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Um Pouco da História das Curvas Cônicas Associado à história das curvas cônicas temos o nome de Apolônio, que nasceu na cidade de Perga, região da Panfília (atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu, aproximadamente, até 190 a.C. Apolônio foi contemporâneo de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre 287 a.C. e 212 a.C. e, juntamente com Euclides (aprox. 325 a.C. a 265 a.C.) forma a triade considerada como sendo a dos maiores matemáticos gregos da antiguidade. Estudou com os discípulos de Euclides em Alexandria e foi astrônomo notável.

Um Pouco da História das Curvas Cônicas Sua obra prima é Secções Cônicas composta por 8 volumes (aproximadamente 400 proposições!). Embora Apolônio tenha sido o matemático que mais estudou e desenvolveu as cônicas na antiguidade, essas curvas já eram conhecidas em sua época, sendo os precursores Manaecmo , Aristeu e o próprio Euclides .

Introdução Uma secção cônica é uma curva que resulta da intersecção entre um plano e uma superfície cônica assente numa base circular, que se estende indefinidamente através do seu vértice em ambas as direções. Existem cinco tipos possíveis de secções cônicas: a elipse; a hipérbole; a parábola; a circunferência; e um par de retas concorrentes. Estes dois últimos são casos particulares da elipse e da hipérbole, respectivamente.

Uma Superfície Cônica de Revolução é gerada quando uma reta G intercepta outra reta e fixa, girando em torno dela. Geratriz: G Vértice: V Eixo: e

Curvas Cônicas As Curvas Cônicas são produzidas por um plano secante sobre uma Superfície Cônica de Revolução .

Dependendo do ângulo que forma o plano secante com o eixo da superfície cônica, surgem diferentes curvas cônicas. Se o ângulo é maior, igual ou menor que o semiangulo do vértice da superfície cônica, obtem-se, respectivamente, uma elípse , uma parábola , ou uma hipérbole .

Algumas Aplicações das Cônicas O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De fato, estas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da física, incluindo a astronomia, a economia, a engenharia e em muitas outras situações. Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem:

Algumas Aplicações das Cônicas Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cônica, conforme a figura. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.

Algumas Aplicações das Cônicas A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas no caso em que o copo está direito, isto é, está alinhado com o nível , na horizontal. Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um parabolóide. Esta técnica é frequentemente usada para se obter este tipo de superfície.

Algumas Aplicações das Cônicas Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos. Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas. Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta.

Algumas Aplicações das Cônicas Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força de gravidade, são parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas trajetórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses.

Ao rodar em torno do seu eixo de simetria, a parábola, gera uma superfície parabólica ou parabolóide. O interesse dos espelhos parabólicos resulta das seguintes propriedades da parábola e do parabolóide: Todo o raio luminoso que incide num espelho parabólico, paralelamente ao eixo, reflete-se passando por um ponto fixo, designado por foco. Reciprocamente, todo o raio luminoso que incide no espelho parabólico passando pelo foco reflete-se paralelamente ao eixo. . Em óptica e Acústica

Os arcos de cônicas surgem em Engenharia e Arquitetura, em pontes, pórticos, cúpulas. Torres e arcos, devido às suas propriedades físicas e estéticas. Por exemplo, o cabo de suspensão duma ponte, quando o peso total é uniformemente distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, tem a forma de uma parábola. Em Engenharia e Arquitetura

Um simples instrumento ajudando a salvar vidas Já imaginou ter um fogão em casa com energia solar? Pois, a idéia já é possível. O estudo com esse fogão tem mais de 10 anos de desenvolvimento, tendo iniciado na Alemanha. São coletores solares de alto desempenho que aquecem um fluido térmico e transportam calor para panelas. O fogão pode ficar no interior da casa e os coletores, do lado de fora, para captar energia do sol. Este instrumento foi implantado na Etiópia para ajudar a suprir a necessidade de alimento, e não só na África como também no sertão nordestino, esta idéia boa e barato faz sucesso.

Algumas Aplicações das Cônicas Fazendo uso da propriedade refletora da parábola, Arquimedes construiu espelhos parabólicos, os quais por refletirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos quando das invasões de Siracusa. Lembre-se que a concentração de energia gera calor.

Algumas Aplicações das Cônicas De fato, as propriedades refletoras das cônicas, e não somente as da parábola, têm contribuindo para a construção de telescópios, antenas, radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas, etc... Só para dar uma amostra de objetos mais cotidianos que usam a propriedade refratora das cônicas, mencionamos os seguintes: os óculos graduados, as lupas e os microscópios.

Algumas Aplicações das Cônicas A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis construíram pontes de suspensão parabólica. A arquitetura moderna se valem das formas cônicas…

Curvas Cônicas elipse parábola hipérbole

A Elípse como Lugares Geométricos A Elipse é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a condição de que a soma das distâncias a outros pontos fixos F1 e F2, chamados focos, é constante e igual a 2a, sendo 2a a longitude do eixo maior MN da elipse. Elipse

Construção da Elipse, dados dois eixos: por pontos Sean los ejes MN y ST: Se hallan los focos F1 y F2, como ya se ha explicado. Se toma un punto A cualquiera del eje mayor, situado entre uno de los focos y el centro, y con radio MA y centro en F1 se traza el arco 1 y con radio NA y centro F2 se traza el arco 2; estos dos arcos se cortan en el punto V de la elipse. Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc., vão-se determinando pontos da elipse que posteriormente se unem. Marcam-se os focos F1 e F2 sobre o eixo MN. Toma-se um ponto A qualquer do eixo maior, situado entre um dos focos e o centro, e com o raio MA e centro em F1 se traça o arco r1 e com o raio NA e centro F2 se traça o arco r2; estes dois arcos se interceptam no ponto V da elipse. Sejam os eixos MN e ST:

As Cônicas como Lugares Geométricos Circunferência é o lugar geométrico dos pontos P que estão a uma mesma distância r de um ponto fixo A do plano, onde r é a medida do raio da circunferência e o ponto A é o centro da circunferência. Observe que a circunferência é um caso particular da elipse, que ocorre quando os focos F1 e F2 coincidem. r P A

A Hipérbole como Lugares Geométricos A hipérbole é uma curva plana, aberta, com dois ramos e se define como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença de distâncias a outros dois fixos F1 e F2 , chamados focos, é constante e igual a 2a , sendo 2a o valor do eixo real V1 e V2 . Hipérbole r1-r2=2a Eixo real: V1V2=2a Distância focal: F1F2=2c Eixo virtual

Construção da Hipérbole, dados os vértices e os focos Los datos son: MN = 2 a y F1 F2 = 2c: Se elige un punto A cualquiera en el eje real MN, situado a la derecha del foco de la derecha o a la izquierda del foco de la izquierda. Con centros en F1 y F2 y radios MA y NA respectivamente se trazan los arcos 1 y 2 que se cortan en el punto V de la curva. Se verifica que: VF1 – VF2 = 2 a = MN. Repitiendo la misma operación con otros puntos B, C, etc., se obtienen puntos que, unidos posteriormente con plantilla o a mano , nos definen la hipérbola. Os dados são: MN=2a e F 1 F 2 =2c Eixo real: MN=2a=V 1 V 2 Distância focal: F 1 F 2 =2c r 1 - r 2 =2a Se exige um ponto A qualquer no eixo real MN, situado a direita de ambos os focos. Com centros em F 1 e F 2 e raios MA e NA respectivamente se traçam os arcos 1 e 2 que se cortam no ponto V da curva. Se verifica que: VF 1 -VF 2 =2a=MN Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc, se obtém pontos que, unidos posteriormente, nos define um ramo da hipérbole. Então, usando simetria em relação a reta perpendicular a MN em seu ponto médio O obtém-se o outro ramo da hipérbole.

A Parábola como Lugares Geométricos A parábola é uma curva plana, aberta e de um ramo. Se define como o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo F chamado foco, e de uma reta fixa d chamada diretriz. Parábola

Construção da Parábola, dados o foco e a diretriz El vértice es el punto medio del segmento MF. Se toma un punto cualquiera A del eje y se traza la recta m perpendicular al eje Con centro en el foco F y radio AM se traza un arco que corta a la perpendicular m en los puntos P y P´, puntos de la parábola. Se cumple que PF = PE Repitiendo la misma operación con otros puntos B; C; etc., se obtienen puntos que unidos posteriormente a mano o con plantilla, nos determinan la parábola. Os dados são: a diretriz d o eixo e e o foco F. O vértice V é o ponto médio do segmento MF. Escolha um ponto qualquer A do eixo e e trace a reta m perpendicular a esse eixo. Com centro no foco F e raio AM trace um arco que corta a perpendicular m nos pontos P e P’, pontos da parábola. Verifique que PF=PE. Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc, se obtém pontos, que unidos posteriormente, nos determinam a parábola. diretriz

Quantos pontos determinam uma Cônica? Um procedimento bastante comum quando usamos softwares Geométricos no estudo de Cônicas, é o de que cinco pontos determinar uma cônica… Vamos justificar este fato. . .

Determinação da equação de uma cônica dados cinco pontos quaisquer.

Exemplo de determinação da equação de uma cônica, conhecendo cinco pontos quaisquer.

Representação da Cônica do Exemplo anterior Esta Figura foi gerada pelo Cabri-Geomètre. Obtenha-a usando o GeoGebra .

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