Análise de Componentes Principais

Análise de Componentes Principais
Célia M. D. Sales - UAL
Com base em materiais de Andy Field (2009) e Hair (2010)

Análise factorial
Conjunto de técnicas estatísticas para condensar/resumir
a informação contida num certo número de variáveis
originais
Obter um menor número de novas dimensões ou factores,
com perda mínima de informação
“A análise factorial dá instrumentos para analisar a
estrutura das inter-relações (correlações) entre um
elevado número de variáveis (ex., resultados de testes,
items, respostas a questionários), definindo conjuntos de
variáveis que estão altamente correlacionadas (factores).
Estes grupos de variáveis (factores) representam
dimensões subjacentes nos dados” (Hair et al, 2010, p. 94)
2 Célia M. D. Sales - UAL

Análise factorial

Se um conjunto de variáveis mede a mesma coisa,
deverão ter elevada correlação entre si (formando
um grupo) e baixa correlação com variáveis fora
desse grupo (Field, 2010)


Exemplo (Field, 2010)
Estudo que pretende compreender aspectos
implicados na popularidade das pessoas
Variáveis medidas:
Aptidões sociais (Social Skills)
Egoísmo (Selfish)
Quanto os outros acham a pessoa interessante (Interest)
Tempo que a pessoa fala sobre o outro, numa conversa
(Talk 1)
Tempo que a pessoa fala sobre si mesma, numa conversa
(Talk 2)
Tendência para mentir (Liar)


Matriz R (Matriz de correlações originais)

-Variáveis que estão correlacionadas entre si (e pouco relacionadas com
as restantes), provavelmente medem a mesma “coisa”
-Factor 1: Sociabilidade da pessoa
-Factor 2: Consideração pelos outros
-Será que podemos reduzir esta matriz num conjunto menor de
dimensões (ou factores) NÃO CORRELACIONADAS? (neste caso, 2?)


O que são Factores

Se algumas variáveis têm correlação elevada, podem estar
a medir aspectos de uma mesma dimensão (ou factor)
que lhes está subjacente
Na Análise de Componentes Principais (ACP), essas dimensões
(ou factores) chamam-se componentes


Representação gráfica de factores
Graficamente, os factores são eixos de classificação, nos quais as
variáveis originais podem ser projectadas


Representação gráfica de factores
Cada variável projecta-se no
gráfico, através de coordenadas

As coordenadas de cada variável
representam-se na Matriz A:
- Factores em colunas
- Variáveis em linha

Talk 1
 0.87 0.01 
 
 0.96 − 0.03  Social
Coordenadas = Factor Loadings = Valores próprios
 0.92 0.04 
Skills
Correlação A= 
entre a variável e o factor  0.00 0.82 
 − 0.10 0.75 
Quanto maior o loading das variáveis num factor, mais  
esse factor explica a relação entre essas variáveis  0.09 0.70 
 

Representação algébrica dos factores
Os factores são rectas
Combinação linear das diferentes variáveis em análise
Ordenada na origem = zero

Y = b1 X 1 + b2 X 2 K bn X n
Factori = b1Variable1 + b2Variable2 K bnVariablen

Cada variável tem um peso diferente (b) em cada um dos
factores
Correspondem à coordenada na presentação gráfica
Correspondem aos Factor Loadings
Armazenam-se na Matriz A

Representação algébrica de factores
 0.87 0.01 
 
 0.96 − 0.03 
 0.92 0.04 
A= 
 0.00 0.82 
 
 − 0.10 0.75 
 0.09 0.70 
 

Y = b1 X 1 + b2 X 2 K bn X n
Sociability = 0.87Talk1 + 0.96Social Skills + 0.92Interest
+ 0.00Talk2 − 0.10Selfish + 0.09Liar
Consideration = 0.01Talk1 − 0.03Social Skills + 0.04Interest
+ 0.82Talk2 + 0.75Selfish + 0.09Liar


Como descobrir os Factores?
Implica duas decisões:

1) Escolher método de extracção dos factores, a partir
dos dados
Há vários métodos
Vamos abordar a Análise de Componentes Principais (ACP)

2) Decidir o número de factores


Extracção dos factores
Procurar combinações lineares (rectas) de todas as
variáveis que descrevam grande parte da variância dos
dados
Cada uma dessas combinações é um componente ou factor
1º componente: explica o máximo possível da variância dos
dados originais;
2ª explica o máximo possível da variância ainda não explicada,
etc..
No limite, para explicar toda a variância, teremos tantos
factores como variáveis
Quanta variância dos dados é explicada pelo factor? =
eigenvalue

Eigenvalues
Andy Field (2010, p. 243, Jane Superbrain 7.2) define
intuitivamente:

Imaginemos 2 variáveis
Scatterplot, mancha de pontos, num plano
Eigenvectors = linhas, perpendiculares, que medem a nuvem de
pontos, em comprimento e em largura
Se acrescentássemos uma 3ª variável
Scatterplot teria uma 3ª dimensão, como uma bola de rugby, etc
Eigenvalue
Comprimento de cada eigenvector (de uma ponta à outra)
Olhando para todos os eigenvalues de todos os dados,
conhecemos as dimensões, ficamos a conhecer a distribuição
das variâncias da matriz R


Eigenvalues
Eigenvalue
Eigenvalue de um factor mede quanto da variância de todas
as variáveis iniciais é descrita por esse factor
Se o factor tem um eigenvalue baixo, contribui pouco para
explicar as variâncias na amostra - pode ser ignorado

Objectivo na análise:
Reter apenas os factores com os eigenvalues mais
elevados
Quantos?


Requisitos metodológicos e
Pressupostos da análise factorial


Desenho metodológico da Análise Factorial
A. Variáveis métricas
Escalas de Likert são também admitidas
B. Pelo menos 5 variáveis por factor (se o estudo
pretende compreender a estrutura dos factores)
C. Tamanho da amostra
Ter mais observações do que variáveis
Mínimo de 50 observações
Idealmente, ter 5 observações por variável

(Hair et al, 2010)

Nota: Field (2010, p. 647) aponta diferentes requisitos qt ao
tamanho da amostra


Pressupostos
Relevância conceptual
Correlação
Essencialmente, a análise dos pressupostos pretende
avaliar se existem correlações (matriz inicial de
correlações R) que justifiquem a aplicação da análise
factorial

Inspeccionar matriz
Teste de Índice KMO
de correlação R
Esfericidade de
Bartlett


Pressupostos da Análise Factorial
Inspecção preliminar da matriz de correlação R
(Field, 2010):
De uma maneira geral, as variáveis devem estar
correlacionadas (r>0.3)
Não deve haver multicolinearidade: Variáveis com elevada
correlação (r>0.90)
Não deve haver singularidade:Variáveis com correlação
perfeita (r=1)

Excluir da análise variáveis que possam causar
problemas.
Se uma variável tem várias correlações <0.3, considerar
excluí-la da análise factorial


Teste de esfericidade de Bartlett
Teste de hipóteses
H0: A Matriz R é uma matriz de identidade (todos os
coeficientes de correlação são zero)
Teste significativo (p < .05) indica que, globalmente, há
correlação entre as variáveis, logo, faz sentido realizar
uma análise factorial

Decisão
Teste significativo (p < .05), prosseguir a análise


Kaiser-Meyer-Olkin measure of sampling adequacy
(KMO)
Índice (entre 0 e 1)
Representa proporção da variância entre as variáveis que
corresponde a variância comum (i.e., indicativo da existência de
factores latentes comuns)
Deve ser maior ou igual a 0,5
Há 1 estatística KMO para cada variável; a sua soma é o KMO global

Decisão
KMO global e KMO de cada variável >= 0.5
prosseguir Análise Factorial
KMO < 0.5
Eliminar da análise a variável com KMO menor (<0.5)
Calcular novamente o KMO, com as restantes variáveis
Repetir até atingir resultados KMO global > 0.5

No SPSS
Analyse - Dimension Reduction - Factor
Seleccionar as variáveis a incluir na análise


No SPSS
Teste de esfericidade de Bartlett e KMO global


No SPSS
KMO para cada variável individual


Extrair os factores

Após especificar as variáveis, preparar a matriz de correlação
(matriz R) e verificar os pressupostos, o passo seguinte é
identificar os factores


Método de extracção dos factores
Escolha depende dos objectivos do estudo

Estudo
Estudo exploratório
confirmatório

Descritivo
(das características da amostra) Inferencial
Para informar sobre a População é
necessário analisar várias amostras

Análise de
Componentes
Principais
(ACP)


Nº de factores a reter
Dois critérios
Scree plot
Escolher o nº de factores acima do ponto de inflexão
Usar apenas se n > 200
Critério de Kaiser
Reter todos os factores com eigenvalue >1

Decidir de acordo com o conteúdos substantivo das variáveis


Scree Plot
Projecta os eigenvalues (y) para cada factor (x)
Identificar ponto de inflexão:
Traçar linha que resume o eixo vertical; depois linha para eixo horizontal;
o ponto de inflexão é onde ambas se cruzam
Escolher o nº de factores acima do ponto de inflexão
No exemplo, 2


No SPSS

Critério de Kaiser: Dois factores com
eigenvalue superior a 1


Escolha do nº de factores (Hair et al. 2010)
Conjugar vários critérios
Eigenvalues > 1
Factores sugeridos pelo scree plot (acima do ponto de
inflexão)
Conteúdo substantivo/teórico dos factores
Factores suficientes para explicar 60% (ou mais) da variância
dos dados
Mais factores quando há heterogeneidade em subgrupos da
amostra
Testar várias soluções alternativas (mais 1 factor e menos
1 factor do que a solução inicial) para ter a certeza de
que é identificada a melhor estrutura

Para testar diferentes nºs de factores no SPSS

Por defeito o SPSS usa o critério de
Kaiser.

No entanto, podem-se pedir soluções
com um nº determinado de factores


Interpretação dos factores

Para compreender/interpretar um factor, é necessário
identificar as variáveis que mais se correlacionam com ele (com
base nos factor loadings) e analisar qualitativamente que dimensão
comum estão a medir


Factor loadings e Component Matrix
Factor loadings
Correlação entre o factor e cada variável
Apresenta-se na Matriz de Componentes A


Passos na interpretação dos factores
1) Rotação de Factores
2) Análise dos factor loadings


Rotação de Factores
Ajuda a interpretar os loadings
Maximiza o loading de uma variável num factor e
minimiza os loadings nos restantes factores
Graficamente, implica rodar os eixos
Dois tipos
Rotação ortogonal
mantém os factores perpendiculares, i.e., não-
correlacionados
A mais recomendada:VARIMAX
Rotação oblíqua
Quando os factores estão inter-relacionados
Mais próximo de situação real/natural

Ortogonal Oblíqua

Fonte: Field (2009)

Antes da Rotação Após Rotação


Análise da significância dos factor loadings
Para a interpretação dos componentes (o que medem),
usamos a matriz de componentes após a rotação
Loading = r (correlação entre a variável e o factor)
r quadrado = quanto da variância dessa variável é
explicada pelo factor
Para que o factor explique mais do que 49%, o loading deve ser
superior a 0.7

Quanto maior o valor absoluto do factor loading, mais
importante para interpretar o factor


Regras de análise dos factor loadings (Field,
2010; Hair et al., 2010)
Em geral, apenas interpretar factor loadings superiores a 0.3
Explicam apenas 9% da variável
Valor maior do que 0,7 é o ideal
Ter em conta a dimensão da amostra (Stevens, 2002)
Dimensão amostra Loading aceitável maior do que:

50 0.722
100 0.512
200 0.364
300 0.298
600 0.210
1000 0.162

Loadings baixos aceites também com muitas variáveis em análise
Usar loadings mais elevados quando a solução tem muitos factores
Usar loadings mais elevados nos últimos factores

Reportar
Descrever a amostra com detalhe
Descrição das variáveis, média e desvio-padrão
Tipos de correlações analisadas (Ex: Pearson…)
Método de extracção de factores (ACP, …)
Initial communality estimates used (e.g., squared multiple
correlations).


Exemplo para realizar na aula (Tabachnick
& Fidell)
A 5 pessoas que compravam botas de ski, perguntou-se
qual a importância de cada uma de 4 variáveis, na escolha
de uma estância de ski:
Custo de ingresso (COST)
Velocidade do teleférico (LIFT)
Profundidade da neve (DEPTH)
Consistência da neve (POWDER)

Pretende-se investigar o padrão de relações entre as
variáveis, para compreender as dimensões que estão na
base da escolha da área de ski.


Exemplo: Dados

Skiers COST LIFT DEPTH POWDER
A 32 64 65 67
B 61 37 62 65
C 59 40 45 43
D 36 62 34 35
E 62 46 43 40


Exemplos de utilização da Análise Factorial
A. Compreender a estrutura subjacente a um conjunto de
variáveis
Ex: Spearman e Thurstone usaram Análise Factorial para
compreender a estrutura da variável latente “inteligência”
B. Para construir questionários destinados à medição de
uma variável latente
Ex: Saúde Mental (Clinical Outcome in Routine Evaluation,
CORE-OM)
C. Redução da base de dados, mantendo ao máximo as
características da informação original
Criação de variáveis compósitas (usando scores factoriais)


Scores Factoriais
Pode-se criar uma nova variável que corresponde à pontuação
de cada participante na dimensão
Em vez de se analisar os resultados nas variáveis originais uma a uma,
analisa-se a pontuação na dimensão (ex: a pontuação em
Sociabilidade e Consideração)
Para cada pessoa, basta substituir, na equação do factor, os resultados
das variáveis originais
Ex: Um participante com os seguintes resultados nas variáveis
originais, terá a seguinte pontuação em Sociabilidade e em
Consideração
Talk 1=4
Social Skills=9 Sociability = (0.87 x 4) + (0.96 x 9) + (0.92 x 8)
Interest=8 + (0.00 x 6) − (0.10 x 8) + (0.09 x 6)
Talk 2=6 Consideration = (0.01 x 4) − (0.03 x 9) + (0.04 x 8)
Selfish=8
Liar=6 + (0.82 x 6) + (0.75 x 8) + (0.09 x 6)


Scores factoriais
Método de cálculo (Andy Field, pp. 634-635):
Para que os scores factoriais não dependam da escala de
medição, o método de cálculo não é exactamente aquele que
acabámos de descrever


Ex. de artigos que usam esta análise
Mudrack, P. E. (2004). An outcomes-based approach to
just world beliefs. Personality and Individual Differences,
38(7), 380-384.

Collins, R. P., Littman, J.A., & Spielberger, C.D. (2004). The
measurement of perceptual curiosity. Personality and
Individual Differences, 36(5), 1127-1141.


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