Teoría de exponentes

TEORÍA DE EXPONENTES
potenciación

POTENCIACION
 Consiste en multiplicar un número llamado
base tantas veces como lo indica el
exponente.
𝑏 𝑛
= 𝑝
b: base
n: exponente
p: potencia.

EXPONENTE NATURAL
𝑏 𝑛
= 𝑏. 𝑏. 𝑏 … 𝑏. 𝑏
n veces
b ∊ R ; n ∊ N ; n > 0

EXPONENTE CERO
𝑎0
= 1; 𝑎 ≠ 0
1. 40
= 1
2. (45𝑥12)0
=
3. (−
4
6
)0
=
4. 00
=

EXPONENTE NEGATIVO
𝑎−𝑥
= (
1
𝑎
) 𝑥
=
1
𝑎 𝑥 ; a≠0
1. 5−1
= (
1
4
)1
=
1
4
2. (
3
2
)−3
= (
2
3
)3
=
8
27

PROBLEMAS
I.- comunicación matematica
¿Cómo se lee?
53
:
47
:
43
= 64 :

II.- razonamiento y demostración
1. responde V o F
A. 33
= 9
B. (
3
4
)−2
=
9
16
C. (
2
5
)−3
= −
125
8

III.- resuelve
1. 25=
2. (
3
4
)−3
=
3. La Hidra de Lerna es un personaje mitológico que
aparece en algunas historias, como la de las 12
pruebas de Hércules. La Hidra era un monstruo con
1 cabeza, pero si se le cortaba, le nacían 2 cabezas en
su lugar. Si un héroe intentaba vencerla cortándole
todas sus cabezas cada día, ¿cuántas cabezas tendría
la Hidra el tercer día? ¿y al cabo de 10 días intentando
vencerla?

TEOREMAS
Teorema 1:
Multiplicación de bases iguales.
𝑎 𝑥
. 𝑎 𝑦
= 𝑎 𝑥+𝑦
Ejemplos:
1. 𝑥2
. 𝑥3
. 𝑥4
= 𝑥2+3+4
= 𝑥9
2. 𝑏 𝑥
. 𝑏−𝑥+1
. 𝑏2
= 𝑏 𝑥−𝑥+1+2
= 𝑏3

TEOREMA 2
Potencia de potencia.
(𝑎 𝑥
) 𝑦
= 𝑎 𝑥𝑦
Ejemplos:
1. (𝑥3
)4
= 𝑥3.4
= 𝑥12
2. (𝑏10
)
2
5 = 𝑏10.
2
5 = 𝑏4

TEOREMA 3
Potenciación de una multiplicación.
(𝑎. 𝑏) 𝑥
= 𝑎 𝑥
. 𝑏 𝑥
Ejemplos:
1. (𝑎3
. 𝑏)3
= 𝑎9
. 𝑏3
2. (𝑎4
. 𝑏5
) 𝑥
= 𝑎4𝑥
. 𝑏5𝑥

TEOREMA 4
División de bases iguales.
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥−𝑦
; a ≠0
Ejemplos:
1.
𝑥6
𝑥3 = 𝑥6−3
= 𝑥3
2. 𝑎 𝑥−3
=
𝑎 𝑥
𝑎3

PROBLEMAS
1.
𝑥6 𝑦−3
𝑥4 𝑦4
2.
𝑥3−𝑥2
𝑥3+𝑥2

POTENCIACIÓN PARA NÚMEROS NEGATIVOS
Si a es un numero positivo, entonces:
(−𝑎) 𝑛
= −𝑎 −𝑎 … −𝑎
n veces
Si tenemos en cuenta la paridad del exponente,
se tendrá:
𝑎 𝑛
𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
(−𝑎) 𝑛
(−𝑎) 𝑛
≠
−𝑎 𝑛
−𝑎 𝑛
𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

PROBLEMAS
Ejemplo
𝑎. (−2)4
𝑏. −24
𝑐. (−2)3

ECUACIONES EXPONENCIALES
1. Bases iguales
Si : 𝑁 𝑥 = 𝑁 𝑦 → 𝑥 = 𝑦 ; 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1
Ejemplo:
Resolver: 9 𝑥−1
= 27 𝑥−2
Buscamos bases iguales:
32𝑥−2
= 33𝑥−6
Luego:
2𝑥 − 2 = 3𝑥 − 6
4 = 𝑥

2. Formas análogas:
Si 𝑀 𝑀
= 𝑁 𝑁
→ 𝑀 = 𝑁
Observación: M ≠
1
2
∧ 𝑁 ≠
1
4
Ejemplo:
Resolver: 𝑥5𝑥5
= 363
Buscando formas análogas:
(𝑥5
) 𝑥5
= (62
)3
; (𝑥5
) 𝑥5
= 66
Luego: 𝑥5
= 6 → 𝑥 =
5
6

Nota:
Si; 𝑎 𝑓(𝑥)
= 𝑏 𝑓(𝑥)
→ 𝑓 𝑥 = 0
Ejemplo:
Resolver: 3 𝑥−4
= 5 𝑥−4
𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = 4
Ejemplo:
72𝑥+4
= 52+4
2𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 = −2

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