![Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives
Equations d’interface
Condition cinématique
∂ξ
˜ ˜
UR U(x ) = D ˜
(X , t) Γfs = Ωf ∩ Ωs
∂t
Condition dynamique
2 ˜
˜ ˜
CY [−p(x )1 + ˜ ˜ ˜ ˜
d(x )].n(x ) = σ(x ).n(x ) Γfs = Ωf ∩ Ωs
RE
avec CY = MUR 2
Couplage interfacial
˜
x = x = X + Dξ](https://image.slidesharecdn.com/11jus20101123saturneastersalome-110512125921-phpapp02/85/11-jus-20101123_saturneastersalome-4-320.jpg)
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Problème modèle
Equations linéarisées
ivi =0
∂v i
+ j (V i v j + Vjvi) + ip =0
∂t
Après développement
ivi =0
∂v i
+ i [v j ( j Ψ)] +( j Ψ)[ jvi − vj] + ip =0
∂t](https://image.slidesharecdn.com/11jus20101123saturneastersalome-110512125921-phpapp02/85/11-jus-20101123_saturneastersalome-6-320.jpg)
![Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives
Condition à la paroi vibrante
Ordre 0
V .n = 0 sur Σ
Ordre 1
[(V + v ).n ]|Σ =
V (M).n + V (M).(n − n) + [V (M ) − V (M)].n + (v .n)|Σ
D’où
˙
v .n|Σ = x s .n + V (M). Σ (x s .n) + (divΣ V )(x s .n)
∂π
˙
˙
= −x s .n − (divΣ V )x s .n − V . Σ (x s .n)
∂n |Σ](https://image.slidesharecdn.com/11jus20101123saturneastersalome-110512125921-phpapp02/85/11-jus-20101123_saturneastersalome-9-320.jpg)
![Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives
Effet du fluide en écoulement sur les mouvements de la structure
Soit une base de modes propres (sans fluide) Xi (r )
x s = Σai (t)X i (r )
Expression de la pression fluctuante
xfi = − iπ p = π + V. π
¨ ˙
∂π
˙
= x s˙.n − (div V )x s .n − V . (x s .n)
∂n
implique p(r , t) = Σ[aj Φ1 (r ) + aj Φ2 (r ) + aj φ3 (r )]
¨ j ˙ j j
Matrice de couplage
¨ ˙ 2
F = −[mij ]A + [mij ]V A + ([mij ]Vo + [mij ]P)A](https://image.slidesharecdn.com/11jus20101123saturneastersalome-110512125921-phpapp02/85/11-jus-20101123_saturneastersalome-10-320.jpg)
![Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives
Résolution du système couplé
Problème modèle
¨ ˙ 2
F = −[mij ]A + [mij ]V A + ([mij ]V + [mij ]P)A
˙
Termes de composition de vitesse V A engendrant un
amortissement (positif ou négatif)
2
Termes quasi-statiques V A et PA
Classe 1 : développement en petites perturbations
Relation linéaire entre cinématique et distribution de
contrainte à l’interface
Cas linéaire : résolution d’un problème aux valeurs propres
Combinaison avec une méthode de superposition
Cas non linéaire : introduction de corrélations empiriques](https://image.slidesharecdn.com/11jus20101123saturneastersalome-110512125921-phpapp02/85/11-jus-20101123_saturneastersalome-11-320.jpg)
![Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives
Transfert de champs
Méthode de projection
Poids résiduels, interpolations
Interfaces non conformes
ns nf
u [f ,j] = Πij u [s,i] Ξs,i = Ξf ,j Πij
i=1 j=1](https://image.slidesharecdn.com/11jus20101123saturneastersalome-110512125921-phpapp02/85/11-jus-20101123_saturneastersalome-22-320.jpg)
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- 2. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Objectifs 1 Position du problème et modélisation 2 Méthodes numériques 3 Quelques exemples 4 Conclusions et perspectives
- 3. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Equations de conservation Fluide homogène newtonien en écoulement incompressible, de viscosité constante et uniforme ˜ divU = 0 Ωf ˜ 1 dU 1 1 ˜ ˜ = − 2 eZ − grad p + ∆U Ωf UR dt FR RE Solide en petites transformations, de matériau élastique linéaire isotrope ∂2ξ UR 2 D =− e + divσ Ωs ∂t 2 FR Z 2 1 t D ( ξ+ ξ) = (1 + ν)σ − νTr(σ)1 Ωs 2
- 4. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Equations d’interface Condition cinématique ∂ξ ˜ ˜ UR U(x ) = D ˜ (X , t) Γfs = Ωf ∩ Ωs ∂t Condition dynamique 2 ˜ ˜ ˜ CY [−p(x )1 + ˜ ˜ ˜ ˜ d(x )].n(x ) = σ(x ).n(x ) Γfs = Ωf ∩ Ωs RE avec CY = MUR 2 Couplage interfacial ˜ x = x = X + Dξ
- 5. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Problème modèle Petites vibrations d’une paroi solide rigide indéformable au voisinage d’un fluide parfait en écoulement à potentiel dU divU = 0 = −gradp dt ˜ avec U = UR U Développement à l’ordre 1 en λ U = V + λv p = P + λp avec λ = D << 1 et V = Ψ
- 6. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Problème modèle Equations linéarisées ivi =0 ∂v i + j (V i v j + Vjvi) + ip =0 ∂t Après développement ivi =0 ∂v i + i [v j ( j Ψ)] +( j Ψ)[ jvi − vj] + ip =0 ∂t
- 7. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Problème modèle La solution est de la forme ˙ v i = xi avec v i = − iπ ˙ π fonction potentielle à moyenne nulle solution de : ∆π = 0 −¨ − ( π j Ψ)( j π) ˙ +p =0 Expression de la pression fluctuante p = π + V. π ¨ ˙
- 8. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Evolution spatio temporelle de l’interface Condition à la paroi vibrante ˙ (V + v ).n = x s .n sur Σ
- 9. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Condition à la paroi vibrante Ordre 0 V .n = 0 sur Σ Ordre 1 [(V + v ).n ]|Σ = V (M).n + V (M).(n − n) + [V (M ) − V (M)].n + (v .n)|Σ D’où ˙ v .n|Σ = x s .n + V (M). Σ (x s .n) + (divΣ V )(x s .n) ∂π ˙ ˙ = −x s .n − (divΣ V )x s .n − V . Σ (x s .n) ∂n |Σ
- 10. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Effet du fluide en écoulement sur les mouvements de la structure Soit une base de modes propres (sans fluide) Xi (r ) x s = Σai (t)X i (r ) Expression de la pression fluctuante xfi = − iπ p = π + V. π ¨ ˙ ∂π ˙ = x s˙.n − (div V )x s .n − V . (x s .n) ∂n implique p(r , t) = Σ[aj Φ1 (r ) + aj Φ2 (r ) + aj φ3 (r )] ¨ j ˙ j j Matrice de couplage ¨ ˙ 2 F = −[mij ]A + [mij ]V A + ([mij ]Vo + [mij ]P)A
- 11. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Résolution du système couplé Problème modèle ¨ ˙ 2 F = −[mij ]A + [mij ]V A + ([mij ]V + [mij ]P)A ˙ Termes de composition de vitesse V A engendrant un amortissement (positif ou négatif) 2 Termes quasi-statiques V A et PA Classe 1 : développement en petites perturbations Relation linéaire entre cinématique et distribution de contrainte à l’interface Cas linéaire : résolution d’un problème aux valeurs propres Combinaison avec une méthode de superposition Cas non linéaire : introduction de corrélations empiriques
- 12. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Résolution du système couplé Classe 2 : méthode itérative Non linéarité de l’interface Conditions aux limites non connues explicitement, non résolues implicitement à l’interface Résolution par une méthode itérative (point fixe) Conditions aux limites imposées explicitement Recherche d’une solution satisfaisant les conditions de compatibilité à l’interface
- 13. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Opérateur de Dirichlet Neumann Méthode itérative Formulation non linéaire Relaxation, stabilité conditionnelle Fonction du module de couplage Avancée en temps (convergence, point fixe) Transferts de champs entre modèles fluide et solide (cinématique et contraintes à l’interface) F f = F(u ifs ) u u ifs = U(F f ) F u ifs = U ◦ F(u ifs ) u
- 14. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Avancée en temps Méthode de point fixe Prédiction du déplacement de l’interface n+1,k u fsi = u fsi u n+1,k −1 , u n+1,k −1 s ˙s Résolution du système fluide pn+1,k = p pn , v n , u n+1,k f fsi n+1,k vf = v pn , v n , u n+1,k f fsi Calcul des contraintes exercées par le fluide sur la paroi solide F n+1,k = F pn+1,k , v n+1,k ) f f
- 15. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Avancée en temps Méthode de point fixe Résolution du système solide u n+1,k = u u n , u n , u n , F n+1,k s s ˙ s ¨s f Convergence sur le déplacement u n+1,k − u n+1,k −1 s s ≤ε u n+1,0 s Passage à l’itération suivante ou sous itération
- 16. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Algorithme de résolution
- 17. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemples of prédicteurs Prédicteurs explicites (déplacement) u P,n+1 = u n s s u P,n+1 = u n + ∆t u n s s ˙s 3∆t n ∆t n−1 u P,n+1 = u n + s s ˙ u − ˙ u 2 s 2 s P,n+1 ∆t 2 n us = u n + ∆t u n + s ˙s ¨ u 2 s P,n+ 1 ∆t n us 2 = un + s u˙ 2 s 1 P,n+ 2 ∆t n ∆t 2 n us = un + s ˙ u + u¨ 2 s 8 s P,n+ 1 5∆t n ∆t n−1 us 2 = un + s ˙ u − ˙ u 8 s 8 s
- 18. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemples of prédicteurs Prédicteurs explicites (contrainte) f P,n+1 = f n f f f P,n+1 = f n+1 f f P,n+1 1 n 1 n+1 ff = f + ff 2 f 2 P,n+1 ff = 2f f − f P,n f n f P,n+1 ff = 2f n+1 − f P,n ff f
- 19. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemples of prédicteurs Prédiction correction (déplacement initial) 3∆t n ∆t n−1 u P,n+1 = u n + s s ˙ u − u˙ 2 s 2 s Prédiction correction (boucle itérative) P,n+1,k us = u n+1,k −1 s
- 20. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Propriétés de convergence Conservation du bilan d’énergie Méthode de prédiction correction (explicite)
- 21. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Propriétés de convergence Méthode itérative Stabilité conditionnelle
- 22. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Transfert de champs Méthode de projection Poids résiduels, interpolations Interfaces non conformes ns nf u [f ,j] = Πij u [s,i] Ξs,i = Ξf ,j Πij i=1 j=1
- 23. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Transfert de champs Condensation Compatibilité des modélisations de l’interface (formulation, discrétisation, maillage, dimension) Condensation 2D ou 3D vers 1D (éléments poutres) Calcul de moyennes spatiales des champs pariétaux
- 24. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Module de couplage
- 25. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemples Décomposition en problèmes élémentaires Effets du fluide (sans écoulement permanent) Accrochage fréquentiel Effets induits par la turbulence (effets de Reynolds) Bifurcation instationnaire (couplage non conservatif)
- 26. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 1 Petits mouvements vibratoires d’un cylindre dans un réseau de cylindres fixes soumis à un écoulement transversal en régime laminaire Modélisation
- 27. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 1 Petits mouvements vibratoires d’un cylindre dans un réseau de cylindres fixes soumis à un écoulement transversal en régime laminaire Vitesse réduite critique d’instabilité dynamique
- 28. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 1 Petits mouvements vibratoires d’un cylindre dans un réseau de cylindres fixes soumis à un écoulement transversal en régime laminaire Evolution de la fréquence et de l’amortissement en fonction de la vitesse réduite
- 29. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 1 Petits mouvements vibratoires d’un cylindre dans un réseau de cylindres fixes soumis à un écoulement transversal en régime laminaire Comparaison au modèle théorique de Connors 1/2 URC m2πξ = KConnors fn D ρf D 2
- 30. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 1 Petits mouvements vibratoires d’un cylindre dans un réseau de cylindres fixes soumis à un écoulement transversal en régime laminaire Post instabilité
- 31. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 2 Petits mouvements vibratoires d’un réseau de cylindres soumis à un écoulement transversal en régime laminaire Modélisation
- 32. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 2 Petits mouvements vibratoires d’un réseau de cylindres soumis à un écoulement transversal en régime laminaire Critère de stabilité (phase) Fo sinΦ CFS = − ωxo
- 33. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 3 Petits mouvements vibratoires d’un conduit flexible parcouru par un écoulement axial interne en régime laminaire Modélisation
- 34. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 3 Petits mouvements vibratoires d’un conduit flexible parcouru par un écoulement axial interne en régime laminaire Couplage non conservatif
- 35. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 3 Petits mouvements vibratoires d’un conduit flexible parcouru par un écoulement axial interne en régime laminaire Couplage non conservatif
- 36. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 4 Vibrations induites par le sillage d’un cylindre rigide soumis à un écoulement transverse turbulent Modélisation LES (Re = 3900)
- 37. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 4 Vibrations induites par le sillage d’un cylindre rigide soumis à un écoulement transverse turbulent Accrochage
- 38. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 4 Vibrations induites par le sillage d’un cylindre rigide soumis à un écoulement transverse turbulent Accrochage
- 39. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 4 Vibrations induites par le sillage d’un cylindre rigide soumis à un écoulement transverse turbulent Portrait de phase
- 40. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Exemple 5 Petits mouvements vibratoires d’un réseau de cylindres soumis à un écoulement transverse turbulent Modélisation
- 41. Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives Conclusions et perspectives Synthèse Module de couplage Démonstrateur prototype Adhérence aux versions de développement de Code_Saturne, Code_Aster et Salomé Performance, CPU, parallélisme Verrous à lever Passage à l’échelle réelle Réduction de modèle Homogénéisation Couplage de modèles (micro macro, hybride RANS LES)