
Es decir, la soluciń del sistema es unica, x = -1, y = -1 lo que significa que el sistema es compatible
o
´
y determinado, y que las rectas se cortan en un punto, precisamente el (-1,-1):

Figura 7.2: Soluciń del sistema, punto (-1,-1)
o

CAP´

Resolver e interpretar el sistema:

112

x + 2y = −3
.
−2x − 4y = 5


x = −3 − 2y
5 + 4y
de donde:
Por igualaciń:
o

x=
−2
−3 − 2y =

5 + 4y
=⇒ 4y + 6 = 5 + 4y =⇒ 0y = −1 =⇒ 0 = −1
−2

lo cu´l es imposible y por tanto el sistema no tiene soluciń, es un sistema incompatible y por
a
o
tanto las rectas son paralelas. Geom´tricamente:
e

Figura 7.3: Sistema sin soluciń. Rectas paralelas
o

Resolver e interpretar el sistema:

x + 2y = −3
.
3x + 6y = −9

Por sustituciń, como x = −2y − 3 resulta 3(−2y − 3) + 6y = −9, es decir −6y − 9 + 6y = −9, por
o
tanto 0y = 0, 0 = 0.
Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones,
es compatible indeterminado, o que las rectas son la misma.

Figura 7.4: Infinitas soluciones. Las rectas coinciden
Lo expresaremos as´ Como x = −2y − 3, dando valores a y se obtiene x.
ı.
As´ si le damos a y el valor arbitrario de λ (lambda), entonces expresaremos la soluciń como:
ı
o
x = −2λ − 3
siendo λ ∈ R
y=λ
y como λ puede ser cualquier n´mero real, hay infinitas soluciones.
u
Estos son los unicos casos que pueden darse con dos ecuaciones y dos inc´gnitas, y su interpretaciń
´
o
o
geom´trica.
e

CAP´

113

Ejercicio: Estudiar la soluciń de los siguientes sistemas e interpretarla geom´tricamente:
o
e
a)

7.5.1.

x+y = 5
2x − y = 7

b)

2x + y = 1
3x + 2y = 4

c)

x + 2y = 3
x−y = 4

Discuciń de sistemas de 2 ecuaciones con 2 inc´gnitas
o
o

ax + 3y = 5
, no estamos
2x − y = 6
ante un s´lo sistema, sino ante infinitos, uno para cada valor de a, y cada sistema ser´ distinto en
o
a
funciń del valor que tome dicha letra (llamada par´metro).
o
a
Para estudiarlo, se resuelve el sistema como habitualmente y se estudian los distintos casos que se
pueden dar. Por ejemplo , por reducciń:
o
Si alguno de los coeficientes del sistema es desconocido, por ejemplo,

ax+3y=5
6x-3y=18
ax+6x =23
por tanto, x(6 + a) = 23. Entonces, si 6 + a = 0 no podremos despejar x, es decir si a = −6, obtenemos
una ecuaciń del tipo 0 = 23, es decir, imposible.
o
Por tanto, si a = −6 el sistema es incompatible.
23
, y se puede sacar y sustituyendo, por tanto,
En cualquier otro caso, podemos despejar x,x =
6+a
si a = −6, el sistema es compatible determinado.
Ejercicio: Discutir los sistemas en funciń del par´metro desconocido:
o
a
x+y =5
a)
ax + 2y = 10

7.6.

b)

1
2
y − 3x = 5

ky + x =

Sistemas de 2 inc´gnitas y 3 ecuaciones
o

Podemos aãdir a los cl´sicos sistemas de 2 ecuaciones y 2 inc´gnitas cuantas ecuaciones queramos
n
a
o
para obtener diferentes tipos de sistemas con 3, 4, 5 o m´s ecuaciones.
a
En cualquier caso, los tipos de sistemas a los que dan lugar son los mismos reseãdos anteriormente.
n
Al aumentar el n´mero de ecuaciones, la resoluciń del sistema por alguno de los tres m´todos
u
o
e
cl´sicos se vuelve m´s farragoso, por lo que conviene aplicar ya el conocido m´todo de Gauss para
a
a
e
determinar el tipo de sistema.
Para ello expresaremos el sistema en la forma matricial, analizando la matriz ampliada asociada,
que tendr´ 2 columnas y tantas filas como ecuaciones tengamos.
a
Analizaremos tan s´lo aquellos sistemas con 3 ecuaciones y 2 inc´gnitas.
o
o
La matriz ampliada gen´rica es:
e


a11 a12 b1
(A|B) = a21 a22 b2 
a31 a32 b3
Aplicar el m´todo de Gauss consiste en realizar transformaciones elementales mediante las filas de la
e
matriz para obtener la matriz escalonada siguiente:


a11 a12 b1
(A|B) =  0 a∗ b∗ 
22 2
0
0 b∗
3
Recordemos que las operaciones elementales permitidas en las filas de la matriz (ecuaciones del sistema)
eran:

CAP´

114

T1) Multiplicar o dividir una fila por un n´mero real distinto de cero.
u
T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un n´mero real no nulo.
u
T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre s´
ı.
Utilizando estas transformaciones, los sucesivos sistemas que se obtienen son equivalentes al primero, es decir, tienen las mismas soluciones.
Debemos eliminar, en este orden, el elemento a21 utilizando la fila 1, el elemento a31 , utilizando
a
e
tambiń la fila 1, y por ultimo el elemento a32 utilizando la fila 2, de modo an´logo al m´todo de
e
´
Gauss-Jordan para la inversa.
Adem´s, es conveniente en cada paso indicar la operaciń realizada con las filas, poniendo en
a
o
primer lugar aquella que se va a sustituir por otra.
Llegados a la matriz ampliada escalonada al final del proceso, pueden darse los casos siguientes:
1. a∗ = 0. Entonces hay dos posibilidades:
22
a)

o
o
b∗ = 0. Sistema incompatible (hay una ecuaciń del tipo 0=k), sin soluciń.
3
Geom´tricamente, puede ocurrir que:
e
a) Dos rectas sean paralelas y la otra las corte.
b) Las rectas se corten dos a dos (formen un trińgulo).
a

b) b∗ = 0. Aparece una ecuaciń 0=0 que no influye en la resoluciń del sistema, que reduo
o
3
cido a las dos ecuaciones iniciales tiene soluciń unica, es decir, el Sistema es Compatible
o ´
Determinado.
Geom´tricamente:
e
a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta.
b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto.

2. a∗ = 0. Entonces hay tres posibilidades:
22
a)

o
Si b∗ = b∗ = 0, aparecen dos ecuaciones 0=0, que no influyen en la resoluciń del siste2
3
ma, que ahora tiene infinitas soluciones (1 ecuaciń y dos inc´gnitas). Sistema compatible
o
o
indeterminado.

CAP´

115

Geom´tricamente, las tres rectas coinciden (son la misma):
e

b) Si b∗ = 0, b∗ = 0 o bien b∗ = 0, b∗ = 0, aparece una ecuaciń 0=0 (que no influye) y otra
o
2
3
2
3
0=k (que es imposible). El sistema es incompatible.
Geom´tricamente:
e
a) Dos rectas son paralelas y la otra las corta.
b) Dos rectas coinciden y la otra es paralela.

c) Si b∗ = 0, b∗ = 0, hay dos ecuaciones 0=k que son imposibles, el sistema es incompatible.
2
3
Geom´tricamente, las tres rectas son paralelas o dos son coincidentes y una paralela.
e

En cada uno de los casos, para determinar la posiciń concreta de las rectas, basta representarlas.
o
Ejemplo Estudiar el sistema siguiente, dando la interpretaciń geom´trica:
o
e

−x + 2y = 5 
3x + y = 7

2x + 3y = 12

CAP´
A partir de la matriz ampliada

−1
(A|B) =  3
2

y aplicando el m´todo
e


−1
2 5
F +3F1
− −→
1 7  −2− −  0
F3 +2F1
0
3 12

116

de Gauss, obtenemos:



−1 2 5
2 5
F −F2
−−
7 22 −3− →  0 7 22
0 0 0
7 22

En este caso aparece una ecuaciń 0=0 que no influye y el elemento a∗ es no nulo. El sistema es
o
22
compatible determinado, tiene soluciń unica.
o ´
Geom´tricamente, puede ocurrir que:
e
a) Dos rectas son coincidentes y la otra las corta.
b) Las tres rectas se cortan en un mismo punto.
Resolviendo y dibujando, obtenemos:
−x + 2y = 5
7y = 22
9
22
y sustituyendo es x = (compru´balo).
e
De donde y =
7
7
Dibujando las rectas:

Figura 7.5: Soluciń del sistema. Las tres rectas se cortan en un punto: P=
o

9 22
,
7 7

se observa que las rectas se cortan en un punto, precisamente el punto soluciń del sistema: P =
o
9 22
,
.
7 7
Ejercicios
a) Resuelve e interpreta geom´tricamente los sistemas:
e


 x+y =0
 x − y = −2
a) −x + y = 2 b)
x + 2y = 1


x + 3y = −2
4x − 10y = −14


 2x + y = 2
c) −x + y = −3

y = −2x

b) Discute y resuelve en funciń del par´metro:
o
a


 x−y = 1
 2x + y = 3
a) x + 2y = −1 b) −x + 3y = 0


2x + my = 0
mx + 4y = 3

CAP´

7.7.

117

Sistemas de 3 ecuaciones y 3 inc´gnitas
o

Cuando los sistemas tienen m´s de dos ecuaciones y tres o m´s inc´gnitas se utilizar´ el ya conocido
a
a
o
a
m´todo de Gauss.
e
Ahora partiremos de la matriz ampliada:


a11 a12 a13 b1
(A|B) = a21 a22 a23 b2 
a31 a32 a33 b3
para dejar dicha matriz escalonada, es decir, del tipo:


a11 a12 a13 b1
 0 a∗ a∗ b∗ 
22
23 2
0
0 a∗ b∗
33 3
utilizando las transformaciones conocidas, y de la forma indicada en ocasiones anteriores.
Los tipos de sistema que pueden obtenerse dependiendo del n´ mero de soluciones son los reseãdos
u
n
en apartados anteriores.
Al aplicar el m´todo de Gauss podemos encontrarnos con distintos casos:
e
* Si se obtiene un sistema escalonado con coeficientes no nulos, el sistema es compatible determinado, tiene soluciń unica.
o ´
* Si se obtiene una o m´s filas en las que todos los elementos sean cero, el sistema tiene infinitas
a
soluciones, y hay que despejar una o varias inc´gnitas en funciń de otras, es un sistema compatible
o
o
indeterminado.
* Si se obtiene una o m´s filas de ceros, salvo el elemento correspondiente al t´rmino independiente,
a
e
que es distinto de cero, digamos k, entonces como la fila en cuestiń corresponder´ a una ecuaciń
o
ıa
o
del tipo 0 = k , lo que es imposible, el sistema no tiene soluciń y por tanto es incompatible.
o
Veamos un ejemplo:

 2x + y − z = 11
Ejemplo Resolver por el m´todo de Gauss:
e
x − 3y = −20 .

4x + 2y + 5z = 8


2 1 −1 11
La matriz ampliada es (A|B) = 1 −3 0 −20. Aplicando el m´todo de Gauss:
e
4 2
5
8




2 1 −1 11
2 1 −1 11
 2x + y − z = 11
2F2
1 −3 0 −20 − −−F1 0 −7 1 −51 =⇒
−7y + z = −51
− −→
−

F3 −2F1
0 0
7 −14
7z = −14
4 2
5
8


obtenemos un sistema escalonado, que es compatible y determinado, pu´s podemos despejar z,
e
obteniendo z = −2, y luego −7y − 2 = −51, de donde −7y = −49 es decir y = 7 y sustituyendo en la
primera ecuaciń es 2x + 7 + 2 = 11, luego 2x = 2 , es decir x = 1.
o
La soluciń es (1, 7, −2).
o
Este proceso de resoluciń, que comienza calculando z y permite calcular las dem´s inc´gnitas
o
a
o
sustituyendo en las ecuaciones anteriores se denomina sustituciń regresiva.
o

7.7.1.

Interpretaciń geom´trica de los sistemas con 3 ecuaciones y 3 inc´gnitas
o
e
o

Como cada ecuaciń lineal con 3 inc´gnitas corresponde a un plano en el espacio, la soluciń del
o
o
o
sistema correspoder´ a la posiciń en que dichos planos estń en el espacio.
a
o
e
Lo m´s sencillo es saber que ocurre con los planos 2 a 2, pues en el espacio dos planos s´lo pueden
a
o
estar en 3 posiciones:

CAP´

118

* Son coincidentes: Lo cu´l es fćil de saber porque sus correspondientes ecuaciones tienen coefia
a
cientes de las inc´gnitas y los t´rminos independientes proporcionales, es decir, si los planos son:
o
e
α ≡ Ax + By + Cz = D
β ≡Ax+B y+C z =D
entonces se verifica:

B
C
D
A
=
=
=
A
B
C
D
(siempre que se puedan realizar las divisiones).
Por ejemplo, los planos 2x + 3y − z = 5, y −10x − 15y + 5z = −15 son coincidentes.
* Son paralelos: Tambiń es sencillo de saber porque los coeficientes de las inc´gnitas son propore
o
cionales, pero los t´rminos independientes NO. Es decir, en este caso:
e
β ≡Ax+B y+C z =D

B
C
D
A
=
=
=
A
B
C
D
(siempre que se puedan realizar las divisiones).
Por ejemplo, los planos 2x + 3y − z = 5 y −10x − 15y + 5z = 7 son paralelos.
* Son secantes: Simplemente los coeficientes no son proporcionales, es decir:
β ≡Ax+B y+C z =D

B
C
D
A
=
=
=
A
B
C
D
(siempre que se puedan realizar las divisiones, y basta con que un par de ellas correspondientes a las
inc´gnitas sean diferentes).
o
Por ejemplo, los planos 7x + 3y − z = 5 y −10x − 15y + 5z = 7 son secantes.
Puesto que podemos determinar la posiciń de los planos 2 a 2, podemos determinar en qu´ posiciń
o
e
o
se encuentran los 3 a la vez, fijńdonos en los casos:
a
1. Si el sistema es S.C.D. (Soluciń unica), es que los tres planos se cortan en un punto, que es la
o ´
soluciń del sistema.
o

2. Si el sistema es S.C.I. (Infinitas soluciones), puede ocurrir que:
a)

Los tres planos se corten en una recta.

b) Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta.
c) Los tres planos son coincidentes.

CAP´

119

Y determinaremos la opciń correspondiente estudińdolos de dos en dos.
o
a
3. Si el sistema es S.I. (Sin soluciń), puede ocurrir que:
o
a)

Los planos se cortan dos a dos.

b) Dos planos son paralelos y el otro los corta.
c) Los tres planos son paralelos.
d ) Dos planos son paralelos y el otro coincidente con uno de ellos.

Y determinaremos la opciń correspondiente estudińdolos de dos en dos.
o
a
Ejemplo: Estudiar el sistema e interpretarlo geom´tricamente:
e

 2x + y − z = −6
3x − y + z = −5

4x + 2y − 2z = −1

2 1 −1 −6
Aplicando Gauss a (A|B) = 3 −1 1 −5, se obtiene:
4 2 −2 −1







2 1 −1 −6
2 1 −1 −6
 2x + y − z = −6
2F2 −3F
3 −1 1 −5 − − −1 0 −5 5 8  =⇒
−−→
−5y + 5z = 8

F3 −2F1
0 0
0 11
0 = 11
4 2 −2 −1
Lo que indica que el sistema es incompatible y por tanto no tiene soluciń, los planos no tienen puntos
o
comunes.

CAP´

120

Si estudiamos la posiciń de los planos 2 a 2, se obtiene que el primero y el segundo tienen
o
coeficientes que no son proporcionales, luego se cortan.
El primero y el tercero tienen coeficientes proporcionales pero no los t´rminos independientes,
e
luego son paralelos.
Y el segundo y el tercero no tienen coeficientes proporcionales, por lo que se cortan.
Concluimos por tanto que los planos primero y tercero son paralelos y son cortados por el segundo
plano, ´sta es la interpretaciń geom´trica:
e
o
e

Ejercicios: Estudiar e interpretar geom´tricamente los sistemas:
e



 2x − y + 3z = −1
 x+y+z = 2
 x + y − z = −2
a) 4x − 2y + 6z = −5 b) 2x + y + 3z = 1 c) 2x − y + 3z = −5



−2x + y − 3z = −7
x + 2y + z = 4
3x + 2z = −7

7.7.2.


 x+y+z = 8
d) 7x + y + 6z = 7

x + 7y + z = 1

Discusiń de sistemas de 3 ecuaciones y 3 inc´gnitas
o
o

Si aparece algń coeficiente desconocido,aplicaremos el m´todo de Gauss e investigaremos seg´ n
u
e
u
los valores del par´metro la posibilidad de que aparezca o no una fila de ceros.
a

 x+y+z = m+1
Ejemplo: Discutir segń los valores de m el sistema: mx + y + (m − 1)z = m
u

x + 7y + z = 1
Aplicando Gauss a la matriz ampliada:




1
1
1 m+1
1 1
1
m+1
F −mF
F −F1
m 1 m − 1 m  −2− −1 0 1 − m −1 −m2  −3− →
− −→
−−
(m=0)
1
1
7
1
1
1 m
1




1
1
1 m+1
1
1
1
m+1
F −F1
F +F2
−3− → 0 1 − m −1 −m2  −3− → 0 1 − m −1
−−
−−
−m2 
0 m − 1 0 −m
0
0
−1 −m − m2
Debemos, llegados a este punto, fijarnos en dos aspectos:
a) El desarrollo anterior s´lo es posible si m = 0, luego el caso m = 0 debe estudiarse por separado.
o
b) En el sistema escalonado final, hay problemas cuando el valor 1 − m = 0, es decir, cuando
m = 1. En cualquier otro caso, no hay problemas.
De modo que, resumiendo, si m = 0 y m = 1, el sistema es S.C.D.
Estudiemos ahora cada caso por separado:
Si m = 0, al aplicar Gauss, queda:






1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
F −F1
F +F2
0 1 −1 0 −3− → 0 1 −1 0 −3− → 0 1 −1 0
−−
−−
0 −1 0 0
0 0 −1 0
1 0 1 1

CAP´

121

que vuelve a ser S.C.D.
Si m = 1, al aplicar Gauss queda:



1 1 1 1
0 0 −1 −1
0 0 −1 −2
Se obtienen dos valores distintos de z, lo que es absurdo y el sistema en este caso no tiene soluciń
o
(S.I.)
Conclusiń:
o
* Si m = 1 S.I.
* Si m = 1 S.C.D.
Ejercicios:
1. Discutir en funciń del par´metro desconocido los sistemas siguientes e interpretar geom´tricao
a
e
mente el resultado:


x + y + az = 1
 x + y − 6z = 0
a) x + ay + z = 1 b)
x − 2y + 6z = 0


ax + y + z = 1
3x + −y + mz = 0


 3x + y + 2z = 1 − a
x + y + az = a2
c) (1 + a)x + 2y + z = a d) x + ay + z = a


ax + y + z = 1
ax − y + z = 1 − a

 x + 2y − z = 8
2. Dado el sistema 2x − 3y + z = −1 , se pide:

3x − y + kz = 5
a) Hallar el valor de k que hace el sistema incompatible.
b) Hallar el valor de k que hace el sistema compatible y adem´s z= -1.
a
c) Para el valor de k hallado en b), resolver el sistema.

7.8.
7.8.1.

Aplicaciń de las matrices y determinantes a la resoluciń de
o
o
sistemas. Regla de Cramer
Aplicaciń de las matrices
o

Si tenemos un sistema con el mismo n´mero de ecuaciones que de inc´gnitas ( un sistema de ese
u
o
tipo de llama cuadrado), entonces la matriz A de coeficientes es cuadrada y podemos escribir el sistema
matricialmente as´
ı:
A·X =B
donde A,X y B son las matrices ya definidas de coeficientes, inc´gnitas y t´rminos independientes
o
e
respectivamente.
Como el objetivo es calcular la matriz X de inc´gnitas, el problema estar´ resuelto si conseguimos
o
ıa
despejar X de dicha ecuaciń.
o
Sabemos que eso se puede hacer s´lo cuando la matriz A posee inversa, y en ese caso aplicar´
o
ıamos
que:
A · X = B =⇒ A−1 · A · X = A−1 · B =⇒ I · X = A−1 · B =⇒ X = A−1 · B
es decir podr´
ıamos calcular X, y el sistema tendr´ soluciń unica.
ıa
o ´
Si A no posee inversa, no podemos despejar X y el sistema no se puede resolver de esta manera.

CAP´

122

Conclusiń: En un sistema cuadrado y cuya matriz de coeficientes tenga inversa, la soluciń del
o
o
sistema viene dada por:
X = A−1 · B

 2x + y − z = 11
Ejemplo: Resolver, aplicando la inversa, el sistema:
x − 3y = −20 .

4x + 2y + 5z = 8


2 1 −1
La matriz de coeficentes es 1 −3 0 .
4 2
5
Para poder aplicar lo anterior es necesario que A tenga inversa, lo que por ejemplo comprobamos
haciendo det (A).
Como det(A) = −49, no nulo, A tiene inversa. Por tanto y segń lo dicho,X = A−1 · B , es decir:
u

  
−1 
11
x
2 1 −1
y  = 1 −3 0  · −20
8
z
4 2
5
Si hacemos la inversa de A (¡compru´balo!), resulta:
e
 15
A−1 =
y por tanto,

   15
x
49
y  =  5
49
−2
z
49

49
 5
49
−2
49

1
7
−2
7

0

1
7
−2
7

0



3
49
1 
49
1
7

 

3
49
1 
49
1
7

  
11
1
· −20 = 2
8
7

es decir x=1, y=7 , z=-2 , soluciń que ya hab´
o
ıamos obtenido utilizando el m´todo de Gauss.
e

7.8.2.

Regla de Cramer

En el caso de sistemas que cumplan las mismas condiciones que los del anterior apartado, es decir,
que sean cuadrados y tales que su matriz de coeficientes tenga inversa (los sistemas que cumplen estas
dos condiciones se llaman sistemas de Cramer ), se puede aplicar una regla muy sencilla para calular
la soluciń y que se basa en los determinantes, conocida como regla de Cramer.
o
Si det(A) es cero, evidentemente la regla no se puede aplicar.
La regla de Cramer:
Para un sistema de Cramer (cuadrado y con matriz regular) se verifica que la incńita n´mero k
o
u
se calcula dividiendo entre el determinante de A el determinante que resulta de sustituir la columna
k (correspodiente al lugar que ocupe la inc´gnita que se est´ calculando) por la columna de t´rminos
o
a
e
independientes.

 2x + y − z = 11
x − 3y = −20 .
Ejemplo: Resolver el sistema

4x + 2y + 5z = 8
Como el sistema es de Cramer puesto que det(A) = −49, aplicamos la regla de Cramer:
Para x sustituimos la primera columna por la de t´rminos independientes pues x es la primera
e
inc´gnita:
o
11
1 −1
−20 −3 0
8
2
5
−49
=
=1
x=
−49
−49

CAP´

123

Para y sustituimos la segunda columna por la de t´rminos independientes pues y es la segunda inc´gnie
o
ta.
2 11 −1
1 −20 0
4
8
5
−343
=
=7
y=
−49
−49
Para z sustituimos la tercera columna por la de t´rminos independientes pues z es la tercera inc´gnita).
e
o
2 1
11
1 −3 −20
4 2
8
98
=
= −2
x=
−49
−49
Y obtenemos la soluciń como antes.
o
Recordemos que esto s´lo se puede aplicar para sistemas de Cramer.
o
Ejercicio: Resolver, mediante estos dos m´todos, los sistemas:
e



3x − 2y + z = −1
x+y+z = 6
 3x + y + z = 2
a)
2x + y − z = 2
b) x − y + 2z = 5 c) 2x + 2y + z = 5



x − 3y + z = 0
x+y−z = 0
x−y +z = 0

7.9.

Estudio de sistemas cualesquiera mediante el c´lculo del rango.
a
Teorema de Rouch´-Frobenius
e

Saber si un sistema tiene o no soluciń (si es compatible), y cuńtas soluciones tiene (si es detero
a
minado o indeterminado), se reduce para cualquier tipo de sistemas a estudiar rangos. El resultado
fundamental es el:
Teorema de Rouch´-Frobenius:
e
Un sistema cualquiera de matriz A y matriz ampliada (A|B) tiene soluciń (es compatible) si y
o
solamente si Rg(A) = Rg(A|B).
Por tanto si los dos rangos son distintos el sistema no tiene soluciń (S.I.).
o
Adem´s, si dicho rango coincide con el n´mero de inc´gnitas del sistema, la soluciń es unica
a
u
o
o
´
(S.C.D.), y si dicho rango es menor que el n´mero de inc´gnitas, hay infinitas soluciones (S.C.I.).
u
o
Es importante darse cuenta de que Rg(A) ≤ Rg(A|B), puesto que la matriz de coeficientes forma
parte de la ampliada, es decir, la matriz A no puede tener rango mayor que la ampliada.
Ań siendo importante, el unico problema que plantea este teorema es que NO ofrece ningń m´todo
u
´
u
e
para calcular la soluciń, s´lamente dice si hay soluciń o no.
o
o
o
Ejercicio: Aplicar el teorema de Rouch´ para determinar el tipo de sistema que es:
e



x+y−z+t = 4

 2x − y = 1
 x + 3y = 3
3x + 3y − z = −1
a)
2x − y + 3z + 2t = −1
b) x + 3y = −2 c) 3x + 5y = 7 d)
x + y − 5z = 2



−4x + 5y − 11z − 4t = 11
5x − 4y = 7
2x + 4y = 5

CAP´

7.10.

124

Sistemas homogńeos
e

Un sistema homogńeo es aqu´l que tiene todos los t´rminos independientes nulos.
e
e
e
Cualquier sistema homogeneo es evidente que es compatible, pues dando a cada inc´gnita el valor
o
0, se cumplen las ecuaciones. Esta soluciń (que todas las inc´gnitas sean nulas) se llama soluciń
o
o
o
trivial.
El problema entonces est´ en determinar si dichos sistemas son compatibles determinados o indea
terminados.
Aplicando el teorema de Rouch´ s´lo podemos tener dos casos:
e o
o
a) Rg (A) = nö inc´gnitas. En este caso el sistema es compatible determinado, y por tanto tiene
soluciń unica que es la trivial (todas las inc´gnitas valen cero)
o ´
o
o
b) Rg(A) < nö inc´gnitas. En este caso el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas
soluciones que se determinan de la manera conocida.
Ejercicios:
1. Estudiar la soluciń de los sistemas homogńeos siguientes:
o
e

x+y−z = 0
x+y = 0
x+y+z = 0
a)
b)
c) 2x − y + z = 0
x−y = 0
2x − y + z = 0

4x + y − z = 0

 6x + 18y − bz = 0
2. Discutir el sistema homogńeo: 7x − 2y − 4z = 0 .
e

4x + 10y − 6z = 0

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