Cap. 45-matematica-paiva

Capítulo45
Conce ito â n g u l o
de

r. òemrprano
Consideremos
uma reta r contidanum pÌanod.
se i d mo e o u' s uhc o rl u fl o .d e p o n ro 'd e s s (

Os conjunlosde pontos o' e d" são chamêdos semiplanosde orig€Ìn ..
de

2. Angulo geométrico
Angulo geomélricoé à intersecção doìs semipÌanos
de
cujasorìgenssãorelasconcoÌrentes.

liiii^L
Ob 'cre q ue ne( es doi. c â .ú , Ì. m .,. o . á n g u l o .:

O pontoO é chânâdo
véÌÌice asserniretas
e
d
e 0ã sãoos lâdosdo ângìÌo.
DenotâreÌÌos ângulo
o
pelosínboloÁó8.

. ÂngüÌoÁô'B', de véÍìce O' e ladosoC e

oE.
2.1, Interior de um ângulogeométrico

s..
Um ponto é ponto interior â um ânguÌogeomeÌÍicoaÓB se. e sornente perlef(e a e!e ângulo
nrasnão a um dos lddos ou óÀ ou dr=.

. P é ponto interior âo ângulogeoméÍico ÁôBi
. 0 não é ponto inlcÌior âo âneulogeométrico
ÁOB.pojspeltence um ladodo àngulo.
a

O conjunto1 formadopor todosos ponlos inlerìoresde um ângutogeomélricoAOB é deDomnrado
inte':iordo ângulo.

2.2. Exterior de um ângulogeométrico
ÁO,Bse. e sornente peÌtenceâo plano que
se,
Um ponto é ponto €xteÍior â un ânguìo geométrìco
contémÁôA rnasnão penenceâesse ânguÌo.

. r.te p o nroereror ao ântJ u tsfuìrcl cú i rut' :
. 0 não é ponlo erterìor ro ânguÌo gcomótrico

geométÌico,4OBdcnonrinâdo
por
exleÌionsa um ângulo
ó
O conjunto,E
formado todosos pontos
ert€rior do ângulo.

3. Angulo replementarde um ângulogeométrico
Sejam / o interior de uìn âDguÌogeonétrÌco
ÀOB e.! o plano quecontémesscânguÌo.Châmâse "ângulo replementàr deÁOB" o conjunto dos
ponios que peÍencem a o e não pertencem â /.
lndrcandopoÍ rcp,,tO8ì o "eflen"nrdr do iÍ
g!1o geométrico
ÁÓ,8. temos:

4. Ânguloraso
que
Seduâssemi-ÌeLâs
foremopostas,
então
diremos o ânguÌo
compreendìdo elasé raso.
por

ÀnguloÍasode eÍÈceo e kdoç OÀ e oB.

5. Ansulo de uma volta e ânsulo nulo
SeduassemireÌâsforem coincidenÌes,
entãodìremosque fìcam compreendidos elasum ângulo
por
deumavoÌtae um âqgLrÌo
nulo.

An g u l odeI mJ ôl a Je er.rce
Oe l âdô' rÁ c O8.

Àrgulo nuÌode vértice e lados e Olj
O
O;i
Notâs
l. O ângulo raso.o nulo, o de uma volta complctâc o Ìepleìnentâr um ânguÌogeomélriconào sào
de
ângulosgeométricos.
pois não são inreÌsecções seìniplnnos.
cujrs origeússãoremsconcorìenles.
de
2. O tipo de ânguÌoque mâis nos interessa o ângulo geométrico. Por comodidâdc,dâqui pân a
é
1ÌeDtc.
omitiÌemos a palavrngeornétrico.chaììando o snÌplcsmcnlede ângulo, ou sejâ:

6. 0 grau, unidade medidade arco e ângulo
de
Seja Á7 urn arco contido nLuna cìrcunlbêncja
c de cenllo o tal que o comprimento de it é igual
a

I
d o c om pnm enr o e L ,
d
Y
. Delìnc se a ìnedidado ânsulo,4OB como sendo I srou (l').
' Define-sea medidado arco,43 como sendo1 grêu (1").
Iülic,rido r medidado âDgulo,lôs por med(,4ÓB) a mcdjda rlo arcoíB- por rned(i3-), temosque:
e

338

Notâ
UÍn aÌto de ÌÌedidâ 0' (zerognu) é denoÌninado
ârco nulo.

Exercícioresolvido
ËÍ.:

Na fielra, o comprimerto oo
úFru- c ig'.r u
'.o
2
_
J "m {,
J .' .i c u ;,Á n .r d e .' n ,.n
-r.
c ilc ' , 1. .a m . did x o ín g u l oVOV e mg i d u ..
,
J

a-F
,1

pofúi, rroisexìíem doÌsdcos na circunterência
rfricanos o rco porúãl-e rão slmpìcsncntc
con

que:r = ]
sddÒ-Ì a nedìda, sÌaus.,lo
em
arcoúFF. temos

:oo" = so'.

A nÌcdidado àÌsuÌo MdN é isual à medìdr do rÌco í7F ì Asiú. remos:
med(MôN) - .cd(útÀl') : 8o'.

6.1. Submúltiplosdo grau
Dois submúltiplosdo graü nrcrecenr
dcslâcÌrìe: minuto e o segundo.
o

Minrto
(l')
Um minuto é iguaÌ
a

I

60

Segundo
I
(1")
Unì segundo é iguaÌâ
60

6.2. O transferidor
Pârâ medirmos um ângüÌoi em grausi usamos o
Irr..i cri do . f.,e Ìn,Ir menl o rormJmenl e e
aprescntâdo como ulÌ semicírculo (de plástico ou
de madeirâ),grâduâdo 0'a 180".
de

339

Exercício resolvido
iÈãi,:i l-1"a. o aoguueôr dafisuracoú o âuxíio deumÍusferidor

ColÒcâmos ccnlro do trarúeridor coincidindo
o
com o véÌÌi@ do ângulo. e a origem (tr1 coincìdindo coÌn um ponto de um Ìado do ângulÒ(coÍ-

A ìeitua feita m escalânÒponÌo sobrco outrc lado do ârynlo é a medidadèsse
ângulo.Observe escal.
na
=
que:med(ÁoB) 35'

7. Operaçóes
com medidasem graus,minutose segundos
7.1. Adição
Na adição düâsmedidas graus,
de
em
rninuÌos segündos,
e
somâmos,
separâdamenre,
os graus,
os
minutos os segundos.
e

Etetu$:
+
:ËÍi-iÌ::
32":15'17'26.36'50".
Resoluçâo
+

32"45,17,
26'3ó'50',
58.81'67',

Cono 60" = l', lodemos escreet6'1 : 1 1'
=
Logo.58"81'67" 5E'82'7'.
Temos,
aindâ, 60 = 1",oque nospeúÌè esfeveÌ82' = 1"22'.
que
Logo, 5a'82'7' : 59'22"7'.

7.2. Subtração
Parasubtrâirmos
umameúda de outÍâ em gÌâus,minutose segmdos,agimosdê seguinre
mâneira:
L se a medidaem ninutos (ou segundogdo minuendofor menoÍ que a conespondenre
medìdado
subhaendo,
então"emplesÌamos"1' (ou l') da medidade unidadeimeúatamentesuperìoÌe â rransfor
mamos 60' (ou 60'):
ern
it. quaÌÌdoâsmeúdasem graus,rninutose segundos minuendoforcm rnôioÌesou igüâisàsmedi,
do
dascoffespondentes subtraendo,
do
entãosubtraínos.separadamenÌe, graüs,os mìnurose os ssgun
os
340

ì

53'261?' 28'34'15'.
Sj{ïi Eferuar
Resolução
53'26',17',

.:s..Ì+
ts

t1',
52"46
28.3415"

*

Temosertão comor€spoúar24'52 2".

7.3. Multiplicaçãopor um núrnerointeiro
poÌ
Nâ Ínulliplicação de üma meúda eln gÌâüs,minutos e segundos rm nÌímeroìnÌeiÌo. mulÌipli
pelo númeÌo;nteiro.
câmos,sep.râdâmenÌe, graus.os minuios c os segundos
os

Exercícío resolvido
22'
Efetuar 15'28"6'
lF5r,r'ii
22.t5 28',
132"90'168',
=
=
I
comoÍesposrì: 33"32'48'.
CÒno I 32'90 168" 132'92'4E' | 33'32 48",tenosentão

7.4. Dirisãopor um númerointeiro
por
minutos segundos uÌn númerc
e
inteiropositivo,por
em
ParadividìÌmosumâmedidâ graus.
23"26'48', |

3

modo:
agimosdo seguÌnte
L dividimos â Ìnedidâ em graus pelo número iÌteiro |

23'26'48"

2.

',7"

(2
dìvisão ' 60' = 120')e somamos minutos
os
oblidos
em
o
IL transfonnamos mìnutos rcstodessà
aosminutos dividendo:
do

23'

(,-2' . oo)
(z
-

26'
48"
).

rzo't
146'

IIL dividìmos â nova medidaem minutospelo númeroinlelÌo:
23"
(2 . 60') .-

t
,ra'l

48'

146',
2',

341

ry. tÌansformamos segundos Íesto dessâ
em
o
divisão (2 . 60' : 120")e somâmos sesundos
os
obtldos âossegundos dividendo:
do
23.

26'

(2 ' 601 +

l-

120't
L46

)':-

(-2' . 60') -- t-'/
(2

r6&
V. finalmente,dividimos a nova medidaem segundos
pelo númerointeiÌoi

23'
/-2'
(2 . 601

26
)r
t2o't

-

r1í

481
3
r4 y s í

l-

^ ,1

le.

60') -

t2o',
16v

Exercícios resolvidos
,
iÈiíi::ii stitu- oz"so'zo's.

/_
2

67.
:.
õ0/-

só

2q I

'ut

(-n. " r :
ul

s
t , , 5 .õ

),
at/
s0'

:ÈÍi

Dètemind a medidado ângÌÌo fomrdo pelosponrèiÍosdo relógìo às l0 h e 15úin.
AnLe!de resolvemos ese lroblena. vmos fazeralgúúâs considerações.
. A voÌÌa completado Dost adordo relógio ren 36ü ,
portâÍto os pontos coreslondenÌes aos úmercs l
2, 3,4, 5, 6. 7, 8. 9, 10, 11c 12dividema circunfe
rênciàèm dozearcosd€ 30".

j'

342

I

. Os deslocãmcÌtos pôntei.os proporcìG
dos
sao
nais erlre si e lmbém sÃo Ìrroporcionais aÒ
tetnpo,ou seja,em ó0 nin o ponlèìrc dos miNtos percoÍe 3600e o dashorâspercorc 3ü.
As 10h l5 mìn,o ponteirc
maiorestáÌocalizado
exatameíte úo nútnero 3 do mostrador e o
menor
esrÁ
enrre l0 e o I l.
o

'.{'

6
Para
descÒbrìnos deslocmenro do ponÌelro lÌorâs,
o
Ì
das
desde t0 h atéas 10 h 15min, baía resol_
âs
vomos â segurnle
reSrade lrês:
Teììpo

Dèdocanenlo do ponÌeiro

150'

30
l5
LogÕ, = :150.
ó0r

Poídto, a medidâo pfocuradaé: o : 150" 7.5. . . d= 142,5..
LenbÌedo què I " = ó0 , podeúos escrever 0,5. : 30 .
Assim podemosaprèsentd aresposLàtânbémsobafomà,d : 142.30.

Exercícios
btisicos
ó . r: . d h g .ra.o lom plm P nl o o d o n Pv i i C u a.ì
d
.-^- .lo .o-nnmerro da . i,c
O. Calcule nÈdìda ânguloMrN.
â
do

B:zjiì!ì Um arcÒdc circu.íerêncià tem conpiimeúto t2 cDÌ e mede 60.. euâl o cohlrimerro .la cìcuníerência
queconlém
esse.rco?
,Bì$lìiit O comprimdto de umdci.cuníerênciâé 72 cm. Qual o comprimenro um a.co de 45.. coÌndo !e$a.ndc

343

l, 1c,Jo .dn g, u ..r

8. 5

',
Se ndo = 22' 3854 , Ë = l 3 ' 4 5 1 8 ' e C = 1 8 ' 1 3 ' 1 0caìcuìeÌ
Á
.)C
B
d)l Á
â )A + B
b)Á B

8.6

o. ir liodo. t i.

e, J . , .

8.4

f) B :ó

Calculc:

a)12"+ ó'2r'12',
8.7

e) C :5

b)ó"

5'r2'26"

c) 56'36 2{ : 7

Delemìne aúedidaÌde um ângulo lal qrc ì:37"3'36".

ntares
E xercícios compleme
C.í

ponteifosde um reló8io às I (ì h l0 ìÌin?
QMI â medida.em Smus.do ânguìolòmado peLos

C.2

QuaÌ ! medida,cnì g.aus,do ângulo fomado pcÌosponleiìo dÒrelógio às 2 h 15 nìnl

C.3

Qual o dÈlôc.menÌo.eú eraus,do pontenÒdâ hoias. desde ds 7 n até Ò próiiDo nÌonÌcníoen que o

se
FonLeiÍos $biepõem?
C.4

de
A flgura ao lado ó um arco de circunferCncìa
de
c.ìcuÌc
cento O. Como auxílìo uìnfxnsfelidor,
amedida. enus-de$e âÌco.
em

C.5

UDacuNrde ünaesÌr.dâÌe!ì r forma dc unì arco decirconfeiéncid.DcÍle o lonlolJniciaÌ da cu^d, até
o ìrontoB, t'nìal da.urvâ. r esÌr.dâ mud. sta diìcçào em 32'. Qurl a mcdìdado uconÈ em grns?

344

Questões dos vestibulares
lli;ïtll
j"ìt'ti!l

(F.C-M.s-ro*-Sp) Às 9 h 10 min. o ângulotomâdo
rElos ponteirosde um relóqio él
b) 147.30,
, 150'
cr 145"
d) ló0"

e) n.d.a.
r,'lcl u.u
<puc
é dividiilâ em setearcosde me.lidasisuâis. Dent* asâhemarivâs. vard
o
"i"cüfeÌênciâ
que nais seaproxina da medidâde cadâum deses aÌcosé:
b) 52.
9 5 f4 3 '
c) s1'25'47
d) 51' 25' t0,
e) 53'

iì/jíri;r (Fatec-SP) figura lem-s€o mosrrâdorde m rclógio {re raio 1. Seus
Nâ
ponreúos
nücm 4 h 40 ft,n. A
árca da rcgião hâchuada nâ fieu

é:

o )-

9
,. 107r
.

I l,r

(Lembrête: a árèade um círcdo .te raio Ì é dadãp€la fómula,4 = n/r.)

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