算法题就像搭乐高：手把手带你拆解 LFU 算法
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上篇文章 算法题就像搭乐高：手把手带你拆解 LRU 算法 写了 LRU 缓存淘汰算法的实现方法，本文来写另一个著名的缓存淘汰算法：LFU 算法。
从实现难度上来说，LFU 算法的难度大于 LRU 算法，因为 LRU 算法相当于把数据按照时间排序，这个需求借助链表很自然就能实现，你一直从链表头部加入元素的话，越靠近头部的元素就是新的数据，越靠近尾部的元素就是旧的数据，我们进行缓存淘汰的时候只要简单地将尾部的元素淘汰掉就行了。
而 LFU 算法相当于是淘汰访问频次最低的数据，如果访问频次最低的数据有多条，需要淘汰最旧的数据。把数据按照访问频次进行排序，而且频次还会不断变化，这可不容易实现。
所以说 LFU 算法要复杂很多，labuladong 进字节跳动的时候就被面试官问到了 LFU 算法。
话说回来，这种著名的算法的套路都是固定的，关键是由于逻辑较复杂，不容易写出漂亮且没有 bug 的代码。
那么本文 labuladong 就带你拆解 LFU 算法，自顶向下，逐步求精。
一、算法描述
要求你写一个类，接受一个capacity参数，实现get和put方法：
class LFUCache {
// 构造容量为 capacity 的缓存
public LFUCache(int capacity) {}
// 在缓存中查询 key
public int get(int key) {}
// 将 key 和 val 存入缓存
public void put(int key, int val) {}
}
get(key)方法会去缓存中查询键key，如果key存在，则返回key对应的val，否则返回 -1。
put(key, value)方法插入或修改缓存。如果key已存在，则将它对应的值改为val；如果key不存在，则插入键值对(key, val)。
当缓存达到容量capacity时，则应该在插入新的键值对之前，删除使用频次（后文用freq表示）最低的键值对。如果freq最低的键值对有多个，则删除其中最旧的那个。
// 构造一个容量为 2 的 LFU 缓存
LFUCache cache = new LFUCache(2);
// 插入两对 (key, val)，对应的 freq 为 1
cache.put(1, 10);
cache.put(2, 20);
// 查询 key 为 1 对应的 val
// 返回 10，同时键 1 对应的 freq 变为 2
cache.get(1);
// 容量已满，淘汰 freq 最小的键 2
// 插入键值对 (3, 30)，对应的 freq 为 1
cache.put(3, 30);
// 键 2 已经被淘汰删除，返回 -1
cache.get(2);
二、思路分析
一定先从最简单的开始，根据 LFU 算法的逻辑，我们先列举出算法执行过程中的几个显而易见的事实：
1、调用get(key)方法时，要返回该key对应的val。
2、只要用get或者put方法访问一次某个key，该key的freq就要加一。
3、如果在容量满了的时候进行插入，则需要将freq最小的key删除，如果最小的freq对应多个key，则删除其中最旧的那一个。
好的，我们希望能够在 O(1) 的时间内解决这些需求，可以使用基本数据结构来逐个击破：
1、使用一个HashMap存储key到val的映射，就可以快速计算get(key)。
HashMap<Integer, Integer> keyToVal;
2、使用一个HashMap存储key到freq的映射，就可以快速操作key对应的freq。
HashMap<Integer, Integer> keyToFreq;
3、这个需求应该是 LFU 算法的核心，所以我们分开说。
3.1、首先，肯定是需要freq到key的映射，用来找到freq最小的key。
3.2、将freq最小的key删除，那你就得快速得到当前所有key最小的freq是多少。想要时间复杂度 O(1) 的话，肯定不能遍历一遍去找，那就用一个变量minFreq来记录当前最小的freq吧。
3.3、可能有多个key拥有相同的freq，所以 freq对key是一对多的关系，即一个freq对应一个key的列表。
3.4、希望freq对应的key的列表是存在时序的，便于快速查找并删除最旧的key。
3.5、希望能够快速删除key列表中的任何一个key，因为如果频次为freq的某个key被访问，那么它的频次就会变成freq+1，就应该从freq对应的key列表中删除，加到freq+1对应的key的列表中。
HashMap<Integer, LinkedHashSet<Integer>> freqToKeys;
int minFreq = 0;
介绍一下这个LinkedHashSet，它满足我们 3.3，3.4，3.5 这几个要求。你会发现普通的链表LinkedList能够满足 3.3，3.4 这两个要求，但是由于普通链表不能快速访问链表中的某一个节点，所以无法满足 3.5 的要求。
LinkedHashSet顾名思义，是链表和哈希集合的结合体。链表不能快速访问链表节点，但是插入元素具有时序；哈希集合中的元素无序，但是可以对元素进行快速的访问和删除。
那么，它俩结合起来就兼具了哈希集合和链表的特性，既可以在 O(1) 时间内访问或删除其中的元素，又可以保持插入的时序，高效实现 3.5 这个需求。
综上，我们可以写出 LFU 算法的基本数据结构：
class LFUCache {
// key 到 val 的映射，我们后文称为 KV 表
HashMap<Integer, Integer> keyToVal;
// key 到 freq 的映射，我们后文称为 KF 表
HashMap<Integer, Integer> keyToFreq;
// freq 到 key 列表的映射，我们后文称为 FK 表
HashMap<Integer, LinkedHashSet<Integer>> freqToKeys;
// 记录最小的频次
int minFreq;
// 记录 LFU 缓存的最大容量
int cap;
public LFUCache(int capacity) {
keyToVal = new HashMap<>();
keyToFreq = new HashMap<>();
freqToKeys = new HashMap<>();
this.cap = capacity;
this.minFreq = 0;
}
public int get(int key) {}
public void put(int key, int val) {}
}
三、代码框架
LFU 的逻辑不难理解，但是写代码实现并不容易，因为你看我们要维护KV表，KF表，FK表三个映射，特别容易出错。对于这种情况，labuladong 教你三个技巧：
1、不要企图上来就实现算法的所有细节，而应该自顶向下，逐步求精，先写清楚主函数的逻辑框架，然后再一步步实现细节。
2、搞清楚映射关系，如果我们更新了某个key对应的freq，那么就要同步修改KF表和FK表，这样才不会出问题。
3、画图，画图，画图，重要的话说三遍，把逻辑比较复杂的部分用流程图画出来，然后根据图来写代码，可以极大减少出错的概率。
下面我们先来实现get(key)方法，逻辑很简单，返回key对应的val，然后增加key对应的freq：
public int get(int key) {
if (!keyToVal.containsKey(key)) {
return -1;
}
// 增加 key 对应的 freq
increaseFreq(key);
return keyToVal.get(key);
}
增加key对应的freq是 LFU 算法的核心，所以我们干脆直接抽象成一个函数increaseFreq，这样get方法看起来就简洁清晰了对吧。
下面来实现put(key, val)方法，逻辑略微复杂，我们直接画个图来看：
这图就是随手画的，不是什么正规的程序流程图，但是算法逻辑一目了然，看图可以直接写出put方法的逻辑：
public void put(int key, int val) {
if (this.cap <= 0) return;
/* 若 key 已存在，修改对应的 val 即可 */
if (keyToVal.containsKey(key)) {
keyToVal.put(key, val);
// key 对应的 freq 加一
increaseFreq(key);
return;
}
/* key 不存在，需要插入 */
/* 容量已满的话需要淘汰一个 freq 最小的 key */
if (this.cap <= keyToVal.size()) {
removeMinFreqKey();
}
/* 插入 key 和 val，对应的 freq 为 1 */
// 插入 KV 表
keyToVal.put(key, val);
// 插入 KF 表
keyToFreq.put(key, 1);
// 插入 FK 表
freqToKeys.putIfAbsent(1, new LinkedHashSet<>());
freqToKeys.get(1).add(key);
// 插入新 key 后最小的 freq 肯定是 1
this.minFreq = 1;
}
increaseFreq和removeMinFreqKey方法是 LFU 算法的核心，我们下面来看看怎么借助KV表，KF表，FK表这三个映射巧妙完成这两个函数。
四、LFU 核心逻辑
首先来实现removeMinFreqKey函数：
private void removeMinFreqKey() {
// freq 最小的 key 列表
LinkedHashSet<Integer> keyList = freqToKeys.get(this.minFreq);
// 其中最先被插入的那个 key 就是该被淘汰的 key
int deletedKey = keyList.iterator().next();
/* 更新 FK 表 */
keyList.remove(deletedKey);
if (keyList.isEmpty()) {
freqToKeys.remove(this.minFreq);
// 问：这里需要更新 minFreq 的值吗？
}
/* 更新 KV 表 */
keyToVal.remove(deletedKey);
/* 更新 KF 表 */
keyToFreq.remove(deletedKey);
}
删除某个键key肯定是要同时修改三个映射表的，借助minFreq参数可以从FK表中找到freq最小的keyList，根据时序，其中第一个元素就是要被淘汰的deletedKey，操作三个映射表删除这个key即可。
但是有个细节问题，如果keyList中只有一个元素，那么删除之后minFreq对应的key列表就为空了，也就是minFreq变量需要被更新。如何计算当前的minFreq是多少呢？
实际上没办法快速计算minFreq，只能线性遍历FK表或者KF表来计算，这样肯定不能保证 O(1) 的时间复杂度。
但是，其实这里没必要更新minFreq变量，因为你想想removeMinFreqKey这个函数是在什么时候调用？在put方法中插入新key时可能调用。而你回头看put的代码，插入新key时一定会把minFreq更新成 1，所以说即便这里minFreq变了，我们也不需要管它。
下面来实现increaseFreq函数：
private void increaseFreq(int key) {
int freq = keyToFreq.get(key);
/* 更新 KF 表 */
keyToFreq.put(key, freq + 1);
/* 更新 FK 表 */
// 将 key 从 freq 对应的列表中删除
freqToKeys.get(freq).remove(key);
// 将 key 加入 freq + 1 对应的列表中
freqToKeys.putIfAbsent(freq + 1, new LinkedHashSet<>());
freqToKeys.get(freq + 1).add(key);
// 如果 freq 对应的列表空了，移除这个 freq
if (freqToKeys.get(freq).isEmpty()) {
freqToKeys.remove(freq);
// 如果这个 freq 恰好是 minFreq，更新 minFreq
if (freq == this.minFreq) {
this.minFreq++;
}
}
}
更新某个key的freq肯定会涉及FK表和KF表，所以我们分别更新这两个表就行了。
和之前类似，当FK表中freq对应的列表被删空后，需要删除FK表中freq这个映射。如果这个freq恰好是minFreq，说明minFreq变量需要更新。
能不能快速找到当前的minFreq呢？这里是可以的，因为我们刚才把key的freq加了 1 嘛，所以minFreq也加 1 就行了。
至此，经过层层拆解，LFU 算法就完成了。
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