Ipaee capitulo 3_slides_1

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010

CAPÍTULO 3

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE
E A INFERÊNCIA ESTATÍSTICA


Um fenômeno aleatório tem resultados que não
podemos predizer , mas que, não obstante, possuem
uma distribuição regular em uma grande quantidade
de repetições.


UM EXEMPLO: Lançamento de uma moeda

Característica: Dois resultados possíveis

Cara ou Coroa

Não é possível afirmar a priori qual o resultado que
vai ocorrer no lançamento da moeda.

É possível definir uma distribuição regular?



O que podemos entender como uma distribuição regular?

Qual o comportamento da ocorrência de cada possível
resultado em uma longa seqüência de repetições do
fenômeno, realizadas sob as mesmas condições.
No Exemplo: Qual o comportamento do número de caras
(ou de coroas) quando uma moeda é lançada um grande
número de vezes.



Consideramos 5000 lançamento de uma moeda

A cada lançamento determinar a proporção de caras (ou
coroas) observadas até aquele lançamento!

Por exemplo Exemplo: Até o 10º lançamento foi
observado 7 cuja face obtido foi cara, logo a proporção de
caras é de 70%.



Consideramos 5000 lançamento de uma moeda

Duas Situações:

A: Ocorre as seguintes faces nos primeiros
lançamentos: coroa, cara, coroa, coroa.

B: Ocorre face cara em todos os 5 primeiros
lançamentos.



Consideremos 5000 lançamento de uma moeda

LOGO:
Para o ensaio A a proporção de caras inicia com zero no 1
lançamento, sobe para 0,5 quando no segundo lançamento dá
uma cara, cai para 0,33 e 0,25 quando obtemos mais 2 coroas.

Para o ensaio B a proporção de caras é 1 até o 5º lançamento.

O ensaio A inicia com poucas caras e o B com muitas.




Conseqüentemente:

A proporção de lançamentos com caras é muito variável no
inicio.

QUESTÃO:

O que ocorre a medida que fazemos mais e mais jogadas?



A : Primeira série de lançamentos
B : Segunda série




CONCLUSÃO:

O comportamento do acaso é imprevisível a curto prazo,
mas tem um padrão regular e previsível a longo prazo.
O resultado não pode ser predito antecipadamente.
Porém há um padrão regular nos resultados, um padrão
que emerge após muitas repetições.




Após um longa seqüencia de lançamentos da moeda a
proporção de caras (conseqüentemente também de
coroas) é aproximadamente 0.5 (50%)


UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:

Consideremos que:
1. Cada resultado possível de um fenômeno aleatório é um
evento.
2. Os eventos têm diferentes atributos, ou seja, tem aspectos
diferentes que os distinguem entre si.

Definição 1: Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e
igualmente prováveis, se nA desses eventos tem a atributo A,
então a probabilidade de A e dada pela razão nA / n.



Exemplo 1.
Qual é a probabilidade de ocorrer face 6, quando se joga um
dado equilibrado?
Solução:
Quando se joga um dado equilibrado, ocorre um de 6 eventos
mutuamente exclusivos e igualmente prováveis; logo, a
probabilidade de ocorrer 6 e 1/6.



IMPORTANTE:
É importante entender que a definição clássica de probabilidade
não faz sentido a menos que possamos imaginar muitas repetições
independentes do fenômeno. Quando dizemos que a probabilidade
de sair cara num jogo de moeda é 1/2, estamos aplicando, a um
único lançamento de uma única moeda, a medida de chance que
teria sido obtida se tivéssemos feito uma longa serie de jogadas.



Definição 2:
Freqüência relativa do evento A é a razão entre o número de vezes
em que ocorreu A (nA) e o número de eventos observados (n).

É importante entender que, se em uma longa seqüência de
repetições do fenômeno, nas mesmas condições, a freqüência
relativa de um evento se aproxima de um numero fixo, esse
número é uma estimativa da probabilidade de o evento ocorrer.


Exemplo 2.
Qual é a probabilidade de ocorrer face 6 quando se joga um dado
que não é equilibrado (os seis eventos possíveis não são
igualmente prováveis)?
Solução:
Se o dado não é equilibrado, para obter a probabilidade de ocorrer
face 6 devemos lançar o dado um número suficientemente grande
de vezes e dividir o numero de vezes que saiu 6 pelo número de
lançamentos feitos.


DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Definição 3:
S = Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados
possíveis de um fenômeno aleatório.
Um evento é um subconjunto do espaço amostral.

Exemplo 1 : Fenômeno Aleatório: Lançamento de uma moeda
S = {cara, coroa}
Evento: Face observada é cara.



Exemplo 2 : Fenômeno Aleatório: Lançamento de um dado
S = Face{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento 1: Face observada é SEIS.
Evento 2: Face observada é IMPAR
Evento 3: Face observada é maior ou igual que 4
Evento 4: Face observada é IMPAR



Exemplo 3 : Fenômeno Aleatório: Um jogador de basquetebol
faz três lances livre. Quais são as possíveis seqüências de
acertos (A) e erros(E)?
S =???



Evento A: O jogador acerta os três lances; P(A) = 1/8
Evento B: O jogador erra dois lances; P(B) = 3/8
Evento C: O jogador acerta o segundo lance; P(C) = 3/8



Exemplo 3 : Fenômeno Aleatório: Um jogador de basquetebol faz
três lances livre. Qual o número de cestas feitas?
S =???

S = { 0, 1, 2, 3}

P (0) = ?? P(1)= ??
P(2) = ?? P (3) = ??


Exemplo 4 : Fenômeno Aleatório: Uma nutricionista pesquisa
sobre uma nova dieta para alimentar ratos, machos, brancos. Quais
são os possíveis resultados de ganho de peso (em gramas)?
S =???

S = [0, ∞] = (todos os números≥ 0)



Finitos Dado: S={1,2,3,4,5,6}

ESPAÇOS
AMOSTRAIS:

Infinitos Peso:S = [0, ∞] = (todos
os números ≥ 0)



Questão:
Como calcular probabilidades quando o espaço
amostral é infinito (contínuo)?
Densidade uniforme:
A probabilidade de distribuirmos
uniformemente a variavel Y dentro de
0.3 e 0.7 é a área sob a curva de
densidade correspondente a esse
intervalo. Então:
P(0.3 ≤ y ≤ 0.7) = (0.7 − 0.3)*1 = 0.4

Existem muitos outros tipos de curvas de densidades.



Definição 4:
Dois eventos são disjuntos (ou
mutuamente exclusivos) se eles
não tiverem nenhum resultado
em comum portanto nunca
ocorrem juntos. (A ∩ B) = ∅ ⇒
P (A ∩ B) = 0
Como exemplificar usando
resultados de lançamento de
um dado



Definição 5:
Dois eventos são independentes se a probabilidade de um evento
ocorrer em qualquer realização do experimento não muda a
probabilidade de um outro evento ocorrer.

Exemplo: No lançamento de uma moeda o resultado do primeiro
lançamento (cara, por exemplo), NÃO ALTERA, a probabilidade de
dar cara ou coroa no segundo lançamento.



Propriedade 1:
A Probabilidade P(A) de qualquer evento A satisfaz 0 ≤ P(A) ≤ 1

Propriedade 2:
A probabilidade do espaço amostral completo é igual a 1. P(S) = 1
Exemplo: P(cara) + P(coroa) = 0.5 + 0.5 = 1

Propriedade 3:
A Probabilidade de um evento não ocorrer é igual a 1 menos a
probabilidade do evento ocorrer. P(A) = 1 – P( não A)
Exemplo: P(coroa) = 1 – P(cara) = 0.5



Propriedade 4:
Regra da adição geral para quaisquer dois eventos A e B: A
probabilidade que A ocorra, ou B ocorra, ou ambos eventos ocorram é:
P(A ou B) = P ( A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A e B)



Propriedade 4:
Exemplo: Qual é a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma carta
de um baralho de 52 cartas e ela ser um rei ou copas?

Então: P(rei ou copas)= P(rei) + P(copas) – P(rei e copas)

= 4/52 + 13/52 1/52 = 16/52 ≈ 0.3

4 1
13



Propriedade 5:
A probabilidade condicional reflete como a probabilidade um
evento pode mudar se soubermos que algum outro evento tenha
ocorrido.

Exemplo: A probabilidade de que um dia nublado resulte em chuva é
diferente, se você vive no nordeste ou se você vive no Sul do Brasil.



Propriedade 5:
A probabilidade condicional do evento B dado o evento A é: (desde que
P(A) > 0)

A = Retirado um Rei
B = Carta Retirada é de Copas



Se A e B são independentes:

Desta forma, se A e B são independentes:



IMPORTANTE:

A e B disjuntos ou mutuamente exclusivos:

A e B são independentes:



CASO GERAL: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO:

A probabilidade de que quaisquer dois eventos, A e B,
ocorram conjuntamente pode ser dada por:

P(A e B) = P(A∩B) = P(A)P(B|A)

Caso particular : A e B são independentes:



REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: DIAGRAMA DE ARVORES
O diagrama de árvore representa graficamente todos os possíveis
resultados e apresenta as probabilidades condicionais de
subconjuntos de eventos.

Diagrama de árvore
para hábitos conversar
Uso de 0.47
em sites de bate-papo Internet
para três grupos de
idade adulta.



Qual a probabilidade
de encontrarmos um
Uso de 0.47
Internet
individuo que utiliza o
bate papo na internet:

P(Utilizar e ter idade A1)+P(Utilizar e ter idade A2)+P(Utilizar e ter idade A3)=

∩ ∩ ∩
P(C∩A1)+P(C∩A2)+P(C∩A3)= P(A1)P(C/A1)+ P(A2)P(C/A2)+ P(A3)P(C/A3)=
= 029*043+047*021+0,24*0.0168= 0.136 + 0.099 + 0.017= 0.252


MODELOS DE PROBABILIDADE:

No capítulo anterior definimos alguns procedimentos gráficos e
numéricos para descrever o comportamento de uma dada característica
(variável) presente no nosso estudo. Sob ponto de vista da
probabilidade, este comportamento da variável em estudo é definido
como a distribuição da mesma. Na identificação da distribuição dos
dados, vamos nos concentrar no estudo de variáveis quantitativas. Neste
caso o histograma se constitui num instrumento de grande importância
na identificação de um modelo adequado aos dados.



Se traçarmos uma curva sobre o histograma observado podemos ter
uma boa descrição geral dos dados. A curva obtida é um modelo
matemático para a distribuição, ou seja, é uma descrição idealizada,
que oferece uma imagem concisa do padrão geral dos dados, mas
ignora irregularidades de menor importância, bem como a presença
de valores atípicos.



A figura apresenta o histograma do peso,
em kg, de 1500 pessoas adultas
selecionadas ao acaso em uma
população. O peso apresenta uma
distribuição muito regular. O histograma
é simétrico e decresce suavemente a
partir de um pico central único naico
direção de ambas as caudas. A curva
caudas.
suave traçada através do topo das barras
do histograma é uma boa descrição do
padrão geral dos dados.
dados.


A análise do histograma indica que:
1. a distribuição dos valores é
aproximadamente simétrica em
torno de 70kg;
2. a maioria dos valores (88%)
encontra-se no intervalo (55;85);
3. existe uma pequena proporção de
valores abaixo de 48kg (1,2%) e
acima de 92kg (1%).



Uma curva com uma forma apropriada é geralmente, uma
descrição adequada do padrão geral de uma distribuição.
Evidentemente que nenhum conjunto de dados reais é
descrito exatamente por uma dessas curvas, mas sim se
constitui em uma boa aproximação de fácil utilização e com
precisão suficiente para ser considerada na pratica.



Sabemos que características (variáveis) em estudo para
determinados problemas apresentam um mesmo padrão de
comportamento. Portanto estas variáveis podem ser aproximadas
por uma mesma curva, exceto por seus valores de referência,
como por exemplo, ponto central, dispersão...



Dizemos então que variáveis que apresentam um mesmo
padrão de comportamento seguem um mesmo modelo (ou
distribuição) de probabilidade. Um modelo de probabilidade
pode então ser definido como uma descrição matemática de
um fenômeno aleatório (ou variável aleatória de forma mais
formal).



MODELOS DISCRETOS

DOIS TIPOS DE MODELOS:

MODELOS CONTÍNUOS



MODELOS DISCRETOS:
Os modelos discretos são adequados a variáveis que podem
assumir um número finito ou enumerável de valores;

MODELOS CONTÍNUOS:
São aqueles relacionados às variáveis que podem assumir infinitos
valores.


Tipo de Modelo Modelo Característica
Discretos Binomial Variável em estudo somente pode assumir dois
possíveis valores em cada uma das n repetições
do experimento e a probabilidade de ocorrência
de cada um é constante.
Poisson A variável observada identifica o resultado de
uma contagem no experimento (número de
insetos em uma determinada área, por
exemplo).
Geométrico Número de experimentos necessários até a
ocorrência de um dado resultado de interesse.
Binomial Número de experimentos necessários até a
Negativa ocorrência de certo número de vezes do
resultado de interesse.
Hipergeométrico Variável em estudo somente pode assumir dois
possíveis valores em cada uma das n repetições
do experimento e a probabilidade de ocorrência
de cada um não é constante (usualmente
experimentos sem reposição).


Tipo de Modelo Característica
Modelo
Contínuos Uniforme A variável pode assumir, com igual
probabilidade, qualquer valor em
um intervalo, região,...

Exponencial A variável observa o tempo
necessário até a ocorrência de um
determinado resultado de interesse.

Normal Variáveis com distribuições
simétricas em relação a um ponto
central.

Outros Modelos: Gama, Beta, Weibull, Erlang, .....


Observações:
1. Para determinadas situações, modelos discretos podem ser
aproximados (representados) por um modelo contínuo. Por exemplo,
num caso binomial onde o número de repetições do experimento é
grande, podese analisar a variável em estudo pelo modelo normal.
2. Os modelos aqui apresentados referemse à distribuição de uma única
variável. Podemos em alguns casos ter interesse no comportamento
conjunto de duas ou mais variáveis. Nesses casos temos os chamados
modelos multidimensionais ou multivariados, que não serão objetos de
estudo nesse curso.


MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL

Muitos dos fenômenos que ocorrem na natureza, na indústria e nas
pesquisas, apresentam características que podem ser representadas
por um MODELO PADRÃO conhecido como MODELO OU
DISTRIBUIÇÃO NORMAL. Medições físicas em áreas como
experimentos meteorológicos, estudos sobre chuvas, medições de
peças manufaturadas são explicadas de forma adequada pela
distribuição normal e erros em medições científicas são bem
aproximados pela distribuição normal.



CARACTERISTICA DO MODELO NORMAL:
Os modelo padrão é resultado de uma curva aproximada do
histograma dos dados, tem um único pico e apresenta uma
forma de sino (simetria em torno do ponto de pico).



CARACTERISTICA DO MODELO NORMAL:

A curva suave traçada através dos topos das barras do histograma, é
uma boa descrição do padrão geral dos dados.

A curva é um modelo matemático para a distribuição, ou seja, é uma
descrição idealizada do padrão geral de uma distribuição.



Para dados X que podem ser representados pelo modelo acima
dizemos que: X ~ N (µ, σ).

Para dados X que podem ser representados pelo modelo acima
dizemos que: X ~ N (µ, σ).



As distribuições Normais ou Gaussianas — são famílias de
distribuições simétricas, com a mesma forma geral. A curva de
densidade é bem caracterizada por sua média µ (mi) e seu desvio
padrão σ (sigma).



Algumas Diferentes Situações:

Mesma média e diferentes variâncias (2,4,6) respectivamente.



Algumas Diferentes Situações:

Mesma Variância e diferentes médias (10, 15, 20) respectivamente!


PROPRIEDADES:

µ σ2)
X ~ N (µ ; σ2

1. E(X) = µ (média ou valor esperado);
2. Var(X) = σ2 (e, portanto, DP(X) = σ );
3. x = σ é ponto de máximo de f (x);
4. µ - σ e µ + σ são pontos de inflexão de f (x);
5. A curva Normal é simétrica em torno da média µ.
6. A distribuição Normal depende dos parâmetros µ e σ2


IMPORTANTE

Embora haja muitas curvas Normais, todas têm propriedades em
comum. Em particular todas as distribuições normais obedecem à
seguinte regra:
Na distribuição normal com média µ e desvio padrão σ:
68% das observações estão no intervalo ( µ - σ ; µ + σ),
σ σ
95,4% das observações estão no intervalo ( µ - 2σ ; µ + 2σ),
σ σ
99,7% das observações estão no intervalo ( µ - 3σ ; µ + 3σ),


IMPORTANTE


COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?

PROBLEMA:
Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a
quantidade de fenol encontrada na urina. A quantidade de fenol na
urina de moradores de certa região segue, aproximadamente, uma
distribuição normal de média 6 mg/L e desvio padrão 2 mg/L.
Considere a seguinte definição em termos da variável quantidade de
fenol na urina:
Uma pessoa é considerada “atípica” se a quantidade de fenol em
sua urina for superior a 9mg/l ou inferior a 3 mg/L.



QUESTÃO:
Qual é a probabilidade de ser encontrado um indivíduo “atípico”?

Seja: X como sendo a quantidade de fenol encontrada na urina.

Individuo “Atípico” Individuo com X < 3 ou X > 9

Probabilidade desejada:

P [ X < 3 OU X > 9] = P[ X < 3 ∪ X > 9 ] = P[X < 3 ] + P[X > 9]



Como calcular esta probabilidade, considerando que a variável de
interesse pode ser representada pela distribuição normal?

O cálculo de uma probabilidade na distribuição normal é dado pela
área sobre a curva normal na região de interesse, isto é, área sob a
curva de densidade fornece a proporção de observações que estão
numa região de valores de interesse.



De forma genérica: P [ a < X < B ]

A solução desta integral não é
imediata. A solução é usualmente
dada através de métodos numéricos.



Questão: Como calcular a probabilidade deseja sem a
necessidade de resolver a integral acima apresentada?

Resultado: Se X ~ N(µ ; σ 2), então

Chamada distribuição Normal Padrão.



IMPORTANTE: Probabilidades não se alteram



Características na Normal Padrão:

Quando x está 1 desvio padrão maior do
O escore- padronizado z que a média, então z = 1.
resultante diz de quantos µ +σ − µ σ
para x = µ + σ , z = = =1
desvios padrões cada σ σ
valor x está afastado da
Quando x está 2 desvios padrões acima
média da distribuição µ. da média, então z = 2.

µ + 2σ − µ 2σ
para x = µ + 2σ , z = = =2
σ σ
Quando x é maior do que a média, z é positivo.
Quando x é menor do que a média, z é negativo.



De que forma a transformação da variável X em Z, normal
padrão facilita o cálculo de probabilidades?

A solução desta
integral é mais
simples que no
caso anterior, e
seus valores são
tabelados



Como utilizar esta tabela?
SIGNIFICADO DOS VALORES TABELADOS



Por Exemplo: z = 0.32

0.6255

P[ Z < 0.32 ]= 0.6255

P[Z > 0.32] = 1- P[ Z < 0.32 ] =
1 - 0.6255 = 0.3745


.0082 é a
área sob a
curva N(0,1)
a esquerda
de z = 2.40

0.0069 é a área sob
.0080 é a área sob a a curva N(0,1) a
curva N(0,1) a esquerda z = 2.46
esquerda de z = 2.41



Uma segunda situação: P [0 < Z < 1.71 ] = ?

P(0 < Z ≤ 1,71)
= P(Z ≤1,71) – P(Z ≤ 0)
= 0,9564 - 0,5
0,4564.



ALGUMAS DICAS PARA USO DA TABELA DA NORMAL PADRÃO

Pelo ao fato da
distribuição Normal ser
simétrica, há uma outra
maneira para o cálculo
da área sob a curva
Normal padrão, que é a
direita do valor z .



ALGUMAS DICAS PARA USO DA TABELA DA NORMAL PADRÃO

Pelo ao fato da distribuição Normal ser simétrica, há uma outra maneira
para o cálculo da área sob a curva Normal padrão, que é a direita do valor z .



Retornando ao Problema Inicial

X como sendo a quantidade de fenol encontrada na urina.

X ~ N ( 6, 4)

P [ X < 3 OU X > 9] = P[X < 3 ] + P[X > 9]



X ~ N ( 6, 4) P [ X < 3 OU X > 9] = P[X < 3 ] + P[X > 9]

Portanto a probabilidade
de ser encontrada uma
pessoa considerada
“atípica” é 13.36%


Exemplo: Alturas de mulheres N(µ, σ) = N(64.5, 2.5)

As alturas de mulheres tem distribuição
aproximadamente normal, N(64.5″,2.5″). Área= ???
Que percentual de todas as mulheres
Área = ???
têm altura menor ou igual a 67
polegadas?
µ = 64.5″ x = 67″
Média µ = 64.5"
z =0 z =1
Desvio padrão σ = 2.5"
x : altura = 67"

Para o cálculo de z, o valor padronizado de x:


Exemplo: Alturas de mulheres
P [ X ≤ 67 ] ⇒ P [ Z ≤ 1 ]

N(µ, σ) = N(64.5”, 2.5”)

Área ≈ 0.84

Área ≈ 0.16

µ = 64.5” x = 67”
z=1

CONCLUSÃO:
84.13% das mulheres são menores do que 67″.
Por subtração, 1 − 0.8413, or 15.87% das mulheres são maiores do que 67".


O National Collegiate Athletic Association (NCAA) exige que atletas da 1a divisão tenham
pontuação de no mínimo 820 no SAT combinado de matemática e verbal para competir
no seu primeiro ano colegial. A pontuação SAT de 2003 foi aproximadamente normal com
média 1026 e desvio padrão 209. Que proporção de todos os estudantes seriam
qualificados (SAT ≥ 820)?
x = 820
µ = 1026
σ = 209
(x − µ)
z=
σ
(820 − 1026 )
z=
209 Área direita 820 = Área Total − Área a esquerda de 820
− 206 = 1 − 0.1611 ≈ 84%
z= ≈ −0.99
209
Nota: Os dados reais podem conter estudantes que
Table : área sob
pontuaram exatamente 820 no SAT. No entanto, a proporção
N(0,1) a esquerda de
das pontuações exatamente igual a 820 é 0 para uma
z - .99 é 0.1611
ou approx. 16%.
distribuição normal é uma conseqüência da idealizada
suavização das curvas de densidade.


1. A resistência a compressão de amostras de cimento pode ser representada
por um modelo normal com média de 6000 kg por cm2 e um desvio padrão de
100 kg por cm2.
a) Qual a probabilidade da resistência da amostra ser menor do que 6250
kg/cm2?
b) Qual a probabilidade da resistência da amostra estar entre 5800 e 5900
kg/cm2?

2. O volume de enchimento de uma máquina automática de enchimento usada
para encher latas de bebidas gasosas é distribuído segundo o modelo normal
com uma média de 12.4 onças fluidas e um desvio padrão de 0.1 de onça
fluída.
a) Qual a probabilidade do volume de enchimento ser menor do que 12
onças fluídas?
b) Se todas as latas menores que 12.1 ou maiores que 12.6 onças são
rejeitas, qual a probabilidade de uma lata ser rejeitada?


3. A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, segue um
modelo normal com média de 7000 horas e desvio padrão de 600 horas.
a) Qual a probabilidade do laser falhar antes de completar 5000 horas?
b) Qual o tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem?
c) Se três lasers forem usados em certo produto e se eles falharem
independentemente, qual a probabilidade de todos os três estarem ainda
operando após 7000 horas?


3. Dois analistas observaram uma solução de soda de concentração conhecida
(%) e obtiveram os seguintes resultados:

Analista Determinações
João 10.2 9.9 10.1 10.4 10.2 10.4
Paulo 9.9 10.2 9.5 10.4 10.6 9.4

Considerando que a resposta observada pode ser representada pelo modelo
normal e que a concentração real da solução é 10.1%, responda:
a) Qual dos dois analistas tem maior probabilidade de encontrar valores
acima de 10.5%?
b) Para cada analista, qual o valor da concentração determina que 15.5% das
determinações serão maiores?

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