About: 代数的閉包

数学、特に抽象代数学において、体 K の代数的閉包（だいすうてきへいほう、英: algebraic closure）は、代数的に閉じている K の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。 ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつことと、体 K の代数的閉包は K のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。この本質的な一意性のため、an algebraic closure of K よりむしろ the algebraic closure of K と呼ばれることが多い。 体 K の代数的閉包は K の最大の代数拡大と考えることができる。このことを見るためには、次のことに注意しよう。L を K の任意の代数拡大とすると、L の代数的閉包は K の代数的閉包でもあり、したがって L は K の代数的閉包に含まれる。K の代数的閉包はまた K を含む最小の代数的閉体でもある。なぜならば、M が K を含む任意の代数的閉体であれば、K 上代数的な M の元全体は K の代数的閉包をなすからだ。 体 K の代数的閉包の濃度は、K が無限体ならば K と同じで、K が有限体ならば可算無限である。