S4 cours chap2 - produit scalaire-orthogonalité

Université Mohammed V – Agdal ‫– اآ ال‬ ‫ا‬
Faculté des Sciences Juridiques, ‫د‬ ‫وا‬ ‫ما‬ ‫ا‬ ‫آ‬
Economiques et sociales ‫وا‬
RABAT ‫ط‬ ‫اا‬
http://www.fsjesr.ac.ma

Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S4
Module : M 16 (Méthodes Quantitatives IV)
Matière : Algèbre II

CHAPIITRE 2 : PRODUIT SCALAIRE-ORTHOGONALITE
CHAP TRE 2 :

I- Produit scalaire dans Թ࢔ et Espace euclidien Թ࢔ ........................................................... 2
I-1 Définitions ...................................................................................................................................................... 2
I-2 Matrice d'un produit scalaire .......................................................................................................................... 3
I-3 Produit scalaire et norme euclidienne ............................................................................................................. 4
I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs ...................................................................................................... 5
II- Orthogonalité .................................................................................................................. 5
II-1 Vecteurs orthogonaux ................................................................................................................................... 5
II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt ............................................................................................ 6
II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux ............................................................................................................ 7
III- Projection - Projection orthogonale ............................................................................. 8
III-1 Définitions ................................................................................................................................................... 8
III-2 Détermination pratique de la projection orthogonale .................................................................................. 9
III-1 Caractérisation et propriétés ...................................................................................................................... 10

IV-1 Droites dans Թଶ ......................................................................................................................................... 12
IV- Application aux droites et aux plans ........................................................................... 12

Equation d’une droite dans le plan ....................................................................................................... 12

IV-2 Plans et droites dans Թଷ ............................................................................................................................. 14
Projection orthogonale sur une droite du plan..................................................................................... 13

Equation d’un plan, équation d’une droite dans l’espace .................................................................... 14
Projection orthogonale sur un plan ...................................................................................................... 16
Projection orthogonale sur une droite .................................................................................................. 17
V- Application aux matrices : images et noyaux orthogonaux ........................................ 17
VI- Retour aux systèmes linéaires (solution au sens des MCO) ...................................... 18

Professeure Salma DASSER printemps-
Session printemps-été
1

I- Produiit scallaiire dans Թ࢔ et Espace euclliidiien Թ࢔
[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II]

I- Produ t sca a re dans Թ࢔ et Espace euc d en Թ࢔
Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité

I-1 Définitions

On appelle produit scalaire dans Թ௡ toute application ߮ de Թ௡ ൈ Թ௡ dans Թ qui possède les
Définition : (Produit scalaire)

On notera ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ , ou simplement ‫ ,ۄݕ ,ݔۃ‬le nombre réel ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ.
propriétés ci-dessus.

- Linéarité par rapport à la première variable : ሺ‫ ݔ ,ݔ׊‬ᇱ , ‫ א ݕ‬Թ௡ ݁‫ א ߚ ,ߙ׊ ݐ‬Թሻ
(1) La bilinéarité.

߮ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ݕ‬ሻ ൌ ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൅ ߮ሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ݕ‬ሻ
൜ ฻ ߮ሺߙ. ‫ ݔ‬൅ ߚ. ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ݕ‬ሻ ൌ ߙ. ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൅ ߚ. ߮ሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ݕ‬ሻ
߮ሺߙ. ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ߙ. ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ

‫ ݔۃ‬൅ ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ۄݕ‬ఝ ൌ ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ൅ ‫ ݔۃ‬ᇱ , ‫ۄݕ‬ఝ
ou encore :

ቊ ฻ ‫ ݔ .ߙۃ‬൅ ߚ. ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ۄݕ‬ఝ ൌ ߙ. ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ൅ ߚ. ‫ ݔۃ‬ᇱ , ‫ۄݕ‬ఝ
‫ۄݕ ,ݔ .ߙۃ‬ఝ ൌ ߙ. ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ

- Linéarité par rapport à la deuxième variable : ሺ‫ ݕ ,ݕ ,ݔ׊‬ᇱ ‫ א‬Թ௡ ݁‫ א ߚ ,ߙ׊ ݐ‬Թሻ
߮ሺ‫ ݕ ,ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ᇱ ሻ ൌ ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൅ ߮ሺ‫ ݕ ,ݔ‬ᇱ ሻ
൜ ฻ ߮ሺ‫ ݕ .ߙ ,ݔ‬൅ ߚ. ‫ ݕ‬ᇱ ሻ ൌ ߙ. ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൅ ߚ. ߮ሺ‫ ݕ ,ݔ‬ᇱ ሻ
߮ሺ‫ݕ .ߙ ,ݔ‬ሻ ൌ ߙ. ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ

‫ ݕ ,ݔۃ‬൅ ‫ ݕ‬ᇱ ‫ۄ‬ఝ ൌ ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ൅ ‫ ݕ ,ݔۃ‬ᇱ ‫ۄ‬ఝ
ou encore :

ቊ ฻ ‫ ݕ .ߙ ,ݔۃ‬൅ ߚ. ‫ ݕ‬ᇱ ‫ۄ‬ఝ ൌ ߙ. ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ൅ ߚ. ‫ ݕ ,ݔۃ‬ᇱ ‫ۄ‬ఝ
‫ۄݕ .ߙ ,ݔۃ‬ఝ ൌ ߙ. ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ

‫ א ݕ ,ݔ׊‬Թ௡ ‫׷‬
߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ou encore ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ൌ ‫ۄݔ ,ݕۃ‬ఝ
(2) La bilinéarité.

‫ א ݔ׊‬Թ௡ ‫׷‬ ߮ሺ‫ݔ ,ݔ‬ሻ ൒ 0 ou encore ‫ۄݔ ,ݔۃ‬ఝ ൒ 0
(3) La positivité.

‫ א ݔ׊‬Թ௡ ‫׷‬ ߮ሺ‫ݔ ,ݔ‬ሻ ൌ 0 ฻ ‫ 0 ؠ ݔ‬ou encore ‫ۄݔ ,ݔۃ‬ఝ ൌ 0 ฻ ‫0 ؠ ݔ‬
(4) La non dégénérescence.

Lorsqu'il est muni d'un produit scalaire ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ , Թ௡ est appelé un espace vectoriel euclidien.
Définition : (Espace vectoriel euclidien)

On le note par ൫Թ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ ൯

(1) ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ∑௡ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ est un produit scalaire sur Թ௡ : produit scalaire canonique ou usuel de Թ௡ .
Exemples :
௜ୀଵ
(2) ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ∑௡ ܽ௜ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ , ሺܽ௜ ൐ 0, ‫ ݅׊‬ൌ 1, … ݊ሻ est un produit scalaire sur Թ௡ .
௜ୀଵ
(3) ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬est un produit scalaire sur Թଶ .
(4) ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଷ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 2ݕ‬est un produit
scalaire sur Թଷ .

2

[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité

I-2 Matrice d'un produit scalaire

La matrice d’un produit scalaire ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ défini sur Թ௡ , muni de sa base canonique ሼ݁ଵ , … , ݁௡ ሽ
Définition : (Matrice d’un produit scalaire)

c’est la matrice ‫ ܯ‬définie par ݉௜௝ ൌ ߮൫݁௜ , ݁௝ ൯, ሺ݅ ൌ 1, ݊ሻ .

Exemples :

(2) La matrice du produit scalaire défini ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ ∑௡ ܽ௜ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ , ܽ௜ ൐ 0 c’est la matrice diagonale ሺܽ௜௜ ሻଵஸ௜ஸ௡ .
(1) La matrice du produit scalaire canonique c’est la matrice identité.
௜ୀଵ
2 1
(3) La matrice du produit scalaire défini ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬c’est la matrice ቂ ቃ.
1 1
(4) La matrice du produit scalaire défini ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଷ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 1ݕ‬൅
2 1 1
‫ݔ‬ଶ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 2ݕ‬c’est la matrice ൥1 2 1൩.
1 1 2

Définition : (Matrice symétrique définie positive)
Une matrice symétrique est dite définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement
positives.

Exemples :
(1) La matrice identité est une matrice symétrique définie positive.
(2) Une matrice diagonale est une matrice symétrique définie positive si tous ses éléments diagonaux sont

1 2
(3) La matrice symétrique ቂ ቃ n’est pas définie positive.
strictement positifs.

2 1
2 1
(4) La matrice symétrique ቂ ቃ est définie positive.
1 1
1 1 െ1
(5) La matrice symétrique ൥ 1 1 1 ൩ n’est pas définie positive car ܲ஺ ሺߣሻ ൌ െሺߣ ൅ 1ሻሺߣ െ 2ሻଶ
െ1 1 1
2 1 1
(6) La matrice symétrique ൥1 2 1൩ est définie positive car ܲ஺ ሺߣሻ ൌ െሺߣ െ 4ሻሺߣ െ 2ሻଶ
1 1 2

La matrice d’un produit scalaire sur Թ௡ est une matrice symétrique définie positive.
Proposition :

Exemples :

La matrice du produit scalaire ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ ∑௡ ܽ௜ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ , ܽ௜ ൐ 0 est symétrique définie positive.
(1) La matrice du produit scalaire canonique est symétrique définie positive (la matrice identité).
௜ୀଵ
La matrice du produit scalaire ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬est symétrique définie positive.
(2)

La matrice du produit scalaire ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଷ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 1ݕ‬൅
(3)

‫ݔ‬ଶ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 2ݕ‬est symétrique définie positive.
(4)

3


Une matrice carrée d’ordre ݊ définit un produit scalaire sur Թ௡ si et seulement si elle est
Proposition :

Soit ‫ ܯ‬une matrice symétrique définie positive d’ordre ݊.
symétrique définie positive.

L’application ߮ de Թ௡ ൈ Թ௡ dans Թ par ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ௧‫ ݕ .ܯ .ݔ‬est un produit scalaire sur Թ௡ .
On notera ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ெ , le nombre réel ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ.

1 2
(1) La matrice symétrique ቂ ቃ ne définit pas de produit scalaire sur Թଶ car elle n’est pas définie positive.
Exemples :

2 1
2 1
(2) La matrice symétrique ቂ ቃ définit un produit scalaire Թଶ (car elle est définie positive) par
1 1
2 1 ‫1ݕ‬
߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ଵ ‫ݔ‬ଶ ሻ ቂ ቃ ቀ ቁ ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫2ݕ‬
1 1 ‫2ݕ‬
1 1 െ1
(3) La matrice ൥ 1 1 1 ൩ ne définit pas de produit scalaire sur Թଷ car elle n’est pas définie positive.
െ1 1 1
2 1 1
(4) La matrice symétrique ൥1 2 1൩ définit un produit scalaire Թଷ (car elle est définie positive) par
1 1 2
2 1 1 ‫1ݕ‬
‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ ሺ‫ݔ‬ଵ ‫ݔ‬ଶ ‫ݔ‬ଶ ሻ ൥1 2 1൩ ൭‫ 2ݕ‬൱
1 1 2 ‫3ݕ‬
‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଷ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫2ݕ‬

I-3 Produit scalaire et norme euclidienne

Soit ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ un produit scalaire sur Թ௡ . On notera ԡ‫ݔ‬ԡఝ simplement par ԡ‫ݔ‬ԡ.
Définition :

L’application définie de Թ௡ vers Թ par : ԡ‫ݔ‬ԡ ൌ ඥ‫ۄݔ ,ݔۃ‬ఝ s’appelle norme euclidienne.
Le nombre ԡ‫ݔ‬ԡ s’appelle norme du vecteur ‫.ݔ‬
L’application définie de Թ௡ vers Թ par : ݀ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ s’appelle distance euclidienne.
La distance d’un point ‫ ݔ‬à un sous espace vectoriel ‫ ܨ‬est donnée par : ݀ሺ‫ܨ ,ݔ‬ሻ ൌ minԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ
௬‫א‬ி

Homogénéité : ԡߣ. ‫ݑ‬ԡ ൌ |ߣ|. ԡ‫ݑ‬ԡ
Propriétés : (norme euclidienne)

Norme d’une somme de deux vecteurs : ԡ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ԡଶ ൌ ԡ‫ݑ‬ԡଶ ൅ ԡ‫ݒ‬ԡଶ ൅ 2. ‫ۄݒ ,ݑۃ‬
(1)

Inégalité de Schwarz : |‫ |ۄݒ ,ݑۃ‬൑ ԡ‫ݑ‬ԡ. ԡ‫ݒ‬ԡ
(2)

Inégalité de Minkowski : ԡ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ԡ ൑ ԡ‫ݑ‬ԡ ൅ ԡ‫ݒ‬ԡ
(3)
(4)

(1) ݀ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ݀ሺ‫ݔ ,ݕ‬ሻ
Propriétés : (distance euclidienne)

(2) ݀ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ 0 ฻ ‫ ݔ‬ൌ ‫ݕ‬
(3) ݀ሺ‫ݖ ,ݔ‬ሻ ൑ ݀ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൅ ݀ሺ‫ݖ ,ݕ‬ሻ

4


Proposition :
Si ൫Թ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ ൯ est un espace euclidien, alors : ‫ א ݒ ,ݑ׊‬Թ௡ ; ‫ ۄݒ ,ݑۃ‬ൌ ସ ሺԡ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ԡଶ െ ԡ‫ ݑ‬െ ‫ݒ‬ԡଶ ሻ
ଵ

Pour désigner un espace euclidien, on note alors aussi ൫Թ௡ , ԡ. ԡఝ ൯ au lieu de ൫Թ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ ൯,
La connaissance de la norme détermine complètement le produit scalaire.

ԡ. ԡఝ étant la norme euclidienne associée au produit scalaire ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ .

I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs

Si ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬sont deux vecteurs non nuls de ሺԹ୬ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ alors il existe un unique angle θ ‫ א‬ሾ0, πሿ tel
Proposition :

|‫ |ۄݒ ,ݑۃ‬൑ ԡ‫ݑ‬ԡ. ԡ‫ݒ‬ԡ
que cos ߠ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ : ൜ ฺ െ1 ൑ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ ൑ 1 ฺ ‫ א ߠ׌‬ሾ0, ߨሿ/ cos ߠ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ
‫ۃ‬௨,௩‫ۄ‬ ‫ۃ‬௨,௩‫ۄ‬ ‫ۃ‬௨,௩‫ۄ‬
ԡ‫ݑ‬ԡ. ԡ‫ݒ‬ԡ ് 0

Si ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬sont deux vecteurs non nuls de ሺԹ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ alors l’unique angle ߠ ‫ א‬ሾ0, ߨሿ vérifiant
Définition :

cos ߠ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ s’appelle angle des deux vecteurs ‫ ݑ‬et ‫. ݒ‬
‫ۃ‬௨,௩‫ۄ‬

On considère dans toute la suite l’espace euclidien ሺԹ࢔ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ : où Թ࢔ est muni du produit scalaire usuel :
࢔ ࢔
‫ א ࢟ ,࢞׊‬Թ ‫ ۄ࢟ ,࢞ۃ ׷‬ൌ ෍ ࢞࢏ ࢟࢏ ; ԡ࢞ԡ ൌ ඩ෍ሺ࢞࢏ ሻ૛
࢔

࢏ൌ૚ ࢏ൌ૚

II- Orthogonalliité
II- Orthogona té
II-1 Vecteurs orthogonaux

On dit que deux vecteurs ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬de Թ௡ sont orthogonaux et on note ‫ ݒ ٣ ݑ‬ssi ‫ ۄݒ ,ݑۃ‬ൌ 0.
Définition :

෣
Propriétés :

(1) L’angle de deux vecteurs orthogonaux ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬est égal à : cosሺ‫ݒ ,ݑ‬ሻ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ ൌ 0
గ ‫ۃ‬௨,௩‫ۄ‬
ଶ
(2) Deux vecteurs ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬sont orthogonaux ssi ԡ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ԡଶ ൌ ԡ‫ݑ‬ԡଶ ൅ ԡ‫ݒ‬ԡଶ (l’identité de Pythagore)

Un système de vecteurs ሼ‫ݑ‬ଵ , … , ‫ݑ‬௞ ሽ de Թ௡ est un système orthogonal ssi ‫ݑۃ‬௜ , ‫ݑ‬௝ ‫ ۄ‬ൌ 0 ‫.݆ ് ݅ ݅ݏ‬
Définition :

5


Proposition :
Un système orthogonal est libre.

Un système, de n vecteurs de Թ௡ , ሼ‫ݑ‬ଵ , … , ‫ݑ‬௡ ሽ est une base orthonormée ssi :
Définition :

0 ‫݆ ് ݅ ݅ݏ‬ ‫ݑۃ‬௜ , ‫ݑ‬௝ ‫ ۄ‬ൌ 0 ‫݆ ് ݅ ݅ݏ‬
‫ݑۃ‬௜ , ‫ݑ‬௝ ‫ ۄ‬ൌ ߜ௜௝ ൌ ൜ ‫ ݅ݏݏ‬ቊ
1 ‫݆ ് ݅ ݅ݏ‬ ‫ݑۃ‬௜ , ‫ݑ‬௜ ‫ ۄ‬ൌ ԡ‫ݑ‬௜ ԡଶ ൌ 1
.

Tout sous espace vectoriel de ሺԹ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ admet une base orthonormée.
Proposition :

II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
Soit ‫ ܧ‬un sous espace de ሺԹ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ . Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt consiste à
construire une base orthonormée ൛ߝଵ , … , ߝ௣ ൟ de ‫ ܧ‬à partir d’une base quelconque ൛‫ݑ‬ଵ , … , ‫ݑ‬௣ ൟ de ‫. ܧ‬

Étapes du procédé :

Départ : ൛‫ݑ‬ଵ , … , ‫ݑ‬௣ ൟ une base de ‫.ܧ‬
Étape 1 : construire le 1er vecteur de la base orthonormée ߝଵ
ߝԢଵ
ߝԢଵ ൌ ‫ݑ‬ଵ ื ߝଵ ൌ
ԡߝԢଵ ԡ
Étape 2 : construire le 2ème vecteur de la base orthonormée ߝଶ
ߝԢଶ
ߝԢଶ ൌ ‫ݑ‬ଶ െ ‫ݑۃ‬ଶ , ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ื ߝଶ ൌ
ԡߝԢଶ ԡ
Étape r : construire le rième vecteur de la base orthonormée ߝ௥
ߝԢ௥
ߝԢ௥ ൌ ‫ݑ‬௥ െ ‫ݑۃ‬௥ , ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ … െ ‫ݑۃ‬௥ , ߝ௥ିଵ ‫ߝ .ۄ‬௥ିଵ ื ߝ௥ ൌ
ԡߝԢ௥ ԡ
Étape p : construire le pième vecteur de la base orthonormée ߝ௣
ߝԢ௣
ߝԢ௣ ൌ ‫ݑ‬௣ െ ‫ݑۃ‬௣ , ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ … െ ‫ݑۃ‬௣ , ߝ௣ିଵ ‫ߝ .ۄ‬௣ିଵ ื ߝ௣ ൌ
ฮߝԢ௣ ฮ
Arrivée : ൛ߝଵ , … , ߝ௣ ൟ est une base orthonormée de ܸ.

Exemple :

Une base orthonormée du sous espace vectoriel ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ
‫ 1ݑ‬ൌ ሺെ1,1,0,0ሻ
Départ : On construit une base ሼ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሽ de ܸ ቐ‫ 2ݑ‬ൌ ሺെ1,0,1,0ሻ
‫ 3ݑ‬ൌ ሺെ1,0,0,1ሻ
Étape 1 : On construit le 1er vecteur de la base orthonormée ߝଵ ൌ ቀ , , 0,0ቁ
ିଵ ଵ
√ଶ √ଶ
ߝ ᇱଵ ൌ ‫ݑ‬ଵ ൌ ሺെ1,1,0,0ሻ
ԡߝ ᇱଵ ԡ ൌ √2
ߝଵ ൌ ԡఌᇱ ԡ . ߝԢଵ ൌ . ሺെ1,1,0,0ሻ
ଵ ଵ
భ √ଶ

6


Étape 2 : construire le 2ème vecteur de la base orthonormée ߝଶ ൌ ቀ , , , 0ቁ
ିଵ ିଵ ଶ
√଺ √଺ √଺

ߝ ᇱ ଶ ൌ ‫ݑ‬ଶ െ ‫ݑۃ‬ଶ , ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൌ ሺെ1,0,1,0ሻ െ ቀ , , 0,0ቁ ൌ ቀ ଶ , ଶ , 1,0ቁ ; ‫ݑۃ‬ଶ , ߝଵ ‫ ۄ‬ൌ
ଵ ିଵ ଵ ିଵ ିଵ ଵ
√ଶ √ଶ √ଶ √ଶ
ିଵ ଶ ିଵ ଶ
ԡߝ ᇱ ଶ ԡ ൌ ටቀ ቁ ൅ ቀ ቁ ൅ ሺ1ሻଶ ൌ ට
ଷ
ଶ ଶ ଶ

ߝଶ ൌ ԡఌᇱ ԡ . ߝԢଶ ൌ ටଷ . ቀ ଶ , , 1,0ቁ
ଵ ଶ ିଵ ିଵ
మ ଶ

Étape 3 : construire le 3ème vecteur de la base orthonormée ߝଷ ൌ ቀଶ , , , ቁ
ିଵ ିଵ ିଵ ଷ
√ଷ ଶ √ଷ ଶ √ଷ ଶ √ଷ
ߝ ᇱ ଷ ൌ ‫ݑ‬ଷ െ ‫ݑۃ‬ଷ , ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ െ ‫ݑۃ‬ଷ , ߝଶ ‫ߝ .ۄ‬ଶ ; ‫ݑۃ‬ଷ , ߝଵ ‫ ۄ‬ൌ ଶ , ‫ݑۃ‬ଷ , ߝଶ ‫ ۄ‬ൌ ଺
ଵ ଵ
√ √
ߝ ᇱ ଷ ൌ ሺെ1,0,0,1ሻ െ ቀ , , 0,0ቁ െ . ቀ , , , 0ቁ ൌ ቀ , , , 1ቁ
ଵ ିଵ ଵ ଵ ିଵ ିଵ ଶ ିଵ ିଵ ିଵ
√ ଶ √ଶ √ଶ √ ଺ √଺ √଺ √଺ ଷ ଷ ଷ
ଶ ଶ ଶ
ԡߝ ᇱ ଷ ԡ ൌ ටቀ ቁ ൅ ቀ ቁ ൅ ቀ ቁ ൌ ሺ1ሻଶ ൌ
ିଵ ିଵ ିଵ ଶ
ଷ ଷ ଷ √ଷ

ߝଷ ൌ ԡఌᇱ ԡ . ߝԢଷ ൌ . ቀ , , , 1ቁ
ଵ √ଷ ିଵ ିଵ ିଵ
ଶ ଷ ଷ ଷ
Arrivée : ሼߝଵ , ߝଶ , ߝଷ ሽ est une base orthonormée de ܸ.
య

II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux

Soit ܸ un sous-espace vectoriel de Թ௡ . On appelle sous-espace orthogonal de ܸ et on note
Définition :

ܸ ୄ l’ensemble : ܸ ୄ ൌ ሼ‫ א ݒ‬Թ௡ / ‫ ۄݒ ,ݑۃ‬ൌ 0 ‫ܸ א ݑ׊‬ሽ

Deux sous espaces vectoriels ‫ ܨ‬et ‫ ܩ‬de Թ௡ sont supplémentaires ssi Թ௡ est leur somme directe :
Rappel :

‫ ܩ۩ܨ‬ൌ Թ௡ ‫ א ݔ׊ ݅ݏݏ‬Թ௡ ; ‫ !׌‬ሺ‫ݖ ,ݕ‬ሻ ‫ ܨ א‬ൈ ‫ ݔ / ܩ‬ൌ ‫ ݕ‬൅ ‫ݖ‬

L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel de ሺԹ௡ , ‫ۄ ,ۃ‬ሻ est un sous espace vectoriel de ሺԹ௡ , ‫ۄ ,ۃ‬ሻ.
Proposition :

Un sous espace vectoriel et son orthogonal sont supplémentaires dans Թ௡ : ܸ۩ܸ ୄ ൌ Թ௡ .
L’orthogonal de l’orthogonal d’un sous espace vectoriel lui est égal : ሺܸ ୄ ሻୄ ൌ ܸ
En particulier, on a : ሺሼ0, … ,0ሽሻୄ ൌ Թ௡ et ሺԹ௡ ሻୄ ൌ ሼ0, … ,0ሽ

Si ܸ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬൛‫ ݌ݑ , … , 1ݑ‬ൟ est un sous-espace vectoriel de Թ௡ alors :
Proposition :

ܸ ୄ ൌ ൛‫ א ݒ‬Թ௡ / ‫ݑۃ‬ଵ , ‫ ۄݒ‬ൌ ‫ ڮ‬ൌ ‫ݑۃ‬௣ , ‫ ۄݒ‬ൌ 0ൟ

Exemple : ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ

‫ 1ݑ‬ൌ ሺെ1,1,0,0ሻ
ܸ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ 3ݑ , 2ݑ , 1ݑ‬ሽ avec ቐ‫ 2ݑ‬ൌ ሺെ1,0,1,0ሻ ; car ሼ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሽ est une base de ܸ.
‫ 3ݑ‬ൌ ሺെ1,0,0,1ሻ

7


‫ ۄݔ , 1 ݑ ۃ‬ൌ 0 െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬ൌ 0 െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬ൌ 0
‫ ݔ‬ൌ ሺ‫ 4ݔ , 3ݔ , 2ݔ , 1ݔ‬ሻ ‫ ฻ ܸ א‬ቐ‫ ۄݔ , 2ݑۃ‬ൌ 0 ฻ ൝െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬ൌ 0 ฻ ൝െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬ൌ 0
ୄ

‫ ۄݔ , 3 ݑ ۃ‬ൌ 0 െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ൌ 0 െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ൌ 0
ܸ ୄ ൌ ሼሺ‫ 4ݔ , 3ݔ , 2ݔ , 1ݔ‬ሻ ‫ א‬Թ / െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬ൌ 0 ; െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬ൌ 0 ; െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ൌ 0ሽ
4

ܸ ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ 1ݒ‬ሽ ; avec ‫ݒ‬ଵ ൌ ሺ1,1,1,1ሻ une base de ܸ ୄ .

Un sous espace vectoriel de Թ௡ est dit hyperplan s’il est de dimension ݊ െ 1.
Définition :

ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ est un hyperplan de Թସ : dimሺԹସ ሻ ൌ 4 et dimሺܸሻ ൌ 3
Exemple :

Soit H un hyperplan de ሺԹ୬ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ alors il existe un vecteur ‫ א ݒ‬Թ୬ tel que ‫ ܪ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ݒ‬ሽ.
Proposition :

ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ est un hyperplan de Թସ .
Exemple :

‫ݒ׌‬ଵ ൌ ሺ1,1,1,1ሻ ‫ א‬Թସ / ܸ٣ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ݒ‬ଵ ሽ.

Soit H un hyperplan de ሺԹ୬ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ et ‫ ܪ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ݒ‬ሽ.
Définition :

Le vecteur ‫ ݒ‬s’appelle "vecteur normal" ou "une normale" à H.
Si ԡ‫ݒ‬ԡ ൌ 1, ‫ ݒ‬est un "vecteur normal unitaire" ou "normale unitaire" à H.

ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ est un hyperplan de Թସ .
Exemple :

ܸ ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ 1ݒ‬ሽ, avec ‫ 1ݒ‬ൌ ሺ1,1,1,1ሻ.
Le vecteur ‫ݒ‬ଵ ൌ ሺ1,1,1,1ሻ est un vecteur normal à ܸ.
Le vecteur ‫ݒ‬ଵ ൌ ԡ௩ ԡ . ‫ݒ‬ଵ ൌ ቀଶ , ଶ , ଶ , ଶቁ est un vecteur normal unitaire à ܸ.
෤
ଵ ଵ ଵ ଵ ଵ
భ

III- Projjectiion -- Projjectiion orthogonalle
III- Pro ect on Pro ect on orthogona e
III-1 Définitions

Si ‫ ܨ‬et ‫ ܩ‬sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de Թ୬ alors l’application ‫ ݌‬définie
Proposition :

par : ‫ א ݔ׊‬Թ୬ , ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ ݅ݏ ݕ‬ൌ ‫ ݕ‬൅ ‫ ܩ א ݖ ݐ݁ܨ א ݕ ܿ݁ݒܽ ݖ‬est une application linéaire.

8


Soient ‫ ܨ‬et ‫ ܩ‬sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de Թ୬ : Թ୬ ൌ ‫ܩ ْ ܨ‬
Définition :

L’application linéaire ‫ ݌‬définie sur Թ୬ par ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ ݅ݏ ݕ‬ൌ ‫ ݕ‬൅ ‫ ܩ א ݖ ݐ݁ܨ א ݕ ; ݖ‬s’appelle la
projection sur ࡲ parallèlement à ࡳ .
L’application linéaire ‫ ݍ‬ൌ ‫݀ܫ‬ோ೙ െ ‫ ݌‬définie sur Թ୬ par ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ est la projection sur ‫ܩ‬
parallèlement à ‫. ܨ‬

Si ‫ ܨ‬est un sous espace vectoriel de ሺԹ୬ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ alors la projection ‫ ݌‬sur ‫ ܨ‬parallèlement à ‫ ܨ‬ୄ
Définition :

s’appelle la projection orthogonale sur ‫ .ܨ‬On la notera ‫݌‬ி .

III-2 Détermination pratique de la projection orthogonale

Soit ‫ ܨ‬un sous-espace de ሺԹ୬ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ.
Proposition :

Si ‫ܤ‬ி ൌ ൛ܾଵ , … , ܾ௣ ൟ est une base orthonormée de ‫ ,ܨ‬et si ‫݌‬ி est la projection orthogonale sur ‫ܨ‬
alors : ‫ א ݔ׊‬Թ୬ ; ‫ ܨ݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ∑௜ୀ௣‫ܾ ,ݔۃ‬௜ ‫ܾ .ۄ‬௜
௜ୀଵ

La projection orthogonale sur ‫ ܨ‬ୄ est alors donnée par : ‫ א ݔ׊‬Թ୬ ; ‫݌‬ி఼ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ ∑௜ୀ௣‫ܾ ,ݔۃ‬௜ ‫ܾ .ۄ‬௜
௜ୀଵ

(1) ܹ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൌ ‫ݔ‬ଷ ൌ ‫ݔ‬ସ ሽ
Exemples :

dimሺܹሻ ൌ 1 : ሼߝଵ ሽ est une base orthonormée de ܸ avec ߝଵ ൌ ቀଶ , ଶ , ଶ , ଶቁ.
ଵ ଵ ଵ ଵ

La projection orthogonale sur ܹ est donnée par : ‫ א ݔ׊‬Թସ , ‫ ܹ݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃ‬
‫݌‬ௐ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ߝ ,ݔۃ‬ଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൌ ଶ ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ሻ. ቀଶ , ଶ , ଶ , ଶቁ
ଵ ଵ ଵ ଵ ଵ
o

Donc, ‫׊‬x ‫ א‬Թସ , on a :
1 1 1 1
‫݌‬ௐ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቆ ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ሻ ; ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ሻ ; ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ሻ ; ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ሻቇ
4 4 4 4

(2) ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ

dimሺܸሻ ൌ 3 : ሼߝଵ , ߝଶ , ߝଷ ሽ est une base orthonormée de ܸ avec
o ߝଵ ൌ ቀ ଶ , ଶ , 0,0ቁ , ߝଶ ൌ ቀ ଺ , ଺ , ଺ , 0ቁ , ߝଷ ൌ ቀଶ ଷ , ଶ ଷ , ଶ ଷ , ଶ ଷቁ
ିଵ ଵ ିଵ ିଵ ଶ ିଵ ିଵ ିଵ ଷ
√ √ √ √ √ √ √ √ √

La projection orthogonale sur ܸ est donnée par :
o ‫ א ݔ׊‬Թସ , ‫ ܸ݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ 1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃ‬൅ ‫ 2ߝ .ۄ 2ߝ ,ݔۃ‬൅ ‫3ߝ .ۄ 3ߝ ,ݔۃ‬
‫ 1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃۓ‬ൌ √2 ሺ‫ 1ݔ‬െ ‫ 2ݔ‬ሻ ቀ√2 , √2 , 0,0ቁ
െ1 െ1 1

ۖ
‫ 2ߝ .ۄ 2ߝ ,ݔۃ‬ൌ ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬െ 2‫ 3ݔ‬ሻ ቀ , , , 0ቁ
െ1 െ1 െ1 2

‫۔‬ √6 √6 √6 √6
ۖ‫ ߝ .ۄ ߝ ,ݔۃ‬ൌ െ1 ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ሻ ቀ െ1 , െ1 , െ1 , 3 ቁ
o

‫ە‬ 3 3 2 √3 1 2 3 4 2 √3 2 √3 2 √3 2 √3

9


o qui donne :

‫ 1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃ ۓ‬ൌ ቀ2 ሺ‫ 1ݔ‬െ ‫ 2ݔ‬ሻ, െ 2 ሺ‫ 1ݔ‬െ ‫ 2ݔ‬ሻ, 0,0ቁ
1 1

ۖ
‫ 2ߝ .ۄ 2ߝ ,ݔۃ‬ൌ ቀ ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬െ 2‫ 3ݔ‬ሻ, ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬െ 2‫ 3ݔ‬ሻ, െ ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬െ 2‫ 3ݔ‬ሻ, 0ቁ
1 1 2

‫۔‬
6 6 6

ۖ ‫ ߝ .ۄ ߝ ,ݔۃ‬ൌ ൬ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ሻ, ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ሻ, 1 ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ሻ, െ 3 ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ሻ൰
1 1
‫ە‬ 3 3 12 1 2 3 4 12 1 2 3 4 12 1 2 3 4 12 1 2 3 4

Donc, ‫׊‬x ‫ א‬Թସ , on a :
1 1 1 1
‫݌‬௏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቆ ሺ3‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ ൅ 3‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ ൅ 3‫ݔ‬ସ ሻቇ
4 4 4 4

♦ Une méthode plus rapide pour déterminer la projection orthogonale sur ܸ consiste à déterminer
Remarque :

avant, celle sur son orthogonal qui est de dimension plus petite : dimሺܸ ୄ ሻ ൌ 4 െ dimሺܸሻ ൌ 1.

ܸୄ ൌ ܹ
La projection orthogonale ‫݌‬ௐ ሺ‫ݔ‬ሻ sur ܹ est donnée par :
1 1 1 1
‫݌‬ௐ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቆ ሺ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ሻቇ
4 4 4 4

La projection orthogonale sur ܸ définie par ‫݌‬௏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ ‫݌‬ௐ ሺ‫ݔ‬ሻ est alors donnée par :
1 1 1 1
‫݌‬௏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቆ ሺ3‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ ൅ 3‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ ൅ 3‫ݔ‬ସ ሻቇ
4 4 4 4

III-1 Caractérisation et propriétés

Soient ‫ ܨ‬et ‫ ܩ‬sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de Թ୬ .
Proposition :

Si ‫ ݌‬est une projection sur ‫ ܨ‬parallèlement à ‫ ܩ‬alors :
(1) ‫݌‬ଶ ൌ ‫ ݌ ל ݌‬ൌ ‫݌‬
(2) ‫ ל ݌‬ሺ‫݀ܫ‬ா െ ‫݌‬ሻ ൌ ሺ‫݀ܫ‬ா െ ‫݌‬ሻ ‫ ݌ ל‬ൌ 0
(3) ‫݉ܫ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ ܨ‬ൌ ‫ ݎ݁ܭ‬ሺ‫݀ܫ‬ா െ ‫݌‬ሻ ; ‫݉ܫ‬ሺ‫݀ܫ‬ா െ ‫݌‬ሻ ൌ ‫ ܩ‬ൌ ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫݌‬ሻ
Une projection ‫ ݌‬est une projection orthogonale sur ‫ ܨ‬ssi sa matrice dans une base orthonormée
de Թ୬ est symétrique.

Un endomorphisme ‫ ݌‬de Թ୬ est une projection ssi ‫݌‬ଶ ൌ ‫ ݌ ל ݌‬ൌ ‫ .݌‬Dans ce cas,
Proposition :

‫ ݌‬est la projection sur ‫݉ܫ‬ሺ‫݌‬ሻ parallèlement à ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫݌‬ሻ.
‫ ݍ‬ൌ ‫݀ܫ‬Թ౤ െ ‫ ݌‬est la projection sur ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫݌‬ሻ parallèlement à ‫݉ܫ‬ሺ‫݌‬ሻ.

10


Soit ‫ ܨ‬un sous espace vectoriel de Թ୬ . Soit ‫ ݌‬une projection orthogonale sur ‫.ܨ‬
Proposition :

Si ‫ ܨ א ݔ‬alors ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ vérifie les propriétés :
ሺ1) L'égalité de Pythagore :
ԡ‫ݔ‬ԡଶ ൌ ԡ‫)ݔ(݌‬ԡଶ ൅ ԡ‫ ݔ‬െ ‫)ݔ(݌‬ԡଶ
(2) ‫ )ݔ(݌‬est l'unique vecteur de ‫ ܨ‬minimisant la distance de ‫ ݔ‬à ‫: ܨ‬
ԡ‫ ݔ‬െ ‫)ݔ(݌‬ԡ ൌ minԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ
௬‫א‬ி

ܸ ൌ ሼ(‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ) ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ
Exemple :

1 1 1 1
‫݌‬௏ (‫ )ݔ‬ൌ ቆ (3‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ) ; (െ‫ݔ‬ଵ ൅ 3‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ) ; (െ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ) ; (െ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ ൅ 3‫ݔ‬ସ )ቇ
4 4 4 4

ܹ ൌ ܸ ୄ ൌ ሼ(‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ) ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൌ ‫ݔ‬ଷ ൌ ‫ݔ‬ସ ሽ
1 1 1 1
‫ )ݔ( ٣ܸ݌‬ൌ ቆ (‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ) ; (‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ) ; (‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ) ; (‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ )ቇ
4 4 4 4

ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡଶ ൅ ԡ1 െ ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡଶ ൌ ԡ‫ݔ‬ԡଶ ݁‫ )ݔ( ٣ܸ݌ ݐ‬ൌ ‫ ݔ‬െ ‫݌‬௏ (‫: )ݔ‬

‫ۓ‬ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൅ ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ ԡ‫ݔ‬ԡ ൌ (‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ )
ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ
ۖ
ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ ԡ‫ ݔ‬െ ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൌ minԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ
‫ܸאݕ‬
‫۔‬
ۖ ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൌ ฮ‫ ݔ‬െ ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ minԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ
‫ە‬ ‫٣ܸאݕ‬

‫ۓ‬
En effet, on a : (après calcul)
ସ ସ ସ
1
ۖԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൌ ඩ12 ෍(‫ݔ‬௜ )ଶെ8 ෍ ‫ ݔ ݔ‬െ8 ෍ ‫ݔ ݔ ݔ‬
ۖ 4 ௜ ௝ ௜ ௝ ௞
௜ୀଵ ௜ஷ௝ୀଵ ௜ஷ௝ஷ௞ୀଵ

‫۔‬ ସ ସ ସ
ۖ 1
ฮ‫)ݔ( ٣ ݌‬ฮ ൌ ඩ4 ෍(‫ݔ‬௜ )ଶ൅8 ෍ ‫ ݔ ݔ‬൅8 ෍ ‫ݔ ݔ ݔ‬
ۖ ܸ 4 ௜ ௝ ௜ ௝ ௞

‫ە‬ ௜ୀଵ ௜ஷ௝ୀଵ ௜ஷ௝ஷ௞ୀଵ

ฺ ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡଶ ൅ ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ (‫ݔ‬ଵ ଶ ൅ ‫ݔ‬ଶ ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ଶ ൅ ‫ݔ‬ସ ଶ ) ൌ ԡ‫ݔ‬ԡଶ
ଶ

‫ ݔ‬ൌ (1,0,0,0): ԡ‫ݔ‬ԡଶ ൌ 1
‫ۓ‬ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൅ ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ 1 ൌ ԡ‫ݔ‬ԡ
ଶ ଶ ଶ
Par exemple :

3 െ1 െ1 െ1 1 √3 1
‫݌ۓ‬௏ (‫ )ݔ‬ൌ ൬ ; ; ; ൰: ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൌ √12 ൌ ۖ
4 4 4 4 4 2 ฺ minԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ ൌ ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ 2
‫ܸאݕ‬
‫۔‬ 1 1 1 1 1 1 ‫۔‬
‫ )ݔ( ٣ܸ݌‬ൌ ൬ ; ; ; ൰ ‫ ׷‬ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ √4 ൌ ۖminԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ ൌ ԡ‫)ݔ( ݌‬ԡ ൌ √3
‫ە‬ 4 4 4 4 4 2
‫٣ܸאݕە‬
௏
2

11


IV- Applliicatiion aux droiites et aux pllans
IV- App cat on aux dro tes et aux p ans
Dans Թଶ , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites.
Tout sous espace vectoriel non trivial de Թଶ est de dimension 1 : c’est un hyperplan de Թଶ .
o un hyperplan de Թଶ est une droite du plan.
Dans Թଷ , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites et des plans.
Tout sous espace vectoriel non trivial de Թଷ est
• soit de dimension 2 : un hyperplan de Թଷ , un hyperplan de Թଷ est un plan de l’espace.
• ou de dimension 1 : c’est une droite de l’espace.

IV-1 Droites dans Թ૛
Equation d’une droite dans le plan

Une droite ሺ‫ܦ‬ሻ dans le plan Թଶ a une équation, dite cartésienne, de la forme :
Définition :

ሺ‫ܦ‬ሻ: ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ ൌ 0, avec ሺܽ, ܾሻ ് ሺ0,0ሻ
െܾ
Le vecteur ‫ ݑ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de la droite ሺ‫ܦ‬ሻ.
ܽ
Le coefficient directeur est ݉ ൌ െ ௕.
௔

♦ L’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme : ‫ ݕ‬ൌ ݉‫ ݔ‬൅ ‫݉ ; ݌‬
Remarque :

est le coefficient directeur de la droite et ‫ ݌‬l’ordonnée à l’origine.
♦ L’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme : ‫ ݔ‬ൌ ‫. ݌‬

Toute équation de la forme ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ ൌ 0, avec ሺܽ, ܾሻ ് ሺ0,0ሻ, définit une droite ሺDሻ dans le
Proposition :

plan Թଶ .
െܾ
le vecteur ‫ ݑ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de ሺDሻ.
ܽ
ܽ
Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur normal à ሺDሻ.
ܾ

ሺ‫ܦ‬ሻ ‫ ݔ ׷‬൅ 2‫ ݕ‬൅ 3 ൌ 0
L’équation réduite de la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est donnée par : ‫ ݕ‬ൌ െ ଶ ‫ ݔ‬െ ଶ
ଵ ଷ
Exemple :

1
Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur normal à ሺ‫ܦ‬ሻ
2
െ2
Le vecteurs ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de ሺ‫ܦ‬ሻ.
1

Un vecteur directeur de la droite passant par deux points ‫ܯ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ et ܰሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ ݕ‬ᇱ ሻ est donné par :
Proposition :

ሬሬሬሬሬሬሬԦ ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬Ԣ
‫ ܰܯ‬ൌ ‫ ݒ‬ൌ ൬ ൰
‫ ݕ‬െ ‫ݕ‬Ԣ

12


Toute droite ሺDሻ du plan passant par l’origine a une équation de la forme : ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0.
Proposition :

La droite ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ / ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0ሽ est un hyperplan de l’espace vectoriel Թଶ .
L’hyperplan ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ / ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0ሽ a pour base ൛൫– ܾ, ܽ൯ൟ : ‫ ܦ‬ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬൛൫– ܾ, ܽ൯ൟ.
L’orthogonal de l’hyperplan ‫ ܦ‬ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬൛൫– ܾ, ܽ൯ൟ est l’hyperplan ‫ܦ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺܽ, ܾሻሽ.
Un vecteur normal à ‫ܦ‬ୄ est un vecteur directeur de ‫ ܦ‬ሺሺ‫ܦ‬ୄ ሻୄ ൌ ‫ܦ‬ሻ
L’hyperplan ‫ܦ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺܽ, ܾሻሽ est la droite d’équation െܾ‫ ݔ‬൅ ܽ‫ ݕ‬ൌ 0

Exemple : ሺ‫ܦ‬ሻ ‫ ݔ ׷‬൅ 2‫ ݕ‬ൌ 0

‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ / ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬ൌ 0ሽ est un hyperplan de l’espace vectoriel Թଶ .
െ2
Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ définit une base ሼሺെ2,1ሻሽ de ‫ ܦ : ܦ‬ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬൛൫– 2,1൯ൟ
1
L’orthogonal de l’hyperplan ‫ ܦ‬est ‫ܦ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ1,2ሻሽ
‫ܦ‬ୄ est la droite d’équation െ2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ 0.

Projection orthogonale sur une droite du plan

Soit ሺDሻ est une droite du plan d’équation ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0 : D ൌ ሼሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ / ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0ሽ
ି௕

ሼߝଵ ሽ une base orthonormée de D avec ߝଵ ൌ ቌ√௔ ௔ ቍ
మ ା௕మ

√௔మ ା௕మ
La projection orthogonale sur D est alors donnée par :
െܾ ܽ െܾ ܽ
‫׊‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ ; ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ‫ۃ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ, ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൌ ൬ ‫ݔ‬൅ ‫ݕ‬൰ . ൬ , ൰
√ܽଶ ൅ ܾ ଶ √ܽଶ ൅ ܾ ଶ √ܽଶ ൅ ܾ ଶ √ܽଶ ൅ ܾ ଶ

1
‫׊‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ ; ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ଶ ሺܾ ଶ ‫ ݔ‬െ ܾܽ‫ܽ ,ݕ‬ଶ ‫ ݕ‬െ ܾܽ‫ݔ‬ሻ
qui donne :

ܽ ൅ ܾଶ

Soit ሺDሻ une droite dans le plan Թଶ d’équation : ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0.
Proposition :

La projection orthogonale sur la droite ሺDሻ est donnée par :
1
ܽ ൅ ܾଶ
Si ‫ܯ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite ሺDሻ est le point :
ܾ ଶ ‫ ݔ‬െ ܾܽ‫ܽ ݕ‬ଶ ‫ ݕ‬െ ܾܽ‫ݔ‬
෡
‫ܯ‬ቆ ଶ , ଶ ቇ
ܽ ൅ ܾଶ ܽ ൅ ܾଶ

♦ La projection orthogonale sur la droite ሺDሻ d’un point ‫ܯ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ de cette droite ሺDሻ est lui-même :
Remarque :

‫ܯ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬ሺ‫ܦ‬ሻ: ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0 ܾ ଶ ‫ ݔ‬െ ܾܽ‫ ܾ ݕ‬ଶ ‫ ݔ‬൅ ܽଶ ‫ݔ‬
‫ ۓ‬ଶ ൌ ଶ ൌ ‫ ݔ‬௫ et ௬
ܽ
ቐ ෡ ܾ ଶ ‫ ݔ‬െ ܾܽ‫ܽ ݕ‬ଶ ‫ ݕ‬െ ܾܽ‫ ݔ‬ሳልልልልልሰ ଶ ൅ ܾ ܽ ൅ ܾଶ ෡
௕௬ୀ ି௔௫ ଶ ොୀ௫ ොୀ௬
ሳልልልልልልሰ ‫ܯ ؠ ܯ‬
‫ܯ‬ቆ ଶ , ଶ ቇ ‫ ݕ ܽ۔‬െ ܾܽ‫ ݕ ܽ ݔ‬൅ ܾ ‫ݕ‬
ଶ ଶ
ܽ ൅ܾ ܽ ൅ܾ
‫ܽ ە‬ଶ ൅ ܾ ଶ ൌ ܽଶ ൅ ܾ ଶ ൌ ‫ݕ‬
ଶ ଶ

13


Exemple : ሺ‫ܦ‬ሻ ‫ ݔ ׷‬൅ 2‫ ݕ‬ൌ 0

െ2
Le vecteurs ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de ሺ‫ܦ‬ሻ.
1
ିଶ
‫ݔ‬
Le vecteur ߝଵ ൌ ቌ√ହቍ forme une base ሼߝଵ ሽ de D ൌ ቄቀ‫ݕ‬ቁ ‫ א‬Թଶ / ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬ൌ 0ቅ.
ଵ
√ହ
La projection orthogonale sur D est alors donnée par :
1
ܽ ൅ ܾଶ

1
qui donne :

‫׊‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ ; ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ሺ4‫ ݔ‬െ 2‫ ݕ ,ݕ‬െ 2‫ݔ‬ሻ
5

െ2 1 െ2 1 1
‫׊‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ ; ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ‫ۃ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ, ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൌ ൬ ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬൰ . ൬ , ൰ ൌ ሺ4‫ ݔ‬െ 2‫ ݕ ,ݕ‬െ 2‫ݔ‬ሻ
ou encore :

√5 √5 √5 √5 5

Si ‫ܯ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point :
4‫ ݔ‬െ 2‫ ݕ ݕ‬െ 2‫ݔ‬
෡
‫ܯ‬൬ , ൰
5 5

෡
La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1,2ሻ sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point ‫ܯ‬ሺ0,0ሻ : origine.
െ2
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0; ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ቀ
෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
෡ 0െ1 െ1
‫ܯܯ‬ ቁൌቀ ቁ
1 0െ2 െ2
La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺെ2,1ሻ sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point ‫ ܯ‬lui-même ሺ‫ܦ א ܯ‬ሻ.
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0; ‫ ݒ‬ൌ ቀെ2ቁ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ቀെ2 ൅ 2ቁ ൌ ቀ0ቁ
‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ
෡
1 1െ1 0
෡
La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ0,5ሻ sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point ‫ܯ‬ሺെ2,1ሻ.
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0; ‫ ݒ‬ൌ ቀെ2ቁ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ቀെ2 െ 0ቁ ൌ ቀെ2ቁ
෡
1 1െ5 െ4

IV-2 Plans et droites dans Թ૜
Equation d’un plan, équation d’une droite dans l’espace

Un plan ሺܲሻ dans l’espace Թଷ a une équation, dite cartésienne, de la forme :
Définition :

ሺܲሻ: ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬൅ ݀ ൌ 0, avec ሺܽ, ܾ, ܿሻ ് ሺ0,0,0ሻ

Une droite ሺ‫ܦ‬ሻ dans l’espace Թଷ a une équation, dite cartésienne, de la forme :
ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬൅ ݀ ൌ 0 ሺܽ, ܾ, ܿሻ ് ሺ0,0,0ሻ
ሺ‫ܦ‬ሻ: ൜ , avec ൜
ܽԢ‫ ݔ‬൅ ܾԢ‫ ݕ‬൅ ܿԢ‫ ݖ‬൅ ݀Ԣ ൌ 0 ሺܽԢ, ܾԢ, ܿԢሻ ് ሺ0,0,0ሻ

14


Toute équation de la forme ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬൅ ݀ ൌ 0, définit un plan ሺܲሻ dans l’espace Թଷ .
Proposition :

ܽ
Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ቆܾ ቇ est un vecteur normal à ሺܲሻ.
ܿ
ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬൅ ݀ ൌ 0
Toute équation de la forme ൜ , définit une droite ሺ‫ܦ‬ሻ dans l’espace Թଷ .
ܽԢ‫ ݔ‬൅ ܾԢ‫ ݕ‬൅ ܿԢ‫ ݖ‬൅ ݀Ԣ ൌ 0
ሺܲሻ: ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬൅ ݀ ൌ 0
La droite ሺ‫ܦ‬ሻ est l’intersection des deux plans ൜ ᇱ
ሺܲ ሻ: ܽԢ‫ ݔ‬൅ ܾԢ‫ ݕ‬൅ ܿԢ‫ ݖ‬൅ ݀Ԣ ൌ 0

Tout plan ሺܲሻ passant par l’origine a une équation de la forme : ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬ൌ 0.
Proposition :

Le plan ܲ ൌ ሼሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଷ / ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬ൌ 0ሽ est un hyperplan de l’espace vectoriel Թଷ .
L’orthogonal de l’hyperplan ܲ est ܲ ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺܽ, ܾ, ܿሻሽ.
Le sous espace vectoriel ܲୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺܽ, ܾ, ܿሻሽ est une droite.

ሺܲሻ ‫ ݔ ׷‬൅ 2‫ ݕ‬൅ 3‫ ݖ‬ൌ 0
Exemple 1 (plan) :

1
Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ൭2൱ est un vecteur normal à ሺܲሻ
3
െ2 െ3
Les vecteurs ‫ ݑ‬ൌ ൭ 1 ൱ et ‫ ݓ‬ൌ ൭ 0 ൱ forment une base du plan vectoriel ܲ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ‫ݓ ,ݑ‬ሻሽ
0 1
‫ݔ‬ ‫ݔ‬ െ2‫ ݕ‬െ 3‫ݖ‬
ቆ‫ݕ‬ቇ ‫ ܲ א‬ssi ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ 3‫ ݖ‬ൌ 0 ssi ‫ ݔ‬ൌ െ2‫ ݕ‬െ 3‫ ݖ‬ssi ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ൭ ‫ݕ‬ ൱
‫ݖ‬ ‫ݖ‬ ‫ݖ‬
‫ݔ‬ ‫ݔ‬ െ2 െ3
ቆ‫ݕ‬ቇ ‫ ܲ א‬ssi ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ‫ .ݕ‬൭ 1 ൱ ൅ ‫ .ݖ‬൭ 0 ൱
‫ݖ‬ ‫ݖ‬ 0 1

L’orthogonal de l’hyperplan ܲ est ܲ ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ1,2,3ሻሽ, de dimension 1.
‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬
‫ ۄݒ ,ݑۃ‬ൌ 0 െ2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ 0
‫ ݒ‬ൌ ቆ‫ݕ‬ቇ ‫ ݅ݏݏ ܲ א‬൜
ୄ
ssi ቄ ssi ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ቆ2‫ ݔ‬ቇ
‫ ۄݓ ,ݑۃ‬ൌ 0 െ3‫ ݔ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0
‫ݖ‬ ‫ݖ‬ 3‫ݔ‬
െ2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ 0
Le sous espace vectoriel ܲୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ1,2,3ሻሽ est la droite d’équation ቄ
െ3‫ ݔ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0
.

‫ݔ‬൅‫ݕ‬൅‫ݖ‬ൌ0
ሺ‫ܦ‬ሻ ‫ ׷‬൜
Exemple 2 (droite) :

‫ݔ‬െ‫ݕ‬൅‫ݖ‬ൌ0
1
Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ൭ 0 ൱ forme une base de la droite ሺDሻ : ‫ ܦ‬ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ݒ‬ሽ
െ1
‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬
‫ݔ‬൅‫ݕ‬൅‫ ݖ‬ൌ0 ሺ݁1 ൅ ݁2ሻ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0
ቆ‫ݕ‬ቇ ‫ ܦ א‬ssi ൜ ssi ൜ ssi ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ቆ 0 ቇ
‫ݔ‬െ‫ݕ‬൅‫ ݖ‬ൌ0 ሺ݁1 െ ݁2ሻ ‫ ݕ‬ൌ 0
‫ݖ‬ ‫ݖ‬ െ‫ݔ‬

15


L’orthogonal de la droite ‫ ܦ‬est ‫ܦ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ1,0,1ሻ, ሺ0,1,0ሻሽ, de dimension 2 :
‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬
‫ ݑ‬ൌ ቆ‫ݕ‬ቇ ‫ ۄݒ ,ݑۃ ݅ݏݏ ܦ א‬ൌ 0 ssi ‫ ݔ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0 ssi ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ቆ ‫ ݕ‬ቇ
ୄ

‫ݖ‬ ‫ݖ‬ ‫ݔ‬

Le sous espace vectoriel ‫ܦ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ1,0,1ሻ, ሺ0,1,0ሻሽ est le plan d’équation ‫ ݔ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0.

Projection orthogonale sur un plan

Exemple : ሺܲሻ ‫ ݔ ׷‬൅ ‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0

1 1
Les vecteurs ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭െ1൱ et ‫ݑ‬ଶ ൌ ൭ 0 ൱ forment une base du plan vectoriel ܲ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ ሻሽ
0 െ1
ଵ
ଵ
‫ۇ‬ଵ‫ۊ‬
√଺
√ଶ
ሼߝଵ , ߝଶ ሽ est alors une base orthonormée de ܲ avec ߝଵ ൌ ൮ିଵ൲ , ߝଶ ൌ ‫.ۋ ۈ‬
√଺
√ଶ
0
ିଶ
‫ی଺√ۉ‬
La projection orthogonale sur ܲ est alors donnée par :
o ‫݌‬௉ ൫ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ‫ۃ‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ, ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൅ ‫ۃ‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ, ߝଶ ‫ߝ .ۄ‬ଶ
o ‫݌‬௉ ൫ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ቀ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻቁ ቀ , , 0ቁ ൅ ቀ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ 2‫ݖ‬ሻቁ ቀ , , ቁ
ଵ ଵ ିଵ ଵ ଵ ଵ ିଶ
√ଶ √ଶ √ଶ √଺ √଺ √଺ √଺

‫݌‬௉ ൫ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ൬ଷ ሺ2‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬െ ‫ݖ‬ሻ ; ଷ ሺെ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬െ ‫ݖ‬ሻ; ଷ ሺെ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬൅ 2‫ݖ‬ሻ൰
ଵ ଵ ଵ
o

Si ‫ܯ‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ est un point de l’espace alors sa projection orthogonale sur le plan ሺܲሻ est le point :
2‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬െ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬െ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬൅ 2‫ݖ‬
෡
‫ܯ‬൬ ; ; ൰
3 3 3

෡
La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1,1,1ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point origine ‫ܯ‬ሺ0,0,0ሻ :
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ݑ‬
෡
‫ݑ ,ܯܯۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑ ,ݓۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ 0 1 1 0െ1 െ1
൝ ଵ
‫׷‬൝ ; ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭െ1൱ , ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭0 െ 1൱ ൌ ൭െ1൱
෡
‫ݑ ,ܯܯۃ‬ଶ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑ ,ݓۃ‬ଶ ‫ ۄ‬ൌ 0
ଶ 0 െ1 0െ1 െ1

La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1, െ2,1ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point ‫ ܯ‬lui-même ሺ‫ܲ א ܯ‬ሻ :
෡
‫ݑ ,ܯܯۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑ ,ݓۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ 0 1 1 1െ1 0
൝ ଵ
‫׷‬൝ ; ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭െ1൱ , ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭െ2 ൅ 2൱ ൌ ൭0൱
෡
ଶ 0 െ1 1െ1 0

෡
La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ0,3,0ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point ‫ܯ‬ሺെ1,2, െ1ሻ :
෡
‫ݑ ,ܯܯۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑ ,ݓۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ 0 1 1 െ1 െ 0 െ1
൝ ଵ
‫׷‬൝ ; ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭െ1൱ , ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭ 2 െ 3 ൱ ൌ ൭െ1൱
෡
ଶ 0 െ1 െ1 െ 0 െ1

16


Projection orthogonale sur une droite
‫ݔ‬൅‫ݕ‬൅‫ ݖ‬ൌ0
ሺ‫ܦ‬ሻ ‫ ׷‬൜
‫ݔ‬െ‫ݕ‬൅‫ ݖ‬ൌ0
Exemple :

1
Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ൭ 0 ൱ forme une base de la droite ሺDሻ : ‫ ܦ‬ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ݒ‬ሽ
െ1
ଵ
√ଶ
ሼߝଵ ሽ est alors une base orthonormée de ‫ ܦ‬avec ߝଵ ൌ ൮ 0 ൲.
ିଵ
√ଶ
La projection orthogonale sur ‫ ܦ‬est alors donnée par :
o ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ‫ۃ‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ, ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൌ ቀ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݖ‬ሻቁ ቀ , 0, ቁ
ଵ ଵ ିଵ
√ଶ √ଶ √ଶ

‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ൬ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݖ‬ሻ ; 0; ሺെ‫ ݔ‬൅ ‫ݖ‬ሻ൰
ଵ ଵ
ଶ ଶ
o

Si ‫ܯ‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point :
‫ݔ‬െ‫ݖ‬ െ‫ ݔ‬൅ ‫ݖ‬
෡
‫ܯ‬൬ ; 0; ൰
2 2

෡
La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1,1,1ሻ sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point origine ‫ܯ‬ሺ0,0,0ሻ :
1 0െ1 െ1
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0 ; ‫ ݒ‬ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭0 െ 1൱ ൌ ൭െ1൱
෡
െ1 0െ1 െ1

La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1,2, െ1ሻ sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point ‫ ܯ‬lui-même ሺ‫ܦ א ܯ‬ሻ :
1 1െ1 0
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0 ; ‫ ݒ‬ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭ 2 െ 2 ൱ ൌ ൭0൱
෡
െ1 െ1 ൅ 1 0

෡
La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1,2,3ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point ‫ܯ‬ሺെ1,2,1ሻ :
1 െ1 െ 1 െ2
ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0 ; ‫ ݒ‬ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭ 2 െ 2 ൱ ൌ ൭ 0 ൱
෡
െ1 1െ3 െ2

V- Applliicatiion aux matriices :: iimages et noyaux orthogonaux
V- App cat on aux matr ces mages et noyaux orthogonaux

Soit ‫ ܣ‬une matrice carrée d’ordre ݊ .
Définition :

‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ est le sous espace vectoriel de Թ௡ engendré par les colonnes de ‫: ܣ‬
‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ሼܻ ‫ א‬Թ௡ / ‫ א ܺ׌‬Թ௡ : ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܻሽ ൌ ሼ‫ א ܺ ; ܺ .ܣ‬Թ௡ ሽ
Le noyau de ‫ ܣ‬est le sous espace vectoriel de Թ௡ dont l’image est nulle.
‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ሼܺ ‫ א‬Թ௡ / ‫ ܺ .ܣ‬ൌ 0௡ ሽ

17


Soit ‫ ܣ‬est une matrice carrée d’ordre ݊ .
Remarque :

‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ c’est le sous espace vectoriel de Թ௡ des seconds membres du système linéaire ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܻ

ImሺAሻ c’est le sous espace vectoriel de Թ୬ , solution du système linéaire homogène A. X ൌ 0୬ .
pour lesquels ce système est compatible.

Si la matrice ‫ ܣ‬est inversible alors

Si ‫ ܣ‬est une matrice carrée d’ordre ݊ alors :
Proposition :

‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ൣ‫ݎ݁ܭ‬൫ ௧‫ܣ‬൯൧ dimሾ ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻሿ ൌ dimൣ ‫݉ܫ‬൫ ௧‫ܣ‬൯൧
ୄ

൝ ୄ ; ݀‫ ܿ݊݋‬ቊ
‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ൣ‫݉ܫ‬൫ ௧‫ܣ‬൯൧ dimሾ ݇݁‫ݎ‬ሺ‫ܣ‬ሻሿ ൌ dimൣ ݇݁‫ݎ‬൫ ௧‫ܣ‬൯൧
Si la matrice ‫ ܣ‬est symétrique alors : ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ሾ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫ܣ‬ሻሿୄ ; ݀‫ ܿ݊݋‬Թ௡ ൌ ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫ܣ‬ሻ۩‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ

VI- Retour aux systèmes lliinéaiires (sollutiion au sens des MCO)
VI- Retour aux systèmes néa res (so ut on au sens des MCO)
Si le système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ est incompatible alors il n’admet pas de solutions :
On se contente alors de trouver un vecteur ܺ qui rend ‫ ܺ .ܣ‬aussi proche que possible de ܾ.
Ce qui revient à déterminer un vecteur ܺ tel que ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾฮ ൑ ԡ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾԡ, ‫ א ܺ׊‬Թ݊
෠ ෠

Soit ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ un système linéaire.
Définition :

Une solution au sens des moindres carrées du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ est un vecteur ෡ tel que :
X
෡ െ bฮ ൑ ԡA. X െ bԡ, ‫׊‬X ‫ א‬Թ୬
ฮA. X
෠
Résoudre le système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ au sens des moindres carrées revient à trouver un vecteur ܺ tel
que : ෠
ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ bฮ ൌ min௑‫א‬Թ೙ ԡ‫ ܺ .ܣ‬െ bԡ

Proposition :
Soit ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ un système compatible.
෨ ෠
si ܺ est une solution de ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ alors :ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ bฮሺൌ 0ሻ ൌ min௑‫א‬Թ೙ ԡ‫ ܺ .ܣ‬െ bԡ
les solutions et solutions au sens des moindres carrées de ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ sont alors confondues.

෠ ෠
Un vecteur ܺ est une solution, au sens des MCO, d’un système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ ssi ܺ est une solution du système
‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ, où ܾ ൌ ‫݉ܫ݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ ሺܾሻ :
෠ ෠
Puisque ܾ ൌ ‫݌‬
෠ ሺܾሻ alors :
‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ
ூ௠ሺ஺ሻൌ൛‫אܺ ; ܺ.ܣ‬Թ݊ ൟ
෠ ෠
ฮܾ െ ܾฮ ൌ min ԡܾ െ ܻԡ ሯልልልልልልልልልልልልልሰ ฮܾ െ ܾฮ ൌ min ԡܾ െ ‫ܺ .ܣ‬ԡ
ܻ‫݉ܫא‬ሺ‫ܣ‬ሻ ݊
ܺ‫א‬Թ
෠
Or, une solution ܺ, au sens des MCO, du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ est caractérisée par :
෠
ฮܾ െ ‫ܺ .ܣ‬ฮ ൌ ݉݅݊ ԡܾ െ ‫ܺ .ܣ‬ԡ
௑‫א‬Թ೙
Donc : ෠ൌܾ
‫ܺ .ܣ‬ ෠

18


Proposition :

෠ ෠ ෠
ܺ est une solution, au sens des MCO, du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ ssi ܺ est une solution du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ, où
ܾൌ‫݌‬
෠ ሺܾሻ.
‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ

Proposition :
Le système ௧‫ ܺ .ܣܣ‬ൌ ௧‫ ܾ .ܣ‬admet toujours au moins une solution.
Toute solution du système ௧‫ ܺ .ܣܣ‬ൌ ௧‫ ܾ .ܣ‬est une solution au sens des moindres carrées du
système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ.

Définition :

Le système ௧‫ ܺ .ܣܣ‬ൌ ௧‫ ܾ .ܣ‬s’appelle « système des équations normales ».

Proposition :

Si les colonnes de la matrice ‫ ܣ‬sont linéairement indépendantes alors le système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ a exactement
une seule solution au sens des MCO.

Soit ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ un système linéaire, avec ‫ࣧ א ܣ‬ሺ݉, ݊ሻ.
Proposition :

Si ݊ ൑ ݉ ݁‫݃ݎ ݐ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ݊ alors le système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ a exactement une seule solution au sens des MCO.

‫ݔ‬൅‫ ݕ‬ൌ4 1 1 4
‫ݔ‬
൝‫ ݔ‬ൌ 5 ‫׷‬ ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ ܽ‫ ܣ ܿ݁ݒ‬ൌ ൥1 0 ൩ , ቀ‫ݕ‬ቁ ݁‫ ܾ ݐ‬ൌ ൭5൱
‫ݔ‬െ‫ ݕ‬ൌ9 1 െ1 9
Exemple :

(1) En utilisant les équations normales ࢚࡭࡭. ࢄ ൌ ࢚࡭. ࢈ :

1 1
‫ ۓ‬௧‫ ܣܣ‬ൌ ቂ1 1
1
ቃ ൥1 0 ൩ ൌ ቂ
3 0
ቃ
ۖ െ11 0 0 2
On calcule ௧‫ ܺ .ܣܣ‬et ௧‫: ܾ .ܣ‬ 1 െ1
‫۔‬௧ 4
1 1 1 18
ۖ ‫ ܾ .ܣ‬ൌ ቂ ቃ . ൭5 ൱ ൌ ቀ ቁ
‫ە‬ 1 0 െ1 െ5
9
3 0 ‫ݔ‬ 18
Les équations normales ‫ ܺ .ܣܣ‬ൌ ‫ ܾ .ܣ‬s’écrivent alors :
௧ ௧
ቂ ቃ . ቀ‫ ݕ‬ቁ ൌ ቀ ቁ
0 2 െ5
෠ 6
La solution du système ௧‫ ܺ .ܣܣ‬ൌ ௧‫ ܾ .ܣ‬est alors donnée par : ܺൌ൬ ൰
5/2
7/2 4 െ1/2
෠ ෠
On calcule ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾฮ : ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾฮ ൌ ะ൭ 6 ൱ െ ൭5൱ะ ൌ ะ 1 ะ ൌ ටଶ
ଷ

17/2 9 െ1/2
On a alors : ෠
min௑‫א‬Թ೙ ԡ‫ ܺ .ܣ‬െ bԡ ൌ ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ bฮ ൌ ටଶ
ଷ

19


(2) En utilisant la projection orthogonale de ࢈ sur ࡵ࢓ሺ࡭ሻ :

On détermine ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ : ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫݁ .ܣ‬ଵ , ‫݁ .ܣ‬ଶ ሽ, ሼ݁ଵ , ݁ଶ ሽ étant la base canonique de Թଶ
1 െ1
‫ݒ‬ଵ ൌ ‫݁ .ܣ‬ଵ ൌ ൭1൱ et ‫ݒ‬ଶ ൌ ‫݁ .ܣ‬ଶ ൌ ൭ 0 ൱ ฺ ሼ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ሽ est une base de ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ , ܿܽ‫ ݎ‬ሼ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ሽ est libre
1 1
1 െ1
On construit une base orthonormée ሼߝଵ , ߝଶ ሽ de ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ : ߝଵ ൌ ൭1൱ ; ߝଶ ൌ ൭ 0 ൱
ଵ ଵ

1 1
√ଷ √ଶ

4 7/2
෠ ෠ ෠
On calcule ܾ ൌ ‫݌‬ூ௠ሺ஺ሻ ሺܾሻ, ܾ ൌ ൭5൱ ‫ ܾ ׷‬ൌ ‫ߝ ,ܾۃ‬ଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൅ ‫ߝ ,ܾۃ‬ଶ ‫ߝ .ۄ‬ଶ ฺ ܾ ൌ ൭ 6 ൱
9 17/2
෠ ෠ 6
La solution du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ est alors donnée par : ܺ ൌ ൬ ൰
5/2
෠ ෠ ෠
On calcule ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾฮ : ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾฮ ൌ ฮܾ െ ܾฮ ൌ ටଶ
ଷ

On retrouve alors : ෠
min௑‫א‬Թ೙ ԡ‫ ܺ .ܣ‬െ bԡ ൌ ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ bฮ ൌ ටଶ
ଷ

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S4 cours chap2 - produit scalaire-orthogonalité

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