Calculo1 aula15

Aula 15

Integrais inde¯nidas

15.1 Antiderivadas
Sendo f (x) e F (x) de¯nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que

F ¶ uma antiderivada ou uma primitiva de f , em I, se F 0 (x) = f(x)
e
para todo x 2 I.
Ou seja, F ¶ antiderivada ou primitiva de f se F ¶ uma fun»~o cuja derivada ¶ f.
e e ca e
Como primeiros exemplos, temos

f(x) primitiva de f (x)
3x2 x3
2 2x
ex ex
sen x ¡ cos x

Observa»~o 15.1 Se F ¶ antiderivada de f em I, e c ¶ uma constante, ent~o F + c
ca e e a
tamb¶m ¶ uma antiderivada de f em I.
e e
De fato, se F 0 (x) = f (x), para todo x 2 I, ent~o
a
[F (x) + c]0 = F 0 (x) = f (x), e portanto F (x) + c tamb¶m ¶ uma antiderivada de
e e
f (x) em I.
p
Assim, por exemplo x3 , x3 + 5 e x3 ¡ 2 s~o primitivas de 3x2 .
a
Veremos agora que, em um intervalo I, duas primitivas de uma mesma fun»~o
ca
diferem entre si por uma constante.

Proposi»~o 15.1 Se F1 e F2 s~o antiderivadas de f , em I ½ R, ent~o existe c 2 R
ca a a
tal que F1 (x) = F2 (x) + c, para todo x 2 I.

125

Integrais indefinidas 126

Para demonstrar a proposi»~o 15.1, faremos uso do seguinte resultado.
ca

Lema 15.1 Se f ¶ cont¶
e ³nua no intervalo [a; b] e f 0 (x) = 0 para todo x 2]a; b[, ent~o
a
f ¶ constante em [a; b], ou seja, existe c 2 R tal que f (x) = c para todo x 2 [a; b].
e
Poder¶³amos aceitar o lema 15.1 como evidente e seguir adiante. No entanto, este
lema ¶ conseqÄ^ncia de um teorema importante sobre fun»~es deriv¶veis, conhecido
e ue co a
como teorema do valor m¶dio. Como tornaremos a fazer uso do teorema do valor m¶dio
e e
mais adiante, julgamos oportuno cit¶-lo agora.
a

Teorema 15.1 (Teorema do valor m¶dio) Suponhamos que f ¶ uma fun»~o con-
e e ca
³nua no intervalo [a; b] e deriv¶vel no intervalo ]a; b[. Ent~o existe w 2 ]a; b[ tal que
t¶ a a

f (b) ¡ f (a)
= f 0 (w)
b¡a
Aceitaremos este teorema sem demonstra»~o, e faremos uma interpreta»~o ge-
ca ca
om¶trica de seu resultado.
e
f (b) ¡ f(a) ¢f
O quociente ¶ a taxa de varia»~o m¶dia,
e ca e , da fun»~o f , no inter-
ca
b¡a ¢x
valo [a; b], sendo ¢x = b ¡ a e ¢f = f (b) ¡ f (a).
Ele ¶ o coe¯ciente angular da reta passando por A = (a; f (a)) e B = (b; f (b)).
e
O teorema do valor m¶dio diz que essa taxa de varia»~o m¶dia ¶ tamb¶m a taxa de
e ca e e e
varia»~o instant^nea de f , em rela»~o a x, df =dx, em algum ponto w no interior do
ca a ca
intervalo. Em termos geom¶tricos, a inclina»~o da reta AB coincide com a inclina»~o
e ca ca
de uma reta tangente ao gr¶¯co de f em um ponto (w; f(w)), para algum w 2 ]a; b[ .
a
A ¯gura 15.1 ilustra o teorema do valor m¶dio.
e

y
B
f(b)

A
f(a)

0 a w b

f (b) ¡ (f (a)
Figura 15.1. = f 0 (w).
b¡a

Uma interpreta»~o cinem¶tica do teorema do valor m¶dio ¶ a seguinte: a velocidade
ca a e e
m¶dia de um ponto m¶vel, em movimento retil¶
e o ³neo, no intervalo de tempo [t1 ; t2 ],
coincide com sua velocidade instant^nea em algum instante t0 2 ]t1 ; t2 [, isto ¶,
a e

¢s s(t2 ) ¡ s(t1 )
= = s0 (t0 ) em um instante t0 , com t1 < t0 < t2
¢t t2 ¡ t1


Por exemplo, se um carro, com velocidade vari¶vel, faz um percurso de 180 km
a
em duas horas, sua velocidade m¶dia ¶ 180km = 90 km/h. Intuitivamente, sabemos que
e e 2h
em algum instante do percurso, seu veloc¶³metro acusar¶ a velocidade instant^nea de
a a
90 km/h.
Demonstra»~o do lema 15.1. Suponhamos f 0 (x) = 0 para todo x 2 I, sendo I ½ R um
ca
intervalo.
Mostraremos que, quaisquer que sejam x1 e x2 em I, x1 < x2 , tem-se f (x1 ) =
f (x2 ), e portanto f ¶ constante em I.
e
³nua em [x1 ; x2 ] e deriv¶vel em ]x1 ; x2 [.
Temos f cont¶ a
f (x2 ) ¡ f (x1 )
Pelo teorema do valor m¶dio,
e = f 0 (w) para algum w 2 ]x1 ; x2 [ .
x2 ¡ x1
Como f 0 (w) = 0, temos f (x1 ) = f (x2 ), e nossa demonstra»~o termina aqui.
ca
0 0
Demonstra»~o da proposi»~o 15.1. Suponhamos que, F1 (x) = F2 (x) = f (x) para todo
ca ca
x 2 I, I um intervalo de R.
Consideremos a fun»~o ' = F1 ¡ F2 .
ca
Ent~o, '0 (x) = F1 (x) ¡ F2 (x) = f (x) ¡ f (x) = 0, para todo x 2 I.
a 0 0

Pelo lema 15.1, ' ¶ constante no intervalo I.
e
Assim, existe c 2 R tal que F1 (x) ¡ F2 (x) = c para todo x 2 I.
Portanto F1 (x) = F2 (x) + c, para todo x 2 I.
De¯ni»~o 15.1 (Integral inde¯nida) Sendo F uma primitiva de f no intervalo I,
ca
chama-se integral inde¯nida de f , no intervalo I, µ primitiva gen¶rica de f em I,
a e
F (x) + C, sendo C uma constante real gen¶rica. Denotamos tal fato por
e
Z
f (x) dx = F (x) + C

Nesta nota»~o, omite-se o intervalo I.
ca

15.2 Integrais imediatas
Coletaremos agora algumas integrais inde¯nidas cujo c¶lculo ¶ imediato.
a e

Proposi»~o 15.2
ca

R x®+1
1. x® dx = + C, se ® 6¡1.
=
®+1
Z
1
2. dx = ln jxj + C.
x


R
3. sen x dx = ¡ cos x + C.
R
4. cos x dx = sen x + C.
R
5. ex dx = ex + C.
R ax
6. ax dx = (a > 0; a 61).
=
ln a
R
7. sec2 x dx = tg x + C.
R
8. cosec2 x dx = ¡ cotg x + C.
R
9. sec x ¢ tg x dx = sec x + C.
R
10. cosec x ¢ cotg x dx = ¡ cosec x + C.
Z
1
11. dx = arc tg x + C.
1 + x2
Z
1
12. p = arc sen x + C.
1 ¡ x2

Para a dedu»~o das integrais acima, basta veri¯car que a derivada do segundo
ca
membro, em cada igualdade, ¶ a fun»~o que se encontra sob o sinal de integra»~o.
e ca ca
Como exemplos,
µ ®+1 ¶0
x x®+1¡1
se ® 6¡1,
= = (® + 1) ¢ = x® .
®+1 ®+1
(ln jxj)0 = 1=x:
se x > 0, (ln jxj)0 = (ln x)0 = 1=x;
1
se x < 0, (ln jxj)0 = (ln(¡x))0 = ¢ (¡x)0 = 1=x.
¡x
µ ¶0
ax ax ln a
(ax )0 = ax ¢ ln a, logo = = ax .
ln a ln a

15.3 Manipula»oes elementares de integrais
c~
R R
Suponhamos f(x) dx = F (x) + C1 , e g(x) dx = G(x) + C2 . Ent~o
a

1. [F (x) + G(x)]0 = F 0 (x) + G0 (x) = f (x) + g(x), logo
R R R
(f (x)+g(x)) dx = F (x)+G(x)+C = f(x) dx+ g(x) dx (C = C1 +C2 ).

2. Sendo k uma constante real, [k ¢ F (x)]0 = k ¢ F 0 (x) = k ¢ f(x), logo
R R
kf (x) dx = kF (x) + C = k f (x) dx (kC1 = C)


Reunimos os fatos acima, com outros tamb¶m ¶teis, na seguinte proposi»~o.
e u ca
R R
Proposi»~o 15.3 Se f (x) dx = F (x) + C e g(x) dx = G(x) + C, ent~o, sendo
ca a
a; b 2 R, a 60,
=
R
1. [f(x) + g(x)] dx = F (x) + G(x) + C
R
2. k ¢ f (x) dx = k ¢ F (x) + C
R
3. f (x + b) dx = F (x + b) + C
R
4. f (x ¡ b) dx = F (x ¡ b) + C
R
5. f (b ¡ x) dx = ¡F (b ¡ x) + C
Z
1
6. f (ax) dx = F (ax) + C
a
Z
1
7. f (ax + b) dx = F (ax + b) + C
a
Demonstra»~o. As duas primeiras propriedades j¶ foram deduzidas acima. Das cinco
ca a
propriedades restantes, as quatro primeiras s~o conseqÄ^ncias imediatas da ¶ltima, a
a ue u
unica que deduziremos.
¶
Por hip¶tese, F 0 (x) = f(x).
o
Logo [F (ax + b)]0 = F 0 (ax + b) ¢ (ax + b)0 = af (ax + b), de onde
µ ¶0
1 1
F (ax + b) = ¢ af(ax + b) = f (ax + b).
a a
Z
1
Portanto f(ax + b) dx = F (ax + b) + C.
a

15.4 Exemplos elementares
R
1. cos x dx = sen x + C. Logo,
R
(a) cos 3x dx = 1 sen 3x + C
3
R ¡ ¢ ¡ ¢
(b) cos 2x ¡ 2 dx = 1 sen 2x ¡
3¼
2
3¼
2
+C
R x
2. e dx = ex + C. Logo,
R
(a) ex¡5 dx = ex¡5 + C
R
(b) e2¡x dx = ¡e2¡x + C
R
(c) e5x dx = 1 e5x + C
5
R 2
3. Calcular tg x dx.


R
sec2 x dx = tg x + C.
Temos cos2 x + sen2 x = 1, logo 1 + tg2 x = sec2 x.
Logo,
R 2 R R R
tg x dx = (sec2 x ¡ 1) dx = sec2 x ¡ 1 dx = tg x ¡ x + C
R
4. Calcular (5 cos x + cos 5x) dx.
Z Z Z
(5 cos x + cos 5x) dx = 5 cos x dx + cos 5x dx
1
= 5 sen x + sen 5x + C
5
R
5. Calcular sen x cos x dx.
Temos sen 2x = 2 sen x cos x, logo sen x cos x = 1 sen 2x. Da¶
2
³
Z Z
1
sen x cos x dx = sen 2x dx
2
1 1 1
= ¢ (¡ cos 2x) + C = ¡ cos 2x + C
2 2 4
Z p
x+1
6. Calcular dx.
x
Z p Z µp ¶
x+1 x 1
dx = + dx
x x x
Z p Z
x 1
= dx + dx
x x
Z Z
¡1=2 1
= x dx + dx
x
x1=2 p
= + ln jxj + C = 2 x + ln jxj + C
1=2

15.5 Integra»~o por mudan»a de vari¶vel ou
ca c a
integra»~o por substitui»~o
ca ca
Suponhamos que
Z
f (x) dx = F (x) + C (15.1)

Suponhamos que x = '(t) ¶ uma fun»~o deriv¶vel de t, para t em um intervalo
e ca a
I ½ R.


Na aula 14 de¯nimos a diferencial de x, como sendo
dx
dx = dt = '0 (t) dt
dt

No contexto daquela aula, a diferencial dx foi de¯nida como uma boa aproxima»~o
ca
de ¢x, quando dt = ¢t ¶ su¯cientemente pequeno.
e
Neste cap¶
³tulo, a diferencial ter¶ um sentido simb¶lico, sendo empregada quando
a o
realizamos troca de vari¶veis no c¶lculo de integrais.
a a
Suponhamos de¯nida em I a fun»~o composta f ('(t)).
ca
Como veremos agora, podemos substituir x = '(t) na express~o 15.1, fazendo
a
0
dx = ' (t) dt, ou seja, de 15.1 obtemos
Z
f('(t)) ¢ '0 (t) dt = F ('(t)) + C (15.2)

De fato, aplicando deriva»~o em cadeia,
ca
d d dx
[F ('(t))] = [F (x)] ¢
dt dx dt
0 0
= F (x) ¢ ' (t)
= F 0 ('(t)) ¢ '0 (t)
= f('(t)) ¢ '0 (t)
R
logo, f ('(t)) ¢ '0 (t) dt = F ('(t)) + C.
Portanto
Z Z
f (x) dx = F (x) + C =) f ('(t)) ¢ '0 (t) dt = F ('(t)) + C

pela mudan»a de vari¶vel x = '(t), tomando-se dx = '0 (t) dt.
c a
R
Na pr¶tica, quando calculamos f ('(t))'0 (t) dt, tendo-se as considera»~es acima,
a co
passamos pela seqÄ^ncia de igualdades:
ue
Z Z
0
f ('(t))' (t) dt = f (x) dx = F (x) + C = F ('(t)) + C

Algumas vezes, no entanto, fazendo x = '(t), passamos por uma seqÄ^ncia de igual-
ue
dades Z Z
f (x) dx = f ('(t))'0 (t) dt = F ('(t)) + C = F (x) + C
R
fazendo uso da integral mais complicada" f ('(t)'0 (t) dt para ¯nalmente calcular
R
f (x) dx. Isto ¶ o que ocorre em substitui»~es trigonom¶tricas, assunto que ser¶
e co e a
estudado adiante.


Neste caso, estamos assumindo implicitamente que
Z Z
0
f ('(t)) ¢ ' (t) dt = F ('(t)) + C =) f (x) dx = F (x) + C

o que ¶ justi¯cado desde que possamos tamb¶m expressar tamb¶m t = Ã(x), como
e e e
fun»~o inversa e deriv¶vel de x = '(t), para que possamos, ao ¯nal dos c¶lculos, obter
ca a a
a integral inde¯nida como fun»~o de x, a partir de sua express~o em fun»~o de t.
ca a ca
Z
1
Exemplo 15.1 Calcular p dx.
3 ¡ 2x

Solu»~o. Come»amos fazendo a substitui»~o u = 3 ¡ 2x.
ca c ca
du
Ent~o du =
a ¢ dx = (3 ¡ 2x)0 dx = ¡2dx.
dx
Portanto dx = ¡ 1 du.
2

Assim, temos
Z Z µ ¶ Z
1 1 1 1 1 u¡1=2+1
p dx = p ¢ ¡ du = ¡ u¡1=2 du = ¡ ¢ 1 +C
3 ¡ 2x u 2 2 2 ¡2 + 1
p p
= ¡u1=2 + C = ¡ u + C = ¡ 3 ¡ 2x + C
R
Exemplo 15.2 Calcular tg x dx.
Z Z
sen x
Solu»~o.
ca tg x dx = dx.
cos x
Como (cos x)0 = ¡ sen x, tomamos u = cos x, e teremos
du = (cos x)0 dx = ¡ sen x dx.
Assim,
Z Z Z
sen x ¡1
tg x dx = dx = du = ¡ ln juj + C = ¡ ln j cos xj + C
cos x u
R
Exemplo 15.3 Calcular sec x dx.

Solu»~o. Calcularemos esta integral por uma substitui»~o que requer um truque esperto.
ca ca
Z Z Z
sec x ¢ (sec x + tg x) sec2 x + sec x ¢ tg x
sec x dx = dx = dx
sec x + tg x sec x + tg x
Aplicamos a mudan»a de vari¶vel
c a
u = sec x + tg x
e teremos du = (sec x + tg x)0 dx = (sec x tg x + sec2 x)dx.
Z Z
1
Logo, sec x dx = du = ln juj + C = ln j sec x + tg xj + C.
u


R
Exemplo 15.4 Calcular cosec x dx.

Solu»~o. Imitando o truque usado no exemplo anterior, o leitor poder¶ mostrar que
ca a
R
cosec x dx = ¡ ln j cosec x + cotg xj + C.
Z
x
Exemplo 15.5 Calcular p dx.
x2 + 5

Solu»~o. Note que (x2 + 5)0 = 2x. Isto sugere fazermos
ca
1
u = x2 + 5, de onde du = 2x dx, ou seja, x dx = du.
2
Temos ent~o
a
Z Z Z p
x 1 1 1
p dx = p ¢ du = u¡1=2 du = u1=2 + C = x2 + 5 + C
x2 + 5 u 2 2

15.6 Ampliando nossa tabela de integrais imediatas
Com a ¯nalidade de dinamizar o c¶lculo de integrais inde¯nidas, ampliaremos a lista
a
de integrais imediatas da se»~o 15.2, adotando como integrais imediatas" as quatro
ca
seguintes, que deduziremos em seguida.

Proposi»~o 15.4 Sendo a > 0, e ¸ 60,
ca =
Z
dx 1 x
1. 2 + x2
= arc tg + C.
a a a
Z ¯ ¯
dx 1 ¯a + x¯
¯ ¯ + C.
2. = ln
a2 ¡ x2 2a ¯ a ¡ x ¯
Z
dx x
3. p = arc sen + C.
a 2 ¡ x2 a
Z p
dx
4. p = ln jx + x2 + ¸j + C
x2 + ¸
Z Z
dx 1 1
Demonstra»~o.
ca 2 + x2
= 2 dx
a a 1 + ( x )2
a

Fazendo x
a
= y, temos dx = a dy, e ent~o
a
Z Z Z
dx 1 a 1 1
2 + x2
= 2 dy = dy
a a 1+y 2 a y 2+1

1 1 x
= arc tg y + C = arc tg + C
a a a


Para deduzir a segunda integral, lan»amos m~o da decomposi»~o
c a ca
1 1
1
= 2a + 2a
a2 ¡ x2 a+x a¡x

Assim sendo,
Z Z Z
1 1 1 1 1
dx = dx + dx
a2 ¡ x2 2a a+x 2a a¡x
1 1
= ln ja + xj ¡ ln ja ¡ xj + C
2a 2a ¯ ¯
1 ja + xj 1 ¯a + x¯
= ln +C = ln ¯ ¯+C
2a ja ¡ xj 2a ¯ a ¡ x ¯

Para deduzir a terceira integral, fazemos uso da integral inde¯nida
Z
1
p dx = arc sen x + C
1 ¡ x2
e procedemos a uma mudan»a de vari¶vel, tal como no c¶lculo da primeira integral
c a a
acima. O leitor poder¶ completar os detalhes.
a
Para deduzir a quarta integral, apelaremos para um recurso nada honroso. Mos-
traremos que
p 1
(ln jx + x2 + ¸j)0 = p 2
x +¸
p p 1
De fato, sendo u = x + x2 + ¸, e sendo ( w)0 = 2pw ¢ w0 , temos

p 1
(ln jx + x2 + ¸j)0 = (ln juj)0 = ¢ u0
u
1 p
= p ¢ (x + x2 + ¸)0
x + x2 + ¸
1 1
= p ¢ (1 + p ¢ = x)
2
x + x2 + ¸ = x2 + ¸
2
p
1 x2 + ¸ + x 1
= p ¢ p 2 =p 2
x + x2 + ¸ x +¸ x +¸

15.6.1 Nossa tabela de integrais imediatas

Adotaremos como integrais imediatas as integrais da tabela 15.1 dada a seguir. Esta
tabela inclui as integrais imediatas da proposi»~o 15.2, as integrais calculadas nos exem-
ca
plos 15.3 e 15.4, e as integrais da proposi»~o 15.4.
ca


Tabela 15.1. Tabela ampliada de integrais imediatas (nas ultimas linhas, a > 0 e ¸ 60).
¶ =
Z
R ® x®+1 1
x dx = + C, (® 6¡1)
= dx = ln jxj + C
®+1 x
R R
sen x dx = ¡ cos x + C cos x dx = sen x + C

R R ax
ex dx = ex + C ax dx = (a > 0; a 61)
=
ln a
R R
sec2 x dx = tg x + C cosec2 x dx = ¡ cotg x + C

R R
sec x ¢ tg x dx = sec x + C cosec x ¢ cotg x dx = ¡ cosec x + C

R R
sec x dx = ln j sec x + tg xj + C cosec x dx = ¡ ln j cosec x + cotg xj + C

R R
tg x dx = ¡ ln j cos xj + C cotg x dx = ln j sen xj + C

Z Z
1 1
dx = arc tg x + C p dx = arc sen x + C
1 + x2 1 ¡ x2
Z Z ¯ ¯
dx 1 x dx 1 ¯a + x¯
= arc tg + C = ln ¯ ¯ + C.
a2 + x2 a a a2 ¡ x2 2a ¯ a ¡ x ¯
Z Z p
dx x dx
p = arc sen + C p = ln jx + x2 + ¸j + C
a 2 ¡ x2 a x2 + ¸

15.7 Problemas
Calcule as seguintes integrais inde¯nidas, utilizando, quando necess¶rio, mudan»a de
a c
vari¶veis. Sempre que julgar conveniente, fa»a uso da tabela de integrais inde¯nidas da
a c
tabela 15.1.
R p p
x) dx. Resposta. x + 2x3 x + C.
2
1. (x + 2
R³ 3
p ´ ¡ p 1 p ¢
2. p ¡
x
x x
4
dx. Resposta. 6 x ¡ 10 x2 x + C.
R 2 p
3. xpdx
x
. Resposta. 2 x2 x + C.
5


R³ 1
´2
x5
p p
2
+ 3 x2 x2 + 3 3 x + C.
3
4. x + p
3x dx. Resposta. 5 4
R
5. sen ax dx. Resposta. ¡ cos ax + C.
a
R ln x ln2 x
6. x
dx. Resposta. 2
+ C.
R
7. 1
sen2 3x
dx. Resposta. ¡ cotg 3x + C.
3
R 1
8. dx
3x¡7
. Resposta. 3
ln j3x ¡ 7j + C.
R
9. tg 2x dx. Resposta. ¡ 1 ln j cos 2xj + C.
2
R 1
10. cotg(5x ¡ 7)dx. Resposta. 5
ln j sen(5x ¡ 7)j + C.
R
11. cotg x dx. Resposta. 3 ln j sen x j + C.
3 3
R 1
12. tg ' sec2 ' d'. Resposta. 2
tg2 ' + C. Sugest~o. Fa»a u = tg '.
a c
R
13. ex cotg ex dx. Resposta. ln j sen ex j + C. Sugest~o. Fa»a u = ex .
a c
R sen3 x
14. sen2 x cos x dx. Resposta. 3
+ C. Sugest~o. Fa»a u = sen x.
a c
R 4
15. cos3 x sen x dx. Resposta. ¡ cos x + C.
4
R x dx p
16. p2x2 +3 . Resposta. 1 2x2 + 3 + C. Sugest~o. Fa»a u = 2x2 + 3.
2
a c
R x2 2
p
17. p dx .
x3 +1
Resposta. 3
x3 + 1 + C.
R sen x dx 1
18. cos3 x
. Resposta. 2 cos2 x
+ C.
R cotg x 2
19. Resposta. ¡ cotg x + C.
sen2 x
dx. 2
R p
20. cos2 xptg x¡1 . Resposta. 2 tg x ¡ 1 + C.
dx

R sen 2x dx p
21. p1+sen2 x . Resposta. 2 1 + sen2 x + C. Sugest~o. Fa»a u = 1 + sen2 x.
a c
R arc sen x dx arc sen2 x
22. p
1¡x2
. Resposta. 2
+ C.
R arccos2 x dx 3
23. p
1¡x2
. Resposta. ¡ arccos
3
x
+ C.
R 1
24. x dx
x2 +1
. Resposta. 2
ln(1 + x2 ) + C.
R 1
25. x+1
x2 +2x+3
dx. Resposta. 2
ln(x2 + 2x + 3) + C.
R cos x 1
26. 2 sen x+3
dx. Resposta. 2
ln(2 sen x + 3) + C.
R
27. dx
x ln x
. Resposta. ln j ln xj + C. Sugest~o. Fa»a u = ln x.
a c
R (x2 +1)5
28. 2x(x2 + 1)4 dx. Resposta. 5
+ C.


R tg3 x
29. tg4 x dx. Resposta. 3
¡ tg x + x + C.
Sugest~o. Mostre que tg x = tg2 x ¢ tg2 x = sec2 x ¢ tg2 x ¡ sec2 x + 1.
a 4

R
30. cos2 x(3 tg x+1) . Resposta. 1 ln j3 tg x + 1j + C.
dx
3
R tg3 x tg4 x
31. cos2 x
dx. Resposta. 4
+ C.
R
32. e2xdx. Resposta. 1 e2x + C.
2
R 2 ax
2
33. xax dx. Resposta. 2 ln a
+ C.
R ex 1
34. 3+4ex
dx. ln(3 + 4ex) + C.
Resposta. 4
R dx 1
p
35. 1+2x2 . Resposta. p2 arc tg( 2x) + C.
R dx 1
p
36. p1¡3x2 . Resposta. p3 arc sen( 3x) + C.
R
37. p16¡9x2 . Resposta. 1 arc sen 3x + C.
dx
3 4
R dx
38. 9x2 +4 . Resposta. 1 arc tg 3x + C.
6 2
R dx ¯ 2+3x ¯
39. 4¡9x2 . Resposta. 12 ln ¯ 2¡3x ¯ + C.
1

R dx p
40. px2 +9 . Resposta. ln(x + x2 + 9) + C.
R x2 dx ¯ p ¯
¯ 3 ¯
p ln ¯ x +p5 ¯ + C.
1
41. 5¡x6 . Resposta. 6 5 x3 ¡ 5
Sugest~o. Fa»a x6 = (x3 )2 , e ent~o u = x3 .
a c a
R
42. px dx 4 . Resposta. 1 arc sen x2 + C. Sugest~o. Fa»a u = x2 .
1¡x 2
a c
R 1 2
43. x dx
x4 +a4
. arc tg x2 + C.
Resposta. 2a2
a
R cos x dx ¡ ¢
44. a2 +sen2 x . Resposta. a arc tg sen x + C.
1
a
R
45. p dx 2 . Resposta. arc sen(ln x) + C.
x 1¡ln x
R arccos x ¡ x
p
46. p
1¡x2
dx. Resposta. ¡ 1 (arccos x)2 +
2
1 ¡ x2 + C.
R x¡arc tg x 1
47. 1+x2
dx. Resposta. 2
ln(1 + x2 ) ¡ 1 (arc tg x)2 + C.
2

R p1+px 4
p p 3
48. p
x
dx. Resposta. 3
(1 + x) + C.
R cos3 x 1 1
49. sen4 x
Resposta. sen x ¡ 3 sen3 x + C.
dx.
R cos3 x R cos2 x¢cos x R (1¡sen2 x) cos x
Sugest~o. Fa»a sen4 x dx =
a c sen4x dx = sen4 x
dx, e ent~o u =
a
sen x.

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