Teoria De La Medida

TEORÍA DE LA MEDIDA

Jesús María Ríos Aliaga

17 de abril de 2002

Índice General

1 INTRODUCCIÓN 5
1.1 ÁLGEBRA GEOMÉTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 LA CUADRATURA DEL CIRCULO POR ARQUÍMEDES. EL MÉTO-
DO DE EXAHUSCIÓN DE EUDOXO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA. 11
2.1 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 LA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELJES. 15
3.1 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 EL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE
LA RECTA REAL 21
4.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 EL AXIOMA DE ELECCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.2 EL TEOREMA DE VITALI (1905) . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 DEBILITAMIENTO DEL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUB-
CONJUNTOS DE LA RECTA REAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 LA IDEA DE LEBESGUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2 EL PROCESO DE CARATHÉODORY . . . . . . . . . . . . . 32

5 TEOREMAS DE CONVERGENCIA PARA LA INTEGRAL DE
LEBESGUE 33
5.1 TEOREMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.1 TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA . . . . 33
5.1.2 TEOREMA DE BEPPO-LEVÍ . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.3 LEMA DE FATOU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.4 TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA . . . . . 35
5.2 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Capítulo 1
INTRODUCCIÓN

1.1 ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
Tras el descubrimiento de los incomensurables en la escuela pitagórica del siglo V
a.c., y el consiguiente fracaso de la aritmetización de la geometría, se empieza a hacer
álgebra geométrica.
Dados dos segmentos, pudiera ocurrir que no existiese una unidad de medida
común, como por ejemplo ocurre en:

1. El lado del pentágono y su diagonal.

2. El lado del cuadrado y su diagonal.

6 INTRODUCCIÓN

Lo que pone fin a la Teoría atómica de la extensión geométrica, según la cual,
los segmentos de la geometría están compuestos por puntos extensos.
Si esta Teoría fuera cierta, sería posible encontrar para dos segmentos cua-
lesquiera, AB y CD, una unidad de medida común u a ambos, de tal forma que

AB = nu

CD = mu

para lo cual bastaría con aplicar el algoritmo de Euclides, es decir, hallar el “m.c.d.”
restando geométricamente el segmento pequeño al grande hasta que el resto sea el
segmento nulo,es decir, hasta una división geométrica exacta. Proceso que bajo las
hipótesis de la Teoría atómica de la extensión geométrica sería finito.
Siendo u el último segmento por el que se ha dividido, resultará ser, por
la construcción del mismo, la máxima unidad de medida común a ambos. El cual
permite asociar a cada segmento un número natural, en nuestro caso n y m, que
los mide, en el sentido de contener cada segmento esa cantidad de veces, n y m, el
segmento u.
La existencia del segmento u en las hipotesis de la Teoría atómica de la ¢
¡ exten-
sión geométrica, permite asociar a cada par ordenado de sementos AB, CD cua-
lesquiera, el par ordenado de números(n, m) que obtenemos por el proceso descrito
anteriormente o de resta mutua que los griegos llamarían antiphaieresis. Puesto que
tanto n como m son números naturales y (N, ≤) es un orden total, resuta que en las
hipotesis de la Teoría atómica de la extensión geométrica todo par de segmentos son
comparables, conmensurables, atraves de los números naturales asociados a ellos.

Definición 1 Para expresar lo dicho anteriormente, y no otra cosa, los griegos de

ÁLGEBRA GEOMÉTRICA 7

la época escribian:

AB n
=
CD m
Observación 2 En la definición no se dice si la unidad de medida común a los
segmentos AB y CD tiene que ser la máxima unidad de medida común u, utilizada
anteriormente para hallar n y m, o vale cualquier otra. Esto es así, porque, de
hecho, no importa cual sea la unidad de medida común, a los segmentos AB y CD,
AB
que utilizemos: la relación CD no dependerá de la unidad de medida común a los
segmentos AB y CD, que sabemos que existirá en las hipótesis de la Teoría atómica de
la extensión geométrica. Luego para comparar dos segmentos no es necesario conocer
las veces que contienen, cada uno de ellos, a un segmento que cabe una cantidad
AB
exacta de veces en ambos. Sino que basta con conocer la relación entre ambos CD . Lo
que obliga a desarrollar una Teoría de proporciones para que tenga sentido nuestra
definición. Es decir, como:
nu
AB = n0 u0 =nu ⇒ u0 =
n0

mu
CD = m0 u0 =mu ⇒ u0 =
m0
entonces
n0 AB n0 u0 n0 nu
n0 n
0
= = 0 0 = 0 mu =
m CD mu m m0 m

Esta Teoría de proporciones, que tiene sentido en el contexto de la Teoría
atómica de la extensión geométrica,en la que todo par de segmentos son conmensu-
rables, cae junto con esta a causa del descubrimiento de los incomensurables. En el
libro V de los Elementos de Euclides aparece una revisión de la Teoría de propor-
ciones, original de Eudoxo, que permite saber cuando un par ordenado de segmentos
¡ ¢
(o magnitudes arquimedianas∗ , en general) AB, CD cualesquiera es proporcional
a otro par ordenado de segmentos (o magnitudes arquimedianas, en general) (a, b);
pares ordenados que llamarán razones, sin necesidad que los segmentos (o magni-
tudes arquimedianas, en general) sean conmensurables

El descubrimiento de los incomensurables, y por tanto,de la imposibilidad de
¡ ¢
asociar a cada par ordenado de segmentos AB, CD cualesquiera, un par ordenado
∗
Dos magnitudes se dice que son arquimedianas si al mutiplicar cualquiera de ellas por si misma
un número finito de veces, suficientemente grande, podemos superar a la otra. Los griegos de la
época suponian que dos magnitudes cualesquiera de la misma ”dimensión” eran arquimedianas, y
por supuesto, si eran de distinta dimensión no.

8 INTRODUCCIÓN

de números (n, m), expulsa de la geometria la aritmética. Lo que rompe con la idea
de los Pitagóricos de que todo es número, a la cual habían llegado a traves de sus
viajes a las grandes culturas de la época: la babilonica, que reducía el estudio de los
astros a números, y la egipcia que reducía el estudio del calendario y de la medida de
las tierras a números. Lo que les lleva a pensar que todo esta hecho de números, en
particular la geometría. Es por ello, que el descubrimiento de los incomensurables,
rompe con estas ideas. Distinguiendo, claramente, cantidad de magnitud. Tratando
la geometría de la magnitud, es decir, de lo infinitamente divisible. Y la aritmetica
de la cantidad, es decir, del número.
Al no poderse asociar números a segmentos no puede usarse el orden total
de los números naturales (N, ≤) para compararlos. Se empieza a hacer álgebra geo-
metrica, es decir, para sumar segmentos no se suman los números asociados a ellos,
pues pueden no existir; sino que se suman como segmentos geométicos, Y para la
comparación de segmentos, ya no se comparan los numeros asociados a ellos, pues
pueden no existir, sino que se pone uno encima de otro a partir de un extremo de uno
de ellos, y se comparan como conjuntos con el orden parcial de la inclusión. El orden
parcial de la inclusión de conjuntos restringido a “los segmentos” será un orden total.
¿Cómo se compararón “superficies en el plano”?
Si las queremos comparar como conjuntos de puntos en el plano a traves de la
inclusión de conjuntos, al ser esta relación de inclusión un orden parcial habrá figuras
planas no comparables. Como por ejemplo:

Estas figuras planas no están relacionadas por la inclusión de conjuntos al no
estar ninguna de allas contenida en la otra.
Aun así, ambas son la unión disjunta de cuatro cuadrados iguales. Por una de
las nociones comunes que aparece en el libro I de los Elementos de Euclides, que dice:
Si se añaden cosas iguales a cosas iguales, entonces los totales son también iguales;
como las dos figuras se pueden generar añadiendo magnitudes iguales (los cuadrados)
sucesivamente a figuras iguales, entonces los totales, es decir, las figuras del dibujo,
son iguales. Observese que un razonamiento basado en la aditividad de la medida,es
decir que la medida de la unión disjunta es la suma de los números asociodos, no
valdría, al hacer referencia a números asociados a figuras.
Esta idea junto con la posibilidad de reducir el problema de comparar dos
figuras planas, con la relación parcial de inclusión conjuntista, al problema de com-
parar segmetos con la relación de inclusión conjuntista, lo cual siempre será posible,

ÁLGEBRA GEOMÉTRICA 9

permite resolver teóricamente el problema.
Para esto último, a cada figura plana le tendremos que encontrar otra figura
(por ejemplo un circulo,o un cuadrado) de igual magnitud superficial. En tal caso
la comparación de figuras planas se realiza comparando estas figuras asociadas de
igual magnitud, que por tener una forma especial (bien sea da del circulo o la del
cuadrado) son siempre comparables.
En el caso del circulo, bastaría con comparar sus radios:

Y en el caso del cuadrado, bastaría con comparar sus lados.

Los griegos de la época optarón por está última opción. Por lo cual, para com-
parar figuras planas tubieron la necesidad de encontrar cuadrados de igual magnitud
que las figuras de partida. En particular, si una de las figuras de partida es un circulo
se plantea el problema de encontrar un cuadrado de igual superficie: es el problema
de la cuadratura del circulo.
El desarrollo de la teoría de Galois en el siglo XIX permitirá demostrar que no
es posible construir con los instrumentos platónicos, es decir con la regla y el compás,

10 INTRODUCCIÓN

un cuadrado cuya área coincida con la de un circulo dado. Lo cual no quiere decir
que sea implosible la cuadratura del circulo, siempre que no seamos tan exigentes en
los métodos de construcción, permitiendo la presencia de lineas que no se puedan
trazar con el úncico auxilio de la regla y el compás.

1.2 LA CUADRATURA DEL CIRCULO POR ARQUÍMEDES. EL MÉTO-
DO DE EXAHUSCIÓN DE EUDOXO.
Lema 3 (Principio de exahusción debido a Eudoxo) Dadas dos magnitudes homoge-
neas, es decir, de la misma “dimendión”, que denotaremos por M y ε; con la magnitud
ε tan pequeña como queramos. Si a la magnitud M le quito la mitad o más y a lo
que me queda le vuelvo a quitar la mitad o más, y así sucesivamente
Mn
Mn+1 <
2

M
Mn <
2n
entonces llegará un monento en el cual me quede menos que la magnitud homogenea
dada ²

∃nε : Mnε < ε

Teorema 4 (aparece en La medida del circulo de Arquímedes) El area de un circulo
C, de radio r, es igual al area de un triangulo rectangulo T con catetos: el radio el
circulo r, y la longitud de la circunferencia L

Proof. Demostraremos area (C) = area (T) por doble reducción al absurdo.
Supongamos que area (C) 6= area (T) entonces

area (C) > area (T) y llegaremos a contradicción 
o bien ⇒ area (C) = area (T)

area (C) < area (T) y llegaremos a contradicción

Capítulo 2
FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA.

Sea I = [a, b] ⊂ < intervalo compacto de la recta real
Definición 5 Una partición de I=[a, b] ⊂ < es un conjunto finito π = {t0 , t1 , . . . , tm−1 , tm } ∈
℘(I) tal que a =t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tm−1 ≤ tm = b
Sea f : I = [a, b] → < función real en I ⊂ <
y π = {t0 , t1 , . . . , tm−1 , tm } ∈ ℘(I) partición de I
Definición 6 La variación de la función f respecto de la partición π ∈ ℘(I) que
denotamos V(f,π) será:
X
m−1
V (f, π) = |f (ti+1 ) − f (ti )|
i=0

Definición 7 La variación total de la función f en I que denotamos V(f,I) será:
V (f, I) = sup V (f, π)
π∈℘(I)

Definición 8 Si la variación total de la función f en I está acotada,es decir:
V (f, I) < ∞
entonces f se dice que es de variacón acotada.
Proposición 9 Si f es una funcón monótona =⇒f es de variación acotada y
V (f, I) = |f(b) − f(a)|
Proposición 10 Se vericica para todo c ∈ (a, b) lo siguiente:
V (f, [a, b]) = V (f, [a, c]) + V (f, [c, b])
Sea f : I = [a, b] → < función de variación acotada en I = [a, b] se puede
definir la función siguiente:
F(x) =V (f, [a, x]) : [a, b] → [0, ∞]

x → F(x) =V (f, [a, x]) para todo x ∈ [a, b]
que será monótona creciente.

12 FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA.

2.1 EJERCICIOS
Ejercicio 11 Calcula la variación total de las siguientes funciones en I = [0, 1] :
• f :I = [0, 1] → < tal que
½
1 para 0 ≤ x ≤ 1
2
f(x) = χ[0, 1 ] =
2 0 para 1 < x ≤1
2

f es una función monótona decreciente en [0, 1],y por lo visto en la proposicón9
f es una función de variación acotada con
V (f, [0, 1]) = |f(1) − f(0)| = 1

• f :I = [0, 1] → < tal que

 0 para 0 ≤ x < 1
3
f(x) = χ[ 1 , 1 ] = 1 para 1 ≤ x ≤ 1
3 2
3 2 
0 para 1 < x ≤1
2
£ ¤
sea c ∈ 1 , 1 por la proposición10 tenemosV (f, [0, 1]) = V (f, [0, c])+V (f, [c, 1])
3 2
con f monótona creciente en [0, c] y monótona decreciente en [c, 1] que
por9 resulta:
V (f, [0, c]) = |f(c) − f(0)| = 1

V (f, [c, 1]) = |f(1) − f(c)| = 1
y por tanto:
V (f, [0, 1]) = V (f, [0, c]) + V (f, [c, 1]) = 1 + 1 = 2

• f :I = [0, 1] → < tal que

 0 para x =0
f(x) = χ(0, 1 ] = 1 para 0 < x ≤ 1
2
2 
0 para 1 < x ≤1
2
¡ ¤
sea c ∈ 0, 1 por la proposición10 tenemosV (f, [0, 1]) = V (f, [0, c])+V (f, [c, 1])
2
con f monótona creciente en [0, c] y monótona decreciente en [c, 1] que
por9 resulta:
V (f, [0, c]) = |f(c) − f(0)| = 1

V (f, [c, 1]) = |f(1) − f(c)| = 1
y por tanto:
V (f, [0, 1]) = V (f, [0, c]) + V (f, [c, 1]) = 1 + 1 = 2

EJERCICIOS 13

Ejercicio 12 Calcula la variación total de las siguiente función f :I = [0, 2π] → <
deﬁnida por f (x) = sin x

1

0.5

0 1 2 3 4 5 6
x

-0.5

-1

£ ¤ £ ¤ £ ¤
Por la proposición10 tenemosV (f, [0, 1]) = V (f, 0, π )+V£(f, π¤ 3π )+V (f, 3π , 1 )con
£ π¤ 2
,
2 2 2
f monótona creciente en 0, 2 , monótona decreciente en π , 3π y monótona
£ ¤ 2 2
creciente en 3π , 1 que por9 resulta:
2

h πi ¯ π ¯
¯ ¯
V (f, 0, ) = ¯f( ) − f(0)¯ = 1
2 2

· ¸ ¯ ¯
π 3π ¯ 3π π ¯
V (f, , ) = ¯f( ) − f( )¯ = 2
¯ 2
2 2 2 ¯

· ¸ ¯ ¯
3π ¯ 3π ¯
V (f, , 1 ) = ¯f(1) − f( )¯ = 1
¯
2 2 ¯

Por tanto
h · ¸ · ¸
πi π 3π 3π
V (f, [0, 1]) = V (f, 0, ) + V (f, , ) + V (f, ,1 ) = 1 + 2 + 1 = 4
2 2 2 2

Ejercicio 13 Demostrar que la función f :I = [0, 1] → < deﬁnida por
½
0 x =o
f(x) = 1
xsen x x ∈ (0, 1]

no es una función de variación acotada

14 FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA.

1

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1
x

-0.5

-1

n o
1 1 1 1
Sea la partición de [0, 1] de n+1 subintervalos : π n = 0, π +nπ , π +(n−1)π , · · · , π +2π , π +π , 1
2 2 2 2
La variación de la función f respecto de la partición π n ∈ ℘(I) será:
Xn ¯ ¯ X ¯ ¯
¯ ¯ n−1 ¯ ¯
V (f, π n ) = ¯f ( 1 ) − f (0)¯ +
|f (ti+1 ) − f (ti )| = ¯ π ¯f (1) − f ( 1 )¯ ≥
|f (ti+1 ) − f (ti )| + ¯
+ nπ ¯ π
+π ¯
i=0 2 i=1 2

X
n−1 X¯
n−1
¯ 1 1
¯
¯
≥ |f (ti+1 ) − f (ti )| = ¯f ( ¯
¯ π + (n − i) π ) − f ( π + (n − i + 1) π )¯ =
i=1 i=1 2 2

8X X
n−1 n−1
n−i+1 n−i+1
= 2 ≥ =
π i=1 3 + 8 (n − i) + 4 (n − i) i=1
3 + 8 (n − i) + 4 (n − i)2
Tomo j=n-i
X
n−1
j+1
= → ∞
j=1
3 + 8j + 4j 2 n→∞

Luego la variación total de la función f en [0, 1] será:
V (f, [0, 1]) = sup V (f, π) ≥ V (f, π n ) → ∞
π∈℘(I) n→∞

pues π n ∈ ℘(I)
Por tanto V (f, [0, 1]) ≮ ∞ ,es decir,f no es una función de variación acotada.
Observación 14 f es una función acotada en [0, 1] y no es una función de variación
acotada en [0, 1]
Si f es una función de variación acotada en I=⇒f es una función acotada
en I.
Luego el que f sea una función acotada en I es condición necesaria pero
no condición suﬁciente para que f sea una función de variación acotada en I.

Capítulo 3
LA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELJES.

Sea I = [a, b] ⊂ < intervalo compacto de la recta real.
Sean f, α : I = [a, b] → < funciónes reales en I ⊂ <.
Sea π = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘(I) una partición de I = [a, b] como definimos
en 5
Sea c = {c1 , c2 , . . . , cn−1 , cn } con ci ∈ [ti−1 , ti ]

Definición 15 Dada π ∈ ℘(I). La Suma de Riemann-Stieljes de f respecto de α
como
X
n
S(f, α,π) = f(ci ) (α(ti ) − α(ti−1 ))
i=1

Notación 16 Norma de una partición π = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘(I) es la longitud
del mayor de los subintervalos de la partición π.

kπk = max {ti+1 − ti }
0≤i≤n−1

(℘([a, b]), ⊆) es un orden parcial, pero si definimos π ≤ π0 ⇐⇒ kπk ≤ kπ 0 k entonces
(℘([a, b]), ≤) es un orden total

Observación 17

π ⊆ π 0 =⇒ π ≥ π 0

π ⊆ π0 : π ≥ π0

Definición 18 f es Riemann-Stieljes integrable respecto de α en I = [a, b], que
escribiremos ”f ∈ RS (α) en I = [a, b]” si existe lim S(f, α,π) y en tal caso se
kπk→0
define la integral de Riemann-Stieljes de f respecto de α en I como
Z b Z b
not
fdα = f(t)dα(t) = lim S(f, α,π)
a a kπk→0

16 LA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELJES.

Notación 19 Se dice que f es el integrando y que α es el integrador.

P
Observación 20 Si α(x) = id(x) = x entonces S(f,id,π) = n f(ci ) (id(ti ) − id(ti−1 )) =
Pn i=1
i=1 f(ci )(ti − ti−1 ) que es la suma de Riemann de f respecto de π ∈ ℘([a, b])
es decir, S(f,π). Y por tanto en el caso en el que el integrador sea la identidad
la integral de Riemann-Stieljes coincide con la integral de Riemann.

Observación 21 Si α es una función de variación acotada en [a, b] y f ∈ RS (α)
en [a, b], entonces f ∈ RS (α) en [a, x] para todo x ∈ [a, b] y tiene sentido definir la
siguiente función F que depende del límite superior de integración:
Z x
F(x) = fdα : [a, b] → <
a

Z x
x → F(x) = f(t)dα(t) para todo x ∈ [a, b]
a

3.1 EJERCICIOS
Ejercicio 22 Sean I = [a, b] ⊂ < y c ∈ (a, b)

f : [a, b] → < una función continua en [a, b] .
g : [a, b] → < definida por:
½
0 para a ≤ x < c
g(x) = χ[c,b] =
1 para c ≤ x ≤ b
Rb
Demostrar que f ∈ RS (g) en [a, b] y a fdg = f(c).
Sean π = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘([a, b]) una partición de [a, b] y x =
{x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn } con xj ∈ [tj−1 , tj ]
Como t0 = a y tn = b existe i ∈ N,1 ≤ i ≤ n con ti ≥ c y ti−1 < c entonces

X
n
S(f, g,π) = f(xj ) (g(tj ) − g(tj−1 )) = f(xi ) (g(ti ) − g(ti−1 )) = f(xi )
j=1

Tenemos:

lim S(f, g,π) = lim f(xi )
kπk→0 kπk→0

Y como se verifica 0 ≤ (ti − ti−1 ) ≤ kπk por 16 entonces si kπk → 0 ⇒
(ti − ti−1 ) → 0

EJERCICIOS 17

junto con que si xi ∈ [ti−1 , ti ] y c ∈ [ti−1 , ti ] entonces

0 ≤ |xi − c| ≤ (ti − ti−1 ) → 0
kπk→0

resulta: xi → c y como f es continua en [a, b], lo es en c, y por tanto
kπk→0

f(xi ) → f(c) ⇔ lim f(xi ) = f(c)
xi →c kπk→0

Y por tanto existe

lim S(f, g,π) = lim f(xi ) = f(c)
kπk→0 kπk→0

Siendo f ∈ RS (g) en [a, b] con
Z b
fdg = lim S(f, g,π) = f(c).
a kπk→0

Ejercicio 23 Calcula las siguientes integrales de Riemann-Stieljes:
R1
• −1
xχ[0,1] (x)dχ[0,1] (x)
Sean I = [−1, 1] ⊂ < y 0 ∈ (−1, 1)

f : [−1, 1] → < deﬁnida por
½
0 para − 1 ≤ x <0
f(x) =xχ[0,1] =
x para 0 ≤ x ≤1

es una función continua en [−1, 1] .
g : [−1, 1] → < deﬁnida por:
½
0 para − 1 ≤ x <0
g(x) = χ[0,1] =
1 para 0 ≤ x ≤1

Por el ejercico anterior tenemos que f ∈ RS (g) en [−1, 1] y
Z b
fdg = f(0) = 0
a

R1
• −1
χ[0,1] (x)dχ[0,1] (x)
Sean I = [−1, 1] ⊂ < y 0 ∈ (−1, 1)


Sea f : [−1, 1] → < una función deﬁnida por
½
0 para − 1 ≤ x <0
f(x) = χ[0,1] =
1 para 0 ≤ x ≤1

Sean π = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘([−1, 1]) una partición de [−1, 1] y x =
Como t0 = −1 y tn = 1 existe i ∈ N,1 ≤ i ≤ n con ti ≥ 0 y ti−1 < 0 entonces

X
n
¡ ¢ ¡ ¢
S(χ[0,1] , χ[0,1] ,π) = χ[0,1] (xj ) χ[0,1] (tj ) − χ[0,1] (tj−1 ) = χ[0,1] (xi ) χ[0,1] (ti ) − χ[0,1] (ti−1 ) = χ[0,1]
j=1

Tenemos:
Z 1
χ[0,1] dχ[0,1] = lim S(χ[0,1] , χ[0,1] ,π) = lim χ[0,1] (xi )
−1 kπk→0 kπk→0

con xi ∈ [ti−1 , ti ] y ti−1 < 0 ≤ ti .
(ti − ti−1 ) → 0
junto con que si xi ∈ [ti−1 , ti ] y 0 ∈ [ti−1 , ti ] entonces

0 ≤ |xi − 0| ≤ (ti − ti−1 ) → 0
kπk→0

resulta: xi → 0
kπk→0
Podemos tomar xi = 0 ∈ [ti−1 , ti ] para toda π ∈ ℘([−1, 1]) resutando:

lim χ[0,1] (xi ) = lim χ[0,1] (0) = lim 1 = 1
kπk→0 kπk→0 kπk→0

También podemos tomar xi ∈ [ti−1 , ti ] para toda π ∈ ℘([−1, 1]) de forma que
xi → 0 y xi < 0, pues xi ∈ [ti−1 , ti ] y ti−1 < 0 ≤ ti , resultando:
kπk→0

lim χ[0,1] (xi ) = 0
kπk→0

Y por tanto no existe lim S(χ[0,1] , χ[0,1] ,π) = lim χ[0,1] (xi )
kπk→0 kπk→0
Es decir, χ[0,1] no es Riemann-Stieljes integrable respecto de χ[0,1] en [−1, 1]
R1
• −1
χ(0,1] (x)dχ[0,1] (x)
Sean I = [−1, 1] ⊂ < y 0 ∈ (−1, 1)

EJERCICIOS 19

Sea f : [−1, 1] → < una función definida por
½
0 para − 1 ≤ x ≤0
f(x) = χ(0,1] =
1 para 0 < x ≤1

Sea g : [−1, 1] → < una función definida por
½
0 para − 1 ≤ x <0
g(x) = χ[0,1] =
1 para 0 ≤ x ≤1

Sean π = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘([−1, 1]) una partición de [−1, 1] y x =
Como t0 = −1 y tn = 1 existe i ∈ N,1 ≤ i ≤ n con ti ≥ 0 y ti−1 < 0 entonces
X
n
S(χ(0,1] , χ[0,1] ,π) = S(f, g,π) = f(xj ) (g(tj ) − g(tj−1 )) = f(xi ) (g(ti ) − g(ti−1 )) = χ(0,1] (xi )
j=1

Tenemos:
Z 1
fdg = lim S(f, g,π) = lim χ(0,1] (xi )
−1 kπk→0 kπk→0

con xi ∈ [ti−1 , ti ] y ti−1 < 0 ≤ ti .
(ti − ti−1 ) → 0
junto con que si xi ∈ [ti−1 , ti ] y 0 ∈ [ti−1 , ti ] entonces

0 ≤ |xi − 0| ≤ (ti − ti−1 ) → 0
kπk→0

resulta: xi → 0
kπk→0
Podemos tomar xi = 0 ∈ [ti−1 , ti ] para toda π ∈ ℘([−1, 1]) resutando:

lim χ(0,1] (xi ) = lim χ(0,1] (0) = lim 0 = 0
kπk→0 kπk→0 kπk→0
© ª
También podemos tomar particiones de[−1, 1], π 0 ©= t00 , t01 , . . . , t0n−1 , t0n ∈
ª
℘([−1, 1]), verificando π ≥ π 0 y ti−1 < 0 < ti , y x = x01 , x02 , . . . , x0n−1 , x0n con
£0 ¤
x0j ∈ tj−1 , t0j de forma que xi → 0 y xi > 0,resultando:
kπk→0

lim χ(0,1] (xi ) = lim 1 = 1
kπk→0 kπk→0

Y por tanto no existe lim S(χ(0,1] , χ(0,1] ,π) = lim χ(0,1] (xi )
kπk→0 kπk→0
Es decir, χ(0,1] no es Riemann-Stieljes integrable respecto de χ[0,1] en [−1, 1]


Observación 24 Si en lugar de la definición dada en 18 para la integral de Riemann-
Stieljes consideramos esta otra, como hacen en algunos libros:

Definición 25 f es Riemann-Stieljes integrable respecto de α en I = [a, b], que
escribiremos ”f ∈ RS (α) en I = [a, b]” si existe un número real J con la siguiente
propiedad:∀ε > 0, ∃π ² ∈ ℘([a, b])„∀π ∈ ℘([a, b]) ∀ xπ : elección de puntos en cada
subintervalo de la partición (π ² ⊂ π =⇒ |S(f, α,π) − J| < ²)

Entonces se puede comprobar trivialmente que χ(0,1] si es Riemann-Stieljes
R1
integrable respecto de χ[0,1] en [−1, 1] y −1 χ(0,1] (x)dχ[0,1] (x) = 0,segun la definición
25. Basta tomar π ² = {t0 , t1 , . . . , tn−1 , tn } ∈ ℘([−1, 1]) con un ti = 0. Pues entonces,
para todo π ∈ ℘([−1, 1]) con π ² ⊂ π se tiene (ti = 0) ∈ π y cualquiera que sea la
elección de xi ∈ [ti−1 , ti ] ⇔ ti−1 ≤ xi ≤ ti = 0 tendremos
x ≤0
S(χ(0,1] , χ[0,1] ,π) = S(f, g,π) = χ(0,1] (xi ) i 0
=

verificandose la definición 25:

∀ε > 0, ∃π ² ∈ ℘([a, b]), , ∀π ∈ ℘([a, b])∀ xπ : (π ² ⊂ π =⇒ |S(f, g,π) − 0| < ²)

pues S(f, g,π) = 0, ∀π (π ² ⊂ π) cualquiera que sea la elección de puntos en cada
subimtervalo de π.
Y como χ[0,1] no es Riemann-Stieljes integrable respecto de χ[0,1] en [−1, 1],
observamos que, en la integral de Riemann-Stieljes, al cambiar el valor de la función
integrando en un solo punto la integral puende pasar de existir a no existir. Lo cual
no sucedía con la integral de Riemann de una función, pues podemos cambiar el valor
de ésta en una cantidad finita de puntos sin afectar a la existencia ni al valor de ésta.

Capítulo 4
EL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA
RECTA REAL

4.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Sabiendo que la longitud de un intervalo de la recta real es la diferencia, en valor
absoluto, de sus puntos extremos:
long ([a, b]) = long ((a, b)) = long ([a, b)) = long ((a, b]) = |b − a|
Parece natural extender la noción de longitud a conjuntos de puntos de la rec-
ta real más complicados que los intervalos. Si exigimos a esta extención de la noción
de longitud la siguiente propiedad: la longitud de una unión disjunta de sunconjuntos
de la recta es la suma de las longitudes, pudiendo ser esta unión inﬁnita numerable
( lo cual ya no es tan intuitivo). Tendremos, entonces,la longitud de cualquier sub-
conjunto abierto de la recta real. Pues todo subconjunto abierto de la recta real es
unión numerable de intervalos abiertos disjuntos, cuya longitud podemos calcular y,
por tanto, la longitud de todo subconjunto abierto de la recta real es suma de las lon-
gitudes de esos intervalos abiertos que lo componen. Pero la clase de los subconjuntos
abiertos de R no cubre cualquier subconjunto de R.
Se pretende construir una función m de conjunto:
m : ℘(R) → [0, ∞]
con las siguientes propiedades:
1. m ([0, 1]) = 1
2. m invariante por isometrías, que en la recta real son las traslaciones. Es de-
cir,cualqiera que sea el subconjunto de la recta real E, tenemos
m (E + a) = m (E) ∀a ∈ R
siendo E + a = {x + a : x ∈ E}
3. (Aditividad numerable).Si {En }n∈N ⊂ ℘(R) disjuntos dos a dos, entonces:
³ ∞
´ X
∞
m ∪ En = m (En )
n=1
n=1

22 EL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA RECTA REAL

De estas tres propiedades se deduce:
• para cada intervalo I ⊂ ℘(R) resulta m (I) = longitud(I) , luego, utilizando
que m invariante por isometrías, tenemos m ({a}) = 0
• m esta univocamente definida en los subconjuntos abiertos de R.
• m (∅) = 0 , pues, por la aditividad numerable aplicada a la sucesión {∅}n∈N ⊂
℘(R) de conjuntos disjuntos dos a dos,tenemos:
³ ∞
´ X∞
m (∅) = m ∪∅ = m (∅) ⇒ m (∅) = 0 por ser m (∅) ≥ 0
n=1
n=1

• m es función de conjunto monótona, es decir, ∀A, B ∈ ℘(R)
A ⊂ B =⇒ m (A) ≤ m (B)
por ser m (·) ≥ 0, es decir, posituva, y por la propiedad 3.
Definición 26 Las funciones de conjunto µ definidas en una σ-álgebra A de ℘(R)
µ:A→R
se dice que son una medida si verifican:
• µ es σ-aditiva, es decir:
³∞ ´ X ∞
µ ∪ An = µ (An ) ∀ {An }n∈N , con An ∈ A disjuntos dos a dos
n=1
n=1

• µ es positiva, es decir:
µ (A) ≥ 0 ∀A ∈ A

Observación 27 Todas las medidas verifican:
• (monotonía)
Si A, B ∈ A, con A ⊂ B entonces µ (A) ≤ µ (B)

• (σ-subaditividad)
³ ∞
´ X
∞
µ ∪ An ≤ µ (An ) ∀ {An }n∈N , con An ∈ A
n=1
n=1

Observación 28 m es una medida sobre ℘(R) invariante por isometrias,que en la
recta real son traslaciones. Y normalizada, es decir, m ([0, 1]) = 1, o lo que es igual,
m asigna a cada intervalo de R su longitud.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 23

4.1.1 EL AXIOMA DE ELECCIÓN
Hay dos métodos para decir verdades (en un cierto lenguaje) acerca de una estructura
matemática:
Comprobando, directamente en la estructura matemática,que lo que digo es
verdad. Yendo a los objetos matemáticos mismos, haciendolos inmediatamente pre-
sentes a la intuición y comprobando que lo que se dice acerca de ellos es verdad. Los
objetos matemátcos se nos hacen presentes en la visión no sensible, y en la medida
en que las cosas de las que habla una frase pueden verse, la proposición será verdad
evidente. Ya sea en la visión sensual si el objeto es sensual, un color, un sonido, ya
sea en nuestro caso, en la visión no sensual, pues, el objeto es no sensual. Exigimos
la presencia del objeto mismo del que se habla, que por su naturaleza sera insensible,
no sentido por ninguno de los cincos setidos. No confundamos presencia inmediata
de un objeto con su naturaleza sensual o no sensual.
O bien deduciendo unas verdades de otras formalmente, olvidandose de los
objetos de los que se habla.
Experiencias matemáticas como las ocurridas en el ámbito la teoría atómica de
la extensión geométrica de los Pitagoricos,que dice que los segmentos estan formados
por átomos, puntos indivisibles y extensos. Teoría, admitida por el primero de los
dos métodos, de la que se siguen contradicciones:se deduce de esta teoría que todo
par de segmentos son comensurables, es decir, tienen una máxima unidad de medida
común.Antinomias puestas en evidencia seguramente por Hipaso de Metaponto, hacia
mediados del siglo IV a.c.,con el descubrimiento de segmentos incomensurables en el
pentagono estrellado. Segmentos cuya antiphaieresis no parece tener fin. Experiencias
matemáticas, como deciamos, que hacen poco fiable el primer método de busqueda
de verdades, lleva a la matemática a utilizar este primer método de busqueda de
verdades lo menos posible y en sentencias lo má sencillas posibles.Sentencias, estas,
que formaran los axiomas no logicos de la teoría matemática que se trate. Obteniendo
el resto de las verdades por el segundo método, es decir formalmente, a partir de estos
axiomas no logicos.
Supondremos axiomatizada la Teoría de conjuntos con los axiomas no logicos
de Zermelo-Freankel (ZF) más el axioma de Elección, en ingles axiom of Choice(ZF+C).
Puedes consularlos en cualquier libro de Teoría de conjuntos. En particular entre las
sentencias equvatentes al axioma de Elección tenemos
Axioma 29 (axioma de Elección) Para cualquier clase de conjuntos existe una fun-
ción de elección.
Axioma 30 (equivalente al axioma de Elección) Para toda partición de un conjunto
existe un conjunto de representantes, que también llamaremos conjunto de elección.
A continuación vamos a convencernos que el Axioma de Elección es verdadero.
Si nos dan una colección infinita de conjuntos formados cada uno de estos
por un par de zapatos, entonces yo puedo definir una función de elección construti-
vamente, a traves del siguiente criterio: coge de cada conjunto formado por un par


de zapatos el zapato correspondiente al pie derecho. Esta contrucción asegura la
existencia de la función de elección.
Si nos dan una colección infinita de conjuntos formados cada uno de estos
por un par de calcetines indistingibles, repito, los elementos de cada conjunto de la
colección son indistingibles, entonces yo no puedo construir una criterio de elección
a traves del cual yo pueda coger de cada conjunto formado por un par de elementos
indistingibles uno de ellos.Sin embargo el axioma de Elección asegura la existencia de
la función de elección, aunque no sea construible por ser la colección infinita. Es decir,
dado un conjunto de la colección yo no tengo ningun criterio para saber que elemento
de dicho conjunto ha sido elegido. Pero el axioma de Elección asegura que existe una
elección de un elemento de cada conjunto de la colección infinita de conjuntos.
Luego el Axioma de Elección asegura la existencia de conjuntos (funciones)
que no tienen porque ser construibles. Es decir, no tiene porque haber un criterio
que me permita saber si un determinado elemento está o no está en el conjunto (ha
sido elegido por la función de elección).
4.1.2 EL TEOREMA DE VITALI (1905)
A continuación vamos aprobar, utilizando el axioma de Elección, que no existe ningu-
na función de conjunto m que sea una medida sobre ℘(R) invariante por isometrías,
y con m ([0, 1]) = 1, o lo que es lo mismo, m (I) = longitud(I) para todo intervalo I
de R
Luego no se puede extender la noción de longitud a cualquier subconjunto de
la recta real, es decir, asiginar valores en [0, ∞] a cualquier subconjunto de la recta
real compatibles con las propiedades 1, 2 y 3 del problema de la medida planteado al
principio de la sección.
Este teorema se debe a Vitali y apareció en el año 1905 en su trabajo Sul
problema della misura dei gruppi di punti di una retta.

Teorema 31 (Vitali, 1905) No existe ninguna medida

m : ℘(R) → [0, ∞]

con las siguientes propiedades:

1. m ([0, 1]) = 1

2. m invariante por isometrías, que en la recta real son las traslaciones. Es decir,
cualqiera que sea el subconjunto de la recta real E, tenemos

m (E + a) = m (E) ∀a ∈ R

siendo E + a = {x + a : x ∈ E}


3. (Aditividad numerable).Si {En }n∈N ⊂ ℘(R) disjuntos dos a dos, entonces:
³ ∞
´ X
∞
m ∪ En = m (En )
n=1
n=1

Proof. Sea
· ¸
1 1
− , ⊂R
2 2
£ ¤
en donde deﬁnimos la siguiente relación binaria, para todo x, y ∈ − 1 , 1
2 2

def
xvy ⇔ x−y ∈Q
que será una relación binaria de eqivalencia, pues:
def
i. x v x ⇔ x − x = 0 ∈ Q
def def
ii. Si x v y ⇔ x − y ∈ Q ⇔) (x − y) ∈ Q ⇔ y − x ∈ Q ⇔ y v x
−
def
Si x v y ⇔ x − y ∈ Q def
iii. def (x − y) + (y − z) = x − z ∈ Q ⇔ x v z
y y vz ⇔ y−z ∈Q
luego
£ 1 1¤ ½ · ¸¾
−2, 2 1 1
= [x] : x ∈ − ,
v 2 2
donde
½ · ¸ ¾ ½ · ¸ ¾
1 1 1 1
[x] = y ∈ − , :yvx = y∈ − , :y−x∈Q =
2 2 2 2
½ · ¸ ¾ ½ · ¸ ¾
1 1 1 1
= y∈ − , :y−x=r , r ∈Q = y ∈ − , :y =x+r , r ∈Q
2 2 2 2

[− 1 , 1 ]
que son las clases de equivalencia del conjunto cociente v 2 , y portanto, conjuntos
2

disjuntos. © £ ¤ª £ ¤
Como [x] : x ∈ − 1 , 1 es una partición de − 1 , 1 , aplicando el AXIOMA
2 2 ©
2 2 £ ¤ ª
DE ELECCIÓN tomo un representante en cada clase [x] = y ∈ − 1 , 1 : y = x + r , r ∈ Q
2 2
y los coleciono en el conjunto de eleción A llamado conjunto de Vitali.
El conjunto A tendrá cardinal no numerable, por haber una cantidad no nu-
merable de clases de eqivalencia en el cociente.
Como el conjunto de los números racionales Q es numerable, tambien lo será
el subconjunto suyo Q∩ [−1, 1], cuyos elementos enumero de la siguiente forma:
r1 = 0, r2 , r3 , . . .


Y deﬁnimos

Ak = rk + A

que son conjuntos trasladados, y por tanto isométricos, del conjunto de elección A

Ak ≡ A

Luego por ser Ak congruente por traslación con A, aplicando la propiedad 2 de m,
es decir, m es invariante traslaciones, tenemos:

m (Ak ) = m (rk + A) = m (A) ∀k ∈ N

La sucesión de conjuntos{An }n∈N veriﬁca:
1.

Ai ∩ Aj = ∅ , i 6= j

Por reducción al absurdo: Si Ai ∩ Aj 6= ∅ , i 6= j como Ak = rk + A tenemos:

Ai ∩ Aj 6= ∅ ⇔ (ri + A) ∩ (rj + A) 6= ∅

es decir, existen ai , aj ∈ A tal que ri + ai = rj + aj luego
def
ai − aj = rj − ri ∈ Q ⇔ ai v aj

luego ai = aj pues en A solo hay un representante de cada clase, y como
ai v aj entonces [ai ] = [aj ]
Y si ai = aj ⇒ ri = rj .Por tanto, Ai = Aj lo que implica i = j.contradicción
2.
· ¸ · ¸
1 1 ∞ 3 3
− , ⊂ ∪ Ak ⊂ − ,
2 2 k=1 2 2
2.1.
A⊂[− 1 , 1 ]
· ¸
∞ ∞ 2 2 3 3
∪ Ak = ∪ (rk + A) ⊂ [−1, 1] + A ⊂ − ,
k=1 k=1 2 2
£ ¤
2.2. Si x ∈ − 1 , 1 entonces como A es un conjunto de eleción de
2 2
· ¸ ½ · ¸¾
1 1 1 1
− , = ∪ [x] : x ∈ − ,
2 2 disjunta 2 2
tenemos

∃a ∈ A , [x] = [a] ⇔ ∃a ∈ A , x v a ⇔ ∃a ∈ A , x − a ∈ Q


y

−1 ≤ x − a ≤ 1

Denotamos q = x − a ∈ Q∩ [−1, 1] y tenemos x = a + q con a ∈ A y
q ∈ Q∩ [−1, 1] luego:
∞ ∞
x ∈ A+q ⊂ ∪ (rk + A) = ∪ Ak
k=1 k=1

Es decir:
· ¸
1 1 ∞
− , ⊂ ∪ Ak
2 2 k=1

Tenemos, por tanto, una sucesión de conjuntos{An }n∈N acotados y disjuntos
dos a dos, tal que:
· ¸ · ¸
1 1 ∞ 3 3
− , ⊂ ∪ Ak ⊂ − ,
2 2 k=1 2 2

Veamos que no existe ninguna función de conjunto m que sea una medida
sobre ℘(R) invariante por traslaciones, con m (I) = longitud(I) para todo intervalo
I de R.
Lo demostraremos por reducción al absurdo: supongamos que existe una tal
función m.
Por el axioma de Elección existe la sucesión de conjuntos{An }n∈N acotados y
disjuntos dos a dos, congruentes por traslación con A ,tal que:
· ¸ · ¸
1 1 ∞ 3 3
− , ⊂ ∪ Ak ⊂ − ,
2 2 k=1 2 2

luego
µ· ¸¶ ³∞ ´ µ· ¸¶
1 1 3 3
1=m − , ≤ m ∪ Ak ≤ m − , =3
2 2 k=1 2 2

y por ser la sucesión de conjuntos{An }n∈N disjuntos dos a dos:

X
∞ X
∞
1≤ m (Ak ) ≤ 3 ⇔ 1 ≤ m (A) ≤ 3
k=1 k=1

• Si m (A) = 0 entonces

1 ≤ 0 ≤ 3 contradicción


• Si m (A) > 0 entonces por la propiedad arquimediana de los reales
X
∞
1≤ m (A) ≤ 3 ⇔ 1 ≤ ∞ ≤ 3 contradicción
k=1

Con el axioma de Elección, hemos asegurado la existencia el conjunto de elec-
ción A, llamado conjunto de Vitali, no numerable, al cual no se le puede asignar un
valor en [0, ∞] compatible con las propiedades 1, 2 y 3 exigidas a m. El axioma de
Elección asegura la existencia de este conjunto pero no dice como se construye, si es
que es posible.
¿Cuántos conjuntos A de Vitali distintos valen en la demostración?
Suponiendo la axiomatización de la Teiria de Conjuntos ZFC+HGC, siendo
HGC la hipotesis del continuo generalizada, es decir
def
HC ≡ 2ℵ0 = ℵ1 = c

def
HGC ≡ 2ℵα = ℵα+1 , con α ∈ Ordinales

Tendremos tantos conjuntos A de Vitali distintos como conjuntos de elec-
[− 1 , 1 ] © £ ¤ª
ción distintos de v 2 = [x] : x ∈ − 1 , 1 , y conociendo la cardinalidad de los
2
2 2
siguientes conjuntos:
¯£ ¯
¯ −1, 1¤¯
¯ 2 2 ¯
¯ ¯=c
¯ v ¯

¯ ½ · ¸ ¾¯
¯ 1 1 ¯
¯[x] = y ∈ − , : y = x + r , r ∈ Q ¯ = ℵ0
¯ 2 2 ¯

tendremos la siguiente cantidad de posibles elecciones distintas y, por tanto,
conjuntos de Vitali distintos
0≤1
ℵ ℵ · · · ℵ0 = ℵℵ1 = 2ℵ1 = ℵ2 = 2c = |℘(R)|
| 0 0{z } 0
ℵ1 veces

4.2 DEBILITAMIENTO DEL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA
SUBCONJUNTOS DE LA RECTA REAL
Vamos ha debilitar las propiedades exigidas a m en busca de que el problema de la
medida para subconjuntos de la recta real tenga solución, y que está sea única.
Esto se puede hacer de dos formas:

DEBILITAMIENTO DEL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA REC-
TA REAL 29
1. Si nos contentamos con que la función de conjunto m sea una medida, no ya so-
bre ℘(R), sino sobre una clase de subconjuntos de R estrictamente contenida en
℘(R), que tendrá estructura de σ-algebra. Conservando el resto de propiedades,
es decir, invariante por isometrías, y con m ([0, 1]) = 1, o lo que es lo mismo,
m (I) = longitud(I) para todo intervalo I de R. Esto se logra mediante el
llamado proceso de Carathéodory, es decir, restringiendo una cierta medida ex-
terior sobre los elementos de una σ-algebra en la que la medida exterior será
σ-aditiva
2. Si devilitamos la propiedad 3 que exige la aditividad numerable a la función
de conjunto m, por una propiedad más dévil que exija la aditividad finita a la
función de conjunto m, es decir:
³ n ´ X n
m ∪ Ek = m (Ek )
k=1
k=1

para una familia finita {E1, E2,... , En } ⊂ ℘(R) disjuntos dos a dos.
4.2.1 LA IDEA DE LEBESGUE
Si suponemos el problema resuelto, es decir, que existe una función de conjunto m
que sea una medida sobre una clase de subconjuntos de R estrictamente contenida
en ℘(R), que tendrá estructura de σ-algebra y llamaremos M ⊂℘(R), invariante por
isometrías, y con m (I) = longitud(I) para todo intervalo I de R.
En estas condiciones se dice que (R,M, m) es un espacio de medida.
Como m es monótona por ser una medida , tenemos para todo E donde esta
definida m (E), es decir, ∀E ∈ M y cualquiera que sea el recubrimiento de E por
una sucesión infinita {In }n∈N de intervalos de R:
∞ X
∞ X
∞
E ⊂ ∪ In ⇒ m (E) ≤ m (In ) = long (In )
n=1
n=1 n=1

Y si tomamos ínfimo cuando se toman todas las sucesiones infinitas de inter-
valos cuya unión cubrá E tenemos:
(∞ )
X ∞
m (E) ≤ inf long (In ) : {In }n∈N recubrimiento de E ⊂ ∪ In
n=1
n=1

Pero el miembro de la derecha se puede definir para todo E de ℘(R), lo que
da lugar a la definición de la siguiente función de conjunto definida sobre ℘(R):
me : ℘(R) → [0, ∞]
(∞ )
X ∞
E → me (E) = inf long (In ) : {In }n∈N recubrimiento de E ⊂ ∪ In
n=1
n=1

que llamaremos medida exterior de Lebesgue y verifica las siguientes propiedades:


1. me (E) = ∅
2. ∀A, B ∈ ℘(R)

A ⊂ B =⇒ me (A) ≤ me (B)

3. (Invariante por traslaciones) Para todo E ∈ ℘(R)

me (E + a) = me (E) ∀a ∈ R

4. (σ-subaditividad)
³ ∞
´ X
∞
e
m ∪ En ≤ me (En ) ∀ {En }n∈N , con En ∈ ℘(R)
n=1
n=1

5.

me (I) = m (I) = long(I)

Pero me no verifica la propiedad de ser σ-aditiva.
Por tanto, si m (E) está definida tenemos:

m (E) ≤ me (E)

Ademas, si suponemos que E está acotado, es decir, E ⊂ [a, b], para cierto
intervalo [a, b] de R podemos definir la medida interior de E

mi (E) = m ([a, b]) − me ([a, b] ∩ E c )

independientemente de [a, b] y de si m (E) está definido.
Si, ademas, m (E) está definida tenemos:

mi (E) = m ([a, b]) − me ([a, b] ∩ E c ) ≤ m ([a, b]) − m ([a, b] ∩ E c ) = m (E)

luego para todo E donde esta definida m (E), es decir, ∀E ∈ M se verifica

mi (E) ≤ m (E) ≤ me (E)

Y si nos restringimos a los E de ℘(R) tales que

mi (E) = me (E)

a los que llameremos conjuntos medibles Lebesgue que colecciono en L ⊂ ℘(R),tendremos
¯
¯
la solución al problema dada por me restringida a L, pues, entonces m = me ¯ ver-
L
ificará las propiedades 1, 2 y 3; la 1 y 2 por ser m = me en L, y la 3 por ser
m = me = mi en L, siendo me σ-subaditividad y mi σ-superaditividad.

DEBILITAMIENTO DEL PROBLEMA DE LA MEDIDA PARA SUBCONJUNTOS DE LA REC-
TA REAL 31
Por tanto m (E) está deﬁnido para todo ∀E ∈ L, en donde mi (E) = me (E)
y para cualquier otra medida m0 veriﬁcando 1, 2, 3 tenemos

mi (E) = m0 (E) = me (E) ⇒ m0 (E) = m (E)

para todo E en L
y, por tanto, tenemos, al menos, existencia y unicidad de solución al prob-
lema de la medida para los conjuntos medibles Lebesgue, siendo

m : L→ [0, ∞]

(∞ )
X ∞
m (E) = me (E) = inf long (In ) : {In }n∈N recubrimiento de E ⊂ ∪ In
n=1
n=1

Se puede demostrar que la clase de los conjuntos medibles Lebesgue L ⊂ ℘(R)
es una σ-algebra.
En particular para los conjuntos J con contenido de Jordan, es decir, con

ci (J) = ce (J)

tenemos
ci (J)=ce (J)
ci (J) ≤ mi (J) ≤ me (J) ≤ ce (J) ⇒ mi (J) = me (J)

y por tanto los conjuntos con contenido de Jordan serán conjuntos medibles Lebesgue,
es decir, vivirán en L y tendran la misma medida m (J) = c (J)
Además, como el subconjunto de R

Q∩ [0, 1]

no tiene contenido, pues

0 = ci (Q∩ [0, 1]) < ce (Q∩ [0, 1]) = 1

pero es medibles Lebesgue, pues

0 ≤ mi (Q∩ [0, 1]) ≤ me (Q∩ [0, 1]) = 0 ⇒ mi (Q∩ [0, 1]) = me (Q∩ [0, 1]) = 0

y, por tanto:

m (Q∩ [0, 1]) = 0

Tenemos, en consecuencia, que el concepto de conjunto medible Lebesgue ex-
tiende al concepto de conjunto con contenido de Jordan.


4.2.2 EL PROCESO DE CARATHÉODORY
En su formulación más abstracta el proceso de Carathéodory permite obtener una
medida (σ-aditividad) a partir de una medida exterior (σ-subaditividad) restringiendo
la medida exterior a una clase de subconjuntos de R, que tendrá estructura de σ-
algebra.

Definición 32 Dado un conjunto X, una función me de conjunto:

me : ℘(R) → [0, ∞]

se dice que es una medida exterior si cumple las siguientes propiedades:

• me (∅) = 0

• (monotonía) ∀A, B ∈ ℘(X)A ⊂ B =⇒ me (A) ≤ me (B)

• (σ-subaditividad)
³ ∞
´ X
∞
e
m ∪ An ≤ me (An ) ∀ {An }n∈N , con An ∈ ℘(X).
n=1
n=1

Definición 33 A ∈ ℘(X) se dice me -medible o exteriormente medible si

∀T ∈ ℘(X) me (T ) = me (T ∩ A) ∩ me (T ∩ Ac )

Si colecionamos los conjuntos me -medible en

Mme = {A ∈ ℘(X) : A es me −medible}

verificandose:

• Mme es una σ-álgebra

• me restringida a Mme

me : Mme → [0, ∞]

es una medida (σ-aditividad) completa.

Capítulo 5
TEOREMAS DE CONVERGENCIA PARA LA INTEGRAL DE
LEBESGUE

5.1 TEOREMAS
5.1.1 TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA
Teorema 34 (TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA) Sea (X,A, µ)
un espacio de medida y sean

fn : X → [0, ∞]

con {fn }n∈N una sucesión creciente de funciones medibles Borel no negativas tales
que convergen al límite puntual en X

f (x) = lim fn (x)
n→∞

es decir,

fn % f µ-c.t.p.

Entonces
Z Z
lim fn dµ = lim fn dµ
n→∞ X X n→∞

Z Z
fn dµ % fdµ
X n→∞ X

¿Es cierto el Teorema de la convergencia monótona en su versión para
integrales en el sentido de Riemann?
Pues no, veamoslo con un contraejemplo:
Como Q∩ [0, 1] es un conjunto numerable, consideramos la sucesión (rn )∞
n=1
de los números racionales de [0, 1] y consideremos la sucesión de funciones

fn : [0, 1] → R

34 TEOREMAS DE CONVERGENCIA PARA LA INTEGRAL DE LEBESGUE
½
1 si x ∈ {r1 , r2 , · · · , rn }
x → fn (x) =
0 si x ∈ {r1 , r2 , · · · , rn }
/

fn es Riemann-integrable pues si consideramos el conjunto de puntos de dis-
continuidad de fn

D = {x ∈ R : f n discontinua} = {r1 , r2 , · · · , rn }

que por ser ﬁnito tiene medida cero, y por tanto, por el teorema de Lebesgue, fn es
integrable en el sentido de Riemann. Y
Z 1 Z 1
fn = fn = 0
0 0

para todo n ∈ N
{fn }n∈N es, por tanto, una sucesión creciente de funciones Riemann-integrables
no negativas tales que convergen al límite puntual en [0, 1]
½
1 si x ∈ Q∩ [0, 1]
f (x) = lim fn (x) = χQ∩[0,1] =
n→∞ 0 si x ∈ I∩ [0, 1]

con f no es Riemann-integrable pues si consideramos el conjunto de puntos de dis-
continuidad de f

D = {x ∈ R : f discontinua} = [0, 1]

que no tiene medida cero, y por tanto, por el teorema de Lebesgue, fn no es integrable
en el sentido de Riemann.
Además
Z 1
lim fn (x)dx = lim 0 = 0
n→∞ 0 n→∞

Z 1 Z 1
lim fn (x)dx = f(x)dxno existe
0 n→∞ 0

luego no se veriﬁca:
Z 1 Z 1
lim fn (x)dx = lim fn (x)dx
n→∞ 0 0 n→∞

pues ni siquiera existe el segundo miembro.

TEOREMAS 35

5.1.2 TEOREMA DE BEPPO-LEVÍ
Teorema 35 (TEOREMA DE BEPPO-LEVÍ) Sea (X,A, µ) un espacio de medida
y sean
fn : X → [0, ∞]
con {fn }n∈N una sucesión de funciones medibles Borel no negativas, es decir,
fn (x) ≥ 0∀x ∈ X
Entonces
Z ÃX !
∞ XZ
∞
fn dµ = fn dµ
X n=1 n=1 X

5.1.3 LEMA DE FATOU
Teorema 36 (LEMA DE FATOU) Sea (X,A, µ) un espacio de medida y sean
fn , f : X → R
con {fn }n∈N una sucesión de funciones medibles Borel, y f una función medible Borel
entonces
R
• Si fn ≥ f∀n siendo X fdµ > −∞, entonces
Z µ ¶ Z
lim fn dµ ≤ lim fn dµ
X n→∞ n→∞ X
R
• Si fn ≤ f∀n siendo X
fdµ < ∞, entonces
Z Z ³ ´
lim fn dµ ≤ lim fn dµ
n→∞ X X n→∞

5.1.4 TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA
Teorema 37 (TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA) Sea (X,A, µ)
un espacio de medida y sean
fn , f : X → R

g : X → [0, ∞]
con {fn }n∈N una sucesión de funciones medibles Borel, tales que fn → f
n→∞
µ-c.t.p.
con g una función medible Borel e integrable en el sentido de Lebesgue, o lo
que es igual g ∈L1 (µ), veriﬁcando |fn | ≤ g µ-c.t.p. ∀n
Entonces f es integrable en el sentido de Lebesgue y
Z Z Z
lim fn dµ = lim fn dµ = fdµ
n→∞ X X n→∞ X


¿Es cierto el Teorema de la convergencia dominada en su versión para
integrales en el sentido de Riemann?
Pues no, y lo veremos con un contraejemplo:
Como Q∩ [0, 1] es un conjunto numerable, consideramos la sucesión (rn )∞
n=1
de los números racionales de [0, 1] y consideremos la sucesión de funciones
fn : [0, 1] → R
½
1 si x ∈ {r1 , r2 , · · · , rn }
x → fn (x) =
0 si x ∈ {r1 , r2 , · · · , rn }
/
fn es Riemann-integrable. Y
Z 1
fn = 0
0

para todo n ∈ N
{fn }n∈N es, por tanto, una sucesión de funciones Riemann-integrables tales
que convergen al límite puntual en [0, 1]
½
1 si x ∈ Q∩ [0, 1]
f (x) = lim fn (x) = χQ∩[0,1] =
n→∞ 0 si x ∈ I∩ [0, 1]
con f no es Riemann-integrable.
Además
Z 1
lim fn (x)dx = lim 0 = 0
n→∞ 0 n→∞

Z 1 Z 1
lim fn (x)dx = f(x)dxno existe
0 n→∞ 0

luego no se veriﬁca:
Z 1 Z 1
n→∞ 0 0 n→∞

pues ni siquiera existe el segundo miembro.
Y sin embargo existe una función
g : [0, 1] → [0, ∞]

x → g (x) = 1
con g una función Riemann-integrable veriﬁcando
|fn (x)| ≤ 1 ∀x ∈ [0, 1]
es decir |fn | ≤ g . ∀n

EJERCICIOS 37

5.2 EJERCICIOS
Ejercicio 38 Sea a < −1
Calcula:
Z ³
n
x ń ax
lim 1+ e dx
n→∞ 0 n
Consideramos la sucesión de funciones fn : (0, ∞) → R tales que
³ x ń ax
x → fn (x) = 1 + e χ[0,n]
n
© ¡ ¢
x n
ª
fn (x) = 1 + n eax χ[0,n] es una sucesión de funciones medibles no negativas
en (0, ∞).
Veamos que {fn (x)} es una sucesión de funciones monótona creciente en
(0, ∞) con función límite puntual f : (0, ∞) → R
³ x ń ax
x → f(x) = lim fn (x) = lim 1 + e χ[0,n] = ex eax = e(a+1)x
n→∞ n→∞ n
©¡ ¢ ª
x n ∞
1+ n n=1
es una sucesión de números reales creciente
³ µ ¶n+1
x ń x
1+ ≤ 1+ % ex
n n+1 n→∞

multiplicando por la constante eax
³ µ ¶n+1
x ń ax x
1+ e ≤ 1+ eax % ex eax
n n+1 n→∞

Luego nos encontramos en las hipotesis del teorema de la convergencia
monótona:
{fn (x)} es una sucesión de funciones monótona creciente medibles no
negativas en (0, ∞) con función límite puntual f, es decir, fn % f en (0, ∞)
n→∞
Luego
Z ∞ Z ∞
n→∞ 0 0 n→∞

Z ³ Z ∞ Z ∞
n
x ń ax
lim 1+ e dx = lim fn (x)dx = lim fn (x)dx =
n→∞ 0 n n→∞ 0 0 n→∞

Z ∞
a<−1 1
= e(a+1)x dx = −
0 1+a

¾
f ≥0
Pues si f es integrable Lebesgue y las
f es integrable Riemann impropia
integrales coinciden
1.

f(x) = e(a+1)x ≥ 0 en (0, ∞)

2.
Z ∞ Z k · ¸x=k
(a+1)x (a+1)x e(a+1)x
e dx = lim e dx = lim =
0 k→∞ 0 k→∞ a+1 x=0

µ ¶
e(a+1)k 1 a<−1 1
= lim − = − <∞
k→∞ a+1 1+a 1+a

y por tanto f es integrable Riemann impropia en (0, ∞)

Ejercicio 39 Calcula:
Z ³
n
x ń −x
lim 1− e dx
n→∞ 0 n

³ x ń −x
x → fn (x) = 1 − e χ[0,n]
n
© ¡ ¢
x n
ª
fn (x) = 1 − n e−x χ[0,n] es una sucesión de funciones medibles en (0, ∞).
Definimos la función límite puntual f : (0, ∞) → R por :
³ x ń −x
x → f(x) = lim fn (x) = lim 1 − e χ[0,n] = e−x e−x = e−2x
n→∞ n→∞ n
Como
¯³ x ń −x ¯
¯ ¯
|fn (x)| = ¯ 1 − e χ[0,n] ¯ ≤ e−x χ[0,n] ≤ e−x
n
Tomando la función g : (0, ∞) → R

x → g(x) = e−x

que verifica
Z ∞ Z k µ ¶
−x e−k
g(x)dx = lim e dx = lim +1 =1<∞
0 k→∞ 0 k→∞ −1

EJERCICIOS 39
¾
g≥0
tenemos g es integrable Lebesgue y las in-
g es integrable Riemann impropia
tegrales coinciden
Z Z ∞
gdλ = g(x)dx = 1 < ∞
(0,∞) 0

y por tanto, estamos en las hipotesis del teorema de la convergencia dom-
inada, pues |fn | ≤ g con g medible e integrable Lebesgue en (0, ∞).
Luego podemos intercambiar el límite y la integral resultando:
Z n³ Z ∞ Z ∞
x ´n −x
lim 1− e dx = lim fn (x)dx = lim fn (x)dx =
n→∞ 0 n n→∞ 0 0 n→∞

Z ∞ Z ∞ Z
−2x T.C.M. −2x (∗)
e dx = lim e χ[0,k] dx = lim e−2x dx =
0 k→∞ 0 k→∞
[0,k]

por ser los integrandos de las integrales de la sucesión acotados y Riemann-integrables
en un intervalo cerrado y acotado [0, k], entonces serán integrables-Lebesgue y las
integrales coincidirán, es decir,
Z Z k
−2x −2x 1 − e−2k
e dx = e dx =
[0,k] 0 2

por tanto:
µ ¶
(∗) 1 − e−2k 1
= lim =
k→∞ 2 2

Z ∞
1
lim ¡ ¢ 1 dx
x n n
n→∞ 0 1+ n x

Denotamos la sucesión de integrandos por fn : (0, ∞) → R tales que

1
x → fn (x) = ¡ ¢
x n 1
1 + n xn

Deﬁnimos la función límite puntual f : (0, ∞) → R por:

1
x → f(x) = lim fn (x) = lim ¡ ¢ 1
n→∞ n→∞ 1 + x n x n
n


Luego fn (x) → f(x) ∀x ∈ (0, ∞), es decir, f es el limite puntual de fn
n→∞

1 1
f(x) = lim fn (x) = lim ¡ ¢ 1 =
x n n
¡ ¢
x n 1 =
n→∞ n→∞ 1 + x lim 1 + n lim x n
n n→∞ n→∞

Por ser
Ãµ ¶ n !x
³ x ń 1 x
lim 1 + = lim 1+ n = ex
n→∞ n n→∞
x

Y
1
lim x n = x0 = 1
n→∞

tendremos, al final, que:
1
= e−x
f(x) =
ex
Supongamos que se dan las condiciones para que el cálculo del límite de una suce-
sión de integrales sea lo mismo que el cálculo de la integral del límite puntual de los
integrandos,es decir, que podemos intercambiar límite e integral:
Z ∞ Z ∞
n→∞ 0 0 n→∞

Entonces tendríamos:
Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞
lim fn (x)dx = lim fn (x)dx = f(x)dx = e−x dx = 1
n→∞ 0 0 n→∞ 0 0

Pues
Z Z
∞
−x
M £ ¤M
e dx = lim e−x dx = lim −e−x 0 = lim (1 − e−M ) = 1
0 M→∞ 0 n→∞ n→∞
R∞
lo que significaría que f(x) = e−x es integrable Riemann impropia en (0, ∞) y 0 e−x dx =
1. Y como f(x) = e−x ≥ 0, x ∈ (0, ∞) entonces f es integrable Lebesgue en (0, ∞)
respecto la medida de longitud extendida a los borelianos de la recta real. Y el valor de
su integral de Lebesgue en (0, ∞) es igual al valor de su integral de Riemann impropia
en (0, ∞),que es 1.
Veamos, pues, que se pueden intercambiar el límite y la integral utilizando el
teorema de la convergencia dominada:
½ ¾
1
fn (x) = x n 1
es una sucesión de funciones medibles e integrables en
(1+ n ) x n
(0, ∞), pues las fn son continuas y positivas en (0, ∞).
Luego para estar en las hipotesis del teorema de la convergencia dominada
solamente necesitamos encontar una función g : (0, ∞) → R medible e integrable tal
que |fn | ≤ g para todo n ≥ 2 en (0, ∞).

EJERCICIOS 41

|fn | = fn pues fn ≥ 0 en (0, ∞)
1 def
fn (x) = ¡ ¢ 1χ
x n n (0,∞)
(x) = fn (x)χ(0,1 ] (x) + fn (x)χ(1,∞) (x) ≤ g1 χ(0,1 ] + g2 χ(1,∞) = g ∀n ≥ 2
1+ n x

Tomamos:
• g1 : (0, 1] → R definida por:
1
x → g1 (x) = 1
x2
pues
1 x>0 1 0<x≤1 y n≥2 1
¡ x
¢n 1 ≤ 1 ≤ 1 ∀x ∈ (0, 1] y ∀n ≥ 2
1 + n xn xn x2

• g2 : (1, ∞) → R definida por:
1
x → g2 (x) = ¡ ¢2
1+ x2
pues
1 x>1 1 x≥0 y n≥2 1
¡ x
¢n 1 ≤ ¡ ¢
x n
≤ ¡ ¢2 ∀x ∈ (1, ∞) y ∀n ≥ 2
1 + n xn 1+ n 1+ x2

Definimos la siguiente función:
def
g(x) = g1 χ(0,1 ] (x) + g2 χ(1,∞) (x) es medible pues g1 y g2 son continuas en
(0, ∞)
Solamente nos queda ver que g es integrable Lebesgue en (0, ∞). Es-
to lo comprobaremos viendo que tanto g1 χ(0,1 ] (x) como g2 χ(1,∞) (x) son integrable
Lebesgue en (0, ∞). Pues, entonces, la suma, es decir, g, es integrable Lebesgue
en (0, ∞)
Como tanto g1 como g2 son no negativas en sus respectivos dominios de
definicón, si demostramos que son integrables Riemann impropias en sus respectivos
dominios de definicón, entonces serán integrable Lebesgue. Y estaremos en las
hipótesis del teorema de la convergencia dominada
R1
• Veamos que 0 g1 dx < ∞
Z 1 Z 1 Z 1 h 1 i1
1 1 1
g1 dx = 1 dx = lim x− 2 dx = lim 2x 2 = lim(2 − 2δ 2 ) = 2
0 0 x2 δ→0 δ δ→0 δ δ→0

Por tanto
¾
g1 es integrable Riemann impropia
g1 es integrable Lebesgue
g1 ≥ 0


R∞
• Veamos que 1
g2 dx < ∞
Z ∞ Z ∞
1
g2 dx = ¡ ¢2 dx <
1 1 1+ x2

¡ ¢2 x>1 x2
Como 1 + x = 1 + x + 1 x2 >
2 4 4
con x ∈ (1, ∞)
Z ∞ Z M
1 4 1
< x2
dx = lim dx = 4 lim (1 − ) = 4 < ∞
1 4
M→∞ 1 x2 M→∞ M

• Por tanto
¾
g2 es integrable Riemann impropia
g2 es integrable Lebesgue
g2 ≥ 0

Z ³
n
x ń x
lim 1− e dx
n→∞ 0 2n

³ x ń x
x → fn (x) = 1 − e χ[0,n] ≥ 0
2n

Con función límite puntual f : (0, ∞) → R
³ x ń x x 1
x → f(x) = lim fn (x) = lim 1 − e χ[0,n] = e− 2 ex = e 2 x
n→∞ n→∞ 2n
1
Sinedo f(x) = e 2 x

140

120

100

80

60

40

20

0 2 4 6 8 10
x

EJERCICIOS 43

Por tanto,
f = lim fn = lim fn = lim fn
n→∞ n→∞ n→∞

Tenemos
³ Z Z ∞
x ń x
n
lim 1− e dx = lim fn (x)dx ≥
n→∞ 0 2n n→∞ 0
R∞
Aplicando el lema de Fatou, pues fn ≥ 0 siendo 0 0dx = 0 > −∞

Z ∞ Z ∞ Z ∞
1
≥ lim fn (x)dx = f(x)dx = e 2 x dx = ∞
0 n→∞ 0 0

luego
Z ³ Z n³
n
x ń x x ń x
lim 1− e dx = ∞ ⇒ lim 1− e dx = ∞
n→∞ 0 2n n→∞ 0 2n
Ejercicio 42 Si 1 < p < 2
Z 1
nx sin x
lim dx = 0
n→∞ 0 1 + (nx)p
Como 0 < x < 1
¯ ¯
¯ nx sin x ¯ nx nx 1 p−1>0 1
¯ ¯
¯ 1 + (nx)p ¯ ≤ 1 + (nx)p ≤ (nx)p = np−1 xp−1 ≤
xp−1
Si definimos
g : [0, 1] → [0, ∞]

1
x → g (x) =
xp−1
Como g es continua, y por lo tanto, g es una función medible Borel y además
como g es una función Riemann- integrable en [0, 1] pues
Z 1 Z 1
1
g(x)dx = p−1
dx < ∞ para 0 < p − 1 < 1
0 0 x

lo que implica que g es integrable en el sentido de Lebesgue en [0, 1], o lo que es igual
g ∈L1 (µ). Verificandose también |fn | ≤ g µ-c.t.p. ∀n lo que nos pone en las hipotesis
del Teorema de la convergencia dominada.
Que permite intercambiar el límite y la integral
Z 1 Z 1 Z 1
nx sin x nx sin x
lim p dx = lim p dx = 0dx = 0
n→∞ 0 1 + (nx) 0 n→∞ 1 + (nx) 0


Ejercicio 43 Calcula
Z 1
log (n + x) −x
lim e cos xdx
n→∞ 0 n
Como 0 < x < 1
¯ ¯
¯ log (n + x) −x ¯ log (n + x) −x (∗)
¯ e cos x¯ = e |cos x| ≤
¯ n ¯ n

log (n + x) log (n + 1) log (n + 1) n + 1 1
(∗) ≤ ≤ ≤ 1 + ≤ 2 ∀n
n n | n {z 1 }| {z }
+ n n
≤1 1
≤1+ n

0<x<1
≤ 2e−x |cos x| ≤ 2 ∀n

Si deﬁnimos

g : [0, 1] → [0, ∞]

x → g (x) = 2

Como g es continua, y por lo tanto, g es una función medible Borel y además
como g es una función Riemann- integrable en [0, 1] pues
Z 1 Z 1
g(x)dx = 2dx = 2 < ∞
0 0

lo que implica que g es integrable en el sentido de Lebesgue en [0, 1], o lo que es
igual g ∈L1 (µ). Veriﬁcandose también |fn | ≤ g µ-c.t.p. ∀n, lo que nos pone en las
hipotesis del Teorema de la convergencia dominada.
Que permite intercambiar el límite y la integral
Z 1 Z 1 Z 1
log (n + x) −x log (n + x) −x
lim e cos xdx = lim e cos xdx = 0dx = 0
n→∞ 0 n 0 n→∞ n 0

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