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Matemática Discreta
Lista de exercícios resolvidos
Parte I: Técnicas de prova e definições indutivas
1) Vamos provar a conjectura “Para um número ser primo não é suficiente que seja ímpar”. Siga os seguintes
passos para prová-la:
(a) Desconsidere o não do enunciado e coloque o restante na forma “se P então Q”
(b) Para provar a frase original “não (se P então Q)” basta refutar “se P então Q”
(a) se um número é ímpar então ele é primo
(b) para refutar (a) basta encontrar um contra-exemplo. Ora, 9 é ímpar mas não é primo. Logo a
conjectura original está provada.
2) Prove que “se x é positivo então x+1 é positivo”
a) por contraposição
b) por contradição
(a) provar que “se x+1 não é positivo então x não é positivo”. Ora, se x+1 ≤ 0, como x<x+1, teremos
que x também é negativo;
(b) suponha que x ≥ 0 e x+1 < 0. Como x ≥ 0, e x+1 > x, teremos x+1 > 0, contradição com a hipótese.
3) (a) Mostre, por contradição, que a função inversa de uma função bijetiva f(x), é única.
Suponhamos que f(x) tem duas inversas f1
-1
(y) e f2
-1
(y). Como as duas funções são diferentes existe um
y tal que f1
-1
(y) ≠ f2
-1
(y). Neste caso, se x1= f1
-1
(y) e x2 = f2
-1
(y) temos que, f(x1)=y e f(x2)=y, já que as
duas são inversas de f(x). Mas neste caso f(x) não é injetiva e, portanto, não é bijetiva!
CONTRADIÇÃO.
(b) Prove, por indução, que para todo inteiro positivo n vale que 7n-2n é divisível por 5.
Para n=1 temos 7-2=5 OK
Supondo que 7n-2n é divisível por 5 existe um k tal que 7n-2n=5k.
Agora 7(n+1) – 2(n+1)= 7n+7-(2n+2)= 7n-2n +7-2 = 5k +7-2=5(k+1). CONFIRMADO
4) A seqüência de números triangulares é 1, 3, 6, 10, .. é baseada nos triângulos
1 3 6
Encontre a relação de recorrência e a fórmula fechada desta seqüência. Para encontrar a fórmula fechada
use o princípio expandir, supor, verificar.
A sequência será 1, 3(=1+2), 6(=3+3), 10(=6+4), 15(=10+5), 21(=15+6),.., logo a
relação de recorrência será: S(1) = 1 e S(n) = S(n-1) + n.
Fórmula fechada:
Expandir: S(1) = 1; S(2) = 1 + 2; S(3) = 1 + 2 + 3; S(4) = 1 + 2 + 3 + 4
Supor: S(n) = Σ i=1,..,n i
Verificar: S(1)=1 = Σ i=1,..,1 i
Supondo verdadeiro que S(n) = Σ i=1,..,n i temos que
S(n+1) = S(n) + n+1 = Σ i=1,..,n i + n+1 = Σ i=1,..,n+1 i C.Q.D.O

5) Mostre, por indução, que para a seqüência de Fibonacci vale a relação
F(n) < 2n
(N.B. a seqüência de Fibonacci é dada por F(1)=1; F(2)=2 e F(n)=F(n-1) + F(n-2))
Hipótese de indução: F(1) = 1 < 21
, F(2) = 2 < 22
, F(n-1) < 2n-1
e F(n) < 2n
.
Vamos mostrar que F(n+1) = < 2n+1
para n > 2
Por definição temos que
F(n+1) = F(n) + F(n-1), substituindo a hipótese de indução, temos que
F(n+1) < 2n
.+ 2n-1
. Temos que 2n
+ 2n-1
.= 2. 2n-1
+ 2n-1
. = 3.2n-1
. Por outro lado
2n+1
= 2.2.2n-1
= 4.2n-1
. Como 3.2n-1
< 4.2n-1
está provado a conjectura.
Na prova acima foi usada ‘indução completa’. A prova por indução simples seria:
F(n+1) = F(n) + F(n-1), pela definição de F(n)
= F(n-1)+F(n-2) + F(n-1), pela hipótese de indução
< 2n
+ F(n-1) como F(n-1) = F(n) – F(n-2)
< 2n
+ 2n
– F(n-2) = 2n+1
– F(n-2)
Então temos F(n+1) + F(n-2) < 2n+1
e, como F(n-2) > 0 teremos F(n+1) < 2n+1
6) Mostre, por indução, que n3
+ 2n é divisível por 3
n=1: 1+2=3
supondo que n3
.+ 2n é divisível por 3, temos n3
.+ 2n = 3k
agora (n+1)3
.+ 2(n+1) =
(n+1)(n2
+ 2n +1)+2n+2 = n3
+ 2n2
+ n + n2
+ 2n + 1 + 2n +2 =
3k + 3n2
+ 3n +3 = 3(k + n2
+ 3n + 1)
7) Prove que “se x e y são ímpares então x+y é par”
a. Por contraposição :
Se x+y é impar então x ou y é par.
Pela hipótese x+y = 2n + 1. Mas, para que isso aconteca, x e y não podem ser ambos ímpares
pois, neste caso, teríamos x+y = 2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1), que é par. Logo x ou y tem que ser
par.
b. Por contradição
Para x e y impares, suponha x+y impar. Mas, se x+y é ímpar, x+y = 2k+1. Nesse caso x e y não
podem ser ambos ímpares pois, teríamos x+y =2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1), que é par!
8) Uma sequência é definida por S(1) = 1, S(n)=n+S(n-1)
Encontre a forma fechada, usando o princípio: expandir, supor, verificar.
RESP:
Expandir: S(1) = 1; S(2) = 2 + 1; S(3) = 3 + S(2) = 3 + 2 + 1; S(4) = 4 + S(3) = 4 + 3 + 2 + 1
Supor: S(n) = Σ i=1,..,n i
Verificar: por indução: S(1) = Σ i=1,..,1 i = 1, OK
Supondo que vale S(n) = Σ i=1,..,n i teremos
S(n+1) = n+1 + S(n) = n+1 + Σ i=1,..,n i = Σ i=1,..,n+1 i. Verificado!
9) Demonstre quais das afirmações a seguir são verdadeiras ou mostre quais são falsas:
a) O cubo de um número par x é par
Verdadeiro. Prova por absurdo: Suponhamos que existe um ímpar n = p3
, em que p é um par. Logo n =
p.p.p = p2
.p Como p é par existe um inteiro q tal que p=2.q. Mas então temos que = p2
.q.2 e fazendo p2
.q
= m temos n = 2.m, contradizendo a suposição de que n é ímpar.
b) |x+y| ≤ |x| + |y|
Verdadeiro: Temos 3 casos principais: (1) x e y positivos, (2) um deles é negativo e (3) ambos
negativos.
(1) Neste caso, |x| = x e |y| = y, logo |x+y| = |x| + |y| = x+y

(2) Seja x< 0 e y ≥ 0, neste caso x+y < |x| + y = |x| + |y| e, como para todo número n≤ |n| temos que |
x+y| < ||x| + |y|| = |x| + |y|
(3) para x e y negativos teremos |x+y| = |-(-x + -y)| = |(-x + -y)| = |-x| + |-y| = |x| + |y|
(4) Os casos em que um deles é 0 podem ser enquadrados nos casos anteriores.
c) 1+5+9+ ... + (4n-3) = n(2n-1) {prove por indução que vale para todo inteiro positivo n}
Prova:
Para n=1 temos 4n-3=1 a sequência terá um só termo como 1=1(2.1-1)= 1. OK
Supondo que vale para n, para n+1 sería:
1+5+9+ ... + (4n-3)+(4(n+1)-3) = (n+1)(2(n+1)-1)
n(2n-1) + 4n+4-3 = 2n2
-n + 4n +1= 2n2
+ 3n +1
A outra parte fica sendo
(n+1)(2n+2-1) = (n+1)(2n+1) = 2n2
+n+ 2n+1=2n2
+3n+1 C.Q.D.
Parte II: Conjuntos e Gramáticas
1) Sejam A = {p,q,r,s}; B = {r,t,v} e C = {p,s,t,u}. subconjuntos de S={p,q,r,s,t,u,v,w} Encontre (Obs. A’ é
o complemento de A):
1) (A ∩ B)’
2) A’ – (B ∪ C)
3) (B-A) × A
4) R ={(x,y) ∈ B × A tal que x precede y no alfabeto}
5) R ={(x,y) ∈ B × S tal que x divide y}
1) (A ∩ B) = {r}, logo (A ∩ B)’ = {p,q,s,t,u,v,w}
2) {t,u,v,w} – {p,r,s,t,u,v} = {w}
3) {t,v} × {p,q,r,s} = {(t,p), (t,q), (t,r), (t,s), (v,p), (v,q), (v,r), (v,s)}
4) {(r,s)}
5) {(1,1),...,(1,10),(3,3),(3,6),(3,9),(5,5),(5,10)}
2) Sejam A = {2,4,5,6,8}, B = {1,3,5} e C = {x/x ∈ Z e 3≤ x < 5} subconjuntos de S={0,...,10} Encontre:
a. (A ∩ B)’
(A ∩ B)’ = ({2,4,5,6,8} ∩ {1,3,5})’ = ({5})’ = {0,1,2,3,4,6,7,8,9,10}
b. A’ – (B ∪ C)
A’ – (B ∪ C) = {2,4,5,6,8}’ – ({1,3,5}∪{3,4}= {0,1,3,7,9,10} – {1,3,4,5}) = {0,7,9,10}
c. (B-A) × A
({1,3,5} - {2,4,5,6,8}) × {2,4,5,6,8}= {1,3} × {2,4,5,6,8} = {<1,2>,<1,4>,<1,5>,1,6>,<1,8>,
<3,2>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<3,8>}
d. R ={(x,y) ∈ B × A tal que x divide y}
R = {<1,2>,<1,4>,<1,5>,1,6>,<1,8>, <3,6>,<5,5>}
2) Seja a gramática G = < Σ , L, P>, com Σ = Σ t∪Σ nt , Σ t = {0,1}, Σ nt= {S }, L= Σ t*
e as produções P = { S →0S, S →1}
a) Quais sentenças válidas são produzidas por esta gramática?
b) E se acrescentarmos a produção S →S0?
(a) As sentenças válidas são 1, 01, 001, 0001, 00001, ...
(b) Agora temos 1, 01, 001, 0001, ...
e 10, 100, 1000, ...
e 010, 0010, 00010, ...
Ou seja, todas cadeias com um ‘1’ e restante ‘0’s.
3)

a) Qual a diferença entre ∅ ,{∅}, {}? Dê a cardinalidade de cada um e as possíveis relações {⊆, ⊂, ∈
ou =} entre eles.
RESP: |∅|=|{}|=0 e |{∅}| = 1. ∅ = {}, ∅ ∈ {∅}, ∅ ⊂ {∅}, ∅ ⊆ ∅ e {∅} ⊆ {∅}.
b) Dados os conjuntos A={a, {a}, {{a}}}, B={a} e C={∅, {a,{a}}}, dê a cardinalidade de cada um e
mostre quais afirmações são verdadeiras: C⊆A; B∈A; B⊆C; {a, {a}}∈A; A-B∈C.
RESP: |A| = 3, |B| = 1, |C| = 2.
C⊆A - falsa; B∈A - verdadeira; B⊆C - falsa; {a, {a}}∈A - falsa; A-B∈C - falsa.
4) Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde:
Σ = {+, -, .,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} U {B, S, I, P, F}, sendo B o símbolo inicial.
R = {B →SIPF,
S →+|-| λ
I →ID | D
P →.
F →DD
D →0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9 }
1) Qual a linguagem que esta gramática define?
RESP: esta gramática reconhece números com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente
ou não. Os números poderão começar com um ou mais dígitos ‘0’. Em outras palavras, reconhece
sequencias da forma +nn...n.nn ou –n...n.nn ou nn...n.nn.
2) Mostre como ela reconhece o número -459.33
RESP: para testar, basta seguir, em ordem inversa, as regras até chegar a B. Ou seja, temos:
-459.33 →-459.DD →-459.F →-459PF →-45DPF →-4DDPF →-DDDPF →SDDDPF →SIDDPF
→SIDPF →SIPF →B (N.B. também pode-se percorrer o caminho inverso)
3) Modifique a gramática para que ela reconheça números inteiros, sem frações.
RESP:Para reconhecer só números inteiros, deve-se alterar a primeira regra para B→SI e excluir as
regras P →. e F →DD
Para reconhecer também números inteiros, a primeira regra fica sendo B→SIPF | SI
5)
Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde:
Σ = Σ nt ∪ Σ t sendo Σ t = {+, -, ., /, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} e Σ nt = {B, EXP, OP, N, D}, com as
regras de produção:
R = { 1: B →EXP; 2: EXP →( EXP ) OP N; 3: EXP →N OP N;
4: OP →+ | - | . | / ; 5: N →D | ND; 6: D →0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9}
Qual a linguagem que esta gramática define?
Define expressões aritméticas da forma op1 op op2 em que op é um dos operadores +, -, . ou /, op2 é
um número inteiro positivo e op1 é ou também um inteiro ou outra expressão da mesma forma entre
parêntesis.
b) Mostre como ela reconhece a expressão (30-5)+025. Indique qual regra foi aplicada em cada
passo.
-(1)-: B →EXP -(2)-: ( EXP ) OP N -(4)-: ( EXP ) + N -(5)-: ( EXP ) + ND -(5)-: ( EXP ) + NDD -(5)-:
( EXP ) + DDD -(6*)-: ( EXP ) + 025 -(3)-: ( N OP N ) + 025 -(5)-: ( N OP D ) + 025 -(6)-: ( N OP 5 ) +
025 -(5)-: ( ND OP 5 ) + 025 -(5)-: ( DD OP 5 ) + 025 -(5*)-: ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)-: ( 30 - 5 ) + 025
c) Modifique a gramática para que ela:
também reconheça expressões entre parêntesis à direita e
Alterar a regra (2) para: 2: EXP →N OP (EXP) | ( EXP ) OP N;
um número não comece com 0 (zero).

Substituir as regras 5: e 6: por 5: N →P | PD; 6: D →DF | F; 7: P →1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9; 8: F →P |
0 | λ
E acrescentar aos não-terminais os símbolos P e F.
6) Considere a gramática: G = <Σ , L, R >. Onde:
R →0R1 | 1R0 | λ
a) A palavra 11001 pertence à linguagem geada por G?
Não, pois se tentamos produzi-la, p.ex. R→1R0→11R00→1100 vai faltar a produção do último ‘1’ a direita.
Generalizando, toda regra produz um número par de terminais, logo é impossível produzir uma cadeia com
5 dígitos.
b) Qual linguagem definida por G?
Cadeias de 1s e 0s tal que para cada dígito na enésima posição da esquerda para a direita ocorre o inverso
desse dígito na enésima posição da direita para a esquerda.
7) Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde:
Σ = Σ nt ∪ Σ t sendo Σ t = {‘a’, ‘b’, ‘c’,..,’x’, ‘y’, ‘z’, ‘,’, ‘ ‘} e
Σ nt = {NC, Nome, Sobrenome, N, Letra}, com as regras de produção:
R = {1: NC →Nome ´ ´ Sobrenome; 2: Nome →N | N ‘ ‘ Nome; 3: Sobrenome →N | N ‘ ‘ Nome;
4: N →Letra | Letra N; 5: Letra →‘a’ | ‘b’ | .. | ‘z’ ;
a) Mostre a sequência de produções para produzir teu nome completo.
1: NC →Nome ´ ´ Sobrenome;
(2): N ´ ´ Sobrenome;
(4): Letra N ´ ´ Sobrenome;
(4)5 vezes: Letra Letra Letra Letra Letra Letra ´ ´ Sobrenome;
(5)6 vezes: ulrich ´ ´ Sobrenome;
(3): ulrich ´ ´ N;
Repetindo (4)5 vezes: e (5)6 vezes: obtemos ulrich schiel
b) Altere a gramática para produzir o nome na forma inversa sendo que só o último sobrenome aparece
antes da vírgula.
Basta alterar as regras (1) e (3). Ficarão sendo:
1: NC →Sobrenome ´, ´ Nome;
3: Sobrenome  N;
Parte III: Relações
1) Podem ser definidas mais propriedades de relações binárias ρ em um conjunto S:
ρ é irreflexiva quando ∀x∈S temos (x,x) ∉ ρ ]
ρ é assimétrica quando ∀x,y∈S temos [(x, y)∈ ρ ⇒(y, x) ∉ ρ ]
a. Construa uma relação binária em S = {1,2,3} que é assimétrica e anti-simétrica. Obtenha o fecho
transitivo desta tua relação.
b. Analise o conjunto <N, ‘<’>, os naturais com a relação ‘menor que’ em relação às duas
propriedades definidas aqui e as outras.
a. R={(1,2), (2,3)}, o fecho transitivo é {(1,2), (2,3), (1,3)}
b. A relação <N, ‘<’> não é reflexiva e é irreflexiva, pois nenhum n<n. É anti-simétrica e assimétrica,
pois não existe nenhum para n, m, com n<m e m<n. Pelo mesmo motivo também não é simétrica. É
transitiva, pois se n<m e m< u, temos n<u.
2) Seja S={∅,{a}, {a,b},{c}, {a,c},{b}} e a relação de ⊆.

1. Desenhe o Diagrama de Hasse desta relação
2. Encontre o fecho transitivo
(2) A relação ⊆ já é transitiva
3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relações
(a) Diga se a relação entre números naturais x ρ y ↔ x = y + 1 é um-para-um, um-para-muitos ou
muitos-para-muitos.
(b) Mostre se a relação entre cadeias de caracteres dada por x ρ y ↔ o comprimento de x é menor ou
igual ao comprimento de y, é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e/ou transitiva.
(c) Crie uma relação qualquer que é reflexiva e simétrica mas não é transitiva;
(d) Crie uma relação qualquer que não é reflexiva nem simétrica mas é transitiva;
(a)É um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que é igual a x+1, e inversamente,
exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1, nunca mais que um.
Reflexiva: pois o comprimento de toda cadeia é igual ao seu comprimento, logo é menor ou igual.
Simétrico: Não pois se x é mais longo que y não terá comprimento menor.
Anti-simétrica pois se comprimento(x) <= comprimento(y) e vice versa então x=y
Transitiva: sim pois se comprimento(x) <= comprimento(y) e comprimento(y) <= comprimento(z) é
claro que comprimento(x) <= comprimento(z)
(c) Seja a relação x ρ y ↔ x=y ou x é par ou y é par. É reflexiva pela condição x=y. É simétrica pois
o ou é comutativo. Não é transitiva pois, p.ex. vale 3 ρ 4 e 4 ρ 5 mas não vale 3 ρ 5.
4) Seja P o conjunto dos habitantes de uma cidade. Considerando as relações a seguir mostre, para cada
uma delas, quais propriedades básicas (reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva) ela satisfaz e se
ela é uma relação de ordem (parcial ou total) ou uma relação.
a. perto(x,y) = x mora a menos de 500m de y
é reflexiva pois todo habitante mora perto dele mesmo
é simétrica pois a distância de x para y é a mesma que a de y para x
não é anti-simétrica pois se dois habitantes moram perto um do outro, não significa que são a
mesma pessoa
não é transitiva pois se x mora a 400m de y e y mora a 400m de z a distância de x para z pode ser de
800m, logo não estão mais perto
não é relação de ordem nem de equivalência pois não é transitiva
b. longe(x,y) = x mora a mais de 500m de y
não é reflexiva pois ninguém mora longe dele mesmo
é simétrica pois se x mora longe de y o mesmo acontece entre y e x
não é anti-simétrica pois se x mora longe de y temos longe(x,y) e longe(y,x) mas x≠ y
não é transitiva pois posso ter longe(x,y) e longe(y,z) mas z ser vizinho de x, ou seja, vale perto(x,z)
não é relação de ordem nem de equivalência pois não é reflexiva nem transitiva
c. mesmo-bairro(x,y) = x mora no mesmo bairro de y
∅
{a} {c}{b}
{a,b} {a,c}

é reflexiva pois todo habitante mora no mesmo bairro dele mesmo
é simétrica pois sempre vale mesmo-bairro(x,y) sss mesmo-bairro(y,x)
não é anti-simétrica pois basta ter mais de um habitante em um bairro
é transitiva pois x, y e z irão morar no mesmo bairro
é uma relação de equivalência pois valem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
d. mesmo-perto(x,y) = perto(x,y) ∧mesmo-bairro(x,y)
é reflexiva pois tanto perto(x,y) e mesmo-bairro(x,y) são reflexivas
é simétrica pelo mesmo motivo
não é anti-simétrica pois ambas não o são
não é transitiva pois posso ter x, y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva
para perto(x,z)
não é relação de ordem nem de equivalência pois não é transitiva
5) Seja S = {a,b,c,d} e ρ = {(a,a), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)}
Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo de ρ . Considerando ρ ’ a relação ρ após obter
os fechos reflexivo e simétrico, encontre o fecho transitivo de ρ ’?
Fecho reflexivo de ρ = ρ ∪ {(b,b),(c,c),(d,d)}
Fecho simétrico de ρ = ρ ∪ {(d,a),(d,b)}
Fecho transitivo de ρ = ρ ∪ {(c,d),(c,c)}
ρ ’ = ρ ∪ {(b,b),(c,c),(d,d), (d,a),(d,b)}
Fecho transitivo de ρ ”= ρ ’ ∪ {(a,b),(b,a),(c,d),(d,c),(b,c)}
6) Seja P um conjunto finito de pessoas. Considere as relações entre pessoas:
i) filho(p,q)  p é filho de q (da parte da mãe).
ii) irm(p,q)  ∃ r tal que filho(p,r) ∧filho(q,r)
iii) parente(p,q)  filho(p,q) ∨irm(p,q)
1) Analise as 3 relações quanto às propriedades reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva.
Existe uma relação de equivalência?
filho(p,q) é anti-simétrica
irm(p,q) é reflexiva, simétrica e transitiva
parente(p,q) é reflexiva e transitiva
2) O que falta para filho(p,q) ser uma relação de ordem parcial? Tente definir um ‘fecho’ para que
se torne uma ordem parcial. Chame este fecho de desc(p,q).
Ela não é reflexiva nem transitiva. Podemos definir
desc(p,q)  filho(p,q) ∨irm(p,q) ∨∃ r (filho(q,r) ∧desc(r,q))
3) Descreva os elementos maximais e minimais de S
max ∈ S é maximal ¬∃p∈ S tal que vale desc(p,max)
min ∈ S é maximal ¬∃p∈ S tal que vale desc(min,p) só existirá se for filho único
4) O conjunto P pode ser particionado em famílias. Defina uma relação de equivalência baseada
nesta partição.
Como ninguém tem duas mães, ou seja, filho(p,q1) e filho(p,q2) implica q1=q2, todo elemento
de S está relacionado a um único elemento maximal, max, pela relação desc(p,max). Logo, para
cada elemento maximal maxi ∈ S teremos uma classe de equivalência [maxi] = { p∈ S tal que
vale desc(p,maxi)}.
A relação será
mesma-fam(p,q)  ∃ max ∈ S tal que vale desc(p,max) ∧desc(q,max)
7) Sejam A = {p,s,t,u}. e B = {p,q,r,s,t,u,v,w}. Encontre
a) R ={(x,y) ∈ B × A tal que y é a próxima letra no alfabeto após x}
R = {(r,s), (s,t), (t,u)} (para quem leu A× B): R ={(p,q), (s,t), (t,u), (u,v)}

b) Encontre R’ o fechos reflexivo de R e R” o fecho transitivo de R’
R’=R ∪ {(r,r), (s,s), (t,t), (u,u)} (para A× B) R’=R ∪ {(p,p),(q,q),(s,s),(t,t),(u,u), (v,v)}
R” = R` ∪ {(r,t), (s,u), (r,u)} (para quem leu A× B) R”=R’∪ {(s,u), (t,v),(s,v)}
c) R” é uma relação de ordem? parcial ou total?
É uma relação de ordem parcial, pois é fechada reflexivamente e transitivamente e é anti-simétrica, pois
para todo par (x,y) de R” com x≠y, x será uma letra anterior a y logo é impossível termos (y,x).
8) Sejam o conjunto S = {a, b, c, d} e a relação ρ = {(a,a), (a,b), (b,d), (b,a), (b,b), (c,a)}.
1) Determine se a relação ρ é reflexiva, simétrica, transitiva, anti-simétrica, irreflexiva ou assimétrica
e justifique para cada caso.
Não é reflexiva pois faltam (c,c) e (d,d). Não é simétrica pois tem (b,d) mas falta (d,b). Não é transitiva
pois tem (a,b) e (b,d) mas falta (a,d). Não é anti-simétrica pois tem (a,b) e (b,a) mas a≠ b. Não é
irreflexiva pois tem (a,a) e (b,b). Não é assimétrica pois tem (a,a) e (a,b) e não deveria ter (a,a) e (b,a).
2) Encontre ρ ’ o fecho reflexivo de ρ , e ρ “ o fecho transitivo de ρ ’.
ρ ’ = ρ ∪ {(c,c), (d,d)}
ρ ’’ = ρ ' ∪ {(a,d), (c,b), (c,d)}
3) Encontre as reduções anti-simétrica e irreflexivas de ρ . Um redução significa retirar elementos da
relação até que ela satisfaça a condição.
Redução anti-simétrica: ρ − {(b,a)} ou então ρ − {(a,b)}
Redução irreflexiva: ρ − {(a,a), (b,b)}
Parte IIIb: Relações – Bancos de Dados
1) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relações
filho-de(F,P), filha-de(F,P).
a) Obtenha uma relação filho-ou-filha-de(F,P), que contém todos os filhos de cada pessoa;
b) A partir da relação de a), obtenha a relação unária filhos-de-joão(F) que contém todos os filhos da
pessoa ‘João’.
c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo
OBS: lembre-se que sobre estas relações podem ser aplicadas as operações convencionais sobre
conjuntos, como união, intersecção, diferença, assim como as operações relacionais:
R’=restrição(R, condição), que elimina de R todas tuplas que não satisfazem a condição, e
R’=projeção(R(A, A’)) na qual A’ ⊆ A, o conjunto dos atributos de R, e as tuplas de R são truncadas
para os atributos em A’
(e) filho-ou-filha-de(F,P) = filho-de(F,P) ∪ filha-de(F,P)
(f) R = restrição(filho-ou-filha-de, P=’João’)
filhos-de-joão(F) = projeção(R(F))
(g)
2) Seja o banco de dados
CURSO(Cur, Disc); EST(MatE, NomeE); MON(MatE, Disc); MAT(MatE, Disc);
PROF(NomeP, Disc);
Obtenha os dados:
1) Os nomes dos professores do curso de ‘Ciência da Computação’
R1 = CURSO[Cur=’Ciência da Computação’] uma relação com a estrutura R1(Cur, Disc)
R2 = PROF.P[P.Disc=R1.Disc]R1 uma relação com a estrutura R2(NomeP, Disc, Cur)
RESPOSTA = R2[NomeP]
2) Os nomes de todos monitores existentes
R1 = EST.E[E.MatE=M.MatE]MON.M uma relação com a estrutura R1(MatE, NomeE, Disc)

RESPOSTA = R1[NomeE]
3) Os nomes dos monitores matriculados em ‘Matematica Discreta’
R2 = MAT[Disc=’Matematica Discreta’] [MatE] nesta operação combinada, selecionamos os alunos
matriculados em ‘Matematica Discreta’ e projetamos para definir só os números de matricula.
A partir do resultado R1 da questão anterior, que contém uma relação de todos monitores,
determinamos os monitores de ‘Matematica Discreta’ pela junção com R2:
R3 = R1[R1.MatE=R2.MatE]R2 uma relação com a estrutura R3(MatE, NomeE, Disc), e
finalmente
3) RESPOSTA = R3[NomeE].
3)
Crie um banco de dados de produtos, clientes e vendas. Para o cliente temos um número, o nome e o ano desde quan
está cadastrado. Dos produtos temos um código, nome e total em estoque e das vendas é registrado a data, nr. do clie
e código do produto, quantidade e preço unitário.
Crie operações relacionais para responder às perguntas:
a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 1000,00.
b) Dado uma relação R a função count(R) determina o número de tuplas contidas em uma relação. Determine
quantos produtos não foram vendidos no ano corrente. Sugestão: calcule quantos produtos já foram vendidos. Conta
todos produtos existentes, da para determinar quantos não foram vendidos.
Temos CLIENTE(NR, NOME, ANO), PROD(CÓD, NOME, ESTOQUE) e
VENDAS(DATA, CLIENTE, CÓD, QUANT, PREÇO).
a) RESP = VENDAS[QUANT*PREÇO > 1000)[CLIENTE]
b) PV = VENDAS V[V.COD=PROD.P]PROD
VENDIDOS = PV[COD]
RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV: Funções
1) Dada uma função f: S →T, seja a relação ρ em SxS dada por x ρ y ⇔f(x)=f(y).
a) Mostre que ρ é uma relação de equivalência
b) Dadas as funções f(x)=x2
+2 e g(x) = sen(x). O que seria a classe de equivalência [π ] para cada uma
dessas funções
c) Se S é o conjunto dos números reais, descreva as partições de S criadas por ρ sob f(x) e sob g(x)
d) Qual seria a expressão das combinações f°g e g°f .
(a) Reflexiva: para todo x, x ρ x, pois f(x)=f(x)
Simétrica: se x ρ y, então f(x)=f(y) e, neste caso, também temos y ρ x
Transitiva: se x ρ y então f(x)=f(y), e se y ρ z, temos f(y)=f(z) logo, com as duas igualdades,
temos f(x)=f(z) o que implica em x ρ z
(b) Para f(x), [π ] sería {π , -π }, pois f(π ) = f(-π ) = π 2
+2.
Já para g(x), teríamos sen(π )=0, logo [π ] = {0, π , -π , 2π , -2π , 3π , -3π ,...}
(c) A partição de R sob f(x) sería que, para todo r ∈ R, {r, -r} é uma parte.
para g(x) cada parte sería determinado pela classe [kπ ], com 0 ≤ k < π
(d) f°g(x) = sen2
(x) + 2 e g°f(x) = sen(x2
+2).
2) Sejam os conjuntos S = {1, 2, 3, 4}, T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e
U = {6, 7, 8, 9, 10} e as funções
f: S →T com f = {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 6)} e
g: T →U com g = {(1, 7), (2, 6), (3, 9), (4,7), (5, 8), (6, 10)}.
a. Defina a função g o f
g o f:S→U, com g o f = {(1,6), (2,7), (3,9), (4,10)}

b. Mostre quais das funções f, g e g o f são injetivas e/ou sobrejetivas.
f é injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas não é sobrejetiva pois
os valores 1 e 5 de T não são imagem de f;
g não é injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas é sobrejetiva pois todo valor de U é imagem de
algum valor de T por g.
g o f é injetiva pois cada valor de S é levado a um valor distinto em U mas não é
sobrejetiva pois o valor 8 não é imagem de nenhum valor de S.
3)
a) Seja a função f:S → R dada por f(x) = x2
diga se ela é injetiva ou sobrejetiva e dê o conjunto
imagem f(S) para S=Z; S=N e S=R.
S=Z: não é injetiva nem sobrejetiva, f(Z)={0,1,2,4,9,16,..}
S=N: é injetiva mas não é sobre. f(N)={0,1,2,4,9,16,..}
S+R: não é injetiva nem sobrejetiva, f(R)={x∈R | √(x) ∈R }
b) Uma expressão aritmética pode ser representada como um grafo de funções. Por exemplo, (x+y)/
(y*z) seria
O que resulta em uma composição de funções div(som(x,y),mult(y,z)). Crie um grafo de funções e a
respectiva composição de funções para a expressão:
(x+sen2
(y))/sen(x) + 2x.
RESPOSTA:
A expressão ficaria: som(div(som(x,quad(sem(x)),sen(x)),mult(2,x))
4)..Quais das funções a seguir são bem definidas, injetivas e/ou sobrejetivas? Para as que não são bijetivas
reduza o domínio ou o contradomínio para se tornar bijetiva e defina a função inversa.
a) f:Z →N dada por f(x) = x2
+ 1
f não é injetiva pois para todo x∈Z, f(x)=f(-x);
f não é sobrejetiva pois para todo x, f(x) será o quadrado de um número mais um. Logo, p.ex. 3, 7 e 8
não estão em f(Z);
Para tornar a função injetiva, basta reduzir o domínio aos números positivos e o zero, o N. Para torná-la
sobrejetiva, analisemos f(x). Em N, teremos;f(0)=1, f(1)=1; f(2)=5; f(3)=10, f(4)=17 e assim por diante.
x
y
+
z
*
x+y
+
y*z
/ res
x
y +
/
+ res
sen
sen
z2
2x

Então, para tornar f(x) uma bijeção consideramos N* o conjunto dos naturais com o zero e D={x/x=n2
+
1, para algum n∈N*} e f:N* →D será uma bijeção. A inversa será f-1
:D→N tal que f-1
(y)= √(y-1)
b) f:Z →Q dada por f(x) = 1/x
f não é bem definida, pois para 0∈Z, f(0) não está definida. Reduzindo o domínio para Z-{0}, teremos
que
f é injetiva, pois para quaisquer inteiros x e y, se x≠ y certamente 1/x ≠ 1/y
f não é sobrejetiva pois a imagem de qualquer x∈Z-{0} f(x) será um número entre -1 e 1, logo todos
número maiores que 1 ou menores que -1 não estão na imagem de f. Para tornar a função bijetiva
notamos que a imagem de f(Z-{0}) = {y/ y é um racional que pode ser escrito da forma 1/x com x∈Z-
{0}}. Se chamarmos esse conjunto de D, teremos uma bijeção f: Z-{0}→D. Nesse caso f-1
(x)=f(x)=1/x.
c) f:N →N × N dada por f(x) = (x,x2
)
f será injetiva pois se x≠ y, é claro que (x,x2
) ≠ (y,y2
).
f não é sobrejetiva, pois do contradomínio N× N, o primeiro N será todo coberto por f mas no segundo
só os quadrados perfeitos serão imagem de f. Logo, para tornar a função uma bijeção definimos
D⊂N× N como D={(y,z)/ z=y2
}. Temos, então, f:N→D, com f(x)=(x,x2
) e f-1
: D →N, com f-1
(x,x2
)=x
d) f: N × N →N dada por f(x,y) = (x+y)2
Esta função está bem definida mas não é injetiva (p.ex. f(1,2)=f(2,1)) e não é sobrejetiva (p.ex. 3
não é imagem de nenhum par (x,y)∈ N × N. Para torná-la injetiva pode-se reduzir o primeiro
domínio a um único número, p.ex. 0 (zero) e o contradomínio aos quadrados perfeitos
P={0,1,2,4,8,16,..}. Assim teríamos f: {0} × N →P e a inversa f-1
:P→{0}× N tal que f-1
(z) = (0, √z)
Parte V: Estruturas algébricas
1) Dadas as álgebras de Boole B1 = <{0,1}, +, ·, ‘, 0, 1>, com x+y = max(x,y) e x · y = min(x,y), e B4 =
<{F,V}, ∧, ∨, ¬, F, V>, então existe um isomorfismo natural h: B1→B4, com h(0) = F e h(1) = V.
Resolva, cada expressão a seguir de duas formas: (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e),
resolvendo em B4 e aplicando h-1
ao resultado:
a) (0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0)
Forma direta: (0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) = (0+1’)’. ((0+1).0) =(0)’ . (1 . 0) = 1 . 0 = 0
Forma indireta: h(0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) =
¬ (F ∨¬(V ∨V) ∧((¬¬F∨V) ∧F) = ¬ (F∨¬V) ∧((F∨V) ∧F)= ¬F∧(V∧F) =V∧F=F
finalmente h-1
(F) = 0
b) 1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’
Forma direta: 1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ = 0 · 1 + (1+(0))’= 0+(1)’ = 0+ 0 = 0
Forma indireta: h(1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ =
¬V ∧¬F ∨¬(V∨V∨(V∧F)) = F ∧V ∨¬(V∨F) = F ∨¬V = F ∨F = F, logo h-1
(F) = 0
2) Prove que para toda Álgebra de Boole vale
a) x = y se e somente se x · y’ + y · x’ = 0
i) se x=y temos x · y’ + y · x’ = x · x’ + x · x’ = 0 + 0 = 0
ii) se x · y’ + y · x’ = 0 temos x · y’ = 0 e y · x’ = 0 mas, se x · y’ = 0 y’ é o complemento de x, logo y =
x .
b) x+y’ = x + (x’ · y + x · y)’
vamos mostrar que y’ = (x’ · y + x · y)’. Mas (x’ · y + x · y)’ = ((x’ + x)·y)’ = (1·y)’ = y’
3) Dado S = {1,2,3,4,5}, seja o reticulado R=<{<1,2>,<1,3>, <1,4>,<2,5>,<3,5>,<4,5>},inf,sup>.
Porque a estrutura B=<S, inf, sup, ‘, 1, 5>, em que ‘ seria dado por x’ = y tal que sup(x,y)=5 e inf
(x,y)=1, não é uma Álgebra de Boole (sugestão: na Álgebra de Boole o complemento tem que ser
único). E se retirarmos o elemento 4 de S?

Não é uma Álgebra de Boole, pois, por exemplo, o elementos 2 tem dois complementos, o 3 e o 4, pois
sup(2,3) = 5 e sup(2,4) = 5.
Se retirarmos o 4, teríamos 1’=5, 2’=3, 3’=2 e 5’=1. Portanto só tem um complemento.
Para ser uma Álgebra de Boole vamos definir o isomorfismo. Seja o morfismo h dado por:
x = 1 2 3 5
h(x)=  {1} {2} {1,2}
E h(sup) = ∪; h(inf) = ∩
Para ser isomorfismo deve valer:
1. h é uma bijeção entre A e B. Isto está claro na tabela da função.
2. h(inf(x,y)) = h(x) ∪ h(y)
3. h(sup(x,y)) = h(x) ∩ h(y)
4. h(x’) = h(x)”
Podemos mostrar as propriedades 2, 3 e 4 pela tabela:
x y inf(x,y) h(x) ∩ h(y) sup(x,y) h(x) ∪ h(y) x’ h(x’) h(x)”
1 2 1  2 {1} 5 [1,2} {1,2}
1 3 1  3 {2}
1 5 1  5 {1,2}
2 3 1  5 {1,2} 3 {2} {2}
2 5 2 {1} 5 {1,2}
3 5 3 {2} 5 {1,2} 2 {1} {1}
Não mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos.
4)
Dada uma álgebra de Boole B = <B, +, ·, ‘, 0, 1> podemos definir um novo operador ⊗ (ou
exclusivo) como sendo x ⊗ y = x . y’ + y . x’ .
1. Analise as propriedades de <B, ⊗> e determine sua estrutura algébrica.
Associativa: x ⊗ (y ⊗ z) = x ⊗ (y.z’ + z.y’) = x. (y.z’ + z.y’)’ + (y.z’ + z.y’).x’= x.((y.z’)’.(z.y’)’) +
(y.z’.x’+z.y’.x’) = x.(y’+z).(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) =
(x.y’+x.z).(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’(z’+y)+x.z.(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) =
x.y’.z’+ x.y’.y + x.z.z’+x.z.y + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’.z’ + x.z.y + (y.z’.x’+z.y’.x’) =
x.y’.z’+y.x.z’ + z.x.y+z.x’.y’ = (x.y’+y.x’).z’ + z. (x.y+x’.y’) =
(x.y’+y.x’).z’ + z.(x’.y’+y.y’ + x’.x+y.x) = (x.y’+y.x’).z’ + z.((x’+y).y’+(x’+y).x)) = (x.y’+y.x’).z’ + z.
(x’+y).(y’+x) = (x.y’+y.x’).z’ + z.(x.y’)’.(y.x’)’=
(x.y’+y.x’).z’+z. (x.y’+y.x’)’=(x.y’+y.x’) ⊗ z = (x ⊗ y) ⊗ z
Solução tabelar:
x y z y ⊗ z x ⊗ (y ⊗ z) x ⊗ y (x ⊗ y) ⊗ z
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 1

Comutativa: x ⊗ y = x . y’ + y . x’ = y.x’ + x.y’ = y ⊗ x
Neutro: x ⊗ 0 = x . 0’ + 0 . x’ = x.1 + 0 = x, logo 0 é o neutro
Inverso: x⊗x = x.x’ + x’.x = 0+0 = 0 logo todo elemento é seu próprio inverso.
Conclui-se que <B, ⊗> é um grupo comutativo.
2. considerando x ⊗ y uma função booleana, dê suas definições tabelar e esquemática, usando os 3
esquemas abaixo.
Tabelar:
x ⊗ y x y x’ y’ x.y’ y.x’ x.y’+y.x’
0 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
Esquemático:
5) Em cada caso determine a estrutura algébrica de <S, *>:
e) S = {1, -1, i, -i} e * é a multiplicação com i = √-1 e i2
= -1. (sugestão: faça a tabela de multiplicação)
pela tabela vê-se que a operação é fechada. É associativo pois a
multiplicação de números complexos é associativa. Tem elemento
neutro (1), os inversos são -1’=1, 1’=1, i’=-i e –i’=i; pela
associatividade da multiplicação ela também é associativa e é
comutativa pois a tabela é simétrica. Logo é um grupo comutativo.
f) S = {1,2,3,4} e * é ·5 o produto modulo 5.
É fechado (vide tabela). É associativo pois a multiplicação de
números módulo n é associativa. É comutativo pois a tabela é
simétrica. O elemento neutro é 1. Inversos 1’=1; 2’=3, 3’=2 e
4’=4. Associativo.
Também é grupo comutativo.
_____________________________________________________________________________
6) Assim como existe um isomorfismo entre álgebras (que preserva as operações) pode-se definir
isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados <S,≤ > e <S’,≤ ’> como uma bijeção f:S→S’ que
preserva as ordens, ou seja, se x≤ y então f(x)≤ ’f(y).
1. Se S=S’={a,b,c, d} defina 3 ordens parciais em S que são isomorfas entre si.
x
y
Tabela:
* 1 -1 i -i
1 1 -1 i -í
-1 -1 1 -i 1
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
Tabela:
* 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1

2. Se S tem 4 elementos {a,b,c,d} mostre quantos reticulados distintos (não isomorfos) podem ser
formados. (SUGESTÃO: use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens.)
7) Dado Σ = {a,e,i}, e S ={1,2,3}. Que determinam duas Álgebras de Boole:
L = <Σ 3
, *, +, ‘, , “aei”> com
Σ 3
sendo todas cadeias de Σ com 0 a 3 vogais em ordem alfabética;  a cadeia vazia;
x * y = a cadeia com as letras comuns a x e y,
x +y = a cadeia com todas letras de x e y, e
x’ = Σ -x, ou seja, a cadeia com todas letras que não estão em x.
e S = <P(S), ∩, ∪, ‘, , S>
a) Pelo teorema das álgebras booleanas finitas estas duas estruturas são isomorfas, pois |L|=|PS|=8.
Defina este isomorfismo;
o isomorfismo h: Σ 3
→S é dado pela tabela:
x =  a e i ae ai ei aei
h(x)=  {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}
Para mostrar que é isomorfismo, tem que ser um homomorfismo e ser bijetora.
b) dada a expressão (’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’)). Calcule o resultado de duas maneiras:
(i) diretamente em L e
(ii) convertendo-a para PS, resolvendo em PS, e convertendo o resultado de volta para L.
i) direto: (’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’) = (“aei”*”i”)+(“aei”*”ei”) = “i”+”ei”= “ei”
ii) indireto: h((’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’))=(( ’ ∩ ({1,3}∩{2,3}) ∪ (S∩{1}’)=
((S ∩ {3}) ∪ (S∩ {2,3}) = {3} ∪ {2,3} = {2,3}, h-1
({2,3} = “ei”.
8) Dado uma Álgebra de Boole <S, +, ., ‘, 0, 1> qualquer, mostrar, justificando cada passo:
a) Se definirmos uma nova operação ( ‘ou exclusivo’) ⊕ como sendo: x⊕y=x.y’ + y.x’, vale x⊕y =
y⊕x e também x⊕1=x’
x⊕y= x.y’ + y.x’=y.x’+x.y’=y⊕x
x⊕1= x.1’ + 1.x’=1bx.0+x’.1=4b0+x’=4a x’
b) Propriedades (x.y)+(x.z) = x.[y+(x.z)] e também (x+y.x)’ = x’
x.[y+(x.z)]=3bx.y+x(x.z)= 2bx.y+(x.x)z=x.y+x.z
b
c d
a b
c d
a
bc
d
a
b
c
d
a
bc
d
a

(x+y.x)’=3a ((x+y).(x+x))’=6a((x+y).x)’=7a(x+y)’+x’=1ax’+(x’+y’)=absorçãox’ (falta provar a absorção)
9) Dado uma álgebra <Z, ⊕>, sendo Z os inteiros, defina operações ⊕ tal que:
a. Comutativa mas não associativa
⊕(x,y) = (x+y)2
é comutativa, pois (x+y)2
= (y+x)2
e
não é associativa pois, p.ex.
((1+2)2
+3)2
= (32
+3)2
= (9 +3)2
= 122
((1+(2 +3)2
)2
= (1+ 52
)2
= 252
b. Forma só um semi grupo
⊕(n,m)=n.
É associativa pois
⊕(⊕(x,y),z) = ⊕(x,z) = x e ⊕(x, ⊕(y,z)) = ⊕(x,y) = x
Mas não é comutativa, pois ⊕(x,y) = x e ⊕(y,x) = y.
Não tem neutro, pois deveria valer ⊕(x,i) = ⊕(i,x) = x mas, para x≠ i teremos ⊕(i,x)=i ≠ x!
c. <Z, ⊕> forma só um monóide
⊕(x,y) = x.y é claramente associativa e tem neutro, o 1 (um). Mas, como o domínio é Z os
inteiros não têm inverso tal que n.n-1
= 1
10) Dado uma álgebra <S, *>, determine para cada caso se temos um semi-grupo, monóide, grupo ou nenhum
desses:
a. S = R (os reais) e x*y = (x+y)2
Associativo: contra-exemplo 1*(2*3)=(1+(2+3)2
)2
=(1+25)2
= 262
(1*2)*3=(1+2)2
+3)2
=(9+3)2
=122
Logo não é semi-grupo, portanto não é monóide nem grupo.
b. S = {1,2,4} e x*y é o produto módulo 6
Assoc: x*(y*z)=x.q1, sendo q1 (= o resto da divisão de y.z por 6)
= q2 (= o resto da divisão de x.q1 por 6)
Observe que se y*z está fora de S só pode ser 8, que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 =
4. Em ambos os casos pode-se mostrar, por exaustão, que x*(y*z)=x.y.z mod 6.
Análogamente pode-se mostrar que (x.y).z também coincide com x.y.z. Logo x.(y.z) = x.y.z
= (x.y).z
Neutro: é o 1, pois x*1=x=1*x para todo x em S
Inverso: nem o 2 nem o 4 possuem inverso, pois 2.x=2 para todo x e 4.1=4, 4.2+2 e 4.4=4,
logo nunca 4.x=1.
Concluindo, é um monóide.
c. S = N (os naturais) e x*y = min(x,y)
min(x,min(y,z)) = min (x,y,z) = min(min(x,y),z) – logo é associativa
min(x,y) = min(y,x) – logo é comutativa
não existe um natural n tal que min(x,n) = x para todo x, pois basta tomar x=n+1 e teremos
min(n+1,n) = n e não n+1. – logo não tem neutro
Conclusão: é um semi-grupo comutativo
d. S = N × N e (x1,y1)* (x2,y2) = (x1,y2)
((x1,y1)* (x2,y2))*( x3,y3) = (x1,y2)*( x3,y3) = ( x1,y3) e
(x1,y1)* ((x2,y2)*( x3,y3)) = (x1,y1)*( x2,y3) = ( x1,y3), logo é associativa
(x1,y1)* (x2,y2) = (x1,y2) mas (x2,y2)* (x1,y1) = (x2,y1), logo não é comutativa
Como o resultado da operação sempre terá um componente do segundo operando, não é
possível haver um (i2,i2) tal que (x1,y1)* (i2,i2) = (x1,y1), logo não tem identidade e,
consequentemente, não tem inverso.
Conclusão: é um semi-grupo não comutativo
e. S = {f/ f:N→N} (conjunto das funções naturais} e f*g(x) = f(x)+g(x)

Associativa: (f*g)*h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f*(g*h)
(x)
Comutativa: como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) será comutativa.
Identidade: seja i(x)=0, teremos f*i(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x)
Neutro: seja g(x) = –f(x) então f*g(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x)
Logo é um grupo comutativo
11) Mostre que
a) <R, +, .> é um corpo comutativo
Mostrar que <R, +,.> é um anel, ou seja:
<R,+> é grupo comutativo (vale ACNI) e <R,.> é semi-grupo. É fácil mostrar isso. <R,.>
além de ser semi-grupo possui neutro, logo é um monóide. <R-{0},.> também possui inverso
1/x para todo x ∈ R-{0}, logo é grupo comutativo.
b) Em uma álgebra de Boole <S, +, ., ‘, 0, 1>, <S,+> é um monóíde comutativo
Pela propriedade 1a é comutativo pela 2a é associativo, e pela 4a o neutro é 0. A operação ‘
não determina um inverso em relação a +, pois a+a’ = 1 e deveria ser 0.
12) Em cada caso abaixo, mostre quais das funções definidas são bem definidas, bijeções, homomorfismos e
quais são isomorfismos. Para o isomorfismo, motre o isomorfismo inverso.
a) f: <Z, + > →<Z, + > dada por f(x) = 0
é um homomorfismo pois se x+y=z, temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z). Não é isomorfismo pois não é
injetiva nem sobrejetiva.
b) f: <Z, + > →<Z, + > dada por f(x) = x + 1
Não é homomorfismo, pois se x+y=z, temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto
f(x+y)=x+y+1≠ x+y+2. Se não é homomorfismo também não pode ser isomorfismo.
c) f: <Z, +> →<Z, . > dada por f(x) = x
Não é homomorfismo pois se x+y=z deveríamos ter f(x).f(y)=f(z) ou seja x.y=z Logo também não é
isomorfismo.
d) f: <R-{0}, + > →<R-{0}, + > dada por f(x) = 1/x
É bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso.
É injetiva pois se x≠ y também temos 1/x ≠ 1/y
É sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1/x. Nesse caso f(1/x) = x, logo x
pertence à imagem f(R-{0}).
Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) já que dos dois lados a operação é a
soma. A primeira parte é 1/x + 1/y = (y+x)/(x.y) e a segunda será 1/(x+y), logos são diferentes. P.ex.
para x=1 e y=2 teríamos
(y+x)/(x.y) = 3/2 e 1/(x+y) = 1/3. Concluímos que não é homomorfismo.
e) f: <Z, + > →<P, + > dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares)
É bem definida pois para todo inteiro n, 2n é um número par.
É injetiva pois para inteiros n e m diferentes, teremos 2n≠ 2m.
É sobrejetiva, pois para todo par p existe o inteiro p/2 tal que f(p/2) = p.
Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y).
Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y).
Também f-1
(x)+ f-1
(y)= x/2 + y/2 = (x+y)/2 = f-1
(x+y)
Logo é bijeção e ambos são homomorfismos, portanto é um isomorfismo.
f) f: <Z, +> →<P, . > dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares)
Pelos mesmos argumentos acima é uma bijeção.
Para ser homomorfismo deve valer f(x) . f(y) = f(x+y).
Temos f(x) . f(y) = 2x . 2y = 4xy, mas f(x+y) = 2(x+y). Logo não é homomorfismo nem
isomorfismo.

13) Defina a estrutura algébrica de:
1) < Σ *, ||> com:
Σ * o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings)
|| a operação de concatenação de strings
É associativo pois, se a=a1..an, b=b1..bm e c=c1..ck, teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1..an b1..bm c1..ck
Não é comutativo, pois, por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab
Tem neutro, pois para a cadeia vazia λ vale: aλ =a para qualquer a
Não tem inverso, pois a concatenação só aumenta uma cadeia, logo para toda cadeia não vazia a não
pode existir b tal que a||b=λ
Conclui-se que a estrutura é um Monóide.
2) < Z6, +,.> com:
Z6= {0,1,2,3,4,5} sendo + a soma módulo 6 e . o produto módulo 6
Analisemos cada operação:
< Z6, +>,
é associativo pois como a soma é associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=k. A soma módulo 6 de ambos os
termos será o resto da divisão de k por 6.
É comutativo por argumento análogo ao acima, decorrente da comutatividade da soma
Tem neutro que é o 0, pois x+0=x
Tem inverso, pois para todo n∈Z6, teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6). Logo x’=6-x
Logo < Z6, +> é um grupo comutativo.
< Z6, .>:
Pelos mesmos argumentos acima, vê-se que é associativo e comutativo;
Tem neutro que é o 1, pois x.1=x
< Z6,-{0} .> não é grupo, pois Z6,-{0} só tem inteiros que não têm inverso na multiplicação.
Logo < Z6, .> é um semi-grupo comutativo e < Z6,+, .> será um anel comutativo com neutro na
multiplicação.
3) <Z5, +5, *5 >, com:
Z5 = {0,1,2,3,4}
x +5 y = (x+y) mod 5, e
x *5 y = (x.y) mod 5
como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5, e
(x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5
A soma módulo 5 é associativa. Análogamente a multiplicação também o é.
Como a soma e multiplicação normais são comutativas estas operações módulo 5 também o serão.
O neutro de +5 é o 0. O neutro de *5 é o 1.
Os inversos em +5 serão: 0’= 0, 1’=4, 2’= 3, 3’=2 e 4’=1.
Em *5 não pode haver inverso pois para x Z5 não haverá inverso x’ com x.x’=1. Mesmo para Z5 – {0}.
A distributividade que vale para as soma e multiplicação normais pode ser aplicado às operações de módulo
pois, por exemplo, em uma expressão do tipo
x*5 (y+5z) = (x.(y+z)mod 5) mod 5 = (x.(y+z))mod 5 = (x.y+xz))mod 5 =
((x.y)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x*5 y)+5 (x*5z).
Concluimos que a estrutura é um Anel Comutativo.
14) . Seja B={0,1,a,b}. Defina uma álgebra de Boole <B,+,*,’,0,1> sendo que ‘ é definido como: 0’=1,
1’=0, a’=b e b’=a. Defina as operações + e * por duas tabelas.
+ 0 1 a b * 0 1 a b
0 0 1 a b 0 0 0 0 0

p∧q V F N
V V F N
F F F F
N N F N
1 1 1 1 1 1 0 1 a b
a a 1 a 1 a 0 a a 0
b b 1 1 b b 0 b 0 b
15) Uma extensão da lógica proposicional considera 3 valores possíveis: Verdade(V), Falso(F) ou Nulo(N).
Nesta lógica os operadores ∧, ∨e ¬ são definidos como
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
p∧q V F N F F F N F N
p V V V F F F N N N
q V F N V F N V F N
p∨q V V V V F N V N N
p V F N
¬ p F V N
Mostre que a lógica de 3 valores <{F,V,N}, ∧, ∨, ¬, F, V>. não é uma álgebra de Boole. Analise, para o ∧, as
propriedades comutativa, neutro e inverso; e a distributiva x∧(y ∨z) =(x∧y) ∨(x∧z). Sugestão: para analisar o
∧faça a matriz da operação.
Observando a matriz
Vê-se que p∧q é comutativo pois a matriz é simétrica.
O elemento neutro é V, observando a primeira linha ou
primeira coluna.
Não tem inverso, pois não há nenhuma linha que leva todos
valores em V.
Distributiva: um exemplo
V∧(N ∨F) = V∧N = N e (V∧N) ∨(V∧F)= N ∨F = N
Completo (as combinações de V e F são as clássicas. Mostramos as combinações de V com pelo menos um
valor N):
x y z y ∨z x∧(y ∨z) x∧y x∧z (x∧y) ∨(x∧y)
V V N V V V N V
V N V V V N V V
N V V V N N N N
V N N N N N N N
N N V V N N N N
N N N N N N N N
Não é álgebra de Boole pois, como V é o neutro de ∧, deve valer x ∨¬x = V. Mas, pela tabela temos que N
∨¬N = N ∨N = N ≠ V!
16) Dada a expressão booleana (x.y’).(y’+z)
a) escreva ela apenas com operadores NAND
(x.y’).(y’+z) =(x.y’).y’ + (x.y’).z = (( (x.y’).y’+(x.y’).z )’)’ = (( ((x.y’).y’)’ . ((x.y’).z)’ )’)’
= (((x.y’) ’. y’) . ((x.y’) ’. z))’ = ((x.y’) ’. y) ’. ((x.y’) ’. z) = (((x.y’)’)’ ’. y) ’. (((x.y’)’)’ ’. z) =
(( ((x ’. y’)’ ’. y) ’. ((x ’. y’)’ ’. z) )’)’ = ( ((x ’. y’) ’. 1) ’. y) ’. (((x ’. y’) ’. 1) ’. z) )’=
( (((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) )’ =
(((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) ‘. 1
b) escreva ela apenas com operadores NOR
(x.y’).(y’+z) = (x’+y)’.(y’+z) = ((x’+y) + (y’+z)’)’ = (x’ + y) ‘+ (y’ ‘+ z) = (((x’ + y))’)’ ‘+ (y’ ‘+ z) =
((x’ ‘+ y))’ ‘+ (y’ ‘+ z) = (((x ‘+ 0) ‘+ y) ‘+ 0) ‘+ ((y ‘+ 0) ‘+ z)

c) Calcule o valor da expressão para x=1, y=0 e z=0. Use primeiro a expressão original e depois a só
com NAND e a só com NOR
Para x=1, y=0 e z = 0, teremos
Original: (x.y’).(y’+z) = (1.0’).(0’+0) = 1.(1+0) = 1.1 = 1
NAND: (((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) ‘. 1 =
(((1 ’. (0 ’. 1)) ’. (0 ‘. 1)) ‘. 0) ‘. (((1 ‘. (0 ‘. 1)) ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1=
(((1 ’. 1) ’. 1) ‘. 0) ‘. (((1 ‘. 1) ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1 =
((0 ’. 1) ‘. 0) ‘. ((0 ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1= (1 ‘. 0) ‘. (1 ‘. 0) ‘. 1 = (1 ‘. 1) ‘. 1 = 0 ‘. 1 = 1
NOR: (((x ‘+ 0) ‘+ y) ‘+ 0) ‘+ ((y ‘+ 0) ‘+ z) = (((1 ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ ((0 ‘+ 0) ‘+ 0) =
((0 ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ (1 ‘+ 0) = (1 ‘+ 0) ‘+ 0 = 0 ‘+ 0 = 1

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