Geometria

Geometria

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  Geometria plana Índice Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira ― www.ser.com.br Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo 1
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  Polígonos Definição Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha determina. As figuras a seguir são polígonos As figuras a seguir não são polígonos 2
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  Polígonos Polígonos convexos e polígonos côncavos Polígonos convexos Polígonos côncavos Um polígono se diz convexo quando o Um polígono se diz côncavo quando segmento de reta que une dois pontos existem dois pontos de sua região interna quaisquer de sua região interna está tais que o segmento de reta por eles sempre contido nela. determinado não está contido nela. A A B B São polígonos convexos São polígonos côncavos 3
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  Polígonos Elementos de um polígono No polígono ABCDE ao lado temos que: • Os segmentos AB, BC, CD, DE, EA A são os lados do polígono; • Os pontos A, B, C, D, E são os vértices E B do polígono; • Os segmentos AC, AD, BD, BE, CE são as diagonais do polígono; • ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsão os ângulos ABC, BCD, CDE, DEA, EAB D C do polígono; Nota: Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono. 4
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  Polígonos Polígonos regulares Chama-se polígono regular a todo polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos A congruentes (ângulos que possuem a mesma medida). E B Num polígono regular destacamos: O • O centro É o ponto que dista igualmente de todos os vértices do polígono. (Na figura ao D C lado é o ponto O.) M 5
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  Polígonos Nome dos polígonos De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial. Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos: Número de Nome Número de Nome lados lados 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 6 Hexágono 12 Dodecágono 7 Heptágono 15 Pentadecágono 8 Octógono 20 Icoságono 6
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  Polígonos Soma das medidas dosângulos internos: Si = 180º ( n − 2 ) Soma das medidas dos ângulos externos: Se = 360º Si 180º ( n − 2 ) Ângulos internos de um polígono regular: ai = ou ai = n n Se 360º Ângulos externos de um polígono regular: ae = ou ae = n n n ( n − 3) Número de diagonais de um polígono: d= 2 7
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  Triângulos ― classificação Quanto aos ângulos Quanto aos lados Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo: possui dois ângulos agudos e Isósceles: dois lados de mesma medida. um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado Obs.: os ângulos opostos aos lados o teorema de Pitágoras: congruentes também são de mesma hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 medida. Obtusângulo: possui dois ângulos agudos Escaleno: três lados de medidas e um obtuso. diferentes entre si. 8
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  Triângulos - medidasde seus ângulos Soma das medidas dos Teorema do ângulo externo ângulos internos α + β + γ = 180º α + x = 180º β+γ=x Condição de existência de um triângulo A soma das medidas dos dois lados menores b+c>a tem que ser maior que a medida do lado maior. 9
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  Triângulos – cevianase pontos notáveis Ceviana Definição Ponto notável Figura É o segmento que tem como Baricentro (G): é o ponto de extremidade um vértice do encontro das medianas do Mediana triângulo e o ponto médio do lado triângulo; é o centro de oposto a esse vértice. gravidade do triângulo. É o segmento que tem uma Incentro (I): é o encontro das extremidade em um vértice do bissetrizes internas do Bissetriz triângulo, divide o ângulo ao meio triângulo; é o centro da e tem a outra extremidade no circunferência inscrita no lado oposto a esse vértice. triângulo, pois equidista dos três lados. É o segmento com uma Ortocentro (H): é o ponto de extremidade em um vértice e a encontro das retas que contêm Altura outra extremidade no lado oposto as alturas, podendo pertencer ou no seu prolongamento, ao exterior do triângulo. formando com ele ângulos retos. Reta que passa pelo ponto médio Circuncentro (C): é o ponto de um lado do triângulo e é de encontro das mediatrizes Mediatriz perpendicular a ele. dos lados do triângulo; é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, pois equidista dos três vértices. 10
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  Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos. 1o caso: LAL 2o caso: LLL 3o caso: ALA 4o caso: LAAo Dois lados congruentes Três lados congruentes Dois ângulos Um lado congruente, e o ângulo formado congruentes e o lado um ângulo adjacente e por eles congruente compreendido entre o ângulo oposto a esse eles congruente lado congruente 11
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  Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes. Assim teremos: Casos de semelhança: AB BC AC = = = constante DE EF DF 1o caso: AA 2o caso: LLL 3o caso: LAL Se dois ângulos de um Dois triângulos são Dois triângulos são triângulo são semelhantes se os lados de semelhantes se possuem respectivamente um são proporcionais aos um ângulo congruente congruentes a dois ângulos lados do outro. compreendido entre lados de outro, o terceiro ângulo proporcionais. também será. 12
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  Relações métricas notriângulo retângulo Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento AD perpendicular ao lado BC , com D em BC . Definições dos segmentos: BC = hipotenusa (medida "a") Assim teremos: a =b +c 2 2 2 AB = cateto (medida "c") a ⋅h = b ⋅c AC = cateto (medida "b") b = m⋅a 2 BD = projeção do cateto AB sobre a hipotenusa (medida "m") c2 = n ⋅ a DC = projeção do cateto AC h2 = m ⋅ n sobre a hipotenusa (medida "n") AD = altura relativa à hipotenusa (medida "h") 13
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  Quadriláteros São polígonos dequatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º. Quanto aos Quanto às Quanto aos ângulos diagonais lados Ângulos opostos Encontram-se no Lados opostos Paralelogramo congruentes e seu ponto médio. congruentes. ângulos adjacentes suplementares. Quatro ângulos São congruentes. Lados opostos Retângulo retos. congruentes. Ângulos opostos São perpendiculares Quatro lados Losango congruentes e entre si e estão congruentes. ângulos contidas nas adjacentes bissetrizes dos suplementares. ângulos internos do losango. Quatro ângulos Encontram-se no Quatro lados Quadrado retos. seu ponto médio e congruentes. são congruentes. 14
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  Quadriláteros Os trapézios sãoquadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor. Trapézio retângulo Trapézio isósceles É todo trapézio que tem dois É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados não paralelos lados que não é base é congruentes. perpendicular às duas bases. 15
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  Teorema de Tales Umfeixe de retas paralelas cortadas por duas transversais quaisquer determinam segmentos proporcionais. Assim teremos: AB BC AC = = DE EF DF 16
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  Teorema da bissetrizde um ângulo interno de um triângulo Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo. Assim teremos: BD AB = DC AC 17